【配套K12]上海市某知名中学高一数学10月月考试题_2

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2023-2024学年上海市高一上册10月月考数学试题 (2)(含解析)

2023-2024学年上海市高一上册10月月考数学试题一、填空题1．下面六个关系式：①{}a ∅⊆；②{}a a ⊆；③{}{}a a ⊆；④{}{,}a a b ∈；⑤{,,}a a b c ∈；⑥{,}a b ∅∈，其中正确的是__．【正确答案】①③⑤【分析】根据集合与集合，元素与集合的关系判断即可.【详解】空集是任何集合的子集，故①正确；由元素与集合的关系可知，{},{,,}a a a a b c ∈∈，故②错误，⑤正确；由集合与集合的关系可知，{}{},{}{,},{,}a a a a b a b ⊆⊆∅⊆，故③正确，④⑥错误；故①③⑤2．集合{}22,{M y y x N x y ==-+=∣∣，则M N ⋂=__．【正确答案】1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】由函数的性质化简集合，再求交集.【详解】{}(]{21|2,2,|,3M y y x N x y ⎡⎫==-+=-∞===+∞⎪⎢⎣⎭，所以1,23M N ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ．故1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦3．满足条件M ∪{1}＝{1,2,3}的集合M 的个数为________．【正确答案】2【详解】∵M ∪{1}={1,2,3}∴2∈M ，且3∈M∴集合M 可能为{2,3}或{1,2,3}故答案为24．写出2a >的一个必要非充分条件___________.【正确答案】1a >根据必要非充分条件的定义，知：21a a >⇒>，而1a >不一定有2a >，即1a >是2a >的一个必要非充分条件.【详解】∵21a a >⇒>，而2a >⇏1a >，∴1a >是2a >的一个必要非充分条件.故1a >本题考查了必要非充分条件，根据定义法写出一个必要非充分条件，属于简单题.5．设实数集上不等式2103x x+<-的解集为A ，则A =R ð___________.【正确答案】1[,3]2-【分析】本题先求出1(,)(3,)2A =-∞-+∞ ，再求R A ð即可.【详解】解：因为2103x x+<-⇔2103x x +>-⇔(3)(21)0x x -+>⇔12x <-或3x >因为实数集上不等式2103x x +<-的解集为A ，所以1(,)(3,)2A =-∞-+∞ ，所以1[,3]2R A -=ð故1[,3]2-本题考查求解分式不等式、集合的补集运算，是基础题.6．若关于x 的一元二次不等式2(1)40x k x +-+≤的解集为{2}，则实数k =________【正确答案】3-由题意利用判别式0∆=求出k 的值，再判断是否满足题意即可.【详解】关于x 的一元二次不等式2(1)40x k x +-+≤的解集为{2}，所以()214140k ∆=--⨯⨯=，解得3k =-或5k =；当3k =-时，不等式为2440x x -+≤，解集为{}2；当5k =时，不等式为2440x x ++≤，解集为{}2-，不合题意；综上知，实数3k =-，故答案为.3-7．命题“存在x ∈R ，使得x 2+2x+5=0”的否定是【正确答案】对任何x ∈R ，都有x 2+2x+5≠0．【详解】因为命题“存在x ∈R ，使得x 2+2x+5=0”是特称命题，根据特称命题的否定是全称命题，可得命题的否定为：对任何x ∈R ，都有x 2+2x+5≠0．故答案为对任何x ∈R ，都有x 2+2x+5≠0．8．若实数,a b 满足1ab =,则222a b +的最小值为___________.【正确答案】【分析】直接利用均值不等式计算得到答案.【详解】222a b +≥==当222a b =时，即141422a b -⎧=⎪⎨⎪=⎩或141422a b -⎧=-⎪⎨⎪=-⎩时，等号成立.故答案为.本题考查了利用均值不等式求最值，意在考查学生对于均值不等式的灵活运用.9．已知,,a b c ∈R 则下列命题正确的个数是___________.①若22ac bc >，则a b >；②若22a b ->-，则()()2222a b ->-；③若0a b c >>>，则111a b c <<；④若0a >，0b >，4a b +>，4ab >，则2a >，2b >.【正确答案】3【分析】根据不等式的性质判断，错误的命题可举反例说明．【详解】①若22ac bc >，显然20c >，则a b >，正确；②若22a b ->-，显然20b -≥，根据不等式的乘方的性质有，则()()2222a b ->-，正确；③若0a b c >>>，由0a b >>，则a b ab ab >，即11b a >，同理由0b c >>得11b c <，所以111a b c <<，正确；④若0a >，0b >，4a b +>，4ab >，例如10,1a b ==，满足4,4a b ab +>>，但12b =<，错误．正确个数为3．故3．10．若不等式ax 2-bx +c ＜0的解集是{|23}x x -<<，则不等式bx 2+ax +c ＜0的解集是______【正确答案】（-3，2）【分析】由题分析得b ＞0，且a b =1，c b=-6，再解一元二次不等式得解.【详解】∵不等式ax 2-bx +c ＜0的解集是（-2，3），∴a ＞0，且对应方程ax 2-bx +c =0的实数根是-2和3，由根与系数的关系，得2323c a b a⎧=-⨯⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，即c a =-6，b a=1,∴b ＞0，且a b =1，c b =-6，∴不等式bx 2+ax +c ＜0可化为x 2+x -6＜0，解得-3＜x ＜2；∴该不等式的解集为（-3，2）．故答案为（-3，2）.本题主要考查一元二次不等式的解的求法和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11．已知一元二次方程20x px p ++=的两个实根分别为α，β，且223αβ+=，则实数p =_________【正确答案】1-【分析】利用根的判定式求出参数的取值范围，再利用韦达定理计算可得；【详解】解：因为一元二次方程20x px p ++=的两个实根分别为α，β，所以240p p ∆=-≥，解得4p ≥或0p ≤所以p pαβαβ+=-⎧⎨=⎩又因为223αβ+=，所以()22223αβαβαβ+=+-=，即()223p p --=，解得1p =-或3p =（舍去）故1-本题考查根与系数的关系的应用，属于基础题.12．若关于x 的不等式224ax ax -≥的解集为∅，则实数a 的取值范围是__．【正确答案】(]4,0-【分析】讨论0a =，0a ≠两种情况，由一元二次不等式的解法得出实数a 的取值范围.【详解】由题意得2240ax ax --≥的解集为∅，当0a =时，40-≥的解集为∅，当0a ≠时，20Δ4160a a a <⎧⎨=+<⎩，解得40a -<<，综上，实数a 的取值范围是(]4,0-．故(]4,0-二、单选题13．设U 为全集，A 、B 为非空集合，下面四个命题：（1）A B A = ；（2）A B B ⋃=；（3）A B ⋂=∅；（4）A B U ⋃=.其中与命题A B ⊆等价的命题个数有（）个A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】D【分析】利用集合的运算性质、集合之间的关系即可判断出结论．【详解】解：U 为全集，A 、B 为非空集合，下面四个命题：（1）A B A A B ⋂=⇔⊆；（2）A B B A B ⋃=⇔⊆；（3）,A B x A =∅∀∈ ，则,,x B x B A B A B ∉∴∈∴=∅⇔⊆ ；（4）,A B U x A =∀∈ ，则,,x A x B A B U A B ∉∴∈∴=⇔⊆ ．其中与命题A B ⊆等价的命题个数有4．故选：D ．14．如图，I 为全集，M 、P 、S 是I 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A ．()M P SB ．()M P SC ．()⋂⋂M P SD ．()⋂⋃M P S【正确答案】C 【分析】由Venn 图可得，集合表示,M P 的交集与S 的补集的交集，从而得到答案.【详解】由Venn 图可得，集合表示,M P 的交集与S 的补集的交集，即()⋂⋂M P S .故选：C15．直角坐标平面中除去两点(1,1)A ､(2,2)B -可用集合表示为（）A ．{(,)|1,1,2,2}x y x y x y ≠≠≠≠-B ．1{(,)|1x x y y ≠⎧⎨≠⎩或2}2x y ≠⎧⎨≠-⎩C ．2222{(,)|[(1)(1)][(2)(2)]0}x y x y x y -+--++≠D ．2222{(,)|[(1)(1)][(2)(2)]0}x y x y x y -+-+-++≠【正确答案】C直角坐标平面中除去两点(1,1)A ､(2,2)B -，其余的点全部在集合中，逐一排除法．【详解】直角坐标平面中除去两点(1,1)A 、(2,2)B -，其余的点全部在集合中，A 选项中除去的是四条线1,1,2,2x y x y ====-；B 选项中除去的是(1,1)A 或除去(2,2)B -或者同时除去两个点，共有三种情况，不符合题意；C 选项2222{(,)|[(1)(1)][(2)(2)]0}x y x y x y -+--++≠，则22(1)(1)0x y -+-≠且22(2)(2)0x y -++≠，即除去两点(1,1)A ､(2,2)B -，符合题意；D 选项2222{(,)|[(1)(1)][(2)(2)]0}x y x y x y -+-+-++≠，则任意点(),x y 都不能2222[(1)(1)][(2)(2)]0x y x y -+-+-++=，即不能同时排除A ，B 两点．故选：C本题考查了集合的基本概念，考查学生对集合的识别，属于中档题．16．一元二次方程20ax bx c ++=有解是一元二次不等式20ax bx c ++>有解的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【正确答案】D【分析】根据充要条件、必要条件的定义判断即可；【详解】解：对于方程20ax bx c ++=，当2400b ac a ⎧∆=-=⎨<⎩，方程有解，此时20ax bx c ++>的解集为空集，故充分性不成立；若对于20ax bx c ++>当2400b ac a ⎧∆=-<⎨>⎩时不等式的解集为R ，此时方程20ax bx c ++=无解，故必要性也不成立，故一元二次方程20ax bx c ++=有解是一元二次不等式20ax bx c ++>有解的既非充分又非必要条件故选：D本题考查充分条件、必要条件的判断，属于基础题.三、解答题17．已知集合{}31,A x x x x =-≤∈R ，集合1,12x B x x x ⎧⎫=≥∈⎨⎬-⎩⎭R .（1）用区间表示集合A 与集合B ；（2）若定义集合A 为全集，求集合B 在集合A 中的补集B .【正确答案】（1）11,42A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，11,32B ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭；（2）111,432B ⎡⎫⎧⎫=⋃⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎩⎭.【分析】（1）根据绝对值不等式、分式不等式的解法分别求出集合A 和B ，再用区间表示即可；（2）直接利用补集的定义即可求解集合B 在集合A 中的补集B ．【详解】（1）由不等式|31|x x -，可得0x ≥，平方可得28610x x -+，解得1142x ，∴集合{||31|A x x x =-，11}{|}42x R x x ∈=，用区间表示为1[4A =，12．解不等式112x x -，即31012x x --，即31021x x --，解得1132x <，∴集合{|112x B x x =-，11}{|}32x R x x ∈=<．用区间表示为1[3B =，12．（2）集合1[4A =，1]2为全集，则集合1[3B =，1)2在集合A 中的补集1[4B =，11)32⎧⎫⋃⎨⎩⎭．本题主要考查绝对值不等式、分式不等式的解法，考查集合的表示法和补集及其运算，属于中档题．18．已知命题:p 关于x 的不等式10mx -≥的解集为A ，且2A ∈；命题:q 关于x 的方程220x x m -+=有两个不相等的正实数根.（1）若命题p 为真命题，求实数m 的范围；（2）若命题p 和命题q 中至少有一个是假命题，求实数m 的范围.【正确答案】（1）12m ≥（2）12m <或m 1≥【分析】（1）根据不等式的解集且2A ∈,代入即可根据命题p 为真命题求得数m 的范围.（2）先求得命题p 和命题q 都为真命题时m 的范围,根据补集思想即可求得命题p 和命题q 中至少有一个是假命题时m 的范围.【详解】（1）命题:p 关于x 的不等式10mx -≥的解集为A ,且2A∈因为命题p 为真命题所以210m -≥解得12m ≥（2）命题:q 关于x 的方程220x x m -+=有两个不相等的正实数根当命题q 为真命题时,1212440020m x x m x x ∆=->⎧⎪+=>⎨⎪⋅=>⎩解得01m <<当命题p 和命题q 都为真命题1201m m ⎧≥⎪⎨⎪<<⎩所以112m ≤<所以若命题p 和命题q 中至少有一个是假命题则12m <或m 1≥所以实数m 的范围为12m <或m 1≥本题考查了不等式的解法,一元二次方程根的分布特征,复合命题真假的关系,属于中档题.19．为提高销量，某厂家拟投入适当的费用，对网上所售产品进行促销.经调查测算，该促销产品的销售量p 万件与促销费用x (0x a ≤≤，a 为正常数)万元满足231p x =-+.已知生产该批产品p 万件需投入成本()102p +万元（不含促销费用），产品的销售价格定为20(4)p +元/件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求.(1)将该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数；(2)投入促销费用多少万元时，厂家获得的利润最大？【正确答案】(1)4161y x x =--+(0x a ≤≤)；(2)答案见解析.【分析】(1)根据利润等于销售量与产品单价之积减去生产产品的成本和促销费用，利用已知条件表示出利润y 即可；(2)由(1)中结论，利用导数求最大值并讨论参数a 的范围即可求解.【详解】(1)由题意知，()204102210y p x p p x p ⎛⎫ ⎪=+--+=-+⎝⎭，将231p x =-+代入化简，得4161y x x =--+(0x a ≤≤)；(2)由(1)中知，4161y x x =--+(0x a ≤≤)，所以()()()()()()()222222143142311111x x x x x y x x x x -+++--+-'=--==-=-++++，若1a >，当[0,1]x ∈时，0y '≥；当[1,]x a ∈时，0y '≤，所以函数4161y x x =--+在[0,1]上单调递增，在[1,]a 上单调递减.所以当1x =时，y 取极大值，也是最大值，所以投入促销费用1万元时，厂家获得的利润最大.若01a <≤，因为函数4161y x x =--+在[0,1]上单调递增，所以函数4161y x x =--+在[]0,a 上单调递增，所以当x a =时，函数有最大值，即投入促销费用a 万元时，厂家获得的利润最大，综上，当1a >时，投入促销费用1万元时，厂家获得的利润最大；当01a <≤时，投入促销费用a 万元时，厂家获得的利润最大.20．（1）已知a b >，用比较法证明：33a b >；（2）已知,,0a b c >，用基本不等式证明：6b c c a a b a b c+++++≥，并注明等号成立条件；（3）已知332p q +=，用反证法证明：2p q +≤．【正确答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析．【分析】（1）计算23233()()204a b a b b b a ⎡⎤-=-++⎥⎣⎦>⎢，得到证明；（2）b c c a a b b a c a c b a b c a b a c b c +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，利用均值不等式计算得到证明.（3）假设2p q +>，则2p q >-，得33(2)p q >-，计算得到2(1)0q -<，不成立，得到证明.【详解】（1）a b >，2322323()()()(240b a b a ab b a b a b a b ⎡⎤-=-++=-++⎢⎥⎦>⎣，故33a b >；（2）b c c a a b b a c a c b a b c a b a c b c +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++++≥++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭6=，当且仅当a b c ==时取等号；（3）假设2p q +>，则2p q >-，得33(2)p q >-，3328126p q q q +>-+，又332p q +=，所以228126q q >-+，即2210q q +<-，2(1)0q -<，矛盾，故2p q +≤．。

上海市2022高一数学上学期10月月考试题(含解析)

当时，恒成立，
当时，，不恒成立，
2.当时，
或 .
综上可得：或 .
故答案为：
【点睛】本题考查不等式恒成立求参数的取值范围的问题，意在考查分类讨论的思想，属于基础题型.
11.用表示非空集合中元素的个数，定义若，且，设实数的所有可能取值构成集合，则 _______.
【答案】3
【解析】
21.已知关于的不等式的解集为；
（1）若，求的取值范围；
（2）若存在两个不相等负实数、，使得，求实数的取值范围；
（3）是否存在实数，满足：“对于任意，都有，对于任意的，都有 ”，若存在，求出的值，若不存在，说明理由.
【答案】（1）；（2）；（3）存在，
【解析】
【分析】
（1）讨论二次项系数和不等于0两种情况，当不等式的解集为时，的取值范围；（2）根据不等式的解集形式可知，求的范围；（3）根据题意判断不等式的解集，讨论的情况，根据不等式的解集情况判断是否存在.
（2）依题意建立不等式：
，
解得：，
又售价不能低于成本价，所以
，解得：
综上：
【点睛】本题考查函数的应用问题，根据题意抽象出二次函数，和不等式，意在考查转化和应用的能力.
20.已知集合；
（1）判断8，9，10是否属于，并证明；
（2）已知集合，证明的充分必要条件是；
（3）写出所有满足集合的偶数.
集合表示直线上除去的所有点组成的集合，
.
故答案为：
【点睛】本题考查点表示的集合的补集，属于简单题型.
9.已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为__________．

上海市高一上学期数学10月月考试卷

上海市高一上学期数学10月月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）给出如下四个命题：①若“”为假命题，则p,q均为假命题；②命题“若a>b,则”的否命题为“若,则”；③命题“任意”的否定是“存在”；④在中，“A>B”是“sinA>sinB”的充要条件.其中不正确命题的个数是（）A . 4B . 3C . 2D . 12. （2分） (2015高三上·荣昌期中) 若集合M={x|x﹣2＞0}，N={x|log2（x﹣1）＜1}，则M∩N=（）A . {x|2＜x＜3}B . {x|x＜1}C . {x|x＞3}D . {x|1＜x＜2}3. （2分） (2018高二下·永春期末) 若命题：，则为（）A .B .C .D .4. （2分） (2019高三上·集宁期中) 下列各组集合中，表示同一集合的是（）A . ，B . ，C . ，D . ，5. （2分）已知集合，则集合M与P的关系是（）A .B .C .D .6. （2分）若，则下列说法正确的是（）A . 若a>b,则a-c>b-cB . 若a>b，则C . 若ac<bc，则a<bD . 若a>b，则7. （2分）已知a，b∈R，且a2＞b2（）A . 若b＜0，则a＞bB . 若b＞0，则a＜bC . 若a＞b，则a＞0D . 若b＞a，则b＞08. （2分）设集合，则（）A .B .C .D .9. （2分）下列有关命题的说法正确的是（）A . 命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B . “m=1”是“直线x﹣my=0和直线x+my=0互相垂直”的充要条件C . 命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D . 命题“已知x，y为一个三角形的两内角，若x=y，则sinx=siny”的逆命题为真命题10. （2分） (2019高一上·台州月考) 二次函数在上的最小值为（）A .B .C .D .11. （2分） (2019高一上·北京月考) 《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.如图所示的图形，在上取一点，使得，，过点作交圆周于，连接 .作交于 .则下列不等式可以表示的是（）A .B .C .D .12. （2分）已知集合A={x|3x+x2＞0}，B={x|﹣4＜x＜﹣1}，则（）A . A∩B={x|﹣4＜x＜﹣3}B . A∪B=RC . B⊆AD . A⊆B二、填空题 (共6题；共6分)13. （1分）已知集合U={1,2,3}，A={1,3},B={1,3,4},则=________ .14. （1分） (2020高二上·无锡期末) 不等式的解集是________．15. （1分）含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成{a2 ， a+b，0}，则a2017+b2016=________．16. （1分）已知集合A={2，3}，B={2，2a﹣1}，若A=B，则a=________17. （1分） (2019高三上·浙江月考) 已知非零平面向量不共线，且满足，记，当的夹角取得最大值时，的值为________．18. （1分） (2019高二上·四川期中) 在下列四个命题中，正确的命题的有________.①已知直线ax＋by＋c－1＝0(bc>0)经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则的最小值是10;②若圆上有且只有两个点到直线的距离为1，则；③若实数满足的取值范围为；④点M在圆上运动，点为定点，则|MN|的最大值是7.三、解答题 (共4题；共30分)19. （10分） (2019高一上·四川期中) 已知全集为，集合， .（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围.20. （5分）已知集合A={x|a﹣1＜x＜2a+1}，B={x|0＜x＜1}（1）若a=，求A∩B．（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．21. （5分） (2017高三上·唐山期末) 选修4-5：不等式选讲已知函数 .（1）当时，解不等式；（2）若，求的取值范围．22. （10分） (2019高一上·新丰期中) 已知函数 .（1）若，求不等式的解集；（2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共6题；共6分)13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、三、解答题 (共4题；共30分) 19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、。

[K12学习]上海市某知名中学高一数学10月月考试题_2

上海市金山中学2017-2018学年高一数学10月月考试题（考试时间：120分钟满分：150分）一.填空题（1--6每小题4分，7--12每小题5分，共54分） 1、因式分解: 2222c b ab a -+-= ▲ 。

2、设集合{}1,2,34P =,，{}2=≤Q x x ，则⋂P Q = ▲ 。

3、请写出集合{}1,2的所有子集 ▲ 。

（不是个数）4、设:α>x m ，:13β≤<x ，若α是β的必要条件，则实数m 的取值范围是 ▲ 。

5、已知全集U ，用交并补的运算符号表示图中阴影部分 ▲ 。

6、已知,,a b c 是实数，写出命题“若0++=a b c ，则,,a b c 中至少有一个负数”的等价命题 ▲ 。

7、已知集合(){}22,1,,P x y xy x R y R=+=∈∈，(){},1,,Q x y x y x R y R =+=∈∈，则PQ = ▲ 。

8、“33>⎧⎨>⎩x y 成立”是“69+>⎧⎨>⎩x y xy 成立”的 ▲ 条件。

9、满足{}{}0,10,1,2,3,4,5⊆⊆P 的集合P 的个数是 ▲ 。

10、不等式()()222240----<a x a x 对∈x R 恒成立，则实数a 的取值范围为 ▲ 。

11、定义集合运算：(){},,==+∈∈A B z z xy x y x A y B ，设集合{}{}0,3,1,2==A B ，则集合AB 的所有元素的平均数为 ▲ 。

12、定义集合运算""⨯：(){},,⨯=∈∈A B x y x A y B ，称为,A B 的两个集合的“卡氏积”.若{}240,=-≤∈A x x x N ，{}1,2,3=B ，则()()⨯⋂⨯A B B A = ▲ 。

二.选择题（每小题5分，共20分）13、如果0<<a b ，那么下列不等式成立的是（▲）A 、11<a b B 、2<ab b C 、2-<-ab a D 、11-<-a b14、已知集合2{|280}P x x x =--≤， {|}Q x x a =≥， ()C P Q =R R ，则a 的取值范围是（▲）A 、()2,∞-+B 、 ()4,∞+C 、 (],2∞--D 、 (],4∞-15、有限集合S 中元素的个数记作()card S ，设,A B 都为有限集.给出下列命题： ① ()()()⋃=+card A B card A card B 是φ⋂=A B 的充要条件； ② ()()≤card A card B 是⊆A B 的必要不充分条件； ③ ()()1≤-card A card B 是A B Þ的充分不必要条件； ④ ()()=card A card B 是=A B 的充要条件；其中真命题有（▲）A 、①②③B 、①②C 、②③D 、①④16、设集合{}1,2,3,4,5,6M =，12,,,k S S S 都是M 的含有两个元素的子集，且满足：对任意的{},i ii S a b =、{},j j j S a b =（i j ≠且{},1,2,3,,i j k ∈）都有min ,min ,j j i i i i j j a b a b b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭，（{}m i n ,x y 表示两个数,x y 中的较小者），则k 的最大值是（▲）A 、10B 、 11C 、 12D 、 13三.解答题（14分＋14分＋14分＋16分＋18分，共76分） 17、（本题满分14分）已知集合{}21,2,4=++M m m ，且5∈M .求m 的取值集合。

2023-2024学年上海市高一上学期第一次月考(10月)数学质量检测模拟试题(含解析)

7．设集合 A x∣y 2 x 1 1 , B y∣y x2 2x 3 ，则 A B
．
8．已知全集U x∣x2 8x 20 0 ，集合 A x∣1 x2 0 且 x 0，则 ðU A
．
9．“集合 A x | ax2 3x 2 0 至多含有一个元素”的一个充分非必要条件是
所以 ðU A {x | 2 x 1 或 0 x 10}，即 ðU A (2, 1] [0,10) . 故答案为. (2, 1] [0,10) 9．[9 , ) （答案不唯一）.
8 【分析】根据方程 ax2 3x 2 0 至多一个解，结合二次函数的性质，求得 a 的取值范围，进而得到答案.
∴ b d d b ， b d ；同理 d f ，
∴ b d f ．由(1)(3)可得 a c e 0 b d f ．
∴ A B x c x b ， B C x e x d ， C A x e x b ．
A B C {x | c x e 或 b x d}．故{x | c x e 或 b x d}
【分析】根据元素与集合的关系，以及集合与集合的关系，逐个判定，即可求解. 【详解】因为集合 Q 为有理数集， π 为无理数，所以 π Q ，所以①错误；
因为空间时任何非空集合的真子集，所以 ,10 ，所以②正确；
根据集合与之间的关系，可得2 1, 2,3, 4 ，所以③错误；
由集合 N 为自然数集， Z 为整数集，所以 N Z ，所以④正确. 故②④. 4． a 1或 b 1，【分析】根据结论否定即可求解. 【详解】用反证法证明时，需要先假设所证命题的否定，由于 a b 1 的否定为 a 1或 b 1，故 a 1或b 1， 5． 2 或 4 ## 4 或 2
i､j 1 i j m, ai aj 与 a j ai 至少一个属于 A .

2020-2021学年上海市某校高一(上)月考数学试卷(10月份)(有答案)

2020-2021学年上海市某校高一（上）月考数学试卷（10月份）一.填空题（本大题共12题，1-6每题3分，7-12每题4分，共42分）1. 已知集合M＝{x|x(4−x)<0}，N＝{x|(x−1)(x−6)<0, x∈Z}，则M∩N＝________．2. 不等式1x <12的解集是________．3. 不等式5−xx+4≥1的解集为________．4. 不等式(x+2)(x+1)2(x−1)3(x−2)≤0的解集为________．5. 若不等式ax2−bx+c<0的解集是(−2, 3)，则不等式bx2+ax+c<0的解集是________．6. 已知A＝{x||2x−3|<a}，B＝{x||x|≤10}，且A⫋B，则实数a的取值范围是________．7. 关于x的方程m(x−3)+3=m2x的解为不大于2的实数，则m的取值范围为________．8. 若已知不等式2x−1>m(x2−1)对满足|m|≤2的一切实数m的取值都成立，则x的取值范围为________．9. 已知集合A={x|x2−5x+4≤0}，集合B={x|x2−2ax+a+2≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围为________．10. 已知不等式xy≤ax2+2y2对于x∈[1, 2]，y∈[2, 3]恒成立，则实数a的取值范围是________．二.选择题（本大题共4题，每题4分，共16分）不等式|a+b||a|+|b|≤1成立的充要条件是（）A.ab≠0B.a2+b2≠0C.ab>0D.ab<0x为实数，且|x−5|+|x−3|<m有解，则m的取值范围是（）A.m>1B.m≥1C.m>2D.m≥2已知关于x的不等式ax+b>0的解集是(1, +∞)，则关于x的不等式ax−bx−2>0的解集是（）A.{x|x<−1或x>2}B.{x|−1<x<2}C.{x|1<x<2}D.{x|x>2}不等式组{x>03−x 3+x >|2−x2+x|的解集是（）A.{x|0<x<2}B.{x|0<x<2.5}C.{x|0<x<√6}D.{x|0<x<3}三.解答题（本大题共4题，共14+14+14+20=62分）已知f(x)=−3x2+a(6−a)x+6．(1)解关于a的不等式f(1)>0；(2)若不等式f(x)>b的解集为(−1, 3)，求实数a，b的值．a∈R，解关于x的不等式x−1x≥a(x−1)．已知a是实数，函数f(x)=2ax2+2x−3−a，如果函数y=f(x)在区间[−1, 1]上有零点，求a的取值范围．（附加题）已知S1、S2、S3为非空整数集合，对于1、2、3的任意一个排列i、j、k，若x∈S i，y∈S j，则x−y∈S k．（1）证明：三个集合中至少有两个相等；（2）三个集合中是否可能有两个集合无公共元素？说明理由．参考答案与试题解析2020-2021学年上海市某校高一（上）月考数学试卷（10月份）一.填空题（本大题共12题，1-6每题3分，7-12每题4分，共42分）1.【答案】{5}【考点】交集及其运算【解析】可以求出集合M，N，然后进行交集的运算即可．【解答】∵M＝{x|x<0或x>4}，N＝{x|1<x<6, x∈Z}＝{2, 3, 4, 5}，∴M∩N＝{5}．2.【答案】(−∞, 0)∪(2, +∞)【考点】其他不等式的解法【解析】根据x大于0和x小于0分两种情况考虑，当x大于0时，去分母得到不等式的解集，与x大于0求出交集即为原不等式的解集；当x小于0时，去分母得到不等式的解集，与x小于0求出交集即为原不等式的解集，综上，得到所有满足题意的x的范围即为原不等式的解集．【解答】解：当x>0时，去分母得：x>2，所以原不等式的解集为：(2, +∞)；当x<0时，去分母得：x<2，所以原不等式的解集为：(−∞, 0)，综上，原不等式的解集为：(−∞, 0)∪(2, +∞)．故答案为：(−∞, 0)∪(2, +∞)3.【答案】(−4, 1 2 ]【考点】其他不等式的解法【解析】把要解的不等式转化为与之等价的一元二次不等式，从而求得它的解集．【解答】不等式5−xx+4≥1，即2x−1x+4≤0，即(2x−1)⋅(x+4)≤0且x+4≠0，求得−4<x≤12，4.【答案】(−∞, −2]∪{−1}∪[1, 2]【考点】其他不等式的解法【解析】根据“数轴穿根法”求解即可．【解答】根据题意，作出如下的图形，由图可知，不等式的解集为(−∞, −2]∪{−1}∪[1, 2]．5.【答案】(−3, 2)【考点】根与系数的关系一元二次不等式的解法【解析】根据不等式ax2−bx+c<0的解集得出a>0，ca 与ba的值，把不等式bx2+ax+c<0化为x2+x−6<0，从而得出不等式的解集．【解答】解：∵不等式ax2−bx+c<0的解集是(−2, 3)，∴a>0，且对应方程ax2−bx+c=0的实数根是−2和3，由根与系数的关系，得：{ca=−2×3，ba=−2+3，即ca =−6，ba=1，∴b>0，且ab =1，cb=−6，∴不等式bx2+ax+c<0可化为：x2+x−6<0，解得−3<x<2，∴该不等式的解集为(−3, 2)．故答案为：(−3, 2)．6.【答案】(−∞, 17]【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】根据题意，可得B，分两种情况讨论A包含于B时a的取值范围，即可得答案．【解答】根据题意，易得B ＝{x|−10≤x ≤10}，若A 是B 的真子集，分两种情况讨论：当a ≤0时，A ＝⌀，此时A 包含于B ；当a >0时，|2x −3|<a ⇒3−a 2<x <3+a 2，若A 包含于B ，则有{3−a 2≥−103+a 2≤10⇒a ≤17，a 的取值范围为(0, 17]； 7. 【答案】(−∞,−32]∪(0,1)∪(1,+∞)【考点】一元二次不等式的解法【解析】把原方程化为未知项移到左边，常数项移动右边，然后当m =0和m =1时，分别代入即可得到方程不成立；当m 不等于0且m 不等于1时，求出方程的解，让方程的解小于等于2，列出关于m 的不等式，求出不等式的解集即可得到m 的取值范围，综上，得到符合题意的m 的取值范围．【解答】解：由m(x −3)+3=m 2x 得： (m 2−m)x =−3m +3，若m =0，不成立；m =1，解得x 为R ，不成立，若m ≠0且m ≠1时，则x =−3(m−1)m(m−1)=−3m ≤2，即2m+3m≥0，可化为：m(2m +3)≥0，解得：m ≥0或m ≤−32，综上，得到m 的取值范围为：(−∞,−32]∪(0,1)∪(1,+∞)．故答案为：(−∞,−32]∪(0,1)∪(1,+∞)8. 【答案】(√7−12，√3+12) 【考点】一元二次不等式与二次函数【解析】构造变量m 的函数，对x 2−1>0，x 2−1<0，x 2−1=0，进行分类讨论，利用|m|≤2时函数的取值，分别求出x 的范围，然后求并集即可．【解答】解：构造变量m 的函数求解：2x −1>m(x 2−1)，即：(x 2−1)m −(2x −1)<0，构造关于m 的函数f(m)=(x 2−1)m −(2x −1)， |m|≤2即−2≤m ≤2．1)当x 2−1>0时，则f(2)<0 ，从而 2x 2−2x −1<0，解得：1−√32<x <1+√32又x 2−1>0，即x <−1 或 x >1，所以 1<x <1+√32；2)当x 2−1<0时，则f(−2)<0 可得−2x 2−2x +3<0 ，从而 2x 2+2x −3>0 解得 x <−1−√72或x >√7−12，又−1<x <1，从而√7−12<x <13)当x 2−1=0时，则f(m)=1−2x <0 ，从而x >12，故x =1；综上有：√7−12<x <1+√32.故答案为：(√7−12，√3+12). 9. 【答案】 −1<a ≤187【考点】集合关系中的参数取值问题【解析】分别解出集合A 、B ，对于集合B ，我们需要讨论它是不是空集，再根据子集的定义进行求解；【解答】解：集合A ={x|x 2−5x +4≤0}，集合B ={x|x 2−2ax +a +2≤0}， B ⊆A ，解得A ={x|1≤x ≤4}，若B ≠⌀，△=(−2a)2−4(a +2)=4a 2−4a −8>0，可得a ≥2或a ≤−1；B ={x|a −√a 2−a −2≤x ≤a +√a 2−a −2}， ∵ B ⊆A ，∴ {a +√a 2−a −2≤4①a −√a 2−a −2≥1②，解不等式①得，a ≤187，解不等式②得，1≤a ≤3，取交集得，1≤a ≤187，又∵ △≥0，可得a ≥2或a ≤−1；可得2≤a ≤187当a =187符合题意；当a =2符合题意；∴ 2≤a ≤187若B =⌀，可得△=(−2a)2−4(a +2)=4a 2−4a −8<0， −1<a <2；综上可取并集得：−1<a ≤187故答案为：−1<a ≤187；10.【答案】 [−1, +∞) 【考点】不等式的综合【解析】本题考查的是不等式与恒成立的综合类问题．在解答时，首先可以分离参数将问题转化为：a ≥yx −2(yx )2对于x ∈[1, 2]，y ∈[2, 3]恒成立，然后解答此恒成立问题即可获得问题的解答．【解答】由题意可知：不等式xy ≤ax 2+2y 2对于x ∈[1, 2]，y ∈[2, 3]恒成立，即：a ≥yx −2(y x )2，对于x ∈[1, 2]，y ∈[2, 3]恒成立，令t =yx ，则1≤t ≤3，∴ a ≥t −2t 2在[1, 3]上恒成立， ∵ y =−2t 2+t =−2(t −14)2+18∴ y max ＝−1， ∴ a ≥−1二.选择题（本大题共4题，每题4分，共16分）【答案】 B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】由于题中分式，故要保证分母不为0，即a 2+b 2≠0，故得不等式成立的充要条件是a 2+b 2≠0．【解答】解： ∵ |a+b||a|+|b|≤1∴ a ，b 不能同时为0，即a 2+b 2≠0 ∴ |a +b|≤|a|+|b| 两边平方得2ab ≤2|a||b| 不等式恒成立故选B ．【答案】C【考点】绝对值不等式的解法与证明【解析】求出|x−5|+|x−3|的最小值，只需m大于最小值即可满足题意．【解答】解：|x−5|+|x−3|<m有解，只需m大于|x−5|+|x−3|的最小值，|x−5|+|x−3|≥2，所以m>2，|x−5|+|x−3|<m有解．故选C．【答案】A【考点】其他不等式的解法【解析】由题意知，a>0，且−ba =1，故不等式ax−bx−2>0可等价于a(x+1)(x−2)>0，解之即可．【解答】∵不等式ax+b>0的解集是(1, +∞)，∴a>0，且−ba=1，即b＝−a，不等式ax−bx−2>0等价于(ax−b)(x−2)>0，即a(x+1)(x−2)>0，∴x<−1或x>2．【答案】C【考点】其他不等式的解法【解析】把不等式化为{x>0(3−x)(2+x)>|2−x|(3+x)，讨论0<x≤2和x>2时，去掉绝对值，解不等式即可．【解答】解：不等式组{x>03−x3+x>|2−x2+x|等价于{x>0(3−x)(2+x)>|2−x|(3+x)，当0<x≤2时，有(3−x)(2+x)>(2−x)(3+x)，解得x>0，应取0<x≤2；当x>2时，有(3−x)(2+x)>(x−2)(3+x)，解得−√6<x<√6，应取2<x<√6；综上，原不等式的解集为{x|0<x<√6}．故选：C．三.解答题（本大题共4题，共14+14+14+20=62分）【答案】解：(1)∵f(x)=−3x2+a(6−a)x+6，f(1)>0，∴−3+a(6−a)+6>0，∴a2−6a−3<0，∴3−2√3<a<3+2√3，∴不等式的解集为{a|3−2√3<a<3+2√3}.(2)∵不等式f(x)>b的解集为(−1, 3)，∴−3x2+a(6−a)x+6>b的解集为(−1, 3)，∴−1，3是方程3x2−a(6−a)x−6+b=0的两个根，∴{−1+3=a(6−a)3，(−1)×3=−6+b3，∴a=3±√3，b=−3.【考点】根与系数的关系一元二次不等式的应用一元二次不等式的解法【解析】（1）f(1)>0，即−3+a(6−a)+6>0，即a2−6a−3<0，由此可得不等式的解集；（2）不等式f(x)>b的解集为(−1, 3)，等价于−3x2+a(6−a)x+6>b的解集为(−1, 3)，即−1，3是方程3x2−a(6−a)x−6+b=0的两个根，利用韦达定理可求实数a，b的值．【解答】解：(1)∵f(x)=−3x2+a(6−a)x+6，f(1)>0，∴−3+a(6−a)+6>0，∴a2−6a−3<0，∴3−2√3<a<3+2√3，∴不等式的解集为{a|3−2√3<a<3+2√3}.(2)∵不等式f(x)>b的解集为(−1, 3)，∴−3x2+a(6−a)x+6>b的解集为(−1, 3)，∴−1，3是方程3x2−a(6−a)x−6+b=0的两个根，∴{−1+3=a(6−a)3，(−1)×3=−6+b3，∴a=3±√3，b=−3.【答案】解：原不等式可转化为(x−1)[(1−a)x+1]x≥0(∗)．(1)当a=1时，(∗)式为x−1x≥0，解得x<0或x≥1．(2)当a≠1时，(∗)可式为(1−a)(x−1)(x+11−a)x≥0①若a<1，则a−1<0，1a−1<0，解得1a−1≤x<0，或x≥1；②若1<a≤2，则1−a<0，1a−1≥1，解得x<0，或1≤x≤1a−1；③若a>2，则a−1>1，0<1a−1<1，1−a<0，解得x<0，或1a−1≤x≤1；综上，当a=1时，不等式解集为{x|x<0或x≥1}当a<1时，不等式解集为{x|1a−1≤x<0, 或x≥1}当1<a≤2时，不等式解集为{x|x<0, 或1≤x≤1a−1}当a>2时，不等式解集为{x|x<0, 或1a−1≤x≤1}．【考点】其他不等式的解法【解析】通过方程的根的大小对a的讨论，然后求出表达式的解集．【解答】解：原不等式可转化为(x−1)[(1−a)x+1]x≥0(∗)．(1)当a=1时，(∗)式为x−1x≥0，解得x<0或x≥1．(2)当a≠1时，(∗)可式为(1−a)(x−1)(x+11−a)x≥0①若a<1，则a−1<0，1a−1<0，解得1a−1≤x<0，或x≥1；②若1<a≤2，则1−a<0，1a−1≥1，解得x<0，或1≤x≤1a−1；③若a>2，则a−1>1，0<1a−1<1，1−a<0，解得x<0，或1a−1≤x≤1；综上，当a=1时，不等式解集为{x|x<0或x≥1}当a<1时，不等式解集为{x|1a−1≤x<0, 或x≥1}当1<a≤2时，不等式解集为{x|x<0, 或1≤x≤1a−1}当a>2时，不等式解集为{x|x<0, 或1a−1≤x≤1}．【答案】解：a=0时，不符合题意，所以a≠0，又∴f(x)=2ax2+2x−3−a=0在[−1, 1]上有解，⇔(2x2−1)a=3−2x在[−1, 1]上有解⇔1a =2x2−13−2x在[−1, 1]上有解，问题转化为求函数y=2x 2−13−2x[−1, 1]上的值域；设t=3−2x，x∈[−1, 1]，则2x=3−t，t∈[1, 5]，y=12⋅(t−3)2−2t=12(t+7t−6)，设g(t)=t+7t ．g′(t)=t2−7t2，t∈[1,√7)时，g′(t)<0，此函数g(t)单调递减，t∈(√7，5]时，g′(t)>0，此函数g(t)单调递增，∴y的取值范围是[√7−3，1]，∴f(x)=2ax2+2x−3−a=0在[−1, 1]上有解⇔1a∈[√7−3，1]⇔a≥1或a≤−3+√72．故a≥1或a≤−3+√72．【考点】函数零点的判定定理【解析】y=f(x)在区间[−1, 1]上有零点转化为(2x2−1)a=3−2x在[−1, 1]上有解，把a用x表示出来，转化为求函数y=2x 2−13−2x在[−1, 1]上的值域，再用分离常数法求函数y=2x2−13−2x在[−1, 1]的值域即可．【解答】解：a=0时，不符合题意，所以a≠0，又∴f(x)=2ax2+2x−3−a=0在[−1, 1]上有解，⇔(2x2−1)a=3−2x在[−1, 1]上有解⇔1a =2x2−13−2x在[−1, 1]上有解，问题转化为求函数y=2x 2−13−2x[−1, 1]上的值域；设t=3−2x，x∈[−1, 1]，则2x=3−t，t∈[1, 5]，y=12⋅(t−3)2−2t=12(t+7t−6)，设g(t)=t+7t ．g′(t)=t2−7t2，t∈[1,√7)时，g′(t)<0，此函数g(t)单调递减，t∈(√7，5]时，g′(t)>0，此函数g(t)单调递增，∴y的取值范围是[√7−3，1]，∴f(x)=2ax2+2x−3−a=0在[−1, 1]上有解⇔1a∈[√7−3，1]⇔a≥1或a≤−3+√72．故a≥1或a≤−3+√72．（附加题）【答案】若x∈S i，y∈S j，则y−x∈S k，从而(y−x)−y＝−x∈S i，所以S i中有非负元素，由i，j，k的任意性可知三个集合中都有非负元素，若三个集合都没有0，则取S1∪S2∪S3中最小的正整数a（由于三个集合中都有非负整数，所以这样的a存在），不妨设a∈S1，取S2∪S3中的最小正整数b，并不妨设b∈S2，这时b>a（否则b不可能大于a，只能等于a，所以b−a＝0∈S3，矛盾），但是，这样就导致了0<b−a<b，且b−a∈S3，这时与b为S2∪S3中的最小正整数矛盾，∴三个集合中必有一个集合含有0．∵三个集合中有一个集合含有0，不妨设0∈S1，则对任意x∈S2，有x−0＝x∈S3，∴S2包含于S3，对于任意y∈S3，有y−0＝y∈S2，∴S3包含于S2，则S2＝S3，综上所述，这三个集合中必有两个集合相等；可能，比如S1＝{奇数}，S2＝{奇数}，S3＝{偶数}，这时S1∩S3＝⌀．【考点】子集与交集、并集运算的转换【解析】（1）根据条件，若x∈S i，y∈S j，则y−x∈S k，从而(y−x)−y＝−x∈S i，这便说明S i中有非负元素，从而三个集合中都有非负元素．可以看出若0∈S i，任意x∈S j，都有x−0＝x∈S k，从而说明S j⊆S k，而同理可得到S k⊆S j，从而便可得出S j＝S k，这便得出3个集合中至少有两个相等，从而来证明在三个集合中有一个集合含有0即可，可用反证法，即假设三个集合都不含0，然后推出矛盾即可；（2）3个集合中可能有两个集合无公共元素，只需举一个这样的例子即可．【解答】若x∈S i，y∈S j，则y−x∈S k，从而(y−x)−y＝−x∈S i，所以S i中有非负元素，由i，j，k的任意性可知三个集合中都有非负元素，若三个集合都没有0，则取S1∪S2∪S3中最小的正整数a（由于三个集合中都有非负整数，所以这样的a存在），不妨设a∈S1，取S2∪S3中的最小正整数b，并不妨设b∈S2，这时b>a（否则b不可能大于a，只能等于a，所以b−a＝0∈S3，矛盾），但是，这样就导致了0<b−a<b，且b−a∈S3，这时与b为S2∪S3中的最小正整数矛盾，∴三个集合中必有一个集合含有0．∵三个集合中有一个集合含有0，不妨设0∈S1，则对任意x∈S2，有x−0＝x∈S3，∴S2包含于S3，对于任意y∈S3，有y−0＝y∈S2，∴S3包含于S2，则S2＝S3，综上所述，这三个集合中必有两个集合相等；可能，比如S1＝{奇数}，S2＝{奇数}，S3＝{偶数}，这时S1∩S3＝⌀．。

高级中学高一数学上学期10月月考试题含解析

高级中学(gāojízhōngxué)2021-2021学年高一数学上学期10月月考试题〔含解析〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小(yī xiǎo)题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.A=，B=，那么(nà me)A. A B=B. A BC. A BD. A B=R【答案(dá àn)】A【解析】由得，所以，选A．点睛:对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或者韦恩图处理．2.以下函数中，既是偶函数又是区间上的增函数的是〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：因为A项是奇函数，故错，C，D两项项是偶函数，但在上是减函数，故上是增函数，应选B．错，只有B项既满足是偶函数，又满足在区间(0,)考点：函数的奇偶性，单调性．3.，且，那么等于( )A. B. C. D.【答案(dá àn)】A 【解析(jiě xī)】【分析(fēnxī)】令，即可求出，由即可求出a【详解(xiánɡ jiě)】令256x -=，得，所以，应选A 。

【点睛】此题主要考察赋值法的应用。

4.为奇函数，，，那么等于〔〕A. B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】利用()23g -=可算出,再根据即可算得()2f .【详解】由()()9g x f x =+得,故,所以应选：A.【点睛】此题主要考察奇函数的性质.5. 50名同学参加跳远和铅球测验，跳远和铅球测验成绩分别为及格40人和31人，两项测验成绩均不及格的有4人，两项测验成绩都及格的人数是〔〕A. 35B. 25C. 28D. 15 【答案】B【解析(jiě xī)】试题(shìtí)分析：全班分4类人：设两项测验成绩都及格(jí gé)的人数为x人；由跳远(tiàoyuǎn)及格40人，可得仅跳远及格的人数为40-x人；由铅球及格31人，可得仅铅球及格的人数为31-x人；2项测验成绩均不及格的有4人∴40-x+31-x+x+4=50，∴x=25考点：集合中元素个数的最值6.，，，那么〔〕A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先将转换为同为2为底的指数，，可以转换为指数一样。

上海市高级中学高一上学期10月月考数学试题(解析版)

高一上学期10月月考数学试题一、填空题1．集合且，且，则____．{|03A x x =≤<}x ∈Z 2{|9B x x =≤}x ∈Z A B = 【答案】{0,1,2}【分析】根据题意先求出集合的具体取值，然后利用交集的定义即可求解.,A B 【详解】因为集合且，且，{|03A x x =≤<}x ∈Z 2{|9B x x =≤}x ∈Z 则，且且，{0,1,2}A =2{|9B x x =≤}{|33x x x ∈=-≤≤Z }x ∈Z 所以，{3,2,1,0,1,2,3}B =---则有，{0,1,2}A B ⋂=故答案为：.{0,1,2}2．已知集合，且，则实数的取值范围为____．{|2},{|}A x x B x x a =≤=≥A B = R a 【答案】2a ≤【分析】数形结合，即可得到答案. 【详解】根据，结合数轴可知，在的左侧或与之重合，故.A B = R a 22a ≤故答案为：.2a ≤3．已知方程的两根为，，则______.230x x +-=1x 2x 12x x -=【分析】由方程易知，根据根与系数的关系写出、，由0∆>12x x +12x x 12x x -=即可求值.【详解】由题设知：，2Δ141(3)130=-⨯⨯-=>∴，，121x x +=-123x x =-∴12x x -===4．已知正实数满足及，则中至少有一128，，， a a a 12820a a a +++= 12812⋅⋅⋅= a a a 128，，， a a a 个小于1，用反证法证明该命题时，第一步是假设结论不成立，则____． 128，，， a a a 【答案】都不小于1【分析】存在量词命题的否定为全称量词命题，写出答案即可.【详解】至少有一个小于1的否定是都不小于1.故答案为：都不小于15．已知条件，，且p 是q 的必要条件，则实数k 的取值范围为:211p k x k -≤≤-:33q x -≤<_________．【答案】(,2]-∞-【分析】根据集合的包含关系得到关于的不等式组解出即可．k 【详解】∴，[)[]3,321,1k k -⊆--∴，解得， 32131k k -≥-⎧⎨≤-⎩2k ≤-故答案为：．(],2-∞-【点睛】结论点睛：一般可根据如下规则判断：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；p q q p （2）是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；p q p q （3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；p q p q （4）是的既不充分又不必要条件，对的集合与对应集合互不包含．p q q p 6．已知等式恒成立，其中为实数，则_____．22231(1)(1)x x a x b x c --=-+-+,,a b c a b c -+=【答案】1-【分析】方法一：将等式左边展开，比较系数可得答案；方法二：令可得答案.0x =【详解】法一：，222231(1)(1)(2)x x a x b x c ax b a x a b c --=-+-+=+-+-+所以；1a b c -+=-法二：在中，令得.22231(1)(1)x x a x b x c --=-+-+0x =1a b c -+=-故答案为：1-7．已知集合，，则____． |0,R 1x A x x x ⎧⎫=≥∈⎨⎬-⎩⎭{}21,R B y y x x ==+∈A B = 【答案】(1,)+∞【分析】解分式不等式得到，得到，进而求出交集.A {|1}B y y =≥【详解】等价与，解得：或， 01x x ≥-()1010x x x ⎧-≥⎨-≠⎩1x >0x ≤故或，{|0A x x =≤1}x >又，故，211y x =+≥{|1}B y y =≥所以．(1,)A B ⋂=+∞故答案为：.(1,)+∞8．已知若关于的方程有实根，则的取值范围是______________． ,a ∈R x 2104x x a a ++-+=a 【答案】 10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【详解】本题考查二次方程有关知识与绝对值不等式知识的综合应用；由于关于的二次方程有实x 根，那么即，而，从而，解得114()04a a ∆=--+≥1144a a -+≤11244a a a -+≤-11244a -≤． 104a ≤≤ 9．若不等式的解集中的整数有且仅有1，2，3，则的取值范围是_____|3|4x b -<b 【答案】(5,7)【详解】由得 |3|4x b -<4433b b x -+<<由整数有且仅有1，2，3知，解得 40134343b b -⎧≤<⎪⎪⎨+⎪<≤⎪⎩57b <<10．定义集合运算，集合，则集合所(){}|,,A B z z xy x y x A y B ==+∈∈ {}{}0,1,2,3A B ==A B 有元素之和为________【答案】18【分析】由题意可得，进而可得结果.0,6,12=z 【详解】当0,2,0==∴=x y z 当1,2,6==∴=x y z 当0,3,0==∴=x y z 当1,3,12==∴=x y z 和为0+6+12=18故答案为：1811．已知集合有整数解，非空集合满足条件：（1），（2）若2{|360M m x mx =∈+-=Z }A A M ⊆，则，则所有这样的集合的个数为____．a A ∈a A -∈A 【答案】31【分析】根据集合有整数解，结合韦达定理可求出集合，再由题目2{|360M m x mx =∈+-=Z }M 信息中集合满足的两个条件，得到集合中互为相反数的两个元素同属于集合或同不属于集A M A 合，即可求解.A 【详解】因为的整数解只能是36的约数，2360x mx +-=当方程的解为，36时，；当方程的解为，18时，；1-35m =-2-16m =-当方程的解为，12时，；当方程的解为，9时，；3-9m =-4-5m =-当方程的解为，6时，；当方程的解为1，时，；6-0m =36-35m =当方程的解为2，时，；当方程的解为，时，；18-16m =312-9m =当方程的解为，时，；49-5m =故集合{35,16,9,5,0,5,9,16,35}M =----由非空集合满足条件：（1），（2）若，则，A A M ⊆a A ∈a A -∈即集合中互为相反数的两个元素同属于集合或同不属于集合，M A A 得这样的集合共有个，52131-=故答案为：.3112．已知集合，其中，，且{}230123|777A x x a a a a ==+⨯+⨯+⨯{}0,1,,6(0,1,2,3)i a i ∈⋅⋅⋅=30a ≠．若正整数m 、n ∈A ，且m+n=2 010(m>n)，则符合条件的正整数m 有_______个．【答案】662【详解】依题意，知m 、n 是七进制中的四位数，而七进制四位数中最大的一个数为，最小的一个数为.3267676762400⨯+⨯+⨯+=317343⨯=因为m+n=2010(m>n)，所以，1006≤m≤1667.故符合条件的正整数m 有1667-1006+1=662(个).二、单选题13．若集合中的元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是（）{},,M a b c =A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等腰三角形【答案】D【分析】根据集合元素的互异性即可判断.【详解】由题可知，集合中的元素是的三边长，{},,M a b c =ABC 则，所以一定不是等腰三角形．a b c ≠≠ABC 故选：D ．14．设集合，在上定义运算，其中为被4除的余数（其中0123,,},{S A A A A =S :i j k A A A ⊕⊕=k i j +，则满足关系式的的个数为（）,0,1,2,3i j =20()x x A A ⊕⊕=()x x S ∈A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C 【分析】根据题目信息，在集合中取值验证即可.S 【详解】当时，0x A =20020220()()x x A A A A A A A A ⊕⊕=⊕⊕=⊕=≠当时，1x A =2112220()()x x A A A A A A A ⊕⊕=⊕⊕=⊕=当时，2x A =22220220()()x x A A A A A A A A ⊕⊕=⊕⊕=⊕=≠当时，3x A =23322200()()x x A A A A A A A A ⊕⊕=⊕⊕=⊕==则满足关系式的的个数为2个，20()x x A A ⊕⊕=()x x S ∈故选：C ．15．已知，则满足关于的方程的充要条件是A ．B ． 220011x ,22R ax bx ax bx ∃∈-≥-220011x ,22R ax bx ax bx ∃∈-≤-C ． D ． 220011x ,22R ax bx ax bx ∀∈-≥-220011x ,22R ax bx ax bx ∀∈-≤-【答案】C【详解】试题分析：满足关于的方程，则， 0ax b =220011x ,22R ax bx ax bx ∀∈-≥-则处取得函数最小值，函数为二次函数，，所以满足关于0x ()212f x ax bx =-0122b b x a a -∴=-=⨯的方程的充要条件是 220011x ,22R ax bx ax bx ∀∈-≥-【解析】充分条件与必要条件点评：若则是的充分条件，是的必要条件p q ⇒p q q p16．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是 x 2664ax x ax ++--≥a A ．B ．C ．D ．(],1-∞[]1,1-[)1,-+∞(][),11,-∞-+∞ 【答案】B 【分析】分类讨论去绝对值求解.【详解】（1）当或时，，x≥x ≤260x ax --≥不等式为，2664ax x ax ++--≥24x ≥若不等式恒成立，必需2664ax x ax ++--≥2112a a ≥≥-⎧⇒⎨≤⎩≤-所以；11a -≤≤（2， x <<260x ax --<不等式为即，26(6)4ax x ax +---≥2280x ax --≤（ⅰ）当时，不等式对任意恒成立，0x =2280x ax--≤a （ⅱ）当时， 0x <<不等式恒成立即恒成立， 2280x ax --≤42x a x≥-所以，解得， a ≥1a ≥-（ⅲ时， 0x <<不等式恒成立即恒成立， 2280x ax --≤42x a x≤-所以 a ≤1a ≤综上，实数的取值范围是a []1,1-【点睛】本题考查绝对值不等式，含参数的二次不等式恒成立. 含参数的二次不等式恒成立通常有两种方法：1、根据二次函数的性质转化为不等式组；2、分离参数转化为求函数最值.17．已知不等式：①，②，③． |3|2||x x +>22132x x x +≥-+2210x mx +-<(1)分别求出不等式①与②的解集；(2)若同时满足①②的值也满足③，求实数的取值范围．x m 【答案】(1)，或{|13}A x x =-<<{|01B x x =≤<24}x <≤(2) 173m ≤-【分析】（1）解一元二次不等式和高次不等式即可求解；（2）根据不等式的解集包2210x mx +-<含，结合二次函数的性质即可求解.[0,1)(2,3) 【详解】（1）由①得，即，故解集为， 22|3|4||x x +>23690x x --<{|13}A x x =-<<由②得，即， 224032x x x x -≤-+(4)(1)(2)0(1)(2)0x x x x x x ---≤⎧⎨--≠⎩解得解集或，{|01B x x =≤<24}x <≤（2）或，{|01A B x x =≤< 23}x <<由题意得不等式的解集包含，2210x mx +-<[0,1)(2,3) 令，只需， 2()21f x x mx =+-(0)10(3)18310f f m =-<⎧⎨=+-≤⎩解得． 173m ≤-18．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下1|1A x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭{|1}A x x =>{}11A x x =-<列横线中，求解下列问题．设集合__________，集合． {}22|210B x x x a =++-=（1）若集合B 的子集有2个，求实数a 的取值范围；（2）若，求实数a 的取值范围．A B A ⋃=注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】答案见解析【分析】（1）依题意集合B 元素个数为1，则，计算可得；0∆=（2）分别求出集合，再由，则，即可得到不等式组，解得即可；A AB A ⋃=B A ⊆【详解】解：（1）∵集合B 的子集有2个，∴集合B 元素个数为1∴2441()0a ∆=--=（2）选①集合 1|1(,0)(1,)A x x ⎧⎫=<=-∞⋃∞⎨⎬⎩⎭集合 {}[][]{}22|210|(1)((1)0B x x x a x x a x a =++-==+-++=∵∴A B A ⋃=B A ⊆显然有1a ≠±要满足条件，必有：，解，即，所以解得或111111a a⎧<⎪⎪--⎨⎪<⎪-+⎩111a <--1101a +>+201a a +>+1a >-2a <-；解，即，所以解得或； 111a <-+1101a +>-01a a >-1a >a<0综上可得()()(),21,01,a ∈-∞-⋃-⋃+∞选②，{|1}A x x =>集合 {}[][]{}22|210|(1)((1)0B x x x a x x a x a =++-==+-++=∵∴A B A ⋃=B A ⊆要满足条件，必有：解得； 1111a a ->⎧⎨-->⎩a ∈∅选③解得{}11A x x =-<{}02A x x =<<集合 {}[][]{}22|210|(1)((1)0B x x x a x x a x a =++-==+-++=∵∴A B A ⋃=B A ⊆要满足条件，必有：解得； 012012a a <-<⎧⎨<--<⎩a∈∅19．选修4-5不等式选讲设均为正数，且，证明：a b c d ,,,a b c d +=+（Ⅰ）若；ab cd>>（Ⅱ是的充要条件．>+a b c d -<-【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析．【详解】（Ⅰ）因为，，得2a b +=++2c d =++a b c d +=+ab cd >22>（Ⅱ）（ⅰ）若，则．即．因为，所a b c d -<-22()()a b c d -<-22()4()4a b ab c d cd +-<+-a b c d +=+以，由（Ⅰ．ab cd >+>（ⅱ，则，即>22>a b ++>c d ++，所以，于是．因此，a b c d +=+ab cd >22()()4a b a b ab -=+-2()4c d cd <+-2()c d =-a b c d -<-是的充要条件．>a b c d -<-【解析】推理证明．20．已知关于的不等式的解集为；x 22(23)(1)10(R)k k x k x k --+++>∈M (1)若,求的取值范围；R M =k (2)若存在两个不相等负实数，使得，求实数的取值范围；,a b (,)(,)M a b =-∞⋃+∞k (3)是否存在实数，满足：“对于任意，都有；对于任意的，都有”，若k *N n ∈n M ∈Z m -∈m M ∉存在，求出的值，若不存在，说明理由．k 【答案】(1)； 13(,1](,)3k ∈-∞-⋃+∞(2)；13(3,3k ∈(3)存在，3【分析】（1）讨论二次项系数和不为0时，求出原不等式的解集为R 时k 的取值范2230k k --=围；（2）若存在两个不相等负实数，使得，即和是方程,a b (,)(,)M a b =-∞⋃+∞x a =x b =的两根，由判别式及韦达定理求解即可；22(23)(1)10k k x k x --+++=（3）根据题意得出解集，讨论的取值，求出原不等式的解集，判断是否满足条件即M 223k k --可．【详解】（1）解：当时，解得或，2230k k --=3k =1k =-当时，不等式化为1＞0，1k =-∴时，解集为R ，1k =-当时，不等式化为，对任意实数x 不等式不成立，3k =410x +>当时，， R M =()()22223014230k k k k k ⎧-->⎪⎨+---<⎪⎩解得：, 13(,1)(,)3k ∈-∞-⋃+∞综上，的取值范围是； k 13(,1](,)3k ∈-∞-⋃+∞（2）解：若存在两个不相等负实数，使得， ,a b (,)(,)M a b =-∞⋃+∞所以方程的两根分别为和,22(23)(1)10k k x k x --+++=x a =x b =所以，()()222222301423010231023k k k k k k k k k k ⎧-->⎪+--->⎪⎪⎪+⎨-<⎪--⎪⎪>⎪--⎩解得：；13(3,)3k ∈（3）解：根据题意，得出解集，；(,)M t =+∞[1,1)t ∈-当时，解得或， 2230k k --=3k =1k =-时，不等式的解集为，满足条件； 3k =1(,)4-+∞时，1＞0恒成立，不满足条件；1k =-当时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是的形式，不满足条件； 2230k k -->(,)t ∞+当时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是的形式，不满足条件； 2230k k --<(,)t ∞+综上，满足条件的值为3.k 21．已知集合，其中，由中的元素构成两个相应的集{}12,,,(2)k A a a a k =≥ (1,2,,)i a i k ∈=Z A 合：，． {}(,)|,,S a b a A b A a b A =∈∈+∈{}(,),,T a b a A b A a b A =∈∈-∈其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和． (,)a b S T m n 若对于任意的，总有，则称集合具有性质．a A ∈a A -∉A P （Ⅰ）检验集合与是否具有性质并对其中具有性质的集合，写出相应的集合{}0,1,2,3{}1,2,3-P P 和．S T （Ⅱ）对任何具有性质的集合，证明． P A (1)2k k n -≤（Ⅲ）判断和的大小关系，并证明你的结论．m n第 11 页共 11 页【答案】（Ⅰ）集合不具有性质，集合具有性质，相应集合，{}0,1,2,3P {}1,2,3-P (1,3)S =-(3,1)-，集合，（Ⅱ）见解析（Ⅲ）(2,1)T =-(2,3)m n =【详解】解：集合不具有性质． {}0123，，，P 集合具有性质，其相应的集合和是， {}123-，，P S T {}(13)(31)S =--，，，．{}(21)(23)T =-，，，（II ）证明：首先，由中元素构成的有序数对共有个．A ()i j a a ，2k 因为，所以； 0A ∉()(12)i i a a T i k ∉= ，，，，又因为当时，时，，所以当时，． a A ∈a A -∉a A -∉()i j a a T ∈，()(12)j i a a T i j k ∉= ，，，，，从而，集合中元素的个数最多为， T 21(1)()22k k k k --=即． (1)2k k n -≤（III ）解：，证明如下：m n =（1）对于，根据定义，，，且，从而．()a b S ∈，a A ∈b A ∈a b A +∈()a b b T +∈，如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与()a b ，()c d ，S a c =b d =a b c d +=+b d =中也至少有一个不成立．故与也是的不同元素．()a b b +，()c d d +，T 可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，S T m n ≤（2）对于，根据定义，，，且，从而．如果与()a b T ∈，a A ∈b A ∈a b A -∈()a b b S -∈，()a b ，是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也不()c d ，T a c =b d =a b c d -=-b d =至少有一个不成立，故与也是的不同元素．()a b b -，()c d d -，S 可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，T S n m ≤由（1）（2）可知，．m n =。

上海市高一上学期数学10月月考试卷

上海市高一上学期数学10月月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知全集，，，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2020高一上·林芝期末) 函数的定义域为（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高一上·吴忠期中) 下列式子正确的是（）.① ②③ 且④ 且A . ①③B . ②④C . ①④D . ②③4. （2分）已知函数f（x）=a2﹣x（a＞0且a≠1），当x＞2时，f（x）＞1，则f（x）在R上（）A . 是增函数B . 是减函数C . 当x＞2时是增函数，当x＜2时是减函数D . 当x＞2时是减函数，当x＜2时是增函数5. （2分） (2016高一下·随州期末) f（x）= ，则f（f（﹣1））等于（）A . ﹣2B . 2C . ﹣4D . 46. （2分）已知2m＞2n ，则m，n的大小关系为（）A . m＞nB . m≥nC . m＜nD . m≤n7. （2分） (2018高一上·会泽期中) 计算：的值为（）A .B .C .D .8. （2分） (2019高一上·番禺期中) 函数是上的减函数，则的取值范围是（）A . （0，1）B .C .D .9. （2分）已知函数的值域为C，则（）A .B .C .D .10. （2分）若函数f（x）是一次函数，且f（f（x））=4x﹣1，则f（x）=（）A . 2x﹣B . 2x﹣1C . ﹣2x+1D . 2x﹣或﹣2x+111. （2分） (2017高三上·济宁开学考) 已知函数f（x）满足f（x）•f（x+2）=2，若f（3）=2，则f（2017）=（）A . 2B . ﹣2C . 4D . 112. （2分） (2019高二上·双流期中) 焦点在x轴上的椭圆的离心率e= ，F ， A分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任意一点，则的最大值为（）A . 4B . 6C . 8D . 10二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知函数且，则实数 ________．14. （1分） (2019高三上·台州期末) 已知则 ________；不等式的解集为________．15. （1分） (2016高一上·江阴期中) 已知定义在实数集R上的偶函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调增函数，若f（x2﹣2）＜f（2），则实数x的取值范围________．16. （1分） (2019高二下·萨尔图期末) 某同学在研究函数时，给出下列结论：①对任意成立；②函数的值域是；③若，则一定有；④函数在上有三个零点．则正确结论的序号是________.三、解答题 (共6题；共65分)17. （15分）(2019高一上·东至期中) 已知全集，集合，，．（1）求；（2）若，求实数的值．18. （15分）(2018·曲靖模拟) 已知数，其中为自然对数底数（1）讨论函数的单调性；（2）若a＞0，函数对任意的都成立，求a＋b的最大值.19. （5分） (2016高一上·济南期中) 解答题（1）若f（x+1）=2x2+1，求f（x）的表达式；（2）若函数f（x）= ，f（2）=1，又方程f（x）=x有唯一解，求f（x）的表达式．20. （5分） (2019高一上·包头月考) 画出函数y＝－x2＋2|x|＋1的图象并写出函数的单调区间．21. （10分） (2019高一上·赤峰月考) 已知函数， .（1）解方程；（2）判断在上的单调性，并用定义加以证明；（3）若不等式对恒成立，求m的取值范围.22. （15分）(2018·张家口期中) 已知函数．（1）求函数y＝f（x）的单调区间；（2）若对于∀x∈（0，+∞）都有成立，试求m的取值范围；（3）记g（x）＝f（x）+x﹣n﹣3．当m＝1时，函数g（x）在区间[e﹣1 ， e]上有两个零点，求实数n的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共65分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、22-3、。

2024-2025学年上海市虹口区高一上学期10月月考数学质量检测试卷(含解析)

2024-2025学年上海市虹口区高一上学期10月月考数学质量检测试卷一、单选题：本题共4小题，每小题4分，共16分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若，，则下列不等式成立的是（）a b >0c <A. B. C. D. 22ac bc>a b c c>a c b c +<+a b c>-2. 已知全集，集合，，则如图所示的阴影部分表示的{|(2)0}A x x x =+<{|||1}B x x =£集合是（）A. B. (2,1)-[1,0)[1,2)-⋃C. D. (2,1)[0,1]-- [0,1]3. 方程在区间和各有一个根的充要条件是（）220x ax a +-=()0,1()1,2A.B.(),1a ∞∈--4,13a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭C .D.4,03a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()2,1a ∈--4. 已知a ，b ，，若关于x 不等式的解集为R c ∈01a cx b x x ≤++≤-，则（）[]{}()123321,0x x x x x x ⋃>>>A. 不存在有序数组，使得(,,)a b c 211x x -=B. 存在唯一有序数组，使得(,,)a b c 211x x -=C .有且只有两组有序数组，使得(,,)a b c 211x x -=D. 存在无穷多组有序数组，使得(,,)a b c 211x x -=二、填空题：本题共10小题，共42分．5.已知集合，，则______R U ={}211A x x =-<A =6. 已知集合，，且，则的值为________.{1,}A m =-{}21,B m =A B =m 7. 若，则实数______．{}241,,24a a a ∈---a =8. 命题“，若，则 ”用反证法证明时应假设为,a b R ∈110a b -+-=1a b ==__________．9. 若集合的子集只有两个，则实数______．{}2310A x ax x =-+=a =10. 设命题p ：集合，命题q ：集合，若{}20A x x =-≤≤{}211B x a x a =+≤≤-，则实数a 的取值范围是______p q ⇒11. 设是方程的两个实数根，则=_____________12x x 、230x x +-=2122020x x -+12. 设关于x 的方程解集为M ，关于x 的不等式|2||23|||(,)x x ax b a b R -+-=+∈的解集为N ，若集合，则________.(2)(23)0x x --≥M N =⋅=a b 13. 集合任取这三{}12,,,n A a a a =⋯，1,,,,i j j k i k i j k n a a A a a A a a A ≤<<≤+∈+∈+∈个式子中至少有一个成立，则的最大值为________．n 14. 设，若存在唯一的m 使得关于x 的不等式组有解，则R,Z a m ∈∈21122x m x a-<<+a 的取值范围是______.三、解答题：本题共4小题，共42分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. 已知集合，集合．{}2A x x a =-<2112x B x x ⎧⎫-=<⎨⎬+⎩⎭（1）若，求；2a =A B （2）若，求实数a 的取值范围．A B A = 16. ⑴当时，求证：；1x >2211x x x x +>+⑵已知，．试证明至少有一个不小于．R x ∈221,4,2a x x b x c x x =-+=-=-,,a b c 117. 已知关于x 的不等式的解集为M ．()()()2245110R kk x k x k --+++>∈（1）若，求x 的取值范围；1k =（2）若，求实数k 的取值范围；R M =（3）是否存在实数k ，满足：“对于任意正整数n ，都有；对于任意负整数m ，都有n M ∈”，若存在，求出k 的值，若不存在，说明理由．m M ∉18. 记存在正整数n ，且．若集合121211...,...kktk t kt t aa a a a a a a ===+++=´´´å∏2n ≥满足，则称集合A 为“谐调集”．{}12,,,n A a a a = 11nnttt t a a===å∏（1）分别判断集合、集合是否为“谐调集”；{1,2}E ={1,0,1}F =-（2）已知实数x 、y ，若集合为“谐调集”，是否存在实数z 满足，并且使得{,}x y 2z xy =为“谐调集”？若存在，求出所有满足条件的实数z ，若不存在，请说明理由；{,,}x y z （3）若有限集M 为“谐调集”，且集合M 中的所有元素均为正整数，试求出所有的集合．M2024-2025学年上海市虹口区高一上学期10月月考数学质量检测试卷一、单选题：本题共4小题，每小题4分，共16分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若，，则下列不等式成立的是（）a b >0c <A. B.C. D. 22ac bc>a b c c >a c b c +<+a b c>-【正确答案】A【分析】根据不等式的性质求解【详解】对于A. ，，则，成立20c >a b >22ac bc >对于B. ，，；10c <a b >a b c c <对于C. ，；a b >a c b c +>+对于D. 若，则不成立1,0,2a b c ===-故选A.2. 已知全集，集合，，则如图所示的阴影部分表示的{|(2)0}A x x x =+<{|||1}B x x =£集合是（）A. B. (2,1)-[1,0)[1,2)-⋃C. D. (2,1)[0,1]-- [0,1]【正确答案】C【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再解绝对值不等式求出集合，阴影部分表示A B 的集合为，根据交集、并集、补集的定义计算可得；()A B A B ⋃ ð【详解】解：由，解得，所以，(2)0x x +<20x -<<}{|(2)0{|20}A x x x x x <-=<<+=又，所以，，{|||1}{|11}B x x x x =-≤≤=≤(2,1]A B =- [1,0)A B =- 所以阴影部分表示的集合为，()(2,1)[0,1]A B A B ⋃=-- ð故选：C.3. 方程在区间和各有一个根的充要条件是（）220x ax a +-=()0,1()1,2A.B.(),1a ∞∈--4,13a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭C.D.4,03a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()2,1a ∈--【正确答案】B【分析】令，利用零点存在性定理，建立参数所满足的不等式，解不()22f x x ax a=+-a 等式，即得参数的取值范围.【详解】因为一元二次方程在区间和各有一个根，220x ax a +-=()0,1()1,2令，则由题意可得，即，解得()22f x x ax a =+-()()()0011202440f a f a a f a a ⎧=->⎪=+-<⎨⎪=+->⎩0143a a a ⎧⎪<⎪<-⎨⎪⎪>-⎩，413m -<<-则方程在区间和各有一个根的充要条件是.220x ax a +-=()0,1()1,24,13a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭故选：B.4. 已知a ，b ，，若关于x 不等式的解集为R c ∈01a cx b x x ≤++≤-，则（）[]{}()123321,0x x x x x x ⋃>>>A. 不存在有序数组，使得(,,)a b c 211x x -=B. 存在唯一有序数组，使得(,,)a b c 211x x -=C. 有且只有两组有序数组，使得(,,)a b c 211x x -=D. 存在无穷多组有序数组，使得(,,)a b c 211x x -=【正确答案】D【分析】根据，不等式转化为一元二次不等式的解的问题，利用两个一元二次不等式1>0x 解集有交集的结论，得出两个不等式解集的形式，从而再结合一元二次方程的根与系数关系确定结论．【详解】由题意不等式的解集为，20x bx a c x ≤++≤-[]{}()123321,0x x x x x x ⋃>>>即的解集是，220x bx a x bx a c x⎧++≥⎨++≤-⎩[]{}123,x x x ⋃则不等式的解是或，不等式的解集是20x bx a ++≥{|x 2x x ≤3x x ≥}2x bx a c x ++≤-，13{|}x x x x ≤≤设，，，1x m =21x m =+3x n =(1)m n +<所以，，0c n -=n c =和是方程的两根，1m +n 20x bx a ++=则，，11b m n m c -=++=++(1)a m n mc c =+=+又，22(1)m bm a m m m c mc c c m ++=+---++=-所以是的一根，m 2x bx a c x ++=-所以存在无数对，使得．(,,)a b c 211x x -=故选：D ．关键点点睛：本题考查分式不等式的解集问题，解题关键是转化一元二次不等式的解集，从而结合一元二次方程根与系数关系得出结论．二、填空题：本题共10小题，共42分．5. 已知集合，，则______R U ={}211A x x =-<A =【正确答案】(][),01,-∞+∞ 【分析】先解不等式，对集合A 进行化简，再求出集合A 的补集.【详解】即解得，211x -<1211x -<-<01x <<故，{}01A x x =<<又，R U =所以.(][),01,=-∞+∞ A 故(][),01,-∞+∞ 6. 已知集合，，且，则的值为________.{1,}A m =-{}21,B m =A B =m 【正确答案】0【分析】本题根据题意先得到限制条件，再根据限制条件求的值即可.m 【详解】解：因为，，，{1,}A m =-{}21,B m =A B =所以，解得，2211m m m m ⎧-=⎪-≠⎨⎪≠⎩0m =故0本题考查根据集合相等求参数的值，是基础题.7. 若，则实数______．{}241,,24a a a ∈---a =【正确答案】2-【分析】根据元素与集合的关系求解，利用集合中元素的互异性验证．【详解】当时，，不满足元素的互异性，舍去.4a =2244a a --=当时，解得或4，2244a a --=2a =-当时，不符合题意，4a =当时，集合为，符合题意,2a =-{1,2,4}--所以．2a =-故．2-8. 命题“，若，则 ”用反证法证明时应假设为,a b R ∈110a b -+-=1a b ==__________．【正确答案】.1,1a b ≠≠或【详解】分析：利用的否定为不都等于，从而可得结果.1a b ==,a b 1详解：考虑的否定，由于都等于，故否定为不都等于，故答案为1a b ==,a b 1,a b 1或.1a ≠1b ≠点睛：反证法的适用范围：（1）否定性命题；（2）结论涉及“至多”、“至少”、“无限”、“唯一”等词语的命题；（3）命题成立非常明显，直接证明所用的理论较少，且不容易证明，而其逆否命题非常容易证明；（4）要讨论的情况很复杂，而反面情况较少．9. 若集合的子集只有两个，则实数______．{}2310A x ax x =-+=a =【正确答案】0或94【分析】根据题意知道A 有一个元素，然后讨论a 是否为0，然后得出a 的值即可．【详解】的子集只有两个，有一个元素，A A ∴①时，，满足题意；0a =13A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭②时，，解得，0a ≠940a ∆=-=94a =或．0a ∴=94故0或．9410. 设命题p ：集合，命题q ：集合，若{}20A x x =-≤≤{}211B x a x a =+≤≤-，则实数a 的取值范围是______p q ⇒【正确答案】32a ≤-【分析】根据题意，由条件可得命题p 是命题q 的充分条件，列出不等式，即可得到结果.【详解】因为，则命题p 是命题q 的充分条件，则，解得，即p q ⇒21210a a +≤-⎧⎨-≥⎩32a ≤-实数a 的取值范围是.32a ≤-故答案为：32a ≤-11. 设是方程的两个实数根，则=_____________12x x 、230x x +-=2122020x x -+【正确答案】2024【分析】由一元二次方程的根与系数的关系，求出，再将转化后求12x x +2122020x x -+出．【详解】，是方程的两个根，1x 2x 230x x +-=，，121x x ∴+=-123x x =-又，21130x x +-=，2113x x ∴=-21212122020320202023()2024x x x x x x ∴-+=--+=-+= 故 202412. 设关于x 的方程解集为M ，关于x 的不等式|2||23|||(,)x x ax b a b R -+-=+∈的解集为N ，若集合，则________.(2)(23)0x x --≥M N =⋅=a b 【正确答案】15-【分析】根据一元二次不等式的解法，结合绝对值的性质进行求解即可.【详解】由或，所以或，(2)(23)02x x x --≥⇒≥ 1.5≤x {2M N x x ==≥}1.5x ≤当时，由，可得，2x ≥|2||23|||x x ax b -+-=+||22335ax b x x x +=-+-=-当时，由，可得，1.5≤x |2||23|||x x ax b -+-=+||22335ax b x x x +=-+-+=-+因此有，|35|||x ax b -=+当时，；3,5a b ==-3(5)15a b ⋅=⨯-=-当时，，3,5a b =-=3515a b ⋅=-⨯=-故15-13. 集合任取这三{}12,,,n A a a a =⋯，1,,,,i j j k i k i j k n a a A a a A a a A ≤<<≤+∈+∈+∈个式子中至少有一个成立，则的最大值为________．n 【正确答案】7【分析】假设且集合有4个正项，结合已知条件得到矛盾，12n a a a >>⋯>A 1234{,,,}a a a a即可确定集合中正项的个数，同理推出负项个数，即可确定的最大值.A n 【详解】不妨假设若集合中的正数个数大于等于，故为12,n a a a >>⋯>A 41234,,,a a a a 正项，则和均大于于是有从而矛盾！23a a +24a a +2,a 23241,a a a a a +=+=34,a a =所以集合中至多有3个正数，同理集合中最多有个负数，取A A 3满足题意，{}3,2,1,0,1,2,3A =---，所以的最大值为．n 7故714. 设，若存在唯一的m 使得关于x 的不等式组有解，则R,Z a m ∈∈21122x m x a -<<+a 的取值范围是______.【正确答案】(1,1-【分析】根据给定条件，确定m 的最小值，再由函数不等式有解得当时不等式组有解，0m =当时不等式组无解，求出a 的范围作答.1m =【详解】依题意，，由不等式有解知，，而，2111222x -≥-21122x m -<12m >-m ∈Z 因此，N m ∈因存在唯一的m 使得关于x 的不等式组有解，21122x m x a -<<+则当且仅当时，不等式组有解，且当时不等式组0m =211022x x a -<<+1m =无解，211122x x a -<<+由有解得有解，于是得，解得，211022x x a -<<+11x x a -<<⎧⎨>-⎩<1a -1>-a由无解得无解，于是得211122x x a -<<+1x x a ⎧<<⎪⎨>-⎪⎩1a -≥1a ≤因此，11a -<≤-所以a 的取值范围是.(1,1--故(1,1--结论点睛：函数的定义区间为，若，使得成立，则()y f x =D x D ∃∈()m f x <；若，使得成立，则.max ()m f x <x D ∃∈()m f x >min ()m f x >三、解答题：本题共4小题，共42分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. 已知集合，集合．{}2A x x a =-<2112x B x x ⎧⎫-=<⎨⎬+⎩⎭（1）若，求；2a =A B （2）若，求实数a 的取值范围．A B A = 【正确答案】（1） {}24x x -<<（2）(],1-∞【分析】（1）当时，化简集合A ，集合B ，再根据集合的并集运算可得解；2a =（2）即，抓住集合A 是否为空集讨论，再根据子集关系运算得解.A B A = A B ⊆【小问1详解】若，由，解得，则，2a =22x -<04x <<{}04A x x =<<又，即等价于，解得，2112x x -<+302x x -<+()()023x x +-<23x -<<则，{}23B x x =-<<.{}24A B x x ∴⋃=-<<【小问2详解】由等价于，A B A = A B ⊆当时，集合，符合；0a ≤A =∅A B ⊆当时，由，解得，0a >2x a -<22a x a -<<+即，又，{}22A x a x a =-<<+{}23B x x =-<<，解得，2223a a -≥-⎧∴⎨+≤⎩01a <≤综上，实数的取值范围是.a (],1-∞16. ⑴当时，求证：； 1x >2211x x x x +>+⑵已知，．试证明至少有一个不小于．R x ∈221,4,2a x x b x c x x =-+=-=-,,a b c 1【正确答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【详解】试题分析：⑴由，2222211(1)(1)(x x x x x x x x -+++-+=当时，可得，即可证明结论；1x >222(1)0,0,10x x x x ->>++>⑵可用反证法：假设都小于，即，可得，,,a b c 11,1,1a b c <<<3a b c ++<进而，即可得到矛盾，即可作出证明．22(1)33a b c x ++=-+≥试题解析：⑴()()222221111x x x x x x x x -++⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭∵ ∴x >1()22210,0,10x x x x ->>++>∴2211x x x x+>+⑵假设都小于，即a,b,c 11,1,1a b c <<<则有 ①3a b c ++<而 ②()222452133a b c x x x ++=-+=-+≥①与②矛盾故至少有一个不小于．a,b,c 117. 已知关于x 的不等式的解集为M ．()()()2245110R k k x k x k --+++>∈（1）若，求x 的取值范围；1k =（2）若，求实数k 的取值范围；R M =（3）是否存在实数k ，满足：“对于任意正整数n ，都有；对于任意负整数m ，都有n M ∈”，若存在，求出k 的值，若不存在，说明理由．m M ∉【正确答案】（1） 1142x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭（2）(](),17,-∞-+∞ （3）存在，5k =【分析】（1）直接求解不等式，即可得到结果.（2）讨论二次项系数及不为0时，求出原不等式的解集为时的取值范2230k k --=R k 围．（3）根据题意得出解集，讨论的取值，求出原不等式的解集，判断是否满足M 245k k --条件即可．【小问1详解】当时，不等式为，即，解得，1k =22810x x -+>+()()41210x x +-<1142x -<<即x 的取值范围为.1142x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【小问2详解】当时，解得，或，2450k k --=5k =1k =-①当时，不等式化为，时，解集为；1k =-10>1k ∴=-R ②当时，不等式化为，对任意实数不等式不成立；5k =610x +>x③当时，可得，()()22245014450k k k k k ⎧-->⎪⎨∆=+---<⎪⎩()()()(),15,,17,k k ∞∞∞∞⎧∈--⋃+⎪⎨∈--⋃+⎪⎩则k 的取值范围为；()(),17,k ∈-∞-+∞ 综上所述，实数k 的取值范围为.(](),17,-∞-+∞ 【小问3详解】根据题意，得出解集，，(,)M t =+∞[)1,1t ∈-当时，解得，或，2450k k --=5k =1k =-时，不等式的解集为，满足条件，5k =1,6⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭时，恒成立，不满足条件，1k =-10>当时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是的形式，不满足条2450k k -->(,)t ∞+件，当时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是的形式，不满足条2450k k --<(,)t ∞+件，综上，存在满足条件的值为5．k 18. 记存在正整数n ，且．若集合121211...,...k k t k t k t t a a a a a a a a ===+++=´´´å∏2n ≥满足，则称集合A 为“谐调集”．{}12,,,n A a a a = 11n n tt t t a a ===å∏（1）分别判断集合、集合是否为“谐调集”；{1,2}E ={1,0,1}F =-（2）已知实数x 、y ，若集合为“谐调集”，是否存在实数z 满足，并且使得{,}x y 2z xy =为“谐调集”？若存在，求出所有满足条件的实数z ，若不存在，请说明理由；{,,}x y z （3）若有限集M 为“谐调集”，且集合M 中的所有元素均为正整数，试求出所有的集合．M 【正确答案】（1）E 不是，F 是（2）不存在，理由见解析（3）{1,2,3}【分析】（1）根据新定义计算即可判断；（2）若存在符合题意的实数z ，根据题意可得的关系式，求解后，检验，即可,,x y z z ,x y 判断；（3）不妨设A 中所有元素满足，从而可得，12n a a a <<<1212n n a a a a a a ⋅=+++ 进而可得，再分三种情况求解即可．121n a a a n -⋅< 234n n n ==≥、、【小问1详解】∵，1212⨯≠+∴E 不是“谐调集”，∵，(1)01(1)01-⨯⨯=-++∴F 是“谐调集”.【小问2详解】若存在符合题意的实数z ，则，2z xy x y xy x y z xyz ⎧=⎪+=⎨⎪++=⎩∴，即，解得或或23z z z +=()210z z z --=0z =z =z=当时，则，不符合题意.0z =0,0x y ==当，z=x y xy +==由此，x 、y 是方程的实数解．20t =但，方程无实数解，所以不符合题意.2Δ40=-=<同理，当z =综上，不存在符合题意的实数.z【小问3详解】不妨设A 中所有元素满足，12n a a a <<<则，1212n n a a a a a a ⨯⨯⨯=+++ 于是，，1121211111n n n n n a a a a a a n a a a --⨯⨯⨯=++++<+++= 即，112n a a n a -⨯⨯⨯< 当时，则，2n =12a <∴，但无解，所以不存在符合题意的“谐调集”，11a =2211a a ⋅=+当时，则，3n =123a a <∴12331,2,1212a a a a ==´´=++∴，33a =当时，4n ≥∵均为正整数，12,,,n a a a ∴，121,2,,n a a a n ³³³ ∴，12112(1)(2)(1)n a a a n n n -⨯⨯⨯≥⨯⨯⨯-≥-- 又∵，121n n a a a ->⨯⨯⨯ ∴即，(2)(1)n n n >--2420n n -+<但当时，，矛盾．4n ≥242(4)20n n n n -+=-+>所以不存在符合题意的“谐调集”综上，符合题意的“谐调集”为．{1,2,3}方法点睛：解新定义题型的步骤：（1）理解“新定义”，明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.（3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.。

上海市行知中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试卷

上海市行知中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试卷一、填空题1．已知全集{}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9U =，集合{}0,1,3,5,8A =，集合{}2,4,5,6,8B =，则A B ⋂=. 2．已知方程22240x ax a -+-=的一个实根小于0，另一个实根大于0，求实数a 的取值范围.3．已知21P x =-，222Q x x =-，则P Q 、的大小关系为P Q .4．已知{}1,,A x y =，{}21,,2B x y =，若A B =，则x y -=.5．关于x 的不等式14x x a -++≥的解集为R ，则实数a 的取值范围是.6．已知ππ22αβ-≤<≤，则2αβ-的取值范围是. 7．已知:10x α-<<，:13m x m β-<<-.若α是β的充分非必要条件，则实数m 的取值范围是.8．若关于x 的不等式()2020ax bx c a ≤++≤>的解集为{}13x x -≤≤∣，则b a的值为. 9．{}20A x x px q =++=，{}210B x qx px =++=，A B ≠∅I ，{}2A B =-I ，则p q +=. 10．已知集合{}Z |21M x a x a =∈≤≤-，若集合M 有15个真子集，则实数a 的取值范围为.二、单选题11．对于实数a 、b 、c ，下列命题正确的是（）A ．若a b >，则ac bc <B ．若11a b>，则a b < C ．若0c a b >>>，则a b c a c b <-- D ．若0a b c >>>，则a c a b c b+<+ 12．设集合{}21,Z M x x k k ==+∈，{}31,Z N x x k k ==-∈，则M N =I （） A ．{}21,Z x x k k =+∈B ．{}31,Z x x k k =-∈C ．{}61,Z x x k k =+∈D ．{}61,Z x x k k =-∈13．如图，I 为全集，M 、P 、S 是I 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A ．()M P S I IB ．()M P S I UC ．()M P S I ID ．()M P S I U14．已知集合{}|N,015M x x x =∈<≤，1A 、2A 、3A 满足：①123A A A M ⋃⋃=；②每个集合都恰有5个元素.集合(1,2,3)i A i =中最大元素与最小元素之和称为i A 的特征数，记为(1,2,3)i X i =，则123X X X ++的值不可能为（）A ．37B ．39C ．48D ．57三、解答题15．已知集合403x A x x ⎧⎫-=>⎨⎬+⎩⎭，集合{}221B x a x a =-≤≤+. (1)当3a =时，求A 和A B U ；(2)已知B ≠∅，若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.16．某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并按每100元纳税10元（又称征税率为10个百分点）进行纳税，计划可收购a 万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税降低x （0x >）个百分点，预测收购量可增加2x 个百分点.（1）写出税收y （万元）与x 的函数关系式；（2）要使此项税收在税率调整后不少于原计划税收的83.2%，试确定x 的取值范围 17．已知函数2()2h x ax ax =++．(1)若对于任意R x ∈，不等式()1h x >-恒成立，求实数a 的取值范围；(2)当a<0时，解关于x 的不等式()(1)4h x a x <-+．18．（1）已知，且01ab <≤，求证：3311113⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭a b a b ；0b a >> （2）设a 、b 、()0,1c ∈，用反证法求证：下列三个关于x 的方程210ax x b ++-=、210bx x c ++-=、210cx x a ++-=中至少有一个有实数根. 19．设集合S 、T 为正整数集*N 的两个子集，S 、T 至少各有两个元素.对于给定的集合S ，若存在满足如下条件的集合T ：①对于任意a 、b S ∈，若a b ≠，都有ab T ∈；②对于任意a 、b T ∈，若a b <，则b S a∈.则称集合T 为集合S 的“K 集”. (1)若集合{}11,3,9S =，写出1S 的“K 集”1T （不需要证明）；(2)若{}212,,,n S x x x =L 存在“K 集”，其中12n x x x <<<L .当11x =时，求n 的最大值；(3)若三元集3S 存在“K 集”3T ，且3T 中恰含有4个元素，求证：31S ∉.。

2023-2024学年上海市高一上学期10月月考数学质量检测模拟试题(含答案)

2023-2024学年上海市高一上册10月月考数学试题一、填空题1．已知集合A ＝{x |﹣3≤x ＜3}和B ＝{x |x ＝2k ，k ∈N }关系的文氏图如图所示，则阴影部分表示的集合的元素的个数为___个．【正确答案】3【分析】根据文氏图可知，阴影部分表示的集合为A ∩B ，然后求出元素个数即可．【详解】∵集合A ＝{x |﹣3≤x ＜3}和B ＝{x |x ＝2k ，k ∈N }，∴阴影部分表示的集合A ∩B ＝{﹣2，0，2}．∴阴影部分表示的集合的元素共有3个．故3．2．已知{}2|560,{||11}A x x x B x x =-+>=-<∣，全集U =R ，则A B ⋂=___（用区间表示）【正确答案】(](),03,-∞+∞ 【分析】解不等式化简集合，进行集合运算即可.【详解】{}()(){}()()22|50,,6|2303A x x x x x x -∞+∞=-+>=-->=，()2{||11}{10,|11}B x x x x B ∣-=-<-<==<=，所以(][),02,B ∞∞=-⋃+，(](),03,A B =-∞+∞ .故答案为.(](),03,-∞+∞3．设A ＝{}|N x x k =∈，B ＝{x |x ≤10，x ∈Q }，则A ∩B ＝_____．【正确答案】{}1,4,6,910,N k ≤∈的k 的取值范围，从而可求得A B ⋂.【详解】因为{}|10,Q B x x x =≤∈10,N k ≤∈得019,Nk k ≤≤∈由题：{}|19,Nx x k k =≤≤∈{4=所以{}1,4,6,9A B = 故{}1,4,6,94．已知全集U A B =⋃中有m 个元素，A B ⋃中有n 个元素．若A B ⋂非空，则A B ⋂的元素个数为___个．【正确答案】m n-【分析】法一：由韦恩图判断；法二：由A B A B = 及补集概念即可求.【详解】法一：因为A B ⋃中有n 个元素，如图所示阴影部分，又U A B =⋃中有m 个元素，故A B ⋂中有m n -个元素；法二：因为A B A B = 有n 个元素，又全集U A B =⋃中有m 个元素，故A B ⋂的元素个数m n -个．故答案为.m n-5．“若220x x --≤，则12x -≤≤”的否定形式为____．【正确答案】若220x x --≤，则1x <-或2x >【分析】根据命题的否定形式直接得出答案.【详解】“若220x x --≤，则12x -≤≤”的否定形式：若220x x --≤，则1x <-或2x >.故若220x x --≤，则1x <-或2x >.6．某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价为每天180元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，假设不考虑其它费用，为使宾馆利润最大，每天的房价定为_____元．【正确答案】340【分析】设空闲的房间为x ，则房价为()18010x +元，定价增加了10x 元，表示出利润的函数关系，利用基本不等式求解最值，即可得到答案．【详解】解：设空闲的房间为x ，则房价为()18010x +元，定价增加了10x 元，由题意可得，利润()()()()21850180105010185010115602x x x x x x ++-⎛⎫+-+-≤= ⎪⎝⎭==，当且仅当1850x x +-＝，即16x =时取等号，此时房价为1801610340+⨯=元，所以为使宾馆利润最大，每天的房价定为340元．故340．7．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像如图所示，则下列结论中正确的个数是____．（1）,a b 异号；（2）当1x =和3x =时，函数值相等；（3）40a b +=；（4）当4y =时，x 的取值只能为0.【正确答案】3【分析】根据二次函数的图象得到对称轴即可结合二次函数的性质求解.【详解】根据图象可知：()2,0,(6,0)-是二次函数与x 的两个交点，所以可得对称轴方程为2x =，故对称轴为22bx a=-=，故,a b 异号且40a b +=，（1）（3）正确；因为对称轴为22bx a=-=，故当1x =和3x =时，函数值相等，当4y =时，x 的取值为0和4，故（2）正确，（4）错误；故正确的个数是3.故3.8．若()()223,[,]f x x b x x b c =-+++∈的图像x =1对称，则c =_______．【正确答案】2【详解】本题考查函数的对称性又()()2222223322b b f x x b x x ++⎛⎫⎛⎫=-+++=--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的对称轴为22b x +=则212b +=，得0b =；由()()223,[,]f x x b x x b c =-+++∈的图象1x =对称知其定义域[],b c 关于直线1x =对称，则有2b c +=；所以2c =9．不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为（﹣2，1），则不等式ax 2+（a +b ）x +c ﹣a ＜0的解集为______．【正确答案】（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．【详解】根据不等式ax 2+bx +c ＞0的解集得出a 与b 、c 的关系，再代入不等式ax 2+（a +b ）x +c ﹣a ＜0中化简求解集即可．解：不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为（﹣2，1），所以﹣2和1是ax 2+bx +c ＝0的实数根，且a ＜0；所以2121b a c a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，可得b ＝a ，c ＝﹣2a ，所以不等式ax 2+（a +b ）x +c ﹣a ＜0可化为ax 2+2ax ﹣3a ＜0，即x 2+2x ﹣3＞0，整理可得()()310x x +->，解得x ＜﹣3或x ＞1，所以不等式的解集为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．故（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．10．已知命题“若()22f x m x =，()22g x mx m =-，则集合1()(),12x f x g x x ⎧⎫<≤≤=∅⎨⎬⎩⎭”是假命题，则实数m 的取值范围是______．【正确答案】()7,0-【分析】由“1()(),12x f x g x x ⎧⎫<≤≤=∅⎨⎬⎩⎭”是假命题可知()2220m m x m -+<区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，构造函数()()222h x m m x m =-+，结合二次函数的图象可求m 的范围.【详解】∵()22f x m x =，()22g x mx m =-，又∵“1()(),12x f x g x x ⎧⎫<≤≤=∅⎨⎬⎩⎭”是假命题，∴2222m x mx m <-，即()2220m m x m -+<在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解令()()222h x m m x m =-+，①当20m m -=，即0m =或1m =时，()0h x =或()2h x =，()0h x <在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上无解，不合题意；②当20m m -≠，即0m ≠且1m ≠时，()h x 是二次函数，其图象是对称轴为y 轴的抛物线，若要使()0h x <在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，则需满足：22017024m m m m h ⎧->⎪⎨+⎛⎫=< ⎪⎪⎝⎭⎩或()22010m m h m m ⎧-<⎪⎨=+<⎪⎩解得70m -<<，即m 的取值范围是()7,0-.故答案为.()7,0-本题主要考查了复合命题的真假关系的应用，解题的关键是二次函数的性质的应用.11．对于任意两个数x ，y （x ，y ∈N *），定义某种运算“◎”如下：①当**2,N 2,N x m m y n n ⎧=∈⎨=∈⎩或**21,N 21,N x m m y n n ⎧=-∈⎨=-∈⎩时，x ◎y ＝x +y ；②当**2,N 21,N x m m y n n ⎧=∈⎨=-∈⎩时，x ◎y ＝xy ．则集合A ＝{（x ，y ）|x ◎y ＝10}的子集个数是_____．【正确答案】2048【分析】由新定义化简集合A ，从而确定子集的个数．【详解】由新定义知，A ＝{（x ，y ）|x ◎y ＝10}()()()()()()()()()()(){}=19283746556473829125101，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共11个元素，故其子集的个数为112=2048，故2048．12．若关于x 的不等式3|1||1|2x ax +++≥的解集为R ，且存在实数0x ，使得003|1||1|2x ax +++=，则实数a 的所有取值是____．【正确答案】12-或2-.【分析】()f x 的图像是一条折线，所以()f x 的最小值在折点处，故分类讨论，在折点处建立等式求解即可.【详解】令()|1||1|f x x ax =+++，当0a =时，()|1|11f x x =++≥，不合题意，故0a ≠.由()f x 的解析式易得，()f x 的图像是一条折线，且折点满足10x +=或10ax +=，即=1x -或1x a=-，又()|1||1|f x x ax =+++的最小值为32，∴()f x 的最小值只能在折点处取得.当=1x -时，则3|1|2a -+=，解得12a =-或52，所以13()|1||1|22f x x x =++-+≥或53()|1||1|25x f x x =+++≥，因为()f x 的最小值为32，所以12a =-；当1x a=-时，则13|1|2a -+=，解得2a =-或25，所以3()|1||21|2f x x x =++-+≥或23()|1||1|55f x x x =+++≥，所以2a =-.综上所述，12a =-或2a =-．故12-或2-.二、单选题13．设不等式()0f x ≥的解集为[1,2]，不等式()0g x ≥的解集为∅，则不等式()0()0f xg x <⎧⎨<⎩的解集为（）A ．∅B ．(,1)(2,)-∞⋃+∞C ．(1,2)D ．R【正确答案】B【分析】根据集合的补集的含义求解即可.【详解】因为不等式()0f x ≥的解集为[1,2]，不等式()0g x ≥的解集为∅，所以不等式()0f x <的解集为(,1)(2,)-∞⋃+∞，不等式()0g x <的解集为R所以不等式()0()0f x g x <⎧⎨<⎩的解集为(,1)(2,)-∞⋃+∞.故选：B ．三、多选题14．已知,,a b m 为正常数，则不等式a m ab m b+>+（）A ．当a b <时成立B ．当a b >时成立C ．是否成立与m 无关D ．一定成立【正确答案】AC【分析】化简不等式即可判断.【详解】因为,,a b m 为正常数，则()()a m aa mb a b m b a b m b+>⇔+>+⇔>+，且不等式是否成立与m 无关.故选：AC.四、单选题15．俗话说“不到长城非好汉”，这句话的意思是“到长城”是“好汉”的（）A ．充分条件B ．必要条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件【正确答案】B【分析】利用命题与逆否命题的关系判断.【详解】设p ⌝为不到长城，推出q ⌝为非好汉，即p q ⌝⇒⌝，则q p ⇒，即好汉⇒到长城，故“到长城”是“好汉”的必要不充分条件.故选：B ．16．已知1x ，2x 为方程20x px q ++=的两根，11x +，21x +为方程20x qx p ++=的两根，则常数p ，q 分别等于（）A ．1-，3-B ．3，1-C ．1，3D ．3-，1【正确答案】A【分析】根据已知条件由韦达定理得出1x ，2x 关于p ，q 的式子，消去1x ，2x 求解即可得出答案.【详解】1x ，2x 为方程20x px q ++=的两根，1212x x p x x q +=-⎧∴⎨⋅=⎩ ①，11x + ，21x +为方程20x qx p ++=的两根，()()12121111x x q x x p +++=-⎧∴⎨+⋅+=⎩ ②，由①②式消去1x ，2x 可得：21p q q p p -+=-⎧⎨-+=⎩，解得13p q =-⎧⎨=-⎩，故选：A.17．已知条件:p 实数x 满足28200x x --≤，条件:q 实数x 满足22210(0)x x m m -+->≤，若p 是q 的必要而不充分条件，则实数m 的取值范围是（）A ．3m ≥B ．03m <≤C ．3m >D ．03m <<【正确答案】B【分析】解不等式，必要而不充分条件等价为集合的包含关系，即可列不等式组求解.【详解】[][]:2,10,:1,1p x q x m m ∈-∈-+，因为p 是q 的必要而不充分条件，所以[][]1,12,10m m -+⊂-，所以12110m m -≥-⎧⎨+≤⎩且等号不同时成立，所以03m <≤，故选：B.五、解答题18．解下列不等式：(1)25123xx x -<---；(2)2(1)(2)0x x -+≥.【正确答案】(1)(1,1)(2,3)-U (2){2}[1,)-+∞ 【分析】对不等式因式分解，由数轴标根法或分类讨论求解即可.【详解】（1）22253210(1)(1)(2)(3)02323x x x x x x x x x x x --+<-⇔<⇔+---<----，由数轴标根法得，解集为(1,1)(2,3)-U ；（2）210(1)(2)020x x x x -≥⎧-+≥⇔⎨+≠⎩或20x +=，易得解集为{2}[1,)-+∞ .19．解下列不等式：(1)132x-<<；(2)(0x -≥.【正确答案】(1)11(,)(,)32-∞-⋃+∞(2)[3,)+∞【分析】（1）分类讨论解分式不等式；（2）结合因式分解解不等式.【详解】（1）0x >时，解得12x >；0x <时，解得13x <-.故解集为11(,)(,)32-∞-⋃+∞；（2）(2)0(0(2)00x x x -≥⎧-⇔-⇔，故解集为[3,)+∞.20．已知集合{}2|20A x x x m =-+=，求：(1)若集合A 至多有1个元素，求实数m 的取值范围；(2)若(,0)A ⊆-∞，求实数m 的取值范围.【正确答案】(1)m 1≥(2)1m >【分析】（1）由集合元素的个数转化为方程根的个数列不等式即可求得实数m 的取值范围；（2）根据集合关系，讨论A =∅或220x x m -+=只有负根，列不等式即可求得实数m 的取值范围.【详解】（1）若集合{}2|20A x x x m =-+=至多有1个元素，则220x x m -+=至多一个实根所以440m ∆=-≤，故m 1≥；（2）由题意得A =∅或220x x m -+=只有负根，当A =∅时，Δ440m =-<，故1m >，当220x x m -+=只有负根时，1212Δ440200m x x x x m =-≥⎧⎪+=<⎨⎪=>⎩，无解，综上，实数m 的取值范围为1m >.21．关于x 的不等式2282002(1)94x x mx m x m -+<++++，其中R m ∈.(1)解集为空集时，求实数m 的取值范围；(2)解集为R 时，求实数m 的取值范围.【正确答案】(1)1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；(2)1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.【分析】(1)由题意可得22(1)940mx m x m ++++≥恒成立，结合一元二次不等式的解法求解即可；(2)由题意可得22(1)94mx m x m ++++0<恒成立，结合一元二次不等式的解法求解即可；【详解】（1）解：因为22820(4)4x x x -+=-+恒为正，所以解集为空集时，22(1)940mx m x m ++++≥恒成立，当0m =时，240x +≥不恒成立，舍去；当0m ≠时，()()20Δ414940m m m m >⎧⎪⎨=+-+≤⎪⎩，解得14m ≥，所以实数m 的取值范围是1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（2）解：因为22820(4)4x x x -+=-+恒正，所以解集为R 时，22(1)94mx m x m ++++0<恒成立，当0m =时，240x +<不恒成立，舍去；当0m ≠时，()()2Δ414940m m m m <⎧⎪⎨=+-+≤⎪⎩，解得12m ≤-，所以实数m 的取值范围是1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.22．为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y （单位：毫克/立方米）随着时间x （单位：天）变化的函数关系式近似为217,0415,4102x x y x x ⎧-≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩.若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到净化空气的作用．(1)若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？(2)若第一次喷2个单位的净化剂，6天后再喷洒(14)a a ≤≤个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a 的最小值．【正确答案】(1)8天(2)4【分析】（1）对x 进行分类讨论，由44y ≥求得净化的天数.（2）根据空气中净化剂的浓度不低于4（毫克/立方米）列不等式，分离常数a ，结合函数的单调性求得a 的取值范围，进而求得a 的最小值.【详解】（1）一次喷洒4个单位的净化剂，故浓度()2684,044202,410x x f x y x x ⎧-≤≤==⎨-<≤⎩，则当04x ≤≤时，由26844x -≥，得04x ≤≤；当410x <≤时，由2024x -≥，解得8x ≤，所以48x <≤．综上所述，08x ≤≤，故若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达8天．（2）设从第一次喷洒起，经过(610)x x ≤≤天，浓度21()2517(6)42g x x a x ⎛⎫⎡⎤=⨯-+--≥ ⎪⎣⎦⎝⎭，当610x <≤时，2611717(6)(6)6x a x x x -≥=-----，因为17()(6)6h x x x =---在(6,10]上单调递减，所以当10x =时，()h x 取得最小值1(10)4h =，则117(6)6x x ---的最大值为4，所以4a ≥；当6x =时，()4174g x a =+≥恒成立．综上所述，a 的最小值为4．23．已知函数()24(0,,)f x ax x b a a b =++<∈R ，设关于x 的方程()0f x =的两实根为12,x x ，方程()f x x =的两实根为,αβ．(1)若||1αβ-=，求a 与b 的关系式；(2)若,a b 均为负整数，且||1αβ-=，求()f x 的解析式；(3)若12αβ<<<，求证：12(1)(1)7x x ++<．【正确答案】(1)249(0,,)a ab a a b +=<∈R ；(2)()242f x x x =-+-；(3)证明见解析.【分析】（1）由题意得230(0,,)ax x b a a b ++=<∈R 有两个不等实根为α，β，根据韦达定理及||1αβ-=可求解；（2）由（1）得249a ab +=，结合,a b 均为负整数可求解；（3）由韦达定理可得12124,b x x x x a a+=-=，结合12αβ<<<即可证明.【详解】（1）由题意得230(0,,)ax x b a a b ++=<∈R 有两个不等实根为α，β，所以3940,,b ab a aαβαβ∆=->+=-=．由||1αβ-=得()21αβ-=，即2294()41b a aαβαβ+-=-=，所以294ab a -=，即249(0,,)a ab a a b +=<∈R ．（2）由（1）得249a ab +=，因为,a b 均为负整数，所以149a a b =-⎧⎨+=-⎩或941a a b =-⎧⎨+=-⎩或343a ab =-⎧⎨+=-⎩，显然后两种情况不合题意，应舍去，从而有149a a b =-⎧⎨+=-⎩，解得1a =-，2b =-．故所求函数解析式为()242f x x x =-+-．（3）由题意得12124,b x x x x a a+=-=，又由12αβ<<<，得30,2b a a αβαβ+=-<=<，故11a-<，所以()()121212*********b x x x x x x a a ++=+++=-+<++=．。

2023-2024学年上海市高一上册10月月考数学试题1(含解析)

2023-2024学年上海市高一上册10月月考数学试题一、填空题1．已知集合{}{}21,1A x x B x x =-<<=>-，则A B ⋃=_________.【正确答案】(2,)-+∞【分析】利用数轴法根据并集运算法则即可得出结果.【详解】根据并集运算法则，画数轴表示出集合,A B 如下图所示易知{}|2A B x x =>- .故(2,)-+∞2．不等式102x x -≥+的解集是_________.【正确答案】()[),21,-∞-+∞ 【分析】分式不等式等价为整数不等式，即可求解.【详解】()()()[)12010,21,220x x x x x x ∞∞⎧-+≥-≥⇔⇒∈--⋃+⎨++≠⎩.故()[),21,-∞-+∞ 3．已知集合{}{}22,1,3,3,21,1M a a P a a a =+-=--+，{}3M P ⋂=-，则=a _________.【正确答案】1-【分析】根据集合元素的互异性以及交集性质进行分类讨论即可得出1a =-符合题意.【详解】因为{}3M P ⋂=-，所以3P -∈，易知213a +≠-，当33a -=-时，0a =，此时{}0,1,3M =-，{}3,1,1P =--，不合题意舍去；当213a -=-时，1a =-，此时{}1,0,3M =-，{}4,3,2P =--，满足题意，所以1a =-.故1-4．不等式21216x x -++≤的解集为_________.【正确答案】33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】分类讨论解绝对值不等式.【详解】当12x ≥时，21216x x -++≤，解得32x ≤，此时1322x ≤≤；当1122x -≤<时，12216x x -++≤，即26≤恒成立，此时1122x -≤<；当12x <-时，12126x x ---≤，解得32x ≥-，此时3122x -≤<-；故解集为33,22⎡⎤-⎢⎣⎦.故33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦5．若14a b <+<，24a b -<-<，则3a b +的取值范围是_________.【正确答案】()2,10-【分析】令()()3a b m a b n a b +=++-，求出,m n ，再由不等式的性质求解.【详解】令()()3a b m a b n a b +=++-，则13m n m n +=⎧⎨-=⎩，解得21m n =⎧⎨=-⎩，因为22()8a b <+<，()42a b -<--<，故()32,10a b +∈-.故()2,10-6．若0x >，则161x x ++的最小值为_________.【正确答案】7【分析】配凑法，由均值不等式求和的最小值.【详解】()1616111711x x x x +=++-≥=++，当且仅当1611x x +=+即3x =(0x >)时取等号，所以161x x ++的最小值为7.故7.7．若集合2{|560}A x x x =-+=，{|20}B y my =+=，则使得A B A ⋃=成立的所有m 的值组成的集合是___________.【正确答案】20,1,3⎧⎫--⎨⎩⎭【分析】依题意可得B A ⊆，首先求出集合A ，再分类讨论分别计算可得；【详解】解：因为{}{}2|5602,3A x x x =-+==，{}|20B y my =+=，A B A ⋃=，所以B A ⊆；①当0m =时，B =∅符合题意；②当2B ∈，即220m +=解得1m =-，即{}2B =；③当3B ∈，即320m +=解得23m =-，即{}3B =；综上可得20,1,3m ⎧⎫∈--⎨⎬⎩⎭故20,1,3⎧⎫--⎨⎩⎭8．若不等式2(1)(1)10a x a x -+--<对x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围是___________.【正确答案】(]3,1-【分析】先对二次项的系数1a -分类讨论，利用二次函数的性质，即可求出结果．【详解】①当1a =时，不等式化为10-<对一切x ∈R 恒成立，因此1a =满足题意；②当1a ≠时，要使不等式()()21110a x a x -+--<对一切x R ∈恒成立，则必有210314(1)(1)(1)04(1)a a a a a -<⎧⎪∴-<<-⋅---⎨<⎪-⎩．综上①②可知：实数a 取值的集合是(3,1]-．故(]3,1-．9．命题:p a b >是命题22:q a b >的________条件.【正确答案】必要不充分【分析】解不等式22a b >，根据充分必要条件的定义，即可作出判断.【详解】由22a b >，可得||||a b >，即||a b >，但当1,2a b ==-时，满足||a b >，不满足22a b >，所以命题p 是命题q 的必要不充分条件.故必要不充分10．设集合(){}2210,A x x p x x R =+++=∈，(),0B =-∞，若A B ⋂=∅，则实数p 的取值范围是___________.【正确答案】(),0∞-【分析】分析可知，方程()2210x p x +++=在(),0∞-上无实根、有唯一正根或两个正根，进行分类讨论，列出关于实数p 的不等式组，由此可解得实数p 的取值范围.【详解】分以下几种情况讨论：（1）若方程()2210x p x +++=无实根，则()222440p p p ∆=+-=+<，解得40p -<<；（2）若方程()2210x p x +++=有实根，则()222440p p p ∆=+-=+≥，解得4p ≤-或0p ≥，()2020110p ++⨯+=≠ ，则0x =不是方程()2210x p x +++=的解，若方程()2210x p x +++=有唯一的正根，则240202p p p ⎧∆=+=⎪⎨+->⎪⎩，解得4p =-；若方程()2210x p x +++=有两根不等的实根，设这两个实根分别为1x 、2x ，因为121=x x ，故方程()2210x p x +++=有两个不等的正根，所以，240202p p p ⎧∆=+>⎪⎨+->⎪⎩，解得4p <-.综上所述，实数p 的取值范围是(),0∞-.故答案为.(),0∞-11．设集合{}0123,,,S A A A A =，在S 上定义运算⊕为：j i k A A A ⊕=，其中k 为i j +被4除的余数，i ，0j =，1，2，3，则满足关系式20()x x A A ⊕⊕=的x （x S ∈）的个数为________.【正确答案】2由已知中集合0{S A =，1A ，2A ，3}A ，在S 上定义运算⊕为：j i k A A A ⊕=，其中k 为i j +被4除的余数，i ，0j =，1，2，3，分别分析x 取0A ，1A ，2A ，3A 时，式子的值，并与0A 进行比照，即可得到答案．【详解】当0x A =时，20020220()()x x A A A A A A A A ⊕⊕=⊕⊕=⊕=≠当1x A =时，21122240()()x x A A A A A A A A ⊕⊕=⊕⊕=⊕==当2x A =时，22220220()()x x A A A A A A A A ⊕⊕=⊕⊕=⊕=≠当3x A =时，23322200()()x x A A A A A A A A ⊕⊕=⊕⊕=⊕==则满足关系式20()x x A A ⊕⊕=的()x x S ∈的个数为：2个．故2．本题考查的知识点是集合中元素个数，其中利用穷举法对x 取值进行分类讨论是解答本题的关键.属于中档题.12．已知数集A ={}12,,n a a a ⋯(121,2n a a a n ≤<<<≥)具有性质P ：对任意的(1)i j i j n ≤≤≤、，i j a a 与ji a a 两数中至少有一个属于A ，当5n =时，若22a =，则集合A =___________.【正确答案】{}1,2,4,8,16【分析】推导出1n n a A a =∈，121111121.n n n a a a a a a a a ---++⋯+==++⋯+．当5n =时，有524a a a =，533a a a =，推导出1a ，2a ，3a ，4a ，5a 是首项为1，公比为2a 等比数列．由此能求出集合A ．【详解】解：1{A a =，2a ，⋯，}n a 具有性质P ，n n a a ∴与n na a 中至少有一个属于A ，由于121n a a a <<⋯<，n n na a a ∴>故n n a a A ∉．从而1n na A a =∈，11a =．121n a a a =<<⋯ ，2n ，(2k n n a a a k ∴>=，3，4，⋯，)n ，故(2k n a a A k ∉=，3，4，⋯，)n ．由A 具有性质P 可知(2n ka A k a ∈=，3，4，⋯，)n ．又 121n n n n n n a a a a a a a a -<<⋯<<，∴1n n a a =，21n n a a a -=，⋯，12n n a a a -=，从而12121n n n n n n n a a a a a a a a a a a -++⋯++=++⋯+，∴1211112n n n a a a a a a a ---++⋯+=++⋯+．当5n =时，有524a a a =，533a a a =，即25243a a a a == ，1251a a a =<<⋯< ，34245a a a a a ∴>=，34a a A ∴∉，由A 具有性质P 可知43a A a ∈．由2243a a a = ，得3423a a A a a =∈，且3221a a a <=，∴34223a a a a a ==，∴534224321a a a a a a a a a ====，即1a ，2a ，3a ，4a ，5a 是首项为1，公比为2a 等比数列．∴集合{1A =，2，4，8，16}．故{}1,2,4,8,16．二、单选题13．已知,a b 为非零实数，且a b <，则下列命题成立的是A ．22a b <B ．22ab a b <C ．2211ab a b <D ．b a a b<【正确答案】C【详解】若a <b <0,则a2>b2，A 不成立；若220{,ab a b ab a b>⇒<<B 不成立；若a =1，b=2，则12,2b a b a a b a b==⇒>,所以D 不成立,故选C.14．设全集U 是实数集R ，{}2|4M x x =<，{|13}N x x =<<，则图中阴影部分所表示的集合是（）A ．{|21}x x -<<B ．{|22}x x -<<C ．{|23}x x ≤<D ．{|12}x x <<【正确答案】C 求解集合M ，以及集合M N ⋂，()N C M N ⋂即可.【详解】对集合M ：{|22}M x x =-<<，故{|12}M N x x ⋂=<<由图可知阴影部分表示：(){|23}N C M N x x ⋂=≤<，故选：C.本题考查集合的运算，以及用韦恩图表示集合，属综合基础题.15．设[]x 表示不超过x 的最大整数,则关于x 的不等式2[]3[]100x x --≤的解集是A ．[-2，5]B ．（-3,6）C ．[-2,6）D ．[-1,6）【正确答案】B【详解】由题意可得：关于x 的不等式x 2−3x −10⩽0的解集是{x |−2⩽x ⩽5}，又因为[x ]表示不超过x 的最大整数，所以关于x 的不等式[x ]2−3[x ]−10⩽0的解集是{x |−3<x <6}.本题选择B 选项.16．用|S |表示集合S 中元素的个数，设A ，B ，C 为集合，称(A ，B ，C )为有序三元组，如果集合A ，B ，C 满足1A B B C C A === ，且A B C =∅ ，则称有序三元组(A ，B ，C )为最小相交，由集合{1，2，3}的子集构成的所有有序三元组中，最小相交的有序三元组的个数为（）A ．4B ．6C ．3D ．5【正确答案】B【分析】根据定义，确定满足条件的集合A ，B ，C 的元素情况即可求出结果．【详解】解：||||||1A B B C C A === ，∴设{}A B x = ，{}B C y = ，{}C A z = ，A B C =∅ ，且x ，y ，{1z ∈，2，3}，∴集合{A x =，}z ，{B x =，}y ，{C z =，}y ，若1x =，2y =，3z =，则{1A =，3}，{1B =，3}，{2C =，3}，将1，2，3进行全排列，由33326A =⨯=个．故选：B ．三、解答题17．用反证法证明：“已知a b R ∈、，若22220a ab b a b ++++-≠，则1a b +≠.”【正确答案】证明见解析【分析】根据反证法定义提出合理假设，得出假设与命题矛盾即可.【详解】假设1a b +=，则22222()()2(2)(1)0a ab b a b a b a b a b a b ++++-=+++-=+++-=，与22220a ab b a b ++++-≠矛盾，故假设不成立，所以原命题成立.18．设集合{}240A x x =-=，()(){}222150B x x a x a =+++-=，(1)若{}2A B ⋂=，求实数a 的值；(2)若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)3a =-(2)]{}(,31a ∞∈--⋃-【分析】（1）由{}2A B ⋂=可知2B ∈，代入集合B 分类讨论a 的取值即可得3a =-；（2）根据并集结果可得B A ⊆，再对集合B 是否为空集进行分类讨论即可得出实数a 的取值范围.【详解】（1）由集合{}240A x x =-=可得{}2,2A =-，由{}2A B ⋂=可得2B ∈，故244(1)50a a +++-=，解得1a =-或3a =-，当1a =-时，{}2,2B =-，此时{}2,2A B =- 不满足题意，舍去，当3a =-时，{}2B =，满足题意，故3a =-；（2）由A B A ⋃=得B A ⊆，当224(1)4(5)0a a ∆=+--<时，即3a <-时，B =∅满足题意；当Δ0=时，即3a =-时，{}2B =满足题意；当0∆>时，即3a >-时，()221054a a ⎧+=⎨-=-⎩，解得1a =-，综上可得，3a ≤-或1a =-；即实数a 的取值范围为]{}(,31a ∞∈--⋃-.19．（1）解关于x 的不等式2(21)20ax a x -++>；（2）若关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为(4,7)-，求关于x 的不等式20cx bx a -+≥的解集.【正确答案】（1）答案见解析；（2）11,,74⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【分析】（1）原不等式化为(1)(2)0ax x -->，对a 分类讨论求解即可；（2）根据不等式解集及根与系数的关系，可得328b a c a =-⎧⎨=-⎩，代入所求不等式化简求解即可.【详解】（1）原不等式化为(1)(2)0ax x -->，当0a =时，可得20x -<，解得2x <，当102a <<时，(1)(2)0ax x --=的根为1,2a 且12a >，解得2x <或1x a >，当12a =时，可得2(2)0x ->，解得2x ≠；当12a >时，(1)(2)0ax x --=的根为1,2a 且12a <，解得1x a<或2x >；当a<0时，由(1)(2)0ax x -->解得12x a <<，故不等式解集为1(,2)a .综上，当0a =时，解集为(,2)-∞；当102a <<时，解集为1(,2)()a -∞⋃+∞；当12a =时，解集为{}2x x ≠；当12a >时，解集为1(,(2,)a-∞⋃+∞；当a<0时，解集为1(,2)a .（2）由题意得a<0，且4747b a c a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，解得328b a c a =-⎧⎨=-⎩，不等式20cx bx a -+≥可化为22830ax ax a -++≥，即228310x x --≥，解得17x ≤-或14x ≥，故不等式解集为11,,74⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎢⎝⎦⎣⎭.20．已知2{|13},N {680}M x x x x x =<=-+≤.（1）设全集U =R ，定义集合元素△，使M △N =M ∩N ，求M △N 和N △M ；（2）若2{|()4}H x x a =-≤，按（1）的运算定义求(M △N )△H .【正确答案】（1）M △{}|12N x x =<<，N △{}|34M x x =；（2）答案见解析；【分析】（1）解不等式求出M ，N ，结合题意计算即可；（2）解不等式求出集合H ，结合（1）中M △N ，分类讨论，可得(M △)N △H ．【详解】解：（1）13{|}M x x =<<，2{|680}{|24}N x x x x x =-+=；根据题意，U =R ，{|2N x x =<或4}x >，M ∴△{}|12N M N x x ==<< ，又{|1M x x =或3}x ，N ∴△{}|34M N M x x == ；（2）{}{}2|()4|22H x x a x a x a =-≤=-≤≤+ ，所以()(),22,H a a =-∞-++∞ ，又{}()|121,2M N x x =<<= ，所以()()M N H M N H= 当22a -≥，或21a +≤，即4a ≥，或1a ≤-时，()()1,2M N H = ；当122a <-<，即34a <<时，()()1,2M N H a =- ；当122a <+<，即10a -<<时，()()2,2M N H a =+ ；当21a -≤，且22a +≥，即03a ≤≤时，()M N H =∅ ．21．对于四个正数,,,x y z w ，如果xw yz <，那么称(,)x y 是(,)z w 的“下位序对”，（1）对于2,3,7,11，试求(2,7)的“下位序对”；（2）设a b c d ,,,均为正数，且(,)a b 是(,)c d 的“下位序对”，试判断,,c a a c d b b d++之间的大小关系；（3）设正整数n 满足条件：对集合{|02017}t t <<内的每个*m N ∈，总存在*k ∈N ，使得(,2017)m 是(,)k n 的“下位序对”，且(,)k n 是(1,2018)m +的“下位序对”，求正整数n 的最小值.【正确答案】（1）()3,11；（2）b a c c a b d d+<<+；（3）4035【分析】（1）根据新定义，代入计算判断即可；（2）根据新定义得到ad bc <，再利用不等式的性质，即可判断；（3）由题意得到()201712018mn k m n k<⎧⎨+>⎩，从而求出4035n ≥，再验证该式对集合{|02017}t t <<内的每个m +∈N 的每个正整数m 都成立，继而求出最小值.【详解】（1）37112⨯<⨯ ，∴(2,7)的“下位序对”是()3,11（2）(,)a b 是(,)c d 的“下位序对”，ad bc ∴<，a b c d ,,,均为正数，故()0a c a bc ad b d b b d b +--=>++，即a c b b d a+>+，同理a c c b d d+<+，综上所述，b ac c a bd d +<<+.（3）依题意得()201712018mn k m n k<⎧⎨+>⎩，注意到,,m n l 整数，故1201712018mn k mn n k+≤⎧⎨+-≥⎩于是()()201712017201820181mn n k mn +-≥⨯≥+40352017n m∴≥-该式对集合{|02017}t t <<内的每个m +∈N 的每个正整数m 都成立，4035403520172016n ∴≥=-，120172018m k m n +<< ，112017201720182018m m m m +++∴<<+，211201740352018m m m ++∴<<，∴对集合{|02017}t t <<内的每个m +∈N ，总存在k N +∈，使得(,2017)m 是(,)k n 的“下位序对”，且(,)k n 是(1,2018)m +的“下位序对”，正整数n 的最小值为4035.本题主要考查了集合新定义，需理解题干中的定义，考查了学生的知识迁移能力以及分析问题的能力，属于中档题.。