高一数学第二章函数复习小结基本训练题

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【精编】高一数学必修1第二章函数基础过关练习题及答案解析

【精编】高一数学必修1第二章函数基础过关练习题及答案解析总分：150分试题整理：老肖班级：____________ 学号：____________ 姓名：____________ 分数：____________ 1．函数在R上是减函数，则a的取值范围是___________。

2．不等式的解集是________________。

3．计算：化简的结果是____________。

4．比较大小_____.5．函数图象一定过点______。

6．函数在上的最大值为_____．7．方程的解为______．8．______．9．化简的值为________．10．若4x＋2x＋1＋m>1对一切实数x成立，则实数m的取值范围是__________．11．已知0.2x＜25，则x的取值范围为________．12．已知，则的值为_______。

13．若，则________．14．________.15．计算，所得结果为____________16．根式__________．17．函数的图像恒过定点__________18．若_________________19．函数的值域为__________．20．与的大小关系是__________（用“”或“”表示）．21．计算：__________．22．计算：的值是__________．试卷第1页，总11页试卷 · 第 2 页 ·共 11 页23．已知log 2,log 3a a m n ==，则2m n a -=__________．24．函数()2xf x =在[]1,3-上的最小值是__________．25．设， 2log 3b =，，则a 、b 、c 从小到大的顺序是__________. 26．已知 3.5 2.5 3.52,2,3a b c ===，请将,,a b c 按从小到大的顺序排列________．27．若函数()11xf x a =+为奇函数，则a ＝________.28．化简 (a >0，b >0)的结果是________． 29．不等式321x +>的解集是______． 30．当10x -≤≤时，函数2241x x y +=-+的最小值为________；31．已知指数函数图像经过点()1,3p -，则()3f =_____.32．函数f （x ）=a x （0＜a ＜1）在[1，2]中的最大值比最小值大，则a 的值为_____． 33．已知函数的图象过点和，则函数的解析式为__________．34．已知函数，若，则实数a 的取值范围是． 35．已知函数，若，则__________．36．若函数的定义域是，则函数的定义域为__________．37．()2lg5lg2lg5lg2+⨯+=__________．38．函数()()322(01)a f x log x a a +>≠＝－，恒过定点________． 39．关于x 的方程的解为_______。

高中数学必修1(人教B版)第二章函数2.2知识点总结含同步练习题及答案

已知函数 f (x) = x 2 − 2x + 3 在区间那么实数 a 的取值范围是______．解： [1, 2]
[0, a] (a > 0) 上的最大值为 3 ，最小值为 2 ，
因为 f (x) = x 2 − 2x + 3 = (x − 1)2 + 2，又因为 f (1) = 2 ，f (0) = f (2) = 3，则 a ∈ [1, 2]．
1 例题：求函数 y = − − − − − 的最小值． √x − 1− x
解：因为 x − 1 ⩾ 0 且 x ≠ 0，所以 x ⩾ 1 ，则函数 f (x) 的定义域为 [1, +∞)．
1 1 在 [1, +∞) 上单调递减，所以 y = − x x 1 − − − − − 在 [1, +∞) 上单调递增．所以 y = √x − 1 − 在 [1, +∞) 上单调递增． x 所以，当 x = 1 时，y min = −1 ，故所求的最小值为 −1． − − − − 又 y = √− x − 1 在 [1, +∞) 上单调递增，而 y =
四、课后作业
（查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）
1. 函数 y = ax 2 + bx 与 y = ax + b (ab ≠ 0) 的图象只能是 (
)
A．
B．
C．
D．
答案： D
2. 二次函数 f (x) = ax 2 + bx + c 的图象开口向下，对称轴为 x = 1 ，图象与 x 轴的两个交点中，一个交点的横坐标 x 1 ∈ (2, 3) ，则有 ( A．abc > 0
高中数学必修1(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案

必修一第二章-一元二次函数、方程和不等式全章讲解训练-(含答案)

第二章一元二次函数、方程和不等式全章复习讲解 (含答案)【要点梳理】（不等式性质、解一元二次不等式、基本不等式）一、不等式1.定义不等式：用不等号（＞，＜，≥，≤，≠）表示不等关系的式子.2..不等式的性质不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分基本性质有：性质1 对称性：a b b a >⇔<；性质2 传递性：,a b b c a c >>⇒>；性质3 加法法则（同向不等式可加性）：()a b a c b c c R >⇔+>+∈；;性质4 乘法法则：若a b >，则000c ac bc c ac bc c ac bc ，，.>⇒>⎧⎪=⇒=⎨⎪<⇒<⎩补充：除法法则：若a b >且0c =，则00a bc c ca b c c c⎧>⇒>⎪⎪⎨⎪<⇒<⎪⎩.，性质5 可加法则：,a b c d a c b d >>⇒+>+；性质6 可乘法则：0,00a b c d a c b d >>>>⇒⋅>⋅>；性质7 可乘方性：()*00n n a b n a b N >>∈⇒>>；可开方性：()01a b n n N 且+>>∈>⇒要点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据. 二、比较两代数式大小的方法作差法：1. 任意两个代数式a 、b ，可以作差a b -后比较a b -与0的关系，进一步比较a 与b 的大小.*①0a b a b ->⇔>； ②0a b a b -<⇔<； ③0a b a b -=⇔=. 作商法：任意两个值为正的代数式a 、b ，可以作商a b ÷后比较ab与1的关系，进一步比较a 与b 的大小. ①1a a b b >⇔>； ②1a a b b <⇔<； ③1aa bb =⇔=. 要点诠释：若代数式a 、b 都为负数，也可以用作商法. 中间量法：若两个代数式a 、b 不容易直接判断大小，可引入第三个量c 分别与a 、b 作比较，若满足a b >且b c >，则a c >. 第三个量就是中间量. 这种方法就是中间量法，其实质是不等式的传递性.一般选择0或1为中间量.三、一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系设()2f x ax bx c =++(0)a >，判别式24b ac ∆=-，按照0∆>，0∆=，0∆<该函数图象(抛物线)与x 轴的位置关系也分为三种情况，相应方程的解与不等式的解集形式也不尽相同. 如下表所示：】24b ac ∆=-0∆>0∆=0∆<函数()y f x = 的图象方程()=0f x#的解有两相异实根 1212,()x x x x <有两相等实根 122b x x a==-无实根不等式()0f x >的解集 {}12x x x x x <>或2b x x a ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭*R不等式()0f x <的解集{}12x xx x <<∅ ∅要点诠释：（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根12x x 、是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线y =2ax bx c ++与x 轴的交点的横坐标；（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；（3）解集分0,0,0∆>∆=∆<三种情况，得到一元二次不等式20ax bx c ++>与20ax bx c ++<的解集.…四、解一元二次不等式1. 解一元二次不等式()2ax +bx+c a ≠>00的步骤（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；（2）写出相应的方程20ax bx c ++=(0)a >，计算判别式∆：①0∆>时，求出两根12x x 、，且12x x <（注意灵活运用因式分解和配方法）；②0∆=时，求根122b x x a==-； ③0∆<时，方程无解（3）根据不等式，写出解集. 五、基本不等式1.对公式222a b ab +≥及2a b+≥. `（1）成立的条件是不同的：前者只要求,a b 都是实数，而后者要求,a b 都是正数；（2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当a b =时取等号”. 2.由公式222a b ab +≥和2a b+≥ ①2b aa b +≥（,a b 同号）； ②2b aa b+≤-（,a b 异号）；③20,0)112a b a b a b+≤≤>>+或222()(0,0)22a b a b ab a b ++≤≤>> 要点诠释： 222a b ab +≥可以变形为：222a b ab +≤，2a b +≥可以变形为：2()2a b ab +≤.2a b+≤求最大（小）值在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等. ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；-② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值. 要点诠释：1．基本不等式的功能在于“和积互化”.若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值.2．利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件： ①各项都是正数； ②和（或积）为定值； ③各项能取得相等的值.…【典型例题】类型一不等式性质例1．对于实数a b c ，，判断以下说法的对错.（1）若a b >，则ac bc <；（2）若22ac bc >，则a b >；（3）若0a b <<，则22a ab b >>；（4）若0a b <<，则a b >；（5）若a b >，1a >1b，则00a b ，><． ~举一反三：【变式1】如果a ＜b ＜0，那么下列不等式成立的是（） A ．B ．a+c ＜b+cC ．a ﹣c ＞b ﹣cD ．a •c ＜b •c例2、比较下列两代数式的大小：（1）(5)(9)x x ++与2(7)x +；举一反三：—【变式1】比较22x x +与2x +的大小【变式2】已知0a b >>，则2222a b a b -+ _________a ba b-+ （填,,><=）类型二解二次不等式例3. 解下列一元二次不等式（1）250x x -<；（2）2440x x -+>；（3）2450x x -+->:举一反三：【变式1】已知函数222,0,()2,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩解不等式f (x )＞3.;【变式2】不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1<0x 2－3x <0的解集为( )A ．{x |－1<x <1}B ．{x |0<x <3}C ．{x |0<x <1}D ．{x |－1<x <3} 【变式3】下列选项中，使不等式x ＜1x＜x 2成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)例4．不等式20x mx n +-<的解集为(4,5)x ∈，求关于x 的不等式210nx mx +->的解集./【总结升华】二次方程的根是二次函数的零点，也是相应的不等式的解集的端点.根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系，这一点是解此类题的关键. 举一反三：【变式1】不等式ax 2+bx+12>0的解集为{x|-3<x<2}，则a=_______, b=________.【变式2】已知关于x 的不等式20x ax b ++<的解集为(1,2)，求x 的不等式210bx ax ++>的解集."【变式3】若关于x 的不等式2260ax x a -+<的解集为(1,)m ，则实数m 等于 . 【变式4】已知关于x 的不等式x 2＋bx ＋c >0的解集为{x |x <－1或x >2}，则b 2＋c 2＝( )A ．5B ．4C ．1D ．2例5.已知不等式ax 2＋4x ＋a ＞1－2x 2对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．【思路点拨】不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为R ，要解决这个问题还需要讨论二次项的系数。

高中数学必修1(人教B版)第二章函数2.6知识点总结含同步练习题及答案

解：（1）（2）（3）（4）分别对应下面四个图象：f (x )=−4x 2⎧⎪⎪−e x e−x高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。

答案：解析：A将函数的图象向左平行移动一个单位,得到的图象，而它关于轴对称，于是是偶函数，则有，故．f (x )=|x +1|+|x −a |g (x )=|x +2|+|x +1−a |y y =g (x )1−a =−2a =3答案：解析：3. 函数的定义域为，若与都是奇函数，则 A ．是偶函数B ．是奇函数C ．D ．是奇函数D（1）若关于对称，则为周期函数，周期为；（2）若关于对称，则为周期函数，周期为；（3）若关于对称，则为周期函数，周期为．由题知：关于对称，故为周期函数且周期为，结合关于对称，可知关于对称，所以为奇函数．f (x )R f (x +1)f (x −1)()f (x )f (x )f (x )=f (x +2)f (x +3)f (x )(a ,0),(b ,0)f (x )2|b −a |f (x )x =a ,x =b f (x )2|b −a |f (x )x =a ,(b ,0)f (x )4|b −a |f (x )(−1,0),(1,0)f (x )4(1,0)f (x )(−3,0)f (x +3)答案：4. 已知过点的二次函数的图象如下图，给出下列论断：① ，② ，③，其中正确的论断是A ．①③B ．②C ．②③D ．③B (1,2)y =a +bx +c x 2abc >0a −b +c <0b <1()。

高一数学第二章函数基础练习题新课标人教版试题

高一数学第二章函数基础练习题一、知识结构1．映射：设A,B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，，这样的对应关系叫做从集合A 到集合B 的映射，记作。

（答：对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素与它对应，f:A →B ） 2．象和原象：给定一个集合A 到B 的映射，且a ∈A ，b ∈B,如果元素a 和b 对应，那么元素b 叫做元素a 的，元素a 叫做元素b 的。

(答：象，原象)3．一一映射：设A,B 是两个集合，f :A →B 是集合A 到集合B 的映射，如果在这个映射下，满足那么这个映射叫做A 到B 上的一一映射。

（答：对于集合A 中的不同元素，在集合B 中有不同的象，而且B 中每个元素都有原象，） 4．函数的三要素：① ，② ，③ 。

（答：定义域，对应法则，值域）5．两个函数当且仅当和对应法则（即解析式）都相同时，才称为相同的函数。

（答：定义域，对应法则（即解析式）） 6．请同学们就下列求函数三要素的方法配上适当的例题：⑴定义域：①根据函数解析式列不等式（组），常从以下几个方面考虑： ⑴分式的分母不等于0；⑵偶次根式被开方式大于等于0；⑶对数式的真数大于0，底数大于0且不等于1； ⑷指数为0时，底数不等于0。

②⑴已知()f x 的定义域，求[()]f g x 的定义域。

⑵已知[()]f g x 的定义域，求()f x 的定义域。

⑵值域： ①函数图象法（中学阶段所有初等函数极其复合）；②反函数法；③判别式法；④换元法；⑤不等式法；⑥单调性法；⑦几何构造法。

⑶解析式：①待定系数法（已知函数类型求解析式）；②已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ；③方程组法；④函数图象四大变换法。

7．若()f x 的定义域关于原点对称，且满足（或），则函数()f x 叫做奇函数（或偶函数）。

(答：()()f x f x -=-,()()f x f x -=)8．①若()f x 的定义域关于原点对称，且满足()()f x f x -+= ,则为奇函数。

高一数学必修一第二章函数练习题(有答案和解释)【推荐下载】

【解】(1)由于f(a)＝a21＋a2，f(1a)＝11＋a2，
所以f(a)＋f(1a)＝1.
(2)法一因为f(1)＝121＋12＝12，f(2)＝221＋22＝45，f(12)
＝1221＋122＝15，f(3)＝321＋32＝910，f(13)＝1321＋132＝110，f(4)
＝421＋42＝1617，f(14)＝1421＋142＝117，
所以(1)＋f(2)＋f(12)＋f(3)＋f(13)＋f(4)＋f(14)
＝12＋45＋15＋910＋110＋1617＋117＝72.
法二由(1)知，f(a)＋f(1a)＝1，则f(2)＋f(12)＝f(3)＋f(13)＝f(4)
＋f(14)＝1，即[f(2)＋f(12)]＋[f(3)＋f(13)]＋[f(4)＋f(14)]＝3，
书山有路勤为径；学海无涯苦作舟
高一数学必修一第二章函数练习题（有答案和解释）
一、选择题
1．已知f(x)＝x－1x＋1，则f(2)＝()
A．1B.12C.13D.14
【解析】f(2)＝2－12＋1＝13.X
【答案】C
2．下列各组函数中，表示同一个函数的是()
A．y＝x－1和y＝x2－1x＋1
B．y＝x0和y＝1
以是同一个函数．
【答案】D
3．用固定的速度向如图2－2－1所示形状的瓶子中注水，则水面的高
度h和时间t之间的关系是()
图2－2－1
专注下一代成长，为了孩子
书山有路勤为径；学海无涯苦作舟
【解析】水面的高度h随时间t的增加而增加，而且增加的速度越来
越快．
【答案】B
4．函数f(x)＝x－1x－2的定义域为()
故所求函数的定义域为{x|x≤0，且x≠－12}．

第二章：一元二次函数、方程与不等式重点题型复习-【题型分类归纳】高一数学上学期同步讲与练(解析版)

第二章：一元二次函数、方程与不等式重点题型复习题型一不等式的性质应用【例1】若,,R a b c ∈，则下列命题为假命题的是（） A a b a b > B ．若a b >，则ac bc > C ．若0b a >>，则11ab> D ．若22ac bc >，则a b > 【答案】B【解析】对A a b 0a b >≥，故选项A 正确；对B ：因为a b >，R c ∈，所以当0c >时，ac bc >；当0c =时，ac bc =；当0c <时，ac bc <，故选项B 错误；对C ：因为0b a >>，所以由不等式的性质可得110ab>>，故选项C 正确；对D ：因为22ac bc >，所以20c >，所以a b >，故选项D 正确. 故选：B.【变式1-1】已知120b a<<，则下列不等式正确的是（） A ．11a b ab <+ B ．21a b ab >+ C ．2ab a b>+ D ．22ab b < 【答案】A【解析】方法一：因为120ba<<，可知0,0a b <<，所以20a b <<，所以0ab >，0a b +<，所以11a b ab <+，21a b ab <+，0ab a b<+，所以A 正确，B ，C 错误．因为20a b <<，所以22ab b >，所以D 错误，故选：A方法二；因为120b a<<，设10a =-，2b =-，所以20ab =，12a b +=-，228b =，所以11a b ab <+，21a b ab <+,2ab a b<+,22ab b >, 所以A 正确，B ，C ，D 错误,故选：A【变式1-2】（多选）若0a b >>，则下列正确的是（）A．55a ab b+<+ B ．2a b +> C ．11a b b a+>+ D >【答案】ABC【解析】选项A ，因为0a b >>，所以()()55055b a b b a a a a -+-=<++，55b b a a +∴<+，故A 正确；选项B ，由均值不等式，当0,0a b >>，2a b+≥，由于0a b >>，故等号不成立，即2a b+>B 正确；选项C ，由于0a b >>，故110ba >>，故11a b b a+>+，故C 正确；选项D ，取4,1a b ===D 错误故选：ABC【变式1-3】（多选）若0a b <<，且1a b +=，则在22,,2,a a b ab b +四个数中正确的是（） A ．222a b ab +> B ． 12a < C ．12b < D ．22b a b >+【答案】ABD【解析】由于0a b <<，则222a b ab +>，又1a b +=，所以1012a b <<<<，又()()2222122120a b b a b ab b ab b a ab a b +-=+--=--=-=-<，即22b a b >+.故选：ABD题型二利用不等式求代数式的取值范围【例2】已知23,21<<-<<-a b ，则2-a b 的取值范围为（） A ．(0,2) B ．(2,5) C ．(5,8) D ．(6,7) 【答案】C【解析】23,21<<-<<-a b ，故426a <<，12b <-<，得528<-<a b 故选：C【变式2-1】若实数x ，y 满足1522x y x y +≥⎧⎨+≥⎩，则2x y +的取值范围（）A ．[1,)+∞B ．[3,)+∞C ．[4,)+∞D ．[9,)+∞ 【答案】A【解析】设2()(52)x y m x y n x y +=+++，则5221m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得13m n ==，故112()(52)33x y x y x y +=+++，又因1522x y x y +≥⎧⎨+≥⎩，所以()()1112,523333x y x y +≥+≥，所以21x y +≥.故选：A.【变式2-2】已知15a b ≤+≤，13a b -≤-≤，求32a b -的取值范围.【答案】[20]1-，【解析】设()()32a b m a b n a b -=++-，则有：32m n m n +=⎧⎨-=-⎩，解得：1252m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以()()153222a b a b a b -=++-.因为15a b ≤+≤，所以()115222a b ≤+≤，因为13a b -≤-≤，所以()5515222a b -≤-≤，所以()()1521022a b a b -≤++-≤，即23210a b -≤-≤，所以32a b -的取值范围为.【变式2-3】已知1260a <<，1536b <<，求2a b -，2ab的取值范围．【答案】2a b -的取值范围是()60,30-，2a b 的取值范围是2,83⎛⎫ ⎪⎝⎭．【解析】因为1536b <<，所以72230b -<-<-．又1260a <<，所以127226030a b -<-<-，即60230a b -<-<．因为1260a <<，所以242120a <<，因为1536b <<，所以1113615b <<，所以2421203615a b <<，即2283a b<<．所以2a b -的取值范围是()60,30-，2a b 的取值范围是2,83⎛⎫ ⎪⎝⎭．题型三解一元二次不等式【例3】已知集合{}210210A x x x =-+≤，{}7524B x x =-≤-≤，则A ∩B =（）A ．132xx ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭B ．{}67x x ≤≤C ．{}27x x -≤≤D ．{}36x x ≤≤ 【答案】D【解析】因为{|37}A x x =≤≤，1|62x x B ⎧⎫=≤⎨⎩≤⎬⎭，所以{|36}A B x x ⋂=≤≤.故选：D【变式3-1】不等式23180x x -++<的解集为（）A ．{6x x >或3}x <- B ．{}36x x -<< C ．{3x x >或6}x <- D ．{}63x x -<< 【答案】A【解析】23180x x -++<可化为23180x x -->，即()()630x x -+>，即6x >或3x <-．所以不等式的解集为{6x x >或3}x <-.故选：A【变式3-2】解下列不等式：（1）262318x x x -≤-<；（2）1232x x +≥-；（3）2320x x -+>. 【答案】（1）{32x x -<≤-或}36x ≤<；（2）213xx ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭；（3）{2x x <-或11x -<<或}2x > 【解析】（1）原不等式等价于22623318x x x x x ⎧-≤-⎨-<⎩，即22603180x x x x ⎧--≥⎨--<⎩，即()()()()320630x x x x ⎧-+≥⎪⎨-+<⎪⎩，所以2336x x x ≤-≥⎧⎨-<<⎩或，所以32x -<≤-或36x <≤，所以原不等式的解集{32x x -<≤-或}36x ≤<；（2）由1232x x +≥-，可得155203232x x x x +-+-=≥--，所以()()55320320x x x ⎧--≤⎨-≠⎩，解得213x <≤，所以原不等式的解集为213xx ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭；（3）原不等式等价于23200x x x ⎧-+>⎨≥⎩或23200x x x ⎧-+>⎨<⎩，分别解这两个不等式组，得01x ≤<或2x >或10x -<<或2x <-，故原不等式的解集为{2x x <-或11x -<<或}2x >.【变式3-3】解下列关于x 的不等式：（a 为实数）（1）220x x a ++<；（2）102ax x ->-.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析【解析】（1）原不等式对应的一元二次方程为：220x x a ++=，Δ44a =-，当1a ≥时，Δ440a =-≤，原不等式无解；当1a <时，对应一元二次方程的两个解为：11x a =-±-，所以220x x a ++<的解为：1111a x a ---<<-+-，综上所述，1a ≥时，原不等式无解，当1a <时，原不等式的解集为{1111}xa x a ---<<-+-∣；（2）原不等式等价于()()120ax x -->，当0a =时，解集为(),2-∞；当0a <时，原不等式可化为()()120ax x -+-<，因为12a<，所以解集为1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭；当102a <<时，12a >，解集为()1,2,a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭；当12a =时，原不等式等价于()11202x x ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，所以2(2)0x ->，解集为{}2xx ≠∣；当12a >时，12a<，解集为()1,2,a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭；综上所述，当0a =时，解集为(),2-∞；当0a <时，解集为1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭；当102a <≤时，解集为()1,2,a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭；当12a >时，解集为()1,2,a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭.题型四三个“二次”之间的关系【例4】已知关于x 的一元二次不等式20ax bx c -+<的解集为{}23x x -<<，则不等式20bx ax c -+<的解集是（）A ．()2,3-B ．()(),23,-∞-+∞C ．()3,2-D ．()(),32,-∞-+∞U 【答案】A【解析】不等式20ax bx c -+<的解集是()2,3-，所以方程20ax bx c -+=的解是2-和3，且0a >，则()()2323b a c a ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，解得b a =，6c a =-，所以不等式20bx ax c -+<化为260ax ax a --<，即260x x --<，解得23x -<<，所以，所求不等式的解集是()2,3-．故选：A ．【变式4-1】不等式20ax bx c ++>的解集为()2,4-，则不等式0ax cbx c+≤-的解集为______．【答案】()[),48,-∞+∞【解析】因为20ax bx c ++>的解集为()2,4-，则0a <，且对应方程的根为-2和4，所以242b a-=-+=，248c a=-⨯=-，且0a <，不等式0ax c bx c +≤-可化为8028ax aax a-≤-+，则8028x x -≤-+，即804x x-≤-，解得4x <或8x ≥．故答案为()[),48,-∞+∞．【变式4-2】已知不等式20ax bx c ++>的解集是{|}x x αβ<<，0α>，则不等式20cx bx a ++>的解集是____________. 【答案】11βα⎛⎫⎪⎝⎭，【解析】由不等式20ax bx c ++>的解集是{|}0x x αβα<<>（），可知：α，β是一元二次方程20ax bx c ++=的实数根，且0a <；由根与系数的关系可得：ba αβ+=-，c aαβ⋅= ，所以不等式20cx bx a ++>化为210c bx x a a++<，即：()210x x αβαβ-++<；化为()()110x x αβ--<；又,0<>αβα，110αβ∴>>；∴不等式20cx bx a ++<的解集为：{x |11x βα<<}，故答案为：11βα⎛⎫⎪⎝⎭，【变式4-3】已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则不等式20ax bx c ++>的解集是（）A ．{}21x x -<C ．{}21x x -≤≤D ．{|2x x ≤-或1}x ≥ 【答案】A【解析】由二次函数图象知：20ax bx c ++>有21x -<<.故选：A【变式4-4】已知二次函数2y x bx c =++图象如图所示.则不等式230bx cx -+≤的解集为_________.【答案】(][),13,-∞-⋃+∞【解析】根据二次函数2y x bx c =++的图象可知，1,2-为方程20x bx c ++=的两根，故12,12b c -+=--⨯=，即1,2b c =-=-，则230bx cx -+≤即2230x x -++≤，也即2230x x --≥，()()310x x -+≥，解得3x ≥或1x ≤-.故不等式解集为(][),13,-∞-⋃+∞. 故答案为：(][),13,-∞-⋃+∞.题型五一元二次不等式恒成立与有解问题【例5】“关于x 的不等式220x ax a -+>对x ∀∈R 恒成立”的一个必要不充分条件是（） A ．01a < 【答案】B【解析】由“关于x 的不等式220x ax a -+>对R x ∀∈恒成立”，可得()2240a a --<，解得：01a <<.故选：B ．【变式5-1】已知对任意[]1,3m ∈，215mx mx m --<-+恒成立，则实数x 的取值范围是（）A ．6,7⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1515∞∞⎛⎫-+-⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．6,7⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D ．1515-+⎝⎭ 【答案】D【解析】对任意[]1,3m ∈，不等式215mx mx m --<-+恒成立，即对任意[]1,3m ∈，()216m x x -+<恒成立，所以对任意[]1,3m ∈，261x x m-+<恒成立，所以对任意[]1,3m ∈，2min612x x m ⎛⎫-+<= ⎪⎝⎭，所以212x x -+<1515x -+<< 故实数x 的取值范围是1515-+⎝⎭．故选：D ．【变式5-2】若关于x 的不等式2210ax x ++<有实数解，则a 的取值范围是（） A ．(0，1] B ．[0，1) C ．(,1]-∞ D ．(,1)-∞ 【答案】D【解析】当0a =时，不等式为210x +<，有实数解，满足题意；当0a <时，不等式对应的二次函数开口向下，所以不等式2210ax x ++<有实数解，满足题意；当0a >时，要使不等式有实数解，则需满足440∆=->a ，解得01a <<，综上，a 的取值范围是(,1)-∞.故选：D.【变式5-3】已知命题p ：“[1,5]x ∃∈，250x ax -->”为真命题，则实数a 的取值范围是（） A ．4a D ．4a >- 【答案】A【解析】由题意不等式250x ax -->在[1,5]上有解，所以150a -->或25550a -->，解得4a <-或4a <，所以4a <．故选：A ．题型六利用基本不等式求最值【例6】已知0a >，0b >，则()28a b a b⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值为___________.（人教B 版）【答案】18 【解析】0a >，0b >，()2828101021088128b a b a b a b a a b a b =++≥+⨯⎛⎫∴+⎝⎭++= ⎪当且仅当28b aa b =，即2b a =时，等号成立，()28a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭∴的最小值为18，故答案为：18.【变式6-1】已知正实数a 、b 满足11m a b+=，若11a b b a ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为4，则实数m 的取值范围是（）A ．{}2B ．[)2,+∞C ．(]0,2D ．()0,∞+ 【答案】B【解析】因为,a b 为正实数，11a b b a ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=12ab ab++1224≥⋅=ab ab，当1ab ab =，即1ab =时等号成立，此时有1b a=，又因为11m a b +=，所以1a m a+=，由基本不等式可知12a a +≥（1a =时等号成立），所以2m ≥.故选：B.【变式6-2】已知正实数a ，b 满足12a b +=，则12ab a+的最小值是（） A ．52 B ．3 C ．92D．1 【答案】A【解析】因为12a b +=，所以12>0a b =-，所以02b << ，所以()122221+212112b b b b b a a b b b ⎛⎫-+=- ⎪-+-⎝⎭=，令21b t -=，则+12t b =，且13t -<< ，所以+1111522+2++222122t t t t t ab a =≥=+=，当且仅当122t t =，即12t =，32,43b a ==时，取等号，所以12ab a+的最小值是52.故选：A.【变式6-3】已知正实数x ，y 满足211x y +=，则436xy x y --的最小值为（） A ．2 B ．4 C ．8 D ．12 【答案】C【解析】解：由0x >，0y >且211x y +=，可得2xy x y =+，所以43648362xy x y x y x y x y --=+--=+()2142448yxx y x y x y ⎛⎫=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4y xx y =，即4x =，2y =时取等号．故选：C【变式6-4】下列命题中不正确的为（）①.若正实数a ，b 满足2a b +=，则222a b +的最小值为83②.已知0a >，0b >，21a b +=，则a b +的最大值为2 ③.存在实数a ，b 满足2a b +=，使得33a b +的最小值是6 ④.若2x y +=，则11211x y +++的最小值为56A ．④B ．②④C ．③④D ．①② 【答案】A【解析】①正实数a ，b 满足2a b +=，故2b a =-，所以()22222228222344333a b a a a a a ⎛⎫+=+-=-+=-+ ⎪⎝⎭，当23a =时，222283332a a b ⎛⎫=-+ +⎪⎝⎭取得最小值为83，故①正确；②因为0a >，0b >，所以()22221212a ba b ab ab a b +=++=+≤++=，当且仅当a b =时，等号成立，故(0,2a b ⎤+∈⎦，所以a b +的最大值为2，②正确； ③因为30,30a b >>，所以233233236a ba b a b ++≥⋅=⨯=，当且仅当33a b =，即1a b ==时，等号成立，故存在实数a ，b 满足2a b +=，使得33a b +的最小值是6，③正确； ④当1x =-，3y =时，满足2x y +=，此时111351211446x y +=-+=-<++，故11211x y +++的最小值不是56；④错误故选：A题型七基本不等式恒成立问题【例7】已知0,0x y >>且141x y +=，若28x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（） A ．1|2x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭B ．{}|3x x ≤-}C ．{}|1x x ≥D ．{}|91x x -<< 【答案】D【解析】∵0,0x y >>，且141x y +=，∴144()()559y x x y x y x y x y +=++=++≥=，当且仅当3,6x y ==时取等号，∴min ()9x y +=，由28x y m m +>+恒成立可得2min 8()9m m x y +<+=，解得：91m -<<，故选：D.【变式7-1】已知实数x 、y 满足2241x y xy +-=，且不等式20x y c ++>恒成立，则c 的取值范围是（）A ．()+∞B ．⎫+∞⎪⎪⎝⎭C ．()+∞D ．(-∞ 【答案】B【解析】2241x y xy +-=，225(2)151(2)8x y xy x y ∴+=+≤++，当且仅当2x y =时“=”成立，()2823x y ∴+≤2x y ≤+≤又不等式20x y c ++>恒成立，0c ∴>，c ∴>c ∴的取值范围是⎫+∞⎪⎪⎝⎭．故选：B ．【变式7-2】若对任意正数x ，不等式22214a x x+≤+恒成立，则实数a 的取值范围为（） A ．[)0,∞+ B ．1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】依题意得，当0x >时，2222144x a x x x+=++… 恒成立，又因为44x x+…，当且仅当2x =时取等号，所以，24x x+的最大值为12，所以1212a +…，解得a 的取值范围为1[,)4-+∞．故选：B【变式7-3】对任意12x ≤≤及13y ≤≤，不等式2220x axy y -+≥恒成立，则实数a 的取值范围是（）A．92a ≤ B ．a ≥ C ．113a ≤ D ．a ≤【答案】D【解析】依题意，对任意12x ≤≤及13y ≤≤，不等式2220x axy y -+≥恒成立等价于对任意12x ≤≤及13y ≤≤，2222x y x ya xy y x +≤=+恒成立. 设yt x =，则22x y t y x t +=+.因为12x ≤≤，13y ≤≤，所以1112x ≤≤，则132y x ≤≤，即132t ≤≤，则2t t+≥当且仅当2t t=，即t = ∴a ≤故选：D.【变式7-4】若关于x 的不等式4142x a x +≥-对任意2x >恒成立，则正实数a 的取值集合为（） A ．（－1，4] B ．（0，4） C ．（0，4] D ．（1，4] 【答案】C【解析】由题意可得4(2)1842x a x a-+--…对任意2x >恒成立，由0,2a x >>，可得4(2)122x a x -+-…当且仅当4(2)12x a x -=-即2x =则84a -…04a <….故选：C.【变式7-5】已知a >b >c ，若14m a b b c a c+≥---恒成立，则m 的最大值为（） A ．3 B ．4 C ．8 D ．9 【答案】D【解析】由a b c >>，知0a b ->，0b c ->，0a c ->，由14m a b b c a c +---…，得14()()m a c a b b c -+--…，又a c ab bc -=-+-，1414()()[()()]()a c a b b c a b b c a b b c ∴-+=-+-+----4()559a b b c b c a b --=+++--…，当且仅当4()a b b cb c a b--=--，即2()b c a b -=-时，14()()a c a b b c -+--取得最小值9，9m ∴…，m ∴的最大值为9．故选：D ．。

高一数学上册第二章基本初等函数之对数函数知识点总结及练习题(含答案)

〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若 , 则叫做以为底的对数, 记作 , 其中叫做底数, 叫做真数. ②负数和零没有对数. ③对数式与指数式的互化: .（2）几个重要的对数恒等式: , , .（3）常用对数与自然对数：常用对数： , 即；自然对数： , 即（其中 …）. （4）对数的运算性质如果 , 那么 ①加法: ②减法: ③数乘:④log a N a N = ⑤log log (0,)bn a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式:【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数(6)反函数的概念设函数的定义域为 , 值域为 , 从式子中解出 , 得式子 . 如果对于在中的任何一个值, 通过式子 , 在中都有唯一确定的值和它对应, 那么式子表示是的函数, 函数叫做函数的反函数, 记作 , 习惯上改写成 .（7）反函数的求法①确定反函数的定义域, 即原函数的值域；②从原函数式中反解出； ③将改写成 , 并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质①原函数与反函数的图象关于直线对称.②函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域. ③若在原函数的图象上, 则在反函数的图象上. ④一般地, 函数要有反函数则它必须为单调函数．一、选择题:1. 的值是（）A.B. 1C. D. 22. 已知x= +1,则log4(x3－x －6)等于（） A.23 B.45 C.0 D.21 3. 已知lg2=a, lg3=b, 则等于（） A.B.C. D. 4．已知2lg(x －2y)=lgx ＋lgy, 则的值为（）A. 1B. 4C. 1或4D. 4或-15.函数y=)12(log 21 x 的定义域为（） A. ( , ＋∞) B. ［1, ＋∞ C. ( , 1 D. (－∞, 1) 6.已知f(ex)=x, 则f(5)等于（）A. e5B. 5eC. ln5D. log5e7. 若的图像是（）A B C D8. 设集合等于（）A. B.C. D.9. 函数的反函数为（）A. B.C. D.二、填空题:10. 计算: log2.56.25＋lg ＋ln ＋=11. 函数y=log4(x－1)2(x＜1的反函数为__________ .12. 函数y=(log x)2－log x2＋5在2≤x≤4时的值域为______.三、解答题:13．已知y=loga(2－ax)在区间{0, 1}上是x的减函数, 求a的取值范围．14. 已知函数f(x)=lg[(a2－1) x2＋(a＋1)x＋1], 若f(x)的定义域为R, 求实数a的取值范围.15. 已知f(x)=x2＋(lga＋2)x＋lgb, f(－1)=－2, 当x∈R时f(x)≥2x恒成立, 求实数a的值, 并求此时f(x)的最小值？一、选择题: ABBCBCDCBAAB13. , 14.y=1－2x(x∈R), 15.(lgm)0.9≤(lgm)0.8, 16.17.解析: 因为a是底, 所以其必须满足a>0 且a不等于1a>0所以2-ax为减函数, 要是Y=loga(2-ax)为减函数, 则Y=loga（Z）为增函数, 得a>1又知减函数区间为[0,1], a必须满足2-a*0>0 2-a*1>0 即得a<2综上所述, 啊的取值范围是（1,2）18、解: 依题意(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1＞0对一切x∈R恒成立.当a2－1≠0时, 其充要条件是: 解得a＜－1或a＞又a=－1, f(x)=0满足题意, a=1, 不合题意.所以a的取值范围是: (－∞, －1]∪( , ＋∞)19、解析：由f(－1)=－2, 得：f(－1)=1－(lga＋2)＋lgb=－2, 解之lga－lgb=1,∴=10, a=10b．又由x∈R, f(x)≥2x恒成立．知：x2＋(lga＋2)x＋lgb≥2x, 即x2＋xlga＋lgb≥0, 对x∈R恒成立, 由Δ=lg2a－4lgb≤0, 整理得(1＋lgb)2－4lgb≤0即(lgb－1)2≤0, 只有lgb=1, 不等式成立．即b=10, ∴a=100．∴f(x)=x2＋4x＋1=(2＋x)2－3当x=－2时, f(x)min=－3．。

高一数学第二章函数概念与基本初等函数I章末知识练习题(附答案)【推荐下载】

书山有路勤为径；学海无涯苦作舟
高一数学第二章函数概念与基本初等函数I章末知识
练习题（附答案）
数学必修1(苏教版)
一、函数的定义域、值域的综合应用
已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)满足条件f(－x＋5)＝f(x－3)，
f(2)＝0，且方程f(x)＝x有两个相等的实根，问是否存在实数m，n(m＜n)，使得f(x)的定义域为[m，n]时，值域为[3m,3n]，如果存在，求m，n的值；如果不存在，请说明理由．
分析：主要考查二次函数的定义域、值域及与方程的结合．
解析：∵f(－x＋5)＝f(x－3)，
∴f(x)的图象的对称轴为直线x＝5－32＝1，
即－b2a＝1，①
又f(2)＝0，即4a＋2b＋c＝0，②
又∵方程f(x)＝x有两个相等实根，
即ax2＋(b－1)x＋c＝0有两个相等的实根．
∴Δ＝(b－1)2－4ac＝0，③
由①②③可得：
a＝－12，b＝1，c＝0.
则f(x)＝－12x2＋x＝－12(x－1)2＋12≤12；
故3n≤12，即n≤16.
∴f(x)在[m，n]上单调递增，
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高一数学第2章第32课时函数与方程小结与复习配套练习苏教版必修1

高一数学第2章第32课时函数与方程小结与复习配套练习苏教版必修1分层训练1．已知二次函数2()f x ax bx c =++（0a >）的对称轴是2x =，则f ，()f π，(0)f 的大小关系是（）A ．()(0)f f f π>>B ．()(0)f f f π<<C ．()(0)f f f π<<D ．()(0)f f f π>>2．在区间[3,5]上有零点的函数是（）A ．()2ln(2)3f x x x =--B ．()24x f x =-C ．2()35f x x x =--+D ．1()2f x x=-+ 3．函数2()21f x x x =-+在区间[,2]a a +上的最大值为4，则a 的值为（）A ．0或1B ．1或2C ．1-或2D ．1或1-4．已知不等式250ax x b -+>的解集为{}|32x x -<<-，则不等式2650x x b -+>的解集为____________．5．已知一个二次函数)(x f y =，当2=x 时有最大值16，它的图象截x 轴所得的线段为8．（1）求该函数的解析式；（2）试证明方程0)(=x f 有两个不等的实数根，且两根分别在区间)1,3(-和)7,5(内；（3）求出该函数的零点．【解】6．方程21lg 22x x -=的实数根的个数为（） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．无穷多个 7．二次函数()f x 满足(3)(1)f x f x +=-，且()f x 在[0,2]上递增，若()(0)f a f ≥，则实数a 的取值范围是（）A ．(,0]-∞B ．[0,4]C ．[0,)+∞D ．(,0][4,)-∞+∞8．函数223y x x =-+在区间[0,]m 上的最大值为3，最小值为2，则m 的取值范围是（）A ．(,2]-∞B ．[0,2]C ．[1,2]D ．[1,)+∞9．用二分法求方程3250x x --=在区间[2,3]内的实根，取区间中点0 2.5x =，那么下一个有根区间是______________。

(精选试题附答案)高中数学第二章一元二次函数方程和不等式基本知识过关训练

(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第二章一元二次函数方程和不等式基本知识过关训练单选题1、y =x +4x (x ≥1)的最小值为（）A ．2B ．3C ．4D ．5答案：C分析：利用均值不等式求解即可.因为y =x +4x (x ≥1)，所以x +4x ≥2√x ×4x =4，当且仅当x =4x 即x =2时等号成立.所以当x =2时，函数y =x +4x 有最小值4. 故选：C.2、设m ，n 为正数，且m +n =2，则4m+1+1n+1的最小值为（） A ．134B ．94C ．74D ．95答案：B分析：将m +n =2拼凑为m+14+n+14=1，利用“1”的妙用及其基本不等式求解即可. ∵m +n =2，∴(m +1)+(n +1)=4，即m+14+n+14=1， ∴4m+1+1n+1 =(4m+1+1n+1)(m+14+n+14) =n+1m+1+m+14(n+1)+54 ≥2√n+1m+1⋅m+14(n+1)+54 =94，当且仅当n+1m+1=m+14(n+1)，且m +n =2时，即m =53，n =13时等号成立.故选：B .3、若a ，b ，c 为实数，且a 0，则下列不等关系一定成立的是（）A ．a +c bcD ．b −a >c 答案：A分析：由不等式的基本性质和特值法即可求解.对于A 选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号方向不变，则a 1b ，B 选项错误；对于C 选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变，c >0，0<a 0，c >0，所以无法判断b −a 与c 大小，D 选项错误.4、已知实数a,b,c 满足a >b >0>c ，则下列不等式中成立的是（）A ．a +1b a b−cD ．√c a 3<√c b 3答案：B分析：对于A ，利用不等式的性质判断；对于CD ，举例判断；对于B ，作差法判断解：对于A ，因为a >b >0，所以1a <1b ，所以a +1b >b +1a ，所以A 错误，对于B ，因为a >b >0，所以2a+b a+2b −a b =(2a+b)b−a(a+2b)(a+2b)b =b 2−a 2(a+2b)b <0，所以2a+b a+2b <a b ，所以B 正确，对于C ，当a =2,b =1,c =−1时，b a−c =13<a b−c =1，所以C 错误，对于D ，当a =8,b =1,c =−1时，√c a 3=−12>√c b 3=−1，所以D 错误，故选：B5、不等式3x 2−x −2≥0的解集是（）A ．{x |−23≤x ≤1 }B ．{x |−1≤x ≤23 }C ．{x |x ≤−23 或x ≥1}D ．{x |x ≤−1 或x ≥23}答案：C分析：利用一元二次不等式的解法求解即可．解：3x 2−x −2=(3x +2)(x −1)≥0解得：x ≤−23或x ≥1.故选：C.6、若不等式ax 2+bx +c >0的解集为{x |−1<x <2}，则不等式a (x 2+1)+b(x −1)+c >2ax 的解集是（）A ．{x |0<x <3}B ．{x |x <0 或x >3}C ．{x |1<x <3}D ．{x |−1<x <3}答案：A分析：由题知{b a =−1c a =−2 ，a <0，进而将不等式转化为x 2−3x <0，再解不等式即可.解：由a (x 2+1)+b (x −1)+c >2ax ，整理得ax 2+(b −2a )x +(a +c −b )>0 ①．又不等式ax 2+bx +c >0的解集为{x |−1<x <2}，所以a <0，且{(−1)+2=−b a (−1)×2=c a ，即{b a =−1c a =−2②．将①两边同除以a 得：x 2+(b a −2)x +(1+c a −b a )<0③．将②代入③得：x 2−3x <0，解得0<x <3．故选：A7、已知a >0，b >0且ab ＝1，不等式12a +12b +m a+b ≥4恒成立，则正实数m 的取值范围是（）A ．m ≥2B ．m ≥4C ．m ≥6D ．m ≥8答案：D分析：由条件结合基本不等式可求a +b 的范围，化简不等式可得m ≥4(a +b )−(a+b )22，利用二次函数性质求4(a +b )−(a+b )22的最大值，由此可求m 的取值范围. 不等式12a +12b +m a+b ≥4可化为a+b 2ab +m a+b ≥4，又a >0，b >0，ab ＝1，所以m ≥4(a +b )−(a+b )22，令a +b =t ，则m ≥4t −t 22，因为a >0，b >0，ab ＝1，所以t =a +b ≥2√ab =2，当且仅当a =b =1时等号成立，又已知m ≥4t −t 22在[2,+∞)上恒成立，所以m ≥(4t −t 22)max 因为4t −t 22=12(8t −t 2)=−12(t −4)2+8≤8，当且仅当t =4时等号成立，所以m ≥8，当且仅当a =2−√3，b =2+√3或a =2−√3，b =2+√3时等号成立，所以m 的取值范围是[8,+∞)，故选：D.8、若不等式(ax −2)(|x |−b )≥0对任意的x ∈(0,+∞)恒成立，则（）A ．a >0，ab =12B ．a >0，ab =2C ．a >0，a =2bD ．a >0，b =2a答案：B分析：由选项可知a >0，故原不等式等价于(x −2a )(|x |−b )≥0，当b ≤0时，不满足题意，故b >0，再由二次函数的性质即可求解由选项可知a >0，故原不等式等价于(x −2a )(|x |−b )≥0，当b ≤0时，显然不满足题意，故b >0，由二次函数的性质可知，此时必有2a =b ，即ab =2，故选：B9、已知x >0，则下列说法正确的是（）A ．x +1x −2有最大值0B ．x +1x −2有最小值为0C ．x +1x −2有最大值为－4D ．x +1x −2有最小值为－4 答案：B分析：由均值不等式可得x +1x ≥2√x ×1x=2，分析即得解由题意，x >0，由均值不等式x +1x ≥2√x ×1x =2，当且仅当x =1x，即x =1时等号成立故x +1x −2≥0，有最小值0故选：B10、已知函数y =ax 2+2bx −c(a >0)的图象与x 轴交于A (2,0)、B (6,0)两点，则不等式cx 2+2bx −a <0 的解集为（）A ．(−6,−2)B ．(−∞,16)∪(12,+∞)C ．(−12,−16)D ．(−∞,−12)∪(−16,+∞) 答案：D解析：利用函数图象与x 的交点，可知ax 2+2bx −c =0(a >0)的两个根分别为x 1=2或x 2=6，再利用根与系数的关系，转化为b =−4a ，c =−12a ，最后代入不等式cx 2+2bx −a <0，求解集.由条件可知ax 2+2bx −c =0(a >0)的两个根分别为x 1=2或x 2=6，则2+6=−2b a ，2×6=−c a ，得b =−4a ，c =−12a ， ∴cx 2+2bx −a <0⇔−12ax 2−8ax −a <0，整理为：12x 2+8x +1>0⇔(2x +1)(6x +1)>0，解得：x >−16或x <−12，所以不等式的解集是(−∞,−12)∪(−16,+∞). 故选：D小提示：思路点睛：本题的关键是利用根与系数的关系表示b =−4a ，c =−12a ，再代入不等式cx 2+2bx −a <0化简后就容易求解.填空题11、已知正数a,b,c ，则ab+bc 2a 2+b 2+c 2的最大值为_________．答案：√64分析：将分母变为(2a 2+13b 2)+(23b 2+c 2)，分别利用基本不等式即可求得最大值. ∵ab+bc 2a 2+b 2+c 2=ab+bc (2a 2+13b 2)+(23b 2+c 2)≤2√23ab+2√23bc =2√23=√64（当且仅当√2a =√33b ，√63b =c 时取等号）， ∴ab+bc 2a 2+b 2+c 2的最大值为√64. 所以答案是：√64.12、若函数f (x )=12x 2−x +a 的定义域和值域均为[1,b ](b >1)，则a +b 的值为____. 答案：92 分析：根据二次函数的性质，结合定义域和值域均为[1,b ](b >1)，列出相应方程组，求出a ，b 的值即可. 解：由函数f (x )=12x 2−x +a ，可得对称轴为x =1，故函数在[1,b ]上是增函数.∵函数f (x )=12x 2−x +a 的定义域和值域均为[1,b ](b >1)， ∴ {f (1)=1f (b )=b ，即{12−1+a =112b 2−b +a =b . 解得a =32，b =1或b =3.∵ b >1，∴ b =3.∴ a +b =32+3=92. 所以答案是：92. 13、二次函数y =ax 2+4x +c 的最小值为0，则1a +1c 的最小值为______．答案：1分析：根据题意可得ac =4，利用基本不等式即可求解.由二次函数y =ax 2+4x +c 的最小值为0，则42−4ac =0，解得ac =4，所以1a +1c ≥2√1a⋅1c =2√14=1，当且仅当a =c 时取等号，所以答案是：114、已知a ，b ∈R ，且a >b 2>0，则a 2+1(2a−b)b 的最小值是 _____．答案：2分析：两次利用基本不等式即可得出结论.∵a >b 2>0，∴a 2+1(2a−b)b ≥a 2+1(2a−b+b 2)2=a 2+1a 2≥2 ，当且仅当a ＝1＝b 时取等号，其最小值是2，所以答案是：2．15、函数y=2√x2+1的最小值是___________. 答案：4分析：根据基本不等式可求出结果.令t=√x2+1≥1，则y=2√x2+1=t+4t≥4，当且仅当t=2，即x=±√3时，y min=4.所以函数y=2√x2+1的最小值是4.所以答案是：4小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.解答题16、在①x2−(2a−1)x+a2−a<0，②x2−2ax+a2−1<0，③x2−(a+1)x+a<0(a>1)这三个条件中任选一个补充到下面的问题中，求实数a的取值范围.已知p:x−4x+3<0，q:_________，且p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.答案：答案见解析.分析：先解出p对应的x的范围即为集合A,把q对应的x的范围即为集合B.根据题意分析只需BA.分别在选条件①②③时，根据BA列不等式组，求出a的取值范围.由命题p:x−4x+3<0，得到−3<x<4，规定集合A={x|−3<x<4}.设q对应的x的范围即为集合B.因为p是q的必要不充分条件，所以BA.选条件①x 2−(2a −1)x +a 2−a <0.由x 2−(2a −1)x +a 2−a <0可解得：a −1<x <a .因为BA ，只需{a −1≥−3a ≤4解得：−2≤a ≤4，当a =−2时，B ={x|−3<x <−2}，有BA ；当a =4时，B ={x|3<x <4}，有BA ；即实数a 的取值范围为[−2，4].选条件②x 2−2ax +a 2−1<0，由x 2−2ax +a 2−1<0可解得：a −1<x <a +1.因为BA ，只需{a −1≥−3a +1≤4解得：−2≤a ≤3，当a =−2时，B ={x|−3<x <−1}，有BA ；当a =3时，B ={x|2<x <4}，有BA ；即实数a 的取值范围为[−2，3].选条件③x 2−(a +1)x +a <0(a >1).由x 2−(a +1)x +a <0(a >1)可解得：1<x <a .因为BA ，只需{1≥−3a ≤4a >1解得：1<a ≤4，当a =4时，B ={x|1<x <4}，有BA ；即实数a 的取值范围为(1，4].17、设f(x)=x 2−(a −1)x +a −2.（1）若不等式f(x)≥−2对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围；（2）解关于x 的不等式f(x)<0(a ∈R ).答案：（1）3−2√2≤a ≤3+2√2；（2）答案见解析.解析：（1）一元二次不等式恒成立问题，由判别式可得参数范围．（2）不等式变形为[x−(a−2)](x−1)<0，根据a−2和1的大小分类讨论得解集．解：（1）由题意，不等式f(x)≥−2对于一切实数x恒成立，等价于x2−(a−1)x+a≥0对于一切实数x恒成立.所以Δ≤0⇔(a−1)2−4a≤0⇔3−2√2≤a≤3+2√2.（2）不等式f(x)<0等价于x2−(a−1)x+a−2<0⇔[x−(a−2)](x−1)<0.当a−2>1即a>3时，不等式可化为1<x<a−2，不等式的解集为{x|1<x<a−2}；当a−2=1即a=3时，不等式可化为(x−1)2<0，不等式的解集为∅；当a−2<1即a<3时，不等式可化为a−2<x<1，此时{x|a−2<x<1}.综上所述：当a<3时，不等式的解集为{x|a−2<x<1}；当a=3时，不等式的解集为∅；当a>3时，不等式的解集为{x|1<x<a−2}.小提示：本题考查解一元二次不等式．掌握三个二次伯关系是解题关键．对含参数的一元二次不等式求解时需分类讨论，分类讨论一般有三个层次：一是二次项系数是否为0，不为0时二次项系数的正负，二是一元二次方程的判别式，三是在判别式大于0时，方程两根的大小．注意灵活分类．18、已知x,y都是正数，且x+y=1，（1）求1x +4y的最小值；（2）求1x +xy的最小值．答案：(1)9；(2)3 .分析：(1) 利用1的代换将式子变形，再用基本不等式求最小值；(2) 先将式子中的1用x+y代换，展开整理，再用基本不等式求最小值.(1) 1x +4y=(x+y)(1x+4y)=5+4xy+yx.因为x,y都是正数，所以由基本不等式得，4x y +yx≥2√4xy⋅yx=4，所以1x +4y≥9，当且仅当x =13 ，y =23 时等号成立. 所以1x +4y 的最小值为9 . (2) 1x +x y =x+y x +x y =1+y x +x y . 因为x,y 都是正数，所以由基本不等式得， y x +x y +≥2√y x ⋅x y=2，所以1x +x y≥3，当且仅当x =12 ，y =12 时等号成立. 所以1x +x y的最小值为3. 19、（1）已知x >1，求4x +1+1x−1的最小值；（2）已知0<x <1，求x (4−3x )的最大值．答案：（1）9；（2）43．分析：（1）由于x −1>0，则4x +1+1x−1=4(x −1)+1x−1+5，然后利用基本不等式求解即可，（2）由于0<x <1，变形得x (4−3x )=13⋅(3x )⋅(4−3x )，然后利用基本不等式求解即可. （1）因为x >1，所以x −1>0，所以4x +1+1x−1=4(x −1)+1x−1+5≥2√4(x −1)⋅1x−1+5=9，当且仅当4(x −1)=1x−1，即x =32时取等号，所以4x +1+1x−1的最小值为9．（2）因为0<x <1，所以x (4−3x )=13⋅(3x )⋅(4−3x )≤13(3x+4−3x 2)2=43，当且仅当3x =4−3x ，即x =23时取等号，故x (4−3x )的最大值为43．。

高一年级数学第二章《函数》基础测试题

基础测试（一）选择题（每小题4分；共24分）1．下列各函数中；图象完全相同的是（）．（A ）y ＝2 lg x 和y ＝lg x 2（B ）y ＝xx 2和 y ＝x （C ）y ＝1|1|--x x 和y ＝⎩⎨⎧∞+∈-∞∈-),1(1)1,(1x x 当当（D ）y ＝x －3和y ＝962+-x x【答案】（C ）．【点评】应考察每组两个函数的定义域和对应法则是否相同．2．设f （x ）＝3412++x x （x ∈R 且x ≠－43）；则f －1 （2）等于（）．（A ）－65 （B ）115 （C ）52 （D ）－52 【答案】（A ）．【点评】运用反函数的概念；只需在原函数中令2＝3412++x x ；解出x ；即为所求． 3．设a ＝0.32；b ＝log 20.3；c ＝20.3；这三个函数之间的大小关系是（）．（A ）a ＜c ＜b （B ）a ＜b ＜c（C ）b ＜a ＜c （D ）b ＜c ＜a【答案】（C ）．【点评】三个数中a ＞0；c ＞0；b ＜0；否定（A ）；（B ）．而a ＜1；c ＞1；故选（C ）．4．若log a 2 ＜log b 2 ＜0；则（）．（A ）0＜a ＜b ＜1 （B ）0＜b ＜a ＜1（C ）a ＞b ＞1 （D ）b ＞a ＞1【答案】（B ）．【点评】利用对数函数的图象和性质以及换底公式可解．【提示】log a 2＝a 2log 1；log b 2＝b2log 1；由 a 2log 1＜b2log 1＜0；得 0＞log 2 a ＞log 2 b ；∴ 1＞a ＞b ＞0．5．将函数y ＝f （x －1）的图象作适当的平移；可得到函数y ＝f （x ＋2）的图象；这个平移是（）．（A ）向左平移3个单位（B ）向右平移3个单位（C ）向左平移2个单位（D ）向右平移2个单位【答案】（A ）．【点评】函数y ＝f （x ＋a ）（a ＞0）的图象是由y ＝f （x ）向左平移a 个单位得到的．将y ＝f （x －1）的图象向左平移3个单位；就得到y ＝f （x ＋3－1）＝f （x ＋2）的图象．6．函数f （x ）＝21++x ax 在区间（－2；＋∞）上是增函数；那么a 的取值范围是（）．（A ）0＜a ＜21 （B ）a ＞21 （C ）a ＜－1或a ＞1 （D ）a ＞－2【答案】（B ）．【点评】利用反比例函数的单调性；函数y ＝a ＋221+-x a 即（x ＋2）（y －a ）＝1－2 a ．若在（－2；＋∞）上是增函数；只需1－2 a ＜0；故a ＞21．（二）填空题（每小题5分；共25分）1．若（x ；y ）在一一映射下的象是（x ＋y ；x －y ）；其中x ∈R ；y ∈R ；则（1；2）的象是_________；（1；－3）的原象是___________．【答案】（3；－1）；（－1；2）．2．已知函数y ＝2 x 2＋4 （a －4） x ＋5；在（－∞；－3）上是减函数；则a 的取值范围是________．【答案】a ≤7．【点评】要切实掌握好二次函数的定义及有关的性质；本题中函数图象对称轴方程是x ＝4－a ；且开口向上；故只要4－a ≥－3即可．3．函数f （x ）＝log 2（3－2 x －x 2）的值域是___________．【答案】（－∞；2]．【点评】复合函数的值域问题；要注意先求函数的定义域；从而求出u ＝3－2 x －x 2＞0的值域；再利用对数函数y ＝log 2 u 性质求得答案．4．函数y ＝log 0.5（x 2＋x －6）的单调区间是___________．【答案】增区间为（－∞；－3）；减区间为（2；＋∞）．【点评】复合函数的单调性问题；要注意增增“增”、减增“减”、增减“减”、减减“增”等规律．y ＝log 0.5 u 是减函数；因此只要求出u ＝x 2＋x －6的单调区间即可；本题容易忽视函数的定义域而导致错误．5．已知函数f （x ）是R 上的奇函数；且当x ∈（0；＋∞）时；f （x ）＝x （1＋3x ）；那么当x ∈（－∞；0）时；f （x ）＝__________．【答案】本题中的f （x ）是一个分段函数；要能够正确运用奇函数的性质；利用x ＞0时函数的解析式；得出x ＜0时的解析式．要注意求谁的解析式以谁为主；设x ＜0；则－x ＞0；∴ f （－x ）＝－x （1＋3x -）＝－x （1－3x ）；而f （－x ）＝－f （x ）．∴ f （x ）＝x （1－3x ）．（三）解答题（本题共4小题；共51分）1．（本小题共12分）等腰梯形ABCD 下底AB ＝10；上底DC ＝4；两腰AD ＝BC ＝5；动点P 由B 点沿折线BCDA 向A 运动；设P 点移动的距离为x ；△ABP 的面积为y ；求函数y ＝f （x ）．【略解】如图；可知等腰梯形的高为4；当P 点运动到P 1位置时；△AP 1B 的高P 1H 1＝54x ． ∴ 此时B AP S 1∆＝21×10×54x ；当P 点运动到P 3位置时；△AP 3B 的高P 3H 3满足：433H P ＝514x -；此时B AP S 3∆＝21×10×5456x -；当P 点在CD 上时；B AP S 3∆＝21h ×AB ＝21×4×10＝20 ∴ y ＝⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤<≤<)149(456)95(20)50(4x x x x x 【点评】画图；利用图形思考；是一项基本功．本题运用的分类讨论思想；数形结合思想是中学数学中重要的思想方法．2．（本题共13分）设0≤x ≤1；x 为变量；a 为常数；求函数f （x ）＝（4－3 a ） x 2－2 x ＋a 的最大值．【略解】若4－3 a ＝0；则f （x ）＝－2 x ＋34是单调减函数； ∴ f （x ）最大值为f （0）＝a ＝34；若4－3 a ≠0；则f （x ）为二次函数；其对称轴方程为：x ＝a341-； f （0）＝a ；f （1）＝2－2 a ．当a ＞32时；f （0）＞f （1）；当a ＜32时；f （0）＜ f （1）；∴ f （x ）的最大值为f （1）＝2－2 a ；当a 取其他实数时；f （x ）的最大值为f （0）＝a ．【点评】二次函数是中学数学中的重要函数之一．二次函数的有关性质；特别是在闭区间上求二次函数的最值问题应该熟练掌握．本题中的二次函数含有参数a ；应注意分类讨论思想的应用．3．（本题共13分）已知函数f （x ）＝lg （ax 2＋2 x ＋1）；（1）若函数f （x ）的定义域为R ；求实数a 的取值范围；（2）若函数f （x ）的值域为R ；求实数a 的取值范围．【略解】（1）ax 2＋2 x ＋1＞0恒成立；只需∆＝4－4 a ＜0；且a ＞0；即a ＞1；满足题意．（2）若f （x ）的值域为R ；则需u ＝ax 2＋2 x ＋1能取遍一切正数；需满足a ＞0且 ∆＝4－4 a ≥0；即0＜a ≤1为所求．【点评】许多同学做此题时；不能理解（2）题的题意；关键是欲使f （x ）的值域为R ；则必需u ＝ax 2＋2 x ＋1能取遍一切．．．．正数；所以抛物线的开口向上；且与x 轴要有交点． 4．（本题共13分）已知函数f （x ）＝lg （a x －b x ）（a ＞1＞b ＞0）（1）求f （x ）的定义域；（2）判断f （x ）的单调性；并予以证明；（3）当a ；b 满足什么关系时；f （x ）在（1；＋∞）内取正值；而不在（1；＋∞）上则不取正值．【略解】（1）a x －b x ＞0 ⇔（b a ） x ＞1；而ba ＞1； ∴ f （x ）的定义域为：x ＞0；（2）利用函数单调的定义证明f （x ）在（0；＋∞）上是增函数；（略）（3）利用（2）的解法及所给条件应有f （1）＝0．即由lg （a －b ）＝0；故a －b ＝1为所求．。

(精选试题附答案)高中数学第二章一元二次函数方程和不等式知识总结例题

(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第二章一元二次函数方程和不等式知识总结例题单选题1、已知关于x的不等式(2a+3m)x2−(b−3m)x−1>0(a>0,b>0)的解集为(−∞,−1)∪(12,+∞)，则下列结论错误的是（）A．2a+b=1B．ab的最大值为18C．1a +2b的最小值为4D．1a+1b的最小值为3+2√2答案：C分析：根据不等式的解集与方程根的关系，结合韦达定理，求得2a+3m=2，b−3m=−1，可判定A正确；结合基本不等式和“1”的代换，可判断B正确，C错误，D正确.由题意，不等式(2a+3m)x2−(b−3m)x−1>0的解集为(−∞,−1]∪[12,+∞)，可得2a+3m>0，且方程(2a+3m)x2−(b−3m)x−1=0的两根为−1和12，所以{−1+12=b−3m2a+3m−1×12=−12a+3m，所以2a+3m=2，b−3m=−1，所以2a+b=1，所以A正确；因为a>0，b>0，所以2a+b=1≥2√2ab，可得ab≤18，当且仅当2a=b=12时取等号，所以ab的最大值为18，所以B正确；由1a +2b=(1a+2b)(2a+b)=4+ba+4ab≥4+2√ba⋅4ab=4+4=8，当且仅当ba =4ab时，即2a=b=12时取等号，所以1a+2b的最小值为8，所以C错误；由1a +1b=(1a+1b)(2a+b)=3+ba+2ab≥3+2√ba⋅2ab=3+√2，当且仅当ba =2ab时，即b=√2a时，等号成立，所以1a +1b的最小值为3+2√2，所以D正确．故选：C．2、将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，每涨价1元，销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价a（元/个）的取值范围应是（）A．90<a<100B．90<a<110C．100<a<110D．80<a<100答案：A分析：首先设每个涨价x元，涨价后的利润与原利润之差为y元，结合条件列式，根据y>0，求x的取值范围，即可得到a的取值范围.设每个涨价x元，涨价后的利润与原利润之差为y元，则a=x+90,y=(10+x)⋅(400−20x)−10×400=−20x2+200x.要使商家利润有所增加，则必须使y>0，即x2−10x<0，得0<x<10,∴90<x+90<100，所以a的取值为90<a<100.故选：A3、已知x,y,z都是正实数，若xyz=1，则(x+y)(y+z)(z+x)的最小值为（）A．2B．4C．6D．8答案：D分析：均值定理连续使用中要注意等号是否同时成立.由x>0,y>0,z>0可知x+y≥2√xy>0（当且仅当x=y时等号成立）y+z≥2√yz>0（当且仅当y=z时等号成立）x+z≥2√xz>0（当且仅当x=z时等号成立）以上三个不等式两边同时相乘，可得(x+y)(y+z)(z+x)≥8√x2y2z2=8（当且仅当x=y=z=1时等号成立）故选：D4、已知x>0，y>0，x+2y=1，则1x +1y的最小值为（）A．3+2√2B．12C．8+4√3D．6答案：A分析：根据基本不等中“1”的用法，即可求出结果. 因为x>0，y>0，x+2y=1，所以(1x +1y)(x+2y)=3+2yx+xy≥3+2√2，当且仅当2yx =xy，即x=√2−1,y=2−√22时，等号成立.故选：A.5、若非零实数a，b满足a<b，则下列不等式成立的是（）A．ab <1B．ba+ab>2C．1ab2<1a2bD．a2+a<b2+b答案：C分析：举出符合条件的特例即可判断选项A，B，D，对于C，作出不等式两边的差即可判断作答.取a=−2,b=−1，满足a<b，而ab=2>1，A不成立；取a=−2,b=1，满足a<b，而ba +ab=−12+(−2)=−52<2，B不成立；因1ab2−1a2b=a−ba2b2<0，即有1ab2<1a2b，C成立；取a=−2,b=−1，满足a<b，而a2+a=2,b2+b=0，即a2+a>b2+b，D不成立．故选：C6、若x<0，则x+14x−2有（）A．最小值−1B．最小值−3C．最大值−1D．最大值−3答案：D分析：根据基本不等式，首先取相反数，再尝试取等号，可得答案.因为x<0，所以x+14x −2=−(−x+1−4x)−2≤−2√−x⋅1−4x−2=−3，当且仅当−x=1−4x，即x=−12时等号成立，故x+14x−2有最大值−3．故选：D.7、设a＞b＞1，y1=b+1a+1,y2=ba,y3=b−1a−1，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y2＜y1D．y2＜y3＜y1答案：C分析：利用作差法先比较y1，y2，再比较y2，y3即可得出y1，y2，y3的大小关系.解：由a＞b＞1，有y1﹣y2=b+1a+1−ba=ab+a−ab−b(a+1)a=a−b(a+1)a＞0，即y1＞y2，由a＞b＞1，有y2﹣y3=ba −b−1a−1=ab−b−ab+aa(a−1)=a−ba(a−1)＞0，即y2＞y3，所以y1＞y2＞y3，故选：C.8、不等式x−1x+2<0的解集为（）A．{x|x>1}B．{x|x<−2}C．{x|−2<x<1}D．{x|x>1或x<−2}答案：C解析：由x−1x+2<0等价于(x−1)(x+2)<0，进而可求出不等式的解集.由题意，x−1x+2<0等价于(x−1)(x+2)<0，解得−2<x<1，所以不等式x−1x+2<0的解集为{x|−2<x <1}.故选：C.小提示：本题考查分式不等式的解集，考查学生的计算能力，属于基础题. 9、y =x +4x (x ≥1)的最小值为（） A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：C分析：利用均值不等式求解即可.因为y =x +4x (x ≥1)，所以x +4x ≥2√x ×4x =4，当且仅当x =4x 即x =2时等号成立. 所以当x =2时，函数y =x +4x 有最小值4. 故选：C.10、在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5 cm ，人跑开的速度为每秒4 m ，为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100 m 以外的安全区，导火索的长度x （cm ）应满足的不等式为（） A ．4×x 0.5≥100B ．4×x 0.5≤100C ．4×x0.5>100D ．4×x0.5<100 答案：C分析：为了安全，则人跑开的路程应大于100米，路程=速度×时间，其中时间即导火索燃烧的时间. 导火索燃烧的时间x0.5秒，人在此时间内跑的路程为4×x0.5m ．由题意可得4×x 0.5>100．故选：C. 填空题11、已知x,y 为正实数，则y x +16x2x+y 的最小值为__________．答案：6分析：将原式变形为yx +162+yx，结合基本不等式即可求得最值.由题得yx +16x2x+y=yx+162+yx，设yx =t(t>0)，则f(t)=t+162+t=t+2+162+t−2≥2√(t+2)⋅162+t−2=8−2=6.当且仅当t=2时取等.所以yx +16x2x+y的最小值为6.所以答案是：612、一般认为，民用住宅窗户面积a与地板面积b的比应不小于10%，即110≤ab<1，而且比值越大采光效果越好，若窗户面积与地板面积同时增加m，采光效果变好还是变坏？请将你的判断用不等式表示__________答案：ab <a+mb+m分析：运用不等式的性质可得答案.若窗户面积与地板面积同时增加m，采光效果变好了，用不等式表示为：ab <a+mb+m，因为ab −a+mb+m=a(b+m)−(a+m)bb(b+m)=(a−b)mb(b+m)<0，所以ab<a+mb+m成立.所以答案是：ab <a+mb+m.13、为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为V的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出10升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出8升后用水补满，若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%，则V的取值范围为___________.答案：10≤V≤40分析：根据题意列出不等式，最后求解不等式即可.第一次操作后，利下的纯药液为V−10，第二次操作后，利下的纯药液为V−10−V−10V×8，由题意可知：V−10−V−10V×8≤V⋅60%⇒V2−45V+200≤0⇒5≤V≤40，因为V ≥10，所以10≤V ≤40，所以答案是：10≤V ≤4014、已知a 为常数，若关于x 的不等式2x 2−6x +a <0的解集为(m,2)，则m =______．答案：1分析：根据给定条件可得m ，2是方程2x 2−6x +a =0的两个根，借助韦达定理计算作答. 因关于x 的不等式2x 2−6x +a <0的解集为(m,2)，则m ，2是方程2x 2−6x +a =0的两个根，因此有{m +2=32m =a 2，解得m =1,a =4，所以m =1. 所以答案是：115、用一根长为12m 的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架（不计损耗），要使这个窗户通过的阳光最充足，则框架的宽为______m ．答案：32##1.5分析：首先设框架的宽为x ，再表示框架的面积，利用基本不等式求最值，即可求框架的宽.设框架的宽为x ，则其高为6−2x ，要使这个窗户通过的阳光最充足，只要窗户的面积S 最大，S =x (6−2x )=2x (3−x )≤2×[x+(3−x )2]2=92，当且仅当x =3−x ，即x =32时等号成立，故框架的宽为32m ．所以答案是：32 解答题16、（1）已知a >b,c <d ，求证：a −c >b −d ；（2）已知a >b,ab >0，求证：1a <1b ；（3）已知a >b >0,0<c <d ，求证：ac >bd .答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.分析：（1）根据c <d 不等号左右两边同时乘以一个负数,不等号方向改变得到 −c >−d ,再用同向可加性法则即可得出结果.（2）根据正数的倒数大于0可得1ab>0,再用同向同正可乘性得出结果.（3）因为0<c<d，根据（2）的结论，得1c >1d>0,再用同向同正可乘性得出结果.证明：（1）因为a>b,c<d，所以a>b,−c>−d. 则a−c>b−d.（2）因为ab>0，所以1ab>0.又因为a>b，所以a⋅1ab >b⋅1ab，即1b >1a，因此1a<1b.（3）因为0<c<d，根据（2）的结论，得1 c >1d>0.又因为a>b>0，则a⋅1c >b⋅1d，即ac >bd.小提示：本题考查不等式的基本性质与不等关系,是基础题.17、已知关于x一元二次不等式x2+2mx+m+2≥0的解集为R.(1)求函数f(m)=m+3m+2的最小值；(2)求关于x的一元二次不等式x2+(m−3)x−3m>0的解集.答案：(1)2√3−2(2)(−∞,−m)∪(3,+∞)分析：（1）由题意可得Δ≤0，解不等式求出m的取值范围，再利用基本不等式求f(m)的最小值；（2）不等式化为(x+m)(x−3)>0，比较−m和3的大小，即可得出不等式的解集.因为关于x一元二次不等式x2+2mx+m+2≥0的解集为R，所以Δ=4m2−4(m+2)≤0，化简可得：m2−m−2≤0，解得：−1≤m≤2，所以1≤m+2≤4，所以f(m)=m+3m+2=m+2+3m+2−2≥2√(m+2)⋅3m+2−2=2√3−2，当且仅当m+2=3m+2即m=√3−2，f(m)的最小值为2√3−2.(2)不等式x2+(m−3)x−3m>0，可化为(x+m)(x−3)>0，因为−1≤m≤2，所以−2≤−m≤1<3，所以该不等式的解集为(−∞,−m)∪(3,+∞).18、已知函数f(x)=(m+1)x2−(m−1)x+m−1．(1)若不等式f(x)<1的解集为R，求m的取值范围；(2)解关于x的不等式f(x)≥(m+1)x；(3)若不等式f(x)≥0对一切x∈[−12,12]恒成立，求m的取值范围．答案：(1)m<1−2√73；(2)答案见解析；(3)m≥1.分析：（1）对二次项系数m+1进行分类讨论，结合二次函数的判别式即可容易求得结果；（2）f(x)≥(m+1)x⇔(m+1)x2−2mx+m−1≥0，对m+1=0，m+1>0与m+1<0分类讨论，可分别求得其解集；（3）(m+1)x2−(m−1)x+m−1≥0⇔m(x2−x+1)≥−x2−x+1⇔m≥−x2−x+1x2−x+1=−1+2(1−x)x2−x+1，通过分离常数与利用基本不等式结合已知即可求得m的取值范围．根据题意，①当m+1=0，即m=−1时，f(x)=2x−2，不合题意；②当m+1≠0，即m≠−1时，f(x)<1的解集为R，即(m+1)x2−(m−1)x+m−2<0的解集为R，∴{m+1<0Δ=(m−1)2−4(m+1)(m−2)<0，即{m<−13m2−2m−9>0，故m<−1时，m<1−2√73或m>1+2√73.故m<1−2√73．（2）f(x)≥(m+1)x，即(m+1)x2−2mx+m−1≥0，即[(m+1)x−(m−1)](x−1)≥0，①当m+1=0，即m=−1时，解集为{x|x≥1}；②当m+1>0，即m>−1时，(x−m−1m+1)(x−1)≥0，∵m−1m+1=1−2m+1<1，∴解集为{x|x≤m−1m+1或x≥1}；③当m+1<0，即m<−1时，(x−m−1m+1)(x−1)≤0，∵m−1m+1=1−2m+1>1，∴解集为{x|1≤x≤m−1m+1}．综上所述：当m<−1时，解集为{x|1≤x≤m−1m+1}；当m=−1时，解集为{x|x≥1}；当m>−1时，解集为{x|x≤m−1m+1或x≥1}. （3）(m+1)x2−(m−1)x+m−1≥0，即m(x2−x+1)≥−x2−x+1，∵x2−x+1>0恒成立，∴m≥−x2−x+1x2−x+1=−1+2(1−x)x2−x+1，设1−x=t，则t∈[12，32]，x=1−t，∴1−xx2−x+1=t(1−t)2−(1−t)+1=tt2−t+1=1t+1t−1，∵t+1t≥2，当且仅当t=1时取等号，∴1−xx2−x+1≤1，当且仅当x=0时取等号，∴当x=0时，(−x2−x+1x2−x+1)max=1，∴m≥1．小提示：本题考察二次函数恒成立问题，以及含参二次函数不等式的求解，其中正确的分类讨论，是解决本题的关键，属综合困难题.19、阅读材料：我们研究了函数的单调性､奇偶性和周期性，但是这些还不能够准确地描述出函数的图象，例如函数y=x2和y=√x，虽然它们都是增函数，图象在[0,1]上都是上升的，但是却有着显著的不同.如图1所示，函数y=x2的图象是向下凸的，在[0,1]上任意取两个点M1,M2，函数y=x2的图象总是在线段M1M2的下方，此时函数y=x2称为下凸函数；函数y=√x的图象是向上凸的，在[0,1]上任意取两个点M1,M2，函数y=√x的图象总是在线段M1M2的上方，则函数y=√x称为上凸函数.具有这样特征的函数通常称做凸函数.定义1：设函数y=f(x)是定义在区间I上的连续函数，若∀x1,x2∈I，都有f(x1+x22)≤f(x1)+f(x2)2，则称y=f(x)为区间I上的下凸函数.如图2.下凸函数的形状特征：曲线上任意两点M1,M2之间的部分位于线段M1M2的下方.定义2：设函数y=f(x)是定义在区间I上的连续函数，若∀x1,x2∈I，都有f(x1+x22)≥f(x1)+f(x2)2，则称y=f(x)为区间I上的上凸函数.如图3.上凸函数的形状特征：曲线上任意两点M1,M2之间的部分位于线段M1M2的上方.上凸（下凸）函数与函数的定义域密切相关的.例如，函数y =x 3在(−∞,0]为上凸函数，在[0,+∞)上为下凸函数.函数的奇偶性和周期性分别反映的是函数图象的对称性和循环往复，属于整体性质；而函数的单调性和凸性分别刻画的是函数图象的升降和弯曲方向，属于局部性质.关于函数性质的探索，对我们的启示是：在认识事物和研究问题时，只有从多角度､全方位加以考查，才能使认识和研究更加准确.结合阅读材料回答下面的问题：(1)请尝试列举一个下凸函数：___________；(2)求证：二次函数f(x)=−x 2+bx +c 是上凸函数；(3)已知函数f(x)=x|x −a|，若对任意x 1,x 2∈[2,3]，恒有f (x 1+x 22)≥f (x 1)+f (x 2)2，尝试数形结合探究实数a 的取值范围.答案：(1)y =1x ，x ∈(0,+∞)；(2)证明见解析；(3)a ≥3.分析：（1）根据下凸函数的定义举例即可；（2）利用上凸函数定义证明即可；（3）根据（2）中结论，结合条件，函数满足上凸函数定义，根据数形结合求得参数取值范围.（1）y =1x ，x ∈(0,+∞)；（2）对于二次函数f(x)=−x 2+bx +c ，∀x 1,x 2∈R ，满足f (x 1+x 22)−f (x 1)+f (x 2)2=−(x 1+x 22)2+b ⋅x 1+x 22+c −−x 12+bx 1+c −x 22+bx 2+c 2=−x 12+x 22+2x 1x 24+x 12+x 222=(x 1−x 2)24≥0，即f (x 1+x 22)≥f (x 1)+f (x 2)2，满足上凸函数定义，二次函数f(x)=−x 2+bx +c 是上凸函数.（3）由（2）知二次函数f(x)=−x2+bx+c是上凸函数，同理易得二次函数f(x)=x2+bx+c为下凸函数，对于函数f(x)=x|x−a|={x2−ax,x>a−x2+ax,x≤a，其图像可以由两个二次函数的部分图像组成，如图所示，若对任意x1,x2∈[2,3]，恒有f(x1+x22)≥f(x1)+f(x2)2，则函数f(x)=x|x−a|满足上凸函数定义，即[2,3]⊆(−∞,a]，即a≥3.。

(精选试题附答案)高中数学第二章一元二次函数方程和不等式知识点总结归纳完整版

(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第二章一元二次函数方程和不等式知识点总结归纳完整版单选题1、已知正实数a,b满足4a+b +1b+1=1，则a+2b的最小值为（）A．6B．8C．10D．12 答案：B分析：令a+2b=a+b+b+1−1，用a+b+b+1分别乘4a+b +1b+1=1两边再用均值不等式求解即可.因为4a+b +1b+1=1，且a,b为正实数所以a+b+b+1=(a+b+b+1)(4a+b +1b+1)=4+a+bb+1+4(b+1)a+b+1≥5+2√a+bb+1×4(b+1)a+b=9，当且仅当a+bb+1=4(b+1)a+b即a=b+2时等号成立.所以a+2b+1≥9,a+2b≥8. 故选：B.2、若不等式组{x−1>a2x−4<2a的解集非空，则实数a的取值范围是（）A．(−1,3)B．(−∞,−1)∪(3,+∞)C．(−3,1)D．(−∞,−3)∪(1,+∞)答案：A分析：分别解出两个不等式的解，再根据集合交集的概念求解．由题意{x>a2+1x<2a+4，∴a2+1<2a+4，即a2−2a−3<0，解得−1<a<3．故选：A．小提示：本题考查不等式组的解，考查集合的交集运算，属于基础题．3、下列不等式恒成立的是（）A．a2+b2≤2ab B．a2+b2≥−2abC．a+b≥−2√|ab|D．a+b≤2√|ab|答案：B分析：由基本不等式，可判定A不正确；由a2+b2+2ab=(a+b)2≥0，可判定B正确；根据特例，可判定C、D不正确；由基本不等式可知a2+b2≥2ab，故A不正确；由a2+b2≥−2ab，可得a2+b2+2ab≥0，即(a+b)2≥0恒成立，故B正确；当a=−1,b=−1时，不等式不成立，故C不正确；当a=0,b=1时，不等式不成立，故D不正确.故选：B.<0的解集为（）4、不等式x−1x+2A．{x|x>1}B．{x|x<−2}C．{x|−2<x<1}D．{x|x>1或x<−2}答案：C<0等价于(x−1)(x+2)<0，进而可求出不等式的解集.解析：由x−1x+2<0等价于(x−1)(x+2)<0，解得−2<x<1，由题意，x−1x+2<0的解集为{x|−2<x<1}.所以不等式x−1x+2故选：C.小提示：本题考查分式不等式的解集，考查学生的计算能力，属于基础题.5、下列命题中，是真命题的是（）A ．如果a >b ，那么ac >bcB ．如果a >b ，那么ac 2>bc 2C ．如果a >b ，那么ac>bc D ．如果a >b ，c <d ，那么a −c >b −d答案：D分析：根据不等式的性质和特殊值法，逐项验证可得出答案. 对于A ，如果c =0，那么ac =bc ，故错误；对于B ，如果c =0，那么ac 2=bc 2，故错误；对于C ，如果c <0，那么ac <bc ，故错误；对于D ，如果c <d ，那么−c >−d ，由a >b ，则a −c >b −d ，故正确. 故选：D.6、a,b,c 是不同时为0的实数，则ab+bca 2+2b 2+c 2的最大值为（） A ．12B ．14C ．√22D ．√32答案：A分析：对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可. 若要使ab+bca 2+2b 2+c 2最大，则ab,bc 均为正数，即a,b,c 符号相同，不妨设a,b,c 均为正实数，则ab+bc a 2+2b 2+c 2=a+c a 2+c 2b+2b≤2√a 2+c 2b×2b=2√2(a 2+c 2)=12√a 2+2ac+c 22(a 2+c 2)=12√12+ac a 2+c 2≤12√122√a 2×c2=12，当且仅当a 2+c 2b=2b ，且a =c 取等，即a =b =c 取等号，即则ab+bca 2+2b 2+c 2的最大值为12，故选：A ．小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致. 7、已知命题“∀x ∈R ，4x 2+(a −2)x +14>0”是假命题，则实数a 的取值范围为（）A ．(−∞,0]∪[4,+∞)B ．[0,4]C ．[4,+∞)D ．(0,4) 答案：A分析：先求出命题为真时实数a 的取值范围，即可求出命题为假时实数a 的取值范围. 若“∀x ∈R ，4x 2+(a −2)x +14>0”是真命题，即判别式Δ=(a −2)2−4×4×14<0，解得：0<a <4，所以命题“∀x ∈R ，4x 2+(a −2)x +14>0”是假命题，则实数a 的取值范围为：(−∞,0]∪[4,+∞). 故选：A.8、关于x 的不等式ax 2−(a 2+1)x +a <0的解集为{x|x 1<x <x 2}，且x 2−x 1=1，则a 2+a −2=（） A ．3B ．32C ．2D ．23 答案：A分析：根据一元二次不等式与解集之间的关系可得x 1+x 2=a +1a 、x 1x 2=1，结合(x 2−x 1)2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2计算即可.由不等式ax 2−(a 2+1)x +a <0的解集为{x |x 1<x <x 2}，得a >0，不等式对应的一元二次方程为ax 2−(a 2+1)x +a =0，方程的解为x 1、x 2，由韦达定理，得x 1+x 2=a 2+1a=a +1a ，x 1x 2=1，因为x 2−x 1=1，所以(x 2−x 1)2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2=1，即(a +1a )2−4=1，整理，得a 2+a −2=3. 故选：A9、权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a ，b ，x ，y >0，则a 2x +b 2y≥(a+b )2x+y，当且仅当a x =b y 时等号成立．根据权方和不等式，函数f(x)=2x +91−2x (0<x <12)的最小值为（）A ．16B ．25C ．36D ．49 答案：B分析：将给定函数式表示成已知不等式的左边形式，再利用该不等式求解作答. 因a ，b ，x ，y >0，则a 2x +b 2y≥(a+b )2x+y，当且仅当a x =by 时等号成立，又0<x <12，即1−2x >0，于是得f(x)=222x+321−2x≥(2+3)22x+(1−2x)=25，当且仅当22x=31−2x，即x =15时取“=”，所以函数f(x)=2x+91−2x(0<x <12)的最小值为25.故选：B10、已知关于x 的不等式mx 2−6x +3m <0在(0，2]上有解，则实数m 的取值范围是（） A ．(−∞，√3)B ．(−∞，127)C ．(√3，+∞)D ．(127，+∞) 答案：A分析：分离参数，将问题转换为m <6xx 2+3在(0，2]上有解，设函数g(x)=6xx 2+3，x ∈(0，2]，求出函数g(x)=6x x 2+3的最大值，即可求得答案.由题意得，mx 2−6x +3m <0，x ∈(0，2]，即m <6xx 2+3 ，故问题转化为m <6xx 2+3在(0，2]上有解，设g(x)=6xx 2+3，则g(x)=6x x 2+3=6x+3x，x ∈(0，2]，对于x +3x ≥2√3 ，当且仅当x =√3∈(0,2]时取等号，则g(x)max =2√3=√3，故m <√3 ，故选：A 填空题11、已知正实数x,y 满足(x +3y −1)(2x +y −1)=1，则x +y 的最小值是________．答案：3+2√25分析：先由题中条件，得到x +3y −1>0，2x +y −1>0，再由x +y =15(x +3y −1)+25(2x +y −1)+35，利用基本不等式，即可直接求出最小值.由已知得x >0，y >0，则x +3y −1>−1，2x +y −1>−1，因为(x +3y −1)(2x +y −1)=1，所以x +3y −1>0，2x +y −1>0，因此x +y =15(x +3y −1)+25(2x +y −1)+35≥2√225(x +3y −1)(2x +y −1)+35=3+2√25，当且仅当15(x +3y −1)=25(2x +y −1)，即{x +3y −1=√22x +y −1=√22，即{x =25+√210y =15+3√210时，等号成立；所以x +y 的最小值是3+2√25. 所以答案是：3+2√25. 小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.12、函数f(x)=4x2+1x(x>0)取得最小值时x的取值为__________．答案：12分析：将函数化为f(x)=4x+1x，根据“一正，二定，三相等”的原则即可得到答案.x>0,f(x)=4x+1x ≥2√4x⋅1x=4，当且仅当4x=1x⇒x=12时取“=”.所以答案是：12.13、若x>0,y>0,xy=10，则2x +5y的最小值为_____．答案：2分析：化简2x +5y=2x+102y=2x+xy2y=2x+x2，结合基本不等式，即可求解.由x>0,y>0,xy=10，则2x +5y=2x+102y=2x+xy2y=2x+x2≥2√2x×x2=2，当且仅当x=2时取“=”，即2x +5y的最小值为2．所以答案是：2.14、已知不等式x2+ax+b≥0的解集为{x|x≤2或x≥3}，则a+b＝_____．答案：1分析：根据不等式的解集可得方程x2+ax+b＝0的两根为x＝2或x＝3，最后利用根与系数的关系建立等式，解之即可．∵不等式x2+ax+b≥0解集为{x|x≤2或x≥3}，故方程x2+ax+b＝0的两根为x＝2或x＝3，由根与系数的关系可得{−a =5b =6 ，∴{a =−5b =6，∴a +b ＝1．所以答案是：1．15、正实数x,y 满足：2x +y =1，则2x +1y 的最小值为_____. 答案：9解析：根据题意，可得2x +1y =(2x +1y )(2x +y )=5+2y x+2x y，然后再利用基本不等式，即可求解.2x +1y =(2x +1y )(2x +y )=5+2y x+2x y≥5+2√2y x⋅2x y≥5+2√4=9，当且仅当x =y =13时取等号．所以答案是：9．小提示：本题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题．解答题16、（1）若不等式ax 2+(1−a )x +a −2≥−2对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围；（2）解关于x 的不等式ax 2+(1−a )x +a −2<a −1(a ∈R ). 答案：（1）a ≥13；（2）答案见解析.分析：（1）根据题意分a =0和a >0两种情况求解；（2）不等式等价于ax 2+(1−a )x −1<0，然后分a =0，a >0和a <0三种情况求解. 解：（1）由题意，ax 2+(1−a )x +a ≥0恒成立，当a =0时，不等式可化为x ≥0，不满足题意；当a ≠0时，满足{a >0Δ≤0，即{a >0(1−a )2−4a 2≤0 ，解得a ≥13. （2）不等式ax 2+(1−a )x +a −2<a −1(a ∈R )等价于ax 2+(1−a )x −1<0. 当a =0时，不等式可化为x <1，所以不等式的解集为{x |x <1}；当a >0时，不等式可化为(ax +1)(x −1)<0，此时−1a <1，所以不等式的解集为{x |−1a <x <1}；当a<0时，不等式可化为(ax+1)(x−1)<0，①当a=−1时，−1a=1，不等式的解集为{x|x≠1}；②当−1<a<0时，−1a >1，不等式的解集为{x|x>−1a或x<1}；③当a<−1时，−1a <1，不等式的解集为{x|x>1或x<−1a}.17、已知x>0,y>0且1x +9y=1，求使不等式x+y≥m恒成立的实数m的取值范围．答案：m⩽16.分析：要使不等式x+y≥m恒成立，只需求x+y的最小值，将x+y=(x+y)(1x +9y)展开利用基本不等式可求解.由1x +9y=1，则x+y=(x+y)(1x+9y)=10+9xy+yx⩾10+2√9xy⋅yx=16．当且仅当{x+y=169xy=yx即{x=4y=12时取到最小值16．若x+y⩾m恒成立，则m⩽16．小提示：本题考查不等式恒成立问题，考查利用基本不等式求最值问题，属于基础题.18、冬奥会期间，冰墩墩成热销商品，一家冰墩墩生产公司为加大生产，计划租地建造临时仓库储存货物，若记仓库到车站的距离为x（单位：km），经过市场调查了解到：每月土地占地费y1（单位：万元）与(x+1)成反比，每月库存货物费y2（单位：万元）与(4x+1)成正比；若在距离车站5km处建仓库，则y1与y2分别为12.5万元和7万元.记两项费用之和为ω.(1)求ω关于x的解析式；(2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？求出最小值．答案：(1)ω=75x+1+13(4x+1)(2)这家公司应该把仓库建在距离车站6.5千米处，才能使两项费用之和最小，最小值为19万元分析：（1）依题意设出y1=k1x+1，y2=k2(4x+1)，然后根据已知求出k1,k2，然后可得；（2）通过配凑使得积为定值，然后由基本不等式可得.（1）∵每月土地占地费y1（单位：万元）与(x+1)成反比，∴可设y1=k1x+1，∵每月库存货物费y2（单位：万元）与（4x+1）成正比，∴可设y2=k2(4x+1)，又∵在距离车站5km处建仓库时，y1与y2分别为12.5万元和7万元，∴k1=6×12.5=75，k2=74×5+1=13.∴y1=75x+1,y2=13(4x+1)∴ω=y1+y2=75x+1+13(4x+1).（2）ω=y1+y2=75x+1+13(4x+1)=75x+1+43(x+1)−1≥2√75x+1×43(x+1)−1=19当且仅当75x+1=43(x+1)，即x＝6.5时等号成立，∴这家公司应该把仓库建在距离车站6.5千米处，才能使两项费用之和最小，最小值为19万元．19、请回答下列问题：(1)若关于x的不等式x2−3x+2a2>0(a∈R)的解集为{x|x<1或x>b}，求a，b的值.(2)求关于x的不等式ax2−3x+2>5−ax(a∈R)的解集.答案：(1)b=2、a=±1(2)答案见解析分析：（1）由题意可得1和b为方程x2−3x+2a2=0的两根，利用韦达定理得到方程组，解得即可；（2）不等式为ax2+(a−3)x−3>0，即(ax−3)(x+1)>0，讨论a=0，a>0，a=−3，a<−3，−3< a<0，由二次不等式的解法，即可得到所求解集．（1）解：因为关于x的不等式x2−3x+2a2>0(a∈R)的解集为{x|x<1或x>b}，所以1和b为方程x2−3x+2a2=0的两根，所以{1+b=31×b=2a2，解得{b=2a=±1；（2）解：不等式ax2−3x+2>5−ax(a∈R)，即ax2+(a−3)x−3>0，即(ax−3)(x+1)>0，当a=0时，原不等式解集为{x|x<−1}；当a≠0时，方程(ax−3)(x+1)=0的根为x1=3a，x2=−1，∴①当a>0时，3a >−1，∴原不等式的解集为{x|x>3a或x<−1}；②当−3<a<0时，3a <−1，∴原不等式的解集为{x|3a<x<−1}；③当a=−3时，3a=−1，∴原不等式的解集为∅；④当a<−3时，3a >−1，∴原不等式的解集为{x|−1<x<3a}．。

(精选试题附答案)高中数学第二章一元二次函数方程和不等式基础知识点归纳总结

(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第二章一元二次函数方程和不等式基础知识点归纳总结单选题1、若正数a,b 满足a +b =ab ，则a +2b 的最小值为（） A ．6B ．4√2C ．3+2√2D ．2+2√2 答案：C分析：由a +b =ab ，可得1a +1b =1，则a +2b =(a +2b)(1a +1b )，化简后利用基本不等式可求得其最小值因为正数a,b 满足a +b =ab ，所以1a +1b =1，所以a +2b =(a +2b)(1a +1b )=3+a b +2b a≥3+2√a b⋅2b a=3+2√2，当且仅当a b =2ba，即a =√2+1,b =2+√22时取等号，故选：C2、若x >1，则x +1x−1的最小值等于（） A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：D分析：将x +1x−1变形为x −1+1x−1+1，即可利用均值不等式求最小值.因为x >1，所以x −1>0，因此x +1x−1=x −1+1x−1+1≥2√(x −1)⋅1x−1+1=3,当且仅当x −1=1x−1，即x =2时，等号成立，所以x +1x−1的最小值等于3. 故选：D.3、将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，每涨价1元，销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价a （元/个）的取值范围应是（） A ．90<a <100B ．90<a <110C ．100<a <110D ．80<a <100 答案：A分析：首先设每个涨价x 元，涨价后的利润与原利润之差为y 元，结合条件列式，根据y >0，求x 的取值范围，即可得到a 的取值范围.设每个涨价x 元，涨价后的利润与原利润之差为y 元，则a =x +90,y =(10+x)⋅(400−20x)−10×400=−20x 2+200x .要使商家利润有所增加，则必须使y >0，即x 2−10x <0，得0<x <10,∴90<x +90<100，所以a 的取值为90<a <100. 故选：A4、不等式1+5x −6x 2>0的解集为（）A ．{x|x >1或x <−16}B ．{x |−16<x <1 }C ．{x|x >1或x <−3}D ．{x |−3<x <2 } 答案：B分析：解一元二次不等式，首先确保二次项系数为正，两边同时乘−1，再利用十字相乘法，可得答案，法一：原不等式即为6x 2−5x −1<0，即(6x +1)(x −1)<0，解得−16<x <1，故原不等式的解集为{x |−16<x <1 }．法二：当x =2时，不等式不成立，排除A ，C ；当x =1时，不等式不成立，排除D ．故选：B ．5、已知a >b >0，下列不等式中正确的是（） A ．ca >cb B ．ab b >0，结合不等式的性质及基本不等式即可判断出结论. 解：对于选项A ，因为a >b >0,0<1a<1b，而c 的正负不确定，故A 错误；对于选项B ，因为a >b >0，所以ab >b 2，故B 错误；对于选项C ，依题意a >b >0，所以a −b >0,1a−b >0，所以a −b +1a−b ≥2√(a −b )×1a−b =2，故C 正确；对于选项D ，因为a >b >0,a −1>b −1>−1,1a−1与1b−1正负不确定，故大小不确定，故D 错误；故选：C.6、已知x ∈R ，则“(x −2)(x −3)≤0成立”是“|x −2|+|x −3|=1成立”的（）条件． A ．充分不必要B ．必要不充分 C ．充分必要D ．既不充分也不必要答案：C分析：先证充分性，由（x −2）(x −3）≤0 求出x 的取值范围，再根据x 的取值范围化简|x −2|+|x −3|即可，再证必要性，若|x −2|+|x −3|=1，即|x −2|+|x −3|=|（x −2）−（x −3）|，再根据绝对值的性质可知（x −2）(x −3）≤0．充分性：若（x −2）(x −3）≤0，则2≤x ≤3， ∴|x −2|+|x −3|=x −2+3−x =1，必要性：若|x −2|+|x −3|=1，又∵|（x −2）−（x −3）|=1， ∴|x −2|+|x −3|=|（x −2）−（x −3）|，由绝对值的性质：若ab ≤0，则|a |+|b |=|a −b|，∴（x −2）(x −3）≤0，所以“（x −2）(x −3）≤0成立”是“|x −2|+|x −3|=1成立”的充要条件，故选：C ．7、已知实数x ，y 满足x 2+y 2=2，那么xy 的最大值为（） A ．14B ．12C ．1D ．2答案：C分析：根据重要不等式x 2+y 2≥2xy 即可求最值，注意等号成立条件.由x 2+y 2=2≥2xy ，可得xy ≤1，当且仅当x =y =1或x =y =−1时等号成立. 故选：C.8、若正实数a,b ，满足a +b =1，则b3a +3b 的最小值为（） A ．2B ．2√6C ．5D ．4√3 答案：C分析：化简b3a +3b =b3a +3a+3b b=b 3a +3a b+3，然后利用基本不等式求解即可根据题意，若正实数a,b ，满足a +b =1，则b 3a+3b=b 3a+3a+3b b=b 3a+3a b+3≥2√b 3a⋅3a b+3=5，当且仅当b =3a =34时等号成立，即b 3a+3b的最小值为5；故选：C小提示：此题考查基本不等式的应用，属于基础题9、已知a,b 为正实数，且a +b =6+1a +9b ，则a +b 的最小值为（） A ．6B ．8C ．9D ．12 答案：B分析：根据题意，化简得到(a+b)2=(6+1a +9b)(a+b)=6(a+b)+10+ba+9ab，结合基本不等式，即可求解.由题意，可得(a+b)2=(6+1a +9b)(a+b)=6(a+b)+10+ba+9ab≥6(a+b)+16，则有(a+b)2−6(a+b)−16≥0，解得a+b≥8，当且仅当a=2，b=6取到最小值8.故选：B.10、已知y=(x−m)(x−n)+2022(n>m)，且α,β(α<β)是方程y=0的两实数根，则α，β，m，n的大小关系是（）A．α<m<n<βB．m<α<n<βC．m<α<β<n D．α<m<β<n答案：C分析：根据二次函数图像特点，结合图像平移变换即可得到答案.∵α，β为方程y=0的两实数根，∴α，β为函数y=(x−m)(x−n)+2022的图像与x轴交点的横坐标，令y1=(x−m)(x−n)，∴m，n为函数y1=(x−m)(x−n)的图像与x轴交点的横坐标，易知函数y=(x−m)(x−n)+2022的图像可由y1=(x−m)(x−n)的图像向上平移2022个单位长度得到，所以m<α<β<n.故选:C.填空题11、设x>0，y>0，x+2y=4，则(x+1)(2y+1)xy的最小值为__________.答案：92.分析：把分子展开化为(x+1)(2y+1)xy =2xy+x+2y+1xy=2xy+5xy=2+5xy，再利用基本不等式求最值．由x+2y=4，得x+2y=4≥2√2xy，得xy≤2(x+1)(2y+1)xy=2xy+x+2y+1xy=2xy+5xy=2+5xy≥2+52=92，等号当且仅当x =2y ，即x =2,y =1时成立．故所求的最小值为92．小提示：使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．12、已知M =x 2−3x ，N =−3x 2+x −3，则M ，N 的大小关系是________．答案：M >N分析：利用作差法直接比大小.M −N =(x 2−3x )−(−3x 2+x −3)=4x 2−4x +3=(2x −1)2+2>0∴M >N ,所以答案是：M >N .13、x −y ≤0，x +y −1≥0，则z =x +2y 的最小值是___________. 答案：32##1.5分析：分析可得x +2y =32(x +y )−12(x −y )，利用不等式的基本性质可求得z =x +2y 的最小值.设x +2y =m (x +y )+n (x −y )=(m +n )x +(m −n )y ，则{m +n =1m −n =2 ，解得{m =32n =−12，所以，z =x +2y =32(x +y )−12(x −y )≥32，因此，z =x +2y 的最小值是32.所以答案是：32.14、若a >0,b >0，则1a +ab 2+b 的最小值为____________．答案：2√2分析：两次利用基本不等式即可求出. ∵ a >0,b >0，∴1a +ab2+b≥2√1a⋅ab2+b=2b+b≥2√2b⋅b=2√2，当且仅当1a =ab2且2b=b，即a=b=√2时等号成立，所以1a +ab2+b的最小值为2√2.所以答案是：2√2.15、设a>0，b>0，且5ab+b2=1，则a+b的最小值为___________.答案：45分析：由5ab+b2=1得到a，再将a+b化为积为定值的形式，根据基本不等式可求得结果.因为5ab+b2=1，所以a=1−b25b =15b−b5，所以a+b=15b −b5+b=15b+4b5≥2√15b⋅4b5=45，当且仅当a=310，b=12时，等号成立，所以a+b的最小值为45.所以答案是：45小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.解答题16、设关于x的二次函数f(x)=2mx2−mx−1．(1)若m=1，解不等式f(x)<0；(2)若不等式f(x)>m−10在[0,2]上恒成立，求实数m的取值范围．答案：(1)(−12,1)；(2)m ∈(−95,0)∪(0,8).分析：（1）由题设有2x 2−x −1<0，解一元二次不等式求解集即可.（2）由题意2mx 2−mx −m +9>0在x ∈[0,2]上恒成立，令g(x)=2mx 2−mx −m +9并讨论m 范围，结合二次函数的性质求参数范围. （1）由题设，f(x)<0等价于2x 2−x −1<0，即(x −1)(2x +1)<0，解得−12<x <1，所以该不等式解集为(−12,1). （2）由题设，2mx 2−mx −m +9>0在x ∈[0,2]上恒成立．令g(x)=2mx 2−mx −m +9，则对称轴x =14 ∈[0,2]且Δ=9m 2−72m =9m(m −8)，①当m <0时，g(x)开口向下且Δ>0，要使g(x)>0对x ∈[0,2]恒成立，所以{g (0)=−m +9>0g (2)=5m +9>0 ，解得−95<m <9，则−95<m <0．②当m >0时，g(x)开口向上，只需Δ<0，即0<m <8. 综上，m ∈(−95,0)∪(0,8)．17、（1）设b >a >0，m >0，证明：a b <a+mb+m ；（2）设x >0，y >0，z >0，证明：1<xx+y +yy+z +zz+x <2. 答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析. 分析：（1）根据作差法证明即可；（2）由于xx+y >xx+y+z ，故1<xx+y +yy+z +zz+x ，再结合（1）的结论易证xx+y +yy+z +zz+x <2. 证明：（1）因为b >a >0，m >0，所以a −b <0，b +m >0。

高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式知识点总结全面整理(带答案)

高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式知识点总结全面整理单选题1、已知x>0，y>0，x+2y=1，则1x +1y的最小值为（）A．3+2√2B．12C．8+4√3D．6答案：A分析：根据基本不等中“1”的用法，即可求出结果. 因为x>0，y>0，x+2y=1，所以(1x +1y)(x+2y)=3+2yx+xy≥3+2√2，当且仅当2yx =xy，即x=√2−1,y=2−√22时，等号成立.故选：A.2、当0<x<2时，x(2−x)的最大值为（）A．0B．1C．2D．4答案：B分析：利用基本不等式直接求解.∵0<x<2，∴2−x>0，又x+(2−x)=2∴x(2−x)≤[x+(2−x)]24=1，当且仅当x=2−x，即x=1时等号成立，所以x(2−x)的最大值为1故选：B3、已知x∈R，则“(x−2)(x−3)≤0成立”是“|x−2|+|x−3|=1成立”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要答案：C分析：先证充分性，由（x−2）(x−3）≤0求出x的取值范围，再根据x的取值范围化简|x−2|+|x−3|即可，再证必要性，若|x−2|+|x−3|=1，即|x−2|+|x−3|=|（x−2）−（x−3）|，再根据绝对值的性质可知（x−2）(x−3）≤0．充分性：若（x−2）(x−3）≤0，则2≤x≤3，∴|x−2|+|x−3|=x−2+3−x=1，必要性：若|x−2|+|x−3|=1，又∵|（x−2）−（x−3）|=1，∴|x−2|+|x−3|=|（x−2）−（x−3）|，由绝对值的性质：若ab≤0，则|a|+|b|=|a−b|，∴（x−2）(x−3）≤0，所以“（x−2）(x−3）≤0成立”是“|x−2|+|x−3|=1成立”的充要条件，故选：C．4、若非零实数a，b满足a<b，则下列不等式成立的是（）A．ab <1B．ba+ab>2C．1ab2<1a2bD．a2+a<b2+b答案：C分析：举出符合条件的特例即可判断选项A，B，D，对于C，作出不等式两边的差即可判断作答.取a=−2,b=−1，满足a<b，而ab=2>1，A不成立；取a=−2,b=1，满足a<b，而ba +ab=−12+(−2)=−52<2，B不成立；因1ab2−1a2b=a−ba2b2<0，即有1ab2<1a2b，C成立；取a=−2,b=−1，满足a<b，而a2+a=2,b2+b=0，即a2+a>b2+b，D不成立．故选：C5、对∀x∈R，不等式(a−2)x2+2(a−2)x−4<0恒成立，则a的取值范围是（）A．−2<a≤2B．−2≤a≤2C．a<−2或a≥2D．a≤−2或a≥2答案：A分析：对a讨论，结合二次函数的图象与性质，解不等式即可得到a的取值范围.不等式(a−2)x2+2(a−2)x−4<0对一切x∈R恒成立，当a −2=0，即a =2时，−4<0恒成立，满足题意；当a −2≠0时，要使不等式恒成立，需{a −2<0Δ<0，即有{a <24(a −2)2+16(a −2)<0 ，解得−2<a <2.综上可得，a 的取值范围为(−2,2].故选：A.6、已知实数x ，y 满足x 2+y 2=2，那么xy 的最大值为（）A ．14B ．12C ．1D ．2答案：C分析：根据重要不等式x 2+y 2≥2xy 即可求最值，注意等号成立条件.由x 2+y 2=2≥2xy ，可得xy ≤1，当且仅当x =y =1或x =y =−1时等号成立.故选：C.7、设a >b >c >0，则2a 2+1ab +1a(a−b)−10ac +25c 2取得最小值时，a 的值为（）A ．√2B ．2C ．4D ．2√5答案：A解析：转化条件为原式=1ab +ab +1a(a−b)+a(a −b)+(a −5c)2，结合基本不等式即可得解.2a 2+1ab +1a (a −b )−10ac +25c 2 =1ab +ab +1a(a −b)+a(a −b)−ab −a(a −b)+2a 2−10ac +25c 2 =1ab +ab +1a(a −b)+a(a −b)+a 2−10ac +25c 2 =1ab +ab +1a(a −b)+a(a −b)+(a −5c)2 ≥2√1ab ⋅ab +2√1a(a−b)⋅a(a −b)+0=4，当且仅当{ab =1a(a −b)=1a =5c ，即a =√2，b =√22，c =√25时，等号成立.小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.8、若x<0，则x+14x−2有（）A．最小值−1B．最小值−3C．最大值−1D．最大值−3答案：D分析：根据基本不等式，首先取相反数，再尝试取等号，可得答案.因为x<0，所以x+14x −2=−(−x+1−4x)−2≤−2√−x⋅1−4x−2=−3，当且仅当−x=1−4x，即x=−12时等号成立，故x+14x−2有最大值−3．故选：D.多选题9、对于任意实数a，b，c，d，则下列命题正确的是（）A．若ac2>bc2，则a>b B．若a>b，c>d，则a+c>b+dC．若a>b，c>d，则ac>bd D．若a>b，则1a >1b答案：AB分析：可由性质定理判断A、B对，可代入特例判断选项C、D错.解：若ac2>bc2，两边同乘以1c2则a>b，A对，由不等式同向可加性，若a>b，c>d，则a+c>b+d，B对，当令a=2，b=1，c=﹣1，d=﹣2，则ac=bd，C错，令a=﹣1，b=﹣2，则1a <1b，D错.10、关于x的一元二次不等式x2−2x−a≤0的解集中有且仅有5个整数，则实数a的值可以是（）A．2B．4C．6D．8答案：BC解析：求出不等式的解，分析其中只有5个整数解，得a的不等式，解之，然后判断各选项可得．易知Δ=4+4a≥0，即a≥−1，解原不等式可得1−√1+a≤x≤1+√1+a，而解集中只有5个整数，则2≤√1+a<3，解得3≤a<8，只有BC满足．故选：BC．11、已知实数a，b，c满足c<b<a，且ac<0，则下列不等式一定成立的是（）A．ab>ac B．c(b−a)>0C．ac(a−c)<0D．cb2<ab2答案：ABC分析：根据c<b<a，且ac<0，得到a>0,c<0，然后利用不等式的基本性质，逐项判断.因为实数a，b，c满足c<b<a，且ac<0，所以a>0,c<0，由b>c,a>0，得ab>ac，故A正确；由b<a,c<0，得c(b−a)>0，故B正确；由a>c,ac<0，得ac(a−c)<0，故C正确；由a>c,b2≥0，得cb2≤ab2，当b=0时，等号成立，故D错误；故选：ABC填空题12、若不等式x2−2>mx对满足|m|≤1的一切实数m都成立，则x的取值范围是___________答案：x<−2或x>2分析：令f(m)=mx−x2+2，依题意可得−1≤m≤1时f(m)<0恒成立，则{f(1)<0f(−1)<0，即可得到关于x 的一元二次不等式组，解得即可；解：因为x2−2>mx，所以mx−x2+2<0令f(m)=mx−x2+2，即f(m)<0在|m|≤1恒成立，即−1≤m≤1时f(m)<0恒成立，所以{f(1)<0f(−1)<0，即{x−x 2+2<0−x−x2+2<0，解x−x2+2<0得x>2或x<−1；解−x−x2+2<0得x>1或x<−2，所以原不等式组的解集为x∈(−∞,−2)∪(2,+∞)所以答案是：(−∞,−2)∪(2,+∞)13、已知−1<x+y<4,2<x−y<4，则3x+2y的取值范围是_____．答案：(−32,12)解析：利用换元法，结合不等式的性质进行求解即可.设x+y=m,x−y=n，因此得：x=m+n2,y=m−n2，−1<m<4,2<n<4，3x+2y=3⋅m+n2+2⋅m−n2=5m2+n2，因为−1<m<4,2<n<4，所以−52<5m2<10,1<n2<2，因此−32<5m2+n2<12，所以−32<3x+2y<12.所以答案是：(−32,12)14、关于x的不等式x2−4x+4a≥a2在[1,6]内有解，则a的取值范围为________．答案：[−2,6]分析：根据不等式有解可得当x∈[1,6]时，a2−4a≤(x2−4x)max，结合二次函数的最值可求得结果. ∵x2−4x+4a≥a2在[1,6]内有解，∴a2−4a≤(x2−4x)max，其中x∈[1,6]；设y=x2−4x(1≤x≤6)，则当x=6时，y max=36−24=12，∴a2−4a≤12，解得：−2≤a≤6，∴a的取值范围为[−2,6].所以答案是：[−2,6].解答题15、若0<a<b，则下列不等式哪些是成立的？若成立，给予证明；若不成立，请举出反例.（1）a+1b <b+1a；（2）a2+1a2≥a+1a；（3）a2b +b2a>a+b.答案：（1）正确，证明见解析；（2）正确，证明见解析；（3）正确，证明见解析. 解析：(1)作差分解因式，即可得出答案；(2)作差分解因式，即可得出答案；(3)用基本不等式，即可得出答案.（1）正确a+1b −b−1a=(a−b)(1+1ab)<0（2）正确a2+1a2−(a+1a)=(a+1a)2−(a+1a)−2=(a+1a−2)(a+1a+1)≥0（3）正确a2b +b>2a,b2a+a>2b∴a2b+b2a+a+b>2a+2b∴a2b+b2a>a+b小提示：本题考查证明不等式，一般采用作差法、作商法、基本不等式，属于容易题.。