2006—2007学年安徽省蒙城一中高一数学竞赛试题

2006—2007学年安徽省蒙城一中高一数学竞赛试题

时间：120分钟 总分：150分 命题:隋兴胜

一．

选择题（本题共6小题，每题6分，共36分）

1．已知0

sin 2005α=,则α是第 D 象限角.

A,一 B,二 C,三 D,四 2．根据图中骰子的三种不同状态显示的数字，推出？处的数字是（ D ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)6

3 456

，那么，下列式子成立的是（二．填空题（共6小题，每题9分，共54分） 7．已知函数

⎩⎨

⎧=为无理数为有理数x x x f 01

)(，⎩⎨

⎧=为有理数

为无理数x x x 0

1

)(g 当x R ∈时，

()()_______,f g x =()()_

______.

g f x =

8．一名模型赛车手遥控一辆赛车。先前进1米，然后原地逆时针方向旋转角0

(0180)αα<<

，被称为一次操作。若五次操作后赛车回到出发点，则角α=720

或1440

A

B F

E

M

C

D

N 9．函数x x x x x f cos sin 1cos sin )(++=的值域为⎥⎦

⎤

⎝⎛+-⋃⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-+-212,11,212

10．已知点()b a P ，在直线01443=--y x 上，则()()2

211-+-b a 的最小值

为 3 ．

11．已知图象连续不断的函数()y f x =在区间(),(0.1)a b b a -=上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点（精确到0.0001）的近似值，那么将区间(),a b 等分的次数至多是 10 。

12．13, 设f (I)若f (II)若x 解:(I)由1+又3π

-

≤(II)由f 而0x ≤于是03m ≤≤,m 为整数,得m =0,1,2,3.

经检验只有m =2合题意.

14,如图是一棱长为1的正方体的平面展开图. (I)请你把它合原为正方体,并建立适当的空间 直角坐标系,求出点A,F,N 的坐标; (II)求证:平面AFN//平面MBD; (III)求证:CE ⊥平面AFN;

解:(I)把它合原为正方体ABCD EFMN -,

又(1,0,1)AN =-,(1,0,1)BM =-,

由由知

15 r d =2)2)(2(222

2

=--⎩⎨

⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==b a y b x a y

b x a

代入有 2

1

)1)(1(=

--y x （x>1,y>1）为线段AB 中点的轨迹方程. （3）由12

1

,2,2.2222)2)(2(-+==

∴>>-+=⇒=--∆b a ab S b a b a ab b a AOB 又

2233)2)(2(23)2()2(+=+--≥+-+-=b a b a .当且仅当22+==b a 时取等

号，所以，△AOB 面积的最小值是223+

16．某种商品在近30天内每件的销售价格P （元）与时间 t (天)的的函数关系近似满足

⎩

⎨⎧∈≤≤+-∈≤≤+=),3025(,100),241(,20N t t t N t t t p .商品的日销售量Q(件)与时间t (天)的函数关系式近似的

满足Q=―t+40 (1≤t ≤30,t ∈N),

求:

?

即y=⎪⎩⎪⎨⎧当1≤t 当25≤∴当∴y max

17． 解: 有

3x 又x (1)若1x =,

111

5

y z +=-无正整数解, (2)若2x =,则

211413

5210

y y z ≥+=-=,得203y ≤,

y 是正整数,且2y ≥,于是3,4,5,6y =.

当3y =时,30z =-(舍去);当4y =时,20z =;当5y =时,10z =;当6y =,7.5z =(舍去).

(3)若3x =,则

211417

5315

y y z ≥+=-=,得307y ≤, y 是正整数,且3y ≥,于是3y =或4, 经检验,这时方程无正整数解,

所以原方程的正整数解为(,,)(2,4,20)x y z =或(2,5,10).