指数分布场合下步进应力加速寿命试验的极大似然估计

a-
b<
i
exp
- e- a
( tij - τi - 1) e - b<i +
Δ e i - 1
h =1
h - bφh
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第 3 期 费鹤良等 :指数分布场合下步进应力加速寿命试验的极大似然估计
399
假定 1 在正常应力水平 s0 和加速应力水平 s1 < s2 < … < sk 下产品的寿命都服从指数 分布 ,在应力 si 下产品的寿命分布为 : Fi ( t) = 1 - e - t/θi , t ≥0 ,θi > 0 是平均寿命.
Δ e i - 1
h =1
h - b<h
∑ - e - a ( n - r) (τk - τk - 1) e - b<k +
Δ e k - 1
h =1
h - b<h
∑ ∑ = - ra - b
k i =1
ri<i
-
e- a
k i =1
uie -
bφi
,
由对数似然方程可知
得到
∑ 5lnL
5a
=-
r + e- a
400
应 用 数 学 2004
∑ ·exp - e - a (τk - τk - 1) e - b<k +
Δ e k - 1
h =1
h - b<h
n- r
.
对数似然函数为
∑ ∑ ∑ lnL =
k i =1
ri j =1
(-
a-
b<i) - e - a
( tij - τi - 1) e - b<i +
∑ =
ri j =1
(
t ij
ti - 1 , ri- 1 , ui =
- τi - 1) +
∑ri j =1
(
t ij
-
∑ ti
-
1
,
ri
-
)
1
+ Δi
n-
i
j = 1 rj
, i = 1 , …, k .
引理[9] 用上面的记号
(i) 对于 k 步定数截尾步加试验有 E ( ui) = rθi i , i = 1 , …, k ;
应 用 数 学 MATHEMATICA APPLICATA 2004 ,17 (3) :398～404
Ξ
指数分布场合下步进应力加速
寿命试验的极大似然估计
费鹤良1 ,张学新2
(1. 上海师范大学数理信息学院 ,上海 200234 ;2. 衡阳师范学院数学系 ,湖南 衡阳 421008)
摘要 :本文首先给出了指数分布场合下步进应力加速寿命试验定时和定数截尾的 MLE 的存在和唯一的充要条件 ,然后给出了正常应力下平均寿命的近似置信区间 , 最后用随机模拟的方法研究了 MLE 的点估计的偏性和均方误差 ,近似置信区间覆盖 真值的比率并与其它方法作了比较. 关键词 :指数分布 ;充要条件 ;样本截尾 ;极大似然估计 ;步进应力加速寿命试验 中图分类号 :O213. 2 AMS( 2000) 主题分类 :62N05 ;62F10 文献标识码 :A 文章编号 :100129847 (2004) 0320398207
以减少或避免出现倒挂数据的现象.
(iii) 正常应力水平下平均寿命θ0 的极大似然估计
由加速方程可知 ,正常应力水平 s0 下参数θ0 的 MLE 为
θ^ 0 = e ^a + ^b<( s0) .
(7)
3. 正常应力水平下平均寿命θ0 的区间估计
(i) Fisher 信息矩阵. 由对数似然函数 lnL 可知
假定 2 产品的平均寿命θi 与所加应力水平 si 有如下关系 : lnθi = a + b<( si) , i = 1 , …, k , 其中 a , b 是未知参数 , b > 0 , <( s) 是应力 s 的已知的减函数 ,当应力是温度时 , <( s) =
1/ s , 此时模型为阿伦尼斯模型 ,当应力 s 是电压时 , <( s) = ln (1/ s) , 此时模型为逆幂律模
…,Δi - 1 折算到应力水平
s
i
下的试验时间为Δje
b
(
<
i
-
<)
j
,j
=
1 ,2 ,
…,
i
-
1. 记 应 力 si 下 的 总 试 验 时 间 为 ui , 对 定 时 截 尾 试 验 ui
∑ Δi n -
i
j = 1 rj
, 对定数截尾试验 τi = tiri , t0 r0 = 0 ,Δi = ti , ri -
j =1
,τi - 1 < t ≤τi , i = 1 , …, k .
n 个产品进行 k 步步加试验 ,其似然函数为
∏ ∏ L =
k i =1
ri j =1
f0
(
tij)
[1 -
F0 (τk) ] n - r.
再由前面的寿命分布和相应的概率密度函数可知
∏ ∏ ∑ L =
k i =1
ri j=
1e
-
0. 引言 近年来 ,已有一些文献讨论了步加试验数据的统计分析方法 ,在点估计方面 ,文献[ 1 ]在指 数分布场合给出了定数截尾样本的统计分析方法 ,文献[ 2 ]则对定数截尾情况下的步加试验数 据给出了一种优于文[ 1 ]的统计分析方法 ,文献[ 325 ]提出了极大似然估计方法 ,但论述区间估 计的很少 ,文[ 6 ]对交叉步加试验得到的定数截尾样本 ,用枢轴量方法给出了正常应力下产品 可靠性指标的置信区间 ,但是枢轴量的分布复杂 ,只能用 Monte2carlo 方法求其近似分位数 ,文 [ 7 ]对逆幂律2指数模型步加试验给出了参数的一种精确置信区间估计方法 ,文[ 8 ]把定时转换 步加试验数据 ,通过两个次序统计量的差转化为定数截尾恒加试验数据 ,用正态分布去近似参 数估计的分布. 本文首先给出了指数分布场合下步进应力加速寿命试验定时和定数截尾的 MLE 的存在 和唯一的充要条件 ,然后给出了正常应力下平均寿命的近似置信区间 ,最后用随机模拟的方法 研究了 MLE 的点估计的偏性和均方误差 ,近似置信区间覆盖真值的比率并与其它方法作了比 较.
k i =1
uie -
bφi
= 0,
∑ e - a =
r
k i =1
uie -
b<i
,
(1)
和
得到
∑ ∑ 5lnL
5b
=-
k i =1
ri <i
+ e-
a
k i =1
ui<ie -
b<i
= 0,
e- a =
k
∑i
k
∑i =1
=1 ri<i ui<ie -
.
b<i
(2)
由 (1) , (2) 有
k
∑i =1
(i) 步加试验下产品的寿命分布
由假定 1 ,2 和 3 可知产品在步加试验下的寿命分布函数为
i- 1

∑ F0 ( t) = 1 - exp - e - a t - τi - 1 +
Δe e j b ( <i - <j)
- b<i
j =1
= 1 - exp - e - a 相应的概率密度函数为 :
i- 1
∑ ∑ 52lnL
5 a2
=-
e-
k a
i =1
uie -
b<i
,
52lnL 5 a5 b
=-
k
e- a
ui<ie - b<i ,
i =1
Fisher 信息矩阵 I (β) 为
∑ 52lnL
5 b2
=-
k
e- a
ui<2ie - b<i .
i =1
I (β) =
E
-
52lnL 5 a2
E
-
52l n L 5 a5 b
lim g ( b)
b →0 +
=
k
∑i
=1 k
ui<i
,
<k
∑i =1 ui
<
lim
b →0 +
g ( b)
< <1 ,
lim g ( b)
b →+ ∞
=
uk<k +
uk +
∑ < e k - 1 i =1 ui
i
b ( <k - <i)
∑k i =1
uie b ( <k -
<i)
= <k .
∑ 根据介值性定理 ,当 limb →0+ g ( b)
E
-
52lnL 5 a5 b
,
E
-
52l n L 5 b2
这里 , β = a . 对定数截尾 ,由引理 (i) 有
b
I (β) =
∑k i = 1 ri
∑k i =1
ri<i
∑k i=
1
ri<i
.
∑k i=
1
ri<2i
对定时截尾 ,由引理 (ii) 有
I (β) = n
∑k i =1Ai