数理方程课件6-1

由于t为任意时刻，这说明观察者在运动过程中随时可看到相同的波 形，说明波形和观察者一样，以速度a沿x轴的正向传播。
所以 ( x at ) 代表以速度a沿x轴的正向传播的波，称为正行 波。而第一项 ( x at ) 则代表以速度a沿x轴的负向传播的波， 称为反行波。正行波和反行波的叠加（相加）就给出弦的位移。
r 0 __
__
u (0, t ) u ( M , t )
__
经过推导，可得 u ( r , t ) 满足的微分方程：
[ r u ( r , t )]
2
__
__
t
2
a
2
( r u ( r , t ))
2
__
r 2
这是一个关于
r u ( r , t ) 的一维波动方程，它的通解为：
___
___

2 ar
1
r at
r at
1 ( ) d
___
令
__
r 0 利用L’Hospital（洛必塔）法则得到：
___ ___ ___
___ 1 ___ u (0, t ) 0 ( at ) at 0 ( at ) t 1 ( at ) ( at ) 0 ( at ) t 1 ( at ) a t 0 ( x sin cos , y sin sin , z cos , t ) 1 ( at ) 2 sin d d 4 a t S M at at 1 ( x sin cos , y sin sin , z cos , t ) t ( at ) 2 sin d d 4 S M ( at ) 2
dS d 是球面 S r 上点的坐标， 是 S r 上的面积元素。 是单位球面上的面 积元素。
M
在球坐标系中，d sin d d 显然有
dS r 2 d
__
由平均值 u ( r , t ) 的定义和u的连续性可知，
lim u ( r , t ) u ( M , t )
__
___
___

2 ar
__
1
r at
r at
1 ( ) d
___
__
将 u ( r , t ) 拓广到r<0的范围内，并且使 u ( r , t ) u ( r , t ) 。
__
即 u ( r , t ) 是偶函数。
同理， 0 ( r ) 与 1 ( r ) 也是偶函数。
由此可见第一项也是反行波，第二项也是正行波，正、反行波的 叠加（相减）给出弦的位移。
综上所述，D’Alembert解表示正行波和反行波的叠加。

例1 求解下列初值问题
utt a 2u xx 0 u ( x, t ) |t 0 cos x,
解： 本题中
x , t 0
§ 6.2.2 三维波动方程的Possion公式

对于一般的非对称情况，我们不直接考虑函数u本身，而 是考虑u在以M(x,y,z)为球心、以r为半径的球面上的平均 值，则这个平均值当x,y,z暂时固定之后就只与r,t有关了。
这个平均值可以写成：
__
u (r , t )
1 4 r
2
S rM
u ( , , , t ) dS 4 u ( , , , t ) d
第六章 行波法与积分变换 法
李莉 lili66@

求解定解问题


分离变量法——求解有限区域内定解问题：解的区 域比较规则（其边界在某种坐标系中的方程能用若 干个只含有一个坐标变量的方程表示） 行波法——求解无界区域内波动方程的定解问题 积分变换法——不受方程类型的限制，主要用于无 界区域，但对有界M ( x, y , z ) 为中心、以r为半径的球面；
S1M 表示r=1的单位球面。
__
u (r , t )
1 4 r
2
S rM
u ( , , , t ) dS 4 u ( , , , t ) d
S1M
M
1
x r sin cos , y r sin sin , z r cos ,
（6.1.6）
式（6.1.6）就是方程（6.1.1）的通解。 在具体问题中，我们并不满足于求通解，还要确定函数 f1 与 f 2 的具体形式。 为此，必须考虑定解条件。
下面我们来讨论无限长弦的自由横振动。设弦的初始状态为已知。
2u 2u a2 2 2 t x u t 0 ( x ),
（6.1.8）
a f1 ( x ) a f 2 ( x ) ( x ) （6.1.9）
式（6.1.9）两端对
x 积分一次，得：
1
f1 ( x ) f 2 ( x )
( )d C a
0
x
（6.1.10）
由式（6.1.8）与式（6.1.10）解出 f1 ( x ), f 2 ( x )
ut ( x, t ) |t 0 e 1.
( x ) e 1 ,
( x ) cos x,
直接应用D’Alembert 公式，有：
u ( x, t )
1 2
cos( x at ) cos( x at )
1 2a

x at x at
e 1d
f ( ) d f
2
( ) f1 ( x at ) f 2 ( x at )
（6.1.6）
其中 f1 , f 2 都是任意二次连续可微函数。
u ( x, t )
f ( ) d f
2
( ) f1 ( x at ) f 2 ( x at )
当u不依赖于
, 时，这个方程可简化为：
1 2 u 1 2 u r 2 2 2 r r r a t
或写成
r
2u r
2
2
u r

r 2u a 2 t 2
r
2u r
2
2
u r

r 2u a 2 t 2
r 2u r
2
u t
1 ( x , y , z ).
这个定解问题仍可用行波法来解，不过由于坐标变量有三个，不能直 接利用§6.1节中所得到的通解公式。下面先考虑一个特例。
§ 6.2.1 三维波动方程的球对称解

球对称：u与 , 都无关。
在球坐标系中，三维波动方程为：
1 2 u 1 u 1 2u 1 2u 2 2 r 2 sin 2 2 2 2 r r r r sin r sin a t
§6.1 一维波动方程的D’Alember(达朗 贝尔)公式

就一维波动方程建立通解公式
2u t
2
一维波动方程：
a
2
2u x
2
(6.1.1)
作如下的变换： x at
x at
u x
(6.1.2)
利用复合函数微分法则有：

u x

u x
r u (r , t ) f1 (r at ) f 2 (r at )
__
其中 f1 , f 2 是两个二次连续可微的任意函数。 由初始条件定得：
1 ___ 1 a ___ f1 ( r ) r 0 ( r ) 1 ( ) d C 2 a 0
(6.1.3)
2u
2u 2u 2u a 2 2 2 t 2
2
(6.1.4)
（6.1.1)化为：
2u
0
u
（6.1.5）
将式（6.1.5）对
积分，得：
f ( )
再将此式对 积分，得：
u ( x, t )
2
u r

1 2 ( ru ) a2 t 2
2 ( ru ) r
2

1 2 ( ru ) a2 t 2
这是关于ru的一维波动方程，其通解为：
ru f1 ( r at ) f 2 ( r at )
或
u (r , t )
f1 ( r at ) f 2 ( r at ) r
1 ___ 1 a ___ f 2 ( r ) r 0 ( r ) 1 ( ) d C 2 a 0
于是
__
u (r , t )
( r at ) 0 ( r at ) ( r at ) 0 ( r at ) 2r
f1 ( x )
1 2 1
( x)
f 2 ( x)
2
( x)
2 a 0 1 x
0
1
x
( ) d
C 2 C
( )d 2 2a
把确定出来的 f1 ( x ), f 2 ( x ) 代回到式（6.1.6）中，即得到方程（6.1.1）在 条件（6.1.7）下的解： 1 1 x at u ( x, t ) [ ( x at ) ( x at )] x at ( )d （6.1.11） 2 2a

u

u
(6.1.3)
2u
u u u u 2 u 2u 2u 2 2 2 x x x 2