弧长和扇形面积的计算技巧----扇形面积
弧长和扇形面积公式

弧长和扇形面积公式在几何学中,弧长和扇形面积是与圆形和圆的扇形相关的重要概念和计算方法。
这些公式可以用于解决许多几何问题,例如计算圆的周长、计算弧长和扇形的面积等。
本文将详细介绍关于弧长和扇形面积的公式及其推导过程。
首先,我们先来介绍一下什么是圆和圆的扇形。
圆是一个平面上所有点到一个固定点的距离都相等的图形。
而圆的扇形则是由半径为r的圆上的一段弧和两条半径所围成的图形。
1.弧长公式:弧长是圆上一段弧的长度,由于圆在数学上具有无限个点,所以我们可以定义一个角度来度量弧长。
我们知道圆的一周是360度,因此弧长的度量可以用度数或弧度来表示。
当我们用度数来度量弧长时,弧长和弧度的关系可以由以下公式得到:弧长=弧度×半径该公式是通过比较整个圆的周长与360度的比例得到的。
当我们用弧度来度量弧长时,弧度的定义是:圆的半径等于半径所对应的弧长的度数。
因此,当我们用弧度来度量弧长时,直接使用半径和弧度的乘积即可表示弧长。
2.扇形面积公式:扇形是由圆心、圆上一段弧和两条半径所围成的图形。
扇形的面积就是扇形所覆盖的圆的面积。
扇形面积可以由以下公式得到:扇形面积=(弧度÷2π)×πr²该公式是通过将圆的面积与圆的周长的比例乘以扇形所对应的弧长所得到的。
推导过程如下:假设圆的半径为r,圆心角为θ度,则该圆心角所对应的弧长为:弧长=(θ÷360)×2πr由于扇形是由半径为r的圆上一段弧和两条半径所围成的,所以扇形的面积可以表示为:扇形面积=(θ÷360)×πr²化简得到:扇形面积=(θ÷2π)×πr²将弧度用θ表示,得到最终的扇形面积公式:扇形面积=(弧度÷2π)×πr²需要注意的是,使用上述公式计算扇形面积时,角度必须使用弧度表示。
如果给出的是度数,则需将角度转换为弧度后再进行计算。
24.4弧长和扇形面积--4.1 弧长公式和扇形面积公式(共27张PPT)

和
所围成的图形叫做扇形,可
以发现,扇形面积与组成扇形的圆心角
的大小有关,圆心角越大,扇形面积也
就越大.
怎样计算圆半径为R,圆心角为n°的扇形面积呢?
12
知识点二:与扇形面积有关的计算
新知探究
由扇形的定义可知,扇形面积就是 圆面积的一部分.
想一想,如何计算圆的面积? S=πR2
圆面积可以看作是多少度的圆心角所对的 扇形的面积?
O · 1°
n°
R
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知识点二:与扇形面积有关的计算
归纳总结
圆心角为n°的扇形面积是:
比较扇形面积与弧长公式, 用弧长表示扇形面积:
l=
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知识点二:与扇形面积有关的计算
典例讲评
如图,水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm, 其中水面高0.3cm,求截面上有水部分的面积.
解析:弓形的面积 = S扇 - S△OAB
【解析】由弧长公式,可得弧AB的长
l
(mm)
因此所要求的展直长度
l
(mm)
答:管道的展直长度为2970mm.
7
知识点一:与弧长有关的计算
学以致用
1.如图,A,B,C是圆周上的三点, ∠BAC=30°,且弧BC的长是 π, ⊙O的半径为( A )
A.1 B.2 C.1.5 D.3 2.如图,在边长为1的正方形组成的网 格中,△ABC的顶点都在格点上,将 △ABC绕点C顺时针旋转60°,则顶点 A所经过的路径长为( C ) A.10π B. C. π D.π
形的面积是
㎝2.
解析:设扇形的半径为R,根据题意得
135πR 180
Байду номын сангаас
=3π
弧长和扇形面积公式

A
D
B
C
这节课你有什么收获?
一、弧长的计算公式
n R l 180
二、扇形面积计算公式
n 1 2 s R 或 s lR 360 2
布置作业
P114 第1、5题
解:
n r 50 l = 3 cm 180
50 cm 答:此圆弧的长度为 3
n R l 180
1、弧长与哪些因素有关?
2、在3个量l、R、n中,只要已知其中两
个量就可以求第三个量,那么请将公式变
形求出R和n。
180 l R n
180 l n R
巩固深化(一)
1.已知弧所对的圆心角为900,半径是4,则弧 长为 2π 。 2. 已知一条弧的半径为9,弧长为8π,那么这 条弧所对的圆心角为 1600 。 3、已知一条弧的弧长为4π ,那么这条弧所对 的圆周角为450 ,这条弧所在的半径 8 。 4. 钟表的轴心到分针针端的长为5cm,那么经过 40分钟,分针针端转过的弧长是( B )
4 3、已知半径为2cm的扇形,其弧长为 3 4 3 则这个扇形的面积,S扇形=——.
,
再
探
例1 如图,圆心角为60°的扇形的半径为 10厘米,求这个扇形的面积和周 长.(π ≈3.14)
解:因为n=60°,r=10厘米,所以扇形面积为 nr 2 60 3.14 10 2 S ≈52.33(平方厘米); 360 360 扇形的周长为 nr 60 3.14 10 l 2r 20 180 180 ≈ 30.47(厘米)。
S 扇形
nR 360
2
若设⊙O半径为R, n°的 圆心角所对的扇形面积为S, A 则 2
S 扇形
弧长及扇形面积计算公式

弧长及扇形面积计算公式弧长计算公式:弧长是圆的一部分的弧所占据的长度。
弧长的计算公式如下:1.当弧是圆的整个周长的一部分时:弧长=圆的周长×(弧所占的角度÷360°)2.当弧的角度已知时:弧长=(圆的周长×弧的角度)÷360°3.当弧的度数已知时:弧长=(2π×弧的度数)÷360°注意:在计算弧长时,角度的度数要用度制,不要用弧度制。
扇形面积计算公式:扇形是由圆心和弧所围成的部分,计算扇形的面积需要知道扇形的半径和对应的弧度。
1.当扇形的角度已知时:扇形面积=(π×半径²×扇形的角度)÷360°2.当扇形的弧度已知时:扇形面积=(半径²×扇形的弧度)÷2注意:在计算扇形面积时,角度的度数要用度制,不要用弧度制。
示例问题:1. 如果一个圆的半径为10 cm,计算它的弧长和扇形面积,其中扇形的角度为60°。
解:对于弧长,使用公式弧长=(圆的周长×弧所占的角度)÷360°,得到弧长= (2π × 10 cm × 60°) ÷ 360° = 20π cm ≈ 62.83 cm 对于扇形面积,使用公式扇形面积=(π×半径²×扇形的角度)÷360°,得到扇形面积= (π × 10 cm² × 60°) ÷ 360° ≈ 5.24π cm² ≈ 16.42 cm²所以,该圆的弧长为约62.83 cm,扇形面积为约16.42 cm²。
2. 如果一个扇形的半径为8 m,计算它的弧长和扇形面积,其中扇形的弧度为2.5 rad。
弧长公式扇形面积公式

弧长公式扇形面积公式
弧长公式扇形面积公式如下:
弧长公式:圆心角度数乘以π乘以半径除以180等于弧长。
扇形面积公式:扇形的弧长乘以扇形的半径最后除以二等于扇形的面积。
公式,在数学、物理学、化学、生物学等自然科学中用数学符号表示几个量之间关系的式子,具有普遍性,适合于同类关系的所有问题。
在数理逻辑中,公式是表达命题的形式语法对象,除了这个命题可能依赖于这个公式的自由变量的值之外。
扇形是与圆形有关的一种重要图形,其面积与圆心角(顶角)、圆半径,圆心角相关;半径为R,圆心角为n°。
弧长扇形面积弦长公式

弧长扇形面积弦长公式弧长扇形面积弦长公式是用来计算扇形的弧长、面积和弦长的数学公式。
扇形是一个由一条弧线和两条半径组成的几何图形,常见于圆形的分割和划分。
弧长扇形面积弦长公式的推导基于圆的性质和几何关系,是解决与扇形有关问题的重要工具。
一、弧长公式弧长是扇形弧线的长度,可以通过角度和半径来计算。
假设扇形的半径为r,角度为θ度(θ≤360度),则扇形的弧长L可以用以下公式表示:L = (θ/360) × 2πr其中2πr是圆的周长,θ/360表示扇形所占据的角度比例。
二、扇形面积公式扇形的面积是扇形所包围的圆心角对应的圆的面积。
扇形的面积S 可以用以下公式表示:S = (θ/360) × πr²其中2πr²是圆的面积,θ/360表示扇形所占据的角度比例。
三、弦长公式弦是连接扇形两个端点的线段,弦的长度可以通过扇形的半径和角度来计算。
假设扇形的半径为r,角度为θ度(θ≤180度),则扇形的弦长C可以用以下公式表示:C = 2r × sin(θ/2)其中sin(θ/2)是半角的正弦值,乘以2r表示半径的长度。
这三个公式在解决与扇形有关的几何问题时非常实用。
例如,可以利用弧长公式计算扇形的长度,或者利用扇形面积公式计算扇形的面积。
弦长公式则可用于确定扇形的弦的长度。
总结:弧长扇形面积弦长公式是解决与扇形有关问题的重要工具,通过角度和半径的关系来计算扇形的弧长、面积和弦长。
在实际应用中,可以根据具体的问题使用相应的公式来求解,将几何问题转化为数学计算问题,提高解题的准确性和效率。
弧长和扇形的计算

弧长和扇形的计算在几何学中,弧长和扇形的计算是基本的数学概念,广泛应用于各个领域。
弧长指的是圆或圆弧上的一段弧所对应的长度,而扇形是由一条圆弧和两条半径组成的区域。
本文将介绍弧长和扇形的计算方法。
一、弧长的计算弧长的计算公式是:L = 2πr (θ/360)其中,L表示弧长,r表示半径,θ表示所对应的圆心角的度数。
例如,如果有一个半径为5cm的圆弧,所对应的圆心角为60度,那么弧长可以通过公式计算如下:L = 2π(5) (60/360) = 10π/6 ≈ 5.24cm。
二、扇形的计算扇形的计算包括计算扇形的面积和周长。
1. 扇形的面积计算扇形的面积计算公式为:A = (θ/360) πr²其中,A表示扇形的面积,θ表示所对应的圆心角的度数,r表示半径。
例如,如果有一个半径为8cm的扇形,所对应的圆心角为120度,那么扇形的面积可以通过公式计算如下:A = (120/360) π(8)² = 2/3π(64) = 42.67cm²。
2. 扇形的周长计算扇形的周长计算公式为:C = 2r + L其中,C表示扇形的周长,r表示半径,L表示弧长。
例如,如果有一个半径为6cm的扇形,所对应的圆心角为90度,那么扇形的周长可以通过公式计算如下:C = 2(6) + 2π(6) (90/360) = 12 + 3π ≈ 21.42cm。
三、实际应用弧长和扇形的计算在实际生活和工作中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用示例:1. 圆的周长和面积计算:通过计算圆的周长和面积,可以应用于建筑设计、土木工程等领域。
2. 扇形场地面积计算:如校园操场、广场等扇形场地的面积计算,可以帮助规划场地的使用和管理。
3. 弓字形道路设计:在交通规划中,弓字形道路的设计通常需要计算弧长和扇形面积,以确保交通流畅和道路安全。
4. 扇形舞台设计:在舞台设计中,根据需要确定扇形舞台的大小和曲线,从而计算出舞台的周长和面积。
弧长与面积公式

弧长与面积公式一、引言在几何学中,弧长与面积是两个重要的概念。
弧长是指圆周上的一段弧所对应的长度,而面积是指平面上的一个图形所占据的空间。
弧长与面积的计算公式是我们学习几何学的基础知识之一。
本文将介绍弧长与面积的计算公式,并通过一些例子加深理解。
二、弧长的计算公式1. 圆的弧长对于一个圆,其弧长可以通过圆的半径和圆心角来计算。
圆心角是指圆上两条半径之间的夹角。
当圆心角为θ时,弧长L可以通过以下公式计算:L = θ * r其中,L表示弧长,θ表示圆心角的度数,r表示圆的半径。
2. 扇形的弧长扇形是由圆弧和两条半径组成的图形。
当我们知道扇形的圆心角和半径时,可以通过以下公式计算扇形的弧长:L = (θ / 360) * 2πr其中,L表示扇形的弧长,θ表示扇形的圆心角的度数,r表示扇形的半径。
3. 弓形的弧长弓形是由圆弧和一条弦组成的图形。
当我们知道弓形的圆心角和弦的长度时,可以通过以下公式计算弓形的弧长:L = 2r * sin(θ / 2)其中,L表示弓形的弧长,r表示弓形的半径,θ表示弓形的圆心角的度数。
三、面积的计算公式1. 圆的面积圆的面积可以通过圆的半径来计算。
圆的面积公式如下:S = π * r^2其中,S表示圆的面积,r表示圆的半径,π是一个常数,约等于3.14。
2. 扇形的面积扇形的面积是由扇形的圆心角和半径决定的。
扇形的面积公式如下:S = (θ / 360) * π * r^2其中,S表示扇形的面积,θ表示扇形的圆心角的度数,r表示扇形的半径,π是一个常数,约等于3.14。
3. 弓形的面积弓形的面积是由弓形的圆心角、半径和弦的长度决定的。
弓形的面积公式如下:S = (θ / 360) * π * r^2 - 1/2 * r^2 * sin(θ)其中,S表示弓形的面积,θ表示弓形的圆心角的度数,r表示弓形的半径,π是一个常数,约等于3.14。
四、例子1. 弧长的例子假设一个圆的半径为5cm,圆心角为60度,我们可以使用圆的弧长公式来计算弧长:L = 60 * 5 = 300cm因此,该圆的弧长为300cm。
弧长和扇形面积(公开课)课件

在电磁学中,弧长和扇形面积可以用 于计算带电粒子在磁场中运动的轨迹 长度和角度,进而研究电磁场的变化 。
在日常生活中的应用
建筑学
在建筑学中,弧长和扇形面积可以用 于计算各种形状的建筑物的表面积、 体积等参数,进而进行建筑设计、施 工和预算等工作。
艺术
在艺术领域中,弧长和扇形面积可以 用于设计各种形状的艺术作品,例如 雕塑、绘画等,使作品更加美观、协 调。
圆心角与弧长的关系
通过弧长公式可以看出,圆心角越大 ,弧长越长。
弧长计算的实例
实例1
一个圆的半径为5cm,圆 心角为60°,求弧长。
实例2
一个圆的半径为8cm,圆 心角为90°,求弧长。
实例3
一个圆的半径为10cm,圆 心角为120°,求弧长。
03
扇形面积的计算方法
扇形面积公式
总结词
扇形面积公式是计算扇形面积的关键公式,它基于圆的面积 和圆心角。
02
弧长的计算公式:对于半径为r的 圆,其对应的圆心角为θ(以弧度 为单位),弧长l可以通过公式 l=rθ计算得出。
扇形面积的定义
扇形面积是指由圆心角和半径确定的 扇形区域的面积,通常用字母"A"表 示。
扇形面积的计算公式:对于半径为r的 圆,其对应的圆心角为θ(以弧度为单 位),扇形面积A可以通过公式 A=(θ/2π)×πr²计算得出。
详细描述
扇形面积公式为 (S = frac{1}{2} r^2 (θ)),其中 (S) 是扇形面 积,(r) 是半径,(θ) 是圆心角(以弧度为单位)。这个公式 是计算扇形面积的基础,通过它可以将扇形的面积与半径和 圆心角联系起来。
扇形面积公式的应用
总结词
弧长公式扇形面积公式弧度制

弧长公式扇形面积公式弧度制摘要:I.引言- 介绍弧长公式和扇形面积公式- 说明弧度制的重要性II.弧长公式- 定义弧长- 弧长公式推导- 举例说明弧长公式的应用III.扇形面积公式- 定义扇形面积- 扇形面积公式推导- 举例说明扇形面积公式的应用IV.弧度制- 定义弧度制- 弧度制与角度制的转换- 弧度制的优点V.总结- 回顾弧长公式、扇形面积公式和弧度制- 强调弧度制在数学和物理中的重要性正文:I.引言在数学和物理学中,弧长公式和扇形面积公式是经常用到的两个公式。
它们在解决许多问题时都非常有用,而弧度制是这两个公式的基础。
本文将详细介绍弧长公式、扇形面积公式以及弧度制。
II.弧长公式弧长是指圆周上的一段弧所对应的长度。
弧长公式描述了圆弧长度的计算方法,公式如下:L = rθ其中,L 表示弧长,r 表示圆的半径,θ 表示圆心角的弧度数。
以一个半径为5 的圆为例,圆心角为60 度,我们可以使用弧长公式计算弧长:L = 5 × (60/180)π ≈ 5π/3因此,这个圆弧的长度约为5π/3。
III.扇形面积公式扇形面积是指圆周上的一段弧所对应的扇形区域的面积。
扇形面积公式描述了扇形面积的计算方法,公式如下:S = (θ/360)πr其中,S 表示扇形面积,θ 表示圆心角的弧度数,r 表示圆的半径。
以一个半径为5 的圆为例,圆心角为60 度,我们可以使用扇形面积公式计算扇形面积:S = (60/360)π(5) ≈ 25π/6因此,这个扇形的面积约为25π/6。
IV.弧度制弧度制是一种以弧长为单位的度量制度,它以圆的半径为基准。
弧度制的定义是:一个圆的弧长等于半径长的弧度数。
弧度数可以用角度制转换得到,公式如下:弧度数= 角度制× π/180以一个圆心角为60 度的扇形为例,我们可以将其转换为弧度制:弧度数= 60 × π/180 ≈ π/3因此,这个扇形的弧度数为π/3。
九年级上册数学《圆》弧长和扇形面积-知识点整理

弧长和扇形面积一、本节学习指导本节中我们巩固几个公式,都比较复杂,我们需要用心记忆。
对于弦切角定理,切割线定理一定要先理解,总结中都有配图说明,希望能借此帮助大家理解。
二、知识要点1、弧长公式n °的圆心角所对的弧长l 的计算公式为180rn l π=2、扇形面积公式lR R n S 213602==π扇,其中n 是扇形的圆心角度数,R 是扇形的半径,l 是扇形的弧长。
3、圆锥的侧面积rl r l S ππ=•=221,其中l 是圆锥的母线长,r 是圆锥的地面半径。
4、弦切角定理弦切角:圆的切线与经过切点的弦所夹的角,叫做弦切角。
弦切角定理:弦切角等于弦与切线夹的弧所对的圆周角。
如下图,切线AB 和弦AC 的夹角∠2等于弧AC 所对的圆周角,即:∠BAC=∠ADC5、切割线定理PA 为⊙O 切线,PBC 为⊙O 割线, 则PC PB PA •=2例:(2004•宿迁)如图,OA 和OB 是⊙O 的半径,并且OA⊥OB,P 是OA 上任一点,BP 的延长线交⊙O 于点Q ,过点Q 的⊙O 的切线交OA 延长线于点R . (Ⅰ)求证:RP=RQ ; (Ⅱ)若OP=PA=1,试求PQ 的长解: (1)证明: 连接OQ∵RQ 是⊙O 的切线, ∴∠OQB+∠BQR=90° ∵OA ⊥OB , ∴∠OPB+∠B=90° 又∵OB=OQ , ∴∠OQB=∠B ∴∠PQR=∠BPO=∠RPQ ∴RP=RQ(2)作直径AC ∵OP=PA=1 ∴PC=3 由勾股定理,得BP=22125+=由相交弦定理,得PQ•PB=PA•PC 即PQ×5=1×3∴PQ=355三、经验之谈:上面这个例题是对弦切角的运用,也考察了同学们的综合解题能力。
这种题涉及的知识点很广,因此需要我们大量的经验,平时一定要多练习。
尤其是初三我们要多练习这种综合类型的题目,达到把零碎的知识系统穿透起来。
扇形的面积弧长半径2的公式推导与原理

扇形的面积=弧长×半径÷2的公式,是几何图形中比较重要的一个公式,其原理也比
较容易理解,这里就给大家讲解一下其的推导过程与原理。
首先,我们来看一下其的推导过程:以圆形为例,一个圆形的弧长为2πr,其中r为
半径,那么一个圆形的面积就是πr^2;而一个扇形的面积,就是一个圆形的面积减去一
个三角形的面积,即πr^2- r^2/2 ×θ/2,即πr^2- r^2θ/4,可得扇形的面积=πr^2- r^2θ/4,其中θ为弧度,将θ转化为弧长,即θ=2πr/2,得到扇形的面积=πr^2- r×2πr/2,即扇形
的面积=弧长×半径÷2。
再来讲解一下其的原理:扇形的面积=弧长×半径÷2,其实就是一种把一个圆形分割成两部分的结论,即一个圆形分割成一个扇形和一个三角形,而这个三角形的面积为半径×
弧长÷2,所以扇形的面积就等于圆形的面积减去三角形的面积,即扇形的面积=弧长×半径÷2。
以上就是关于扇形的面积=弧长×半径÷2的公式推导与原理的介绍,希望大家能够通
过以上的讲解,更好的理解这个公式,从而更好的完成有关的计算。
扇形的周长公式和面积公式

扇形的周长公式和面积公式扇形是一种有弧和两条半径组成的特殊图形,它可以用来描述圆形的一部分。
在数学中,扇形的周长和面积可以通过一些公式来计算得出。
首先,我们来看扇形的周长公式。
周长是指围绕着图形的一条封闭曲线的长度。
对于扇形来说,周长即为扇形的弧长加上两条半径的长度之和。
设扇形的半径为r,圆心角为θ(单位为弧度)。
扇形的弧长可以通过弧长公式得到:l=rθ接下来,我们来看扇形的面积公式。
面积是指图形所占据的平面区域的大小。
对于扇形来说,面积即为扇形弧所对的圆内扇形所夹的区域的面积。
扇形的面积可以通过求解扇形弧和两条半径组成的三角形的面积之和来得到。
设扇形的半径为r,圆心角为θ(单位为弧度)。
扇形的弧所对的圆心角可以计算得出:α=θ/2扇形的弧所对的圆的半径可以计算得出:R = 2r * sin(α)扇形的面积可以计算得出:A = (1/2) * θ * R^2 = (1/2) * θ * (2r * sin(α))^2 = (1/2) * r^2 * θ * 4 * sin^2(θ/2) = r^2 *(θ/2 - sin(θ/2))总结扇形的周长公式和面积公式如下:周长公式:C=r(θ+2)面积公式:A = r^2 * (θ/2 - sin(θ/2))这两个公式可以在解决相关问题时非常有用。
假设我们有一个半径为5cm的扇形,圆心角为60度(即1弧度),我们可以用这两个公式来计算周长和面积。
周长公式中,r=5cm,θ=1弧度,带入公式可以得到C = 5(1 + 2) = 15cm。
因此,该扇形的周长为15cm。
面积公式中,r=5cm,θ=1弧度,带入公式可以得到A = 5^2 * (1/2 - sin(1/2)) = 25 * (1/2 - sin(1/2)) cm^2、因此,该扇形的面积约为25 * (1/2 - sin(1/2))平方厘米。
总而言之,扇形的周长和面积可以通过特定的公式来计算得出。
高三复习-扇形的面积公式

扇形的面积公式
S=LR/2。
公式描述:公式中L为扇形的弧长,R为扇形的半径,S 为扇形的面积。
一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形(半圆与直径的组合也是扇形)。
显然,它是由圆周的一部分与它所对应的圆心角围成。
扇形面积计算公式也可以用扇形所在圆的面积除以360再乘以扇形圆心角的角度n,如下:S=nπr²/360;
扇形面积S=圆心角的角度(角度制)×圆周率π3.14×半径r²/360°
S=LR/2(L为弧长,R为扇形半径)
扇形面积S=弧长L×半径/2
推导过程:S=πR²×L/2πR=LR/2或者S=nπR²/360=(nπR/180)/2×r
扇形面积S=圆周率π3.14×半径r²×弧长L/2×圆周率π3.14×半径=弧长L×半径/2
S=│α│R²/2(L=│α│·R)
(弧度制)循环链条扇形面积计算公式:
扇形面积S=圆心弧度绝对值|a|×半径r²/2
圆心弧度绝对值|a|=扇形面积S×2/半径r²
弧长L=圆心弧度绝对值|a|×半径r
扇形面积S=弧长L×半径r/2
扇形组成部分1、圆上A、B两点之间的的部分叫做“圆弧”简称“弧”,
读作“圆弧AB”或“弧AB”。
2、以圆心为中心点的角叫做“圆心角”。
3、有一种统计图就是“扇形统计图。
扇形面积公式三种

扇形面积公式三种
扇形是圆的一部分,由圆心和圆周上两点连成的弧线所围成的图形。
下面将详细介绍三种计算扇形面积的公式。
1.使用圆的面积公式计算扇形面积:
扇形的面积可以通过计算圆的面积然后乘以扇形的弧度比来得到。
假设R表示圆的半径,θ表示扇形对应的圆心角的弧度数:
扇形面积=圆的面积×(θ/2π)
圆的面积公式为:
圆的面积=π×R²
将圆的面积代入扇形面积公式中:
扇形面积=π×R²×(θ/2π)
经过简化,得到:
扇形面积=R²×(θ/2)
2.使用弧长和半径计算扇形面积:
扇形的面积也可以通过计算弧长和半径的乘积来得到。
假设L表示弧长,R表示圆的半径,那么扇形的面积可以表示为:
扇形面积=(L×R)/2
根据弧长的计算公式(L=R×θ),可以推导得到:
扇形面积=(R×θ×R)/2
经过简化,得到:
扇形面积=R²×(θ/2)
3.使用圆心角和半径计算扇形面积:
扇形的面积还可以通过圆心角和半径的乘积来计算。
假设R表示圆的半径,θ表示扇形对应的圆心角的度数:
扇形面积=(π×R²×θ)/360
这个公式的基本思想是将圆心角的度数转换为弧度,然后通过计算圆的面积(π×R²)与圆心角的弧度比(θ/360)的乘积得到扇形的面积。
需要注意的是,在使用这三种公式计算扇形面积时,圆心角的单位应为弧度或度数,通过换算可以相互转换。
另外,在计算时要注意保留足够的位数,以避免结果的误差。
数学扇形面积公式

数学扇形面积公式扇形面积计算公式:1.S扇=(n/360)πR²,2.S扇=1/2lr(知道弧长时),3.S扇=(1/2)θR²(θ为以弧度表示的圆心角),4.S扇=(lR)/2(l为扇形弧长)。
R是扇形半径,n是弧所对圆心角度数,π是圆周率。
注:π为圆周率约等于3.1415926535一般取3.14。
1.扇形的面积可以用圆的面积乘以弧度角和2π的比值。
2.如果用L来表示扇形的弧长,A可以通过L乘以总面积再除以2πr。
3.弧长公式:n是圆心角度数,r是半径,α是圆心角弧度。
l=nπr÷180或l=n/180·πr或l=|α|r在半径是R的圆中,因为360°的圆心角所对的弧长就等于圆周长C=2πR,所以n°圆心角所对的弧长为l=n°πR÷180°。
4.扇形是与圆形有关的一种重要图形,其面积与圆心角(顶角)、圆半径相关,圆心角为n°,半径为r的扇形面积为n/360*πr^2。
如果其顶角采用弧度单位,则可简化为1/2×弧长×(半径)。
5.扇形还与三角形有相似之处,上述简化的面积公式亦可看成:1/2×弧长×(半径),与三角形面积:1/2×底×高相似。
6.一条圆弧和经过这条圆弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形。
显然,它是由圆周的一部分与它所对应的圆心角围成。
《几何原本》中这样定义扇形:由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形、弧长(L)=n/360·2πr=nπr/180,扇形的弧相似三角形的一条边。
扇形面积公式推导是:S扇=(lR)/2(l为扇形弧长)=(1/2)θR²(θ为以弧度表示的圆心角)。
扇形面积公式描述了扇形面积和圆心角(顶角)、半径、所对弧长的关系。
由定理“等半径的两个扇形的面积之比等于它们的弧长之比”,将圆看作扇形,利用弧长公式和圆的面积公式即可。
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1.求扇形面积【例1】(2015•湖州)如图,已知C ,D 是以AB 为直径的半圆周上的两点,O 是圆心,半径OA=2,∠COD=120°,则图中阴影部分的面积等于.【考点】扇形面积的计算.【分析】图中阴影部分的面积=半圆的面积﹣圆心角是120°的扇形的面积,根据扇形面积的计算公式计算即可求解.【解答】解:图中阴影部分的面积=π×22﹣=2π﹣π=π.答:图中阴影部分的面积等于π.故答案为:π.【点评】考查了扇形面积的计算,求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积. 2=360n R S 扇形1=2S lR 扇形练1(2012秋•潮南区校级期中)如图,依次以三角形、四边形、…、n 边形的各顶点为圆心画半径为l 的圆,且圆与圆之间两两不相交.把三角形与各圆重叠部分面积之和记为S 3,四边形与各圆重叠部分面积之和记为S4,….n边形与各圆重叠部分面积之和记为S n.则S2012的值为.(结果保留π)【考点】扇形面积的计算;三角形内角和定理;多边形内角与外角.【分析】根据题意可得出,重叠的每一部分是半径为1的扇形,圆心角是多边形的内角和,根据扇形的面积公式:S=进行计算即可.【解答】解:S3===π;S4==π;…S2012==1005π.故答案为1005π.【点评】本题考查了扇形面积的计算,以及多边形的内角和定理,解答本题的关键是通过图形得出,重叠的每一部分是半径为1的扇形,圆心角是多边形的内角和,难度一般.2.求弓形面积【例2】如图,AB为⊙O的切线,切点为B,连接AO,AO与⊙O交于点C,BD为⊙O的直径,连接CD.若∠A=30°,⊙O的半径为2,则图中阴影部分的面积为()A.﹣ B.﹣2 C.π﹣ D.﹣【考点】扇形面积的计算;切线的性质.【分析】过O点作OE⊥CD于E,首先根据切线的性质和直角三角形的性质可得∠AOB=60°,再根据平角的定义和三角形外角的性质可得∠COD=120°,∠OCD=∠ODC=30°,根据含30°的直角三角形的性质可得OE,CD的长,再根据阴影部分的面积=扇形OCD的面积﹣三角形OCD的面积,列式计算即可求解.【解答】解:过O点作OE⊥CD于E,∵AB为⊙O的切线,∴∠ABO=90°,∵∠A=30°,∴∠AOB=60°,∴∠COD=120°,∠OCD=∠ODC=30°,∵⊙O的半径为2,∴OE=1,CE=DE=,∴CD=2,∴图中阴影部分的面积为:﹣×2×1=π﹣.故选:A.【点评】考查了扇形面积的计算,切线的性质,本题关键是理解阴影部分的面积=扇形OCD的面积﹣三角形OCD的面积.练2(2015•福州校级质检)如图,AB为⊙O的直径,弦AC=2,∠B=30°,∠ACB的平分线交⊙O于点D,求:(1)BC、AD的长;(2)图中两阴影部分面积的和.【考点】扇形面积的计算;勾股定理;圆周角定理.【分析】(1)根据直径得出∠ACB=∠ADB=90°,根据勾股定理求出BC,根据圆周角定理求出AD=BD,求出AD即可;(2)根据三角形的面积公式,求出△AOC和△AOD的面积,再求出S扇形COD,即可求出答案.【解答】解:(1)∵AB是直径,∴∠ACB=∠ADB=90°(直径所对的圆周角是直角),在Rt△ABC中,∠B=30°,AC=2,∴AB=4,∴BC==2,∵∠ACB的平分线交⊙O于点D,∴∠DCA=∠BCD∴=,∴AD=BD,∴在Rt△ABD中,AD=BD=AB=2;(2)连接OC,OD,∵∠B=30°,∴∠AOC=∠2∠B=60°,∵OA=OB,∴S△AOC=S△ABC=××AC×BC=××2×2=,由(1)得∠AOD=90°,∴∠COD=150°,S△AOD=×AO×OD=×22=2,∴S阴影=S扇形COD﹣S△AOC﹣S△AOD=﹣﹣2=π﹣﹣2.【点评】本题考查了勾股定理、圆周角定理、三角形的面积等知识点的应用,关键是求出∠ACB=∠ADB=90°,题型较好,通过做此题,培养了学生运用定理进行推理的能力.3.求图形绕某点旋转后扫过的面积【例3】(2015•永州)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标(﹣2,0),△ABO是直角三角形,∠AOB=60°.现将Rt△ABO绕原点O按顺时针方向旋转到Rt△A′B′O的位置,则此时边OB扫过的面积为.【考点】扇形面积的计算;坐标与图形性质;旋转的性质.【分析】根据点A的坐标(﹣2,0),可得OA=2,再根据含30°的直角三角形的性质可得OB的长,再根据性质的性质和扇形的面积公式即可求解.【解答】解:∵点A的坐标(﹣2,0),∴OA=2,∵△ABO是直角三角形,∠AOB=60°,∴∠OAB=30°,∴OB=OA=1,∴边OB扫过的面积为:=π.故答案为:π.【点评】本题考查了扇形的面积公式:S=,其中n为扇形的圆心角的度数,R为圆的半径),或S=lR,l为扇形的弧长,R为半径.练3(2012•广东校级模拟)当汽车在雨天行驶时,司机为了看清楚道路,要启动前方挡风玻璃上的雨刷器.如图是某汽车的一个雨刷器的转动示意图,雨刷器杆AB与雨刷CD在B处固定连接(不能转动),当杆AB绕A点转动90°时,雨刷CD扫过的面积如图所示,现量得:CD=80cm、∠DBA=20°,AC=115cm,DA=35cm,试从以上信息中选择所需要的数据,求出雨刷扫过的面积.【考点】扇形面积的计算;全等三角形的判定与性质.【分析】雨刷CD扫过的面积就是一个大扇形﹣小扇形的面积,圆心角是90度,半径分别为115cm,35cm,所以根据扇形的面积公式计算.【解答】解:由题意可知:△ABD≌△AB′D′,△ACD≌△AC′D′,且大扇形半径AC=115cm,小扇形半径AD=35cm,且圆心角都为直角,所以雨刷CD扫过的面积为:S扇形ACC′﹣S扇形ADD′=﹣=(115+35)(115﹣35)=3000π(cm2).答:雨刷扫过的面积为3000πcm2.【点评】此题主要考查了扇形面积计算,本题的关键是看出雨刷CD扫过的面积就是一个大扇形﹣小扇形的面积,然后再从一堆的数据中分出哪些是有用的,哪些是没用的.根据扇形的面积公式计算.一.选择题(共5小题)1.(2015•甘孜州)如图,已知扇形AOB的半径为2,圆心角为90°,连接AB,则图中阴影部分的面积是()A.π﹣2 B.π﹣4 C.4π﹣2 D.4π﹣42.(2015•东莞)如图,某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心,AB为半径的扇形(忽略铁丝的粗细),则所得扇形DAB的面积为()A.6 B.7 C.8 D.93.(2015•达州)如图,直径AB为12的半圆,绕A点逆时针旋转60°,此时点B旋转到点B′,则图中阴影部分的面积是()A.12π B.24π C.6π D.36π4.(2015•恩施州)如图,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点E,且E为OB的中点,∠CDB=30°,CD=4,则阴影部分的面积为()A.π B.4π C.π D.π5.(2015•咸宁)如图,在△ABC中,CA=CB,∠ACB=90°,以AB的中点D为圆心,作圆心角为90°的扇形DEF,点C恰在EF上,设∠BDF=α(0°<α<90°),当α由小到大变化时,图中阴影部分的面积()A.由小到大 B.由大到小C.不变 D.先由小到大,后由大到小二.填空题(共8小题)6.(2015•泰州)圆心角为120°,半径长为6cm的扇形面积是cm2.7.(2015•常州)已知扇形的圆心角为120°,弧长为6π,则扇形的面积是.8.(2014•洛阳二模)如图,正方形ABCD中,分别以B、D为圆心,以正方形的边长a为半径画弧,形成树叶形(阴影部分)图案,则树叶形图案的面积为.9.(2011•高淳县一模)如图,两个半径为2cm的等圆互相重叠,且各自的圆心都在另一个圆上,则两圆重叠部分的面积是cm2.(结果保留π).10.(2012•黄陂区校级模拟)如图,把⊙O1向右平移8个单位长度得⊙O2,两圆相交于A、B,且O1A⊥O2A,则图中阴影部分的面积是.11.(2015•安顺)如图,在▱ABCD中,AD=2,AB=4,∠A=30°,以点A为圆心,AD的长为半径画弧交AB于点E,连接CE,则阴影部分的面积是(结果保留π).12.(2015•江阴市校级一模)如图,AB,CD是⊙O的两条互相垂直的直径,点O1,O2,O3,O4分别是OA,OB,OC,OD的中点,若⊙O的半径为2,则阴影部分的面积为.13.(2015•东莞模拟)如图是圆心角为30°,半径分别是1、3、5、7、…的扇形组成的图形,阴影部分的面积依次记为S1、S2、S3、…,则S n=.(结果保留π)三.解答题(共4小题)14.(2013•路南区一模)如图,方格纸中4个小正方形的边长均为1,求图中阴影部分三个小扇形的面积和以及周长的和(结果保留π).15.(2013秋•章丘市校级期末)如图,两个同心圆的半径分别为18cm和30cm,又知∠COD=30°,求阴影部分ABDC的面积.16.(2013秋•海门市校级期中)如图,Rt△ABC的一条直角边AB是⊙O的直径,AB=8,斜边交⊙O于D,∠A=30°,求阴影部分的面积.17.(2012•云和县模拟)一个商标图案如图,矩形ABCD中,AB=2BC,且AB=8cm,以A为圆心,AD长为半径作半圆,求商标图案的面积.典例探究答案:例1.【考点】扇形面积的计算.【分析】图中阴影部分的面积=半圆的面积﹣圆心角是120°的扇形的面积,根据扇形面积的计算公式计算即可求解.【解答】解:图中阴影部分的面积=π×22﹣=2π﹣π=π.答:图中阴影部分的面积等于π.故答案为:π.【点评】考查了扇形面积的计算,求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积.练1.【考点】扇形面积的计算;三角形内角和定理;多边形内角与外角.【分析】根据题意可得出,重叠的每一部分是半径为1的扇形,圆心角是多边形的内角和,根据扇形的面积公式:S=进行计算即可.【解答】解:S3===π;S4==π;…S2012==1005π.故答案为1005π.【点评】本题考查了扇形面积的计算,以及多边形的内角和定理,解答本题的关键是通过图形得出,重叠的每一部分是半径为1的扇形,圆心角是多边形的内角和,难度一般.例2.【考点】扇形面积的计算;切线的性质.【分析】过O点作OE⊥CD于E,首先根据切线的性质和直角三角形的性质可得∠AOB=60°,再根据平角的定义和三角形外角的性质可得∠COD=120°,∠OCD=∠ODC=30°,根据含30°的直角三角形的性质可得OE,CD的长,再根据阴影部分的面积=扇形OCD的面积﹣三角形OCD的面积,列式计算即可求解.【解答】解:过O点作OE⊥CD于E,∵AB为⊙O的切线,∴∠ABO=90°,∵∠A=30°,∴∠AOB=60°,∴∠COD=120°,∠OCD=∠ODC=30°,∵⊙O的半径为2,∴OE=1,CE=DE=,∴CD=2,∴图中阴影部分的面积为:﹣×2×1=π﹣.故选:A.【点评】考查了扇形面积的计算,切线的性质,本题关键是理解阴影部分的面积=扇形OCD 的面积﹣三角形OCD的面积.练2.【考点】扇形面积的计算;勾股定理;圆周角定理.【分析】(1)根据直径得出∠ACB=∠ADB=90°,根据勾股定理求出BC,根据圆周角定理求出AD=BD,求出AD即可;(2)根据三角形的面积公式,求出△AOC和△AOD的面积,再求出S扇形COD,即可求出答案.【解答】解:(1)∵AB是直径,∴∠ACB=∠ADB=90°(直径所对的圆周角是直角),在Rt△ABC中,∠B=30°,AC=2,∴AB=4,∴BC==2,∵∠ACB的平分线交⊙O于点D,∴∠DCA=∠BCD∴=,∴AD=BD,∴在Rt△ABD中,AD=BD=AB=2;(2)连接OC,OD,∵∠B=30°,∴∠AOC=∠2∠B=60°,∵OA=OB,∴S△AOC=S△ABC=××AC×BC=××2×2=,由(1)得∠AOD=90°,∴∠COD=150°,S△AOD=×AO×OD=×22=2,∴S阴影=S扇形COD﹣S△AOC﹣S△AOD=﹣﹣2=π﹣﹣2.【点评】本题考查了勾股定理、圆周角定理、三角形的面积等知识点的应用,关键是求出∠ACB=∠ADB=90°,题型较好,通过做此题,培养了学生运用定理进行推理的能力.例3.【考点】扇形面积的计算;坐标与图形性质;旋转的性质.【分析】根据点A的坐标(﹣2,0),可得OA=2,再根据含30°的直角三角形的性质可得OB的长,再根据性质的性质和扇形的面积公式即可求解.【解答】解:∵点A的坐标(﹣2,0),∴OA=2,∵△ABO是直角三角形,∠AOB=60°,∴∠OAB=30°,∴OB=OA=1,∴边OB扫过的面积为:=π.故答案为:π.【点评】本题考查了扇形的面积公式:S=,其中n为扇形的圆心角的度数,R为圆的半径),或S=lR,l为扇形的弧长,R为半径.练3.【考点】扇形面积的计算;全等三角形的判定与性质.【分析】雨刷CD扫过的面积就是一个大扇形﹣小扇形的面积,圆心角是90度,半径分别为115cm,35cm,所以根据扇形的面积公式计算.【解答】解:由题意可知:△ABD≌△AB′D′,△ACD≌△AC′D′,且大扇形半径AC=115cm,小扇形半径AD=35cm,且圆心角都为直角,所以雨刷CD扫过的面积为:S扇形ACC′﹣S扇形ADD′=﹣=(115+35)(115﹣35)=3000π(cm2).答:雨刷扫过的面积为3000πcm2.【点评】此题主要考查了扇形面积计算,本题的关键是看出雨刷CD扫过的面积就是一个大扇形﹣小扇形的面积,然后再从一堆的数据中分出哪些是有用的,哪些是没用的.根据扇形的面积公式计算.课后小测答案:一.选择题(共5小题)1.【考点】扇形面积的计算.【分析】由∠AOB为90°,得到△OAB为等腰直角三角形,于是OA=OB,而S阴影部分=S扇形OAB ﹣S△OAB.然后根据扇形和直角三角形的面积公式计算即可.【解答】解:S阴影部分=S扇形OAB﹣S△OAB==π﹣2故选:A.【点评】本题考查了扇形面积的计算,是属于基础性的题目的一个组合,只要记住公式即可正确解出.关键是从图中可以看出阴影部分的面积是扇形的面积减去直角三角形的面积.2.【考点】扇形面积的计算.【分析】由正方形的边长为3,可得弧BD的弧长为6,然后利用扇形的面积公式:S扇形DAB=,计算即可.【解答】解:∵正方形的边长为3,∴弧BD的弧长=6,∴S扇形DAB==×6×3=9.故选:D.【点评】此题考查了扇形的面积公式,解题的关键是:熟记扇形的面积公式S扇形DAB=.3.【考点】扇形面积的计算;旋转的性质.【分析】根据题意得出AB=AB′=12,∠BAB′=60°,根据图形得出图中阴影部分的面积S= +π×122﹣π×122,求出即可.【解答】解:∵AB=AB′=12,∠BAB′=60°∴图中阴影部分的面积是:S=S扇形B′AB+S半圆O′﹣S半圆O=+π×122﹣π×122=24π.故选:B.【点评】本题考查的是扇形的面积及旋转的性质,通过做此题培养了学生的计算能力和观察图形的能力,题目比较好,难度适中.4.【考点】扇形面积的计算.【分析】首先证明OE=OC=OB,则可以证得△OEC≌△BED,则S阴影=半圆﹣S扇形OCB,利用扇形的面积公式即可求解.【解答】解:∵∠COB=2∠CDB=60°,又∵CD⊥AB,∴∠OCB=30°,CE=DE,∴OE=OC=OB=2,OC=4. 1S阴影==.故选:D.【点评】本题考查了扇形的面积公式,证明△OEC≌△BED,得到S阴影=半圆﹣S扇形OCB是本题的关键.5.【考点】扇形面积的计算.【分析】作DM⊥AC于M,DN⊥BC于N,构造正方形DMCN,利用正方形和等腰直角三角形的性质,通过证明△DMG≌△DNH,把△DHN补到△DNG的位置,得到四边形DGCH的面积=正方形DMCN的面积,于是得到阴影部分的面积=扇形的面积﹣正方形DMCN的面积,即为定值.【解答】解:作DM⊥AC于M,DN⊥BC于N,连接DC,∵CA=CB,∠ACB=90°,∴∠A=∠B=45°,DM=AD=AB,DN=BD=AB,∴DM=DN,∴四边形DMCN是正方形,∴∠MDN=90°,∴∠MDG=90°﹣∠GDN,∵∠EDF=90°,∴∠NDH=90°﹣∠GDN,∴∠MDG=∠NDH,在△DMG和△DNH中,,∴△DMG≌△DNH,∴四边形DGCH的面积=正方形DMCN的面积,∵正方形DMCN的面积=DM2=AB2,∴四边形DGCH的面积=,∵扇形FDE的面积==,∴阴影部分的面积=扇形面积﹣四边形DGCH的面积=(定值),故选:C.【点评】本题主要考查了等腰直角三角形斜边中线的性质,正方形的性质,全等三角形的判定和性质,能正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.二.填空题(共8小题)6.【考点】扇形面积的计算.【分析】将所给数据直接代入扇形面积公式S扇形=进行计算即可得出答案.【解答】解:由题意得,n=120°,R=6cm,故=12π.故答案为12π.【点评】此题考查了扇形面积的计算,属于基础题,解答本题的关键是熟记扇形的面积公式及公式中字母所表示的含义,难度一般.7.【考点】扇形面积的计算.【分析】利用弧长公式即可求扇形的半径,进而利用扇形的面积公式即可求得扇形的面积.【解答】解:设扇形的半径为r.则=6π,解得r=9,∴扇形的面积==27π.故答案为:27π.【点评】此题主要考查了扇形面积求法,用到的知识点为:扇形的弧长公式l=;扇形的面积公式S=.8.【考点】扇形面积的计算.【分析】由图可知,阴影部分的面积是两个圆心角为90°,且半径为a的扇形的面积与正方形的面积的差,可据此求出阴影部分的面积.【解答】解:由题意可得出:S阴影=2S扇形﹣S正方形=2×﹣a2=(﹣1)a2.故答案为:(﹣1)a2.【点评】本题利用了扇形的面积公式,正方形的面积公式求解,得出S阴影=2S扇形﹣S正方形是解题关键.9.【考点】扇形面积的计算;圆与圆的位置关系;相交两圆的性质.【专题】计算题.【分析】连接相交两圆的交点,根据其图形的对称性可知,阴影部分的面积等于公共弦与圆所构成的弓形面积的2倍.【解答】解:如图连接AB,OA、OB,根据对称性可知OA=OB=2,OC⊥AB,OC=1,∴∠AOB=2∠AOC=2×60°=120°,∴S阴影部分=2(S扇形AOB﹣S△AOB)=2()=(π﹣2)故答案为:(π﹣2).【点评】本题考查了扇形的面积及相交两圆的性质,解题的关键是正确的分析图形并分解为两个弓形的面积的和.10.【考点】扇形面积的计算;相交两圆的性质.【专题】计算题.【分析】阴影部分的面积=2扇形AO1E的面积﹣△AO1O2的面积.【解答】解:连接AB交O1O2于点C,∵把⊙O1向右平移8个单位长度得⊙O2,∴O1O2=8,∴O1C=8÷2=4,易得△AO1O2为等腰直角三角形,∴AO1=4,∴阴影部分的面积=2×﹣4×4÷2=8π﹣16,故答案为8π﹣16.【点评】本题的难点是得到圆的半径,关键是得到阴影的面积的求法.11.【考点】扇形面积的计算;平行四边形的性质.【专题】压轴题.【分析】过D点作DF⊥AB于点F.可求▱ABCD和△BCE的高,观察图形可知阴影部分的面积=▱ABCD的面积﹣扇形ADE的面积﹣△BCE的面积,计算即可求解.【解答】解:过D点作DF⊥AB于点F.∵AD=2,AB=4,∠A=30°,∴DF=AD•sin30°=1,EB=AB﹣AE=2,∴阴影部分的面积:4×1﹣﹣2×1÷2=4﹣π﹣1=3﹣π.故答案为:3﹣π.【点评】考查了平行四边形的性质,扇形面积的计算,本题的关键是理解阴影部分的面积=▱ABCD的面积﹣扇形ADE的面积﹣△BCE的面积.12.【考点】扇形面积的计算.【分析】首先根据已知得出正方形内空白面积,进而得出扇形COB中两空白面积相等,进而得出阴影部分面积.【解答】解:如图所示:连接EFMN,∵四边形的边长为2,四个角都是直角,∴四边形EFMN是正方形,正方形中两部分阴影面积为:22﹣π×12=4﹣π,∴正方形内空白面积为:4﹣2(4﹣π)=2π﹣4,∵⊙O的半径为2,∴O1,O2,O3,O4的半径为1,∴小圆的面积为:π×12=π,扇形COB的面积为:=π,∴扇形COB中两空白面积相等,∴阴影部分的面积为:π×22﹣2(2π﹣4)=8.故答案为:8.【点评】此题主要考查了扇形的面积公式以及正方形面积公式,根据已知得出空白面积是解题关键.13.【考点】扇形面积的计算.【专题】规律型.【分析】由图可知S1=,S2=×3,S3=×5,S4=×7,…S n=×(2n﹣1),从而得出S n的值.【解答】解:由题意可得出通项公式:S n=×(2n﹣1),即S n=×(2n﹣1),故答案为.【点评】本题考查了扇形面积的计算,是一道规律性的题目,难度较大.三.解答题(共4小题)14.【考点】扇形面积的计算;弧长的计算;旋转的性质.【分析】先求出三个扇形的圆心角之和与半径,再根据扇形的面积公式及弧长公式即可得出结论.【解答】解:∵三个扇形的半径相等,都为1,圆心角之和为135°,∴三个小扇形的面积和==π,∴三个小扇形的弧长和==π,∴三个小扇形的周长和=6+π.【点评】本题考查的是扇形面积的计算,熟记扇形的面积公式是解答此题的关键.15.【考点】扇形面积的计算.【分析】直接利用扇形面积公式求出即可.【解答】解:阴影部分ABDC的面积=﹣==48π(cm2).【点评】此题主要考查了扇形面积公式应用,正确记忆扇形面积公式是解题关键.16.【考点】扇形面积的计算.【分析】首先求出∠DOB=60°,再利用扇形面积公式求出S扇形DOB,再利用勾股定理求出AD 的长,再利用三角形面积公式求出阴影部分面积即可.【解答】解:过点O作OE⊥AD于点E,连接DO,∵∠A=30°,∴∠DOB=60°,∴S扇形DOB==π,∵∠A=30°,AO=4,∴EO=2,∴AE=2,∴AD=4,∵∠A=30°,AB=8,∴BC=×8=,∴S△ABC=×8×=,S△AOD=×EO×AD=×2×4=4,∴阴影部分的面积为:﹣4﹣π=﹣.【点评】此题主要考查了扇形面积公式以及三角形面积公式和勾股定理得出应用,根据已知得出AD的长是解题关键.17.【考点】扇形面积的计算.【专题】计算题.【分析】根据矩形的性质得到AD=BC=4,∠FAD=90°,根据图形得到S阴=S矩ABCD+S扇ADF﹣S△FBC,然后根据矩形、扇形和三角形的面积公式分别计算得到S矩ABCD=AB•BC=8×4=32,S扇ADF= =4π,S△FBC=BC•FB=×4×(8+4)=24,再代入S阴=S矩ABCD+S扇ADF﹣S△FBC计算即可得到商标图案的面积.【解答】解:∵矩形ABCD中,AB=2BC,且AB=8cm,∴AD=BC=4,∴S阴=S矩ABCD+S扇ADF﹣S△FBC,∵S矩ABCD=AB•BC=8×4=32,S扇ADF==4π,S△FBC=BC•FB=×4×(8+4)=24,∴S阴=32+4π﹣24=(8+4π)cm2.所以商标图案的面积为(8+4π)cm2.【点评】本题考查了扇形的面积公式:S=(其中n为扇形的圆心角的度数,R为半径).也考查了矩形的性质.。