正弦函数的性质

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正弦函数的性质与图像

正弦函数的性质与图像一、基础知识精析：（1）利用正弦线解sinx>a 的方法：①找出使sinx=a 的角x 的终边所在位置； ②根据变化趋势，确定不等式的解集。

（2）利用正弦函数的图像解sinx>a 的方法：①作出直线y=a 和正弦函数y=sinx 的图像; ②确定sinx=a 的x 值； ③确定sinx>a 的解集。

二、基础强化训练：1、求满足条件sin x ≤23的角x 的取值范围。

2、根据y=sinx 的图像，解不等式-23≤sin x ≤21。

3、求下列函数的定义域：（1）y=1sin 1log 2-x; (2)y=lg(3-4sin 2x);4、若sinx=3212+-m m ,且x ∈R,则m 的取值范围是________________.5、若sinx=m m 231+-,且x ∈[-6π,6π],则m 的取值范围是____________6、函数f(x)=-sin 2x+sinx+a,若1≤f （x ）≤417对一切x ∈R 恒成立，求a 的取值范围。

7、求函数y=-2 sin 2x+5 sinx-2的最大值及最小值。

8、求下列函数的值域：（1）y=sin 2x- sinx+1,x ∈[3π,43π]; (2)y=2sin sin +x x.9、求使函数y= -sin 2x+3 sinx+45取得最大值和最小值的自变量x 的集合，并求出函数的最大值和最小值。

10、比较大小：（1）sin 4π与sin 32π; (2)sin(-3200)与sin7000.11、判断下列函数的奇偶性：（1）f （x ）=sin(43x +π); (2) f （x ）=xx sin 1cos sin 12+-+三、高考在线：12、函数y= sin 2x+sinx-1的值域为（） A 、[-1，1] B 、[-45,-1] C 、[-45,1] D 、[ -1，45]四、课后练习：1、求函数y=lgsin2x+29x -的定义域。

总结正弦函数知识点

总结正弦函数知识点一、正弦函数的定义正弦函数是一种周期性的三角函数，它和圆的单位圆概念有关。

在单位圆上，我们取一个角度θ，令P(x,y)为单位圆上与角θ对应的点。

那么，正弦函数的定义就是正弦值sinθ等于点P的y坐标值，即sinθ=y。

正弦函数的定义域是整个实数集R，值域是[-1,1]。

这意味着正弦函数的值总是在-1和1之间波动，永远不会超出这个范围。

正弦函数的图像是一条无限长的曲线，它在整个实数轴上都有定义，并且呈周期性波动。

二、正弦函数的性质1. 周期性正弦函数是一种周期性函数，它的周期是2π。

这意味着正弦函数在每个周期内都会重复一次相同的波动。

具体地说，当角度θ增加2π时，正弦函数的值会重复上一个周期的值。

这样的性质使得我们可以对正弦函数进行周期性的分析和研究。

2. 奇函数性质正弦函数是一种奇函数，即sin(-θ)=-sinθ。

这意味着当角度为θ的时候，正弦函数取得的值和当角度为-θ的时候取得的值相反。

这样的性质使得我们可以通过对正弦函数的奇偶性质进行简化计算和分析。

3. 周期性函数正弦函数是一种周期性函数，它的图像呈现出周期性的波动。

它的主要特点是在整个实数轴上都有定义，并且周期性重复波动。

这让我们可以通过正弦函数的周期性特点进行分析和研究。

4. 有界性正弦函数的值域是[-1,1]，这意味着它的值总是在-1和1之间波动。

这样的有界性质使得我们可以对正弦函数的取值范围有清晰的了解，也方便我们在实际问题中进行适当的估算。

5. 其他性质正弦函数还有一些其他性质，比如在x=0时取得最大值1，x=π/2时取得最小值-1；在x=π时取得最大值1，x=3π/2时取得最小值-1等。

这些性质都是正弦函数的重要特点，需要我们对正弦函数有深入的了解和掌握。

三、正弦函数的图像正弦函数的图像是一条周期性波动的曲线，它在整个实数轴上都有定义，并且呈周期性重复。

具体来说，正弦函数的图像呈现出一种逐渐上升、达到最大值、逐渐下降、达到最小值的曲线波动。

正弦函数的性质

in(180°+ 30°) 1 = sin30° = 2
(2)sin(−150°15′) = −sin150°15′
= −sin(180°− 29°45′) = −sin29°45′
≈ −0.4962
7π π (3)sin(− ) = sin(−2π + ) 4 4 π = sin 4 2 = 2
ymin = 2 + (sin x)min = 2 + (−1) = 1
周期T = 2π
π xx = + 2kπ , k ∈ Z 取得最大值的x的集合是使y=2+sinx取得最大值的的集合是：取得最大值的的集合是： 2
取得最小值的x的集合是使y=2+sinx取得最小值的的集合是： x x = − 取得最小值的的集合是：

π
+ 2kπ , k ∈ Z 2
2 不求值，比较下列各对正弦值的大小：不求值，比较下列各对正弦值的大小：（１） sin( −
π
18 )与 sin( −
π
10
)
2π 3π 与 sin （２） sin 3 4
π
<
：（１ ∵ 解：（１） −
π
2
<−
π
10
<−
π
18
π π , 且y=sinx在− , 上是增函数，上是增函数，在 2 2 2
y max = _____ ymin = _____ 1 −1
π π 2kπ − ,2kπ + , k ∈ Z 2 2 在x ∈ R内，x ∈ _____________________ 为增函数，
π 3 π 2kπ + ,2kπ + , k ∈ Z 为减函数 2 2 x ∈______________________

正弦函数余弦函数的性质(单调性)

正弦函数余弦函数的性质（单调性）
正弦函数和余弦函数是高中数学中的基础函数，也是三角函数中最常见的函数之一。

这两个函数有许多重要的性质，其中包括它们的单调性。

正弦函数是以π/2为周期的函数，表示为y=sin x。

在每个周期内，正弦函数分别在
x=0、x=π/2、x=π、x=3π/2等点上取得最大值1，同时在x=π/2、x=3π/2、x=5π/2、
x=7π/2等点上取得最小值-1。

在每个周期内，正弦函数是一个奇函数，即满足
sin(-x)=-sin(x)。

因为正弦函数在每个周期内都是周期性的，并且在一个周期内单调递增，所以可以得
到以下结论：
当0<x<π/2时，sin x单调递增。

综合以上结论，可以得到在[2kπ,2(k+1)π]区间内，当k是奇数时，sin x单调递减；当k是偶数时，sin x单调递增。

总结
正弦函数和余弦函数的单调性是学习三角函数的初学者必须掌握的基础知识。

在计算中，可以通过掌握正弦函数和余弦函数的单调性来简化计算，提高计算效率。

在实际应用中，也有很多场合需要用到正弦函数和余弦函数的单调性，比如在信号处理、音频处理、
图像处理等领域中。

因此，正确理解和运用正弦函数和余弦函数的单调性具有十分重要的
意义。

正弦函数余弦函数的性质(单调性)

正弦函数余弦函数的性质（单调性）
正弦函数和余弦函数是数学中常见的两种三角函数。

它们的性质包括单调性，也就是函数在定义域上的变化趋势。

先来看正弦函数。

正弦函数的定义域是整个实数集，记作：f(x) = sin(x)。

在定义域上，正弦函数的周期是2π。

正弦函数的图像是一条连续波动的曲线，它在原点附近的取值范围是[-1, 1]之间。

正弦函数的单调性是周期性的，即在每个周期内，它在逐渐上升到最大值1，然后下降到最小值-1，接着再上升到1，如此反复。

正弦函数在每个周期内是先递增然后递减的，也就是说它在该周期内是非单调函数。

但是在整个定义域上，正弦函数不是单调函数，因为它不断地周期性地波动。

简单来说，正弦函数没有单调性。

正弦函数和余弦函数都不是单调函数。

它们的图像在定义域上进行周期性的波动，而不是保持单调递增或单调递减。

正弦函数余弦函数的性质(单调性)

正弦函数余弦函数的性质（单调性）正弦函数和余弦函数是高中数学中常见的函数，它们具有许多重要的性质。

单调性是其中之一。

本文将重点介绍正弦函数和余弦函数的单调性，希望能对读者加深对这两个函数的理解。

我们先来介绍一下正弦函数和余弦函数的定义。

正弦函数记作y=sin(x)，其中x表示自变量，y表示函数值。

余弦函数记作y=cos(x)，同样x表示自变量，y表示函数值。

这两个函数都是周期函数，其周期为2π。

下面我们分别来介绍它们的单调性。

正弦函数的单调性：正弦函数在每一个周期内都是先增后减或者先减后增的。

具体来说，当自变量x增大时（在0到π/2之间），y=sin(x)也逐渐增大，当自变量x继续增大（在π/2到π之间），y=sin(x)逐渐减小，当自变量x继续增大（在π到3π/2之间），y=sin(x)又逐渐增大，以此类推。

从图上来看，正弦函数的图像会呈现出一种周期性的波动，这体现了正弦函数的周期性。

我们可以得出结论，正弦函数在每一个周期内都是先增后减或者先减后增的。

正弦函数和余弦函数在各自的周期内的单调性是不同的。

正弦函数是先增后减或者先减后增的，而余弦函数是先减后增或者先增后减的。

这也是因为正弦函数和余弦函数的定义和性质不同所导致的。

通过对这两个函数的单调性进行分析，可以帮助我们更好地理解它们的规律和特点。

除了单调性以外，正弦函数和余弦函数还有许多其他重要的性质，比如周期性、奇偶性、图像特点等。

这些性质都是我们在学习和应用这两个函数时需要重点关注的内容。

希望通过本文的介绍，读者能够对正弦函数和余弦函数的单调性有更清晰的认识，并能够更好地应用这些知识解决实际问题。

正弦函数的图像和性质

（3）周期性
sin(x+2kπ）=sin x, (k∈Z), 2k
y 1
y 1

2
2

2
O
1

3 2
2
3
4
y 1
x
正弦函数y=sinx的性质：
1 (4)最大值与最小值 ymax _____ ymin
(5)单调性
_____ 1
2k ,2k , k Z 2 在x R内，x __________ 2 __________为增函数， _
设任意角的终边与单位圆交于点P，过点p做x轴的垂线，垂足M，称线段MP 为角的正弦线
P(a, b ) r O
h
M A

正弦函数y=sinx（x R)的图象
5 6

2 3
2
3 6
11 6
y
1
● ● ● ● ●
y=sinx ( x [0, 2 ] )
●

7 6 4 3 5 3
y
1
4 3
2

3 2

2
2
3
4

7 2

5 2
0
-1
2
3 2
5 2
7 2
x
y=sin x, x∈R
思考与交流:图中,起着关键作用的点
是那些?找到它们有什么作用呢? 0,0 ,1 ,0 3 ,1 2

2
1 2

0 1
3 2
2
0 1
-1 0
描点得y=1+sin x的图象 y 1

1.3.1正弦函数的性质

sin x的周期： ...... 4、 2、 2、 4、 6 ......
例如：y=sinx的最小正周期T=2π
例4求下列函数的周期： f（x
（ 1 ）y sin 3x
2π x y=sinu的周期为 T 8 （2）y sin 4 u →u+2π 2 （3）y A sin （ x ），（A ， 0) 3x →3x+2π （ 30x ）
性质一：正弦函数 y=sinx 定义域和值域
定义域为R，值域为[-1,1]
π x 2kπ （k Z）时，ymax 1； 2 π x 2kπ （k Z）时，ymin 1； 2
例1、下列各等式能否成立？为什么？（1）2sinx=3；（2）sin2x=0.5
1 sin x 1
2

3 2

2
2
3
4

5 2
0
-1
2
3 2
5 2
7 2
x
3 y sin x的减区间： [ 2k， 2k ] 2 2

（k Z）
性质三：正弦函数 y=sinx 的单调性
增区间： π [ 2kπ ， 2kπ ] 2 2
减区间： 3 π [ 2kπ ， 2kπ ] 2 2
例8 求函数y sin(2 x

)图象的对称轴方程及对称中心坐标.
练习1:
1 求函数y sin( x )图象的对称轴方程及对称中心坐标. 2 3
5 对称轴方程x 2k (k Z )； 3 2 对称中心（2k ， 0)(k Z ) 3
习2、函数y sin(2 x ) 3 kπ π x (k Z ) 2 12 __, 的对称轴是__ __________

正弦函数、余弦函数的性质(经典)

倍角恒等式用于计算一个角的两倍角的三角函数值，例如
sin2x=2sinxcosx，cos2x=cos²x-sin²x。
半角恒等式用于计算一个角的一半角的三角函数值，例如
sin(x/2)=±√[(1-cosx)/2]，cos(x/2)=±√[(1+cosx)/2]。
三角函数的积分
三角函数的积分是数学中一类特殊的积分，主要涉及到三角函数的积分计算。通过三角函数的积分，可以求得三角函数值的面积、体积和其他物理量。
三角函数与复数
三角函数与复数之间有着密切的联系，复数可以用三角函数的形式表示，而三角函数也可以用复数进行计算和分析。
在复平面上，复数可以用极坐标形式表示为z=r(cosθ+i sinθ)，其中r是模长， θ是辐角。这个表示方法与三角函数的定义非常相似，因此可以将复数的运算转化为三角函数的运算。
奇偶性
总结词
正弦函数是奇函数，而余弦函数是偶函数。
详细描述
正弦函数满足$f(-x) = -f(x)$，即对于任何实数x，都有$sin(-x) = -sin(x)$。相反，余弦函数满足$f(-x) = f(x)$，即对于任何实数x，都有$cos(-x) = cos(x)$。
最值和零点
总结词
正弦函数图像是一个周期函数，其基本周期为$2pi$。
在一个周期内，正弦函数图像呈现先上升后下降的趋势，且在$[0, pi]$区间内是单调递增的。
正弦函数的最大值为1，最小值为-1，且在$x=frac{pi}{2}+2kpi$（$k in Z$）处取得最大值，在$x=2kpi$（$k in Z$）处取得最小值。
三角函数在复数域中有许多重要的性质和应用，例如：傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z变换等。这些变换在信号处理、控制系统等领域有着广泛的应用。

正弦型函数的性质

C.
D.
5 x 4
7、函数y=sin(2x+θ)的图象关于y轴对称，则
A、 =2k + ,k Z 2 C、 =2k + ,k Z
B、 =k + ,k Z 2 D、 =k + ,k Z

B
8.(2007福建高考）已知函数 f ( x ) si n ( x 3 )( 0)的最小正周期是，则函数的图象（ A ）
（ A 关于点

3
，对称 0）
B关于直线 x

3
对称
C关于点（

4
，对称 0 ）
D关于直线 x 对称 4
k 2 - 6 ,0 k Z 9、y=5sin 2x+ 的对称中心坐标为__________ 3
10、关于函数f ( x ) 4 sin(2 x 3 )( x R) 有下列命题：
7 [ k , k ](k z ) 递减区间是＿＿＿ 12 12
（10）当 x ( 6 k , 3 k )(k z ) ＿＿＿当 x 当 x=
(

时y＞o 时y＜0 时y=0 k

5 k , ＿＿＿ k )(k z ) 3 6
x (k z ) （11）图象的对称轴方程为＿＿＿ 2 12 k ( ,0)(k z ) （12）图象的对称中心坐标为＿＿＿ 2 6
应用
• • • • • • •
π 已知函数 y 2 sin 2 x 回答下列问题 3
2 （1）振幅是______
1 （3）频率是＿＿＿
（2）周期是＿＿＿

正弦函数的性质与图像

（2）奇函数
（3）周期函数，最小正周期T 2
（4）在区间-
2

2k , 2

2k
(k
Z )上递增，在区间2

2k ,
3 2

2k
(k
Z )上递减。
当x

2
2k，k Z时，ymax
1；当x

3 2
2k，k
Z时，ymin
小结
知识： 1.正弦函数的性质与图像 2.周期函数的定义思想方法：
思想方法： 1.数形结合（形—数—形；图像与性质的联系） 2.利用图像解三角方程与三角不等式 3.解决周期函数问题的一种方法
作业：课本42页课后练习A 练习B
解： sin x 2a 1并且sin x 1,1
-1 2a 1 1 0 a 1
a 0,1
例3：（1）求y=2sinx-1的单调递增区间。（2）求y=-3sinx+1的单调递增区间。
解：
（1）ห้องสมุดไป่ตู้2k

2
,2k

2（ k

Z）
(2)2k
2
（0,1） 1
O
（2π,0） (π,1)
x
3π （ ,0）
2
注：“五点法”作图时是令y r sin l中的分别为0，，，3 ,2。 22
例如: y sin(2x) 1中就是令2x分别为0，，，3 ,2 22
应用
例2：已知sin x 2a 1 0，（x R），求a的取值范围。

2
，2k

3 2
（ k

Z
)

正弦函数的性质

2
5 2
x
3
7 2
4
y=sinx
二、正弦函数性质的简单应用
例1 比较下列各组正弦值的大小：
1) sin( )与 sin( ) 8 10
解：

5 7 2) sin 与 sin 8 8
分析：利用正弦函数的不同区间上的单调性进行比较。
0 2 8 10 并且f(x)=sinx在 , 上是增函数，所以 2 2
知识回顾：
在上一节课里我们学习了正弦函数的图像以及五点作图法。
想一想：怎样画出正弦函数
f(x) sinx 的图象？
一、正弦函数 y=sinx 的性质
y 1
y 1

2
2

2
O
1

3 2
2
3
4
y 1
x
（1）定义域
实数集R
2k y 1 当x=________________时， max _____ 2
x
3
7 2
4
x
sinx

2
…
0 0
…
2
…
0
…
3 2
-1
1
-1
y=sinx (xR) 2k , k Z 增区间为 [ 2 2k , 2 ] 其值从-1增至1 2 ，
减区间为 [ 2
2 3 3 ] ， 22k , 2 2k , k Z 其值从 1减至-1 2
当 x [ 2 k
单调性

2
2 3 当 x [ 2 k ＋ , 2 k ] 减 2 2

正弦函数的性质与图像

解列表
x
sin x
1 s in x
0 0
π 2
π
0
3π 2
2 π
1 2
1
0
1
1
0
1
描点作图
y
2 1
-
y 1 sin x ， x [ 0， 2 π ]
π 2
o
1-
π
3π 2
2π
x
y sin x ， x [ 0， 2 π ]
用“五点法”画出下列函数在区间[0，2π]的图。（1)y=2+sin x; (2)y=sin x-1； (3)y=3sin x.
y
1
p (c o s x , s in x )
o
M
1
x
正弦线 MP
三角函数问题
几何问题
正弦函数的图象
利用正弦线作出 y sin x ， x 0， π 的图象. 2
y
作法: (1) 等分; (2) 作正弦线;
/
1P1
p1
(3) 平移; (4) 连线.
π 3
π 2

6
-
-
o1
M
-1 A
π 2
，1 )；
与 x 轴的交点: ( 0 ， 0 )， ( π ， 0 )， ( 2 π ， 0 )；图象的最低点:
( 3π 2 ， 1) ．
五点作图法
五点作图法
列表：列出对图象形状起关键作用的五点坐标．
描点：定出五个关键点．
连线：用光滑的曲线顺次连结五个点．
例用“五点法”画出下列函数在区间[0，2π]的简图。 (1)y=-sin x; (2)y=1+sin x.

正弦函数的图像和性质

正弦函数的图像和性质班级：姓名：一、基本知识复习：1、用单位圆中的正弦线作正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象（几何法）：把y=sinx，x∈[0，2π]的图象，沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx，x∈R叫做正弦曲线2．用五点法作正弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点分别是：，，，，3.正弦函数性质：(1)定义域：正弦函数的定义域是(2)值域因为正弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以｜sinx｜≤1，即－1≤sinx≤1，也就是说，正弦函数的值域是①当且仅当x＝时，取得最大值②当且仅当x＝时，取得最小值(3)周期性由sin(x＋2kπ)＝sinx，知：正弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的正弦函数是周期函数，都是它的周期，最小正周期是(4)奇偶性由sin(－x)＝－sinx 可知：y＝sinx为函数，正弦曲线关于对称(5)单调性正弦函数在每一个闭区间都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间上都是减函数，其值从1减小到－1二、习题练习：1求使下列函数取得最大和最小值及对应的x 的取值。

(1)x y 2sin =(2)2sin +=x y(3)2)1(sin 2+-=x y2.求下列函数的最大值和最小值。

⑴⑵y=3+2sin(2x+3π) ⑶ y=2sinx(2x+ 3π) (66x ππ-≤≤) 3.若函数sin(3)6y a b x π=-+的最大值为23，最小值为21-，则=a __，=b ＿ 4.不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0； ⑴)10sin()18sin(ππ---； ⑵)417cos()523cos(ππ--- 5.求下列函数的定义域⑴⑵216sin lg x x y -+= (3) =x sin 11+ 6.函数值域是|sin |sin x x y -=( )(A)[－1，0] (B) [0,1] (C) [－1，1] (D) [－2，0]7.求下列三角函数的周期：（1）x y 2sin = （2）12sin()26y x π=-，x R ∈．（3） y=sin(x+3π) （4）y=3sin(2x +5π) 8.求下列函数的单调递增区间 ⑴)23sin(2x y -=π⑵y=sin(2x+4π) 9.函数b x a y +=sin 的最大值为1，最小值为－3，试确定)3sin()(π+=ax b x f 的单调递增区间.。

正弦函数的图像性质

π 2
π
3π 2
2π
x
π x x x 2kπ, k Z 时，y max 2 (sin x) max 2 1 3, 2 π x x x 2kπ, k Z 时，y min 2 (sin x) min 2 1 1. 2
T 2π.
周期的概念
一般地，对于函数 f (x)，如果存在一个非零常数 T ，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有 f ( x＋T )＝ f (x)，那么函数 f (x) 就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期．
对于一个周期函数，如果在它的所有周期中
存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做它的最小正周期．
例 3 不通过求值，比较下列各对函数值的大小： π π 3π ． (1) sin( ) 和sin( )； (2) sin 2 π 和 sin 4 18 3 10
π π π π 解 (1) 因为＜＜＜， 2 10 18 2 π π 且 y ＝sin x 在 [ ， ] 上是增函数． 2 2
所以 (2) 因为
π π sin( )＜sin( ) ． 10 18
π 2π 3π ＜＜＜π ， 2 3 4 π 且 y ＝sin x 在 [ ，π ] 上是减函数， 2
所以 sin 2 π ＞ sin 3 π ． 3 4
教材P154，练习 A 组第 3、4、5 题；
练习 B 组．
1
-3

5π 2
-2

3π 2
-

π 2
o
-1
π 2
x

3π 2
2
5π 2
3
7π 2