2017-2018学年高中数学人教A版选修4-4创新应用教学案： 第一讲 第2节 极坐标系 Word版含答案

[核心必知]

1．极坐标系的概念 (1)极坐标系的建立

在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．

(2)点的极坐标

设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ．有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)．

一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数． 2．极坐标与直角坐标的互化 (1)互化的前提条件

①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x 轴的正半轴重合；③两种坐标系取相同的长度单位．

(2)互化公式

⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ； ⎩

⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2

，tan θ＝y

x （x ≠0）Ｗ. [问题思考]

1．平面上的点与这一点的极坐标是一一对应的吗？为什么？

提示：不是．在极坐标系中，与给定的极坐标(ρ，θ)相对应的点是唯一确定的；反过来，同一个点的极坐标却可以有无穷多个．如一点的极坐标是(ρ，θ)(ρ≠0)，那么这一点也

可以表示为(ρ，θ＋2n π)或(－ρ，θ＋(2n ＋1)π)(其中n ∈Z )．

2．若ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外，点M (ρ，θ)与平面内的点之间是否是一一对应的？

提示：如果我们规定ρ＞0，0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ)来表示，这时，极坐标与平面内的点之间就是一一对应的关系．

3．若点M 的极坐标为(ρ，θ)，则M 点关于极点、极轴、过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是什么？

提示：设点M 的极坐标是(ρ，θ)，则M 点关于极点的对称点的极坐标是(－ρ，θ)或(ρ，

θ＋π)；M 点关于极轴的对称点的极坐标是(ρ，－θ)；M 点关于过极点且垂直于极轴的直

线的对称点的极坐标是(ρ，π－θ)或(－ρ，－θ)．

已知定点P ⎝

⎛⎭⎫4，π

3.

(1)将极点移至O ′⎝⎛⎭⎫23，π

6处极轴方向不变，求P 点的新坐标；

(2)极点不变，将极轴顺时针转动π

6

角，求P 点的新坐标．

[精讲详析] 本题考查极坐标系的建立及极坐标的求法．解答本题需要根据题意要求建立正确的极坐标系，然后求相应的点的极坐标．

(1)设P 点新坐标为(ρ，θ)，如图所示，由题意可知|OO ′|＝23， |OP |＝4，∠POx ＝π

3，

∠O ′Ox ＝π

6，

∴∠POO ′＝π

6

.

在△POO ′中，ρ2＝42＋(23)2－2·4·23·cos π

6

＝16＋12－24＝4，∴ρ＝2. 即|O ′P |＝2.

∴|OP |2＝|OO ′|2＋|O ′P |2，∠OO ′P ＝π2.

∴∠OPO ′＝π

3

.

∴∠OP ′P ＝π－π3－π3＝π

3.

∴∠PP ′x ＝2π

3

.

∴∠PO ′x ′＝2π

3.

∴P 点的新坐标为(2，2π

3)．

(2)如图，设P 点新坐标为(ρ，θ)，

则ρ＝4，θ＝π3＋π6＝∴P 点的新坐标为(4，π

2)．

—————————————

建立极坐标系的要素是(1)极点；(2)极轴；(3)长度单位；(4)角度单位和它的正方向．四者缺一不可．极轴是以极点为端点的一条射线，它与极轴所在的直线是有区别的；极角θ的始边是极轴，它的终边随着θ的大小和正负而取得各个位置；θ的正方向通常取逆时针方向，θ的值一般是以弧度为单位的量数；点M 的极径ρ表示点M 与极点O 的距离|OM |，因此ρ≥0；但必要时，允许ρ＜0.

1．边长为a 的正六边形的一个顶点为极点，极轴通过它的一边，求正六边形各顶点坐标．

解：由点的极坐标的定义可知，正六边形各顶点的极坐标分别为：(0，0)、(a ，0)、(3a ，π6)、(2a ，π3)、(3a ，π2)、(a ，2

3π)或(0，0)、(a ，0)、(3a ，－π6)、(2a ，－π3)、(3

a ，－π2)、(a ，－2

3

π)．

若以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系． (1)已知点A 的极坐标⎝

⎛⎭⎫4，5π

3，求它的直角坐标；

(2)已知点B 和点C 的直角坐标为(2，－2)和(0，－15)，求它们的极坐标．(ρ＞0，0≤θ＜2π)

[精讲详析] 本题考查极坐标和直角坐标的互化．解答此题只需将已知条件代入相关公式即可．

(1)∵x ＝ρcos θ＝4·cos 5π

3

＝2. y ＝ρsin θ＝4sin

5π

3

＝－2 3. ∴A 点的直角坐标为(2，－23)． (2)∵ρ＝x 2＋y 2＝22＋（－2）2＝22， tan θ＝－2

2＝－1.

且点B 位于第四象限内， ∴θ＝7π4

.

∴点B 的极坐标为(22，7π

4)．

又∵x ＝0，y ＜0，ρ＝15， ∴点C 的极坐标为(15，3π

2)．

(1)将极坐标(ρ，θ)化为直角坐标(x ，y )的公式是：x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；

(2)将直角坐标(x ，y )化为极坐标(ρ，θ)的公式是：ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y

x (x ≠0)，在利用

此公式时要注意ρ和θ的取值范围．