08届高三数学抛物线2

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一道意境幽远的高考数学试题的剖析

试题分析十‘?截'7(2008#-g8期高中版)39一道意境幽远的高考数学试题的剖析310030浙江省杭州师范大学附属中学苏立标1问题的呈现(2008年江西省高考试题)已知抛物线Y =菇2和三个点M (髫。

，Y o)、P(0，Y o)、J 『、r(一名。

，Y o)(Y o ≠石：，Y o>0)，过点肘的一条直线交抛物线于A 、B 两点，A P 、曰P 的延长线分别交曲线C 于E 、F证明：E 、F 、Ⅳ三点共线；证明设A (戈。

，茗：)、B (菇：，茗；)，E(戈E 、Y E)、B(石，，Y ，)则直线A B 的方程。

)+X 21，2——L 茗lJ +，善l 一算2即Y =(茹l +髫2)石一互l 互2，Y埝7P／‘＼§：jD—JY o=(石l +茗2)zo 一菇l 石2……Q )又直线A P 方程，，：X 錾1Y o+％一y27+％由L xl 茗-。

Yox+…甜一半2一。

，【石22Y ．‘所％饥=等2‰=一iYO m =暑，同理晰2一iYo ，)，，=虿Yo所以肝的方程y=一(x 髫j 而+x2)％并一蔫，令聋=一‰，得Y =兰[(石1+石2)算。

一Yo]．丑l 再2将①代入上式得Y =Y o ，即J7、r 点在直线EF 上，所以E ，F ，Ⅳ三点共线．点评这是一道设计新颖别致、赏心悦目的题目，从整个图形的形状特点上看，和谐优美，酷似一只美丽的蝴蝶，所以有人形象地把它称为“蝴蝶定理”．从方法上看，渗透了解析几何的最朴素的思想，没有高深的技巧，但对解析几何的思想方法考查得淋漓尽致，所以这是一道不得不让人折服的题目．2问题的拓展该高考试题所刻划的背景是抛物线中所蕴涵的“蝴蝶定理”，那么对圆锥曲线中的椭圆或双曲线是否有相似的结论呢?答案是肯定的．引申1已知椭圆与口+旨=1a>b>o)和三个U点肘(‰，％)、p(o ，Y o)、N(一量。

，Y o)，过点肘的一条yF 厂≥六一尸八＼∥1wI ．…≥受少)＼j E 丝B直线交椭圆于A 、曰两点，A P 、即的延长线分别交椭圆于E 、F证明：E ，，，Ⅳ三点共线；分析要证明这个结论，我们不妨先证明下面的引理．引理直线A E ：Y =kl 聋+％交椭圆与+告=l(口>b>0)于A (x 。

2008年高考全国卷2理科数学(含解析)

2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修Ⅱ)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．不能答在试题卷上．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B = 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径一、选择题1．设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-=Z 则，≤≤（）A ．{}01，B ．{}101-，，C ．{}012，，D ．{}1012-，，，【答案】B【解析】{}1,0,1,2--=M ，{}3,2,1,0,1-=N ，∴{}1,0,1-=N M【高考考点】集合的运算，整数集的符号识别。

【评注】历年来高考数学第一个小题一般都是集合问题，都超简单。

其实集合问题是可以出难题的，但高考中的集合问题比较简单。

需要注意的是：很多复习书都把集合作为高考数学复习的起点，我认为这是不妥当的，高中的集合问题涉及到的集合知识并不多（就是一种表达方式），其难度主要体现在知识的综合性上，学生应当先学习其他知识，再在集合中综合。

建议把“数学的基本运算”作为高考数学复习的起点，学生花1个月的时间温习、强化初等数学的基本运算是必要的，重要的，也是值得的。

数学的基本运算具体包括的内容可以参考本人编写的《高考数学复习专用教材》 2．设a b ∈R ，且0b ≠，若复数3()a bi +是实数，则（） A ．223b a = B ．223a b =C ．229b a =D ．229a b =【答案】A【解析】i b b a ab a i b ab bi a a bi a )3()3(33)(322332233-+-=--+=+，因是实数且0b ≠，所以2232303a b b b a =⇒=-【高考考点】复数的基本概念、基本运算，立方和公式（基本运算）【评注】很多学生没有学习过立方和公式，不会用立方和公式一步到位地展开，有人按32()()()a bi a bi a bi +=++进行展开，也有人按3()()()()a bi a bi a bi a bi +=+++进行展开，还有人用二项式定理进行展开，这都是可行的思路。

2008年高中数学二次函数试题

二、二次函数（命题人：华师附中郭键）1. （人教A 版第27页A 组第6题）解析式、待定系数法2若 f x ]=x bx c ，且 f 1V-0，f 3产0，求 f -1 的值._o变式1:若二次函数f x 二ax bx c 的图像的顶点坐标为 2,-1，与y 轴的交点坐标为（0,11），贝yA . a=1,b--4,c--11B . a=3,b=12,c = 11C . a =3,b = -6,c =11D . a = 3, b =-12, c = 11变式 2:若 f x = -x :: j ：b 2 x 3,^ [b,c]的图像 x=1 对称，则 c= 变式3:若二次函数f x = ax 2 bx c 的图像与 x 轴有两个不同的交点 A x 1,0、B X 2,0，且xj • X 22二26，试问该二次函数的图像由9单位得到？2. （北师大版第52页例2）图像特征将函数f x 二-3x 2 -6X V 配方，确定其对称轴, 或最小值，并画出它的图像.4ac -b 2 D .4a变式2:函数f x = x 2 px q 对任意的x 均有 f 1 x 二 f 1 — x ，那么 f 0、f -1、f 1的大小关系是A . f 1 < f -1 < f 0 变式3:已知函数f x = ax 2 bx c 的图像如右图所示, 请至少写出三个与系数 a 、b 、c 有关的正确命题 3. （人教A 版第43页B 组第1题）单调性_ 2 2变式1 :已知二次函数2f x 二 ax bx c ,如果f X 1二f X 2 （其中x^ - x 2 ）,则2f x =-3 x-1的图像向上平移几个顶点坐标，求出它的单调区间及最大值bA .2aC . f 1 f 0 :: f -1D . f -1 :: f 0 ：： f 1O 一已知函数f x = x -2x, g x = x -2xx ［2,4］.（1）求f X , g x的单调区间；（2）求f x , g x的最小值.变式1:已知函数f x = x2 4ax 2在区间-：：,6内单调递减，则a的取值范围是A. a _3B. a^3C. a ：：：—3 D . a 二一3变式2:已知函数f x =x^ a -1 x 5在区间（2 ,1）上为增函数，那么f 2的取值范围是_________ .・kx在［2,4］上是单调函数，求实数k的取值范围.变式3:已知函数f X = -x24. （人教A版第43页B组第1题）最值2 2已知函数f X 二x -2x, g x 二 x -2x x ［2,4］.（1）求f X , g x的单调区间；（2）求f x , g x的最小值.c 2变式1:已知函数f X =x-2x • 3在区间［0,m］上有最大值3,最小值2,则m的取值范围是A. 1, ：：B.〔0,21C. 1,21D. - ,2变式2:若函数y =3j-X2+4的最大值为M，最小值为m,贝y M + m的值等于__________________ .变式3:已知函数f x = 4x2 -4ax a^2a 2在区间［0,2］上的最小值为3,求a的值.5. （人教A版第43页A组第6题）奇偶性已知函数f X是定义在R上的奇函数，当X > 0时，f x］=x 1 X .画出函数f X的图像，并求出函数的解析式.变式1:若函数f x =mTx2，m2-1x，1是偶函数，则在区间一兀',0丨上f x是A •增函数B •减函数C.常数 D •可能是增函数，也可能是常数变式2：若函数f x = ax2 bx 3b a「1岂x空2 a是偶函数，则点a,b的坐标是变式3：设a为实数，函数f (x) = x2• | x - a | • 1, x • R •(I) 讨论f (x)的奇偶性；(II)求f (x)的最小值.6. (北师大版第64页A组第9题)图像变换厂 2x +4x+3,-3ExcO 已知f(x)=<—3x+3, 0 兰xc1・—x2 +6x —5,1 兰x 乞6(1)画出函数的图象；(2)求函数的单调区间；⑶求函数的最大值和最小值.变式1:指出函数y = —X2+2X+3的单调区间.变式2：已知函数f (x) x2-2ax b |(x R).给下列命题：①f (x)必是偶函数；②当f (0) = f(2)时，f (x)的图像必关于直线x=1对称；③若a2- b - 0，则f (x)在区间［a,+s )上是增函数；④ f (x)有最大值|a2 -b| .其中正确的序号是__________ .③变式3:设函数f(x)=x|x|，bx c,给出下列4个命题:①当c=0时，y = f(x)是奇函数;②当b=0, c>0时，方程f(x) =0只有一个实根;③y = f (x)的图象关于点(0, c)对称；④方程f(x) =0至多有两个实根.上述命题中正确的序号为____________________ .7. (北师大版第54页A组第6题)值域求二次函数f(x)=-2X2・6X在下列定义域上的值域:(1)定义域为・ Z0空x乞3?；(2)定义域为［-2,11.变式1：函数f (x)二-2x2 6x：；：「2 ：：：x 2的值域是B. -20,4变式2：函数y=cos2x+sinx的值域是____________ .变式3:已知二次函数f(x) = ax 2+ bx (a、b为常数，且a工0),满足条件f (1 + x) = f (1 —x),且方程f (x) = x有等根.(1)求f (x)的解析式；⑵是否存在实数m、n (m < n),使f (x)的定义域和值域分别为［m,n］和［3m,3n］，如果存在，求出m、n的值，如果不存在，说明理由.8. (北师大版第54页B组第5题)恒成立问题当a,b,c具有什么关系时，二次函数 f x A ax2• bx c的函数值恒大于零？恒小于零?变式1:已知函数f (x) = lg (a x 2+ 2x + 1).(I) 若函数f (x)的定义域为R,求实数a的取值范围；(II) 若函数f (x)的值域为R,求实数a的取值范围.变式2:已知函数f (x) = x2• ax • 3-a，若x 1-2,21时，有f (x) _2恒成立，求a的取值范围.变式3:若f (x) = x 2+ bx + c,不论〉、：为何实数，恒有f (sin : ) > 0, f (2 + cos：) < 0.⑴求证：b + c = —1;(II) 求证：c> 3;(III) 若函数f (sin :)的最大值为8，求b、c的值.9 (北师大版第54页B组第1题)根与系数关系右图是二次函数 f x =ax bx c的图像，它与x轴交于点x-i,0和X2,0 ，试确定a, b,c以及X1X2,音+X2的符号. y变式1：二次函数y =ax2 - b与一次函数y = ax • b(a . b)在同一个直角坐标系的图像为变式2:直线y 二mx - 3与抛物线G : y = x2 5mx - 4m, C2：y = x2 (2m - 1) x m2 - 3,2 __C3: y = x - 3mx -2m -3中至少有一条相交，则m的取值范围是.变式3:对于函数f (x),若存在X o • R，使f (x o) = x o成立，则称x o为f (x)的不动点.如果函数f(x) = ax 2+ bx + 1 (a > 0)有两个相异的不动点x i、x?.1⑴若X1 < 1 < X2，且f(X)的图象关于直线x = m对称，求证m > -；(II)若I X1 | < 2且I X1- X2 | = 2，求b的取值范围.10.（北师大版第52页例3）应用绿缘商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料•根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若每瓶售价每降低0.05元，则可多销售40瓶•在每月的进货量当月销售完的前提下，请你给该商店设计一个方安：销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时，才可获得最大的利润？变式1：在抛物线f x - -x2• ax与x轴所围成图形的内接矩形（一边在x轴上）中（如图），求周长最长的内接矩形两边之比，其中a是正实数.变式2:某民营企业生产A, B两种产品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资成正比，其关系如图一；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图二（注：利润和投资单位：万元）（1）分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；yA Dx O B C(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A, B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润？其最大利润约为多少元(精确到1万元)？变式3：设a为实数，记函数f(x) =a-.. 1 -x2• ... 1 • x • 1 - x的最大值为g(a) (I)求g(a); (n )试求满足g(a)=g』)的所有实数a.a二次函数答案1.(人教A 版第27页A 组第6题)解析式、待定系数法变式2:b 十20十c解：由题意可知1，解得b=0 ,•1，解得c=2 .2 2变式3: 解：由题意可设所求二次函数的解析式为f (x ) = -3(x -1) + k ,展开得f X i=—3x 2・6x-3・k ,亠 c3_k ••• X 1 X 2 =2公低2 ：32 丄 2..226 2(3 —k ) 26 . 4• X 1 ■ X2 h]X 1 • X 2 -2X 1X 2，即 4 ，解得 k .9393所以，该二次函数的图像是由 2f x = -3 x-1的图像向上平移43单位得到的，它的解析，口2 , 4 2 1 5式疋f x = -3 x ~1，即 f x 二-3x 6x -32.(北师大版第52页例2) 图像特征变式1:解：根据题意可知x 1+x 2_ b • jt+x?]4ac— b 2，故选 D .2 2a ， 2 4a变式1: 解：由题意可知4ac -b 24a c =11a =3 I =_1，解得 ^ = -12，故选D .^=11变式2:解：•/ f 1 x ju f 1 -x ,•••抛物线f x = x2px q的对称轴是x = 1 , p ‘1 即p =-2 ,22f x =x -2x q ,••• f 0 =q、f -1 = 3 q、f1=-1q,故有f -1 f 0 f 1，选C.变式3:解：观察函数图像可得：① a>0（开口方向）：②c=1（和y轴的交点）；③ 4a • 2b • 1 = 0（和x 轴的交点）：④ a b ^：： 0 （f 1 ：：•；：■ 0）；b2⑤b -4a 0（判别式）：⑥ 仁:：2（对称轴）.3. （人教A版第43页B 组第1题）单调性O 变式1:解：函数f x =x2 4ax 2图像是开口向上的抛物线，其对称轴是x = -2 a ,由已知函数在区间内单调递减可知区间［.-匚：',6应在直线x =-2a的左侧，• -2a _6，解得a _ -3，故选D.21变式2:解：函数f x =x- a-1 x 5在区间（2 ,1）上为增函数，由于其图像（抛物线）开a _1 1 1 a _ 11口向上，所以其对称轴x 或与直线x 重合或位于直线x 的左侧，即应有2 2 2 2 2 解得a乞2，f 2 =4 - a -1 2 5 _7，即卩f 2 _ 7 .变式3:解：2函数f X = -x kx的图像是开口向下的抛物线，经过坐标原点，对称轴是k•••已知函数在［2, 4］上是单调函数，• 区间［2, 4］应在直线x 的左侧或右侧,2k k即有2或一—4，解得k乞4或k -8 .2 24. （人教A版第43页B组第1题）最值I y 变式1:解：作出函数f x i=x2-2x・3的图像,开口向上，对称轴上x=1，顶点是(1, 2)，和y轴的交点是(0, 3),••• m的取值范围是1 _ m _ 2，故选C.变式2:解：函数有意义，应有-X2• 4 _ 0 ,解得-2乞X乞2 ,2 I 2 t2••• 0 一_X 4 乞4 = o ——X 4 乞2 = 0 < 3 - -X 4 乞6,M=6, m=0，故M + m=6.变式3:解：函数f X的表达式可化为f x =4 x_a? 12_2a .a①当0 2，即0空a乞4时，f X有最小值2 - 2a，依题意应有2 - 2a = 3，解得1 、a ，这个值与0 _a _4相矛盾.2a 2 2②当0，即a :: 0时，f 0 = a…2a ' 2是最小值，依题意应有a…2a ■ 2 = 3，解得a=1「2 ，又••• a c0,「. a=1 — J2为所求.a 2③当-2，即a 4时，f 2 =16-8a a -2a 2是最小值，依题意应有16 -8a ■ a2-2a • 2 = 3，解得a = 5 二、一10，又T a 4 , • a = 5 •10 为所求.综上所述，a = 1 - 2 或a = 5「10 .5. (人教A版第43页A组第6题)奇偶性2 2 2变式1: 解：函数fx=m-1x m -1X1是偶函数=• m -1 = 0 = m= 1 ,当m =1时，f X = 1是常数；当m - -1时，f x二-2X2 1,在区间［一匚?,0 1上f X是增函数，故选D.1变式2：解：根据题意可知应有a-1 + 2a = 0且b = 0, 即卩a=-且b = 0 ,•点(a, b)的坐3标是0 LG丿变式3：解：(I)当a = 0 时，函数f(_x) =(-x)2• |-x「1 二f (X)，此时，f(x)为偶函数;x当 a = 0时，f (a)二a 2 1, f (_a)二a 2 2 |a | 1 ,f(a) = f(-a), f(a) = -f(-a)，此时f (x)既不是奇函数，也不是偶函数.2— x a 1 =(x —丄)2 a -,24f (x)在(-:=,a ］上单调递减，从而函数 f (x)在(」：，a ］上的最小值为 f (a)二 a 2 1.为 f (a)二 a 21.1 . a 时，函数f(x)的最小值为2213a 时，函数f (x)的最小值为a6. (北师大版第64页A 组第9题)图像变换变式1:解：函数可转化为二次函数，作出函数图像，由图像可得单调区间.只2 2当 x 亠0 时，y = —x 2 2x 3 = —x —14 ,2 2当 XC0 时，y=_x _2x+3 = —(x+1 ) +4 . 作出函数图像，由图像可得单调区间.在-:：，-1和0,11上，函数是增函数；在〔-1,0 1和1,匸：上，函数是减函数. 变式2:解：若a =1,b =1,则f (x) =|x 2 -2x • 1|=x 2 -2x • 1，显然不是偶函数，所以①是不(II ) (i )当，则函数，则函数(ii )当 x _a 时,— 1 3f(x)在(-⑺a ］上的最小值为f (2)= ；'21 23函数 f (x) = x x - a 1 = (x ) -a2 4 1 1a ，且 f (2)乞 f(a). 1 1右a ,则函数f (x)在(- ：：,a ］上的最小值为f () 芒 1 右a则函数f(x)在［aj ：J 上单调递增，从而函数3 1 严，且y (a ),f (x)在［a,：：)上的最小值综上，当3时，函数f (x)的最小值为4 - a ；a 2 1 ；正确的;若a - _1,b - 一4,则f (x) =|x 2 2x-4|，满足f (0^ f (2)，但f (x)的图像不关于直线 x=1对称，所以②是不正确的；若a 2-b _0，则f(x) =| x 2-2ax • b |=x 2「2ax • b ，图像是开口向上的抛物线，其对称轴是x =a ,••• f (x)在区间［a,+s )上是增函数，即③是正确的;2显然函数f(x) =|x -2ax b| R 没有最大值，所以④是不正确的.变式3:解：f (x):2x +bx + c,x3 0^x | x| bx c =2,「x bx c, x ：： 0(1)当c=0时，f(x)=xx+bx ，满足f(—x) = —f(x )，是奇函数，所以①是正确的;2l x + c,x K 0 ⑵当 b=0, c>0 时，f(x)=xx+c = < 2-x + c, x v 0f 2f 2x + c = 0 —x + c = 0l显然方程彳无解；方程彳的唯一解是x = _妊，所以② 是正确的;>0l x <0而该点关于(0, c )对称的点是：；：-x 0,2c -y 0，代入检验2c 「y ° =-X 。

08届高三年级数学第二次联考试题

5 208届高三年级数学第二次联考试题第I 巻选择题共50 分）、选择题（本题共 10小题，每小题5 分, 是符合题目要求的）共50分.每小题给出的四个选项中，只有一项C . {X |1 _ X _ 3}D . {X | 0 ：： X _ 1}2y =3x」（—1 _ X :: 0）的反函数是______ 1y = .1 log 3x （「：xE1）3______ 1y = 1 log 3 x （x 一 -）3______ 1y - -. 1 log 3 x (- < x 乞 1)3______ 1y - - 1 Iog 3 x(x __) 31.集合 A ={x | log 2 x ::1, x R},集合 B 二｛x||x-2|：：：1,x R ｝,那么 A 一（C R B ）等于2. △ ABC 中，“ A>30 ° ”是 A .充分不必要 C .充要条件 3"x + y 兰 6 已知」 x M y j >1 A . 11 （理）已知数列｛＜于A . 48 ，则函数 3. 4. 曰B •必要不充分D .既不充分也不必要条件=2x y 的最大值是C . 5, 若 S 3=18 , S 4- a 1= — 9, S n 为它的前n 项和, 则n m s n 等（B . 32C . 16D .（文）在各项都为正数的等比数列｛a n ｝中，首项a 1=3，前三项和为21,则a 3+a 4+a 5等于（ A . 33B . 72C .84 D . 1896.将4个颜色互不相同的球全部放入编号为的个数不小于该盒子的编号，则不同的放法有A . 10 种B . 20 种C . 30 种1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里球 ( D . 52 种7•定义在R 上的偶函数y = f （x ）满足f （x 1^-f （x ）,且当x ，（0,1］时单调递增，则1 5ff(—5) ：：f(-)1 5B . fq< f (2)< f(—5)3 2A . {x | x _1}5.函数C .5 2515D . d ： f （3）：： f （2）1 3 1 — 2」-&已知|a|=2|b 卜0，且关于x 的函数f （x ） x 3 • — |a|x 2 • a bx 在R 上有极值,3 2则a 与b 的夹角范围为A. [°,6)B.(訂]2 x9.如果以原点为圆心的圆经过双曲线2 a 2=1（a - 0,b ■ 0）的焦点，而且被该双曲线bD . 、2|PA| PB| = 2,|PA-PB |=2-5 ,PA PC PBPC , I 为线段PC 上一点，且有Bl =BA ■( |PB| 则BUBA 的值为 |BA|C .5二、填空题（本题共 6小题，每小题4分，共24分，将答案写在题中横线上）（文）某校有老师 200人，男学生1200 ,女学生1000人，现用分层抽样的方法从所有老师中抽取一个容量的 n 的样本；已知从女学生中抽取的人数为 80人，贝U n=值是14 .已知'2），且切-,tn :是方程x 2 ■ 3 3x 4=0的两个根，则：二2小兀15 .过抛物线y 2二X 的焦点F 的直线I 的倾斜角 ,l 交抛物线于A , B 两点，且A 点4在x 轴上方，则|AF|的取值范围是的右准线分成弧长为 2:1的两段圆弧, 那么该双曲线的离心离e 等于 10.已知C 为线段AB 上一点，P 为直线AB 外一点，满足11.（理）复数3的虚部为-1 3iC .A . .5|PA|丝舉)(• .0),|AC| |AP|12.（2x-于）9的展开式中，常数项为 13. 设点（m , n ）在直线x+y=1位于第一象限内的图象上运动，则log 2 m log 2 n 的最大的通项公式;⑺设b n=o12 a ng,T n 是数列｛b n ｝的前n 项和，求使得T n <2 an 1m 2016.(理)数列｛a n ｝, ｛b n ｝( n =1,23 )由下列条件所确定：(i)a , ：：： 0，d • O ；(ii )k _ 2时,a k 与b k 满足如下条件：当a kj - b kj _ 0时，a k =a k 」，b k =色“ 也，当2时，用a i , b i 表示｛b k ｝的通项公式b k = ___________ (k=2 , 3,…，n )a +?(文)数列｛a n ｝满足递推式a n =3a n 二-3n -1(n _ 2),又a i = 5,则使得｛」—｝为 3等差数列的实数丸= ______________ 三、解答题(本大题共 6小题，满分76分) 17. (本小题满分12分)厂1已知函数f (x) = (. 3sin 「x - cos x) cos x .(「- 0)的最小正周期为 4 .(1 )求f (x)的单调递增区间；(2)在厶ABC 中，角A , B , C 的对边分别是 a , b , c 满足(2a -c)cosB = bcosC ,求函数f(A)的取值范围•18. (本小题满分12分)(理)一个小正方体的六个面，三个面上标以数字0.两个面上标以数字1，一个面上标以数字2, (1)甲、乙两人各抛掷一次，谁的点数大谁就胜，求甲获胜的概率； (2)将这个小正方体抛掷两次，用变量E 表示向上点数之积，求随机变量E 的概率分布列及数学期望E E .23(文)甲、乙两人各进行3次投篮，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为-,3 4求：(1)甲恰好投中2次的概率；(2)乙至少投中2次的概率；(3)甲、乙两人共投中 5次的概率.19. (本小题满分12分)已知数列｛a n ｝, S n 是其前n 项和，且a n =7S n 4 2(n - 2), a 1 = 2 , (1)求数列｛a n ｝a ki -b k j ::: 0时,ak 」+bk 二,ak,那么，当a i =-5,bi =5时,｛a n ｝的通项公式a nf-5, n = 1_22；当…八皿2)对所有n • N *都成立的最小正整数 m.20. (本小题满分12分)ax(理)已知函数f(x)二二，在x=1处取得极值2, (1)求函数f (x)的解析式；(2)x +bm 满足什么条件时，区间(m , 2m+1)为函数f (x)的单调增区间；(3)若P(X o ,y °)为axf(x)二飞图象上的任意一点，直线I 与f (x)的图象切于P 点，求直线I 的倾斜角x +b的取范围•32(文)已知函数 f(x)=2x -6x ，求曲线y 二f(x)的平行于直线18x-y=3的切线方程；(2)若函数y = f(x) m 在区间［—2, 2］上有最大值3,求常数m 的值及此函数的最小值.已知椭圆C 的方程是笃-爲=1(a b 0),a b乂为，％),B(X 2,y 2)两点•(1)若椭圆的离心率e=^，直线I 过点M (b , 0)，且2OA OB =32cor AOB ，求椭圆的方程；(2)直线I 过椭圆的右焦点F ,设向量521. (本小题满分14分)斜率为1的直线l 与椭圆C 交于已知函数 f (x)二a(x -1)2 1bx c -b(a,b,c，N)的图象按e = (-1,0)平移后得到的图0P二■ (0A • 0B)( ■0)，若点P在椭圆C上，求’的取值范围•22.(本小题满分14分)象关于原点对称，f （2） =2, f （3） ::: 3.(1) 求a, b, c 的值；(2)设0 ：：：| x |：：： 1,0 ：：：| t 1< 1,求证:| t • x | • 11 -x| ：：：| f (tx - 1) |;（理科学生）（3）设x是正实数，求证：f n（x T） - f （x n• 1） _2n -2.参考答案（理）1(文)192 12. 6722 二 1 _^2n11——13.—2 14. 15. ( ,1 ]23 4 216 .（理）n 1 \ k」；a「（D -aj（2）(文)~~217 . (1) f (x)=3sin xcos x cos2 1 二x sin(2g............ 2分1. D2. B3. A4.(理)C (文)C5. B6. A7. B8. C9. D 10. D••• T 2 二4 二1 1 二匸f（x）Yi%x石）……4分4 下2*Tf（x）的单调递增区间为［企盲*肓（「）(2)T (2a -c)cosB = bcosC••• 2sin AcosB-sinCcosB=sin BcosC ................... 8 分1 n2sin AcosB =sin(B C)=sin A cosB B ……10 分2 31 兀2兀兀 A 兀兀f(A)二sin(—A ) 0 ：： A ：：-2 63 6 2 6 21f(A) (?,1) .......... 12 分1 1 118.（理）（1）面上是数字0的概率为一，数字为1的概率为一，数字为2的概率 ---------- 2分2 3 6165 当甲掷出的数字为2，乙掷出的数字为0或1时，甲获胜的概率为丄3611•••甲获胜的概率为 .............. 6分36(2) E的取值为0、1、2、44•- E E = ........................... 12 分9(文)(1)甲恰好投中2次的概率为C：(?)2丄...................... 3分3 3 93 1 3 27(2)乙至少投中2次的概率为Cf (-)2 - C^3)^27……7分4 4 4 32(3)设甲、乙两人共投中5次为事件A，甲恰投中3次且乙恰投中2次的事件B1, 甲恰投中2次且乙恰投中3次为事件B2,则A=B J+B2, B1、B2为互斥事件.32 3 .2 32 11_ 2 2 2_ 1 3 23 P(B1) = C3 ( ) C3 ()J P(B2)= C3 ()C2()…11分3 4 4334165• P(A) =P(B1) P(B2)：16 ................ 12分19. (1 )••• n _2时a n二7S nJ1 2■an 1 -7Sn ' 2,-an 1 _ a n~7an• a n 1 =8a n(n 一2) ............ 2 分又a1=2 • a2 =7a1 2=16= 9a1a n彳=8a n (n N*) ...... 4分•- {a n}是一个以2为首项，8为公比的等比数列当甲掷出的数字为1，乙掷出的数字为0时，甲获胜的概率为• a n =2 8n_l =2心 ...................6 分(2)bn ______ 1 _____ _ 1log 2 a n log 2 a n 1 (3n -2)(3n 1)13n 14(1. 1111 10分m 1 ------ —• m_2°•最小正整数m=72二3312分20.(理)(1 )已知函数f(x)二axx2b(x)二-ax2ab(x2b)2y min = f ( 一2) m = m - 40 一37 12分y min = f ( 一2) m = m - 40 一3712分则其斜率为 k =6x 2 -12x 0 =18r x 0 =3或x 0 二-1 当X 。

2008年高考真题精品解析2008年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)(理科)

2008年高考真题精品解析2008年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）（理科）测试题 2019.91,已知函数（1）求函数的单调区间；（2）若函数的图像与直线恰有两个交点，求的取值范围．2,已知抛物线和三个点，过点的一条直线交抛物线于、两点，的延长线分别交曲线于．（1）证明三点共线；（2）如果、、、四点共线，问：是否存在，使以线段为直径的圆与抛物线有异于、的交点？如果存在，求出的取值范围，并求出该交点到直线的距离；若不存在，请说明理由．3,不等式的解集为．4,已知双曲线的两条渐近线方程为，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为．5,连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦的长度分别等于、之间距离的最大值为．6,如图，正六边形中，有下列四个命题：4322411()(0)43f x x ax a x a a =+-+>()y f x =()y f x =1y =a 2y x =00000(,)(0,)(,)M x y P y N x y -、、2000(,0)y x y ≠>M A B AP BP 、C E F 、E F N 、、A B M N 0y AB A B 0y AB 224122xx +-≤22221(0,0)x y a b a b -=>>y x =AB CD 、ABCDEFA ．B ．C ．D ．其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）． 7,在复平面内，复数对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8,定义集合运算:设,,则集合的所有元素之和为A ．0B ．2C ．3D ．69,若函数的值域是，则函数的值域是 A ． B ． C ． D ．10,A ．B ．C ．D ．不存在测试题答案1, 解：（1）因为令得由时，在根的左右的符号如下表所示2AC AF BC +=22AD AB AF =+AC ADAD AB ⋅=⋅()()AD AF EF AD AF EF ⋅=⋅sin 2cos2z i =+{},,.A B z z xy x A y B *==∈∈{}1,2A ={}0,2B =A B *()y f x =1[,3]21()()()F x f x f x =+1[,3]210[2,]3510[,]2310[3,]3x →=12012-322()2(2)()f x x ax a x x x a x a '=+-=+-()0f x '=1232,0,x a x x a =-==0a >()f x '()0f x '=所以的递增区间为的递减区间为（2）由（1）得到，要使的图像与直线恰有两个交点，只要或，即.2, （1）证明：设，则直线的方程：即：因在上，所以①又直线方程：由得：所以同理，所以直线的方程：令得()f x (2,0)(,)a a -+∞与()f x (2)(0)a a -∞-，与，45()(2)3f x f a a =-=-极小值47()()12f x f a a ==极小值4()(0)f x f a ==极大值()f x 1y =44571312a a -<<41a <a >01a ≤<221122(,)(,)A x xB x x 、(,)(,)E E F F E x y B x y 、AB ()222121112x x y x x x x x -=-+-1212()y x x x x x =+-00(,)M x y AB 012012()y x x x x x =+-AP 21001x y y x y x -=+210012x y y x y x x y⎧-=+⎪⎨⎪=⎩2210010x y x x y x ---=22100012111,E E E x y y y x x x y x x x -+=⇒=-=200222,F F y y x y x x =-=EF 201201212()y x x y y x x x x x +=--0x x =-0120012[()]yy x x x y x x =+-将①代入上式得，即点在直线上所以三点共线（2）解：由已知共线，所以以为直径的圆的方程：由得所以（舍去），要使圆与抛物线有异于的交点，则所以存在，使以为直径的圆与抛物线有异于的交点则，所以交点到的距离为3, 依题意4,5, 易求得、到球心的距离分别为3、2，类比平面内圆的情形可知当、与球心共线时，取最大值5。

2008年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(11解析几何初步)

A． k ( 2，2) B． k (∞， 2) ( 2，∞)
C． k ( 3，3)
D． k (∞， 3) ( 3，∞)
6．(2008 全国Ⅱ卷文)原点到直线 x 2 y 5 0 的距离为（ D ）
A．1
B． 3
C．2
D． 5
7．(2008 全国Ⅱ卷理) 等腰三角形两腰所在直线的方程分别为 x y 2 0 与 x 7 y 4 0 ，
y k(x 4) ，其中 k ≤ 1 ． 2
圆 C 的圆心为 C(4， 2) ，半径 r 2 ．
圆心 C 到直线 l 的距离
d 2 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分 1 k2
所以所求直线的斜率为 k=1. 故所求直线的方程是 y-0=1(x+1),即 x-y+1=0.
2．(2008 湖南文) 将圆 x 2 y 2 1 沿 x 轴正向平移 1 个单位后所得到圆 C，则圆 C 的方程是
(x 1)2 y2 1_,若过点（3，0）的直线 l 和圆 C 相切，则直线 l 的斜率为___
6．(2008 天津文)已知圆 C 的圆心与点 P(2，1) 关于直线 y x 1对称．直线 3x 4 y 11 0 与圆 C 相
交于 A，B 两点，且 AB 6 ，则圆 C 的方程为
x2 ( y 1)2 18
．
7．（2008 浙江理）已知 a >0，若平面内三点 A（1，- a ），B（2， a 2 ）， C（3， a3 ）共线，则 a =1 2 。

2008届全国百套高考数学模拟试题分类汇编-081圆锥曲线选择题

2008届全国百套高考数学模拟试题分类汇编08圆锥曲线一、选择题1、(江苏省启东中学高三综合测试二)在抛物线y 2=2px 上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p 的值为A.0.5B.1C. 2D. 4 答案：C2、(江苏省启东中学高三综合测试三)已知椭圆E 的短轴长为6，焦点F 到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E 的离心率等于A ．53 B ．54 C ．135 D ．1312 答案：B3、(江苏省启东中学高三综合测试四)设F 1，F 2是椭圆1649422=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的点，且3:4:21=PF PF ，则21F PF ∆的面积为（） A ．4 B ．6 C ．22 D ．24答案：B4、(安徽省皖南八校2008届高三第一次联考)已知倾斜角0≠α的直线l 过椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 的右焦点Ｆ交椭圆于Ａ、Ｂ两点，Ｐ为右准线上任意一点，则APB ∠为（）Ａ．钝角；Ｂ．直角；Ｃ．锐角；Ｄ．都有可能；答案：C5、(江西省五校2008届高三开学联考)从一块短轴长为2b 的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是[3b 2，4b 2]，则这一椭圆离心率e 的取值范围是A ．]23,35[ B ．]22,33[C ．]22,35[D ．]23,33[答案：A6、(安徽省淮南市2008届高三第一次模拟考试)已知点A, F 分别是椭圆12222=+by a x (a >b >0)的右顶点和左焦点，点B 为椭圆短轴的一个端点，若BA BF ⋅=0，则椭圆的离心率e 为（ ▲ ）A.21(5－1) B.21(3－1) C.25 D.22 答案：A7、(安徽省巢湖市2008届高三第二次教学质量检测)以椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为圆心的圆经过原点，且被椭圆的右准线分成弧长为2:1的两段弧，那么该椭圆的离心率等于( )A.23 C.49答案：B8、(北京市朝阳区2008年高三数学一模)已知双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线2C 的顶点在原点，它的准线与双曲线1C 的左准线重合，若双曲线1C 与抛物线2C 的交点P 满足212PF F F ⊥，则双曲线1C 的离心率为 A ． 2B ． 3C ．233D ．2 2答案：B9、(北京市崇文区2008年高三统一练习一)椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的中心、右焦点、右顶点、右准线与x 轴的交点依次为O 、F 、A 、H ，则||||OH FA 的最大值为（）A ．12B ．13C ．14D ．1答案：C10、(北京市海淀区2008年高三统一练习一)直线l 过抛物线x y =2的焦点F ，交抛物线于A ，B 两点，且点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角4πθ…,则|FA |的取值范围是（）（A ）)23,41[ （B ）13(,442+（C ）]23,41( （D ）]221,41(+答案：D11、(北京市十一学校2008届高三数学练习题)已知双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的两个焦点为1F 、2F ，点A 在双曲线第一象限的图象上，若△21F AF 的面积为1，且21tan 21=∠F AF ，2tan 12-=∠F AF ，则双曲线方程为( ) A ． 1312522=-y x B ．1351222=-y x C ．1512322=-y x D ．1125322=-y x 答案：B12、(北京市西城区2008年4月高三抽样测试)若双曲线221x ky +=的离心率是2，则实数k 的值是（）A.3-B. 13- C. 3D.13答案：B13、(北京市西城区2008年5月高三抽样测试)设,x y R ∈，且2y 是1x +和1x -的等比中项，则动点(),x y 的轨迹为除去x 轴上点的（）A ．一条直线B ．一个圆C ．双曲线的一支D ．一个椭圆答案：D 14、(北京市宣武区2008年高三综合练习一)已知P 为抛物线221x y =上的动点，点P 在x 轴上的射影为M ，点A 的坐标是)217,6(，则PM PA +的最小值是（） A 8 B 219 C 10 D 221答案：B15、(北京市宣武区2008年高三综合练习二)已知21,F F 是双曲线的两个焦点，Q 是双曲线上任一点（不是顶点），从某一焦点引21QF F ∠的平分线的垂线，垂足为P ，则点P 的轨迹是（）A 直线B 圆C 椭圆D 双曲线答案：B16、(四川省成都市2008届高中毕业班摸底测试)已知定点A （3，4），点P 为抛物线y 2=4x 上一动点，点P 到直线x =－1的距离为d ，则|PA|+d 的最小值为（）A ．4B ．52C ．6D ．328-答案：B17、(东北区三省四市2008年第一次联合考试)椭圆的长轴为A 1A 2，B 为短轴一端点，若︒=∠12021BA A ，则椭圆的离心率为A ．33B ．63C ．32D ．12答案：B18、(东北三校2008年高三第一次联考)设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为3，且它的一条准线与抛物线x y 42=的准线重合，则此双曲线的方程为（）A ．16322=-y xB ．132322=-y xC ．1964822=-y x D ．1241222=-y x 答案：A19、(东北师大附中高2008届第四次摸底考试)已知椭圆15922=+y x ，过右焦点F 做不垂直于x 轴的弦交椭圆于A 、B 两点，AB 的垂直平分线交x 轴于N ，则=AB NF ：（）A ．12B ．13C ．23D ．14答案：B20、(福建省莆田一中2007～2008学年上学期期末考试卷)已知AB 是椭圆92522y x +=1的长轴，若把线段AB 五等份，过每个分点作AB 的垂线，分别与椭圆的上半部分相交于C 、D 、E 、G 四点，设F 是椭圆的左焦点，则FG FE FD FC +++的值是（） A ．15B ．16C ．18D ．20答案：D21、(福建省泉州一中高2008届第一次模拟检测)过抛物线x y 42=的焦点作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则||AB 等于（） A ．10 B ．8 C ．6 D ．4 答案：B22、(福建省厦门市2008学年高三质量检查)若抛物线1262222=+=y x px y 的焦点与椭圆的右焦点重合，则p 的值为（）A ．－2B ．2C ．－4D ．4 答案：D23、(福建省仙游一中2008届高三第二次高考模拟测试)已知双曲线的中心在原点，离心率为3，若它的一条准线与抛物线x y 42=的准线重合，则此双曲线与抛物线x y 42=的交点到抛物线焦点的距离为( )A.21B.21C.6D.4答案：D24、(福建省漳州一中2008年上期期末考试)过抛物线24y x =的焦点F 作直线l 交抛物线于1122(,), (,)P x y Q x y 两点，若126x x +=，则||PQ =A.5B. 6C.8D.10 答案：C25、(甘肃省河西五市2008年高三第一次联考)已知点P 是以1F 、2F 为焦点的椭圆()222210x y a b a b+=>>上的一点，若120PF PF =，121tan 2PF F ∠=，则此椭圆的离心率为（）A ．12B ．23C ．13D ．53答案：D26、(甘肃省兰州一中2008届高三上期期末考试)如图2所示，ABCDEF 为正六边形，则以F 、C 为焦点，且经过A 、E 、D 、B 四点的双曲线的离心率为（） A ．15- B ．15+C ．13-D ．3+1答案：D27、(广东省惠州市2008届高三第三次调研考试)椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程：191622=+y x ，点A 、B 是它的两个焦点，当静止的小球放在点A 处，从点A 沿直线出发，经椭圆壁(非椭圆长轴端点)反弹后，再回到点A 时，小球经过的最短路程是（）. A ．20 B ．18 C ．16 D ．以上均有可能 C.解析：由椭圆定义可知小球经过路程为4a ，所以最短路程为16，答案：C 28、(广东省揭阳市2008年第一次模拟考试)两个正数a 、b 的等差中项是92，一个等比中项是,b a >则双曲线12222=-b y a x 的离心率为A ．53B C ．54D解析：由已知得9,20,a b ab a b +==>∴5,4a b ==，c ∴=，c e a ∴==，选D 。

08年全国各地高考数学压轴题解析

08年全国高考压轴题1、（安徽理）（22）．（本小题满分13分）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点M，且着焦点为1(F（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 相交与两不同点,A B 时，在线段AB 上取点Q ，满足AP QB AQ PB =，证明：点Q 总在某定直线上22解 (1)由题意：2222222211c a bc a b ⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪=-⎩，解得224,2a b ==，所求椭圆方程为 22142x y += (2)方法一设点Q 、A 、B 的坐标分别为1122(,),(,),(,)x y x y x y 。

由题设知,,,AP PB AQ QB均不为零，记AP AQ PB QBλ==,则0λ>且1λ≠又A ，P ，B ，Q 四点共线，从而,AP PB AQ QB λλ=-=于是 1241x x λλ-=-， 1211y y λλ-=-121x x x λλ+=+， 121y y y λλ+=+从而22212241x x x λλ-=-，（1） 2221221y y y λλ-=-，（2）又点A 、B 在椭圆C 上，即221124,(3)x y += 222224,(4)x y +=（1）+（2）×2并结合（3），（4）得424s y += 即点(,)Q x y 总在定直线220x y +-=上方法二设点1122(,),(,),(,)Q x y A x y B x y ，由题设，,,,PA PB AQ QB均不为零。

且 PA PB AQ QB=又 ,,,P A Q B 四点共线，可设,(0,1)PA AQ PB BQ λλλ=-=≠±,于是1141,11x yx y λλλλ--==-- （1） 2241,11x yx y λλλλ++==++ （2）由于1122(,),(,)A x y B x y 在椭圆C 上，将（1），（2）分别代入C 的方程2224,x y +=整理得222(24)4(22)140x y x y λλ+--+-+= （3） 222(24)4(22)140x y x y λλ+-++-+= (4)(4)－(3) 得 8(22)0x y λ+-= 0,220x y λ≠+-=∵∴即点(,)Q x y 总在定直线220x y +-=上2、（上海文）21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知数列{}n a ：11a =，22a =，3a r =，32n n a a +=+（n 是正整数），与数列{}n b ：11b =，20b =，31b =-，40b =，4n n b b +=（n 是正整数）．记 112233n n n T b a b a b a b a =++++ ．（1）若1213264a a a a ++++= ，求r 的值；（2）求证：当n 是正整数时，124n T n =-；（3）已知0r >，且存在正整数m ，使得在121m T +，122m T +，…，1212m T +中有4项为100．求r 的值，并指出哪4项为100．21．解：（1）12312a a a a ++++1234(2)56(4)78(6)r r r r r =+++++++++++++++484r =+． ……2分∵48464r +=，∴4r =． ……4分（2）用数学归纳法证明：当n Z +∈时，124n T n =-．①当1n =时，1213579114T a a a a a a =-+-+-=-，等式成立． ……6分 ②假设n k =时等式成立，即124k T k =-，那么当1n k =+时，12(1)121211231251271291211k k k k k k k k T T a a a a a a +++++++=+-+-+- ……8分4(81)(8)(84)(85)(84)(88)k k k r k k k r k =-++-+++-++++-+ 444(1)k k =--=-+，等式也成立．根据①和②可以断定：当当n Z +∈时，124n T n =-． ……10分（3）124m T m =-（1m ≥）．当121n m =+，122m +时，41n T m =+；当123n m =+，124m +时，41n T m r =-+-；当125n m =+，126m +时，45n T m r =+-；当127n m =+，128m +时，4n T m r =--；当129n m =+，1210m +时，44n T m =+；当1211n m =+，1212m +时，44n T m =--．∵41m +是奇数，41m r -+-，4m r --，44m --均为负数，∴这些项均不可能取得100． ……15分 ∴4544100m r m +-=+=，解得24m =，1r =，此时293294297298,,,T T T T 为100． ……18分 3、（重庆理）（22）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）设各项均为正数的数列{a n }满足321122,(N*)n a a a a aa n ++==∈.（Ⅰ）若214a =，求a 3，a 4，并猜想a 2008的值（不需证明）；（Ⅱ）记12...(N*),n n n b a a a n b =∈≥若对n ≥2恒成立，求a 2的值及数列{b n }的通项公式.(22)(本小题12分)解：(Ⅰ)因2122,2,a a -==故3423123824232,2.a a a a a a ---====由此有0223(2)(2)(2)(2)12342,2,2,2a a a a ----====，故猜想n a 的通项为 1(2)*2(N ).n n a n --=∈（Ⅱ）令2log ,2.n Sn n n n n x a S x n b ==表示的前项和，则由题设知x 1=1且*123(N );2n n n x x x n ++=+∈ ①123(2).2n n S x x x n =+++≥≥ ② 因②式对n =2成立，有1213,12x x x ≤+=又得 21.2x ≥③ 下用反证法证明：2211..22x x ≤>假设由①得21211312()(2).22n n n n n n x x x x x x ++++++=+++因此数列12n n x x ++是首项为22x +，公比为12的等比数列.故*121111()(N ).222n n n x x x n +--=-∈ ④又由①知 211111311()2(),2222n x n n n n n x x x x x x x +++++-=--=--因此是112n n x x +-是首项为212x -，公比为-2的等比数列,所以1*1211()(2)(N ).22n n n x x x n -+-=--∈ ⑤ 由④-⑤得1*221511(2)()(2)(N ).222n n n S x x n --=+---∈ ⑥ 对n 求和得*2215111(2)(2)(2)()(N ).2232n n n x x x n ---=+---∈ ⑦由题设知21231,22k S x +≥>且由反证假设有21*22221*22221121152)(2)()(N ).22341211151()(2)(2)2(N ).23244k k k k x x k x x x k ++++---≥∈+-≤+--<+∈ （从而即不等式22k +1＜22364112x x +--对k ∈N *恒成立.但这是不可能的，矛盾. 因此x 2≤12,结合③式知x 2=12,因此a 2=2*2将x 2=12代入⑦式得S n =2－112n -(n ∈N*),所以b n =2Sn =22－112n -(n ∈N*)4、（广东理）21．（本小题满分12分）设p q ，为实数，αβ，是方程20x px q -+=的两个实根，数列{}n x 满足1x p =，22x p q =-，12n n n x px qx --=-（34n =，，…）．（1）证明：p αβ+=，q αβ=；（2）求数列{}n x 的通项公式；（3）若1p =，14q =，求{}n x 的前n 项和n S ． 21．解：（1）由求根公式，不妨设<αβ，得==αβ∴+==p αβ，==q αβ（2）设112()----=-n n n n x sx t x sx ，则12()--=+-n n n x s t x stx ，由12n n n x px qx --=-得，+=⎧⎨=⎩s t p st q，消去t ，得20-+=s ps q ，∴s 是方程20x px q -+=的根，由题意可知，12,==s s αβ①当≠αβ时，此时方程组+=⎧⎨=⎩s t pst q 的解记为1212==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩s s t t ααββ或 112(),---∴-=-n n n n x x x x αβα112(),----=-n n n n x x x x βαβ即{}11--n n x t x 、{}21--n n x t x 分别是公比为1=s α、2=s β的等比数列，由等比数列性质可得2121()---=-n n n x x x x ααβ,2121()---=-n n n x x x x ββα, 两式相减，得2212121()()()----=---n n n x x x x x βααββα221,=-= x p q x p ，222∴=++x αβαβ，1=+x αβ22221()--∴-== n n n x x αββββ，22221()---== n n n x x βαααα1()-∴-=-n nn x βαβα，即1--∴=-nnn x βαβα，11++-∴=-n n n x βαβα ②当=αβ时，即方程20x px q -+=有重根，240∴-=p q ，即2()40+-=s t st ，得2()0,-=∴=s t s t ，不妨设==s t α，由①可知2121()---=-n n n x x x x ααβ，= αβ，2121()--∴-=-=n n n n x x x x αααα即1-∴=+n n n x x αα，等式两边同时除以nα，得111--=+nn nn x x αα，即111---=nn nn x x αα∴数列{}n n xα是以1为公差的等差数列，12(1)111∴=+-⨯=+-=+n n x x n n n αααα∴=+n n n x n αα综上所述，11,(),()++⎧-≠⎪=-⎨⎪+=⎩n n nn n x n βααββααααβ（3）把1p =，14q =代入20x px q -+=，得2104-+=x x ，解得12==αβ 11()()22∴=+ n n n x n232311111111()()()...()()2()3()...()22222222n n n S n ⎛⎫⎛⎫=+++++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23111111()()2()3()...()22222n n n ⎛⎫=-+++++ ⎪⎝⎭111111()2()()3(3)()2222n n n n n n -=-+--=-+5、（福建理）（22）（本小题满分14分）已知函数f (x )=ln(1+x )-x （Ⅰ）求f (x )的单调区间；（Ⅱ）记f (x )在区间[]0,π（n ∈N*）上的最小值为b x 令a n =ln(1+n )-b x . （Ⅲ）如果对一切npc 的取值范围；（Ⅳ）求证：13132******** 1.n na a a a a a a a a a a a -+++-g g g g g g p g g g（22）本小题主要考查函数的单调性、最值、不等式、数列等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分析问题和解决问题的能力，满分14分. 解法一：（I ）因为f(x)=ln(1+x )-x ，所以函数定义域为（-1,+∞）,且f ′(x)=11x +-1=1x x-+. 由f ′(x )>0得-1<x <0，f (x )的单调递增区间为（-1，0）；由f ′(x )<0得x >0，f (x )的单调递增区间为（0，+∞）. (II)因为f (x )在[0,n]上是减函数，所以b n =f (n )=ln(1+n )-n , 则a n =ln(1+n )-b n =ln(1+n )-ln(1+n )+n =n .(i)==>1.=又1x ==,因此c <1，即实数c 的取值范围是（-∞，1]. （II ）由（i< 因为[135(21)246(2)n n ⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅ ]23222133557(21)(21)11,2121246(2)n n n n n ⋅⋅⋅-+=⋅⋅⋅⋅⋅++＜L所以135(21)246(2)n n -g g g L g g g g L g＜1∈N *),则113135(21)224246(2)n n -+++g g g g L g L g g g g L g ＜131321122242 1.n n na a a a a a a a a a a a -+-=+++即＜L L L L1(n ∈N *）解法二：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）因为f (x )在[]0,n 上是减函数，所以()ln(1),n b f n n n ==+- 则ln(1)ln(1)ln(1).n n a n b n n n n =+-=+-++= （i-pn ∈N*恒成立.p n ∈N*恒成立.则2c n +p n ∈N*恒成立.设()2g n n =+ n ∈N*，则c ＜g (n )对n ∈N*恒成立.考虑[)()21,.g x x x =+-∈+∞因为12211()1(2) (22)1121x g x x x x x -+=-++=--+′g p ＝0，所以[)()1,g x +∞在内是减函数；则当n ∈N*时，g (n )随n 的增大而减小，又因为42lim ()lim(2x x x x g n n →∞→∞+=+==＝1.所以对一切*N ,() 1.n g n ∈>因此c ≤1,即实数c 的取值范围是(-∞，1]. (ⅱ) 由(ⅰ)<下面用数学归纳法证明不等式135(21)N ).246(2)n n n +-<∈g g g L g g g g L g①当n =1时，左边＝12，左边<右边.不等式成立. ②假设当n=k 时,不等式成立.即135(21)246(2)k k -<g g g L g g g g L g当n=k +1时，32122321222122212121)22(2642)12(12531++++=++=++++⋯+⋯∙∙∙∙∙∙k k k k k k k k k k k k k ＜）（）－（=,1)1(2132132148243824++=++++++∙k k k k k k k ＜即n ＝k ＋1时，不等式成立综合①、②得，不等式*)N (121)2(642)12(531∈+⋯-⋯∙∙∙∙∙∙∙∙n n n n ＜成立.所以1212)2(642)12(531--+⋯-⋯∙∙∙∙∙∙∙∙n n n n ＜)2(642)12(531423121n n ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙⋯-⋯⋯+＋＋.112123513-+=-⋯n n ＋＝－＋－＜即*)N (1212421231423121∈-⋯⋯⋯+++-n a a a a a a a a a a a a a n nn ＜＋. 6、（湖北理）21.(本小题满分14分) 已知数列{a n }和{b n }满足：a 1=λ,a n+1=24,(1)(321),3n n n n a n b a n +-=--+其中λ为实数，n 为正整数.（Ⅰ）对任意实数λ，证明数列{a n }不是等比数列；（Ⅱ）试判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论；（Ⅲ）设0＜a ＜b ,S n 为数列{b n }的前n 项和。

2008年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷分类汇编8.2双曲线

第八章圆锥曲线方程二双曲线【考点阐述】双曲线及其标准方程．双曲线的简单几何性质．【考试要求】（2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质．【考题分类】（一）选择题（共13题）1.（福建卷理11文12）双曲线22221x y a b==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为 A.(1,3)B.(]1,3C.(3,+∞)D.[)3,+∞解：如图，设2PF m =，12(0)F PF θθπ∠=<≤，当P 在右顶点处θπ=，22ce a ===∵1cos 1θ-<≤，∴(]1,3e ∈另外也可用三角形的两边和大于第三边,及两边差小于第三边,但要注意前者可以取到等号成立,因为可以三点一线. 也可用焦半径公式确定a 与c 的关系。

2.（海南宁夏卷文2）双曲线221102x y -=的焦距为（）【标准答案】Ｄ【试题解析】由双曲线方程得22210,212==∴=a b c ，于是2==c c 【高考考点】双曲线的标准方程及几何性质【易错提醒】将双曲线中三个量,,a b c 的关系与椭圆混淆，而错选Ｂ【备考提示】在新课标中双曲线的要求已经降低，考查也是一些基础知识，不要盲目拔高3.（湖南卷理8）若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( ) A.(1,2) B.(2,+∞)C.(1,5)D. (5,+∞)【答案】B【解析】2033,22a ex a e a a a c -=⨯->+ 23520,e e ⇒-->2e ∴>或13e <-(舍去),(2,],e ∴∈+∞故选B.4.（湖南卷文10）．双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是( )A． B．)+∞ C．1] D．1,)+∞ 【答案】C【解析】200a ex a x c -=+ 20(1)a e x a c ⇒-=+2(1),a a e a c⇒+≥-1111,a e c e∴-≤+=+2210,e e ⇒--≤11e ⇒≤≤ 而双曲线的离心率1,e>1],e ∴∈故选Ｃ.5.（辽宁卷文11）已知双曲线22291(0)y m x m -=>的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15，则m =（） A ．1 B ．2C ．3D ．4答案：D解析：本小题主要考查双曲线的知识。

2008年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(14空间向量与立体几何)

B．
3
3
C．
3
2
D．
3
1.解：C．由题意知三棱锥 A1 ABC 为正四面体，设棱长为 a ，则 AB1
3a ，棱柱的高
A1O
a2 AO2
a2 (2 3
3 a)2 2
6 3 a （即点 B1 到底面 ABC 的距离），故 AB1 与底面
ABC 所成角的正弦值为 A1O
2
.
AB1 3
M
连接 OP,过点 A 作 AQ OP 于点 Q，
∵ AP CD,OA CD,∴CD 、、 OAP, ∵ AQ 、、 OAP,∴ AQ CD
Q
A
D
又 ∵ AQ OP,∴ AQ 、、 OCD ,
线段 AQ 的长就是点 A 到平面 OCD 的距离
P
B
C
∵OP OD2 DP2 OA2 AD2 DP2 4 1 1 3 2 ， AP DP 2
NC
O
其补角）
作 AP CD、 P, 连接 MP
∵OA 、、 ABCD、 ∴CD MP
∵ADP ,∴DP= 2
4
2
MD MA2 AD2 2 ，
∴cos MDP DP 1 , MDC MDP
MD 2
3
M E
A
B
N
Q
D
P C
所以 AB 与 MD 所成角的大小为
3
（3）∵ AB‖ 、、 OCD,∴点 A 和点 B 到平面 OCD 的距离相等，连接 OP,过点 A 作
AN EM 6
C
NM
HA o
E
B
D
1 题图（1）
z
C
M
另解：以 O 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，则点 A(1, 1, 0), B(1, 1, 0), E(1,1, 0),C(0, 0, 2) , M ( 1 , 1 , 2 ), N (1 , 1 , 2 ) ,

08年数二真题答案解析

08年数二真题答案解析20学二真题是高考数学中的一道经典题目，难度较大，涉及到了广义相对论、微积分、概率论等多个数学领域。

本文将对该真题进行深入的解析，帮助读者更好地理解题意并解答出正确答案。

首先，让我们直接陈述20学二真题的题目内容：某同学用一台摄像机从窗户上往街上的人行道拍照。

已知摄像机离窗户底部1.6米，拍摄角度为15°。

现某个人影刚好填满底部宽2米的人行道，那么在摄像机拍到的画面中，底边长为多少？这道题目需要我们运用一些光学知识来解答。

当人影填满底部宽2米的人行道时，我们可以将其看作一个等腰梯形。

根据几何知识，等腰梯形的两底边与底边所在直线的夹角相等。

因此，该等腰梯形的两底边的夹角为15°。

接下来，我们需要通过计算来确定在摄像机拍到的画面中，底边的长度。

首先，我们可以通过正弦定理来进行计算。

根据正弦定理，我们可以得到等腰梯形中底边长与其对应的底边长度之间的关系。

设底边长为x，那么根据正弦定理，我们可以得到：sin15°/2 = 1.6/x接下来，我们可以通过计算器或其他工具来求解该算式。

计算结果为x≈6.144，即底边长为约6.144米。

通过上述计算，我们可以得出答案：在摄像机拍到的画面中，底边的长度约为6.144米。

这就是本道20学二真题的答案。

通过对这道题目的解析，我们不仅了解到了如何应用光学知识来解答问题，还学会了如何运用几何知识进行计算。

这对于我们的数学学习具有重要的意义。

在解答这道题目时，我们除了运用了光学和几何知识外，还需要熟练掌握正弦定理和计算器的使用方法。

这充分体现了数学学科的综合性和实用性。

通过对20学二真题的解析，我们不仅提高了自己的解题能力，还对数学学科的应用领域有了更深入的认识。

希望本文能对读者在高考数学复习中有所帮助。

数学是一门需要不断探索与实践的学科，只有不断学习与运用，我们才能更好地掌握数学的奥妙。

同时也希望广大考生在备战高考时，能够通过多做真题、深入理解题目，提高数学解题的能力。

2008年全国各地高考数学试题及解答分类大全(导数及其应用)

2008年全国各地高考数学试题及解答分类大全（导数及其应用）一、选择题：1.（2008安徽文）设函数1()21(0),f x x x x=+-< 则()f x （ A ） A ．有最大值B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数2．(2008福建文)如果函数()y f x =的图像如右图,那么导函数,()y f x =的图像可能是（A ）3. (2008福建理)已知函数y =f (x ),y =g (x )的导函数的图象如下图，那么y =f (x ),y =g (x )的图象可能是（D ）4．(2008广东文)设R a ∈，若函数ax e y x+=，R x ∈有大于零的极值点，则（A ） A ．1-<a B. 1->a C. e a 1-> D. ea 1-<5．(2008广东理)设R a ∈，若函数x ey ax3+=，R x ∈有大于零的极值点，则（ B ） A ．3->a B. 3-<a C. 31->a D. 31-<a6、(2008海南、宁夏文)设()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =（ B ）A. 2e B. e C.ln 22D. ln 27、(2008海南、宁夏理)由直线21=x ，x=2，曲线x y 1=及x 轴所围图形的面积是（ D ） A. 415 B.417 C. 2ln 21D. 2ln 28. (2008湖北理)若f(x)=21ln(2)2x b x -++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是（C ） A.[-1，+∞] B.（-1，+∞） C.（-∞，-1） D.（-∞，-1）9．(2008江西理) 123lim1--+→x x x ＝（ A ）A ．21B ．0C ．－21D ．不存在10．(2008辽宁理) 135(21)lim (21)x n n n →∞++++-=+（ B ）A ．14B ．12C ．1D ．211．(2008辽宁文、理)设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则点P 横坐标的取值范围为（ A ）A ．112⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，B ．[]10-，C ．[]01，D ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，12．(2008全国Ⅰ卷文) 曲线324y x x =-+在点(13)，处的切线的倾斜角为（ B ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．120°13．(2008全国Ⅰ卷理)设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ D ） A ．2B ．12C ．12- D ．2-14．(2008全国Ⅱ卷文)设曲线2ax y =在点（1，a ）处的切线与直线062=--y x 平行，则=a （A ）A ．1B ．12C ．12-D ．1-二、填空题：1.（2008北京文）如图，函数f (x )的图象是折线段ABC ,其中A ,B ,C 的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则f (f (0))= 2 ; 函数f (x )在x =1处的导数f ′（1）= -2 . 2．（2008北京理）如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中A B C ，，的坐标分别为(04)(20)(64)，，，，，，则((0))f f = 2 ；0(1)(1)lim x f x f x∆→+∆-=∆ —2 ．（用数字作答）3. (2008湖南理)211lim ______34x x x x →-=+-. 152 BC A y x 1 O 3 4 5 6 1 2 3 44. (2008江苏)直线12y x b =+是曲线()ln 0y x x =>的一条切线，则实数b ＝ ln2－1 ． 4.【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法．'1y x = ，令112x =得2x =，故切点（2，ln2），代入直线方程，得，所以b ＝ln2－1．【答案】ln2－15. (2008江苏) ()331f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()f x ≥0 成立，则a = 4 ．5.【解析】本小题考查函数单调性的综合运用．若x ＝0，则不论a 取何值，()f x ≥0显然成立；当x＞0 即[]1,1x ∈-时，()331f x ax x =-+≥0可化为，2331a x x ≥- 设()2331g x x x =-，则()()'4312x g x x -=，所以()g x 在区间10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因此()max 142g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，从而a ≥4；当x ＜0 即[)1,0-时，()331f x ax x =-+≥0可化为a ≤2331x x-，()()'4312x g x x -=0>()g x 在区间[)1,0-上单调递增，因此()()ma 14n g x g =-=，从而a ≤4，综上a ＝4【答案】46．(2008全国Ⅱ卷理)设曲线axy e =在点(01)，处的切线与直线210x y ++=垂直，则a = 2 ．7.(2008山东理)设函数f (x )=ax 2+c (a ≠0).若)()(010x f dx x f =⎰，0≤x 0≤1,则x 0的值为33.8．(2008陕西理) (1)1lim 2n a n n a∞++=+→，则a = 1 ．三、解答题：1.（2008安徽文）设函数323()(1)1,32a f x x x a x a =-+++其中为实数。

2008年普通高等学校招生全国统一考试理科高三数学(全国卷II)

2008年普通高等学校招生全国统一考试理科高三数学（全国卷II ）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

第I 卷参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 P （A+B ）=P （A ）+P （B ）如果事件A 、B 相互独立，那么 P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率P n （k ）=C kn p k （1-p ）n-k （k=0，1，2，…，n ）球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径，球的体积公式 V=334R π，其中R 表示球的半径本卷12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一. 选择题 1. 设集合}2m 3Z m {M <<-∈=，}3n 1Z n {N ≤≤-∈=，则=⋂N M ( )A. }1,0{B. }1,0,1{-C. }2,1,0{D. }2,1,0,1{-2. 设a ，b ∈R 且b ≠0，若复数3bi)(a +是实数，则( ) A.22a3b=B.22b3a= C.22a9b= D.22b9a=3. 函数x xx f -=1)(的图像关于( )A. y 轴对称B. 直线y=-x 对称C. 坐标原点对称D. 直线y=x 对称4. 若)1,(1-∈e x ，x ln =a ，x ln 2=b ，x 3ln =c ，则( )A. c b a <<B. b a c <<C. c a b <<D. a c b <<5. 设变量x ，y 满足约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥2x ,2y 2x ,x y 则y x z 3-=的最小值为：( )A. -2B. -4C. -6D. -8 6. 从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为( )A.299B.2910 C.2919 D.29207. ()()4611xx+-的展开式中x 的系数是( )A. -4B. –3C. 3D. 48. 若动直线a x =与函数x x f sin )(=和x x g cos )(=的图像分别交于M 、N 两点，则MN 的最大值为( )A. 1B.2C.3 D. 29. 设1>a ，则双曲线1)1a (yax 2222=+-的离心率e 的取值范围是( )A. )2,2(B. )5,2(C. )5,2(D. )5,2(10. 已知正四棱锥S-ABCD 的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE 、SD 所成的角的余弦值为( )A.31 B.32 C.33 D.3211. 等腰三角形两腰所在直线的方程分别为02=-+y x 和047=--y x ，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为( )A. 3B. 2C. 31-D. 21-12. 已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆.若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于( )A. 1B. 2C. 3D. 2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二. 填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

2008年高考全国二卷理科数学题及其答案

2008年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷2数学）理科数学( 必修+选修Ⅱ)第Ⅰ卷一、选择题1．设集合M{ m Z| 3 m 2} ，N { n Z| 1 ≤n ≤3}，则M N （）A．0，1 B．1，0，1 C．0，1，2 D．1，0，1，22．设a，b R且b 0 ，若复数 3( a bi ) 是实数，则（）A． 2 2b a B．32 2a b C．32 2b a D．92 2a 9b3．函数1f ( x)xx的图像关于（）A．y 轴对称B．直线y x 对称C．坐标原点对称D．直线y x 对称4．若 1 3x ( e ，1)， a ln x，b 2 ln x，c ln x ，则（）A．a < b < c B．c <a < b C． b < a < c D． b < c < a≥，yx≤5．设变量x，y 满足约束条件：x 2 y 2 ，则z x 3 y 的最小值（），≥x 2．A． 2 B． 4 C． 6 D．86．从20 名男同学，10 名女同学中任选 3 名参加体能测试，则选到的 3 名同学中既有男同学又有女同学的概率为（）A．929B．1029C．1929D．20297． 6 4(1 x ) (1 x ) 的展开式中x 的系数是（）A． 4 B． 3 C．3 D．48．若动直线x a 与函数 f ( x ) sin x 和g ( x) cos x 的图像分别交于M ，N 两点，则MN 的最大值为（）A．1 B． 2 C． 3 D．22 2x y9．设a 1 ，则双曲线 2 2 1的离心率 e 的取值范围是（）a (a 1)A．( 2，2) B．( 2，5)C．(2 ，5) D．(2 ，5 )第1 页（共11 页）10．已知正四棱锥 S AB C D 的侧棱长与底面边长都相等， E 是 SB 的中点，则 AE ， SD 所成的角的余弦值为（）1 23 2A ．B ．C ．D ．333311．等腰三角形两腰所在直线的方程分别为 x y 2 0 与 x 7 y 4 0 ，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（） A ．3B ．2C ．1 3D ．1 212．已知球的半径为 2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为 2，则两圆的圆心距等于（）A ．1B ． 2C ． 3D ．2第Ⅱ卷二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上．13．设向量 a (1，2) ， b(2 ，3) ，若向量ab 与向量 c( 4， 7) 共线，则．14．设曲线 axye 在点 (0 ，1) 处的切线与直线 x 2 y 1 0 垂直，则 a．15．已知 F 是抛物线 2C ： yx 的焦点，过 F 且斜率为 1 的直线交 C 于 A ， B 两点．设 FA FB ，4则 FA 与 FB 的比值等于．16．平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件① ；充要条件②．（写出你认为正确的两个充要条件）三、解答题：本大题共6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分 10 分）在 △ A B C 中， cos 5 B ，13cos 4 C ．5（Ⅰ）求 sin A 的值；（Ⅱ）设 △ A B C 的面积 33△，求 B C 的长．SA BC218．（本小题满分 12 分）购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a 元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得 10 000 元的赔偿金．假定在一年度内有 10 000 人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金 10 000 元的概率为4101 0.999 ．（Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率p ；（Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000 元，为保证盈利的期望不小于 0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）．第2 页（共11 页）19．（本小题满分12 分）如图，正四棱柱A BC D ABCD 中，AA1 2 AB 4 ，点E 在CC 1 上且C1 E 3EC ．1 1 1 1（Ⅰ）证明：A C 平面B E D ；1 D1 C1（Ⅱ）求二面角 A D E B 的大小．1 A1 B1ED C A B20．（本小题满分12 分）设数列 a 的前n 项和为S ．已知n n a a ，1na 1 S 3 ，n n*n N．n（Ⅰ）设 b S 3 ，求数列n n b 的通项公式；n（Ⅱ）若a≥ a ，n 1 n*n N，求a 的取值范围．21．（本小题满分12 分）设椭圆中心在坐标原点， A (2 ，0)，B (0，1) 是它的两个顶点，直线y kx ( k 0) 与AB 相交于点D，与椭圆相交于E、F 两点．（Ⅰ）若ED 6DF ，求k 的值；（Ⅱ）求四边形A EBF 面积的最大值．22．（本小题满分12 分）sin x设函数 f ( x)．2 cos x（Ⅰ）求 f ( x) 的单调区间；（Ⅱ）如果对任何x≥0 ，都有 f ( x ) ≤ax ，求a 的取值范围．第3 页（共11 页）2008 年参考答案和评分参考一、选择题1．B 2．A 3．C 4．C 5．D 6．D7．B 8．B 9．B 10．C 11．A 12．C部分题解析：2. 设a，b R且b 0 ，若复数 3( a bi ) 是实数，则（）A． 2 2b a B．32 2a b C．32 2b a D．92 2a b ，9解： 3 3 2 2 3( a bi ) a 3a bi 3a(bi ) (bi ) （←考查和的立方公式，或二项式定理）3 2 2 3(a 3a b ) ( 3a b b ) i（←考查虚数单位i 的运算性质）R （←题设条件）∵a，b R且b 0∴ 2 33a b b 0 （←考查复数与实数的概念）∴ 2 2b a .3故选 A.6. 从20 名男同学，10 名女同学中任选 3 名参加体能测试，则选到的 3 名同学中既有男同学又有女同学的概率为（）A．929B．1029C．1929D．2029思路1：设事件A：“选到的 3 名同学中既有男同学又有女同学”，其概率为：P ( A )2 1 1 2C C C C20 10 20 103C30（←考查组合应用及概率计算公式）2 0 1 9 1 0 91 02 02 1 2 13 0 2 9 2 8（←考查组合数公式）3 2 11 0 1 9 1 0 1 0 1 0 9（←考查运算技能） 1 0 2 9 1 42029故选 D.思路2：设事件A：“选到的 3 名同学中既有男同学又有女同学”，事件 A 的对立事件为 A ：“选到的 3 名同学中要么全男同学要么全女同学”其概率为：P ( A) 1 P ( A) （←考查对立事件概率计算公式）13 3C C20 103C30（←考查组合应用及概率计算公式）第4 页（共11 页）20 19 8 10 9 81 32 13 2 130 29 28（←考查组合数公式）3 2 12 0 1 9 1 8 1 0 9 8（←考查运算技能） 3 0 2 9 2 82029故选 D.7. 已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（）A．1 B． 2 C． 3 D．2分析：如果把公共弦长为 2 的相互垂直的两个截球面圆，想成一般情况，问题解决起来就比较麻烦，许多考生就是因为这样思考的，所以浪费了很多时间才得道答案；但是，如果把公共弦长为2 的相互垂直的两个截球面圆，想成其中一个恰好是大圆，那么两圆的圆心距就是球心到另一个小圆的距离 3 ，问题解决起来就很容易了.二、填空题13．2 14．2 5．3 2 216．两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形．注：上面给出了四个充要条件．如果考生写出其他正确答案，同样给分．三、解答题17．解：（Ⅰ）由cos5B ，得13sin12B ，13由cos4C ，得5sin3C ．5所以33sin A sin( B C ) sin B cos C cos B sin C ．···········································5 分65（Ⅱ）由33S△得ABC21 33A B A C sin A ，2 2由（Ⅰ）知sin33A ，65故AB AC 65 ，·······································································································8 分又A B sin B 20A C A Bsin C 13，故20132A B 65 ，13A B ．2所以 B CA B sin A 11sin C 2 ． (10)分18．解：各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p ，记投保的10 000 人中出险的人数为，第5 页（共11 页）4则~ B (10 ， p ) ．（Ⅰ）记A 表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000 元赔偿金，则A 发生当且仅当 0 ，···· ······ ······ ······ ······ ···· ·· ···· ······ ······ ······ ······ ······ ······ ······ ······ ···· ·· ···· ··· ······ ······ ······ ······ ······ ····2 分P ( A ) 1P ( A ) 1P (0)4101 (1 p ) ，又410 P (A ) 1 0.999 ，故 p 0.001 ． ····· ···· ·· ···· ······ ······ ······ ······ ······ ······ ······ ······ ··· ······ ···· ······ ······ ······ ······ ······ ····5 分（Ⅱ）该险种总收入为 10 000 a 元，支出是赔偿金总额与成本的和．支出 1 0 0 0 05 0 0，0盈利 1 0 0 0a0( 1 0 0 0 05 0，0盈利的期望为 E1 0 0 0 a 0 1 0 0E0 05 ，0 ····· ······ ···· ······ ······ ······ ······ ······ ····9 分由43~ B (10 ，10 ) 知，3E10 000 10 ，444E10 a10 E5 104443410 a 10 10105 10 ．E ≥44410 a 1010 5 10≥ 0a≥10 5a ≥（元）．15故每位投保人应交纳的最低保费为 15 元． ·· ······ ······ ······ ···· ·· ···· ··· ······ ······ ······ ······ ······ ··12 分19．解法一：D1依题设知 A B 2 ， C E 1 ．C 1（Ⅰ）连结A C 交 BD 于点 F ，则B D A C ．A 1B1由三垂线定理知， B DA C ． 1······ ······ ······ ······ ······ ··· ······ ······ ···· ······ ······ ······ ······ ······ ····3 分H E在平面 A C A 内，连结E F 交 A 1C 于点 G ，1G DA A A C C1 2 2由于， A BF F C C E第6 页（共11 页）故R t △A AC ∽Rt △FCE ，1 AA C CFE ，1C F E 与F C A 互余．1于是A C EF ．1A C 与平面B E D 内两条相交直线 B D，E F 都垂直，1所以A C 平面 B ED ．·······························································································6 分1（Ⅱ）作G H D E ，垂足为H ，连结A H ．由三垂线定理知A H D E ，1 1故A HG 是二面角1 A D E B 的平面角．1·······························································8 分2 2EF CF CE 3 ，C GC E C FE F 23， 2 23 EG C E C G．3EG 1 1 EF F D 2，G H ． EF 3 3 D E 15又 2 2A1 C AA1 AC 2 6 ，5 6A G A C C G ．1 13A G1tan A H G 5 51H G ．所以二面角A D E B 的大小为arctan 5 5 ．1························································12 分z解法二：以D 为坐标原点，射线 D A 为x 轴的正半轴，D1 C1建立如图所示直角坐标系D xyz ．A1 B1 依题设，B (2 ，2，0) ，C (0，2，0)，E (0，2，1)， A (2 ，0，4) ．1 ED E (0 ，2，1)，D B (2 ，2，0) ，xDA BCyA1 C ( 2，2，4)，DA1 (2，0，4) ．················································································3 分（Ⅰ）因为A1C DB 0 ，A1C DE 0 ，故A C BD ，A1C D E ．1又DB DE D ，第7 页（共11 页）所以A C 平面 D BE ．····························································································6 分1（Ⅱ）设向量n( x，y，z)是平面D A E 的法向量，则1n DE ，n D A ．1故2 y z 0 ，2 x 4 z 0 ．令y 1，则z 2 ，x 4 ，n(4 ，1，2) ．······························································9 分n等于二面角，A C1 A D E B 的平面角，1cos n A C，1 nnA C1A C11442．所以二面角 A D E B 的大小为a rccos11442．·························································12 分20．解：（Ⅰ）依题意，nS 1 S a 1 S 3 ，即n n n nnS 1 2S 3 ，n n由此得n 1 nS S ．···················································································4 分1 3 2( 3 )n n因此，所求通项公式为n n 1b S 3 ( a 3)2 ，n n*n N．①········································································6 分（Ⅱ）由①知n n 1S 3 ( a 3)2 ，n*n N，于是，当n ≥ 2 时，a S Sn n n1n n 1 n 1 n 2 3 ( a 3) 2 3 ( a 3) 2n 1 n 22 3 ( a 3)2 ，n 1 n 2a 1 a 4 3 (a 3)2n nn 2n2 32 12 a3 ，2当n ≥ 2 时，n 2 3a ≥ a 12 a 3≥0n 1 n2第8 页（共11 页）a ≥．9又a2 a13 a1 ．综上，所求的 a 的取值范围是9，．·································································12 分21．（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为2x42 1y ，直线A B，EF 的方程分别为x 2 y 2 ，y kx ( k 0) ．··········································2 分如图，设D ( x ，kx )，E ( x ，kx )，F ( x ，kx ) ，其中0 0 1 1 2 2 x x ，1 2且x ，x 满足方程1 22 2(1 4k ) x 4 ，yBF故x x2 121 4k 2．①EODAx由ED 6DF 知x0 x1 6( x2 x0 ) ，得1 5 10x (6 x x ) x0 2 1 27 7 7 1 4k 2；由D 在A B 上知x0 2kx0 2 ，得x 021 2 k．2 10所以，1 2 k 7 1 4k 2化简得 224 k 25 k 6 0 ，解得2k 或33k ．8··································································································6 分（Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点E，F 到 A B 的距离分别为h 12x 2kx 2 2(1 2k 1 4k ) 1 125 5(1 4 )k，h 22x 2kx 2 2(1 2k 1 4k )2 225 5(1 4 )k．······························································9 分又 2AB 2 1 5 ，所以四边形A EBF 的面积为1S A B (h h )1 221 4(12 k)52 5(1 4 2 )k第9 页（共11 页）2(1 2 k )2 1 4 k221 4k4k21 4k≤ 2 2 ，当2k 1 ，即当1k 时，上式取等号．所以S的最大值为2 2 ．2···························12 分解法二：由题设，BO 1 ，AO 2 ．设y kx ，1 1 y kx ，由①得2 2x2 0 ，y 2 y1 0 ，故四边形A EBF 的面积为S S△S△BEF AEFx2 2 y2 ····················································································································9 分( x 2 y )2 222 2x2 4 y2 4 x2 y2≤ 2 22( x 4 y )2 22 2 ，当x2 2 y2 时，上式取等号．所以S的最大值为2 2 ．············································12 分22．解：（Ⅰ） f ( x) (2 cos x) cos x sin x( sin x) 2 cos x 12 2(2 cos x) (2 cos x)．··································2 分当2 π2π2kπx 2kπ（k Z）时，3 3cos1x ，即 f ( x) 0 ；2当2 π4π2kπx 2kπ（k Z）时，3 3cos1x ，即 f ( x) 0 ．2因此 f ( x)在每一个区间2π2π2 π 2 πk ，k （k Z）是增函数，3 3f ( x)在每一个区间2π4π2 π 2 πk ，k （k Z）是减函数．3 3································6 分（Ⅱ）令g ( x ) ax f ( x)，则11 页）第10 页（共g (x) a2 cos x 12 (2 cos x)a2 32 cos x (2 cos x)2321 1 1a2 cos x3 3．故当1a ≥时，g ( x)≥0 ．3又g (0) 0 ，所以当x ≥0 时，g ( x)≥g (0) 0 ，即 f ( x ) ≤ax ．··························9 分当01a 时，令h(x ) sin x 3ax ，则h( x)cos x 3a．3故当x 0，arccos 3a 时，h ( x) 0 ．因此h( x ) 在0，arccos 3a 上单调增加．故当x (0 ，arccos 3a ) 时，h(x ) h (0) 0 ，即sin x 3ax ．于是，当x (0，arccos 3a)时，sin x sin xf ( x ) ax2 cos x 3．π 1 π当a ≤0 时，有f≥ a ．2 2 21因此， a 的取值范围是，．··············································································12 分311 页）第11 页（共。

2008年高考数学复习：解析几何专题热点指导

2008年高考数学复习：解析几何专题热点指导天津市第四十二中学张鼎言5.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2=x1+x3，则有()A.|FP1|+|FP2|=|FP3|B.|FP1|2+|FP2|2=|FP3|2C.2|FP2|=|FP1|+|FP3|D.|FP2|2=|FP1|·|FP3|分析∵P1、P2、P3在抛物线上，∴由抛物线定义|PF1|=x1()=x1+|PF2|=x2+|PF3|=x3+又2x2=x1+x32(x2+)=(x1+)+(x3+)∴2|FP2|=|FP1|+|FP3|选C6.已知抛物线y=x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于()(A)3(B)4(C)3(D)4解：A(x1，y1)，与B(x2，y2)关于直线x+y=0对称，又A、B在抛物线上，(2)(1)：y1+x1=x12+y12=(y1+x1)(y1x1)∵点A不在直线x+y=0上∴x1+y1≠0，y1x1=1，y1=x1+1代入(1)A(2，1)，B(1，2)反之亦然∴|AB|=3，选C7.双曲线C1：=1(a>0，b>0)的左准线为l，左焦点和右焦点分别为F1和F2；抛物线C2的准线为l，焦点为F2；C1与C2的一个交点为M，则等于()A.1B.1C.D.解：|F1F2|=2c，设|MF1|=x，|MF2|=y由M在双曲线C1上，xy=2aM在抛物线C2上，|MN|=|MF2|=y又M在C1上，由双曲线第二定义====1选A注：本题把双曲线定义、第二定义与抛物线定义连结在一起，这里M在C1、C2上是突破口，所以几何图形上的公共点是知识点的交叉点，是设计问题的重要根源.(三)直线与圆锥曲线相切复习导引：学习了导数，求圆锥曲线的切线多了一条重要途径，归结起来求切线可用判别式△=0或求导.1.如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点C(0，c)任作一直线，与抛物线y=x2相交于A、B两点，一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线l：y=c交于P，Q，(1)若·■=2，求c的值；(2)若P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切线；(3)试问(2)的逆命题是否成立？说明理由。

山东省临沭第二中学08届高三抛物线检测题

某某省某某第二中学08届高三抛物线检测题A 卷一、选择题 1.抛物线218y x =-的准线方程是-------------( ) A.132x = B.12x = C.2y = D.4y =2.若抛物线214y x =上一点P 到焦点F 的距离为5,则P 点的坐标是---------( )A.(4,4)±B.(4,4)±C.79(,)168± D.79(,)816± 3.P 为抛物线22y px =的焦点弦AB 的中点,A 、B 、P 三点到抛物线准线的距离分别是1AA 、1BB 、1PP ,则有-------------------------( )A.111PP AA BB =+B.112PPAB = C.112PP AB > D.112PP AB < 4.已知F 为抛物线22y x =的焦点,(2,1)Q 是定点,点P 在抛物线上,要使PQ PF +的值最小,点P 的坐标为-----------------( )A.(0,0)B.1(,1)2C. D.(2,2)5.已知点111(,)P x y ,222(,)P x y 是抛物线22(0)y px p =>上不同的两点,则212y y p =-是直线12P P 经过抛物线的焦点的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.过点(0,1)作直线,使它与抛物线x y 42=仅有一个公共点,这样的直线有---( ) A.1条 B.2条 C.3条 D. 0条二、填空题7.动点P 到直线40x +=的距离减去它到点(2,0)M 的距离之差等于2,则点P 的轨迹是_______________8.抛物线22(0)y px p =->上有一点M 的横坐标为9-,它到焦点的距离为10,则抛物线方程为.9.若P 为抛物线210yx =上的动点,则点P 到直线50x y ++=的距离的最小值为.10.抛物线24y x =-关于直线2x y +=对称的抛物线的焦点坐标是. 三、解答题11.直线l ：2y x =-与抛物线22y x =相交于两点A 、B ，求证：OA OB ⊥ 12.已知(4,1)P -，F 为抛物线28y x =的焦点，M 为此抛物线上的点，且使MP MF +的值最小，求M 点的坐标。

2008年全国高考数学试题分类汇编—椭圆

2008 年全国高考数学试题汇编圆锥曲线一、选择题x 2y 21 m 1 上一点P到其左焦点的距离为3，到右焦1．（天津理科 5）设椭圆2m21m点的距离为1，则 P 点到右准线的距离为（B）A． 6B． 2127 C．D．272．（天津文科x2y21(m0， n0) 的右焦点与抛物线y28x 的焦点同样，7）设椭圆n2m2离心率为1，则此椭圆的方程为（ B ）2x2y 2B．x2y21x2y2x2y2A．112C．1D．1121616486464483．（江西文、理科 7）已知 F1、 F2是椭圆的两个焦点．知足MF1· MF2＝0的点 M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（C）A． (0，1)B．(0，1]C．(0， 2 )D． [2，1) 222x2y2F1、 F2是椭圆的两个焦点，则4．（上海文科 12 ）设P是椭圆 1 上的点．若2516| PF1 | | PF2 |等于( D )A．4B．5C．8D．10. 5．（湖北文、理科10）如下图，“嫦娥一”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球邻近一点P 处进入以月球球心 F 为一个焦点的椭圆轨道I 绕月飞翔，以后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞翔，最后卫星在P 点第三次变轨进入以 F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞翔，若用2c1和 2c2分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用 2a1和 2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出以下式子：①a1＋ c1＝ a2＋ c2；② a1－ c1＝ a2－ c2；③ c1a2＞ a1c1；④c1 ＜c2 ．a1 a2此中正确式子的序是（B）A．①③B．②③C．①④D．②④6.（全国 2 文）设△ ABC 是等腰三角形，ABC120 ，则以A，B为焦点且过点C的双曲线的离心率为（）12B．13C．12D．13A．227.（全国 2理 9）设a1，则双曲线x2y21的离心率 e的取值范围是（）a2( a1)2A．( 2，2)B．( 2，5)C．(2，5)D．(2，5)8.（福建文x2y21 (a0， b0)的两个焦点为F1， F2，若 P 为其12 理 11）双曲线2b2a上一点，且 | PF1|=2| PF2| ，则双曲线离心率的取值范围为（）A． (1， 3)B．13，C． (3，+)D．3，9.（辽宁文6）设 P 为曲线 C：y x22x 3 上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为0，，则点 P 横坐标的取值范围为（）4，1B．10，C．01，D． 1 ，A． 121210.（辽宁文 11）已知双曲线9 y2m2x21(m 0)的一个极点到它的一条渐近线的距离为1，则 m（）5A．1B．2C． 3D． 411. （辽宁理 10）已知点 P 是抛物线y22x 上的一个动点，则点P到点（ 0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）A．17C．59B．3D．22x2y21 的两个焦点到一条准线的距离之比为3:2 ，则双曲线12.（浙江理 7）若双曲线2b2a的离心率是（）A．3B．5C．3D．513.（陕西理 8）双曲线x2y21（a0 ， b0 ）的左、右焦点分别是F1，F2，过 F1 a2b2作倾斜角为 30 的直线交双曲线右支于M 点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为（）A．6B．3C．2D．3 314. （海南理宁夏 11）已知点 P 在抛物线y24x 上，那么点P到点 Q(2， 1) 的距离与点P 到抛物线焦点距离之和获得最小值时，点P 的坐标为（）A．1，1B．1，C．(1，2)D．(1， 2)44115.x2y21 的焦距为（）（海南文宁夏 2）双曲线210A．3 2B．4 2C．3 3D．4 316.（湖南理8）若双曲线x2y2 1 （a＞0,b＞0）上横坐标为3a的点到右焦点的距离a2b22大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B )A.(1,2)B.(2,+)C.(1,5)D. (5,+)17.（湖南文 10）若双曲线x2y21（a0，b0）的右支上存在一点，它到右焦点a2b2及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是（）A．，2B．，∞C．，1D．2，∞12 1 2118.（重庆文8）若双曲线x216 y21的左焦点在抛物线 y2 2 px 的准线上，则p 的值3p2为（）A．2B．3C． 4D．4 219.（重庆理8 ）已知双曲线x2y21(a0， b0) 的一条渐近线为 y kx(k0) ，离a2b2心率 e 5k ，则双曲线方程为（）x 2y 21x 2 y 2 1A ．4a 2 B ．5a 2a 2a 2x 2 y 21x 2y 21C ．b 2 D ．b 24b 25b 220.（北京文 3）“双曲线的方程为x 2 y 2 9 91”是“双曲线的准线方程为 x”的（）165A ．充足而不用要条件B ．必需而不充足条件C ．充足必需条件D ．既不充足也不用要条件21. （北京理4）若点 P 到直线 x 1 的距离比它到点 (2，0) 的距离小 1，则点 P 的轨迹为（）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线二、填空题x 2 y21（ a ＞ b ＞ 0）的右焦点为F ，右准线为 l,离心率 e22．（湖南理科 12 ）已知椭圆b 2a 2＝5.过极点 A(0,b)作 AMl ，垂足为 M ，则直线 FM 的斜率等于．答案：15223．（浙江理科 12 文科 13 ）已知 F 1， F 2 x 2y 2 F 1 的直线交椭为椭圆251的两个焦点，过9圆于 A ，B 两点，若 F 2 A F 2 B 12 ，则 AB．答案： 824．（宁夏海南文科 15 ）过椭圆x 2y 22 的直线与椭圆交于51的右焦点作一条斜率为4A,B 两点, O 为坐标原点 ,则△ OAB 的面积为. 5答案：325．（江苏 12）在平面直角坐标系中，椭圆x 2 y 2 1(a b 0) 的焦距为2，以 O 为圆 a2b2心， a 为半径的圆，过点a 2 作圆的两切线相互垂直，则离心率y,0cAe =．【分析】如图，切线 PA 、PB 相互垂直，又半径OA 垂直于 PA ，所以OPxB△OAP 是等腰直角三角形，故a 2 2ac 2 c，解得 e．a22【答案】226．（全国Ⅰ文科 15）在△ ABC 中，∠ A ＝90°，tan B ＝ 3．若以 A 、B 为焦点的椭圆经过点C ，e ＝4则该椭圆的离心率．答案： 1．不如设 2c ＝ AB ＝ 4，AC ＝ 3，则 CB ＝5，由椭圆定义可得 2a ＝ AC ＋ CB ＝ 8，2于是 e2c .2a727．（全国Ⅰ理科 15）在 △ ABC 中， AB．若以 A ， B 为焦点的椭圆BC ， cosB经过点 C ，则该椭圆的离心率e18．答案： 3.设ABBC1，7 则8 cosB25 18AC 2AB 2 BC 22 AB BC cosB9 AC5， 2a1 5 8 1,e 2c 333 ,2 c2a．3 828．（上海理科 10 ）某海疆内有一孤岛，岛周围的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其界限是长轴长为2a ，短轴长为 2b 的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为 h 1、h 2，且两个导航灯在海平面上的投影恰巧落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海疆（船只的大小忽视不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为 θ 1、 θ 2，那么船只已进入该浅水区的鉴别条件是．答案： h 1cot θ 1+ h 2cot θ 2≤ 2a ．29.（全国2 文 15）．已知 F 是抛物线 C ： y 24x 的焦点， A ，B 是 C 上的两个点，线段AB 的中点为 M (2，2) ，则 △ ABF 的面积等于．15． 230. （全国 I 文 14）已知抛物线 yax 2 1 的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为极点的三角形面积为． 14．1 231. （全国理 II14）已知抛物线 y ax 2 1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为极点的三角形面积为．14．232.（全国 2 理 15）已知F是抛物线C：y24x 的焦点，过 F 且斜率为1的直线交C于A， B 两点．设 FA FB ，则 FA 与 FB 的比值等于．15．3 2 233.（山东文）34. （安徽文14）已知双曲线x2y2=1 的离心率为 3 ，则n=．14． 4 n 12 n35.( 江西文14)已知双曲线x2y21(a0， b0) 的两条渐近线方程为 y 3x ，若a2b23极点到渐近线的距离为1，则双曲线的方程为x23y21． 14．4436. (江西理15)过抛物线x22py ( p0)的焦点 F 作倾斜角为30的直线，与抛物线分别AF1交于 A，B 两点（点 A 在 y 轴左边），则． 15．FB3x2y237.(海南理宁夏 14）设双曲线1的右极点为A，右焦点为F．过点F平行双曲线的916一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△ AFB 的面积为． 14．321538. (海南文宁夏15）过椭圆x2y21的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两54点， O 为坐标原点，则△OAB 的面积为．15．5339.( 天津理 13) 已知圆C的圆心与抛物线y 24x 的焦点对于直线y x 对称，直线4x 3y 2 0 与圆C相交于A，B两点，且AB6，则圆C的方程为． 13．x2( y 1)21040.(天津文 15)．已知圆C的圆心与点P(2，1) 关于直线 y x 1 对称．直线3x 4 y 11 0 与圆C相交于A，B两点，且AB6，则圆C的方程为．15． x 2( y 1)21841. （上海文 6 ）若直线 ax y1 0 经过抛物线 y 24x 的焦点，则实数a．6． 1三、解答题42.．（湖南文科 19）已知椭圆的中心在原点，一个焦点是 F(2,0) ，且两条准线间的距离为 λ(λ ＞4).(Ⅰ )求椭圆的方程；(Ⅱ )若存在过点 A(1,0)的直线 l,使点 F 对于直线 l 的对称点在椭圆上，求 λ的取值范围 . 解：（Ⅰ）设椭圆的方程为x 2 y 2 1(a ＞ b ＞ 0)．a2b222a2222由条件知 c ＝ 2，且＝ λ，所以 a ＝ λ，b ＝ a － c ＝λ－4．x 2y 2 1( ＞ 4). 故椭圆的方程是4(Ⅱ )依题意，直线 l 的斜率存在且不为0，记为 k ，则直线 l 的方程是 y ＝k(x － 1).设点 F(2,0)对于直线 l 的对称点为 F ′(x 0,y 0)，则y 0x 0 222k(1),x 01 k2 ,2解得y 02kk 1.y 02 .x 01 k2( 2 ) 2 ( 2k ) 2因为点 F ′(x 0， y 0)在椭圆上，所以1 k2 1 k 2 1. 即4 λ(λ－ 4)k 4＋2λ(λ－6)k 2＋(λ－ 4)2＝ 0.设 k 2＝ t,则 λ(λ－ 4)t 2＋ 2λ(λ－ 6)t － (λ－ 4)2＝ 0.因为 λ＞ 4，所以((4) 2 ＞ 0．4) 42 (6) 24 (4) 30,2 ( 6)(4)解得 46 ．43.．（广东理科 18 文科 20 ）设 b ＞ 0 ，椭圆方程为x 2y 21 ，抛物线方程为 x 28( y b) ．如图 4 所示，过点 F （0， b ＋2）作 x 轴的2b 2b 2平行线，与抛物线在第一象限的交点为G ．已知抛物线在点G 的切线经过椭圆的右焦点F 1．（ 1）求知足条件的椭圆方程和抛物线方程；（ 2）设 A 、 B 分别是椭圆长轴的左、右端点，尝试究在抛物线上能否存在点 P ，使得△ABP 为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明原因（不用详细求出这些点的坐标）．【分析】（1 ）由 x 28( y b) 得 y 1 x 2 b ，81x ， y '|x 4当 yb 2 得 x4 ， G 点的坐标为 (4, b 2) ， y '1，4过点 G 的切线方程为 y (b 2) x 4 即 y x b2 ，令 y0 得 x 2 b ，F 1 点的坐标为 (2 b,0) ，由椭圆方程得 F 1 点的坐标为 (b,0) ，2 b b 即 b1，即椭圆和抛物线的方程分别为x 2 y 2 1和 x 2 8( y 1) ；2（ 2）过 A 作 x 轴的垂线与抛物线只有一个交点P ,以PAB 为直角的 Rt ABP 只有一个，同理以 PBA 为直角的 Rt ABP 只有一个．若以APB 为直角，设 P 点坐标为 (x, 1x 2 1) ， A 、 B 两点的坐标分别为 (2,0) 和8( 2,0) ，PA PB x22 (1x 2 1)21 x 4 5 x2 1 0 ．864 4对于 x 2 的二次方程有一大于零的解， x 有两解，即以APB 为直角的 Rt ABP 有两个，ABP所以抛物线上存在四个点使得为直角三角形．44（．北京文科 19）已知 △ABC 的极点， B 在椭圆 x 2 3y 24 上，C 在直线 l ： y x 2A上，且 AB ∥ l ．（Ⅰ）当 AB 边经过坐标原点 O 时，求 AB 的长及 △ ABC 的面积；（Ⅱ）当ABC 90 ，且斜边 AC 的长最大时，求 AB 所在直线的方程．解：（Ⅰ）因为 AB ∥ l ，且 AB 边经过点（ 0，0 ），所以 AB 所在直线的方程为 y=x.设 A ， B 两点坐标分别为（ x 1,y 1） ,(x 2,y 2).x 2 3y24,由y x得 x1,所以 AB2 x 1 x 2 2 2.又因为 AB 边上的高 h 等于原点到直线 l 的距离，所以 h2.S ABC1AB h2.2（Ⅱ）设 AB 所在直线的方程为y=x+m.x 2 3y 2 4,26mx 3m 24 0.由x 得 4xym因为 A ， B 在椭圆上，所以12m 2 64＞0.设 A ，B 两点坐标分别为（ x 1,y 1），（ x 2,y 2） .则 x 1 x 23m, x 1 x 23m 2 4 ,24所以 AB2 x 1 x 232 6m 22.又因为 BC 的长等于点（ 0,m ）到直线 l 的距离，即 BC2 m.2222m 2 2m10 (m 1)2 11. 所以 AC AB BC所以当 m=-1 时， AC 边最长 .（这时 1264＞0 ）此时 AB 所在直线方程为 yx 1.45．（北京理科 19）已知菱形 ABCD 的极点 A ，C 在椭圆 x 2 3 y 24 上，对角线 BD 所在直线的斜率为 1．（Ⅰ）当直线BD 过点 (0，1) 时，求直线 AC 的方程；（Ⅱ）当ABC 60 时，求菱形 ABCD 面积的最大值．解：（Ⅰ）由题意得直线直线BD 的方程为 y x 1 ．因为四边形 ABCD 为菱形，所以 AC ⊥ BD.于是可设直线AC 的方程为 yxnx 2 3y 2 4,26nx 3n 24 0.由x 得 4xyn因为 A ， C 在椭圆上，所以△＝ -12n2+64＞ 0，解得43＜ n＜4 3.33设 A， C 两点坐标分别为（ x1,y1） ,(x2,y2),则 x1 x23n, x1x23n24, y1x1 n, y2x2 n. 24所以y1y2n . 2所以 AC 的中点坐标为3n , n .44由四边形 ABCD为菱形可知，点3n,n在直线y=x+1上，44所以n3n 1 ，解得n=-2．44所以直线AC 的方程为y x 2 ，即x+y+2=0．（Ⅱ）因为四边形ABCD为菱形，且ABC60 ,所以 AB BC CA .所以菱形 ABCD的面积S32AC .2由（Ⅰ）可得AC(x1x2 )2( y1y2 )23n216 .22所以 S3(3n216)(43＜ n＜4 3).433所以当 n=0 时，菱形 ABCD的面积获得最大值43 .46．（宁夏海南理科 20 ）在直角坐标系xOy 中，椭圆 C1: x 2y21(a b 0) 的左右焦a 2b 2点分别为 F1，F2. F2也是抛物线 C2: y 24x 的焦点，点M为 C1与 C 2在第一象限的交点，且| MF2| 5. 3(I)求C1的方程；(II)平面上的点N足 MN MF1MF2，直 l // MN ，且与C1交于 A、B 两点，若OA OB0 ，求直l的方程．解： (I)由意得 c＝1，所以 a2＝ b2＋ 1．⋯⋯⋯⋯①由抛物定知x M2，所以 y M28，4383代入方程得 1 ．⋯⋯⋯⋯②9a23b2由①②解得 b2＝3（－ 8／ 9 舍去）， a2＝ 4．所以 C1的方程是x2y21 ．43(II) MN MF1MF 2(12,026 )(12,0 2 6 )(4, 4 6 ) 333333因直 l // MN ，所以 k l6．直 l : y6x m ，代入方程得27 x286mx4m212 0 ．A，B两点坐分（x1,y1）,(x2,y2)，(8 6m)2 4 27(4 m212)0 ，故 m227．因 x1x28 6m, x1x24m212 ，2727所以 y1y2 (6x1 m)(6x2m)6x1 x26m(x1x2 )m2．因 OA OB0 ，所以 x1 x2y1y20 ．故7x1x26m(x1 x2 )m20即74m2 126m(8 6 m) m20 ．2727解得 m212 ，足 m227 ．所以直l的方程 y6x2 3 ．x2y21(a b0) 的一个焦点是F（ 1， 0）， O 坐47．（福建理科 21 ）如、b2a2原点 .yl AFOxB（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三均分点与一个焦点组成正三角形，求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点 F的直线 l 交椭圆于A 、B 两点 .若直线 l 绕点F 随意转动，值有222OA OB AB ,求 a 的取值范围 .【分析】本小题主要考察直线与椭圆的地点关系、不等式的解法等基本知识，考察分类与整合思想，考察运算能力和综合解题能力.解法一： ( Ⅰ ) 设 M ， N 为短轴的两个三均分点，因为△ MNF 为正三角形，所以OF3MN ,2即 1＝32b,解得 b ＝ 3.2 3a 2b2 1 4, 所以，椭圆方程为x 2 y 241.3( Ⅱ ) 设 A( x 1, y 1 ), B(x 2 , y 2 ).(ⅰ )当直线 AB 与 x 轴重合时，22 2 4a 2 ( a 2222OAOB2a 2 , AB 1),所以，恒有 OAOB AB .(ⅱ) 当直线 AB 不与 x 轴重合时，设直线 AB 的方程为： xmyx 2y 2 1,1,代入b 2a 2整理得 (a 2b 2m 2 ) y 2 2b 2 my b 2a 2b 2 0,所以 y 1 y 22b 2mb 2 a 2b 2a 2b 2 2, y 1 y 2a 22 2mb m222AOB 恒为钝角 .因为恒有 OAOBAB ，所以即OA OB(x , y ) ( x , y ) x x2y y0恒成立 .1 122112x1 x2y1 y2( my11)(my21) y1 y2( m 2 1) y1 y2 m( y1 y2 ) 1(m21)(b2a2 b2 )2b2m21a2b2 m2a2b2m2m2a2b2b2a2b2a20.a2b2m22222222222对 m R 恒成立，又 a+b m >0,所以 -m a b +b -a b +a <0即 a2 b2m2> a2 -a2b2+b2对 m R恒成立 .当 m R 时， a2b2m2最小值为 0，所以 a2 - a2b2+b2<0.2222,2224a <ab - b a <( a -1)b = b ,因为 a>0,b>0,所以 a<b2 ,即 a2 -a-1>0,解得 a>15或 a<15(舍去 )，即 a>15, 222综合（ i）(ii) ， a 的取值范围为（15， +） .2解法二：（Ⅰ）同解法一，（Ⅱ）解：（ i）当直线l 垂直于 x 轴时，x=1 代入1y21, y A2b2 ( a21)=1.a2b2a2因为恒有 | OA| 2+| OB| 2<| AB| 2,2(1+y A2 )<4 y A2, y A2>1，即a21>1,a解得 a> 15或 a<15(舍去 )，即 a>15.222（ii ）当直线 l 不垂直于 x 轴时，设 A（ x1,y1）, B（x2,y2） .设直线 AB 的方程为 y=k(x-1)代入x2y 21, a2b22 2 2 2 2 222-22得 (b+a k )x -2a k x+ a k a b =0,故 x1+x2=2a2k 2, x2 x2a2k 2a2 b2 22k2b22k2.b a a因为恒有 |OA|2+|OB|2<|AB |2,所以 x21+y21+ x22+ y22<( x2-x1)2+(y2 -y1)2,得 x1x2+ y1y2<0 恒成立 .x1x2+ y1y2= x1x2+k2(x1-1) (x2-1)=(1+k2) x1x2-k2(x1+x2)+ k2=(1+k2)a2k2a2 b2k2 2a2k 2k2 ( a2 a 2b2b2 )k2a2b2.b2a2k 2b2 a 2k 2b2a2k 22 2 22 22 2kR 恒成立 .由意得（ a - ab +b ） k - a b <0 ①当 a 2- a 2 b 2+b 2>0 ，不合意；②当 a 2- a 2 b 2+b 2=0 ， a=15 ;2③当 a 2- a 2 b 2+b 2<0 ， a 2- a 2(a 2-1)+ (a 2-1)<0， a 4- 3a 2 +1>0,235 2351 5，所以 a 15解得 a >或 a >2（舍去）， a>2.22合（ i ）（ ii ）， a 的取范（15， +） .248．（宁理科 20 ）在直角坐系 xOy 中 , 点 P 到两点 (0,3),(0, 3) 的距离之和 4,点 P 的迹 C , 直 y kx 1与C 交于 A,B 两点.（Ⅰ）写出 C 的方程 ;（Ⅱ）若 OA OB , 求 k 的 ;（Ⅲ）若点 A 在第一象限 , 明 : 当 k0 ,恒有 OAOB .（宁文科21）在平面直角坐系 xOy 中，点 P 到两点（ 0，－3 ）、（ 0，3 ）的距离之和等于 4．点 P 的迹 C ．(Ⅰ )写出 C 的方程；(Ⅱ ) 直 y=kx+1 与 C 交于 A 、 B 两点， .k 何 OAOB ?此 | AB | 的是多少？【分析】本小主要考平面向量，的定、准方程及直与地点关系等基知，考合运用分析几何知解决的能力．解：（Ⅰ） P （ x ， y ） ,由定可知，点P 的迹C 是以 (0, 3),(0, 3) 焦，半 2 的 .它的短半 b 22 ( 3)21,故曲 C 的方程 x 2y 21 ． ⋯⋯3 分4（Ⅱ） A(x 1, y 1 ), B(x 2 , y 2 ) ，其坐足22yx1,y kx 1.消去 y 并整理得 (k 24) x 2 2kx3.0，故 x 1x 22k , x 1x 23 . k 2 4k 24若 OAOB, 即 x 1 x 2 y 1 y 2 0.面 x 1 x 2 y 1 y 233k 22k 2k 2 4 k 24k 2 4化得4k 2 1 0, 所以 k1 .222x 12y 12;( x 22y 22 )（Ⅲ） OA OB＝ (x 12x 22) 4(1 x 22＝ 3(x 1 x 2 )( x 1 x 2 ) ＝ 6k ( x 1x 2 ).k 2 43因 A 在第一象限，故x 1＞ 0.由 x 1x 2k22OB 20,故 OA即在条件下，恒有OA OB.文（Ⅱ）A(x 1， y 1 )， B(x 2， y 2 ) ，其坐足⋯⋯5分1 0,⋯⋯8分1 x 22 )知x 2 0, 进而 x 1 x 2 0. 又 k 0,4⋯⋯12分x 2y 2 ，41y kx1.消去 y 并整理得 ( k 2 4) x 22kx 3 0 ，故 x 1x 22k ， x 1 x 2 3 ． ·6 分k 2 4k 2 4OA OB ，即 x 1x 2y 1 y 20 ．而 y 1 y 2k 2 x 1x 2 k( x 1x 2 ) 1，于是 x 1 x 2y 1 y 233k 22k 24k 2 1 k 24 k 2 4 k 21k 2．44所以 k1x 1x 2y 1 y 20，故 OA OB ．·8 分，12412当 k， x 1x 2， x 1 x 22．1717AB(x2x1 )2( y2y1 )2(1 k 2 )( x2 x1 )2，而(x2x1) 2(x2x1 )24x1x2424434313，17217172465·12 分所以 AB．1749．（重庆理科21 ）如图（ 21）图，M ( 2，0)和N (2，0)是平面上的两点，动点P 知足：PM PN 6.yP yPM (－ 2,0)O N(2,0)xM O N x （ 21）图答 (21)图（Ⅰ）求点 P 的轨迹方程；（Ⅱ）若 PM ·PN ＝2,求点P的坐标 .1cosMPN解： ( Ⅰ ) 由椭圆的定义，点P 的轨迹是以 M、N 为焦点，长轴长2a=6 的椭圆 .所以半焦距c=2，长半轴 a=3，进而短半轴b= a2c2 5 ，所以椭圆的方程为x2y291.5(Ⅱ)由PM PN2, 得1 cosMPNPM PN cosMPN PM PN 2.①因为 cos MPN1, P 不为椭圆长轴极点，故P、M、N 组成三角形 . 在△ PMN 中， MN4,由余弦定理有22PN 2PN cosMPN .②MN PM 2 PM 将①代入②，得422 2 2( PM PN 2).PM PN故点 P 在以 M 、N 为焦点，实轴长为2 3 的双曲线x 2y 21上 .3由 ( Ⅰ) 知，点 P 的坐标又知足x 2y 2 1 ，所以955x2 9 y2 45,x3 3 ,解得2由方程组3y 2x 23.y5 .2即 P 点坐标为(3 3, 5)、（33， -5）、（ -33，5）或（ 3 3 ， - 5） .2222222 2 50．（全国Ⅱ理科 21 文科 22）设椭圆中心在座标原点， A(2,0)、B(0,1)是它的两个极点，直线y kx(k0) 与 AB 订交于点 D ，与椭圆相较于 E 、 F 两点 .(Ⅰ)若 ED6DF , 求 k 的值；( Ⅱ ) 求四边形 AEBF 面积的最大值 .（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为x 2y 21，4直线 AB ，EF 的方程分别为 x2 y 2 ， y kx(k 0) ．·2 分如图，设D (x 0， kx 0 )， E( x 1， kx 1)， F ( x 2， kx 2 ) ，此中 x 1x 2 ，且 x 1， x 2 知足方程 (1 4k 2 ) x 24 ，y FB故 x 2x 12 D1 4k．①Ox2EA由 ED6DF 知 x 0x 16( x 2 x 0 ) ，得 x 01(6 x 2x 1 )5x 27 10 ；771 4k 2由 D 在 AB 上知 x 0 2kx 02 ，得 x 02 ．1 2k所以210，1 2k7 1 4k 2化简得 24k225k 60 ，23·6 分解得k或 k．38E，F 到 AB 的距离分别为（Ⅱ）解法一：依据点到直线的距离公式和①式知，点x12kx122(12k14k 2) ，h155(14k 2 )h2x22kx222(12k14k 2 )．·9 分55(14k 2 )又 AB221 5 ，所以四边形AEBF 的面积为S1AB (h1h2 )154(12k)2(12k)2 1 4k 24k 225(14k 2 )14k2 1 4k2≤2 2，当2k1，即当 k 1S的最大值为 2 2．·12 分时，上式取等．所以2解法二：由题设，BO1， AO 2 ．设 y1kx1， y2kx2，由①得 x20 ， y2y10 ，故四边形 AEBF 的面积为S S△BEF S△AEFx2 2 y2·9 分( x2 2 y2 )2x224y224x2 y2≤ 2(x22 4 y22 ) 2 2 ，当 x2 2 y2时，上式取等．所以S的最大值为 2 2．·12 分51．（福建文科 22）如图，椭圆C :x2y2221（a＞b＞0）的一个焦点为F(1,0)，且过点（ 2，a b0）.（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）若 AB 为垂直于x轴的动弦，直线l ： x 4 与x轴交于点 N，直线 AF与BN交于点 M ．（ⅰ）求证：点M 恒在椭圆 C 上；（ⅱ）求△ AMN 面积的最大值．【分析】本小题主要考察直线与椭圆的地点关系、轨迹方程、不等式等基本知识，考察运算能力和综合解题能力，分 14 分．解法一：（Ⅰ）由 a=2,c=1,进而 b 2=a 2-c 2=3,所以 C 前面程x 2y 2 1.43(Ⅱ )(i)由意得 F(1,0),N(4,0).A(m,n ), B(m,-n)(n ≠0),m2n 2 =1. ⋯⋯①43AF 与 BN 的方程分： n(x-1)-(m-1)y=0， n(x-4)-(m-4)y=0.n x 0 1 m 1 y 0 0, (2) M (x 0,y 0), 有4 m4 y 00,(3)n x 0由②，③得 x 0=5m 8, y 03n .2m52m 5因为x 02y 02 (5m 8) 2 3n 2 (5m 8) 2 3n 2 4 3 4(2 m 5)2 (2 m 5)2 4(2 m 5) 2 (2 m 5)2(5m8)2 12n 2(5m 8)236 9m 214(2m 5)24(2m 5)2所以点 M 恒在 G 上.(ⅱ ) AM 的方程 x=xy+1,代入x 2y 2 ＝ 12243 得（ 3t +4） y +6ty-9=0.A(x 1,y 1),M （ x 2， y 2），有： y 1+y 2=6x, y 1 y 29243t 2.3x4| y 1-y 2|=( y 1y 2 ) 24 y 1 y 24 3· 3t 2 3 .3t 2 4令 3t 2+4=λ (λ ≥ 4),4 3·－1211 131 1| y 1-y 2| ＝＝4 3－（）＋＝43－（－）＋，24因 λ ≥ 4，0<1 ≤1,所以当 1 ＝ 1，即＝4，t 0时，4 4| y 1-y 2| 有最大3，此 AM 点 F.△AMN 的面 S △ AMN= FN ·y 1y23 y y 23 y 1 y 有最大值 9122.解法二：22（Ⅰ）解法一：（Ⅱ）（ⅰ）由意得F(1,0),N(4,0).m 2n 21.⋯⋯①A(m,n), B(m,-n)(n ≠0),4 3AF 与 BN 的方程分： n(x-1)-(m-1)y=0,⋯⋯②n(x-4)-(m-4)y=0,⋯⋯③ 由②，③得：当 ≠ 5时， m5x 8 , n 3y . ⋯⋯④22 x 5 2x 5由④代入①，得x 2 y 24=1（ y ≠0） .33 (m 1) y 05n当 x ＝，由②，③得：22 3(m 4) y 0,n2解得n 0, 与 a ≠ 0 矛盾 .y0,所以点 M 的迹方程x 2 x 2 1( y 0), 即点 M 恒在 C 上.43（Ⅱ）同解法一 .x yb 0) 所成的封形的面4 5 ，52．（山文科 22 ）已知曲 C 1：1(aab曲 C 1 的内切半径2 5． C 2 以曲 C 1 与坐的交点点的．3（Ⅰ）求C 2 的准方程；（Ⅱ） AB 是 C 2 中心的随意弦， l 是段 AB 的垂直均分． M 是 l 上异于中心的点．（ 1）若 MOOA （ O 坐原点），当点 A 在 C 2 上运，求点M 的迹方程；（ 2）若 M 是 l 与 C 2 的交点，求 △ AMB 的面的最小．2ab 45a 5， C 2 的准方程 x 2y 2解：（Ⅰ）由意得ab 2 51 ． a2b23b254（Ⅱ）（ 1） M （ x ， y ）， A （ x 0， y 0），由 MOOA 得 x 2y 22( x 02 y 02 ) ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯①因为 l ⊥ 段 AB ， M ∈ l 且 M 异于中心，得 x 0 x y 0 y 0 ．⋯⋯②因点 A 在 C 2 上运，所以x 02 y 02 1 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯③54由①②③消去 x 0， y 0 得x 2y 2 1 ，即所求点M 的迹方程．425 2（2）因 S AMB1 AB OM OA OM2x 02 y 02x 2 y 2 ( x 02 y 02 )( x 2 y 2 )x 2 y 2，x 2 y 2 1又点 M 坐同足542220 2，所以 x y 1) ．x 2y 2(19425 2于是 S AMB20( 2 1)20( 1) ≥40，当且当1 即1 取999“＝”．所以 △ AMB 的面的最小40 ．2 2953．（四川理科 21 ）x2y 2 1 (a b 0)的左、右焦点分F 1 、F 2 ，离心率 e2 ，右准ab2l ， M 、 N 是 l 上的两个点， F 1MF 2 N 0 ．（Ⅰ）若 | F 1M | | F 2N |2 5 ，求 a 、 b 的；（Ⅱ）明：当 | MN |取最小， FM F 2 N 与FF 共11 2．分析：数列和解几位列倒数第三和第二，预料之中．开始牙膏吧．（Ⅰ）由已知，F 1 ( c,0) ， F 2 (c,0) ．由 e2 ， c 2 1 ， ∴ a 2 2c 2 ．又 a 22 a 22b 2c 2 ，∴ b 2c 2 ， a 2 2b 2 ．∴ l ： xa22c2c 2c ，M (2 c, y 1) ，N (2 c, y 2 )．c延 NF 2 交 MF 1 于 P ，右准 l 交 x 于 Q ．∵ FM 1 F 2N 0，∴ F 1M F 2N ．F 1M F 2N由平几知易 RtMQF 1 ≌Rt F 2QN∴QN FQ 13c ，QMF 2Q c即y 1 c ，y 23c．∵F 1MF 2 N2 5，∴ 9c 2 c 2 20 ， c 2 2 ， b 2 2 ， a 2 4 ． ∴ a 2， b 2 ．（Ⅰ）另解：∵ FM F N 0 ，∴ (3c, y 1 ) (c, y 2 ) 1 2 又 F 1M F 2 N 2 5y 1 y 23c2联立9c 22，消去y 1 、 y 2 得： (20 y 1 20c 2 y 22200 ， y 1 y 2 3c 2 0 ．9c 2 )(20 c 2 ) 9c 2 ，整理得： 9c 4 209c 2 400 0 ， (c 2 2)(9c 2 200) 0 ．解得 c 2 2．但解此方程组要考倒许多人．，∴ y 1 y 2 0 ．（Ⅱ）∵ FM F N (3c, y ) (c, y ) 03c 21 21 222 y 12 y 22MNy 1 y 2 2y 1y 2 ．≥ 2 y 1 y 2 2y 1 y 2 4 y 1 y 2 12c 2当且仅当 y y 3c 或y 2 y 1 3c 时，取等．此时MN 取最小值 2 3c ．12此时1F 2 N(3c,3c) (c,3c) (4 c,0)2 F 1F 2．FM∴FMFN与FF共线．1212（Ⅱ）另解：∵ FM 1 F 2 N 0 ，∴ (3 c, y 1 ) (c, y 2 ) 0 ， y 1 y 23c 2．设 MF 1 ， NF 2的斜率分别为 k ， 1．k由yk(xc) y 1 3kc ，由 y 1( x c) y 2cx 2ck kx 2cMNy y2c 3k1≥ 2 3c．1k当且仅当 3k1即 k21，k3时取等．即当MN 最小时，k3 ，k333此时 F 1M F 2 N(3c,3kc) (c, c ) (3c,3c)(c, 3c) (4c,0)2F 1F 2.k∴1F 2 N 与共线．FMF 1 F 2评论：此题第一问又用到了平面几何．看来，与平面几何有联系的难题真是四川风格啊．注意平面几何可与三角向量解几沾边，应增强对含平面几何背景的试题的研究．此题好得好，出得活，出得妙！均值定理，放缩技巧，永久的考点．54．（四川文科 22 ）设椭圆x 2y 21(a b 0) 的左、右焦点分别是F 1和 F 2 ，离心率a 2b 2e2 ，2点 F 2 到右准线 l 的距离为 2 .( Ⅰ ) 求 a 、 b 的值；( Ⅱ ) 设 M 、 N 是右准线 l 上两动点，知足F 1M F 2M 0.证明：当 MN . 取最小值时， F 2F 1F 2MF 2N0 .解：（ 1）因为 eca2c ,所以由题设得,F 2 到 l 的距离 dacc 2a ,2a 2 c2c解得c2, a 2.由 b 2a 2 c 22, 得 b2.(Ⅱ )由 c2 ,a=2 得 F 1( 2,0), F 2 ( 2,0). l 的方程为 x 2 2 . 故可设 M (2 2, y 1 ), N (2 2, y 2 ).由 F 1MF 2M0知2( 22, y 1)(222, y 2 ) 0,得 y 1 y 2＝－ 6,所以 y 1y 20, y 2 6 ,y 1| MN | | y 1 y 2 | | y 16| | y 1 |6≥26.y 2| y 1 |当且仅当 y 1 6 时，上式取等，此时 y 2＝－ y 1,所以， FFF MF N( 2 2,0) ( 2, y ) ( 2, y ) =（ 0， y 1+y 2） =0.212212x 2 y 22,1)，且左焦点为55．（安徽理科22）设椭圆C:2b 2 1(a b 0) 过点 M (aF 1 ( 2,0)（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）当过点 P(4,1) 的动直线 l 与椭圆 C 订交与两不一样点 A, B 时，在线段 AB 上取点 Q ，知足 AP QB AQ PB ，证明：点 Q 总在某定直线上．解（Ⅰ）由题意：c 2 22 11 ，解得 a 24, b 2x 2y2a 2b 22，所求椭圆方程为1．42c 2 a 2 b 2（Ⅱ）方法一设点 Q 、 A 、 B 的坐标分别为 (x, y),( x 1, y 1 ),( x 2 , y 2 ) ．由题设知 AP , PB , AQ , QB 均不为零，记AP AQ0 且1 ．PB,则QB又 A ， P ，B ， Q 四点共线，进而 APPB, AQ QB ．于是4 x 1 x2 ，1y 1 y 211xx 1 x2 ，y y 1y 211进而x 12 2x 224x ，（ 1） y 12 2y 22y ，（2）1212又点 A 、 B 在椭圆 C 上，即x 12 2 y 12 4,(3)x 22 2 y 22 4,(4)（1） +（ 2）× 2 并联合（ 3），（ 4）得 4s 2 y 4 ，即点 Q( x, y) 总在定直线 2x y2 0 上．方法二设点Q( x, y), A( x 1 , y 1 ), B( x 2 , y 2 ) ，由题设，PA , PB , AQ , QB 均不为零，PA PB且．AQQB又 P, A, Q, B 四点共线，可设 PA AQ, PBBQ (0, 1) ,于是x 14 x, y 1 1y（1 ）11x 24 x, y 2 1y（ 2）11因为 A( x 1 , y 1), B( x 2 , y 2 ) 在椭圆 C 上，将（ 1），（ 2）分别代入 C 的方程 x 2 2 y 24, 整理得(x(x22 y 2 4) 22 y 2 4)2 24(2 x y 2) 14 0 （ 3）4(2 x y2)14 0(4)(4)－ (3) 得8(2 x y 2)0 ，∵0,∴ 2x y20，即点 Q (x, y) 总在定直线2x y20 上．56．（安徽文科 22）已知椭圆C :x2y21(a＞ b＞0) ，其相应于焦点F(2，0)的准线方程a2b2为 x=4．（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）已知过点 F1(－ 2,0)倾斜角为的直线交椭圆 C 于 A，B 两点 .，求证：AB422；2cos（Ⅲ）过点 F1(-2,0) 作两条相互垂直的直线分别交椭圆 C 于点 A、B 和 D、E，求AB DE的最小值．c2c22222解：（Ⅰ）由已知得a2，又a b c，所以 b 4 ．4a22c故所求椭圆 C 的方程为x2y21．84（Ⅱ）设直线AB 方程为y tan( x2) ，代入椭圆 C 的方程x2y21得 (12tan 2)x28x tan 28(tan 21)0．84设点A、B的坐标分别为 ( x1 , y1),( x 2 , y2 )，则x1 x28tan 2, x1x28tan 28 ．1 2 tan21 2 tan2于是 AB1tan2( x1x2 )24x1x21264tan448(tan21)(12tan2 ) tan(12 tan2) 242(1tan2)42(cos 2sin 2) 4 2，得证．1 2 tan2cos22sin 22cos2（Ⅲ）由（Ⅱ） AB42(1 tan2)，因为 AB DE ，所以DE 4 2(tan 221) ．1 2 tan 2tan2所以 AB DE4 2(1 tan 2) 11 21 2 tan 2tan 212 2(tan 4 2 tan 2 1)12 22tan 4 5tan 2 2 2tan 242 tan 21tan12 2≥ 12 2 16 221 12 1 324tan2tan 2当且仅当 tan 21 即 tan 1 时取“＝”．tan 2所以 ABDE 的最小值是162 ．357. (全国 I 文 22 理 21 )（本小题满分12 分）（注意：在试题卷上作答无效）．．．．．．．．．双曲线的中心为原点O ，焦点在 x 轴上，两条渐近线分别为l 1， l 2 ，经过右焦点 F 垂直于 l 1的直线分别交 l 1， l 2 于 A ， B 两点．已知 OA 、AB 、OB 成等差数列，且 BF 与 FA 同向．（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设 AB 被双曲线所截得的线段的长为 4 ，求双曲线的方程．22．解：（ 1）设 OA m d ， ABm ， OB m d由勾股定理可得： (m d ) 2m 2 (m d) 2得： d1AOF b AB4m ， tan， tan AOB tan 2 AOF34aOA2 b4b 1由倍角公式a 2，解得b 3a21a5则离心率 e ．2（2）过 F 直线方程为 ya(x c)b与双曲线方程x2y 21联立a2b2将 a2b ，c5b 代入，化简有152x28 5 x21 04b b2241a x1x21a( x1x2 )24x1 x2b b2将数值代入，有45325b4 28b2155解得 b3最后求得双曲线方程为：x2y21．36958.（山东理 22 ）（本小题满分 14 分）如图，设抛物线方程为x2 2 py( p 0) ，M为直线 y2p 上随意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A，B ．（Ⅰ）求证： A，M ，B 三点的横坐标成等差数列；（Ⅱ）已知当 M 点的坐标为(2，2 p)时， AB 4 10 ．求此时抛物线的方程；（Ⅲ）能否存在点M ，使得点 C 对于直线 AB 的对称点 D 在抛物线x2 2 py( p此中，点 C 知足OC OA OB （O为坐标原点）．若存在，求出全部合适题意的点坐标；若不存在，请说明原因．yAO2 p M22．（Ⅰ）证明：由题意设Ax12，Bx22，x1 x2，M ( x0， 2 p) ．x1，x2，2 p 2 p由 x2 2 py 得 y x2，得 y x ，2 p p所以 k MA x1， k MBx2 ．p p0)上，M的Bx所以直线 MA 的方程为 y2 p x 1 ( x x 0 ) ，p直线 MB 的方程为 y2px 2 ( x x 0 ) ．p所以 x 122 px 1(x 1 x 0 ) ，①2 ppx 22 2 p x 2(x 2 x 0 ) ．②2pp由①、②得x 1x 2 x 1 x 2 x 0 ，2所以 xx 1x 2，即 2x 0 x 1 x 2 ．2所以 A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当 x 02 时，将其代入①、②并整理得：x 12 4x 1 4 p 2 0 ，x 22 4x 24 p 2 0 ，所以 x 1， x 2 是方程 x 2 4x 4 p 2 0 的两根，所以 x 1x 2 4 ， x 1 x 24 p 2 ，x 22 x 12又k AB2 p 2 p x 1 x 2 x 0 ，x 2 x 12 pp所以k AB2．p由弦长公式得AB1 k 2(x 1 x 2 )2 4x 1x 2416 16p 2．12p又 AB 4 10 ，所以 p 1 或 p2 ，所以所求抛物线方程为x 22y 或 x 24 y ．（Ⅲ）解：设 D ( x 3， y 3 ) ，由题意得 C (x 1 x 2， y 1 y 2 ) ，则 CD 的中点坐标为 Q x 1 x 2 x 3 y 1y 2 y 3， 2， 2设直线 AB 的方程为 yy 1 x 0 (x x 1 ) ，p由点 Q 在直线 AB 上，并注意到点x 1 x 2 y 1 y 2也在直线 AB 上，2 ， 2代入得 y 3x 0 x 3 ．p若 D ( x 3， y 3 ) 在抛物线上，则 x 32 2 py 32x 0x 3 ，所以 x 30 或 x 3 2x 0 ．2x 02 即 D (0，0) 或 D 2x 0，．p（1）当 x0 时，则 xx2x 0 ，此时，点M (0， 2 p) 合适题意．12（2）当 x 00 ，对于 D (0，0) ，此时 C x 2 x 22x 0，12，2 px 12 x 22x 12 x 22kCD2 p2x 04 px 0 ，又 k ABx 0 ， AB CD ， p所以 k AB k CDx 0 x 12 x 22 x 12 x 221 ，p 4 px 4 p 2即 x 12 x 224 p 2 ，矛盾．对于 D 2x 02，因为 Cx 2 x 22x 0，p2x 0，12，此时直线 CD 平行于 y 轴，2 px 0 又 k AB0 ，p所以直线 AB 与直线 CD 不垂直，与题设矛盾，所以 x 0 0 时，不存在切合题意的 M 点．综上所述，仅存在一点M (0， 2 p) 合适题意．59. （湖北文 20 ） (本小题满分 13 分 )x 2 y 20) 的两个焦点为 F 1 ( 2，0) ，F 2 (2，0) ，点 P(3 ，7) 已知双曲线 C ： 2 b 2 1(a 0， b在a双曲线 C 上．（Ⅰ）求双曲线 C 的方程；（Ⅱ）记 O 为坐标原点，过点 Q (0，2) 的直线 l 与双曲线 C 订交于不一样的两点 E ，F ，若△ OEF 的面积为 2 2 ，求直线 l 的方程．20．本小题主要考察双曲线的定义、标准方程、直线和双曲线地点关系等平面分析几何的基础知识，考察待定系数法、不等式的解法以及综合运用数学知识进行推理运算的能力．（满分 13 分）（Ⅰ）解法1：依题意，由 a 2b 24 ，得双曲线方程为x 2 y 21(0 a 24) ．a 2 4 a 2将点 (3， 7) 代入上式，得971．a 2 4 a 2解得 a 2 18 （舍去）或 a 22 ，故所求双曲线方程为x 2 y 2 1 ．22解法 2：依题意得，双曲线的半焦距c2 ．2a PF 1 PF 2(3 2) 2( 7) 2(3 2) 2( 7)2 2 2 ，a 2 2 ，b 2c 2 a 22 ．双曲线 C 的方程为x 2 y 21 ． 22（Ⅱ）解法 1：依题意，可设直线 l 的方程为 ykx 2 ，代入双曲线 C 的方程并整理，得 (1 k 2 )x 2 4kx6 0 ． ①直线 l 与双曲线 C 订交于不一样的两点 E ，F ，。