高考数学二轮专题复习 3.1任意角的三角函数及三角恒等变换辅导与训练检测卷文

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高考数学二轮复习专题三第六讲三角恒等变换与解三角形习题文-人教版高三全册数学试题

第六讲三角恒等变换与解三角形1.(2018某某某某模拟)已知tanα=34,α∈(0,π),则cos (α+π6)的值为( ) A.4√3-310B.4√3+310C.4-3√310D.3√3-4102.(2018某某某某模拟)√3cos15°-4sin 215°cos15°=( ) A.12 B.√22C.1D.√23.(2018课标全国Ⅲ(理),9,5分)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若△ABC 的面积为α2+α2-α24,则C=( ) A.π2B.π3C.π4D.π64.(2018某某六校联考)在△ABC 中,cos 2α2=α+α2α(a,b,c 分别为角A,B,C 的对边),则△ABC 的形状为( )A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形5.(2018某某某某第一次统考)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别是a,b,c,若a,b,c 成等比数列,且a 2=c 2+ac-bc,则ααsin α=( )A.2√33B.√32 C.12 D.√36.(2018某某某某调研)在△ABC 中,a,b,c 分别是角A,B,C 的对边,且2bcosC=2a+c,则B=( ) A.π6B.π4C.π3D.2π37.(2018某某某某监测)在△ABC 中,三个内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若12bcosA=sinB,且a=2√3,b+c=6,则△ABC 的面积为.8.(2018某某某某调研)在钝角△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若a=4,b=3,则c 的取值X 围是.9.(2018某某某某模拟)如图,在直角梯形ABDE 中,已知∠ABD=∠EDB=90°,C 是BD 上一点,AB=3-√3,∠ACB=15°,∠ECD=60°,∠EAC=45°,则线段DE 的长度为.10.(2018某某某某模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,btanB+btanA=2ctanB,且a=5,△ABC 的面积为2√3,则b+c的值为.11.(2018某某某某模拟)在△ABC中,D是BC边的中点,AB=3,AC=√13,AD=√7.(1)求BC边的长;(2)求△ABC的面积.). 12.(2018某某,16,13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsinA=acos(α-π6(1)求角B的大小;(2)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.13.(2018某某黄冈模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.(1)若23cos 2A+cos2A=0,且△ABC 为锐角三角形,a=7,c=6,求b 的值; (2)若a=√3,A=π3,求b+c 的取值X 围.14.(2018某某湘东五校联考)已知函数f(x)=√32sin2x-cos 2x-12.(1)求f(x)的最小值,并写出取得最小值时的自变量x 的集合;(2)设△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且c=√3,f(C)=0,若sinB=2sinA,求a,b 的值.答案精解精析1.A 因为tanα=34,α∈(0,π),所以sinα=35,cosα=45,故cos (α+π6)=cosαcos π6-sinαsin π6=45×√32-35×12=4√3-310,故选A.2.D 解法一:√3cos15°-4sin 215°cos15°=√3cos15°-2sin15°·2sin15°cos15°=√3cos15°-2sin15°·sin 30°=√3cos15°-sin15°=2cos(15°+30°)=2cos45°=√2.故选D. 解法二:因为cos15°=√6+√24,sin15°=√6-√24,所以√3cos15°-4sin215°·cos15°=√3×√6+√24-4×(√6-√24)2×√6+√24=√6+√24×(√3-8-4√34)=√2.故选D.3.C 根据余弦定理得a 2+b 2-c 2=2abcosC,因为S △ABC =α2+α2-α24,所以S △ABC =2ααcos α4,又S △ABC =12absinC,所以tanC=1,因为C∈(0,π),所以C=π4.故选C.4.A 已知等式变形得cosB+1=αα+1,即cosB=αα①.由余弦定理得cosB=α2+α2-α22αα,代入①得α2+α2-α22αα=αα,整理得b 2+a 2=c 2,即C 为直角,则△ABC 为直角三角形.5.A ∵a,b,c 成等比数列,∴b 2=ac,∴sin 2B=sinA×sinC,又a 2=c 2+ac-bc=c 2+b2-bc,∴cosA=α2+α2-α22αα=αα2αα=12,∴sinA=√32,∴ααsin α=sin αsin 2B =1sin α=√3=2√33,故选A.6.D 因为2bcosC=2a+c,所以由正弦定理可得2sinBcosC=2sinA+sinC=2sin(B+C)+sinC=2sinBcosC+2cosBsinC+sinC,即2cosBsinC=-sinC,又sinC≠0,所以cosB=-12,又0<B<π,所以B=2π3,故选D.7.答案 2√3 解析由题意可知cos α2=sin αα=sin αα,又a=2√3,所以tanA=√3,所以A=π3,由余弦定理得12=b 2+c 2-bc,又b+c=6,所以bc=8,从而△ABC 的面积为12bcsinA=12×8×sin π3=2√3. 8.答案 (1,√7)∪(5,7)解析三角形中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,据此可得1<c<7,① 若∠C 为钝角,则cosC=α2+α2-α22αα=25-α224<0,解得c>5,②若∠A 为钝角,则cosA=α2+α2-α22αα=α2-76α<0,解得0<c<√7,③结合①②③可得c 的取值X 围是(1,√7)∪(5,7). 9.答案 6解析在Rt△ABC 中,因为AB=AC·sin∠ACB,所以3-√3=AC·sin15°, 又sin15°=√6-√24,所以可得AC=2√6.又易知∠AEC=30°,所以在△ACE 中,由ααsin45°=2√6sin30°,得EC=4√3.于是在Rt△CDE 中,由∠ECD=60°,可得DE=EC·sin60°=4√3×√32=6.10.答案 7解析在△ABC 中,由btanB+btanA=2ctanB 及正弦定理,得sin 2B cos α+sin αsin αcos α=2sin αsin αcos α,由于sinB≠0,故sin αcos α=2sin α-sin αcos α,即sinAcosB=2sinCcosA-sinBcosA,整理得sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosA,由两角和的正弦公式及诱导公式,得sin(A+B)=sinC=2sinCcosA,由于sinC≠0,故等式两端同除以sinC 可得cosA=12,所以sinA=√32,因为S △ABC =12bcsinA=√34bc=2√3,所以bc=8,由cosA=α2+α2-α22αα=(α+α)2-2bc -α22αα=12,a=5,可得b+c=7.11.解析 (1)设BD=x,则BC=2x, 在△ABD 中,有cos∠ABD=αα2+B α2-A α22αα·αα=9+α2-72×3α,在△ABC 中,有cos∠ABC=αα2+B α2-A α22αα·αα=9+4α2-132×3×2α, 且∠ABD=∠ABC,即9+α2-72×3α=9+4α2-132×3×2α,得x=2,∴BC=4.(2)由(1)可知,cosB=12,又由B∈(0,π),得sinB=√32, ∴S △ABC =12·AB·BC·sinB=12×3×4×√32=3√3.12.解析 (1)在△ABC 中,由αsin α=αsin α可得bsinA=asinB,又由bsinA=acos (α-π6),得asinB=acos (α-π6),即sinB=cos (α-π6),可得tanB=√3.又因为B∈(0,π),所以B=π3.(2)在△ABC 中,由余弦定理及a=2,c=3,B=π3,有b 2=a 2+c 2-2accosB=7,故b=√7. 由bsinA=acos (α-π6),可得sinA=√3√7.因为a<c,故cosA=√7.因此sin2A=2sinAcosA=4√37,cos2A=2cos 2A-1=17.所以,sin(2A-B)=sin2AcosB-cos2AsinB=4√37×12-17×√32=3√314.13.解析 (1)∵23cos 2A+cos2A=23cos 2A+2cos 2A-1=0, ∴cos 2A=125,又A 为锐角,∴cosA=15,由a 2=b 2+c 2-2bccosA,代入已知数据得b 2-125b-13=0, 解得b=5(负值舍去),∴b=5. (2)解法一:由正弦定理可得 b+c=2(sinB+sinC) =2[sin α+sin (2π3-B )]=2√3sin (α+π6),∵0<B<2π3,∴π6<B+π6<5π6,∴12<sin (α+π6)≤1, ∴b+c∈(√3,2√3].解法二:由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bccosA 可得b 2+c 2-3=bc, 即(b+c)2-3=3bc≤34(b+c)2,当且仅当b=c 时取等号,∴b+c≤2√3,又由两边之和大于第三边可得b+c>√3, ∴b+c∈(√3,2√3]. 14.解析 (1)f(x)=√32sin2x-1+cos2α2-12=√32sin2x-cos2α2-1 =sin (2α-π6)-1.当2x-π6=2kπ-π2(k∈Z),即x=kπ-π6(k∈Z)时,f(x)取最小值-2, 此时自变量x 的集合为 {α|x =kπ-α6,k∈Z }.(也可写成{α|x =kπ+5α6,k∈Z }).(2)因为f(C)=0,所以sin (2α-π6)-1=0,又0<C<π, 所以2C-π6=π2,即C=π3.在△ABC 中,sinB=2sinA,由正弦定理知b=2a,又c=√3,所以由余弦定理知(√3)2=a 2+b 2-2abcos π3,即a 2+b 2-ab=3,联立,得{α2+α2-ab =3,α=2α,所以{α=1,α=2.。

高考数学专题复习《三角恒等变换与解三角形》测试卷含答案

高考数学专题复习《三角恒等变换与解三角形》测试卷含答案考试时间：120分钟满分：150分说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上第I 卷（选择题）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1.已知π3sin 25α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos2α的值为( )A ．725B ．2425C ．2425-D ．725-2.已知5ππ10,,sin 12123αα⎛⎫⎛⎫∈+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则πcos 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭( )3.sin373cos767sin77sin227-︒︒︒︒=( )A.12C. D. 4.()tan 751cos 240sin 30sin 60sin1201tan 75︒︒︒︒︒︒---+=+（）A.12+B. 12-C. 12-+D. 12--5.已知ππ0,,0,22αβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,且sin 2(1sin )cos (1cos2)αββα+=-,则下列结论正确的是( )A.π22αβ-=B.π22αβ+=C.π2αβ+=D.π2αβ-=6.已知2sin 1αα=+,则πsin(2)6α-=( )A.34 B.34-C.78-D.787.ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c . 已知60,C b c =︒==sin A =( )A.B.C.D.128.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知1sin sin 4csin ,cos 4a A b B C A -==-,则bc=( )。

A.6B.5C.4D.3二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。

）9.下列各式中，值为2的是( ) A.sin 15cos 15︒︒ B.22ππcossin 66-C.2tan 301tan 30-︒︒10.在ABC △中,5sin 13A =,3cos 5B =,则下列结论正确的是( ) A.12cos 13A =± B.4sin 5B = C.5616cos 6565C =-或 D.63sin 65C =11.下列说法正确的有( )A.在ABC 中，::sin :sin :sin a b c A B C =B.在ABC 中，若sin2sin2A B =，则ABC 为等腰三角形C.ABC 中，sin sin A B >是A B >的充要条件D.在ABC 中，若1sin 2A =，则π6A = 12.在ABC △中，角,,ABC 的对边分别为,,a b c ，下列结论中正确的选项有( ) A.若A B >，则sin sin A B >B.若sin2sin2A B =，则ABC △可能为等腰三角形或直角三角形C.若cos cosA a B b c -=，则ABC △定为直角三角形D.若π,23B a ==且该三角形有两解，则b 的取值范围是第II 卷（非选择题）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年高考数学二轮复习三角恒等变换与解三角形专题训练(含解析)

2021年高考数学二轮复习三角恒等变换与解三角形专题训练（含解析）一、选择题1．已知sin2α＝－2425，α∈⎝⎛⎭⎪⎫－π4，0，则sin α＋cos α＝( ) A ．－15B.15 C ．－75D.75解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0，∴cos α>0>sin α且cos α>|sin α|，则sin α＋cos α＝1＋sin2α＝1－2425＝15.答案 B2．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α等于( ) A.429B ．－429C.79D ．－79解析据已知可得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝sin2α ＝－cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－79.答案 D3．(xx·河北衡水一模)已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝－435，－π2<α<0，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋2π3等于( )A ．－45B ．－35C.45D.35解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝－435，－π2<α<0， ∴32sin α＋32cos α＝－435， ∴32sin α＋12cos α＝－45. ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝cos αcos 2π3－sin αsin 2π3＝－12cos α－32sin α＝45. 答案 C4．(xx·江西卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3 B.932C.332D ．3 3解析 ∵c 2＝(a －b )2＋6， ∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.①∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .②由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.答案 C5．(xx·江西七校联考)在△ABC 中，若sin(A －B )＝1＋2cos(B ＋C )sin(A ＋C )，则△ABC 的形状一定是( )A ．等边三角形B ．不含60°的等腰三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形解析 sin(A －B )＝1＋2cos(B ＋C )sin(A ＋C )＝1－2cos A sin B ，∴sin A cos B －cos A sin B ＝1－2cos A ·sin B ，∴sin A cos B ＋cos A sin B ＝1，即sin(A ＋B )＝1，则有A ＋B ＝π2，故三角形为直角三角形．答案 D6．(xx·东北三省二模)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b c －a ＝sin Asin C ＋sin B，则B ＝( )A.π6B.π4C.π3D.3π4解析由sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R ，代入整理得c －b c －a ＝a c ＋b⇒c 2－b 2＝ac －a 2，所以a2＋c 2－b 2＝ac ，即cos B ＝12，所以B ＝π3，故答案为C.答案 C 二、填空题7．设θ为第二象限角，若tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12，则sin θ＋cos θ＝________.解析 tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1＋tan θ1－tan θ＝12，解得tan θ＝－13，又θ为第二象限角，得sin θ＝1010，cos θ＝－31010，所以sin θ＋cos θ＝－105.答案－1058．(xx·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知b －c ＝14a,2sin B＝3sin C ，则cos A 的值为________．解析由正弦定理得到边b ，c 的关系，代入余弦定理的变式求解即可．由2sin B ＝3sin C 及正弦定理得2b ＝3c ，即b ＝32c .又b －c ＝14a ，∴12c ＝14a ，即a ＝2c .由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝94c 2＋c 2－4c 22×32c 2＝－34c 23c 2＝－14.答案－149．(xx·四川卷)如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46 m ，则河流的宽度BC 约等于________m ．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，3≈1.73)解析根据图中给出的数据构造适当的三角形求解．根据已知的图形可得AB ＝46sin67°.在△ABC 中，∠BCA ＝30°，∠BAC ＝37°，由正弦定理，得ABsin30°＝BC sin37°，所以BC ≈2×460.92×0.60＝60(m)．答案 60 三、解答题10．(xx·广东卷)已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫512π＝32.(1)求A 的值；(2)若f (θ)＋f (－θ)＝32，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π－θ. 解 (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋π4＝A sin 2π3＝32， ∴A ＝32·23＝ 3.(2)由(1)得：f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，∴f (θ)＋f (－θ)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋3sin ⎝⎛⎭⎪⎫－θ＋π4 ＝3⎝⎛⎭⎪⎫sin θcosπ4＋cos θsin π4＋ 3⎝⎛⎭⎪⎫sin－θcos π4＋cos－θsin π4＝23cos θsin π4＝6cos θ＝32∴cos θ＝64，又∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin θ＝104.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θ＋π4＝3sin(π－θ)＝3sin θ＝3×104＝304.11．(xx·辽宁卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >c .已知BA →·BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3.求：(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．解 (1)由BA →·BC →＝2，得c ·a cos B ＝2，又cos B ＝13，所以ac ＝6.由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B . 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13.解⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6a 2＋c 2＝13，得a ＝2，c ＝3或a ＝3，c ＝2.因a >c ，所以a ＝3，c ＝2.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223，由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23·223＝429.因a ＝b >c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫4292＝79.于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13·79＋223·429＝2327. B 级——能力提高组1．(xx·重庆卷)已知△ABC 的内角A ，B ，C 满足sin2A ＋sin(A －B ＋C )＝sin(C －A －B )＋12，面积S 满足1≤S ≤2，记a ，b ，c 分别为A ，B ，C 所对的边，则下列不等式一定成立的是( )A ．bc (b ＋c )>8B ．ab (a ＋b )>16 2C ．6≤abc ≤12D ．12≤abc ≤24解析由sin2A ＋sin(A －B ＋C )＝sin(C －A －B )＋12，得sin2A ＋sin[A －(B －C )]＋sin[A ＋(B －C )]＝12，所以sin2A ＋2sin A cos(B －C )＝12.所以2sin A [cos A ＋cos(B －C )]＝12，所以2sin A [cos(π－(B ＋C )＋cos(B －C )]＝12，所以2sin A [－cos(B ＋C )＋cos(B －C )]＝12，即得sin A sin B sin C ＝18.根据三角形面积公式S ＝12ab sin C ，①S ＝12ac sin B ，② S ＝12bc sin A ，③因为1≤S ≤2，所以1≤S 3≤8.将①②③式相乘得1≤S 3＝18a 2b 2c 2sin A sin B sin C ≤8，即64≤a 2b 2c 2≤512，所以8≤abc ≤162，故排除C ，D 选项，而根据三角形两边之和大于第三边，故b ＋c >a ，得bc (b ＋c )>8一定成立，而a ＋b >c ，ab (a ＋b )也大于8，而不一定大于162，故选A.答案 A2．(xx·课标全国卷Ⅰ)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．解析由正弦定理，可得(2＋b )(a －b )＝(c －b )·c . ∵a ＝2，∴a 2－b 2＝c 2－bc ，即b 2＋c 2－a 2＝bc .由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.∴sin A ＝32.由b 2＋c 2－bc ＝4，得b 2＋c 2＝4＋bc . ∵b 2＋c 2≥2bc ，即4＋bc ≥2bc ，∴bc ≤4. ∴S △ABC ＝12bc ·sin A ≤3，即(S △ABC )max ＝ 3.答案33．(xx·河北唐山统考)在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且4sin 2B ＋C2－cos2A ＝72.(1)求角A 的大小；(2)若BC 边上高为1，求△ABC 面积的最小值．解 (1)因为A ＋B ＋C ＝π，所以sinB ＋C2＝sinπ－A 2＝cos A2，所以由已知得4cos 2A 2－cos2A ＝72，变形得2(1＋cos A )－(2cos 2A －1)＝72，整理得(2cos A －1)2＝0，解得cos A ＝12.因为A 是三角形的内角，所以A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×1sin C ×1sin B ×32＝34sin B sin C .设y ＝4sin B sin C ，则y ＝4sin B sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝23sin B cos B ＋2sin 2B ＝3sin2B ＋1－cos2B ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6＋1.因为0<B <π2，0<2π3－B <π2，所以π6<B <π2，从而π6<2B －π6<5π6，故当2B －π6＝π2，即B ＝π3时，S 的最小值为33.324270 5ECE 廎25609 6409 搉22314 572A 圪37411 9223 鈣 23823 5D0F 崏21591 5457 呗Z33923 8483 蒃22037 5615 嘕26417 6731 朱33839 842F 萯320251 4F1B 伛。

高考数学(理)二轮专题练习【专题3】(2)三角变换与解三角形(含答案)

第2讲三角变换与解三角形考情解读 1.高考中常考查三角恒等变换有关公式的变形使用，常和同角三角函数的关系、诱导公式结合.2.利用正弦定理或余弦定理解三角形或判断三角形的形状、求值等，经常和三角恒等变换结合进行综合考查．1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.(2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.(3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2α＝2sin αcos α.(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.(3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 3．三角恒等式的证明方法(1)从等式的一边推导变形到另一边，一般是化繁为简．(2)等式的两边同时变形为同一个式子．(3)将式子变形后再证明．4．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径)．变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C .sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R . a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .5．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab. 变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，a2＋b2－c2＝2ab cos C.6．面积公式S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C .7．解三角形(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解． (2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一．(3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解．(4)已知三边，利用余弦定理求解．热点一三角变换例1 (1)已知sin(α＋π3)＋sin α＝－435，－π2<α<0，则cos(α＋2π3)等于( ) A ．－45B ．－35 C.45 D.35(2)(2014·课标全国Ⅰ)设α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，且tan α＝1＋sin βcos β，则( ) A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2思维启迪 (1)利用和角公式化简已知式子，和cos(α＋23π)进行比较． (2)先对已知式子进行变形，得三角函数值的式子，再利用范围探求角的关系．答案 (1)C (2)B解析 (1)∵sin(α＋π3)＋sin α＝－435，－π2<α<0， ∴32sin α＋32cos α＝－435， ∴32sin α＋12cos α＝－45， ∴cos(α＋2π3)＝cos αcos 2π3－sin αsin 2π31 2cos α－32sin α＝45.＝－(2)由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，∴sin(α－β)＝cos α＝sin(π2－α)． ∵α∈(0，π2)，β∈(0，π2)， ∴α－β∈(－π2，π2)，π2－α∈(0，π2)， ∴由sin(α－β)＝sin(π2－α)，得α－β＝π2－α， ∴2α－β＝π2. 思维升华 (1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现张冠李戴的情况．(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解．设函数f (x )＝cos(2x ＋π3)＋sin 2x . (1)求函数f (x )的最小正周期和最大值；(2)若θ是第二象限角，且f (θ2)＝0，求cos 2θ1＋cos 2θ－sin 2θ的值．解 (1)f (x )＝cos(2x ＋π3)＋sin 2x ＝cos 2x cos π3－sin 2x sin π3＋1－cos 2x 2＝12－32sin 2x .所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π，最大值为1＋32. (2)因为f (θ2)＝0，所以12－32sin θ＝0，即sin θ＝33，又θ是第二象限角，所以cos θ＝－1－sin 2θ＝－63. 所以cos 2θ1＋cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θ2cos 2θ－2sin θcos θ＝cos θ＋sin θcos θ－sin θ2cos θcos θ－sin θ＝cos θ＋sin θ2cos θ＝－63＋332×－63＝6－326＝2－24. 热点二解三角形例2 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足a ＝2sin A ，cos B cos C ＋2a c ＋b c＝0. (1)求边c 的大小；(2)求△ABC 面积的最大值．思维启迪 (1)将cos B cos C ＋2a c ＋b c＝0中的边化成角，然后利用和差公式求cos C ，进而求c .(2)只需求ab 的最大值，可利用cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab和基本不等式求解．解 (1)∵cos B cos C ＋2a c ＋b c＝0， ∴c cos B ＋2a cos C ＋b cos C ＝0，∴sin C cos B ＋sin B cos C ＋2sin A cos C ＝0，∴sin A ＋2sin A cos C ＝0，∵sin A ≠0，∴cos C ＝－12，∵C ∈(0，π) ∴C ＝2π3，∴c ＝a sin A·sin C ＝ 3. (2)∵cos C ＝－12＝a 2＋b 2－32ab， ∴a 2＋b 2＋ab ＝3，∴3ab ≤3，即ab ≤1.∴S △ABC ＝12ab sin C ≤34. ∴△ABC 的面积最大值为34. 思维升华三角形问题的求解一般是从两个角度，即从“角”或从“边”进行转化突破，实现“边”或“角”的统一，问题便可突破．几种常见变形：(1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(2)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，其中R 为△ABC 外接圆的半径；(3)sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C .(1)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a sin A sin B＋b cos2A＝2a ，则b a 等于( ) A. 2 B ．22 C. 3 D ．23(2)(2014·江西)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C＝π3，则△ABC 的面积是( ) A ．3B.932C.332D ．33答案 (1)A (2)C解析 (1)因为a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，由正弦定理得sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sin B ＝2sin A ，即sin B sin A ＝2，b a ＝sin B sin A＝ 2. (2)∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.①∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .② 由①②得ab ＝6.∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332. 热点三正、余弦定理的实际应用例3 (2013·江苏)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量cos A ＝1213， cos C ＝35. (1)求索道AB 的长；(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？思维启迪 (1)直接求sin B ，利用正弦定理求AB .(2)利用余弦定理和函数思想，将甲乙距离表示为乙出发后时间t的函数．解 (1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45.从而sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C＝513×35＋1213×45＝6365.由正弦定理AB sin C ＝ACsin B，得 AB ＝ACsin B ×sin C ＝1 2606365×45＝1 040(m)．所以索道AB 的长为1 040 m.(2)假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)，由于0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537 min 时，甲、乙两游客距离最短．(3)由正弦定理BC sin A ＝ACsin B，得BC ＝AC sin B ×sin A ＝1 2606365×513＝500(m)．乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C . 设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应控制在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 25043，62514(单位：m/min)范围内．思维升华求解三角形的实际问题，首先要准确理解题意，分清已知与所求，关注应用题中的有关专业名词、术语，如方位角、俯角等；其次根据题意画出其示意图，示意图起着关键的作用；再次将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识建立数学模型，从而正确求解，演算过程要简练，计算要准确；最后作答．如图，中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼作业，中国海监船在A 地侦察发现，在南偏东60°方向的B 地，有一艘某国军舰正以每小时13海里的速度向正西方向的C 地行驶，企图抓捕正在C地捕鱼的中国渔民．此时，C地位于中国海监船的南偏东45°方向的10海里处，中国海监船以每小时30海里的速度赶往C 地救援我国渔民，能不能及时赶到？(2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)解过点A 作AD ⊥BC ，交BC 的延长线于点D . 因为∠CAD ＝45°，AC ＝10海里，所以△ACD 是等腰直角三角形．所以AD ＝CD ＝22AC ＝22×10＝52(海里)．在Rt△ABD 中，因为∠DAB ＝60°，所以BD ＝AD ×tan 60°＝52×3＝56(海里)．所以BC ＝BD －CD ＝(56－52)(海里)．因为中国海监船以每小时30海里的速度航行，某国军舰正以每小时13海里的速度航行，所以中国海监船到达C 点所用的时间t 1＝AC 30＝1030＝13(小时)，某国军舰到达C 点所用的时间t 2＝BC 13＝5×6－213≈5× 2.45－1.4113＝0.4(小时)．因为13<0.4，所以中国海监船能及时赶到．1．求解恒等变换问题的基本思路一角二名三结构，即用化归转化思想“去异求同”的过程，具体分析如下：(1)首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变换形式，角的变换是三角函数变换的核心．(2)其次看函数名称之间的关系，通常“切化弦”． (3)再次观察代数式的结构特点． 2．解三角形的两个关键点(1)正、余弦定理是实现三角形中边角互化的依据，注意定理的灵活变形，如a ＝2R sin A ，sin A ＝a2R (其中2R 为三角形外接圆的直径)，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C 等，灵活根据条件求解三角形中的边与角．(2)三角形的有关性质在解三角形问题中起着重要的作用，如利用“三角形的内角和等于π”和诱导公式可得到sin(A ＋B )＝sin C ，sinA ＋B2＝cos C2等，利用“大边对大角”可以解决解三角形中的增解问题等．3．利用正弦定理、余弦定理解决实际问题的关键是如何将实际问题转化为数学问题，抽象出三角形模型．真题感悟1．(2013·浙江)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α等于( ) A.43 B.34 C ．－34 D ．－43 答案 C解析 ∵sin α＋2cos α＝102， ∴sin 2α＋4sin α·cos α＋4cos 2α＝52.用降幂公式化简得：4sin 2α＝－3cos 2α， ∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－34.故选C.2．(2014·江苏)若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________．答案6－24解析由sin A ＋2sin B ＝2sin C ，结合正弦定理得a ＋2b ＝2c .由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 2－a ＋2b242ab＝34a 2＋12b 2－2ab 22ab≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫34a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12b 2－2ab 22ab＝6－24，故6－24≤cos C <1，且3a 2＝2b 2时取“＝”．故cos C 的最小值为6－24. 押题精练1．在△ABC 中，已知tanA ＋B2＝sin C ，给出以下四个结论：①tan A tan B＝1；②1<sin A ＋sin B ≤2；③sin 2A ＋cos 2B ＝1；④cos 2A ＋cos 2B ＝sin 2C . 其中一定正确的是( )A ．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 答案 D解析依题意，tan A ＋B2＝sin A ＋B 2cos A ＋B 2＝2sin A ＋B 2cosA ＋B 22cos2A ＋B 2＝sin A ＋B 1＋cos A ＋B ＝sin C1＋cos A ＋B ＝sin C . ∵sin C ≠0，∴1＋cos(A ＋B )＝1，cos(A ＋B )＝0.∵0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝π2，即△ABC 是以角C 为直角的直角三角形．对于①，由tan Atan B ＝1，得tan A ＝tan B ，即A ＝B ，不一定成立，故①不正确；对于②，∵A ＋B ＝π2，∴sin A ＋sin B ＝sin A ＋cos A ＝2sin(A ＋π4)，∴1<sin A ＋sin B ≤2，故②正确；对于③，∵A ＋B ＝π2，∴sin 2A ＋cos 2B ＝sin 2A ＋sin 2A ＝2sin 2A ，其值不确定，故③不正确；对于④，∵A ＋B ＝π2，∴cos 2A ＋cos 2B ＝cos 2A ＋sin 2A ＝1＝sin 2C ，故④正确．2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，q ＝(2a,1)，p ＝(2b －c ，cos C )，且q ∥p .(1)求sin A 的值；(2)求三角函数式－2cos 2C 1＋tan C＋1的取值范围．解 (1)∵q ＝(2a,1)，p ＝(2b －c ，cos C )且q ∥p ，∴2b －c ＝2a cos C ，由正弦定理得2sin A cos C ＝2sin B －sin C ，又sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ， ∴12sin C ＝cos A sin C . ∵sin C ≠0，∴cos A ＝12，又∵0<A <π，∴A ＝π3，∴sin A ＝32.(2)原式＝－2cos 2C 1＋tan C ＋1＝1－2cos 2C －sin 2C1＋sin C cos C＝1－2cos 2C ＋2sin C cos C ＝sin 2C －cos2C＝2sin(2C －π4)，∵0<C <23π，∴－π4<2C －π4<1312π，∴－22<sin(2C －π4)≤1， ∴－1<2sin(2C －π4)≤2，即三角函数式－2cos 2C1＋tan C＋1的取值范围为(－1，2]．(推荐时间：60分钟)一、选择题1．(2014·浙江)为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象( )A ．向右平移π4个单位B ．向左平移π4个单位C ．向右平移π12个单位D ．向左平移π12个单位答案 C解析因为y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2sin(3x ＋π4)＝2sin[3(x ＋π12)]，又y ＝2cos 3x ＝2sin(3x ＋π2)＝2sin[3(x ＋π6)]，所以应由y ＝2cos 3x 的图象向右平移π12个单位得到．2．已知α∈(π2，π)，sin(α＋π4)＝35，则cos α等于( )A ．－210B.7210 C ．－210或7210D ．－7210答案 A解析 ∵α∈(π2，α)．∴α＋π4∈(34π，54π)．∵sin(α＋π4)＝35，∴cos(α＋π4)＝－45，∴cos α＝cos(α＋π4)cos π4＋sin(α＋π4)sin(π4)＝－45×22＋35×22＝－210.3．在△ABC 中，若sin C sin A ＝3，b 2－a 2＝52ac ，则cos B 的值为( )A.13 B.12 C.15 D.14答案 D解析由正弦定理：c a ＝sin Csin A＝3，由余弦定理：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝c 2－52ac2ac ＝12×c a －54＝32－54＝14. 4．(2013·陕西)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定答案 B解析由b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，即sin(B ＋C )＝sin 2A ，所以sin A ＝1，由0<A <π，得A ＝π2，所以△ABC 为直角三角形．5．已知tan β＝43，sin(α＋β)＝513，其中α，β∈(0，π)，则sin α的值为( )A.6365 B.3365 C.1365 D.6365或3365答案 A解析依题意得sin β＝45，cos β＝35.注意到sin(α＋β)＝513<sin β，因此有α＋β>π2(否则，若α＋β≤π2，则有0<β<α＋β≤π2，0<sin β<sin(α＋β)，这与“sin(α＋β)<sin β”矛盾)，则cos(α＋β)＝－1213，sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sin β＝6365. 6．已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且tan B ＝2－3a 2－b 2＋c 2，BC →·BA →＝12，则tan B 等于( )A.32B.3－1C ．2D ．2－3 答案 D解析由题意得，BC →·BA →＝|BC →|·|BA →|cos B＝ac cos B ＝12，即cos B ＝12ac，由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12ac⇒a 2＋c 2－b 2＝1，所以tan B ＝2－3a 2－b 2＋c 2＝2－3，故选D. 二、填空题7．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝________. 答案－255解析由tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13. 又－π2<α<0，可得sin α＝－1010. 故2sin 2α＋sin 2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2sin αsin α＋cos α22sin α＋cos α ＝22sin α＝－255. 8．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知a 2－c 2＝2b ，且sin A cos C ＝3cos A sin C ，则b ＝________.答案 4 解析由sin A cos C ＝3cos A sin C 得：a 2R ·a 2＋b 2－c 22ab ＝3·b 2＋c 2－a 22bc ·c 2R，b2 2，∴a2＋b2－c2＝3(b2＋c2－a2)，a2－c2＝解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－c 2＝2b a 2－c 2＝b 22，∴b ＝4. 9．已知0<α<π2<β<π，cos(β－π4)＝13，sin(α＋β)＝45，则cos(α＋π4)＝________. 答案 82－315解析因为0<α<π2<β<π，所以π4<β－π4<3π4，π2<α＋β<3π2. 所以sin(β－π4)>0，cos(α＋β)<0. 因为cos(β－π4)＝13，sin(α＋β)＝45，所以sin(β－π4)＝223，cos(α＋β)＝－35. 所以cos(α＋π4)＝cos[(α＋β)－(β－π4)] ＝cos(α＋β)cos(β－π4)＋sin(α＋β)sin(β－π4) ＝－35×13＋45×223＝82－315. 10．如图，嵩山上原有一条笔直的山路BC ，现在又新架设了一条索道AC ，小李在山脚B 处看索道AC ，发现张角∠ABC ＝120°；从B 处攀登400米到达D 处，回头看索道AC ，发现张角∠ADC ＝150°；从D 处再攀登800米方到达C 处，则索道AC 的长为________米．答案 40013解析如题图，在△ABD 中，BD ＝400米，∠ABD ＝120°.因为∠ADC ＝150°，所以∠ADB ＝30°.所以∠DAB ＝180°－120°－30°＝30°.由正弦定理，可得BD sin∠DAB ＝ADsin∠ABD. 所以400sin 30°＝AD sin 120°，得AD ＝4003(米)．在△ADC 中，DC ＝800米，∠ADC ＝150°，由余弦定理，可得 AC 2＝AD 2＋CD 2－2×AD ×CD ×cos∠ADC＝(4003)2＋8002－2×4003×800×cos 150°＝4002×13，解得AC ＝40013(米)．故索道AC的长为40013米．三、解答题11．(2014·安徽)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，A ＝2B.(1)求a 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4的值．解 (1)因为A ＝2B ，所以sin A ＝sin 2B ＝2sin B cos B .由正、余弦定理得a ＝2b ·a 2＋c 2－b 22ac. 因为b ＝3，c ＝1，所以a 2＝12，a ＝2 3. (2)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋1－126＝－13. 由于0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－19＝223. 故sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝sin A cos π4＋cos A sin π4＝223×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×22＝4－26. 12．已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin(ωx －π6)＋1(ω>0)的最小正周期是π. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)求f (x )在[π8，3π8]上的最大值和最小值．解 (1)f (x )＝4cos ωx ·sin(ωx －π6)＋1 ＝23sin ωx cos ωx －2cos 2ωx ＋1＝3sin 2ωx －cos 2ωx ＝2sin(2ωx －π6)．最小正周期是2π2ω＝π，所以，ω＝1，从而f (x )＝2sin(2x －π6)．令－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z . 解得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z . 所以函数f (x )的单调递增区间为[－π6＋k π，π3＋k π](k ∈Z )． (2)当x ∈[π8，3π8]时，2x －π6∈[π12，7π12]， f (x )＝2sin(2x －π6)∈[6－22，2]，π8，3π8]上的最大值和最小值分别为2，6－22.所以f(x)在[13．已知角A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，若向量m ＝(1－cos(A ＋B )，cos A －B 2)，n ＝(58，cos A －B 2)，且m ·n ＝98. (1)求tan A tan B 的值；(2)求ab sin C a 2＋b 2－c 2的最大值．解 (1)m ·n ＝58－58cos(A ＋B )＋cos 2A －B 2＝98－18cos A cos B ＋98sin A sin B ＝98， ∴cos A cos B ＝9sin A sin B 得tan A tan B ＝19. (2)tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝98(tan A ＋tan B )≥98·2tan A tan B ＝34. (∵tan A tan B ＝19>0， ∴A ，B 均是锐角，即其正切值均为正)ab sin C a 2＋b 2－c 2＝sin C 2cos C ＝12tan C ＝－12tan(A ＋B )≤－38，所求最大值为－38.希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！。

三角恒等变换两角和差二倍角三角函数二轮复习专题练习(三)附答案高中数学

第II卷（非选择题）
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评卷人
得分
二、填空题
9．角是第二象限，，则 ▲。
10．tan17+tan28+tan17tan28=_
11．若，则 =.
12．设为锐角，若，则的值为▲．
13．已知，则β=。
14．设的值是
15．已知sin＝，sin(－)＝－，，均为锐角，则等于.
（A）-3（B）-1（C）1（D）3
6．若0＜α＜β＜，sinα＋cosα＝a，sinβ＋cosβ＝b，则（）（汇编全国8）
A．a＜bB．a＞bC．ab＜1D．ab＞2
7．若，，，，则
（A）（B）（C）（D） (汇编年高考浙江卷理科6)
8．设sin ，则（）
(A) (B) (C) (D) [来源:学§科§网](汇编年高考辽宁卷理科7)
高中数学专题复习
《三角恒等变换两角和与差二倍角三角函数》单元过关检测
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
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评卷人
得分
一、选择题
1．对任意的锐角，，下列不等关系中正确的是（）
【解析】因为是方程的两个根，所以，，所以，选A.
6．AB
解析：A∵a＝ sin（α＋），b＝ sin（β＋），又＜α＋＜β＋＜ .
而y＝sinx在［0，］上单调递增，∴sin（α＋）＜sin（β＋）.即a＜b.
7．C
【解析】：
故选C
8．A
解析：

三角恒等变换两角和差二倍角三角函数三轮复习考前保温专题练习(三)附答案人教版高中数学高考真题汇编

7．若0＜α＜β＜，sinα＋cosα＝a，sinβ＋cosβ＝b，则（）（汇编全国8）
A．a＜bB．a＞bC．ab＜1D．ab＞2
8．已知函数，的图像与直线的两个相邻交点的距离等于，则的单调递增区间是()(汇编安徽理)
A． B．
C． D．
[解析]：，由题设的周期为，∴ ，
由得，，故选C
【解析】因为为第二象限，所以，即，所以，选B.
6．A【汇编高考真题重庆理5】
【解析】因为是方程的两个根，所以，，所以，选A.
7．AB
解析：A∵a＝ sin（α＋），b＝ sin（β＋），又＜α＋＜β＋＜ .
而y＝sinx在［0，］上单调递增，∴sin（α＋）＜sin（β＋）.即a＜b.
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第I卷（选择题）
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得分
一、选择题
1．已知cos（α- ）+sinα= （）
（A）- （B） (C)- (D) (汇编山东理)
第II卷（非选择题）
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评卷人
得分
二、填空题
9．的值为
10．设，，，则大小关系▲．
11．若tan =2,且为第三象限角，则sin +cos =.
12．已知为第二象限角，且
13．已知，且是第二象限角，则 ▲．
14．若，则．

三角恒等变换两角和差二倍角三角函数单元过关检测卷(五)附答案高中数学辅导班专用

8．已知函数，的图像与直线的两个相邻交点的距离等于，则的单调递增区间是()(汇编安徽理)
A． B．
C． D．
[解析]：，由题设的周期为，∴ ，
由得，，故选C
第II卷（非选择题）
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评卷人
得分
二、填空题
9．设为第二象限角,若 ,则 ________.（汇编年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））
所以cos2α＝cos2α－sin2α＝－．…………………………6分
方法二：
因为cos2α＝cos2α－sin2α…………………………2分
＝＝，…………………………4分
又tanα＝2，所以cos2α＝＝－．…………………………6分
（2）方法一：
因为α (0，π)，且tanα＝2，所以α (0， )．
【解析】因为为第二象限，所以，即，所以，选B.
6．D【2012高考真题江西理4】
【命题立意】本题考查三角函数的倍角公式以及同角的三角函数的基本关系式。
【解析】由得，，即，所以，选D.
7．A
8．C
第II卷（非选择题）
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评卷人
得分
二、填空题
9．
10．
11．
12．
13．
14．
15．
16．
17．，，解得：，，故＝。
解析：，，
解得：，，故＝。
18．
评卷人
得分
三、解答题
19．
20．本题考查三角函数求值，三角恒等变换，利用诱导公式化简三角函数式与两角和的余弦公式求值，难度较低。

高三数学任意角的三角函数及三角恒等变换期末复习测试卷文试题

任意角的三角函数及三角恒等变换制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日(40分钟)一、选择题1.等于( )A.±B. D.2.(2021·模拟)角α的终边与单位圆交于点,那么sin2α的值是( )A. D.3.(2021·模拟)假设sinα=,α∈,那么cosα= ( )B. C.4.(2021·模拟)cosα=,cos(α+β)=-,α,β都是锐角,那么cosβ=( )C. D.α,tanβ是方程x2-3x+2=0的两个根,那么tan(α+β)的值是( )A.-3B.-1C.1二、填空题6.(2021·模拟)α,β均为锐角且sinα=,sinβ=,那么α+β= .7.(2021·新课标全国卷Ⅱ)设θ为第二象限角,假设tan=,那么sinθ+cosθ= .8.(2021·模拟)α∈,tan=,那么sinα+cosα= .三、解答题9.(2021·模拟)如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点.A,B的横坐标分别为,.(1)求tan(α+β)的值.(2)求α+2β的值.10.(2021·模拟)cos=,<x<.(1)求sin2x的值.(2)求的值.11.(2021·模拟)函数f(x)=2sin,x∈R.(1)求f(0)的值.(2)设α,β∈,f=,f(3β+2π)=,求sin(α+β)的值. 12.(2021·模拟)复数z1=sin2x+λi,z2=m+(m-cos2x)i(λ,m,x∈R),且z1=z2.(1)假设λ=0且0<x<π,求x的值.(2)设λ=f(x),当x=α时,λ=,试求cos的值.答案解析1.【解析】°在第三象限,所以cos600°<0,所以=-cos600°=-cos(360°+240°)=-cos240°=-cos(180°+60°)=cos60°=.2.【解析】选C.由任意角三角函数定义得,sinα=,cosα=-,所以sin2α=2sinαcosα=2×·=-.【方法总结】巧用三角函数定义求值(1)角α的终边在直线上求α的三角函数值时,常用的解题方法有以下两种:①先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值.②注意到角的终边为射线,所以应分两种情况来处理,取射线上任一点坐标,然后利用定义求解.(2)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时,要根据问题的实际情况对参数进展分类讨论.3.【解析】α=,α∈,所以cosα=-=-.【变式备选】sinα+cosα=,0<α<π,那么sin2α,cos2α的值分别为( )A.,,,-,±【解析】α+cosα=,0<α<π,得sin2α=-,sinα-cosα=,故cos2α=cos2α-sin2α=(cosα+sinα)·(cosα-sinα)=-.4.【解析】α,β是锐角,所以0<α+β<π,又cos(α+β)=-<0,所以<α+β<π,所以sin(α+β)=,sinα=.又cosβ=cos(α+β-α)=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=-×+×=.5.【解析】α,tanβ是方程x2-3x+2=0的两个根,所以tanα+tanβ=3,tanαtanβ=2,所以tan(α+β)===-3,选A.6.【解析】由sinα=,sinβ=,α,β均为锐角,得cosα==,cosβ==,所以cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=×-×=.又因为0<α+β<π,所以α+β=.答案:【方法总结】选用三角函数的技巧(1)一般正切函数值,选正切函数.(2)正、余弦函数值,函数的选取从以下三种情况考虑.①假设角的范围是选正弦或者余弦函数;②假设角的范围是选正弦函数比余弦函数好;③假设角的范围是(0,π)选余弦函数比正弦函数好.如此题在求α+β值时,假设取其正弦时容易出错,因为0<α+β<π,在此区间上余弦函数是单调函数,而正弦函数在此区间不是单调函数,要求α+β的值还需将范围缩小,比拟费事.7.【解析】因为θ为第二象限角,tan=>0,所以角θ的终边落在直线y=-x的左侧,sinθ+cosθ<0,由tan=,得=,即=,所以设sinθ+cosθ=x,那么cosθ-sinθ=2x,将这两个式子平方相加得:x2=,即sinθ+cosθ=-.答案:-8.【解析】因为<α<π,所以<α+<π,又因为tan=,所以π<α+<,得sin=-=-,所以sinα+cosα=sin=-.答案:-9.【解析】(1)由条件及三角函数的定义可知,cosα=,cosβ=. 因α为锐角,故sinα>0,从而sinα==,同理可得sinβ=.因此tanα=7,tanβ=.所以tan(α+β)===-3.(2)tan(α+2β)=tan[(α+β)+β]==-1. 又α,β均为锐角,故有α+2β∈,故α+2β=π.10.【解析】(1)因为cos2=cos= -sin2x,又cos2=2cos2-1=2×-1=-,所以sin2x=.(2)===sin2xtan.因为<x<,所以<x+<2π,所以sin=-=-,所以tan=-,=×=-.11.【解题提示】(1)将0代入到f(x)=2sin中直接求解.(2)由f=,f(3β+2π)=,求sinα,cosβ的值,再求cosα,sinβ的值,然后利用两角和的正弦求值.【解析】(1)f(0)=2sin=-2sin=-1.(2)由题意知,α,β∈,f=,f(3β+2π)=,即2sinα=,2cosβ=,所以sinα=,cosα=;cosβ=,sinβ=.所以sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=×+×=.12.【解题提示】复数相等实际是给出了关于m,λ和x的三角函数之间的两个等式.(1)根据λ=0,得到关于x的方程,通过方程求解x.(2)根据复数相等的条件得m=sin2x,故可以得到函数λ=f(x),条件即f(α)=,变换这个条件,把求解目的用表示.【解析】(1)因为z1=z2,所以所以λ=sin2x-cos2x.假设λ=0,那么sin2x-cos2x=0,得tan2x=.因为0<x<π,所以0<2x<2π,所以2x=或者2x=,所以x=或者.(2)因为λ=f(x)=sin2x-cos2x=2=2sin.当x=α时,λ=,所以2sin=,sin=,sin=-.因为cos=cos2=2cos2-1=2sin2-1,所以cos=2×-1=-.制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日。

高三理科数学二轮复习专题能力提升训练：三角恒等变换与解三角形(含答案解析).pdf

训练　三角恒等变换与解三角形一、选择题(每小题5分，共25分) 1．已知α，β都是锐角，若sin α＝，sin β＝，则α＋β＝( )． A. B. C.和 D．－和－ 2．已知sin α－cos α＝，α(0，π)，则tan α＝( )． A．－1 B．－ C. D．1 3．在ABC中，a＝4，b＝，5cos(B＋C)＋3＝0，则角B的大小为( )． A. B. C. D.π 4．ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若＜cos A，则ABC为( )． A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 5．若ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则a＋b的最小值为( )． A. . C. D. 二、填空题(每小题5分，共15分) 6．在ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝2，B＝，sin C＝，则c＝________；a＝________.7．在ABC中，sin2C＝sin Asin B＋sin2B，a＝2b，则角C＝________. 8．在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知4sin2－cos 2C＝，且a＋b＝5，c＝，则ABC的面积为________．三、解答题(本题共3小题，共35分) 9．(11分)已知函数f(x)＝2sin， xR. (1)求f的值； (2)设α，β，f＝，f(3β＋2π)＝，求cos(α＋β)的值． 10．(12分)在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2sin2－cos 2A＝. (1)求角A的度数； (2)若a＝，b＋c＝3(b＞c)，求b和c的值． 11．(12分)如图，某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A、B两地相距100米，BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比B地晚秒．A地测得该仪器在C处时的俯角为15°，A地测得最高点H的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音的传播速度为340米/秒)1．A　[因为α、β都为锐角，所以cos α＝＝，cos β＝＝.所以cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin α·sin β＝，所以α＋β＝，故选A.] 2．A　[利用辅助角公式求出α，再求其正切值．由sin α－cosα＝sin＝，α(0，π)，解得α＝，所以tanα＝tan＝－1.] 3．A　[由5 cos(B＋C)＋3＝0，得cos A＝，则sin A＝，＝，sin B＝.又a＞b，B必为锐角，所以B＝.] 4．A　[依题意，得＜cos A，sin C＜sin Bcos A，所以sin(A＋B)＜sin Bcos A，即sin Bcos A＋cos BsinA－sin Bcos A＜0，所以cos Bsin A＜0.又sin A＞0，于是有cos B＜0，B为钝角，ABC是钝角三角形，选A.] 5．D　[由余弦定理可得：c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝(a＋b)2－4，所以有ab＝≤2，解得a＋b≥.] 6．解析　利用正弦定理可知：c＝＝2，b2＝a2＋c2－2accos B，a2－4a－12＝0，a＝6. 答案：2　6 7．解析　由正弦定理知，c2＝ab＋b2，所以cos C＝＝＝＝＝，所以C＝. 答案 8．解析　因为4sin2－cos 2C＝，所以2[1－cos(A＋B)]－2cos2C＋1＝， 2＋2cos C－2cos2C＋1＝， cos2C－cos C＋＝0，解得cos C＝. 根据余弦定理有cos C＝＝，ab＝a2＋b2－7， 3ab＝a2＋b2＋2ab－7＝(a＋b)2－7＝25－7＝18， ab＝6. 所以S＝absin C＝×6×＝. 答案 9．解　(1)由题设知：f＝2sin＝2sin＝. (2)由题设知：＝f＝2sin α，＝f(3β＋2π)＝2sin＝2cos β，即sin α＝，cos β＝.又α，β，cos α＝，sin β＝，cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsinβ＝×－×＝. 10．解 (1)由2sin2－cos 2A＝及A＋B＋C＝180°，得2[1－cos (B＋C)]－2cos2A＋1＝， 4(1＋cos A)－4cos2A＝5. 4cos2A－4cos A＋1＝0.cos A＝. ∵0°＜A＜180°，A＝60°. (2)由余弦定理，得cos A＝.∵cos A＝，＝.∴(b＋c)2－a2＝3bc.将a＝，b＋c＝3代入上式得bc＝2. 由及b＞c，得 11．解　由题意，设|AC|＝x，则|BC|＝x－×340＝x－40，在ABC内，由余弦定理：|BC|2＝|BA|2＋|CA|2－2|BA|·|CA|·cosBAC，即(x－40)2＝x2＋10 000－100x，解得x＝420. 在ACH中，|AC|＝420，CAH＝30°＋15°＝45°，CHA＝90°－30°＝60°，由正弦定理：＝，可得|CH|＝|AC|·＝140. 答：该仪器的垂直弹射高度CH为140米．。