您的位置：360文档中心› 第四章 连续体的振动

第四章 连续体的振动

合集下载

工学哈工大威海理论力学学习配哈工大第七版下册

工学哈工大威海理论力学学习配哈工大第七版下册
第四章 机械振动基础
机械振动的特点：围绕其平衡位置往复运动。 学习目的：利用有益的振动，减少有害的振动。 振动系统包括：单自由度系统、多自由度系统和连续体等。
§ 4－1 单自由度系统的自由振动
1.自由振动微分方程
设弹簧原长为 l0
在刚重度力系数P为kmg 的作用下
弹簧的变形为 st
称为静变形
0

mg sin k

以物块平衡位置O为原点，取x轴如图，运动微分方程为
m
d2x dt 2

mg
sin


k( 0

x)
d2x m kx
dt 2
通解为
x Asin(0t )
固有频率
0
k m
0.8N/m1000 40rad/s 0.5kg
当物块碰上弹簧时，取时间t=0，作为振动的起点

k m
0
k m
0 只与表征系统本身特性的质量m和刚度k有关
而与运动的初始条件无关 它是振动系统固有的特性 所以称为固有角（圆）频率（一般也称固有频率）
m=P/g
k P / st
0
k m
0
g
st
（2）振幅与初相角
x Asin(0t ) A表示相对于振动中心点O的最大位移 －－振幅 (0t ) 表示质点在某瞬时t 的位置－－相位（或相位角）

飞行器结构动力学_第1章_2014版 [兼容模式]

飞行器结构动力学_第1章_2014版 [兼容模式]
第1章 概 论
1.0 基本概念
• 什么是结构动力学（structural dynamics）？ – 系统在激励（初始干扰/激振力）作用下的响应（ 位移、速度、加速度等）。 – 也称为振动（vibration）：物体或某种状态随时间 往复变化的现象。
• 特点 – 激振力是时间函数，响应也是时间函数 – 求解时，需要知道边界条件和初始扰动 – 惯性力存在（与质量分布有关） – 比静力学复杂
授课内容
• 绪论 – 基本概念、振动类型、表示方法、振动的频谱
• 单自由度系统的振动 – 自由振动、强迫振动、工程应用、阻尼理论
• 二自由度系统的振动 – 自由振动、强迫振动、动力吸振器、离心力摆式吸振器
• 分析动力学基础 – 自由度和广义坐标、虚位移原理、动能和势能、拉格朗日方程、汉 密尔顿原理
– 第六章：其它
• 结构耦合动力学（第9章） • 智能材料与结构（补充材料）
• 学习要求：
– 掌握基本概念和理论，能灵活运用 去解决问题
– 多做练习，编程实践（Matlab）
• 评分标准
– 平时作业：30分 （一周后交） – 期末考试：70分
• 参考书：
– 中文：振动、机械振动、结构动力 学方面
– 英文：Vibration，Structural Dynamics方面
第1章 概 论
结构动力学建模（2）

船体振动学课程教学大纲

船体振动学课程教学大纲

船体振动学课程教学大纲

课程代码：74120280

课程中文名称：船体振动学

课程英文名称：Ship hull vibration

学分：3.0 周学时：3.0-0.0

面向对象：

预修要求：理论力学、材料力学、线性代数、数学物理方程、积分变换、电工学

一、课程介绍

（一）中文简介

船体振动学是船舶与海洋工程技术专业的专业必修课。课程内容由两部分组成。第一部分是振动学基本理论（含单自由度振动系统、多自由度振动系统、连续体振动系统）。第二部分是船体振动理论（含船体总振动、船体局部振动、船舶主要振源、船舶振动测试与评价）。第一部分是核心，内容相对丰富。数学上主要涉及二阶常系数微分方程与弦振动方程、傅里叶变换、频率响应函数等。第二部分是基本内容，主要目的是培养学生理解从一般振动系统到船体振动的概念和现状，以及理论与实践的关系、科学计算与实验的关系。最后，附加部分含非平稳外载荷谱估计、数据处理、分数阶振动等。希望能激发学生对船体振动领域的兴趣。

（二）英文简介

Ship hull vibration is a specialized and obligatory course for undergraduates majored in ship and ocean engineering. The course consists of two parts. The first part plays a key role in the course with contents relatively rich, including systems with single degree of freedom, multi-degree freedom systems, and vibrations of continuum systems. It relates to, in mathematics, differential equations of second order with constant coefficients, beams as a main object from a view of mechanics, and frequency transfer functions in dynamical analysis. The second part is for understanding the profile of ship vibrations globally and locally, with the focuses

连续系统

连续系统

左边界条件
右边界条件
u (0, t ) 0
u 0 x u ku EA x 2u u m 2 EA t x
u (l , t ) 0
u 0 x ku EA
u x
惯性载荷(m-集中质量) 杆对应于各阶固有频率 i 的主振型为
2u u m 2 EA t x
（4.3.9）式的解的形式是：
2
(4.3.9)
( y ) C1 sin t C2 cos y a a
(4.3.10)
其中， C1 与 C2 是待定系数，它们由轴的边界条件决定。常见的扭转振动时轴的边界条件 为： 自由端：
y 0 时，GJ (0, t ) GJ (0)T (t ) 0 ，即 (0) 0 y l 时，GJ (l , t ) GJ (l )T (t ) 0 ， 即 (l ) 0
sin
得到
l
c
0
i
相应的振型函数
i l
E

i x l
(n 1, 2,3,)
X i ( x) Ai sin
前三阶主振型如图 4.2-3(b)所示。
(n 1, 2,3,)
4.3 轴的扭转振动 为求得轴扭转振动的运动方程， 可以采用与拉杆类似的方法， 从轴上截取一个微段作为 自由体，如图 4.3-1 所示。由微体的平衡，得到：

连续体的振动

连续体的振动

弦的横向振动
微元法求弦振动方程
弦两端固定，以张力F拉紧，在分布力作用下做横向振动 ρ为单位长度弦的质量 p(x,t)为单位长度弦上分布的作用力， 建立坐标系xoy y(x,t)弦上距原点x处的横截面在t时刻的横向位移
取微段，对微段进行受力分析：
弦的横向振动
根据达朗贝尔原理:
将方程整理得：
弦的横向振动的固有频率和主振型
连续体振动
关于连续体 咱们之前研究的单自由度、双自由度、多自由度系统 都是有限多自由度系统，可以看成由有限个质量、刚度 集中点所构成； 而连续体则将零件看成由质量、刚度连续分布的物体所 组成。 1.连续体也叫弹性体，具有连续分布的质量和弹性，现 实中的机械零件都是连续体。 2.由于确定连续体上无数质点的位置，需要无限多个坐 标，所以连续体是一种无限自由度的系统。 3.因连续体有无限个自由度，所以运动方程不再像有限 多自由度系统那样是二阶常微分方程组，而是偏微分方程
对于等直杆ES为常数，自由振动时p(x,t)=0，所以：
杆的固有频率和主振型
由于杆的振动方程和弦横向振动方程类似，也是运用分离变 量法 u(x,t)=U(x)F(t) 式中 U(x)为空间函数，F(t)为时间函数 将上式代入（4-37）得：
Байду номын сангаас设为
得到：
杆的纵向振动
这两个微分方程的解分别为：

连续系统的振动

连续系统的振动
c2 0
频率方程
cos
l
a
0
i ( 固有频率：
模态函数： i ( x) ci sin(
i a 2i 1 a , i 1,3,5,... ) , i 1,2,3,... 或： i 2 l 2 l 2i 1
2 l x), i 1,2,3,... i x), i 1,3,5,... 2l
系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加：

(i 1,2)
u ( x, t ) Ai i sin(i t i )
i 1
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
几种常见边界条件下的固有频率和模态函数
（1）两端固定 特征：两端位移为零 边界条件： u(0, t ) (0)q(t ) 0
(i 0,1,2,)
由于零固有频率对应的模态函数为零，因此零固有频率除去 x x ( x) c1 sin c2 cos a a
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
（2）两端自由
特征：自由端的轴向力为零 边界条件 ： ES
u (0, t ) 0 x (0) 0
c1 0
• 主振型的正交性
• 杆的纵向强迫振动
连续系统的振动 / 一维波动方程
• 动力学方程
（1）杆的纵向振动
p ( x, t )
0 l
讨论等截面细直杆的纵向振动 杆参数：杆长 l

高等结构动力学4_连续体3_薄板弯曲强迫振动

高等结构动力学4_连续体3_薄板弯曲强迫振动
W
i j dxdy = dij òò rhWW W
j dij òò D0κT(Wi )D1κ(Wj )dxdy = w2 W
由正交性条件，得到正则方程
2 r ,s (t ) + wr h ,s hr ,s (t ) = qr ,s (t )
其中，广义力为
qr ,s (t ) =
òò p(x, y, t )Wr ,s dxdy
D0 W + rh
4
¶2W ¶t
2
=0
¶W =0 ¶n
或 Mn = 0
薄板固有振动的变分问题提法
系统的最大弹性势能
U max =
òòò
v
1 T ε σd V 2
é ù ê úé és ù ê ú 1 0 m kx ùú ê x ú ê ê ú Ez ê ú êm 1 0 ú êê ky úú ê sy ú = 2 ê úê ê ú 1- m ê ú ê kxy úú 1 t m + ê xyú û ê0 0 úë ë û êë ú 2 û
W T
W
msr = òò rhWW r s dxdy
W
将上面两式代入固有频率变分式中
w2 = st
aTKa aTMa
由驻值条件得到
( K - w2M ) a = 0
4. 薄板主振型的正交性
wi Wi

连续系统的振动

连续系统的振动

(i 1,2)
u ( x, t ) ai i sin(i t i )
i 1
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
几种常见边界条件下的固有频率和模态函数
（1）两端固定 特征：两端位移为零 边界条件： u(0, t ) (0)q(t ) 0
0 l
x
u (l , t ) (l )q(t ) 0
i a 2i 1 a , i 1,3,5,... ) , i 1,2,... 或： i 2 l 2 l 2i 1
2 l x), i 1,2,...
i i ( x) ci sin( x), i 1,3,5,... 2l
( x) c1 sin
x
a0
c2 cos
x
a0
u ( x, t ) ( x)q(t )
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
左端自由，右端固定
特征：固定端位移为零 自由端轴向力为零 边界条件 ： 得： (l ) 0 固有频率： i
0 l
x
u(l , t ) 0
(0) 0
u (0, t ) ES 0 x
tg (l / a0 ) ES 常数 l / a0 kl
频率方程
振型函数： i ( x) ci sin

a0
x
u ( x, t ) ( x)q(t )

连续系统振动(a)-杆的纵向振动

连续系统振动(a)-杆的纵向振动

(l ) 0 l
16
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
（2）两端自由
特征：自由端的轴向力为零 边界条件 ： ES
u (0, t ) 0 x ( 0 ) 0
0 l
x
ES
c1 0
i a 0 固有频率： i (i 0,1,2, ) l i x 模态函数： i ( x ) ci cos (i 0,1, 2, ) l 频率方程和固有频率两端固定杆的情况相同
（3）振动为微振
2015年1月24日 《振动力学》
4
连续系统的振动 / 一维波动方程
一维波动方程
• 动力学方程
• 固有频率和模态函数
• 主振型的正交性
• 杆的纵向强迫振动
2015年1月24日 《振动力学》
5
连续系统的振动 / 一维波动方程
• 动力学方程
（1）杆的纵向振动
p( x, t )
0 l
等截面细直杆的纵向振动
17
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
（3）一端固定，一端自由
特征：固定端位移为零 自由端轴向力为零 边界条件 ： u(0, t ) 0
0 l
x
u (l , t ) ES 0 x
(0) 0
c2 0
( l ) 0
l cos 0 a0
频率方程

第四章 连续介质运动学(讲义)

第四章 连续介质运动学(讲义)
注意：尽管温度是不随时间变化的，但每个质点还是经历一个温度变化过程，因为，质点在 空中要从一个地方运动到另一个地方。
4．1．3 物质导数
我们常常要求连续介质中某一物质点的物理量随时间的变化率。例如，求连续介质物质 点的加速度，它是连续介质物质点速度随时间的变化率。这种连续介质物质点的物理量随时 间的变化率称为物质导数（Material derivative） ，我们将物质导数记为： D / Dt 。不言而喻， 它意味着是跟随连续介质物质点运动时所观测到的物质点的物理量时间变化率。 （1）当使用物理量的物质描述时，我们有
x1 = x1 ( X 1 , X 2 , X 3 , t ) x2 = x2 ( X 1 , X 2 , X 3 , t ) x3 = x3 ( X 1 , X 2 , X 3 , t )
相联系着，因此，知道了其中的一种描述，就可以推出另一种描述来。
例，给定连续介质的运动为
x1 = X 1 + kt X 2 ， x2 = X 2 ， x3 = X 3
我们称 ( X 1 , X 2 , X 3 ) 为物质坐标（Material coordinates） ，用以标记不同的物质点。而矢量方程 确定了连续介质的运动，称为运动学方程，因为该方程描述了连续介质内每一个物质点的轨 迹。 例，如图，考虑一单位正立方体介质，其运动为
x = X + ktX 2e1

第四章多自由度系统

第四章多自由度系统
沿坐标正方向有一个单位位移其余广义坐标位移为零则只有knjijnnnj22211211沿坐标正方向有一个单位位移其余广义坐标位移为零则只有knjijnnnj22211211沿坐标正方向有一个单位位移其余广义坐标位移为零则只有knjijnnnj22211211沿坐标正方向有一个单位位移其余广义坐标位移为零则只有knjijnnnj22211211系统的质量矩阵阻尼矩阵也有类似的定义并可以仿照上面方法来求
系统在广义坐标{ x}={yA，yB，yl，y2}T 下的刚 度矩阵为：
k2 0 [K ] k2 0
0 k4 0 k4
k2 0 k1 k2 0
k4 0 k3 k 4 0
系统的质量矩阵、阻尼矩阵也有类似的定 义，并可以仿照上面方法来求。
设各个自由度的位移为{x}和系统的刚度矩阵 为[K]，则各个自由度上所受到的外力为：
(1) 定义法
{ p(t )} [ K ]{x}
定义刚度矩阵[K]的元素kij：如果系统的第j个 自由度沿其坐标正方向有一个单位位移，其余 各个自由度的位移保持为零，为保持系统这种 变形状态需要在各个自由度施加外力，其中在 第i个自由度上施加的外力就是kij。 Kij是使系统仅在第j个坐标上产生单元位移而 相应于第i个坐标上所需施加的力
静力加载 K x P(t )
x x1
x j1

振动力学考试要点

振动力学考试要点
考试要点
1
1. 概念 （1）等效质量、等效刚度；对数衰减率；阻 尼与阻尼比； （2）坐标耦合；主坐标、正则(标准)坐标； （3）共振；振型的节点； （4）影响固有频率、振型、共振、隔振效果 的因素(结构特性、激励、阻尼等各种因素)； （5）振型的正交关系。 2. 单自由度和多自由度系统振动方程的建立 3. 单自由度系统固有频率的求解
2
4. 无阻尼单自由度系统初始条件、简谐激励 和任意激励（杜哈美积分）响应的求解;
5. 多自由度系统振动方程的建立，固有频率 和振型的计算；
6. 用正则（标准）坐标变换方法求无阻尼两 自由度系统简谐激励和初始条件的响应;
7.一维波动方程和均匀梁横向振动固有频率和 振型的求解、各种边界条件的确定、振型 中常系数的确定（振型的归一化条件）。 注意相关公式的记忆。
3
考题类型与分数分布
1.（10）单自由度系统振动（方程，固有频 率……）；
2.（10）杜哈美积分; 3.（20）振型叠加法（坐标变换方法）求两
自由度的响应。 4.（10-15）连续体振动； 5. （0-10）多自由度系统振动……; 6.（10-15）其它; 7. 平时成绩30。
4
Leabharlann Baidu

振动力学

振动力学
2006年5月4日 中国力学学会学术大会‘2005’ 12
绪论
激励
（输入）
√ ? √
系统
响应 （输出） 第一个逆问题
第二类：已知激励和响应，求系统 系统识别，系统辨识
求系统，主要是指获得对于系统的物理参数（如质量、刚度和 阻尼系数等）和系统关于振动的构有特性（如固有频率、主振 型等）的认识 以估计物理参数为任务的叫做物理参数辨识，以估计系统振动 固有特性为任务的叫做模态参数辨识或试验模态分析
2006年5月4日 中国力学学会学术大会‘2005’ 13
绪论
激励
（输入）
? √ √
系统
响应 （输出） 第二个逆问题
第三类：已知系统和响应，求激励 环境预测
例如：为了避免产品在公路运输中的损坏，需要通过实地行车 记录汽车振动和产品振动，以估计运输过程中是怎样的一种振 动环境，运输过程对于产品是怎样的一种激励，这样才能有根 据地为产品设计可靠的减震包装
绪论
• 绪论
• 基本概念与学习目的 • 振动问题的提法 • 力学模型 • 振动及系统分类
2006年5月4日 中国力学学会学术大会‘2005’
3
绪论
• 基本概念与学习目的 定义
从广义上讲，如果表征一种运动的物理量作时而增大时而减小 的反复变化，就可以称这种运动为振动 如果变化的物理量是一些机械量或力学量，例如物体的位移、 速度，加速度、应力及应变等等，这种振动便称为机械振动 振动是自然界最普遍的现象之一 各种物理现象，诸如声、光、热等都包含振动 （1）心脏的搏动、耳膜和声带的振动，（2）桥梁和建筑物 在风和地震作用下的振动，（3）飞机和轮船航行中的振动 2006年5月4日 ，（4）机床和刀具在加工时的振动 4

《课程名称：振动力学》课程教学大纲(本科)

《课程名称：振动力学》课程教学大纲(本科)

课程名称：振动力学

Fundamentals of Vibrations

课程代码：24410079

学分：3

学时：48 （课堂教学学时：48；实验学时：0；上机学时：0；课程实践学时：0）

先修课程：理论力学、材料力学、常微分方程、偏微分方程

适用专业：工程力学

教材：《振动力学》，谢官模，国防工业出版社，2011年第2版一、课程性质与课程目标

（一）课程性质

振动是自然界最普遍的现象之一。大至宇宙，小至原子粒子，无不存在着振动。人类本身也离不开振动：心脏的搏动，耳膜和声带的振动等。工程中的振动更是比比皆是，例如：建筑结构和桥梁在风或地震载荷下的振动，机械系统运行中所产生的振动，刀具切削过程中的振动，飞机机翼的颤振等等。

振动力学借助于刚体力学与变形体力学的许多基本原理和方法、物理学的许多基本原理以及大量的数学工具，探讨各种振动现象的机理，描述和阐明振动的基本力学与物理规律，以便克服振动的消极有害的因素，利用其积极有利的因素，为合理解决实践中遇到的各种振动问题提供理论依据。

该课程是工程力学专业的一门主要专业基础课。其任务是使学生掌握固有频率、振型及振动响应等基本概念及常用的求解方法，为学习有关后继课程准备必要的基础，并为将来学习和掌握新的科学技术创造条件；使学生初步学会应用振动力学的理论和方法分析、解决工程实际问题。

（二）课程目标

课程目标1:掌握离散系统和连续体系统振动方程建立的方法；

课程目标2：掌握振动力学固有频率、周期、阻尼、振型等的基本概念，以及会采用经典的方法求解固有频率、振型与强迫振动响应；

连续弹性体的振动概论

连续弹性体的振动概论

ux,t U xT t
代入波动方程以后有
2u t 2
U
xT ''
t ，
2u x2
T
t U
''
x
a2TU '' UT ''
T '' a2 U '' TU
左边仅是时间的函数，右边仅是空间坐标的函数， 若使它们相等只有等于一个常数设为
T '' a2 U ''
TU
T '' T 0
U '' U 0
a2
只有 为负数才能确定振动运动，所以不妨设为 2 ，这样有
T '' 2T 0
U ''
a
2
U
0
T t Csint
则有
U
x
Asin
a
x
B
cos
a
x
u x,t T t U x
A'sin
a
x
B'
cos
a
x
sin
t
这里 A', B',, 为待定常数，由边界条件和初始条
由于 sint 不恒为零，故定有 B' 0 u l,t A' sin l sin t

第十一次课第四章连续体的振动

第十一次课第四章连续体的振动

(i 1,2)
u ( x, t ) ai i sin(i t i )
i 1
§4.2 杆的纵向振动
几种常见边界条件下的固有频率和模态函数
（1）两端固定 特征：两端位移为零
0
x
边界条件： u(0, t ) (0)q(t ) 0
u(l , t ) (l )q(t ) 0
§4.2 杆的纵向振动
p( x, t )
0
x x
dx
u ( x, t )
l
杆上距原点 x 处截面在时刻 t 的纵向位移
F ES ES u x
横截面上的内力：
2u F dx) F p( x, t )dx 由达朗贝尔原理： Sdx 2 ( F x t 2u u S 2 ( ES ) p( x, t ) 代入，得： x x t
j Y j ( x) Aj sin x Aj sin x c l
受迫振动 对于长为 l 的两端固定，受分布力q( x, t ) 作用下的弦的受迫振动，其运动微分方程为： 振型函数 Y ( x) Aj sin j x l 令 Aj 1 j 则有 Y ( x ) sin x l 设其解为 y ( x, t ) sin( j x) H (t ) j l j y ( x, t ) sin( x)H j (t ) 代入方程
相关主题
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

y y( x, t )
dm Ads A (dx) 2 (dy ) 2 Adx
沿 y 方向作用在微小区间 [ x, x dx] Biblioteka Baidu外力之和为
( x, t ) T [ ( x, t ) dx] T ( x, t ) q( x, t ) dx x ( x, t ) T dx q ( x, t )dx x

2 2 y( x, t ) y( x, t ) 1 2 c q( x, t ) 2 2 t x A
j y( x, t ) sin( x)H j (t ) 代入方程 l j 1 2 2 d H ( t ) j j j 1 j 2 sin( x ) c ( ) sin( x ) H ( t ) q( x, t ) j 2 l dt l l A j 1 j 1
x y ( x, t ) ( x, t ) x
t
T 设 c 代入得： A 2 2 y( x, t ) y( x, t ) 1 2 c q( x, t ) 2 2 t x A
C为波沿长度方向的传播速度
如无干扰力作用时， 2 2 y ( x, t ) y ( x, t ) 2 ——称为波动方程 c 2 2 t x y( x, t ) Y ( x)H (t ) Y ( x) sin(nt )
2 l m Qm (t ) q( x, t )sin xdx 0 Al l
cm l
2 m
其通解为：
H m (t ) Cm cos mt Dm sin mt
1
m
Q
0
l
m
( )sin m (t )d
m 1, 2
§4.2 杆的纵向振动
设杆的横截面在振动时仍保持为平面并作整体运动。略去 杆纵向伸缩而引起的横截面变形。 取杆的纵向作为 x 轴，各个截面的纵向位移表示为u(x,t)， 如图所示。杆的微元dx在自由振动中的受力图也在图5-3中给出。 设杆单位体积的质量为ρ ，杆长为 l，截面积为A ， 材料的弹性模量为E 。再设任一 x 截面处，纵向应变为ε(x) ， 纵向拉力表示为N(x)
§4.2 杆的纵向振动
u( x, t ) u( x, t ) dx u( x, t ) dx u( x, t ) x dx dx x
u ( x, t ) N EA( x) EA( x) x
得 得
B0
A sin
n
c
l 0
A0 则
T A
n
c
sin
n
c
l 0
l j
( j 1, 2 )
j y( x, t ) Aj sin x sin( j t j ) l j 1

j y j ( x, t ) Aj sin x sin( j j ) l
2 n Y ( x)sin(nt )
2 d 得 2Y ( x)sin( t ) c 2 Y ( x) sin( t ) n n n 2 dx 2 2 d Y ( x ) n 故 Y ( x) 0 2 2 dx c n n Y ( x) A sin x B cos x c c n n y ( x, t ) ( A sin x B cos x) sin(nt ) c c
y ( x, t ) ( x, t ) tg x
根据牛顿第二定律， y 方向的运动微分方程为： 弦的单元微段 ds 沿 2 y ( x, t ) ( x, t ) Adx T dx q( x, t )dx 2
代入
得：
2 y( x, t ) 2 y ( x, t ) A T q( x, t ) 2 2 t x
第四章 连续体的振动
本章只讨论理想弹性体的振动 理想弹塑性体满足以下假设条件 ①各向同性；②均质分布；③服从虎克定律
§4.1 弦的振动
讨论两端受到张力T 拉紧的弦，弦上还受到横向干扰力
q( x, t )的作用
q( x, t )
x x
y
dx
dm Ads
设弦的密度为 （质量/单位体积） 假设小变形，弦力不随挠度变化。 则弦上的任意一点的位移y应为位置x与时间t的函数，即
l
m x) 并从 0到l对x进行积分， 将上式两边同乘以 sin( l
得：
整理后得到：
l j m ( j m) 0 sin( l x)sin( l x)dx 2 0( j m)
l
d 2 H m (t ) 2 m H m (t ) Qm (t ) 2 dt
弹性体系统作某阶主振动时，其各点也应当作同样的频 率及相位运动，各点也应当同时通过静平衡位置和到达最 大偏离位置，即系统具有一定的与时间无关的振型
Y ( x) 为振型函数 2 y ( x, t )
t 2 2 2 y ( x, t ) d Y ( x) sin( t ) n 2 2 dx x
j Y j ( x) Aj sin x Aj sin x c l
cj j j l l j
强迫振动 对于长为 l 的两端固定受分布力 q( x, t ) 作用下的弦的强迫振动，其运动微分方程为： 振型函数 Y ( x) Aj sin j x l 令 Aj 1 j 则有 Y ( x) sin x l 设其解为 y ( x, t ) sin( j x) H (t ) j
个初始条件来确定。
A, B, n , 4个待定常数，可由弦的边界条件及振动的两
y(0, t ) 0 y(l , t ) 0 由于两端固定，故有
0 ( A sin
l
0 (0 B)sin(nt ) n n
c l B cos cos c
l ) sin(nt )
相关文档
最新文档