第一讲解直角三角形A班

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《数学解直角三角形》课件

余弦定理
正切定理
sinA = opposite / hypotenuse cosA = adjacent / hypotenuse tanA = opposite / adjacent
计算周长和面积
周长
周长 = a + b + c（三个边长）
面积
面积 = 1/ 2 * a * b（两条腰的乘积）
通过三角函数计算边长
例题1
已知直角三角形的一条腰长为3，另一条腰长为4，求斜边的长度和锐角的大小。
应用例题2 ：求角度、高和周长
例题2
已知直角三角形的斜边长为5，高为3，求角度和周长。
应用例题3：利用特殊三角形求解
例题3
已知直角三角形的一个角度为30°，斜边长为10，求腰和高的长度。
应用例题4：计算角度和边长
例题4
45度特殊三角形
边长比为1：1：√2，角度为 45°、45°。
60度特殊三角形
边长比为2：1：√3，角度为 60°、30°。
利用特殊三角形计算
计算边长
可以使用特殊三角形的边长比例来计算其他边长。
计算高
可以使用特殊三角形的高比例来计算高的长度。
三角函数的应用
测量不可达的高度
使用三角函数可以通过测量倾斜角度和已知距离来计算高度。
腰是直角三角形中不是斜边的一条边。
斜边
斜边是直角三角形的最长边。
高
高是从直角角顶点到斜边上一点的垂直距离。
三角函数的定义
正弦
正弦是直角三角形中对于某个锐角的斜边与斜边的比值。
余弦
余弦是直角三角形中对直角三角形中对于某个锐角的腰与对边的比值。
三角函数的关系式
正弦定理

《解直角三角形》教学课件

利用正弦、余弦函数的定义和勾股定理，可以分别求出斜边c和另一直角边b 的长度。
sin60°=a/c，即√3/2=4/c b=√(c²-a²)=√(4.62²-
，解得c≈4.62。
4²)≈2.31。
本题主要考察了解直角三角形中已知一边一角求其他元素的方法，通过正弦、余弦函数的定义和勾股定理进行求解。在实际应用中，还可以利用正切等三角函数进行求解。
加强公式应用训练
通过大量的练习题，让学生熟练掌握解直角三角形的相关公式，并能够正确应用。
提高计算准确性
鼓励学生进行反复练习，提高计算速度和准确性。同时，教师可以提供一些计算技巧和方法，帮助学生更好地进行计算。
提高计算准确性和效率策略
使用科学计算器
鼓励学生使用科学计算器进行计算，以提高计算效率和准确性。
《解直角三角形》教学课件
目录
• 直角三角形基本概念与性质 • 解直角三角形方法论述 • 典型例题分析与解答 • 学生常见错误及纠正方法 • 拓展延伸：三角函数在解直角三角形中应
用 • 总结回顾与课堂互动环节
01
直角三角形基本概念与性质
直角三角形的定义
01
有一个角为90度的三角形称为直角三角形。
学生自我评价报告分享
学习成果展示
学生可以通过绘制思维导图、制作海报或写学习报告等方式，展示自己的学习成果，包括掌握的知识点、解题技巧和学习心得等。
学习反思与改进
学生可以反思自己在学习过程中的不足和遇到的困难，提出改进措施和学习计划，以便更好地掌握解直角三角形的相关知识和技能。
教师点评及建议
典型例题三：综合应用问题
01
02
03
04

解直角三角形完整版PPT课件

余弦或正切函数计算得出。
已知一边和一角求另一边
02
在直角三角形中，已知一边长和一个锐角大小可以求出另一边
长，通过正弦、余弦或正切函数计算得出。
解直角三角形的实际应用
03
例如测量建筑物高度、计算航海距离等。
三角函数在实际问题中应用
测量问题
在测量问题中，可以利用三角函数计算高度、距离等未知量。例如，利用正切函数可以计算山的高度或者河的宽度。
直角三角形重要定理
勾股定理
如上所述，勾股定理描述了直角三角形三边之间的数量关系。
射影定理
相似三角形判定定理
若两个直角三角形的对应角相等，则这两个直角三角形相似。根据此定理，可以推导出一些重要的直角三角形性质和定理。
射影定理涉及直角三角形中斜边上的高与斜边及两直角边之间的数量关系。
02
三角函数在解直角三角形中应用
• 性质：正弦、余弦函数值域为[-1,1]，正切函数值域为R；正弦、余弦函数在第一象限为正，第二象限正弦为正、余弦为负，第三象限正弦、余弦都为负，第四象限余弦为正、正弦为负；正切函数在第一、三象限为正，第二、四象限为负。
利用三角函数求边长和角度
已知两边求角度
01
在直角三角形中，已知两边长可以求出锐角的大小，通过正弦、
注意单位换算和精确度
在求解过程中，要注意单位换算和精确度的控制，避免因单位或精度问题导致答案错误。
拓展延伸：非直角三角形解法简介
锐角三角形和钝角三角形的解法
对于非直角三角形，可以通过作高线或利用三角函数等方法将其转化为直角三角形进行求解。
三角形的边角关系和面积公式
了解三角形的边角关系和面积公式，有助于更好地理解和解决非直角三角形问题。

解直角三角形ppt课件

经济学中的复利计算
在经济学中，经常需要进行复利计算。虽然复利计算本身与解直角三角形没有直接关系，但是可以通过构造类似直角三角形的数学模型并求解，得到复利计算的精确结果。
06
解直角三角形的拓展与延伸
斜三角形的解法探讨
斜三角形的定义与性质
斜三角形是指一个三角形中不包含直角的情况。其性质包括三角形的内角和为180度，以及三边关系等。
工程问题中的解直角三角形
土木工程中的坡度计算
在土木工程中，经常需要计算坡度，即斜坡的倾斜程度。通过构造直角三角形并求解，可以得到精确的坡度值。
机械工程中的力学分析
在机械工程中，经常需要对物体进行力学分析。通过构造直角三角形并利用三角函数求解，可以得到物体受到的力的大小和方向。
电气工程中的相位差计算
在电气工程中，经常需要计算两个交流信号之间的相位差。通过构造直角三角形并求解，可以得到精确的相位差值。
其他实际问题中的解直角三角形
航海问题中的航向和航程计算
在航海问题中，经常需要计算航向和航程。通过构造直角三角形并求解，可以得到精确的航向和航程值。
物理学中的矢量合成与分解
在物理学中，经常需要对矢量进行合成与分解。通过构造直角三角形并利用三角函数求解，可以得到合成或分解后的矢量的大小和方向。
在直角三角形中，已知任意两边长，可以利用勾股定理求出第三边长。
已知角度和一边求另一边
在直角三角形中，已知一个锐角和一条边长，可以利用三角函数和勾股定理求出另一条边长。
勾股定理在实际问题中的应用
测量问题
在测量问题中，可以利用勾股定理解决距离、高度等测量问题。
工程问题
在工程问题中，可以利用勾股定理解决角度、长度等计算问题。

解直角三角形及其应用--知识讲解

解直角三角形及其应用—知识讲解【学习目标】1．了解解直角三角形的含义，会综合运用平面几何中有关直角三角形的知识和锐角三角函数的定义解直角三角形；2．会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题．【要点梳理】要点一、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：，，，，，.④，h为斜边上的高.要点诠释：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.要点二、解直角三角形的常见类型及解法已知条件解法步骤Rt△ABC 两边两直角边(a，b)由求∠A，∠B=90°－∠A，斜边，一直角边(如c，a)由求∠A，∠B=90°－∠A，一边一一直角边和一锐角锐角、邻边(如∠A，b)∠B=90°－∠A，，角锐角、对边 (如∠A ，a)∠B=90°－∠A ，，斜边、锐角(如c ，∠A)∠B=90°－∠A ，，要点诠释：1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.要点三、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键. 解这类问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形. (4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解. 拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念： (1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h 和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA ，PB ，PC 的方位角分别为是40°，135°，245°.(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA ，OB ，OC ，OD 的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.要点诠释：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.【典型例题】类型一、解直角三角形1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，根据下列条件，解这个直角三角形．(1)∠B=60°，a ＝4； (2)a ＝1，3b =．【答案与解析】(1)∠A ＝90°－∠B ＝90°－60°＝30°．由tan bB a =知，tan 4tan6043b a B ==⨯=°．由cos a B c =知，48cos cos 60a c B ===°． (2)由tan 3bB a==得∠B ＝60°，∴ ∠A ＝90°-60°＝30°．∵ 222a b c +=，∴ 2242c a b =+==．【总结升华】解直角三角形的两种类型是：(1)已知两边；(2)已知一锐角和一边．解题关键是正确选择边角关系．常用口诀：有弦(斜边)用弦(正弦、余弦)，无弦(斜边)用切(正切)． (1)首先用两锐角互余求锐角∠A ，再利用∠B 的正切、余弦求b 、c 的值；(2)首先用正切求出∠B 的值，再求∠A 的值，然后由正弦或余弦或勾股定理求c 的值．举一反三：【高清课程名称：解直角三角形及其应用高清ID 号：395952 关联的位置名称（播放点名称）：例1（1）-（3）】【变式】（1）已知∠C=90°，a=23，b=2 ，求∠A 、∠B 和c ；（2）已知sinA=23, c=6 ，求a 和b ；【答案】（1）c=4；∠A=60°、∠B=30°；（2）a=4；b=252．（2016•包头）如图，已知四边形ABCD 中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC 的延长线与AD 的延长线交于点E ．（1）若∠A=60°，求BC 的长；（2）若sinA=，求AD 的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）【思路点拨】（1）要求BC 的长，只要求出BE 和CE 的长即可，由题意可以得到BE 和CE 的长，本题得以解决；（2）要求AD 的长，只要求出AE 和DE 的长即可，根据题意可以得到AE 、DE 的长，本题得以解决．【答案与解析】解：（1）∵∠A=60°，∠ABE=90°，AB=6，tanA=，∴∠E=30°，BE=tan60°•6=6，又∵∠CDE=90°，CD=4，sinE=，∠E=30°，∴CE==8，∴BC=BE ﹣CE=6﹣8；（2））∵∠ABE=90°，AB=6，sinA==，∴设BE=4x ，则AE=5x ，得AB=3x ， ∴3x=6，得x=2，∴BE=8，AE=10， ∴tanE====，解得，DE=，∴AD=AE ﹣DE=10﹣=，即AD 的长是．【总结升华】本题考查解直角三角形，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数进行解答．类型二、解直角三角形在解决几何图形计算问题中的应用3．如图所示，BC 是半圆⊙O 的直径，D 是AC 的中点，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点E ，(1)求证：△ABE ∽△DBC ； (2)已知BC ＝52，CD ＝52，求sin ∠AEB 的值； (3)在(2)的条件下，求弦AB 的长．【答案与解析】(1)∵ AD CD =，∴ ∠1＝∠2，又BC 是⊙O 的直径，∴ ∠BAC ＝∠BDC ＝90°． ∴ △ABE ∽△DBC ．(2)由△ABE ∽△DBC ，∴ ∠AEB ＝∠DCB ．在Rt △BDC 中，BC ＝52，CD ＝52， ∴ BD ＝225BC CD -=， ∴ sin ∠AEB ＝sin ∠DCB ＝525552BD BC ==． (3)在Rt △BDC 中，BD ＝5，又∠1＝∠2＝∠3，∠ADE ＝∠BDA ，∴ △AED ∽△BAD ． ∴AD DE DB AD=，∴ 2AD DE DB =．又∵52CD AD==，∴ CD2＝(BD－BE)·BD，即25(5)52BE⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭，∴354BE=．在Rt△ABE中，AB＝BEsin∠AEB＝32355452⨯=．【总结升华】本题综合了三角函数、相似三角形、勾股定理、圆等方面知识，尤其涉及三角函数问题，都是通过找出或构造直角三角形来解决问题． (1)根据圆周角定理易证△ABE∽△DBC．(2)利用(1)的结论，将∠AEB转化为Rt△BCD中的DCB∠．(3)在Rt△ABE中求AB．举一反三：【高清课程名称：解直角三角形及其应用高清ID号：395952关联的位置名称（播放点名称）：例2】【变式】如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长为多少?【答案与解析】解：作DE⊥AB于E，如图，∵∠C=90°，AC=BC=6，∴△ACB为等腰直角三角形，AB=AC=6，∴∠A=45°，在Rt△ADE中，设AE=x，则DE=x，AD=x，在Rt△BED中，tan∠DBE==，∴BE=5x，∴x+5x=6，解得x=，∴AD=×=2．类型三、解直角三角形在解决实际生活、生产问题中的应用4．某过街天桥的截面图为梯形，如图所示，其中天桥斜面CD 的坡度为1:3i =（i ＝1:3是指铅直高度DE 与水平宽度CE 的比)，CD 的长为10 m ，天桥另一斜面AB 的坡角∠ABC ＝45°．(1)写出过街天桥斜面AB 的坡度； (2)求DE 的长；(3)若决定对该过街天桥进行改建，使AB 斜面的坡度变缓，将其45°坡角改为30°，方便过路群众，改建后斜面为AF ，试计算此改建需占路面的宽度FB 的长(结果精确到.0.01 m)．【答案与解析】(1)作AG ⊥BC 于G ，DE ⊥BC 于E ，在Rt △AGB 中，∠ABG ＝45°，AG ＝BG ． ∴ AB 的坡度1AGi BG'==． (2)在Rt △DEC 中，∵ 3tan 3DE C EC ∠==，∴ ∠C ＝30°．又∵ CD ＝10 m ．∴ 15m 2DE CD ==． (3)由(1)知AG ＝BG ＝5 m ，在Rt △AFG 中，∠AFG ＝30°，tan AG AFG FG ∠=，即3535FB =+，解得535 3.66(m)FB =-=．答：改建后需占路面的宽度FB 的长约为3.66 m ．【总结升华】（1）解梯形问题常作出它的两条高，构造直角三角形求解．（2）坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比，它等于坡角的正切值．5．腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑．为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C ，利用三角板测得雕塑顶端A 点的仰角为30°，底部B 点的俯角为45°，小华在五楼找到一点D ，利用三角板测得A 点的俯角为60°(如图所示)．若已知CD 为10米，请求出雕塑AB 的高度．(结果精确到0.1米，参考数据3＝1.73)．【答案与解析】过点C 作CE ⊥AB 于E ．∵ ∠D ＝90°－60°＝30°，∠ACD ＝90°－30°＝60°， ∴ ∠CAD ＝180°－30°－60°＝90°．∵ CD ＝10，∴ AC ＝12CD ＝5．在Rt △ACE 中，AE ＝AC ·sin ∠ACE ＝5×sin 30°＝52， CE ＝AC ·cos ∠ACE ＝5×cos 30°＝532，在Rt △BCE 中，∵ ∠BCE ＝45°， ∴ 5553(31)222AB AE BE =+=+=+≈6.8(米)． ∴ 雕塑AB 的高度约为6.8米．【总结升华】此题将实际问题抽象成数学问题是解题关键，从实际操作（用三角形板测得仰角、俯角）过程中，提供作辅助线的方法，同时对仰角、俯角等概念不能模糊．。

解直角三角形(共30张)PPT课件

比例性质应用
利用相似三角形中对应边之间的比例关系进行计算。
实际应用举例
测量问题
利用相似三角形原理解决测量中的实际问题，如测量建筑物高度、河宽等。
航海问题
在航海中，利用相似三角形原理解决船只定位、航向确定等问题。
物理问题
在物理实验中，利用相似三角形原理解决光学、力学等问题，如光的折射、力的合成与分解等。
利用相似三角形求边长
通过已知边长和相似比，可以求出未知边长。
利用相似三角形求角度
通过已知角度和相似关系，可以求出未知角度。
利用相似三角形求面积
通过已知面积和相似比，可以求出未知面积。
相似比计算方法和技巧
01
02
03
直接计算法
根据已知条件直接计算相似比。
间接计算法
通过引入辅助线或构造特殊图形来计算相似比。
解直角三角形(共30张)PPT课件
目录
• 直角三角形基本概念与性质 • 解直角三角形方法论述 • 三角函数在解直角三角形中应用 • 相似三角形在解直角三角形中作用
目录
• 复杂图形中解直角三角形策略探讨 • 拓展延伸：非直角三角形解法探讨
01
直角三角形基本概念与性质
直角三角形定义及特点
有一个角为90度的三角形称为直角三角形。
案例三
在三角形中解直角三角形问题。通过作高线构造直角三角形，并
结合相似性质进行求解。
总结归纳与提高建议
总结归纳
在复杂图形中解直角三角形的关键在于构造直角三角形并利用已知条件进行推理和计算。通过添加辅助线、利用相似性质和三角函数关系等方法，可以有效地解决这类问题。
提高建议
为了更好地掌握解直角三角形的技巧和方法，建议多做相关练习题并总结归纳经验。同时，也可以学习一些高级的数学知识和技巧，如三角函数恒等式、极坐标等，以便更好地应对复杂的数学问题。

解直角三角形-教学课件

2
20
中考连线
变式题
已知：在△ABC中， cosB=
2 2
， sinＣ=
3 5
，
AC=5.则△ABC 的面积是（Ａ）
Ａ
Ａ. 21
Ｂ. １２
2
Ｂ
Ｃ
Ｃ. １４Ｄ．２１
21
课堂小结
我今天学习了。。。。。我今天收获了........ 我还有些困惑…….
在遇到解直角三形的问题时，最好先画一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的。以利于分析解决问题选取关系式时要尽量利用原始数据，以防止“累积错误”
解这个直角三角形.
√ BC √ 解:∵tanA=
√ AC
=
6 2=
3
A
∴∠ A= 60°

√2
∟
∠B = 90°－∠ A= 90°－60°= 30°.
C
B
√6
√ AB=2AC=2 2
你还有其他方法求出ＡＢ吗？
小试身手
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形：a=1，b= 3
14
A
B
C
17
心中有数中考知识清单
考点1：直角三角形的边角关系考点2：特殊三角函数值及三角函数关系式考点3：解直角三角形的应用
18
中考连线
① 身高相等的四名同学甲、乙、丙、丁参加风筝比赛，四人
放出风筝的线长、线与地面的夹角如下表（假设风筝线是拉直的），则四名同学所放的风筝中最高的是（ D ）
28.2.1 解直角三角形
1
⒈
温故知新
三角函数角α
sinα cosα
tanα

《解直角三角形》课件

《解直角三角形》PPT课件
欢迎观看《解直角三角形》PPT课件！本课件将帮助您理解直角三角形的定义、性质以及三角函数的计算方法，并探讨了特殊角的三角函数值和应用场景。
一、直角三角形概述
定义
直角三角形是一种具有一个直角（90度）的三角形。
基本性质
直角三角形满足勾股定理，即两个直角边的平方和等于斜边的平方。
2. 45°角的三角函数值
在45°角中，正弦值、余弦值和正切值均相等。
四、应用
1
1. 求边长
根据已知角度及所对边长求斜边长度，可以使用三角函数来计算。
2
2. 求角度
根据已知边长及所对角度求角度的值，可以使用三角函数来计算。
五、总结
直角三角形及其三角函数的基本概念和计算方法
重性及应用场景简述
直角三角形和三角函数在工程、物理和地理等领域中有广泛的应用。
二、直角三角形中的三角函数
1. 正弦函数
正弦函数是一个三角函数，定义为对边与斜边的比值。
2. 余弦函数
余弦函数是一个三角函数，定义为邻边与斜边的比值。
3. 正切函数
正切函数是一个三角函数，定义为对边与邻边的比值。
三、特殊角的三角函数值
1. 30°角和60°角的三角函数值
在30°和60°角中，正弦值、余弦值和正切值具有特殊的数值。

《解直角三角形》讲义

《解直角三角形》讲义一、直角三角形的基本概念直角三角形是指有一个角为 90 度的三角形。

在直角三角形中，直角所对的边称为斜边，其余两条边称为直角边。

我们通常用符号“Rt△”来表示直角三角形。

例如，Rt△ABC 表示三角形 ABC 是直角三角形。

二、解直角三角形的定义解直角三角形，就是由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程。

三、直角三角形的边角关系1、正弦（sin）：在直角三角形中，锐角的正弦等于对边与斜边的比值。

例如，在 Rt△ABC 中，∠C ＝ 90°，∠A 的正弦表示为 sinA ＝BC/AB。

2、余弦（cos）：锐角的余弦等于邻边与斜边的比值。

对于∠A，cosA ＝ AC/AB。

3、正切（tan）：锐角的正切等于对边与邻边的比值。

∠A 的正切为 tanA ＝ BC/AC。

这些三角函数的值只与角度的大小有关，而与三角形的大小无关。

四、特殊角的三角函数值我们需要牢记一些特殊角（30°、45°、60°）的三角函数值，这在解题中经常会用到。

1、 30°角：sin30°＝ 1/2，cos30°＝√3/2，tan30°＝√3/3。

2、 45°角：sin45°＝√2/2，cos45°＝√2/2，tan45°＝ 1。

3、 60°角：sin60°＝√3/2，cos60°＝ 1/2，tan60°＝√3。

五、解直角三角形的依据1、三边之间的关系（勾股定理）：a²＋ b²＝ c²（其中 a、b 为直角边，c 为斜边）2、两锐角之间的关系：∠A ＋∠B ＝ 90°3、边角之间的关系：sinA ＝ a/c，cosA ＝ b/c，tanA ＝ a/b 等六、解直角三角形的类型1、已知两条直角边 a、b，求斜边 c 及两个锐角。

解直角三角形课件课件.ppt

二棵树离开地面的高度是多少米？（精确到0.1米）
B
建立数学模型
24º
A
C
5.5米
5.5米
问题1.在直角三角形中，三边之间具有怎样的关系？
在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
B
即:a2+b2=c2
c
a
A
b
C
问题2.直角三角形的两个锐角之间有什么关系?
直角三角形的两个锐角互余。
即:∠A+∠B=90°
AC
BC
AC tanA
重视式子变形
锐角三角函数联系了直角三角形中锐角和边之间
的关系。
1，在直角三角形中共有五个元素：边a,b,c, 锐角 ∠A,∠B.这五个元素之间有如下等量关系：
(1) 三边之间关系： a2 +b2 =c2 (勾股定理)
(2)锐角之间关系： ∠A+∠B=90°
(3)边角之间关系：
正弦函数：
sin
A

A 的对边斜边
a c
余弦函数：
cos
A
A 的邻边斜边
b c
正切函数：
tan
A

A 的对边 A 的邻边
a A b
B
c a
b
C
定义：
在直角三角形中，由已知的一些边、
角求出另一些边、角的过程，叫做解直角三角形。
在直角三角形中，已知几个元素就可以求出其它元素呢？
B
A
C
问题3.直角三角形的角与边之间又有怎样的关系呢？
BABiblioteka C问题3:∠ A的正弦、余弦、正切是怎样
定义的？

初二数学A班讲座材料解直角三角形(修改版)

解直角三角形一、知识摘要1．解直角三角形：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形． 2．解直角三角形常用一下关系：在Rt △ABC 中，∠C = 90°，AB = c ，BC = a ，AC = b （1）三边之间的关系：a 2 + b 2 = c 2 （勾股定理）（2）锐角之间的关系：∠A +∠B = 90° （3）边角之间的关系：（其中A 可以都换成B ）sin A =A ∠的对边斜边cos A =A ∠的邻边斜边tan A =A A ∠∠的对边的邻边cot A =A A ∠∠的邻边的对边利用这些关系，已知其中的2个元素（至少有1个是边），就可以求出其余的3个未知元素． 3．实际应用中常见的术语：仰角，俯角；坡角，坡度（坡比）二、例题讲解例1．在Rt △ABC 中，∠C = 90°，由下列条件解直角三角形：（1）已知abc ；（2）已知a = 20，c，求∠B ；（3）已知c = 30，∠A = 60°，求a ；（4）已知b = 15，∠A = 30°，求a ．例2．如图，∠ABC = 90°，∠ACB = 45°，D 在BC 的延长线上，且CD = CA ，则tan ∠ADB 的值等于（）A1B1CD例3．如图，四边形BCDG 为矩形，∠ABG = 45°，GB = 20米，BC = 4米，tan ∠E ，求EC 的长度.例4．如图，在四边形ABCD 中，AD = CD ，AB = 7，tan A = 2，∠B =∠D = 90°，求BC 的长.A D BC CB例5．如图，在△ABC 中，∠BAC =120°，∠ABC =15°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，求a ：b ：c .例6．如图，在山脚下C 测得山顶A 的仰角为45°，沿着坡角为30°的斜坡前进1000米到达D ，在D 处测得山顶A 的仰角为60°，求山高AB （可保留根号）三、巩固练习1．Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，已知AB = 8，BD = 6，那么tanA 的值是2．如图，在Rt △ABC 中，∠A = 30°，E 为AC 上一点且AE ：EC = 3：1，EF ⊥AB ，F 为垂足，连结FC ，则cot ∠CFB 的值为（）A.B.C.3．如图，已知四边形ABCD 中，AB=4，CD=2，∠A=60°，∠B=∠D=90°，求四边形ABCD 的面积.4．如图，在△ABC 中，∠BAC=120°，AB=10，AC=5，求sinB · sinC 的值.5．如图，D 是AB 上一点且CD ⊥AC 于C ，S △ACD ：S △CDB =2：3，cos ∠DCB=45，AC+CD=18，求tanA 和AB.B DA DCBF6．如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD ，已知坝顶宽为3.6米，一侧的坡度为1：3，另一侧坡角为60°，坝高为4米.求底宽AB 的长.（精确到0.1米）7．如图，某船向正东航行，在A 处望见某岛C 在北偏东60°，前进6海里到B 点.测得该岛在北偏东30°，已知该岛6周围海里内有暗礁.问若船继续向东航行，有无触礁的危险？说明理由?8．在△ABC 中，∠A=30°，tanB=13，AB.9. 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，据气象观测，距沿海某城市A 的正南方向220千米B 处有一台风中心，其中心最大风力为12级.每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30°方向往C 处移动。

9.4解直角三角形第1课时

解直角三角形学习目标：
1、理解解直角三角形的概念 2、会根据三角形中的已知量正确地求未知量 3、体会数学中的“转化” 思想
回顾与思考
在Rt△ABC中，∠C=90°，BC= a, AC=b, AB=c,
a
b
则 sinA＝ c ，sinB= c ，
b
a
cosA= c ， cosB= c ，
A
a
b
tanA= b ， tanB= a 。
A 60. B 90 A 30.
A
2
C
6
B
AB 2AC 2 2.
【例2】如图，在Rt△ABC中，∠B＝35°，b=20，解这
个直角三角形（精确到0.1）
【解析】A 90-B 90-35 55.
tan B b a
a b 20 28.6 tan B tan 35
sin B b
α
A
C
最大高度约是5.8m.
对于问题（2），当梯子底端距离墙面2.4m时，求梯子与地面
所成的角a的问题，可以归结为：在Rt△ABC中，已知AC＝2.4，斜边AB＝6，0.4 AB 6
利用计算器求得
a≈66°
α
A
C
因此当梯子底墙距离墙面2.4m时，梯子与地面
＝90°，AC＝ 3 ．点D为BC边上一点，且BD＝2AD，
∠ADC＝60°求△ABC的周长.（结果保留根号）
5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6， ∠BAC的
平分线 AD 4 3 ，解这个直角三角形。
解：
cos CAD AC 6 3 AD 4 3 2
A
6 43
CAD 30
所成的角大约是66°
由50°＜66°＜75°可知，这时使用这个梯子是安全的．

解直角三角形课件-(版)

解直角三角形的课件一、引言直角三角形是三角形的一种特殊类型，其中一个角是直角，即90度。

在直角三角形中，我们可以使用勾股定理来求解三角形的边长和角度。

本课件将介绍解直角三角形的基本概念和方法，并提供一些示例来帮助理解。

二、勾股定理勾股定理是直角三角形中最重要的定理之一，它描述了直角三角形中三条边的关系。

勾股定理的表述如下：在一个直角三角形中，设直角边分别为a和b，斜边为c，则有：c²=a²+b²这意味着斜边的平方等于两个直角边的平方和。

勾股定理是解直角三角形的基础，我们可以通过它来求解直角三角形的边长和角度。

三、求解直角三角形的边长1.已知两个直角边求解斜边当我们已知直角三角形的两个直角边a和b时，我们可以使用勾股定理来求解斜边c。

根据勾股定理，我们有：c²=a²+b²我们可以通过开方来求解c：c=√(a²+b²)2.已知斜边和一个直角边求解另一个直角边当我们已知直角三角形的斜边c和一个直角边a时，我们可以使用勾股定理来求解另一个直角边b。

根据勾股定理，我们有：c²=a²+b²我们可以通过移项和开方来求解b：b=√(c²a²)四、求解直角三角形的角度1.求解直角三角形的一个锐角当我们已知直角三角形的两个直角边a和b时，我们可以使用三角函数来求解一个锐角θ。

常用的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。

例如，我们可以使用正弦函数：sin(θ)=a/c其中c为斜边。

我们可以通过反正弦函数来求解θ：θ=arcsin(a/c)2.求解直角三角形的另一个锐角θ2=90°θ1五、示例1.已知直角三角形的两个直角边分别为3和4，求斜边和两个锐角。

根据勾股定理，斜边c为：c=√(3²+4²)=√(9+16)=√25=5使用正弦函数，我们可以求解一个锐角θ1：sin(θ1)=3/5θ1=arcsin(3/5)≈36.87°另一个锐角θ2为：θ2=90°θ1≈53.13°2.已知直角三角形的斜边为5，一个直角边为3，求另一个直角边和两个锐角。