2004年第十五届希望杯初二第1试试题及答案
2004年第15届全国希望杯数学邀请赛初二第2试试卷
第十五届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试一、选择题(每小题5分,共50分)1.方程|x+1|+|x-3|=4的整数解有( )(A)2个(B)3个(C)5个(D)无穷多个2.若等式对任意的x(x≠±3)恒成立,则mn=( )(A)8 (B)-8 (C)16 (D)-163.若x>z,y>z,则下列各式中一定成立的是( )(A)x+y>4z (B)x+y>3z (C)x+y>2z (D)x+y>z4.规定[a]表示不超过a的最大整数,当x=-1时,代数式2mx3-3nx+6的值为16,则[m-n]=( )(A)-4 (B)-3 (C)3 (D)45.如图1,在ABCD中,AC与BD相交于O,AE⊥BD于E,CF⊥BD于F,那么图中的全等三角形共有( )(A)5对(B)6对(C)7对(D)8对6.如图2,在直角扇形ABC内,分别以AB和AC为直径作半圆,两条半圆弧相交于点D,整个图形被分成S1,S2,S3,S4四部分,则S2和S4的大小关系是( )(A)S2<S4 (B)S2=S4(C)S2>S4 (D)无法确定7.Given m is a real number, and |1-m|=|m|+1,simplify an algebraic expression, then =( )(A)|m|-1 (B)-|m|+1 (C)m-1 (D)-m+1(英汉小词典simplify:化简;algebraic expression:代数式)8.二(1)班共有35名学生,其中的男生和的女生骑自行车上学,那么该班骑自行车上学的学生的人数最少是( )(A)9 (B)10 (C)11 (D)129.李编辑昨天按时间顺序先后收到A、B、C、D、E共5封电子邮件,如果他每次都是首先回复最新收到的一封电子邮件,那么在下列顺序:①BAECD ②CEDBA ③ACBED ④DCABE中,李编辑可能回复的邮件顺序是( )(A)①和② (B)②和③ (C)③和④ (D)①和④10.有A、B、C三把刻度尺,它们的刻度都是从0到30个单位(单位长度各不相同),设三把尺子的0刻度和30刻度处到尺子边缘的长度可以忽略不计,现用其中的一把尺子量度另两把尺子的长度.已知用C尺量度,得A尺比B尺长6个单位;用A尺量度,得B尺比C尺长10个单位;则用B尺量度,A尺比C尺( )(A)长15个单位 (B)短15个单位 (C)长5个单位(D)短5个单位二、填空题(每小题5分,共50分)11.若方程|1002x-10022|=10023的根分别是x1和x2,则x1+x2=______.12.分解因式:a4+2a3b+3a2b2+2ab3+b4=______.13.对于任意的自然数n,有f(n)=,则f(1)+f(3)+f(5)+…+f(999)=______.14.x1,x2,x3,x4,x5,x6都是正数,且,,,,,,则x1x2x3x4x5x6=______.15.(Figure 3)In a trapezoid ABCD,AE=DE,CE⊥AD,CE is a bisector to∠BCD,then the ratio of the area of a quadrilateral ABCE to that of a triangle CDE is _____.(英汉小词典trapezoid:梯形;bisector:平分线;ratio:比值;quadrilateral:四边形)16.已知a,b,c,d为正整数,且,,则的值是______;的值是______.17.一个直角三角形的三条边的长均为整数,已知它的一条直角边的长是18,那么另一条直角边的长有______种可能,它的最大值是______.18.“神舟”飞船由返回舱、轨道舱和推进舱三个舱组成,已知三个舱中每两个舱的长度和分别为4859mm、5000mm、5741mm,那么这三个舱中长度最大的是_____mm,长度最小的是_____mm.19.若(|x+1|+|x-2|)(|y-2|+|y+1|)(|z-3|+|z+1|)=36,则x+2y+3z的最大值是______,最小值是_____.20.图4是某电台“市民热线”栏目一周内接到的热线电话的统计图,其中有关房产城建的热线电话有30个,那么有关环境保护的电话有_____个;如果每年按52周计算,每周接到的热线电话的数量相同,那么“市民热线”一年内接到的热线电话有______个.三、解答题(每题10分,共30分)21.民航规定:旅客可以免费携带a千克物品,若超过a千克,则要收取一定的费用,当携带物品的质量为b千克(b>a)时,所交费用为Q=10b-200(单位:元).(1)小明携带了35千克物品,质量大于a千克,他应交多少费用?(2)小王交了100元费用,他携带了多少千克物品?(3)若收费标准以超重部分的质量m(千克)计算,在保证所交费用Q不变的情况下,试用m 表示Q.22.如图5,一张矩形纸片ABCD的边长分别为9cm和3cm,把顶点A和C叠合在一起,得到折痕EF.(1)证明四边形AECF是菱形;(2)计算折痕EF的长;(3)求△CEH的面积.23.如图6,用水平线与竖直线将平面分成若干个边长为1的正方形格子,点O、A、B均在正方形格子的顶点(格点)处,其中点O与点A位于同一水平线上,相距a格,点O与点B 位于同一竖直线上,相距b格.(1)若a=5,b=4,则△OAB中(包括三条边)共有多少个格点?(2)若a,b互质,则在线段AB上(不包括A、B两点)是否有格点?证明你的结论.(3)若a,b互质,且a>b>8,△OAB中(包括三条边)共有67个格点,求a,b的值.参考答案一、1.C 2.D 3.C 4.A 5.C 6.B 7.D 8.D 9.B 10.A1、解:从三种情况考虑:第一种:当x≥3时,原方程就可化简为:x+1+x-3=4,解得:x=3;第二种:当-1<x<3时,原方程就可化简为:x+1-x+3=4,恒成立;第三种:当x≤-1时,原方程就可化简为:-x-1+3-x=4,解得:x=-1;所以x的取值范围是:-1≤x≤3,故方程的整数解为:-1,0,1,2,3.共5个.故选C.2、3、解:∵x>z,y>z,∴x+y>2z,故选C.4、5、解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,AB=CD,OA=OC,OB=OD.∴△ABD≌△CDB,△ACD≌△CAB,△AOB≌△COD,△AOD≌△COB.(SSS)∵AF⊥BD于F,CE⊥BD于E,∴△ABF≌△CDE,△AFD≌△CEB,△AOF≌△COE.(AAS)故选C.6、8、设有a个男生骑车,b个女生骑车,则题目可简写成2a+3b=35,求a+b的最小值(a,b均为正整数)所以求的a为1,b为11,即班上最少有1+11=12个人骑车9、B(2)开始时,已收到A,B,刚收到C,所以,先回C回信时,又收到D,E,回完信,先回最新收到的E然后依次是D,B,A正确(3)收到A,回信回信时,又收到B,C,回完信,先回最新收到的C然后是B回信B时,又来新D,E,回完信,先回最新收到的E然后是D正确(1):E后应该是D,C错误(4):C后应该先B后A,错误10、设各自长度为30a, 30b ,30cC量时,30a-30b=6c(1);A量时,30b-30c=10a(2);求:30a-30c=?b(3)那么由(1)(2)可得,a=9/8b c=5/8b代入(3),可得30a-30c=15b选A。
第十五届“希望杯”数学竞赛第一试试题及答案整理
A. log3 x -1
-x
B. 2 - 3
C. 3-2+x
D. 2 - log3 x
A
4பைடு நூலகம்
40
二、 组填空题(每题 分,共 分) 11 . 已 知 函 数
f (x)
=
ì í
1,
x为有理数,
g(
x)
=
ì í
0,
x为有理数,
当
xÎR 时 ,
î0,x为无理数.
î1,x为无理数.
f (g (x)) = _______, g ( f( )x) = _ _ _ _ _ _ _ .
B. 减法 D. 除法
{ } 9.等比数列
an
中,“
a 1
<
a 3
”是“
a 7
<
a 9
”的(
)
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
10.已知函数 f (x) 的图象与函数 g(x) = 3x 的图象关于点 (0,1) 对称,则 f (x) =( )
4. 等差数列
{an
}
、
{bn}
的前
n
项的和分别为
Sn
、
Tn
,且
Sn Tn
=
3n - 3 ,则 a6 2n + 3 b6
=(
)
A. 3 2
B. 1
6
C.
5
27
D.
23
5. 如图,EF 是梯形 ABCD 的中位线,则在向量 1 ( AD + BC) 、
2
A
1 ( AC + BD) 、 1 (2AD - AB - CD) 中,与 EF 相等的向量的个 E
历届希望杯初二选择题附答案
历届希望杯初二选择题希望杯第二十届(2009年) 初二第二试一、选择题(每小题4分,共40分)以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内.1.篆刻是中国独特的传统艺术,篆刻出来的艺术品叫印章.印章的文字刻成凸状的称为“阳文”,刻成凹状的称为“阴文”.如图1的“希望”即为阳文印章在纸上盖出的效果,此印章是下列选项中的(阴影表示印章中的实体部分,白色表示印章中镂空的)( )2.如果1-<<y x ,那么代数式xyx y -++11的值是( ) (A ) 0 (B ) 正数 (C )负数 (D )非负数3.将x 的整数部分记为[x ],x 的小数部分记为{x },易知=x [x ]+{x }({}10<<x ).若5353+--=x ,那么[x ]等于( )(A ) 2- (B )1- (C ) 0 (D )1 4.某种产品由甲、乙、丙三种元件构成.根据图2,为使生产效率最高,在表示工人分配的扇形图中,生产甲、乙、丙元件的工人数量所对应的扇形圆心角的大小依次是( )(A )120°,180°,60°(B )108°,144°,108° (C )90°,180°,90° (D ) 72°,216°,72°5.面积是48的矩形的边长和对角线的长都是整数,则它的周长等于 ( ) (A )20 (B ) 28 (C ) 36 (D )406.In the rectangular coordinates,abscissa and ordinate of the intersection point ofthe lines k x y -= and 2+=kx y are integers for imteger k ,then the number of the possible values of k is ( )(A )4 (B )5 (C )6 (D )7(英汉小词典:abscissa 横坐标;ordinate 纵坐标;intersection point 交点;integer 整数)7.将一张四边形纸片沿两组对边的中点连线剪开,得到四张小纸片,如图3所示.用这四张小纸片一定可以拼成( )(A )梯形 (B )矩形 (C )菱形 (D )平行四边形 8.若不等式组⎩⎨⎧>++<+-mx x m x 1104的解集是4>x ,则( )(A )29≤m (B )5≤m (C )29=m (D )5=m 9.如图4,四边形ABCD 中,∠A=∠C=90°,∠ABC=60°,AD=4,CD=10,则BD 的长等于( )(A ) 134 (B )38 (C )12 (D )31010.任何一个正整数n 都可以写成两个正整数相乘的形式,对于两个乘数的差的绝对值最小的一种分解q p n ⨯=(q p ≤)可称为正整数n 的最佳分解,并规定qpn F =)(.如:12=1×12=2×6=3×4,则43)12(=F . 则在以下结论 ①21)2(=F ②83)24(=F ③若n 是一个完全平方数,则1)(=n F④若n 是一个完全立方数,即3a n =(a 是正整数),则an F 1)(=. 中,正确的结论有( )(A ) 4个 (B )3个 (C )2个 (D )1个第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛一、选择题(每小题4分,共40分.)以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将表示正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内.1.计算91252⨯,得数是( )(A)9位数. (B) 10位数. (C) 11位数. (D) 12位数.图1fed c ba2.若132=-yx ,则代数式189189---+y x y x 的值( )(A )等于57. (B)等于75. (C)等于75或不存在. (D)等于57或不存在. 3. The integer solutions of the inequalities about x ⎪⎩⎪⎨⎧-<+--≥+-23)21(22)(3xb b x a x a xare1,2,3, then the number of integer pairs (a,b) is( )(A)32. (B)35. (C)40. (D)48. (英汉词典:integer 整数)4.已知三角形三个内角的度数之比为z y x ::,且x+y<z ,则这个三角形是( ) (A)锐角三角形. (B)直角三角形. (C)钝角三角形. (D)等腰三角形. 5.如图1,一个凸六边形的六个内角都是120°,六条边的长分别为 a ,b ,c ,d ,e ,f ,则下列等式中成立的是( ) (A)a+b+c=d+e+f . (B)a+c+e=b+d+f . (C)a+b=d+e . (D)a+c=b+d .6.在三边互不相等的三角形中,最长边的长为a ,最长的中线的长为m ,最长的 高线的长为h ,则( )(A)a>m>h . (B)a>h>m . (C)m>a>h . (D)h>m>a .7.某次足球比赛的计分规则是:胜一场得3分,平一场得1分,负一场得O 分,某球队参赛15场,积33分,若不考虑比赛顺序,则该队胜、平、负的情况可能有( ) (A) 15种. (B)11种. (C)5种. (D)3种. 8.若yx y x xy 11,0,0+=/+=/与x+y 成反比,则2)(y x +与22y x + ( ) (A)成正比. (B)成反比. (C)既不成正比,也不成反比. (D)关系不确定.9.如图2,已知函数)0(),0(2<=>=x xky x x y ,点A 在正y 轴上,过点A 作x BC //轴,交两个函数的图象于点B 和C ,若3:1:=AC AB ,则k 的值是( )(A)6. (B)3. (C)一3. (D)一6.10. 10个人围成一圈做游戏.游戏的规则是:每个人心里都想一个数,并把目己想的数告许与他相邻的两个人,然后每个人将与他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来,若报出来的数如图3所示,则报出来的数是3的人心里想的数是( )(A)2. (B)一2. (C)4. (D)一4.第二十二届”希望杯”全国数学邀请赛 初二 第2试2011年4月10日 上午9:00至11:00一、选择题(每小题4分,共40分.)以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将表示正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内. 1. Given A :B =32:3,A =2,C =1029. The size relationship between B and C is (A) B >C (B) B =C (C) B <C (D) uncertain2. 已知a 2-a =7,则代数式21+-a a .12422+--a a a ÷112-a 的值是(A) 3 (B)27(C) 4 (D) 5 3. 一个凸四边形的四个内角可以(A) 都是锐角 (B) 都是直角 (C) 都是钝角 (D) 有三个是直角,另一个是锐角或钝角 .4. 如果直线y =2x +m 与直角坐标系的两坐标轴围成的三角形的面积等于4,则m 的值是 (A) ±3 (B) 3 (C) ±4 (D) 45. 若n +1=20102+20112,则12+n = (A) 2011 (B) 2010 (C) 4022 (D) 40216. 有四个命题:若两个等腰三角形的腰相等,腰上的高也相等,则这两个等腰三角形全等 有一条边相等的两个等腰直角三角形全等● 有一条边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等 ❍ 两边以及另一边上的高对应相等的两个三角形全等 其中,正确的命题有(A) 0个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 3个7. 如图1,Rt △ABC 两直角边上的中线分别为AE 和BD , 则AE 2+BD 2与AB 2的比值为A BCD E 图1ABCDEFP(A)43 (B) 1 (C) 45 (D) 23 8. As shown in figure 2, ABCD is a rectangle and AD =12, AB =5, P is any point on AD and PE ⊥BD at point E , PF ⊥AC at point F . Then PE +PF has a total length of (A)1348 (B) 1360 (C) 5 (D) 1370 9. 如图3,正方形ABCD 的边AB 在x 轴的正半轴上,C (2,1),D (1,1). 反比例函数y =xk的图像与边BC 交于点E ,与边CD 交于点F .已知 BE :CE =3:1,则DF :FC 等于(A) 4:1 (B) 3:1 (C) 2:1 (D) 1:110. 如图4,a ,b ,c ,d ,e 分别代表1,2,3,4,5中的一个数. 若b +a +c 及d +a +e 除以3都余1,则不同的填数方法有 (A) 2种 (B) 4种 (C) 8种 (D) 16种 .第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛初二 第2试2012年4月8日 上午9:00至11:00 得分一、选择题(每小题4分,共40分)以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将表示正确答案的英文字母写在后面的圆括号内。
全国“希望杯”八年级数学竞赛试题(第一届至第二十二届)【含答案】
希望杯第一届(1990年)初中二年级第一试试题一、选择题:(每题1分,共10分)1.一个角等于它的余角的5倍,那么这个角是 ( )A .45°.B .75°.C .55°.D .65°2.2的平方的平方根是 ( )A .2.B .2. C .±2. D .43.当x=1时,a 0x 10-a 1x 9+a 0x 8-a 1x 7-a 1x 6+a 1x 5-a 0x 4+a 1x 3-a 0x 2+a 1x 的值是( ) A .0B .a 0.C .a 1D .a 0-a 14. ΔABC,若AB=π27则下列式子成立的是( )A .∠A >∠C >∠B;B .∠C >∠B >∠A;C .∠B >∠A >∠C;D .∠C >∠A >∠B 5.平面上有4条直线,它们的交点最多有( ) A .4个B .5个.C .6个.D .76.725-的立方根是[ ](A )12-. (B )21-.(C ))12(-±. (D )12+. 7.把二次根式a a 1-⋅化为最简二次根式是[ ](A) a . (B)a -. (C) a --. (D) a -8.如图1在△ABC 中,AB=BC=CA ,且AD=BE=CF ,但D ,E ,F 不是AB ,BC ,CA 的中点.又AE ,BF ,CD 分别交于M ,N ,P ,如果把找出的三个全等三角形叫做一组全等三角形,那么从图中能找出全等三角形( ) A .2组B .3组.C .4组D .5组。
9.已知 1112111222222--÷-+++-⨯--++x y x y xy y y x y xy x 等于一个固定的值, 则这个值是( ) A .0.B .1.C .2.D .4.把f 1990化简后,等于 ( ) A .1-x x . B.1-x. C.x1. D.x.二、填空题(每题1分,共10分) 1..________6613022=-2.().__________125162590196.012133=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+÷- 3.89850-+=________.4.如图2,∠A=60°,∠1=∠2,则∠ABC 的度数是______.5.如图3,O 是直线AB 上一点,∠AOD=117°,∠BOC=123°,则∠COD 的度数是____度. 6.△ABC 中,∠C=90°,∠A 的平分线与∠B 的平分线交于O 点,则∠AOB 的度数是______度.7.计算下面的图形的面积(长度单位都是厘米)(见图4).答:______. 8.方程x 2+px+q=0,当p >0,q <0时,它的正根的个数是______个. 9.x ,y ,z 适合方程组826532113533451x y z x z x yx y z x y x y z -+++⎧=-⎪⎪++-+⎪+=⎨⎪+=-⎪⎪⎩则1989x-y+25z=______.10.已知3x 2+4x-7=0,则6x 4+11x 3-7x 2-3x-7=______.答案与提示一、选择题提示:1.因为所求角α=5(90°-α),解得α=75°.故选(B).2.因为2的平方是4,4的平方根有2个,就是±2.故选(C).3.以x=1代入,得a0-a1+a0-a1-a1+a1-a0+a1-a0+a1=2a0-3a1+3a1-2a0=0.故选(A).<3,根据大边对大角,有∠C>∠B>∠A.5.如图5,数一数即得.又因原式中有一个负号.所以也不可能是(D),只能选(A).7.∵a<0,故选(C).8.有△ABE,△ABM,△ADP,△ABF,△AMF等五种类型.选(D).9.题目说是一个固定的值,就是说:不论x,y取何值,原式的值不变.于是以x=y=0代入,得:故选(B).故选(A).二、填空题提示:4.∠ADC=∠2+∠ADB=∠1+∠ADB=180°--∠A=120° 所以∠ADC 的度数是120度. 5.∠COD 度数的一半是30度.8.∵Δ=p 2-4q >p 2.9.方程组可化简为:解得: x=1,y=-1,z=0. ∴1989x-y+25z=1990.10.∵6x 4+11x 3-7x 2-3x-7=(3x 2+4x-7)(2x 2+x+1)而3x 2+4x-7=0.希望杯第一届(1990)第二试试题一、选择题:(每题1分,共5分)1.等腰三角形周长是24cm ,一腰中线将周长分成5∶3的两部分,那么这个三角形的底边长是[ ] A .7.5B .12.C .4.D .12或42.已知P=2)1989(11991199019891988-++⨯⨯⨯,那么P 的值是[ ] A .1987B .1988.C .1989D .19903.a >b >c ,x >y >z ,M=ax+by+cz ,N=az+by+cx ,P=ay+bz+cx ,Q=az+bx+cy ,则[ ] A .M >P >N 且M >Q >N. B .N >P >M 且N >Q >MC .P >M >Q 且P >N >Q.D .Q >M >P 且Q >N >P4.凸四边形ABCD 中,∠DAB=∠BCD=900, ∠CDA ∶∠ABC=2∶1,AD ∶CB=1∶3,则∠BDA=[ ] A .30°B .45°.C .60°.D .不能确定5.把一个边长为1的正方形分割成面积相等的四部分,使得在其中的一部分内存在三个点,以这三个点为顶点可以组成一个边长大于1的正三角形,满足上述性质的分割[ ]A .是不存在的.B .恰有一种.C .有有限多种,但不只是一种.D .有无穷多种 二、填空题:(每题1分,共5分)1. △ABC 中,∠CAB ∠B=90°,∠C 的平分线与AB 交于L ,∠C 的外角平分线与BA的延长线交于N .已知CL=3,则CN=______. 2. 21(2)0a ab -+-=,那么111(1)(1)(1990)(1990)ab a b a b ++++++的值是_____.3. 已知a ,b ,c 满足a+b+c=0,abc=8,则c 的取值范围是______.4. ΔABC 中, ∠B=30053三个两两互相外切的圆全在△ABC 中,这三个圆面积之和的最大值的整数部分是______.5. 设a,b,c 是非零整数,那么a b c ab ac bc abc a b c ab ac bc abc++++++的值等于_________.三、解答题:(每题5分,共15分)1.从自然数1,2,3…,354中任取178个数,试证:其中必有两个数,它们的差是177.2.平面上有两个边长相等的正方形ABCD 和A 'B 'C 'D ',且正方形A 'B 'C 'D '的顶点A '在正方形ABCD 的中心.当正方形A 'B 'C 'D '绕A '转动时,两个正方形的重合部分的面积必然是一个定值.这个结论对吗?证明你的判断.3.用1,9,9,0四个数码组成的所有可能的四位数中,每一个这样的四位数与自然数n之和被7除余数都不为1,将所有满足上述条件的自然数n由小到大排成一列n1<n2<n3<n4……,试求:n1·n2之值.答案与提示一、选择题提示:1.若底边长为12.则其他二边之和也是12,矛盾.故不可能是(B)或(D).又:底为4时,腰长是10.符合题意.故选(C).=19882+3×1988+1-19892=(1988+1)2+1988-19892=19883.只需选a=1,b=0,c=-1,x=1,y=0,z=-1代入,由于这时M=2,N=-2,P=-1,Q=-1.从而选(A).4.由图6可知:当∠BDA=60°时,∠CDB5.如图7按同心圆分成面积相等的四部分.在最外面一部分中显然可以找到三个点,组成边长大于1的正三角形.如果三个圆换成任意的封闭曲线,只要符合分成的四部分面积相等,那么最外面部分中,仍然可以找到三个点,使得组成边长大于1的正三角形.故选(D).二、填空题提示:1.如图8:∠NLC=∠B+∠1=∠CAB-90°+∠1=∠CAB-∠3 =∠N.∴NC=LC=3.5.当a,b,c均为正时,值为7.当a,b,c不均为正时,值为-1.三、解答题1.证法一把1到354的自然数分成177个组:(1,178),(2,179),(3,180),…,(177,354).这样的组中,任一组内的两个数之差为177.从1~354中任取178个数,即是从这177个组中取出178个数,因而至少有两个数出自同一个组.也即至少有两个数之差是177.从而证明了任取的178个数中,必有两个数,它们的差是177.证法二从1到354的自然数中,任取178个数.由于任何数被177除,余数只能是0,1,2,…,176这177种之一.因而178个数中,至少有两个数a,b的余数相同,也即至少有两个数a,b之差是177的倍数,即a b=k×177.又因1~354中,任两数之差小于2×177=354.所以两个不相等的数a,b之差必为177.即a b=177.∴从自然数1,2,3,…,354中任取178个数,其中必有两个数,它们的差是177.2.如图9,重合部分面积S A'EBF是一个定值.证明:连A'B,A'C,由A'为正方形ABCD的中心,知∠A'BE=∠A'CF=45°.又,当A'B'与A'B重合时,必有A'D'与A'C重合,故知∠EA'B=∠FA'C.在△A'FC和△A'EB中,∴S A'EBF=S△A'BC.∴两个正方形的重合部分面积必然是一个定值.3.可能的四位数有9种:1990,1909,1099,9091,9109,9910,9901,9019,9190.其中 1990=7×284+2,1909=7×272+5.1099=7×157,9091=7×1298+5,9109=7×1301+2,9910=7×1415+5,9901=7×1414+3,9019=7×1288+3,9190=7×1312+6.即它们被7除的余数分别为2,5,0,5,2,5,3,3,6.即余数只有0,2,3,5,6五种.它们加1,2,3都可能有余1的情形出现.如0+1≡1,6+2≡1,5+3≡(mod7).而加4之后成为:4,6,7,9,10,没有一个被7除余1,所以4是最小的n.又:加5,6有:5+3≡1,6+2≡1.(mod7)而加7之后成为7,9,10,12,13.没有一个被7除余1.所以7是次小的n.即 n1=4,n2=7∴ n1×n2=4×7=28.第二届(1991年)初中二年级第一试试题一、选择题:(每题1分,共15分)1.如图1,已知AB=8,AP=5,OB=6,则OP的长是[ ]A.2; B.3; C.4; D.52.方程x2-5x+6=0的两个根是[ ]A.1,6 ; B.2,3; C.2,3; D.1,63.已知△ABC是等腰三角形,则[ ]A.AB=AC;B.AB=BC;C.AB=AC或AB=BC;D.AB=AC或AB=BC或AC=BC344134b c-==+,则a,b,c的大小关系是[ ]A.a>b>c B.a=b=c C.a=c>b D.a=b>c5.若a≠b,则[ ]6.已知x,y都是正整数,那么三边是x,y和10的三角形有[ ]A.3个B.4个; C.5个D.无数多个7.两条直线相交所成的各角中,[ ]A.必有一个钝角;B.必有一个锐角;C.必有一个不是钝角;D.必有两个锐角8.已知两个角的和组成的角与这两个角的差组成的角互补,则这两个角 [ ]A.一个是锐角另一个是钝角;B.都是钝角;C.都是直角;D.必有一个角是直角9.方程x2+|x|+1=0有[ ]个实数根.A.4; B.2; C.1; D.010.一个两位数,用它的个位、十位上的两个数之和的3倍减去-2,仍得原数,这个两位数是[ ]A.26; B.28; C.36; D.3811.若11个连续奇数的和是1991,把这些数按大小顺序排列起来,第六个数是[ ] A.179; B.181; C.183; D.18512.1,>+等于[ ]A.2x+5 B.2x-5; C.1 D.113.方程2x5+x4-20x3-10x2+2x+1=0有一个实数根是[ ]14.当a<-1时,方程(a3+1)x2+(a2+1)x-(a+1)=0的根的情况是 [ ]A.两负根;B.一正根、一负根且负根的绝对值大(1)BOC .一正根、一负根且负根的绝对值小;D .没有实数根15.甲乙二人,从M 地同时出发去N 地.甲用一半时间以每小时a 公里的速度行走,另一半时间以每小时b 公里的速度行走;乙以每小时a 公里的速度行走一半路程,另一半路程以每小时b 公里的速度行走.若a ≠b 时,则[ ]到达N 地. A . 二人同时; B .甲先;C .乙先;D .若a >b 时,甲先到达,若a <b 时,乙先 二、填空题:(每题1分,共15分)1.一个角的补角减去这个角的余角,所得的角等于______度. 2.有理化分母=______________.3.0x =的解是x=________. 4.分解因式:x 3+2x 2y+2xy 2+y 3=______.5.若方程x 2+(k 2-9)x+k+2=0的两个实数根互为相反数,则k 的值是______.6.如果2x 2-3x-1与a(x-1)2+b(x-1)+c 是同一个多项式的不同形式,那么a bc+=__.7.方程x 2-y 2=1991有______个整数解.8.当m______时,方程(m-1)x 2+2mx+m-3=0有两个实数根.9.如图2,在直角△ABC 中,AD 平分∠A ,且BD ∶DC=2∶1,则∠B 等于______度.CBAFFEDCBA(2) (3) (4)10.如图3,在圆上有7个点,A ,B ,C ,D ,E ,F ,和G ,连结每两个点的线段共可作出__条. 11.D ,E 分别是等边△ABC 两边AB ,AC 上的点,且AD=CE ,BE 与CD 交于F ,则∠BFC 等于__度. 12.如图4,△ABC 中,AB=AC=9,∠BAC=120°,AD 是△ABC 的中线,AE 是△ABD 的角平分线,DF ∥AB 交AE 延长线于F ,则DF 的长为______.13.在△ABC 中,AB=5,AC=9,则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是______.14.等腰三角形的一腰上的高为10cm ,这条高与底边的夹角为45°,则这个三角形的面积是______.15.已知方程x 2+px+q=0有两个不相等的整数根,p ,q 是自然数,且是质数,这个方程的根是______.答案与提示一、选择题提示:1.∵OP=OB-PB=OB-(AB-AP)=6-(8-5)=3.∴选(B).2.∵以2,3代入方程,适合.故选(B).3.∵有两条边相等的三角形是等腰三角形.∴选(D).4.∵a=1,b=-1,c=1.∴选(C).6.∵x=y>5的任何正整数,都可以和10作为三角形的三条边.∴选(D).7.两直线相交所成角可以是直角,故而(A),(D)均不能成立.∴选(C).8.设两个角为α,β.则(α+β)+(α-β)=180°,即α=90°.故选(D).9.∵不论x为何实数,x2+|x|+1总是大于零的.∴选(D).即7a=2b+2,可见a只能为偶数,b+1是7的倍数.故取(A).11.设这11个连续奇数为:2n+1,2n+3,2n+5,…,2n+21.则(2n+1)+(2n+3)+(2n+5)+…+(2n+21)=1991.即 11(2n+11)=1991.解得n=85.∴第六个数是2×85+11=181.故选(B).∴选(A).13.原方程可化为(2x5-20x3+2x)+(x4-10x2+1)=0.即 (2x+1)(x4-10x2+1)=0.即 x4-10x2+1=0.故取(C).14.a<-1时,a3+1<0,a2+1>0,a+1<0.而若方程的两根为x1,x2,则有15.设M,N两地距离为S,甲需时间t1,乙需时间t2,则有∴t1<t2,即甲先.另外:设a=1,b=2,则甲走6小时,共走了9公里,这时乙走的时间为从这个计算中,可以看到,a,b的值互换,不影响结果.故取(B).二、填空题提示:1.设所求角为α,则有(180°-α)-(90°-α)=90°.4.x3+2x2y+2xy3+y3=(x3+y3)+(2x2y+2xy2)=(x+y)(x2-xy+y2)+2xy(x+y)=(x+y)(x2+xy+y2)5.设二根为x1,-x1,则x1+(-x1)=-(k2-9).即k2-9=0.即k=±3.又,要有实数根,必须有△≥0.即 (k2-9)2-4(k+2)>0.显然 k=3不适合上面的不等式,∴k=-3.6.由2x2-3x-1=a(x+1)2+b(x-1)+c是恒等式,故由x=1代入,得c=-2;x2项的系数相等,有a=2,这时再以x=0代入,得-1=a-b+c.即b=1.7.x2-y2=1991,(x-y)(y+x)=11×181可以是9.BD∶DC=2∶1,故有AB∶AC=2∶1,直角三角形斜边与直角边之比为2∶1,则有∠B=30°.10.从A出发可连6条,从B出发可连5条,(因为BA就是AB),从C出发可连4条,…,从F出发可连一条.共计1+2+3+4+5+6=21(条).另法:每个点出发均可连6条,共有42条.但每条都重复过一次,11.如图28.∠F=∠1+∠A+∠2.又:△ADC≌△CEB.∴∠1=∠3.∴∠F=∠3+∠A+∠2=∠B+∠A=120°.12.△ABC是等腰三角形,D为底边的中点,故AD又是垂线,又是分角线,故∠BAD=60°,∠ADB=90°.又:AE是分角线,故∠DAE=∠EAB=30°.又:DF∥AB,∴∠F=∠BAE=30°.在△ADF中,∠DAF=∠F=30°.∴AD=DF.而在△ADB中,AB=9,∠B=30°.13.∵4<BC<14.∴当BC为4时,BD=CD=2,AD<7.当BC=14时,BC=CD=7,有AD>2.∴2<AD<7.14.等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是45°,则顶角是90°,高就是腰,其长为10cm.15.设两根为x1,x2.则x1+x2=-p① x1x2=q②由题设及①,②可知,x1,x2均为负整数.q为质数,若q为奇数,则x1,x2均为奇数.从而p为偶数,而偶质数只有2,两个负整数之和为-2,且不相等,这是不可能的.若q为偶数(只能是2),两个负整数之积为2,且不相等,只能是-1和-2.∴方程的根是-1和-2.希望杯第二届(1991年)初中二年级第二试试题一、选择题:(每题1分,共10分)1.如图29,已知B是线段AC上的一点,M是线段AB的中点,N为线段AC的中点,P为NA的中点,Q为MA的中点,则MN∶PQ等于( )A.1 ; B.2; C.3; D.42.两个正数m,n的比是t(t>1).若m+n=s,则m,n中较小的数可以表示为( )A.ts; Bs-ts; C.1tss+; D.1st+.3.y>0时,3x y-等于( )4.(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式,则a ,b ,c 的关系可以写成( ) A .a <b <c. B .(a-b)2+(b-c)2=0. C .c <a <b. D .a=b ≠c 5.如图30,AC=CD=DA=BC=DE .则∠BAE 是∠BAC 的 ( ) A .4倍.B .3倍.C .2倍.D .1倍6.D 是等腰锐角三角形ABC 的底边BC 上一点,则AD ,BD ,CD 满足关系式( ) A.AD 2=BD 2+CD 2. B .AD 2>BD 2+CD 2. C .2AD 2=BD 2+CD 2. D .2AD 2>BD 2+CD 2 7.方程2191()1010x x -=+的实根个数为( ) A .4 B .3. C .2 D .18.能使分式33x y y x-的值为x 2、y 2的值是( )A.x 2,y 22y 2;C. x 2,y 2; D. x 2y 2.9.在整数0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中,设质数的个数为x ,偶数的个数为y ,完全平方数的个数为z ,合数的个数为u .则x+y+z+u 的值为 ( ) A .17B .15.C .13D .1110.两个质数a ,b ,恰好是x 的整系数方程x 2-21x+t=0的两个根,则b aa b+等于( ) A.2213; B.5821; C.240249; D.36538.二、填空题(每题1分,共10分)1.1989×19911991-1991×19891988=______.2.分解因式:a 2+2b 2+3c 2+3ab+4ac+5bc=______.3.(a 2+ba+bc+ac):[(b 2+bc+ca+ab):(c 2+ca+ab+bc)]的平方根是______.4.边数为a ,b ,c 的三个正多边形,若在每个正多边形中取一个内角,其和为1800,那么111a b c++=_________. 5.方程组51x ay y x +=⎧⎨-=⎩有正整数解,则正整数a=_______.6.从一升酒精中倒出13升,再加上等量的水,液体中还有酒精__________升;搅匀后,再倒 出13升混合液,并加入等量的水, 搅匀后,再倒出13升混合液, 并加入等量的水,这时,所得混合液中还有______升酒精.7.如图31,在四边形ABCD 中.AB=6厘米,BC=8厘米,CD=24厘米,DA=26厘米.且∠ABC=90°,则四边形ABCD 的面积是______. 8.如图32,∠1+∠2+∠3∠4+∠5+∠6=______. 9.2243x x +++的最小值的整数部分是______.10.已知两数积ab ≠1.且2a 2+1234567890a+3=0,3b 2+1234567890b+2=0,则ab=______. 三、解答题:(每题5分,共10分,要求:写出完整的推理、计算过程,语言力求简明,字迹与绘图力求清晰、工整)1. 已知两个正数的立方和是最小的质数.求证:这两个数之和不大于2.2.一块四边形的地(如图33)(EO ∥FK ,OH ∥KG)内有一段曲折的水渠,现在要把这段水渠EOHGKF 改成直的.(即两边都是直线)但进水口EF 的宽度不能改变,新渠占地面积与原水渠面积相等,且要尽可能利用原水渠,以节省工时.那么新渠的两条边应当怎么作?写出作法,并加以证明.答案与提示一、选择题提示:3.由y>0,可知x<0.故选(C).4.容易看到a=b=c时,原式成为3(x+a)2,是完全平方式.故选(B).5.△ACD是等边三角形,△BCA和△ADE均为等腰三角形.故知∠BAC=30°,而∠BAE=120°,所以选(A).6.以等边三角形为例,当D为BC边上的中点时,有AD2>BD2+CD2,当D为BC边的端点时,有AD2=BD2+CD2,故有2AD2>BD2+CD2.故选(D).故选(C).∴选(C).9.∵x=4,y=5,z=4,u=4.∴选(A).10.由a+b=21,a,b质数可知a,b必为2与19两数.二、填空题提示:1.1989×19911991-1991×19891988=1989(1991×104+1991)-1991(1989×104+1988)=1989×1991-1991×1988=1991.2.原式=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca+b2+2c2+ab+2ac+3bc=(a+b+c)2+(b+c)(b+2c)+a(b+2c)=(a+b+c)2+(b+2c)(a+b+c)=(a+b+c)(a+2b+3c).3.原式=(a+c)(a+b)∶[(b+a)(b+c)∶(c+a)(c+b)]∴平方根为±(a+c).4.正多边形中,最小内角为60°,只有a,b,c均为3时,所取的内角和才可能为180°.5.两式相加有(1+a)y=6,因为a,y均为正整数,故a的可能值为5,这时y=1,这与y-x=1矛盾,舍去;可能值还有a=2,a=1,这时y=2,y=3与y-x=1无矛盾.∴a=1或2.7.在直角三角形ABC中,由勾股定理可知AC=10cm,在△ADC中,三边长分别是10,24,26,由勾股定理的逆定理可△ADC为直角三角形.从而有面积为8.∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6,正好是以∠2,∠3,∠5为3个内角的四边形的4个内角之和.∴和为360°.10.由已知条件可知a是方程2x2+1234567890x+3=0的一个根,b是方程3y2+1234567890y+2=0的一个根,后者还可以看成:三、解答题1.设这两个正数为a,b.则原题成为已知a3+b3=2,求证a+b≤2.证明(反证法):若a+b>2由于a3+b3=2,必有一数小于或等于1,设为b≤1,→a>2b,这个不等式两边均为正数,→a3>(2-b)3.→a3>8-12b+6b2-b3.→a3+b3>8-12b+6b2.→6b2-12b+6<0.→b2-2b+1<0.→(b-1)2<0.矛盾.∴a+b≤2.即本题的结论是正确的.2.本题以图33为准.由图34知OK∥AB,延长EO和FK,即得所求新渠.这时,HG=GM(都等于OK),且OK ∥AB,故△OHG的面积和△KGM的面积相同.即新渠占地面积与原渠面积相等.而且只挖了△KGM这么大的一块地.我们再看另一种方法,如图35.作法:①连结EH,FG.②过O作EH平行线交AB于N,过K作FG平行线交于AB于M.③连结EN和FM,则EN,FM就是新渠的两条边界线.又:EH∥ON∴△EOH面积=△FNH面积.从而可知左半部分挖去和填出的地一样多,同理,右半部分挖去和填出的地也一样多.即新渠面积与原渠的面积相等.由图35可知,第二种作法用工较多(∵要挖的面积较大).故应选第一种方法。
历届(第1-23届)希望杯数学竞赛初一七年级真题及答案
“希望杯”全国数学竞赛(第1-23届)初一年级/七年级第一/二试题目录1.希望杯第一届(1990年)初中一年级第一试试题......................003-0052.希望杯第一届(1990年)初中一年级第二试试题......................010-0123.希望杯第二届(1991年)初中一年级第一试试题...... 0错误!未定义书签。
-0204.希望杯第二届(1991年)初中一年级第二试试题...... 0错误!未定义书签。
-0265.希望杯第三届(1992年)初中一年级第一试试题...... 0错误!未定义书签。
-0326.希望杯第三届(1992年)初中一年级第二试试题...... 0错误!未定义书签。
-0407.希望杯第四届(1993年)初中一年级第一试试题...... 0错误!未定义书签。
-0508.希望杯第四届(1993年)初中一年级第二试试题...... 0错误!未定义书签。
-0589.希望杯第五届(1994年)初中一年级第一试试题...... 0错误!未定义书签。
-06610.希望杯第五届(1994年)初中一年级第二试试题..... 0错误!未定义书签。
-07311.希望杯第六届(1995年)初中一年级第一试试题..... 0错误!未定义书签。
-080 12希望杯第六届(1995年)初中一年级第二试试题..... 0错误!未定义书签。
-08713.希望杯第七届(1996年)初中一年级第一试试题..... 0错误!未定义书签。
-09814.希望杯第七届(1996年)初中一年级第二试试题....... 错误!未定义书签。
-10515.希望杯第八届(1997年)初中一年级第一试试题....... 错误!未定义书签。
-11316.希望杯第八届(1997年)初中一年级第二试试题....... 错误!未定义书签。
-12017.希望杯第九届(1998年)初中一年级第一试试题....... 错误!未定义书签。
英文题
1、 (2006年希望杯初二1试)Suppose that in Fig.1,the length of side of square ABCD is 1,E and F are mid -points of CD and AD respectively ,GE and CF intersect at a point P .Then the length of line segment CP is __________.(英汉词典:figure (缩写Fig.)图;length 长度;square 正方形;mid -point 中点;intersect 相交;line segment 线段)【答案】552、 (Figure 2)In the trapezium (梯形)ABCD ,AD ∥BC ,point E is midpoint(中点)of the AD ,point F is midpoint of the BC ,EF =21(BC -AD),the result ofthe ∠B +∠C is ( ) (A )90° (B )100° (C )110° (D )120°【答案】A3、 (第二十届“希望杯”全国数学邀请赛初二第一试)The figure on the right is composed of square ABCD and triangle BCE ,where ∠BEC is right angle .Suppose the length of CE is a ,and the length of BE is b ,then the distance between point A and line CE equals to .(be composed of 由…组成, right angle 直角, length 长度, distance 距离)【答案】(a+b )4、 (Figure )In a trapezoid ABCD ,AE=DE ,CE ⊥AD ,CE is a bisector to ∠BCD ,then the ratio of the area of a quadrilateral ABCE to that of a triangle CDE isFigure 2ABCDEFABCD E F P图1___ _(词典trapezoid :梯形;bisector :平分线;ratio :比值;quadrilateral :四边形)【答案】7:95、 There is a two —placed number 10ab a b =+ satisfying that ab ba + is a complete square number ,then total number of those like ab is ( )A 、4B 、6C 、8D 、10 (英汉词典:two-placed number 两位数;number 数,个数;to satisfy 满足;complete square 完全平方(数);total 总的,总数) 【解答】C6、 (第十九届“希望杯”全国数学邀请赛初一 第1试)Digits of the produet of 2517×233 is ( )A 、32;B 、34;C 、36;D 、38; (英汉小词典:digits 位数,product 乘积) 【答案】B7、 (第十九届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试)For each pair of realnumbersa ≠b ,define the operation ★ as (a ★b )=ba ba -+,then the walue of((1★2)★3)is ( )A 、32-; B 、51-; C 、0; D 、21;【答案】C8、 (第十六届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试)If we have 0<ba,0<-b a and 0>+b a ,then the points in real number axis ,given by a and b ,can be represented as ( )(英汉词典 point :点,real number axis :实数轴,represented :表示)【答案】A9、 (2007年希望杯初二1试)Let A abcd = be a four-digit number. If400abcd is a square of an integer, then A= 或 .(英汉词典:four-digit number 四位数;square 平方、平方数;integer 整数) 【答案】设2240004000000)2000(400x x x abcd ++=+=,则24000x x abc d +=,所以可知0<x ≤2,当1=x 时,4001=abcd ,当2=x 时,8004=abcd 。
八年级数学第15届“希望杯”第2试试题
山东省滨州市无棣县埕口中学八年级数学第 15届“希望杯”第2试试题一、选择题(每小题5分,共50分) 1. 方程|x+1|+|x-3|=4 的整数解有() (A)2个(B)3个 (C)5个 (D)无穷多个m [ 1 血2. 若等式对任意的x(x 丰± 3)恒成立,则 mn=()(A)8 (B)-8 (C)16 (D)-163. 若x > z y >z ,则下列各式中一定成 立的是() (A)x+y > 4z(B)x+y > 3z(C)x+y > 2z(D)x+y > z4. 规定[a ]表示不超过a 的最大整数,当x=-1时,代数式2mf-3nx+6的值为16,2则[」m-n]=()5. 如图1,在=ABCD 中, AC 与BD 相交于O, AEL BD 于E , CF 丄BD 于F ,那么图中的全等 三角形共有()(A)-4(B)-3(C)3 (D)4(C)7 对(D)8 对Hi6.如图2,在直角扇形ABC 内,分别以AB 和AC 为直径作半圆,两条半圆弧相交于点D,整个图形被分成 S 1, S, S 3, S 4四部分,贝y S 2和S 4的大小关系是((A)S 2V S 4(B)S 2=S(C)S 2> S 4(D)无法确定(B)6 对C027.Give n m is a real number, and |1-m|=|m|+1 , simplify an algebraic expression,then] £8. 二(1)班共有35名学生,其中]的男生和1的女生骑自行车上学, 那么该班骑自行车上学的学生的人数最少是() (A)9(B)10(C)11(D)129. 李编辑昨天按时间顺序先后收到 A B C 、D E 共5封电子邮件,如果他每次都是首先回复最 新收到的一封电子邮件,那么在下列顺序: ①BAECD ②CEDBA ③ACBED④DCABE 中,李编辑可能回复的邮件顺序是()(A)①和②(B)②和③(C)③和④(D)①和④10. 有A 、B 、C 三把刻度尺,它们的刻度都是从0到30个单位(单位长度各不相同),设三把尺子的0刻度和30刻度处到尺子边缘的长度可以忽略不计,现用其中的一把尺子量度另两 把尺子的长度.已知用C 尺量度,得A 尺比B 尺长6个单位;用A 尺量度,得B 尺比C 尺长 10个单位;则用B 尺量度,A 尺比C 尺()(A)长15个单位 (B)短15个单位 (C)长5个单位 (D)短5个单位二、填空题(每小题5分,共50分)11. 若方程 |1002x-1002 2|=1002 3 的根分别是 X 1 和 X 2,贝U X 1 +X 2= ___ . 12. 分解因式:a 4+2a 3b+3a 2b 2+2ab 3+b 4= ____ ._______________ 1 _______________13. 对于任意的自然数n ,有f(n)=: : ^ X 1' ,则f(1)+f(3)+f(5)+…+f(999)= _____ .(A)|m|-1 (B)-|m|+1(C)m-1(D)-m+1(英汉小词典simplify化简;algebraic expressi on:代数式))-314414.X 1, X 2, X 3, X 4, X 5, X 6 都是正数,且 =6,贝 VX 1X 2X 3X 4X 5X 6=15.(Figure 3)In a trapezoid ABCD AE 』DE CEL AD CE is a bisector to / BCD then the ratio of the area of a quadrilateral ABCE to that of a triangle CDE is _____ (英汉小词典trapezoid :梯形;bisector :平分线;ratio :比值; quadrilateral :四边形) b 4d-7 b -h 1 7(d -1) £ Figure 316.已知a ,b ,c ,d 为正整数,且•- - , - ,则-的值 是 ______ ; h 的值是 ________ 17. 一个直角三角形的三条边的长均为整数,已知它的一条直角边的长是 18,那么另一条直 角边的长有 _______ 种可能,它的最大值是 ________ . 18. “神舟”飞船由返回舱、轨道舱和推进舱三个舱组成,已知三个舱中每两个舱的长度和 分别为4859mm 5000mm 5741mm 那么这r 三个舱中长度最大的是 ________ mm 长度最小的是 ____ mm. 19. 若(|x+1|+|x-2|)(|y-2|+|y+1|)(|z-3|+|z+1|)=36 ,贝U x+2y+3z 的最大值是 ____ ,最 小值是 _____ . 20.图4是某电台“市民热线”栏目一周内接到的热线电话的统计图,其中有关房产城建的 热线电话有30个,那么有关环境保护的电话有 _________ 个;如果每年按52周计算「,每周接到 的热线电话的数量相同,那么“市民热线” 一年内接到的热线电 话有 ___ 个. 唐产域淫道路 36■/环境保护三、解答题(每题10分,共30分)苴它方面21.民航规定:旅客可以免 费携带a 千克物品,若超过a 千克,则要收取一定的费用,当携带物品的质量为b千克(b > a)时,所交费用为Q=10b-200(单位: 元).(1) 小明携带了35千克物品,质量大于a千克,他应交多少费用?(2) 小王交了100元费用,他携带了多少千克物品?(3) 若收费标准以超重部分的质量m(千克)计算,在保证所交费用Q不变的情况下,试用m 表示Q.22. 如图5, —张矩形纸片ABCD的边长分别为9cm和3cm,把顶点A和C叠合在一起,得到折痕EF.(1) 证明四边形AECF是菱形;⑵计算折痕EF的长;⑶求A CEH的面积.23. 如图6,用水平线与竖直线将平面分成若干个边长为1的正方形格子,点O A、B均在正方形格子的顶点(格点)处,其中点0与点A位于同一水平线上,相距a格,点0与点B 位于同一竖直线上,相距b格.(1) 若a=5, b=4,则厶OAB中(包括三条边)共有多少个格点?(2) 若a, b互质,则在线段AB上(不包括A、B两点)是否有格点?证明你的结论.⑶若a, b互质,且a> b>8,A OAB中(包括三条边)共有67个格点,求a, b的值.参考答案、1.C 2.D 3.C 4.A 5.C 6.B 7.D 8.D 9.B 10.A二、11.2004 12.(a 2+b2+ab)213.5 14.6 15.7:9 16.21 ; 7 17.2 ; 8018.2941 ; 2059 19.15 ; -6 20.45 ; 7800三、21.(1)Q=35 X 10 -200=150(元);(2) 设小王携带了x千克物品,则10x-200=100,解得x=30.(3) 已知最多可以免费携带a千克物品,则10a-200=0 ,解得a=20.所以m=b-a=b-20,即b=m+20.故所交费用Q=10b-200=10(m+20)-200=10m(元).22. (1)如图1,因为AB// CD所以AF// CE CF// HE根据对称性,知/ CEH M AED因为DE、C三点共线,所以A、E、H三点共线,所以AE//CF,所以四边形AECF是平行四边形.又AF=CF 所以四边形AECF是菱形.⑵设AF=x,则• 一ICF=x, BF=9-x.在厶BCF中,C F=B F+B C,所以x2=(9-x) 2+32,解得x=5,即卩CF=5 BF=4.过E作EM L AB交AB于M,则MF=BM-BF=CE-BF=CF-BF=1EM=3.所以EF 二J EM*十= JiF.(3) 根据对称性,知△ CEH^A AED£ ££所以S^CEH F S^AEE F 2 DE- AD=] (AF- MF) • AD< X 4X 3=6(cm2).23. (1)如图2, a=5, b=4,A OAB中(包括三条边)的格点的个数为1+2+3+4+6=16.(2)若a,b互质,假设线段AB上存在某一点P(恰为格点),可设点P到点O的水平距离为x,竖直距离为y(x,y均为整数),则£ £S^AOB F S △AOF+S^BOF F二ay+ 上bx,] ] ]所以-ab=二ay+ 亠bx,即ab=ay+bx,ay=b(a-x).因为a,b互质,所以a-x是a的倍数,它与a-x v a矛盾,因此,假设不正确,即线段AB上(除A、B两点外)不存在其它格点.⑶由⑵ 知,线段AB上(除A、B两点外)不存在其它的格点.以OA OB为边作一个矩形OACB则在△ CAB中格点的个数与厶OAB中格点的个数相同,且只有A、B两点是公共的,而矩形OAC沖格点的个数为(a+1)(b+1).因此,(a+1)(b+1)+2=2 X 67=134,(a+1)(b+1)=132=2 X 2X 3X 11.由a>b>8,得a+1=12,b+1=11,即a=11,b=10.。
2004年第15届全国希望杯数学邀请赛初二第1试试卷
2004年第十五届希望杯初二第1试试题班级__________学号__________姓名______________得分______________一、选择题(每小题4分,共40分)1、小伟自制了一个孔成像演示仪,如图所示,在一个圆纸筒的两端分别用半秀明纸和黑纸封住,并用针在黑纸的中心刺出一个小孔.小伟将有黑纸的一端正对着竖直放置的“”形状的光源,则他在半透明纸上观察到的像的形状是 ( )(A) (B ) (C)(D)2、代数式14121111432++++++-x xx x x x 的化简结果是 ( )(A )1885-x x (B )1884-x x (C )1487-x x(D )1887-x x3、已知x 是实数,且(x 2-9x +20)x -3=0,那么x 2+x +1= ( )(A )31(B )21(C )13(D )13或21或314、已知a ,b (b >a )是两个任意质数,那么下列四个分数:①ab b a +;②a b ab +-;③2222b a a b +-;④22b a ab +中总是最简分数的有 ( ) (A )1个 (B )2个 (C )3个 (D )4个5、Given p , q are real numbers, and p +2q =0(q ≠0), then the value of321-+-+-q pq p qp is( )(A )4(B )6(C )3(D )4or 66、某出版社计划出版一套百科全书,固定成本为8万元,每印制一套需增加成本20元.如果每套定价100元,卖出后有3成给承销商,出版社要盈利10%,那么该书至少应发行(精确到千位) ( )(A )2千套 (B )3千套(C )4千套(D )5千套7、△ABC 的三个内角∠A 、∠B 、∠C ,满足3∠A >5∠B ,3∠C ≤∠B ,则这个三角形是( )(A )锐角三角形(B )直角三角形(C )钝角三角形(D )等边三角形8、如图,正方形ABCD 的面积为256,点E 在AD 上,点E在AB 的延长线上,EC ⊥FC ,△CEF 的面积是200,则BE 的长是( )(A )15 (B )12 (C )11 (D )109、如图,在四边形ABCD 中,∠ABC =∠ADC =90°,点E 、F 分别是对角线AC 、BD 的中点,则 ( )(A )EF ⊥BD (B )∠AEF =∠ABD(C )EF =21(AB +CD ) (D )EF =21(CD -AB )10、[x ]表示不大于x 的最大整数,如[3.15]=3,[-2.7]=-3,AB CDFEA BC D EF[4]=4,则1002]00420032[]32[]21[⨯⨯⨯+++ = ( )(A )1001 (B )2003 (C )2004 (D )1002 二、A 组填空题(每小题4分,共40分.含两个空的小题,每个空2分.)11、计算:3005200520052003200330052003200420034008200220034004200322⨯⨯⨯⨯⨯⨯+---+-=__________.12、已知x =2323-+,y =2323+-,则x yy x +=___________.13、已知a ,b ,c 是三个实数,且a 与b 的平均数是127,b 与c 的和的三分之一是78,c 与a的和的四分之一是52,那么a ,b ,c 的平均数是__________.14、Given in the △ABC ,a ,b ,c are three sides of the triangle, a =3, b =10 and perimeter of the triangleis multiple of 5, then the length of c is____________.(英汉小词典:side :边;perimeter :周长;multiple :倍数)15、某学校有学生2000名,从中随意询问200名,调查收看电视的情况,结果如下表:16、如图,等腰梯形ABCD 的面积是49平方厘米,AD ∥BC ,且AC ⊥BD ,AF ⊥BC ,则BD =___________平方厘米,AF =___________平方厘米.17、方程1213++--x x x =1的解是___________或___________.18、已知x ,y ,z 是三个互不相同的非零实数,设a =x 2+y 2+z 2,b =xy +yz +zx ,c =21x +21y +21z ,d =xy 1+yz 1+zx 1,则a 与b 的大小关系是________________;c 与d 的大小关系是_______________.19、已知a ,b ,c 均为实数,且a +b =4,2c 2-ab =43c -10,那么ab =_____;c 2=______.20、小明做数学题时,发现21211=-,522522=-,10321033=-,17441744=-,…按上述规律,第五个等式是___________________;第n 个等式是____________________.三、B 组填空题(每小题8分,共40分.每题两个空,每个空4分.)21、一个三位自然数,当它分别被2、3、4、5、7除时,余数都是1,那么具有这个性质的最小三位数是___________;最大三位数是__________.22、一个直角三角形的三条边长均为整数,已知它的一条直角边的长为15,那么另一条直角边的长有__________种可能,其中最大值是_________.23、已知p ,q ,pq +1都是质数,且p -q >40,那么满足以上条件的最小质数p =__________;q __________.24、用1、2、3、4、5这五个数字可以组成60个没有重复数字的三位数,那么这60个三位数的和是_________;这个和除以111,得到的商是________.BCADOD25、如图,正方形BCDE和ABFG的边长分别为2a,a,连接CE和CG,则图中阴影部分的面积是_________;CE和CG的大小关系是_________.2004年第十五届希望杯初二第1试参考答案一、选择题:二、A组填空题:三、B组填空题:【部分详解】1 解:由于物与像成中心对称,所以将旋转180°即可得到.故选C.23456 解:设该书至少应发行x千套,依题意得80000+20×1000x≤100×(1-30%-10%)×1000x,∴x≥2,故该书至少应发行2千套.故选A.7、解:∵3A>5B,2B>3C,∴3A+2B>5B+3C,即A>B+C,不等式两边加A,∴2A>A+B+C,而A+B+C=180°,∴2A>180°,即A>90°,∴这个三角形是钝角三角形.故选B.8、9、10、13、14、解:由题意得:a=3,b=10,∴b-a<c<a+b,即7<c<13,∴c可取8、9、10、11、12,又∵a+b+c是5的倍数,∴可得符合条件的只有c=12,即c的值为12,故答案为:12.15、解:样本频率为(15+47+78)÷200=140÷200=70%.∴全校每周收看电视不超过6小时的人数约为2000×70%=1400.故答案为1400.16、18、19、20、解:∵等式左边根号内为一个整数减去一个分数,并且这个分数的分子为这个整数,分母为这个整数的平方加1,等式右边是这个整数乘以左边的分数的算术平方根.21、解:∵这个数减去1能被2,3,4,5,7整除,∴这个数是2,3,4,5,7的最小公倍数加1,即3×4×5×7+1=421;∴最大的三位数是421+3×4×5×7=841;故答案为:421、841.22、设另一直角边长和斜边长分别是Z,X,显然X>Z>0根据直角三角形的边长关系有:15^2=X^2-Z^2即:15^2=(X+Z)(X-Z)式中X+Z 和X-Z 分别是大于零的整数,且满足:X+Z > X-Z > 0再来看看15^2=225这个数的因数:1,3,5,9,15,25,45,75,225。
希望杯数学竞赛第一届至十历届四年级全部试题与答案(打印版)
球的正上方悬挂有相同的灯泡。A 灯泡位置比 B 灯泡位置低。当灯泡点亮时,受
光照部分更多的是
球。
18.用 20 厘米长的铜丝弯成边长是整数的长方形,这样的长方形不只一种。 其中,面积最小的,长______ 厘米,宽______ 厘米;面积最大的长方形的长 ______ 厘米,宽______ 厘米。
千米。
13.甲、乙、丙三人中只有 1 人会开汽车。甲说:“我会开。”乙说:“我
不会开。”丙说:“甲不会开。”三人的话只有一句是真话。会开车的是
。
14.为了支援西部,1 班班长小明和 2 班班长小光带了同样多的钱买了同一
种书 44 本,钱全部用完,小明要了 26 本书,小光要了 18 本书。回校后,小明
第一届小学“希望杯”全国数学邀请赛(第 1 试)
四年级 第 1 试
1.下边三个图中都有一些三角形,在图 A 中,有
在图 C 中,有
个。
个;在图 B 中,有
个;
2.写出下面等式右边空白处的数,使等式能够成立:
0.6+0.06+0.006+…=2002÷
。
3.观察 1,2,3,6,12,23,44,x,164 的规律,可知 x =
目录
1. 第一届小学“希望杯”全国数学邀请赛(第 1 试) ........................................2 2. 第一届小学“希望杯”全国数学邀请赛(第 2 试) ........................................5 3. 第二届小学“希望杯”全国数学邀请赛(第 1 试) ........................................7 4. 第二届小学“希望杯”全国数学邀请赛(第 2 试) ......................................10 5. 第三届小学“希望杯”全国数学邀请赛(第 1 试) ......................................13 6. 第三届小学“希望杯”全国数学邀请赛(第 2 试) ......................................16 7. 第四届小学“希望杯”全国数学邀请赛(第 1 试) ......................................18 8. 第四届小学“希望杯”全国数学邀请赛(第 2 试) ......................................21 9. 第五届小学“希望杯”全国数学邀请赛(第 1 试) ......................................23 10. 第五届小学“希望杯”全国数学邀请赛(第 2 试) ......................................26 11. 第六届小学“希望杯”全国数学邀请赛(第 1 试) ......................................28 12. 第六届小学“希望杯”全国数学邀请赛(第 2 试) ......................................30 13. 第七届小学“希望杯”全国数学邀请赛(第 1 试) ......................................32 14. 第七届小学“希望杯”全国数学邀请赛(第 2 试) ......................................36 15. 第八届小学“希望杯”全国数学邀请赛(第 1 试) ......................................39 16. 第八届小学“希望杯”全国数学邀请赛(第 2 试) ......................................41 17. 第九届小学“希望杯”全国数学邀请赛(第 1 试) ......................................44 18. 第九届小学“希望杯”全国数学邀请赛(第 2 试) ......................................46 19. 第十届小学“希望杯”全国数学邀请赛(第 1 试) ......................................48 20. 第十届小学“希望杯”全国数学邀请赛(第 2 试) ......................................50 21. 第一届---第八届“希望杯”全国数学邀请赛参考答案………………………53
希望杯-第十五届全国数学邀请赛初二第2试-
第十五届“希望杯”全国数学邀请赛初二 第2试2004年4月18日 上午8:30至10:30 得分一、选择题:(每小题5分,共50分)以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将表示正确的英文字母填在每题后面的圆括号内。
1. 方程1+x +3-x = 4的整数解有( )(A )2个 (B )3个 (C )5个 (D )无穷多个2. 若等式3+x m - 3-x n =982-x x 对任意的 x (x ≠±3)恒成立,则mn =( ) (A )8 (B )-8 (C )16 (D )-163. 若x >z ,y >z ,则下列各式中一定成立的是( )(A )x +y >4z (B )x +y >3z (C )x +y >2z (D )x +y >z4. 规定[a]表示不超过a 的最大整数,当x =-1时,代数式2mx3-3nx +6值为16,则[32m -n]=( ) (A )-4 (B )-3 (C )3 (D )45. 如图1,在 □ ABCD 中,AC 与BD 相交于O ,AE ⊥BD 于E ,CF⊥BD 于F ,那么图中的全等三角形共有( )(A )5对 (B )6对 (C )7对 (D )8对6. 如图2,在直角扇形ABC 内,分别以AB 和AC 为直径作半圆,两条半圆弧相交于点D ,整个图形被分成S 1、S 2、S 3、S 4 四部分,则S 2和S 4的大小关系是( )(A )S 2<S 4 (B )S 2=S 4 (C )S 2>S 4 (D )无法确定7. Given m is a real number ,and m -1=m +1,simplifyan algebraic expression ,then 122+-m m =( )(A )m -1 (B)-m +1 (C) m -1 (D) -m +1 (英汉小词典simplify :化简;algebraic expression :代数式)8. 二(1)班共有35名学生,其中21的男生和31的女生骑自行车上学,那么该班骑自行车上学的学生的人数最少是( )(A )9 (B)10 (C)11 (D)129. 李编缉昨天按时间顺序先后收到A 、B 、C 、D 、E 共5封电子邮件,如果他每次都是首先回复最新收到的一封电子邮件,那么在下列顺序①BAECD ②CEDBA ③ACBED ④DCABE 中,李编缉可能回复的邮件顺序是( )(A )①和② (B )②和③ (C )③和④ (D )①和④10. 有A 、B 、C 三把刻度尺,它们的刻度都是从0到30 个单位(单位长度各不相同),设三把尺子的0刻度和30 刻度处到尺子边缘的长度可以忽略不计,现用其中的一把尺子量度另两把尺子的长度。
2010年希望杯全国数学邀请赛八年级第1试试题及详细解答
2010年(第21届)“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试详细解答一、选择题(每小题4分,共40分.)以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将正确答案前的英文字母写在下面的表格内.1.下列图案都是由字母m 组合而成的,其中不是中心对称图形的是( )【解析】B .因B 中5个”m ”分布在正五边形上,不是中心对称图形.故选B2.若230a a ≥≥,则( )AB .1a ≥D .01a <<【解析1】B .(特殊值法)令0a =,则230a a ===;令110a =,则2311,1001000a a ==23a a >====,B.【解析2】B .∵23a a ≥≥0,∴01a ≤≤≤事实上,当0a =或1a ==;当01a <<1132,a a ==如图所示,xy a =(01a <<)在实数集R 上是减函数,∵1123>,∴1132a a <故选B.3有意义,则x 的取值范围是()A .2010x ≤B .2010x ≤,且2009x ≠±C .2010x ≤且2009x ≠D .2010x ≤,且2009x ≠-【解析】B .由已知得2010020090x x -≥⎧⎪⎨-≠⎪⎩,解得2010x ≤,且2009x ≠±.故选B.4.正整数a b c ,,是等腰三角形三边的长,并且24a bc b ca +++=,则这样的三角形有( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个【解析】C .()()124a bc b ca a b c +++=++= ∵a b c +>,,,a b c 均为正整数,∴12a b c ++≥≥∴1c +只能取2,3,4.若12c +=,即1c =,则12a b +=,要使ABC ∆是等腰三角形只需6a b ==;若13c +=,即2c =,则8a b +=,同理4a b ==;若14c +=,即3c =,则6a b +=,同理3a b ==. 综上,这样的等腰三角形有3个.故选C.5.顺次连接一个凸四边形各边的中点,得到一个菱形,则这个四边形一定是( ) A .任意的四边形 B.两条对角线等长的四边形 C .矩形 D .平行四边形【解析】B.因为顺次连接一个凸四边形各边的中点得到的四边形,每组对边都等于对应对角线长的一半.因此若得到的四边形为菱形,则这个四边形一定是两条对角线等长的四边形.故选B6.设p =a b c d ,,,是正实数,并且1a b c d +++=,则 ( )A .5p >B .5p <C .4p <D .5p =【解析1】(特殊值法)如令14a b c d====,则4p ==>=, 25P =>=,排除C 【解析2】A .因01a <<,故23a a a >>,于是32371331331(1)a a a aa a a a +=+++>+++=+1a+1b+1c +1d >+,于是,根据同向不等式可以相加原理得 ()()()()11115p a b c d >+++++++=.即5p >,故选A.7.Given a b c ,, satisfy c b a << and 0ac <,then which one is not sure to be correct in the following inequalities ?( )A .b c a a >B .0b a c ->C .22b ac c> D .0a c ac -<(英汉词典:be sure to 确定;correct 正确的;inequality 不等式) 【解析】C .∵a c >且0ac <,∴0a >,0c <,于是∵b c >,0a >,∴b c a a>; ∵b a <,0c <,∴0b a c ->;∵a c >,0ac <,∴0a cac-<;因此只有C 不一定成立. 8.某公司的员工分别住在A B C 、、三个小区,A 区住员工30人,B 区住员工15人,C 区住员工10人,三个小区在一条直线上,位置如图1所示,若公司的班车只设一个停靠点,为使所有员工步行到停靠点的路程总和最短,那么停靠点的位置应在( )A .A 区B .B 区C .C 区D .A B C 、、区以外的一个位置【解析】A .以A 区为原点,从A 区往C 区方向为正方向建立数轴,设停靠点的坐标为x ,那么所有员工步行到停靠点的路程总和为301510010300S x x x =+-+-,由绝对值函数的性质易知在图10x =处,该函数值最小.事实上,554500,(300)351500,(100300)54500(0100)554500,(0)x x x x S x x x x ->⎧⎪+≤≤⎪=⎨+≤<⎪⎪-+<⎩,显然,当0x =时,min 4500S =9.ABC △的内角A 和B 都是锐角,CD 是高,若2AD AC DB BC ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则ABC △是( )A .直角三角形B .等腰三角形C .等腰直角三角形D .等腰三角形或直角三角形【解析1】当AC BC =时,AD BD =,满足题意,此时,ABC △是等腰三角形;当AC BC ≠时,若ABC △是直角三角形,则ACD CBD ∆∆∽有22,AC AD AB BC BD AB =⋅=⋅于是222AC AC AD BC BC BD ⎛⎫== ⎪⎝⎭,满足题意,故ABC △是等腰三角形或直角三角形. 【解析2】D .∵222AC AC AD BC BC BD ⎛⎫== ⎪⎝⎭,∴cos cos ADAC A AC BD BC B BC==,又由正弦定理D 得sin sin AC B BC A =, ∴cos sin cos sin A BB A=,于是sin 2sin 2A B =,∴22A B =或021802A B =-,故A B =或90A B +=︒. 10.某人沿正在向下运动的自动扶梯从楼上走到楼下,用了24秒;若他站在自动扶梯上不动,从楼上到楼下要用56秒.若扶梯停止运动,他从楼上走到楼下要用( ) A .32秒 B .38秒 C .42秒 D .48秒【解析1】C .设自动扶梯的速度为a /米秒,人行走的速度为b /米秒,则24()56a b a +=,解得43b a =,56564243a a tb a ===(秒).【解析2】C .设若扶梯停止运动,他从楼上走到楼下要用x 秒,则1112456x=+,解得42x =(秒). 【解析3】C .(可理解为合工作问题111422456⎛⎫÷-=⎪⎝⎭(秒)). 二、A 组填空题(每小题4分,共40分.)11.四个多项式:①22a b -+;②22x y --;③22249x y z -;④4221625m n p -,其中不能用平方差公式分解的是_______________.(填写序号)【解析】②.由于①()()2222a b b a b a b a -+=-=+-;③()()2222249(7)77xy z x y z x y z x y z -=-=+-;④()()422222221625(4)(5)4545m n p m np m np m np -=-=+-.故填②12.若111111a b c b c d===---,,,则a 与d 的大小关系是a _______d .(填“>”、“=”或“<”) 【解析1】=.(特殊值法)如令12b =,则2,1,2a c d ==-=,于是a d =【解析2】=.1111111111111111111da d d d d d cd dd======--+----+----- 【解析3】=:1111111(1)111111c c a d d b c c cc--=====-=--=----- 13.分式方程222510111x x x x ++=--+的解是x =______________.【解析】2-.222510111x x x x ++=--+,()()225110x x x +++-=,22640x x ++=,2320x x ++=1x =-(舍去)或2x =-14.甲、乙两人从A 点同时同向出发沿400米的环形跑道跑步,过一段时间后,甲在跑道上离A 点200米处,而乙在离A 点不到100米处正向A 点跑去,若甲、乙两人的速度比是4:3,则此时乙至少跑了____________米.【解析1】750.假设甲的速度是4m ,乙的速度是3m ,题中所述情况是在开始跑步后t 时刻且此时刻甲、乙已经跑了1k 、2k 个整圈,则14400200m t k ⋅=⋅+,23400m t k x ⋅=⋅+(其中300400x <<)于是1240020040043k k x ++=,()121234002004003004001504x k k k k =+-=-+ ∵300400x <<,∴123685k k <-<,因此12684k k -=,即12324k k -=,由于12,k k 均为非负整数, 2k 随1k 的增大而增大,故当12k =时,2k 的最小值为1,此时350x =,乙跑了400350750+=(米). 【解析2】750.假设甲的速度是4m ,乙的速度是3m ,设甲已跑了x 个整圈,则400200400(1)30043400200400(1)40043x x m mx x m m +-+⎧>⎪⎪⎨+-+⎪<⎪⎩解得3522x <<由题意知x 为正整数,故2x = 于是乙跑了400220037504m m⨯+⋅=(米). 15.已知等腰三角形三边的长分别是421156x x x -+-,,,则它的周长是_____________. 【解析】12310(或填12.3).①当421x x -=+时,1x =,此时三角形的三边长分别为2,2,9,矛盾; ②1156x x +=-时,2x =,此时三角形的三边长分别为6,3,3,矛盾;③当42156x x -=-时,1710x =,此时三角形的三边长分别为242724,,5105,周长为1231412.310x -==.16.若29453737a b =-=-,,则336a ab b -+=______________. 【解析1】8-.∵294523737a b +=--=-,∴2b a =--,于是()()33336622a ab b a a a a -+=---+-- ()3321262a a a a =++-+()32326126128a a a a a a =++-+++8=-【解析2】8-.294523737a b +=--=-,则333366a ab b a b ab -+=+-=3()3()6a b ab a b ab +-+-3(2)3(2)68ab ab =--⨯--=-.17.直线59544y x =-与x 轴、y 轴的交点分别为A B 、,则线段AB 上(包括端点A B 、)横坐标和纵坐标都是整数的点有_____________个.【解析1】5.59544y x =-即5495x y -=,于是y 必然整除5;另一方面()19,0A 、950,4B ⎛⎫- ⎪⎝⎭,∴954y -≤≤0,于是y 的可能取值为20,15,10,5,0----对应的点均在线段AB 上.【解析2】5.()19,0A 、950,4B ⎛⎫-⎪⎝⎭,线段5955(19)444x y x --=-=(019x ≤≤) 要求整点,只需19x -是4的倍数,于是190,4,8,12,16x -=,故线段AB 上共有5个整点: (15,5),(11,10),(7,15),(3,20),(19,0)----.18.已知关于x 的不等式()2132343a x a x --->-的解是1x >-,则a =_______________.【解析1】0. 原不等式⇔231124433a x a x -⎛⎫--> ⎪⎝⎭232114343a x a -⎛⎫⎛⎫⇔->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()24131a x a ⇔+>- ∴231141410a a a ⎧-=-⎪+⎨⎪+>⎩,解得43a =-(舍去)或0a =.【解析2】0.原不等式两边同乘以12-得,23914(2),a x a x --<--即2(14)31a x a +>-当140a +>即14a >-时,23141a x a ->+ ,故只需231141a a -=-+,解得43a =-(舍去)或0a =.19.当a 分别取2,1,0,1,2,3,,97-- 这100个数时,关于x 的分式方程212(1)1232a a x x x x +-=---+有解的概率是_______________. 【解析1】4950.2112(1)1232a x x x x +-=---+()()()2121(1)(2)(1)(2)x a x a x x x x -+-+⇔=----()134(1)(2)0a x a x x ⎧+=+⎪⇔⎨--≠⎪⎩∴当()1134a a +⋅=+或()1234a a +⋅=+以及()134a x a +=+无解时原方程无解, 即2a =-或1a =-时原方程无解.因此方程有解的概率为4950. 【解析1】4950.原方程两边同乘以(1)(2)x x --得,(2)(1)2(1)x a x a -+-=+,即 (1)34a x a +=+①,当10a +≠即1a ≠-时,方程①有解341a x a +=+,要使原分式方程有解,还需1x ≠,且2x ≠,即当1a ≠-且32a ≠-且2a ≠-原分式方程有解,故原方程有解的概率为4950. 20.十位数2010888abc 能被11整除,则三位数abc 最大是______________.(注:能被11整数的自然数的特点是:奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差是11的整数倍)【解析】990.因()()218800811b a c k ++++-++++=,即11()11b a c k +--=,(k 为整数) ∴b a c --能整除11,∴而19,09,09a b c ≤≤≤≤≤≤,9abc bc ≤,此时9b c --能整除11, ∴0b a c --=,即b a c =+,三位数abc 最大是990.三、B 组填空题(每小题8分,共40分)21.一个矩形的长与宽是两个不相等的整数,它的周长与面积的数值相等,那么这个矩形的长与宽分别是______________和______________.【解析】6,3.设长和宽分别为x 、y ,不妨设x y >则()2x y xy +=,即()()224x y --= 依题意,x y 都是正整数,而x y >,∴2421x y -=⎧⎨-=⎩ 解得63x y =⎧⎨=⎩,于是长和宽分别为6和3.22.用[]x 表示不大于x 的最大整数,如[][]414253=-=-.,..则方程[]6370x x -+=的解是______________或______________.【解析1】196x =-;83x =-,原方程可化为 []673x x +=,设673x t +=,(t 为整数)376t x -=,于是376t t -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,由37016t t -≤-<,解得13733t -<≤-,又t 为整数 4t =-或3t =-,即6743x +=-或6733x +=-,解得196x =-或83x =-.经检验,196x =-与83x =-均为原方程的解.【解析2】196x =-;83x =-.∵[]673x x +=,而[]1x x x -<≤,∴()31673x x x -<+≤,解得10733x <-≤-.因此13677x -<+≤-,∴67x +=12-或9-,解得196x =-或83x =-. 经检验,196x =-与83x =-均为原方程的解. 23.As in figure 2,in a quadrilateral ABCD ,we have its diagonal AC bisectsDAB ∠,and 21910AB AD BC DC ====,,,then the distance from point C to line ABis______________,and the length of AC is________________.(英汉词典:quadrilateral 四边形:bisect 平分)【解析1】8;17.如图1,过D 作DF AC ⊥,交AB 于E ,交AC 于F ,连接CE ,过C 作CH AB ⊥于H ,则ADF AEF ∆≌,从而=9AD AE =,=10=CD CE BC =,12BE AB AE =-=,6EH BH ==,8CH ==,因此等腰CEB ∆底边BC 上的高为8CH =. 9615AH AE EH =+=+=,17AC ==.【解析2】8;17.如图2,在AB 上截取10AE AD ==,过C 作CF AB ⊥于F ,则ADC AEC ∆∆≌,从而=10=CD CE BC=,12BE AB AE =-=,6EF BF ==,8CF =,因此等腰CEB ∆底边BC 上的高为8CF =.9615AF AE EF =+=+=,17AC =.【解析3】8;17.如图3,过C 作CE AB ⊥于E ,过C 作CF AD ⊥交AD 的延长线于F ,则CE CF =,于是BCE DCF ∆∆≌,ACE ACF ∆∆≌有BE DF =,AE AF =,设BE x =,则219x x -=+,解得6x =,即6BE =,15AE =,故8CE =, 17AC =.24.如图3,Rt ABC △位于第一象限内,A 点的坐标为(1,1),两条直角边AB AC 、分别平行于x 轴、y 轴,43AB AC ==,,若反比例函数(0)ky k x =≠的图象与Rt ABC △有交点,则k 的最大值是____________,最小值是______________.【解析】36148;1.当反比例函数的图象过A 点时k 最小,为1;当反比例函数的图象与BC 相切时k 最大,此时∵()5,1B ,()1,4C ,∴直线BC 的方程为31944y x =-+,由31944y x k y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得方程2319044x x k -+-=,依题意得其判别式3613016k ∆=-=,解得36148k =. 事实上,反比例函数(0)ky k x =≠图象与Rt ABC △有交点时,k 的取值范围是361148k ≤≤【评注】本题k 的最大值的确定容易出错,误认为k 的最大值是直线BC (直线BC 的方程为31944y x =-+)与反比例函数(0)ky k x=≠图象的对称轴y x =的交点处取得,此时由31944y x y x ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩得197197x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 从而19193617749k xy ==⨯=,其实此时反比例函数(0)k y k x =≠图象与直线BC 有两个交点(由3194436149y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得方程2249349191940x x ⨯-⨯+⨯=,其判别式为222222491944931944919(4943)49190∆=⨯-⨯⨯⨯⨯=⨯⨯-⨯=⨯>可得)并不是k 的最大值,只有当反比例函数的图象与BC 相切时k 才取到最大值.25.设011n A A A -,,,依次是面积为整数的正n 边形的n 个顶点,考虑由连续的若干个顶点连成的凸多边形,如四边形3446A A A A 、七边形2101234n n A A A A A A A --等,如果所有这样的凸多边形的面积之和是231,那么n 的最大值是_________________,此时正n 边形的面积是_____________.【解析】23;1.可由正四边形,正五边形,正六边形等归纳出正n 边形的一般规律:设正n 边形的面积为n S . (1)对于正四边形0123A A A A :共有4(43)22⨯-=条对角线,考虑由连续的3个顶点连成的三角形(凸多边形)有4个:012123234312,,,A A A A A A A A A A A A ∆∆∆∆;考虑由连续的4个顶点连成的四边形(凸多边形)有1个:0123A A A A ,故所有满足条件的凸边形共有4(43)415212⨯-+==⨯+个,其中0123012234123312,,,A A A A n A A A A A A n A A A A A A n S S S S S S S S ∆∆∆∆=+=+=正四边形故所有满足条件的凸边形的面积的和为4(43)2312n n n n S S S S ⨯-⎡⎤+==+⋅⎢⎥⎣⎦. (2)对于正五边形01234A A A A A :共有5(53)52⨯-=条对角线,考虑由连续的3个顶点连成的三角形(凸多边形)有5个:012123234340401,,,,A A A A A A A A A A A A A A A ∆∆∆∆∆;考虑由连续的4个顶点连成的四边形(凸多边形)有5个:四边形012312342340,,A A A A A A A A A A A A 3401,A A A A ,4012A A A A ,考虑由连续的5个顶点连成的五边形(凸多边形)有1个01234A A A A A ,故所有满足条件的凸边形共有5(53)25111212⨯-⨯+==⨯+个,其中01234,A A A A A n S S =正五边形 0122340A A A A A A A n S S S ∆+=,1233401,A A A A A A A n S S S ∆+=2344012A A A A A A A n S S S ∆+=,3400123,A A A A A A A n S S S ∆∆+= 4011234A A A A A A A n S S S ∆+=,故所有满足条件的凸边形的面积的和为5(53)612n n S S ⨯-⎡⎤=+⋅⎢⎥⎣⎦. (3)对于正六边形012345A A A A A A :共有6(63)92⨯-=条对角线,考虑由连续的3个顶点连成的三角形(凸多边形)有6个:012123234345450501,,,,,A A A A A A A A A A A A A A A A A A ∆∆∆∆∆∆;考虑由连续的4个顶点连成的四边形(凸多边形)有6个:四边01231234,A A A A A A A A 23453450,,A A A A A A A A ,45015012,A A A A A A A A ,考虑由连续的5个顶点连成的五边形(凸多边形)有6个01234A A A A A , 1234523450345014501251234,,,,A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A ;考虑由连续的6个顶点连成的六边形(凸多边形)有1个012345A A A A A A ,故所有满足条件的凸边形共有63119⨯+=6(63)212⨯-=⨯+ ,其中0122345012334501,,A A A A A A A A n A A A A A A A A n S S S S S S ∆∆+=+=23445012A A A A A A A A n S S S ∆+=,34550123A A A A A A A A n S S S ∆∆+=,45001234A A A A A A A A n S S S ∆+=,50112350A A A A A A A A n S S S ∆+=;01233450A A A A A A A A n S S S +=,1234450123455012,A A A A A A A A n A A A A A A A A n S S S S S S +=+=,012345,A A A A A A n S S =正六边形故所有满足条件的凸边形的面积的和为6(63)631012n n n n n S S S S S ⨯-⎡⎤++==+⋅⎢⎥⎣⎦.由以上分析可知,对于正n 边形,设正n 边形的面积为n S ,则正n 边形的对角线共有()132n n -条,由连续的若干个顶点连成的凸多边形共有(3)212n n -⎡⎤⨯+⎢⎥⎣⎦个,它们的面积之和为(3)12n n n S -⎡⎤+⋅⎢⎥⎣⎦于是(3)12312n n n S -⎡⎤+⋅=⎢⎥⎣⎦,[](3)2462n n n S -+=,即()1(2)46223711n n n S --==⨯⨯⨯∴811n n S =⎧⎨=⎩或231nn S =⎧⎨=⎩,于是n 的最大值max 23n =,此时正n 边形的面积是1.。
15届(2004年)第1试题及参考答案
2004年第十五届希望杯初二第1试试题一、选择题(每小题4分,共40分)以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将表示正确答案的英文字母写在下面的表格内。
1、小伟自制了一个孔成像演示仪,如图1所示,在一个圆纸筒的两端分别用半秀明纸和黑纸封住,并用针在黑纸的中心刺出一个小孔。
小伟将有黑纸的一端正对着竖直放置的“”形状的光源,则他在半透明纸上观察到的像的形状是(A)(B)(C)(D)2、代数式的化简结果是(A)(B)(C)(D)3、已知是实数,且,那么(A)31 (B)21 (C)13 (D)13或21或314、已知(>)是两个任意质数,那么下列四个分数①;②;③;④中总是最简分数的有(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个5、Given are real numbers, and , then the valueof is(A)4 (B)6 (C)3 (D)4or66、某出版社计划出版一套百科全书,固定成本为8万元,每印制一套需增加成本20元。
如果每套定价100元,卖出后有3成给承销商,出版社要盈利10%,那么该书至少应发行(精确到千位)(A)2千套(B)3千套(C)4千套(D)5千套7、△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C,满足3∠A>5∠B,3∠C≤∠B,则这个三角形是(A)锐角三角形(B)直角三角形(C)钝角三角形(D)等边三角形8、如图2,正方形ABCD的面积为256,点E在AD上,点F在AB的延长线上,EC⊥FC,△CEF的面积是200,则BF的长是(A)15 (B)12 (C)11 (D)109、如图3,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,点E、F分别是对角线AC、BD的中点,则(A)(B)(C)(D)10、表示不大于的最大整数,如[3.15]=3,[-2.7]=-3,[4]=4,则(A)1001 (B)2003 (C)2004 (D)1002二、A组填空题(每小题4分,共40分。
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2004年第15届希望杯初二第1试试题及参考答案
一、选择题(每小题4分,共40分)以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将表示正确答案的英文字母写在下面的表格内。
1、小伟自制了一个孔成像演示仪,如图1所示,在一个圆纸筒的两端分别用半秀明纸和黑纸封住,并用针在黑纸的中心刺出一个小孔。
小伟将有黑
纸的一端正对着竖直放置的“”形状的光源,则他在半透明纸
上观察到的像的形状是
(A)(B)(C)(D)
2、代数式的化简结果是
(A)(B)(C)(D)
3、已知是实数,且,那么
(A)31 (B)21 (C)13 (D)13或21或31
4、已知(>)是两个任意质数,那么下列四个分数
①;②;③;④
中总是最简分数的有
(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个
5、Given are real numbers, and , then the value
of is
(A)4 (B)6 (C)3 (D)4or6
6、某出版社计划出版一套百科全书,固定成本为8万元,每印制一套需增加成本20元。
如果每套定价100元,卖出后有3成给承销商,出版社要盈利10%,那么该书至少应发行(精确到千位)
(A)2千套(B)3千套(C)4千套(D)5千套
7、△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C,满足3∠A>5∠B,3∠C≤∠B,则这个三角形是
(A)锐角三角形(B)直角三角形(C)钝角三角形(D)等边三角形
8、如图2,正方形ABCD的面积为256,点E在AD上,点F在AB的延长线上,EC⊥FC,△CEF的面积是200,则BF的长是
(A)15 (B)12 (C)11 (D)10
9、如图3,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,点E、F分
别是对角线AC、BD的中点,则
(A)(B)
(C)(D)
10、表示不大于的最大整数,如[3.15]=3,[-2.7]=-3,
[4]=4,则
(A)1001 (B)2003 (C)2004 (D)1002
二、A组填空题(每小题4分,共40分。
含两个空的小题,每个空2分。
)
11、计算:。
12、已知。
13、已知是三个实数,且的平均数是127,的和的三分之一是78,
的和的四分之一是52,那么的平均数是。
14、Given in the △ABC,a,b,c are three sides of the triangle, a=3, b=10 and perimeter of the triangle is multiple of 5, then the length of c
is 。
(英汉小词典:side:边;perimeter:周长;multiple:倍数)
15、某学校有学生2000名,从中随意询问200名,调查收看电视的情况,结果如下表:
则全校每周收看电视不超过6小时的人数约为。
16、如图4,等腰梯形ABCD 的面积是49平方厘米,AD ∥BC ,且AC ⊥BD ,AF ⊥BC ,则BD= 平方厘米,AF= 平方厘米。
17、方程
或。
18、已知
是三个互不相同的非零实数,设
;
的大小关系是 。
19、已知均为实数,且4a b +=,2
210c ab -=-,那么ab = ;。
20、小明做数学题时,发现
按上述规律,第五个等式是 ;第n 个等式是 。
三、B 组填空题(每小题8分,共40分。
每题两个空,每个空4分。
)
21、一个三位自然数,当它分别被2、3、4、5、7除时,余数都是1,那么具有这个性质的最小三位数是 ;最大三位数是 。
22、一个直角三角形的三条边长均为整数,已知它的一条直角边的长为15,那么另一条直角边的长有 种可能,其中最大值是 。
23、已知
都是质数,且
>40,那么满足以上条件的最小质数
; 。
24、用1、2、3、4、5这五个数字可以组成60个没有重复数字的三位数,那么这60个三位数的和是 ;这个和除以111,得到的商是 。
25、如图5,正方形BCDE和ABFG的边长分别为,连
接CE和CG,则图中阴影部分的面积是;CE 和CG的大小关系是。
参考答案
一、选择题:
二、A组填空题:
三、B组填空题:。