三大分布及其之间的关系

定义 设连续型随机变量 X 的概率密度为
1 2σ 2 p( x ) e , x , 2 πσ 其 中 μ , σ ( σ 0) 为 常 数 ,则 称X 服 从 参 数 为 μ, σ ( x μ )2
的 正 态 分 布 或 高 斯 分, 布 记 为 X ~ N ( μ, σ 2 ).
例题
• 假设小白鼠接受一定剂量的毒物时,其死亡概率 是80%。对每只小白鼠来说，其死亡事件A发生的 概率是0.8。试验用3只小白鼠，请列举可能出现 的试验结果及发生的概率。 3只小白鼠有2只死亡的概率为：
C * 0.8 * (1 0.8)
2 3 2
1
样本率与总体率的比较
• 例题：新生儿染色体异常率为0.01，随机抽取某 地400名新生儿，发现1名染色体异常，请问当地 新生儿染色体异常是否低于一般？
三种分布之间的关系
§1.1 正态分布
【例】现用甲、乙两种发酵法生产青霉素，其产品收 • 2 2 2 2
率的方差分别为 1 =0.46(g/L) , 2 =0.37(g/L) 。现甲 x1=3.71g/L;乙方法测得30个数据 方法测得 25个数据， x 2 =3.46g/L。问甲、乙两种方法的收率是否相同？( ， = 0.05)
• 设随机变量X的分布律为
k! 称X服从参数为的 泊松分布，记为 X ~ P( ) P{ X k}
k
e , 0, k 0,1,2,
式中：λ 为总体均数，λ ＝nπ 或λ =np；X为稀有 事件发生次数；
特点：罕见事件发生数的分布规律
Poisson分布的图形
• 一般地，Poisson分布的图形取决于λ 值的大 小。λ 值愈小，分布愈偏；λ 值愈大，分布愈 趋于对称。当λ ＝20时，分布接近正态分布。 此时可按正态分布处理资料。当λ ＝50时，分 布呈正态分布。
图 Poisson分布的概率分布图
常见Poisson分布的资料
在实际工作及科研中，判定一个变量是否服从 Poisson分布仍然主要依靠经验以及以往累积的资料。 以下是常见的Poisson分布的资料： 1.产品抽样中极坏品出现的次数； 2.患病率较低的非传染性疾病在人群中的分布； 3.自来水中的细菌个数； 4.空气中的细菌个数及真菌饱子数； 5.人的自然死亡数； 6.环境污染中畸形生物的出现情况； 7.连体婴儿的出现次数； 8.野外单位面积某些昆虫的随机分布；
P( X X )
X
X!
e u
(一)Poisson分布的概念 • Poisson分布由法国数学家S.D.Poisson在1837 年提出。该分布也称为稀有事件模型，或空间 散布点子模型。在生物学及医学领域中，某些 现象或事件出现的机会或概率很小，这种事件 称为稀有事件或罕见事件。稀有事件出现的概 率分布服从Poisson分布。
Piosson分布与 正态分布及二项分布的关系
• 当λ 较小时， Piosson分布呈偏态分布，随着
增大，迅速接近正态分布，当λ 20时，可以认
为近似正态分布。
• Piosson分布是二项分布的特例，某现象的发生 率很小，而样本例数n很大时，则二项分布接近 于Piosson分布。 λ ＝ n （应用： Piosson 替代二项分布）
二项分布的图形
§1.3 Poisson分布
例题： • 一般人群食管癌的发生率为8/10000。某研究 者在当地随机抽取500人，结果6人患食管癌。 请问当地食管癌是否高于一般？ 二项分布计算方法：
P( X k )
Biblioteka Baidu
n k
k
(1 )
n k
Piosson分布的计算方法：均数是？
正态分布的应用
正态分布是最常见最重要的一种分布,例如
测量误差; 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ;
正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量
高度等都近似服从正态分布.
§1.2 二项分布
以x表示在n次试验中事件A出现的次数，x是一个离 散型随机变量，它的所有取值为0,1,2,…,n,其概 率分布函数为 (q=1-p) P( x) Cnx p x qn x 称P(x)为随机变量x的二项分布，记作B(n,p)
二项分布的概率分布图形
二项分布的图形取决于n和p的大小。
一般地，如果np和n(1-p) 均大于5时，分布接近正 态分布；当 np <5 时，图形呈偏态分布。当p=0.5 时， 图形分布对称，近似正态。如果p≠ 0.5 或距 0.5 较 远时，分布呈偏态。 当 n →∞ 时，只要 p 不太靠近 0 或 1 ， 二项分布近似 于正态分布。