2020年贵阳市中考数学二轮复习专题5 题型1 二次函数与特殊三角形的存在性问题
2020年中考数学难题突破：函数中特殊三角形存在性问题解析与练习及参考答案
(3 ) ①x＝ 1 (1 ，a)
②三 AQ＝ BQ，AB＝BQ， AQ＝AB
解： (1) ∵直线 y＝3x＋ 3，
∴当 x＝0 时， y＝ 3，当 y＝0 时， x＝－ 1，
∴点 A 的坐标为 ( －1，0) ，点 B 的坐标为 (0 ，3) ．
(2) 设抛物线对应的函数表达式为
y＝ax2＋ bx＋c，由题意，得
③当 AQ＝ AB时，如图③， 由勾股定理，得 22＋a2＝ 10，解得 a＝± 6，此时点 Q的坐标是 (1 ， 6) 或(1 ，－ 6) ． 综上所述，存在符合条件的点 Q，点 Q的坐标为 (1 ，1) 或 (1 ，0) 或 (1 ， 6) 或(1 ，－ 6) ． 类型 2 直角三角形、全等三角形存在性问题 例 2 如图 2，已知直线 y＝kx －6 与抛物线 y＝ ax2＋bx＋c 相交于 A，B 两点，且点 A(1，－ 4) 为抛 物线的顶点，点 B 在 x 轴上．
解得
1－ m＝ 2
13
1＋ m＝ 2
13 ＞0，舍去
，
∴点 P 的坐标为
1－ 2
13 ，
13－1 . 2
(3) 如图，①当∠ Q1AB＝90°时，△ DAQ∽1 △ DOB，
AD DQ1
5 DQ1
∴OD＝ DB，即6＝ 3ຫໍສະໝຸດ ， 557
∴DQ1＝ 2，∴ OQ1＝2，
7 即点 Q1的坐标为 0，－ 2 ；
C(3，0) ．
(1) 求点 A，B 的坐标．
(2) 求抛物线对应的函数表达式．
图1
(3) 在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使△ ABQ是等腰三角形？若存在， 求出符合条件的点 Q的坐
标；若不存在，请说明理由．
二次函数特殊三角形存在性问题(等腰三角形、直角三角形)
特殊图形存在性问题一、等腰三角形1、情景：平面内有点A、B，要找到点P使得△ABP为等腰三角形。
2、思想：分类讨论（1）A为顶点：AB=AP（以A为圆心、AB长为半径画圆）（2）B为顶点：AB=BP（以B为圆心、AB长为半径画圆）（3）P为顶点：PA=PB（AB中垂线）【注】：1.利用两圆一线，找到符合要求的点，如P在抛物线对称轴上，在x轴上等；然后将问题转化为，求线段等长。
2.求线段等长：两点间距离（最笨的方法）；向坐标轴做垂线，构造一线三等角例1.如图，抛物线y=−x2+2x+3y=−x2+2x+3与y轴交于点C，点D(0,1)，点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为______．练习1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B 两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为(3,0)，与y轴交于C(0,−3)点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的表达式；(2)在直线BC找一点Q，使得△QOC为等腰三角形，写出Q点坐标．练习2、已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．练习3.如图，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）的顶点为E，该抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且BO=OC=3AO，直线y=﹣x+1与y轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）证明：△DBO∽△EBC；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P点坐标，若不存在，请说明理由．练习4.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交A(−1,0),B(−3,0)两点，与y轴交于点C(0,−3)，其顶点为D．(1)求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为y=a(x−h)2+k的形式；(2)动点M从点D出发，沿抛物线对称轴方向向上以每秒1个单位的速度运动，运动时间为t，连接OM,BM，当t为何值时，△OMB为等腰三角形？练习5.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n （m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E 两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标．25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过原点O，与x轴交于点A（5，0），第一象限的点C（m，4）在抛物线上，y轴上有一点B（0，10）．（Ⅰ）求抛物线的解析式及它的对称轴；（Ⅱ）点P（0，n）在线段OB上，点Q在线段BC上，若OP＝2BQ，且P A＝QA．求n 的值；（Ⅲ）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．19-红桥一模25．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）．（1）求该抛物线的解析式．（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．(17河北一模)25(10分）如图，己知抛物线y=x2+bx+c图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣3），抛物线与x轴的另一个交点为C．（1）求这个抛物线的解析式：（2）若抛物线的对称轴上有一动点D，且△BCD为等腰三角形（CB≠CD），试求点D的坐标；二、直角三角形1.情景：平面内有点A、B，要找到点P使得△ABP为直角三角形2.思想：分类讨论（1）A为顶点：∠A（过A做垂线）（2）B为顶点：∠B（过B做垂线）（3）P为顶点：∠C（AB为直径的圆）【注】1.等腰直角三角形，只需在两直线上上下找与AB等长以及过O做AB垂线与圆交点即可例1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过矩形OABC的顶点A，B与x 轴交于点E，F且B，E两点的坐标分别为B(2，32)E(−1，0)(1)求二次函数的解析式；(2)在抛物线上是否存在点Q，使△QBF为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．练习1.如图，抛物线y=x2+bx+3顶点为P，且分别与x轴、y轴交于A、B两点，点A在点P的右侧，tan∠ABO=13(1)求抛物线的对称轴和PP的坐标．(2)在抛物线的对称轴上是否存在这样的点D，使△ABD为直角三角形？如果存在，求点D 的坐标；如果不存在，请说明理由．例2.如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴相交于AB两点，与y 轴相交与点C，且点B与点CC 的坐标分别为(3,0)，C(0,3)，点M是抛物线的顶点．(1)求二次函数的关系式(2)在MB上是否存在点P，过点P作PD⊥x轴于点D,OD=m,使△PCD为直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由练习2.如图，在平面直角坐标系中，直线y=−13x+2交x轴点P，交y轴于点A．抛物线y=x2+bx+c的图象过点E(−1,0)，并与直线相交于A、B两点．(1)求抛物线的解析式（关系式）；(2)过点A作AC⊥AB交x轴于点C，求点C的坐标；(3)除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得△MAB是直角三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．练习3.如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x﹣3交于A、B两点，其中点A在y轴上，点B坐标为（﹣4，﹣5），点P为y轴左侧的抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）以O，A，P，D为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．（3）当点P运动到直线AB下方某一处时，过点P作PM⊥AB，垂足为M，连接PA使△PAM为等腰直角三角形，请直接写出此时点P的坐标．（18东丽-一模）25.如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，1）、（1，2），过点A、B分别作y轴的垂线，垂足为D、C，得到正方形ABCD，抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，点P为第一象限内抛物线上一点（不与点A重合），过点P分别作x轴y轴的垂线，垂足为E、F，设点P的横坐标为m，矩形PFOE与正方形ABCD重叠部分图形的周长为l．（1）直接写出抛物线所对应的函数表达式．（2）当矩形PFOE的面积被抛物线的对称轴平分时，求m的值．（3）当m＜2时，求L与m之间的函数关系式．（4）设线段BD与矩形PFOE的边交于点Q，当△FDQ为等腰直角三角形时，直接写出m的取值范围．三、平行四边形存在性问题类型一：1.情景：一直平面内三点A、B、C，求一点P使四边形ABCP为平行四边形2.思想：分类讨论（1）以AC为对角线：ABCP1（2）以AB为对角线：ACBP3（3）以BC为对角线：ACP2B【注】找到P点后，用平行四边形的判定定理，求等长线段，或利用等角度、平行线求坐标即可。
二次函数的图象与性质大题(五大题型)—2024年中考数学(全国通用)解析版
二次函数的图象与性质大题（五大题型）通用的解题思路：题型一．二次函数的性质二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c （a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．题型二．二次函数图象与系数的关系二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）③．常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．④抛物线与x轴交点个数．△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac ＜0时，抛物线与x轴没有交点．题型三．待定系数法求二次函数解析式（1）二次函数的解析式有三种常见形式：①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）；②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标；③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；（2）用待定系数法求二次函数的解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．题型四．抛物线与x轴的交点求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x 的一元二次方程即可求得交点横坐标．（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．（2）二次函数的交点式：y＝a（x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．题型五．二次函数综合题（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．（3）二次函数在实际生活中的应用题从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．题型一．二次函数的性质（共3小题）1．（2024•石景山区校级模拟）在平面直角坐标系xOy 中，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 是抛物线2(0)y x bx b =−+≠上任意两点，设抛物线的对称轴为直线x h =． （1）若抛物线经过点(2,0)，求h 的值；（2）若对于11x h =−，22x h =，都有12y y >，求h 的取值范围；（3）若对于121h x h −+……，221x −−……，存在12y y <，直接写出h 的取值范围． 【分析】（1）根据对称轴2bx a=−进行计算，得2b h =，再把(2,0)代入2(0)y x bx b =−+≠，即可作答．（2）因为1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 是抛物线2(0)y x bx b =−+≠上的点，所以把11x h =−，22x h =分别代入，得出对应的1y ，2y ，再根据12y y >联立式子化简，计算即可作答；（3）根据121h x h −+……，221x −−……，存在12y y <，得出当221h −<−<−或者211h −<+<−，即可作答． 【解答】解：（1）抛物线的对称轴为直线x h =， 22b bh ∴=−=−， 即2b h =，∴抛物线22y x hx =−+，把(2,0)代入22y x hx =−+， 得0422h =−+⨯， 解得1h =；（2）由（1）知抛物线22y x hx =−+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 是抛物线22y x hx =−+上任意两点，221(1)2(1)1y h h h h ∴=−−+−=−，22(2)220y h h h =−+⨯=，对于11x h =−，22x h =，都有12y y >， 210h ∴−>，解得1h >或1h <−；（3）1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 是抛物线22y x hx =−+上任意两点，对于121h x h −+……，221x −−……，存在12y y <，且1(2,)h y −关于直线x h =的对称点为1(2,)h y +，1(1,)h y +关于直线x h =的对称点为1(1,)h y −，∴当221h −<−<−时，存在12y y <，解得01h <<，当221h −<+<−时，存在12y y <， 解得43h −<<−，当211h −<+<−时，存在12y y <， 解得32h −<<−，当211h −<−<−时，存在12y y <， 解得10h −<<，综上，满足h 的取值范围为41h −<<且0h ≠．【点评】本题考查了二次函数的图象性质、增减性，熟练掌握二次函数的图象和性质是解决本题的关键． 2．（2024•鹿城区校级一模）已知二次函数223y x tx =−++． （1）若它的图象经过点(1,3)，求该函数的对称轴． （2）若04x ……时，y 的最小值为1，求出t 的值．（3）如果(2,)A m n −，(,)C m n 两点都在这个二次函数的图象上，直线2y mx a =+与该二次函数交于1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 两点，则12x x +是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【分析】（1）把(1,3)代入解析式求出12t =，再根据对称轴公式求出对称轴； （2）根据抛物线开口向下，以及0x =时3y =，由函数的性质可知，当4x =时，y 的最小值为1，然后求t 即可；（3）(2,)A m n −，(,)C m n 两点都在这个二次函数的图象上，有对称轴公式得出1m t −=，再令2232x tx mx a −++=+，并转化为一般式，然后由根与系数的关系求出122x x +=−．【解答】解：（1）将(1,3)代入二次函数223y x tx =−++，得3123t =−++， 解得12t =， ∴对称轴直线为21122t x t =−==−⨯； （2）当0x =时，3y =，抛物线开口向下，对称轴为直线x t =， ∴当x t =时，y 有最大值，04x ……时，y 的最小值为1，∴当4x =时，16831y t =−++=，解得74t =； （3）12x x +是定值，理由：(2,)A m n −，(,)C m n 两点都在这个二次函数的图象上， 212m mx t m −+∴===−， 1m t ∴−=，令2232x tx mx a −++=+， 整理得：22()30x m t x a +−+−=，直线2y mx a =+与该二次函数交于1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 两点， 1x ∴，2x 是方程22()30x m t x a +−+−=的两个根，122()2()21m t x x m t −∴+=−=−−=−是定值． 【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识，关键是掌握二次函数的性质． 3．（2024•拱墅区一模）在平面直角坐标系中，抛物线2(2)2y ax a x =−++经过点(2,)A t −，(,)B m p ． （1）若0t =，①求此抛物线的对称轴；②当p t <时，直接写出m 的取值范围；（2）若0t <，点(,)C n q 在该抛物线上，m n <且5513m n +<−，请比较p ，q 的大小，并说明理由． 【分析】（1）①当0t =时，点A 的坐标为(2,0)−，将其代入函数解析式中解得1a =−，则函数解析式为抛物线的解析式为22y x x =−−+，再根据求对称轴的公式2bx a=−即可求解； ②令0y =，求出抛物线与x 轴交于(2,0)−和(1,0)，由题意可得0p <，则点B 在x 轴的下方，以此即可解答； （2）将点A 坐标代入函数解析式，通过0t <可得a 的取值范围，从而可得抛物线开口方向及对称轴，根据点B ，C 到对称轴的距离大小关系求解．【解答】解：（1）①当0t =时，点A 的坐标为(2,0)−，抛物线2(2)2y ax a x =−++经过点(2,0)A −， 42(2)20a a ∴+++=，1a ∴=−，∴抛物线的解析式为22y x x =−−+， ∴抛物线的对称轴为直线112(1)2x −=−=−⨯−；②令0y =，则220x x −−+=， 解得：11x =，22x =−，∴抛物线与x 轴交于(2,0)−和(1,0)，点(2,0)A −，(,)B m p ，且0p <， ∴点(,)B m p 在x 轴的下方，2m ∴<−或1m >．（2）p q <，理由如下：将(2,)t −代入2(2)2y ax a x =−++得42(2)266t a a a =+++=+，0t <， 660a ∴+<， 1a ∴<−，∴抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线(2)1122a x a a −+=−=+， 1a <−，110a∴−<<， 1111222a ∴−<+<， m n <且5513m n +<−，∴1312102m n +<−<−， ∴点(,)B m p 到对称轴的距离大于点(,)C n q 到对称轴的距离，p q ∴<．【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．题型二．二次函数图象与系数的关系（共8小题）4．（2023•南京）已知二次函数223(y ax ax a =−+为常数，0)a ≠． （1）若0a <，求证：该函数的图象与x 轴有两个公共点． （2）若1a =−，求证：当10x −<<时，0y >．（3）若该函数的图象与x 轴有两个公共点1(x ，0)，2(x ，0)，且1214x x −<<<，则a 的取值范围是 ．【分析】（1）证明240b ac −>即可解决问题． （2）将1a =−代入函数解析式，进行证明即可． （3）对0a >和0a <进行分类讨论即可．【解答】证明：（1）因为22(2)43412a a a a −−⨯⨯=−， 又因为0a <，所以40a <，30a −<， 所以24124(3)0a a a a −=−>，所以该函数的图象与x 轴有两个公共点． （2）将1a =−代入函数解析式得，2223(1)4y x x x =−++=−−+，所以抛物线的对称轴为直线1x =，开口向下． 则当10x −<<时，y 随x 的增大而增大， 又因为当1x =−时，0y =， 所以0y >．（3）因为抛物线的对称轴为直线212ax a−=−=，且过定点(0,3)， 又因为该函数的图象与x 轴有两个公共点1(x ，0)，2(x ，0)，且1214x x −<<<， 所以当0a >时，230a a −+<， 解得3a >， 故3a >．当0a <时，230a a ++<，解得1a <−， 故1a <−．综上所述，3a >或1a <−． 故答案为：3a >或1a <−．【点评】本题考查二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．5．（2024•南京模拟）在平面直角坐标系xOy 中，点1(1,)y ，2(3,)y 在抛物线222y x mx m =−+上． （1）求抛物线的顶点(,0)m ； （2）若12y y <，求m 的取值范围；（3）若点0(x ，0)y 在抛物线上，若存在010x −<<，使102y y y <<成立，求m 的取值范围． 【分析】（1）利用配方法将已知抛物线解析式转化为顶点式，可直接得到答案； （2）由12y y <，得到221296m m m m −+<−+，解不等式即可； （3）由题意可知012032m m +⎧<⎪⎪⎨+⎪>⎪⎩或112132m m −+⎧<⎪⎪⎨−+⎪>⎪⎩，解不等式组即可．【解答】解：（1）抛物线222()y x mx m x m =−+=−． ∴抛物线的顶点坐标为(,0)m ．故答案为：(,0)m ；（2）点1(1,)y ，2(3,)y 在抛物线222y x mx m =−+上，且12y y <， 221296m m m m ∴−+<−+，2m ∴<；（3）点0(x ，0)y 在抛物线上，存在010x −<<，使102y y y <<成立， ∴012032m m +⎧<⎪⎪⎨+⎪>⎪⎩或112132m m −+⎧<⎪⎪⎨−+⎪>⎪⎩，解得302m <<． 【点评】本题考查了二次函数与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．6．（2024•北京一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线23y ax bx =++经过点(2,3)a −． （1）求该抛物线的对称轴（用含有a 的代数式表示）；（2）点(2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −为该抛物线上的三个点，若存在实数t ，使得m n p >>，求a 的取值范围．【分析】（1）将点(2,3)a −代入抛物线23y ax bx =++中，然后根据二次函数的对称轴公式代入数值，即可得出答案；（2）分类讨论当0a >和0a <，利用数形结合以及二次函数的性质就可以得出a 的取值范围． 【解答】解（1）抛物线23y ax bx =++经过点(2,3)a −， ∴把(2,3)a −代入23y ax bx =++得2(2)233a a ab ⨯−−+=，22b a ∴=，2223y ax a x ∴=++，∴抛物线的对称轴222a x a a=−=−，答：抛物线的对称轴为：x a =−；（2）①当0a >时，抛物线开口方向向上，对称轴0x a =−<，在x 轴的负半轴上，所以越靠近对称轴函数值越小， ∴当0t <时，(2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −在抛物线上，22t t ∴−<+，∴此时p m n >>与题干m n p >>相矛盾，故舍去， ∴当0t >时，(2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −在抛物线上，22t t ∴−<+，∴此时m n <与题干m n p >>相矛盾，故舍去；②当0a <时，抛物线开口方向向下，对称轴0x a =−>，在x 轴的正半轴上，所以越靠近对称轴函数值越大， ∴当0t >时，点M 、N 分别在对称轴同侧时，(2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −在抛物线上，22t t ∴−<+， .m n p >>，∴此时02a t <−<−，即20t a −<<，2t ∴>，∴当0t >时，点M 、N 分别在对称轴两侧时，(2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −在抛物线上，22t t t ∴−<<+，p m n ∴>>与题干m n p >>相矛盾，故舍去，∴当0t <时，且点M 、N 分别在对称轴两侧时，(2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −在抛物线上，22t t t ∴−<<+，n m ∴>与题干m n p >>相矛盾，故舍去，当0t <时，且点M 、N 分别在对称轴同侧时， (2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −在抛物线上，22t t t ∴−<<+，n m ∴>与题干m n p >>相矛盾，故舍去，答：a 的取值范围为20(2)t a t −<<>．7．（2024•张家口一模）某课外小组利用几何画板来研究二次函数的图象，给出二次函数解析式2y x bx c =++，通过输入不同的b ，c 的值，在几何画板的展示区内得到对应的图象．（1）若输入2b =，3c =−，得到如图①所示的图象，求顶点C 的坐标及抛物线与x 轴的交点A ，B 的坐标； （2）已知点(1,10)P −，(4,0)Q ．①若输入b ，c 的值后，得到如图②的图象恰好经过P ，Q 两点，求出b ，c 的值；②淇淇输入b ，嘉嘉输入1c =−，若得到二次函数的图象与线段PQ 有公共点，求淇淇输入b 的取值范围．【分析】（1）将2b =，3c =−，代入函数解析式，进行求解即可； （2）①待定系数法进行求解即可；②将1c =−代入解析式，得到抛物线必过点(0,1)−，求出1x =−和4x =的函数值，根据抛物线与线段PQ 有公共点，列出不等式进行求解即可． 【解答】解：（1）2y x bx c =++，解：当2b =，3c =−时，2223(1)4y x x x =+−=+−， ∴顶点C 的坐标为：(1,4)−−；当0y =时，2230x x +−=，即(3)(1)0x x +−=， 解得：13x =−，21x =， (3,0)A ∴−，(1,0)B ；（2）①抛物线恰好经过P ，Q则：1101640b c b c −+=⎧⎨++=⎩，解得：54b c =−⎧⎨=⎩；②当1c =−时，21y x bx =+−， 当0x =时，1y =−， ∴抛物线过(0,1)−，当1x =−时，11y b b =−−=−，当点(1,)b −−在点P 上方，或与点P 重合时，抛物线与线段PQ 有公共点，即：10b −…， 解得：10b −…；当4x =时，1641415y b b =+−=+，当点(4,154)b +在点Q 上方，或与点Q 重合时，抛物线与线段PQ 有公共点，即：1540b +…，154b ≥−； 综上：10b −…或154b ≥−． 【点评】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．8．（2024•浙江模拟）设二次函数24(y ax ax c a =−+，c 均为常数，0)a ≠，已知函数值y 和自变量x 的部分对应取值如下表所示：（1）判断m ，n 的大小关系，并说明理由； （2）若328m n −=，求p 的值；（3）若在m ，n ，p 这三个数中，只有一个数是负数，求a 的取值范围．【分析】（1）根据所给函数解析式，可得出抛物线的对称轴为直线2x =，据此可解决问题． （2）根据（1）中发现的关系，可求出m 的值，据此即可解决问题． （3）根据m 和n 相等，所以三个数中的负数只能为p ，据此可解决问题． 【解答】解：（1）m n =．因为二次函数的解析式为24y ax c =+， 所以抛物线的对称轴为直线422ax a−=−=， 又因为1522−+=， 所以点(1,)m −与(5,)n 关于抛物线的对称轴对称， 故m n =．（2）因为m n =，328m n −=， 所以8m =．将(0,3)和(1,8)−代入函数解析式得：348c a a c =⎧⎨++=⎩，解得13a c =⎧⎨=⎩所以二次函数的解析式为243y x x =−+．将2x =代入函数解析式得，224231p =−⨯+=−．（3）由（1）知，m n =， 所以m ，n ，p 中只能p 为负数． 将(0,3)代入函数解析式得，3c =， 所以二次函数解析式为243y ax ax =−+． 将1x =−代入函数解析式得，53m a =+． 将2x =代入函数解析式得，43p a =−+．则430530a a −+<⎧⎨+≥⎩，解得34a >，所以a 的取值范围是34a >． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．9．（2024•北京模拟）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(26)1y x m x =+−+经过点1(,)m y −，2(,)m y ，3(2,)m y +．（1）若13y y =，求抛物线的对称轴； （2）若231y y y <<，求m 的取值范围． 【分析】（1）利用对称轴意义即可求解；（2m 的不等式组，解不等式组即可．【解答】解：（1）抛物线2(26)1y x m x =+−+经过点1(,)m y −，2(,)m y ，3(2,)m y +，13y y =， ∴该抛物线的对称轴为：直线22m m x −++=，即直线1x =； （2）当0m >时，可知点1(,)m y −，2(,)m y ，3(2,)m y +从左至右分布， 231y y y <<，∴232232m m m m m m ++⎧−<⎪⎪⎨−++⎪−>⎪⎩，解得12m <<； 当0m <时，3m m m ∴<−<−+，21y y ∴>，不合题意，综上，m 的取值范围是12m <<．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．10．（2024•浙江模拟）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(y ax bx c a =++，b ，c 为常数，且0)a ≠经过(2,4)A −−和(3,1)B 两点．（1）求b 和c 的值（用含a 的代数式表示）；（2）若该抛物线开口向下，且经过(23,)C m n −，(72,)D m n −两点，当33k x k −<<+时，y 随x 的增大而减小，求k 的取值范围；（3）已知点(6,5)M −，(2,5)N ，若该抛物线与线段MN 恰有一个公共点时，结合函数图象，求a 的取值范围．【分析】（1）把(2,4)A −−和(3,1)B 代入2y ax bx c =++，即可求解；（2）先求出对称轴为：直线2x =，结合开口方向和增减性列出不等式即可求解； （3）分0a >时，0a <时，结合图象即可求解．【解答】解：（1）把(2,4)A −−和(3,1)B 代入2y ax bx c =++，得：424931a b c a b c −+=−⎧⎨++=⎩，解得：162b a c a =−⎧⎨=−−⎩；（2）抛物线经过(23,)C m n −，2,)m n −两点， ∴抛物线的对称轴为：直线237222m mx −+−==，抛物线开口向下，当33k x k −<<+时，y 随x 的增大而减小，32k ∴−…，即5k …； （3）①当0a >时，6x =−，5y …，即2(6)(1)(6)625a a a ⨯−+−⨯−−−…， 解得：1336a …，抛物线不经过点N ，如图①，抛物线与线段MN 只有一个交点，结合图象可知：1336a …；②当0a <时，若抛物线的顶点在线段MN 上时，则2244(62)(1)544ac b a a a a a−−−−−==，解得：11a =−，2125a =−， 当11a =−时，111112222(1)a −=−=⨯−， 此时，定点横坐标满足116222a−−……，符合题意； 当11a =−时，如图②，抛物线与线段MN 只有一个交点，如图③，当2125a =−时，11111312222()25a −=−=⨯−，此时顶点横坐标不满足116222a−−……，不符合题意，舍去； 若抛物线与线段MN 有两个交点，且其中一个交点恰好为点N 时，把(2,5)N 代入2(1)62y ax a x a =+−−−，得：252(1)262a a a =⨯+−⨯−−， 解得：54a =−，当54a =−时，如图④，抛物线和线段MN 有两个交点，且其中一个交点恰好为点N ，结合图象可知：54a <−时，抛物线与线段MN 有一个交点，综上所述：a 的取值范围为：1336a …或1a =−或54a <−．【点评】本题考查二次函数的性质和图象，根据题意画出图象，分类讨论是解题的关键．11．（2024•海淀区校级模拟）在平面直角坐标系xOy 中，点(0,3)，1(6,)y 在抛物线2(0)y ax bx c a =++≠上． （1）当13y =时，求抛物线的对称轴；（2）若抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过点(1,1)−−，当自变量x 的值满足12x −……时，y 随x 的增大而增大，求a 的取值范围；（3）当0a >时，点2(4,)m y −，2(,)m y 在抛物线2y ax bx c =++上．若21y y c <<，请直接写出m 的取值范围．【分析】（1）当13y =时，(0,3)，(6,3)为抛物线上的对称点，根据对称性求出对称轴；（2）把(0,3)，(1,1)−−代入抛物线解析式得出a ，b 的关系，然后求出对称轴，再分0a >和0a <，由函数的增减性求出a 的取值范围；（3）先画出函数图象，再根据21y y c <<确定m 的取值范围． 【解答】解：（1）当13y =时，(0,3)，(6,3)为抛物线上的对称点， 0632x +∴==， ∴抛物线的对称轴为直线3x =；（2）2(0)y ax bx c a =++≠过(0,3)，(1,1)−−，3c ∴=，31a b −+=−， 4b a =+，∴对称轴为直线422b a x a a+=−=−，①当0a >时，12x −……时，y 随x 的增大而增大，∴412a a+−−…， 解得4a …，04a ∴<…；②当0a <时，12x −……时，y 随x 的增大而增大，∴422a a+−…， 解得45a −…， ∴405a −<…，综上：a 的取值范围是405a −<… 或04a <…；（3）点(0,3)在抛物线2y ax bx c =++上，3c ∴=，点2(4,)m y −，2(,)m y 在抛物线2y ax bx c =++上， ∴对称轴为直线422m mx m −+==−， ①如图所示：21y y c <<，6m ∴<且06232m +−>=， 56m ∴<<；②如图所示：21y y c <<，46m ∴−>， 10m ∴>，综上所述，m 的取值范围为56m <<或10m >．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，关键是利用数形结合和分类讨论的思想进行解答．题型三．待定系数法求二次函数解析式（共3小题）12．（2024•保山一模）如图，抛物线2y ax bx c =++过(2,0)A −，(3,0)B ，(0,6)C 三点；点P 是第一象限内抛物线上的动点，点P 的横坐标是m ，且132m <<． （1）试求抛物线的表达式；（2）过点P 作PN x ⊥轴并交BC 于点N ，作PM y ⊥轴并交抛物线的对称轴于点M ，若12PM PN =，求m 的值．【分析】（1）将A ，B ，C 三点坐标代入函数解析式即可解决问题． （2）用m 表示出PM 和PN ，建立关于m 的方程即可解决问题． 【解答】解：（1）由题知，将A ，B ，C 三点坐标代入函数解析式得，4209306a b c a b c c −+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得116a b c =−⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以抛物线的表达式为26y x x =−++．（2）将x m =代入抛物线得表达式得，26y m m =−++， 所以点P 的坐标为2(,6)m m m −++． 令直线BC 的函数解析式为y px q =+，则306p q q +=⎧⎨=⎩，解得26p q =−⎧⎨=⎩，所以直线BC 的函数解析式为26y x =−+． 因为132m <<，且抛物线的对称轴为直线12x =，所以12PM m =−． 又因为点N 坐标为(,26)m m −+，所以226(26)3PN m m m m m =−++−−+=−+． 因为12PM PN =， 所以211(3)22m m m −=−+，解得m =， 又因为132m <<，所以m =． 【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数的图象和性质，熟知待定系数法及二次函数的图象和性质是解题的关键．13．（2024•东营区校级一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线28y x =−+与抛物线2y x bx c =−++交于A ，B 两点，点B 在x 轴上，点A 在y 轴上． （1）求抛物线的函数表达式；（2）点C 是直线AB 上方抛物线上一点，过点C 分别作x 轴，y 轴的平行线，交直线AB 于点D ，E ．当38DE AB =时，求点C 的坐标．【分析】（1）根据一次函数解析式求出A ，B 两点坐标，再将A ，B 两点坐标代入二次函数解析式即可解决问题．（2）根据AOB ECD ∆∆∽得到CD 与OB 的关系，建立方程即可解决问题． 【解答】解：（1）令0x =得，8y =， 所以点A 的坐标为(0,8)； 令0y =得，4x =， 所以点B 的坐标为(4,0)；将A ，B 两点坐标代入二次函数解析式得，81640c b c =⎧⎨−++=⎩，解得28b c =⎧⎨=⎩，所以抛物线的函数表达式为228y x x =−++． （2）因为//CD x 轴，//CE y 轴， 所以AOB ECD ∆∆∽， 则CD DEOB AB=． 因为38DE AB =，4OB =， 所以32CD =． 令点C 坐标为2(,28)m m m −++， 则点D 坐标为21(2m m −，228)m m −++所以2211()222CD m m m m m =−−=−+，则213222m m −+=，解得1m =或3．当1m =时，2289m m −++=； 当3m =时，2285m m −++=； 所以点C 的坐标为(1,9)或(3,5)．【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数图象上点的坐标特征，熟知待定系数法及二次函数的图象和性质是解题的关键．14．（2024•南关区校级二模）已知二次函数2y x bx c =++的图象经过点(0,3)A −，(3,0)B ．点P 在抛物线2y x bx c =++上，其横坐标为m ．（1）求抛物线的解析式；（2）当23x −<<时，求y 的取值范围；（3）当抛物线2y x bx c =++上P 、A 两点之间部分的最大值与最小值的差为34时，求m 的值； （4）点M 在抛物线2y x bx c =++上，其横坐标为1m −．过点P 作PQ y ⊥轴于点Q ，过点M 作MN x ⊥轴于点N ，分别连结PM ，PN ，QM ，当PQM ∆与PNM ∆的面积相等时，直接写出m 的值． 【分析】（1）依据题意，将A 、B 两点代入解析式求出b ，c 即可得解；（2）依据题意，结合（1）所求解析式，再配方可得抛物线的最值，进而由23x −<<可以判断得解； （3）依据题意，分类讨论计算可以得解；（4）分别写出P 、Q 、M 、N 的坐标，PQM ∆与PNM ∆的面积相等，所以Q 到PM 的距离等于N 到PM 的距离，可得m 的值．【解答】解：（1）由题意，将(0,3)A −，(3,0)B 代入解析式2y x bx c =++得，3c =−，930b c ++=，2b ∴=−，3c =−，∴抛物线的解析式为223y x x =−−；（2）由题意，抛物线2223(1)4y x x x =−−=−−，∴抛物线223y x x =−−开口向上，当1x =时，y 有最小值为4−，当2x =−时，5y =；当3x =时，0y =， ∴当23x −<<时，45y −<…；（3）由题意得，2(,23)P m m m −−，(0,3)A −，①当0m <时，P 、A 两点之间部分的最大值为223m m −−，最小值为3−， 2323(3)4m m ∴−−−−=，解得：1m =−②当02m ……时，P 、A 两点之间部分的最大值为3−，最小值为223m m −−或4−， 显然最小值是4−时不合题意， ∴最小值为223m m −−， 233(23)4m m ∴−−−−=， 解得：32m =或12m =， 32m =时，P 、A 两点之间部分的最小值为4−，故舍去， ③当2m <时，P 、A 两点之间部分的最大值为223m m −−，最小值为4−， 2323(4)4m m ∴−−−−=，解得：1m =+，12+<，故舍去，综上，满足题意得m 的值为：1或12； （4）由题意得，2(1,4)M m m −−，(1,0)N m −，2(0,23)Q m m −−， 设PM y kx b =+，代入P 、M 两点， 2223(1)4mk b m m m k b m ⎧+=−−⎨−+=−⎩， 解得：1k =−，23b m m =−−，23PM y x m m =−+−−，PQM ∆与PNM ∆的面积相等，Q ∴到23PM y x m m =−+−−的距离与N 到23PM y x m m =−+−−的距离相等，Q 到23PM y x m m =−+−−的距离=，N 到23PMy x m m =−+−−的距离=， 2|||4|m m ∴−=−+，当2m <−时，24m m −=−，解得：m =，当20m −……时，24m m −=−，解得：m =，当02m <…时，24m m =−，解得：m =当2m <时，24m m =−，解得：m =综上，满足题意得m ． 【点评】本题考查了二次函数，关键是注意分类讨论． 题型四．抛物线与x 轴的交点（共14小题）15．（2024•秦淮区校级模拟）已知函数2(2)2(y mx m x m =−−−为常数）． （1）求证：不论m 为何值，该函数的图象与x 轴总有公共点．（2）不论m ． （3）在22x −……的范围中，y 的最大值是2，直接写出m 的值． 【分析】（1）分两种情况讨论，利用判别式证明即可；（2）当1x =时，0y =，当0x =时，2y =−，即可得到定点坐标；（3）利用抛物线过两个定点，得到函数y 随x 增大而增大，代入解析式求出m 值即可． 【解答】解：（1）①当0m =时，函数解析式为22y x =−，此一次函数与x 轴有交点； ②当0m ≠时，函数解析式为2(2)2y mx m x =−−−，令0y =，则有2(2)20mx m x −−−=，△2222(2)4(2)44844(2)0m m m m m m m m =−−⨯−=−++=++=+…． ∴不论m 为何值，该函数的图象与x 轴总有公共点．（2）222(2)222()22y mx m x mx mx x m x x x =−−−=−+−=−+−， 当1x =时，0y =， 当0x =时，2y =−，∴不论m 为何值，该函数的图象经过的定点坐标是(1,0)．(0,2)−故答案为：(1,0)，(0,2)−，（3）若0m =，函数22y x =−，y 随x 增大而增大，当2x =时，2y =，与题干条件符； 当0m ≠时，函数2(2)2y mx m x =−−−是二次函数，①当0m >时，抛物线过(1,0)，(0,2)−两点，当22x −……的范围中时，y 随x 的增大而增大， ∴当2x =时，2y =，即242(2)2m m =−−−，解得0m =（舍去）．②当0m <时，抛物线过(1,0)，(0,2)−两点，其增减性依旧是y 随x 的增大而增大和①相同．综上分析，0m =．【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．16．（2024•柳州模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A ，B 两点，B 点的坐标为(3,0)，与y 轴交于点(0,3)C −，点D 为抛物线的顶点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求ABD ∆的面积【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点A 和点D 坐标，再根据||2D ABD AB y S ∆⋅=解析求解即可．【解答】解：（1）将(3,0)B ，(0,3)C −代入2y x bx c =++得0933b c c =++⎧⎨=−⎩，解得23b c =−⎧⎨=−⎩，∴二次函数的解析式为：223y x x =−−；（2）将223y x x =−−配方得顶点式2(1)4y x =−−， ∴顶点(1,4)D −，在223y x x =−−中，当2230y x x =−−=时， 解得1x =−或3x =， (1,0)A ∴−，4AB ∴=， ∴||44822D ABD AB y S ∆⋅⨯===． 【点评】本题主要考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．17．（2024•安阳模拟）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++与抛物线21y x x =−+−的形状相同，且与x 轴交于点(1,0)−和(4,0)．直线2y kx =+分别与x 轴、y 轴交于点A ，B ，交抛物线2y ax bx c =++于点C ，D （点C 在点D 的左侧）． （1）求抛物线的解析式；（2）点P 是直线2y kx =+上方抛物线上的任意一点，当2k =时，求PCD ∆面积的最大值； （3）若抛物线2y ax bx c =++与线段AB 有公共点，结合函数图象请直接写出k 的取值范围．【分析】（1）根据题意直接求出二次函数解析式即可；（2）求出直线与抛物线的交点C ，D 坐标，过点P 作y 轴的平行线交CD 于点H ，交x 轴于点G ，设点P坐标为(m ，234)(12)m m m −++−<<，则点(,22)H m m +，求出PH ，由三角形的面积公式求出关于m 的函数解析式，再根据函数的性质求最值； （3）分0k >和0k <两种情况讨论即可．【解答】解：（1）抛物线2y ax bx c =++与抛物线21y x x =−+−的形状相同，1a ∴=−，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)−和(4,0)， ∴抛物线的解析式为2(1)(4)34y x x x x =−+−=−++；（2）当2k =时，联立方程组22234y x y x x =+⎧⎨=−++⎩，解得10x y =−⎧⎨=⎩或26x y =⎧⎨=⎩， (1,0)C ∴−，(2,6)D ，过点P 作y 轴的平行线交CD 于点H ，交x 轴于点G ，如图，设点P 坐标为(m ，234)(12)m m m −++−<<， ∴点(,22)H m m +，2234(22)2PH m m m m m ∴=−++−+=−++，221331273(2)()22228PCD S PH m m m ∆∴=⨯=−++=−−+， 302−<，12m −<<， ∴当12m =时，S 有最大值，最大值为278． PCD ∴∆面积的最大值为278； （3）令0x =，则2y =， ∴点B 坐标为(0,2)，令0y =，则20kx +=， 解得2x k=−，∴点A 坐标为2(k−，0)， 若抛物线2y ax bx c =++与线段AB 有公共点， 当0k >时，如图所示，则21k−<−， 解得02k <<； 当0k <时，如图所示：则24k−>， 解得102k −<<；综上所述，k 的取值范围为02k <<或102k −<<．【点评】本题考查抛物线与x 轴的交点，待定系数法求函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值等知识，关键是对这些知识的掌握和运用．18．（2024•西湖区校级模拟）已知21()y ax a b x b =+++和22()(y bx a b x a a b =+++≠且0)ab ≠是同一直角坐标系中的两条抛物线．（1）当1a =，3b =−时，求抛物线21()y ax a b x b =+++的顶点坐标； （2）判断这两条抛物线与x 轴的交点的总个数，并说明理由；（3）如果对于抛物线21()y ax a b x b =+++上的任意一点(,)P m n 均有22n a b +…．当20y …时，求自变量x 的取值范围．【分析】（1）把a ，b 的值代入配方找顶点即可解题；（2）分别令10y =，20y =，解方程求出方程的解，然后根据条件确定交点的个数即可解题；（3）现根据题意得到0a <，且24()224ab a b a b a−+=+，然后得到30b a =−>，借助图象求出不等式的解集即可．【解答】解：（1）当1a =，3b =−时，2221()23(1)4y ax a b x b x x x =+++=−−=−−， ∴顶点坐标为(1,4)−；（2）3个，理由为：令10y =，则2()0ax a b x b +++=， 即()(1)0ax b x ++=， 解得：1bx a=−，21x =−， 令20y =，则2()0bx a b x a +++=， 即()(1)0bx a x ++=， 解得：1ax b=−，21x =−， 又a b ≠且0ab ≠，∴两条抛物线与x 轴的交点总个数为3个；（3）抛物线21()y ax a b x b =+++上的任意一点(,)P m n 均有22n a b +…，0a ∴<，且24()224ab a b a b a−+=+，整理得：30b a =−>，∴22()y bx a b x a =+++的开口向上，且抛物线与x 轴交点的横坐标为113x =，21x =−， 如图所示，借助图象可知当13x …或1x −…时，20y …．【点评】本题考查二次函数的图象和性质，掌握配方法求顶点坐标，二次函数和一元二次方程的关系是解题的关键．19．（2024•三元区一模）抛物线23y ax bx =++与x 轴相交于点(1,0)A ，(3,0)B ，与y 轴正半轴相交于点C ． （1）求抛物线的解析式；（2）点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 是抛物线上不同的两点． ①当1x ，2x 满足什么数量关系时，12y y =； ②若12122()x x x x +=−，求12y y −的最小值． 【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）①若12y y =，则M 、N 关于抛物线对称轴对称，即可求解；②22121122121212(43)(43)()()4()y y x x x x x x x x x x −=−+−−+=+−+−，而12122()x x x x +=−，得到12y y −的函数表达式，进而求解．【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：12()()y a x x x x =−−， 即2(1)(3)(43)y a x x a x x =−−=−+， 即33a =， 解得：1a =，故抛物线的表达式为：243y x x =−+；（2）如图，。
遵义专版中考数学高分二轮复习第二部分热点专题解读专题九二次函数的综合探究题型1探究二次函数与特殊三角
• ☞ 思路点拨
• 第一步：由已知抛物线与x轴的两交点坐标，设交点 式y＝a(x＋1)(x－3)，展开得到－2a＝2；
• 第二步：求出a即可得到抛物线的解析式； • 第三步：确定C(0,3)，利用待定系数法求直线AC的
解析式．
8
• (2)请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出 点M【解的答坐】 标；
把 C(0,3)代入 b1＝3.
∴直线 P1C 的解析式为 y＝－13x＋3，
答图2
12
y＝－x2＋2x＋3， 联立得y＝－13x＋3， 解得xy＝＝30，， 或x＝73， y＝290， ∴此时点 P1 的坐标为(73，290)； 过点 A 作 AC 的垂线交抛物线于另一点 P2，直线 P2A 的解析式可设为 y＝－13x ＋b2.
∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，
∴顶点D的坐标为(1,4)．
作点B关于y轴的对称点B′，
连接DB′交y轴于点M，
∵MB＝MB′， ∴MB＋MD＝MB′＋MD＝DB′.
答图1
9
• 此时MB＋MD的值最小， 而BD的值不变， • ∴此时△BDM的周长最小， • 易得直线DB′的解析式为y＝x＋3， • 如答图1，则B′(－3,0)，当x＝0时，y＝x＋3＝3， • ∴点M的坐标为(0,3)．
第二部分 热点专题解读
专题九 二次函数的综合探究
题型一 探究二次函数与特殊三角形的存在性
常考题型 ·精讲
• 1．二次函数与等腰三角形存在性的综合性问题 • (1)数形结合，注意使用等腰三角形的性质与判定． • (2)函数问题离不开方程，注意方程与方程组的使
用． • (3)找动点使之与已知两点构成等腰三角形的方法.
二次函数压轴题专题突破练专题05 二次函数背景下的特殊三角形存在性判定(学生版)
备战2019年中考数学压轴题之二次函数专题05 二次函数背景下的特殊三角形存在性判定【方法综述】特殊三角形包括直角三角形和等腰三角形，在每一种种特殊三角形的基础上，此类问题分为固定边的三角形计算与判定和三角形的分类讨论。
直角三角形的分类讨论要对三边分别为斜边的情况分类讨论，主要应用直角的存在，并以此为条件利用勾股定理和三角形相似构造等式，同时还有可能应用隐形的圆中直径所对圆周角是直角的性质或其逆定理。
等腰三角形的分类讨论主要在是当三角形的边为等腰三角形的腰和底边。
对于定长线段为腰时，为了找到相关点，可以分别以该线段的两个端点为圆心，定长线段为半径作圆，分别找到满足条件的点，再由勾股定理或相似三角形进行计算或构造方程解决问题。
当讨论某一条边为等腰三角形的底边是，往往所求第三个顶点在该边的垂直平分线上，通过做线段垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质以构造方程，以解决问题。
【典例示范】类型一固定边的直角三角形判定例1：如图所示，已知抛物线的图像经过点A(1,0),B(0,5),（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C,求出点C的坐标；并确定在抛物线上是否存在一点E,使△BCE是以BC为斜边的直角三角形？若存在，在图中做出所有的点E（不写画法，保留作图痕迹）；若不存在，说明理由；（3）点P是直线BC上的一个动点（P点不与B点和C点重合），过点P做x轴的垂线，交抛物线于点M,点Q在直线BC上，距离点P为个单位长度，设点P的横坐标为t，△PMQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式。
针对训练1．在平面直角坐标系中，抛物线与轴的两个交点分别为A（-3，0）、B（1，0），过顶点C作CH⊥x轴于点H.（1）直接填写：= ，b= ，顶点C的坐标为；（2）在轴上是否存在点D，使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；（3）若点P为x轴上方的抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），PQ⊥AC于点Q，当△PCQ与△ACH相似时，求点P的坐标.2．抛物线的顶点为（1，﹣4），与x轴交于A、B两点，与y轴负半轴交于C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为对称轴右侧抛物线上一点，以BP为斜边作等腰直角三角形，直角顶点M落在对称轴上，求P 点的坐标．3．如图，已知直线y＝x+2交x轴、y轴分别于点A、B，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣，且抛物线经过A、B两点，交x轴于另一点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点M是抛物线x轴上方一点，∠MBA＝∠CBO，求点M的坐标；（3）过点A作AB的垂线交y轴于点D，平移直线AD交抛物线于点E、F两点，连结EO、FO．若△EFO 为以EF为斜边的直角三角形，求平移后的直线的解析式．4．如图，已知直线y＝x+2交x轴、y轴分别于点A、B，抛物线y＝ax2+b x+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣，且抛物线经过A、B两点，交x轴于另一点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点M是抛物线x轴上方一点，∠MBA＝∠CBO，求点M的坐标；（3）过点A作AB的垂线交y轴于点D，平移直线AD交抛物线于点E、F两点，连结EO、FO．若△EFO 为以EF为斜边的直角三角形，求平移后的直线的解析式．5．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+1经过A（﹣1，0），B（1，1）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）阅读理解：在同一平面直角坐标系中，直线l1：y＝k1x+b1（k1，b1为常数，且k1≠0），直线l2：y＝k2x+b2（k2，b2为常数，且k2≠0），若l1⊥l2，则k1•k2＝﹣1．①若直线y＝2x﹣1与直线y＝mx+2互相垂直，则m的值是____；②抛物线上是否存在点P，使得△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）M是抛物线上一动点，且在直线AB的上方（不与A，B重合），求点M到直线AB的距离的最大值．6．如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点A（x1，0）、B（x2，0），我们把|x1﹣x2|记为d（A、B），抛物线的顶点到x轴的距离记为d（x），如果d（A，B）=d（x），那么把这样的抛物线叫做“正抛物线”．（1）抛物线y=2x2﹣2是不是“正抛物线”；（回答“是”或“不是”）．（2）若抛物线y=﹣x2+bx（b＞0）是“正抛物线”，求抛物线的解析式；（3）如图，若“正抛物线”y=x2+mx（m＜0）与x轴相交于A、B两点，点P是抛物线的顶点，则抛物线上是否存在点C，使得△PAC是以PA为直角边的直角三角形？如果存在，请求出C的坐标；若不存在，请说明理由．7．已知，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）设点M在抛物线的对称轴上，当△MAC是以AC为直角边的直角三角形时，求点M的坐标．类型二固定边的等腰三角形例2．在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点P 是直线BC 下方抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）是否存在点P，使△POC 是以OC 为底边的等腰三角形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说（3）在抛物线上是否存在点D（与点A 不重合）使得S△DBC＝S△ABC，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．针对训练1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于A、B两点，交y轴于点C，点C关于抛物线对称轴的对称点为点D．(1)求线段AC的长度；(2)P为线段BC上方抛物线上的任意一点，点E为（0，﹣1），一动点Q从点P出发运动到y轴上的点G，再沿y轴运动到点E．当四边形ABPC的面积最大时，求PG+GE的最小值；(3)将线段AB沿x轴向右平移，设平移后的线段为A'B'，直至A'P平行于y轴（点P为第2小问中符合题意的P点），连接直线CB'．将△AOC绕着O旋转，设旋转后A、C的对应点分别为A''、C'，在旋转过程中直线A''C'与y轴交于点M，与线段CB'交于点N．当△CMN是以MN为腰的等腰三角形时，写出CM的长度．2．如图1，已知抛物线y=﹣x2﹣4x+5交x轴于点A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，点D 为抛物线的顶点，连接AD．（1）求直线AD的解析式．（2）点E（m，0）、F（m+1，0）为x轴上两点，其中（﹣5＜m＜﹣3.5）EE′、FF′分别平行于y轴，交抛物线于点E′和F′，交AD于点M、N，当ME′+NF′的值最大时，在y轴上找一点R，使得|RE′﹣RF′|值最大，请求出点R的坐标及|RE′﹣RF′|的最大值．（3）如图2，在抛物线上是否存在点P，使得△PAC是以AC为底边的等腰三角形，若存在，请出点P的坐标及△PAC的面积，若不存在，请说明理由。
中考数学二次函数存在性问题及参考答案
中考数学二次函数存在性问题及参考答案一、二次函数中相似三角形的存在性问题1.如图，把抛物线2=向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线2y x=-+.y x h k()所得抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D.（1）写出h k、的值；（2）判断△ACD的形状，并说明理由；（3）在线段AC上是否存在点M，使△AOM∽△ABC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.2.如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．二、二次函数中面积的存在性问题3.如图，抛物线()20y ax bx a >=+与双曲线ky x=相交于点A ，B ．已知点B 的坐标为（－2，－2），点A 在第一象限内，且tan ∠AOX ＝4．过点A 作直线AC ∥x 轴，交抛物线于另一点C ． （1）求双曲线和抛物线的解析式； （2）计算△ABC 的面积；（3）在抛物线上是否存在点D ，使△ABD 的面积等于△ABC 的面积．若存在，请你写出点D 的坐标；若不存在，请你说明理由．4.如图，抛物线y ＝ax 2＋c （a ＞0）经过梯形ABCD 的四个顶点，梯形的底AD 在x 轴上， 其中A （－2,0），B （－1, －3）． （1）求抛物线的解析式；（3分）（2）点M 为y 轴上任意一点，当点M 到A 、B 两点的距离之和为最小时，求此时点M 的坐标；（2分） （3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P 使S △PAD ＝4S △ABM 成立，求点P 的坐标．（4分） (4)在抛物线的BD 段上是否存在点Q 使三角形BDQ 的面积最大，若有，求出点Q 的坐标，若没有，请说明理由。
2020年中考数学压轴题突破专题4 二次函数与特殊图形的存在性问题
（ k 2 2020 年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练专题 04 二次函数与特殊图形的存在性问题【真题再现】1． 2019 年盐城 27 题）如图所示，二次函数 y ＝ （x ﹣1） +2 的图象与一次函数 y ＝kx ﹣k +2 的图象交于 A 、B 两点，点 B 在点 A 的右侧，直线 AB 分别与 x 、y 轴交于 C 、D 两点， 其中 k ＜0．（1）求 A 、B 两点的横坐标；（△2）若 OAB 是以 OA 为腰的等腰三角形，求 k 的值；（3）二次函数图象的对称轴与 x 轴交于点 E ，是否存在实数 k ，使得∠ODC ＝2∠BEC ， 若存在，求出 k 的值；若不存在，说明理由．2．（2019 年连云港 26 题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 L 1：y ＝x 2+bx +c 过点 C （0，﹣3），与抛物线 L 2：y ＝﹣ x 2﹣ x +2 的一个交点为 A ，且点 A 的横坐标为 2，点 P 、Q 分别是抛物线 L 1、L 2 上的动点．（1）求抛物线 L 1 对应的函数表达式；（2）若以点 A 、C 、P 、Q 为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点 P 的坐标；（3）设点 R 为抛物线 L 1 上另一个动点，且 CA 平分∠PCR ．若 OQ ∥PR ，求出点 Q 的 坐标．（3．（2019 年无锡 27 题）已知二次函数 y ＝ax 2﹣4ax +c （a ＜0）的图象与它的对称轴相交于点 A ，与 y 轴相交于点 C （0，﹣2），其对称轴与 x 轴相交于点 B（1）若直线 BC 与二次函数的图象的另一个交点 D 在第一象限内，且 BD ＝ ，求这个 二次函数的表达式；（2）已知 P 在 y 轴上，且△POA 为等腰三角形，若符合条件的点 P 恰好有 2 个，试直 接写出 a 的值．4．（2017 年淮安 28 题）如图①，在平面直角坐标系中，二次函数 y ＝﹣ x 2+bx +c 的图象 与坐标轴交于 A ，B ，C 三点，其中点 A 的坐标为（﹣3，0），点 B 的坐标为（4，0），连 接 AC ，BC ．动点 P 从点 A 出发，在线段 AC 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 C 作匀 速运动；同时，动点 Q 从点 O 出发，在线段 OB 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 B 作 匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为 t 秒．连接 PQ ．（1）填空：b ＝ ，c ＝ ；（2）在点 P ，Q 运动过程中，△APQ 可能是直角三角形吗？请说明理由；（3）在 x 轴下方，该二次函数的图象上是否存在点 △M ，使 PQM 是以点 P 为直角顶点 的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间 t ；若不存在，请说明理由；（4）如图②，点 N 的坐标为（﹣ ，0），线段 PQ 的中点为 H ，连接 NH ，当点 Q 关于直线 NH 的对称点 Q ′恰好落在线段 BC 上时，请直接写出点 Q ′的坐标．5． 2017 年宿迁 25 题）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y ＝x 2﹣2x ﹣3 交 x 轴于 A ，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），将该抛物线位于 x 轴上方曲线记作 M ，将该抛物线位于 x 轴下方部分沿 x 轴翻折，翻折后所得曲线记作 N ，曲线 N 交 y 轴于点C ，连接 AC 、BC ．（1）求曲线N所在抛物线相应的函数表达式；（△2）求ABC外接圆的半径；（3）点P为曲线M或曲线N上的一动点，点Q为x轴上的一个动点，若以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标．6．（2017年常州27题）如图，在平面直角坐标系xOy，已知二次函数y＝﹣x2+b x的图象过点A（4，0），顶点为B，连接AB、BO．（1）求二次函数的表达式；（2）若C是BO的中点，点Q在线段AB上，设点B关于直线CQ的对称点为B△'，当OCB'为等边三角形时，求BQ的长度；（3）若点D在线段BO上，OD＝2DB，点E、F在△OAB的边上，且满足△DOF与△DEF全等，求点E的坐标．【专项突破】【题组一】1．（2020•张家港市模拟）如图，二次函效y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，B点坐标为（4，0），与y轴交于点C（0，4）点D为抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式及A点坐标；（△2）若BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标；（△3）若BCD是锐角三角形，请写出点D的横坐标m的取值范围．2．2020•宝应县一模）如图1，矩形ABCD的一边BC在直角坐标系中x轴上，折叠边AD，（使点D落在x轴上点F处，折痕为AE，已知AB＝8，AD＝10，并设点B坐标为（m，0），其中m＜0．（1）求点E、F的坐标（用含m的式子表示）；（2）连接△OA，若OAF是等腰三角形，求m的值；（3）如图2，设抛物线y＝a（x﹣m+6）2+h经过A、E两点，其顶点为M，连接AM，若∠O AM＝90°，求a、h、m的值．3．（2019秋•邗江区校级期末）如图①抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B（4，0），点C三点．（1）试求抛物线解析式；（2）点D（3，m）在第一象限的抛物线上，连接B C，BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC＝∠DBC？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点N在抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标．4．（2019秋•亭湖区校级期末）如图，抛物线y＝﹣x2+b x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A（﹣1，0）．过点A作直线y＝x+c与抛物线交于点D，动点P在直线y＝x+c上，从点A出发，以每秒个单位长度的速度向点D运动，过点P作直线PQ ∥y轴，与抛物线交于点Q，设运动时间为t（s）．（1）直接写出b，c的值及点D的坐标；（2）点E是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△CBE的面积为6时，求出点E的坐标；（3）在线段PQ最长的条件下，点M在直线PQ上运动，点N在x轴上运动，当以点D、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请求出此时点N的坐标．4【题组二】5．（2019 秋•崇川区期末）如图所示，在平面直角坐标系中，顶点为（ ，﹣1）的抛物线交y 轴于 A 点，交 x 轴于 B ，C 两点（点 B 在点 C 的左侧），已知 A 点坐标为（0，3）．（1）求此抛物线的解析式；（2）过点 B 作线段 AB 的垂线交抛物线于点 D ，如果以点 C 为圆心的圆与直线 BD 相切， 请判断抛物线的对称轴与⊙C 有怎样的位置关系，并给出证明．6．（2019•徐州一模）如图，已知二次函数 y ＝ax 2+b x +3 的图象与 x 轴交于点 A （﹣1，0）、B （4，0），与 y 的正半轴交于点C ．（1）求二次函数 y ＝ax 2+b x +3 的表达式．（2）点 Q （m ，0）是线段 OB 上一点，过点 Q 作 y 轴的平行线，与 BC 交于点 M ，与抛 物线交于点 N ，连结 △CN ，将 CMN 沿 CN 翻折，M 的对应点为 D ．探究：是否存在点 Q ， 使得四边形 MNDC 是菱形？若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由． （3）若点 E 在二次函数图象上，且以 E 为圆心的圆与直线 BC 相切与点 F ，且 EF请直接写出点 E 的坐标．，7．（2019•亭湖区二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 yx 2+b x +c 的图象与 y轴交于点 A （0，8），与 x 轴交于 B 、C 两点，其中点 C 的坐标为（4，0）．点 P （m ，n ） 为该二次函数在第二象限内图象上的动点，点 D 的坐标为（0，4），连接 BD ．（1）求该二次函数的表达式及点 B 的坐标；（2）连接 OP ，过点 P 作 PQ ⊥x 轴于点 Q ，当以 O 、P 、Q 为顶点的三角形与△OBD 相 似时，求 m 的值；（ t （3）连接 BP ，以 BD 、BP 为邻边作 BDEP ，直线 PE 交 y 轴于点 T ．①当点 E 落在该二次函数图象上时，求点 E 的坐标；②在点 P 从点 A 到点 B 运动过程中（点 P 与点 A 不重合），直接写出点 T 运动的路径长．8． 2019 秋•灌云县期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过 A （﹣2，0），B （0，﹣2）， C （1，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点 M 为第三象限内抛物线上一动点，点 M 的横坐标为 m ，△AMB 的面积为 S ， 求 S 关于 m 的函数关系式，并求出 S 的最大值．（3）若点 P 是抛物线上的动点，点 Q 是直线 y ＝﹣x 上的动点，判断有几个位置能够使 得点 P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点 Q 的坐标．【题组三】9．（2019•清江浦区一模）如图，抛物线 y ＝ax 2+b x +4（a ≠0）与 x 轴交于点 B （﹣3，0）和C （4，0）与 y 轴交于点 A ．（1）a ＝ ，b ＝ ；（2）点 M 从点 A 出发以每秒 1 个单位长度的速度沿 AB 向 B 运动，同时，点 N 从点 B 出发以每秒 1 个单位长度的速度沿 BC 向 C 运动，当点 M 到达 B 点时，两点停止运动． 为何值时，以 B 、M 、N 为顶点的三角形是等腰三角形？（3）点 P 是第一象限抛物线上的一点，若 BP 恰好平分∠ABC ，请直接写出此时点 P 的 坐标．10．（2019•灌南县二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y ＝ax 2+b x点 A （﹣1，0）、C （2，0），与 y 轴交于点 B ，其对称轴与 x 轴交于点 D的图象经过（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）M（s，t）为抛物线对称轴上的一个动点，①若平面内存在点N，使得A、B、M、N为顶点的四边形为矩形，直接写出点M的坐标；②连接MA、MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范围．11．（2019秋•沭阳县期末）如图，抛物线y＝ax2+b x﹣2的对称轴是直线x＝1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣2，0），点P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．（1）求抛物线解析式；（2）若点P在第一象限内，当OD＝4PE时：①求点D、P、E的坐标；②求四边形POBE的面积．（3）在（2）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．12．（2019秋•江都区期末）已知二次函数y b x+c（b、c为常数）的图象经过点（0，﹣1）和点A（4，1）．（1）求b、c的值；（2）如图1，点C（10，m）在抛物线上，点M是y轴上的一个动点，过点M平行于x 轴的直线l平分∠AMC，求点M的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，点P是抛物线上的一动点，以P为圆心、PM为半径的圆与x轴相交于E、F两点，若△PEF的面积为2，请直接写出点P的坐标．（ （【题组四】13． 2019•宿豫区模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y ＝ax 2+b x +c 与 x 轴交于 A （﹣1，0）、B （3，0）两点，且抛物线经过点 D （2，3）．（1）求这条抛物线的表达式；（2）将该抛物线向下平移，使得新抛物线的顶点 G 在 x 轴上．原抛物线上一点 M 平移 后的对应点为点 △N ，如果 AMN 是以 MN 为底边的等腰三角形，求点 N 的坐标；（3）若点 P 为抛物线上第一象限内的动点，过点 B 作 BE ⊥OP ，垂足为 E ，点 Q 为 y 轴 上的一个动点，连接 QE 、QD ，试求 QE +QD 的最小值．14．（2019•江西模拟）已知抛物线 l 1：y 1＝ax 2﹣2 的顶点为 P ，交 x 轴于 A 、B 两点（A 点 在 B 点左侧），且 sin ∠ABP．（1）求抛物线 l 1 的函数解析式；（2）过点 A 的直线交抛物线于点 C ，交 y 轴于点 D ，若△ABC 的面积被 y 轴分为 1：4 两个部分，求直线 AC 的解析式；（3）在（2）的情况下，将抛物线 l 1 绕点 P 逆时针旋转 180°得到抛物线 l 2，点 M 为抛 物线 l 2 上一点，当点 M 的横坐标为何值时，△BDM 为直角三角形？15． 2019 秋•锡山区期末）在平面直角坐标系中，二次函数 y ＝ax 2+b x +2 的图象与 x 轴交于 A （﹣3，0），B （1，0）两点，与 y 轴交于点 C ．（1）求这个二次函数的解析式，并直接写出当 x 满足什么值时 y ＜0？（2）点 P 是直线 AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点 △P ，使 ACP 面积最大？若存 在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点 M 为抛物线上一动点，在 x 轴上是否存在点 Q ，使以 A 、C 、M 、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．16．（2019秋•徐州期末）如图，矩形OABC中，O为原点，点A在y轴上，点C在x轴上，点B的坐标为（4，3），抛物线y x2+b x+c与y轴交于点A，与直线AB交于点D，与x轴交于C，E两点．（1）求抛物线的表达式；（2）点P从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，与此同时，点Q从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．连接DP、DQ、PQ，设运动时间为t（秒）．①当t为何值时，△DPQ的面积最小？②是否存在某一时刻△t，使DPQ为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．【题组五】17．（2019秋•江都区期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣x2+4x．（1）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“方点”．试求拋物线y＝﹣x2+4x的“方点”的坐标；（2）如图，若将该抛物线向左平移1个单位长度，新抛物线与x轴相交于A、B两点（A 在B左侧），与y轴相交于点C，连接BC．若点P是直线BC上方抛物线上的一点，求△PBC的面积的最大值；（3）第（2）问中平移后的抛物线上是否存在点△Q，使QBC是以BC为直角边的直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，说明理由．18．（2019秋•兴化市期末）如图，△Rt FHG中，∠H＝90°，FH∥x轴，0.6，则称△Rt FHG为准黄金直角三角形（G在F的右上方）．已知二次函数y1＝ax2+b x+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点E（0，﹣3），顶点为C（1，﹣4），点D为二次函数y2＝a（x﹣1﹣m）2+0.6m﹣4（m＞0）图象的顶点．（1）求二次函数y1的函数关系式；（2）若准黄金直角三角形的顶点F与点A重合、G落在二次函数y1的图象上，求点G 的坐标及△FHG的面积；（3）设一次函数y＝mx+m与函数y1、y2的图象对称轴右侧曲线分别交于点P、Q．且P、Q两点分别与准黄金直角三角形的顶点F、G重合，求m的值，并判断以C、D、Q、P 为顶点的四边形形状，请说明理由．19．（2019秋•赣榆区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，连接BC．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点P是直线BC上方抛物线上的点，若∠PCB＝∠BCO，求出P点的到y轴的距离．20．（2019•海陵区校级三模）如图①抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x+m与直线y＝kx+k交于点A、B，其中A点在x轴上，它们与y轴交点分别为C和D，P为抛物线的顶点，且点P纵坐标为4，抛物线的对称轴交直线于点Q．（1）试用含k的代数式表示点Q、点B的坐标．（2）连接PC，若四边形CDQP的内部（包括边界和顶点）只有4个横坐标、纵坐标均为整数的点，求k的取值范围．（3）如图②，四边形CDQP为平行四边形时，①求k的值；②E、F为线段DB上的点（含端点）横坐标分别为a，a+n（n为正整数），EG∥y轴交，抛物线于点G．问是否存在正整数n，使满足tan∠EGF的点E有两个？若存在，求出n；若不存在说明理由．【题组六】21．（2019•泉山区校级二模）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线对应函数的关系式，及A点坐标．（2）点D为抛物线对称轴上一点．①当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标；②若△BCD是锐角三角形，求点D的纵坐标的取值范围．22．（2019•宿迁模拟）如图，抛物线y x2+b x+c与x轴交于A、B两点，直线y x 经过点A，与抛物线的另一个交点为点C（3，m），线段PQ在线段AB上移动，PQ＝1，分别过点P、Q作x轴的垂线，交抛物线于E、F，交直线于D、G．（1）求抛物线的解析式；（2）设四边形DEFG的面积为S，求S的最大值；（3）在线段PQ的移动过程中，以D，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标．23．（2019•东台市模拟）如图，抛物线y＝ax2+b x+3的图象经过点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C，顶点是D．（1）求抛物线的表达式和顶点D的坐标；（2）在x轴上取点F，在抛物线上取点E，使以点C、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，求点E的坐标；（3）将此抛物线沿着过点（0，2）且垂直于y轴的直线翻折，E为所得新抛物线x轴上x﹣1于点F，以EF为直方一动点，过E作x轴的垂线，交x轴于G，交直线l：y径作圆在直线l上截得弦MN，求弦MN长度的最大值．24．（2019•阜宁县一模）如图，已知抛物线y x2+b x+4与x轴相交于A、B两点，与y 轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（﹣2，0）．（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；（3）证明：以AC为直径的圆与抛物线的对称轴相离；（4）在抛物线对称轴上是否存在点Q，使△ACQ的外心恰好在一条边上？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．参考答案【真题再现】1．（2019年盐城27题）如图所示，二次函数y＝k（x﹣1）2+2的图象与一次函数y ＝kx﹣k+2的图象交于A、B两点，点B在点A的右侧，直线AB分别与x、y轴交于C、D两点，其中k＜0．（1）求A、B两点的横坐标；（△2）若OAB是以OA为腰的等腰三角形，求k的值；（3）二次函数图象的对称轴与x轴交于点E，是否存在实数k，使得∠ODC＝2∠BEC，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．【分析】（1）将二次函数与一次函数联立得：k（x﹣1）2+2＝kx﹣k+2，即可求解；（2）分OA＝AB、OA＝OB两种情况，求解即可；（3）求出m＝﹣k2﹣k，在△AHM中，tanαk tan∠BEC k+2，即可求解．【解析】（1）将二次函数与一次函数联立得：k（x﹣1）2+2＝kx﹣k+2，解得：x＝1和2，故点A、B的坐标横坐标分别为1和2；（2）OA，①当OA＝AB时，即：1+k2＝5，解得：k＝±2（舍去2）；②当OA＝OB时，4+（k+2）2＝5，解得：k＝﹣1或﹣3；故k的值为：﹣1或﹣2或﹣3；（3）存在，理由：①当点B在x轴上方时，过点B作BH⊥AE于点△H，将AHB的图形放大见右侧图形，过点A作∠HAB的角平分线交BH于点M，过点M作MN⊥AB于点N，过点B作BK⊥x轴于点K，图中：点A（1，2）、点B（2，k+2），则AH＝﹣k，HB＝1，设：HM＝m＝MN，则BM＝1﹣m，则AN＝AH＝﹣k，AB，NB＝AB﹣AN，由勾股定理得：MB2＝NB2+MN2，即：（1﹣m）2＝m2+（k）2，解得：m＝﹣k2﹣k，在△AHM中，tanαk tan∠BEC k+2，解得：k，此时k+2＞0，则﹣2＜k＜0，故：舍去正值，2．（2019 年连云港 26 题）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 L ：y ＝x 2+bx +c 过故 k ；②当点 B 在 x 轴下方时，同理可得：tan α解得：k或，k tan ∠BEC （k +2），此时 k +2＜0，k ＜﹣2，故舍去，故 k 的值为：或 ．1点 C （0，﹣3），与抛物线 L 2：yx 2x +2 的一个交点为 A ，且点 A 的横坐标为 2，点 P 、Q 分别是抛物线 L 1、L 2 上的动点． （1）求抛物线 L 1 对应的函数表达式；（2）若以点 A 、C 、P 、Q 为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点 P 的坐标；（3）设点 R 为抛物线 L 1 上另一个动点，且 CA 平分∠PCR ．若 OQ ∥PR ，求出点 Q 的坐 标．【分析】（1）先求出 A 点的坐标，再用待定系数法求出函数解析式便可； （2）设点 P 的坐标为（x ，x 2﹣2x ﹣3），分两种情况讨论：AC 为平行四边形的一条边， AC 为平行四边形的一条对角线，用 x 表示出 Q 点坐标，再把 Q 点坐标代入抛物线 L 2：y x 2x +2 中，列出方程求得解便可；（3）当点 P 在 y 轴左侧时，抛物线 L 1 不存在点 R 使得 CA 平分∠PCR ，当点 P 在 y 轴 右侧时，不妨设点 P 在 CA 的上方，点 R 在 CA 的下方，过点 P 、R 分别作 y 轴的垂线， 垂足分别为 S 、T ，过点 P 作 PH ⊥TR 于点 H ，设点 P 坐标为（x 1， ），点 R 坐标为（x 2， ），证明△PSC ∽△RTC ，由相似比得到 x 1+x 2＝4，进而得 tan∠PRH 的值，过点 Q 作 QK ⊥x 轴于点 K ，设点 Q 坐标为（m ，），由 tan∠QOK ＝tan ∠PRH ，移出 m 的方程，求得 m 便可．【解析】（1）将 x ＝2 代入 yx 2x +2，得 y ＝﹣3，故点 A 的坐标为（2，﹣3），将 A （2，﹣3），C （0，﹣3）代入 y ＝x 2+b x +c ，得，解得，∴抛物线 L 1：y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）如图，设点 P 的坐标为（x ，x 2﹣2x ﹣3）， 第一种情况：AC 为平行四边形的一条边，①当点Q在点P右侧时，则点Q的坐标为（x+2，x2﹣2x﹣3），将Q（x+2，x2﹣2x﹣3）代入y x2x+2，得x2﹣2x﹣3（x+2）2（x+2）+2，解得x＝0或x＝﹣1，因为x＝0时，点P与C重合，不符合题意，所以舍去，此时点P的坐标为（﹣1，0）；②当点Q在点P左侧时，则点Q的坐标为（x﹣2，x2﹣2x﹣3），将Q（x﹣2，x2﹣2x﹣3）代入yy x2x+2，得x2x+2，得x2﹣2x﹣3（x﹣2）2（x﹣2）+2，解得，x＝3，或x，此时点P的坐标为（3，0）或（，）；第二种情况：当AC为平行四边形的一条对角线时，由AC的中点坐标为（1，﹣3），得PQ的中点坐标为（1，﹣3），故点Q的坐标为（2﹣x，﹣x2+2x﹣3），将Q（2﹣x，﹣x2+2x﹣3）代入y x2x+2，得﹣x2+2x﹣3═（2﹣x）2（2﹣x）+2，解得，x＝0或x＝﹣3，因为x＝0时，点P与点C重合，不符合题意，所以舍去，此时点P的坐标为（﹣3，12），综上所述，点P的坐标为（﹣1，0）或（3，0）或（，）或（﹣3，12）；（3）当点P在y轴左侧时，抛物线L1不存在点R使得CA平分∠PCR，当点P在y轴右侧时，不妨设点P在CA的上方，点R在CA的下方，过点P、R分别作y轴的垂线，垂足分别为S、T，过点P作PH⊥TR于点H，则有∠PSC＝∠RTC＝90°，由CA平分∠PCR，得∠PCA＝∠RCA，则∠PCS＝∠RCT，∴△PSC∽△RTC，∴，设点P坐标为（x1，所以有整理得，x1+x2＝4，），点R坐标为（x2，，），在△Rt PRH中，tan∠PRH过点Q作QK⊥x轴于点K，设点Q坐标为（m，若OQ∥PR，则需∠QOK＝∠PRH，所以tan∠QOK＝tan∠PRH＝2，），所以2m，解得，m，所以点Q坐标为（，﹣7）或（，﹣7）．3．（2019年无锡27题）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+c（a＜0）的图象与它的对称轴相交于点A，与y轴相交于点C（0，﹣2），其对称轴与x轴相交于点B（1）若直线BC与二次函数的图象的另一个交点D在第一象限内，且BD，求这个二次函数的表达式；（2）已知P在y轴上，且△POA为等腰三角形，若符合条件的点P恰好有2个，试直接写出a的值．【分析】（1）先求得对称轴方程，进而得B点坐标，过D作DH⊥x轴于点H，由B，C的坐标得∠OBC＝45°，进而求得DH，BH，便可得D点坐标，再由待定系数法求得解析式；（2）先求出A点的坐标，再分两种情况：A点在x轴上时，△OP A为等腰直角三角形，符合条件的点P恰好有2个；A点不在x轴上，∠AOB＝△30°，OP A为等边三角形或顶角为120°的等腰三角形，符合条件的点P恰好有2个．据此求得a．【解析】（1）过点D作DH⊥x轴于点H，如图1，∵二次函数y＝ax2﹣4ax+c，∴对称轴为x，∴B（2，0），∵C（0，﹣2），∴OB＝OC＝2，∴∠OBC＝∠DBH＝45°，∵BH，∴BH＝DH＝1，∴OH＝OB+BH＝2+1＝3，∴D（3，1），把C（0，﹣2），D（3，1）代入y＝ax2﹣4ax+c中得，，∴，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+4x﹣2；（2）∵y＝ax2﹣4ax+c过C（0，﹣2），∴c＝﹣2，∴y＝ax2﹣4ax+c＝a（x﹣2）2﹣4a﹣2，∴A（2，﹣4a﹣2），∵P在y轴上，且△POA为等腰三角形，若符合条件的点P恰好有2个，∴①当抛物线的顶点A在x轴上时，∠POA＝90°，则OP＝OA，这样的P点只有2个，正、负半轴各一个，如图2，此时A（﹣2，0），∴﹣4a﹣2＝0，解得a；②当抛物线的顶点A不在x轴上时，∠AOB＝△30°时，则OP A为等边三角形或∠AOP ＝120°的等腰三角形，这样的P点也只有两个，如图3，∴AB＝OB•tan30°＝2，∴|﹣4a﹣2|∴，或．综上，a或或．4．（2017年淮安28题）如图①，在平面直角坐标系中，二次函数y x2+b x+c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（4，0），连接AC，BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B 作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒．连接PQ．（1）填空：b＝，c＝4；（2）在点P，Q运动过程中，△APQ可能是直角三角形吗？请说明理由；（3）在x轴下方，该二次函数的图象上是否存在点△M，使PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间t；若不存在，请说明理由；（ a （ y（4）如图② ，点 N 的坐标为（，0），线段 PQ 的中点为 H ，连接 NH ，当点 Q 关于直线 NH 的对称点 Q ′恰好落在线段 BC 上时，请直接写出点 Q ′的坐标．【分析】（1）设抛物线的解析式为 y ＝a （x +3）（x ﹣4）．将 a代入可得到抛物线的解析式，从而可确定出 b 、c 的值；（2）连结 QC ．先求得点 C 的坐标，则 PC ＝5﹣t ，依据勾股定理可求得 AC ＝5，CQ 2＝ t 2+16，接下来，依据 CQ 2﹣CP 2＝AQ 2﹣AP 2 列方程求解即可；（3）过点 P 作 DE ∥x 轴，分别过点 M 、Q 作 MD ⊥DE 、QE ⊥DE ，垂足分别为 D 、E ， MD 交 x 轴与点 F ，过点 P 作 PG ⊥x 轴，垂足为点 G ，首先证明△P AG ∽△ACO ，依据相似三角形的性质可得到 PGt ，AG t ，然后可求得 PE 、DF 的长，然后再证明△MDP ≌PEQ ，从而得到 PD ＝EQt ，MD ＝PE ＝3t ，然后可求得 FM 和 OF 的长，从而可得到点 M 的坐标，然后将点 M 的坐标代入抛物线的解析式求解即可；（4）连结：OP ，取 OP 的中点 R ，连结 RH ，NR ，延长 NR 交线段 BC 与点 Q ′．首先依据三角形的中位线定理得到 RHQO t ，RH ∥OQ ，NR AP t ，则 RH ＝NR ，接下来，依据等腰三角形的性质和平行线的性质证明 NH 是∠QNQ ′的平分线，然后求 得直线 NR 和 BC 的解析式，最后求得直线 NR 和 BC 的交点坐标即可．【解析】 1）设抛物线的解析式为 y ＝ （x +3） x ﹣4）．将 a∴b，c ＝4．（2）在点 P 、Q 运动过程中，△APQ 不可能是直角三角形．理由如下：连结 QC ．代入得： x 2 x +4，∵在点 P 、Q 运动过程中，∠P AQ 、∠PQA 始终为锐角， ∴当△APQ 是直角三角形时，则∠APQ ＝90°．将x＝0代入抛物线的解析式得：y＝4，∴C（0，4）．∵AP＝OQ＝t，∴PC＝5﹣t，∵在△Rt AOC中，依据勾股定理得：AC＝5，在Rt△COQ中，依据勾股定理可知：CQ2＝t2+16，在△Rt CPQ中依据勾股定理可知：PQ2＝CQ2﹣CP2，在△Rt APQ中，AQ2﹣AP2＝PQ2，∴CQ2﹣CP2＝AQ2﹣AP2，即（3+t）2﹣t2＝t2+16﹣（5﹣t）2，解得：t＝4.5．∵由题意可知：0≤t≤4，∴t＝4.5不合题意，即△APQ不可能是直角三角形．（3）如图所示：过点P作DE∥x轴，分别过点M、Q作MD⊥DE、QE⊥DE，垂足分别为D、E，MD交x轴与点F，过点P作PG⊥x轴，垂足为点G，则PG∥y轴，∠E＝∠D＝90°．∵PG∥y轴，∴△P AG∽△ACO，∴∴PG t，AG ，即t，，∴PE＝GQ＝GO+OQ＝AO﹣AG+OQ＝3t+t＝3t，DF＝GP t．∵∠MPQ＝90°，∠D＝90°，∴∠DMP+∠DPM＝∠EPQ+∠DPM＝90°，∴∠DMP＝∠EPQ．又∵∠D＝∠E，PM＝PQ，∴△MDP≌△PEQ，∴PD＝EQ t，MD＝PE＝3t，∴FM＝MD﹣DF＝3t t＝3t，OF＝FG+GO＝PD+OA﹣AG＝3t t＝3t，∴M（﹣3t，﹣3t）．∵点M在x轴下方的抛物线上，∴﹣3t（﹣3t）2（﹣3t）+4，解得：t．∵0≤t≤4，∴t．（4）如图所示：连结OP，取OP的中点R，连结RH，NR，延长NR交线段BC于点Q′．∵点H为PQ的中点，点R为OP的中点，∴RH QO t，RH∥OQ．∵A（﹣3，0），N（，0），∴点N为OA的中点．又∵R为OP的中点，∴NR AP t，∴RH＝NR，∴∠RNH＝∠RHN．∵RH∥OQ，∴∠RHN＝∠HNO，∴∠RNH＝∠HNO，即NH是∠QN Q′的平分线．设直线AC的解析式为y＝mx+n，把点A（﹣3，0）、C（0，4）代入得：，解得：m，n＝4，∴直线AC的表示为y x+4．同理可得直线BC的表达式为y＝﹣x+4．设直线NR的函数表达式为y x+s，将点N的坐标代入得：（）+s＝0，解得：s ＝2，∴直线NR的表述表达式为y x+2．将直线NR和直线BC的表达式联立得：，解得：x，y，∴Q′（，）．5．（2017年宿迁25题）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），将该抛物线位于x轴上方曲线记作M，将该抛物线位于x轴下方部分沿x轴翻折，翻折后所得曲线记作N，曲线N交y轴于点C，连接AC、BC．（1）求曲线N所在抛物线相应的函数表达式；（△2）求ABC外接圆的半径；（3）点P为曲线M或曲线N上的一动点，点Q为x轴上的一个动点，若以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标．【分析】（1）由已知抛物线可求得A、B坐标及顶点坐标，利用对称性可求得C的坐标，利用待定系数法可求得曲线N的解析式；（2）由外接圆的定义可知圆心即为线段B C与AB的垂直平分线的交点，即直线y＝x与抛物线对称轴的交点，可求得外接圆的圆心，再利用勾股定理可求得半径的长；（3）设Q（x，0），当BC为平行四边形的边时，则有BQ∥PC且BQ＝PC，从而可用x 表示出P点的坐标，代入抛物线解析式可得到x的方程，可求得Q点坐标，当BC为平行四边形的对角线时，由B、C的坐标可求得平行四边形的对称中心的坐标，从而可表示出P点坐标，代入抛物线解析式可得到关于x的方程，可求得P点坐标．【解析】（1）在y＝x2﹣2x﹣3中，令y＝0可得x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1或x＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），令x＝0可得y＝﹣3，又抛物线位于x轴下方部分沿x轴翻折后得到曲线N，∴C（0，3），设曲线N的解析式为y＝ax2+b x+c，把A、B、C的坐标代入可得，解得，∴曲线N所在抛物线相应的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3；（△2）设ABC外接圆的圆心为M，则点M为线段BC、线段AB垂直平分线的交点，∵B（3，0），C（0，3），∴线段BC的垂直平分线的解析式为y＝x，又线段AB的垂直平分线为曲线N的对称轴，即x＝1，∴M（1，1），∴MB，即△ABC外接圆的半径为；（3）设Q（t，0），则BQ＝|t﹣3|①当BC为平行四边形的边时，如图1，则有BQ∥PC，∴P点纵坐标为3，x即过C点与x轴平行的直线与曲线M和曲线N的交点即为点P，轴上对应的即为点Q，当点P在曲线M上时，在y＝x2﹣2x﹣3中，令y＝3可解得x＝1或x＝1，∴PC＝1当x＝1或PC1，时，可知点Q在点B的右侧，可得BQ＝t﹣3，∴t﹣3＝1，解得t＝4，当x＝1时，可知点Q在点B的左侧，可得BQ＝3﹣t，∴3﹣t1，解得t＝4，∴Q点坐标为（4，0）或（4，0）；当点P在曲线N上时，在y＝﹣x2+2x+3中，令y＝3可求得x＝0（舍去）或x＝2，∴PC＝2，此时Q点在B点的右侧，则BQ＝t﹣3，∴t﹣3＝2，解得t＝5，∴Q点坐标为（5，0）；②当BC为平行四边形的对角线时，∵B（3，0），C（0，3），∴线段BC的中点为（，），设P（x，y），∴x+t＝3，y+0＝3，解得x＝3﹣t，y＝3，∴P（3﹣t，3），当点P在曲线M上时，则有3＝（3﹣t）2﹣2（3﹣t）﹣3，解得t＝2或t＝2，∴Q点坐标为（2，0）或（2，0）；当点P在曲线N上时，则有3＝﹣（3﹣t）2+2（3﹣t）+3，解得t＝3（Q、B重合，舍去）或t＝1，∴Q点坐标为（1，0）；综上可知Q点的坐标为（4，0）或（4，0）或（5，0）或（2，0）或（2，0）或（1，0）．6．（2017年常州27题）如图，在平面直角坐标系xOy，已知二次函数y x2+b x的图象过点A（4，0），顶点为B，连接AB、BO．（1）求二次函数的表达式；（2）若C是BO的中点，点Q在线段AB上，设点B关于直线CQ的对称点为B△'，当OCB'为等边三角形时，求BQ的长度；（3）若点D在线段BO上，OD＝2DB，点E、F在△OAB的边上，且满足△DOF与△DEF全等，求点E的坐标．。
2020年中考数学压轴题必考题型二次函数的存在性问题考点专练(pdf,含解析)
∴∠CAB=∠BAM= 45o .
∵MN⊥x 轴，∴∠BAM=∠AMN=45°，
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∴AN=MN.
【答案】（1） y 1 x2 1 x 2 ；（2）点 H 的坐标为（1， 3 ）；（3）当 m= 2 2
42
2
2 时，在第
四象限内抛物线上存在点 M，使得以点 A，B，M 为顶点的三角形与△ACB 相似.
【解析】
分析：
（1） 把点（2，2）代入 y 1 (x 2)(x m) (m 0) 中，解出 m 的值即可得到抛物线的解析式； m
∴ m 22 2 2 2 2 m 1 .
解得：m= 2 2 2 . ∵m＞0，
∴m= 2 2 2 . ②当△ACB∽△MBA 时，有 AB = CB ，即AB2 CB·MA .
2 ∵当 x=1 时，y= 1 1 2 = 3 .
2
2
∴点 H 的坐标为（1， 3 ）.
2
（3）假设存在点 M，使得以点 A，B，M 为顶点的三角形与△ACB 相似.
如下图，连接 AC，BC，AM，BM，过点 M 作 MN⊥x 轴于点 N，
由图易知，∠ACB 和∠ABM 为钝角， ①当△ACB∽△ABM 时，有 AC = AB ，即AB2 AC·AM .
直线 OF 的解析式为y= x ，
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y x y 2x
第二讲--二次函数中有关三角形存在性问题
+第二讲 二次函数中有关三角形存在性问题一、课题说明：二、知识梳理：动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
）等。
1.基本步骤：（1）分类讨论 （2）尺规作图 （3）计算 2.常用公式：（1）如果A(x 1,y 1)B(x 2,y 2),那么则它们的中点P 的坐标为（(x 1+x 2)/2, (y 1+y 2)/2）;(2)直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系:①两直线平行⇔21k k =且21b b ≠ ②两直线垂直⇔121-=k k po三、典例精讲： 1.等腰三角形问题例1.【A 类】（2015师大4模）uprt 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C (0，4)，顶点为(1,29)． (1)求抛物线的函数表达式；教学目标1、使学生掌握二次函数中特殊三角形存在性问题的解题思路及解题方法；2提高学生的综合分析与解决问题的能力。
教学重点 二次函数图像在等腰三角形、直角三角形、相似三角形存在性问题中的综合应用。
教学难点 让学生学会归纳并熟练掌握类型题的作图方法与解答技巧。
教学方法 分类讨论法、尺规作图、归纳法。
常见考法此类型通常会出现在陕西省中考数学第24题，分值为10分；其他省市中考题与也均以解答题形式出现。
选材程度及数量课堂精讲例题课堂训练题课后作业A 类 1 2B 类 1 1 2C 类211(2)设抛物线的对称轴与x 轴交于点D ，试在对称轴上找出点P ，使△CDP 为等腰三角形，请直接写出满足条件的所有点P 的坐标；【教法参考】（1）.分类讨论：分类标准：讨论顶角的位置或者底边的位置例如：本题第二问：在抛物线上找一点p ，使得P D C 、、三点构成等腰三角形，则可分成以下几种情况：（1）当C ∠为顶角时，CP CD = （2）当D ∠为顶角时，DP DC = （3）当P ∠为顶角时，PD PC =(2).尺规作图：两圆一线（①当C ∠为顶角时，以C 为圆心CD 为半径画圆，与对称轴交点即为所求点P ，②当D ∠为顶角时，以D 为圆心DC 为半径画圆，与对称轴交点即为所求点P ，③当P ∠为顶角时，线段DC 的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P 。
专题训练(三) 二次函数中的存在性问题
专题训练(三)二次函数中的存在性问题▶类型一构造特殊三角形1.如图1,抛物线y=-x2+2x+3与y轴交于点C,点D 的坐标为(0,1),P是抛物线上的动点.若△PCD是以CD为底的等腰三角形,则点P的坐标为.图12.如图2,直线y=-√3x+n交x轴于点A,交y轴于点C(0,3√3),抛物线y=23x2+bx+c经过点A,交y轴于点B(0,-2).P为抛物线上一个动点,过点P作x轴的垂线PD,过点B作BD⊥PD于点D,连结PB,设点P的横坐标为m.(1)求抛物线的表达式;(2)当△BDP为等腰直角三角形时,求线段PD的长.图2▶类型二构造特殊四边形3.如图3,抛物线y=-x2+2x+3与y轴交于点C,A为x轴上方的抛物线上任意一点,过点A作x轴的垂线交x轴于点B,设点A的横坐标为m,当四边形ABOC为平行四边形时,m的值为.图34.如图4,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2-43x+2(a≠0)过点B(1,0).(1)求抛物线的函数表达式;(2)求抛物线与y轴的交点C的坐标及与x轴的另一交点A的坐标;(3)以AC为边在第二象限画正方形ACPQ,求P,Q 两点的坐标.图45.如图5,在平面直角坐标系中,已知抛物线L:y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于A(-3,0)和B(1,0)两点,与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.(1)求抛物线的函数表达式和顶点D的坐标;(2)将抛物线L沿B,D所在的直线平移,平移后点B 的对应点为点B',点C的对应点为点C',点D的对应点为点D',当四边形BB'C'C是菱形时,求此时平移后的抛物线的表达式.图5▶类型三构造相等的角或特殊度数的角6.[2020·绍兴柯桥区期末]如图3-ZT-6,直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于B,C两点,抛物线y=-x2+bx+c 经过B,C两点,与x轴另一交点为A,顶点为D.(1)求抛物线的函数表达式.(2)在x轴上找一点E,使△EDC的周长最小,求符合条件的点E的坐标.(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得∠APB=∠OCB?若存在,求出PB2的值;若不存在,请说明理由.图6专题训练(三)教师详解详析1.(1+√2,2)或(1-√2,2)[解析] ∵△PCD 是以CD 为底的等腰三角形, ∴点P 在线段CD 的垂直平分线上.如图,作CD 的垂直平分线l 交抛物线于点P 1,P 2,交y 轴于点E ,则E 为线段CD 的中点.∵抛物线y=-x 2+2x+3与y 轴交于点C , ∴C (0,3).而D (0,1), ∴点E 的坐标为(0,2), ∴点P 的纵坐标为2.在y=-x 2+2x+3中,令y=2,可得-x 2+2x+3=2,解得x=1±√2,∴点P 的坐标为(1+√2,2)或(1-√2,2).2.解:(1)∵直线y=-√3x+n 交y 轴于点C (0,3√3), ∴n=3√3,∴y=-√3x+3√3. 令y=0,得x=3, ∴A (3,0).∵抛物线y=23x 2+bx+c 经过点A ,交y 轴于点B (0,-2).∴c=-2,6+3b-2=0, ∴b=-43,∴抛物线的表达式为y=23x 2-43x-2.(2)∵点P 的横坐标为m ,且点P 在抛物线上, ∴Pm ,23m 2-43m-2. ∵PD ⊥x 轴,BD ⊥PD , ∴点D 的坐标为(m ,-2), ∴BD=|m|,PD=23m 2-43m-2+2.当△BDP 为等腰直角三角形时,PD=BD , ∴|m|=23m 2-43m , m 2=23m 2-43m 2,解得m 1=0(舍去),m 2=72,m 3=12,∴当△BDP 为等腰直角三角形时,线段PD 的长为72或12.3.2 [解析] 当x=0时,y=3, ∴点C 的坐标为(0,3),则OC=3.∵点A 的横坐标为m ,且点A 在抛物线上, ∴点A 的坐标为(m ,-m 2+2m+3).当四边形ABOC 是平行四边形时,AB=3,当AB=3时,-m 2+2m+3=3,解得m 1=0(舍去),m 2=2,∴m=2. 4.解:(1)将B (1,0)代入y=ax 2-43x+2,得a-43+2=0,∴a=-23,∴抛物线的函数表达式为y=-23x 2-43x+2.(2)当y=0时,-23x 2-43x+2=0,解得x 1=1,x 2=-3. 当x=0时,y=2,∴抛物线与y 轴的交点C 的坐标为(0,2),与x 轴的另一交点A 的坐标为(-3,0).(3)如图,过点P ,Q 分别作PH ⊥y 轴,QG ⊥x 轴,垂足分别为H ,G.∵四边形ACPQ 是正方形,∴易证△AOC ≌△QGA ≌△CHP , ∴AO=QG=CH=3,OC=GA=HP=2, ∴P (-2,5),Q (-5,3).5.解:(1)把A (-3,0)和B (1,0)代入抛物线L :y=ax 2+bx+3,得{9a -3b +3=0,a +b +3=0,解得{a =-1,b =-2,即抛物线L :y=-x 2-2x+3,化为顶点式为y=-(x+1)2+4,故顶点D 的坐标为(-1,4). (2)∵B (1,0),D (-1,4),由待定系数法可得直线BD 的表达式为y=-2x+2. 设平移后点B 的对应点B'的坐标为(x ,-2x+2), 则BB'2=(x-1)2+(-2x+2-0)2=5(x-1)2.∵抛物线L :y=-x 2-2x+3,∴点C 的坐标为(0,3),∴BC 2=12+32=10, ∴5(x-1)2=10,解得x 1=√2+1,x 2=-√2+1.∴点B'的坐标为(√2+1,-2√2)或(-√2+1,2√2).当点B'的坐标为(√2+1,-2√2),即点B 向右平移√2个单位,再向下平移2√2个单位,可得点B',∴抛物线L :y=-x 2-2x+3=-(x+1)2+4向右平移√2个单位,再向下平移2√2个单位,可得y=-(x+1-√2)2+4-2√2.当点B'的坐标为(-√2+1,2√2),即点B 向左平移√2个单位,再向上平移2√2个单位,可得点B',∴抛物线L :y=-x 2-2x+3=-(x+1)2+4向左平移√2个单位,再向上平移2√2个单位,可得y=-(x+1+√2)2+4+2√2.综上所述,当四边形BB'C'C 是菱形时,此时平移后的抛物线的表达式为y=-(x+1-√2)2+4-2√2或y=-(x+1+√2)2+4+2√2.6.解:(1)直线y=-x+3与x 轴、y 轴分别交于B ,C 两点,则点B ,C 的坐标分别为(3,0),(0,3). 将点B ,C 的坐标代入y=-x 2+bx+c ,得 {-9+3b +c =0,c =3,解得{b =2,c =3,故抛物线的函数表达式为y=-x 2+2x+3.(2)如图①,作点C 关于x 轴的对称点C',连结C'D 交x 轴于点E ,此时EC+ED 的值最小,则△EDC 的周长最小.抛物线的顶点D 的坐标为(1,4),点C'(0,-3).用待定系数法可求得直线C'D 的表达式为y=7x-3. 当y=0时,x=37,故点E 的坐标为37,0.(3)存在.①当点P 在x 轴上方时,如图②, ∵OB=OC=3,∠BOC=90°, ∴∠OCB=45°=∠APB. 令y=0,则-x 2+2x+3=0, 解得x 1=-1,x 2=3, ∴A (-1,0),∴AB=4.过点B 作BH ⊥AP 于点H ,设PH=BH=a , 则PB=P A=√2a.由勾股定理得AB 2=AH 2+BH 2, 即16=(√2a-a )2+a 2, 解得a 2=8+4√2,则PB 2=2a 2=16+8√2. ②当点P 在x 轴下方时, 同理可得PB 2=16+8√2.综上可得,PB 2的值为16+8√2.。
2020年贵阳市中考数学试卷及答案【含解析】
2020年贵阳市中考试卷数学一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）.1．计算（﹣3）×2的结果是（）A．﹣6B．﹣1C．1D．62．下列4个袋子中，装有除颜色外完全相同的10个小球，任意摸出一个球，摸到红球可能性最大的是（）A．B．C．D．3．2020年为阻击新冠疫情，某社区要了解每一栋楼的居民年龄情况，以便有针对性进行防疫，一志愿者得到某栋楼60岁以上人的年龄（单位：岁）数据如下：62，63，75，79，68，85，82，69，70．获得这组数据的方法是（）A．直接观察B．实验C．调查D．测量4．如图，直线a，b相交于点O，如果∠1+∠2＝60°，那么∠3是（）A．150°B．120°C．60°D．30°5．当x＝1时，下列分式没有意义的是（）A．B．C．D．6．下列四幅图中，能表示两棵树在同一时刻太阳光下的影子的图是（）A．B．C．D．7．菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是（）A．5B．20C．24D．328．已知a＜b，下列式子不一定成立的是（）A．a﹣1＜b﹣1B．﹣2a＞﹣2bC．a+1＜b+1D．ma＞mb9．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使BE＝BD；分别以D，E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若CG＝1，P为AB上一动点，则GP的最小值为（）A．无法确定B．C．1D．210．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣3，0）与（1，0）两点，关于x的方程ax2+bx+c+m ＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是3．则关于x的方程ax2+bx+c+n＝0 （0＜n＜m）有两个整数根，这两个整数根是（）A．﹣2或0B．﹣4或2C．﹣5或3D．﹣6或4二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）11．化简x（x﹣1）+x的结果是．12．如图，点A是反比例函数y＝图象上任意一点，过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足为B，C，则四边形OBAC的面积为．13．在“抛掷正六面体”的试验中，正六面体的六个面分别标有数字“1”“2”“3”“4”“5”“6”，在试验次数很大时，数字“6”朝上的频率的变化趋势接近的值是．14．如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，点O是圆心，点D，E分别在边AC，AB上，若DA＝EB，则∠DOE的度数是度．15．如图，△ABC中，点E在边AC上，EB＝EA，∠A＝2∠CBE，CD垂直于BE的延长线于点D，BD＝8，AC＝11，则边BC的长为．三、解答题（10道小题，共100分）16．如图，在4×4的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．（1）在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；（2）在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数；（3）在图③中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．17．2020年2月，贵州省积极响应国家“停课不停学”的号召，推出了“空中黔课”．为了解某中学初三学生每天听空中黔课的时间，随机调查了该校部分初三学生．根据调查结果，绘制出了如图统计图表（不完整），请根据相关信息，解答下列问题：部分初三学生每天听空中黔课时间的人数统计表（1）本次共调查的学生人数为，在表格中，m＝；（2）统计的这组数据中，每天听空中黔课时间的中位数是，众数是；（3）请就疫情期间如何学习的问题写出一条你的看法．18．如图，四边形ABCD是矩形，E是BC边上一点，点F在BC的延长线上，且CF＝BE．（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；（2）连接ED，若∠AED＝90°，AB＝4，BE＝2，求四边形AEFD的面积．19．如图，一次函数y＝x+1的图象与反比例函数y＝的图象相交，其中一个交点的横坐标是2．（1）求反比例函数的表达式；（2）将一次函数y＝x+1的图象向下平移2个单位，求平移后的图象与反比例函数y＝图象的交点坐标；（3）直接写出一个一次函数，使其过点（0，5），且与反比例函数y＝的图象没有公共点．20．“2020第二届贵阳市应急科普知识大赛”的比赛中有一个抽奖活动，规则是：准备3张大小一样，背面完全相同的卡片，3张卡片的正面所写内容分别是《消防知识手册》《辞海》《辞海》，将它们背面朝上洗匀后任意抽出一张，抽到卡片后可以免费领取卡片上相应的书籍．（1）在上面的活动中，如果从中随机抽出一张卡片，记下内容后不放回，再随机抽出一张卡片，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2张卡片都是《辞海》的概率；（2）再添加几张和原来一样的《消防知识手册》卡片，将所有卡片背面朝上洗匀后，任意抽出一张，使得抽到《消防知识手册》卡片的概率为，那么应添加多少张《消防知识手册》卡片？请说明理由．21．脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为35°，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走8m到达点D时，又测得屋檐E 点的仰角为60°，房屋的顶层横梁EF＝12m，EF∥CB，AB交EF于点G（点C，D，B在同一水平线上）．（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，≈1.7）（1）求屋顶到横梁的距离AG；（2）求房屋的高AB（结果精确到1m）．22．第33个国际禁毒日到来之际，贵阳市策划了以“健康人生绿色无毒”为主题的禁毒宣传月活动，某班开展了此项活动的知识竞赛．学习委员为班级购买奖品后与生活委员对话如下：（1）请用方程的知识帮助学习委员计算一下，为什么说学习委员搞错了；（2）学习委员连忙拿出发票，发现的确错了，因为他还买了一本笔记本，但笔记本的单价已模糊不清，只能辨认出单价是小于10元的整数，那么笔记本的单价可能是多少元？23．如图，AB为⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC，BD交于点E，⊙O 的切线AF交BD的延长线于点F，切点为A，且∠CAD＝∠ABD．（1）求证：AD＝CD；（2）若AB＝4，BF＝5，求sin∠BDC的值．24．2020年体育中考，增设了考生进入考点需进行体温检测的要求．防疫部门为了解学生错峰进入考点进行体温检测的情况，调查了一所学校某天上午考生进入考点的累计人数y（人）与时间x（分钟）的变化情况，数据如下表：（表中9～15表示9＜x≤15）（1）根据这15分钟内考生进入考点的累计人数与时间的变化规律，利用初中所学函数知识求出y与x之间的函数关系式；（2）如果考生一进考点就开始测量体温，体温检测点有2个，每个检测点每分钟检测20人，考生排队测量体温，求排队人数最多时有多少人？全部考生都完成体温检测需要多少时间？（3）在（2）的条件下，如果要在12分钟内让全部考生完成体温检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？25．如图，四边形ABCD是正方形，点O为对角线AC的中点．（1）问题解决：如图①，连接BO，分别取CB，BO的中点P，Q，连接PQ，则PQ与BO的数量关系是，位置关系是；（2）问题探究：如图②，△AO'E是将图①中的△AOB绕点A按顺时针方向旋转45°得到的三角形，连接CE，点P，Q分别为CE，BO'的中点，连接PQ，PB．判断△PQB 的形状，并证明你的结论；（3）拓展延伸：如图③，△AO'E是将图①中的△AOB绕点A按逆时针方向旋转45°得到的三角形，连接BO'，点P，Q分别为CE，BO'的中点，连接PQ，PB．若正方形ABCD的边长为1，求△PQB的面积．2020年贵阳市中考数学试题参考答案关于难度系数：☆几乎所有考生都能得分；☆☆比较简单，大约80%考生能得分；☆☆☆一般难度，经过认真思考，大约60%考生能得分。
2020中考数学专题复习：二次函数与特殊三角形问题(含答案)
1.已知抛物线过A(－2，0)，B(0，2)，C(，0)三点．一动点P从原点出发以1个单位/(2)当BQ＝AP时，求t的值；∵抛物线经过A(－2，0)，B(0，2)，C(，0)三点，⎪⎩9a＋3b＋c＝0⎩c＝2∴抛物线的解析式为y＝－x2－x＋2.⎪22020中考数学三轮培优冲刺二次函数与特殊三角形问题（含答案）32秒的速度沿x轴正方向运动，连接BP，过点A作直线BP的垂线交y轴于点Q，设点P的运动时间为t秒．(1)求该抛物线的解析式；12(3)随着点P的运动，抛物线上是否存在一点M△，使MPQ为等边三角形？若存在，请直接写出t的值及相应点M的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设抛物线的解析式为y＝ax2＋b x＋c(a≠0)，32⎧4a－2b＋c＝0⎧a＝－3∴⎨c＝2，解得⎨b＝－1，3422133(2)如解图①，当t≤2时，点Q在点B下方，第1题解图①∵AQ⊥PB，BO⊥AP，∴∠AOQ＝∠BOP＝90°，∠P AQ＝∠PBO，∵BQ ＝ AP , ∴2－t ＝ (2＋t)，解得 t ＝ ； ∵BQ ＝ AP ，∴t －2＝ (2＋t)，解得 t ＝6. 综上，当 t ＝2或 6 时，BQ ＝1AP . ⎪⎩ y ＝－ x 2－ x ＋2 ⎪y ＝1 ⎪y ＝－3 ⎪ ⎪ ∵AO ＝BO ＝2，∴△AOQ ≌△BOP(ASA)，∴OQ ＝OP ＝t ，BQ ＝BO －OQ ＝2－t ，AP ＝AO ＋OP ＝2＋t ，1 12 2 2 3如解图②，当 t ＞2 时，点 Q 在点 B 上方，第 1 题解图②同理可证△AOQ ≌△BOP ，∴OQ ＝OP ＝t ，BQ ＝OQ －BO ＝t －2，AP ＝AO ＋OP ＝2＋t ，1 12 23 2 (3)存在，当 t ＝ 3－1 时，抛物线上存在点 M (1，1)，当 t ＝3＋3 3时，抛物线上存在点M (－3，－3)．【解法提示】由(2)知 OP ＝OQ △，∴ OPQ 是等腰直角三角形，∵△MPQ 是等边三角形，∴点 M 在线段 PQ 的垂直平分线上，由于直线 PQ 的垂直平分线为直线 y ＝x ，又∵点 M 在抛物线上，∴联立抛物线与直线 y ＝x 可得,⎧y ＝x ⎧x ＝1 ⎧⎪x ＝－3 ⎨ 2 1 ，解得⎨ 或⎨ . 3 3∴M (1，1)或(－3，－3)．当 M (1，1)时，如解图③，过点 M 作 MD ⊥x 轴于点 D ，的第 1 题解图③则有 PD ＝|1－t|，MP 2＝1＋(1－t)2＝t 2－2t ＋2，PQ 2＝2t 2，∵△MPQ 是等边三角形，∴MP ＝PQ ，∴MP 2＝PQ 2 即 t 2－2t ＋2＝2t 2，解得 t 1＝ 3－1，t 2＝－ 3－1(舍去)；当 M (－3，－3)时，如解图④，过点 M 作 ME ⊥x 轴于点 E ，第 1 题解图④则有 PE ＝OE ＋OP ＝3＋t ，ME ＝3，PQ 2＝2t 2，∴MP 2＝(3＋t)2＋32＝t 2＋6t ＋18，∵△MPQ 是等边三角形，∴MP ＝PQ ，即 MP 2＝PQ 2，∴t 2＋6t ＋18＝2t 2，解得 t 1＝3 3＋3，t 2＝－3 3＋3(舍去)，综上所述，当 t ＝ 3－1 时，抛物线上存在点 M (1，1)，使得△ MPQ 是等边三角形；当 t ＝3 3＋3 时，抛物线上存在点 M (－3，－3)，使得△ MPQ 是等边三角形．2.如图，已知抛物线 y ＝ax 2＋b x ＋c(a ≠0) 对称轴为直线 x ＝－1，且经过 A(1，0)，C(0， 3)两点，与 x 轴的另一个交点为 B.(1)若直线 y ＝mx ＋n 经过 B ，C 两点，求抛物线和直线 BC 的解析式；(2)在抛物线的对称轴 x ＝－1 上找一点 M ，使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小，求点 M 的坐标；(3)设点 P 为抛物线的对称轴 x ＝－1 上的一个动点，求使△ BPC 为直角三角形的点 P 的坐 标．a＋b＋c＝0，解得⎨b＝－2，⎪⎪b⎩⎩⎪⎪⎩⎩第2题图⎧－2a＝－1⎧a＝－1解：(1)由题意得⎨⎪c＝3⎪c＝3∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3.∵对称轴为直线x＝－1，抛物线经过A(1，0)，∴B(－3，0)．设BC的解析式y＝mx＋n，把B(－3，0)，C(0，3)分别代入y＝mx＋n得⎧－3m＋n＝0⎧m＝1⎨，解得⎨，⎪n＝3⎪n＝3∴直线BC的解析式为y＝x＋3；(2)如解图，连接MA，第2题解图∵MA＝MB，∴MA＋MC＝MB＋MC.∴使MA＋MC最小的点M应为直线BC与对称轴x＝－1的交点．设直线BC与对称轴x＝－1的交点为M，把x＝－1代入直线y＝x＋3，得y＝2.4＋t2＋t2－6t＋10＝18，解得t＝，t＝.综上所述，满足条件的点P共有四个，分别为：P(－1，－2)，P(－1，4)，P(－1，2)，P4(－1，⎪⎪⎩⎩∴M(－1，2);(3)设P(－1，t)，∵B(－3，0)，C(0，3)，∴BC2＝18，PB2＝(－1＋3)2＋t2＝4＋t2，PC2＝(－1)2＋(t－3)2＝t2－6t＋10.①若B为直角顶点，则BC2＋PB2＝PC2，即18＋4＋t2＝t2－6t＋10，解得t＝－2；②若C为直角顶点，则BC2＋PC2＝PB2，即18＋t2－6t＋10＝4＋t2，解得t＝4；③若P为直角顶点，则PB2＋PC2＝BC2，即：3＋173－171221233＋173－1722)．3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋b x＋c经过点A(0，－6)和点C(6，0)．(1)求抛物线的解析式；(2)若抛物线与x轴的负半轴交于点B，试判断△ABC的形状；(钝角三角形、直角三角形、锐角三角形)(3)抛物线上是否存在点P，使得△P AC是以AC为底的等腰三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．第3题图解：(1)将A、C两点坐标代入y＝x2＋b x＋c，⎧36＋6b＋c＝0⎧b＝－5得⎨，解得⎨，⎪c＝－6⎪c＝－6抛物线的解析式为y＝x2－5x－6；解得 x ＝－1，x ＝6(舍)， ∵k AC = 0 - (-6) = 1 ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ (2)当 y ＝0 时，则有 x 2－5x －6＝0，(x ＋1)(x －6)＝0，1 2∴B(－1，0)．由两点之间的距离公式可得：BC 2＝[(－1)－6]2＝49，AC 2＝(6－0)2＋[0－(－6)]2＝72，AB 2 ＝(－1－0)2＋[0－(－6)]2＝37，∵AB 2＋BC 2>AC 2，∴△ABC 为锐角三角形．(3)存在满足条件的点，使得△P AC 为等腰三角形理由：如解图，过线段 AC 的中点 M ，作 AC 的垂直平分线交抛物线于点 P ，直线 MP 与抛物线必有两个交点都是满足条件的点 P ，第 3 题解图∵A(0，－6)，C(6，0)，∴点 M 的坐标为(3，－3)，6 - 0，∴k MP =-1， 设直线 MP 的解析式为 y =-x +m ，将 M （3，-3）代入得-3=-3+m ，即 m =0，即直线 MP 的解析式为 y ＝－x ，⎧ y ＝－x ⎧ x 1＝2－ 10 ⎧⎪ x 2＝2＋ 10 联立⎨ ，解得⎨ 或⎨ ， ⎪ y ＝x 2－5x －6 ⎪ y 1＝ 10－2 ⎪⎩ y 2＝－2－ 10∴点 P 的坐标为(2－ 10， 10－2)或(2＋ 10，－2－ 10)．⎪⎪⎩⎩4.如图，抛物线y＝x2＋b x＋c与x轴交于A、B两点，B点坐标为(3，0)，与y轴交于点C(0，3)．(1)求抛物线的解析式；(2)点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y＝x＋m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE＋EF的最大值；(3)点D为抛物线对称轴上一点．当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标．⎧32＋3b＋c＝0⎧b＝－4解：(1)由题意得⎨，解得⎨，⎪c＝3⎪c＝3∴抛物线的解析式为y＝x2－4x＋3；(2)如解图①，过点P作PG∥CF交CB与点G，第4题解图①由题可知，直线BC的解析式为y＝－x＋3，OC＝OB＝3，∴∠OCB＝45°.同理可知∠OFE＝45°△，∴CEF为等腰直角三角形，∵PG∥CF△，∴GPE为等腰直角三角形，∴EF＝2CF＝(3－m),PE＝PG，则PE＝2PG＝2(－t＋3－t－m)＝2(－m－2t＋3)，(3－m)＋(－m－2t＋3)＝(－2t－2m＋6)＝－2(t＋m－3)＝－2(t2－4t)1与∵F(0，m)，C(0，3)，∴CF＝3－m，22222设P(t，t2－4t＋3)(1<t<3),则G(t，－t＋3)，∵点P是直线y＝x＋m与抛物线的交点，∴t2－4t＋3＝t＋m，222∴PE＋EF＝222222＝－2(t－2)2＋42，∴当t＝2时，PE＋EF最大，最大值为42；(3)由(1)知对称轴x＝2，设点D(2，n)，如解图②.第4题解图②△当BCD是以BC为直角边的直角三角形时，分两种情况讨论：(ⅰ)D在C上方D1位置时，由勾股定理得CD21＋BC2＝BD2，即(2－0)2＋(n－3)2＋(32)2＝(3－2)2＋(0－n)2，解得n＝5；(ⅱ)D在C下方D2位置时，由勾股定理得BD22＋BC2＝CD2，即(2－3)2＋(n－0)2＋(32)2＝(2－0)2＋(n－3)2，解得n＝－1，综上所述，当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，D为(2，5)或(2，－1)．5.如图，抛物线y＝ax2－2ax＋c(a≠0)y轴交于点C(0，4)，与x轴交于点A、B，点A的坐标为(4，0)．(1)求该抛物线的解析式；(2)抛物线的顶点为N，在x轴上找一点K，使CK＋KN最小，并求出点K的坐标；c=4⎪a=-⎩16a-8a+c=0∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋4；(2)由y＝－x2＋x＋4＝－(x－1)2＋可求得抛物线顶点坐标为N(1，)，(3)若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为(2，0)．问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．第5题图解：(1)∵抛物线经过点C(0，4)，A(4，0)，⎧⎧∴⎨，解得⎨⎪⎩c=412，1211992222如解图①，作点C关于x轴的对称点C′(0，－4)，连接C′N交x轴于点K，则点K即为所求，第5题解图①设直线C′N的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，把C′、N两点坐标代入可得，⎧⎪k + b = 9 ⎧⎪ k = ⎩ ⎩ ∴点 K 的坐标为( ，0)； 令－1x 2＋x ＋4＝2，解得 x ＝1＋ 5，x ＝1－ 5. 由等腰三角形的性质得：OM ＝1OD ＝1，17 ⎨ 2 ，解得 ⎨ 2 ， ⎪ b = -4 ⎪ b = -4∴直线 C′N 的解析式为 y ＝ 17 2x －4， 令 y ＝0，解得 x ＝ 8 ， 178 17(3)存在．要使△ ODF 是等腰三角形，需分以下三种情况讨论： ①当 DO ＝DF 时，∵A(4，0)，D(2，0)，∴AD ＝OD ＝DF ＝2，在 △Rt AOC 中，OA ＝OC ＝4，∴∠OAC ＝45°，∴∠DFA ＝∠OAC ＝45°，∴∠ADF ＝90°.此时，点 F 的坐标为(2，2)；21 2 此时，点 P 的坐标为(1＋ 5，2)或(1－ 5，2)；②当 FO ＝FD 时，如解图②，过点 F 作 FM ⊥x 轴于点 M .第 5 题解图②21令－ x 2＋x ＋4＝3，解得 x ＝1＋ 3，x ＝1－ 3. 6. 如图①，抛物线 y ＝－ x 2＋b x ＋8 与 x 轴交于点 A(－6，0)，点 B(点 A 在点 B 左侧)， ∴AM ＝3，∴在等腰直角△ AMF 中，MF ＝AM ＝3，∴F(1，3)．21 2此时，点 P 的坐标为(1＋ 3，3)或(1－ 3，3)；③当 OD ＝OF 时，∵OA ＝OC ＝4，且∠AOC ＝90°，∴AC ＝4 2，∴点 O 到 AC 的距离为 2 2.而 OF ＝OD ＝2<2 2，∴在 AC 上不存在点使得 OF ＝OD ＝2.此时，不存在这样的直线 l ，使得△ ODF 是等腰三角形．综上所述，存在这样的直线 l ，使得△ ODF 是等腰三角形，所求点 P 的坐标为(1＋ 5，2) 或(1－ 5，2)或(1＋ 3，3)或(1－ 3，3)．1 3与 y 轴交于点 C ，点 P 为线段 AO 上的一个动点，过点 P 作 x 轴的垂线 l 与抛物线交于点 E ，连接 AE 、EC.(1)求抛物线的表达式及点 C 的坐标；(2)连接 AC 交直线 l 于点 D ，则在点 P 运动过程中，当点 D 为 EP 中点时，求S △ ADP ∶△S CDE ；(3)如图②，当 EC ∥x 轴时，点 P 停止运动，此时，在抛物线上是否存在点 G △，使 AEG 是以 AE 为直角边的直角三角形？若存在，请求出点 G 的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)∵点 A(－6，0)在抛物线 y ＝－1x 2＋b x ＋8 上，∴0＝－ ×(－6)2＋(－6b )＋8，∴抛物线的表达式为 y ＝－ x 2－ x ＋8，(2)设点 E(t ，－ t 2－ t ＋8)，∴DP ＝DE ，D(t ，－ t 2－ t ＋4)，⎧ ∴直线 AC 的解析式为 y ＝ x ＋8，∵点 D 在直线 AC 上，∴ t ＋8＝－ t 2－ t ＋4，⎨-6k +d = 0 ⎪ k = 4⎩ d = 8 ，解得 ⎨ 3 ，， ⎩第 6 题图313解得 b ＝－2，3123 3令 x ＝0，得 y ＝8，∴C(0，8);123 3∴P(t ，0)，∵点 D 为 EP 的中点，116 3∵A(－6，0)，C(0，8)，设直线 AC 的解析式为 y ＝kx ＋d (k ≠0) 将其代入得，⎧⎪ d = 84341 13 6 3解得 t ＝－6(舍去)，t ＝－4，∴P(－4，0)，∴AP ＝2，OP ＝4，＝ ＝AP ＝1； 把 y ＝8 代入 y ＝－1x 2－2x ＋8， 则 8＝－1x 2－2x ＋8， 设点 G(m ，－1m 2－2m ＋8)，1 2 ∴ △S ADP △S CDE 1 2 1 OP22DPgAP DE g OP (3)存在．如解图①，连接 EG ， A G ，过点 G 作 GM ⊥l ，GN ⊥x 轴，垂足分别为 M ，N ，第 6 题解图①∵EC ∥x 轴，∴EP ＝CO ＝8，3333解得 x ＝0(舍去)或 x ＝－2，∴P(－2，0)，∴AP ＝AO －PO ＝4，(ⅰ)如解图①，当∠AEG ＝90°时，∵∠MEG ＋∠AEP ＝90°，∠AEP ＋∠EAP ＝90°，∴∠MEG ＝∠EAP ，又∵∠APE ＝∠EMG ＝90°，∴△EMG ∽△APE ， ∴EM ＝MG ， AP EP33则GN＝MP＝－1m2－2m＋8，∴EM＝EP－MP＝8－(－m2－m＋8)＝m2＋m，m2＋m2＋m3=∴＝，AP EP,∴m＝－2(舍去)或m＝，∴G(，)；设点G(n，－1n2－2n＋8)，∴GN＝1n2＋2n－8，n2+n-8,∴33=4AP EP∴n＝－6(舍去)或n＝，∴G(，－)，综上所述，符合条件的G点的坐标为(3，25)或(11，－23)．3312123333MG＝PN＝PO＋ON＝2＋m，∵12EM MG3483325224(ⅱ)如解图②，当∠EAG＝90°时，第6题解图②∵∠NAG＋∠EAP＝90°，∠AEP＋∠EAP＝90°，∴∠NAG＝∠AEP，∵∠APE＝∠GNA＝90°，∴△GNA∽△APE，∴GN＝AN，AP EP3333∴AN＝AO＋ON＝6＋n，12GN AN∵＝6+n8，11112322424247. 如图，抛物线 y ＝－ x 2＋b x ＋c 与 x 轴交于 A(－1，0)、B 两点，与 y 轴交于点 C(0，2)， 解：(1)将点 A(－1，0)，C(0，2)代入抛物线 y ＝－1x 2＋b x ＋c 中得， ⎧ －1－b ＋c ＝0 ⎧ b ＝3 2， ⎨ ，解得⎨ ⎩ ⎩ ∴抛物线的解析式为 y ＝－ x 2＋ x ＋2； (2)令 y ＝－ x 2＋ x ＋2＝0，解得 x 1＝－1（舍），x 2＝4，2 (3)存在，点 P 坐标为( ， )或( ，－ )或( ，4)． 【解法提示】由抛物线 y ＝－1x 2＋3x ＋2 得对称轴为直线 x ＝3， ∴点 D 的坐标为( ，0)．∴CD ＝ OC 2＋OD 2＝ 22＋（ ）2＝ . ∵点 P 在对称轴 x ＝ 上，且△ CDP 是以 CD 为腰的等腰三角形，1 2抛物线的对称轴交 x 轴于点 D.(1)求抛物线的解析式；(2)求 sin ∠ABC 的值；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点 P △，使 PCD 是以 CD 为腰的等腰三角形，如果存在，直接写出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由．第 7 题图22⎪ c ＝2 ⎪ c ＝2 1 3 2 21 3 2∴点 B 的坐标为(4，0)，在 △Rt BOC 中，BC ＝ OC 2＋OB 2＝ 22＋42＝2 5，∴sin ∠ABC ＝sin ∠OBC =OC ＝ 2 ＝ 5； BC 2 5 53 5 3 5 3 2 2 2 2 22 2 23 23 5 2 2 3 2∴当D为顶点时，有DP＝CD＝，此时点P的坐标为(，)或(，－)；∴点P的坐标为(，4)．综上所述，存在点P△使PCD是以CD为腰的等腰三角形，P点的坐标为(，)或(，－)或(，4)．5235352222当点C为顶点时，连接CP，有CP＝CD，过点C作CG⊥DP于点G，如解图，则DG＝PG，第7题解图∵DG＝2，∴PG＝2，PD＝4，3235352222 328.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx－8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE.已知点A，D的坐标分别为(－2，0)，(6，－8)．(1)求抛物线的表达式；(2)分别求出点B和点E的坐标；(3)若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为(0，m)，直线PB与直线l交于点Q.试探究：当m为何值时，△OPQ是等腰三角形．⎧⎪ a ＝1 ，解得⎨ ， ⎪ ∴抛物线的表达式为 y ＝ x 2－3x －8； (2)∵y ＝ x 2－3x －8＝ (x －3)2－ ，∴抛物线的对称轴为直线 x ＝3， ∴直线 l 的函数表达式为 y ＝－ x ， ∴点 E 的横坐标为 3，纵坐标为－ ×3＝－4，即点 E 的坐标为(3，－4)； ⎩ ⎩ 第 8 题图解：(1)∵抛物线 y ＝ax 2＋bx －8 经过点 A(－2，0)，D(6，－8)，将 A 、D 两点的坐标代入得，⎧ 4a －2b －8＝0 ⎨ 2 ⎪ 36a ＋6b －8＝－8 ⎪ b ＝－31 21 1 252 2 2又∵抛物线与 x 轴交于 A ，B 两点，点 A 的坐标为(－2，0)，∴点 B 的坐标为(8，0)．设直线 l 的函数表达式为 y ＝kx ，将点 D(6，－8)代入得 6k ＝－8，解得 k ＝－4， 34 3∵点 E 为直线 l 和抛物线对称轴的交点，4 3(3)需分两种情况进行讨论：①当 OP ＝OQ △时， OPQ 是等腰三角形，如解图①，第 8 题解图①∵点 E 的坐标为(3，－4)，∴OE ＝32＋42＝5，过点 E 作直线 ME ∥PB ，交 y 轴于点 M ，交 x 轴于点 H ，设直线ME的函数表达式为y＝k x－5，∴3k1－5＝－4，解得k1＝，3∴直线ME的函数表达式为y＝x－5，∴m＝－；∵当x＝0时，y＝x2－3x－8＝－8，则OM＝OE，∴OM＝OE＝5，OP OQ∴点M的坐标为(0，－5)，1113令y＝0，解得x＝15，∴点H的坐标为(15，0)．又∵MH∥PB，∴OP＝OB，即－m＝8，OM OH51583②当QO＝QP△时，OPQ是等腰三角形，如解图②，第8题解图②12∴点C的坐标为(0，－8)，∴CE＝32＋（8－4）2＝5，∴OE＝CE，∴∠1＝∠2，又∵QO＝QP，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴CE∥PB.设直线 CE 交 x 轴于点 N ，其函数表达式为 y ＝k x －8，∴3k 2－8＝－4，解得 k 2＝ ，3 ∴直线 CE 的函数表达式为 y ＝ x －8， 令 y ＝0，得4x －8＝0，∴x ＝6， ＝ ，解得 m ＝－32. 8 6 3244 33∴点 N 的坐标为(6，0)．∵CN ∥PB.∴OP ＝OB ， OC ON－m 8 ∴综上所述，当 m 的值为－8或－32△时， OPQ 是等腰三角形． 3 39.在平面直角坐标系中，抛物线 y ＝－x 2－2x ＋3 与 x 轴交于 A ，B 两点(A 在 B 的左侧)， 与 y 轴交于点 C ，顶点为 D.(1)请直接写出点 A ，C ，D 的坐标；(2)如图①，在 x 轴上找一点 E ，使得△ CDE 的周长最小，并求出点 E 的坐标；(3)如图②，F 为直线 AC 上的动点，在抛物线上是否存在点 P ，使得△ AFP 为等腰直角三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．第 9 题图解： (1)A(－3，0)，C(0，3)，D(－1，4)；(2) 如解图①所示，作点 C 关于 x 轴对称的点 C ′，连接 C ′D 交 x 轴于点 E ，此时△ CDE 的 周长最小．∴当△ CDE 的周长最小时，点 E 的坐标为(－ ，0)；⎪ ⎪ ⎩ ⎩ ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ 解得 m ＝－3(舍去)，m ＝2，此时点 P 的坐标为(2，－5)；∵C(0，3)，∴C ′(0，－3)，设直线 C ′D 的解析式为 y ＝ kx ＋ b ，⎧b ＝－3 ⎧k ＝－7 则有⎨ ，解得⎨ ，⎪－k ＋b ＝4 ⎪b ＝－3∴直线 C ′D 的解析式为 y ＝－7x －3，当 y ＝－7x －3 中 y ＝0 时，x ＝－3，737(3)存在．设直线 AC 的解析式为 y ＝ax ＋c ，⎧c ＝3 ⎧a ＝1 则有⎨ ，解得⎨， ⎪－3a ＋c ＝0 ⎪c ＝3∴直线 AC 的解析式为 y ＝x ＋3，假设存在，设点 F(m ，m ＋3)，△ AFP 为等腰直角三角形分三种情况(如解图②所示)：第 9 题解图①当∠PAF ＝90°时，P(m ，－m －3)，∵点 P 在抛物线 y ＝－x 2－2x ＋3 上，∴－m －3＝－m 2－2m ＋3，1 2解得m＝－3(舍去)，m＝－1，此时点P的坐标为(1，0)；解得m＝－3(舍去)，m＝1，此时点P的坐标为(1，0)．10.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝－x2＋b x＋c的图象与坐标轴交于A，B，【解法提示】∵二次函数y＝－1x2＋b x＋c与x轴交于A(－3，0)，B(4，0)，②当∠AFP＝90°时，P(2m＋3，0)，∵点P在抛物线y＝－x2－2x＋3上，∴0＝－(2m＋3)2－2(2m＋3)＋3，34③当∠APF＝90°时，P(m，0)，∵点P在抛物线y＝－x2－2x＋3上，∴0＝－m2－2m＋3，56综上所述，存在满足条件的点P△使得AFP为等腰直角三角形，点P的坐标为(2，－5)或(1，0)．13C三点，其中点A的坐标为(－3，0)，点B的坐标为(4，0)，连接AC，BC.动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒．连接PQ.(1)填空：b＝________，c＝________；(2)在点P，Q运动过程中，△APQ可能是直角三角形吗？请说明理由；(3)在x轴下方，该二次函数的图象上是否存在点M△，使PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间t；若不存在，请说明理由．第10题图备用图解：(1)1，4；33∴-+4b+c=0⎩⎩∵AP＝t,∴PQ＝t，由勾股定理得：AQ2＝AP2＋PQ2，即(t＋3)2＝t2＋(4t)2，解得t＝9或t＝－9(舍去)，⎧-3-3b+c=0⎪⎨16⎪3⎧1⎪b=，解得⎨3，⎪c=4(2)∵点P在AC上以每秒1个单位运动，∴AP＝t，∵点Q在OB上每秒1个单位运动，∴OQ＝t，∴AQ＝t＋3，∵∠P AQ<90°，∠PQA<90°，若要使△APQ是直角三角形，则∠APQ＝90°，在△Rt AOC中，OA＝3，OC＝4，∴AC＝5，设PQ与y轴交于点D，如解图①，第10题解图①∵∠ODQ＝∠CDP，∠DOQ＝∠DPC＝90°∴∠DQO＝∠DCP，∴tan∠DQO＝AP＝tan∠DCP＝AO＝3，PQ CO443328根据题意，点Q在OB上，∴0≤t≤4，∴不存在这样的t值满足题意；∴△APQ不可能是直角三角形.(3)设存在点M△使得PMQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，如解图②，⎨∠PNM = ∠PEQ ， ⎪MP = PQ ∴AE ＝ t ，PE ＝ t ，∴MN ＝ t ，EN ＝PN-PE =EQ －PE ＝AQ －AE －PE ＝3＋t － t － t ＝3－ t ，∴点 M 的坐标为(－ t －3， t －3)，∵点 M 在抛物线上，∴－ (－ t －3)2－ ·( t ＋3)＋4＝ t －3，解得 t ＝ 或 t ＝ (舍)，第 10 题解图②过 P 作 PE ⊥x 轴于 E ，过 M 作 MN ⊥PE 于 N ，∵∠MPN ＋∠PMN ＝90°，∠MPN ＋∠QPE ＝90°，∴∠PMN ＝∠QPE ，△在 PMN △和 QPE 中，⎧∠PMN = ∠QPE ⎪ ⎩∴△PMN ≌△QPE(AAS)，∴PN ＝EQ ，MN ＝PE ，∵AP ＝t ，cos ∠CAO ＝AO ＝3，sin ∠CAO ＝OC ＝4， AC 5 AC 53 45 54 3 4 25 5 5 53 4 1∴x M ＝x E －MN ＝5t －3－5t ＝－5t －3，1 25 51 1 1 1 23 5 3 5 5整理得 t 2＋65t ＝225，－65＋5 205 －65－5 2052 2－65＋5 205综上，存在满足条件的点 M ，此时运动时间 t 为 秒．2故抛物线的表达式为 y ＝－1x 2＋4x ；∴ PE ＝AP ，即PE ＝AP ，∴PE ＝ AP ＝ t ，PB ＝8－t ，∴点 E 的坐标为(4＋ t ，8－t)．⎪ ⎪⎩ ⎩11. 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的三个顶点 B(4，0)，C(8，0)，D(8，8)，抛物线 y ＝ax 2＋b x 过 A 、C 两点，动点 P 从点 A 出发，沿线段 AB 向终点 B 运动，同时点 Q 从点 C 出发，沿线段 CD 向终点 D 运动，速度均为每秒 1 个单位长度，运动时间为 t 秒，过点 P 作 PE ⊥AB 交 AC 于点 E.(1)求出点 A 的坐标和抛物线的表达式；(2)过点 E 作 EF ⊥AD 于点 F ，交抛物线于点 G ，当 t 为何值时，线段 EG 最长？(3)连接 EQ ，在点 P 、Q 运动的过程中，是否存在某个时刻，使得以 C 、E 、Q 为顶点的△CEQ 为等腰三角形？如果存在，请直接写出相应的 t 值；如果不存在，请说明理由．第 11 题图解：(1)∵点 B 的横坐标为 4，点 D 的纵坐标为 8，AD ∥x 轴，AB ∥y 轴，∴点 A 的坐标为(4，8)，将 A(4，8)、C(8，0)两点坐标分别代入 y ＝ax 2＋b x ，⎧16a ＋4b ＝8 ⎧a ＝－1 得⎨ ，解得⎨ 2，⎪64a ＋8b ＝0 ⎪b ＝42(2)∵PE ∥BC ，∴△APE ∽△ABC ，BC AB4 81 12 212∴点 G 的纵坐标为－ (4＋ t)2＋4(4＋ t)＝－ t 2＋8. ∴EG ＝－ t 2＋8－(8－t)＝－ t 2＋t ，∵－ <0，∴当 t ＝－＝4 时，线段 EG 最长为 2；t 1＝ ，t 2＝ ，t 3＝40－16 5.3【解法提示】∵Q(8，t)，E(4＋1t ，8－t)，C(8，0)，∴EQ 2＝( t －4)2＋(8－2t)2，EC 2＝(4＋ t －8)2＋(8－t)2，QC 2＝t 2.( t －4)2＋(8－2t)2＝t 2，解得 t ＝ 或 t ＝8(此时 E 、C 重合，不能构成三角形，舍去)； (4＋ t －8)2＋(8－t)2＝t 2， ( t －4)2＋(8－2t)2＝(4＋ t －8)2＋(8－t)2，解得 t ＝0(此时 Q 、C 重合，不能构成三角形，舍去)或 t ＝ .1 1 1 12 2 2 81 1 8 818(3)存在 t 使得以 C 、E 、Q 为顶点的△ CEQ 为等腰三角形，16 401321 12 2 △当 CEQ 为等腰三角形时，分三种情况：(Ⅰ)当 EQ ＝QC 时，1 2 整理得 13t 2－144t ＋320＝0，40 13(Ⅱ)当 EC ＝CQ 时，1 2 整理得 t 2－80t ＋320＝0，解得 t ＝40－16 5，t ＝40＋16 5>8(此时 Q 不在矩形的边上，舍去)；(Ⅲ)当 EQ ＝EC 时，1 12 216316 40综上所述，存在 t 1＝ 3 ，t 2＝13，t 3＝40－16 5，能够使得以 C 、E 、Q 为顶点的△ CEQ 为等腰三角形．12. 如图，在平面直角坐标系中，直线 y ＝－2x ＋10 与 x 轴、y 轴相交于 A 、B 两点，点 C的坐标是(8，4)，连接 AC ，BC.(1)求过 O 、A 、C 三点的抛物线的解析式，并判断△ ABC 的形状；，⎩⎧a ＝1解得⎨5 ∴抛物线的解析式为 y ＝ x 2－ x ；(2)动点 P 从点 O 出发，沿 OB 以每秒 2 个单位长度的速度向点 B 运动．同时，动点 Q 从点 B 出发，沿 BC 以每秒 1 个单位长度的速度向点 C 运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为 t 秒，当 t 为何值时，P A ＝QA?(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点 M ，使以 A 、B 、M 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．第 12 题图解：(1)∵直线 y ＝－2x ＋10 与 x 轴、y 轴相交于 A 、B 两点，∴A(5，0)，B(0，10)，设过 O 、A 、C 三点的抛物线的解析式为 y ＝ax 2＋bx(a ≠0)⎧⎪25a ＋5b ＝0把点 A(5，0)和 C(8，4)代入可得⎨ ，⎪64a ＋8b ＝46⎩b ＝－6，1 56 6∵A(5，0)，B(0，10)，C(8，4)，∴AB 2＝125，AC 2＝25，BC 2＝100，∵AB 2＝AC 2＋BC 2，∴△ABC 是直角三角形；(2)如解图，连接 AP ，AQ ，当 P ，Q 运动 t 秒，即 OP ＝2t ，CQ ＝10－t ，∴t ＝ ，∴当运动时间为 秒时，P A ＝QA ；5利用点的坐标可求得 AB 2＝102＋52＝125，MB 2＝( )2＋(b －10)2， MA 2＝( )2＋b 2， 5 5 19 5 5 19即点 M 的坐标为( ， )或( ，－ )； ⎩ )2＋b 2，解得 b ＝±第 122 题解图在 △Rt AOP 和 △Rt ACQ 中，⎧⎪AC ＝OA⎨， ⎪P A ＝QA∴△Rt AOP ≌△Rt ACQ ，∴OP ＝CQ ，∴2t ＝10－t ，10 3∵OB ＝10，BC ＝10，∴t ≤5.10 3(3)存在．由题可得，抛物线的对称轴直线为 x ＝5，2设点 M 的坐标为( 5，b )，225 2∵△MAB 是等腰三角形，∴可分以下三种情况讨论：①当 AB ＝MA 时，即 125＝(5 5 19，2 22 2 2 25 5 19 5 5 19即点 M 的坐标为( ，10＋ )或( ，10－ )； ③当 MB ＝MA 时，即( )2＋(b －10)2＝( )2＋b 2，)或( ，－ )或( ，10＋ )或( ，10－ )．)2＋(b －10)2，解得 b ＝10±②当 AB ＝BM 时，即 125＝(5 5 19，2 22 2 2 25 52 2解得 b ＝5，此时点 A 、M 、B 共线，故这样的点 M 不存在．综上所述，存在点 M ，使以点 A 、B 、M 为顶点的三角形是等腰三角形，点 M 的坐标为(5，25 19 5 5 19 5 5 19 5 5 192 2 2 2 2 2 2。
2020年中考数学二轮重难点专练附解答： 二次函数与特殊三角形判定问题
二次函数与特殊三角形判定问题例1、如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴为直线x ＝－1，且经过A (1，0)，C (0，3)两点，与x 轴的另一个交点为B .(1)若直线y ＝mx ＋n 经过B ，C 两点，求抛物线和直线BC 的解析式；(2)在抛物线的对称轴x ＝－1上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求点M 的坐标；(3)设点P 为抛物线的对称轴x ＝－1上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标．【解析】解：(1)依题意，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++-=-3012c c b a a b，解得,321⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=c b a∴抛物线的解析式为y ＝－x 2－2x ＋3. ∵对称轴为x ＝－1，抛物线经过A (1，0)， ∴B (－3，0)．设直线BC 的解析式为y ＝mx ＋n (m ≠0)， 把B (－3，0)，C(0，3)分别代入y ＝mx ＋n ，得，,303⎩⎨⎧==+-n n m 解得,31⎩⎨⎧==n m ∴直线BC 的解析式为y ＝x ＋3.(2)如解图，设直线BC 与对称轴x ＝－1的交点为M ，连接MA ， ∴MA ＝MB ，∴MA ＋MC ＝MB ＋MC ＝BC .∴使MA ＋MC 最小的点M 应为直线BC 与对称轴x ＝－1的交点． 把x ＝－1代入直线y ＝x ＋3，得y ＝2. ∴M (－1，2)．(3)设P (－1，t )，结合B (－3，0)，C(0，3)，得BC 2＝18， PB 2＝(－1＋3)2＋t 2＝4＋t 2，PC 2＝(－1)2＋(t －3)2＝t 2－6t ＋10. ① 若B 为直角顶点，则BC 2＋PB 2＝PC 2，即18＋4＋t 2＝t 2－6t ＋10， 解得t ＝－2；②若C 为直角顶点，则BC 2＋PC 2＝PB 2，即18＋t 2－6t ＋10＝4＋t 2，解得t ＝4； ③若P 为直角顶点，则PB 2＋PC 2＝BC 2，即4＋t 2＋t 2－6t ＋10＝18， 解得t 1＝3＋172，t 2＝3－172.综上所述，满足条件的点P 共有四个，分别为：P 1(－1，－2)，P 2(－1，4)，P 3(－1，3＋172)，P 4(－1，3－172)．例2、如图，抛物线y ＝－45x 2＋245x －4与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴与x 轴交于点M .P 是抛物线在x 轴上方的一个动点(点P 、M 、C 不在同一条直线上)． (1)求点A ，B 的坐标；(2)连接AC 、PB 、BC ，当S △PBC ＝S △ABC 时，求出此时点P 的坐标；(3)分别过点A 、B 作直线CP 的垂线，垂足分别为点D 、E ，连接MD 、ME .问△MDE 能否为等腰直角三角形？若能，求此时点P 的坐标；若不能，说明理由．第2题【解析】解：(1)令y ＝－45x 2＋245x －4＝0，解得x 1＝1，x 2＝5，∴A 点的坐标为(1，0)，B 点的坐标为(5，0)．(2)如解图①，过点A 作AP ∥BC ，与抛物线交于点P ，则S △PBC ＝S △ABC ，第1题解图 第2题解图①第2题解图② 当x ＝0时，y ＝－45x 2＋245x －4 ＝－4，∴点C 的坐标为(0，－4)，设过点B ，C 两点的直线的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，则有,054⎩⎨⎧=+-=b k b 解得,454⎪⎩⎪⎨⎧-==b k∴直线BC 的解析式为y ＝45x －4，由于P A ∥BC ，设AP 的解析式为y ＝45x ＋m ，代入点A (1，0)，解得m ＝－45，∴直线AP 的解析式为y ＝45x －45，联立方程组得,45245454542⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-=-=x x y x y 解得： ,5124,012211⎪⎩⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==y x y x ∴P 点的坐标为(4，125)．(3)△MDE 能成为等腰直角三角形，理由：∵抛物线y ＝－45x 2＋245x －4＝－45(x －3)2＋165，∴对称轴是直线x ＝3. ∴M (3，0)．①当∠MED ＝90°时，点E ，B ，M 在一条直线上，此种情况不成立； ②同理：当∠MDE ＝90°时，不成立； ③当∠DME ＝90°时，如解图②所示，设直线PC 与对称轴交于点N ， ∵EM ⊥DM ，MN ⊥AM ， ∴∠EMN ＝∠DMA .∵∠MDE ＝45°，∠EDA ＝90°， ∴∠MDA ＝135°. ∵∠MED ＝45°，∴∠NEM ＝135°， ∴∠ADM ＝∠NEM ＝135°.在△ADM 与△NEM 中， ,⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠NEM ADM DMEM DMAEMN ∴△ADM ≌△NEM (ASA)． ∴MN ＝MA ＝2， ∴N (3，2)．设直线PC 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，将点N (3，2)，C (0，－4)代入直线的解析式得：,423⎩⎨⎧-==+b b k 解得： ,42⎩⎨⎧-==b k ∴直线PC 的解析式为y ＝2x －4.将y ＝2x －4代入抛物线解析式得：2x －4 ＝－45x 2＋245x －4，解得：x ＝0或x ＝72，∴P (72，3)．综上所述，△MDE 能成为等腰直角三角形，此时点P 的坐标为(72，3)．例3、如图①，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋4交x 轴于A 、B 两点(点A 在点B 左侧)，交y 轴于点C ，连接AC 、BC ，其中CO ＝BO ＝2AO . (1)求抛物线的解析式；(2)点Q 为直线BC 上方的抛物线上一点，过点Q 作QE ∥AC 交BC 于点E ，作QN ⊥x 轴于点N ，交BC 于点M ，当△EMQ 的周长L 最大时，求点Q 的坐标及L 的最大值； (3)如图②，在(2)的结论下，连接AQ 分别交BC 于点F ，交OC 于点G ，四边形BOGF 从F 开始沿射线FC 平移，同时点P 从C 开始沿折线CO －OB 运动，且点P 的运动速度为四边形BOGF 平移速度的2倍，当点P 到达B 点时，四边形BOGF 停止运动，设四边形BOGF 平移过程中对应的图形为B 1O 1G 1F 1，当△PFF 1为等腰三角形时，求B 1F 的长度．第3题图【解析】 解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋4与y 轴交于点C ， ∴点C 的坐标为(0，4)． ∵CO ＝BO ＝2AO ，∴点A 的坐标为(－2，0)，点B 的坐标为(4，0)， 将点A 、B 的坐标分别代入抛物线解析式得,044160424⎩⎨⎧=++=+-b a b a 解得,121⎪⎩⎪⎨⎧=-=b a ∴抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋x ＋4.(2)∵点A (－2，0)，点B (4，0)，点C (0，4)，∴直线AC 的解析式为y ＝2x ＋4，直线BC 的解析式为y ＝－x ＋4. 设点Q 的坐标为(q ，－12q 2＋q ＋4)，∵QE ∥AC ，过点E 作EF ⊥QM 于点F ，如解图，第3题解图则EF QF ＝AO OC ＝12，QE EF ＝ACAO＝5， ∴QF ＝2EF ，QE ＝5EF ，在Rt △EFM 中，易得∠FEM ＝∠FME ＝∠MBN ＝45°， ∴EM ＝2EF ，EF ＝MF ， ∴QM ＝3EF ，∴当EF 最大时，△EQM 的周长最大，∵直线AC 的解析式为y ＝2x ＋4，直线QE ∥AC ， ∴设直线QE 的解析式为y ＝2x ＋t ， 将Q 点坐标代入得，t ＝－12q 2－q ＋4，∴直线QE 的解析式为y ＝2x ＋(－12q 2－q ＋4)，与直线BC 联立解得点E 的坐标为(16q 2＋13q ，－16q 2－13q ＋4)．∴EF ＝q －16q 2－13q ＝－16q 2＋23q ＝－16(q －2)2＋23，根据二次函数最值性质可知，当q ＝2时，EF 最大，为23.此时点Q 的坐标为(2，4)，L ＝3EF ＋2EF ＋5EF ＝23(3＋2＋5)．(3)由(2)知点Q 的坐标为(2，4)，则直线QA 的解析式为y ＝x ＋2，∴AQ ⊥BC 于F ，且点F 的坐标为(1，3)．∵点B (4，0)， ∴BF ＝3 2.设四边形BOGF 平移的距离FF 1＝2t ，则点P 运动的速度为2t. ①当点P 在OC 上，此时0<t ≤2，则点B 1在BF 上．此时易得点F 1的坐标为(1－t ，t ＋3)，点P 的坐标为(0，4－2t )． ∴PF 2＝1＋(1－2t)2＝4t 2－4t ＋2，PF 12＝(1－t )2＋(3＋t －4＋2t )2＝10t 2－8t ＋2， FF 12＝2t 2.∴(i)当PF 2＝FF 12时，4t 2－4t ＋2＝2t 2， 解得t 1＝t 2＝1，此时B 1F ＝B 1F 1－FF 1＝BF －FF 1＝22； (ii)当PF 2＝PF 12时，4t 2－4t ＋2＝10t 2－8t ＋2， 解得t 1＝23，t 2＝0(舍)，此时B 1F ＝B 1F 1－FF 1＝723；(iii)当F 1F 2＝PF 12时，2t 2＝10t 2－8t ＋2， 解得t 1＝t 2＝12，此时B 1F ＝522；②当点P 在OB 上，此时2<t ≤4，当2<t <3时，点B 1在BF 上，当3<t ≤4时，点B 1在BF 的延长线上． 此时点P 的坐标是(2t －4，0)，在△PFF1中，∠PFF1>90°，若△PFF1是等腰三角形，则只能是PF＝FF1，即(2t－4－1)2＋9＝2t2，解得t1＝5－22，t2＝5＋22(舍)，此时t＝5－22<3，∴B1F＝B1F1－FF1＝32－(5－22)×2＝4－2 2.综上所述，当△PFF1为等腰三角形时，B1F的长度为22或723或522或4－2 2.例4、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，点A、C的坐标分别为(－1，0)，(0，－3)，直线x＝1为抛物线的对称轴，点D为抛物线的顶点，直线BC与对称轴相交于点E.(1)求抛物线的解析式及点D的坐标；(2)点P为直线x＝1右方抛物线上的一点(点P不与点B重合)，记A、B、C、P四点所构成的四边形面积为S，若S＝52S△BCD，求点P的坐标；(3)点Q是线段BD上的动点，将△DEQ沿边EQ翻折得到△D′EQ，是否存在点Q使得△D′EQ 与△BEQ的重叠部分图形为直角三角形，若存在，请求出BQ的长；若不存在，请说明理由．【解析】解：(1)∵点A与点B关于直线x＝1对称，∴B(3，0)，设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－3)，把C(0，－3)代入得－3a＝－3，解得a＝1，∴抛物线的解析式为y＝(x＋1)(x－3)＝x2－2x－3，∵y＝(x－1)2－4，∴抛物线顶点D的坐标为(1，－4)．(2)设P(m，m2－2m－3)，易得直线BC的解析式为y＝x－3，当x＝1时，y＝1－3＝－2，则E(1，－2)，∴S △BDC ＝S △BDE ＋S △CDE ＝12×2×(1＋2)＝3，当点P 在x 轴上方时，即m >3，如解图①，第4题解图①第4题解图②第4题解图③S ＝S △CAB ＋S △P AB ＝12×3×(3＋1)＋12×(3＋1)×(m 2－2m －3)＝2m 2－4m ，∵S ＝52S △BCD ， ∴2m 2－4m ＝152，整理得4m 2－8m －15＝0，解得m 1＝2＋192，m 2＝2－192(舍去)，∴P 点坐标为(2＋192，34)；当点P 在x 轴下方时，即1<m <3，如解图②，连接OP ，S ＝S △AOC ＋S △COP ＋S △POB ＝12×3×1＋12×3×m ＋12×3×(－m 2＋2m ＋3)＝－32m 2＋92m ＋6，∵S ＝52S △BCD ， ∴－32m 2＋92m ＋6＝152，整理得m 2－3m ＋1＝0，解得m 1＝3＋52，m 2＝3－52(舍去)，∴P 点坐标为(3＋52，5－52)，综上所述，P 点坐标为(2＋192，34)或(3＋52，5－52)．(3)存在．直线x ＝1交x 轴于点F ，BD ＝22＋42＝25， ①如解图③，EQ ⊥DB 于点Q ，△DEQ 沿EQ 翻折得到△D′EQ ，∵∠EDQ ＝∠BDF ， ∴Rt △DEQ ∽Rt △DBF ，∴DQ DF ＝DE BD ，即4DQ ＝225，解得DQ ＝455， ∴BQ ＝BD －DQ ＝25－455＝655；②如解图④，ED′⊥BD 于H ， ∵∠EDH ＝∠BDF ， ∴Rt △DEH ∽Rt △DBF ，∴DH DF ＝DE DB ＝EH BF ，即4DH ＝225＝2EH ， 解得DH ＝455，EH ＝255，在Rt △QHD′中，设QH ＝x ，D′Q ＝DQ ＝DH －HQ ＝455－x ，D′H ＝D′E －EH ＝DE －EH ＝2－255，∴x 2＋(2－255)2＝(455－x )2，解得x ＝1－55，∴BQ ＝BD －DQ ＝BD －(DH －HQ )＝BD －DH ＋HQ ＝25－455＋1－55＝5＋1；③如解图⑤，D′Q ⊥BC 于点G ，作EI ⊥BD 于点I ，由①得EI ＝255，BI ＝655，第4题解图④第4题解图⑤∵△DEQ 沿边EQ 翻折得到△D′EQ ， ∴∠EQD ＝∠EQD′， ∴EG ＝EI ＝255，∵BE ＝22＋22＝22， ∴BG ＝BE －EG ＝22－255，∵∠GBQ ＝∠IBE ， ∴Rt △BQG ∽Rt △B EI ，∴BQ BE ＝BGBI ，即22BQ ＝22－255655， ∴BQ ＝453－223，综上所述，当BQ 为655或5＋1或453－223时，将△DEQ 沿边EQ 翻折得到△D′EQ ，使得△D′EQ 与△BEQ 的重叠部分图形为直角三角形．例5、已知如图，抛物线y ＝－12x 2＋2x ＋52与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点，对称轴交x 轴于点E . (1)如图①，连接BD ，试求出直线BD 的解析式；(2)如图②，点P 为抛物线第一象限上一动点，连接BP ，CP ，AC ，当四边形PBAC 的面积最大时，线段CP 交BD 于点F ，求此时DF ∶BF 的值；(3)如图③，已知点K (0，－2)，连接BK ，将△BOK 沿着y 轴上下平移(包括△BOK )，在平移的过程中直线BK 交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，则在抛物线的对称轴上是否存在点G ，使得△GMN 是以MN 为直角边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．第5题图【解析】 解：(1)在y ＝－12x 2＋2x ＋52中，令y ＝0，则－12x 2＋2x ＋52＝0，解得x 1＝－1，x 2＝5，则点A 的坐标是(－1，0)，点B 的坐标是(5，0)． 抛物线y ＝－12x 2＋2x ＋52的对称轴是x ＝2，把x ＝2代入解析式得y ＝92，则点D 的坐标是(2，92)．设直线BD 的解析式是y ＝kx ＋b (k ≠0)，将B 、D 两点坐标代入得： ,29205⎪⎩⎪⎨⎧=+=+b k b k 解得,21523⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=b k∴直线BD 的解析式是y ＝－32x ＋152.(2)连接BC ，如解图①，y ＝－12x 2＋2x ＋52中，令x ＝0，则y ＝52，则点C 的坐标是(0，52)．设直线BC 的解析式y ＝mx ＋n (m ≠0)，则,0525⎪⎩⎪⎨⎧=+=n m n 解得,2125⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==m n 则直线BC 的解析式是y ＝－12x ＋52.∵S 四边形PBAC ＝S △ABC ＋S △BCP ， S △ABC ＝12AB ·OC ＝12×6×52＝152，∴△BCP 面积最大时，S 四边形PBAC 有最大值，设与BC 平行且与抛物线只有一个公共点的直线的解析式是y ＝－12x ＋d .则－12x 2＋2x ＋52＝－12x ＋d ，即x 2－5x ＋(2d －5)＝0， 当Δ＝0时，x ＝52，代入y ＝－12x 2＋2x ＋52中得：y ＝358，则点P 的坐标是(52，358)．又∵点C 的坐标是(0，52)，设直线CP 的解析式是y ＝ex ＋f ，则,8352525⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=f e f 解得,4325⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==e f 则直线CP 的解析式是y ＝34x ＋52.根据题意得,215232543⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=x y x y 解得,625920⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y x则点F 的坐标是(209，256)．∴DF＝（2－209）2＋（92－256）2＝1381， BF ＝（209－5）2＋（256－0）2＝8125324， 则DF BF＝13818125324＝225. (3)存在，点G 的坐标为(2，103)，(2，－107)，(2，－3)或(2，－7)． 【解法提示】假设存在．设BK 的解析式是y ＝k′x ＋b ′(k ′≠0)，将点B (5，0)，K (0，－2)代入得,205'''⎪⎩⎪⎨⎧-==+b b k 解得,252''⎪⎩⎪⎨⎧-==b k ∴直线BK 的解析式是y ＝25x －2，设直线MN 的解析式为y ＝25x ＋m ，当y ＝0时，x ＝－52m ，即M (－52m ，0)，当x ＝0时，y ＝m ，即N (0，m )．△GM N 是以MN 为直角边的等腰直角三角形分两种情况： ①MG ＝MN ，∠GMN ＝90°，如解图②.第5题解图① 第5题解图② 第5题解图③ 第5题解图④∵∠MGE ＋∠GME ＝90°，∠GME ＋∠OMN ＝90°， ∴∠MGE ＝∠OMN . 在△GME 和△MNO 中,90⎪⎩⎪⎨⎧==∠=∠∠=∠︒MN MG NOM MEG NMO MGE ∴△GME ≌△MNO(AAS )， ∴ME ＝ON ，EG ＝OM ，当点M 在点E 右侧时，ME ＝－52m －2，ON ＝－m ，OM ＝－52m ，∴－52m －2＝－m ，解得m ＝－43.∴EG ＝OM ＝－52m ＝103，∴G 点的坐标为(2，103);当M 在线段OE 上时，如解图③，ME ＝2＋52m ，ON ＝－m ，EG ＝OM ＝－52m ，∴2＋52m ＝－m ，解得m ＝－47， ∴EG ＝OM ＝－52m ＝107，∴点G 的坐标为(2，－107)；当M 在点O 左侧时， 易得MN <MG ，∴此时不存在点G 使△GMN 为等腰直角三角形；②NG ＝MN ，∠GNM ＝90°，过点N 作NF ⊥抛物线对称轴于点F ，如解图④所示． ∵∠O NG ＋∠MNO ＝90°，∠ONG ＋∠GNF ＝90°， ∴∠MNO ＝∠GNF . 在△GNF 和△MNO 中，,90⎪⎩⎪⎨⎧==∠=∠∠=∠︒MN NG GFN MON GNF MNO ∴△GNF ≌△MNO (AAS)， ∴NF ＝ON ，FG ＝OM ，当点N 在y 轴正半轴时，ON ＝m ，OM ＝52m ，∴2＝m .∴FG ＝OM ＝52m ＝5，EG ＝FG －EF ＝FG －ON ＝3，∴G 点的坐标为(2，－3)；当点N 在y 轴负半轴时，如解图⑤，ON ＝－m ，OM ＝－52m ，NF ＝2，第5题解图⑤ 第6题解图∴m ＝－2，∴OM ＝－52×(－2)＝5(此时M 与B 重合，N 与K 重合)，EG ＝EF ＋FG ＝ON ＋OM ＝7，∴点G 的坐标为(2，－7)．综上可知：在抛物线的对称轴上存在点G ，使得△GMN 是以MN 为直角边的等腰直角三角形，点G 的坐标为(2，103)，(2，－107)，(2，－3)或(2，－7)．例6、如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝－13x 2＋233x ＋3与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 左侧)，与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为点E . (1)判断△ABC 的形状，并说明理由；(2)经过B ，C 两点的直线交抛物线的对称轴于点D ，点P 为直线BC 上方抛物线上的一动点，当△PCD 的面积最大时，点Q 从点P 出发，先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点M 处，再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到y 轴上的点N 处，最后沿适当的路径运动到点A 处停止．当点Q 的运动路径最短时，求点N 的坐标及点Q 经过的最短路径的长；(3)如图②，平移抛物线，使抛物线的顶点E 在射线AE 上移动，点E 平移后的对应点为点E ′，点A 的对应点为点A ′.将△AOC 绕点O 顺时针旋转至△A 1OC 1的位置，点A ，C 的对应点分别为点A 1，C 1，且点A 1恰好落在AC 上，连接C 1A ′，C 1E ′，△A ′C 1E ′是否能为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点E ′的坐标；若不能，请说明理由．第6题图解：(1)△ABC 为直角三角形，理由如下： 在抛物线y ＝－13x 2＋233x ＋3中，令y ＝0，得－13x 2＋233x ＋3＝0，解得x 1＝－3，x 2＝33，故A (－3，0)，B (33，0)． 令x ＝0，得y ＝3，故C (0，3)， ∵AC 2＝12，BC 2＝36，AB 2＝48， AC 2＋BC 2＝AB 2， ∴△ABC 为直角三角形．(2)设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b ，将B (33，0)，C (0，3)代入，得,333⎩⎨⎧==+b b k 解得,333⎪⎩⎪⎨⎧=-=b k ∴直线BC 的解析式为y ＝－33x ＋3， 如解图，过点P 作PR ∥y 轴交BC 于点R ， 设P (t ，－13t 2＋233t ＋3)，则R (t ，－33t ＋3)，∴PR ＝－13t 2＋233t ＋3－(－33t ＋3)＝－13t 2＋3t ，则S △PCD ＝S △PRC －S △PRD ＝12·PR ·[x R －(x R －x D )]＝－36t 2＋32t ＝－36(t －332)2＋938， ∵0＜t <33，∴当t ＝332时，S △PCD 取得最大值，此时P (332，154)，将P (332，154)向左平移3个单位，得P ′(32，154)，连接AP ′交y 轴于点N ，过点N 作NM ⊥抛物线对称轴于点M ，连接PM ，点Q 沿P →M →N →A 运动，所走的路径最短，即最短路径的长为PM ＋MN ＋AN.设直线AP ′的解析式为y ＝mx ＋n ，将A (－3，0)，P ′(32，154)代入，得： ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-,4152303n m n m解得,25365⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==n m ∴直线AP ′的解析式为y ＝563x ＋52， 令x ＝0，得y ＝52，故N (0，52)，∵AP ′＝（32＋3）2＋（154）2＝3374， MN ＝3， 点Q 经过的最短路径等于PM ＋MN ＋AN ＝AP′＋MN ＝3374＋ 3. (3)∵∠CAO ＝60°，OA ＝OA 1， ∴△AA 1O 为等边三角形， ∴∠C 1OB ＝30°，∴C 1(323，32)， ∵E (3，4)，A (－3，0)，∴直线AE 的解析式为：y ＝233x ＋2，设A ′(t ，233t ＋2)，则E ′(t ＋23，233t ＋6)， A′E′2＝28，A′C 12＝73t 2－733t ＋7，E′C 12＝73t 2＋73t ＋21，①当A′C 1＝E′C 1时，73t 2－733t ＋7＝73t 2＋73t ＋21，解得t ＝－32，故E ′(323，5)； ②当A′E ′＝A′C 1时，28＝73t 2－733t ＋7，解得t ＝3±392，∵t ＞－3， ∴t ＝3＋392，故E ′(53＋392，7＋13)； ③当A′E′＝E′C 1时，73t 2＋73t ＋21＝28，解得t ＝－33±392，∵t ＞－3，∴t ＝－33＋392，故E ′(3＋392，3＋13)．综上，所有符合条件的点E ′的坐标为(323，5)或(53＋392，7＋13)或(3＋392，3＋13)．。
2020年贵阳市中考数学二轮复习专题2题型1与三角形有关的动态问题
第二部分专题二题型一针对训练1. 如图，在Rt△ ABC中，/ ACB = 90° D是斜边AB的中点，将△ ABC绕点A 按顺时针方向旋转，点C落在CD的延长线上的E处，点B落在F处.若AC = 4.2, BC= 2 17, 则CE的长为32.2. 如图，在Rt△ ABC 中，/ ACB= 90° CA = CB= 2, CD 丄AB 于D，点P 是线段CD 上的一个动点，以点P为直角顶点向下作等腰直角三角形PBE，连接DE，则DE的最小值C£第2题图3. 如图，/ ABC = 90 ° P为射线BC上任意一点（点P和点B不重合），分别以AB, AP为边在/ ABC内部作等边三角形ABE和等边三角形APQ，连接QE并延长交BP于点F ,连接EP.若FQ = 11, AE= 4 3，贝U EP= 13 .第3题图4. 如图，在△ ABC中，/ A= 90° AB = AC=^2 + 1 , P是厶ABC内一个动点，过P作PD 丄AB, PE丄AC, PF丄BC,垂足分别为D, E, F ,则P运动所形成的图形的长度是一坟2—..4ii F C第4题图5. 如图，等边三角形ABC的边长为10,点M是边AB上一动点，将等边三角形ABC 沿过点M的直线折叠，该直线与直线AC交于点N，使点A落在直线BC上的点D处，且65BD : DC = 1 : 4，折痕为MN，贝U AN的长为7或3_.1/Rd C第5题图6. 如图，在Rt△ ABC中，BC = 2,Z BAC = 30°斜边AB的两个端点分别在相互垂直的射线0M , ON上滑动，有下列结论：第6题图①若C, O两点关于AB对称，则OA= 2 3;②C, O两点距离的最大值为4;③若AB平分CO,贝U AB丄CO ;④斜边AB的中点D运动路径的长为n其中正确的是①②（把你认为正确结论的序号都填上）.。
2020年贵阳市中考数学二轮复习专题1题型2与几何图形结合
第二部分专题一题型二k1. （2019无锡）如图，已知 A 为反比例函数y = x （x < 0）的图象上一点，过点 A 作AB 丄yA . 2 C . 4 2.已知抛物线y =4x2+ 1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F （0,2）的距离与到x 轴的距离始终相等•如图，点 M 的坐标为C 3, 3）, P 是抛物线y =寸x 2+ 1上的一个动点,则厶PMF 周长的最小值是（C ）A . 3B . 4C . 5D . 633.如图，双曲线y =— —(x v 0)经过四边形 OABC 的顶点A , C ,Z ABC = 90 ° OC 平分xOA 与x 轴负半轴的夹角，AB // x 轴，将△ ABC 沿AC 翻折后得到△ AB ' C , B '点落在OA上，则四边形 OABC 的面积是（B ）4. 如图，坐标平面内有一顶点为 A 的抛物线，此抛物线与y = 2的图象交于B , C 两点,△ ABC 为等边三角形.若 A 点坐标为（一3,0），则此抛物线与y 轴交点的坐标为（B ）轴，垂足为B•若△ OAB 的面积为2,C .15 4第2题图第3题图第4题图B .(0, 227)C . （0,9）D . （0,19）5.如图，已知抛物线 y = mx 2— 6mx + 5m 与x 轴交于 A , B 两点，以 AB 为直径的O P 经过该抛物线的顶点 C ,直线I // x 轴，交该抛物线于 M , N 两点，交O P 与E , F 两点.若 EF = 2 3，贝U MN 的长为（A ）第5题图B . 4.2 D . 61 16.如图，直线y = ?x + 2与y 轴交于点A ，与直线y =— ?x 交于点B ，以AB 为边向右作菱形ABCD ，点C 恰与原点O 重合，抛物线y = *x — h ）2 + k 的顶点在直线y = — 上移动.若 抛物线与菱形的边 AB , BC 都有公共点，贝U h 的取值范围是（A ）1 A . — 2< h < 3 C .— K h w27. （2019潍坊）如图，直线y = x + 1与抛物线y = x — 4x + 5交于A , B 两点，P 是y 轴 &我们把一个半圆与抛物线的一部分组成的封闭图形称为“蛋圆”.如图， A , B , C ,D 分别是某蛋圆和坐标轴的交点，其中抛物线的解析式为 y = x 2 — 2x — 3,则“蛋圆”的弦CD 的长为一3+一 3一.A • (0, 9) A . 2 .6 C . 5B . — 2w h w 1 —1w h w -上的一个动点，当△ PAB 的周长最小时,12 —5 —第6题图Sx FAB=第7题图9. (2019包头)如图，在平面直角坐标系中，已知A(— 1,0), B(0,2)，将△ ABO 沿直线k32 AB 翻折后得到△ ABC •若反比例函数 y = -(xv 0)的图象经过点 C ,贝U k =_— _•X2510.如图，抛物线 y = a(x — 1)2 + .2(a z 0)经过y 轴正半轴上的点 A , B , C 分别是此抛 物线和x 轴上的动点，点 D 在OB 上，且AD 平分△ ABO 的面积，过点 D 作DF // BC 交x 轴于点F ，则DF 的最小值为o 2.2 —11.如图，在平面直角坐标系中，菱形 OABC 的顶点A 在x 轴正半轴上，顶点 C 的坐标为(4,3) ,D 是抛物线y = — x 2 + 6x 上一点，且在x 轴上方，则△ BCD 面积的最大值为1512 .如图，已知 A 1, A 2, A 3,…，A n 是 x 轴上的点，且 OA 1= A 1A 2= A 2A 3=^= A n -1A n1=1，分别过点A 1, A 2, A 3,…，A n 作x 轴的垂线交反比例函数 y = -(X > 0)的图象于点B 1,X B 2, B 3,…，B n ,过点B 2作B 2P 1丄A 1B 1于点P 1,过点B 3作B 3P 2丄A 2B 2于点P 2,…，记厶 B 1P 1B 2的面积为◎,△ B 2P 2B 3的面积为S 2,…，△ B n P n B n + 1的面积为S n ,则S 1 + S 2+ S 3+…+ S n =~2 n +1 —第9题图第10题图第12 题图。
2020年中考数学二轮复习压轴专题：二次函数(题目+解析版)
解：（1）y＝ax2﹣8ax+12a＝a（x﹣6）（x﹣2）， 故 OA＝2，OB＝6，
△OCA∽△OBC，则
，即：OC2＝OA•OB，
解得：CO＝2 ；
（2）过点 C 作 CD⊥x 轴于点 D，
2020 年中考数学二轮复习压轴专题 微信：东方君编辑
△OCA∽△OBC，则
，
设 AC＝2x，则 BC＝2 x，而 AB＝4， 故 16＝（2x）2+（2 x）2，解得：x＝1， 故 AC＝2，BC＝2 ，
2020 年中考数学二轮复习压轴专题
3．如图已知直线 y＝ x+ 与抛物线 y＝ax2+bx+c 相交于 A（﹣1，0），B（4，m）两点，抛 物线 y＝ax2+bx+c 交 y 轴于点 C（0，﹣ ），交 x 轴正半轴于 D 点，抛物线的顶点为 M． （1）求抛物线的解析式； （2）设点 P 为直线 AB 下方的抛物线上一动点，当△PAB 的面积最大时，求△PAB 的面积 及点 P 的坐标； （3）若点 Q 为 x 轴上一动点，点 N 在抛物线上且位于其对称轴右侧，当△QMN 与△MAD 相似时，求 N 点的坐标．
2020 年中考数学二轮复习压轴专题
9．如图 1，过原点的抛物线与 x 轴交于另一点 A，抛物线顶点 C 的坐标为 对称轴交 x 轴于点 B．
，其
（1）求抛物线的解析式； （2）如图 2，点 D 为抛物线上位于第一象限内且在对称轴右侧的一个动点，求使△ACD 面积最大时点 D 的坐标； （3）在对称轴上是否存在点 P，使得点 A 关于直线 OP 的对称点 A'满足以点 O、A、C、A' 为顶点的四边形为菱形．若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
贵州省2020届中考数学大二轮素养突破 题型研究
题型一根据二次函数图象判断结论1. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论正确的是()A. ab＞0，c＞0B. ab＞0，c＜0C. ab＜0，c＞0D. ab＜0，c＜0第1题图2. (2019成都)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A(1，0)，B(5，0)，下列说法正确的是()A. c<0B. b2－4ac<0C. a－b＋c<0D. 图象的对称轴是直线x＝3第2题图3. 如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，图象经过点(－1，2)和(1，0)，且与y轴相交于负半轴，下列结论：①2a＋b＞0；②方程ax2＋bx＋c－3＝0的两根一个大于1，另一个小于－1；③b＝－1; ④a ＞1，其中正确结论的个数是()A. 1个B. 2个C. 3个D.4个第3题图4. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，有以下结论：①3a－b＝0；②b2－4ac>0；③c－a＞0；④4b＋3c>0，其中错误结论的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 4第4题图5. (2019巴中)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论①b2＞4ac，②abc＜0，③2a＋b －c＞0，④a＋b＋c＜0，其中正确的是()A. ①④B. ②④C. ②③D.①②③④第5题图6. 如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A(－3，0)，其对称轴为直线x＝－1，有下列结论：①abc ＜0；②a－b－2c＞0；③关于x的方程ax2＋(b－m)x＋c＝m有两个不相等的实数根；④若P(－5，y1)，Q(m，y2)是抛物线上两点，且y1＞y2，则实数m的取值范围是－5＜m＜3.其中正确结论的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 4第6题图7. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②2a＋b＝0；③若m为任意实数，则a＋b＞am2＋bm；④a－b＋c＞0；⑤若ax21＋bx1＝ax22＋bx2，且x1≠x2，则x1＋x2＝2，其中，正确结论的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 4第7题图8. 在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，现给以下结论：①abc＜0；②9a－3b＋c＝0；③a－b≥m(am＋b)(m为实数)；④4ac－b2＜0.其中错误结论的个数有()A. 1个B. 2个C. 3个D.4个第8题图9. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列7个结论中正确的有________个．①ac<0；②2a＋b＝0；③4a＋2b＋c＞0；④对于任意x均有ax2＋bx≥a＋b；⑤3a＋c＝0；⑥b＋2c＜0；⑦当x＞1时，y随着x的增大而减小．第9题图参考答案题型一 根据二次函数图象判断结论1. C2. D 【解析】∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与y 轴交于正半轴，∴c ＞0，故A 错误；∵二次函数图象与x 轴交于A ，B 两个不同的点，∴b 2－4ac >0，故B 错误；∵抛物线与x 轴的交点A (1，0)，B (5，0)，∴对称轴为直线x ＝1＋52＝3，故D 正确；∵抛物线开口向上，∴当x ＜3时，y 随x 的增大而减小，∵－1＜1，∴当x ＜1时，y ＞0，∴当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c >0，故C 错误．3. C 【解析】①由图象可知，a ＞0，对称轴x ＝－b 2a＜1，∴2a ＋b ＞0，正确；②当y ＝2时，方程的两个根一个是－1，一个大于1，当y ＝3时，方程的两个根一个小于－1，一个大于1，∴方程ax 2＋bx ＋c－3＝0的两根一个大于1，另一个小于－1，正确；③将(－1，2)和(1，0)代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧2＝a －b ＋c 0＝a ＋b ＋c ，∴b ＝－1，正确；④∵2a ＋b ＞0，b ＝－1，∴a ＞12，错误；故选C . 4. A 【解析】根据对称轴－b 2a ＝－32得b ＝3a ，故可得3a －b ＝0，∴结论①正确；由于抛物线与x 轴有两个不同的交点，∴b 2－4ac ＞0，结论②正确；观察图象可知a ＜0，c ＞0，∴－a ＋c ＞0，结论③正确；根据抛物线的轴对称性可知抛物线与x 轴的右交点在原点与(1，0)之间(不含这两点)，∴当x ＝1时，y ＝a＋b ＋c ＜0，∵a ＝13b ，∴43b ＋c ＜0，∴4b ＋3c ＜0，∴结论④错误．故选A . 5. A 【解析】①由抛物线与x 轴有两个交点，可得b 2－4ac >0，∴b 2>4ac ，故①正确；②由开口向下，可得a <0，又由抛物线与y 轴交于正半轴，可得c >0，由对称轴在y 轴左侧，得到b 与a 同号，则可得b <0，abc >0，故②错误；③∵a <0，b <0，c >0，∴2a ＋b －c <0，故③错误；④∵x ＝－3时，y <0，而抛物线的对称轴为x ＝－1，∴x ＝1时，y <0，即a ＋b ＋c <0，故④正确；故选A .6. D 【解析】①由图可知a ＞0，c ＜0，对称轴为直线x ＝－1，∴x ＝－b 2a＝－1，∴b ＝2a ＞0，∴abc ＜0，①正确；②y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过点A (－3，0)，∴9a －3b ＋c ＝0，∴3a ＋c ＝0，即c ＝－3a ，∴a －b －2c ＝a －2a ＋6a ＝5a ＞0，②正确；③ax 2＋(b －m )x ＋c ＝m ，可化为ax 2＋(2a －m )x －3a ＝m ，∴ax 2＋(2a －m )x －3a －m ＝0，Δ＝(2a －m )2＋4a (3a ＋m )＝16a 2＋m 2＞0，∴关于x 的方程ax 2＋(b －m )x ＋c ＝m 有两个不相等的实数根，③正确；④P (－5，y 1)，Q (m ，y 2)是抛物线上两点，且y 1＞y 2，∵x ＝－1是对称轴，∴与P 点y 值相等的点为(3，y 1)，∵y 1＞y 2，∴－5＜m ＜3，④正确；故选D .7. B 【解析】①抛物线开口方向向下，则a ＜0，抛物线对称轴位于y 轴右侧，则a 、b 异号，即ab＜0，抛物线与y 轴交于正半轴，则c ＞0，∴abc ＜0，故①错误；②∵抛物线对称轴为直线x ＝－b 2a＝1，∴b ＝－2a ，即2a ＋b ＝0，故②正确；③∵抛物线对称轴为直线x ＝1，∴函数的最大值为a ＋b ＋c ，∴当m ≠1时，a ＋b ＋c ＞am 2＋bm ＋c ，即a ＋b ＞am 2＋bm ，故③错误；④∵抛物线与x 轴的一个交点在(3，0)的左侧，而对称轴为直线x ＝1，∴抛物线与x 轴的另一个交点在(－1，0)的右侧，∴当x ＝－1时，y ＜0，∴a －b ＋c＜0，故④错误；⑤∵ax 21＋bx 1＝ax 22＋bx 2，∴ax 21＋bx 1－ax 22－bx 2＝0，∴a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋b (x 1－x 2)＝0，∴(x 1－x 2)[a (x 1＋x 2)＋b ]＝0，而x 1≠x 2，∴a (x 1＋x 2)＋b ＝0，即x 1＋x 2＝－b a，∵b ＝－2a ，∴x 1＋x 2＝2，故⑤正确；综上所述，正确的有②⑤.故选B .8. A 【解析】对于①，∵抛物线开口向上，∴a ＞0.∵对称轴为直线x ＝－1，∴－b 2a＝－1.∴b ＝2a ＞0.∵抛物线与y 轴负半轴相交，∴c ＜0.∴abc ＜0，①正确；对于②，设抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的另一个交点为(x 1，0)，∵抛物线的对称轴为直线x ＝－1，∴x 1＋12＝－1.解得x 1＝－3.∴抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的另一个交点(－3，0)．∴0＝a ×(－3)2＋b ×(－3)＋c .∴9a －3b ＋c ＝0.②正确；对于③，∵当x ＝－1时，y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a －b ＋c ，∴抛物线的顶点为(－1，a －b ＋c )．∴函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小值为a －b ＋c .当x ＝m 时，y ＝ax 2＋bx ＋c ＝am 2＋bm ＋c .∴a －b ＋c ≤am 2＋bm ＋c .∴a －b ≤am 2＋bm .③错误；对于④，∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴有两个交点，∴b 2－4ac ＞0.∴4ac －b 2＜0，故④正确．综上所述，错误的是②，故选A .9. 5 【解析】∵抛物线的开口向上，∴a ＞0，∵抛物线与y 轴交于负半轴，∴c ＜0，∴ac ＜0，故①正确；∵抛物线与x 轴交于(－1，0)，(3，0)，∴对称轴为直线x ＝－b 2a ＝－1＋32＝1，∴2a ＋b ＝0，故②正确；当x ＝2时，4a ＋2b ＋c ＜0，故③错误；当x ＝1时，y 有最小值，为a ＋b ＋c ，∴对于任意x 均有ax 2＋bx ＋c ≥a ＋b ＋c ，即ax 2＋bx ≥a ＋b ，故④正确；当x ＝－1时，a －b ＋c ＝0，∵2a ＋b ＝0，∴－b ＝2a ，∴a ＋2a ＋c ＝3a ＋c ＝0，故⑤正确；∵a ＞0，对称轴在y 轴的右侧，∴b ＜0，∵c ＜0，∴b ＋2c ＜0，故⑥正确；∵当x ＞1时，y 随着x 的增大而增大，故⑦错误．综上，正确的有①②④⑤⑥，共5个．题型二 反比例函数与几何图形的计算1. (2018舟山)如图，点C 在反比例函数y ＝k x(x >0)的图象上，过点C 的直线与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，且AB ＝BC ，△AOB 的面积为1，则k 的值为( )A. 1B. 2C. 3D. 4第1题图2. (2019滨州)如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的边OA 在x 轴的正半轴上，反比例函数y ＝k x(x ＞0)的图象经过对角线OB 的中点D 和顶点C.若菱形OABC 的面积为12，则k 的值为( )A. 6B. 5C. 4D. 3第2题图3. 如图所示，在直角平面坐标系xOy 中，点A 、B 、C 为反比例函数y ＝k x(k >0)上不同的三点，连接OA 、OB 、O C.过点A 作AD ⊥y 轴于点D ，过点B 、C 分别作BE 、CF 垂直x 轴于点E 、F ，OC 与BE 相交于点M ，记△AOD 、△BOM 、四边形CMEF 的面积分别为S 1、S 2、S 3，则( )A. S 1＝S 2＋S 3B. S 2＝S 3C. S 3>S 2>S 1D. S 1S 2<S 23第3题图4. (2019贵州模拟)如图，在平面直角坐标系中，点A 在x 轴的正半轴上，点B 的坐标为(0，4)，将△ABO绕点B 逆时针旋转60°后得到△A ′BO ′，若函数y ＝k x(x ＞0)的图象经过点O ′，则k 的值为( ) A. 2 3 B. 4 C. 4 3 D. 8第4题图5. 如图，矩形OABC 的两边OA 、OC 在坐标轴上，且OC ＝2OA ，点M 、N 分别为OA 、OC 的中点，BM 与AN 交于点E ，若四边形EMON 的面积为2，则经过点B 的双曲线的解析式为( )A. y ＝－10xB. y ＝－8xC. y ＝－6xD. y ＝－4x第5题图6. 如图，反比例函数y ＝12x与△ABO 交于A ，B 两点，过点B 作直线平行于y 轴，过点A 作直线平行于x 轴，两直线交于点P ，连接PO ，若S △BOP ＝4，则S △ABP ＝________．第6题图 7. (2019郴州)如图，点A ，C 分别是正比例函数y ＝x 的图象与反比例函数y ＝4x的图象的交点，过A 点作AD ⊥x 轴于点D ，过C 点作CB ⊥x 轴于点B ，则四边形ABCD 的面积为________．第7题图8. 如图，反比例函数y ＝k x(x ＞0)的图象与矩形OABC 的边AB 、BC 分别交于点E 、F ，且AE ＝BE ，若△OEF 的面积为94，则k 的值为________．第8题图 9. 如图，已知函数y ＝x ＋2的图象与函数y ＝k x(k ≠0)的图象交于A 、B 两点，连接BO 并延长交函数y ＝k x(k ≠0)的图象于点C ，连接AC ，若△ABC 的面积为8.则k 的值为________．第9题图参考答案题型二 反比例函数与几何图形的计算1. D 【解析】如解图，过点C 作CD ⊥x 轴于点D ，过点C 作CE ⊥y 轴于点E ，则△ABO ∽△ACD ，△ABO ≌△CBE ，∵AB ＝BC ，S △AOB ＝1，∴S △AOB S △ADC ＝AB 2AC 2＝14，∴S △ACD ＝4，则S 矩形ODCE ＝4，故k 值为4.第1题解图2. C 【解析】设点B (a ，b )则D (a 2，b 2)，由题可知点C 的纵坐标与点B 的纵坐标相等，设C 的横坐标为m ，则mb ＝a 2·b 2，∴m ＝a 4，∴C (a 4，b )，∴BC ＝a －a 4＝3a 4，∴3a 4·b ＝12，∴ab 4＝4，∵D (a 2，b 2)，∴k ＝a 2·b 2＝ab 4＝4. 3. B 【解析】∵点A 、B 、C 为反比例函数y ＝k x (k >0)上不同的三点，∴S △OBE ＝S △OCF ＝S △OAD ＝k 2.∴S △OBE －S △OME ＝S △OCF －S △OME ，即S △BOM ＝S 四边形CMEF .∵S △OAD ＝S 1，S △BOM ＝S 2，S 四边形CMEF ＝S 3.∴S 1＝k 2，S 2＝S 3<S 1. 4. C 【解析】∵点B 的坐标为(0，4)，∴OB ＝4，如解图，作O ′C ⊥OB 于点C ，∵△ABO 绕点B 逆时针旋转60°后得到△A ′BO ′，∴O ′B ＝OB ＝4，∴O ′C ＝4×sin60°＝23，BC ＝4×cos60°＝2，∴OC ＝2，∴点O ′的坐标为(23，2)，∵函数y ＝k x (x ＞0)的图象经过点O ′，∴2＝k 23，得k ＝4 3.第4题解图5. A 【解析】如解图，过M 作MG ∥ON ，交AN 于点G ，过E 作EF ⊥AB 于点F ，设EF ＝h ，OM ＝a ，由题意可知AM ＝OM ＝a ，ON ＝NC ＝2a ，AB ＝OC ＝4a ，BC ＝AO ＝2a ，在△AON 中，MG ∥ON ，AM＝OM ，∴MG ＝12ON ＝a ，∵MG ∥AB ，∴MG AB ＝ME BE ＝14，∴BE ＝4EM ，∵EF ⊥AB ，∴EF ∥AM ，∴FE AM ＝BE BM＝45.∴FE ＝45AM ，即h ＝45a ，∵S △ABM ＝12×4a ×a ＝2a 2，S △AON ＝12×2a ×2a ＝2a 2，∴S △ABM ＝S △AON ，∴S △AEB ＝S 四边形EMON ＝2，S △AEB ＝12×AB ·EF ＝124a ×h ＝2，ah ＝1，又有h ＝45a ，∴a ＝52(长度为正数)，∴OA ＝5，OC ＝25，∴B 的坐标为(－25，5)，∴经过B 的双曲线的解析式是y ＝－10x.第5题解图6. 8 【解析】如解图，延长BP 交x 轴于点N ，延长AP 交y 轴于点M ，∵PB ∥y 轴，P A ∥x 轴，∴AM ⊥y轴，BN ⊥x 轴，∴四边形OMPN 是矩形，∵点A ，B 在双曲线y ＝12x上，∴S △AMO ＝S △BNO ＝6，∵S △BOP ＝4，∴S △PMO ＝S △PNO ＝2，∴S 矩形OMPN ＝4，∴OM ·ON ＝4，∴OM ＝4ON ，∴AP ＝12OM－ON ＝3ON －ON ＝2ON ，BP ＝12ON －OM ＝8ON ，∴S △APB ＝12AP ·BP ＝12×2ON ×8ON＝8.第6题解图7. 8 【解析】∵y ＝4x的图象与y ＝x 的图象都关于原点O 成中心对称，∴这两个函数图象的交点关于原点O 成中心对称．∴S △AOB ＝S △BOC ＝S △COD ＝S △AOD ＝k 2＝2，∴S 四边形ABCD ＝2×4＝8. 8. 3 【解析】如解图，连接OB ，∵E 、F 是反比例函数y ＝k x(x ＞0)的图象上的点，EA ⊥x 轴于点A ，FC ⊥y 轴于点C ，∴S △AOE ＝S △COF ＝12k ，∵AE ＝BE ，∴S △BOE ＝S △AOE ＝12k ，S △BOC ＝S △AOB ＝k ，∴S △BOF ＝S △BOC －S △CDF ＝k －12k ＝12k ，∴点F 是BC 的中点，∴S △OEF ＝S 矩形AOCB －S △AOE －S △COF －S △BEF ＝2k －k 2－k 2－12×12k ＝94，解得k ＝3.第8题解图9. 3 【解析】如解图，连接OA .由题意可得OB ＝OC ，∴S △OAB ＝S △OAC ＝12S △ABC ＝4.设直线y ＝x ＋2与y 轴交于点D ，则D (0，2)，设A (a ，a ＋2)，B (b ，b ＋2)，则C (－b ，－b －2)，∴S △OAB ＝12×2×(a －b )＝4，∴a －b ＝4①.过点A 作AM ⊥x 轴于点M ，过C 点作CN ⊥x 轴于点N ，则S △OAM ＝S △OCN ＝12k ，∴S △OAC ＝S △OAM ＋S 梯形AMNC －S △OCN ＝S 梯形AMNC ＝4，∴12(－b －2＋a ＋2)(－b －a )＝4，将①代入，得－a －b ＝2②，①＋②，得－2b ＝6，b ＝－3，①－②，得2a ＝2，a ＝1，∴A (1，3)，∴k ＝1×3＝3.第9题解图题型三 三角形性质的综合计算1. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，▱OABC 的顶点O (0，0)，点B (3，2)，点A 在x 轴的正半轴上．按以下步骤作图：①以点O 为圆心，适当长度为半径作弧分别交边OA 、OC 于点M 、N ；②分别以点M 、N为圆心，大于12MN 的长为半径作弧，两弧在∠AOC 内交于点P ；③作射线OP ，恰好过点B ，则点A 的坐标为( )A. (73，0)B. (611，0)C. (136，0)D. (2，0)第1题图2. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，AD＝BC，∠DAB＝60°，E是底边AB上一点，且FE＝FB＝AC，F A＝AB，则AE∶EB等于()A. 1∶2B. 1∶3C. 2∶5D.3∶10第2题图3. 如图，在△ABC中，点D，E，F分别在三边上，点E是AC的中点，AD，BE，CF交于点G，BD ＝2DC，S△BGD＝8，S△AGE＝3，则△ABE的面积是()A. 11B. 14C. 15D.30第3题图4. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，连接A C.若AC＝6，则四边形ABCD 的面积为()A. 6B. 12C. 18D.24第4题图5. 如图，四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，△ABC 是等边三角形．∠ADC ＝30°，AD ＝3，BD ＝5，则CD 的长为( ) A. 3 2 B. 4 C. 2 5 D. 4.5第5题图 6. (2019大庆)如图，在△ABC 中，D ，E 分别是BC ，AC 的中点，AD 与BE 相交于点G ，若DG ＝1，则AD ＝________．第6题图7. 如图，在△ABC 中，∠BAC ＝80°，以点B 为圆心，以任意长度为半径画弧交AB ，BC 于点D ，E ，分别以点D ，E 为圆心，以大于12DE 的长度为半径画弧，两弧交于点P ，作射线BP ；以点C 为圆心，以任意长度为半径画弧交AC ，BC 于点M ，N ，分别以点M ，N 为圆心，以大于12MN 的长度为半径画弧，两弧交于点Q ，作射线CQ .若BP 与CQ 相交于点O ，则∠BOC 的度数是________．第7题图8. 将一副三角板如图所示放在一起，连接AD ，则∠ADB 的正切值是________．第8题图 9. (2019聊城)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝60°，DE 为△ABC 的中位线，延长BC 至F ，使CF ＝12BC ，连接FE 并延长交AB 于点M ，若BC ＝a ，则△FMB 的周长为________．第9题图10. (2019自贡)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝10，BC ＝6, CD ∥AB ，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点E ，DE ＝________．第10题图 11. 如图，∠ABC ＝∠BCD ＝120°，AB ＝BC ，AB ＝2CD ，连接AC ，BD 交于点E ，AE ＝7，则线段CE 的长为________．第11题图12. 如图，∠ABC ＝90°，P 为射线BC 上任意一点(点P 和点B 不重合)，分别以AB ，AP 为边在∠ABC 内部作等边△ABE 和等边△APQ ，连接QE 并延长交BP 于点F ，连接EP ，若FQ ＝11，AE ＝43，则EP ＝________．第12题图参考答案题型三 三角形性质的综合计算1. C 【解析】由作图可得OB 平分∠AOC ，∴∠AOB ＝∠COB ，∵四边形OABC 为平行四边形，∴AB ∥OC ，∴∠COB ＝∠ABO ，∴∠ABO ＝∠AOB ，∴AO ＝AB ，设A (t ，0)，如解图，过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，则D (3，0)，在Rt △ABD 中，由勾股定理得t 2＝(3－t )2＋22，解得t ＝136，∴A 点坐标为(136，0)．第1题解图2. B 【解析】设CD ＝1，则F A ＝AB ＝2，易证BC ＝12AB ＝1，∠ACB ＝90°，FE ＝FB ＝AC ＝3.∵△ABF ∽△FBE ，∴AB BF ＝BF BE ，BE ＝BF 2AB ＝32，于是AE ＝12，所以AE ∶EB ＝1∶3. 3. C 【解析】在△BDG 和△CDG 中，BD ＝2DC ，根据这两个三角形的高相等，那么S △BDG ＝2S △GDC ，∴S △GDC ＝4，同理S △AGE ＝S △GEC ＝3，S △BEC ＝S △BGD ＋S △GDC ＋S △GEC ＝8＋4＋3＝15.∴S △ABE ＝S △BEC ＝15.4. C 【解析】如解图，作AM ⊥BC 交BC 于点M 、AN ⊥CD 交CD 的延长线于点N .∵∠ANC ＝∠AMC ＝∠BCD ＝90°，∴四边形AMCN 为矩形，∠MAN ＝90°.∵∠BAD ＝90°，∴∠BAM ＝∠DAN .在△ABM 与△ADN 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAM ＝∠DAN ∠AMB ＝∠AND AB ＝AD，∴△ABM ≌△ADN (AAS)，∴AM ＝AN ，∴四边形AMCN 是正方形，△ABM 与△ADN 的面积相等，∴四边形ABCD 的面积＝正方形AMCN 的面积．设AM 长为x ，由勾股定理得AC 2＝AM 2＋MC 2，而AC ＝6，∴2x 2＝36，x 2＝18.第4题解图5. B 【解析】如解图，以CD 为边作等边△CDE ，连接AE .由于AC ＝BC ，CD ＝CE ，∠BCD ＝∠BCA＋∠ACD ＝∠DCE ＋∠ACD ＝∠ACE ，故△BCD ≌△ACE ，BD ＝AE .又∠ADC ＝30°，则∠ADE ＝90°.在Rt △ADE 中，AE ＝BD ＝5，AD ＝3，∴DE ＝AE 2－AD 2＝4，故CD ＝DE ＝4.第5题解图6. 3 【解析】∵D 、E 分别BC 、CA 的中点，∴点G 是△ABC 的重心，∴AG ＝2DG ＝2，∴AD ＝AG ＋DG ＝2＋1＝3.7. 130° 【解析】由作图可知∠OBC ＝12∠ABC ，∠OCB ＝12∠ACB ，∵∠BAC ＝80°，∴∠ABC ＋∠ACB ＝100°，∴∠BOC ＝180°－12(∠ABC ＋∠ACB )＝180°－50°＝130°. 8. 3－12【解析】如解图，作AE ⊥BD 交DB 的延长线于点E ，由题意可得，∠ABE ＝∠CBD ＝45°，设AE ＝1，则AB ＝2，∴BC ＝6，∵△BCD 是等腰直角三角形，∴BD ＝3，∴DE ＝1＋3，∴tan ∠ADB ＝13＋1＝3－12.第8题解图9. 92a 【解析】∵BC ＝a ，CF ＝12BC ，∴CF ＝a 2.在Rt △ABC 中，∠B ＝60°，∴AB ＝2a ，AC ＝3a .∵DE 是△ABC 的中位线，∴DE ＝12BC ＝a 2，BD ＝12AB ＝a ，CE ＝12AC ＝32a ，∠EDM ＝60°，∠AED ＝90°.∴在Rt △CEF 中，EF ＝CE 2＋CF 2＝a ，∴∠CEF ＝30°，∴∠AEM ＝∠CEF ＝30°，∴∠EFC ＝60°，∴△FMB是等边三角形，∴△FMB 的周长＝3BF ＝3(a ＋a 2)＝92a . 10. 955【解析】在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝90°，AB ＝10，BC ＝6，由勾股定理得AC ＝8，如解图，过点E 作EF ⊥AB 于点F ，∵BD 平分∠ABC ，∴EF ＝CE .∵∠A ＝∠A ，∠AFE ＝∠ACB ＝90°，∴△AFE ∽△ACB ，∴AE AB ＝EF BC ，即8－CE 10＝CE 6，解得CE ＝3，在Rt △BCE 中，由勾股定理得BE ＝BC 2＋CE 2＝35，∵CD ∥AB ，∴∠CDB ＝∠ABD ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠CBD ，∴∠CBD ＝∠CDB ，∴CD ＝CB ＝6，∵∠AEB ＝∠CED ，∠ABE ＝∠CDE ，∴△ABE ∽△CDE ，∴AB CD ＝BE DE ，即106＝35DE ，解得DE ＝955.第10题解图11. 73【解析】如解图，作BM ⊥AC 于点M ，∵AB ＝BC ，∠ABC ＝120°，∴∠A ＝∠ACB ＝30°，AM ＝CM ，∴BM ＝12AB ，∵AB ＝2CD ，∴BM ＝CD ，∵∠DCB ＝120°，∴∠DCE ＝∠DCB －∠ACB ＝120°－30°＝90°，∴∠BMC ＝∠DCE ＝90°，在△MEB 和△CED 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BEM ＝∠DEC ，∠BME ＝∠DCE ，BM ＝DC ，∴△MEB ≌△CED (AAS)，∴ME ＝CE .设CE ＝x ，则ME ＝x ，AM ＝AE －ME ＝7－x .∵AM ＝CM ，∴7－x ＝2x ，∴x ＝73，∴线段CE 的长为73.第11题解图 第12题解图 12. 13【解析】如解图，延长HD 到点E ，使得HE ＝HB ，连接BE ，EC ，又∵∠BHD ＝60°，∴△BHE 是等边三角形，∴BE ＝BH ，∠HBE ＝∠BEH ＝60°，∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，∴∠ABC ＝∠HBE ，∴∠ABH ＝∠CBE .在△ABH 和△CBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CB ∠ABH ＝∠CBE BH ＝BE，∴△ABH ≌△CBE (SAS)，∴AH ＝CE ，∠AHB ＝∠CEB .∵∠AHB ＝180°－∠BHD ＝180°－60°＝120°，∴∠CEB ＝120°，∴∠HEC ＝∠CEB －∠BEH ＝120°－60°＝60°.∵∠AHC ＝90°，∴∠EHC ＝90°，∴∠ECH ＝180°－∠EHC －∠HEC ＝180°－90°－60°＝30°.设BH ＝EH ＝x ，则CH ＝3EH ＝3x ，EC ＝2EH ＝2x ，∴AH ＝2x ，在Rt △ACH 中，由勾股定理得AH 2＋CH 2＝AC 2，∴(2x )2＋(3x )2＝(7)2，解得x ＝1，∴BH ＝EH ＝1，AH ＝CE ＝2.在△BHC 中，∠HBC ＋∠HCB ＝180°－∠BHC ＝180°－60°－90°＝30°，∴∠HBC ＋∠HCB ＝∠HCE ，即∠HBC ＋∠HCB＝∠HCB ＋∠ECD ，∴∠HBC ＝∠ECD ，∴BH ∥EC ，∴△BDH ∽△CDE ，∴DH DE ＝BD CD ＝BH CE ＝12，∴DE ＝2DH ，∴DH ＝13EH ＝13×1＝13.题型四 图形折叠和旋转的相关计算1. 如图，已知矩形纸片ABCD ，点E 是AB 的中点，点G 是BC 上的一点，∠BEG ＝70°，现沿直线EG 将纸片折叠，使点B 落在纸片上的点H 处，连接AH ，则∠DAH 的度数为( )A. 20°B. 30°C. 35°D. 40°第1题图2. (2019乐山)如图，在边长为3的菱形ABCD 中，∠B ＝30°，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，现将△ABE 沿直线AE 翻折至△AFE 的位置，AF 与CD 交于点G .则CG 等于( ) A. 3－1 B. 1 C. 12 D. 32第2题图 3. (2019重庆A 卷)如图，在△ABC 中，D 是AC 边上的中点，连接BD ，把△BDC 沿BD 翻折，得到△BDC ′，DC ′与AB 交于点E ，连接AC ′，若AD ＝AC ′＝2，BD ＝3，则点D 到BC ′的距离为( ) A.332 B.3217C.7D.13第3题图4. (2019大连)如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，若AB＝4，BC＝8，则D′F的长为()A. 2 5B. 4C. 3D. 2第4题图5. 如图，在平面直角坐标系中，一张矩形纸片OBCD按图所示放置，已知OB＝10，BC＝6，将这张纸片折叠，使点O落在CD上，记作点A，折痕与边OD交于点E，与边OB交于点F，已知点E的坐标为(0，4)，则点A的坐标为________．第5题图6. (2019江西)如图，在△ABC中，点D是BC上的点，∠BAD＝∠ABC＝40°，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，则∠CDE＝________°.第6题图7. 如图，在△ABC中，AC＝BC＝8，∠C＝90°，点D为BC中点，将△ABC绕点D逆时针旋转45°，得到△A′B′C′，B′C′与AB交于点E，则S四边形ACDE＝______．第7题图8. 如图，矩形ABCD中，BC＝2，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转90°，点A、C分别落在A′、C′处，如果点A′、C′、B在同一条直线上，那么tan∠ABA′的值为______．第8题图9. 如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠AOB＝60°，BD＝4，将△ABC沿直线AC 翻折后，点B落在点E处，那么S△AED＝________．第9题图10. (2019绵阳)如图，△ABC、△BDE都是等腰直角三角形，BA＝BC，BD＝BE，AC＝4，DE＝22，将△BDE绕点B逆时针方向旋转后得△BD′E′，当点E′恰好落在线段AD′上时，则CE′＝________．第10题图参考答案题型四 图形折叠和旋转的相关计算1. A 【解析】如解图，连接BH 交EG 于点O ，∵EA ＝EB ＝EH ，∴∠AHB ＝90°，∵EH ＝EB ，GB ＝GH ，∴EG ⊥BH ，∴∠BOE ＝90°，∵∠BEG ＝70°，∴∠ABH ＝20°，∴∠BAH ＝70°，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD ＝90°，∴∠DAH ＝20°，故选A .第1题解图2. A 【解析】∵在边长为3的菱形ABCD 中，∠B ＝30°，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，∴BE ＝AB ·cos ∠ABE ＝3·cos30°＝3×32＝32，根据折叠可知EF ＝BE ＝32，∵BC ＝3，∴CE ＝BC －BE ＝3－32，∴CF ＝EF －CE ＝32－(3－32)＝3－3，如解图，过点G 作GQ ⊥CF ，垂足为点Q ，易得∠GCF ＝∠F ＝30°，∴GF ＝GC ，∴CQ ＝12CF ＝12(3－3)，∴CG ＝CQ cos ∠GCQ ＝12（3－3）cos30°＝3－1.第2题解图3. B 【解析】如解图，连接C ′C 交BD 于点O ，过点D 作DF ⊥BC ′于点F .∵△BDC ′是由△BCD 折叠得到的，∴DC ′＝DC ，BD ⊥CC ′，CO ＝C ′O .∵AC ′＝AD ＝2，∴△ADC ′是等边三角形，∴AC ＝4，∠C ′AC ＝60°，∴CC ′＝2 3.∵点D ，O 分别是AC ，CC ′的中点，∴DO ＝12AC ′＝1，∴BO ＝BD －DO ＝2，在Rt △BOC ′中，BC ′＝BO 2＋C ′O 2＝7，∵S △BDC ′＝12BC ′·DF ＝12BD ·C ′O ，∴DF ·7＝3·3，解得DF ＝3217.第3题解图4. C 【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴BC ＝AD ＝8，CD ＝AB ＝4，∠D ＝90°，由折叠的性质得，CD ＝C ′D ′＝4，D ′F ＝DF ，∠FD ′C ′＝∠D ＝90°，在Rt △D ′FC ′中，C ′F 2＝D ′F 2＋C ′D ′2＝(AD －D ′F )2，∴D ′F 2＋42＝(8－D ′F )2，解得D ′F ＝3.5. (23，6) 【解析】∵点E 的坐标为(0，4)，∴OE ＝4，则DE ＝OD －OE ＝2，由折叠的性质可知，AE ＝OE ＝4，由勾股定理得，AD ＝AE 2－DE 2＝23，∴点A 的坐标为(23，6)．6. 20 【解析】∵∠ADC ＝∠BAD ＋∠ABC ＝80°，∴∠ADB ＝180°－∠ADC ＝180°－80°＝100°，根据翻折性质得∠ADE ＝∠ADB ＝100°，∴∠CDE ＝∠ADE －∠ADC ＝100°－80°＝20°.7. 28 【解析】由题意得∠B ＝∠BDE ＝45°，BD ＝4，则∠DEB ＝90°，∴BE ＝DE ＝22，∴S △BDE ＝12BE ·DE ＝12×22×22＝4，∵S △ACB ＝12AC ·BC ＝12×8×8＝32，∴S 四边形ACDE ＝S △ACB －S △BDE ＝32－4＝28. 8. 5－12 【解析】如解图，设矩形的边长CD ＝x ，由A ′D C ′D ＝A ′C BC ，得2x ＝2＋x 2，整理，得x 2＋2x －4＝0，解得x ＝－1±5，∴CD ＝5－1，∴tan ∠ABA ′＝tan ∠BA ′C ＝C ′D A ′D ＝5－12.第8题解图9. 3 【解析】如解图，连接EO ，∵∠AOB ＝∠EOA ＝60°，∴∠EOD ＝60°，∵OB ＝OE ＝OD ，∴△EOD 是等边三角形，∴∠EDO ＝∠AOB ＝60°，∴DE ∥AC ，∴S △ADE ＝S △EOD ＝34×22＝ 3.第9题解图10. 2＋6 【解析】如解图，连接CE ′，∵△ABC 、△BDE 都是等腰直角三角形，BA ＝BC ，BD ＝BE ，AC ＝4，DE ＝22，∴AB ＝BC ＝22，BD ＝BE ＝2，∵将△BDE 绕点B 逆时针方向旋转后得△BD ′E ′，∴D ′B ＝BE ′＝BD ＝2，∠D ′BE ′＝90′，∠D ′BD ＝∠ABE ′，∴∠ABD ′＝∠CBE ′，∴△ABD ′≌△CBE ′(SAS)，∴∠CE′B＝∠D′＝45°，过点B作BH⊥CE′于点H，在Rt△BHE′中，BH＝E′H＝22BE′＝2，在Rt△BCH中，CH＝BC2－BH2＝6，∴CE′＝E′H＋CH＝2＋ 6.第10题解图。
2020年贵阳市中考数学二轮复习专题5题型1二次函数与特殊三角形的存在性问题
第二部分 专题五题型一 针对训练1 •如图，抛物线 y = ax2 + bx — 4经过A( — 3,0), B(5, - 4)两点，与y 轴交于点C ,连 接 AB , AC , BC.(1) 求抛物线的表达式；(2) 求证：AB 平分/ CAO ;(3) 抛物线的对称轴上是否存在点 M ，使得△ ABM 是以AB 为直角边的直角三角形？若 存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.2(1)解：将 A( — 3,0), B(5, — 4)代入 y = ax + bx — 4,⑵证明：•/ AO = 3, OC = 4,二 AC = 5.如答图1，取D(2,0)，连接BD ，贝U AD = AC = 5.由两点间的距离公式可知 BD = 5 — 2 2+ — 4 — 0 2= 5.T C(0，一 4), B(5，一 4),BC = 5,二 BD = BC. 在厶ABD 和厶ABC 中,AD = AC , AB = AB ,BD = BC , 9a — 3b — 4= 0, 25a + 5b — 4=— 4,解得 故抛物线的表达式为1 2 5y=厂护―4.第1题图1 第1题答图1•••△ ABD也厶ABC(SSS),•••/ BAD = Z CAB,••• AB 平分/ CAO.⑶解：存在•如答图2,设抛物线的对称轴交x轴于点E,交BC与点F.V」/i* -iV'DC第1题答图2•••抛物线的对称轴为直线x = 5,• AE = 121.•- A( —3,0), B(5,—4),1• tan/ EAB =二2•// M ' AB= 90°• tan/ M ' AE = 2.• M ' E= 2AE = 11,• M ' £,11).同理tan/ MBF = 2.5 5••• BF = 2, • FM = 5, • M(2，—9).5 5•点M的坐标为(2, 11)或q,—9)•2. (2019菏泽)如图，抛物线与x轴交于A, B两点，与y轴交于点C(0, —2)，点A的坐标是(2,0), P为抛物线上的一个动点，过点P作PD丄x轴于点D，交直线BC于点E,抛物线的对称轴是直线x=— 1.(1)求抛物线的函数表达式；1⑵若点P在第二象限内，且PE= 4OD，求△ PBE的面积；(3)在⑵的条件下，若M为直线BC上一点，在x轴的上方，是否存在点M，使△ BDM 是以BD为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1) •••点A的坐标是(2,0)，抛物线的对称轴是直线x=— 1 ,•••点B的坐标为(-4,0).设抛物线的函数表达式为y = a(x—2)(x+ 4) = a(x2+ 2x- 8), 将C(0,- 2)代入得—8a =-2，解得a =4故抛物线的函数表达式为y= 4x2+ fx - 2.(2)设直线BC的表达式为y= mx+ n,将B(-4,0), C(0, - 2)代入，得r0=- 4m+ n, —2= n,解得尸-2、n = - 2,1故直线BC的表达式为y=- ?x-2.设D(x,0),1 2 1 1则P(x, 4x + 2x- 2), E(x,- 2x- 2).1v PE=4OD,1 o 1 1 1…PE= 4x + 2x-2 + 2x + 2 = 4( -x),解得x=-5或x= 0(舍去)，即D(-5,0),115• PE= 1OD = 5 = 5, BD =- 4- (-5) = 1 ,4 4 41 15 5•- S APBE=2PE BD = 2X 4X 1= 8.⑶存在.由(1)可知，tan/ABC =,贝U sin / ABC =誓由题意得厶BDM是以BD为腰的等腰三角形，且M在x轴上方，如答图.①当BD = BM = 1时，y M = BM sin/ ABC = 1 X贝V X M=-20 + 2 55第2题答图②当BD = DM '= 1时,1设M ' （x,—2x- 2）,过点M '作MF丄x轴于点F，则故（-5- x）2+ （- ；x—2）2= 1,解得x=- 28或x=- 4（舍去）,528 4则M，（-5, 5）.综上所述，存在符合条件的点M，坐标为（-20 ¥5,5 DF2+ M ' F2= DM ' 2,普）或（-罟，5）.。
2020年贵阳市中考数学二轮复习专题5题型2二次函数与特殊四边形的存在性问题
第二部分 专题五题型二 针对训练1.(2015贵阳)如图，经过点C(0, 2,0), B 两点.(2)若该抛物线关于直线 x = 2对称，求抛物线的函数表达式.⑶在⑵的条件下，连接 AC , E 是抛物线上一动点，过点E 作AC 的平行线交x 轴于点F •是否存在这样的点 E ,使得以A , C , E , F 为顶点所组成的四边形是平行四边形？若存在， 求出满足条件的点 E 的坐标；若不存在，请说明理由.解：⑴>,> . (2) •••直线 x = 2 是对称轴，A(-2,0) ,••• B(6,0).二•点 C(0, - 4),[4a — 2b + c = 0,•••将 A(-2,0), B(6,0), C(0, - 4)代入 y = ax 2 + bx + c , 得 36a + 6b + c = 0,c =- 4,解得「b =-c =- •••抛物线的函数表达式为 y = ；x 2- ；x — 4.⑶存在.①假设存在点E 使得以A , C , E , F 为顶点所组成的四边形是平行四边形.如答图1，过点C 作CE // x 轴，交抛物线于点 E ,过点E 作EF // AC ,交x 轴于点F , 则四边形ACEF 即为满足条件的平行四边形.1 2 4•••抛物线y = 3X 2-3X — 4关于直线x = 2对称，•••由抛物线的对称性可知，点E 的横坐标为4.•/ OC = 4，•点E 的纵坐标为一4.•- E(4, - 4)； 2(1)a 〉 0, b -4ac-4)的抛物线y = ax 2 + bx + c(a ^ 0)与x 轴相交于A(- a = 13’4 3,4,第1题答图②假设在抛物线上还存在点E',使得以A, C, F E '为顶点所组成的四边形是平行四边形.如答图2,过点E'作E' F '// AC交x轴于点F '，则四边形ACF ' E'即为满足条件的平行四边形，••• A C= E' F ' , AC // E ' F'.过点E '作E' G丄x轴于点G.•••AC// E' F ',•••/ CAO=Z E ' F ' G.•••/ COA=Z E ' GF ' = 90°AC= E ' F ',• △CAO^A E ' F ' G , • E ' G= CO = 4,•••点E '的纵坐标是4，二4= $2—；x—4,解得x i= 2+ 2 7, X2= 2 — 2 7,•点E '的坐标为(2 + 2 7, 4),同理可得点E〃的坐标为(2 — 2 7, 4).综上所述，满足条件的点E的坐标为(4,—4)或(2 + 2 7, 4)或(2 — 2 7, 4).2. (2019辽阳)如图，在平面直角坐标系中，Rt△ ABC的边BC在x轴上，/ ABC = 90°以A为顶点的抛物线y=—x2+ bx+ c经过点C(3,0),交y轴于点E(0,3),动点P在对称轴上.(1)求抛物线的解析式；⑵若点P从A点出发，沿A T B方向以1个单位/秒的速度匀速运动到点B停止，设运动时间为t 秒，过点P作PD丄AB交AC于点D，过点D平行于y轴的直线l交抛物线于点Q,连接AQ, CQ,当t为何值时，△ ACQ的面积最大？最大值是多少？(3)若点M是平面内的任意一点，在x轴上方是否存在点P,使得以点P, M , E, C为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出符合条件的M点坐标；若不存在，请说明理由.—9+3b +c =0, b =2解得4 l c = 3, 故抛物线的解析式为 y = — x 2+ 2x + 3. (2)由⑴得A 点坐标为(1,4),设直线AC 的解析式为y = kx + b ,将点A , C 的坐标代入得, 直线AC 的解析式为y = — 2x + 6,t + 2点 P(1,4— t),则点 D(-2 , 4 — t).t + 2 t 1 12,.设点 Q( 2 , 4— 4), 0ACQ = 2 DQ BC = — qt + t.1•••— 4< 0,「. S SCQ 有最大值，当t = 2时，其最大值为1.⑶存在.设点P(1 , m),点M(x , y),① 当EC 是菱形一条边时，当点 M 在x 轴下方时，点E 向右平移3个单位长度，向下平移 3个单位长度得到 C ,则点P 向右平移3个单位长度，向下平移 3个单位长度得到 M , 则 1 + 3= x , m — 3 = y , 由 PM = PE 得，1+ (m — 3)2= (x — 1)2 + (y — m)2,解得y =17, 故点M(4, 17)；当点M 在x 轴上方时，同理可得点M(— 2,3 + 14);② 当EC 是菱形一对角线时，则 EC 中点即为PM 中点，则 x + 1= 3, y + m = 3,而 PE = PC ,即卩 1 + (m — 3)2= 4 + m 2,解得m = 1,故 x = 2, y = 3 — m = 3— 1 = 2,故点 M(2,2).综上所述，符合条件的点 M 的坐标为(4,17)或 (—2,3 + 14)或(2,2). 第2题图解：(1)将点C , E 的坐标代入二次函数解析式得c = 3,。
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第二部分 专题五 题型一 针对训练
1．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx －4经过A (－3,0)，B (5，－4)两点，与y 轴交于点C ，连接AB ，AC ，BC .
第1题图
(1)求抛物线的表达式；
(2)求证：AB 平分∠CAO ；
(3)抛物线的对称轴上是否存在点M ，使得△ABM 是以AB 为直角边的直角三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
(1)解：将A (－3,0)，B (5，－4)代入y ＝ax 2＋bx －4，
得⎩⎪⎨⎪⎧ 9a －3b －4＝0，25a ＋5b －4＝－4，解得⎩⎨⎧ a ＝16，b ＝－56，
故抛物线的表达式为y ＝16x 2－56
x －4. (2)证明：∵AO ＝3，OC ＝4，
∴AC ＝5.
如答图1，取D (2,0)，连接BD ，则AD ＝AC ＝5.
第1题答图1
由两点间的距离公式可知BD ＝(5－2)2＋(－4－0)2＝5.
∵C (0，－4)，B (5，－4)，
∴BC ＝5，∴BD ＝BC .
在△ABD 和△ABC 中，
⎩⎪⎨⎪⎧ AD ＝AC ，AB ＝AB ，
BD ＝BC ，
∴△ABD ≌△ABC (SSS)，
∴∠BAD ＝∠CAB ，
∴AB 平分∠CAO .
(3)解：存在．如答图2，设抛物线的对称轴交x 轴于点E ，交BC 与点F .
第1题答图2
∵抛物线的对称轴为直线x ＝52，∴AE ＝112
. ∵A (－3,0)，B (5，－4)，
∴tan ∠EAB ＝12
. ∵∠M ′AB ＝90°，
∴tan ∠M ′AE ＝2.
∴M ′E ＝2AE ＝11，
∴M ′(52
，11)． 同理tan ∠MBF ＝2.
∵BF ＝52，∴FM ＝5，∴M (52
，－9)． ∴点M 的坐标为(52，11)或(52
，－9)． 2．(2019·菏泽)如图，抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C (0，－2)，点A 的坐标是(2,0)，P 为抛物线上的一个动点，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，交直线BC 于点E ，抛物线的对称轴是直线x ＝－1.
第2题图
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点P 在第二象限内，且PE ＝14
OD ，求△PBE 的面积； (3)在(2)的条件下，若M 为直线BC 上一点，在x 轴的上方，是否存在点M ，使△BDM 是以BD 为腰的等腰三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)∵点A 的坐标是(2,0)，抛物线的对称轴是直线x ＝－1，
∴点B 的坐标为(－4,0)．
设抛物线的函数表达式为y ＝a (x －2)(x ＋4)＝a (x 2＋2x －8)，
将C (0，－2)代入得－8a ＝－2，解得a ＝14
， 故抛物线的函数表达式为y ＝14x 2＋12
x －2. (2)设直线BC 的表达式为y ＝mx ＋n ，
将B (－4,0)，C (0，－2)代入，得
⎩⎪⎨⎪⎧ 0＝－4m ＋n ，－2＝n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－12，n ＝－2，
故直线BC 的表达式为y ＝－12
x －2. 设D (x,0)，
则P (x ，14x 2＋12x －2)，E (x ，－12
x －2)． ∵PE ＝14
OD ， ∴PE ＝14x 2＋12x －2＋12x ＋2＝14
(－x )， 解得x ＝－5或x ＝0(舍去)，即D (－5,0)，
∴PE ＝14OD ＝14×5＝54
，BD ＝－4－(－5)＝1， ∴S △PBE ＝12PE ·BD ＝12×54×1＝58
. (3)存在．
由(1)可知，tan ∠ABC ＝12，则sin ∠ABC ＝55
. 由题意得△BDM 是以BD 为腰的等腰三角形，且M 在x 轴上方，如答图． ①当BD ＝BM ＝1时，
第2题答图
y M ＝BM ·sin ∠ABC ＝1×
55＝55
， 则x M ＝－20＋255
， 则M (－20＋255，55)；
②当BD ＝DM ′＝1时，
设M ′(x ，－12
x －2)，过点M ′作MF ⊥x 轴于点F ，则DF 2＋M ′F 2＝DM ′2， 故(－5－x )2＋(－12
x －2)2＝1， 解得x ＝－285
或x ＝－4(舍去)， 则M ′(－285，45
)． 综上所述，存在符合条件的点M ，坐标为(－20＋255，55)或(－285，45
)．。