2019届吉林省长春市高三质量监测二文科数学试卷【含答案及解析】

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2019年吉林省长春市高考数学二模试卷(文科)

2019年吉林省长春市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1. 已知全集，集合，，则A ．B ．C ．D ． 2. 在复平面内，复数所对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3. 已知且，则函数与函数的图象可能是A. B. C. D.4. 若变量满足约束条件则的最大值为A ．B ．C ．D ．5. 过抛物线的焦点F 的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，若A 、B 两点的横坐标之和为，则 A ．B ．C ．D ．6. 已知函数，则R =U }|{3<<1-=x x A }|{1>=x x B A ()U B =ð)(11-，](11-，)[31，)(31，iiz +12-1=0>a 1≠a x a x f =)(x x g a log )(=y x ,1020y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩y x z 2-=1234x y 42=310=AB 3133145316⎩⎨⎧0≥1+1-0<1-=x x f x x x f ,)(,)(=2016)(fA ．2014B ． 2015C ．2016D ．20177. 已知实数图所示的程序框图，则输出的x 不小于．．．121的概率为A B ．C D8. 把函数的图象向左平个单位，得到一个偶函数，则的最小值为 A ．B ．C ．D ．9. 下列命题正确．．的个数是 ① 对于两个分类变量X 与Y 的随机变量K 2的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系”的把握程度越大；② 在相关关系中，若用拟合时的相关指数为，用拟合时的相关指数为，且,则的拟合效果好；③ 利用计算机产生0～1之间的均匀随机数，则事件“”发生的概率为；④ “”是“”的充分不必要条件. A ．B ．C ．D.},,,,,,,{87654321∈x 3x x x x f 23+=cos cos sin )()(0>ϕϕϕ3π4π6π12πx c e c y 211=21R a bx y +=222R 21R >22R 1y a 0>1-3a 321->x 1-<1x4321输入x10. “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起方形伞（方盖）．其直观图如下左图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．其实际直观图中四边形不存在，当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是A ．B ．C ．D ．11. 已知，，且，则的最小值是 A ．B ．C ．D ．12. 已知函数，，若对任意，存在使，则实数a 的取值范围是 A ． B ． C ． D ．二、填空题:本大题共4小题。

2019年吉林省长春市高考数学二模试卷(文科)(解析版)

2019年吉林省高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A={x∈R|1≤x≤5}，B={x∈R|x＜2}，则A∩B为（）A．{x∈R|1≤x＜2}B．{x∈R|x＜1}C．{x∈R|2＜x≤5}D．{x∈R|2≤x≤5}2．已知i是虚数单位，若1+i=z（1﹣i），则z=（）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i3．已知数列{a n}为等差数列，a2+a3=1，a10+a11=9，则a5+a6=（）A．4 B．5 C．6 D．74．已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x5．一个算法的流程图如图所示，若输入x的值为1，则输出y的值是（）A．0 B．﹣1 C．﹣D．﹣36．函数f（x）=Acos（ωx+φ）在区间[0，π]上的图象如图所示，则函数f（x）的解析式可能是（）A．f（x）=2cos（2x+）B．f（x）=﹣cos（x﹣）C．f（x）=﹣cos（2x﹣）D．f（x）=cos（2x﹣）7．已知m，n表示不同的直线，α，β表示不同的平面，则下列命题正确的个数是（）①若m⊥α，n⊥α，则m∥n；②若m⊥n，n⊥α，则m∥α；③若m⊥β，α⊥β，则m∥α；④若m⊥α，m⊥β，则α∥β．A．1 B．2 C．3 D．48．已知命题p：若奇函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），则f（6）=0；命题q：不等式log2x﹣1＞﹣1的解集为{x|x＜2}，则下列结论错误的是（）A．p∧q真B．p∨q真C．（￢p）∧q为假D．（￢p）∧（￢q）为真9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．4+B．4+3πC．4+πD．4++10．若向量=（1，﹣1），|=||，•=﹣1，则向量与﹣夹角为（）A． B． C．D．11．已知圆心为C1的圆（x+2）2+y2=1，圆心为C2的圆（x﹣4）2+y2=4，过动点P向圆C1和圆C2引切线，切点分别为M，N，若|PM|=2|PN|，则△PC1C2面积最大值为（）A．3B．3C．3D．1512．设函数f′（x）是函数f（x）（x≠0）的导函数f′（x）＜，函数y=f（x）（x≠0）的零点为1和﹣2，则不等式xf（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（0，1）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（﹣2，0）∪（0，1）D．（﹣2，0）∪（1，+∞）二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分）13．函数f（x）=的定义域是．14．已知实数x，y满足，则目标函数z=的最大值为．15．设正三角形ABC的外接圆内随机取一点，则此点落在正三角形ABC内的概率为．16．设数列{a n}的前n项和为S n，a1=2，若S n+1=S n，则数列{}的前2016项和为．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知向量=（sin，1），=（cos，），f（x）=•．（I）求f（x）的最大值，并求此时x的值；（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足f（B）=，a=2，c=3，求sinA的值．18．在甲、乙两个训练队的体能测试中，按照运动员的测试成绩优秀与不优秀统计成绩后，得到得到如下2×2列联表：优秀不优秀总计甲队80 240 320乙队40 200 240合计120 440 560（Ⅰ）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为运动员的测试成绩与所双在训练队有关系；（Ⅱ）采用分层抽样的方法在两个训练队成绩优秀的120名运动员中抽取名运动员组成集训队．现从这6名运动员中任取2名运动员参加比赛，求这2名运动员分别来自于甲、乙两个不同训练队的概率．附：P（K2≥k）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）19．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，各棱长均为2，D，E，F，G分别是棱AC，AA1，CC1，A1C1的中点．（Ⅰ）求证：平面B1FG∥平面BDE；（Ⅱ）求三棱锥B1﹣BDE的体积．20．已知抛物线C：y=x2，直线l：y=x﹣1，设P为直线l上的动点，过点P作抛物线的两条切线，切点分别为A、B（Ⅰ）当点P在y轴上时，求线段AB的长；（Ⅱ）求证：直线AB恒过定点．21．已知函数f（x）=lnx+a（x2﹣3x）（a∈R）（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB为⊙O的直径，∠ABD=90°，线段AD交半圆于点C，过点C作半圆切线与线段BD交于点M，与线段BA延长线交于点F．（Ⅰ）求证：M为BD的中点；（Ⅱ）已知AB=4，AC=，求AF的长．五、[选修4-4：坐标系与参数方程]23．直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数，0≤α＜π），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程ρ=﹣4cosθ，圆C的圆心到直线l的距离为．（Ⅰ）求α的值；（Ⅱ）已知P（1，0），若直线l于圆C交于A、B两点，求+的值．[选修4-5：不等式选讲]．24．已知a，b，c为正数，且a+b+c=1 （Ⅰ）求++的最小值；（Ⅱ）求证： ++≥++．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

长春市普通高中2019届高三质量监测(二)数学(文科)参考答案

长春市普通高中2019届高三质量监测（二）数学（文科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. B2. A3. D4. A5.B6. C7. C8. D9. C 10. D 11. B 12. C 简答与提示：1. 【命题意图】本题考查复数的运算. 【试题解析】B 1z i =-+.故选B.2. 【命题意图】本题考查集合运算.【试题解析】A {|2},{1,0,1,A x x A B=≤=-.故选A. 3. 【命题意图】本题考查含有一个量词的否定.【试题解析】D 易知. 故选D.4. 【命题意图】本题主要考查函数的性质. 【试题解析】A 易知. 故选A.5. 【命题意图】本题考查三视图的相关知识.【试题解析】B 易知.故选B.6. 【命题意图】本题主要考查等差数列的相关知识.【试题解析】C 1625252318,2()8,4a a a a d a a a a d +=+==+-+==.故选C. 7. 【命题意图】本题主要考查倾斜角及三角恒等变换的相关知识.【试题解析】C 由题意可知2tan 2,cos22cos 1ααα==-=2231tan 15α-=-+.故选C.8. 【命题意图】本题主要考查平面向量的相关知识.【试题解析】D 由数量积的几何意义可知EF AE ⊥，由E 是BC 中点，所以52AF =.故选D. 9. 【命题意图】本题考查统计识图能力.【试题解析】C 易知①②③正确.故选C.10. 【命题意图】本题主要考查数形结合思想的运用.【试题解析】D 画出切线l 扫过的区域，如图所示，则不可能在直线上的点为(1,2)-.故选D.11. 【命题意图】本题考查双曲线的相关知识.【试题解析】B 由题意可知224a b e ==，故选B. 12. 【命题意图】本题是考查三角函数的相关知识.【试题解析】C 由0x π≤≤，有666x πππωωπ-≤-≤-，所以066ππωππ≤-≤+，从而1463ω≤≤. 故选C.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 214. 2715. 3()2 16.三、解答题17. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查解三角形的相关知识. 【试题解析】解：（1）由3sin ,sin 24sin ABACB AC B ACB∠===∠. （6分）（2）3cos sin ,4ACD ACB ∠=∠=设2,3,AD m CD m == 有2234492234m m m =+-⋅⋅⋅，1m =或45m =，当1m =时，3CD =，sin ACD ∠=，1sin 2ACD S AC CD ACD ∆=⋅⋅∠=当45m =时，125CD =，sin 4ACD ∠=，1sin 25ACD S AC CD ACD ∆=⋅⋅∠=. （12分）18. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查统计知识及概率相关知识. 【试题解析】解：（1）由饼状图知工资超过5000的有68人，故概率为0.68. （4分）（2）①A 企业[2000,5000)中三个不同层次人数比为1:2:4，设[3000,4000)中两人为A,B ，其余5人为a ,b ,c ,d ,e ,取出的两人共有如下21种情况，（A,B ）,（A, a ），（A, b ），（A, c ），（A, d ），（A, e ），（B,a ），（B,b ），（B,c ,），（B,d ），（B,e ），（a ,b ），（a ,c ），（a ,d ），（a ,e ），（b ,c ），（b ,d ），（b ,e ），（c ,d ），（c ,e ），（d ,e ），符合条件的共有10种情况，故所求事件概率为1021. （9分） ② A 企业的员工平均收入为：1(25005350010450020550042650018750038500195001)100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯5260=B 企业的员工平均收入为： 1(250023500745002355005065001675002)5270100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 参考答案1：选企业B ，由于B 企业员工的平均收入高.参考答案2：选企业A ，A 企业员工的平均收入只比B 企业低10元，但是A 企业有高收入的团体，说明发展空间较大，获得8000元以上的高收入是有可能的.参考答案3：选企业B ，由于B 企业员工平均收入不仅高，且低收入人数少.（12分）（如有其它情况，只要理由充分，也可给分） 19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题以四棱锥为载体，考查立体几何的基础知识. 本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.【试题解析】解：（1）在直角梯形中，cosBD BDC DBA =∠=∠=，在BCD ∆中，由余弦定理2BC PB PD ===，,PCD PCB ∆∆是等腰三角形，所以,PC M D PC M B ⊥⊥，PC ⊥平面MDB ，则平面PBC ⊥平面BDM .（6分）（2）取PD 中点N ，连接,AN MN ，ANMB 为平行四边形，所以//BM AN ，1BM AN ==，由PA AD =，所以AN PD ⊥，又由于CD ⊥平面PAD ，所以CD AN ⊥，所以AN ⊥平面PCD ，所以BM ⊥平面PCD ，所以B 到平面PCD 的距离为1. （12分）20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆的相关知识. 【试题解析】解：（1）由题意知，21,2,122c b a b a a ====，所以2214x y +=.（4分）（2）由条件可知:l y x =，联立直线l 和椭圆C ，有2214y x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩2580x ++=，设1122(,),(,)A x y B x y ，有1212||||y y x x -=-=所以121||2AOB S y y ∆=⋅-. （12分）21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的相关知识，以导数为工具研究函数的方法，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】解：（1）()22122,()ln ,1a f x x x f x x x x'==--=+-，()(2)ln 23,20,f f '=-=所以切线方程为ln 23y =-. （4分）（2）()2(1)()(13)x x a f x x x -+-'=≤≤，当1a ≤时，()0f x '<，()f x 在[1,3]上单调递减，所以()12,1f a =-=；当3a ≥时，()0f x '>，()f x 在[1,3]上单调递增，所以()ln 3132,31ln 33f a +=-=<-，舍去；当13a <<时，()f x 在(1,)a 上单调递增，在(,3)a 上单调递减，所以()2,f a a e =-=.综上1a =或a e =. （12分） 22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识. 【试题解析】（1）直线l的普通方程为)y x a =-，曲线C 的极坐标方程可化为2222cos3ρρθ+=，化简可得2213y x +=. （5分）（2）当1a =时，直线l0y -=.有点P 的直角坐标方程2213y x +=，可设点P的坐标为(cos )P θθ 因此点P 到直线l 的距离可表示为cos sin 1|)1|4d πθθθ==--=+-当cos()14πθ+=-，d（10分）23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式等内容. 本小题重点考查化归与转化思想. 【试题解析】（1）2(2)()()|2||2|4(22)2(2)x x f x f x x x x x x - <-⎧⎪+-=++-+= -⎨⎪ >⎩≤≤由()6f x ≥，则(,3][3,)x ∈-∞-+∞. （5分）（2）5(3)(4)(1)|2||3|21(32)5(2)x f x f x x x x x x <-⎧⎪--+=--+=-- -⎨⎪- >⎩≤≤由(4)(1)f x f x kx m --+>+的解集为(,)-∞+∞可知 0k =，即5k m +<-. （10分）。

长春市2019届高三第二次模拟考试数学试题(文)

长春市2019届高三第二次模拟考试数学试题（文）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合M满足{1，2}⊆M⊂{1，2，3，4}，则集合M的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．12．复数的共轭复数是（）A．1+i B．﹣1+i C．1﹣i D．﹣1﹣i3．若向量=（3，4），且存在实数x，y，使得=x，则可以是（）A． =（0，0），=（﹣1，2） B． =（﹣1，3），=（2，﹣6）C． =（﹣1，2），=（3，﹣1） D． =（﹣，1），=（1，﹣2）4．sin50°cos20°﹣sin40°cos70°等于（）A．1 B． C． D．5．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥面A1B1C1，正视图是正方形，俯视图是正三角形，该三棱柱的侧视图面积为（）A． B． C． D．46．若x，y满足约束条件，则目标函数z=3x+2y的最大值是（）A．3 B．4 C．5 D．67．执行如图所示的程序框图，如果输入P=153，Q=63，则输出的P的值是（）A．2 B．3 C．9 D．278．在△ABC中，若且，则角A=（）A． B． C． D．9．下列四种说法中，正确的个数有（）①命题“∀x∈R，均有x2﹣3x﹣2≥0”的否定是：“∃x∈R，使得”；②∃m∈R，使是幂函数，且在（0，+∞）上是单调递增；③不过原点（0，0）的直线方程都可以表示成；④回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为=1.23x+0.08．A．3个 B．2个 C．1个 D．0个10．如图所示，M，N是函数y=2sin（ωx+ϕ）（ω＞0）图象与x轴的交点，点P在M，N之间的图象上运动，当△MPN面积最大时，PM⊥PN，则ω=（）A． B． C． D．811．若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=1相切，则双曲线的离心率为（）A．2 B． C． D．12．设函数，若互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）=f（x2）=f（x3），则x1+x2+x3的取值范围是（）A． B． C． D．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答.二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分。

吉林省吉林市2019届高三下学期第二次模拟考试数学文(2019吉林二模)

吉林市普通中学2019学年度高中毕业班下学期期中教学质量检测数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共24小题，共150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内；2．选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚；3．请按照题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效；4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑；5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设全集1,2,3,4U ，集合1,2,4A，2,3,4B，则U C ABA.2,4 B.C.1,2,3,4 D.1,32．已知i 为虚数单位，则复数1i 1iA ．i B ．i C ．1i D ．1i3．若R y ,x ，则1y ,x 是122y x 成立的A ．必要而不充分条件B ．充分而不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．下列函数中，在定义域内既是奇函数又为增函数的是A.1()2xyB.sin y xC.3y xD.12log yx5．已知1||a ，2||b ，向量a 与b 的夹角为60，则||b aA ．5B ．7C ．1D ．26．已知双曲线标准方程为2212yx，则双曲线离心率为A ．2B ．3C ．62D ．37．已知曲线23ln 4xyx 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为A ．3B ．2C ．1D ．128．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且336,0S a ，则公差d 等于A ．－1B ．1C ．2D ．－29．某程序框图如下图所示，该程序运行后输出的S 的值是A ．－3B ．－12C ．13D ． 210．若函数2,12log 1a a a xx f xxx在,上单调递增，则实数a 的取值范围是A ．1,2B ．4(1,]3C ．4[,2)3D ．0,111．若不等式1a 2xy ，对满足225x y的一切实数,x y 恒成立，则实数a 的取值范围是A ．44a B ．46a C ．6a或4a D ．6a或6a12．已知函数()tan()(0,||)2f x A x，的部分图像如图，则()24f A ． 1 B ．0 C ．3D ．33第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分。

吉林省长春市东北师大附中2019届高三数学二模试卷(文科)Word版含解析

吉林省长春市东北师大附中2019届高三二模试卷（文科数学）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A={x∈R|1≤x≤5}，B={x∈R|x＜2}，则A∩B为（）A．{x∈R|1≤x＜2} B．{x∈R|x＜1}C．{x∈R|2＜x≤5} D．{x∈R|2≤x≤5} 2．已知i是虚数单位，若1+i=z（1﹣i），则z=（）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i3．已知数列{a n}为等差数列，a2+a3=1，a10+a11=9，则a5+a6=（）A．4 B．5 C．6 D．74．已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x5．一个算法的流程图如图所示，若输入x的值为1，则输出y的值是（）A．0 B．﹣1 C．﹣ D．﹣36．函数f（x）=Acos（ωx+φ）在区间[0，π]上的图象如图所示，则函数f（x）的解析式可能是（）A．f（x）=2cos（2x+）B．f（x）=﹣cos（x﹣）C．f（x）=﹣cos（2x﹣）D．f（x）=cos（2x﹣）7．已知m，n表示不同的直线，α，β表示不同的平面，则下列命题正确的个数是（）①若m⊥α，n⊥α，则m∥n；②若m⊥n，n⊥α，则m∥α；③若m⊥β，α⊥β，则m∥α；④若m⊥α，m⊥β，则α∥β．A．1 B．2 C．3 D．48．已知命题p：若奇函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），则f（6）=0；命题q：不等式log2x﹣1＞﹣1的解集为{x|x＜2}，则下列结论错误的是（）A．p∧q真B．p∨q真C．（￢p）∧q为假D．（￢p）∧（￢q）为真9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．4+B．4+3πC．4+πD．4++10．若向量=（1，﹣1），|=||，•=﹣1，则向量与﹣夹角为（）A．B．C． D．11．已知圆心为C1的圆（x+2）2+y2=1，圆心为C2的圆（x﹣4）2+y2=4，过动点P 向圆C1和圆C2引切线，切点分别为M，N，若|PM|=2|PN|，则△PC1C2面积最大值为（）A．3B．3C．3D．1512．设函数f′（x）是函数f（x）（x≠0）的导函数f′（x）＜，函数y=f（x）（x≠0）的零点为1和﹣2，则不等式xf（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（0，1）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（﹣2，0）∪（0，1）D．（﹣2，0）∪（1，+∞）二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分）13．函数f（x）=的定义域是．14．已知实数x，y满足，则目标函数z=的最大值为．15．设正三角形ABC的外接圆内随机取一点，则此点落在正三角形ABC内的概率为．=S n，则数列{}的前2016 16．设数列{a n}的前n项和为S n，a1=2，若S n+1项和为．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知向量=（sin，1），=（cos，），f（x）=•．（I）求f（x）的最大值，并求此时x的值；（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足f（B）=，a=2，c=3，求sinA的值．18．在甲、乙两个训练队的体能测试中，按照运动员的测试成绩优秀与不优秀统计成绩后，得到得到如下2×2列联表：（Ⅰ）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为运动员的测试成绩与所双在训练队有关系；（Ⅱ）采用分层抽样的方法在两个训练队成绩优秀的120名运动员中抽取名运动员组成集训队．现从这6名运动员中任取2名运动员参加比赛，求这2名运动员分别来自于甲、乙两个不同训练队的概率．附：（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）19．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，各棱长均为2，D，E，F，G 分别是棱AC，AA1，CC1，A1C1的中点．（Ⅰ）求证：平面B1FG∥平面BDE；（Ⅱ）求三棱锥B1﹣BDE的体积．20．已知抛物线C：y=x2，直线l：y=x﹣1，设P为直线l上的动点，过点P作抛物线的两条切线，切点分别为A、B（Ⅰ）当点P在y轴上时，求线段AB的长；（Ⅱ）求证：直线AB恒过定点．21．已知函数f（x）=lnx+a（x2﹣3x）（a∈R）（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修五、[选修4-4：坐标系与参数方程]22．直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数，0≤α＜π），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程ρ=﹣4cosθ，圆C的圆心到直线l的距离为．（Ⅰ）求α的值；（Ⅱ）已知P（1，0），若直线l于圆C交于A、B两点，求+的值．[选修4-5：不等式选讲]．23．已知a，b，c为正数，且a+b+c=1（Ⅰ）求++的最小值；（Ⅱ）求证： ++≥++．吉林省长春市东北师大附中2019届高三二模试卷（文科数学）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

数学百强名校试题解析精编版：吉林省长春市普通高中2019届高三上学期质量监测(二)文数试题解析(解析版)

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于直线y x =对称，且132z i =+，则2z =（） A. 32i - B. 23i - C. 32i -- D. 23i +【答案】D.考点：复数的运算．2若实数a ，b R ∈且a b >，则下列不等式恒成立的是（） A.22a b > B. 1ab> C. 22a b > D. lg()0a b ->【答案】C. 【解析】试题分析：根据函数的图象与不等式的性质可知：当a b >时，22a b>为准确选项，故选C. 考点：不等式的性质．3.设集合2{|30}A x x x =-<，{|||2}B x x =<，则A B =（）A. {}|23x x <<B. {}|20x x -<<C. {}|02x x <<D. {}|23x x -<<【答案】C. 【解析】试题分析：由题意可知{|03}A x x =<<，则{|22}B x x =-<<，∴{|02}A B x x =<<，故选C.考点：集合的关系．4.运行如图所示的程序框图，则输出的S 值为（）A. 99212-B. 99212+C. 1010212- D. 1010221+【解析】试题分析：由算法流程图可知，输出结果是首项为12，公比也为12的等比数列的前9项和，即为99212-，故选A.考点：程序框图．5.已知AB 为圆221x y +=的一条直径，点P 为直线20x y -+=上任意一点，则PA PB ⋅的最小值为（）A.1B.C. 2D.【答案】A. 【解析】试题分析：由题意得，设(cos ,sin )A θθ，(,2)P x x +，则(cos ,sin )B θθ--， ∴(cos ,sin 2)PA x x θθ=---，(cos ,sin 2)PB x x θθ=-----， ∴(cos )(cos )(sin 2)(sin 2)PA PB x x x x θθθθ⋅=---+-----222222()cos (2)sin 2432(1)11x x x x x θθ=--+---=++=++≥，当且仅当1x =-时，等号成立，故选A.考点：1.圆的标准方程；2.平面向量数量积及其使用． 6.几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.323 B. 2163π- C. 403 D. 8163π-【解析】试题分析：该几何体可视为长方体挖去一个四棱锥，∴其体积为14022422233⨯⨯-⨯⨯⨯=，故选C.考点：空间几何体体积计算．7.以正方形的一条边的两个端点为焦点，且过另外两个顶点的椭圆与双曲线的离心率之积为（）A.1D.2【答案】A.考点：椭圆，双曲线的标准方程及其性质．8.已知P 为椭圆2212516x y +=上的点，点M 为圆221:(3)1C x y ++=上的动点，点N 为圆2:C 22(3)1x y -+=上的动点，则||||PM PN +的最大值为（）A. 8B. 12C. 16D. 20【答案】B. 【解析】试题分析：由题可知，max 12(||||)||||212PM PN PC PC +=++=，故选B. 考点：椭圆性质的综合使用．9.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a >且65911a a =，当n S 取最大值时，n 的值为（） A. 9 B. 10C. 11D. 12【答案】B. 【解析】试题分析：由题意，不妨设69a t =，511a t =，则公差2d t =-，其中0t >，所以10a t =，11a t =-，即当10n =时，n S 取得最大值，故选B.考点：等差数列的通项公式及其前n 项和． 10.已知函数()2f x +=，当(0,1]x ∈时，2()f x x =，若在区间(1,1]-内，()()(1)g x f x t x =-+有两个不同的零点，则实数t 的取值范围是（）A.1[,)2+∞B. 11[,]22-C.1[,0)2-D.1(0,]2【答案】D. 【解析】试题分析：当(1,0]x ∈-时，1(0,1]x +∈，∴22()2211xf x x x -=-=-=++，即()f x 在(1,1]x ∈-上的解析式为22(1,0]()1(0,1]xx f x x x x -⎧ ∈-⎪=+⎨⎪ ∈⎩，可将函数()f x 在(1,1]x ∈-上的大致图象如下图所示，令()0()(1)g x f x t x =⇒=+，而(1)y t x =+表示过定点(1,0)-斜率为t 的直线，由图可知为其临界位置，此时12t =，所以直线的斜率t 的取值范围是1(0,]2，故选D.考点：1函数与方程；2.数形结合的数学思想． 11.函数11ln 22y x x x=+--的零点所在的区间是( ) A.1(,1)eB.(1,2)C.(2,)eD.(,3)e【答案】C.试题分析：函数的定义域是(0,)+∞，显然1ln 2y x =与1y x x=-在(0,)+∞上单调递增， ∴11ln 22y x x x=+--在(0,)+∞上单调递增，当2x =时，1112ln 2ln 0222y e =-=<，当x e =时，11132022y e e e e =+--=-->，根据零点存有定理可知函数11ln 22y x x x=+--的零点在(2,)e 内，故选C.考点：1.函数的性质；2.函数的零点．12.已知直线21y x =+与圆224x y +=相交于A ，B 两点，设α，β分别是以OA ，OB 为终边的角，则sin()αβ+=（） A.35B.35-C.45D.45-【答案】D.考点：1.直线与圆的位置关系；2.三角恒等变形．二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上．）13. 命题“x R ∀∈，210x x ++>”的否定是___________.【答案】0x R ∃∈，20010x x ≤++.试题分析：由题意可知，命题“x R ∀∈，210x x ++>”的否定是：0x R ∃∈，20010x x ≤++，故填：0x R ∃∈，20010x x ≤++. 考点：全称命题的否定.14.已知实数x ，y 满足2040240x y x y x y ≤≤≥-+⎧⎪+-⎨⎪+-⎩，则2y x -的最小值为___________.【答案】1. 【解析】试题分析：根据不等式组获得可行域如下图，令2z y x =-，可化为2y x z =+，所以当直线过点(1,3)时，z 取得最小值为1，故填：1.考点：线性规划.15.已知向量(13)a =，，(0,1)b =，则当[2]t ∈时，||a tb -的取值范围是___________.【答案】.考点：平面向量的线性运算.16.已知数列{}n a 中，对任意的*n N ∈，若满足12n n n a a a s ++++=（s 为常数），则称该数列为3阶等和数列，其中s 为3阶公和；若满足1n n a a t +⋅=（t 为常数），则称该数列为2阶等积数列，其中t 为2阶公积，已知数列{}n p 为首项为1的3阶等和数列，且满足32212p p p p ==；数列{}n q 为首项为1-，公积为2的2阶等积数列，设n S 为数列{}n n p q ⋅的前n 项和，则2016S = ___________.【答案】7056-. 【解析】试题分析：由题意可知，11p =，22p =，34p =，41p =，52p =，64p =，71p =，……，又∵{}n p 是3阶等和数列，所以该数列将会照此规律循环下去，同理，11q =-，22q =-，31q =-，42q =-，51q =-，62q =-，71q =-，……，又∵{}n q 是2阶等积数列，所以该数列将会照此规律循环下去，由此可知对于数列{}n n p q ⋅，每6项的和循环一次，易求出112266...21p q p q p q ⋅+⋅++⋅=-，所以2016S 中有336组循环结构，故2016213367056S =-⨯=-，故填：7056-.考点：1.新定义问题；2.数列求和.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知函数2()2sin cos f x x x x =+. （1）求函数()f x 的最小正周期和单调减区间；（2）已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中7a =，若锐角A 满足()26A f π-=，且sin sin B C +=bc 的面积. 【答案】（1）最小正周期：π，单调递减区间：7[,]1212k k ππππ++()k Z ∈；（2）40. 【解析】试题分析：（1）对()f x 的表达式实行三角恒等变形，再利用三角函数的性质即可求解；（2）首先求得A 的值，再结合正余弦定理列出相对应的式子，即可求解.试题解析：（1）2()2sin cos sin 22f x x x x x x =+-=+2sin(2)3x π=+，所以()f x 的最小正周期为22T ππ==，()f x 的单调递减区间为3222232k x k πππππ≤≤+++，即7[,]1212x k k ππππ∈++()k Z ∈；（2）由()2sin(2())2sin 26263A A f A πππ-=-+==，又∵A 为锐角，∴3A π=，由正弦定理可得2sin a R A ===，sin sin 2b c B C R ++==，则13b c +==，由余弦定理可知，22222()21cos 222b c a b c bc a A bc bc +-+--===，可求得40bc =．考点：1.三角恒等变形；2.正余弦定理解三角形． 18.（本小题满分12分）近年来我国电子商务行业迎来篷布发展的新机遇，2019年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币.与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系.现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价实行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次.（1）是否能够在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评相关？（2）若针对商品的好评率，采用分层抽样的方式从这200次交易中取出5次交易，并从中选择两次交易实行客户回访，求只有一次好评的概率.2()0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828P K k k ≥（22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）【答案】（1）能够；（2）35. 【解析】试题分析：（1）得到对应的列联表，根据条件中给出的数据以及公式计算相对应的值，比较大小即可判断；（2）列出所有符合题意的基本事件的种数以及所有的基本事件的种数，根据古典概型即可求解.试题解析：由题意可得关于商品和服务评价的22⨯列联表：22200(80104070)11.11110.8281505012080K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，能够在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评相关；（2）若针对商品的好评率，采用分层抽样的方式从这200次交易中取出5次交易，则好评的交易次数为3次，不满意的次数为2次，令好评的交易为A ，B ，C ，不满意的交易为a ，b ，从5次交易中，取出2次的所有取法为(,)A B ，(,)A C ，(,)A a ，(,)A b ，(,)B C ，(,)B a ，(,)B b ，(,)C a ，(,)C b ，(,)a b ，共计10种情况，其中只有一次好评的情况是(,)A a ，(,)A b ，(,)B a ，(,)B b ，(,)C a ，(,)C b ，共计6种，所以，只有一次好评的概率为63105= 考点：1.独立性检验；2.古典概型． 19.（本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PD ⊥平面ABCD ，点1D 为棱PD 的中点，过1D 作与平面ABCD 平行的平面与棱PA ，PB ，PC 相交于1A ，1B ，1C ，60BAD ︒∠=.（1）证明：1B 为PB 的中点；（2）已知棱锥的高为3，且2AB =，AC ，BD 的交点为O ，连接1B O ，求三棱锥1B ABO -外接球的体积.【答案】（1）详见解析；（2）12548π.考点：1.面面平行的性质；2.几何体的外接球． 20.（本小题满分12分）椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，且离心率为12，点P 为椭圆上一动点，12F PF ∆（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左顶点为1A ，过右焦点2F 的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，连结1A A ，1A B 并延长交直线4x =分别于P ，Q 两点，问22PF QF ⋅是否为定值？若是，求出此定值；若不是,请说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）分析题意可知点P 为短轴端点时12F PF S ∆取到最大值，再根据条件中数据求出a ，b ，c 的值即可；（2）设直线AB 的方程为1x ty =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，再利用平面向量的数量积的坐标表示即可求得定值.试题解析：（1）已知椭圆的离心率为12，不妨设c t =，2a t =，即b =，其中0t >，又12F PF ∆时，即点P为短轴端点，所以122t ⋅=，解得1t =，则椭圆的方程为22143x y +=；（2）设直线AB 的方程为1x ty =+，11(,)A x y ，22(,)B x y 联立221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得22(34)690t y ty ++-=，则122634t y y t -+=+，122934y y t -=+，直线1AA 的方程为11((2))(2)y y x x =----，直线1BA 的方程为22((2))(2)y y x x =----，则116(4,)2y P x +，226(4,)2y Q x +，则1216(3,)2y F P x =+，2226(3,)2y F Q x =+，则121222212121266369()()9223()9y y y y F P F Q x x t y y t y y ⋅=+=++++++ 0=，即22F P F Q ⋅为定值0.考点：1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.圆锥曲线中的定值问题．21.（本小题满分12分）已知函数ln ()a x f x x-=在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行. （1）求实数a 的值及()f x 的极值；（2）若对任意1x ，2x 2[,)e ∈+∞，有121212()()||>f x f x k x x x x --⋅，求实数k 的取值范围；【答案】（1）1a =，()f x 有极大值为(1)1f =；（2）(,2]-∞.考点：导数的综合使用．请考生在22-24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲.如图，过圆O 外一点P 的作圆O 的切线PM ，M 为切点，过PM 的中点N 的直线交圆O 于A ，B 两点，连接PA 并延长交圆O 于点C ，连接PB 交圆O 于点D ，若MC BC =.（1）求证：APM ∆∽ABP ∆；（2）求证：四边形PMCD 是平行四边形.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）证明NA NP NP NB=，MAP BAP ∠=∠，再根据相似三角形的判定即可得证；（2）证明//MC PD ，//MP CD ，根据平行四边形的判定即可得证.试题解析：（1）由题意可知，2MN NA NB =⋅，则N 为PM 的中点，则2PN NA NB =⋅，即NA NP NP NB=，所以NAP ∆∽NPB ∆，则NBP NPA ∠=∠，由CM CB =可得MAC BAC ∠=∠，即MAP BAP ∠=∠，则APM ∆∽ABP ∆；（2）由（1）PMA APB ∠=∠，又∵PMA PCM ∠=∠，则PCM APB ∠=∠，可得//MC PD ，由NBP NPA ∠=∠，NBP ACD ∠=∠，则NPA ACD ∠=∠，可得//MP CD ，所以四边形PMCD 是平行四边形.考点：1.割线定理；2.相似三角形的判定；3.平行四边形的判定．23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程.在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为2cos sin x t y t αα=+⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 是参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为8cos()3πρθ=-. （1）求曲线2C 的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；（2）若曲线1C 与曲线2C 交于A ，B 两点，求||AB 的最大值和最小值.【答案】（1）曲线2C的直角坐标方程为2240x y x +--=，其表示一个圆；（2）最小值为8.【解析】试题分析：（1）利用cos x ρθ=，sin y ρθ=可将2C 的极坐标方程化为相对应直角方程，即可求解；（2）联立1C ，2C 的方程，将||AB 表示为相对应的函数关系式，从而求解. 试题解析：（1）对于曲线2C 有8cos()3πρθ=-，即24cos sin ρρθθ=+，所以曲线2C的直角坐标方程为2240x y x +--=，其表示一个圆；（2）联立曲线1C 与曲线2C 的方程可得：2130t t α-⋅-=，12||||AB t t =-===，所以||AB的最小值为8.考点：1.极坐标方程与直角坐标方程的相互转化；2.直线与圆的位置关系．24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲.设函数()|2|||()f x x x a a R =++-∈.（1）若不等式()0f x a +≥恒成立，求实数a 的取值范围；（2）若不等式3()2f x x ≥恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）1a ≥-；（2）(,4]-∞.试题解析：（1）当0a ≥时，()0f x a +≥恒成立，当0a <时，要保证()f x a ≥-恒成立，即()f x 的最小值|2|a a ≥--，解得1a ≥-；（2）根据函数()f x 图象的性质可知，当322a a +=时，3()2f x x ≥恒成立，即4a =，∴a 的取值范围是(,4]-∞时，3()2f x x ≥恒成立.考点：1.绝对值不等式；2.分类讨论的数学思想；3.恒成立问题；4数形结合的数学思想．。

2019年吉林省长春市东北师大附中高考数学二模试卷(文科)

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注：资料封面，下载即可删除2019年吉林省长春市东北师大附中高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若集合{|11}A x x =-<<，{|02}B x x =<<，则(A B = )A ．{|11}x x -<<B ．{|12}x x -<<C ．{|02}x x <<D ．{|01}x x <<2．（5分）i 是虚数单位，(1ii=+ ) A ．1122i + B ．1122i -+C ．1122i - D ．1122i --3．（5分）已知向量(2,)a x =，(1,2)b =，若//a b ，则实数x 的值为( ) A ．1B ．2C ．3D ．44．（5分）设sin cos θθ+=，则sin 2(θ= )A ．12B ．12-C ．14D 5．（5分）函数1122y lnx x x=+--的零点所在的区间是( )A ．1(,1)eB ．(1,2)C ．(2,)eD ．(,3)e6．（5分）下列有关命题的说法正确的是( ) A ．若“p q ∧”为假命题，则p ，q 均为假命题B ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件C ．命题“若1x >，则11x<”的逆否命题为真命题 D ．命题“0x R ∃∈使得20010x x ++<”的否定是：“x R ∃∈，均有210x x ++”7．（5分）元朝时，著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，与店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的0x =，问一开始输入的(x = )A ．34B ．78C ．1516D ．31328．（5分）若三角形ABC 中，2sin()sin()sin A B A B C +-=，则此三角形的形状是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形D ．等腰直角三角形9．（5分）函数cos y x x =+的大致图象是( )A ．B ．C ．D ．10．（5分）已知函数log ,01()(41)2,1a x x f x a x a x <<⎧=⎨-+⎩满足对任意12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围是( )A ．1(0,)6B ．(0，1]6C ．1(0,)4D ．(1,)+∞11．（5分）已知31()3f x x x =-+在区间2(,10)a a -上有最大值，则实数a 的取值范围是() A ．1a <-B ．23a -<C ．21a -<D ．31a -<<12．（5分）在等腰直角ABC ∆中，AC BC =，D 在AB 边上且满足：(1)CD tCA t CB =+-，若60ACD ∠=︒，则t 的值为( )A B 1 C D 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若3sin()25πα+=-，(0,)απ∈，则sin α= ．14．（5分）已知向量(,3)a λ=，(3,2)b =-，如果a 与b 的夹角为直角，则λ= 15．（5分）已知函数2log (1)y ax =-在(2,1)--上单调递减，则a 的取值范围是． 16．（5分）设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意x R ∈，都有(4)()f x f x +=，且当[2x ∈-，0]时，1()()63x f x =-．若在区间(2-，6]内关于x 的方程()log (2)0(1)a f x x a -+=>恰有3个不同的实数根，则实数a 的取值范围是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知函数()2sin 2f x x x m =++．（1）求()f x 的最小正周期；（2）当[0x ∈，]2π时，()f x 的最小值为5，求m 的值．18．（12分）已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos 0a B b A +=．（1）求角A 的大小；（2）若2a b ==，求ABC ∆的面积．19．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，棱PA ⊥底面ABCD ，且AB BC ⊥，//AD BC ，22PA AB BC AD ====，E 是PC 的中点．（1）求证：//ED 平面PAB ；（2）求三棱锥A PDE -的体积．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是E 、F ，离心率7e =，过点F 的直线交椭圆C 于A 、B 两点，ABE ∆的周长为16．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知O 为原点，圆222:(3)(0)D x y r r -+=>与椭圆C 交于M 、N 两点，点P 为椭圆C 上一动点，若直线PM 、PN 与x 轴分别交于G 、H 两点，求证：||||OG OH 为定值． 21．（12分）已知函数()()f x xlnx ax a R =-∈．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若()0f x a +恒成立，求a 的值． [选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos (sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），曲线222:13x C y +=．（1）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求1C ，2C 的极坐标方程；（2）射线(0)3πθρ=与1C 异于极点的交点为A ，与2C 的交点为B ，求||AB ．[选修4-5：不等式选讲] 23．已知函数()|3|f x x =-．（1）若()(2)9f t f t +<，求t 的取值范围；（2）若存在[2x ∈，4]，使得(2)||3f x x a ++成立，求a 的取值范围．2019年吉林省长春市东北师大附中高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【解答】解：集合{|11}A x x =-<<， {|02}B x x =<<， {|12}AB x x ∴=-<<．故选：B ．【解答】解：i 是虚数单位，(1)11222i i i i i -==++，故选：A ．【解答】解：向量(2,)a x =，(1,2)b =，//a b ，可得4x =．故选：D ．【解答】解：sin cos θθ+=，∴平方可得112sin cos 1sin 22θθθ+=+=，则1sin 22θ=-，故选：B ．【解答】解：函数112(0)2y lnx x x x =+-->，211102y x x∴'=++>， ∴函数1122y lnx x x=+--在定义域(0,)+∞上是单调增函数；又2x =时，1111222202222y ln ln =+--=-<，x e =时，111122022y lne e e e e=+--=+-->，因此函数1122y lnx x x=+--的零点在(2,)e 内．故选：C ．【解答】解：若“p q ∧”为假命题，则p ，q 至少有一个为假命题，故A 错误；1x =-可得2560x x --=，反之不成立，6x =也成立，“1x =-”是“2560x x --=”的除法不必要条件，故B 错误； “若1x >，则11x<”为真命题，其逆否命题为真命命题，故C 正确；命题“0x R ∃∈使得20010x x ++<”的否定是：“x R ∀∈，210x x ++”，故D 错误．故选：C ．【解答】解：由题意，解方程：2[2(21)1]10x ---=，解得78x =，故选：B ．【解答】解：ABC ∆中，sin()sin A B C +=，∴已知等式变形得：2sin sin()sin C A B C -=，即sin()sin sin()A B C A B -==+，整理得：sin cos cos sin sin cos cos sin A B A B A B A B -=+，即2cos sin 0A B =， cos 0A ∴=或sin 0B =（不合题意，舍去）， 90A ∴=︒，则此三角形形状为直角三角形．故选：B ．【解答】解：由于()cos f x x x =+， ()cos f x x x ∴-=-+，()()f x f x ∴-≠，且()()f x f x -≠-，故此函数是非奇非偶函数，排除A 、C ；又当2x π=时，cos x x x +=，即()f x 的图象与直线y x =的交点中有一个点的横坐标为2π，排除D ．故选：B ．【解答】解：对任意的实数12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-成立，可得函数图象上任意两点连线的斜率小于0，说明函数为减函数，可得：014100(41)12a a a a <<⎧⎪-<⎨⎪-⨯+⎩，解得(0a ∈，1]6．故选：B ．【解答】解：由题意得31()3f x x x =-+，所以2()1(1)(1)f x x x x '=-+=-+-，当1x <-或1x >时，()0f x '<；当11x -<<时，()0f x '>，故1x =是函数()f x 的极大值点，所以由题意应有22101101()(1)a a a a f a f ⎧<-⎪<⎪⎨->⎪⎪⎩，解得21a -<．故选：C ．【解答】解：(1)CD tCA t CB =+-，A ∴，B ，D 三点共线，∴由题意建立如图所示坐标系，设1AC BC ==，则(0,0)C ，(1,0)A ，(0,1)B ，直线AB 的方程为1x y +=，直线CD的方程为y =，故联立解得，x =，y =，故2D，故3(2CD =，(1,0)CA=，(0,1)CB =，故(1)(,1)tCA t CB t t +-=-，故(t =，1)t -，故t =，故选：A ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．【解答】解：3sin()cos 25παα+==-，(0,)απ∈，2234sin 11()55cos αα∴-=--．故答案为：45．【解答】解：a 与b 的夹角为直角，∴0a b =，即360λ-=，2λ∴=．故答案为：2．【解答】解：已知函数2log (1)y ax =-在(2,1)--上单调递减，0a ∴<，且10a -->，求得1a <-，故答案为：(,1)-∞-．【解答】解：由(4)()f x f x +=，即函数()f x 的周期为4，当[2x ∈-，0]时，1()()63x f x =-．∴若[0x ∈，2]，则[2x -∈-，0]，则1()()6363x x f x --=-=-，()f x 是偶函数，()36()x f x f x ∴-=-=，即()36x f x =-，[0x ∈，2]，由()log (2)0a f x x -+=得()log (2)a f x x =+，作出函数()f x 的图象如图：当1a >时，要使方程()log (2)0a f x x -+=恰有3个不同的实数根，则等价为函数()f x 与()log (2)a g x x =+有3个不同的交点，则满足(2)(2)(6)(6)g f g f <⎧⎨>⎩，即4383a alog log <⎧⎨>⎩，解得342a <<，故a 的取值范围是3(4,2)，故答案为：3(4,2)．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.【解答】解：（1）由题意知：()3cos2sin 22sin(2)3f x x x m x m π++=++，所以()f x 的最小正周期为T π=（2）由（1）知：()2sin(2)3f x x m π=++，当[0x ∈，]2π时，2[33x ππ+∈，4]3π所以当4233x ππ+=时，()f x 的最小值为3m 又()f x 的最小值为5，35m =，即53m =+【解答】解：（1）在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin sin cos 0A B B A +=，⋯（2分）即sin (sin cos )0B A A +=，又角B 为三角形内角，sin 0B ≠，所以sin cos 0A A +=2)04A π+=，⋯（4分）又因为(0,)A π∈，所以34A π=．⋯（6分）（2）在ABC ∆中，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，则222044()2c c =+--⋯（8分）即222160c c +-=，解得()42c =-舍或22c =，⋯（10分）又1sin 2S bc A =，所以12222222S =⨯⨯⨯=．⋯（12分）【解答】证明：（1）取PB 中点H ，连接AH 、EH ，E ，H 分别为面PC ，PB 的中点，//HE BC ∴，且12HE BC =，又//AD BC ，且12AD BC =，//AD HE ∴，且AD HE =，∴四边形AHED 是平行四边形，//AH DE ∴，又AH ⊂平面PAB ，又DE ⊂/平面PAB ，//DE ∴平面PAB ．⋯（6分）解：（2）由（1）知，BC PB ⊥，AD PB ∴⊥，又PB AH ⊥，且AHAD A =，PB ∴⊥平面ADEH ，PH ∴是三棱锥P ADE -的高，又可知四边形ADEH 为矩形，且1AD =，2AH =，⋯（9分）∴三棱锥A PDE -的体积：2111112332323A PDE P ADE ADE ADEH V V S AH S AH --∆==⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯=矩形．⋯（12分）【解答】解：（1）由题意和椭圆的定义得 ||||||||416AF AE BF BE a +++==，则4a =，由7c a =7c = 则2229b a c =-=，所以椭圆C 的方程为221169x y +=；（2）证明：由条件可知，M ，N 两点关于x 轴对称，设1(M x ，1)y ，0(P x ，0)y ，则1(N x ，1)y -，由题可知，22111169x y +=，22001169x y +=，所以221116(9)9x y =-，220016(9)9x y =-．又直线PM 的方程为100010()y y y y x x x x --=--，令0y =得点G 的横坐标100101G x y x y x y y -=-，同理可得H 点的横坐标100101H x y x y x y y +=+，所以222210011001100122010101||||||||x y x y x y x y x y x y OG OH y y y y y y -+-==-+- 22222210010122220101116161|[(9)(9)]||16()|1699y y y y y y y y y y =---=-=--，即||||OG OH 为定值．【解答】解：（1）()f x 的定义域是(0,)+∞， ()1f x lnx a '=+-，令()0f x '>，解得：1a x e ->，令()0f x '<，解得：10a x e -<<，故()f x 在1(0,)a e -递减，在1(a e -，)+∞递增；（2）()0f x a +恒成立，即(1)a x xlnx -恒成立， 1x >时，即1xlnxax -在(1,)+∞恒成立，令()1xlnxh x x =-，(1)x >， 21()(1)lnx x h x x -+-'=-，令1y lnx x =-+-，则1110x y x x-'=-+=>，故1y lnx x =-+-在(1,)+∞递增，故0y >，故21()0(1)lnx x h x x -+-'=>-，故()h x 在(1,)+∞递增，由11limlim(1)11x x xlnxlnx x →→=+=-，故1a ，1x =时，显然成立， 01x <<时，即1xlnxax -在(0,1)恒成立，令()1xlnxm x x =-，(01)x <<， 21()0(1)lnx x m x x -+-'=<-，故()m x 在(0,1)递增，由11limlim(1)11x x xlnxlnx x →→=+=-，故1a ，综上，1a =．[选修4-4：坐标系与参数方程]【解答】解：（Ⅰ）曲线11cos :(sin x C y ααα=+⎧⎨=⎩为参数）化为普通方程为222x y x +=，所以曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为22(12sin )3ρθ+=．（Ⅱ）射线与曲线1C 的交点的极径为12cos 13πρ==，射线(0)3πθρ=与曲线2C 的交点的极径满足222(12sin )33πρ+=，解得2ρ=，所以12||||1AB ρρ=-=-． [选修4-5：不等式选讲]【解答】解：（1）由()(2)9f t f t +<得|3||23|9t t -+-<， ∴323329t t t ⎧⎪⎨⎪-+-<⎩，或3323239t t t ⎧<<⎪⎨⎪-+-<⎩，或33239t t t ⎧⎨-+-<⎩，解得15t -<<．（2）当[2x ∈，4]时，(2)||23||f x x a x x a ++=-++，∴存在[2x ∈，4]，使得||62x a x +-即2662x x a x -+-成立， ∴存在[2x ∈，4]，使得636x a x a +⎧⎨-⎩成立，∴6266a a +⎧⎨-⎩，[4a ∴∈-，0]．。