用应力函数法求功能梯度梁的弹性理论解

第３２卷第４期校金友等用应力函数法求功能梯度梁的弹性理论解１９阵ｓ为
ｆ１一”一。

０１ｓ－器ｆ一卜ｗｏ（７）【００２Ｊ
将上式中ｓ，（ｉ，ｊ＝ｌ，３，５）代人式（６）可得
窘埘窘＋Ａ２窘＋ｚ鲁埘丢等拼Ｔ≥窘＋窘＝ｏ
（ｓ）此即平面应变问题应力函数形式的相容方程。

若令Ａ＝０，即得到了均匀材料的相容方程【９】。

若用＂替换”，（１一ｕ），即得到平面应力问题对应的相容方程。

由此可见，对功能梯度材料结构，在各向同性假设下，由于其应力与材料参数有关，即使边界条件和受载完全相同，平面应变和平面应力两种状态下的应力也是不同的。

这～点与匀质材料不同…。

设函数∞有如下形式妒（ｘ，：）可（。

）ｓｉｎ缸
（９）
式中ｆ＝ｎ叮ｒ化，ｎ＝ｌ，２，…。

式（９）代人式（８）得参埘磐砌２一弩）誓胁护誓＋（黝２告＋Ｐ垆ｏ
（１０）令
血隅，叩跏，三：肛
１则方程（１０）的解为，（泳ｅ宇［如础譬ｃ。

ｓ譬“舢＾等ｓｉｎ譬岷ｓｉｎ＾芋ｃ。

ｓ譬＋蛐ｎ譬ｓｉｎ譬］（１２）式中“和口可由方程（１０）的特征方程求得（；）＝、／｝［ｔｃ，＋锄２，＋￣／石≮石了≮面话］
ｃ
・ｓ，％．（ｉ＝１，２，３，４）为待定系数，可由上、下表面边界条件来确定。

显然，ａ和厣只与组合参数卵＝鲍有关，而与单独的ｎ，＾或Ｌ无关。

故函数，（ｊ）也只与孔有关。

４简支ＦＧＭ梁的解在０∞平面内，考虑长Ｌ，厚ｈ，ｙ向单位尺度的ＦＧＭ粱。

设梁两端（ｚ＝０，Ｌ）简支，故叫（０，ｚ）＝训（Ｌ，ｚ）＝０，口ｋ（Ｏ，ｏ）＝口ｋ（工，＝）＝Ｏ
（１４）上表面自由，下表面（。

＝Ｏ）受分布力ｐ（：）＝ｐ庐ｉ《ｘ，故
吼（ｚ，０）＝＿Ｐ（Ⅳ）＝．ｐ颢蜡ｚ，以（ｘ，＾）＝ｋ（ｚ，＾）＝ｋ（＊，０）＝０
（１５）遍意义。

将式（９）代人式（５），Ｈｒ得应力函数式（９）对应的应力分量凡矿７（：）ｓｊ岵＊，以＝一毋ｋ）ｓｉ蟮ｚ，％＝一扩（ｚ）ｃｏｓ缸
（Ｊ６）式中（・）７表示对ｚ求一阶导数。

边界条件式（１５）代入上式，联立可解得％。

，于是得到了，（ｚ）的表达式，进一步可求出，（ｚ）、，”（：）、，，７（ｚ），所有结果见附录。

现假设ＦＧＭ简支梁有如下形式的位移场
Ｈ（ｚ，＝）＝ｕ（ｚ）ｃｏ《ｚ，川（ｚ，ｚ）＝矽（：）ｓｉ蟮＊（１７）此位移场自然满足端部边界条件（１４）。

式（１７）代入式（１），求出应变分量后，联立式（３）和（１６）可解得
２０强度与环境２００５年“＝一壶裔扩’＋芒∥）ｃ。

＠，ｗ＝手；茜旷一Ａ，’＋鲁∥’一Ｔ≥Ａ期ｓｉｒ豇（１８）至此，求得了正弦分布力作用下的ＦＧＭ梁所有应力和位移分量的解析表达式，即式（１６）和（１８）。

将这些位移和应力分量对ｎ＝１，２，…求和，最终可以得出任意横向力作用下的ＦＧＭ梁位移和应力的弹性理论解。

５ＦＧＭ梁变形分析
考虑Ｌ＝１ｍ．＾／Ｌ＝１，２，材料泊松比口０．２５的ＦＧＭ简支深梁。

通过式（１３）的分析可知，如果把¨、Ⅲ和％用；＝＾处的相应值来无量纲比，如和ｋ分别用ｐ（ｚ）和截面上的平均剪力无量纲化，则无量纲应力和位移驴。

、孑。

、ｉ。

、ｉ和面只与组合参数叩＝孔和Ａ有关，而与ｎ，＾或Ｌ无关（这与文［３］的结论相同）。

其实，当ｎ＝ｌ时，相当于半个波长的正弦载荷作用在高＾、长Ｌ的梁上；当ｎ＞１时，相当于每半个波长的正弦载荷作用在高＾、长￡／ｎ的梁上。

因此，对给定的跏（即＾肛＝∥（￡如）），当加载状况相同时．上述两种情况下的无量纲位移和应力应是相同的。

这一结论等价于：对给定的参数ｘ，任意载荷作用下的ＦＧＭ梁的无量纲应力和位移只与其高跨比＾肛有关。

为了简化计算，取ｎ＝１。

计算Ｂ儡＝１０，ｌ，０．１（即Ａ＞０、＾＝０、Ａ＜０）三种状态下，ｉ、厅。

和ｉ。

沿ＦＧＭ粱厚度的分布情况（Ｂ／玩＝ｌ为均质情况）。

为探讨ＦＧＭ粱＾儿对上述参数的影响情况，每种情况分别计算四次，即铷＝Ｏ．５，１，２，３。

图１为不同日儡下，无量纲位移ｉ沿厚度的变化情况。

可见，当孔＜０．５（约有彬Ｌ＜１／５）时，无论
是ＦＧＭ粱。

还是匀质梁。

均能够近似满足经典梁理论平截面假设。

随着舰的增大，截面翘曲趋于严重。

ｉ：ｌｉ：｝稚１（ａ）最，岛＝０．１（ｂ）Ｂ，晚＝１（ｃ）矗，昂：１０
图ｌ不同弘值下ｎ沿高度的变化规律
由图２可见，ＦＧＭ梁弯曲变形时，Ｅ较大一面（即硬面）会出现轴向应力集中。

从图３中％的分布情况可见，由于假设泊松比ｗ为常值，ＦＧＭ梁截面的切应力峰值总靠近硬面，而且相对匀质梁增大了。

（ａ）Ｂ，Ｂ＝０．１（ｂ）Ｅ，玩＝ｌ（ｃ）Ｂ，岛＝１０
图２不同秘值下厅。

沿高度的变化规律
３８强度与环境２００５年
及与无激光束作用下的情况进行比较．可知：
（１）不考虑热应力效应，仅考虑热软化的影响时，圆柱壳结构的固有频率会减小，并且在热软化区域，波形的峰值会有所增加：而在考虑热应力效应时．在热软化区域，波形的峰值相反会减小。

（２）在考虑热应力效应时，结构固有频率的增减取决于张力的影响是否大于边界压力与热软化的影响。

（３）随着温度的上升以及热软化现象的加剧，圆柱壳结构会先产生局部振动，而后再发生局部振动与整体振动相耦合的振动形式。

因此．强激光辐照引起的材料热软化现象是导致圆柱薄壳固有频率下降的主要原因，随着热软化现象的加剧，这种趋势会更加明显。

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