第三讲 实际问题与二元一次方程组

第三讲 实际问题与二元一次方程组

一、课标要求

1、进一步掌握二元一次方程组的解法；

2、学会分析实际问题，掌握列方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：

（1）审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数；

（2）找：找出能够表示题意两个相等关系；

（3）列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组；

（4）解：解这个方程组，求出两个未知数的值；

（5）答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案.

二、知识疏理

1、温故知新

1、列方程组解应用题的常见类型主要有：

1、数字问题 位个数字与数的关系

2、行程问题. “相向而遇”时，两者所走的路程之和等于它们原来的距离； “同向追及”时，快者所走的路程减去慢者所走的路程等于它们原来的距离

3、工程问题.一般分为两类，一类是一般的工程问题，一类是工作总量为1的工程问题. 工程问题与行程问题相类似，关键要抓好三个基本量的关系，即“工作量=工作时间×工作效率”以及它们的变式“工作时间=工作量÷工作效率，工作效率=工作量÷工作时间”．其次注意当题目与工作量大小、多少无关时，通常用“1”表示总工作量．

4、利润问题

商品销售盈利百分数是相对于进价而言的，不要误为是相对于定价或卖出价．利润的计算一般有两种方法，一是：利润=卖出价-进价；二是：利润=进价×利润率（盈利百分数）．特别注意“利润”和“利润率”是不同的两个概念

5、配套问题产品配套是工厂生产中基本原则之一，如何分配生产力，使生产出来的产品恰好配套成为主管生产人员常见的问题，解决配套问题的关键是利用配套本身所存在的相等关系，其中两种最常见的配套问题的等量关系是：

（1）“二合一”问题：如果ａ件甲产品和ｂ件乙产品配成一套，那么甲产品数的ｂ倍等于乙产品数的ａ倍，即a b

甲产品数乙产品数； （2）“三合一”问题：如果甲产品ａ件，乙产品ｂ件，丙产品ｃ件配成一套，那么各种产品

数应满足的相等关系式是：a b c ==甲产品数乙产品数丙产品数

6、货运问题

由实际问题列出的方程组一般都可以再化简，因此，解实际问题的方程组时要注意先化简，再考虑消元和解法，这样可以减少计算量，增加准确度．化简时一般是去分母或两边同时除以各项系数的最大公约数或移项、合并同类项等．

③和差倍分问题.基本等量关系为：较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数× 1倍量； ④航速问题.此类问题分为水中航行和风中航行两类，基本关系式为：

顺流（风）：

逆流（风）：

⑤几何问题、年龄问题和商品销售问题等.

2、教材解读

例1 一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大9；如果交换十位上的数与个位上的数，所得两位数比原两位数大27，求这个两位数．

例2在某条高速公路上依次排列着A 、B 、C 三个加油站，A 到B 的距离为120千米，B 到C 的距离也是120千米．分别在A 、

C 两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时以相同的速度驾车沿高速公路逃离现场，正在B 站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立即以相同的速度分别往A 、C 两个加油站驶去，结果往B 站驶来的团伙在1小时后就被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住，而另一团伙经过3小时后才被另一辆巡逻车追赶上．问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少？

例3、 某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成，按照这个服装厂原来的生产能力，每天可生产这种服装150套，按这样的生产进度在客户要求的期限内只能完成订货的45

；现在工厂改进了人员组织结构和生产流程，每天可生产这种工作服200套，这样不仅比规定时间少用1天，而且比订货量多生产25套，求订做的工作服是几套？要求的期限是几天？

例4一件商品如果按定价打九折出售可以盈利20%；如果打八折出售可以盈利10元，问此商品的定价是多少？

例5 某厂共有120名生产工人，每个工人每天可生产螺栓25个或螺母20个，如

果一个螺栓与两个螺母配成一套，那么每天安排多名工人生产螺栓，多少名

工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配成最多套？

例 6 某船的载重量为300吨，容积为1200立方米，现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为6立方米，乙种货物每吨的体积为2立方米，要充分利用这艘船的载重和容积，甲、乙两重货物应各装多少吨？

8、某家庭前年结余5000元，去年结余9500元，已知去年的收入比前年增加了15%，而支出比前年减少了10%，这个家庭去年的收入和支出各是多少

1．某课外活动小组的学生准备分组外出活动，若每组7人，则余下3人；若每组8人，则少5人．求课外活动小组的人数x和应分成的组数y，依题意得方程组为（）

Ａ．

73

85

y x

y x

=+

⎧

⎨

+=

⎩

，

．

Ｂ．

73

85

x y

x y

+=

⎧

⎨

-=

⎩

，

．

Ｃ．

73

85

y x

y x

=-

⎧

⎨

=+

⎩

，

．

Ｄ．

73

85

y x

y x

=+

⎧

⎨

=+

⎩

，

．

2．10年前，母亲的年龄是儿子的6倍；10年后，母亲的年龄是儿子的2倍．求母子现在的年龄．设母亲现年x岁，儿子现年y岁，列出的二元一次方程组是（）

Ａ．

()

()

10610

10210

x y

x y

+=+

⎧⎪

⎨

-=-

⎪⎩

，

．

Ｂ．

106(10)

102(10)

x y

x y

-=-

⎧

⎨

+=+

⎩

，

．

Ｃ．

106(10)

102(10)

y x

y x

+=+

⎧

⎨

-=-

⎩

，

．

Ｄ．

106(10)

102(10)

y x

y x

-=+

⎧

⎨

+=-

⎩

，

．

3．已知一艘轮船载重量是500吨，容积是1000立方米．现有甲、乙两种货待装，甲种货物每吨体积是7立方米，乙种货物每吨体积是2立方米，求怎么样货才能最大限度的利用船的载重量和体积？如果设装甲种货物x吨，乙种货物y吨，根据题意列方程组得（）

Ａ．

1000

72500

x y

x y

+=

⎧

⎨

+=

⎩

，

．

Ｂ．

500

721000

x y

x y

+=

⎧

⎨

+=

⎩

，

，

Ｃ．

1000

72500

x y

x y

=-

⎧

⎨

+=

⎩

，

．

Ｄ．

500

271000

x y

x y

+=

⎧

⎨

+=

⎩

，

．

三、典型例题解析

1、某种植大户计划安排10个劳动力来耕作30亩土地，这些土地可以种蔬菜也可以种水稻，