巧造对偶式 妙解三角题
巧用构造法妙解三角题
2008·5构造法解题是一种富有创造性的思维方法。
很多三角问题若用构造法求解，可获得新颖、独特、简捷的解法。
根据题目特征，恰当构造数学模型，是灵活运用构造法的关键。
本文举例介绍几种方法。
一、构造函数某些三角题，用常规解法难以奏效，但由已知条件，通过联想，构造出一个相关的函数，可将问题转化为函数问题，使之得以迅速解决。
二、构造方程有些三角问题，符合方程的某些特点，则可考虑构造一个辅助方程，使问题获得解决。
三、构造复数复数与三角有着非常密切的关系，解三角题时，通过构造复数，巧妙运用复数的运算法则及复数相等的定义来解题，简捷有效。
四、构造数列当题目的某些特征与数列的通项、求和、中项等公式相似时，可构造相应的数列求解，独辟蹊径。
五、构造对偶式根据已知三角式的结构特征，采用整体代换的方法，构造一个对偶式，可使问题化难为易，化繁为简。
六、构造平面几何模型如果条件的数量关系能以某种方式与几何图形建立联系，则可通过构造图形，将题设条件或数量关系直接在图形中得到体现，常使复杂问题简单化，抽象问题直观化。
七、构造立体几何模型题设中的数量关系有比较明显的几何意义，则也可以根据已知条件构造出符合要求的特殊立体几何模型，从而直观、快速解决问题。
八、构造解析几何模型寻找题设或题设变形后数量关系的解析几何背景，然后利用解析几何中的公式、曲线的性质等解决三角问题，也会显得十分巧妙。
总之，恰当运用构造法，能使许多三角问题的解决变得简洁巧妙，起到事半功倍的效果。
因此，学习中若能适当地运用这种思想，则对培养创新意识和创新能力，完善认知结构，全面提高数学素养大有裨益。
巧用构造法 江苏省如东县马塘高级中学 张海兵妙解三角题在数学学习过程中，反思历来具有重要的地位和作用。
1989年波斯纳曾提出过一条成长的公式：经验＋反思=成长。
荷兰著名数学教育家费赖登塔尔指出“反思是数学思维活动的核心和动力”，“通过反思才能使现实世界数学化”。
一道三角函数问题的多种解法
一道三角函数问题的多种解法
求的值。
解法1：原式=。
解法2：原式。
解法3：原式
=。
解法4：令，则其对偶式。
①。
②
①+②得，。
∴。
解法5：构造△ABC，使得，，，设
△ABC的外接圆半径为R，由正弦定理可得，，。
由，
可得。
∴。
总结：原式中有三项，前两项是二次项，可降幂，第三项可积化和差，从而转化成一次式，这是通法，如解法1；解法2从角入手，将转化为；解法3利用互余角的三角函数的诱导公式，将异角化为同角，进行了合理的角度变换；解法4通过合理构造出对偶式，并对原式和对偶式进行和差运算，使问题得到巧妙的解法；解法5构造三角形，利用正、余弦定理，化简求值。
▍ ▍ ▍。
构造对偶式巧解竞赛题
为一
（ ２ ０ １ ２年全 国高 中数 学联 赛试题 ） 分析 题 目的条 件 和 结 论涉 及余 弦和正切运算 ， 化 简较 为 复杂 ， 故 从 整 体 上 思
考， 将ａ ｃ ｏ ｓ Ｂ— ｂ ｃ ｏ ｓ Ａ＝ ÷ｃ 视
Ｊ
从而
图１
Ａ ≥÷．
为一个 整体 ， 构 造 其 和差 对 偶式 ａ ｃ ｏ ｓ Ｂ ＋ｂ ｃ ｏ ｓ Ａ， 再 考 察
妙获 解．
ａ ｃ ｏ ｓ Ｂ — ｂ ｃ ｏ ｓ Ａ ÷ｃ ， ａ ｃ ｏ ｓ Ｂ ＋ ｂ ｃ ｏ ｓ Ａ ＝ ｃ ，
解得
从 向
ｒ ｆ —
ｃ ｏ ｓ Ａ＝ １ 。 ｃ 。 ｓ Ｂ： ４ ｃ６ ｃ，
，
ｔ ａ ｎ Ａ ｓ ｉ ｎ Ａ ｃ ｏ ｓ Ｂ ａ ｃ ｏ ｓ Ｂ ＿４ ．
√４— ２， ／ ｓ ｓ ｉ ｎ ｘ＝１ ＋ｍ，
将 ２个式 子 进行 和差 运算 ， 得
√ｌ ０—４ √ ３ ｓ ｉ ｎ 一 ６ ｃ ｏ ｓ ｘ＝１一 ， 孔 ，
从 而 ２ ｉ ｎ ｘ＝一ｍ 一 ２ ｍ＋３ ，
６Ｃ Ｏ Ｓ Ｘ＝ｍ ＋６ｍ ＋３．
＋
４
藕
口１
，
的值
同 时 …＝ ａ 蓑 １ ＋ 口 ， ＋ ａ 蓑 ， ＋ ａ ・ ｊ ＋ ａ 篙 十 ａ ．
由 基 本 不 等 式 ａ ÷ 十 譬 Ｄ ≥ （ 。 ＋ ６ ） ， 得
Ａ＋ ≥ （ ｎ ＋口 ）＋ （ ｎ ＋ａ ３ ）＋… ＋ （ 口 ＋ｎ ）＝１ ，
Ａ ＝Ｃ Ｏ Ｓ １ ０。＋Ｃ Ｏ Ｓ ５ ０。一ｓ ｉ ｎ ４ ０。 ｓ ｉ ｎ ８ ０。．
Ｂ ＝ｓ ｉ ｎ １ ０。＋ ｓ ｉ ｎ ５ ０。一 ｃ ｏ ｓ ４ ０。 ｃ ｏ ｓ ８ ０。．
解题利器初中数学解题技巧助你攻克三角函数像题
解题利器初中数学解题技巧助你攻克三角函数像题在初中数学学习中，三角函数像题一直是让很多同学感到头疼和困惑的难题。
然而，只要掌握了解题的技巧和方法，就能够轻松地攻克这类题目。
本文将介绍一些解题利器——初中数学解题技巧，帮助你在解决三角函数像题时事半功倍。
一、了解三角函数基本概念在解题之前，首先需要对三角函数的基本概念做一个了解。
三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们是角度的函数。
在解题过程中，需要了解三角函数的定义、性质以及与三角关系的联系。
二、化简与变形解决三角函数像题的第一个关键是化简与变形。
有时候，我们需要将复杂的三角函数式子化简为简单的形式，这样可以更好地处理和观察。
化简的方法可以包括使用三角函数的基本关系和恒等式，以及运用一些代换和等价变形的技巧。
例如，针对一个复杂的三角函数式子，我们可以尝试使用和差化积公式、平方公式等进行变形，将其转化为更简单的形式，便于后续的计算和推导。
三、重要公式和恒等式的运用掌握重要公式和恒等式的运用是解决三角函数像题的重要技巧之一。
在解题过程中，经常会用到和差化积公式、倍角公式、半角公式等。
举个例子，当遇到一个三角函数表达式中含有两个角度之和或差的形式时，可以尝试使用和差化积公式进行展开，将其转化为更易处理的形式。
四、符号的判断在解题中，符号的判断是非常重要的。
对于三角函数的正负号，可以根据角度所在的象限来判断。
一般来说，正弦函数在第一、二象限为正，余弦函数在第一、四象限为正，正切函数在第一、三象限为正。
但是要注意特殊情况和特殊角度的判断。
五、角度的转化在解题过程中，有时候需要将角度的单位转化为弧度或者角度制，这就需要掌握角度的转化方法。
一般来说，角度转化为弧度可以乘以π/180，弧度转化为角度可以乘以180/π。
六、案例分析与解题技巧通过真实的解题案例和技巧的分享，可以更好地帮助初中生掌握解决三角函数像题的方法。
这里给出一个案例：例题：已知sinθ = 1/2，求θ的取值。
构造“对偶式”,巧解数学问题-解析版
构造“对偶式”，巧解数学问题在解答某些数学问题时，针对已知式M 的结构特征，构造一个或几个与之相关联的式子N ，使M 与N 经过相加、相减、相乘、相除等运算之后，所需解答的问题得到合理的转化和解决。
这种解题方法称之为构造“对偶式”解题，是一种极其巧妙的解题方法。
通过构造对偶式可以巧妙地解决多项式求值、恒等式证明、求函数的最值、解方程(组以及求解析式等，当然难点在于如何构造解题所需要的“对偶式”。
典型例题1求证:2sin 4x +3sin 2x cos 2x +5cos 4x ≤5。
【分析】本例是三角不等式的证明，运用一般的方法证明是困难的，若能运用对称的方法，构造对偶式，则比较容易证明【解析】【证明】设A =2sin 4x +3sin 2x cos 2x +5cos 4x ，B =2cos 4x +3cos 2x sin 2x +5sin 4x ，则 A +B =7sin 4x +cos 4x +6sin 2x cos 2x =7sin 2x +cos 2x 2-8sin 2x cos 2x=7-2sin 22x =5+2cos 22x ，①A -B =3cos 4x -sin 4x =3cos2x ，②①+②，得 2A =5+2cos 22x +3cos2x =5+2cos2x +342-916 ≤5+21+34 2-916=10所以A ≤5，命题得证2已知α，β是方程x 2-7x +8=0的两根，且α>β，不解方程，求2α+3β2的值。
【分析】 若要不解方程求2α+3β2的值, 因为2α+3β2是非对称式, 无法化为αβ及α+β的形式,所以需要构造2α+3β2相应的对偶式2β+3α2，两者结合就可以化为αβ及α+β的形式，然后运用韦达定理,从而求出2α+3β2的值.【解析】设A =2α+3β2，构造对偶式B =2β+3α2。
∵α，β是方程x 2-7x +8=0的两根，∴α+β=7，αβ=8。
巧构对偶式__妙解数学题
!巧构对偶式!妙解数学题"重庆市璧山中学!杨帆对偶!在语文中是一种修辞手法!如岳飞"满江红#中的诗句'三十功名尘与土!八千里路云和月(就是对偶句!殊不知!数学中也有对偶!处处可见给人以美感的对偶关系!有加便有减!有乘便有除!有几何就有代数!诸如此类!无不体现出数学中的对偶关系!然而!本文要讲的是另外一种对偶!一种隐藏在解题过程中的对偶式!要求解题者为了便于解题有意识去发现去构造的对偶式!这样的对偶式该如何构造呢+本文举例说明!!和差对偶 水到渠成和与差是一种对偶关系!如果我们遇到表达式O)&*L P)&*!那么可尝试构造表达式O)&*=P)&*来作为它的对偶关系式!利用这种关系来解题!可谓棋高一招!例!!)#*若"%$%'!!且,@56$*&21@$$/!求<:6$的值!)!*已知7!H!8!C5+!且7!*H!*8!*C!4#!求证%)7*H*&*)7*8*&*)7*C*&*)H*8*&*)H*C*&*)8*C*&4+!解 )#*由,@56$*&21@$$/想到构造,@56$"&21@$$%!于是由,@56$*&21@$$/!,@56$"&21@$$%!3得@56$$/*%+!21@$$/"%-!./再根据@56!$*21@!$$#!就可求得%$"$/!所以<:6$$,&!)!*证明%设D$)7*H*&*)7*8*&*)7*C*&*)H*8*&*)H*C*&*)8*C*&!则构造E$)7"H*&*)7"8*&*)7"C*&*)H"8*&*)H"C*&*)8"C*&!于是D*E$+)7&*H&*8&*C&*!7!H!*!7!8!*!7!C!*!H!8!*!H!C!*!8!C!*$+)7!*H!*8!*C!*!4+!又E,"!所以D4+!这样原不等式就成立了!"互倒对偶 由此及彼互倒对偶!就是指分子分母互换!由一个式子变出另一个式子!将它们相乘或建立方程组!往往会出现一些数学中的'奇特(现象!使数学解题更方便!更简捷!令人拍案叫绝!例"!)#*若&!%!@5)"!#*!求证%##"&*%*##"%*@*##"@*&,,!)!*已知对任意实数&5)"H!"*7)"!*H*总有/)&**!/#&)**&$"成立!试求函数%$/)&*的表达式!解 )#*证明%令D$##"&*%*##"%*@*##"@*&!构造对偶式!再令E$)#"&*%**)#"%*@**)#"@*&*$,!于是D*E$##"&*%*)#"&*%**##"%*@*)#"%*@**##"@*&*)#"@*&**##"%*@,!*!*!$+!而E$,!故D,,!即##"&*%*##"%*@*##"@*&,,!原不等式成立!)!*由于/)&**!/#&)**&$"!!!只需用#&替代上式中的&!便可构造对偶式/#&)**!/)&**#&$"!!"由!""2!!得/)&**&"&/)&*"!&$"!故/)&*$&!"!&,&)&$"*!#倒序对偶 配对成双在数列求和问题中!出现了一种倒序相加的求和"#备习备考解法探究!"!!年!月上半月Copyright©博看网. All Rights Reserved.!方法!像当初数学小王子高斯就是用了倒序相加法求出了#*!*,*//*#""$/"/"的结果!其实高斯就是利用倒序构造对偶式!这种方法不仅对数列求和有用!对组合数求和问题也有立竿见影的效果!例#!)#*求和%A $4#:*!4!:*,4,:*&4&:*//*:4::&)!*在正项等比数列37:4中!Q $7#07!07,0//07:!A $7#*7!*7,*//*7:!试用A !Q 表示,$#7#*#7!*/*#7:!解析 )#*因为4#:$4:"#:!"4#4:!:5,8!故想到倒序构造对偶式%由A $"04":*4#:*!4!:*//*:4::!构造对偶式%A $:4":*):"#*4#:*):"!*4!:*//*"4::"把"化为%A $"04":*4#:*!4!:*//*:4::#!*#!得:4":*:4#:*//*:4:"#:*:4::!所以!A $:4":*:4#:*//*:4:"#:*:4::$:)4":*4#:*//*4:"#:*4::*!所以!A $:0!:!所以A $:0!:"#!)!*本题若用传统解法!需对I $#和I $#两种情形讨论!会陷入漫漫无期的运算绝境!而构造倒序对偶式!却能'柳暗花明又一村(!根据题意!得Q $7#07!07,0//07:!构造倒序对偶式%Q $7:07:"#07:"!0//07#"!2"!得Q !$)7#07:*0)7!07:"#*0//0)7:07#*$)7#07:*!!即Q $)7#07:*!再看%,$#7#*#7!*//*#7:#构造倒序对偶式%,$#7:*#7:"#*//*#7#$#*$!得!,$#7#*#7:)**#7!*#7:"#)**//*#7:*#7#)*!即!,$7#*7:7#07:*7!*7:"#7!07:"#*//*7:*7#7:07#!根据等比数列性质!右边的分母都是7#07:!故!,$)7#*7:**)7!*7:"#**//*)7:*7#*7#07:!即!,$!A 7#7:!所以,$A7#7:!又因为7#7:$Q !所以,$A Q$A:Q 槡!!$互余对偶独领风骚三角函数中的正弦与余弦!也是对偶元素!@56!&*21@!&$#!体现了它们之间的内在联系!正弦可以变成余弦!余弦也可以变成正弦!我们利用对偶函数来构造对偶式!同样也能解决一些看似不能解决的三角问题!例$!)#*已知&5"!'!12!解方程%21@!&*21@!!&*21@!,&$#&)!*试求@56!#"G *21@!&"G *@56#"G 21@&"G 的值!解析 )#*令D $21@!&*21@!!&*21@!,&!则可构造对偶式%E $@56!&*@56!!&*@56!,&!于是D *E $,!D "E $21@!&*21@&&*21@+&$!21@&21@,&*!21@!,&"#$!21@,&)21@&*21@,&*"#$&21@&21@!&21@,&"#!所以D "E $&21@&21@!&21@,&"#"!*"!得21@&21@!&21@,&$#&)!D "!*!又因为D $#!所以21@&21@!&21@,&$"!所以21@&$"或21@!&$"或21@,&$"!&5"!'!12!所以&$'+或&$'&或&$'!!)!*令D $@56!#"G *21@!&"G *@56#"G 21@&"G !根据正余弦平方和为#!构造对偶式%E $21@!#"G*@56!&"G "21@#"G @56&"G !于是D *E $!*@56#"G 21@&"G *21@#"G @56&"G $!*@56/"G!D "E $"21@!"G *21@-"G *@56#"G 21@&"G "21@#"G @56&"G $"!@56/"G @56,"G "@56,"G $"#!"@56/"G !所以D *E $!*@56/"G !D "E $"#!"@56/"G!./0所以D $,&!当然数学解题中的对偶式的构造远不止以上四种!比如!还有利用奇偶构造!利用轮换式构造!利用共轭关系构造!利用和为定值构造!利用积为定值构造等等!构造对偶式的目的只有一个!即优化解题过程!提高解题速度!发展数学思维能力!同时!我们也欣赏到了数学的内在美!激发了学习数学的兴趣!去追求数学解题的最高境界,,,简捷!-##!"!!年!月上半月解法探究复习备考Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
巧造对偶式 妙解三角题
巧造对偶式 妙解三角题对某些三角问题，解法固然很多，但若能根据已知式构造出一个与其成对偶关系的式子，再联立变形，则可快捷获解。
例1 求cos 12°cos 24°cos 48°cos 96°的值。
解：设原式= cos 12°cos 24°cos 48°cos 96°= A ，其对偶式为：sin 12°sin 24°sin 48°sin 96° = B ，则A ×B = cos 12°cos 24°cos 48°cos 96°sin 12°sin 24°sin 48°sin 96° =12sin 24°·12sin 48°·12sin 96°·12sin 192° = -116sin 12°sin 24°sin 48°sin 96° = - 116B ， ∴原式= A = -116。
例2 求54cos 52cos ππ+的值。
解：设原式=54cos 52cos ππ+ = A ， 其对偶式为：54cos 52cos ππ-= B ， 有A ×B =54cos 52cos 22ππ-=）（）（58cos 12154cos 121ππ+-+ =B 2152cos 54cos 21-=-）（ππ 。
，210-=∴≠A B 例3 求sin 220°+cos 250°+ sin 20°cos 50°的值。
（95年高考题）解：设原式= sin 220°+cos 250°+ sin 20°cos 50° = A ， 其对偶式为：cos 220°+sin 250°+ cos 20°sin 50° = B ，A +B =(cos 2200+sin 2200)+(cos 2500+sin 2500)+(sin 200cos 500+cos 200sin 500)=2+sin 700 --------(1)A -B =(sin 2200-cos 2200)+(cos 2500-sin 2500)+ (sin 200cos 500-cos 200sin 500)= -cos 400+cos 1000 +sin （-300）= -2sin 700sin 300-12= -12-sin 700 --------(2) (1)+(2): 2A =(2+sin 700)+(- 12-sin 700)= 32A =34, 即原式=34。
高考数学题集,三角函数解答题,常用的5个数学思想方法技巧.doc
高考数学题集，三角函数解答题，常用的5
个数学思想方法技巧
三角变换是运算化简过程中运用较多的变换, 也是历年高考命题的热点，提高三角变换能力, 要学会变换条件, 灵活运用三角公式, 掌握运算、化简的方法和技能。
常用的数学思想方法技巧如下：
1、角的变换：在三角化简、求值、证明中, 表达式往往出现较多的相异角, 可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余的关系, 运用角的变换, 沟通条件与结论中的差异, 使问题得解。
方法1求解cosα是比较巧妙的，根据角的范围继而解出si nα的值，所求式子的值就出来了。
联想是构造的基础，而这样长期积累，才能提高解题的灵活性，丰富自己的做题经验。
方法2直接正弦差角公式展开得到正余弦的差为3√2/5，再通过平方法，配凑技巧得到正余弦的和为4√2/5，再解方程组即可，比方法1稍微麻烦点基本技巧还有下面几个方面
2、函数名称变换：三角变形中, 常常需要变函数名称为同名函数. 如在三角函数中正余弦是基础, 通常化切、割为弦, 变异名为同名。
3、常数代换：在三角函数运算、求值、证明中, 有时需要将常数转化为三角函数值, 例如常数“1”的代换变形。
4、幂的变换：降幂是三角变换时常用方法, 对次数较高的三角函数式, 一般采用降幂处理的方法。
5、公式变形式：三角公式是变换的依据, 应熟练掌握三角公式的直接应用, 逆用以及变形式的应用。
初中数学解题技巧迅速解决复杂的三角函数题目
初中数学解题技巧迅速解决复杂的三角函数题目解决复杂的三角函数题目是初中数学学习中的一大难题。
在解题过程中，学生们经常会陷入困惑和迷茫。
然而，只要掌握一些解题技巧，就能迅速而准确地解决这类题目。
本文将介绍一些初中数学解题技巧，帮助学生们解决复杂的三角函数题目。
一、利用基本三角函数关系简化题目在解决复杂的三角函数题目时，我们可以利用基本三角函数关系将题目简化。
例如，我们可以根据正弦函数和余弦函数的关系来简化题目。
如果题目中包含正弦函数，我们可以通过余弦函数将其转换为乘积形式；反之亦然。
这样一来，我们就能够更加方便地计算和推导。
二、利用和差化积公式简化计算和差化积公式是解决三角函数题目的重要工具。
通过将三角函数的和差转化为乘积形式，我们可以简化计算过程，更容易得出结果。
在解题过程中，我们可以根据具体情况选择正确的和差化积公式，并灵活运用。
三、熟悉周期性和对称性质三角函数具有周期性和对称性质。
熟悉这些性质可以帮助我们迅速解决复杂的三角函数题目。
例如，正弦函数和余弦函数都是周期函数，它们的周期为2π。
当我们遇到周期性相关的题目时，只需要在一个周期内进行计算，就可以得出整个周期的结果。
四、利用特殊角的数值特殊角是指常见角度的数值，如0°、30°、45°、60°和90°等。
熟悉特殊角的数值可以使我们在解题过程中更加快速准确。
特殊角的数值不仅可以直接使用，还可以通过对称性和周期性来推导得到其他角度的数值。
五、注意单位换算在解决三角函数题目时，我们还需要注意单位的换算。
例如，有些题目给出的角度单位是度，而有些题目给出的角度单位是弧度。
我们需要根据具体情况进行单位换算，确保计算的准确性。
六、积累经验，多做习题最后，解决复杂的三角函数题目需要经验积累。
学生们应该多做一些类似的习题，通过反复练习来加深对解题技巧的理解和掌握。
通过不断练习和总结，我们能够更加熟练地应用解题技巧，迅速解决复杂的三角函数题目。
高中数学第三章三角恒等变换3.1同角三角函数的基本关系互余对偶_“灵动”的运算技巧素材
互余对偶——“灵动”的构造技巧数学中的对偶法就是指在数学解题过程中，合理地构造形式相似、具有某种对称关系的一对对偶关系式，并通过对这对对偶关系式进行适当的和、差、积等运算，达到解决数学问题的目的．在数学解题的过程中，恰当地使用对偶法，往往能使问题得到巧妙的解决，收到事半功倍的效果．三角中的正弦与余弦是两个对称元素，它们具有如下恒等关系式：①22sin cos 1αα+=；②22cos sin cos2ααα-=；③sin cos 4πααα⎛⎫±=± ⎪⎝⎭； ④()sin cos cos sin sin αβαβαβ±=±；⑤()cos cos sin sin cos αβαβαβ±=． 如此，利用互余函数构造对偶式、借用配对思想可以轻松完成有关三角题的解答．下面我们通过实例来介绍构造对偶关系式以及如何对所构造的对偶关系式进行合理的运算处理．1．构造对偶式——求积例1．求32coscos cos 777πππ⋅⋅的值． 解：令32cos cos cos 777M πππ=⋅⋅， 构造对偶式32sin sin sin 777N πππ=⋅⋅ 16421321sin sin sin sin sin sin 877787778M N N ππππππ∴⋅=⋅⋅=⋅⋅= 又0N ≠ 18M ∴=． 点评：这个对偶式构造得好！它的到来一下子使问题冰消雪融了．解法自然、朴素，过程简洁，运算轻松！例2．求sin10sin30sin50sin70︒⋅︒⋅︒⋅︒的值．解：令sin10sin30sin50sin70M =︒⋅︒⋅︒⋅︒构造对偶式cos10cos30cos50cos70N =︒⋅︒⋅︒⋅︒则sin10cos10sin30cos30sin50cos50sin70cos70M N ⋅=︒⋅︒⋅︒⋅︒⋅︒⋅︒⋅︒⋅︒1111sin 20sin60sin100sin1402222=︒⋅︒⋅︒⋅︒ 11cos70cos30cos10cos501616N =︒⋅︒⋅︒⋅︒= 0N ≠ 116M ∴=． 点评：解题时巧妙构思，对其构造了“意料之中”的对偶式，化新为旧，等价转化，完成对难点的突破，以达化解问题之目的．2．构造对偶式——求和例3．求35cos coscos 777πππ++的值． 解：35cos cos cos 777M πππ=++ 构造对偶式35sin sin sin 777N πππ=++ 则 1216110468sin sin sin sin sin sin 272727777M N ππππππ⋅=+++++ 1351sin sin sin 27772N πππ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭ 0N ≠ 12M ∴= 点评：灵活地选取解题方法，对其构造了“意想不到”的对偶式，最后借助简单的三角公式完成了解答，充分体现了解题机智．3．构造对偶式——化简求值例4．求22sin 10cos 40sin10cos40︒+︒+︒⋅︒的值．解：令22sin 10cos 40sin10cos40M =︒+︒+︒⋅︒构造对偶式22cos 10sin 40cos10sin 40N =︒+︒+︒⋅︒，则2sin10cos40cos10sin402sin50M N +=+︒︒+︒︒=+︒cos20cos80sin10cos40cos10sin40M N -=-︒+︒+︒︒-︒︒12sin50sin30sin30sin502=-︒︒-︒=--︒ 2sin 501sin 502M N M N +=+︒⎧⎪∴⎨-=--︒⎪⎩ 34M ∴=． 点评：这是一道比较典型的三角求值题．通过对题目结构特征的观察，由目标导向，构造对偶式，从而独辟蹊径，出奇制胜．这类试题在各类考试中深受命题者青睐：变题1．求22cos 73cos 47cos73cos47︒+︒+︒⋅︒的值．变题2．求22cos 10cos 50sin 40sin80︒+︒-︒⋅︒的值．变题3．求22sin 20cos 8020cos80︒+︒+︒⋅︒的值．变题4．求22sin 20cos 50sin 20cos50︒+︒+︒⋅︒的值．4．构造对偶式——求范围例5．若1sin cos 2αβ=，求cos sin αβ的取值范围． 解：1sin cos 2αβ= ① 令cos sin x αβ= ② 则 ①×② 得11sin 2sin 242x αβ=． 由sin2α-1≤≤1，sin 2β-1≤≤1，1122x ∴-≤≤ 点评：利用现成的对偶式、假借三角公式，使问题本身变得简单、便易，如此处理，可谓“胜似闲庭信步”，岂不妙哉！例6．若cos cos 1αβ+=，求sin sin αβ+的范围．解：cos cos 1αβ+= ① 令sin sin x αβ+= ②则两式平方和则()212cos 11x αβ+-+=+，()22cos 1x αβ∴-=-，由()22cos 2αβ--≤≤可知：213x -≤≤，于是x5．构造对偶式——求同角的三角函数值例7．若02πθ<<，且3sin 4cos 5θθ+=，求tan θ的值．解法一：构造对偶式3cos 4sin x θθ+=，则3sin 4cos 53cos 4sin x θθθθ+=⎧⎨+=⎩ ()()415sin 17203cos 27x xθθ⎧-=⎪⎪∴⎨-⎪=⎪⎩再由22sin cos 1θθ+=，得245x =代入()()12，后两式相除可得 3tan 4θ=． 解法二：构造对偶式3sin 4cos y θθ-=，则3sin 4cos 53sin 4cos y θθθθ+=⎧⎨-=⎩， 5sin 65cos 8y yθθ+⎧=⎪⎪∴⎨-⎪=⎪⎩， 再由22sin cos 1θθ+=，得75y =- 3tan 4θ∴=． 点评：这种构造法灵巧、富有创意，有助于培养学生的创新思维和创造能力．6．构造对偶式——解方程例8．已知0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，解方程222cos cos 2cos 31x x x ++=． 解：若令222cos cos 2cos 3M x x x =++构造对偶式222sin sin 2sin 3N x x x =++，则3M N += ①2cos2cos4cos62cos cos32cos 31M N x x x x x x -=++=+-()2cos3cos cos314cos cos2cos31x x x x x x =+-=-∴ 4cos cos2cos31M N x x x -=- ②①+②，得()1cos cos2cos3224x x x A =-，又 1A = cos cos2cos30x x x ∴= cos 0x ∴=或cos20x =或cos30x = 又0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，6x π∴=或4x π=或2x π=． 点评：通过构造对偶式，创设了cos cos2cos30x x x =这一美妙而又能打开局面的有利条件，可谓“高招”！“明月松间照，清泉石上流”，好一幅绝妙的对偶，让人感到美不胜收．在数学解题过程中，如果我们能恰当地运用对偶关系，不仅能提高解题速度，同样也会给人带来美的享受．它别开生面、独具“风味”，能在纷繁的困惑中求得简捷的解法，给人一种赏心悦目的感觉． 希望同学们在解题的过程中多注意归纳和总结拓展自己的解题路径，提高发散思维能力，最终达到提高解题能力的目的．。
三大数学思想妙解三角题
Ｓ ＾ （
９
ｌ
角 度 六 ： 对 目 标 函 数 平 方 消 元
解法 ９ ： 利 用 极 坐 标 消 元 （ 三 角 代 换 ）
为 因
５
２
ａ
＋
２
５ ｃ ＋ ２ ａ ｃ ＝８ ４ （＊）
令
，
％ 其 口 ００
’
中 ｐ ＞ 〇 ， ０ｅ
ｌ
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ｐ ＝
ｓｉ
ｎ ｄ
的 关 系 是 决 问 题 的 关 键 ．
在讲 解例
３
后 ，教 师提出
如 下 题 问
：
例 ４
２０ １ ６
（
年高
考课标
ＩＩ
卷理 科第
９
题 ）
若
予 ｃ ｏ ｓ （
ａ － ）
舍 ＝
，
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ｓ
ｉ
ｎ２
ａ
＝
（
） ．
⑷吾
＾ ｝ Ｂ
（
）
｝ Ｃ
－
（
）
Ｄ
－
（
）
分 析 本 题 常 规 思 路 如 例 ３ 要 去 寻 找 ２ ａ 这 个 角
的值
，
可 以利
用
方
程
的
思
想
来处
理 ．
例 知 数 在 取得 ２
已函
ｙ ＝ ｓ ｉ ｍ ： ＋ ２ｃ ｏ ｓ ａ：
：ｃ ＝ ０
最 大 值 则 ，
ｔ ａ ｎ０＝
？
分析 ：
本题 常规 思
路是 利
用
辅助角
公式把
已 知
解 形 形 函 数
构造对偶式的八种途径
siz~I56cos v - - yI 8再由 sin? v cos^ -1，得: tan二 10 a 2 ,(1)x 2 -8x 2110 -a 2构造对偶式的八种途径在数学解题过程中，合理地构造形式相似， 具有某种对称关系的一对对偶关系式，并通过对这对对偶关系式进行适当的和，差，积等运算，往往能使问题得到巧妙的解决，收到事半功倍的效果。
一. 和差对偶对于表达式u(x) _v(x)，我们可构造表达式 u(x)二v(x)作为它的对偶关系式。
例1若 0 :::n，且 3sin v - 4cos v - 5，求 tanv 的值。
2 解析：构造对偶式： 3sin v - 4cos v - y则3si"收…5,得3sin v -4cos )- y点评：这种构造对偶式的方法灵巧，富有创意，有助于培养学生的创新思维和创造能力。
例2已知： a, b, c, d R ，且 a 2 3 b 2c 2d 2 乞 1,求证：(a b)4 (a c)4 (a d)4 (b c)4 (b d)4 (c d)4 _ 6。
解：设M = (a b)4 (a c)4 (a d)4 (b c)4 (b d)4 (c d)4,构造对偶式4 4 4444N=(a-b) (a-c) (a-d) (b-c) (b-d) (c-d)则有：M N= 6(a 4 b 4 c 4 d 4 2a 2 b 2 2a 2c 2 2a 2 d 2 2b 2c 2 2b 2d 2 2c 2 d 2)-6(a 2b 2c 2d 2)2 岂6又N _0，故M _6，即原不等式成立。
例 3 解方程：.x 2 8x 2 V x^8x 21 =1021 n2x 242(100 a 2) ,(3) 28x 21解：构造对偶式：.x2 8x 21 - x28x • 21 - a，再由原方程联立可解得:那么(1)2(2)2得:解：设M 二 构造对偶式:-(1_z x)--1 -z x 1 -y z_3。
巧用对偶式解三角题
1 ∵B ≠ 0, ∴A = . 16
即 sin10° sin30° sin50° sin70° =
2 2
∴2 A =
2
例 2 求 sin 20°+ cos 80°+ 3 sin20°
则 x + y = 3.
y - x = cos2 A + cos2 ( 60° - A)
α 2
© 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
= 7 ( sin x + cos x )
2 2 2 2 2 4 4 4 2 2 4 4 2 2 4
∴y= x =
2 2 2 即 cos A + cos ( 60° - A ) + cos ( 60° +
A) =
3 . 2
例5 求证 : sinα + sin2α + sin3α + … + α= sin n π ). 2k 解 建立对偶式 . 令
cos80° 值.
1 1 ,A = . 2 4
2
即 sin 20° + cos 80° + 3 sin20° cos80° =
1 . 4
解 此题若采用降幂公式及和差化积与
收稿日期 :2003 - 10 - 10 ) ,男 ,湖北老河口市人 ,湖北老河口市一中高级教师 . 作者简介 : 耿玉明 ( 1962 — © 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
构造对偶式 妙解六类题
构造对偶式妙解六类题作者：蔡勇全来源：《理科考试研究·高中》2017年第03期摘要：有些数学问题，按常规思路寻求解答，常常由于繁琐的运算而极易出错，这时若能根据题设条件或所求结论中某些式子的结构特征，联想并构造出能与之形成和与差、积与商、正与负、互为有理化因式、互为共轭因式、正弦与余弦、正切与余切、奇函数与偶函数等匹配类型的对偶式，则能高效地完成问题的解决，使陷入僵局的解答过程“拨云见日”，这样做，不仅可以极大地减少运算量，优化解题过程，起到化繁为简、化难为易的效果，而且可以较好地体现数学的对称美、奇异美、和谐美与统一美.关键词：结构特征；构造；对偶式一、三角求值例1 若0解析由3sinθ+4cosθ=5联想并构造对偶式3sinθ-4cosθ=y，可联立方程组3sinθ+4cosθ=5，3sinθ-4cosθ=y解得sinθ=5+y6cosθ=5-y8，代入sin2θ+cos2θ=1解得y=-75，所以sinθ=35，cosθ=45，tanθ=34.变式1 设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且满足acosB-bcosA=35c，求tanAtanB的值.解析由acosB-bcosA=35c联想到一个本已存在的对偶式acosB+bcosA=c，联立解得acosB=45c，bcosA=15c，故tanAtanB=sinAcosBsinBcosA=acosBbcosA=4.变式2 求cosπ15cos2π15cos3π15cos4π15cos5π15cos6π15cos7π15的值.解析令x=cosπ15cos2π15cos3π15cos4π15cos5π15cos6π15cos7π15，构造其对偶式，令y=sinπ15sin2π15sin3π15sin4π15sin5π15sin6π15sin7π15，则27xy=sin2π15sin4π15sin6π15sin8π15sin10π15sin12π15sin14π15=sin2π15sin4π15sin6π15sin7π15sin 5π15sin3π15sinπ15=y，所以27x=1，解得x=1128.变式3 求cos7°+cos47°+cos87°+cos127°+…+cos327°的值.解析令M=cos7°+cos47°+cos87°+cos127°+…+cos327°，N=sin7°+sin47°+sin87°+sin127°+…+sin327°，则sin40°·M+cos40°·N=（sin40°cos7°+cos40°·sin7°）+（sin40°cos47°+cos40°sin47°）+…+（sin40°cos327°+cos40°×sin327°），即sin40°·M+cos40°·N=sin47°+sin87°+…+sin327°+sin367°，所以sin40°·M+cos40°·N=N①.cos40°·N-sin40°·M=（sin7°cos40°-cos7°sin40°）+（sin47°cos40°-cos47°sin40°）+…+（sin327°cos40°-cos327°sin40°），故cos40°·N-sin40°·M=sin（-33°）+sin47°+sin87°+…+sin287°，即cos40°·N-sin40°·M=N②，由①与②作差，得2sin40°·M=0，因此M=0.变式4 求cos40°cos80°+cos80°cos160°+cos160°cos40°的值.解析令m=cos40°cos80°+cos80°cos160°+cos160°cos40°，且n=sin40°sin80°+sin80°sin160°+sin160°sin40°，则m+n=cos40°+cos80°-12，m-n=-12-12+cos200°，所以有2m=cos40°+cos80°+cos200°-32=2cos60°cos20°-cos20°-32=-32，故m=-34.变式5 求sin220°+cos280°+3sin20°cos80°的值.解析令x=sin220+cos280+3sin20°cos80°，且y=cos220°+sin280°+3cos20°sin80°，则有x+y=2+3sin100°，x-y=-32-3sin100，解得x=14.变式6 求（cosπ8+sinπ8）（cos3π8-sin3π8）的值.解析令x=（cosπ8+sinπ8）（cos3π8-sin3π8），且令y=（sinπ8+cosπ8）·（sin3π8-cos3π8），x=-y>0，所以有xy=（cosπ8+sinπ8）2（cos3π8-sin3π8）.（sin3π8-cos3π8）=-（cosπ8+sinπ8）2（cosπ8-sinπ8）2（1+cosπ8sinπ8）2=-（1+2sinπ8cosπ8）（1-2sinπ8cosπ8）（1+12sinπ4）2=-（1+22）（1-22）（1+24）2=-12（1+24）2，所以x2=12（1+24）2，又因x>0，所以x=1+224.评注从以上实例可以看到，解决三角求值问题，构造对偶式之后，必要时还须熟练运用三角函数中的诱导公式、同角三角函数的基本关系、二倍角公式等知识.另外，利用对偶式解题时的构造策略往往不是唯一的，如例1，可令3cosθ+4sinθ=m，由3sinθ+4cosθ=5，3cosθ+4sinθ=m解得sinθ=4m-157，cosθ=20-3m7，代入sin2θ+cos2θ=1中整理得25m2-240m+576=0，解得m=245，所以tanθ=sinθcosθ=4m-1520-3m=34.二、证明不等式或恒等式1.证明不等式例2 求证：2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x≤5.证明令A=2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x，B=2cos4x+3cos2xsin2x+5sin4x，则A+B=7（sin4x+cos4x）+6sin2xcos2x=7（sin2x+cos2x）2-8sin2x·cos2x=7-2sin22x=5+2cos22x①，A-B=3（cos4x-sin4x）=3（cos2x-sin2x）=3cos2x②.由①+②得2A=5+2cos22x+3cos2x=2（cos2x+34）2+318≤2（1+34）2+318=10，A≤5（当x=kπ，k∈z时等号成立），故原不等式得证.变式1 已知a，b，c，d∈R，a2+b2+c2+d2≤1，求证：（a+b）4+（a+c）4+（a+d）4+（b+c）4+（b+d）4+（c+d）4≤6.证明令A=（a+b）4+（a+c）4+（a+d）4+（b+c）4+（c+d）4，再令B=（a-b）4+（a-c）4+（a-d）4+（b-c）4+（b-d）4+（c-d）4，A+B=6（a4+b4+c4+d4+2a2b2+2a2c2+2a2d2+2b2c2+2b2d2+2c2d2）=6（a2+b2+c2+d2）2≤6.又B≥0，所以A≤6，即原不等式得证.变式2 求证：12019证明设A=12·34·56·78·…·20172018，B=23·45·67·…·20182019，则A·B=12019，因为AA·B=12019.又因为A·A变式3 若n∈N*，且n≥2，求证：12·34·56·…·n2-1n2证明令A=12·34·56·…·n2-1n2，B=23·45·67·…·n2n2+1，因为A变式4 求证：（1+1）（1+14）…（1+13n-2）>33n+1（n∈N*）.证明令M=（1+1）（1+14）…（1+13n-2）=21·54·…·3n-13n-2，再令N=32·65·…·3n3n-1，P=43·76·…·3n+13n，因为有21>32>43，54>65>76，…，3n-13n-2>3n3n-1>3n+13n，所以M3>M·N·P=（21·54·…·3n-13n-2）·（32·65·…·3n3n-1）·（43·76·…·3n+13n）=3n+1，故M>33n+1，即原不等式得证.变式5 若n∈N*，且n≥2，求证：（1+13）（1+15）…（1+12n-1）>122n+1.证明令A=（1+13）（1+15）…（1+12n-1）=43·65·87·…·2n2n-1，B=54·76·98·…·2n+12n，则A>B，所以A2>A·B=2n+13>2n+14，故A>2n+14=122n+1，即原不等式得证.评注事实上，对于变式5，还可以在待证不等式左边不作改变的前提下，把其右边进一步加强，即求证：（1+13）（1+15）…（1+12n-1）>6n+33.解答时，可令M=（1+13）（1+15）…（1+12n-1），N=（1+12）（1+14）…（1+12n），考虑到M与N的项数差别，NM·N=2n+12，M>6n+33.2.证明恒等式例3 求证：sin3α·sin3α+cos3α·cos3α=cos32α.证明令m=sin3α·sinα·sin2α+cos3α·cosα·cos2α，且n=cos3α·cosα·sin2α+sin3α·sinα·cos2α，则m+n=cos2α，m-n=cos4α·cos2α，所以2m=cos2α（1+cos4α）=2cos32α，m=cos32α，即原结论得证.变式1 求证：cos2α+cos2β-2cosαcosβcos（α+β）=sin2（α+β）.证明令M=cos2α+cos2β-2cosαcosβcos（α+β），N=sin2α+sin2β+2sinαsinβcos（α+β），M+N=2-2cos2（α+β）=2sin2（α+β），M-N=cos2α+cos2β-2cos（α+β），M+N=2-2cos2（α+β）=2sin2（α+β），M-N=cos2α+cos2β-2cos（α+β）cos（α-β）=cos[（α+β）+（α-β）]+cos[（α+β）-（α-β）]-2cos（α+β）cos（α-β）=0，2M=2sin2（α+β），即M=sin2（α+β），即原结论得证.变式2 求证：cosx2cosx22cosx23…cosx2n=sinx2nsinx2n（n∈N*）.证明令A=cosx2cosx22cosx23…cosx2n，B=sinx2sinx22sinx23…sinx2n，则A·B=12sinx·12sinx2·12sinx22…12sinx2n-1=sinx2n·sinx2n·sinx2·sinx22·sinx23…sinx2n-1·sinx2n=sinx2nsinx2nB，因为B≠0，所以A=sinx2nsinx2n，即原结论得证.评注从例3及其变式1可以看到，构造对偶式证明恒等式时，对于同一个式子，可以局部对偶创设其对偶式，其余部分不变.三、求最值或取值范围1.求最值例4 设x>0，求y=x+1x-x+1x+1的最大值.解析令μ=x+1x+x+1x+1，则yμ=1，y=1μ.因为μ≥2+2+1=2+3（当x=1时等号成立），所以y=1μ≤2-3（当x=1时等号成立），即所求最大值为2-3.变式1 求函数y=sin（x-π6）cosx的最小值.解析令z=cos（x-π6）sinx，则y+z=sin（2x-π6），y-z=-12，2y=-12+sin（2x-π6），y=-14+12sin（2x-π6），当sin（2x-π6）=-1，即x=-π6+kπ（k∈Z）时，该函数取得最小值-34.变式2 求函数y=sinθ-1cosθ-2的最大值和最小值.解析由y=sinθ-1cosθ-2变形得1-2y=sinθ-ycosθ①，令x=cosθ+ysinθ②，①与②两式的平方和为（2y-1）2+x2=1+y2，即x2=-3y2+4y，因为x2≥0，所以-3y2+4y≥0，解得0≤y≤43，故原函数的最大值为43，最小值为0.评注例4的变式2的常见解答思路是：由y=sinθ-1cosθ-2变形可以得1-2y=sinθ-ycosθ=1+y2sin（θ-φ）（其中tanφ=y），sin（θ-φ）=1-2y1+y2，由1-2y1+y2≤13y3-4y≤0，解得0≤y≤43，故原函数的最大值为43，最小值为0.相比之下，通过构造对偶式求解，虽然运算量相当，但新意十足，让人眼前一亮、耳目一新，而且构造策略并非难以掌握.2.求取值范围例5 已知实数x，y满足x2-3xy+y2=2，求x2+y2的取值范围.解析令x=u+v，y=u-v，代入条件式，得（u+v）2-3（u2-v2）+（u-v）2=2，化简得5v2-u2=2v2=2+u25≥25，x2+y2=（u+v）2+（u-v）2=2（u2+v2）=2（6v2-2）≥2（6×25-2）=45，所以x2+y2的取值范围为45，+∞.变式若sinαcosβ=-12，cosαsinβ=t，求t的取值范围.解析将两个条件式相加，得sin（α+β）=-12+t，将两个条件式相减，得sin（α-β）=-12-t，所以-1≤-12+t≤1，-1≤-12-t≤1，解得-12≤t≤12.评注对于例5的变式，题目中的两个条件式本是一组对偶式，而在解答过程中，通过逆用公式又得到了sin（α+β）与sin（α-β），从和与差的角度看，它们仍是一组对偶式，这正是解答本题的关键所在.四、求和问题1.函数中的求和问题例6 已知f（x）=4x4x+2，求f（12017）+f（22017）+f（32017）+…+f（20162017）的值.解析由f（x）=4x4x+2可设其对偶式f（1-x）=41-x41-x+2=24x+2，两式相加，得f（x）+f（1-x）=1，令s=f（12017）+f（22017）+f（32017）+…+f（20162017）①，其对偶式为s=f （20162017）+f（20152017）+f（20142017）+…+f（12017）②，将①与②两式相加且右边对应项相加，得2s=2016，则s=1008.变式1 已知f（x）=x21+x2，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（12）+f（13）+f（14）的值为.解析由f（x）=x21+x2可设其对偶式f（1x）=（1x）21+（1x）2=1x2+1，两式相加，得f （x）+f（1x）=1，令s=f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（12）+f（13）+f（14）①，其对偶式为s=f（1）+f（12）+f（13）+f（14）+f（2）+f（3）+f（4）②，将①与②两式相加且右边对应项相加，得2s=7，所以s=72.变式2 已知f（x）=x5+ax2+bx-8，且f（-2）=10，则f（2）（）A.-26B.-18C.-10D.10解析因为f（x）=x5+ax3+bx-8，其对偶式为f（-x）=-x5-ax3-bx-8，易知f（x）+f（-x）=-16，所以f（-2）+f（2）=-16，f（2）=-26，故应选A.评注从例6及其变式可以看到，构造对偶式解决函数中的求和问题时，可多次设出必要的对偶式，既体现个别（局部）性，又体现整体性.2.二项展开式中的求和问题例7 求（x+2）2n+1展开式中x的整数次幂项系数之和.解析令A=（x+2）2n+1，B=（x-2）2n+1，又设f（x）=（x+2）2n+1+（x-2）2n+1，由二项式定理可知，f（x）是x的整数次幂多项式，且f（x）展开式中x的整数次幂多项式之和等于（x+2）2n+1展开式中x的整数次幂多项式之和的2倍，所以（x+2）2n+1展开式中x的整数次幂项系数之和为12f（1）=32n+1-12.变式1 若（2x-1）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a2+a4= .解析令x=0，得a0=-1.令x=1，得a0+a1+a2+a3+a4+a5=1①.令x=-1，得a0-a1+a2-a3+a4-a5=-243②，①与②两式相加，得a0+a2+a4=-121，因此a2+a4=-120.变式2 若（1-x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则（a0+a2+a4）·（a1+a3+a5）值等于 .解析令x=1，得a0+a1+a2+a3+a4+a5=0①.令x=-1，得a0-a1+a2-a3+a4-a5=32②.联立①、②两式，得a0+a2+a4=16，a1+a3+a5=-16，所以（a0+a2+a4）·（a1+a3+a5）=-256.评注解答例7的关键是巧妙构造出A的对偶式B=（x-2）2n+1以及抓出“（x+2）2n+1展开式中x的整数次幂项系数之和为12f（1）”；而解答例7的变式1与变式2的关键均是构造①、②两个对偶式.3.数列中的求和问题例8 求数列11+x，21+x2，221+x22，231+x23，…的前100项之和.解析设该数列的前n项和为Sn，因此可得S100=11+x+21+x2+221+x22+…+2991+x299.若x=1，则S100=12+1+2+…+298=299-12.若x≠±1，设出S100的对偶式P=11-x+21-x2+221-x22+…+2991-x299，则S100+P=21-x2+221-x22+231-x23+…+21001-x2100=P-11-x+21001-x2100，所以S100=-11-x+21001-x2100=x2100-2100x+2100-1（x-1）（x2100-1）（x≠±1）.下面，我们不妨再来尝试一下构造对偶式解决求数列前n项之积的问题：变式求数列1+3，1+32，1+322，…的前n项之积.解析令A=（1+3）（1+32）（1+322）...（1+32n），B=（1-3）（1-32）（1-322） (1)323），则A·B=（1-32）（1-322）（1-323）…（1-32n）（1-32n+1）=-12B（1-32n+1），A=-12（1-32n+1）=32n+1-12.评注解决例8的变式，推导得出A·B=-12B（1-32n+1），用到了添项策略，这在研究前文例2的变式5的加强结论时也涉及到了.五、解方程例9 解方程x2+10x+32-x2-10x+32=8.解析令x2+10x+32+x2-10x+32=k，则两式相乘，得8k=（x2+10x+32）-（x2-10x+32）=20x，所以k=5x2，即x2+10x+32+x2-10x+32=5x2，所以2x2+10x+32=8+5x2，两边平方得x=±163，检验知x=-163为增根，所以原方程的解为x=163.变式1 解方程4-23sinx+10-43sinx-6cosx=2.解析令4-23sinx-10-43sinx-6cosx=2m，联立两个式子可得到4-23sinx=1+m，10-43sinx-6cosx=1-m，从而23sinx=-m2-2m+3，6cosx=m2+6m+3，代入sin2x+cos2x=1，解得m=-3或m=0.若m=-3，则sinx=0，cosx=-1，显然不满足原方程；若m=0，则sinx=32，cosx=12，显然满足原方程，所以x=π3+2kπ（k∈Z）.变式2 已知z-为复数z的共轭复数，解方程zz--3iz-=1+3i.解析构造对偶方程，两边取共轭复数，得zz-+3iz=1-3i①，两式相减，得z+z-=-2，即z-=-2-z，代入①式，得z2+（2-3i）z+（1-3i）=0，z=-1或z=-1+3i.变式3 解方程cos2x+cos22x+cos23x=1.解析令A=cos2x+cos22x+cos23x，B=sin2x+sin22x+sin23x，A+B=（cos2x+sin2x）+（cos22x+sin22x）+（cos23x+sin23x）=3①，且A-B=（cos2x-sin2x）+（cos22x-sin22x）+（cos23x-sin23x）=cos2x+cos4x+cos6x=2cosx·cos3x+2cos23x-1=2cos3x·（cosx+cos3x）-1=4cosx·cos2x·cos3x-1②，由①+②，得cosx·cos2x·cos3x=14（2A-2），又A=1，所以cosx·cos2x·cos3x=0，cosx=0或cos2x=0或cos3x=0，解得x=kπ+π2或x=kπ2+π4或x=kπ3+π6，其中k∈Z.评注从例9及其变式可以看到，对于无理方程的求解，是从和与差的视角来构造对偶式的；对于复数方程的求解，是从寻找共轭复数代数式的视角来构造对偶式的；对于三角方程的求解，是从正弦（切）对余弦（切）的角度来构造对偶式的.六、求函数解析式例10 已知对任意x∈（-∞，0）∪（0，+∞），总有f（x）+2f（1x）+x=0，求函数y=f （x）的解析式.解析因为f（x）+2f（1x）+x=0①，以1x替换①式中的x，得f（1x）+2f（x）+1x=0②，由①-2×②得f（x）+x-4f（x）-2x=0，所以f（x）=x2-23x.变式1 已知定义域为R的函数y=f（x）满足3f（1-x）-f（1+x）=2x+4，求函数y=f（x）的解析式.解析因为3f（1-x）-f（1+x）=2x+4①，以-x替换①式中的x，得3f（1+x）-f（1-x）=-2x+4②，由①+3×②，得8f（1+x）=-4x+16=-4（1+x）+20，则f（1+x）=-12（1+x）+52③，以x替换③式中的1+x，得f（x）=-12x+52.变式2 设定义域为（-∞，1）∪（1，+∞）的函数y=f（x）满足2f（x+2002x-1）+f（x）=4015-x，求函数y=f（x）的解析式.解析因为2f（x+2002x-1）+f（x）=4015-x①，以x+2002x-1替换①式中的x，得2f（x）+f（x+2002x-1）=4015-x+2002x-1②，由②×2-①，3f（x）=4013+x-4006x-1，所以f（x）=40133+x3-40063（x-1）.变式3 已知定义域为R的函数y=f（x）满足f（1-x）+xf（x）=3x，求函数y=f（x）的解析式.解析依次令x=t，x=1-t，代入条件式，可得f（1-t）+tf（t）=3t①，f（t）+（1-t）f（1-t）=3（1-t）②，由①×（1-t）-②，得[t（1-t）-1]f（t）=3t（1-t）-3（1-t），解之得f（t）=3（t-1）2t2-t+1，故f（x）=3（x-1）2x2-x+1.变式4 已知f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，且f（x）+g（x）=x2+x+2，求f（x）与g（x）的解析式.解析因为f（x）+g（x）=x2+x+2①，以-x替换①式中的x，可得f（-x）+g（-x）=x2-x+2，又f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，所以f（-x）+g（-x）=f（x）-g（x）=x2-x+2②，联立①与②，解得f（x）=x2+2，g（x）=x.评注若把上述变式1中条件式左边改为“3f（-x）±f（x）”或“3f（a-x）±f（a+x）”，则构造对偶式的替换策略依然不会发生改变.对于变式4，其对偶构造思想体现在利用f（x）与g （x）的奇、偶性，构造出“f（x）+g（x）”与“f（x）-g（x）”这一组对偶式.。
解三角形大题难题的九种技巧
解三角形大题难题的九种技巧
解三角形是高中数学中的一个重要知识点，以下是解三角形大题难题的九种技巧：
1. 边角互化：这是解三角形最基本的方法，通过正弦定理、余弦定理将边和角进行转化，从而简化问题。
2. 数边数角：在解决三角形问题时，要养成数边数角的习惯，这样可以帮助我们快速判断三角形的类型，以及使用相应的定理。
3. 三角化两角：当遇到求周长的取值范围或者最大值、求某角三角函数值的最值、求连续2-3 个角的三角函数值之和的取值范围、角平分线题以及三个三角形的问题时，可以利用三角函数的性质将问题转化为两角之间的关系。
4. 利用正余弦定理：正弦定理和余弦定理是解三角形的重要工具，要熟练掌握它们的公式，并在解题时灵活运用。
5. 三角形面积公式：三角形的面积可以通过底和高的乘积的一半来计算，也可以使用海伦公式或其他公式，根据具体题目选择合适的公式可以简化计算。
6. 利用三角形的内角和：三角形的内角和为180 度，在解题时可以利用这个性质来化简角度关系。
7. 利用三角形的外角定理：三角形的外角等于不相邻的两个内角之和，利用这个定理可以求解一些角度问题。
8. 利用特殊角：对于一些特殊角，如30 度、45 度、60 度等，可以利用它们的三角函数值来简化计算。
9. 画图辅助：在解决一些复杂的三角形问题时，可以通过画图来辅助理解和分析问题，有时可以帮助我们找到解题的思路。
这些技巧需要在实践中不断练习和掌握，通过多做练习题，可以提高解三角形的能力和技巧。
三角对偶式及其应用
三角对偶式及其应用
罗会元
【期刊名称】《数学教学研究》
【年(卷),期】1991(000)001
【摘要】定义在三角中,称式子f(π/2-x,π/2-y,π/2-z,…)为f(x,y,z,…)的三角对偶式。
本文中我们用h(x,y,z,…)表示f(x,y,z,…)的三角对偶式。
显然,f(x,y,z,…)也是
h(x,y,x,…)的三角对偶式。
例如sinx是cosx的三角对偶式;cos(x+y)是-cos(x+y)
的三角对偶式;sinx+cosy是cosx+siny的三角对偶式。
构造f(x,y,z,…)的三角对偶式h(x,y,z,…),利用f与h的加或减、乘、除、复数等运算,能使许多三角题的求解
更为简炼。
同时,构造一个三角题的对偶式,为编拟新的三角题提供了一个重要方法。
【总页数】2页(P20-21)
【作者】罗会元
【作者单位】江苏涟水县中学
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.例析对偶式在解三角问题中的妙用 [J], 张得南
2.例析对偶式在解三角问题中的妙用 [J], 张得南;
3.一类对偶三角函数级数封闭形和式 [J], 杨春艳;及万会
4.构造互余对偶式巧解几类三角题 [J], 方志平
5.构造三角对偶式解三角题初探 [J], 张承一
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巧造对偶式 妙解三角题
对某些三角问题，解法固然很多，但若能根据已知式构造出一个与其成对偶关系的式子，再联立变形，则可快捷获解。
例1 求cos 12°cos 24°cos 48°cos 96°的值。
解：设原式= cos 12°cos 24°cos 48°cos 96°= A ，
其对偶式为：sin 12°sin 24°sin 48°sin 96° = B ，
则A ×B = cos 12°cos 24°cos 48°cos 96°sin 12°sin 24°sin 48°sin 96° =
12sin 24°·12sin 48°·12sin 96°·12
sin 192° = -116
sin 12°sin 24°sin 48°sin 96° = - 116
B ， ∴原式= A = -116。
例2 求5
4cos 52cos ππ+的值。
解：设原式=5
4cos 52cos ππ+ = A ， 其对偶式为：5
4cos 52cos ππ-= B ， 有A ×B =54cos 52cos 22ππ-=）（）（5
8cos 12154cos 121ππ+-+ =B 2
152cos 54cos 21-=-）（ππ 。
，2
10-=∴≠A B 例3 求sin 220°+cos 250°+ sin 20°cos 50°的值。
（95年高考题）
解：设原式= sin 220°+cos 250°+ sin 20°cos 50° = A ， 其对偶式为：cos 220°+sin 250°+ cos 20°sin 50° = B ，
A +
B =(cos 2200+sin 2200)+(cos 2500+sin 2500)+(sin 200cos 500+cos 200sin 500)
=2+sin 700 --------(1)
A -
B =(sin 2200-cos 2200)+(cos 2500-sin 2500)+ (sin 200cos 500-cos 200sin 500)
= -cos 400+cos 1000 +sin （-300）= -2sin 700sin 300-12
= -
12
-sin 700 --------(2) (1)+(2): 2A =(2+sin 700)+(- 12-sin 700)= 32
A =34, 即原式=34。
例4 化简：cos 3αcos 3α+sin 3αsin 3α。
解： 设原式=cos 3αcos 3α+sin 3αsin 3α= A ，
其对偶式为：sin 2αcosαcos 3α+cos 2αsinαsin 3α= B ，
则A +B = cosαcos 3α+ sinαsin 3α=cos 2α --------(1)
A -
B = cos 2αcosαcos 3α- cos 2αsinαsin 3α
= cos 2α(cosαcos 3α- sinαsin 3α)
= cos 2αcos 4α --------(2)
(1)+(2): 2A = cos 2α(1+cos 4α)=
12
cos 2αcos 22α=cos 32α 即原式= cos 32α。
例5 求证：5cos 5cos sin 3sin 24224≤++x x x x （94年全国高中联赛题）。
证明：设A = x x x x 4224cos 5cos sin 3sin 2++，
x x x x B 4
224sin 5sin cos 3cos 2++= 则A +B =x x x x 2
244cos sin 6cos sin 7++）（
=x x x x 22222cos sin 8cos sin 7-+）（
=x x 2cos 252sin 2722+=- -------(1) A -B =x x x x x 2cos 3sin cos 3sin cos 32244=-=-）（）（
--------(2) (1)+(2)： 2A =]16
9432cos [2
52cos 32cos 2522-++=++）（x x x 10]16
9431[252=-++≤）（ ∴ A 5≤。
从以上几例可以看出，此种解法的关键是：根据已知三角式的结构特征，充分运用对称原理，构造出恰当的对偶式。
以下两例仅供练习： 1． 计算sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°。
（87年高考题） （答：
116
） 2． 计算 76cos 75cos 74cos 73cos 72cos 7cos ππππππ。
（答：-164
） 3． 不查表，求234567cos cos cos cos cos cos cos 15151515151515
M πππππππ=的值 解：设234567sin sin sin sin sin sin sin 15151515151515
N πππππππ= (对偶式) 则223377(sin cos )(sin cos )(sin cos )(sin cos )1515151515151515
MN ππππππππ= =712468101214sin sin sin sin sin sin sin 215151515151515
πππππππ =71234567sin sin sin sin sin sin sin 215151515151515πππππππ
=7
12N 显然N ≠0 ∴712M =。
4． 化简22cos cos 2cos cos cos()αβαβαβ+-+
解：令22cos cos 2cos cos cos()M αβαβαβ=+-+
22sin sin 2sin sin cos()N αβαβαβ=+-+
则M +N =2-2cos 2(α+β)=22sin ()αβ+
M -N =0
∴M =N =2sin ()αβ+
即22cos cos 2cos cos cos()αβαβαβ+-+=2sin ()αβ+
实际上，也化简了22sin sin 2sin sin cos()αβαβαβ+-+=2sin ()αβ+
5． 求22cos 10cos 50sin 40sin80+-⋅
的值。
解：设M =+-cos cos sin sin 2210504080 ，
N M N M N =+-+=--=-
s i n s i n cos cos cos cos 22105040802404012 ，则，
两式相加可得M =
34，故 cos cos sin sin .221050408034
+-= 6． 函数y a x b x x =+(cos sin )cos 有最大值2，最小值-1，则实数a =_________，
b =______________。
解：由于y a x b x x a x b x x =+=+(cos sin )cos cos sin cos 2
，构造对偶式 2sin sin cos z a x b x x =+，
则2sin cos cos 2y z a b x x y z a x +=+-=，
两式相加，得
111cos 2sin 2222
y a a x b x =
++
1)2a x ϕ=++(其中tan a b ϕ=)
∴ 112 1.22a a +==-，
解得1a b ==±，
7． 若A +B +C =π，化简：222cos cos cos 2cos cos cos A B C A B C +++
8． 化简222cos cos (120)cos (120)θθθ++︒+-︒。