教案1：5.1角的概念的推广
角的概念的推广问题清单
5.1角的概念的推广（问题清单）教学重点：理解任意角、象限角、终边相同的角等概念。
教学难点：把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来。
理解任意角的概念，会在平面内建立适当的坐标系，通过数形结合来认识角的几何表示和终边相同的角的表示，是学好这节的关键．1、我们初中学过那几类角？它们在那个范围内？当你在体操解说员那里听到转体900°时，你有何感想？答：锐角、直角、钝角、平角、周角； 00~3600；觉得角的范围不够用了！2、初中时我们如何用旋转来定义角？何为角的始边、终边、顶点？答：角是一条射线绕着它的端点在平面内旋转而成的，射线的端点叫做角的顶点，射线旋转开始的位置叫角的始边，旋转终止的位置叫角的终边。
3、用旋转形成角时规定射线旋转方向有必要吗？数学上是如何规定的？答：当然是有必要的，就比如拧螺丝，顺时针旋转和逆时针旋转效果是截然相反的。
数学上规定，按逆时针方向旋转形成的角叫作正角；按顺时针方向旋转形成的角叫作负角。
4、什么是零度角？5、按“3”定义角以后其范围有怎样的变化？能举例吗？6、为了研究问题的方便，我们通常在怎样的环境下讨论角？在此环境下如何放置一个角？7、如何确定一个角所在的象限？8、画出下面的角并判断它们分别是第几象限角（1）1200（2）3000（3）—2400（4）—9009、在同一座标系作出角300、3900、—3300，观察这些角的终边有啥特征？由此你能得出怎样的规律？10、在00～3600间，找出与列列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角（1）6600；（2）—8800。
思考1、三象限角如何用集合表示？2、终边落在轴上的角如何用集合表示？。
角的概念推广--参考教案
第五单元5.1《角的概念推广》教案创设情境在东京奥运会女子单人10米台跳水决赛中，来自中国的跳水选手全红婵以优异成绩获得金牌！在跳水比赛中，有“向前翻腾一周半”和“向后翻腾两周半”的动作，你知道这两个动作分别表示的旋转的角度是多少吗? 生活中随处可见超出0°〜360°范围的角，请你尝试着举一些例子。
一、探索新知 我们规定，一条射线绕其端点按逆时 针方向旋转形成的角叫作正角，如图1所示.按顺时针方向旋转形成的角叫作负角，如图2所示.如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角，如图3所示.通过以上的定义，我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角. 为了简便起见，我们把“角α”或“α∠”简记为 “α”.今后我们可以用小写希腊字母α，β，γ，…来表示角. 在前面关于跳水的问题中，若“向前翻腾一周半”记为540α=︒，那么“向后翻腾两周半”则记为900α=-︒.理解记忆相关正角、负角、零角、任意角的概念和性质了解和区分相关角度的特征让学生在理解的基础上加深概念的记忆，为后面能够正确运用知识点解题做铺垫图1图2 O AB 图3为了便于研究，我们将角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合. 这样，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角.例如，从图4中可以看出，690︒为第四象限角.从图5中可以看出，210-︒为第二象限角.如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限（也称界限角），例如，0︒，90︒，180︒，270︒，360︒等一些角.二、例题讲解例1 在平面直角坐标系中，分别画出下列各角，并指出它们是第几象限角.（1）225︒；（2）300-︒.解（1）以x轴的非负半轴为始边，逆时认真观察角度数值与图像的联系加深对知识的理解图5图4针方向旋转225︒即形成225︒角，如图6.因为225︒角的终边在第三象限内，所以225︒角是第三象限角.⑵以x轴的非负半轴为始边，顺时针方向旋转300︒即形成300-︒角，如图7所示. 因为300-︒角的终边在第一象限内，所以300-︒角是第一象限角.三、巩固练习1.判断下列说法是否正确：(1) 锐角是第一象限的角，钝角是第二象限的角;(2) 小于90°的角一定是锐角;(3) 直角是第一象限或第二象限的角;(4) 第一象限的角不可能是负角，并且一定是锐角.2.如图所示，已知锐角45AOB∠=︒，写出认真读题，积极思考，掌握解题的基本思路及时有效巩固所学内容，加深对定义的理解展示问题解决的基本方法，培养学生分析解决问题的能力培养与提升学生独立思考、探究问题的能力图6图7下图中箭头所示角的度数.（1）：（2）：3.在平面直角坐标系中，分别画出下列各角，并指出它们各是第几象限角.（1）210︒（2）330︒（3）310-︒（4）420-︒第2课时教学过程教学活动学生活动设计思路创设情境 同学们分小组分别绘制在平面直角坐标系中，分别画出了330-︒，30︒，390︒角，如图8所示，观察其终边有何联系？并分析330-︒，390︒与30︒在数值上有什么关系？二、探索新知一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可以组成一个集合{}|+360,S k k ββα==⋅︒∈Z任意的与α终边相同的角都可以表示成α与整数个周角（360°的整数倍)的和. 二、例题讲解例1. 与100︒角终边相同的角组成的集合. 解 {}|100+360,S k k ββ==︒⋅︒∈Z .例2. 在0︒～360︒之间，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们各是第几象限的角.（1）600︒； （2）230-︒.解 （1）因为600240360︒=︒+︒，所以结合老师给出的问题，积极主动的思考，得出初步结论.在理解的基础上熟记相关概念和结论认真读题，积极思考，掌握解题的基本思路激发学生好奇心，增强学习热情，更主动参与到课堂学习过程中.直观展示新知和结论，突出本节教学重点展示问题解决的基本方法，培养学生分析解决问图8S2|β=︒+90三、巩固练习角终边相同的角的集合为：。
中职数学教案：0501角的概念的推广
题
5.1 角的概念的推广 （1）理解任意角的概念。
所需课时
2
教学目的
（2）学会建立直角坐标系讨论任意角,判断象限角。 （3）掌握终边相同的集合的书写。
重 难
点 点
任意角的概念和终边相同角的集合。 终边相同角的集合的书写。
教学过程： 一、组织教学 点名、组织课堂纪律 二、复习引入 1、 角的范围 初中角的定义：从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形 “旋转”形成角
(1) 45° 四、练习
五、归纳小结 锐角是第几象限的角？钝角呢？
课后作业：
反 思 录：
2
o
始边
x A
y
300
o
x
S={ β | β =α +k360° ,k∈ Z} 即任一与角α 终边相同的角，都可以表示成角α 与整数个周角的和。 例1 在 0°~ 360°之间,找出与下列各角终边相同的角,并判定各角所在的象限: (1) 1000°; (2) 573°
想一想:锐角是第几象限的角?第一象限的都是锐角吗? 例2 写出与下列各角终边相同的角的集合 S (2) -75° (3) -335014'
终边 B
顶点
旋转形成的图形 2、花样游泳中，运动员旋转的周数如何用角度计算来表示？ 3、汽车在前进和倒车中，车轮转动的角度如何表示才比较合理？ 4、工人在拧紧或拧松螺丝时，转动的角度如何表示才比较合适？ 三、讲授新课 定义： 1、任意角 正角：按逆时针方向旋转形成的角 负角：按顺时针方向旋转形成的角 零角：一条射线没有作任何旋转形成的角
终B 边1 终 边
α =210°
A
β =-150°
B B
2
y
终边
中职数学第一册第5章三角函数教案 2
,180,270等。
．终边相同的角的集合：所有与角α终边相同的角，连同角说明：终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同。
5.2弧度制 *回顾知识 复习导入 问题角是如何度量的？角的单位是什么？ 解决将圆周的1360圆弧所对的圆心角叫做1度角，记作1°． 1度等于60分（1°=60′），1分等于60秒（1′=60″）． 以度为单位来度量角的单位制叫做角度制． 扩展计算：23°35′26″+31°40′43″角度制下，计算两个角的加、减运算时，经常会带来单位换算上的麻烦．能否重新设计角的单位制，使两角的加、减运算像10进位制数的加、减运算那样简单呢？动脑思考 探索新知 概念将等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1弧度或1rad ．以弧度为单位来度量角的单位制叫做弧度制．若圆的半径为r ，圆心角∠AOB 所对的圆弧长为2r ，那么∠AOB 的大小就是 22r r=弧度弧度．规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零． 分析由定义知道，角α的弧度数的绝对值等于圆弧长l 与半径r 的比，即 lrα=（rad ）．半径为r 的圆的周长为2πr ，故周角的弧度数为2π(rad)2π(rad)rr=． 由此得到两种单位制之间的换算关系：360°=2πrad ，即 180°=πrad ．108；120︒≈200︒≈-60°=；30°=；120°=；270°=．2．把下列各角从弧度化为角度（口答）：π=；π2=；π4=；π8=；2π3=；π3=；π6=；π12=．3．把下列各角从角度化为弧度：⑴ 75°；⑵−240°；⑶ 105°；⑷67°30′．4．把下列各角从弧度化为角度：⑴π15；⑵2π5；⑶4π3-；⑷6π-．自我探索使用工具准备计算器．观察计算器上的按键并阅读相关的使用说明书，小组完成计算器弧度与角度转换的方法．利用计算器，验证计算例题1与例题2．巩固知识典型例题例3某机械采用带传动，由发动机的主动轴带着工作机的从动轮转动．设主动轮A的直径为100 mm，从动轮B的直径为280 mm．问：主动轮A旋转360°，从动轮B旋转的角是多少？（精确到1′）解主动轮A旋转360°就是一周，所以，传动带转过的长度为π×100 = 100π（mm）．再考虑从动轮，传动带紧贴着从动轮B转过100π(mm)的长度，那么，应用公式lrα=，从动轮B转过的角就等于'1005128341407π=π≈．答从动轮旋转5π7，用角度表示约为128°34′．例4如下图，求公路弯道部分AB的长l（精确到0．1m．图中长度单位：m）．4327123607=⨯+，所以，>，cos43270>，tan43270>．）因为2722π=⨯π7+5，所以，275π角为第三象限角，故0，cos，27tan．-+-；3sin902tan06sin270这类问题需要首先计算出界限角的三角函数值，然后再进行代3sin902tan06sin270-+--⨯+⨯-⨯-=-．31206(1)2强化练习5.3.3-++．5sin902cos03tan180cos180课堂教学安排主要教学内容及步骤教学过程师生活动设计意图等(一)复习诱导公式一师：我们已经学习过诱导公式一，即终边相同的角的同一三角函数的值相等，这组公式是如何表达的？它们的作用是什么？生：诱导公式一可这样表达：sin(2kπ+α)=sinα；cosα(2kπ+α)=cosα；tg(2kπ+α)=tgα；ctg(2kπ+α)=ctgα．利用诱导公式一可以把求任意角的三角函数值的问题，转化为求0°～360°(0～2π)间角的三角函数值的问题．师：学习诱导公式的基本思想方法是化归转化，如果我们能把求90°～360°间的角的三角函数值转化为求0°～90°间的角的三角函数值，那么任意角的三角函数值就都能通过查表来求．设0°≤α≤90°，则90°～180°间的角，可以写成180°-α；180°～270°间的角，可以写成180°+α；270°～360°间的角，可以写成360°-α．下面我们依次讨论180°+α，-α，180-α，360°-α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系．为了使讨论更具有一般性，这里假定α为任意角．(布置学生阅读P．152—153初步了解诱导公式二、公式三的推导过程．)(二)诱导公式二、三师：首先我们先介绍单位圆概念，如图2-18示，以原点为圆心，等于单位长的线段为半径作一个圆，这样的圆称为单位圆．下面我们利用单位圆和任意角三角函数的定义来推导诱导公式二、三．推导之前，请一位同学回答分别关于x轴，y轴，原点对称的两个点的坐标间的关系．生：设点P(x、y)，它关于x轴、y轴、原点对称的点坐标分别是P1(x，-y)，P2(-x，-y)，P3(-x，-y)．师：请同学们作出一个任意角α的终边，再作出180°+α角的终边，它们与单位圆的交点有何特征？为什么？生：如图2-18，任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)．由于角180°+α的终边就是角α终边的反向延长线，角180°+α的终边与单位圆的交点P′，是与点P关于点O对称的。
角的概念的推广教案
5.1角的概念的推广一、内容分析这节课主要内容角的概念的推广，是把学生学习的角从不大于周角的非负角扩充到任意角，使角有正角、负角和零角．首先通过生产、生活的实际例子阐明了推广角的必要性和实际意义，然后又以“动”的观点给出了正、负、零角的概念，最后引入了几个与之相关的概念：象限角、终边相同的角等．本节内容是在学了集合和函数之后的又一重要章节，是对初中锐角三角函数的一个延伸和推广，主要是推广到任意角三角函数。
也是对集合与函数的知识的又一渗透。
所以本节课《角的概念的推广》就起到了一个铺垫和承上启下的作用。
为今后学习任意角的三角函数提供了有力的依据。
二、学习者特征分析学习对象为中职一年级学生，虽然有一定的观察能力，但带着对初中数学的恐惧和厌烦的他们，数学基础普遍较差。
但凡“数学”二字出现，就已经泄气，而不管所涉及内容的难易度和是否可接受，这种排斥心理很大程度上阻碍了数学教学的有效进行，这种抵触情绪也极大地打断了学习的可持续性。
学生课堂上更喜欢看而不喜欢写和说，遇到问题羞于提问。
学生思想有些偏激与极端，看待问题易存在片面性和表面性。
对待学科任由情感支配，喜欢数学学科的任课老师就对课程感兴趣，愿意付出努力和耐心；不喜欢任课老师，则表现为对其课程彻头彻底的厌学。
三、教学目标1. 通过实例，体会推广角的必要性和实际意义，理解正角、负角和零角的定义．2. 理解象限角的概念、意义及表示方法，掌握终边相同的角的表示方法．3. 通过对“由一点出发的两条射线形成的图形”到“射线绕着其端点旋转而形成角”的认识过程，使学生感受“动”与“静”的对立与统一．培养学生用运动变化的观点审视事物，用对立统一规律揭示生活中的空间形式和数量关系．教学重点：理解任意角、象限角、终边相同的角等概念。
教学难点：把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来。
理解任意角的概念，会在平面内建立适当的坐标系，通过数形结合来认识角的几何表示和终边相同的角的表示，是学好这节的关键．四、教学策略选择与设计针对技校数学特点，更多的学习活动设计将以观察、识别、分析、判断为主线，以掌握方法、步骤为目标，让学生更能体会到数学的实用性。
5.1_角的概念和
2. 终边在直线y=- 3 x上的所有角集合是 ；上述集合 中介于-180°到180°之间的角是 . 解：终边在y=-x上的所有角的集合是 {α｜α=k·360°+120°，k∈Z}Ｕ{α｜α＝ k· 360°+300°,k∈Z}. ={α｜α=n·180°+120°,n∈Z}. 上述介于-180°到180°之间的角有-60°，120°. 即当n=-1，n=0时取得. ∴应填：{α｜α=n·180°+120°,n∈Z}；-60°，120°. 3 注意：y=x是通过原点的一条直线，以它为终边的所 有角的集合应有两部分组成.
• 1.在“①160°②480°③-960°④-1600°”这四个角中，属于第二象 限的角是( ) A.① B.①② C.①②③ D.①②③④
C
• 2.若α是第一象限的角，则- 2 是( A.第一象限的角 C.第二或第三象限的角
D)
B.第一或第四象限的角 D.第二或第四象限的角
• 3.下列结论中正确的是( C ) A.小于90°的角是锐角 B.第二象限的角是钝角 C.相等的角终边一定相同 D.终边相同的角一定相等
3 (1)已知-990°＜α＜-630°，且α与120°的终边相同，则α= . (2)在-720°到720°之间与-1050°角终边相同的角是 . • 解：(1)∵α与120°角终边相同，故有α=k·360°+120°,k∈Z. 又∵-990°＜α＜-630° ∴-990°＜k· 360°+120°＜-630°即-1110°＜k· 360°＜-750° 当k=-3时，α=(-3)· 360°+120°=-960° ∴应填-960°. (2)与-1050°角终边相同的所有的角可表示为 k· 360°+(-1050)°,k∈Z. 依题意，得-720°＜k· 360°-1050°＜720°， 解得 ＜k＜4，∴k=1，2，3，4. 所求的角为1×360°-1050°＝-690°，2×360°-1050°＝-330°， 11 3×360°-1050°＝30°，4×360°-1050°＝390°， 12 ∴应填：-690°，-330°，30°，390°. • 注意：(1)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可以构成一个集合S={β｜ β=k·360°+α,k∈Z}. 其中k· 360°+α之间是“+”号，k· 360°-α可理解为k· 360°+(-α). (2)要求在某一范围内的与α终边相同的角，实质就是确定适当的k值，进而该 范围内的角也就确定下来了.
角的概念
课时安排和调整
教 学 目
标
5.1.2终边相同的角——“新知识”
第二课时: 5.1.2终边相同的角——“知识巩固”
重 点 难
点
教 具 准 备
说 教 材
地 位 与 作 用
课时安排和调整
掌握任意角的概念； 理解正角、负角、零角、象限角
教 学 目
标
和界限角的概念；
重 点 难 点
作
业 布
置
问题5：你能不能写出与角 终边相同的角的集合？
复习导入
新课讲授
练习巩固
归纳小结
作业布置
说教学过程 判断正误，如果错，请说明理由.（每题10分）
复 习 导 入
1. 179角是第二象限的角. 2. 90 角是第三象限的角．
新
课 讲
授
3.小于 90 的角一定是锐角． 4.钝角一定是第二象限的角． 第二轮： 必答环节
逆时 问：何冲旋转了 +900 度？ 针旋 转哦！
归
纳 小
结
作
业 布
置
返回
复习导入
新课讲授
练习巩固
归纳小结
作业布置
说教学过程
复 习 导 入
4．若将时钟拨快5分钟，则分针
新 课 讲 授 练 习 巩 固
— 30 转了__—1800 __度；秒针转了____
归
纳 小
结
度． 30分
答案
作
业 布
置
返回
复习导入
教 学 目
标
教室、多媒体课件 和对应的微课。
重 点 难
点
教 具 准 备
说 学 情 1．农机专业一年级学生；
511角的概念的推广教案
数学授课教案
数学授课教案
紧力,如果倒旋3/4圈控制弹性变形。
为什么德国人拧螺丝拧三圈半后再松半圈
螺丝在拧紧后,为了防止松动,应该施加一个预紧力，因此松半圈后预紧力将消除，因此不应该是为了防松,况且要防松应该加装弹性垫圈或是止动垫圈或是其他方法，用这种方法似乎不妥。
拧三圈半后,退半圈，然后再进半圈,然后这样可以防止螺栓的毛刺粉削、污物积聚于螺牙间隙增大拧紧力矩，减少拧紧力矩检测误差,确保螺栓应力在设计值范围。
一个德国品牌汽车的高管朋友讲过一个细节故事:汽车有原装进口和国内组装之分。
国内组装时一个细节让管理者相当头疼。
德国原装时，工人拧螺丝严格执行进3圈回半圈，在中国尽管也这样要求,但最后回半圈偷懒的比较多，这是肉眼看不到的差异,经过两个冬夏的热胀冷缩，那个半圈的影响就显现出来了。
有些网友问“干吗不直接拧两圈半呢？”，因为回半圈形成的微妙的弹性空间为热胀冷缩提供了回旋,直接拧形成不了。
5.1任意角及其度量教案
第5章 三角比5．1任意角及其度量（1）【教学目标】通过一条射线绕着它的端点旋转，了解角的形成过程，然后推广到任意角.理解角的概念，理解任意角中正角和负角的意义.理解任意角、象限角、终边相同的角等概念，能够准确判断出角的终边在平面直角坐标系中的位置.【教学重点】理解任意角、象限角、终边相同的角等概念.【教学难点】判断出角的终边在平面直角坐标系中的位置.【教学过程】1、角的概念角可以看作是平面内由一条射线绕着其端点从初始位置（始边）旋转到终止位置（终边）所形成的图形.我们以前学过的角，其大小都在0 到360之间，而在生活中还有其它的角. 我们定义，一条射线绕端点按逆时针方向旋转所形成的角为正角，其度量值是正的，（如160 、520 ）；按顺时针方向旋转所形成的角为负角，其度量值是负的，（如200- ）；一条射线没有旋转时，形成的角叫做零角0α=.【问题】经过12分钟，时钟的分针转过的角是多少度？ 72-【说明】确定一个角的大小不仅要看始边、终边的位置，更要看角形成的过程2、象限角的概念在平面直角坐标系中，把角的顶点置于坐标原点，角的始边与x 轴的正半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角，或者说这个角属于第几象限.当角的终边在坐标轴上时，认为这些角不属于任何象限.（称为轴线角）【问题】1. 在0 到360 之间，各象限角分别是什么范围？2. 判断下列角属于第几象限？ 160,200,520-解：这些角都属于第二象限，还可以发现这三个角的终边重合.3、终边相同的角的概念 所有与角α终边重合的角的集合：{|360,}k k Z ββα=⋅+∈【例1】判断下列角属于哪个象限（1）200- （2）516 （3）2000解：（1）第二象限 （2）第二象限 （3）第三象限【例2】（1）写出与65- 角终边相同的角的集合 {|36065,k k Z αα=⋅-∈（2）写出终边与x 轴正半轴重合的角的集合、终边与x 轴负半轴重合的角的集合{|360,}k k Z αα=⋅∈ 、{|360180,}k k Z αα=⋅+∈（3）写出终边与y 轴正半轴重合的角的集合、终边与y 轴负半轴重合的角的集合{|36090,}k k Z αα=⋅+∈ 、{|360270,}k k Z αα=⋅+∈（4）写出第一象限角的集合 {|36036090,k k k Z αα⋅<<⋅+∈变式：写出第二、三、四象限角的集合{|36090360180,}k k k Z αα⋅+<<⋅+∈ ；{|360180360270,}k k k Z αα⋅+<<⋅+∈{|360270360360,}k k k Z αα⋅+<<⋅+∈【例3】（1）与1024 角终边重合的角中，最小的正角是_______，最大的负角是______；304 、56- （2）与576 角终边重合的角中，绝对值最小的角是______________144-思维拓展：1.已知α为第二象限角，则2α为第 象限角. 第一、三象限 已知α是第三象限的角，则2α为第 象限角. 第二、四象限 2.（1）已知,αβ的终边关于x 轴对称，则,αβ的关系为 ；0360k αβ+=（2）已知,αβ的终边关于y 轴对称，则,αβ的关系为 ；00360180k αβ+=+（3）已知,αβ的终边关于原点对称，则,αβ的关系为 ；00360180k αβ-=+5.1任意角及其度量（2）【教学目标】1、了解弧度的概念，掌握弧度与角度的换算；2、建立起弧度度量角的感性认识.【教学重点】弧度制的理解与应用【教学难点】弧度制的感性认识【教学过程】这节课，我们研究如何度量角的大小.1、角度制.在平面几何中，我们把周角分成360等分，每一份叫做1度的角.这种用“度”作为单位来度量角的单位制叫做角度制.回忆角度制下，圆心角为x 的扇形的弧长公式、面积公式：180r x l π=，3602r x S π=. 2、弧度制由于1 的圆心角所对的弧长为2360180r r l ππ==，x 的圆心角所对的弧长为180r l x π=⋅，由此得到180l x r π=，其中180π为定值，说明比值l r 仅与角的大小有关.因此，我们可以用圆弧的长与圆半径的比值来表示这个圆弧所对的圆心角的大小.把弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度,符号rad ，读作：弧度.一般地说，如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长为l ，那么比值l r 就是角α的弧度数的绝对值，即||l rα=，α的正负由它的终边的旋转方向决定；零角的弧度数为零. 3、弧度制与角度制的换算：由上述定义，x 的角其弧度数为180xπ弧度，所以 1的角其弧度数为180π弧度. 即1 =180π弧度，两边同除180π得1弧度=180π，两边同乘π得180 =π弧度.[说明]在进行角度制与弧度制互化时要抓住180π= 这个关键．【例1】将100 换算成弧度、将2.3弧度换算成角度（保留两位小数） 解：59π弧度、131.78 快速回答：360 =____2π____弧度 90 =____2π____弧度 30 =____6π____弧度 45 =____4π____弧度 60 =____3π____弧度 120 =____23π____弧度 135 =____34π____弧度 150 =____56π____弧度32π弧度=__270 ___ 310π-弧度=__54- _ '6730 =___38π____弧度 【例2】设扇形的圆心角为(02)ααπ<<，半径为r ，弧长为l ，面积为S ，求证：（1）l r α= （2）212S r α= （3）12S lr = 【例3】（1）在扇形OAB 中，已知半径 8,12,OA cm AB cm ==求圆心角AOB ∠和扇形OAB 的面积 解：32、248cm （2）已知3弧度的圆心角所对的弧长为9cm ，求此圆心角所夹的扇形面积. 解：2272cm 【例4】（1）把所有与角α终边重合的角的集合用弧度制表示解：{|2,}k k Z ββπα=+∈（2）把每个象限角的范围用弧度制表示：【例5】将下列各角写成2(02,)k k Z πααπ+≤<∈（1）245π （2）403π- （3）450 （4）310- 解：（1）445ππ+ （2）2143ππ-+ （3）22ππ+ （4）5218ππ-+ 【例6】用弧度制表示下列各集合（1）终边在x 轴上的角的集合 {|,}k k Z ααπ=∈（2）终边在y 轴上的角的集合 {|,}2k k Z πααπ=+∈（3）终边落在第一象限的角平分线上的角的集合 {|2,}4k k Z πααπ=+∈（4）终边落在第一、三象限的角平分线上的角的集合 {|,}4k k Z πααπ=+∈ 【例7】判断下列各角分别属于哪个象限（1）232π （2）4- （3）终边落在区间7(,3)2ππ--内 解：（1）不属于任何象限 （2）第二象限 （3）第二象限。
《角的认识》第一课时数学教案设计
《角的认识》第一课时數學教案設計教案设计：《角的认识》第一课时一、教学目标：1. 知识与技能：学生能够认识角的定义，理解角的基本特征，并能识别和区分直角、锐角和钝角。
2. 过程与方法：通过观察、比较、操作等实践活动，培养学生的空间观念和几何直观能力。
3. 情感态度价值观：培养学生对数学的兴趣，提高他们主动探索知识的热情。
二、教学重点难点：重点：角的定义及其基本特征的理解。
难点：直角、锐角和钝角的识别和区分。
三、教学过程：（一）导入新课教师引导学生回顾上节课学习过的直线、线段和射线的知识，然后提出问题：“你们知道这些图形之间可以形成什么新的图形吗？”激发学生的好奇心和求知欲。
（二）新课讲解1. 角的定义：由一点引出的两条射线组成的图形叫做角。
让学生在纸上画出一个角，并指出它的顶点和边。
2. 角的特征：角的大小与两边张开的程度有关，而与边的长短无关。
3. 角的分类：根据角的大小，将角分为直角、锐角和钝角。
利用实物或教具展示这三种角，让学生观察并描述它们的特点。
（三）课堂活动组织学生进行“找角”的游戏。
让学生在教室里寻找不同类型的角，然后向全班同学介绍自己找到的角。
（四）课堂练习布置一些关于角的基础题目，如判断哪些是角，哪些不是；找出图中的直角、锐角和钝角等。
（五）小结请学生分享今天学到的内容，教师总结并强调角的定义和分类。
（六）作业布置一些实践性的作业，如在家里找角，或者用身边的物品制作一个角。
四、教学评价：通过对学生课堂参与度、回答问题的情况以及作业完成情况进行评价，了解学生对角的理解程度。
以上就是《角的认识》第一课时的教案设计，希望对学生理解和掌握角的概念有所帮助。
语文版中职数学基础模块上册5.1《角的概念与推广》word教案
1、结合学生展示情况教师重点讲解剖析本次科的核心知识点（任意角的推广、终边相同的角表示方法、图示）。
2、对学生提出的新课疑问，学生老师相互补充做出解答，教师答疑解惑。
教学反思
2、写出与下列各角终边相同的角的集合，并把其中在-360°~720°范围内的角写出来：
（1）50°；（2）-120°；（3）100°；（3）330°
展示（通过展示强能力）（25分钟）（包括学生展示回顾、问题、练习、小组总结等部分）
1、引导各小组展示学习成果，在有各小组长指定小组成员展示，结束后，该组组长须总结或指定其他成员进行总结。
2、展示过程中，提醒同学注意老师的板书，或者请老师进行总结，或题目的讲解。
反馈（通过反馈查结果）（15分钟）
1、课间检查学生助学教案练习的完成情况，摸清学生自主学习的学习成果和薄弱环节。
2、出几道巩固练习题，随机抽取学生上黑板读课本例1到例2题，请做课后练习5.1.1、练习5.1.2、习题5.1
2、在坐标系中依次表示390°、30°、-330°，观察图像，探讨终边相等的角的特点、有什么关系？思考如何用集合表示终边相等的角度？
练习（通过练习固要点）
1、在直角坐标系中分别做出以下角度，并分别指出它们是第几象限的角：
（1）60°；（2）-30°；（3）160°；（4）-210°；（5）-760°；（6）210°
课程
数学
章节内容
5.1角的概念推广
课程类型
新课
课时安排
2课时
指导教师
日期
12月2日
学习目标
理解将角度从0°~360°推广任意角。
学习重点
掌握角的度量、任意角
角的推广说课稿
任意角的概念说课稿宁波市余姚职成教中心汪毅各位尊敬的评委，大家好。
我是来自宁波市余姚职成教中心学校的汪毅，今天我说课的内容是《任意角的概念》。
我打算分以下六个部分来阐述我对这一教学内容的理解：1、说教材，2、说学情，3、说教法，4、说学法，5、教学程序，6、教学反思一、说教材1.教材内容与地位：本节课选自中职高教版《数学》第五章第一节，主要内容是用角的始边和终边及旋转来定义任意角，它是对初中角的一个延伸, 同时又是对高中函数知识的又一渗透。
所以本节课就起到了一个知识拓展和承上启下的作用。
教材处理：新教材将老教材5.1角的概念分成了5.11任意角的概念和5.12终边相同的角，提升了终边相同的角的地位。
紧扣这一变化，并根据所任班级的具体情况，我打算本堂课以任意角的概念为主线，在思维拓展中适当引入终边相同的角，以期达到前后呼应，设置铺垫的作用。
2.教学目标：我分成三个层面：知识技能目标：掌握任意角的相关概念，并初步认识终边相同的角。
过程方法目标：通过设疑—解疑的教学模式，培养学生解决问题的能力。
情感态度价值观目标：通过课堂竞技，培养学生勇于探索与交流合作的能力。
4、重点、难点、关键点：重点：用“旋转”定义角的概念。
旋转是本堂课的核心所在难点：象限角、界限角的区分。
中职学生容易混淆两者关系关键点：初中的角是由共同端点的两条射线组成，与高中角具有本质区别，所以，如何有效突破初中角固有的思维框架就显的至关重要。
二、说学情这是一张我所任教班级实训的照片，他们是汽修班的学生，我认为学生具有以下3大特点：一、认知层面：1、清一色男生，爱好体育和汽车2、理论基础相对薄弱二、情感层面：3、厌学、迷惘但渴望得到老师认可学生是教育的主体，根据学情，我制定了以下教法：三、说教法在教学过程中我采用“设疑-解疑，出错-纠错”的情景式教学模式，其目的是为了有效提高中职学生学习兴趣，增强学生信心，并强化学生发现问题，解决问题的能力。
中职数学5.1-角的概念的推广
2)始边重合于X轴的非负半轴
终边落在第几象限就是第几象限角
3 . 终边与 角α相同的角 α＋K·3600，K∈Z
5.1角的概念的推广
1.在初中角是如何定义的？
定义1：有公共端点的两条射线组成
的几何图形叫做角。
顶
边
点
边
定义2
终边
B
o 顶点
A 始边
角可以看做:平面内一条射线绕着它的端
点从一个位置旋转到另一个位置所形成
的图形。
生活中实际的例子
跳水运动员后空翻（720 ° ）
转动的车轮
角的定义
按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角；
例3 写出与下列各角终边相同的角的集合
（1） 6 0 o ；（2） 21；（3） 3 6 3 o ．
例4、 判断下列各角是第几象限的角：
（1）-60°
（2）585 °
解（1）因为-60 角终边在第四象限，
所以它是第四象限角。
（2）585°=360°+225° 所以与585°角终边相同的角是225°角， 它是第三象限角。
终
边 1)置角的顶点于原点
2)始边重合于X轴的非负半轴
终边落在第几象限就是第几象限角y规定：·o始边 x
1）角的顶点与原点重合；
2）角的始边与x轴的非 负半轴重合.
终边
象限角：角的终边（除端点外）在第几象限就 说这个角是第几象限角。
轴线角：角的终边落在坐标轴上．
例1．在直角坐标系中，作出下列各 角，并指出它们是第几象限的角．
α＋K ·3600，K ∈ Z
注: （1） K ∈ Z
（2） α 是任意角 （3）K·360°与α 之间是“+”号，如
5.1 角的概念的推广
y
y
o
x
o
x
o
x
角与角的终边的对称关系：
1. 与 终边关于x轴对称，则 k 360 ，k Z
0
2. 与的终边关于y轴对称，则 (2k 1) 180 k Z
3. 与的终边关于原点对称，则 (2k 1) 180 k Z
0
0
Ｏ
x
口答：
说出以下角各属于第几象限：
(1). 450 (2). 300 1400 3900 -2300 -3300 3400
问：观察第(2)题各角有何特点？
能否把(2)题这些角用一个集合表示出来呢？ 是不是任意一个角都与0０到360０内的某一 角终边相同呢？
三．终边相同角的表示方法：
在内可构成一个集合
【例２】
在 00～3600 间，找出与下列各角终边相同的 角，并判定它们是第几象限角．
150 ；（2） 650 ；（3） 95015' ． （1）
【例3】写出与下列各角终边相同的角的集合 S ，
360 720 的元素 并把 S 中适合不等式
写出来：
363 14． （1） 60 ；（2） 21 ；（3）
初中角的概念:
顶点
O
B
角的边
A
把公共端点的两条射线组成的图形叫做角.
角还可以看成平面内一条射线
绕着端点从一个位置旋转到另一个 位置所成的图形．
静止观点
B B 顶点 O A
运动观点
顶点 O
始边
A
角——有公共端点 的两条射线所组成 的图形
角——一条射线绕端点从 一个位置旋转到另一个位 置所成的图形
B
5.1角的概念与推广
教学过程前期准备制作好教学设计，备好课程，对知识深入了解进行书本上的预习提前了解会更快吸收1天【新课导入】我们已经学过很多角，如：锐角、直角、钝角、平角和周角.这些角的范围都在0︒到360︒之间，但在现实生活中还有其他的角，如：钟摆摆动时，钟摆所形成的角、车轮旋转时轮辐条所形成的角……，这就需要我们推广角的概念.【双基讲解】1. 角的概念的推广：角可以看作由一条射线绕着其端点由初始位置(始边)旋转到终止位置(终边)所形成的.射线绕其端点按逆时针方向旋转所形成的角，叫做正角；射线绕其端点按顺时针方向旋转所形成的角，叫做负角；射线没有任何旋转时，也把它看成一个角，叫做零角.生活实例引入归纳类比引入新课。
教师根据概念细致讲解，理解角的含义与性质。
引发学生的好奇心调动学生的积极性。
体会角推导的过程。
数形结合深入理解角的概念。
5min15in想一想：轿车的方向盘逆时针旋转一圈半，轿车方向盘的旋转角为多少？如果顺时针旋转一圈半呢？ 2. 象限角的概念：由于实际问题的需要，我们对任意角作如下规定：在平面直角坐标系中，把角的顶点置于直角坐标系的原点，角的始边与x 轴的正半轴重合.角的终边落在第几象限，就称这个角是第几象限角.注意：如果角的终边落在坐标轴上，那么这个角不属于任何象限.3.终边相同的角的集合：与角α终边相同的角(包括α)都可以表示成如下形式： ()360k k α︒+∈因此，与角α终边相同的角β的集合可表示为： {}360,k k ββα=︒+∈【示范例题】例1 分别写出与下列各角的终边相同的角的集合： (1) 30︒； (2) 135-︒.解 (1) 与30︒角的终边相同的角的集合是：引导学生思考，小组合作，理解概念。
加深对概念的理解与应用。
20m i n{}36030,k k ββ=︒+︒∈；(2) 与135-︒角的终边相同的角的集合是：{}360135,k k ββ=︒-︒∈.例2 设0360α︒≤<︒，下列各题中角A ,B 的终边与角α的终边重合，求角α.并在平面直角坐标系中作出角A ,B ，并判断它们属于哪个象限.(1) 820A =︒； (2) 740B =-︒. 解 (1) 360820k α︒+=︒.0360α︒≤<︒,2k ∴=.8202360100α=︒-⨯︒=︒. 角A 的图像如图所示.100︒是第二象限角，所以820︒角也是第二象限角. (2) 360740k α︒+=-︒.0360α︒≤<︒,3k ∴=-.7403360340α=-︒-⨯︒=︒. 角B 的图像如图所示.340︒是第四象限角，所以740-︒角也是第四象限角.例题讲解理解角的概念。
5.1角的概念 教案
5.1角的概念推广教学目的：1、掌握用“旋转”定义角的概念，理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。
2、掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法。
3、从“射线绕着其端点旋转而形成角”的过程，培养学生用运动变化观点审视事物，从而深刻理解推广后的角的概念。
教学重点：理解并掌握正角负角零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法。
教学难点：终边相同的角的表示内容分析：本节主要介绍推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念，终边相同的角的表示方法。
树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念。
教学方法可以选为讨论法，通过实际问题，使角的推广变得更为必要，如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等，都能形成角的概念，给学生以直观的印象，形成正角、负角、零角的概念，突出角的概念的理解与掌握。
通过具体问题，让学生从不同角度作答，理解终边相同的角的概念，并给以表示，从特殊到一般，归纳出终边相同的角的表示方法，达到突破难点之目的。
教学过程：一、复习引入：1．回忆：初中是如何定义角的？从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形。
这种概念的优点是形象、直观、容易理解，角的范围是，但其仅从图形的形状来定义角，弊端在于“狭隘”。
2．生活中很多实例会不在范围如：体操运动员转体，跳水运动员向内、向外转体经过1小时时针、分针、秒针转了多少度？这些例子不仅不在范围，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，用运动的思想来研究角的概念。
二、讲解新课：1．角的概念的推广⑴“旋转”形成角一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角α．旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点．突出“旋转”注意：“顶点”“始边”“终边”⑵．“正角”与“负角”“零角”我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，“正角”与“负角”是由旋转的方向决定的。
弧度制教案(第一课时)
课 题：5.1 角的概念的推广—弧度制（一） 教学目的：1.理解1弧度的角、弧度制的定义2.掌握角度与弧度的换算公式并能熟练地进行角度与弧度的换算3.熟记特殊角的弧度数教学重点：使学生理解弧度的意义，正确地进行角度与弧度的换算. 教学难点：弧度的概念及其与角度的关系 授课类型：新授课 课时安排：1课时 内容分析：讲清1弧度角的定义，使学生建立弧度的概念，理解弧度制的定义，达到突破难点之目的.通过电教手段的直观性，使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性、可行性.通过周角的两种单位制的度量，得到角度与弧度的换算公式使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但是互相联系的、辩证统一的.进一步加强对辩证统一思想的理解.教学过程：一、复习引入：1．角的概念的推广 ⑴“旋转”形成角⑵ “正角”与“负角”“0角”2．度量角的大小第一种单位制——角度制的定义初中几何中研究过角的度量，当时是用度做单位来度量角，1°的角是如何定义的？规定周角的3601作为1°的角，我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制，有了它，可以计算弧长，公式为180n rπ=3．探究 30°、60°的圆心角，半径r 为1，2，3，4，分别计算对应的弧长,再计算弧长与半径的比. 结论：圆心角不变，则比值不变，因此比值的大小只与角的大小有关，我们可以利用这个比值来度量角，这就是另一种度量角的制度——弧度制 二、讲解新课：1． 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角它的单位是rad,读作弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．如下图，依次是1rad ， 2rad ， 3rad ，αrad探究：⑴平角、周角的弧度数，（平角=π rad 、周角=2π rad ）⑵正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0. ⑶角α的弧度数的绝对值 rl=α（l 为弧长，r 为半径）⑷角度制、弧度制度量角的两种不同的方法，单位、进制不同，就像度量长度一样有不同的方法，千米、米、厘米与丈、尺、寸，反映了事物本身不变，改变的是不同的观察、处理方法，因此结果就有所不同⑸用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0） 用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同 2. 角度制与弧度制的换算：∵ 360︒=2π rad ∴180︒=π rad∴ 1︒=rad rad 01745.0180≈π, '185730.571801=≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=πrad三、讲解范例： 例1 把'3067化成弧度解：∵⎪⎭⎫ ⎝⎛=2167'3067 ∴ rad rad ππ832167180'3067=⨯=例2 把rad π53化成度解：3318010855rad π=⨯=注意几点：1．度数与弧度数的换算也可借助“计算器”进行；2．今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略 如：3表示3rad ，sin π表示πrad 角的正弦；与实数的集合之间建立一种一一对应的关系.例3用弧度制表示：1.终边在x 轴上的角的集合;2.终边在y 轴上的角的集合;3.终边在坐标轴上的角的集合. 解：1.终边在x 轴上的角的集合 1{|,}S k k Z ββπ==∈ 2.终边在y 轴上的角的集合 2{|,}2S k k Z πββπ==+∈3.终边在坐标轴上的角的集合 3{|,}2k S k Z πββ==∈ 四、课堂练习：1.下列各对角中终边相同的角是( )A.πππk 222+-和（ｋ∈Ｚ） B.－3π和322πC.－97π和911πD. 9122320ππ和2.若α＝－3，则角α的终边在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 3.若α是第四象限角，则π－α一定在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.(用弧度制表示)第一象限角的集合为 ，第一或第三象限角的集合为 .5.7弧度的角在第 象限，与7弧度角终边相同的最小正角为 .6.圆弧长度等于截其圆的内接正三角形边长，则其圆心角的弧度数为 .7.求值：2cos4tan6cos6tan3tan3sinππππππ-+.8.已知集合Ａ＝｛α｜2ｋπ≤α≤π＋2ｋπ，ｋ∈Ｚ｝，B ＝｛α｜－4≤α≤4｝，求A ∩B . 9.现在时针和分针都指向12点，试用弧度制表示15分钟后，时针和分针的夹角. 参考答案：1.C2.C3.C4.｛α｜2kπ＜α＜2π＋2kπ，k ∈Z } ｛α｜kπ＜α＜2π＋kπ，k ∈Z ｝ 5.一 7－2π 6.3 7.2 8.A ∩B ＝｛α｜－4≤α≤－π或0≤α≤π｝ 9.2411π五、小结 1．弧度制定义 2．与弧度制的互化 2.特殊角的弧度数 六、课后作业：已知α是第二象限角，试求：(1)2α角所在的象限；(2)3α角所在的象限；(3)2α角所在范围. 解：(1)∵α是第二象限角,∴2π+2kπ<α<π+2kπ,k ∈Z ,即4π+kπ<2α<2π+kπ,k ∈Z .故当k =2m (m ∈Z )时，4π+2mπ<2α<2π+2mπ,因此，2α角是第一象限角；当k =2m +1(m ∈Z )时，45π+2mπ<2α<23π+2mπ,因此，2α角是第三象限角. 综上可知，2α角是第一或第三象限角.(2)同理可求得3α角所在范围为：6π+32kπ<3α<3π+32kπ,k ∈Z .可得，3α角是第一、第二或第四象限角. (3)同理可求得2α角所在范围为：π+4kπ<2α<2π+4kπ,k ∈Z . 可得，2α角是第三、第四或y 轴负半轴上的角.评注：(1)注意某一区间内的角与象限角的区别.象限角是由无数个区间角组成的，例如0°<α<90°这个区间角，只是k =0时第一象限角的一种特殊情况.(2)要会正确运用不等式进行角的表达，同时会以k 取不同值，讨论形如θ=α+32kπ(k ∈Z )所表示的角所在象限.(3)对于本例(3)，不能说2α只是第三、第四象限的角，因为2α也可为终边在y 轴负半轴上的角23π+4kπ(k ∈Z ),而此角不属于任何象限. 七、板书设计（略） 八、课后记：。
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5.1 角的概念的推广
【教学目标】
1．理解正角、负角、终边相同的角、第几象限的角等概念，掌握角的加减运算．
2．通过观察实例，使学生认识角的概念推广的可能性和必要性，树立运动变化的观点，并由此深刻理解任意角的概念．
3．通过教学，使学生进一步体会数形结合的思想．
【教学重点】
理解任意角（正角、负角、零角）、终边相同的角、第几象限的角的概念，掌握终边相同的角的表示方法和判定方法．
【教学难点】
任意角和终边相同的角的概念．
【教学方法】
本节采用教师引导下的讨论法，结合多媒体课件，带领学生发现旧概念的不足之处，进而探索新的概念．讲课过程中，紧扣“旋转”两个字，让学生在动手画图的过程中深刻理解任意角的概念．
环节教学内容师生互动设计意图
复习导入1．复习初中学习过的角的定义．
2．提出新问题：
运动员掷链球时，旋转方向可以
是逆时针也可以是顺时针，旋转量也不
止一个平角，那如何来度量角的大小
呢？
师：初中学过的角的定义是
什么？
生：在平面内，角可以看作
一条射线绕着它的端点旋转而
成的图形．
师：如图：
∠AOB=∠BOA=120 ，
B
初中时的角不考虑旋转方
向，只考虑旋转的绝对量
而且角的范围在0~360°．
复习旧知，使学生
发现旧知识的局限性，
激发学习新知识的兴
趣．
新课1．任意角的概念．
（1）射线的旋转方向：
逆时针方向——正角；
顺时针方向——负角；
没有旋转——零角．
画图时，常用带箭头的弧来表示旋
转的方向和旋转的绝对量．旋转生成的
角，又常称为转角．
教师画图说明正角，负角，
零角，以及角的始边、终边.
教师小结：由旋转方向的
不同定义正负角，由旋转量的不
同得到任意范围内的角．
新课
例如，
∠AOB＝120°，∠BOA＝－120°．
（2）射线的旋转量：
当射线绕端点旋转时，旋转量可以
超过一个周角，形成任意大小的角.角的
度数表示旋转量的大小．
例如450°，－630°．
2．角的加减运算．
90°－30°
＝90°＋（－30°）
＝60°．
各角和的旋转量等于各角旋转量
的和．
3．终边相同的角．
所有与α终边相同的角构成的集合
可记为
S＝{x|x＝α ＋k·360°，k?Z}．
例1（1）写出与下列各角终边相同的角
的集合．
(1) 45°；(2) 135°；
1．教师画图，学生说角的度数．
2．学生练习：画出下列各角：
（1）0，360°，720°，
1 080°，－360°，－720°；
（2）90°，450°，－270°，
－630°．
学生练习：求和并作图表示：
30°＋45°，60°－180°．
师：观察我们刚画过的角，
（1）0，360°，720°，1080°，－
360°，－720°；
（2）90°，450°，－270°，
－630°．
思考：始边、终边相同的
两个角的度数有什么关系？
学生讨论后回答：终边相同
的两个角的度数相差360°的整数
倍．
师：与30°始边、终边都相
同的角有哪些？有多少个？它们
能不能统一用一个集合来表示？
得出结论．
例1（1）由学生口答，教
师给出规范的书写格式．
学生通过自己练
习画图，深刻体会
“旋转”两个字的含
义，加深对任意角的
概念的理解．
学生自己动手画
图求和，加深对旋转
变化的理解．
将例1分解为两个小
题，边讲边练，小步
子，低台阶，学生容
新课
(3) 240°；(4) 330°．
解略．
4．第几象限的角．
在直角坐标系中讨论角时，通常使
角的顶点和坐标原点重合，角的始边与x
轴的正半轴重合.这样角的大小和方向可
确定终边在坐标系中的位置.这样放置的
角，我们说它在坐标系中处于标准位置．
处于标准位置的角的终边落在第
几象限，就把这个角叫做第几象限的
角．如果角的终边落在坐标轴上，就认
为这个角不属于任何象限．
例1（2）指出下列各角分别是第几象限
的角．
(1) 45°；(2) 135°；(3) 240°；(4) 330°．
例2写出终边在y轴上的角的集合．
解终边在y轴正半轴上的一个角
为90°，终边在y轴负半轴上的一个角
为－90°，因此，终边在y轴正半轴和负
半轴上的角的集合分别是
S1＝{α|α＝90°＋k·360°，k?Z}
S2＝{α|α＝－90°＋k·360°，k?Z}
所以终边在y轴上的角的集合为
S1∪S2＝{α|α＝90°＋k ·360°，k?Z}
∪{α|α＝－90°＋k·360°，k?Z}
＝{α|α＝90°＋k ·180°，k?Z}．
模仿练习：
写出终边在x轴上的角的集合．
例3在0～360°之间，找出与下列各角终
边相同的角，并分别判定各是第几象限
的角？
（1）－120°；（2）640°；（3）－950°．
例4写出第一象限的角的集合．
解在0～360°之间，第一象限的角
的取值范围是0°＜α＜90°，所以第一象
限角的集合是
{α|k ·360°＜α＜90°＋k ·360°，k?Z}．
例1（2）学生口答．
讲解例2时，教师结合教材
图示的平面直角坐标系，带领学
生分析题意．
师：角的终边落在y轴上
包含哪两种情况？
生：终边落在y轴正半轴
上或者落在y轴负半轴上．
师：90°的角终边落在y轴
的正半轴上吗？与它终边相同
的角的集合是什么？
－90°的角终边落在y轴的
负半轴上吗？与它终边相同的
角的集合是什么？
这两个集合的并集怎么求？
例3引导学生画图解决，或
者用计算器解答．
教师结合平面直角坐标系
讲解例4．
学生分组练习：
（1）写出第二象限角的集合；
（2）写出第三象限角的集合；
（3）写出第四象限角的集合．
易消化吸收．
例2难度较大，教
师应详细讲解两个集
合如何求并集．
本模仿练习意在
渗透B组练习的解题
思路．
可增加判断题：使学生准确区分0～90°的角，锐角，小于90°的角，第一象限角．
小结1．任意角的概念．
2．角的加减运算．
3．终边相同的角的集合．
4．象限角的概念．
教师带领学生回顾本节课
的知识脉络图．
本节课概念众
多，通过梳理脉络，
帮助学生巩固知识．
作
业
教材P100，习题．巩固拓展．。