第21章 二次根式复习
21二次根式复习(上课)解析
x为何值时，下列各式在实数范围 内有意义.
(1) 1 3x
(3) ( x 5)
2
1 x 3
x为全体实数
3 (5) 2x 1
(2) x 1 x为全体实数 2 (4) x 0且x 1 1 x
2
0
1 x 2
(6) x 5 ( x 6)
x 5且x 6
二、二次根式的性质
(2)( 2 3 ) 2 3 6 2 2 2
12 4
例2、判断下列各式中哪些是最简二次根
式，哪些不是？为什么？(字母为正数)
(1 ) 3 a b (2) 1.5ab 最简二次根式的三个条件：
（ 1）被开方数中不含能开得尽方的因数或 思路启迪：根据最简二次根式的条件来判 2 2 (3 ) x y 因式； (4 ) a b 断，不满足其中任意一个条件的，都不是 （ 2）被开方数不含分母； 最简二次根式． （3）分母中不含有根号.
1、 ( a) a
2
(a 0)
aa 0
2、 a a
2
aa 0
( a ) 与 a 有区别吗?
2
2
1、 （ a )2 与
a 区别：
2
① 意义不同 （ a )2 表示a的算术平方根的平方， 2 a 表示a的平方的算术平方根． ② a的取值范围不同 2 （ a ) a (a≥o)； a 2 a (a为任意实数)．
(3) 无论x为何实数 . x 2,4x 0 x为全体实数
依据是: x ( 2 ) 3 x 0 x 0 ①被开方数为非负数； (5) x 2 0且2 x 0 2 ②分母不等于零。
若两个非负数的和为零， 则这两个数都为零。
21章 二次根式复习要点
第21章 二次根式1.二次根式概念理解：一个数可以进行平方运算，3的平方=9；反过来可以进行开平方运算,9开平方得±3，我们用式子表示为39±=±，它表示9的平方根是±3，这里我们引用了一个符号根号。
a 这个式子我们称为二次根式，a 叫被开方数。
因为只有非负数才有平方根，即非负数才能开方，所以0≥a 。
注意：被开方数既可以是单项式，也可以是多项式．．．。
a 表示非负数的算术平方根，则有0≥a若3)3(2-=-a a ，则a 的取值范围是3-a ≥0，解得a ≥3 2.二次根式的性质（用来对式子进行化简）：①一个非负数．．．先开方，再平方得本身()a a =2 ②一个数．先平方，再开方取绝对值a a =2 3.二次根式的乘法：①根号不变，被开方数相乘，再化简．．．。
不能被平方数整除，则不能化简。
如：22能分成2×11 但2和11都不是平方数。
6。
32分成16×2，不能分成4×8平方数的开方： 981416,39,24==== 非平方数的开方：5220,2318,3212===，被开方数能分成4的多少倍，结果2倍根号多少。
以此类推，如45，45分成9的5倍，得534.二次根式的除法:如5315315==，也可以5335315=⨯=（1）分母是平方数，分子分母分别开方，再化简。
3294=，5112511=，22422168== （2）分母不是平方数，先约分，再把分母变成最小平方数．．．．．。
分子分母分别开方。
642666767=⨯⨯=，410282585=⨯⨯=，2747814== ③分母中有根号的化简：先约分．．．，把分母根号里的数变成最小平方数．．．．．，再开方。
335333535=⨯⨯=，10625023503=⨯⨯=, 363332322416=⨯⨯== ()()()()()2532532525253253+=+=+-+=-6.二次根式的加减。
第21章二次根式复习
第21章 小结与复习
湖北鸿鹄志文化传媒有限公司—————助您成功
最简二次根式
三个概念
同类二次根式
有理化因式 --不要求，只需了解
1、 ab a ba 0,b 0
二 次
两个性质
2、
a b
a b
(a 0,b 0)
根 式
1、 a 2 aa 0
湖北鸿鹄志文化传媒有限公司—————助您成功
数学是一种理性的精神，使人类 的思维得以运用到最完善的程度。
——克莱因
湖北鸿鹄志文化传媒有限公司—————助您成功
两个公式
aa 0
2、 a2 a aa 0
四种运算
加 、减、乘、除
湖北鸿鹄志文化传媒有限公司—————助您成功
二次根式的概念
１．二次根式的定义：形如 a（a 0）的式
子叫做二次根式
２．二次根式的识别：（１）被开方数 a 0
（２）根指数是２
湖北鸿鹄志文化传媒有限公司—————助您成功
湖北鸿鹄志文化传媒有限公司—————助您成功
二次根式的加减
1、同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式以后，如
果被开方数相同，这几个二次根就叫做同类二 次根式。 2、二次根式的加减 （1）先化简， （2）再合并。
湖北鸿鹄志文化传媒有限公司—————助您成功
3、二次根式的乘法类似与多项式的乘法，
a
{a,a0 a,a0
湖北鸿鹄志文化传媒有限公司—————助您成功
最简二次根式
抢答:判断下列二次根式是否 是最简二次根式,并说明理由。
(1) 50
(2) a2bc
21二次根式---复习
aa 0
aa 0
四种运算
加 、减、乘、除
梳理一. 二次根定义
1. 一般地，我们把形如
的式子叫做二次根式，“ 根号。 二次根式
a（a≥0）
”称为二次
被开方数a≥0；
根指数为2.
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
（1）.表示a的算术平方根 （2）. a可以是数,也可以是式.
（2）． （3）．
a 0 （ａ 0）
( a) a
2
(a≥0, )
a ,a 0 a ,a 0
a a {
2
题型:确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围.
1. 当 X ≤3 _____时，
3 x
有意义。
2.(2006.青岛)
a 4 + 4 a 有意义的条件是 a=4
3.求下列二次根式中字母的取值范围 1 x 5 3 x 说明：二次根式被开方数
(1) 50与 0.5 √
(2) 12与 18 ×
2ab 2 (4) 与 ab × 3 3
如何判断？
(3) a b与2 b √
1 √ (5) a 与 a
3
2
18. 下列各式属于最简二次根式的是 (
A. 8 B.
x 1
2
B
)
C.
y
3
D.
1 2
19.若 a 2 ( a )2 则a的取值范围是（ A ）
(1) x 2
2
x ( 2) x 2 x 2
2 2
(2)2 x 2 3 y 2
2 2
( 2x) ( 3y) 2x 3y 2x 3 y
章复习 第21章 二次根式
章复习第21章二次根式一、二次根式1、二次根式的概念一般地，把形如______的式子叫做二次根式，“______”叫做二次根号，______叫做被开方数.注：被开方数a可以是数，也可以是代数式（整式、分式），但a必须____________.2、二次根式的意义与性质⑴意义：二次根式实际上就是指非负数a的____________．a≥是一个______数；②____________；③____________．(0)注：①2(0)=≥可逆用平方根定义得出；②注意0a aa<时，a-．二、二次根式的乘除1、二次根式的乘法规定：__________________即：____________________________________．注：①此规定可推广到多个二次根式的情况；②此规定是积的算术平方根的性质____________的逆用；③公式中的a，b既可以是数，也可以是代数式，但都必须是______数，因为负数____________.2、二次根式的除法规定：__________________即：______________________________.注：①一般地，两个二次根式相除，如果被开方数不能恰好整除时，应将分母有理化.分母有理化的依据是分式的基本性质和2(0)=≥；②商的算术平方根的性质的限制条a a件“(00)，”与积的算术平方根的性质的限制条件类似，但也有区别，因为分母不能为零，a b≥>所以被除式a必须是非负数，除式b必须是正数，否则性质不成立.3、最简二次根式满足以下两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：①被开方数不含______；②被开方数中不含____________的因数或因式.注：①判断最简二次根式，应紧紧抓住最简二次根式的定义；②如果被开方数是多项式时，应先因式分解，再来判断；③被开方数中每一个因式的指数都小于根指数2，即每个因式的指数都为1．三、二次根式的化简化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：①如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分数或分式的形式，然后利用分母有理化进行化简；②如果被开方数是整数或整式，先将它分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来．四、二次根式的加减1、同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．注：①几个根式是否是同类二次根式，只与被开方数和根指数有关，而与根号前面的“系数”无关；②判断几个二次根式是否是同类二次根式，应先化成最简二次根式，再进行判断．2、二次根式的加减二次根式的加减，就是合并同类二次根式，二次根式加减运算的一般步骤：①将每一个二次根式化为最简二次根式；②找出其中的同类二次根式，合并同类二次根式．注：合并同类二次根式的方法是，把根号外面的因式相加，根指数和被开方数不变，其理论依据是逆用乘法对加法的分配律． 如：.3473)412(34132=-=- 五、重难专攻 综合方法专攻1 二次根式的化简在二次根式的运算中，二次根式的化简是必不可少的步骤．化二次根式为最简二次根式的方法：(1)如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用00)a b =≥>，把它写成分数或分式的形式，然后利用分母有理化进行化简．(2)如果被开方数是整数或整式，先将它分解因数或因式，然后把能开得尽的因数或因式开出来．专攻2 二次根式的运算技巧(1)巧移因式，避繁就简【例1】计算：⋅-+)3418)(4823( 解：原式=)3418)(4823(22⨯-+⨯)4818)(4818(-+=304818-=-=(2)巧换元，干净利索【例2】计算：n n n n n n n n n (424242422222-++--++--+-++>2)． 【解】设42,4222--+=-++=n n y n n x ，则原式=(3)巧用因式分解，手到擒来【例3】化简：622633++++【解】原式=⋅==++++2623)312(2)213(3另外，还有配方、整体代入、拆项等方法，进行二次根式运算时，要灵活应用这些方法，以达到事半功倍的目的．六、中考能力提升重要例题分类解析题例1 二次根式【例1】【解】3．【点拨】考查二次根式运算，同时考查平方与开方的互逆关系．【例2】 （上海中考）计算：【例3】 （广东中考）化简：【分析【分析【解题蜘2二次根式的乘除.171-.3)3(2=J .177777777-=-=- =-777 =2)3(题刨±∝=R 、3的加R【例4】 （重庆中考）计算^／8=∞-/2A ．6B ．厢C ．2D ．厄【解】D ．简再计算，【分析】.33312,3212-=-∴=【解】一万．【点拨中考最新动析置击1化简探讨题【例1】 （镇江中考）若为( )．A ．o 万B ．口 ~-b-b a C -.b a D --.P 、1．（襄樊中考）与怕是A.~/8B.√27C. 2√S212.-A2.±B2.C4.DrH r*.(3Λ 中考．2009）下面计算正确的是( )．3333.=+A3327.=÷B532.=⋅C 24.±=D的取值范围是( )．3.-≥x A 3.->x B 3.-≤x C 3.-<x D )%(5Lhs Φ=⋅ 下列计算正确的是( )．A ．√822=- 14931227.=-=-B1)52)(52(=+-⋅C 23226.=-D、-填空6．（上海中考）函数≡⨯-=R hR x y 、27．（芜湖中考）式子≡-=≡+hhL N TKRL r a 128．（曲靖中考）9．（湘西10．（温州【分析ab b a b a ab ∴><∴><,0,0,0,012 .b a -=【解】C ．【点拨】渎探究题【例观察下列各式：=+=+=+513,413412,312311.,514请你将发现自然数n(n≥1)的等式【分析】比较等式的左边及右边， ⋅++=++21)1(21n n n n 【解】⋅++=++21)1(21n n n n 【点拨】11.（内江中考）化简：.45sin 2321+- 12.（江西中考）已知：以0凡是整数， 数n 为( )．A ．2B ．3C ．4D ．5 且、-F 放j 宋ji 毯z .(/13阳+-=++-=++-=+3431,32321,21211 ,20022001200220011,,4.+-=+.20032002200320021+-=+ +++++++++200220011431321211( ⋅+⨯+)20031()200320021题14．（内江中考）实数上的位置如图kk ,110-=-+-22)2()1(P P110-ru k ML L *、)(15*≡≡-Φ-⋅⋅先化n JN x J x x x ∏≡⋅-=Φ±---~22/,.,,2007,91:)96 学做题时把“,,2007-=x 错抄成了“≡=HTk x 1,,,2007的计算结果也是正确的，。
第21章二次根式小结与复习课件
式子有意义的条件是：
x2
（1）被开方数大于或等于0。
（2）分母不能为0。
变式训练：
1、若代数式 m 2 是二次根式，则m的取
值范围是
。
2、如果式子 m 1 有意义，则坐标系中
mn
点P（m，n)的位置在第（ ）象限。
第21章二次根式小结与复习课件
3. 当 - 2≤x＜1.5 时，有 x2 12x意义。
第21章二次根式小结与复习课件
变式练习： 3、能使二次根式 (x2)2有意义的实数x的值有（ B ）
A、0个 B、1个 C、2个 D、无数个
4.已x知 、 y是实 ,且 数 y x24 4x2 1 x2
求 3x4y的.值
第21章二次根式小结与复习课件
知识点3、二次根式的性质
1.( a)2 a (a 0)
8 22
5
3
93
mn n 5
第21章二次根式小结与复习课件
1、计算： 1 2 8 2 48 6
2、化简 (1) (16)(81) (2) 40
(3)3 1 3
(4) 4 1 9
(5) 0.2
变式训练：已知b＞0,化简 a3b 的结果是（ ）
A.a ab B.a ab C.a ab D.a ab
二次根式的化简，最终要化为最简二次根式。
回顾：什么叫最简二次根式？
第21章二次根式小结与复习课件
5、已知 a,b,c为△ AB的 C 三边, 长
化简(abc)2 (bac)2
6.化简
1
1 -
2
3
2 - 2 32
3
2
3- 7 2
2
2
7 5 2 7
4
第21章 二次根式 复习课件
1．二次根式的概念 一般地，形如
a
(a≥0)的式子叫做二次根式；
(1)对于二次根式的理解：①带有根号；②被开方数是非负数． (2) a是非负数，即 a≥0. [易错点] (1)二次根式中， 被开方数一定是非负数， 否则就没有 意义； (2) 9是二次根式，虽然 9＝3，但 3 不是二次根式．因此二次 根式指的是某种式子的“外在形态”．
a a>0， 0 a＝0， -a a<0.
(a≥0，b>0)．
4.二次根式的非负性
二次根式 a的两个非负特性： ① a 0 ；② a 0
方法技巧
初中阶
若干个非负数的和为 0， 那么这若干个非负数都必为 0.即由 a≥0， b≥0，c≥0 且 a＋b＋c＝0，一定得到 a＝b＝c＝0，这是求一个 方程中含有多个未知数的有效方法之一．
2．最简二次根式 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． (1)被开方数不含 分母 (2)被开方数中不含能 3．二次根式的性质 ；
开得尽方
的因数或因式．
( a)2＝
a
a· b＝
ab
2 (a≥0) ； a ＝a＝ a a (a≥0，b≥0)； = b b
5．二次根式的运算 二次根式加减时，可以先将二次根式化成 最简二次根式 ， 再将
被开方数相同
的二次根式进行合并．
课堂小结
【针对训练 】
1．若 a、b 为实数，且满足│a－2│＋ －b2＝0，则 b－a 的值 为( C ) A．2 C．－2 B．0 D．± 2
0 2．化简： x－2－ 2－x＝________.
6．化简： 1－ 2 .
2
7．计算：
第21章《二次根式》复习课课件
时，x的取值范围是___________
知识点4：二次根的乘除
1、二次根式的乘法法则
a b ab(a 0, b 0)
反过来：
ab a b (a 0, b 0)
2、二次根式的除法法则
a a (a 0, b 0) b b
反过来：
a a (a 0, b 0) b b
a 3 a 2 4a 4
2、式子
0
1
2 a3
1 (a 1) 2 a 成立的条件是（ D ）
A.a 1 B.a 1 C .a 1
D.a 1
3、 已知a, b, c为△ABC的三边长, 化简 (a b c) (b a c)
2 2
4、当
(6 x)( x 3) (3 x) 6 x
1、下列式子中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？
1 4 2 x 3 2 4 √ √
x 2 5 6a 6 3
2
2
√
二次根式必须具备以下2个条件： （1）必须有二次根号； （2）被开方数必须保证大于或等于0。
√
2、x取什么实数时，下列式子有意义？
1
2 x 2
括号前面是负号，去括号时每一项要改变符号。
例7：计算
解：原式=
6 ( 2 3)
6 2 6 3 3 2
错误原因：没有按运算顺序
运算技巧 1 、 已知x
2
2 7 3
,y
2
2 7 3
,
求x xy y 的值。
2、计算 ( x 2 xy y) ( x
1、计算： 2、化简
1
2 8
华东师大版九年级上册第21章二次根式单元复习课件(共14张)
三、二次根式运算
乘法：a • b ab(a 0)
次
根
除法：a a (a 0,b 0)
式
bb
运 算
a a (a 0,b 0) bb
加减法：合并同类二次根式
混合 运算
1、计算
（1） 1 108 3
(2) 2a 1 a 8
(3) 6 1 1 7 49
(4)3 1 • 2x3 x
（5） 75 3 （6） 24
23 （7）1 1 1
26 （8） 3a3 a (a 0)
27
2、化简
（1） 300 （2） 200a5b4c3
(3) 292 212 (4) (4) (9)
5、 如图，已知a,b, c在数轴上的位置，化简： a2 (b c)2 ( c )2 (c a)2
ba
0c
6、
当1 x 2时，化简 x2 2x 1 x2 6x 9
7、 已知a满足2009 a a 2010，求a 20092的值
8、 若化简1 x x2 8x 16的结果是2x 5， 则的取值范围_____
2、化简下列各式：
（1）（ 0.3）2；（2）（ 2）2；（3）（ - 2 3）2；（4）（- 5 ）2
7
2
3、
已知 x2 8x 16 x2 -12x 36，化简：（2x 8)2 2 x 6
4、 已知ABC，a,b, c分别是三角形的三边， 试化简： (a b c)2 2 c a b
4x
4、下列各组二次根式中，每一组都有一个二次根式与其他的二次根式不同， 你能把这个二次根式找出来吗？
（1） 2, 3, 8, 13 (2） 2 ，1，2x , 15 22 (3) x y , 2x2 y , x2 y2 , xy (4) 26, 8xy , x2 y , x2 y 4
人教版数学第21章二次根式知识点及对应练习
人教版数学第21章二次根式知识点及对应练习【知识点】1.二次根式的定义：二次根式是指形如√a的数，其中a是非负实数。
2.平方根的性质：a) 对于任意非负实数a和b，有√(ab) = √a · √b。
b)对于任意非负实数a和b，有√(a/b)=√a/√b。
c)对于任意非负实数a和b，有√a+√b≠√(a+b)。
d)对于任意非负实数a和b，有√a-√b≠√(a-b)。
e)在二次根式的分母中，不能包含含有根号的项。
3.二次根式的运算：a)二次根式的加减运算：将同类项相加减，并化简。
b)二次根式的乘除运算：将二次根式的底数进行乘除运算，并化简。
c)二次根式的化简：将二次根式的底数分解质因数，并化简。
4.二次根式的画线运算：对于二次根式的运算式，可以使用欧拉公式或有理化等方法，将二次根式的运算式写成一般的数学运算表达式。
【练习题】1.计算下列二次根式的值：a)√9b)√(5+3)c)√(12+2√3-7√5)d)√(15-7√2+8√3-14√6)2.化简下列二次根式：a)√(3+2√2)b)√32-√18c)√(6-4√3+2√6)d)√(√(8-3√5))3.将下列二次根式化简，并且写成最简形式：a)√(6√2-3√18)b)√(5+2√3-√(8-2√5))c)√(10-4√6+√(24-10√6))d)√(6+√(8-4√3+3√(4-2√3)))4.计算下列二次根式的值：a)(√3+√2)²b)(√5-√3)·(√5+√3)c)(√2+√3)²-2√6d)(√5+√6)²+2√305.给出二次根式的运算结果：a)(√2+2)²b)(√(3-2√2)+√(3+2√2))²c)(√(8-4√3)-√(6-2√3))²d)(√(12-4√5)+√(3-2√5))²。
21章二次根式全章复习教案
21章二次根式全章复习复习目标1.能够熟练的进行二次根式的有关运算；2.能够熟练的应用二次根式的性质进行化简；3.能够熟练的应用二次根式的性质及有关运算，解决简单的实际问题。
知识梳理三个概念两个性质两个公式四种运算二次根式最简二次根式同类二次根式2、1、()()2≥=aaa==aa2()≤aa()≥aa自学指导自学内容：阅读课本第1页—第14页。
自学方法：独立看书，合作交流。
自学时间：10分钟。
自学要求：自学后完成复习检测。
复习检测练习1.要使3-x+12x-1有意义，则x应满足（）A 12≤x≤3Bx≤3或x≠12C (1/2)＜x＜3D (1/2)＜x≤32.下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）。
A 27B12 C 8D a2+13.下列二次根式中，与127是同类二次根式的是（）4.A 29B12C23D184.若a+3+b-2+m-2()2=0，求a+b()m的值。
5.计算：baba=),(≥≥ba()0,0≥≥⋅=babaab1、2、加、减、乘、除及混合运算5-3()2-32-53()32+53()6.化简，求值.2a+2a-1÷a+1()+a 2-1a 2-2a+1，其中a=3+1展示点评第1题：考查代数式有意义的条件；第2题：考查最简二次根式的定义；第3题：考查同类二次根式的定义；第4题：考查二次根式的非负性；第5题：考查二次根式的运算与化简；第6题：考查二次根式的求值。
要点归纳1.二次根式具有双重非负性，是一种常见的隐含条件，这两个非负性在解二次根式的有关题目时经常用到。
2.在二次根式的混合运算中，熟练运用二次根式的乘除法则运算是关 键。
3.在有理数范围内学习的法则、性质、运算律等在实数范围内仍然适用，二次根式运算的最终结果要化成最简二次根式。
强化训练1. 若11m m -++有意义，则m 的取值范围是 。
2. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ）A. 0.2bB. 1212a b -C. 22x y -D. 25ab3. 下列根式中，与3是同类二次根式的是（ ） A. 24 B. 12 C. 32 D. 184.把m m 1-根号外的因式移到根号内，得（ ） 5．若433+-+-=x x y ，则=+y x 。
第21章《二次根式》复习
例1、计算
1 1 (1)2 18 18 32 2 4
1 (2)2 12 4 3 48 27 (3) a b ab a
2 2 2
b ab a
3、二次根式的混合运算 例2、计算
(1)( 48 50) 6
(2)(2 6 7 2 ) (7 2 2 6 ) (3)(3 5 4 2 ) (2 5 3 2 )
3、已知x、y是实数，且
y
x 4 4 x 1 x2
2 2
求3x+4y的值。
三、二次根式的性质
1.( a ) a (a 0) ( a 0 ) a 2 2. a ( a 0 ) a
2
例3、计算
2 2 (1)( ) 3
1 2 (2)( 6) 2
2
第21章《二次根式》复习
一、二次根式的意义 二、典型例题
3 例1、找出下列各根式： 27
(4)
4
2
a 2a 1
2
1 2 a 1( a ) 2
a 2
中的二次根式。
例2、x为何值时，下列各式在实数范围内有
意义。
(1) 2 x 3
(2) 1 3x
3 (5) 2x 1
0
(3)(2 3)
(4)(3 x )
2
变式应用 1、式子
( a 1) a 1
2
成立的条件
是（ D ）
A.a 1 C .a 1
B.a 1 D.a 1
2、已知三角形的三边长分别是a、b、c，
且
ac
，那么
c a ( a c b)
2
等于（ D ）
第21章二次根式章节复习(难点练)解析版
第21章二次根式章节复习（难点练）一、单选题1．（2021·四川省遂宁市第二中学校九年级月考）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）.A．BCD【答案】A【详解】根据最简二次根式的意义，可知=，不是最简二次根式.故选A.2．（2021·上海九年级专题练习）当4x =-的值为（ ）A ．1BC ．2D ．3【答案】A=--=1=.故选：A.【点睛】本题考查分式的运算以及二次根式的性质，解题的关键是熟练运用分式的运算法则以及观察出分母可以开根号，本题属于较难题型．3．（2021·浙江九年级期末）如图1，矩形方框内是一副现代智力七巧板，它由两个半圆①和⑦、O e ⑥、等腰直角三角形②和都含45°角的角不规图形③、直角梯形④、圆不规图形⑤组成，已知2AB BC AI ==．如图2，在矩形PQMN 内，这个智力七巧板恰好能拼成一个滑滑梯，若O e 的直径是2，则矩形PQMN 的周长为（ ）A ．32B ．28+C ．22+D ．24+【答案】C【分析】根据勾股定理得出AI ，BG ，进而利用四边形的周长解答．【详解】解：如图，2AI ==Q ，2BG ==，2AB AI ==，4c \=，4a \==-28PQ a \=++=+，123PN =++=+，\四边形PQMN 的周长2()16622PQ PN =´+=+++=+，故选：C ．【点睛】此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质利用勾股定理解答．4．（2021·山东淄博市·九年级期中）如图，正方形ABCD 边长为2，从各边往外作等边三角形ABE 、BCF 、CDG 、DAH ，则四边形AFGD 的周长为（ ）A ．4＋＋B ．2＋＋C ．4＋D ．2＋＋【答案】A【分析】分别求出∠ABF 和∠FCG 的度数，再利用正方形与等边三角形的性质，证明△ABF ≌△FCG ，可得AF =FG ，同理AF =AG BG =，设AB 中点为K ，连接AG ，GK ，,BG GK 交CD 于,N 可得△AKG 为直角三角形，再利用由勾股定理求得AG ，然后即可求得四边形AFGD 的周长．【详解】解： Q 正方形ABCD 边长为2，等边三角形BCF 、CDG 、2,90,60,AB BC BF FC CD CG ABC FBC \======Ð=°Ð=° 150,15,ABF BAF BFA \Ð=°Ð=Ð=°同理可得：360906060150,FCG Ð=°-°-°-°=° 所以△ABF ≌△FCG ，∴AF =FG ．设AB 中点为K ，连接AG ，GK ，,BG GK 交CD 于,N同理AF =AG ,BG = 则,GK AB ^ ,GK CD ^ 1,1,DN CN AK BK ==== 2,KN BC ==\ △AKG 为直角三角形，由三角形DCG 为等边三角形，则2,DG CG DC ===GN \==∴2KG =+由勾股定理得：AG ====+四边形AFGD 的周长为：AF +FG +GD +DA =2+2´故选：A ．【点睛】本题主要考查勾股定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，正方形的性质，二次根式的化简，二次根式的运算等知识点，此题有一定难度，属于难题．二、填空题5．（2021·湖北武汉市·九年级专题练习）化简并计算：...++=________．（结果中分母不含根式）【详解】解：原式=--==．．【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是将原式进行拆分，有一定的技巧性，注意仔细观察．6．（2021·山东淄博市·九年级期中）如图，在△ABC 中，D 是AC 边的中点，连接BD ，把△BDC 沿BD 翻折，得到△BD C ¢，联结AC ¢．若AD ＝AC ¢＝2，BD ＝3，则点D 到BC ¢的距离为 __________．【分析】连接CC ¢，交BD 于点M ，过点D 作DH BC ¢^于点H ，由翻折知，△BDC ≌△BDC ¢，BD 垂直平分CC ¢，证△ADC ¢为等边三角形，利用解直角三角形求出DM =1，C M ¢=，BM =2，在Rt △BMC ¢中，利用勾股定理求出BC ¢的长，在△BDC ¢中利用面积法求出DH 的长，则可得出答案．【详解】解：如图，连接CC ¢，交BD 于点M ，过点D 作DH BC ¢^于点H ，∵AD AC ¢==2，D 是AC 边上的中点， ∴DC =AD =2，由翻折知，△BDC ≌△BDC ¢，,,DC DC BC BC ¢¢\==\ BD 垂直平分CC ¢，∴2,,DC DC CM C M ¢¢===∴2AD AC DC ¢¢===， ∴△ADC ¢为等边三角形，∴60,ADC AC D C AC ¢¢¢Ð=Ð=Ð=° ∵DC DC ¢=， ∴16030,2DCC DC C ¢¢Ð=Ð=´°=° 在Rt △C DM ¢中， 30,2,DC C DC ¢¢Ð=°=∴1,DM C M ¢=== ∴BM =BD -DM =3-1=2，在Rt △BMC ¢中，BC ¢==∵11,22BDC S BC DH BD C M ¢¢¢==V g g3=∴DH =∴点D 到BC'．【点睛】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，勾股定理的应用，二次根式的乘除运算等，解题关键是会通过面积法求线段的长度．7．（2021·江苏南通市·九年级二模）如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点M 在边AB 上，点N 在对角线AC 上，连接DM ，DN ．若AM ＝CN ，则(DM ＋DN )2的最小值为____．【答案】8+【分析】过点C 作CH ⊥AC ，使得CH =AD ，连接NH ，由题意易得∠NCH =∠MAD =90°，进而可得△NCH ≌△MAD ，然后可得DM =NH ，要使()2DM DN +的值为最小，只需DM +DN 的值为最小，即NH +DN的值为最小，所以可得D 、N 、H 三点共线时最小，则过点H 作HE ⊥DC 于点E ，然后根据勾股定理可求解．【详解】解：过点C 作CH ⊥AC ，使得CH =AD ，连接NH ，如图所示：∵四边形ABCD 是正方形，AB =2，∴∠MAD =∠DCB =90°，∠DCA =45°，AD =CH =AB =CD =2，∴∠NCH =∠MAD =90°，∵AM =CN ，∴△NCH ≌△MAD （SAS ），∴DM =NH ，若使()2DM DN +的值为最小，只需DM +DN 的值为最小，即NH +DN 的值为最小，所以可得D 、N 、H 三点共线时最小，则过点H 作HE ⊥DC 于点E ，如图所示：∴∠DCA =∠ECH =45°，∴△CEH 为等腰直角三角形，∴CE EH ===，∴2DE DC CE =+=+，∴在Rt △DEH 中，()(22222228DH DM DN DE EH =+=+=+=+∴()2DM DN +的最小值为8+；故答案为8+．【点睛】本题主要考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理及二次根式的运算，熟练掌握正方形的性质、等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理及二次根式的运算是解题的关键．三、解答题8．（2021·全国九年级专题练习）阅读下面的解答过程，然后作答：化简，若你能找到两个数 m 和n ，使m 2+n 2=a 且，则a+2可变为m 2+n 2+2mn ，即变成（m+n ）2化简．例如：∵=2+）2=）2请你仿照上例将下列各式化简（1，（2．【答案】（1）；（2-.【分析】参照范例中的方法进行解答即可.【详解】解：（1）∵22241(1+=++=+，1=（2）∵2227-=-=，==.9．（2021·广东九年级专题练习）先化简，再求值：24211326x x x x -+æö-¸ç÷++èø，其中1x =..【分析】根据分式的运算法则进行化简，再代入求解.【详解】原式=221(1)12(3)232(3)3(1)1x x x x x x x x x ---+æöæö¸=×=ç÷ç÷+++--èøèø.将1x =+=【点睛】此题主要考查分式的运算，解题的关键是熟知分式的运算法则.10．（2021·全国九年级专题练习）阅读材料，请回答下列问题材料一：我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：S …①（其中a ，b ，c 为三角形的三边长，S 为面积）而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的“海伦公式”；S p ＝2a b c++）材料二：对于平方差公式：a 2﹣b 2＝（a +b ）（a ﹣b ）公式逆用可得：（a +b ）（a ﹣b ）＝a 2﹣b 2，例：a 2﹣（b +c ）2＝（a +b +c ）（a ﹣b ﹣c ）（1）若已知三角形的三边长分别为3、4、5，请试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积；（2）你能否由公式①推导出公式②？请试试．【答案】（1）三角形的面积为6；（2）见解析.【分析】（1）根据材料，代入公式即可求解；（2）根据平方差公式和完全平方公式即可推导．【详解】解：（1）设a ＝3，b ＝4，c ＝5，∵32+42＝25，52＝25，∴a 2+b 2＝c 2，a 2b 2＝144，∴S ＝3452++＝6；∵p ＝2a b c++＝3452++＝6，p ﹣a ＝6﹣3＝3，p ﹣b ＝6﹣4＝2，p ﹣c ＝6﹣5＝1，S＝6．∴三角形的面积为6．（2）∵14[a 2b 2﹣（2222a b c +-）2]＝14[2244a b ﹣2222()4a b c +-]＝116[（a+b ）2﹣c 2][c 2﹣（a ﹣b ）2]＝116（a+b+c ）（a+b ﹣c ）（a+c ﹣b ）（b+c ﹣a ）＝116×2p•（2p ﹣2c ）（2p ﹣2b ）（2p ﹣2a ）＝p （p ﹣a ）（p ﹣b ）（p ﹣c ）【点睛】本题考查了二次根式的应用、平方差公式和完全平方公式，解决本题的关键是熟练应用公式．11．（2021·上海九年级专题练习）请阅读下列材料，并完成相应的任务．古希腊几何学家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名．在他的著作《度量》一书中，给出了三角形面积的计算公式(海伦公式)：如果一个三角形的三边长分别为,,a b c ，记2a b cp ++=，那么三角形的面积是S =．印度算术家波罗摩笈多和婆什迦罗还给出了四边形面积的计算公式：如果一个四边形的四边长分别为a b c d ,,,，记2a b c dp +++=，那么四边形的面积是S =其中，A 和C 表示四边形的一组对角的度数)根据上述信息解决下列问题：（1）已知三角形的三边是4，6，8，则这个三角形的面积是 （2）小明的父亲是工程师，设计的某个零件的平面图是如图的四边形ABCD ，已知8AB =，12AD =，10BC =10CD =+，75B °Ð=，45D °=∠．求出这个零件平面图的面积．【答案】（1）；（2）【分析】(1)根据三角形的面积公式直接代入数据计算即可；【详解】(1)p=46892++=，∴三角形的面积是：S ====(2) 75,45B D °°Ð=Ð=Q ，∴2222754511coscos cos 60()2224B D Ð+а+°==°==，8,12,1010AB AD BC CD ===-=+Q ，∴20p ==，∴()()()()p p a p b p c p d ----20(208)(2012)(2010=---´(2010172800--=，又21cos812(10216024A C abcd +=´´´=，∴S ==，∴这个零件平面图的面积是．【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，平方差公式的应用，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质并根据题目给出的公式代入计算．还考查了计算能力．12．（2021·广东九年级专题练习）先化简，再求值：2222421121a a a a a a a ---¸+--+，其中1a =-．【答案】21a +【详解】解:原式222(2)21(1)(1)(1)a a a a a a a --=-¸++--222(2)(1)1(1)(1)2a a a a a a a --=-×++--22(1)11a a a a -=-++2=1a +，把1a =代入，原式==13．（2021·黄山市黄山第二中学九年级月考）如图，在△ABC 中，∠ACB=30°，将△ABC 绕点A 逆时针旋转60°，得到△ADE ，连接CD ，CE ．（1）求证：AB=CD ；（2）若BC=10，∠ABC=45°，连接BE ，求△BCE 的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）-50【分析】（1）结合题意，根据旋转的性质得AD=AB，AC=AE．∠CAE=60°，∠AED=∠ACB=30°，从而得到△ACE是等边三角形、∠AED=∠CED=30°；再通过证明△AED≌△CED，得AD=CD，结合AD=AB，即可完成证明；（2）过点A作AF⊥BC于点F，设BF=x，根据∠ABC=45°，AF⊥BC，得BF=AF=x；根据∠ACB=30°，∠ACE=60°，AF⊥BC得CF；根据BF+CF=BC=10，列方程并求解，即可得到CE，经计算从而得到答案．【详解】（1）∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，∴AD=AB，AC=AE．∠CAE=60°，∠AED=∠ACB=30°，∴△ACE是等边三角形，∴AC=AE=CE，∠ACE=∠AEC=60°，∴∠AED=∠CED=30°又∵DE=DE，AE=CE，∴△AED≌△CED（SAS），∴AD=CD又∵AD=AB，∴AB=CD（2）如图，过点A作AF⊥BC于点F设BF=x∵∠ABC=45°，AF⊥BC，∴∠ABC=∠BAF=45°，∴BF=AF=x∵∠ACB=30°，∠ACE=60°，AF⊥BC，∴∠BCE=∠ACB +∠ACE =90°，AC=2x，∴==x∴CE=AC=2x．∵BF+CF=BC=10，∴x=10，∴，∴，∴△BCE的面积=12BC×CE=12´10´（）．【点睛】本题考查了旋转、等边三角形、全等三角形、勾股定理、直角三角形、一元一次方程、二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握旋转、等边三角形、全等三角形、勾股定理、直角三角形、一元一次方程、二次根式的性质，从而完成求解．14．（======请回答下列问题：（1=______；（2）利用上面的解法，请化简：+++×××++（3【答案】（1-21-；（3>，见解析【分析】（1）把分子分母都乘以+，然后利用平方差公式计算；（2）先分母有理化，然后合并即可；（3）由（1-=-=<【详解】解：（1=（2+×××+)1=+++×××++1=-+++×××+1=-（3）由（1）的方法可得，-==<>>．【点睛】本题考查了分母有理化和二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．15．（2021·全国九年级专题练习）若三个实数x，y，z满足xyz≠0，且x+y+z＝0，则有：＝|1x+1y+1z|．|12+13+()15-|＝1930请解决下列问题：（1的值．（2）设S S的整数部分．（3）已知x+y+z＝0（xyz≠0，x＞0），且y+z＝3yz+|1x﹣1y﹣1z|取得最小值时，求x的取值范围．【答案】（1）712；（2）2019；（3）0＜x≤13【分析】（1）根据范例中提供的计算方法进行计算即可；（2）将原式进行化简，再确定整数部分；（3）将原式化简为|13x+|+|13x-|，再根据|13x+|+|13x-|取最小值时，确定x的取值范围．【详解】解：（1＝|12+14+16-|＝712；（2）S，＝|1+1﹣12|+|1+12﹣13|+…+|1+12019﹣12020|，＝1+1﹣12+1+12﹣13+1+13﹣14+ (1)12019﹣12020，＝2019+2019 2020，故整数部分为2019；（3）由题意得，+|1x﹣1y﹣1z|，＝|1x+1y+1z|+|1x﹣1y﹣1z|，＝|1y zx yz++|+|1y zx yz+-|，又y+z＝3yz，原式＝|13x+|+|13x-|，因为|13x+|+|13x-|取最小值，所以﹣3≤1x≤3，而x＞0，因此，0＜x≤13，答：x的取值范围为0＜x≤13．【点睛】本题考查了分式的加减法、实数的运算、二次根式的运算，解题关键是掌握数字间的变化规律，准确计算．16．（2021·北京九年级专题练习）已知x =，y =，求22x y y x +的值．【答案】970【分析】首先把x 和y 进行分母有理化，然后将其化简后的结果代入计算即可．【详解】解：∵5x ===-，5y ===+∴原式===+245240245240=--++++970=．【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是对x 和y 进行分母有理化及掌握二次根式的运算法则．17．（2021·全国九年级专题练习）阅读下列解题过程：；；＝；…解答下列各题：（1＝ ；（2＝ ．（3+）×+1）．-；（2+；（3）2020【答案】（13【分析】（1-，然后利用平方差公式和二次根式的性质计算，即可得到答案；（2到答案；（3）根据（1）和（2）的结论，先分母有理化，经加减运算后，再利用平方差公式计算，即可得到答案．-3-；3==++（3×+1）1+-）×+1）-）×+1）1-＝20211＝2020．【点睛】本题考查了二次根式和数字规律的知识：解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算、数字规律、平方差公式的性质，从而完成求解．18．（2021·北京九年级二模）如图，在等腰直角△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点D 是CA 延长线上一点，点E 是AB 延长线上一点，且AD ＝BE ，过点A 作DE 的垂线交DE 于点F ，交BC 的延长线于点G（1）依题意补全图形；（2）当∠AED ＝α，请你用含α的式子表示∠AGC ；（3）用等式表示线段CG 与AD 之间的数量关系，并写出证明思路【答案】（1）见解析；（2）45AGC Ð=°-a ；（3）CG =，见解析【分析】（1）根据题意补全图形即可；（2）先证45ABC ACB Ð=Ð=°，再根据90ADE AED Ð+Ð=°与90ADE DAF Ð+Ð=°可得DAF AED a Ð=Ð=，则DAF CAG a Ð=Ð=，又因为45ACB CAG AGC Ð=Ð+Ð=°可得45AGC Ð=°-a ；（3）在AE 上截取AM AD =，连接DM ．先证BAC V 与ADM △是等腰直角三角形，接下来证ACG EMD △≌△，所以可得DM CG =，则可求CG DM ==．【详解】（1）根据题意补全图形如下：过点A 作DE 的垂线交DE 于点F ，交BC 的延长线于点G ．（2）证明：当AED a Ð=时，45AGC Ð=°-a ．推理如下：AB AC =Q ，90BAC Ð=°，45ABC ACB \Ð=Ð=°．90EAD Ð=°Q ，90ADE AED \Ð+Ð=°AF DE ^Q ，90DFA \Ð=°，90ADE DAF \Ð+Ð=°DAF AED a \Ð=Ð=，DAF CAG a \Ð=Ð=，45ACB CAG AGC Ð=Ð+Ð=°Q 45AGC a \Ð=°-．（3）CG =．证明：在AE 上截取AM AD =，连接DM ．∵=AM AD ，90BAC а＝∴ADM △是等腰直角三角形∴45AMD Ð=°∴180********DME AMD Ð=°-Ð=°-°=°∵=AB AC ，90BAC а＝∴BAC V 是等腰直角三角形∴45ACB Ð=°∴180********ACG ACB Ð=°-Ð=°-°=°∴135ACG DME Ð=Ð=°∵=AD BE ∴=AM BE∴+=+AM BM BE BM 即=AB EM ∵=AB AC ∴=EM AC∵FG DE ^，90BAC а＝∴90FAE E Ð+а＝,90FAE CAG Ð+а＝∴CAG EÐ=Ð又∵=AB EM ，135ACG DME Ð=Ð=°∴ACG EMD △≌△∴DM CG=又∵90BAC а＝ ，=AD AM∴利用勾股定理可得：DM ===∴DM CG ==．【点睛】此题是三角形综合题，主要根据等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形解答．。
第21章《二次根式》复习
x 2 0 解：依题意可得： 2 x 0
解得x=2 ∴原式=0 −0+4 −1=3.
感悟：善于挖掘题目中的隐含条件求得x的值是解题的突破口. 知识回顾 典例精析
课堂演练
课后训练
小
结
【课堂演练】
1．下列根式中不是最简二次根式的是（ B ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 2
a a b b
(a 0, b 0)
运算
a b ab(a 0, b 0)
a a (a 0, b 0) b b
2
(2
典例精析
0(a 0) ； a(a 0)
课后训练 小 结
知识回顾
课堂演练
知识结构
三个概念
二次根式 最简二次根式
同类二次根式
1、 ab a b a 0, b 0
二 次 根 式
135n 是整数∴n最小为15.
/
16.若实数x,y满足
x2 y 3
2
0, 则xy的值是_____．
【解析】由题意知x+2=0，y∴ xy 2 3. 答案：2 3
3 =0.则x=-2，y= 3 .
(3 12 2 1 48) 2 3. 3
【思路点拨】将括号内的各代数式化为最简二次根式 → 合并 → 除法 (或 除法 → 将各代数式化为最简二次根式 → 合并 )
/
【解析】 原式 (6 3 2 3 4 3) 2 3
2 2 2
2 2
2） 1 1
2
1 4 2
7 2
14 2
∴三角形的面积为 1 2 14
人教版初三九年级数学第二十一章二次根式全章复习PPT课件内容完整课件
主讲人：
时间:
初 三代 数
二次根式
（全章复习）
王润仁
七楼A座办公家园
一、复习方法：
点
线
面
1、全章复习： 概念、性质、公式、运算。
2、按章节复习：概念、性质、公式、运算。
七楼A座办公家园
二类二次根式
有理化因式
1、ab a ba 0,b 0
七楼A座办公家园
例3、计算：
1. 5 4 9 4 11 11 7 4 7
2.14 6 5 3 5
七楼A座办公家园
探索性练习：
7、（1）判断下列各式是否成立？你认为成立的，请在括号里 打 “√”，不成立的，请在括号里打 “×”
2 2 2 2, 3 3 3 3
33
88
4 4 4 4 , 5 5 5 5
15 15
24 24
（2）你判断完以上各题之后，能猜想这类式子具有什么 规律？
（3）试用数学知识说明你所提出的猜想是正确的吗？
七楼A座办公家园
2、当 x 1994 1 , 2
求代数式 4x3 1997x 1994 2003
3、设S= 1 1 1 1 1 1 ........ 1 1 1
二 次
两个性质
a 2、 b
a b
(a 0,b 0)
根 式
1、 a 2 aa 0
两个公式
aa 0
2、 a2 a aa 0
四种运算
加 、减、乘、除
七楼A座办公家园
例1、判断下列各题是否正确
1、 a a 0 是二次根式。
2、代数式 1
在实数范围内有意义时x的
1 x
限制条件是x≠0
第21章 二次根式单元复习
4．设a,b,c为△ ABC的三边，化简
(a b c) (a b c)
2
2 2
2
5．若 a ( a ) ，则a的取值范围是（） a Ａ． 0 Ｂ．a 0 Ｃ． 0 Ｄ．a 为任意数 a
6．若
x 1
求
y 1 0
2
x y
2
2
的值
2
7． 求下列各式的值 （１）( 3)
2 2 2 2 , 3 3
3 3 3 3 8 8
4 4 4 4 , 15 15
5 5 5 5 24 24
（2）你判断完以上各题之后，能猜想这类式子具有什么 规律？
（3）试用数学知识说明你所提出的猜想是正确的吗？
必做题：随堂优化
P6-7 第二课时
7． 求下列各式的值 （１）( 3)
D )
D.-1
6．若 a ( a ) ，则a的取值范围是（） a Ａ． 0 Ｂ．a 0 Ｃ． 0 Ｄ．a 为任意数 a
2 2
7. 若 ( x 7) 2 x 7, 则x的
取值范围是：_________
8．在实数范围内分解因式 4
（１）
x 9
2
（２）
x 2 3x 3
二 次 根 式
三个性质
两个公式
四种运算
例5:二次根式的性质的应用.
4.已知：
x4 +
2x y
=0,求 x-y 的值.
解：由题意，得 解得 5.已知x,y为实数,且
x-4=0 且 2x+y=0 x=4,y=-8
x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12 +3(y-2)2 =0,则x-y的值为( x 1 A.3 B.-3 C.1
第二十一章 二次根式复习(人教版)
第二十一章二次根式复习一、知识结构二、知识点归纳(一)二次根式的概念：（1）二次根式：式子a(a≥0)叫做二次根式．（2）最简二次根式：①被开方数；②被开方数中．把满足这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。
(3)同类二次根式：化成最简二次根式后，如果，这几个二次根式就叫做同类二次根式．(4)分母有理化：把分母中的，叫做分母有理化。
(5)有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积为有理式，我们说这两个代数式互为有理化因式．（6）代数式：用基本运算符号（加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子叫。
（二）二次根式的性质．20)(0);,(0)0,(0),(0)0,0)____(0,0);a a aa aa aa aa b a b≥=≥>⎧⎪===⎨⎪-<⎩=≥≥=≥>是一个非负数；（*）⑴当0a≥2=；⑵当0a<2≠；（三）二次根式的运算：（1）二次根式的加减：先将二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式。
（20,0,0)a b a b=≥≥=≥>三、典型习题（一）二次根式的概念1．（06泸州）要使二次根式1-x有意义，字母x的取值必须满足的条件是2．（05福州）如果代数式1-xx有意义，那么x的取值范围是3．如果代数式mnm1+-有意义，那么，直角坐标系中点P（m，n）的位置在第象限4．（06北京）若0)1(32=++-nm，则m n+的值为。
5．（05荆门）已知直角三角形两边x、y的长满足｜x2－4｜＋652+-yy＝0，则第三边长为＿＿＿＿＿＿.6．（丹阳）若x、y都是实数，且y=4x233x2+-+-，求xy的值为（二）最简二次根式的概念1．（02福州）下列二次根式中，2x、8、2x、1x2+、21、4、6、5、12、91、、、52yx、5.0、22x、a4、x1、a属于最简二次根式的是2．（03广西）把二次根式xyx（y＞0）化成最简二次根式为。
第21章 二次根式复习
第21章 二次根式复习【学习目标】1．使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子； 2．熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算． 【学习过程】 一、梳理知识1. 二次根式的有关概念（1）式子a （a ≥0）叫做， ，（a 与a 必是非负数）. （2）最简二次根式的条件是 和 . （3） _______________ 叫做同类二次根式. （4） _________________叫做分母有理化. 2. 二次根式的性质：（1）若a ≥0，则=2)(a . （2）==a a 20).(a )0(a <≥．（3）a ab =·b 成立的条件是 . （4）bab a =，则a ，b . 3. 二次根式的运算：（1）二次根式加减法的步骤是 ，后合并 . （2）二次根式乘法的运算公式是 .（3）二次根式的除法通常把算式写成公式的形式，通过分母有理化进行运算，有时也可约分或利用公式 运算.二、例题例1． x 取什么值时，下列各式在实数范围内有意义：(1)32x x -+-；2(2)1x x-；(3)22x x +-；2(4)3x x +.例2．已知,m n 为实数，且满足229943n n m n -+-+=-，求63m n -的值.三、课堂练习 1．选择题： （1）()22,a a a =--2的取值范围是（ ）A ．a≤2B ．a≥2C ．a≠2D ．a ＜2 （2）当2x <-时，()22x +等于（ ）A ．x+2B ．－x －2C ．－x+2D ．x －2 （3）化简()()22(0)x a x a x a -++<<等于（ ）A ．2xB ．2aC ．－2xD ．－2a （4）把根号外面的因式移入根号内，1m m-=（ ） A ．m B ．m - C ．m -- D ．m - （5）若021x <<+，则()2221x x ++--等于（ ）A ．221--B ．21x -C ．221+D ．221- 2．填空题： (1) 若45x x --有意义，则x 的取值范围是 . （2）若21a a =-，则a 的取值范围是 .（3）化简31a a-= . （4）若2132n m n -+与6是同类最简二次根式，则n = ，m = . （5）化简()2230,0a b a b ><= .（6）若0,0a b ><，则2a b -= .（7）若5260,x x y -+++=则31x y +-= . （8）若12x <<，则()()2221x x ---= .（9）化简()()2244(0)xy x y x y -->>= .3.求112011a a a ---+的值.5.已知1212,22x y -+==，求2222x y xy ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的值.6．x 是什么值时，下列各式在实数范围内有意义？7．把下列各式化成最简二次根式：（字母都取正数）课外知识1.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，•这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式．练习：下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）．A ．2x 与2yB ．3489a b 与5892a b C ．mn 与n D ．m n +与m n +* 2．互为有理化因式：•互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式（a+b ）（a －b ）=a 2－b 2，同时它们的积是有理数，不含有二次根式：如x+1－22x x +与x+1+22x x +就是互为有理化因式；x 与1x也是互为有理化因式． 练习：2+3的有理化因式是________； x －y 的有理化因式是_________． －1x +－1x -的有理化因式是_______．* 3．分母有理化是指把分母中的根号化去，通常在分子、•分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中的根号的目的． 练习：把下列各式的分母有理化 （1）151-； （2）1123+； （3）262-； （4）33423342+-．4．其它材料：如果n 是任意正整数，那么21nn n +-=n 21n n -理由：21n n n +-=332211n n n n n n -+=--=n 21n n - 练习：填空223=_______；338=________；4415=_______．5.化简：（1）x y x y-+ （2）321a a a ---⑶ 2211a a a a ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⑷2a b a b ab a b a b -+----6*. 已知：()()2232,32x y =+=-，求32432232x xy x y x y x y-++的值.7．当x=121-时，求2211x x x x x x ++++-++2211x x xx x x+-++++的值．（结果用最简二次根式表示）*8．计算：（1）5223335631+-++-；（2）2111111xx x⎛⎫⎛⎫+-÷+⎪⎪+⎝⎭-⎝⎭。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第二十一章 二次根式复习
知识点1．二次根式的定义：形如a (0≥a )的式子为二次根式
1、下列式子中二次根式的个数有（ ）
⑴
1)x > A ：2个 B ：3个 C ：4个 D ：5个
判断的条件：1
、含“”，2、被开方数0≥a
2、 下列各式一定是二次根式的是（ ）
A.
知识点2．二次根式的性质
（1）a ≥0（0≥a ）具有双重非负性；
题型1：利用 0≥a 考查有无意义
3、（1）当x
时， 在实数范围内有意义。
（
2）当x 时，在实数范围内有意义。
4、函数y=x
x -+21中，自变量x 的取值范围是（ ） A 、x ≥－1 B 、－1≤x ≤2 C 、－1≤x ＜2 D 、x ＜2
5．已知，求x y 的值．
题型2：利用 a ≥0 考查非负性
6．若，求a 2012+b 2013= ．
7.若2440y y -+=，求x y =
8.当x= 时，二次根式1+x 取最小值，其最小值为 .
（2） ()()02≥=a a a ；
题型1：计算2=__________ 2)32(=_________ 题型2：反向)0()(2≥=a a a 分解因数
9、 在实数范围内分解因式：429__________,2__________x x -=-+=。
题型3：比较大小
10、比较大小：--（填“＞”“＜”或“=” ）
x
o
a （3│a │=(0)0(0)(0)a a a a a >⎧⎪=⎨⎪-<⎩
； 或│a │=⎩⎨⎧≤-≥)0()0(a a a a 题型1：化简
11、 化简：)1x 的结果是 。
12、当15x
≤ 5_____________x -=。
A. 52a -
B. 12a -
C. 25a -
D. 21a -
13、如果表示a ，b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│
a －
b │ 的
结果等于（ ） A ．－2b B ．2b C ．－2a D ．2a
题型2：条件的利用
14、
已知2x =-，则x 的取值范围是 。
15、如2m =4
，则m=_________
（4
）积的算术平方根的性质：
a ≥0，
b ≥0）
题型1：化简
16、化简=⨯04.0225_________，=-22
108117())10,0a b ≥≥=
17、若n 243是一个整数，则整数n 的最小值是 。
题型2：利用条件a ≥0，b ≥0
18、
使等式
=成立的条件是 。
题型3：根号外移到根号里去
19
、 把 。
（5
）商的算术平方根的性质：=（b ≥0，a>0）利用条件b ≥0，a>0 20
、
能使等式=成立的x 的取值范围是（ ） A. 2x ≠ B. 0x ≥ C. 2x D. 2x ≥
知识点3：二次根式的几个概念
（二）最简二次根式
21（y>0）化为最简二次根式结果是（ ）．
A （y>0）
B y>0）
C （y>0）
D ．以上都不对 22、在5a ，8b ，
m 4 ，22b a +，3a 中，是最简二次根式的有（ ）个 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个
（三）同类二次根式
23、下列各组二次根式化简后，被开方数相同的一组是（ ）
((A)93和 (B)3
13和 (C)318和 (D)2412和
24、若最简二次根式
n m 、n 的值． （四） “分母有理化”与“有理化因式”
25、________；_________．
26、观察下列分母有理化的计算：
===从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算：
1)
+=_____________ 27、232
31
+-与的关系是 。
28、把ab a
123分母有理化后得 （ ）
A ．b 4
B ．b 2
C ．
b 21 D ． b b 2 知识点4：四则计算
29、xy 2 ，=⋅2712 .
30
=___________
31、计算36a ÷2
a 的结果是____________
32、计算：=___________；
33．计算
（1） (23-32)2 （2）3)154276485(÷+- （3）4838
14
122-+
（4
）0(π1)+- （5）)622554(83--⨯
知识点5：综合运用
34、 比较下列数值的大小。
35、已知111-的整数部分为a ，小数部分为b ，试求()
()111++b a 的值
36、计算：20062007)56()56(-⨯+.
37、若x ，y 是实数，且2111+
-+-<x x y ，求1|1|--y y 的值。
38、观察分析，探求出规律，然后填空：
2，2，6，22，10， ，…， （第n 个数） 39、如图，数轴上B 表示的数是2，A 点与B 点关于“1”对称，则A 点所表示的数是（ ）
A 、2－2
B 、2－2
C 、2－1
D 、1－2
40、已知a －b=23－1，ab=3,则（a+1)(b-1)的值为（ ）
A 、－3
B 、33
C 、33－2
D 、3－1
41、函数y=mx+n 的图像如图3所示，化简∣m －n ∣－
m 2＝ 。
42、已知a x x =+
1
，则x x 1+的值为( )。