华师一2011届高三第一轮复习教案(第七章)第1讲--直线的方程
2011高考数学北师大版一轮复习：3.1《直线的方程》
【解析 解析】 设 k1， 2， 3 分别表示直线 l1， 2， 3 的斜率， k k l l 解析 由于点 P，Q1，Q2，Q3 的横坐标均不相等， －1－2 3 ＝ ， ∴k1＝ －2－3 5 －2－2 2－2 k2＝ ＝－4，k3＝ ＝0. 4－3 －3－3 而点 P 与点 Q4 的横坐标相同，∴直线 l4 的斜率不存在． 由 k1＞0 知直线 l1 的倾斜角为锐角， 由 k2＜0 知直线 l2 的倾斜角为钝角， 由 k3＝0 知直线 l3 的倾斜角为 0°角， 由直线 l4 斜率不存在知直线 l4 的倾斜角为直角．
4 4 (2)|OA|＋|OB|＝1－ ＋(4－k)＝5－k＋ ≥9. k k
4 ∴当且仅当 k＝ 且 k<0，即 k＝－2 时，|OA|＋|OB|取最小值． k 这时 l 的方程为 2x＋y－6＝0.
高考瞭望
本节内容主要考查直线的斜率，直线方程的求法，在高考中， 本节内容单独命题并不多见，主要考查直线与圆，直线与圆锥曲线 的问题，其试题难度为中高档题． 1．直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂线，则l的方程 是( ) A．3x＋2y－1＝0 C．2x－3y＋5＝0 B．3x＋2y＋7＝0 D．2x－3y＋8＝0
在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式， 并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直 线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的 直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线， 故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截 距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情 况．
5．在直角三角形 ABC 中，直角顶点 A(4,1)，点 1 C(－1,2)， 斜边上的高所在直线的方程为 y＝－ x＋3， 2 则点 B 的坐标为______．
高三数学一轮复习精品教案3：直线及其方程教学设计
第1课时 直线及其方程1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．2．掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等)，了解斜截式与一次函数的关系．『梳理自测』一、直线的倾斜角与斜率1．(教材改编)直线过点(0，2)和点(3，0)，则它的斜率为( ) A .23 B .32 C ．－23 D ．－322．(教材改编)直线3x －y ＋a ＝0(a 为常数)的倾斜角为( ) A ．30° B ．60° C ．150° D ．120° 『答案』：1.C 2.B◆以上题目主要考查了以下内容： (1)直线的倾斜角①定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正方向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角，当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°．②倾斜角的取值范围：『0°，180°)． (2)直线的斜率①定义：当α≠90°时，一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k 表示，即k ＝tan _α，倾斜角是90°的直线，其斜率不存在．②经过两点的直线的斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 1－y 2x 1－x 2．二、直线方程1．(教材改编)过点(－1，2)且倾斜角为30°的直线方程为( ) A .3x －3y ＋6＋3＝0 B .3x －3y －6＋3＝0 C .3x ＋3y ＋6＋ 3 D .3x ＋3y －6＋3＝02．已知直线l 的倾斜角α满足3sin α＝cos α，且它在x 轴上的截距为2，则直线l 的方程是________．3．经过两点M(1，－2)，N(－3，4)的直线方程为________． 『答案』：1.A 2.x －3y －2＝0 3.3x ＋2y ＋1＝0 ◆以上题目主要考查了以下内容： 直线方程的五种形式名称 方程 适用范围 点斜式 y －y 0＝k(x －x 0) 不含垂直于x 轴的直线 斜截式 y ＝kx ＋b不含垂直于x 轴的直线 两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(x 1≠x 2，y 1≠y 2) 不含垂直于坐标轴的直线 截距式x a ＋yb＝1(ab≠0) 不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时为零)平面直角坐标系内的直线都适用『指点迷津』1．一个关系——直线的倾斜角和斜率的关系(1)任何直线都存在倾斜角，但并不是任意的直线都存在斜率． (2)直线的倾斜角α和斜率k 之间的对应α 0° 0°＜α＜90° 90° 90°＜α＜180°kk ＞0不存在k ＜02.两种方法——求直线方程(1)直接法：根据已知条件，选择恰当形式的直线方程，直接求出方程中系数，写出直线方程；(2)待定系数法：先根据已知条件设出直线方程．再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，最后代入求出直线方程．3．三个因素——确定直线的倾斜角①前提：直线l 与x 轴相交；②基准：x 轴；③方向：x 轴正向与l 向上的方向．考向一 直线的倾斜角与斜率(1)若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是( )A .⎣⎡⎭⎫π6，π3B .⎝⎛⎭⎫π6，π2C .⎝⎛⎭⎫π3，π2D .⎣⎡⎦⎤π3，π2 (2)已知点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l 过点P(1，1)且与线段AB 有交点，则直线l 的斜率k 的取值范围为________．『审题视点』 确定直线过的定点，结合图象，使直线绕定点转动，使之符合题意，找出边界线所处的位置．『典例精讲』 (1)由题意，可作两直线的图象，如图所示，从图中可以看出，直线l 的倾斜角的取值范围为⎝⎛⎭⎫π6，π2.(2)如图，由斜率公式，得k AP ＝1－（－3）1－2＝－4，k BP ＝1－（－2）1－（－3）＝34，∴k≥34或k≤－4.『『答案』』 (1)B (2)(－∞，－4』∪『34，＋∞)『类题通法』 直线倾斜角的范围是『0，π)，但这个区间不是正切函数的单调区间．因此在考虑倾斜角与斜率的关系时，要分⎣⎡⎭⎫0，π2与⎝⎛⎭⎫π2，π两种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当α∈⎣⎡⎭⎫0，π2时，斜率k ∈『0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，斜率k ∈(－∞，0)．1．(2014·贵阳模拟)直线l 经过点A(1，2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是( )A ．－1＜k ＜15B ．k ＞1或k ＜12C ．k ＞15或k ＜1D ．k ＞12或k ＜－1『解析』选D .设直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k(x －1)，直线在x 轴上的截距为1－2k ，令－3＜1－2k＜3，解不等式可得．也可以利用数形结合．考向二 求直线方程求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P(3，2)，且在两坐标轴上的截距相等； (2)过点A(－1，－3)，斜率是直线y ＝3x 的斜率的－14；(3)过点A(1，－1)与已知直线l 1：2x ＋y －6＝0相交于B 点且|AB|＝5. 『审题视点』 选择适当的直线方程形式， 把所需要的条件求出即可．『典例精讲』 (1)设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a ，若a ＝0，即l 过点(0，0)和(3，2)，∴l 的方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0.若a≠0，则设l 的方程为x a ＋ya ＝1，∵l 过点(3，2)，∴3a ＋2a ＝1，∴a ＝5，∴l 的方程为x ＋y －5＝0，综上可知，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0. (2)设所求直线的斜率为k ，依题意 k ＝－14×3＝－34.又直线经过点A(－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0.(3)过点A(1，－1)与y 轴平行的直线为x ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，2x ＋y －6＝0，求得B 点坐标为(1，4)，此时|AB|＝5， 即x ＝1为所求．设过A(1，－1)且与y 轴不平行的直线为y ＋1＝k(x －1)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6＝0，y ＋1＝k （x －1）.得两直线交点为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ＋7k ＋2y ＝4k －2k ＋2.(k≠－2，否则与已知直线平行)． 则B 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2，4k －2k ＋2.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －2k ＋2＋12＝52 解得k ＝－34，∴y ＋1＝－34(x －1)，即3x ＋4y ＋1＝0.综上可知，所求直线的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0.『类题通法』 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．2．(1)求过点A(1，3)，斜率是直线y ＝－4x 的斜率的13的直线方程；(2)求经过点A(－5，2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程． 『解析』(1)设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－4×13＝－43.又直线经过点A(1，3)，因此所求直线方程为y －3＝－43(x －1)，即4x＋3y －13＝0.(2)当直线不过原点时， 设所求直线方程为x 2a ＋ya＝1，将(－5，2)代入所设方程，解得a ＝－12，此时，直线方程为x ＋2y ＋1＝0. 当直线过原点时，斜率k ＝－25，直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0，综上可知，所求直线方程为x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0.考向三 直线方程的应用为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD 内建一个矩形草坪(如图)，另外△EFA 内部有一文物保护区不能占用，经测量AB ＝100 m ，BC ＝80 m ，AE ＝30 m ，AF ＝20 m ，应如何设计才能使草坪面积最大？『审题视点』 首先明确题目的要求，借助直线方程解决，需要建立直角坐标系，然后设出参数进行求解．『典例精讲』 如图所示，建立平面直角坐标系，则 E(30，0)、F(0，20)，∴直线EF 的方程为x 30＋y20＝1(0≤x≤30)．易知当矩形草坪的一个顶点在EF 上时，可取最大值， 在线段EF 上取点P(m ，n)，作PQ ⊥BC 于点Q ， PR ⊥CD 于点R ，设矩形PQCR 的面积为S ， 则S ＝|PQ|·|PR|＝(100－m)(80－n)． 又m 30＋n20＝1(0≤m≤30)， ∴n ＝20－23m.∴S ＝(100－m)⎝⎛⎭⎫80－20＋23m ＝－23(m －5)2＋18 0503(0≤m≤30)．∴当m ＝5时，S 有最大值，这时|EP||PF|＝5∶1.所以当草坪矩形的两边在BC 、CD 上，一个顶点在线段EF 上，且这个顶点分有向线段EF 成5∶1时，草坪面积最大．『类题通法』 (1)本题考查实际问题，在确定EF 的方程时，需要关注已知条件合理选择直线方程的形式，并且要注意0≤m≤30，在此范围内求最值．(2)在求直线方程的过程中，若有以直线为载体的面积、距离的最值等问题，一般要结合函数、不等式或利用对称来加以解决．3．已知直线l 过点P(3，2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．『解析』由题意设直线方程为x a ＋y b ＝1(a ＞0，b ＞0)，∴3a ＋2b ＝1.由基本不等式知3a ＋2b≥26ab， 即ab≥24(当且仅当3a ＝2b ，即a ＝6，b ＝4时等号成立)．又S ＝12a·b≥12×24＝12，此时直线方程为x 6＋y4＝1，即2x ＋3y －12＝0.∴△ABO 面积的最小值为12，此时直线方程为2x ＋3y －12＝0.忽视直线的特殊情况致误(2014·杭州调研)已知直线l 过点P(2，－1)，在x 轴和y 轴上的截距分别为a ，b ，且满足a ＝3b.则直线l 的方程为________．『正解』 ①若a ＝3b ＝0，则直线过原点(0，0)， 此时直线斜率k ＝－12，直线方程为x ＋2y ＝0.②若a ＝3b≠0，设直线方程为x a ＋yb ＝1，即x 3b ＋y b＝1. 由于点P(2，－1)在直线上， 所以b ＝－13.从而直线方程为－x －3y ＝1， 即x ＋3y ＋1＝0.综上所述，所求直线方程为x ＋2y ＝0或x ＋3y ＋1＝0. 『『答案』』 x ＋2y ＝0或x ＋3y ＋1＝0 『易错点』 本题易忽视直线过原点的情况．『警示』 求直线方程时，要注意斜率是否存在，注意截距是否存在，是否为0；注意区分截距与距离．1．(2013·高考辽宁卷)已知点O(0，0)，A(0，b)，B(a ，a 3)．若△OAB 为直角三角形，则必有( )A ．b ＝a 3B ．b ＝a 3＋1aC ．(b －a 3)⎝⎛⎭⎫b －a 3－1a ＝0 D ．|b －a 3|＋⎪⎪⎪⎪b －a 3－1a ＝0 『解析』选C .根据直角三角形的直角的位置求解．若以O 为直角顶点，则B 在x 轴上，则a 必为0，此时O ，B 重合，不符合题意； 若∠A ＝π2，则b ＝a 3≠0.若∠B ＝π2，根据斜率关系可知a 2·a 3－b a ＝－1，所以a(a 3－b)＝－1，即b －a 3－1a＝0.以上两种情况皆有可能，故只有C 满足条件．2．(2014·江门模拟)如果A·C ＜0，且B·C ＜0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 『解析』选C .由题意知A·B·C≠0， 直线方程变为y ＝－A B x －CB .∵A·C ＜0，B·C ＜0，∴A·B ＞0， ∴其斜率k ＝－AB ＜0，又y 轴上的截距b ＝－CB ＞0，∴直线过第一、二、四象限．3．(2014·北京海淀一模)已知点A(－1，0)，B(cos α，sin α)，且|AB|＝3，则直线AB 的方程为( )A ．y ＝3x ＋3或y ＝－3x －3B ．y ＝33x ＋33或y ＝－33x －33C ．y ＝x ＋1或y ＝－x －1D ．y ＝2x ＋2或y ＝－2x －2 『解析』选B .|AB|＝（cos α＋1）2＋sin 2α ＝2＋2cos α＝3， 所以cos α＝12，sin α＝±32，所以k AB ＝±33，即直线AB 的方程为y ＝±33(x ＋1)，所以直线AB 的方程为y ＝33x ＋33或y ＝－33x －33，选B . 4．(2014·太原二模)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n （n ＋1）(n ∈N *)，其前n 项和S n＝910，则直线x n ＋1＋y n＝1与坐标轴所围成三角形的面积为( ) A ．36 B ．45 C ．50 D ．55『解析』选B.由a n ＝1n （n ＋1）可知a n ＝1n －1n ＋1，∴S n ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1，又知S n ＝910，∴1－1n ＋1＝910，∴n ＝9.∴直线方程为x 10＋y9＝1，且与坐标轴的交点为(10，0)和(0，9)，∴直线与坐标轴所围成的三角形的面积为12×10×9＝45，故选B.。
高三数学总复习教案 第七章 直线和圆的方程
第七章 直线和圆的方程(供稿:中山纪念中学 王家文)【要点与目标】直线的倾斜角和斜角。
直线方程的点斜式和两点式。
直线方程的一般式。
两条直线平行与垂直的条件。
两条直线的交角。
点到直线的距离。
用二元一次不等式表示平面区域。
简单线性规划问题。
曲线与方程的概念。
由已知条件列出曲线方程。
圆的标准方程和一般方程。
圆的参数方程。
目标（1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握由一点和斜率导出直线方程的方法；掌握直线方程的点斜式、两点式和直线方程的一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程。
（2）掌握两条直线平行与垂直的条件，掌握两条直线所成的角和点到直线的距离公式；能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系。
（3）会用二元一次不等式表示平面区域。
（4）了解简单的线性规划问题，了解线性规划的意义，并会简单应用。
（5）了解解析几何的基本思想，了解用坐标法研究几何问题的方法。
（6）掌握圆的标准方程和一般方法，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程。
6.1 直线方程和两条直线的位置关系 【基础练习】1、直线l 经过原点和点（1-,1-），则它的倾斜角是（ ）。
A.4π B. 54π C. 4π或54π D. 4π-答案：A2、两平行直线2y x =和25y x =+间的距离是（ ）A.52C. 32D.2答案：B解析：化成一般式，由平行线距离公式d =3、如果直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于（ ） A.1 B.13- C.23-D.2-答案：D解析：直线互相垂直，121k k =-4、两直线20x -+=340y +-=的夹角是（ ）A.030B.060C.090D. 0120 答案：B 解析：2112tan 1k k k k θ-=+5、过点A(3，0)，且平行于直线230x y -=的直线方程是 。
答案：2360x y --=6、点（2，5）关于直线0x y +=的对称点的坐标是 。
高三一轮复习学案1 直线与直线的方程
考点1
直线的斜率与倾斜角
已知直线l过P（-1，2），且与以A（-2，-3）,B（3， 0）为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围.
【分析】借助于图形，由 斜率公式确定k的范围.
【评析】 解法一，当直线的倾斜角由锐角变到直角再由 直角变到钝角时，需根据正切函数y=tanα的单调性求k的 范围，数形结合是解析几何中的重要方法.解题时，借助 图形及图形性质直观判断，明确解题思路，达到快捷解题 的目的，解法二则巧妙利用了不等式所表示的平面区域的 性质使问题得以解决.
求适合下列条件的直线方程:
(1)经过点P(3,2),且在两坐标轴上的截距相等; 1 (2)过点A(-1,-3),斜率是直线y=3x的斜率的-4 ;
【解析】 (1)解法一:设直线l在x,y轴上的截距均为a.
①若a=0,即l过点(0,0)和(3,2), 2 ∴l的方程为y= 3x,即2x-3y=0.
预测2013年高考仍将以求直线的方程、点到直线 的距离、两点间的距离、两条直线的平行与垂直为主 要考点，题型以选择题、填空题为主，重点考查运算 能力与对概念的理解能力.
1.直线的倾斜角和斜率 （1）倾斜角α：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相 交的直线，如果把x轴按逆时针方向绕着交点旋转到和直 线重合时所成的角,叫作 直线的倾斜角 .规定：直线与x轴 平行或重合时α=0°.故倾斜角的范围是 . 0°≤α＜180°
故所求直线的方程为x+7y-15=0或7x-y-5=0.
【评析】求与已知两直线的交点有关问题，可有以下 两种解法：
（1）先求出两直线交点，将问题转化为过定点的 直线，然后再依其他条件求解. （2）运用过两直线交点的直线系方程：若两直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0有交点，则过l1与l2 交点的直线系方程为 A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ为待定常数，不包 括直线l2)，设出方程后再利用其他条件求解.
华师一附中2012届高三(新课标)第一轮复习教案(第七章)第一讲：直线的方程
第一讲 直线的方程教学目的：直线的倾斜角和斜率．直线方程的点斜式（斜截式）两点式（截距式）、直线方程的一般式 教学重点：理解直线斜率的概念，掌握直线方程的各种形式，并能根据条件熟练地求出直线方程 教学难点：根据各种条件熟练地求出直线方程【知识概要】知识点1 直线的倾斜角对于一条与X 轴相交的直线，如果把X 轴绕着直线与X 轴的交点按逆 时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。
指出：在这个概念中，应清楚定义中所含有的三个条件：直线的向上方向；x 轴的正方向；小于平角的最小正角．也可以用运动变化观点来看：直线的倾斜角是由x 轴按逆时针方向旋转到直线时所成的最小正角． 当直线L 与X 轴平行或重合时,α=0°；直线L 与X 轴垂直时,α=90°。
所以倾斜角的范围是0°≤α<180°. 知识点2 直线的斜率倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用K 表示即K=tanα (α≠2π); α=2π时, 斜率K 不存在。
指出：（1）斜率是一个数值，结合正切函数y=tanx 在[0, π)（不包括2π）时的单调性，直线的倾斜（2）两个重要的基本问题:已知直线斜率的值(或范围),求倾斜角的值(或范围); 已知直线倾斜角的值(或范围),求直线斜率的值(或范围),关键是利用正切函数y=tanx 在[0, π)（不包括2π）时的图象求解. （3）在直线的所有的问题中,只要涉及到斜率的问题,一定要讨论斜率存在与不存在两种情况. （4） 直线的方向向量：设F 1（x 1，y 1）、F 2（x 2，y 2）是直线上不同的两点，则向量21F F =（x 2－x 1，y 2－y 1）称为直线的方向向量。
向量121x x -21F F =（1，1212x x y y --）=（1，k ）也是该直线的方向向量，k 是直线的斜率。
高三数学高考一轮复习系列教案第七章 直线和圆的方程 大纲版
第七章直线和圆的方程知识结构高考能力要求1．掌握两条直线平行和垂直的条件，掌握两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．2．会用二元一次不等式表示平面区域．3．了解简单的线性规划问题，了解线性规划的意义，并会简单的应用．4．了解解析几何的基本思想，了解用坐标法研究几何问题的方法．5．掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程的概念．高考热点分析在近几年的高考试题中，两点间的距离公式、中点坐标公式、直线方程的点斜式、斜截式、一般式、斜率公式及两条直线的位置关系，圆的方程及直线与圆、圆与圆的位置关系是考查的热点.但由于知识的相互渗透，综合考查直线与圆锥曲线的关系一直是高考命题的大热门，应当引起特别注意，本章的线性规划内容是新教材中增加的新内容，近年来，在高考中经常考查，但基本上以中易题出现．考查的数学思想方法，主要是数形结合、分类讨论、方程的思想和待定系数法等．高考复习建议本章的复习首先要注重基础，由于本章的基本公式较多，直线方程和圆的方程又有多种形式，且这些知识在解题中使用频率高，在解题中要求使用很灵活，因此对基本知识、基本题型要掌握好。
求直线方程主要用待定系数法，复习时应注意直线方程各种形式的适用条件；研究两条直线的位置关系时，应特别注意斜率存在和不存在的两种情形。
曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，随着高考对知识形成过程的考查逐步加强，对坐标法的要求也进一步加强，因此，必须透彻理解．既要掌握求曲线方程的常用方程和基本步骤，又能根据方程讨论曲线的性质；圆的方程、直线与圆的位置关系、圆的切线问题与弦长问题以及对称问题都是高考中的热点问题，解决它们主要以方程思想和数形结合的方法来处理；求圆的方程或找圆心坐标和半径的常用方法是待定系数法及配方法，应熟练掌握，另外还应注意恰当运用平面几何知识以简化计算．7．1 直线的方程知识要点1．倾斜角:对于一条与x轴相交的直线,把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角α叫做直线的倾斜角．当直线和x轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为0°．倾斜角的范围为_________．斜率:当直线的倾斜角α≠90°时，该直线的斜率即k＝tanα；当直线的倾斜角等于90°时，直线的斜率不存在．2．过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式．若x1＝x2，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°．例题讲练【例1】 已知直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m－1．① 当m ＝ 时，直线的倾斜角为45°．②当m＝ 时，直线在x 轴上的截距为1．③ 当m ＝时，直线在y 轴上的截距为－23．④ 当m ＝ 时，直线与x 轴平行．⑤当m ＝ 时，直线过原点．【例2】若直线l 过点M(a ，3)，N(1，2)， (1)求直线l 的斜率和倾斜角； (2)已知]13,133[++-∈a ，求直线l 的倾斜角α的范围．【例3】 已知△ABC 的顶点分别为A (－3，0)，B (9，5)，C (3，9)，直线l 过点C 且把三角形的面积分成1︰2的两部分，求l 的方程．【例4】 已知定点P(6, 4)与直线l 1:y ＝4x ，过点P 的直线l 与l 1交于第一象限的Q 点，与x 轴正半轴交于点M ．求使△OQM 面积最小的直线l 的方程． 小结归纳1．直线方程是表述直线上任意一点M 的坐标x 与y 之间的关系式，由斜率公式可导出直线方程的五种形式．这五种形式各有特点又相互联系，解题时具体选取哪一种形式，要根据直线的特点而定．2．待定系数法是解析几何中常用的思想方法之一，用此方法求直线方程，要注意所设方程的适用范围．如：点斜式、斜截式中首先要存在斜率，截距式中横纵截距存在且不为0，两点式的横纵坐标不能相同等（变形后除处）．3．在解析几何中,设点而不求,往往是简化计算量的一个重要方法.4．在运用待定数法设出直线的斜率时，就是一种默认斜率存在，若有不存在的情况时，就会出现解题漏洞，此时就要补救：较好的方法是看图，数形结合来找差距. 基础训练题 一、选择题1． 在同一坐标系中，表示直线y ＝ax 与y ＝x ＋a 正确的是 （ ）A2． 设直线ax ＋by ＋c ＝0的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝0，则a 、b 满足 （ ） A ．a ＋b ＝1 B ．a －b ＝1 C ．a ＋b ＝0 D ．a －b ＝03． 直线A x ＋B y ＋C ＝0，通过第二、三、四象限，则系数A 、B 、C 需满足的条件 （ ） A ．A 、B 、C 同号 B ．AC<0，BC<0C ．C ＝0，AB< 0D ．A ＝0，BC<04． 设2π<α<π，则直线y ＝x cos α＋m 的倾斜角的取值范围是 （ ） A ．(2π，π) B ．(2π，43π)C ．(4π，43π)D ．(43π，π)5． 已知A(－2，3)，B(3，0)，直线l 过O(0，0)且与线段AB 相交，则直线l 的斜率的取值范围是 （ ） A ．－23≤k ＜0 B ．k ≤－23或k ≥0C ．k ≤0或k ≥23D ．0≤k ≤236． 设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程为 （ ） A ．x ＋y －5＝0 B ．2x －y －1＝0C ．2y －x －4＝0D ．2x ＋y －7＝0二、填空题7． 直线y ＝mx ＋2m ＋1恒过一定点，则此点的坐标为 ．8． 若三点A (2，2)，B (a ，0)，C (0，b )(ab ≠0)，共线x则ba 11+的值等于 ． 9． C 是以A(2，3)、B(－1，－2)为端点的线段AB 外一点，且＝2，则过C 垂直于AB 的直线方程为 ．10．实数x 、y 满足3x －2y －5＝0(1≤x ≤3)，则xy 的最大值、最小值分别是 ．三、解答题11．已知两点A(－1，－5)，B(3，－2)，直线l 的倾斜角是直线AB 的倾斜角的一半，求直线l 的斜率．12．如图，在△ABC 中，已知点B (－1，0)，C (1，0)，2=ACAB ，AB 边上的高1=CD ，求直线AC的斜率．13．直线l 过点M (2，1)，且分别交x 轴y 轴的正半轴于点A 、B ，O 为坐标原点．(1)当△AOB 的面积最小时，求直线l 的方程； (2)当MB MA ⋅取最小值时，求直线l 的方程．提高训练题14．已知直线l ：(a ＋2)x ＋(1－2a )y ＋4－3a ＝0．(1)求证直线l 经过第三象限；(2)若直线l 不经过第二象限，求a 的取值范围． 15．已知过原点O 的一条直线与函数y ＝log 8x 的图象交于A 、B 两点，分别过A 、B 作y 轴的平行线与函数y ＝log 2x 的图象交于C 、D 两点．(1) 证明：C 、D 和原点O 在同一直线上．(2) 当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标．7．2 直线与直线的位置关系知识要点 （一）平面内两条直线的位置关系有三种________． 1．当直线不平行坐标轴时，直线与直线的位置关系2．当直线平行于坐标轴时，可结合图形判定其位置关系．（二）点到直线的距离、直线与直线的距离1．P(x0，y0)到直线A x＋B y＋C＝0 的距离为______________．2．直线l1∥l2，且其方程分别为：l1：A x＋B y＋C1＝0 l2：A x＋B y＋C2＝0，则l1与l2的距离为．（三）两条直线的交角公式若直线l1的斜率为k1，l2的斜率为k2，则1．直线l1到l2的角θ满足．2．直线l1与l2所成的角(简称夹角)θ满足．（四）两条直线的交点：两条直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解的个数．（五）五种常用的直线系方程.①过两直线l1和l2交点的直线系方程为A1x＋B1y ＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不含l2).②与直线y＝kx＋b平行的直线系方程为y＝kx＋m (m≠b).③过定点(x0, y0)的直线系方程为y－y0＝k(x－x0)及x＝x0.④与A x＋B y＋C＝0平行的直线系方程设为A x＋B y＋m＝0 (m≠C).⑤与A x＋B y＋C＝0垂直的直线系方程设为B x－A y＋C1＝0 (AB≠0).例题讲练【例1】已知两直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，试确定m、n的值，使：(1) l1与l2相交于点p (m，－1)；(2) l1‖l2；(3) l1⊥l2且l1在y轴上的截距为－1．【例2】已知直线l经过两条直线l1：x＋2y＝0与l2：3x－4y－10＝0的交点，且与直线l3：5x－2y＋3＝0的夹角为4π，求直线l的方程．【例3】直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若A、B坐标分别为A(－4，2)、B(3，1)，求点C的坐标并判断△ABC的形状．【例4】设点A(－3，5)和B(2，15)，在直线l：3x－4y＋4＝0上找一点p，使PBPA+为最小，并求出这个最小值．小结归纳1．处理两直线位置关系的有关问题时，要注意其满足的条件．如两直线垂直时，有两直线斜率都存在和斜率为O与斜率不存在的两种直线垂直．2．注意数形结合，依据条件画出图形，充分利用平面图形的性质和图形的直观性，有助于问题的解决．3．利用直线系方程可少走弯路，使一些问题得到简捷的解法．4．解决对称问题中，若是成中心点对称的，关键是运用中点公式，而对于轴对称问题，一般是转化为求对称点，其关键抓住两点：一是对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中点在对称轴上，如例4．基础训练题一、选择题1．已知点M(a、b)，若点N与M关于x轴对称，点P 与N关于y轴对称，点P与点Q关于直线x＋y＝0对称，则点Q的坐标为（）A．(a、b) B．(b、a)C．(－a、－b) D．(－b、－a)2．已知过点A(－2，m)和B(m，4)的直线与直线2x＋y －1＝0平行，则m的值为（）A．0 B．－8C．2 D．103．设a、b、c分别是△ABC中角A、B、C所对的边长，则直线l1：与sin=++⋅cayxA yBbxl⋅-sin:2sin=+C的位置关系是（）A．平行B．垂直C．重合D．相交但不垂直4．若0≤θ≤2π，当点(1，cosθ)到直线x sinθ＋y cosθ－1＝0的距离是41时，这条直线的斜率为（）A．1 B．－1C．23D．－335． 已知直线l 1的方向向量为a ＝（1，3），直线l 2的方向向量为b ＝（－1，k ），若直线l 2经过点（0，5），且l 1⊥l 2，则直线l 2的方程为 （ ） A ．x ＋3y －5＝0 B ．x ＋3y －15＝0C ．x －3y ＋5＝0D ．x －3y ＋15＝06． 已知两直线l 1：y ＝x ，l 2：ax －y ＝0，其中a 为实数，当这两条直线的夹角在(0，12π)内变动时，a 的取值范围为 （ ） A ．(0，1)B ．(33，3)C ．(33，1)∪(1，3)D ．(1，3)二、填空题7． 点P （4cos θ，3sin θ）到直线x ＋y －6＝0的距离的最小值等于 ．8． 已知曲线c :y ＝x 2，则它关于x －y －2＝0对称的曲线方程是 ．9． 已知点O 为坐标原点，点A 的坐标为(4，2)，P 是线段OA 的垂直平分线上一点，若∠OP A 为锐角，则P 的横坐标的取值范围是 ． 10．两条平行直线分别过点A(6，2)和点B(－3，－1)，各自绕A 、B 旋转至这两条平行线距离取最大值时两直线的方程分别为 和 ．三、解答题11．已知P 是直线l 上的一点，将直线l 绕点P 逆时针方向旋转角α(0<α<2π)，所得直线方程为l 1：3x －y －4＝0，若继续绕P 点逆时针方向转2π－α，则得直线l 2的方程为x ＋2y ＋1＝0，求直线l 的方程．12．一光线从点A (3，2)出发经直线x －y ＋1＝0反射后经过点B (－1，－1)．试求反射光线所在的直线方程．13．已知过点A （1，1）且斜率为－m (m >0)的直线l 与x 、y 轴分别交于P 、Q 两点，过P 、Q 作直线2x ＋y ＝0的垂线，垂足分别为R 、S ，求四边形PRSQ 的面积的最小值．提高训练题14．过点P(6，8)作两互相垂直的直线PA 、PB 分别交x轴正半轴于A ，y 轴正半轴于B ． (1) 求线段AB 中点轨迹的方程．(2) 若S △AOB ＝S △APB ，求PA 与PB 所在直线的方程． 15．（05年广东），在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB 、AD 边分别在x 轴，y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合（如图），将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上，若拆痕所在直线的斜率为k ，求折痕所在的直线方程．7．3 线性规划知识要点1．二元一次不等式表示的平面区域．⑴ 一般地，二元一次不等式A x ＋B y ＋C>0在平面直角坐标系中表示直线A x ＋B y ＋C ＝0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)不含边界线，不等式A x ＋B y ＋C ≥0所表示的平面区域(半平面)包括边界线．⑵ 对于直线A x ＋B y ＋C ＝0同一侧的所有点(x 、y )使得A x ＋B y ＋C 的值符号相同．因此，如果直线A x ＋B y ＋C ＝0一侧的点使A x ＋B y ＋C>0，另一侧的点就使A x ＋B y ＋C<0，所以判定不等式A x ＋B y ＋C>0(或A x ＋B y ＋C<0)所表示的平面区域时，只要在直线A x ＋B y ＋C ＝0的一侧任意取一点(x 0，y 0)，将它的坐标代入不等式，如果该点的坐标满足不等式，不等式就表示该点所在一侧的平面区域；如果不满足不等式，就表示这个点所在区域的另一侧平面区域．⑶ 由几个不等式组成的不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．2．线性规划⑵ 用图解法解决线性规划问题的一般步骤： ① 设出所求的未知数；② 列出约束条件(即不等式组)；③ 建立目标函数；④ 作出可行域和目标函数的等值线；⑤ 运用图解法即平行移动目标函数等值线，求出最优解．（有些实际问题应注意其整解性） 例题讲练【例1】 若△ABC 的三个顶点为A(3，－1)，B(－1，1)，C(1，3)，写出△ABC 区域（含边界）表示的二元一次不等式组．【例2】已知x 、y 满足约束条件 ⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤-+≤--0104011702357y x y x y x 分别求：⑴ z ＝2x ＋y⑵ z ＝4x －3y⑶ z ＝x 2－y 2的最大值、最小值？【例3】 某木器厂生产圆桌子和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种72立方米，第二种有56立方米，假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一张圆桌需用第一种木料0.18立方米，第二种木料0.08立方米，可获利润6元，生产一个衣柜需用第一种木料0.09立方米，第二种0.28立方米，可获利10元，木器厂在现有木料条件下，圆桌和衣柜应各生产多少才能使所获利润最多？【例4】 预算用2000元购买单价为50元桌子和20元的椅子，希望桌子的总数尽可能的多，但椅子的总数不能少于桌子的总数，但不多于桌子数的1.5倍，问桌椅各买多少才合适？小结归纳 1．二元一次不等式或不等式组表示的平面区域：① 直线确定边界；② 特殊点确定区域．2．线性规划实际上是“数形结合”的数学思想的体现，是一种求最值的方法．3．把实际问题抽象转化为数学问题是本节的重难点，求解关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解．而在考虑约束条件时，除数学概念的条件约束外，还要深入其境、考虑实际意义的约束．4．解线性规划问题的关键步骤是在图上完成的，所以作图尽可能精确，图上操作尽可能规范。
高三第一轮复习数学---直线的方程
高三第一轮复习数学---直线的方程一、 教学目标：1、 理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握由点和斜率导出直线方程和方法；掌握直线方程的点斜式、两点式和直线方程的一般式，确定一条直线需要两个独立的已知量，并能根据条件熟练地求出直线方程或用待定系数法求出直线方程中的未知量。
2、 在运用直线的斜率解题时，注意不要遗漏斜率不存在的情形。
二、教学重点：（1）由直线方程找出斜率与倾斜角；（2）确定斜率与倾斜角的范围；注意交叉，如：k ∈[-1,1],则θ∈⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ,434,0（3）灵活地设直线方程各形式，求解直线方程；⑷ 直线方程的五种形式之间的熟练转化。
三、教学过程：（一）主要知识：（1）倾斜角：在平面直角坐标系中，把x 轴绕直线L 与x 轴的交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角。
当直线和x 轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为00。
故倾斜角的范围是[0，π）。
（2）斜率：不是900的倾斜角的正切值叫做直线的斜率，即k=tan α。
（3）过两点P(x 1,y 1),P(x 2,y 2),(x 1≠x 2)的直线的斜率公式——k=tan α=1212x x y y --（4）直线方程的几种形式：注意：除了一般式以外，每一种方程的形式都有其局限性。
（二）例题分析：例1、直线023cos =++y x α的倾斜角的取值范围是_________。
解:直线地斜率3333cos 33≤≤-⇒-=k k α,⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∴πππα,656,0练习: 直线ax+y+1=0与连接A(2,3)、B(－3,2)的线段相交,则a 的取值范围是( ) A.[－1,2] B.[2,+∞]∪（－∞,－1） C. [－2,1] D. [1,+∞]∪（－∞,－2） 解：直线ax+y+1=0过定点C(0,－1),当直线处在AC 与BC 之间时,必与线段AB 相交,应满足213+≥-a 或312-+≤-a 即2-≤a 或1≥a .选D 。
高三数学一轮复习精品教案2：直线及其方程教学设计
第1课时 直线及其方程考纲传真1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．2．掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0．(2)范围：直线l 倾斜角的范围是『0，π)． 2．斜率公式(1)直线l 的倾斜角为α≠90°，则斜率k ＝tan_α．(2)P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上，且x 1≠x 2，则l 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1．3．直线方程的五种形式名称方程 适用范围 点斜式 y －y 0＝k (x －x 0) 不含直线x ＝x 0 斜截式 y ＝kx ＋b 不含垂直于x 轴的直线两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1不含直线x ＝x 1(x 1≠x 2)和直线y ＝y 1(y 1≠y 2)截距式 x a ＋y b ＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式 Ax ＋By ＋C ＝0， A 2＋B 2≠0平面内所有直线都适用1．(人教A 版教材习题改编)直线3x －y ＋a ＝0的倾斜角为( ) A ．30° B ．60° C ．150° D ．120° 『解析』 k ＝tan α＝3，且0°≤α＜180°，∴α＝60°. 『答案』 B2．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1C ．－2或－1D ．－2或1『解析』 当a ＝0时，直线方程为y －2＝0，不满足题意，所以a ≠0，所以在x 轴上的截距为2＋a a ，在y 轴上的截距为2＋a ，则由2＋a ＝2＋a a，得a ＝－2或a ＝1.『答案』 D3．(2011·安徽高考)若直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心，则a 的值为( )A ．－1B ．1C ．3D ．－3『解析』 圆的方程(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，圆心为(－1，2)． ∵直线过圆心，∴3×(－1)＋2＋a ＝0，∴a ＝1. 『答案』 B4．已知A (3，5)，B (4，7)，C (－1，x )三点共线，则x ＝________． 『解析』 由已知得x －5－1－3＝7－54－3，∴x ＝－3.『答案』 －35．一条直线经过点A (2，－3)，并且它的倾斜角等于直线y ＝13x 的倾斜角的2倍，则这条直线的一般式方程是________，斜截式方程是________．『解析』 ∵直线y ＝13x 的倾斜角α＝30°， 所以所求直线的倾斜角为60°， 又该直线过点A (2，－3)，故所求直线的方程为y －(－3)＝tan 60°(x －2)，即3x －y －23－3＝0，化成斜截式为y ＝3x －23－3. 『答案』3x －y －23－3＝0 y ＝3x －23－3直线的倾斜角和斜率(1) 若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.13 B ．－13 C ．－32 D.23 (2)直线x cos α＋3y ＋2＝0的倾斜角的范围是( ) A ．『π6，π2)∪(π2，5π6』 B ．『0，π6』∪『5π6，π)C ．『0，5π6』D ．『π6，5π6』『思路点拨』 (1)分别设出P 、Q 点的坐标，利用中点坐标公式求解．(2)根据cos α的范围确定直线斜率的范围，结合正切函数图象求倾斜角的范围．『尝试解答』 (1)设P (x ，1)，Q (7，y )， 则x ＋72＝1，y ＋12＝－1， ∴x ＝－5，y ＝－3，即P (－5，1)，Q (7，－3)， 故直线l 的斜率k ＝－3－17＋5＝－13.(2)设直线的倾斜角为θ，则tan θ＝－33cos α， 又cos α∈『－1，1』，∴－33≤tan θ≤33， 又0≤θ＜π，且y ＝tan θ在『0，π2)及(π2，π)上均为增函数，故θ∈『0，π6』∪『56π，π)．『答案』 (1)B (2)B1．解答本例(2)时极易错选D ，出错的原因是忽视了正切函数在『0，π2)和(π2，π)上的变化情况．2．已知倾斜角的范围，求斜率的范围，实质上是求k ＝tan α的值域问题；已知斜率k 的范围求倾斜角的范围，实质上是在『0，π2)∪(π2，π)上解关于正切函数的三角不等式问题．由于函数k ＝tan α在『0，π2)∪(π2，π)上不单调，故一般运用数形结合思想解决此类问题．(2013·郑州质检)直线l 经过点A (1，2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是( )A ．－1＜k ＜15B ．k ＞1或k ＜12C ．k ＞15或k ＜1D ．k ＞12或k ＜－1『解析』 设直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，直线在x 轴上的截距为1－2k. 令－3＜1－2k ＜3，解不等式得k ＜－1或k ＞12.『答案』 D求直线的方程已知点A (3，4)，求满足下列条件的直线方程． (1)经过点A 且在两坐标轴上截距相等；(2)经过点A 且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形． 『思路点拨』 (1)分截距等于0和不等于0两种情况求解． (2)直线的斜率为±1，可由点斜式写出直线方程． 『尝试解答』 (1)设直线在x ，y 轴上的截距均为a .①若a ＝0，即直线过点(0，0)及(3，4) ∴直线的方程为y ＝43x ，即4x －3y ＝0.②若a ≠0，则设所求直线的方程为x a ＋ya ＝1，又点(3，4)在直线上， ∴3a ＋4a ＝1，∴a ＝7， ∴直线的方程为x ＋y －7＝0.综合①②可知所求直线方程为4x －3y ＝0或x ＋y －7＝0. (2)由题意可知，所求直线的斜率为±1， 又过点(3，4)．由点斜式得y －4＝±(x －3)，所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0.,1．截距不是距离，它可正、可负、可为0，因此在解与截距有关的问题时，一定要注意“截距为0”的情况，以防漏解．2．求直线方程的一种重要方法就是先设直线方程，再求直线方程中的系数，这种方法叫做待定系数法，运用此方法，注意各种形式的适用条件，选择适当的直线方程的形式至关重要．(1)求过点A (1，3)，斜率是直线y ＝－4x 的斜率的13的直线方程．(2)求经过点A (－5，2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程． 『解』 (1)设所求直线的斜率为k ，依题意 k ＝－4×13＝－43.又直线经过点A (1，3)，因此所求直线方程为y －3＝－43(x －1)，即4x ＋3y －13＝0.(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为x 2a ＋ya ＝1，将(－5，2)代入所设方程，解得a ＝－12，此时，直线方程为x ＋2y ＋1＝0. 当直线过原点时，斜率k ＝－25，直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.故所求直线方程为x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0.直线方程的应用图8－1－1已知直线l 过点P (3，2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，如图8－1－1所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．『思路点拨』 本题中条件与截距有关，可设直线方程为截距式，也可根据直线过点P (3，2)，把直线方程设为点斜式，然后求出横纵截距．『尝试解答』 法一 设直线l 的方程为x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)，则A (a ，0)，B (0，b )，△ABO 的面积S ＝12ab ，∵直线l 过点P (3，2)， ∴3a ＋2b＝1≥2 6ab，即ab ≥24. 当且仅当3a ＝2b，即a ＝6，b ＝4时取等号．∴S ＝12ab ≥12，当且仅当a ＝6，b ＝4时有最小值12.此时直线l 的方程为x 6＋y4＝1，即2x ＋3y －12＝0.法二 设直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k ＜0)． 令x ＝0，得y ＝2－3k ，令y ＝0，得x ＝3－2k ，即A (3－2k，0)，B (0，2－3k )．∴S △ABO ＝12(2－3k )(3－2k )＝12『12＋(－9k )＋4（－k ）』≥12『12＋2 （－9k ）·4（－k ）』＝12×(12＋12)＝12. 当且仅当－9k ＝4－k时， 即k ＝－23时，等号成立．即△ABO 面积的最小值为12.故所求直线的方程为2x ＋3y －12＝0.,1．解答本题的关键是面积最小值的求法，两种解法都使用了均值不等式，仔细体会法一中的解法．2．利用直线方程解决问题，为简化运算可灵活选用直线方程的形式：一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截距选择截距式．在本例条件下，求l 在两轴上的截距之和最小时直线l 的方程．『解』 设l 的斜率为k (k ＜0)，则l 的方程为y ＝k (x －3)＋2， 令x ＝0，得B (0，2－3k )；令y ＝0，得A (3－2k ，0)．∴l 在两轴上的截距之和为2－3k ＋3－2k ＝5＋『(－3k )＋(－2k )』≥5＋26，(当且仅当k ＝－63时，等号成立)， ∴k ＝－63时，l 在两轴上截距之和最小， 此时l 的方程为6x ＋3y －36－6＝0.一条规律斜率k是一个实数，当倾斜角α≠90°时，k＝tan α.直线都有倾斜角，但并不是每条直线都存在斜率，倾斜角为90°的直线无斜率．两种方法求直线方程的方法：(1)直接法：根据已知条件选择恰当的直线方程形式，直接求出直线方程．(2)待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件中构造关于待定系数的方程(组)．求出待定系数，从而求出直线方程．三点注意1.求直线的倾斜角时要注意其范围．2．应用“点斜式”和“斜截式”方程时，要注意讨论斜率是否存在．3．应用截距式方程时要注意讨论直线是否过原点．直线的倾斜角与斜率、直线方程一般不单独考查，多与导数、圆、圆锥曲线等其他知识点交汇命题，结合直线的斜率与方程，考查其他曲线的综合应用．考查转化思想及数形结合思想的应用．思想方法之十五转化思想在直线方程中的应用(2012·北京高考)某棵果树前n年的总产量S n与n之间的关系如图8－1－2所示．从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，m值为()图8－1－2A ．5B ．7C ．9D ．11『解析』 依题意S nn 表示图象上的点(n ，S n )与原点连线的斜率，由图象可知，当n ＝9时，S nn 最大，故m ＝9.『答案』 C易错提示：(1)本题出错主要原因是不能将问题转化为图象上的点与原点连线的斜率问题．(2)题意理解不清、盲目作答．防范措施：(1)正确理解和掌握斜率公式的结构特征，并灵活应用． (2)提高分析问题、解决问题的能力，注意文字、图形、符号间转化．1．(2013·烟台模拟)已知{a n }是等差数列，a 4＝15，S 5＝55，则过点P (3，a 3)，Q (4，a 4)的直线斜率为( )A ．4 B.14 C ．－4 D ．－14『解析』 ∵{a n }为等差数列，a 4＝15，S 5＝55， ∴a 1＋a 5＝22，∴2a 3＝22，∴a 3＝11， ∴k PQ ＝a 4－a 34－3＝4.『答案』 A2．(2013·江门模拟)如果A ·C <0，且B ·C <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 『解析』 由题意知A ·B ·C ≠0， 直线方程变为y ＝－A B x －CB .∵A ·C <0，B ·C <0，∴A ·B >0， ∴其斜率k ＝－AB <0，又y 轴上的截距b ＝－CB >0.∴直线过第一、二、四象限． 『答案』 C。
第一轮复习----直线方程学案
平面解析几何——直线方程与圆锥第一讲：直线的斜率和直线方程的几种形式一、【概念与公式】1、两点间距离公式：两点()11,y x A ，()22,y x B ，则AB =____________________________；2、中点坐标公式：两点()11,y x A ，()22,y x B ，则中点坐标为____________________________；3、倾斜角：平面直角坐标系中，x 轴 与直线 的方向所成的角叫做直线的倾斜角。
当直线与x 轴平行或重合时，直线的倾斜角为____；（2）倾斜角的范围是 ；4、直线方程的5种形式：5、求直线斜率的几种方法：已知直线l 的倾斜角α及直线上任意两点()11,y x A ，()22,y x B ，（1）定义式：k= ( ) （2）两点法： ( ) （3）斜截式：y kx b =+( )(4)点斜式：)(11x x k y y -=-（ ） （5）一般式：0=++C By Ax ;k= （6）平行式：1l ∥⇒2l （7）垂直式：⇔⊥21l l 6、倾斜角与斜率的关系：○1当︒=0α时，k ________；○2当︒=90α时，直线与x 轴_________，k ________； ○3当︒<<︒900α时，k ___ ，此时，随着α增大，k 值________； ○4当︒<<︒18090α时，k ________，此时，随着α增大，k 值________；【基础自测1】1、已知两点A （6，2），B （-2，8），则AB =_______，AB 的中点坐标为____________；2、倾斜角为︒60的直线的斜率k =___________；3、经过)3,5(),0,2(--B A 两点的直线的斜率k=______________；4、过点（2，1），1-=k 的直线l 方程为____________________________；5、在y 轴上的截距为1，且3=k 的直线l 方程为____________________________；6、过点()1,2-和()3,3-的直线l 方程为____________________________；7、在x 轴、y 轴上的截距分别为―2和3的直线l 方程为______________________； 8、根据下列直线方程，分别写出各直线的斜率k ： （1）12+=-x y ，=k _______；（2）34+-=x y ，=k _______； （3）)2(34-=+x y ，=k _______；（4）352-=x y ，=k _______； 【典型例题】例1 已知点A （1，2），B （3，4），C （5，0），且点D 是AB 中点，E 是BC 中点。
直线的方程课件高三数学一轮复习
思考题 2 (1)已知直线 l 的一个方向向量为 n＝(2，3)，若 l 过点 A(－
4，3)，则直线 l 的方程为( )
A．y－3＝－32(x＋4)
B．y＋3＝32(x－4)
√C．y－3＝23(x＋4)
D．y＋3＝－32(x－4)
【解析】 方法一：因为直线 l 的一个方向向量为 n＝(2，3)， 所以直线 l 的斜率 k＝32， 故直线 l 的方程为 y－3＝32(x＋4)．
状元笔记
1．求直线倾斜角取值范围的步骤 (1)求出斜率 k 的取值范围(若斜率不存在，则倾斜角为 90°)． (2)利用正切函数的单调性，借助图象或单位圆确定倾斜角的取值范围． 2．求直线斜率的方法
(1)定义法(k＝tan α)．(2)公式法k＝yx22－ －yx11.
(3)导数法(曲线 y＝f(x)在 x0 处的切线的斜率为 k＝f′(x0))．
直线的斜率
(1)定义：一条直线的倾斜角 α 的__正__切__值__叫做这条直线的斜率，斜率常
用小写字母 k 表示，即 k＝__t_an__α___，倾斜角是 90°的直线没有斜率．
(2)过两点的直线的斜率公式
y2－y1
经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为 k＝_x_2_－__x1___．
不含直线 x＝x1 和直线 y ＝y1
截距式 x 轴上的非零截距 a 与 y 轴 上的非零截距 b
ax＋by＝1
不含垂直于坐标轴和过 原点的直线
一般式
—
Ax＋By＋C＝0(A2＋ 所有直线都适用 B2≠0)
夯实双基
1．判断下列说法是否正确(打“√”或“×”)． (1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．
新课标高三数学第一轮复习直线和圆的方程详细教案
高三数学第一轮复习直线和圆的方程详细教案知识结构第一节直线的倾斜角和斜率学习目标1．了解直线的方程、方程的直线的定义；2．掌握直线的倾斜角、直线的斜率的定义及其取值范围；3．掌握过两点的直线的斜率公式，会运用公式求出有关直线的斜率和倾斜角．重点难点本节重点：正确地理解斜率的概念，熟练地掌握已知直线上两点求直线斜率的公式，这是学好直线这部分内容的关键．本节难点：正确理解直线倾斜角定义中的几个条件，如直线与x轴相交与不相交，按逆时针方向旋转、最小正角等．求倾斜角时，要特别注意其取值范围是高考中，由于本节内容是解析几何成果中最基础的部分，一般是隐含在综合题中进行考查．典型例题【分析】【解】【点评】【分析】【解】【点评】【解法一】代数方法：套两点斜率公式．【解法二】【点评】“解析几何的特点之一是数形结合，数无形时少直观，形无数时难入微．”在学习数学时，应该记住华罗庚的这段话．教材上还涉及证明三点共线的练习题，怎样证明三点共线呢？请看下面例4．【分析】证明三点共线，可以用代数方法、几何方法，可以用直接证法、间接证法，你能想出至少一个方法吗？下面是同学们讨论出的几种证法供参考．【证法一】【证法二】【证法三】第二节直线的方程学习目标掌握直线方程的点斜式、两点式、参数式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线的方程式．重点难点本节重点：直线方程的点斜式和一般式，点斜式是推导直线方程其他形式的基础，一般式是直线方程统一的表述形式．本节难点：灵活运用直线方程的各种形式解题．在高考中几乎每年都要考查这部分内容，题型以选择题、填空题居多．典型例题【分析】关键是确定直线方程中的待定系数．【解】【点评】学习直线的方程常犯的错误是忽略方程各种形式的应用条件，因此造成丢解．本例中各个小题均为两解，你做对了吗？第（4）小题的解法一要用到下节学到的公式，解法二用到课外知识，供有兴趣的同学欣赏．【解法一】【解法二】【解法三】【点评】灵活运用直线方程的各种形式，常常要和平面几何的有关知识相结合．本题还有别的解法，不再一一列举．【解法一】【解法二】【解法三】【证明】【点评】【分析】【解法一】【解法二】【解法三】【点评】第三节两条直线的位置关系学习目标1．掌握两条直线平行与垂直的条件，以及两条直线的夹角和点到直线的距离公式．2．能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．重点难点本节重点：两条直线平行与垂直的条件，点到直线的距离公式．本节难点：了解解析几何的基本思想，并用解析几何方法研究角．在高考中，两条直线的位置关系几乎年年必考，常常单独出现在选择题和填空题中，或作为综合题的一部分出现在解答题中．典型例题学习了本节以后，应该对两条直线平行与垂直的充要条件，怎样求直线的斜率、距离与角有哪些公式等问题进行归纳小结，以便提纲挈领地掌握有关知识，并灵活运用这些知识解决问题．1．两条直线平行、垂直的充要条件是什么？答：2．怎样求直线的斜率？答：3．距离和角有哪些公式？能灵活运用吗？答：【解】用下面的例题检验是否理解和掌握了以上这些内容．1．两条直线的位置关系【解】2．两条直线所成的角【解】【解法一】【解法二】3．有关交点的问题（A）1 （B）2 （C）3 （D）4【解法一】【解】【解法二】4．点到直线的距离【错误的解】【正确的解】【解法一】【解法二】【解法三】【解法四】第四节简单的线性规划学习目标1．了解用二元一次不等式表示平面区域．2．了解线性规划的意义，并会简单的应用．重点难点典型例题学习了简单的线性规划以后，常见的题型是用二元一次不等式表示平面区域，以及用线性规划的知识来解决一些简单的问题．下面的例题可检验是否掌握了这些内容．1．二元一次不等式表示的区域【分析】【解】【点评】例2 试讨论点线距离公式中，去掉绝对值符号的规律？【分析】【解】【点评】2．线性规划初步例3钢管长11.1米，需要截下1.5米和2.5米两种不同长度的小钢管，问如何截取可使残料最少？【分析】关键是利用约束条件，列出线性目标函数．【解】【评析】例4 用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有（）．（A）5种（B）6种（C）7种（D）8种【解法一】【解法二】【解法三】列表数点．故选（C）．【点评】本题为1999年全国高考试题第14题，难度系数0.47．如果有利用二元一次不等式表示平面区域的知识，此题将不再困难．【分析】甲的解法错误，错在（1）、（2）（3）、（4），反之不行，用必要不充分条件代替原条件，使解的范围扩大，[6，10]是[5，11]的子集．乙的解法正确．本题数形结合，利用本节的知识还可以有以下的解法．【解】【点评】第六节曲线和方程学习目标1．掌握曲线的方程、方程的曲线等概念．2．了解解析几何的基本思想和解析法，学习运动变化、对立统一等辩证唯物主义思想．重点难点本节重点：了解曲线的点集与方程的解集之间的一一对应关系，从而掌握曲线的方程和方程的曲线这两个重要概念，并掌握由曲线的已知条件求方程的方法和步骤，熟悉解析法．本节难点：理解曲线和方程的概念，以及求曲线的方程的方法．在高考中，曲线和方程常是重点考查的内容，出现在解答题中．典型例题学习了本节后主要要掌握求曲线的方程的步骤，以及用解析法解题的步骤，以下归纳供参考．求曲线的方程的步骤是：一建--选取适当的点和直线，建立坐标系；二设--设曲线上点，以及利用已知条件设出其他有关点的坐标等；三列式--根据动点符合的条件，列出含、的方程0；四化简--化方程0为最简形式；五证明--证曲线上点的坐标都是方程的解，以这个方程的解为坐标的点都在曲线上（这一步不要求写出）．解析法的主要步骤是：一建--建立适当的坐标系．建系原则是使已知条件好用，使表达式简明，运算简便．因此，尽量利用已知点和已知直线；二设--选取一组基本量，用字母表示出题目涉及的点的坐标和曲线的方程；三算--通过运算，得到所要的结果．用以下例题检验是否理解和掌握了这些内容．1．怎样求轨迹方程【解法一】【解法二】【点评】【错误解法】【正确解法】【点评】【解法一】【解法二】【点评】2．解析法与综合法【证法一】【证法二】【证法三】【证法四】【点评】不同证法，以解析法较简便，复数将在高三年级学习，这里的证法实质和解析法一样，不过是换个说法．【分析】【解】【点评】解析法与综合法的特点，从中你体会到了吗？解析法的优点是程序固定（一建二设三算），操作简便，但一般运算量较大；综合法的优点是思路灵活，但如何添加辅助线不易掌握．【解法一】【解法二】【解法三】【解法四】【点评】“是否可以用代数中的计算过程代替几何中的证明？”“让代数和几何中一切最好的东西互相取长补短”等是笛卡儿创立解析几何的初衷．解析几何既然是用代数方法来研究几何对象的特征和性质，当然对运算能力要求较高．运算能力是一种计算化了的推理能力，是逻辑思维能力与计算知识、方法、技能和技巧的结合．在解析几何中，如果不注意运算方法上的特点和技能，就可能陷入有思路但算不出或很难算出正确结果的窘境，如本题的思路一、二．解析几何中常用的运算方法和技能是：①注意利用平面几何知识，如思路四；②不忘利用定义，尤其是圆锥曲线的定义解题；③充分利用一元二次方程根与系数的关系，并不忘对判别式的要求，如思路三；④合理利用曲线系；⑤数形结合，依形判数，就数论形；⑥灵活运用字母的可轮换性，减少同类量的重复运算．以上方法和技能，要在实际解题中逐步掌握．第七节圆的方程学习目标1．掌握圆的标准方程和一般方程，理解圆的参数方程．2．初步了解直线和圆中反映出的运动变化、对立统一等辩证思想和观点．重点难点本节重点：圆的标准方程、一般方程、参数方程及其相互转化．本节难点：直线和圆的综合运用．在高考中，圆的方程在选择题、填空题、解答题等各类题型中出现．本节要掌握三种类型的问题，之一是求圆的方程，之二是直线和圆的综合题，之三是应用直线和圆的知识解决一些问题．1．圆的方程有哪些形式？典型例题用下面的例题检验是否理解和掌握了圆的方程的三种形式：【解法一】【解法二】【解法三】【点评】怎样求圆的方程？这三条思路具有典型意义．【解法一】【解法二】【点评】【解法一】【解法二】【点评】【分析】关键确定圆心坐标和半径．【解】【点评】本题为1997年全国高考理科第25题，难度系数0.20．难在什么地方呢？第一文字叙述较长，有同学读不懂题；第二涉及众多知识，有同学不会运用；第三丢解，忽略了不同的位置关系．会不会用知识和怎样用知识，是一个人有没有能力和能力高低的重要标志，努力吧！2．直线和圆综合题【分析】【解】【点评】【解法一】【解法二】【分析】【点评】【解】【点评】【解法一】【解法二】【点评】分类是自然科学的基本方法，数学中的分类讨论的思想方法，就是依据数学对象的共同点和差异点，将其区分为不同种类，分类讨论并归纳结论，这一思想方法，在近代数学和现代数学中占有重要地位，是应该学习和掌握的重要思想方法．3．怎样利用直线和圆的知识解题？【分析】数形结合，将代数式或方程赋予几何意义．【解】【点评】从“数”中认识“形”，从“形”中认识“数”，数形结合相互转化，是数学思维的基本方法之一．“数学是一个有机的统一体，它的生命力的一个必要条件是所有的各个部分不可分离地结合．”（希尔伯特）数形结合的思维能力不仅是中学生的数学能力、数学素养的主要标志之一，而且也是学习高等数学和现代数学的基本能力．本题是利用直线和圆的知识求最值的典型题目．【解法一】【解法二】【解法三】【点评】。
直线的方程课件 高三数学一轮复习
解析：如图所示：
当直线l过B时设直线l的斜率为k1，
则k1＝
3−0＝－0−13， Nhomakorabea当直线l过A时设直线l的斜率为k2， 则k2＝12−−01＝1，
∴要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(－∞，－ 3] ∪
1， + ∞ ．
题后师说
(1)由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由斜率的取值范围 求 π)上直的线单倾调斜性角求的解取，值这范里围特时别，要常注借意助，正正切切函函数数y＝在ta[0n，x在π2)[∪0，(π2，π2)π∪)上(π2 ， 并不是单调的．
课堂互动探究案
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算 公式．
2．根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜 式、两点式及一般式)．
问题思考·夯实技能 【问题1】 直线的倾斜角越大，斜率越大对吗？
答案：不对．设直线的倾斜角为α，斜率为k.
【问题2】
在平面直角坐标系中，给定直线l上一个定点P0(x0，y0)和斜率k，则 直线l上不同于该定点的任意一点P(x，y)的横坐标x与纵坐标y所满足 的关系式是什么？
公共点，则直线l斜率的取值范围为__[13_，___3_]_．
解析：∵P(－1，0)，A(2，1)，B(0， 3)， ∴kPA＝2−1−−01 ＝13，kPB＝0−3−−01 ＝ 3. 由图可知，直线l的斜率k的取值范围为[13 ， 3].
【变式练习】 若本例(2)中“P(－1，0)”改为“P(1，0)”，其他 条件不变，则直线l的斜率的取值范围为__(－__∞__，_－___3_]_∪__1_，__+__∞__．
题后师说
求直线方程的两种方法 (1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式． (2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待 定的系数，再由题设条件求出待定系数．
高三复习--直线方程教案
数学课程教案科目数学章节直线方程授课题目（教学章、节或主题）：直线方程教学目的、要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）：1、通过本次课的学习初步建立学习的信心。
2、掌握直线方程的基本表达式。
3、直线方程的简单应用。
教学重点及难点：直线方程的简单应用。
教学基本内容方法及手段1、高三复习八大诀窍2、直线方程的五种基本表达式。
3、直线方程简单应用。
1、讲授法2、讨论法3、练习法作业、讨论题、思考题：见发给学生试卷。
课后小结：通过本次课的学习，学生掌握了直线方程的5种基本表达式及简单应用。
附页：教学内容高三第一轮复习8大诀窍高考(论坛)是大家学习中的重要环节，甚至可以说是每一位学生一生中的一个重要“关口”，而要顺利通过这个关口，高三一年的学习是至关重要的。
高考虽然是通过一次考试来选拔人才，但它绝不仅仅是一次知识上的考察，而是对学生高中三年，以至于进入学校十几年来的综合能力的检验。
高三的学习不同于高一、高二学习，他不是高一、高二的知识重复，而是基础知识的重组和提高，如何顺利完成高三一年的学习，不仅是每一位高三学生，也是学生家长迫切想知道的，下面是给同学的一些建议，希望能对同学在高三的学习过程中较好的处理各种困难，顺利进入高等学校。
1．关于“听话”高三学生首先要做到“听话”，这里的“听话”是全方位的。
如果你认为高三学习是第一位的，而忽视了对自己的日常行为的要求，那你就错了，学校和老师在高三一年中不会因为学习任务的加重，而放松对纪律的要求，反而会强化纪律以保证学习的正常进行。
学习上更要听话，而不听老师的教诲，认为自有一套很好的复习方法的学生（每年都有）最后会碰的“头破血流”的。
2．关于“上课”高考是个人行为，也是集体行为，复习中最重要的环节就是“听讲”，这就要求学生上课时紧跟老师，仔细听讲，积极思考，倾听别人的想法，提出自己的见解，在讨论中完成对知识、方法、能力的提高。
如果高三任课教师发生变化，大家应该尽快适应。
高考数学一轮总复习第七章解析几何第1讲直线的方程课件理
方法二，设直线(zhíxiàn) l 的方程为 y－2＝k(x＋1)， 即 kx－y＋k＋2＝0，直线(zhíxiàn) l 与线段 AB 有公共点， 则点 A，B 在直线(zhíxiàn) l 的两侧(或在直线(zhíxiàn)上)，
即(－k＋5)(4k＋2)≤0，解得 k≤－12或 k≥5.
中点 M 的坐标为(x，y)，则x＝
2 y1＋y2
，
y＝
2
.
第七页，共36页。
1.(教材改编题)直线 x＋ 3y＋m＝0(m∈k)的倾斜角为( C )
A.30°
B.60°
C.150° D.120°
2.(教材改编题)已知直线 l 过点 P(－2,5)，且斜率为－34，则
直线(zhíxiàn) l 的方A程)为(
ax＋by＝1(ab≠0)
不含垂直于坐标轴和过原点 的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0 平面直角坐标系内的直线都 (A，B不同时为零) 适用
第五页，共36页。
4.过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线(zhíxiàn)方程 (1)若x1＝x2，且y1≠y2时，则直线(zhíxiàn)垂直于x轴，方程为
联立3a＋4b＝1 和 a＝2b，解得 a＝11，b＝121，即得直线方程.
第二十页，共36页。
答案(dáàn)：(1)4x－3y＝0 或 x＋y－7＝0 (2)x－y＋1＝0 或 x＋y－7＝0 (3)x＋2y－11＝0
第二十一页，共36页。
考点(kǎo直di线ǎn方) 程3 (fāngchéng)的综合应用
第二十三页，共36页。
当且仅当2a＝1b＝12，即 a＝4，b＝2 时，S△AOB 取最小值 4. 此时直线 l 的方程为4x＋2y＝1，即 x＋2y－4＝0. (2)由2a＋1b＝1，得 ab－a－2b＝0，即(a－2)(b－1)＝2. |PA|·|PB|＝ 2－a2＋1－02· 2－02＋1－b2 ＝ [2－a2＋1]·[1－b2＋4] ≥ 2a－2·4b－1＝4. 当且仅当 a－2＝1，b－1＝2，即 a＝3，b＝3 时，
高三数学复习教案：高考数学直线的方程复习教案
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本文题目：高三数学复习教案：高考数学直线的方程复习教案【考点及要求】：1.掌握直线方程的各种形式，并会灵活的应用于求直线的方程.2.理解直线的平行关系与垂直关系, 理解两点间的距离和点到直线的距离.【基础知识】：1.直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式不含直线x=x1斜截式不含垂直于x=轴的直线两点式不含直线x=x1(x1x2)和直线y=y1(y1y2)截距式不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式平面直角坐标系内的直线都适用2.两条直线平行与垂直的判定3.点A 、B 间的距离：= .4.点P 到直线：Ax+Bx+C=0的距离：d= .【基本训练】：1.过点且斜率为2的直线方程为, 过点且斜率为2的直线方程为, 过点和的直线方程为, 过点和的直线方程为.2.过点且与直线平行的直线方程为.3.点和的距离为.4.若原点到直线的距离为,则.【典型例题讲练】例1.一条直线经过点,且在两坐标轴上的截距和是6,求该直线的方程.练习.直线与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1,求的取值范围.例2.已知直线与互相垂直,垂足为,求的值.练习.求过点且与原点距离最大的直线方程.【课堂小结】【课堂检测】1.直线过定点.2.过点,且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是.家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，孩子一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。
我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情况及时传递给家长，要求孩子回家向家长朗诵儿歌，表演故事。
我和家长共同配合，一道训练，幼儿的阅读能力提高很快。
3.点到直线的距离不大于3,则的取值范围为.4.直线, ,若,则.“师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。
高三数学高考一本通解析几何第一轮复习第一课时 直线的方程教案
芯衣州星海市涌泉学校第一课时直线的方程【考点诠释】：理解直线斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，纯熟掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式以及直线方程的一般式，能根据条件求出直线的方程。
直线方程是解析几何的根底，高考中常以小题形式出现，考察倾斜角和斜率的关系、直线方程的求法；有时作为大题的一部分，设方程、求直线。
【知识整合】：1.直线的倾斜角：在直线坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，假设把x轴绕着交点按方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做，其中00≤α<18002.斜率：倾斜角不是900的直线，它的倾斜角的叫做这条直线的斜率，常用k表示：k=.3.经过P1(x1,y1)、P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率k=.4.【根底再现】：1.过点A(-2,m2)和B(m,4)的直线的斜率是－1，那么直线的倾斜角是；实数m的值是。
2.直线2x+y+3=0的倾斜角为α，那么α=。
3.过点(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是。
4.设a+b=k 〔为不对于0的常数〕，那么直线ax+by=1恒过定点，那么该定点的坐标是。
【例题精析】：例1． 两点A(m,2),B(3,1)，求直线AB 的斜率与倾斜角以及倾斜角的范围。
例2． 直线L 过点M(2,1)，且分别交x 轴、y 轴的正半轴于点A 、B ，O 为坐标原点。
〔1〕当△AOB 的面积最小时，求直线L 的方程；〔2〕当|MA|•|MB|取最小值时，求直线L 的方程。
例3． 设直线L 的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a ∈R),(1)假设L 在两坐标轴上的截距相等，求L 的方程；(2)假设L 不经过第二象限，务实数a 的取值范围。
例4． 设直线L 的方程是2x+By-1=0,倾斜角为α.(1)试将α表示为B 的函数；(2)假设6π<α<32π，试求B ∈(-∞,-2)⋃(1,+∞)的取值范围；(3)假设B ∈(-∞,-2)⋃(1,+∞)，求α的取值范围。
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课 题： 直线的方程教学内容： 直线的倾斜角和斜率．直线方程的点斜式和两点式、直线方程的一般式。
教学目的： 理解直线斜率的概念，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程。
教学重点： 根据条件熟练地求出直线方程。
教学过程： 一、知识概要教学要求：理解直线斜率的概念，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程。
知识点1 直线的倾斜角对于一条与X 轴相交的直线，如果把X 轴绕着直线与X 轴的交点按逆 时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。
学法指导：在这个概念中，应清楚定义中所含有的三个条件：直线的向上方向；x 轴的正方向；小于平角的最小正角．也可以用运动变化观点来看：直线的倾斜角是由x 轴按逆时针方向旋转到直线时所成的最小正角． 当直线L 与X 轴平行或重合时,α=0°；直线L 与X 轴垂直时,α=90°。
所以倾斜角的范围是0°≤α<180°. 知识点2 直线的斜率倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用K 表示即K=tanα (α≠2π); α=2π时, 斜率K 不存在。
学法指导：(1)斜率是一个数值，结合正切函数y=tanx 在[0, π)（不包括2π）时的单调性，直线的倾斜角α与斜率k 之间的关系如下表：(或范围),求直线斜率的值(或范围),关键是利用正切函数y=tanx 在[0, π)（不包括2π）时的图象求解.(3) 在直线的所有的问题中,只要涉及到斜率的问题,一定要讨论斜率存在与不存在两种情况. (4) 直线的方向向量：设F 1（x 1，y 1）、F 2（x 2，y 2）是直线上不同的两点，则向量21F F =（x 2－x 1，y 2－y 1）称为直线的方向向量。
向量121x x -21F F =（1，1212x x y y --）=（1，k ）也是该直线的方向向量，k 是直线的斜率。
特别地，垂直于x 轴的直线的一个方向向量为a＝(0,1) 知识点3 经过两点的直线的斜率公式经过两点P 1(x 1, y 1)、P 2(x 2, y 2)的直线的斜率公式k=1212x x y y --．学法指导：（1）斜率公式表明，直线相对于x 轴的倾斜程度，可以通过直线上任意两点的坐标表示，比使用几何的方法求出倾斜角再求斜率的方法方便；（2）斜率公式与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的前后次序可以同时调换． 知识点4 直线的方程和方程的直线一般地，一个方程的解和一条直线上的点存在着这样的对应关系： (1) 以这个方程的解为坐标的点都是这条直线上的点；(2) 反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解。
这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线就叫做这个方程的直线。
学法指导：在这个概念中，我们要明确方程的解与直线上点的坐标的关系含有两重意思：（1）以方程的解为坐标点是否在直线上；（2）直线上点的坐标是否是方程的解，即代入方程是否成立． 这两点都具备了，直线就是方程的直线，方程就是直线的方程．知识点5 直线方程的点斜式若直线l 经过点P 1(x 1, y 1)，且斜率为k ，则直线l 的方程为：y-y 1=k(x-x 1)．学法指导：（1）要注意到11x x y y --=k 与y-y 1=k(x-x 1)是不同的，前者表示的直线上缺少一个点P 1(x 1, y 1)，后者才是整条直线的方程．（2）经过点P 1(x 1, y 1)的直线有无数条，可分为两类：斜率存在的直线方程为:y-y 0=k(x-x 0);斜率不存在的直线方程为:x=x 1．知识点6 直线方程的斜截式已知直线l 的斜率是k ，与y 轴的交点是P(0, b)，则直线l 的方程为：y=kx+b.学法指导：（1）我们称b 为直线l 在y 轴上的截距．一般地，直线l 与y 轴（或x 轴）交点的纵坐标（或横坐标）叫做直线l 在y 轴（或x 轴）上的截距，简称为纵截距（或横截距）．截距可取一切实数，即可为正数、零、负数．（2）经过点P(0, b)的直线有无数条，可分为两类：斜率存在的直线：方程为：y=kx+b;斜率不存在的直线：方程为x=0。
知识点7 直线方程的两点式直线l 经过两点P 1(x 1, y 1)、P 2(x 2, y 2) (x 1≠x 2)，则直线l 的方程为：121121x x x x y y y y --=--学法指导：当直线没有斜率(x 1=x 2)或斜率为零(y 1=y 2)时，不能用两点式121121x x x x y y y y --=--求出它的方程。
也就是若x 1=x 2, y 1≠y 2，则直线可表示为x=x 1；若y 1=y 2, x 1≠x 2，则直线可表示为y=y 1． 但把两点式化为整式形式：(x 2-x 1)(y-y 1)=(y 2-y 1)·(x-x 1)，就可以利用它来求出过平面内任意两个已知点的直线的方程：知识点8 直线方程的截距式已知直线l 与x 轴的交点为(a, 0)，与y 轴的交点为(0, b)，其中a≠0, b≠0，则直线l 的方程为：1=+b y a x.学法指导：截距式方程不能表示过原点的直线，以及与坐标轴平行的直线．因为写出方程的条件是a≠0, b≠0，即两个非零的截距。
知识点9 直线方程的一般形式（1）任何直线的方程都可以写成关于x, y 的一次方程．（2）任何关于x, y 的一次方程都表示一条直线．我们把方程Ax+By+C=0 (其中A 、B 不全为零) 叫做直线方程的一般式．学法指导：两个独立的条件可确定直线的方程．解题时，如果没有特殊说明应把最后结果化为一般式． 知识点10 直线系的概念一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合，称为直线系，它的方程叫做直线系方程.学法指导：几种常见的直线系： 过定点的直线系（1）直线y=kx+b （其中k 为参数，b 为常数）．它表示过定点(0, b)的直线系，但不包括y 轴（即x=0）． （2）经过定点M(x 0, y 0)的直线系y-y 0=k(x-x 0)（k 为参数）．它表示经过定点(x 0, y 0)的直线系，但不包括垂直于x 轴的那一条（即x=x 0）． 已知斜率的直线系（1）y=kx+b (k 为常数，b 为参数)，它表示斜率为k 的平行直线系．（2）若已知直线l ：Ax+By+C=0，与l 平行的直线系为Ax+By+m=0 (m 为参数且m≠C)． （3）若已知直线l ：Ax+By+C=0，与l 垂直的直线系为Bx-Ay+n=0(n 为参数)． 经过两条直线交点的直线系经过两直线l 1：A 1x+B 1y+C 1=0 (A 21+B 21≠0)与l 2：A 2x+B 2y+C 2=0 (A 22+B 22≠0)交点的直线系为m(A 1x+B 1y+C 1)+n(A 2x+B 2y+C 2)=0（其中m 、n 为参数，m 2+n 2≠0）．当m=1, n=0时，方程即为l 1的方程；当m=0, n=1时，方程即为l 2的方程．上面的直线系可改写成(A 1x+B 1y+C 1)+λ(A 2x+B 2y+C 2)=0（其中λ为实数），但是，方程中不包括直线l 2，这个参数方程形式在解题中常用．二、典例解析例1 求经过A(3, m)、B(m 2+1, 2)两点的直线的斜率k 和倾斜角α．解：当m 2+1=3，即m=±2时，斜率k 不存在，倾斜角2πα=；当m 2+1≠3，即m≠±2时，k=222--mm ；当tanα=k=222--mm ≥0，即m<-2或2<m≤2时，α=arctan222--mm ；当tanα=k=222--mm <0时，即-2<m<2或m>2时，α=π-arctan222--mm .指出：当A(x 1, y 1)、B(x 2, y 2)两点的连线垂直于x 轴，即x 1=x 2时，直线斜率k 不存在，因此要根据m 2+1与3是否相等进行分类讨论．例2 已知两点A （-3，4） B （3，2），过点P （2，-1）的直线L 与线段AB 有公共点. （1）求直线L 的斜率K 的取值范围。
（2）求直线L 的倾斜角α的取值范围。
解：如图所示, 由题可知, K PA =23)1(4----=-1 K PB =23)1(2---=3.（1）要使直线L 与线段AB 有公共点，则直线L 的斜率K 的取值范围是 K≤-1或K≥3；（2）由题可知直线L 的倾斜角介于直线PB 与PA 的倾斜角之间，又PB 的倾斜角是arctan3，PA 的倾斜角是43π。
∴α的取值范围是arctan3≤α≤43π.例3 过点A(0, 1)作一直线l ，使它夹在直线l 1：x-3y+10=0和l 2：2x+y-8=0间的线段被A 点平分，试求直线l 的方程．解：设直线l 分别交l 1，l 2于点P(m, n)和Q(a, b)，则由A 为PQ 的中点，可得a=-m, b=2-n ．即点Q 坐标为(-m, 2-n)．又点P 在l 1上，则m-3n+10=0 ①， 同理，点Q 在l 2上，则2m+n+6=0 ②． 由①，②可得⎩⎨⎧=-=.2,4n m ∴P(-4, 2)．过A(0, 1)和P(-4, 2)，利用两点式可得40121---=--x y ．∴直线方程为x+4y-4=0．方法二：设所求直线方程为y=kx+1，解方程组⎩⎨⎧+==+-.1,0103kx y y x 得点P )13110,137(---k k k ．解方程组⎩⎨⎧+==-+.1,082kx y y x 得点Q )228,27(k k k +++．由A 为PQ 的中点，由中点坐标公式有0227137=++-k k ，得k=-41。
由点斜式可得直线方程为y=-41x+1. ∴所求直线方程为x+4y-4=0．指出：待定系数法是求曲线方程的重要方法,待定系数法求方程的步骤是：① 设所求直线方程的某种形式； ②由条件建立所求参数的方程（组）； ③ 解这个方程（组）求出参数； ④把参数的值代入所设的方程． (要善于根据条件，合理选用直线方程的形式也非常重要).例4 已知点P 到两个定点M （－1，0）、N （1，0）距离的比为2，点N 到直线PM 的距离为1，求直线PN 的方程．解：设点P 的坐标为（x ，y ），由题设有2||||=PN PM ，即2222)1(2)1(y x yx +-⋅=++．整理得 x 2+y 2－6x +1=0．① 因为点N 到PM 的距离为1，|M Ｎ|＝2，所以∠PMN ＝30°，直线PM 的斜率为±33，直线PM 的方程为y =±33（x ＋1）． ② 将②式代入①式整理得x 2－4x ＋1＝0．解得x ＝2＋3，x ＝2－3．代入②式得点P 的坐标为（2＋3，1＋3）或（2－3，－1＋3）；（2＋3，－1－3）或（2－3，1－3）．直线PN 的方程为y =x －1或y =－x +1．例5 已知直线L 经过点P(3, 2)，且与x 轴y 轴的正半轴分别交于A 、B ． （1）求△AOB 面积最小时直线L 的方程，并求出最小值．（2）求直线L 在两坐标轴上的截距之和最小时直线L 的方程，并求出最小值． 解：（1）设直线l 的方程为：y-2=k(x-3), 由题设，k<0, ∴A )0,23(kk -, B(0, 2-3k),∴S △=126926)2()29(2)23(|32||23|212=+≥+-+-=--=-⋅-kk kk k k k 。