11[1].1直线方程

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直线的一般式方程(人教A版2019选修一)高二数学

解析：由本例(2)解法可知直线OA的斜率为3，要使直线不经过第四象限，则有a≤3.
变式探究2 本例中将方程改为“x－(a－1)y－a－2＝0”，若直线不经过第二象限，则a的取值范围又是什么？
解析：①当a－1＝0，即a＝1时，直线为x＝3，该直线不经过
第二象限，满足要求．
②当a－1≠0，即a≠1时，直线化为斜截式方程为y＝
答案：2x－y＋1＝0
题型一求直线的一般式方程根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式．
(1)斜率是－1，经过点 A(8，－2)； 2
(2)经过点 B(4,2)，平行于 x 轴； (3)在 x 轴和 y 轴上的截距分别是3、－3；
2 (4)经过两点 P1(3，－2)，P2(5，－4)．
解析：选择合适的直线方程形式．
②若 2a＋3＝0，即 a＝－32时，直线 l1：x＋5y－2＝0 与直线 l2： 5x－4＝0 不垂直．
③若 1－a≠0，且 2a＋3≠0，则直线 l1，l2 的斜率 k1，k2 都存在，k1＝－a1＋－2a，k2＝－2aa－＋13，
当 l1⊥l2 时，k1·k2＝－1，即(－a1＋－2a)·(－2aa－＋13)＝－1，所以 a＝－1. 综上可知，当 a＝1 或 a＝－1 时，直线 l1⊥l2.
解析：∵kAB＝
m－2－3 －5－－2m
，直线x＋3y－1＝0的斜率为k＝－
13，∴由题意得－m5－＋52m＝－13，解得m＝4.故选A.
答案：A
4．斜率为2，且经过点A(1,3)的直线的一般式方程为 ________．
解析：由直线点斜式方程可得y－3＝2(x－1)，化为一般式为：2x－y＋1＝0.
解析：(1)方法一将直线 l 的方程整理为 y－35＝a(x－15)， ∴直线 l 的斜率为 a，且过定点 A(1，3)，

直线的两点式方程-【新教材】人教A版(2019)高中数学选择性必修第一册课件(共43张PPT)

3.会用中点坐标公式求两点的学运算的数学素养.
中点坐标.
2
某区商业中心 O 有通往东、西、南、北的四条大街，某公园位于东大街北侧、北大街东 P 处，如图所示．公园到东大街、北大街的垂直距离分别为 1 km 和 4 km.现在要在公园前修建一条直线大道分别与东大街、北大街交汇于 A、B 两处，并使区商业中心 O 到 A、 B 两处的距离之和最短．
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2．直线的截距式是两点式的一个特殊情形，用它来画直线以及判断直线经过的象限或求直线与坐标轴围成的三角形的面积比较方便．注意直线过原点或与坐标轴平行时，没有截距式方程，但直线过原点时两截距存在且同时等于零．
34
1．过 P1(2,0)，P2(0,3)两点的直线方程是( )
A．3x＋2y＝0
第二章直线和圆的方程
2.2 直线的方程 2.2.2 直线的两点式方程
1
学习目标
核心素养
1.掌握直线方程两点式的形式、 1.通过直线两点式方程的推导，提
特点及适用范围．(重点) 升逻辑推理的数学素养.
2.了解直线方程截距式的形式、 2.通过直线的两点式方程和截距
特点及适用范围．(重点) 式方程的学习，培养直观想象和数
19
1．[变条件]本例中把“截距相等”改为“截距互为相反数”，求直线 l 的方程．
[解] 当截距均为零时，设直线方程为 y＝kx，把点(4，－3)代入得－3＝4k，解得 k＝－34，所求的直线方程为 y＝－34x，即 3x＋4y＝ 0.
20
当截距均不为零且相反时，可设直线方程为ax＋－ya＝1，把点(4，－3)代入得4a＋－－3a＝1，解得 a＝7，所求直线方程为7x＋－y7＝1，即 x －y－7＝0，
[解] 设直线方程的截距式为a＋x 1＋ay＝1. 则a＋6 1＋－a2＝1，解得 a＝2 或 a＝1，则直线方程是2＋x 1＋2y＝1 或1＋x 1＋1y＝1，即 2x＋3y－6＝0 或 x＋2y－2＝0.

高中数学必修一《直线的点斜式方程》课件

1
第二章直线和圆的方程
2.2 直线的方程 2.2.1 直线的点斜式方程
2
学习目标 1.了解直线方程的点斜式的推导过
核心素养
程．(难点)
通过对直线的点斜式
2.掌握直线方程的点斜式并会应用．(重方程的学习，培养逻
点)
辑推理、数学运算的
3.掌握直线方程的斜截式，了解截距的概数学素养.
念．(重点、易错点)
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求直线的斜截式方程 (1)先求参数 k 和 b，再写出斜截式方程． (2)斜率可以是已知的，也可以利用倾斜角来求出，还可以利用平行、垂直关系求出斜率． (3)b 是直线在 y 轴上的截距，即直线与 y 轴交点的纵坐标，不是交点到原点的距离．
[跟进训练]
24
2．已知直线 l 的斜率为16，且和两坐标轴围成面积为 3 的三角形，
(2)当 a 为何值时，直线 l1：y＝(2a－1)x＋3 与直线 l2：y＝4x－3 垂直？
[思路探究] 由直线的斜截式方程中 k、b 的几何意义及直线平行、垂直的条件建立关于 a 的方程及不等式，求出 a 的值．
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[解] (1)由题意可知，kl1＝－1，kl2＝a2－2，∵l1∥l2， ∴a22a－≠22＝，－1，解得 a＝－1. 故当 a＝－1 时，直线 l1：y＝－x＋2a 与直线 l2：y＝(a2－2)x＋2 平行．
19
[解] (1)由点斜式方程得
y－4＝2(x－3)．
20
(2)与 x 轴平行时，k＝0， ∴y－4＝0×(x－3)，即 y＝4. (3)与 x 轴垂直，斜率不存在，方程为 x＝3.
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直线的斜截式方程
【例 2】根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为 2，在 y 轴上的截距是 5； (2)倾斜角为 150°，在 y 轴上的截距是－2； (3)倾斜角为 60°，与 y 轴的交点到坐标原点的距离为 3.

数学(理科) 第七章第1讲直线的方程

5.线段的中点坐标公式
若点 P1，P2 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段 P1P2 的
x1＋x2
x _____2______,
中点 M 的坐标为(x，y)，则
y1＋y2
y ____2_______ .
1.(教材改编题)直线 x＋ 3y＋m＝0(m∈k)的倾斜角为( C )
(4)由题意可设直线方程为3xa＋ay＝1，又∵直线过点 A(4,2)，∴34a＋2a＝1.解得 a＝130. ∴方程为 x＋3y－10＝0. 综上所述，直线 l 的方程为 x＋3y－10＝0. (5)设直线 l 的方程为ax＋by＝1，
由题意，得4a＋2b＝1， a＋b＝12.
∴4b＋2a＝ab.即 4(12－a)＋2a＝a(12－a). ∴a2－14a＋48＝0.解得 a＝6 或 a＝8. 因此ab＝＝66，，或ab＝＝84， . ∴直线 l 的方程为 x＋y－6＝0 或 x＋2y－8＝0. 【规律方法】如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距的绝对值相等”“截距互为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的 m 倍(m＞0)”等条件时，可采用截距式求直线方程，但一定要注意考虑“零截距”的情况.
3.直线方程的五种形式
名称点斜式斜截式
方程 y－y1＝k(x－x1) ____y＝__k_x_＋__b____
适用范围不含垂直于 x 轴的直线不含垂直于 x 轴的直线
两点式 yy2－－yy11＝xx2－－xx11(x1≠x2，y1≠y2) 不含垂直于坐标轴的直线
截距式
ax＋by＝1(ab≠0)
【互动探究】 1.已知直线 x＋2y＝2 与 x 轴、y 轴分别相交于 A，B 两点，

模板直线的一般式方程ppt课件-数学必修2第三章直线方程3.2.2第一课时人教A版.ppt

x y 1 ab
bx ay (ab) 0
上述四式都可以写成直线方程的一般形式：
Ax+By+C=0, A.、.分割B.. 不同时为0。
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形成新知
直线方程一般式
点斜式,斜截式,两点式,截距式四种方程都可以化成
Ax+By+C=0(其中A,B,C是常数,A,B不全为0)的形式. Ax+By+C=0叫做方程的一般式.
A（- 6,0），B(0，3),过A、B两点作直线即得（如图）
.y B
.
A
O
x
..分割..
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跟踪训练
1、若直线（2m2-5m-3)x-(m2-9)y+4=0的倾斜角
为450，则m的值是
（ B）
（A）3 （B） 2 （C）-2 （D）2与3
2、若直线(m+2)x+(2-m)y=2m在x轴上的截距为 3，则m的值是_____-_6____
垂直
k1k2 1
A1A2 B1B2 0
相交
k1 k2
..分割..
A1B2 A2B1 0
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..分割..
29
课堂小结
（1）直线方程的一般形式，可以表示任何一条直线
（2）几种直线方程的互化
（3）根据不同的已知条件利用相应直线方程求出其解析式
..分割..
30
..分割..
31
名称已知条件
标准方程Βιβλιοθήκη 使用范围斜率k和y轴
斜截式上的截距b
y kx b
不包括y轴及平行于y轴的直线
点斜式
斜率k和一点
P0 ( x0 , y0 )
y

专题11 直线的方程(深度精讲)

(2)由得，交点为 .
又因为所求直线与垂直，所以所求直线斜率
故所求直线方程为
21.已知正方形的中心为直线2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0的交点，正方形一边所在的直线方程为x＋3y－5＝0，求正方形其他三边的方程．
【答案】3x－y＋9＝0，x＋3y＋7＝0,3x－y－3＝0．
【解析】设与直线l：x＋3y－5＝0平行的边的直线方程为l1：x＋3y＋c＝0．
当x1＝x2时，直线方程为x＝x1；
当y1＝y2时，直线方程为y＝y1．
重点四、直线的截距式方程
(1)定义：如图所示，直线l与两坐标轴的交点分别是P1(a,0)、P2(0，b)(其中a≠0，b≠0)，则方程为＋＝1叫做直线l的截距式方程，简称截距式．
(2)说明：一条直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距．与坐标轴垂直和过原点的直线均没有截距式．
由，得正方形的中心坐标P(－1,0)，
由点P到两直线l，l1的距离相等，
则，
得c＝7或c＝－5(舍去)．∴l1：x＋3y＋7＝0．
又∵正方形另两边所在直线与l垂直，
∴设另两边方程为3x－y＋a＝0,3x－y＋b＝0．
∵正方形中心到四条边的距离相等，
∴ ，得a＝9或－3，
∴另两条边所在的直线方程为
考点8、平行与垂直的应用
例8．已知点和直线．求：
(1)过点与直线平行的直线方程；
(2)过点与直线垂直的直线方程．
【基础精练】
13．已知直线方程为 .
（1）证明：直线恒过定点；
（2）为何值时，点到直线的距离最大，最大值为多少？
（3）若直线分别与轴，轴的负半轴交于两点，求面积的最小值及此时直线的方程.

高考数学大一轮复习第八章第1节直线的倾斜角与斜率、直线方程

2．求直线方程的一种重要方法就是先设直线方程，再求直线方程中的系数，这种方法叫做待定系数法，运用此方法，注意各种形式的适用条件，选择适当的直线方程的形式至关重要．
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对点训练 △ABC 的三个顶点为 A(－3,0)，B(2,1)， C(－2,3)，求： (1)BC 所在直线的方程； (2)BC 边上中线 AD 所在直线的方程； (3)BC 的垂直平分线 DE 的方程．
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【解】 (1)因为直线 BC 经过 B(2,1)和 C(－2,3)两点，由两点式得 BC 的方程为3y－－11＝－x－2－22，即 x＋2y－4＝ 0. (2)设 BC 中点 D 的坐标(x，y)，则 x＝2－2 2＝0，y＝1＋2 3＝2. BC 边的中线 AD 过点 A(－3,0)，D(0,2)两点，由截距式得 AD 所在直线方程为－x3＋2y＝1，即 2x－3y＋6＝0.
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2．斜率公式
(1)直线 l 的倾斜角为 α≠90°，则斜率 k＝_t_a_n_α__.
(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线 l 上，且 x1≠x2，则 l 的 y2－y1
斜率 k＝__x_2－__x_1__.
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二、直线方程的五种形式
名称
方程
适用范围
点斜式斜截式
＝
.
【答案】－
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8
4．一条直线经过点 A(2，－3)，并且它的倾斜角等于直
线
y＝
1 3x
的倾斜角的
2
倍，则这条直线的一般式方程
是
，斜截式方程是
．
【答案】 3x－y－2 3－3＝0 y＝ 3x－2 3－3

高中数学 7.2直线的方程(第一课时) 大纲人教版必修

7.2. 直线的方程课时安排3课时从容说课1.本小节内容包括直线方程的点斜式、斜截式、截距式、两点式和一般式.2．本小节的重、难点.本小节的重点是学习直线方程的点斜式、两点式和一般式，难点是弄清五种直线方程的限制条件及相互之间的联系.3．本小节在教材中的地位.一方面，通过研究直线方程的多种形式，进一步研究直线和二元一次方程的关系，为继续学习“曲线和方程〞打下基础.另一方面，在讨论两直线的位置关系或者讨论直线的其他问题时，常常把直线的不同类型的方型化成同一类方程，所以，学习直线方程的互相转化为下一步学习作好辅垫.4.本小节重、难点的处理.直线方程的点斜式是本章内容的基础和关键所在,而直线方程的斜截式、两点式都由点斜式推出.推导和建立直线方程点斜式的主要依据是，经过直线上一个定点与这条直线上任意一点的直线是唯一的，假设直线斜率存在，那么设其为k ；在得出方程k x x y y =--11时，要把它变成方程y-y 1=k(x-x 1).因为前者表示的直线上缺少一个P 1点，而后者才是整条直线的方程；当直线的斜率不存在时，不能用点斜式求它的方程，此时直线方程为x=x 1.为加深学生对于直线方程限制条件的认识，可给出具体的不符合限制条件的特殊直线方程，要求学生进行归类，从而熟悉各种表示形式的基本限制条件.●课题§7.2.1 直线的方程(一)●教学目标(一)教学知识点1.直线方程的点斜式.2.横、纵截距.3.直线方程的斜截式.(二)能力训练要求1.理解直线方程的点斜式的形式特点和适用X 围.2.了解求直线方程的一般思路.3.了解直线方程的斜截式的形式特点及适用X 围.(三)德育渗透目标1.认识事物之间的普遍联系和相互转化.2.能够用联系的观点看问题.●教学重点直线方程的点斜式●教学难点点斜式推导过程的理解●教学方法学导式引导学生理解推导直线方程的点斜式的过程，认识到点斜式直线方程实质的斜率公式的变形，并由此了解到求直线方程的一般思路.而对于直线方程的斜截式的获得，要使学生认识到斜截式为点斜式的特殊情形.也就是在直线的斜率与直线在y 轴上的截距时而得到的.●教具准备投影片四X第一X ：点斜式的推导过程(记作§7.2.1 A)第二X ：点斜式的形式特点(记作§7.2.1 B)第三X ：本节例题(记作§7.2.1 C 〕第四X ：斜截式的形式特点(记作§7.2.1 D)●教学过程Ⅰ.课题导入［师］上一节，我们进一步熟悉了直线斜率公式的应用，它也是我们继续学习推导直线方程的基础.我们先来看下面的问题：假设直线l 经过点P 1〔1，2〕，且斜率为1，求直线l 的方程.分析：直线l 的方程也就是直线上任意一点所应满足的方程，设此动点为P (x ，y 〕，故所求直线为经过P 1P 的直线，由斜率公式得：k ＝12--x y ＝1〔x ≠1〕整理变形为：y －2＝x －1经验证：(1，2)点符合上式，并且直线l 上的每个点都是这个方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点都在直线上，所以此方程为所求直线方程.［师］如果把上述求直线方程的过程推广到一般情形，即可得到直线方程的点斜式. Ⅱ.讲授新课1.直线方程的点斜式y －y 1＝k 〔x －x 1〕其中x 1，y 1为直线上一点坐标，k 为直线的斜率.(给出幻灯片§7.2.1 A)推导：假设直线l 经过点P 1〔x 1，y 1〕，且斜率为k ，求l 方程.设点P (x ，y )是直线上不同于点P 1的任意一点，根据经过两点的直线的斜率公式得k ＝11x x y y --(x ≠x 1〕可化为：y －y 1＝k 〔x －x 1〕(给出幻灯片§7.2.1 B 〕［师］说明：(1)这个方程是由直线上一点和斜率确定的；(2)当直线l 的倾斜角为0°时，直线方程为y ＝y 1；(3)当直线倾斜角为90°时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示，这时直线方程为x ＝x 1.［师］接下来，我们通过例题来熟悉直线方程的点斜式.2.例题讲练［例1］一条直线经过点P 1〔－2，3〕，倾斜角α＝４5°，求这条直线方程，并画出图象.分析：此题可直接应用直线方程的点斜式，意在使学生逐步熟悉直线方程的点斜式.解：这条直线经过点P 1〔－2，3〕，斜率是k ＝tan ４5°＝1代入点斜式方程，得y －3＝x ＋2即x －y ＋5＝0这就是所求直线方程.图形如下：［例2］一直线过点A 〔－1，－3〕，其倾斜角等于直线y ＝2x 的倾斜角的2倍，求直线l 的方程.分析：此题所求直线上一点坐标，所以只要求得所求直线的斜率即可.根据条件，先求出直线y ＝2x 的倾斜角，再求出所求直线l 的倾斜角，进而求出斜率.解：设所求直线的斜率为k ，直线y ＝2x 的倾斜角为α，那么tan α＝2，k ＝tan2k∴k ＝tan2α＝34212tan 1tan 2222--=-x αα 代入点斜式；得y －〔－3〕＝－34[x －〔－1〕] 即：４x ＋3y ＋13＝0.评述：通过此题要求学生注意正切两倍角公式的正确运用.［例3］直线的斜率为k ，与y 轴的交点是P 〔0，b 〕，求直线l 的方程.解：将点P (0，b 〕，k 代入直线方程的点斜式得：y －b ＝k 〔x －0〕即y ＝kx ＋b［师］说明：(1)上述方程是由直线l 的斜率和它在y 轴上的截距确定的，叫做直线方程的斜截式.(2)我们称b 为直线l 在y 轴上的截距.(3)截距b 可以大于0，也可以等于或小于0.［师］下面，我们通过课堂练习进一步熟悉直线方程的点斜式与斜截式.Ⅲ.课堂练习课本P 39练习1.写出以下直线的点斜式方程，并画出图形：(1)经过点A (2，5〕，斜率是4；(2)经过点B (3，－1)，斜率是2；(3)经过点C (－2，2〕，倾斜角是30°；(4)经过点D (0，3〕，倾斜角是0°；(5)经过点E(４，－2〕，倾斜角是120°.解：(1)由直线方程的点斜式得y －5＝４〔x －2〕即所求直线方程.(2)点斜式方程为y －〔－1〕＝2〔x －3〕即y ＋1＝2〔x －3)(3)直线斜率k ＝tan30°＝33 ∴点斜式方程为：y －2＝33〔x ＋2〕 (4)k ＝tan0°＝0∴点斜式方程为y －3＝0(5)k ＝tan120°＝－3 ∴点斜式方程为y －〔－2〕＝－3〔x －４〕即y ＋2＝－3〔x －４〕图形依次为：〔1〕〔2〕（3）〔4〕〔5〕2.填空题(1)直线的点斜式方程是y －2＝x －1，那么，直线的斜率是，倾斜角是.(2)直线的点斜式方程是y ＋2＝－33〔x ＋1〕，那么直线的斜率是，倾斜角是. 答案：〔1〕1 45° (2)-33 150° 3.写出以下直线的斜截式方程，并画出图形：(1)斜率是23，在y 轴上的截距是－2. (2)倾斜角是135°，在y 轴上的截距是3.解：(1)由斜截式得y ＝23x －2 (2)k ＝tan135°＝－1由斜截式得：y ＝－x ＋3图形依次为：〔1〕〔2〕Ⅳ.课时小结通过本节学习，要求大家掌握直线方程的点斜式，了解直线方程的斜截式，并了解求解直线方程的一般思路.Ⅴ.课后作业〔一〕课本P ４４习题7.2 1.根据以下条件写出直线的方程：(1)斜率是33，经过点A (8，－2〕； (2)过点B (－2，0)，且与x 轴垂直；(3)斜率为－４，在y 轴上截距为7；(4)经过两点A 〔－1，８〕，B 〔４，－2〕；(5)在y 轴上截距是2，且与x 轴平行.解：(1)由点斜式得：y ＋2＝33〔x －８〕即3x －3y －８3－6＝0(2)x ＝－2(3)由斜截式得y ＝－４x ＋7即４x ＋y －7＝0(4)k ＝251041)2(8-=-=---- 由点斜式得y －８＝－2〔x ＋1〕即2x ＋y －6＝0(5)y ＝2.2.直线的斜率k ＝2，P 1〔3，5〕，P 2〔x 2，7〕，P 3〔－1，y 3〕是这条直线上的三个点，求x 2和y3.解：将k ＝2，P 1〔3，5〕代入点斜式得y －5＝2〔x －3)即2x －y －1＝0将y ＝7代入直线方程得2x 2－7－1＝0解得x 2＝４将x ＝－1代入直线方程得－2－y 3－1＝0解得 y 3＝－3评述：此题也可通过斜率相等，利用斜率公式求解.3.一直线经过点A (2，－3〕，它的倾斜角等于直线y ＝31x 的倾斜角的2倍，求这条直线的方程.解：设所求直线斜率为k ，直线y ＝31x 的倾斜角为α，那么tan α＝31∵α∈［0，π〕∴α＝30°那么2α＝60°，k＝tan60°＝3∴由点斜式得y＋3＝3〔x－2〕〔二〕1.预习内容：P４0～４12.预习提纲：〔1〕直线方程的两点式与截距式有何形式特点?适用X围是什么? 〔2〕两点式与截距式有何联系?〔3〕两点式与点斜式有何联系?●板书设计。

11、1 平面解析几何初步

11、平面解析几何初步11．1直线与方程【知识网络】1．在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素。

2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式。

3．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系。

【典型例题】[例1]（1）直线3y ＋ 3 x ＋2=0的倾斜角是（）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°（2）设直线的斜率k=2，P 1（3，5），P 2（x 2，7），P （－1，y 3)是直线上的三点，则x 2，y 3依次是（）A ．－3，4B ．2，－3C ．4，－3D ．4，3 （3）直线l 1与l 2关于x 轴对称，l 1的斜率是－7 ，则l 2的斜率是（）A ．7 B．－7 C．7D ．－7 （4）直线l 经过两点（1，－2），（－3，4），则该直线的方程是．（5）从直线l 上的一点A 到另一点B 的纵坐标增量是3，横坐标增量是－2，则该直线的斜率是．[例2]一条直线经过点M （2，1），且在两坐标轴上的截距和是6，求该直线的方程。

[例3]已知直线方程为ax －y ＋2a ＋1=0（1）若x ∈（－1，1）时，y ＞0恒成立，求a 的取值X 围；（2）若a ∈（－16 ，1）时，y ＞0恒成立，求x 的取值X围；[例4]设动点P ，P’的坐标分别为（x ，y ），（x ’，y’），它们满足⎩⎨⎧x' =3x +2y +1，y' =x +4y -3．若P ，P’在同一直线上运动，问：这样的直线是否存在？若存在，求出方程；若不存在，说明理由．【课内练习】1．过点A （x ，4）和点B （－2，x ）的直线的倾斜角等于45°，则x 的值为（）A ．1B ．－1C ．22D ．－2 2．直线ax+by+c=0同时通过第一、第二、第四象限，则a 、b 、c 应满足（）A ．abc>0B ．ac<0且bc<0C ．b=0且ab<0D ．a=0且bc<03．下列四个命题中的真命题是（）A ．经过点P (x 0，y 0)的直线一定可以用方程y -y 0＝k (x -x 0)表示B ．经过任意两个不同点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程 (y -y 1)(x 2-x 1)= (x -x 1)(y 2-y 1)表示C ．不经过原点的直线都可以用方程 x a + yb=1表示D ．经过点A (0，b )的直线都可以用方程y =kx ＋b 表示 4．已知直线l 1：ax-y-b=0，l 2：bx-y+a=0，当a 、b 满足一定的条件时，它们的图形可以是（）5．将直线l 1：x-y+3–2=0绕着它一面的一点（2，3）沿逆时针方向旋转15º，得直线l 2，则l 2的方程为．6．倾斜角α= 120°的直线l 与两坐标轴围成的三角形面积S 不大于3，则直线l 在y 轴上的截距的取值X 围为．7．经过点A （3，2）且在两轴上截距相等的直线方程是．8．某一次函数图象沿x 轴正方向平移2个长度单位后，经过点P （－1，3），再沿y 轴负方向平移1个长度单位后，又与原图象重合，求该一次函数解析式．9．设a ，b 是参数， c 是常数，且a 、b 、c ≠0，1a + 1b = 1c ，证明：直线 x a + yb = 1 必过一定点，求此定点的坐标．10．过点P （4，3）作直线l ，它与两坐标轴相交且与两坐标轴围成的三角形面积为3个平方单位，求直线l 的方程。

第3课时——直线的方程(1)——教师版

word 第3课直线的方程〔1〕掌握直线的点斜式方程；了解直线方程的斜截式是点斜式的特例；2.能通过待定系数〔直线上的一个点的坐标11(,)x y及斜率k，或者直线的斜率k及在y轴上的截距b〕求直线方程；3.掌握斜率不存在时的直线方程，即1x x=．[课堂互动]自学评价1．求直线的方程，其实就是研究直线上任意一点(,)P x y2.直线l经过点111(,)P x y，当直线斜率不存在时，直线方程为1x x=；当斜率为k时，直线方程为11()y y k x x-=-，该方程叫做直线的点斜式方程.3.方程y kx b=+叫做直线的斜截式方程，其中b叫做直线在y轴上的截距．[精典X例]例1：一条直线经过点1(2,3)P-，斜率为2，求这条直线的方程．[解]∵直线经过点1(2,3)P-，且斜率为2，代入点斜式，得：)2(23+=-xy，即07=+-yx．点评:直线上一点的坐标和直线的斜率，可直接利用斜截式写出直线方程．例2：直线l斜率为k，与y轴的交点是(0,)P b，求直线l的方程．[解]代入直线的点斜式，得：(0)y b k x-=-，即y kx b=+．点评:〔1〕直线l与x轴交点(,0)a，与y轴交点(0,)b，称a为直线l在x轴上的截距，称b为直线l在y轴上的截距〔截距可以大于0，也可以等于或小于0〕；〔2〕方程由直线l斜率k和它在y轴上的截距b确定，叫做直线方程的斜截式．例3：〔1〕求直线2)y x=-的倾斜角；〔2〕求直线2)y x=-绕点(2,0)按顺时针方向旋转30所得的直线方程．[解]〔1〕设直线2)y x=-的倾斜角为α，那么tanα=，又∵[0,180)α∈，∴120α=；〔2〕∴所求的直线的倾斜角为1203090-=，且经过点(2,0)，所以，所求的直线方程为2x=．例4：在同一坐标作出以下两组直线，分别说出这两组直线有什么共同特征？〔1〕2y=，2y x=+，2y x=-+，32y x=+，32y x=-+；〔2〕2y x=，21y x=+，21y x=-，24y x=+，24y x=-[解]图略；〔1〕这些直线在y轴上的截距都为2，它们的图象经过同一点(0,2)；〔2〕这些直线的斜率都为2，它们的图象平行．追踪训练1.写出以下直线的点斜式方程：〔1〕经过点(2,1)A-；〔2〕经过点(2)B，倾斜角为30；〔3〕经过点(0,3)C，倾斜角是0；〔4〕经过点(4,2)D--，倾斜角是120．答案：〔1〕12)y x+=-；听课随笔word〔2〕2y x -=；〔3〕30y -=；〔4〕24)y x +=+．2．写出以下直线的斜截式方程：〔1〕斜率是2，在y 轴上的截距是3-；〔2〕斜率是3-，与x 轴交点坐标为(2,0)．答案：〔1〕32y x =-；〔2〕36y x =-+．3.方程(2)y k x =-表示〔 C 〕()A 通过点(2,0)-的所有直线()B 通过点(2,0)的所有直线()C 通过点(2,0)且不垂直于x 轴的直线()D 通过点(2,0)且除去x 轴的直线。

第一节直线方程的点向式与点斜式

D．6
【提示】 AB ＝(a－2，－2)，BC＝(－a，4)，∵A，B， C三点共线，∴ AB BC, 即4(a－2)－(－2)·(－a)＝0，解得a＝4，故选B.
同步精练
8．“b＝0”是“直线y＝－3x＋b经过原点”的( C )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
典例解析
【例4】 (1)已知直线过点P(2，1)，倾斜角为45°，求直线方程．
(2)斜率为3，在y轴上的截距为－2，求直线方程．
(1)x－y－1＝0 (2)y＝3x－2
【解析】 (1)由直线的倾斜角可以求出直线的斜率 k＝tan45°＝1，代入直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)，整理可得直线方程为x－y－1＝0.
【提示】对照点向式方程v2(x－x0)－v1(y－y0)＝0 可得．
同步精练
3．已知直线kx＋2y＋1＝0，平行于向量(2，－1)，则k的值
为( B )
A．－1
B．1
C．4
D．－4
由直【线提kx示＋】2y由＋直1＝线0方知向直向线量斜(率2，为－－1k)知，其由斜率k 为－1得12 k，＝又1.
A．y－1＝－(x－2) B．y－1＝－(x＋2) C．y＋1＝－(x－2) D．y＋1＝－(x＋2)
【提示】点A(5，3)，B(－1，－5)，线段AB的中点坐标为(2，－1)，由直线倾斜角为135°，知直线斜率k ＝tan135°＝－1，所以由直线的点斜式方程得y－(－1) ＝－1·(x－2)，整理得y＋1＝－(x－2)．
当v与x轴平行时，直线l的方程为__y_－__y_0＝__0________；当v与y轴平行时，直线l的方程为___x_－__x0_＝__0_______．

苏教版必修2数学课件-第2章平面解析几何初步第1节直线与方程教学课件

即5x2－－y21＝31－－x52＝1，解得 x2＝7，y1＝0.
(2)显然，直线斜率存在．由三点共线，得 kAB＝kAC，即2－2 a＝2－2 b，
整理得 2a＋2b＝ab.∴1a＋1b＝a＋ abb＝2aa＋＋b2b＝12.]
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已知 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，若有 x1＝x2＝x3 或 kAB＝kAC，则有 A，B，C 三点共线．利用斜率判断三点共线应注意以下三点：
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(2)直线的斜率与倾斜角的关系 ①从关系式上看：若直线 l 的倾斜角为 α(α≠90°)，则直线 l 的斜率 k＝ tan α ．
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②从几何图形上看：
直线情形
α的大小 k的大小
0°<α<90
0°
90° 90°<α<180°
°
k ＝ __ta_n_α____ ＝
0
k＝__ta_n_α__ 不存在
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已知直线上两点(x1，y1)，(x2，y2)，表示直线的斜率时，要注意直线斜率存在的前提，即只有 x1≠x2 时才能用斜率公式求解．当 x1 ＝x2 时，直线斜率不存在，此时直线的倾斜角为 90°.当点的坐标中含有参数时，要注意对参数的讨论．
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1．过点 P(－2，m)，Q(m，4)的直线的斜率为 1，则 m＝________． 1 [－m2－－4m＝1，m＝1.]
思路探究：(1) kP1P2＝kP2P3＝1 → 分别解方程求x2，y1 (2) kAB＝kAC → 化简得a与b的关系 → 代入化简求值
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(1)7
0
1 (2)2
[(1)由 α＝45°，故直线 l 的斜率 k＝tan 45°＝1，

新教材高中数学第一章直线与方程2

直线的一般式方程新课程标准解读核心素养 1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的一般式数学抽象 2.会进行直线方程的五种形式间的转化数学运算同学们，前面我们学习了直线方程的四种形式：点斜式、斜截式、两点式、截距式． [问题] (1)你能发现这四种形式的直线有什么共同特征吗？ (2)探究它们的方程能否化简为统一的形式．知识点直线的一般式方程1．定义：关于x ，y 的二元一次方程 Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不全为0)叫作直线的一般式方程．2．系数的几何意义：当B ≠0时，则－A B ＝k (斜率)，－C B＝b (y 轴上的截距)；当B ＝0，A ≠0时，则－C A＝a (x 轴上的截距)，此时不存在斜率．1．平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x ，y 的二元一次方程表示吗？提示：都可以．2．每一个关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为零)都能表示一条直线吗？提示：都能表示一条直线．1．直线x －3y ＋1＝0的倾斜角为( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°解析：选A 由直线的一般式方程，得它的斜率为33，从而倾斜角为30°.2．斜率为2，且经过点A (1，3)的直线的一般式方程为________．解析：由直线点斜式方程可得y －3＝2(x －1)，化成一般式为2x －y ＋1＝0. 答案：2x －y ＋1＝0直线的一般式方程[例1] 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． (1)斜率是3且经过点A (5，3)； (2)经过A (－1，5)，B (2，－1)两点； (3)在x ，y 轴上的截距分别是－3，－1. [解] (1)由点斜式方程得y －3＝3(x －5)，整理得3x －y ＋3－53＝0.(2)由两点式方程得y －5－1－5＝x －（－1）2－（－1），整理得2x ＋y －3＝0.(3)由截距式方程得x －3＋y－1＝1，整理得x ＋3y ＋3＝0.求直线一般式方程的策略(1)当A ≠0时，方程可化为x ＋B A y ＋C A ＝0，只需求B A ，C A 的值；若B ≠0，则方程化为A Bx ＋y ＋C B ＝0，只需确定A B ，C B的值．因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程；(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式．[跟踪训练]1．已知直线l 的倾斜角为60°，在y 轴上的截距为－4，则直线l 的点斜式方程为________；截距式方程为________；斜截式方程为________；一般式方程为________．解析：点斜式方程： y ＋4＝3(x －0)，截距式方程：x 433＋y－4＝1，斜截式方程： y＝3x －4，一般式方程：3x －y －4＝0.答案：y ＋4＝3(x －0)x 433＋y－4＝1 y ＝3x －4 3x －y －4＝02．把直线l 的一般式方程x －2y ＋6＝0化为斜截式，求出直线l 的斜率以及它在x 轴与y 轴上的截距，并画出图形．解：把直线l 的一般式方程化为斜截式y ＝12x ＋3.因此，直线l 的斜率k ＝12，它在y 轴上的截距是3.在直线l 的方程x －2y ＋6＝0中，令y ＝0，得x ＝－6，即直线l 在x 轴上的截距是－6.由上面可得直线l 与x 轴、y 轴的交点坐标分别为A (－6，0)，B (0，3)，如图，过A ，B 两点作直线，就得直线l .直线的一般式方程的应用[例2] (链接教科书第17页例6)设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x －(2m 2＋m －1)y ＋6－2m ＝0.(1)已知直线l 在x 轴上的截距为－3，求m 的值； (2)已知直线l 的斜率为1，求m 的值．[解] (1)由题意知m 2－2m －3≠0，即m ≠3且m ≠－1，令y ＝0，则x ＝2m －6m 2－2m －3，∴2m －6m 2－2m －3＝－3，得m ＝－53或m ＝3(舍去)．∴m ＝－53.(2)由题意知，2m 2＋m －1≠0，即m ≠12且m ≠－1.由直线l 化为斜截式方程得y ＝m 2－2m －32m 2＋m －1x ＋6－2m2m 2＋m －1，则m 2－2m －32m 2＋m －1＝1，得m ＝－2或m ＝－1(舍去)． ∴m ＝－2.[母题探究](变设问)对于本例中的直线l ，若直线l 与y 轴平行，求m 的值．解：∵直线l 与y 轴平行，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3≠0，－（2m 2＋m －1）＝0，6－2m ≠0，∴m ＝12.已知含参的直线的一般式方程求参数的值(范围)的步骤[跟踪训练]直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求a 的值； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．解：(1)①当a ＝－1时，直线l 的方程为y ＋3＝0，显然不符合题意； ②当a ≠－1时，令x ＝0，则y ＝a －2，令y ＝0，则x ＝a －2a ＋1. ∵l 在两坐标轴上的截距相等， ∴a －2＝a －2a ＋1，解得a ＝2或a ＝0. 综上，a 的值为2或0.(2)直线l 的方程可化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，故要使l 不经过第二象限，只需⎩⎪⎨⎪⎧－（a ＋1）≥0，a －2≤0，解得a ≤－1. ∴a 的取值范围为(－∞，－1]．1．直线x 3＋y4＝1化成一般式方程为( )A ．y ＝－43x ＋4B ．y ＝－43(x －3)C ．4x ＋3y －12＝0D ．4x ＋3y ＝12答案：C2．在直角坐标系中，直线x ＋3y －3＝0的倾斜角是( ) A ．30°B ．60°C ．150°D ．120°解析：选C 直线斜率k ＝－33，所以倾斜角为150°，故选C. 3．若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，则A ，B 应满足的条件为( ) A ．A ≠0 B ．B ≠0 C ．A ·B ≠0D ．A 2＋B 2≠0解析：选D 方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线的条件为A ，B 不能同时为0，即A 2＋B 2≠0. 4．已知直线mx －2y －3m ＝0(m ≠0)在x 轴上的截距是它在y 轴上截距的4倍，则m ＝________．解析：直线方程可化为x 3＋y－3m 2＝1，∴－3m 2×4＝3，解得m ＝－12.答案：－12。

高考数学(理)一轮复习考点突破学案：《直线与方程》

第1讲直线与方程[最新考纲]1．在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素． 2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．3．掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.知识梳理知识梳理1．直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角①定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角；②规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0；③范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π)． (2)直线的斜率①定义：当直线l 的倾斜角α≠π2时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条斜线的斜率，斜率通常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α；②斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1. 2．直线方程的五种形式名称几何条件方程适用条件斜截式纵截距、斜率 y ＝kx ＋b 与x 轴不垂直的直线点斜式过一点、斜率 y －y 0＝k (x －x 0) 两点式过两点 y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1与两坐标轴均不垂直的直线截距式纵、横截距x a ＋y b ＝1 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)所有直线若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式．辨析感悟1．对直线的倾斜角与斜率的理解(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．(×) (2)过点M (a ，b )，N (b ，a )(a ≠b )的直线的倾斜角是45°.(×)(3)(教材习题改编)若三点A (2,3)，B (a,1)，C (0,2)共线，则a 的值为－2.(√) 2．对直线的方程的认识(4)经过点P (x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示．(×)(5)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．(√)(6)直线l 过点P (1,2)且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为x ＋y －3＝0.(×) [感悟·提升]1．直线的倾斜角与斜率的关系斜率k 是一个实数，当倾斜角α≠90°时，k ＝tan α.直线都有斜倾角，但并不是每条直线都存在斜率，倾斜角为90°的直线无斜率，如(1)． 2．三个防范一是根据斜率求倾斜角，要注意倾斜角的范围，如(2)；二是求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论，如(4)；三是在用截距式时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需分类讨论，如(6).考点一直线的倾斜角和斜率【例1】 (1)直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( )． A ．[0，π)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π(2)若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )． A.13B ．－13C ．－32D.23解析 (1)设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α，其中sin α∈[－1,1]，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4≤θ<π.故选B.(2)依题意，设点P (a,1)，Q (7，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7＝2，b ＋1＝－2，解得a ＝－5，b ＝－3，从而可知直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13.答案 (1)B (2)B规律方法直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2与⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π两种情况讨论．由正切函数图象可以看出当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时，斜率k ∈[0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，斜率k∈(－∞，0)．【训练1】经过P (0，－1)作直线l ，若直线l 与连接A (1，－2)，B (2,1)的线段总有公共点，求直线l 的倾斜角α的范围．解法一如图所示，k PA ＝－2－－11－0＝－1，k PB ＝1－－12－0＝1，由图可观察出：直线l 倾斜角α的范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4.法二由题意知，直线l 存在斜率．设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＋1＝kx ，即kx －y －1＝0.∵A ，B 两点在直线的两侧或其中一点在直线l 上． ∴(k ＋2－1)(2k －1－1)≤0，即2(k ＋1)(k －1)≤0. ∴－1≤k ≤1.∴直线l 的倾斜角α的范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4.考点二求直线的方程【例2】求适合下列条件的直线方程： (1)经过点P (3,2)，且在两坐标轴上的截距相等； (2)过点A (－1，－3)，斜率是直线y ＝3x 的斜率的－14.(3)过点A (1，－1)与已知直线l 1：2x ＋y －6＝0相交于B 点，且 |AB |＝5.解 (1)法一设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a ，若a ＝0，即l 过点(0,0)和(3,2)， ∴l 的方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0.若a ≠0，则设l 的方程为x a ＋y a＝1， ∵l 过点(3,2)，∴3a ＋2a＝1，∴a ＝5，∴l 的方程为x ＋y －5＝0，综上可知，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0. 法二由题意，所求直线的斜率k 存在且k ≠0，设直线方程为y －2＝k (x －3)，令y ＝0，得x ＝3－2k，令x ＝0，得y ＝2－3k ，由已知3－2k＝2－3k ，解得k ＝－1或k ＝23，∴直线l 的方程为y －2＝－(x －3)或y －2＝23(x －3)，即x ＋y －5＝0或2x －3y ＝0. (2)设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－14×3＝－34.又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0.(3)过点A (1，－1)与y 轴平行的直线为x ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，2x ＋y －6＝0，求得B 点坐标为(1,4)，此时|AB |＝5，即x ＝1为所求．设过A (1，－1)且与y 轴不平行的直线为y ＋1＝k (x －1)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6＝0，y ＋1＝k x －1，得两直线交点为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ＋7k ＋2，y ＝4k －2k ＋2.(k ≠－2，否则与已知直线平行) 则B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2，4k －2k ＋2.由已知⎝⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －2k ＋2＋12＝52，解得k ＝－34，∴y ＋1＝－34(x －1)，即3x ＋4y ＋1＝0.综上可知，所求直线的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0.规律方法在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．【训练2】 △ABC 的三个顶点为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求： (1)BC 所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线DE 的方程．解 (1)因为直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点，由两点式得BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2，即x ＋2y －4＝0.(2)设BC 中点D 的坐标为(x ，y )，则x ＝2－22＝0，y ＝1＋32＝2.BC 边的中线AD 过A (－3,0)，D (0,2)两点，由截距式得AD 所在直线方程为x －3＋y2＝1，即2x－3y ＋6＝0.(3)BC 的斜率k 1＝－12，则BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2，由点斜式得直线DE 的方程为y－2＝2(x －0)，即2x －y ＋2＝0.考点三直线方程的综合应用【例3】已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，如右图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．审题路线根据截距式设所求直线l 的方程⇒把点P 代入，找出截距的关系式⇒运用基本不等式求S △ABO ⇒运用取等号的条件求出截距⇒得出直线l 的方程．解设A (a,0)，B (0，b )，(a ＞0，b ＞0)，则直线l 的方程为x a ＋y b＝1， ∵l 过点P (3,2)，∴3a ＋2b＝1.∴1＝3a ＋2b ≥26ab，即ab ≥24.∴S △ABO ＝12ab ≥12.当且仅当3a ＝2b ，即a ＝6，b ＝4.△ABO 的面积最小，最小值为12. 此时直线l 的方程为：x 6＋y4＝1.即2x ＋3y －12＝0.规律方法 (1)与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中的x ，y 的关系，将问题转化为关于x (或y )的某函数，借助函数的性质解决；(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题，不等式的性质、基本不等式等)来解决．【训练3】在例3的条件下，求直线l 在两轴上的截距之和最小时直线l 的方程．解设l 的斜率为k (k ＜0)，则l 的方程为y ＝k (x －3)＋2，令x ＝0，得B (0,2－3k )，令y＝0，得A ⎝⎛⎭⎪⎫3－2k，0，∴l 在两轴上的截距之和为 2－3k ＋3－2k＝5＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3k ＋⎝⎛⎭⎪⎫－2k≥5＋26，当且仅当k ＝－63时，等号成立． ∴k ＝－63时，l 在两轴上截距之和最小，此时l 的方程为6x ＋3y －36－6＝0.1．求斜率可用k ＝tan α(α≠90°)，其中α为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记：“斜率变化分两段，90°是分界，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”． 2．求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方程，再求直线方程中的系数，这种方法叫待定系数法．思想方法9——分类讨论思想在求直线方程中的应用【典例】在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD ，AB ＝2，BC ＝1，AB 、AD 边分别在x 轴、y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合．将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上．若折痕所在直线的斜率为k ，试写出折痕所在直线的方程．解 (1)当k ＝0时，此时A 点与D 点重合，折痕所在的直线方程为y ＝12.(2)当k ≠0时，将矩形折叠后A 点落在线段CD 上的点为G (a,1)．所以A 与G 关于折痕所在的直线对称，有k AG ·k ＝－1，1ak ＝－1⇒a ＝－k .故G 点坐标为G (－k,1)，从而折痕所在的直线与AG 的交点坐标(线段AG 的中点)为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2，12. 折痕所在的直线方程为y －12＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 2，即y ＝kx ＋k 22＋12.∴k ＝0时，y ＝12；k ≠0时，y ＝kx ＋k 22＋12.[反思感悟] (1)求直线方程时，要考虑对斜率是否存在、截距相等时是否为零以及相关位置关系进行分类讨论．(2)本题需对斜率k 为0和不为0进行分类讨论，易错点是忽略斜率不存在的情况．【自主体验】1．若直线过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－32且被圆x 2＋y 2＝25截得的弦长是8，则该直线的方程为( )． A ．3x ＋4y ＋15＝0 B ．x ＝－3或y ＝－32C ．x ＝－3D ．x ＝－3或3x ＋4y ＋15＝0解析若直线的斜率不存在，则该直线的方程为x ＝－3，代入圆的方程解得y ＝±4，故该直线被圆截得的弦长为8，满足条件；若直线的斜率存在，不妨设直线的方程为y ＋32＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k －32＝0，因为该直线被圆截得的弦长为8，故半弦长为4.又圆的半径为5，则圆心(0,0)到直线的距离为52－42＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3k －32k 2＋1，解得k ＝－34，此时该直线的方程为3x ＋4y ＋15＝0. 答案 D2．已知两点A (－1,2)，B (m,3)，则直线AB 的方程为________．解析当m ＝－1时，直线AB 的方程为x ＝－1，当m ≠－1时，直线AB 的方程为y －2＝1m ＋1(x ＋1)，即y ＝1m ＋1x ＋1m ＋1＋2. 答案 x ＝－1或y ＝1m ＋1x ＋1m ＋1＋2基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．直线3x －y ＋a ＝0(a 为常数)的倾斜角为( )． A ．30° B ．60° C ．150° D ．120°解析直线的斜率为k ＝tan α＝3，又因为α∈[0，π)，所以α＝60°. 答案 B2．已知直线l 经过点P (－2,5)，且斜率为－34.则直线l 的方程为( )．A ．3x ＋4y －14＝0B ．3x －4y ＋14＝0C ．4x ＋3y －14＝0D ．4x －3y ＋14＝0 解析由点斜式，得y －5＝－34(x ＋2)，即3x ＋4y －14＝0. 答案 A3．若直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1在x 轴上的截距为1，则实数m 是( )． A ．1 B ．2 C ．－12 D ．2或－12解析由题意可知2m 2＋m －3≠0，即m ≠1且m ≠－32，在x 轴上截距为4m －12m 2＋m －3＝1，即2m2－3m －2＝0，解得m ＝2或－12.答案 D4．(2014·佛山调研)直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足( )．A ．ab >0，bc <0B ．ab >0，bc >0C ．ab <0，bc >0D ．ab <0，bc <0解析由题意，令x ＝0，y ＝－cb >0；令y ＝0，x ＝－c a>0.即bc <0，ac <0，从而ab ＞0. 答案 A5．(2014·郑州模拟)直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，15B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12∪()1，＋∞ C ．(－∞，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞ D ．(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞解析设直线的斜率为k ，如图，过定点A 的直线经过点B 时，直线l 在x 轴上的截距为3，此时k ＝－1；过定点A 的直线经过点C 时，直线l 在x 轴的截距为－3，此时k ＝12，满足条件的直线l 的斜率范围是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 答案 D 二、填空题6．(2014·长春模拟)若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为________．解析 ∵k AC ＝5－36－4＝1，k AB ＝a －35－4＝a －3.由于A ，B ，C 三点共线，所以a －3＝1，即a ＝4. 答案 47．(2014·温州模拟)直线3x －4y ＋k ＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k ＝________. 解析令x ＝0，得y ＝k 4；令y ＝0，得x ＝－k3.则有k 4－k3＝2，所以k ＝－24.答案－248．一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________．解析设所求直线的方程为x a ＋y b＝1， ∵A (－2,2)在直线上， ∴－2a ＋2b＝1.①又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1， ∴12|a |·|b |＝1.② 由①②可得(1)⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝1，ab ＝2或(2)⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，ab ＝－2.由(1)解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，方程组(2)无解．故所求的直线方程为x 2＋y 1＝1或x －1＋y－2＝1，即x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0为所求直线的方程．答案 x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0 三、解答题9．(2014·临沂月考)设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．解 (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为0，当然相等．∴a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.当直线不过原点时，由截距存在且均不为0，得a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1， ∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.综上，l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.(2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＋1＞0，a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＋1＝0，a －2≤0.∴a ≤－1.综上可知a 的取值范围是(－∞，－1]．10．已知直线l 过点M (2,1)，且分别与x 轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，O 为原点，是否存在使△ABO 面积最小的直线l ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解存在．理由如下：设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)(k ＜0)，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1k ，0，B (0,1－2k )，△AOB 的面积S ＝12(1－2k )⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1k ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋－4k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ≥12(4＋4)＝4.当且仅当－4k ＝－1k ，即k ＝－12时，等号成立，故直线l 的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0. 能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1．(2014·北京海淀一模)已知点A (－1,0)，B (cos α，sin α)，且|AB |＝3，则直线AB 的方程为( )．A ．y ＝3x ＋3或y ＝－3x － 3B ．y ＝33x ＋33或y ＝－33x －33C ．y ＝x ＋1或y ＝－x －1D ．y ＝2x ＋2或y ＝－2x － 2解析 |AB |＝cos α＋12＋sin 2α＝2＋2cos α＝3，所以cos α＝12，sin α＝±32，所以k AB ＝±33，即直线AB 的方程为y ＝±33(x ＋1)，所以直线AB 的方程为y ＝33x ＋33或y ＝－33x －33. 答案 B2．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )． A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2解析如图，直线l ：y ＝kx －3，过定点P (0，－3)，又A (3,0)，∴k PA ＝33，则直线PA的倾斜角为π6，满足条件的直线l 的倾斜角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2.答案 B二、填空题3．已知直线x ＋2y ＝2分别与x 轴、y 轴相交于A ，B 两点，若动点P (a ，b )在线段AB 上，则ab 的最大值为________．解析直线方程可化为x2＋y ＝1，故直线与x 轴的交点为A (2,0)，与y 轴的交点为B (0,1)，由动点P (a ，b )在线段AB 上，可知0≤b ≤1，且a ＋2b ＝2，从而a ＝2－2b ，故ab ＝(2－2b )b ＝－2b 2＋2b ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫b －122＋12，由于0≤b ≤1，故当b ＝12时，ab 取得最大值12.答案 12三、解答题4.如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1,0)作直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．解由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33，所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x ，设A (m ，m )，B (－3n ，n )，所以AB 的中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n2，由点C 在y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)．又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.。

直线的方程课件高三数学一轮复习

解析：如图所示：
当直线l过B时设直线l的斜率为k1，
则k1＝
3−0＝－0−13， Nhomakorabea当直线l过A时设直线l的斜率为k2，则k2＝12−−01＝1，
∴要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(－∞，－ 3] ∪
1， + ∞ ．
题后师说
(1)由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由斜率的取值范围求 π)上直的线单倾调斜性角求的解取，值这范里围特时别，要常注借意助，正正切切函函数数y＝在ta[0n，x在π2)[∪0，(π2，π2)π∪)上(π2 ，并不是单调的．
课堂互动探究案
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．
2．根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)．
问题思考·夯实技能【问题1】直线的倾斜角越大，斜率越大对吗？
答案：不对．设直线的倾斜角为α，斜率为k.
【问题2】
在平面直角坐标系中，给定直线l上一个定点P0(x0，y0)和斜率k，则直线l上不同于该定点的任意一点P(x，y)的横坐标x与纵坐标y所满足的关系式是什么？
公共点，则直线l斜率的取值范围为__[13_，___3_]_．
解析：∵P(－1，0)，A(2，1)，B(0， 3)， ∴kPA＝2−1−−01 ＝13，kPB＝0−3−−01 ＝ 3. 由图可知，直线l的斜率k的取值范围为[13 ， 3].
【变式练习】若本例(2)中“P(－1，0)”改为“P(1，0)”，其他条件不变，则直线l的斜率的取值范围为__(－__∞__，_－___3_]_∪__1_，__+__∞__．
题后师说
求直线方程的两种方法 (1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式． (2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数．

【课件】直线的一般式方程(课件)-2022-2023学年人教A版选择性必修第一册

二、直线方程几种形式的相互转化
二、直线方程几种形式的相互转化
例4（2022山东济宁期中）直线3x + 2y +6 = 0的斜率为k,在y轴上的截距为b,则（）
A.k = - 2 ,b = 3 3
B.k = - 2 ,b = -2 3
C.k = 3 ,b = -3 2
D.k = - 2,b = -3Байду номын сангаас3
则 k1＝－35，b1＝65；k2＝－35，b2＝－130. ∵k1＝k2，且b1≠b2，∴l1∥l2.
(法二) ∵3×10－5×6＝0且3×3－6×(－6)≠0，∴l1∥l2.
三、直线一般式方程的应用
【练2】判断下列各对直线是平行还是垂直，并说明理由.
(1)l1：3x＋5y－6＝0，l2：6x＋10y＋3＝0； (2)l1：3x－6y＋14＝0，l2：2x＋y－2＝0；
Ax+By+C=0（A，B不同时为0）
叫做直线的一般式方程，简称为一般式。适用范围：平面直角坐标系中任意一条直线
一、直线的一般式方程
一、直线的一般式方程:
Ax+By+C=0（A，B不同时为0）
此方程叫做直线的一般式方程，简称为一般式。
适用范围：平面直角坐标系中任意一条直线
几种特殊：
（1）A
0，B
确定C2.
三、直线一般式方程的应用
【练2】判断下列各对直线是平行还是垂直，并说明理由.
(1)l1：3x＋5y－6＝0，l2：6x＋10y＋3＝0； (2)l1：3x－6y＋14＝0，l2：2x＋y－2＝0；
(3)l1：x＝2，
l2：x＝4；
(4)l1：y＝－3，
l2：x＝1.

第二章§2.22.2.2直线的两点式方程课件(人教版)

①
又因为直线 l 过点 P43，2.
所以34a＋2b＝1，整理得 3ab＝6a＋4b.
②
由①②，得ba＝＝34，，
或b＝92， a＝152，
所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0.
课堂小结
1.知识清单： (1)直线的两点式方程. (2)直线的截距式方程. 2.方法归纳：分类讨论法、数形结合法. 3.常见误区：利用截距式求直线方程时忽略过原点的情况导致漏解.
解析因为直线过点(－2,1)和(3，－3)，所以－y－3－11＝3x－－－－22，即y－－41＝x＋5 2，化简得4x＋5y＋3＝0.
(2)已知直线经过点A(1,0)，B(m，1)，求这条直线的方程.
解由直线经过点A(1,0)，B(m，1)，因此该直线斜率不可能为零，但有可能不存在. (1)当直线斜率不存在，即m＝1时，直线方程为x＝1； (2)当直线斜率存在，即m≠1时，利用两点式，可得直线方程为1y－－00＝mx－－11，即x－(m－1)y－1＝0. 综上可得，当m＝1时，直线方程为x＝1；当m≠1时，直线方程为x－(m－1)y－1＝0.
二、直线的截距式方程
问题2 若给定直线上两点A(a，0)，B(0，b)(a≠0，b≠0)，你能否得出直线的方程呢？提示 ax＋by＝1
知识梳理
我们把方程 ax＋by＝1 叫做直线的截距式方程，简称截距式.直线与x轴的交点(a，0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距，此时直线在y轴上的截距是b .
延伸探究 1.若将点A的坐标改为“A(－3，－4)”，其他条件不变，又如何求解？
解 (1)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，设直线 l 的方程为ax＋－ya＝1，又 l 过点 A(－3，－4)，所以－a3＋－－4a＝1，解得 a＝1. 所以直线 l 的方程为1x＋－y1＝1，即 x－y－1＝0.

高中数学选择性必修一课件：直线的一般式方程

A．a＝2，b＝5
B．a＝2，b＝－5
C．a＝－2，b＝5
D．a＝－2，b＝－5
(4)直线 2x－y－2＝0 绕它与 y 轴的交点 A 按逆时针方向旋转 90°所得的直
线方程是( D )
A．x－2y＋4＝0
B．x＋2y－4＝0
C．x－2y－4＝0
D．x＋2y＋4＝0
【解析】 (1)由题意可设方程为 y＝－3x＋b，令 y＝0，得 x＝b3，∴b3＝2.∴b＝6. ∴y＝－3x＋6，即 3x＋y－6＝0. (2)直线方程可化为 y＝－32x－3，故 k＝－32，b＝－3. (3)由直线的一般式方程 5x－2y－10＝0 化为截距式为2x＋－y5＝1，故 a＝2，b＝－ 5. (4)直线 2x－y－2＝0 与 y 轴的交点为 A(0，－2)， ∵所求直线过点 A 且斜率为－12， ∴所求直线的方程为 y＋2＝－12x，即 x＋2y＋4＝0.
D．3x－y－2＝0
(2)直线 3x＋2y＋6＝0 的斜率为 k，在 y 轴上的截距为 b，则有( C )
A．k＝－32，b＝3
B．k＝－23，b＝2
C．k＝－32，b＝－3
D．k＝－23，b＝－3
(3)直线 5x－2y－10＝0 在 x 轴上的截距为 a，在 y 轴上的截距为 b，则有( B )
(2)方法一：将两直线方程分别化为斜截式： l1：y＝12x＋73，l2：y＝－2x＋2. 则 k1＝12，k2＝－2. ∵k1·k2＝－1，故 l1⊥l2. 方法二：∵3×2＋(－6)×1＝0， ∴l1⊥l2. (3)∵l1：x＝2，l2：x＝4，且两直线在 x 轴上的截距不相等，∴l1∥l2. (4)由方程知 l1⊥y 轴，l2⊥x 轴，则 l1⊥l2.
A 为 PQ 的中点，由中点坐标公式有 3k－7 1＋ 2 k＋7 2＝0，得 k＝－14. 由点斜式可得直线方程为 y＝－14x＋1. ∴所求直线方程为 x＋4y－4＝0.