四边形学案正方形的判定同步练习(含答案)

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四边形学案13-正方形的性质与判定同步练习09(综合练习)

四边形学案13-正方形的性质与判定同步练习09（综合练习）四边形学案13-正方形的性质与判定同步练习09（综合练习）1．填空题（1）在正方形ABCD的对角线BD上截取BE?BC，连CE，P为CE上的一点，PQ?BC于Q，PR?BE于R，若AC＝a，PQ＋PR＝________；（2）已知ABCD，对角线AC、BD交于O：ABCD是________； ABCD是________；①若AB?BC，则②若AC?BD，则③若?BCD?90?，则ABCD是________；④若OA?OB，且OA?OB，则ABCD是________；⑤若AB?BC，且AC?BD，则ABCD是________；（3）在边长为a的正方形内取一点，使这一点到一边上两顶点以及到此边的对边的距离都相等，则这距离为________；CE?CF交AB的延长线于E，（4）如图4-58，设F为正方形ABCD的边AD上一点，若正方形ABCD的面积为64，△CEF的面积为50，则△CBE的面积为________；图4-58（5）四边形ABCD的对角线AC＝BD，且AC?BD，分别过A、B、C、D作对角线的平行线，形成四边形EFGH，则它是________．2．已知：如图4-59，在正方形ABCD中，E、F分别在AD、DC 上，且DE＝DF，BM⊥EF于M．求证：ME＝MF．图4-5913．如图4-60，正方形ABCD，E是BC上的一点，延长AB至F 使BF?BE，延长AE交CF于G．求证：AG?CF．图4-604．已知：如图4-61，过正方形ABCD的顶点C作平行于对角线BD的直线MN，自B引直线交CD于E，交MN于F，且BF?BD，求证DE?DF．图4-615．已知：正方形ABCD中，延长AB到E，连E、C，过A引EC 的垂线，垂足为G，AG交BC于F，求证：AF＝CE．26．如图4-62，ABCD、BEFG都是正方形，A、B、Ｅ在一条直线上，连结A、G，且延长交CE的连线为H，求证：AH?CE．图4-627．如图4-63，在等腰直角△ABC中，AC?BC，D、E为底边AB 的三等分点，过D和E作AB的垂线，分别交AC于G、交BC于F．求证：四边形DEFG为正方形．图4-638．已知：如图4-64，△ABC为等边三角形，且AB?2，四边形DEFG为正方形，且D、G分别在AB、AC上，E、F在BC上，求正方形DEFG的面积．图4-643EF?GH． 9．如图4-65，正方形ABCD，E、F、G、H分别在AB、CD、AD、BC上，且EF?GH，求证：图4-6510．已知：如图4?66，正方形ABCD，P是BO上任意一点，DQ?AP，垂足是Q，交AC于R，求证：DP?CR．图4-6611．如图4-67，已知ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于O，MN//AB，且分别与AO、BO交于M、N．求证：BM?CN．图4-674CE?AF于E， 12．如图4-68，已知正方形ABCD中，F为CD 延长线上一点，交AD于M．求：?MFD的度数．图4-6813．已知：如图4-69，正方形ABCD中，M为DC中点，DF?AM 交AC于E，交BC于F．求证：?DMA??EMC．图4-6914．已知：如图4-70，AM为△ABC的中线，四边形ABDE、ACFG均为正方形．求证：AM?12EG．图4-705。

1.3 正方形的性质与判定同步练习(课课练)附答案

1.3正方形的性质与判定1、四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，能判别这个四边形是正方形的条件是（）A. OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BDB. AB∥CD，AC＝BDC. AD∥BC，∠A＝∠CD. OA＝OC，OB＝OD，AB＝BC2、在正方形ABCD中，AB＝12cm，对角线AC、BD相交于O，则△ABO的周长是（）A. 12+122B. 12+62C. 12+2D. 24+623、如图，四边形ABCD是正方形，延长BC至点E，使CE＝CA，连结AE交CD•于点F，•则∠AFC的度数是（）．（A）150°（B）125°（C）135°（D）112．5°4、已知正方形的面积为4，则正方形的边长为________，对角线长为________．5、如左下图，四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，则∠AED＝______，∠AEB＝______．6、如右上图，四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，求∠AEB的度数.7、已知：如左下图，在正方形ABCD中，AE⊥BF，垂足为P，AE与CD交于点E，•BF与AD交于点F，求证：AE＝BF．8、如图，正方形ABCD，AB＝a，M为AB的中点，ED＝3AE，（1）求ME的长；（2）△EMC是直角三角形吗？为什么？9、如左下图，在正方形ABCD中，E、F、G、H分别在它的四条边上，且AE=BF=CG=DH.四边形EFGH是什么特殊的四边形，你是如何判断的？10、如右上图所示，E 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，EF ⊥BC ，EG ⊥CD ，垂足分别是F 、G ．试说明AE ＝FG ．11、以锐角△ABC 的边AC 、AB 为边向外作正方形ACDE 和正方形ABGF ，连结BE 、CF.（1）试探索BE 和CF 的关系？并说明理由。

（2）你能找到哪两个图形可以通过旋转而相互得到，并指出旋转中心和旋转角。

初中正方形的判定专项练习30题

正方形的判定专项练习30题（有答案）1．如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是DB延长线上一点，且△ACE是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠AEB=2∠EAB，求证：四边形ABCD是正方形．2．已知：如图，CE、CF分别是△ABC的内外角平分线，过点A作CE、CF的垂线，垂足分别为E、F．（1）求证：四边形AECF是矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？3．已知：如图，点D、E分别为△ABC的边AB、AC的中点，将△ADE绕点D旋转180°至△BDF．（1）小明发现四边形BCEF的形状是平行四边形，请你帮他把说理过程补齐．理由是：因为△BDF是由△ADE绕点D旋转180°得到的所以△ADE与△BDF全等且点A、D、B在同一条直线上点E、D、F也在同一条直线上．所以BF=AE，∠F=∠_________可得BF∥_________又因为E是AC的中点，所以EC=AE，所以BF=_________因此，四边形BCEF是平行四边形（根据_________）（2）小明还发现在原有的△ABC中添加一个条件后，就可以使四边形BFEC成为一种特殊的平行四边形．你也来试试．你认为添加条件_________后，四边形BFEC是_________．（友情提示：我们将根据你所提出问题的难易程度，给予不同的分值．）理由是：_________．4．如图，在矩形ABCD中，AF、BE、CE、DF分别是矩形的四个角的角平分线，E、M、F、N是其交点，求证：四边形EMFN是正方形．5．如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，四边形BCED为平行四边形，DE、AC相交于点F．求证：（1）点F为AC中点；（2）试确定四边形ADCE的形状，并说明理由；（3）若四边形ADCE为正方形，△ABC应添加什么条件？并证明你的结论．6．求证：对角线相等的菱形是正方形．已知：四边形ABCD是菱形，且AC=BD （又：AC，BD互相平分）求证：四边形ABCD是正方形．7．在△ACD中，∠D=90°，∠D的平分线交AC于点E，EF⊥AD交AD于点F，EG⊥DC交DC于点G，请你说明四边形EFDG是正方形．8．已知：如图，点M是矩形ABCD的边AD的中点，点P是BC边上的一动点，PE⊥CM，PF⊥BM，垂足分别为E、F．（Ⅰ）当四边形PEMF为矩形时，矩形ABCD的长与宽满足什么条件？试说明理由．（Ⅱ）在（Ⅰ）中当点P运动到什么位置时，矩形PEMF变为正方形？为什么？9．如图，D是△ABC的边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F，且BF=CE．（1）求证：△BFD≌△CED；（2）当∠A=90°时，求证：四边形AFDE是正方形．10．如图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，点G是BC、AE延长线的交点，AG与CD相交于点F．求证：四边形ABCD是正方形．11．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC边的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F．（1）求证：DE=DF；（2）若再添加一个条件，即可证得四边形AEDF为正方形，这个条件是_________．12．在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B的平分线交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，求证：四边形CFDE 是正方形．13．已知：如图，在△ABC是，∠ACB=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为EF，求证：四边形CFDE是正方形．14．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．（1）试说明△BED≌△CFD；（2）若∠A=90°，判断四边形AEDF的形状，并说明理由．15．如图△ABC中，点O是AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠GCA 的平分线于点F．（1）说明EO=FO．（2）当点O运动到何处，四边形AECF是矩形？说明你的结论．（3）当点O运动到何处，AC与BC具有怎样的关系时，四边形AECF是正方形？为什么？16．如图，在△ABC中，AB=AC，P是边BC的中点，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E（1）求证：PD=PE；（2）DE与BC平行吗？请说明理由；（3）请添加一个条件，使四边形ADPE为正方形，并加以证明．17．如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠CAB、∠CBA的平分线交于点D，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，（1）求∠ADB的度数；（2）试说明四边形CEDF是什么形状的特殊四边形．18.证明：对角线相等的菱形是正方形．19．已知：如图，△ABC中，D是BC上任意一点，DE∥AC，DF∥AB．①试说明四边形AEDF的形状，并说明理由．②连接AD，当AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，为什么？③在②的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为正方形，不说明理由．20．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC垂足分别为E，F．求证：四边形DEAF是正方形．21．如图所示，在Rt△ABC中，CF为直角的平分线，FD⊥CA于D，FE⊥BC于E，则四边形CDFE是怎样的四边形，为什么？22．如图所示，在△ABC中，∠ABC=90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB．求证：四边形BEDF是正方形．23．如图所示，顺次延长正方形ABCD的各边AB，BC，CD，DA至E，F，G，H，且使BE=CF=DG=AH．求证：四边形EFGH是正方形．24．已知：如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为∠ACB的平分线，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F．求证：四边形CEDF是正方形．25．如图所示，四边形EFGH是由矩形ABCD的外角平分线围成的．求证：四边形EFGH是正方形．26．如图所示，E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、AD的中点，当四边形ABCD满足什么条件时，四边形EFGH为正方形？并说明理由．27．已知四边形ABCD中，AB=CD，AC=BD，试添加适当的条件使四边形ABCD成为特殊的平行四边形，并说明理由．28．如图，已知在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且EA=EC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠DAC=∠EAD+∠AED，求证：四边形ABCD是正方形．29．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且DE∥AC，DF∥AB．（1）如果∠BAC=90°那么四边形AEDF是_________形；（2）如果AD是△ABC的角平分线，那么四边形AEDF是_________形；（3）如果∠BAC=90°，AD是△ABC的角平分线，那么四边形AEDF是_________形，证明你的结论（仅需证明第3）题结论）30．如图，分别以△ABC的三边为边在BC的同侧作三个等边三角形，即△ABD，△BCE，△ACF．请回答下列问题：（1）说明四边形ADEF是什么四边形？（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？（4）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是正方形？（5）当△ABC满足什么条件时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在？（第（2）（3）（4）（5）题不必说明理由）矩形的判定30题参考答案：1.（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO．∵△ACE是等边三角形，∴AE=CE．∴BE⊥AC．∴四边形ABCD是菱形．（2）从上易得：△AOE是直角三角形，∴∠AEB+∠EAO=90°∵△ACE是等边三角形，∴∠EAO=60°，∴∠AEB=30°∵∠AEB=2∠EAB，∴∠EAB=15°，∴∠BAO=∠EAO﹣∠EAB=60°﹣15°=45°．又∵四边形ABCD是菱形．∴∠BAD=2∠BAO=90°∴四边形ABCD是正方形．2．（1）证明：∵CE、CF分别是△ABC的内外角平分线，∴∠ACE+∠ACF=×180°=90°，∵AE⊥CE，AF⊥CF，∴∠AEC=∠AFC=90°，∴四边形AECF是矩形．（2）答：当△ABC满足∠ACB=90°时，四边形AECF 是正方形，理由是：∵∠ACE=∠ACB=45°，∵∠AEC=90°，∴∠EAC=45°=∠ACE，∴AE=CE，∵四边形AECF是矩形，∴四边形AECF是正方形．3．（1）故答案为∠AED（1分）；BF∥AC（2分）；EC （3分）；一组对边平行且相等的四边形为平行四边形．（2）A层次：（提出问题（1分），说理1分）添加条件∠C=90°后四边形BFEC为矩形．（5分）理由：由（1）得四边形BFEC为平行四边形，又∠C=90°，即有一个角是直角的平行四边形是矩形．（6分）．B层次：（提出问题分，说理1分）添加条件AC=2BC后四边形BFEC为菱形．理由：由（1）得四边形BFEC为平行四边形又知AC=2CE，AC=2BC，所以EC=BC，即一组邻边相等的平行四边形是菱形．添加条件∠C=90°且AC=2BC时四边形BFEC为正方形．（7分）理由：由（1）得四边形BFEC为平行四边形，又∠C=90°，即有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以此时四边形BFEC为矩形，又因为AC=2CE，AC=2BC，所以EC=BC，一组邻边相等的矩形是正方形，所以此时四边形BFEC为正方形．4．∵四边形ABCD是矩形，∴四个内角均为90°，∵AF，BE，CE，DF分别是四个内角的平分线，∴∠EBC=∠ECB=45°，∴△EBC为等腰直角三角形，∴∠E=90°，同理∠F=∠EMF=∠ENF=90°，∴四边形MFNE为矩形，∵AD=BC，∠E=∠F=90°，∠DAF=∠EBC=45°，∴△DAF≌△CBE（AAS）∴AF=BE，∵AM=BM，∴AF﹣AM=BE﹣BM，即FM=EM，∴四边形MFNE是正方形．5．（1）∵四边形DBEC是平行四边形，∴DE∥BC，∵D为AB中点，∴DF为△ABC的中位线，即点F为AC的中点；（2）∵平行四边形BDEC，∴CE平行等于BD．∵D为AB中点，∴AD=BD，∴CE平行且等于AD，∴四边形ADCE为平行四边形，又∵AD=CD=BD，∴四边形ADCE为菱形；（3）应添加条件AC=BC．证明：∵AC=BC，D为AB中点，∴CD⊥AB（三线合一的性质），即∠ADC=90°．∵四边形BCED为平行四边形，四边形ADCE为平行四边形，∴DE=BC=AC，∠AFD=∠ACB=90°．∴四边形ADCE为正方形．（对角线互相垂直且相等的四边形是正方形）∴四边形ABCD也是平行四边形，又∵AC=BD（且AC，BD互相平分），∴四边形ABCD也为矩形，又∵四边形ABCD是菱形，∴四边形ABCD是正方形．7．∵DE平分∠ADE，EF⊥AD，EF⊥AD，∴EF=EG，∵DE=DE，∴△DEF≌△DGE（HL），∴∠DEF=∠EDG，∠DEG=∠EDF，∴FE∥DG，GE∥DF，∴四边形EFDG是平行四边形，∵∠EFD=90°，∴四边形EFDG是矩形，∵EF=EG，∴四边形EFDG是正方形．8．Ⅰ）法1：答：当四边形PEMF为矩形时，矩形ABCD的长是宽的2倍．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=90°，AB=DC，又∵AM=DM，∴△AMB≌△DMC（SAS）∴∠AMB=∠DMC∵四边形PEMF为矩形，∴∠BMC=90°，∴∠AMB=∠DMC=45°∴AM=DM=DC，即AD=2DC．∴当四边形PEMF为矩形时，矩形ABCD的长是宽的2倍；法2：∵四边形PEMF为矩形，∴∠M为直角，∴B、C、M三点共圆，BC为直径，又∵M为AD的中点，∴BC=2CD，∴当四边形PEMF为矩形时，矩形ABCD的长是宽的2倍．（Ⅱ）答：当点P运动到BC中点时，四边形PEMF变为正方形．∵△AMB≌△DMC，∴MB=MC．∵四边形PEMF为矩形，∴PE∥MB，PF∥MC又∵点P是BC中点，∴PE=PF=MC∴四边形PEMF为正方形．9．（1）证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠BFD=∠CED=90°，在Rt△BDF和Rt△CDE 中，，∴Rt△BDF≌Rt△CDE（HL）；（2）答：四边形AFDE是正方形．证明：∵∠A=90°，DE⊥AC，DF⊥AB，∴四边形AFDE是矩形，又∵Rt△BDF≌Rt△CDE，∴DF=DE，∴四边形AFDE是正方形10．∵∠CED是△BCE的外角，∠AED是△ABE的外角，∴∠CED=∠CBE+∠BCE，∠AED=∠BAE+∠ABE，∵∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，∴∠CBE=∠ABE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠BCD=∠BAD=90°，AB=CD，∴∠CBE=∠ABE=45°，∴△ABD与△BCD是等腰直角三角形，∴AB=AD=BC=CD，∴四边形ABCD是正方形．11．（1）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°，又∵D是BC中点，AB=AC，∴BD=CD，在△BFD与△CED中，∴△BED≌△CFD（AAS），∴DE=DF．（2）解：当△ABC为等腰直角三角形时，则有AE=DE=DF=AF，四边形AEDF为菱形，又∵∠A=90°，∴菱形AEDF为正方形12．过点D作DG⊥AB，垂足为G，∵∠CFD=∠CED=∠C=90°，∴四边形CEDF是矩形．∵AD，BD分别是∠CAB，∠CBA的平分线，∴DF=DG，DG=DE．13．∵∠ACB=90°，DE⊥BC，DF⊥AC，∴四边形CFDE是矩形．又∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，∴DE=DF．∴四边形CFDE是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．14．（1）∵在△ABC中，AB=AC，∴∠B=∠C．∵D为BC边的中点，∴BD=CD．在△BED与△CFD中，∵，∴△BED≌△CFD（AAS）；（2）四边形AEDF是正方形．理由如下：∵∠DEB=90°，∠A=90°，∴∠DEB=∠A，∴AF∥ED．同理，AE∥FD，∴四边形AEDF是矩形．又由（1）知，△BED≌△CFD，∴ED=FD，∴矩形AEDF是正方形15．（1）∵MN∥BC，∴∠ECB=∠CEO，∠GCF=∠CFO，∵CE，CF分别为∠BCA，∠GCA的角平分线，∴∠ECB=∠ECO，∠GCF=∠OCF，∴∠CEO=∠ECO，∠CFO=∠OCF，∴OC=OE，OC=OF，∴OE=OF，（2）当O点运动到AC的中点时，四边形AECF为矩形，理由：∵O点为AC的中点，∴OA=OC，∵OE=OF，OC=OE=OF，∴OA=OC=OE=OF，∴AC=EF，∴四边形AECF是矩形，（3）当O点运动到AC的中点时，AC⊥BC时，四边形AECF是正方形，∵OE=OF，OC=OE=OF，∴OA=OC=OE=OF，∴AC=EF，∵AC⊥BC，MN∥BC，∴AC⊥EF，∴四边形AECF是正方形．16．1）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵PD⊥AB，PE⊥AC，∴∠PDB=∠PEC=90°，∵P是BC的中点，∴BP=PC，即∠BDP=∠PEC=90°，∠B=∠C，PB=PC，∴△PDB≌△PEC，∴PD=PE．（2）答：DE∥BC，理由是：∵△PDB≌△PEC，∴BD=CE，∵AB=AC，∴=，∴DE∥BC．（3）答：当∠A=90°时，使四边形ADPE为正方形，证明：∵∠A=∠ADP=∠AEP=90°，∴四边形ADPE是矩形，∵AB=AC，BD=CE，∴AD=AE，∴矩形ADPE是正方形，即当∠A=90°时，使四边形ADPE为正方形．17．（1）∵△ABC是直角三角形，∠C=90°，∴∠CAB+∠CBA=90°，∴∠DAB+∠DBA=（∠CAB+∠CBA）=×90°=45°，∴∠ADB=180°﹣45°=135°；（2）四边形CEDF是正方形．过D作DG⊥AB于G，∵AD、BD是∠CAB、∠CBA的平分线，∴DF=DG，DE=DG，∴DF=DE，∵△ABC是直角三角形，∠C=90°，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，∴四边形CEDF是正方形．∵菱形ABCD∴OA=OC=AC，OB=OD=BD∵AC=BD∴OA=OB∵OA⊥OB（菱形的对角线互相垂直）∴∠OAB=∠OBA=45°同理∠OBC=∠OCB=45°∴∠OBA+∠OBC=90°∴∠ABC=90°∴ABCD是正方形．19．①∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF为平行四边形；②∵四边形AEDF为菱形，∴AD平分∠BAC，则AD平分∠BAC时，四边形AEDF为菱形；③由四边形AEDF为正方形，∴∠BAC=90°，∴△ABC是以BC为斜边的直角三角形即可20．∵DE⊥AB，DF⊥AC∴∠AED=90°，∠AFD=90°∵∠BAC=90°∴∠EDF=90°∴□AEDF是矩形在△BDE和△CDF中∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB∵DE⊥AB，DF⊥AC∴∠DEB=∠DFC又∵D是BC的中点∴BD=DC∴△BDE≌△CDF∴DE=DF∴□AEDF是正方形21．四边形CDFE是正方形理由如下：∵FD⊥AC，FE⊥BC，AC⊥BC∴四边形CDFE是矩形∵CF平分∠ACB∴∠FCD=45°∴CD=DF∴四边形CDFE是正方形22．∵∠ABC=90°，DE⊥BC，DF⊥AB，∴∠BFD=∠BED=∠ABC=90°．∴四边形BEDF为矩形．又∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，∴DF=DE．∴矩形BEDF为正方形．23．∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠EBF=∠HAE=∠GDH=∠FCG，又∵BE=CF=DG=AH，∴CG=DH=AE=BF∴△AEH≌△CGF≌△DHG，∴EF=FG=GH=HE，∠EFB=∠HEA，∴四边形EFGH为菱形，∵∠EFB+∠FEB=90°，∠EFB=∠HEA，∴∠FEB+∠HEA=90°，∴四边形EFGH是正方形．24．∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，∴DE=DF，∠DFC=90°，∠DEC=90°，又∵∠ACB=90°，∴四边形DECF是矩形，∵DE=DF，∴矩形DECF是正方形．25．∵矩形的ABCD的外角都是直角，HE，EF都是外角平分线，∴∠BAE=∠ABE=45°．∴∠E=90°．同理，∠F=∠G=90°．∴四边形EFGH为矩形．∵AD=BC，∠HAD=∠HDA=∠FBC=∠FCB=45°，∴△ADH≌△BCF（AAS）．∴AH=BF．又∵∠EAB=∠EBA，∴AE=BE．∴AE+AH=EB+BF，即EH=EF．∴矩形EFGH是正方形．26．四边形ABCD满足AC=BD，AC⊥BD时，四边形EFGH为正方形．理由如下：∵E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、AD的中点，∴EF∥AC，且EF=AC，EH∥BD，且EH=BD，∵四边形EFGH是正方形，∴EF=EH，EF⊥EH，∴AC=BD，AC⊥BD，∴四边形ABCD满足对角线互相垂直且相等时，四边形EFGH是正方形．即四边形ABCD满足AC=BD，AC⊥BD时，四边形EFGH为正方形．27．本题答案不唯一，以下是其中两种解法：（1）添加条件AB∥DC，可得出该四边形是矩形；理由：∵AB∥DC，AB=DC，∴四边形ABCD是平行四边形．∵AC=BD，∴四边形ABCD是矩形．（2）添加条件AC垂直平分BD，那么该四边形是正方形．理由：∵AC垂直平分BD，∴AB=AD，BC=CD．∵AB=DC，∴AB=AD=BC=DC．∴四边形ABCD是菱形．∵AC垂直BD，∴四边形ABCD是正方形．28．（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO=AC，∵EA=EC，∴EO⊥AC，即BD⊥AC，∴平行四边形ABCD是菱形；（2）∵∠1=∠EAD+∠AED，∠DAC=∠EAD+∠AED，∴∠1=∠DAC，∴AO=DO，∵四边形ABCD是菱形，∴AC=2AO，DB=2DO，∴AC=BD，∴四边形ABCD是正方形．29．（1）∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，又∵∠BAC=90°，∴四边形AEDF是矩形；（2）∵DE∥AC，DF∥AB，∴∠ADE=∠DAF，四边形AEDF是平行四边形，又∵AD是△ABC的角平分线，∴∠DAE=∠DAF，∴∠ADE=∠DAE，∴AE=DE，∴▱AEDF是菱形；（3）由（1）知四边形AEDF是矩形，由（2）知四边形AEDF是菱形，所以四边形AEDF是正方形．30．（1）四边形ADEF是平行四边形．∵等边三角形BCE和等边三角形ABD，∴BE=BC，BD=BA．又∵∠DBE=60°﹣∠ABE，∠ABC=60°﹣∠ABE，∴∠DBE=∠ABC．在△BDE和△BCA 中，∴△BDE≌△BCA．（2分）∴DE=AC．∵在等边三角形ACF中，AC=AF，∴DE=AF．同理DA=EF．∴四边形ADEF是平行四边形．（2）当∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形．（5分）理由：∵∠DAF=360°﹣∠DAB﹣∠BAC﹣∠CAF=90°，∴▱ADEF是矩形．（3）当AB=AC，或∠ABC=∠ACB=15°时，四边形ADEF 是菱形．（6分）理由：∵AB=AC，∴AD=AF，∴▱ADEF是菱形．（4）当∠BAC=150°且AB=AC，或∠ABC=∠ACB=15°时，四边形ADEF是正方形．（7分）（5）当∠BAC=60°时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在．（8分）。

北师大版九年级数学上同步练习：正方形的判定 (含答案)

正方形的判定一、选择题（共21小题）1、下列五个命题：（1）若直角三角形的两条边长为5和12，则第三边长是13；（2）如果a≥0，那么=a（3）若点P（a，b）在第三象限，则点P（﹣a，﹣b+1）在第一象限；（4）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；（5）两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等．其中不正确命题的个数是（）A、2个B、3个C、4个D、5个2、下列命题中，正确命题是（）A、两条对角线相等的四边形是平行四边形B、两条对角线相等的四边形是矩形C、两条对角线互相垂直平分的四边边是菱形D、两条对角线平分且相等的四边形是正方形3、下列命题中，真命题是（）A、两条对角线垂直的四边形是菱形B、对角线垂直且相等的四边形是正方形C、两条对角线相等的四边形是矩形D、两条对角线相等的平行四边形是矩形4、下列说法中错误的是（）A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形B、两条对角线相等的四边形是矩形C、两条对角线互相垂直的矩形是正方形D、两条对角线相等的菱形是正方形5、下列说法中，不正确的是（）A、有三个角是直角的四边形是矩形B、对角线相等的四边形是矩形C、对角线互相垂直的矩形是正方形D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形6、如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE，DF，EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形，③DE长度的最小值为4；④四边形CDFE的面积保持不变；⑤△CDE面积的最大值为8．其中正确的结论是（）A、①②③B、①④⑤C、①③④D、③④⑤7、如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A、当AB=BC时，它是菱形B、当AC⊥BD时，它是菱形C、当∠ABC=90°时，它是矩形D、当AC=BD时，它是正方形8、下列命题中正确的是（）A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形B、两条对角线相等的四边形是矩形C、两条对角线互相垂直的四边形是菱形D、两条对角线互相垂直且平分的四边形是正方形9、已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（）A、∠D=90°B、AB=CDC、AD=BCD、BC=CD10、如图，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开．如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成（）A、22.5°角B、30°角C、45°角D、60°角11、在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（）A、AC=BD，AB∥CD，AB=CDB、AD∥BC，∠A=∠CC、AO=BO=CO=DO，AC⊥BDD、AO=CO，BO=DO，AB=BC12、用两个全等的直角三角形拼下列图形：（1）平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；（2）矩形；（3）菱形；（4）正方形；（5）等腰三角形，一定可以拼成的图形是（）A、（1）（2）（5）B、（2）（3）（5）C、（1）（4）（5）D、（1）（2）（3）13、下列说法中，错误的是（）A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形B、两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形C、四个角都相等的四边形是矩形D、邻边相等的菱形是正方形14、下列说法中错误的是（）A、一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形B、每组邻边都相等的四边形是菱形C、四个角都相等的四边形是矩形D、对角线互相垂直平分的四边形是正方形15、四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，设有下列条件：①AB=AD；②∠DAB=90°；③AO=CO，BO=DO；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD，⑥正方形ABCD，则下列推理不成立的是（）A、①④⇒⑥B、①③⇒⑤C、①②⇒⑥D、②③⇒④16、在下列命题中，是真命题的是（）A、两条对角线相等的四边形是矩形B、两条对角线互相垂直的四边形是菱形C、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形D、两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形17、下列说法中错误的是（）A、四个角相等的四边形是矩形B、对角线互相垂直的矩形是正方形C、对角线相等的菱形是正方形D、四条边相等的四边形是正方形18、下列说法正确的是（）A、对角线相等的四边形是矩形B、有一组邻边相等的矩形是正方形C、菱形的四条边、四个角都相等D、三角形一边上的中线等于这边的一半19、下列说法错误的是（）A、平行四边形的内角和与外角和相等B、一组邻边相等的平行四边形是菱形C、对角线互相平分且相等的四边形是矩形D、四条边都相等的四边形是正方形20、矩形的四个内角平分线围成的四边形（）A、一定是正方形B、是矩形C、菱形D、只能是平行四边形21、下列命题正确的是（）A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B、对角线互相垂直的四边形是菱形C、对角线相等的四边形是矩形D、一组邻边相等的矩形是正方形二、填空题（共3小题）22、如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是_________．23、要使一个菱形ABCD成为正方形，则需增加的条件是_________．（填一个正确的条件即可）24、把“直角三角形，等腰三角形，等腰直角三角形”填入下列相应的空格上．（1）正方形可以由两个能够完全重合的_________拼合而成；（2）菱形可以由两个能够完全重合的_________拼合而成；（3）矩形可以由两个能够完全重合的_________拼合而成．三、解答题（共6小题）25、如图，点D是线段AB的中点，点C是线段AB的垂直平分线上的任意一点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F．（1）求证：CE=CF；（2）点C运动到什么位置时，四边形CEDF成为正方形？请说明理由．26、已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F，且BF=CE．（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）当∠A=90°时，试判断四边形AFDE是怎样的四边形，证明你的结论．27、如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠AED=2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．28、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC 外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．29、如图：已知在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．（1）求证：△BED≌△CFD；（2）若∠A=90°，求证：四边形DFAE是正方形．30、如图，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠ABC=∠BAD=90°，AD=BC，AC，BD相交于点G，过点A作AE∥DB交CB的延长线于点E，过点B作BF∥CA 交DA的延长线于点F，AE，BF相交于点H．（1）图中有若干对三角形是全等的，请你任选一对进行证明；（不添加任何辅助线）（2）证明：四边形AHBG是菱形；（3）若使四边形AHBG是正方形，还需在Rt△ABC的边长之间再添加一个什么条件？请你写出这个条件．（不必证明）答案与评分标准一、选择题（共21小题）1、下列五个命题：（1）若直角三角形的两条边长为5和12，则第三边长是13；（2）如果a≥0，那么=a（3）若点P（a，b）在第三象限，则点P（﹣a，﹣b+1）在第一象限；（4）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；（5）两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等．其中不正确命题的个数是（）A、2个B、3个C、4个D、5个考点：勾股定理；二次根式的性质与化简；点的坐标；全等三角形的判定；正方形的判定．分析：（1）由于直角三角形的两条边长为5和12，这两条边没有确定谁是斜边谁是直角边，大的一条还可能是斜边，所以第三边长不唯一；（2）正确，符合二次根式的意义；（3）由于点P（a，b）在第三象限，由此得到a、b的取值范围，然后利用它们的取值范围即可得到结果；正确（4）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形；（5）可以利用全等三角形的判定定理证明是否正确．解答：解：（1）由于直角三角形的两条边长为5和12，这两条边没有确定是否是直角边，所以第三边长不唯一，故命题错误；（2）符合二次根式的意义，命题正确；（3）∵点P（a，b）在第三象限，∴a＜0、b＜0，∴﹣a＞0，﹣b+1＞0，∴点P （﹣a，﹣b+1）在第一象限，故命题正确；（4）正方形是对角线互相垂直平分且相等的四边形，故命题错误；（5）两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等是正确的．故选B．点评：需注意没有明确告知两条边都是直角边，故大的一条还可能是斜边．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．2、下列命题中，正确命题是（）A、两条对角线相等的四边形是平行四边形B、两条对角线相等的四边形是矩形C、两条对角线互相垂直平分的四边边是菱形D、两条对角线平分且相等的四边形是正方形考点：菱形的判定；平行四边形的判定；矩形的判定；正方形的判定．分析：根据特殊平行四边形的性质进行判断，对角线平分的四边形是平行四边形；对角线平分且相等的四边形是矩形；对角线平分且垂直的四边形是菱形；对角线平分、垂直且相等的四边形是正方形．解答：解：A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A错误；B、两条对角线平分且相等的四边形是矩形，故B错误；C、两条对角线互相垂直平分的四边边是菱形，故C正确；D、两条对角线平分、垂直且相等的四边形是正方形，故D错误；故选C．点评：考查特殊平行四边形对角线的性质，一定要熟记．3、下列命题中，真命题是（）A、两条对角线垂直的四边形是菱形B、对角线垂直且相等的四边形是正方形C、两条对角线相等的四边形是矩形D、两条对角线相等的平行四边形是矩形考点：菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定．分析：本题要求熟练掌握平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质以及之间的相互联系．解答：解：A、两条对角线垂直并且相互平分的四边形是菱形，故选项A错误；B、对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项B错误；C、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故选项C错误；D、根据矩形的判定定理，两条对角线相等的平行四边形是矩形，为真命题，故选项D正确；故选D．点评：本题考查的是普通概念，熟练掌握基础的东西是深入研究的必要准备．4、下列说法中错误的是（）A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形B、两条对角线相等的四边形是矩形C、两条对角线互相垂直的矩形是正方形D、两条对角线相等的菱形是正方形考点：矩形的判定；平行四边形的判定；正方形的判定．分析：根据矩形的对角线相等平分和正方形的对角线互相垂直相等平分进行判定即可得出结论．解答：解：根据矩形的判定可知：A，C，D均是正确的，B中，等腰梯形也满足此条件，但不是矩形，故选B．点评：平行四边形的判定方法共有五种，在四边形中如果有：①四边形的两组对边分别平行；②一组对边平行且相等；③两组对边分别相等；④对角线互相平分；⑤两组对角分别相等．则四边形是平行四边形．5、下列说法中，不正确的是（）A、有三个角是直角的四边形是矩形B、对角线相等的四边形是矩形C、对角线互相垂直的矩形是正方形D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形考点：矩形的判定；菱形的判定；正方形的判定．分析：根据各四边形的性质对各个选项进行分析从而得出最后答案．解答：解：A、正确，有三个角是直角的四边形是矩形是矩形的判定定理；B、错误，对角线相等的四边形不一定是矩形，对角线相等的平行四边形才是矩形；C、正确，对角线互相垂直的矩形是正方形；D、正确，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．故选B．点评：考查了对四边形性质与判定的综合运用，特殊四边形之间的相互关系是考查重点．6、如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE，DF，EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形，③DE长度的最小值为4；④四边形CDFE的面积保持不变；⑤△CDE面积的最大值为8．其中正确的结论是（）A、①②③B、①④⑤C、①③④D、③④⑤考点：正方形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．专题：动点型．分析：解此题的关键在于判断△DEF是否为等腰直角三角形，作常规辅助线连接CF，由SAS定理可证△CFE和△ADF全等，从而可证∠DFE=90°，DF=EF．所以△DEF是等腰直角三角形．可证①正确，②错误，再由割补法可知④是正确的；判断③，⑤比较麻烦，因为△DEF是等腰直角三角形DE=DF，当DF与BC 垂直，即DF最小时，DE取最小值4，故③错误，△CDE最大的面积等于四边形CDEF的面积减去△DEF的最小面积，由③可知⑤是正确的．故只有①④⑤正确．解答：解：连接CF；∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB；∵AD=CE，∴△ADF≌△CEF；∴EF=DF，∠CFE=∠AFD；∵∠AFD+∠CFD=90°，∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，∴△EDF是等腰直角三角形．因此①正确．当D、E分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形．因此②错误．∵△ADF≌△CEF，∴S△CEF=S△ADF∴S四边形CEFD=S△AFC，因此④正确．由于△DEF是等腰直角三角形，因此当DE最小时，DF也最小；即当DF⊥AC时，DE最小，此时DF=BC=4．∴DE=DF=4；因此③错误．当△CEF面积最大时，由④知，此时△DEF的面积最小．此时S△CEF=S四边形CEFD﹣S△DEF=S△AFC﹣S△DEF=16﹣8=8；因此⑤正确．故选B．点评：本题考查知识点较多，综合性强，能力要求全面，难度较大．但作为选择题可采用排除法等特有方法，使此题难度稍稍降低一些．7、如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A、当AB=BC时，它是菱形B、当AC⊥BD时，它是菱形C、当∠ABC=90°时，它是矩形D、当AC=BD时，它是正方形考点：正方形的判定；平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定．分析：根据已知及各个四边形的判定对各个选项进行分析从而得到最后答案．解答：解：A：正确，一组邻边相等的平行四边形是菱形；B：正确，对角线互相垂直的平行四边形是菱形；C：正确，有一个角为90°的平行四边形是矩形；D：不正确，对角线相等的平行四边形是矩形而不是正方形；故选D．点评：此题考查了菱形，矩形，正方形的判定方法．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．8、下列命题中正确的是（）A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形B、两条对角线相等的四边形是矩形C、两条对角线互相垂直的四边形是菱形D、两条对角线互相垂直且平分的四边形是正方形考点：正方形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定．分析：根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定，逐个进行验证，即可得出正确选项．解答：解：A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确．B、两条对角线相等的四边形可能是梯形，不一定是矩形，错误．C、两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，仅垂直不一定是菱形，错误．D、两条对角线互相垂直且平分的四边形只能说是菱形，不一定是正方形，错误．故选A．点评：本题是考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定．就每一个选项来说都是单一知识点，是比较基础的知识，而把四个选项置于一个试题之中，它涉及到四个知识点和四种图形的联系和区别，要求学生的思维必须缜密、全面．9、已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（）A、∠D=90°B、AB=CDC、AD=BCD、BC=CD考点：正方形的判定．分析：由已知可得该四边形为矩形，再添加条件：一组邻边相等，即可判定为正方形．解答：解：由∠A=∠B=∠C=90°可判定为矩形，因此再添加条件：一组邻边相等，即可判定为正方形，故选D．点评：本题是考查正方形的判别方法．判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等是菱形；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角，是矩形．10、如图，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开．如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成（）A、22.5°角B、30°角C、45°角D、60°角考点：正方形的判定；翻折变换（折叠问题）．专题：计算题；操作型．分析：根据翻折变换的性质及正方形的判定进行分析从而得到最后答案．解答：解：一张长方形纸片对折两次后，剪下一个角，是菱形，而出现的四边形的两条对角线分别是两组对角的平分线，所以当剪口线与折痕成45°角，菱形就变成了正方形．故选C．点评：本题考查了菱形和正方形的判定及性质．11、在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（）A、AC=BD，AB∥CD，AB=CDB、AD∥BC，∠A=∠CC、AO=BO=CO=DO，AC⊥BDD、AO=CO，BO=DO，AB=BC考点：正方形的判定．专题：证明题．分析：根据正方形的判定：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形进行分析从而得到最后的答案．解答：解：A，不能，只能判定为矩形；B，不能，只能判定为平行四边形；C，能；D，不能，只能判定为菱形．故选C．点评：本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．12、用两个全等的直角三角形拼下列图形：（1）平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；（2）矩形；（3）菱形；（4）正方形；（5）等腰三角形，一定可以拼成的图形是（）A、（1）（2）（5）B、（2）（3）（5）C、（1）（4）（5）D、（1）（2）（3）考点：正方形的判定．专题：证明题．分析：两个全等的直角三角形直角边重合拼成的四边形一定是平行四边形；直角边重合拼成的三角形一定是等腰三角形；斜边重合拼成的四边形一定是长方形．拿两个全等的三角板动手试一试就能解决．解答：解：拿两个“90°、60°、30°的三角板一试可得：（1）平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；（2）矩形；（5）等腰三角形．而菱形、正方形需特殊的直角三角形：等腰直角三角形．故选A．点评：本题考查学生的动手能力，有些题只要学生动手就能很快求解，注意题目的要求有“一定”二字．13、下列说法中，错误的是（）A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形B、两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形C、四个角都相等的四边形是矩形D、邻边相等的菱形是正方形考点：正方形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定．专题：证明题．分析：根据对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，对各个选项进行分析从而得到最后的答案．解答：解：A正确，符合平行四边形的判定定理；B正确，两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形；C正确，四个角都相等的四边形的内角和为360°，那么每个内角为90°，是矩形；D不正确，菱形的邻边本来就是相等的，等于没加条件．故选D．点评：本题考查特殊平行四边形的判定，需熟练掌握各特殊平行四边形的特点．14、下列说法中错误的是（）A、一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形B、每组邻边都相等的四边形是菱形C、四个角都相等的四边形是矩形D、对角线互相垂直平分的四边形是正方形考点：正方形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定．专题：证明题．分析：根据特殊平行四边形的判定对各个选项进行分析，从而得到最后答案．解答：解：A正确，一组对边平行且一组对角相等可推出两组对角分别相等，是平行四边形；B正确，每组邻边都相等实际是四条边都相等所以为菱形；C正确，四个角都相等，四个角的内角和为360°，可得到每个内角为90°所以为矩形；D不正确，应该是菱形，因为正方形的对角线相等且互相垂直平分；点评：本题考查特殊平行四边形的判定，需熟练掌握各特殊平行四边形的特点．15、四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，设有下列条件：①AB=AD；②∠DAB=90°；③AO=CO，BO=DO；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD，⑥正方形ABCD，则下列推理不成立的是（）A、①④⇒⑥B、①③⇒⑤C、①②⇒⑥D、②③⇒④考点：正方形的判定；菱形的判定；矩形的判定．专题：证明题．分析：由对角线互相平分的四边形为平行四边形，再由邻边相等，得出是菱形，和一个角为直角得出是正方形，根据已知对各个选项进行分析从而得到最后的答案．解答：解：A、符合邻边相等的矩形是正方形；B、可先由对角线互相平分，判断为平行四边形，再由邻边相等，得出是菱形；D、可先由对角线互相平分，判断为平行四边形，再由一个角为直角得出是矩形；故选C．点评：此题主要考查正方形、菱形、矩形的判定，应灵活掌握．16、在下列命题中，是真命题的是（）A、两条对角线相等的四边形是矩形B、两条对角线互相垂直的四边形是菱形C、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形D、两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形考点：正方形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定．分析：本题要求熟练掌握平行四边形、菱形、矩形、正方形的基本判定性质．解答：解：A、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故选项A错误；B、两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项B错误；C、根据平行四边形的判定定理可知两条平行线相互平分的四边形是平行四边形，为真命题，故选项C是正确的；D、两条对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项D错误；点评：基本的定义、概念以及一些性质是做题的根本条件，熟练地运用可以为解答更深奥的题目奠定基础．17、下列说法中错误的是（）A、四个角相等的四边形是矩形B、对角线互相垂直的矩形是正方形C、对角线相等的菱形是正方形D、四条边相等的四边形是正方形考点：正方形的判定；矩形的判定．专题：证明题．分析：根据正方形和矩形的判定对各个选项进行分析从而得到最后答案．解答：解：A正确，符合矩形的定义；B正确，符合正方形的判定；C正确，符合正方形的判定；D不正确，也可能是菱形；故选D．点评：此题主要考查学生对矩形的判定及正方形的判定的理解．18、下列说法正确的是（）A、对角线相等的四边形是矩形B、有一组邻边相等的矩形是正方形C、菱形的四条边、四个角都相等D、三角形一边上的中线等于这边的一半考点：正方形的判定；菱形的性质；矩形的判定．专题：证明题．分析：根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形和有一组邻边相等的矩形是正方形对各个选项进行分析从而确定最后答案．解答：解：A不正确，因为对角线互相平分且相等的四边形是矩形；B正确，符合正方形的判定；C不正确，菱形的四条边、对角都相等；D不正确，直角三角形斜边上的中线等于这边的一半；故选B．点评：此题综合考查矩形、正方形、菱形的判定以及直角三角形的性质的理解及运用．19、下列说法错误的是（）A、平行四边形的内角和与外角和相等B、一组邻边相等的平行四边形是菱形C、对角线互相平分且相等的四边形是矩形D、四条边都相等的四边形是正方形考点：正方形的判定；平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定．专题：证明题．分析：根据四条边都相等的四边形一定是菱形，对角线互相平分且相等的四边形是矩形，对各个结论进行分析，从而得到最后答案．解答：解：A正确，平行四边形的内角和与外角和都是360°；B正确，符合菱形的定义；C正确，符合矩形的判定；D不正确，四条边都相等的四边形一定是菱形，不一定是正方形；故选D．点评：掌握特殊四边形的定义与判定．20、矩形的四个内角平分线围成的四边形（）A、一定是正方形B、是矩形C、菱形D、只能是平行四边形考点：正方形的判定；矩形的性质．专题：证明题．分析：根据矩形的性质及角平分线的性质进行分析即可．解答：解：矩形的四个角平分线将矩形的四个角分成8个45°的角，因此形成的四边形每个角是90°．又知两条角平分线与矩形的一边构成等腰直角三角形，所以这个四边形邻边相等，根据有一组邻边相等的矩形是正方形，得到该四边形是正方形，故选A．点评：本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．21、下列命题正确的是（）A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B、对角线互相垂直的四边形是菱形。

北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形《正方形的性质与判定》同步练习 (含答案)

正方形的性质——典型题专项训练知识点 1 利用正方形的性质求解与线段有关的问题1．如图1－3－1，在正方形ABCD中，点E在边DC上，DE＝4，EC＝2，则AE的长为________．1－3－11－3－22．如图1－3－2，正方形ABCD的边长为1，点E在边DC上，AE平分∠DAC，EF⊥AC，F为垂足，那么FC＝________．3．2017·广安如图1－3－3，四边形ABCD是正方形，E，F分别是AB，AD上的一点，且BF⊥CE，垂足为G.求证：AF＝BE.图1－3－3知识点 2 利用正方形的性质求解与角有关的问题4．如图1－3－4，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，则∠AEB的度数为( ) A．10° B．12.5° C．15° D．20°1－3－4图1－3－55．如图1－3－5，E为正方形ABCD的对角线BD上的一点，且BE＝BC，则∠DCE＝________°.6．2017·怀化如图1－3－6，四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形．(1)求证：△ABE≌△DCE；(2)求∠AED的度数．图1－3－6知识点 3 利用正方形的性质求解与面积有关的问题7．若正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是( )A．8 B．4 2 C．8 2 D．16图1－3－78．如图1－3－7，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1，O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是________．9．如图1－3－8，正方形ABCD的边长为4，E，F分别为DC，BC的中点．(1)求证：△ADE≌△ABF；(2)求△AEF的面积．图1－3－8知识点 4 正方形对称性的应用10．如图1－3－9，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O，B的坐标分别是(0，0)，(2，0)，则顶点C的坐标是( )A．(1，1) B．(－1，－1)C．(1，－1) D．(－1，1)图1－3－9图1－3－1011.如图1－3－10，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一动点，则PB＋PE的最小值是________．12．如图1－3－11，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC的度数为( )A．45° B．55° C．60° D．75°1－3－111－3－1213.如图1－3－12，正方形ABCD的边长为2，连接AC，AE平分∠CAD，交BC的延长线于点E，FA⊥AE，交CB的延长线于点F，则EF的长为________．14．如图1－3－13，将边长为8 cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是________．图1－3－13 图1－3－1415．如图1－3－14，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推，则正方形OB2017B2018C2018的顶点B2018的坐标是________．16．如图1－3－15，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在OD，OC上，且DE＝CF，连接DF，AE，AE的延长线交DF于点M.求证：AM⊥DF.图1－3－1517．在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF＝∠CEF＝45°.(1)将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG(如图1－3－16①)，求证：△AEG≌△AEF；(2)若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N(如图1－3－16②)，求证：EF2＝ME2＋NF2.图1－3－161．2132.2－13．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠A＝∠CBE＝90°.∵BF⊥CE，∴∠BCE＋∠CBG＝90°.∵∠ABF＋∠CBG＝90°，∴∠BCE＝∠ABF.在△BCE和△ABF中，∠BCE＝∠ABF，BC＝AB，∠CBE＝∠A，∴△BCE≌△ABF(ASA)，∴AF＝BE.4．C5．22.56．解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形，∴BA＝BC＝CD＝BE＝CE，∠ABC＝∠BCD＝90°，∠EBC＝∠ECB＝60°，∴∠ABE＝∠ECD＝30°.在△ABE和△DCE中，AB＝DC，∠ABE＝∠DCE，BE＝CE，∴△ABE≌△DCE(SAS)．(2)∵BA＝BE，∠ABE＝30°，∴∠BAE＝12×(180°－30°)＝75°.∵∠BAD＝90°，∴∠EAD＝90°－75°＝15°，同理可得∠ADE＝15°，∴∠AED＝180°－15°－15°＝150°.7．A8．29．解：(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝AB，∠D＝∠B＝90°，BC＝DC.∵E，F分别为DC，BC的中点，∴DE＝12DC，BF＝12BC，∴DE＝BF.在△ADE和△ABF中，AD＝AB，∠D＝∠B，DE＝BF，∴△ADE≌△ABF(SAS)．(2)由题知△ABF，△ADE，△CEF均为直角三角形，且AB＝AD＝4，DE＝BF＝12×4＝2，CE＝CF＝12×4＝2，∴S△AEF＝S正方形ABCD－S△ADE－S△ABF－S△CEF＝4×4－12×4×2－12×4×2－12×2×2＝6.10．C11．10 12.C13．414．3 cm15．(0，21009)16．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴OD＝OC.又∵DE＝CF，∴OD－DE＝OC－CF，即OE＝OF.在△AOE和△DOF中，AO＝DO，∠AOE＝∠DOF，OE＝OF，∴△AOE≌△DOF(SAS)，∴∠OAE＝∠ODF.∵∠OAE＋∠AEO＝90°，∠AEO＝∠DEM，∴∠ODF＋∠DEM＝90°，即AM⊥DF.17．证明：(1)∵△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，∴AG＝AF，∠GAF＝90°.∵∠EAF＝45°，∴∠GAE＝∠GAF－∠EAF＝90°－45°＝45°，即∠GAE＝∠EAF.在△AEG和△AEF中，AG＝AF，∠GAE＝∠EAF，AE＝AE，∴△AEG≌△AEF(SAS)．(2)把△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，如图，连接GM，则△ADF≌△ABG，∴DF＝BG.由(1)知△AEG≌△AEF，∴EG＝EF.∵∠CEF＝45°，∴△BME，△DNF，△CEF均为等腰直角三角形，∴CE＝CF，BE＝BM，NF＝2DF，∴BE＝DF，∴BE＝BM＝DF＝BG，∴∠BMG＝45°，∴∠GME＝45°＋45°＝90°，∴EG2＝ME2＋MG2.又∵EG＝EF，MG＝2BM＝2DF＝NF，∴EF2＝ME2＋NF2.正方形的判定——典型题专项训练知识点 1 用定义判定正方形1．如果要证明平行四边形ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上，进一步证明( )A．AB＝BD且AC⊥BDB．∠A＝90°且AB＝ADC．∠A＝90°且AC＝BDD．AC和BD互相垂直平分2．已知在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，若使四边形ABCD是正方形，则还需加上一个条件：________________．知识点 2 利用菱形判定四边形是正方形3．在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，下列条件能判定四边形ABCD是正方形的是( )A．OA＝OC，OB＝ODB．OA＝OB＝OC＝ODC．OA＝OC，OB＝OD，AC＝BDD．OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD图1－3－174．如图1－3－17，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开．如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成( )A．22.5°角B．30°角C．45°角D．60°角5．教材习题1.8第3题变式题如图1－3－18，有4个动点P，Q，E，F分别从正方形ABCD的4个顶点出发，沿着AB，BC，CD，DA以同样的速度向B，C，D，A各点移动．请判断四边形PQEF的形状．图1－3－18知识点 3 利用矩形判定四边形是正方形6．2017·齐齐哈尔矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件：________，使其成为正方形．(只填一个即可)图1－3－197．如图1－3－19所示，一张矩形纸片，要折叠出一个最大的正方形，小明把矩形上的一个角沿折痕AE翻折上去，使AB与AD边上的AF重合，则四边形ABEF就是一个最大的正方形，他判定的方法是__________________________．8．2017·邵阳如图1－3－20所示，已知平行四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，∠OBC＝∠OCB.(1)求证：平行四边形ABCD是矩形；(2)请添加一个条件使矩形ABCD为正方形．图1－3－209．若顺次连接四边形ABCD各边中点所得的四边形是正方形，则四边形ABCD一定是( )A．矩形B．对角线互相垂直的四边形C．菱形D．对角线互相垂直且相等的四边形图1－3－2110．如图1－3－21，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF.添加一个条件，仍不能判定四边形ECFB为正方形的是( )A．BC＝AC B．CF⊥BFC．BD＝DF D．AC＝BF图1－3－2211．教材习题1.8第3题变式题如图1－3－22，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，则四边形EFGH的面积是( )A．30 B．34 C．36 D．4012．2017·贵阳期末如图1－3－23，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若∠AED＝2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．图1－3－2313．如图1－3－24，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC外角∠CAM 的平分线，CE⊥AN，垂足为N.(1)求证：四边形ADCE为矩形；(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE为正方形？并给出证明．图1－3－2414．观察如图1－3－25所示图形的变化过程，解答以下问题：图1－3－25如图1－3－26，在△ABC中，D为BC边上的一动点(点D不与B，C两点重合)，DE∥AC 交AB于点E，DF∥AB交AC于点F.(1)试探索当AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，并说明理由；(2)在(1)的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为正方形？为什么？图1－3－2615．如图1－3－27，在四边形ABCD中，E，G分别是AD，BC的中点，F，H分别是BD，AC的中点．(1)当AB，CD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形？并证明你的结论；(2)当AB，CD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？并证明你的结论；(3)当AB，CD满足什么条件时，四边形EFGH是正方形？并证明你的结论．图1－3－271．B 2.AB＝BC(答案不唯一)3．D4．C .5．解：在正方形ABCD中，AP＝BQ＝CE＝DF，AB＝BC＝CD＝DA，∴AF＝BP＝CQ＝DE.又∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴△AFP≌△BPQ≌△CQE≌△DEF，∴FP＝PQ＝QE＝EF，∴四边形PQEF是菱形．∵△AFP≌△BPQ，∴∠APF＝∠BQP.∵∠BPQ＋∠BQP＝90°＝∠BPQ＋∠APF，∴∠FPQ＝90°，∴四边形PQEF为正方形．6．AB＝BC或AC⊥BD(答案不唯一)7．有一组邻边相等的矩形是正方形8．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.∵∠OBC＝∠OCB，∴OB＝OC，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形．(2)AB＝AD(或AC⊥BD，答案不唯一)．9．D 10.D11．B12．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO.又∵△ACE是等边三角形，∴EO⊥AC，即AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形．(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO.又∵△ACE是等边三角形，∴EO平分∠AEC，∴∠AED＝12∠AEC＝12×60°＝30°.又∵∠AED＝2∠EAD，∴∠EAD＝15°，∴∠ADO＝∠EAD＋∠AED＝15°＋30°＝45°.∵四边形ABCD是菱形，∴∠ADC＝2∠ADO＝90°，∴四边形ABCD是正方形．13．解：(1)证明：∵在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠DAC.∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠MAE＝∠CAE，∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE＝12×180°＝90°.又∵AD⊥BC，CE⊥AN，∴∠ADC＝∠CEA＝90°，∴四边形ADCE为矩形．(2)当△ABC满足∠BAC＝90°时，四边形ADCE为正方形．证明：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ACB＝∠B＝45°.∵AD⊥BC，∴∠CAD＝∠ACD＝45°，∴DC＝AD.又∵四边形ADCE是矩形，∴矩形ADCE是正方形．∴当∠BAC＝90°时，四边形ADCE是正方形．14．解：(1)当AD平分∠BAC时，四边形AEDF为菱形．理由：∵AE∥DF，DE∥AF，∴四边形AEDF为平行四边形．∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠FAD.又∵DE∥AF，∴∠FAD＝∠ADE，∴∠EAD＝∠ADE，∴AE＝DE，∴平行四边形AEDF为菱形．(2)当∠BAC＝90°时，菱形AEDF是正方形．因为有一个角是直角的菱形是正方形．15．解：(1)当AB⊥CD时，四边形EFGH是矩形．证明：∵E，F分别是AD，BD的中点，G，H分别是BC，AC的中点，∴EF∥AB，EF＝12AB，GH∥AB，GH＝12AB，FG∥CD.∴EF∥GH，EF＝GH，∴四边形EFGH是平行四边形．∵AB⊥CD，∴EF⊥FG，即∠EFG＝90°，∴四边形EFGH是矩形．(2)当AB＝CD时，四边形EFGH是菱形．证明：∵E，F分别是AD，BD的中点，H，G分别是AC，BC的中点，∴EF＝12AB，GH＝12AB，FG＝12CD，EH＝12CD.又∵AB＝CD，∴EF＝FG＝GH＝EH，∴四边形EFGH是菱形．(3)当AB＝CD且AB⊥CD时，四边形EFGH是正方形．证明：∵E，F分别是AD，BD的中点，∴EF∥AB，EF＝12AB，同理，EH∥CD，EH＝12CD，FG＝12CD，GH＝12AB.∵AB＝CD，∴EF＝EH＝GH＝FG，∴四边形EFGH是菱形．∵AB⊥CD，∴EF⊥EH，即∠FEH＝90°，∴菱形EFGH是正方形．。

中考数学复习----《正方形的判定》知识点总结与专项练习题(含答案解析)

中考数学复习----《正方形的判定》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.直接判定：四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形。

2.利用平行四边形判定：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。

（定义判定）3.利用菱形与矩形判定：①有一个角是直角的菱形是正方形。

②对角线相等的菱形是正方形。

③邻边相等的矩形是正方形。

④对角线相互垂直的矩形是正方形。

练习题1、（2022•绍兴）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB＝2，∠ABC＝60°，E，F是对角线BD上的动点，且BE＝DF，M，N分别是边AD，边BC上的动点．下列四种说法：①存在无数个平行四边形MENF；②存在无数个矩形MENF；③存在无数个菱形MENF；④存在无数个正方形MENF．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后逐一分析即可．【解答】解：连接AC，MN，且令AC，MN，BD相交于点O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵BE＝DF，∴OE＝OF，只要OM＝ON，那么四边形MENF就是平行四边形，∵点E，F是BD上的动点，∴存在无数个平行四边形MENF，故①正确；只要MN＝EF，OM＝ON，则四边形MENF是矩形，∵点E，F是BD上的动点，∴存在无数个矩形MENF，故②正确；只要MN⊥EF，OM＝ON，则四边形MENF是菱形，∵点E，F是BD上的动点，∴存在无数个菱形MENF，故③正确；只要MN＝EF，MN⊥EF，OM＝ON，则四边形MENF是正方形，而符合要求的正方形只有一个，故④错误；故选：C．2、（2022•滨州）下列命题，其中是真命题的是（）A．对角线互相垂直的四边形是平行四边形B．有一个角是直角的四边形是矩形C．对角线互相平分的四边形是菱形D．对角线互相垂直的矩形是正方形【分析】根据，平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定方法一一判断即可．【解答】解：A、对角线互相垂直的四边形是平行四边形，是假命题，本选项不符合题意；B、有一个角是直角的四边形是矩形，是假命题，本选项不符合题意；C、对角线互相平分的四边形是菱形，是假命题，本选项不符合题意；D、对角线互相垂直的矩形是正方形，是真命题，本选项符合题意．故选：D．3、（2022•攀枝花）如图，以△ABC的三边为边在BC上方分别作等边△ACD、△ABE、△BCF．且点A在△BCF内部．给出以下结论：①四边形ADFE是平行四边形；②当∠BAC ＝150°时，四边形ADFE是矩形；③当AB＝AC时，四边形ADFE是菱形；④当AB＝AC，且∠BAC＝150°时，四边形ADFE是正方形．其中正确结论有（填上所有正确结论的序号）．【分析】①利用SAS证明△EFB≌△ACB，得出EF＝AC＝AD；同理由△CDF≌△CAB，得DF＝AB＝AE；根据两边分别相等的四边形是平行四边形得出四边形ADFE是平行四边形，即可判断结论①正确；②当∠BAC＝150°时，求出∠EAD＝90°，根据有一个角是90°的平行四边形是矩形即可判断结论②正确；③先证明AE＝AD，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可判断结论③正确；④根据正方形的判定：既是菱形，又是矩形的四边形是正方形即可判断结论④正确．【解答】解：①∵△ABE、△CBF是等边三角形，∴BE＝AB，BF＝CB，∠EBA＝∠FBC＝60°；∴∠EBF＝∠ABC＝60°﹣∠ABF；∴△EFB≌△ACB（SAS）；∴EF＝AC＝AD；同理由△CDF≌△CAB，得DF＝AB＝AE；由AE＝DF，AD＝EF即可得出四边形ADFE是平行四边形，故结论①正确；②当∠BAC＝150°时，∠EAD＝360°﹣∠BAE﹣∠BAC﹣∠CAD＝360°﹣60°﹣150°﹣60°＝90°，由①知四边形AEFD是平行四边形，∴平行四边形ADFE是矩形，故结论②正确；③由①知AB＝AE，AC＝AD，四边形AEFD是平行四边形，∴当AB＝AC时，AE＝AD，∴平行四边形AEFD是菱形，故结论③正确；④综合②③的结论知：当AB＝AC，且∠BAC＝150°时，四边形AEFD既是菱形，又是矩形，∴四边形AEFD是正方形，故结论④正确．故答案为：①②③④．。

正方形的判定专项练习30题(有答案)ok

正方形的判定专项练习30题(有答案)ok1.已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是DB延长线上一点，且△___是等边三角形。

1) 证明ABCD是菱形。

2) 如果∠AEB=2∠EAB，证明ABCD是正方形。

2.在△ABC中，CE、CF分别是内角和外角平分线，过点A 作CE、CF的垂线，垂足分别为E、F。

1) 证明AECF是矩形。

2) 什么条件下AECF是正方形？3.在△ABC中，D、E分别为边AB、AC的中点，将△ADE绕点D旋转180°至△BDF。

1) 证明BCEF是平行四边形。

2) 添加什么条件可以使BFEC成为一种特殊的平行四边形？4.在矩形ABCD中，AF、BE、CE、DF分别是四个角的角平分线，E、M、F、N是其交点，证明EMFN是正方形。

5.在△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，四边形BCED 为平行四边形，DE、AC相交于点F。

1) 证明F为AC中点。

2) 确定四边形ADCE的形状并说明理由。

3) 什么条件下ADCE是正方形？6.证明对角线相等的菱形是正方形。

7.在△ACD中，∠D=90°，∠D的平分线交AC于点E，EF⊥AD交AD于点F，EG⊥DC交DC于点G，证明EFDG 是正方形。

8.已知：如图，点M是矩形ABCD的边AD的中点，点P是BC边上的一动点，PE⊥CM，PF⊥___，垂足分别为E、F。

Ⅰ）当四边形PEMF为矩形时，矩形ABCD的长与宽满足什么条件？请说明理由。

Ⅱ）在（Ⅰ）中当点P运动到什么位置时，矩形PEMF变为正方形？为什么？9.如图，D是△___的边BC的中点，DE⊥AC，___⊥AB，垂足分别是E、F，且BF=CE。

1）求证：△BFD≌△CED。

2）当∠A=90°时，求证：四边形AFDE是正方形。

10.如图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，点G是BC、AE延长线的交点，AG与CD相交于点F。

北师大版数学九年级上册：1.3.2 正方形的判定同步练习(含答案)

1.3.2 正方形的判定一、选择题1.下列说法中,不正确的是()A.如果一个四边形既是矩形又是菱形,那么它一定是正方形B.有一个角是直角,且有一组邻边相等的平行四边形是正方形C.有一组邻边相等的矩形是正方形D.两条对角线垂直且相等的四边形是正方形2.如图K-8-1是一张矩形纸片ABCD,AD=10 cm,将纸片沿DE折叠,使DC落在DA上,点C的对应点为点F,若BE=6 cm,则CD的长为()图K-8-1A.4 cmB.6 cmC.8 cmD.10 cm3.如图K-8-2,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且BE=BF.添加下列一个条件,仍不能证明四边形BECF为正方形的是()图K-8-2A.BC=ACB.CF⊥BFC.BD=DFD.AC=BF4.我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形.已知四边形ABCD的中点四边形是正方形,关于其对角线AC与BD的关系,下列说法正确的是()A.AC,BD相等且互相平分B.AC,BD垂直且互相平分C.AC,BD相等且互相垂直D.AC,BD垂直且平分对角5.如图K-8-3,正方形ABCD的边长为8,在各边上顺次截取AE=BF=CG=DH=5,则四边形EFGH的面积是()图K-8-3A.30B.34C.36D.40二、填空题6.矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,请你添加一个适当的条件:,使其成为正方形.(只填一个即可)7.如图K-8-4,在四边形ABCD中,∠ADC=∠ABC=90°,AD=CD,DP⊥AB于点P.若四边形ABCD 的面积是18,则DP的长是.图K-8-48.在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,要使四边形ABCD是正方形,还需添加一组条件.下面给出了四组条件:①AB⊥AD,且AB=AD;②AB=BD,且AB⊥BD;③OB=OC,且OB⊥OC;④AB=AD,且AC=BD.其中正确的序号是.9.将五个边长都为4 cm的正方形按如图K-8-5所示摆放,点A,B,C,D分别是四个正方形的中心,则图中四块阴影面积的和为cm2.图K-8-5三、解答题10.如图K-8-6,等边三角形AEF的顶点E,F分别在矩形ABCD的边BC,CD上,且∠CEF=45°.求证:矩形ABCD是正方形.图K-8-611.已知:如图K-8-7,在▱ABCD中,O是CD的中点,连接AO并延长,交BC的延长线于点E.(1)求证:△AOD≌△EOC;(2)连接AC,DE,当∠B=∠AEB=45°时,四边形ACED是正方形吗?请说明理由.图K-8-712.如图K-8-8,D是线段AB的中点,C是线段AB的垂直平分线上的一点,DE⊥AC于点E,DF⊥BC于点F.(1)求证:DE=DF;(2)当CD与AB满足怎样的数量关系时,四边形CEDF为正方形?请说明理由.图K-8-813.如图K-8-9,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点C的直线MN∥AB,D为AB边上一点,过点D 作DE⊥BC,交直线MN于点E,垂足为F,连接CD,BE.(1)求证:CE=AD;(2)当D是AB的中点时,四边形BECD是什么特殊四边形?请说明理由;(3)若D是AB的中点,则当∠A的度数为多少时,四边形BECD是正方形?请说明理由.图K-8-9参考答案1.D2.A3.D[解析] ∵EF垂直平分BC,∴BE=EC,BF=CF.∵BF=BE,∴BE=EC=CF=BF,∴四边形BECF是菱形.若BC=AC,∵∠ACB=90°,∴∠A=∠EBC=45°,∴∠EBF=2∠EBC=2×45°=90°,∴菱形BECF为正方形.故A项能证明四边形BECF为正方形,不符合题意.若CF⊥BF,则∠BFC=90°,∴菱形BECF是正方形,故B项能证明四边形BECF为正方形,不符合题意.若BD=DF,则能得到BC=EF,则菱形BECF是正方形,故C项能证明四边形BECF为正方形,不符合题意.若AC=BF,无法得出菱形BECF是正方形,故选项D符合题意.故选D.4.C5.B[解析] ∵四边形ABCD是正方形,∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=BC=CD=DA.∵AE=BF=CG=DH,∴AH=BE=CF=DG.在△AEH,△BFE,△CGF和△DHG中,∵AE=BF=CG=DH,∠A=∠B=∠C=∠D,AH=BE=CF=DG,∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG,∴EH=FE=GF=HG,∠AEH=∠BFE,∴四边形EFGH是菱形.∵∠BEF+∠BFE=90°,∴∠BEF+∠AEH=90°,∴∠HEF=90°,∴四边形EFGH是正方形.∵AB=BC=CD=DA=8,AE=BF=CG=DH=5,∴AH=BE=CF=DG=3,∴EH=FE=GF=HG=√52+32=√34,∴四边形EFGH的面积是√34×√34=34.故选B.6.AB=BC(答案不唯一)7.3√2[解析] 如图,过点D作DE⊥BE交BC的延长线于点E.∵∠ABC=90°,DP⊥AB,∴四边形DPBE是矩形,∴∠PDE=90°,∴∠CDE+∠CDP=90°.∵∠ADC=90°,∴∠ADP+∠CDP=90°,∴∠ADP=∠CDE.∵DP⊥AB,DE⊥BE,∴∠APD=∠E=90°.又∵AD=CD,∴△ADP≌△CDE(AAS),∴DE=DP,四边形ABCD的面积=四边形DPBE的面积=18,∴矩形DPBE是正方形,∴DP=√18=3√2.故答案为3√2.8.①③④9.16[解析] 如图,连接AB,AF.由题意得AB=AF,∠ABE=∠AFG=45°,∠BAF=90°.∵∠EAG=∠BAF=90°,∴∠BAE=∠F AG.∴△ABE≌△AFG(ASA),∴S△ABE=S△AFG,S正方形,则S四边形AEBG=S△ABF=14∴S阴影=4×1S正方形=16(cm2).故答案为16.410.证明:∵四边形ABCD是矩形,∴∠B=∠D=∠C=90°.∵△AEF是等边三角形,∴AE=AF,∠AEF=∠AFE=60°.∵∠CEF=45°,∴∠CFE=∠CEF=45°,∴∠AFD=180°-45°-60°=∠AEB,∴△AEB≌△AFD(AAS),则AB=AD,∴矩形ABCD是正方形.11.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠ADO=∠ECO,∠DAO=∠CEO.∵O是CD的中点,∴OD=OC,∴△AOD≌△EOC(AAS).(2)四边形ACED是正方形.理由如下:∵△AOD≌△EOC,∴OA=OE.又∵OC=OD,∴四边形ACED是平行四边形.∵∠B=∠AEB=45°,∴AB=AE,∠BAE=90°.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD,∴∠COE=∠BAE=90°.∴▱ACED是菱形.∵AB=AE,AB=CD,∴AE=CD,∴菱形ACED是正方形.12.解:(1)证明:∵CD垂直平分AB,∴AC=BC,∴△ABC是等腰三角形.∵CD⊥AB,∴∠ACD=∠BCD.又∵DE⊥AC,DF⊥BC,∴DE=DF.(2)当AB=2CD时,四边形CEDF为正方形.理由如下: ∵AD=BD,AB=2CD,∴AD=BD=CD,∴∠ACD=∠BCD=45°,∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°.又∵∠DEC=∠DFC=90°,∴四边形CEDF是矩形.又∵DE=DF,∴四边形CEDF是正方形.13.解:(1)证明:∵DE⊥BC,∴∠DFB=90°.又∵∠ACB=90°,∴∠ACB=∠DFB,∴AC∥DE.又∵MN∥AB,即CE∥AD,∴四边形ADEC是平行四边形,∴CE=AD.(2)当D是AB的中点时,四边形BECD是菱形.理由:∵D是AB的中点,∴AD=BD.∵CE=AD,∴BD=CE.又∵BD∥CE,∴四边形BECD是平行四边形.∵∠ACB=90°,D是AB的中点,∴CD=BD,∴四边形BECD是菱形.(3)若D是AB的中点,则当∠A=45°时,四边形BECD是正方形.理由:∵∠ACB=90°,∠A=45°,∴∠ABC=∠A=45°.由(2),知当D是AB的中点时,四边形BECD是菱形,∴∠EBD=2∠ABC=90°,∴四边形BECD是正方形.。

北师大版九年级数学上1.3 第2课时正方形的判定同步练习(含答案)

第2课时正方形的判定1．下列说法不正确的是()A．一组邻边相等的矩形是正方形B．对角线相等的菱形是正方形C．对角线互相垂直的矩形是正方形D．有一个角是直角的平行四边形是正方形2．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD.其中正确的序号是________．3．如图14，在△ABC中，O是AC上一动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA 的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，若点O运动到AC的中点，且∠ACB＝()时，则四边形AECF是正方形．图14A．30°B．45°C．60°D．90°4．已知四边形ABCD各边的中点分别是E，F，G，H，如果四边形ABCD满足____________________，那么四边形EFGH是正方形．5．如图15，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC 交BE的延长线于点F，连接CF.(1)求证：AD＝AF；(2)如果AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．图156．如图16，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD＝CD，E是边AC的中点，连接DE，DE的延长线与边BC相交于点F，AG∥BC，交DE于点G，连接AF，CG.(1)求证：AF＝BF；(2)如果AB＝AC，求证：四边形AFCG是正方形．图167．⑥如图17，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF为直角三角形，∠AEB＝∠CFD＝90°，AE＝CF＝5，BE＝DF＝12，则EF的长是()图17A．7 B．8 C．7 2 D．7 38．2017·宜昌如图18，正方形ABCD的边长为1，O是BC边上的一个动点(与B，C不重合)，以O为顶点在BC所在直线的上方作∠MON＝90°.(1)当OM经过点A时，请直接填空：ON________(填“可能”或“不可能”)过点D；(图①仅供分析)(2)如图②，在ON上截取OE＝OA，过点E作EF垂直于直线BC，垂足为F，作EH⊥CD 于点H，求证：四边形EFCH为正方形．图189．如图19，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D是AB的中点，E，F分别是AC，BC上的点(点E不与端点A，C重合)，且AE＝CF，连接EF并取EF的中点O，连接DO并延长至点G，使GO＝OD，连接DE，DF，GE，GF.(1)求证：四边形EDFG是正方形；(2)当点E在什么位置时，四边形EDFG的面积最小？并求出四边形EDFG面积的最小值．图1910.矩形的四个内角平分线围成的四边形是()A．正方形B．矩形C．菱形D．一般平行四边形11．如图0，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于点P.若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是________．图012．如图1，E是矩形ABCD的边BC的中点，P是边AD上的一动点，PF⊥AE，PH⊥DE，垂足分别为F，H.(1)当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PHEF是矩形？并证明；(2)在(1)的条件下，动点P运动到什么位置时，矩形PHEF变为正方形？为什么？图113．如图2，AC，BD是正方形ABCD的对角线，将△DCB绕点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG.(1)求证：△AED≌△GED；(2)求证：四边形AEGF是菱形；(3)若AC＝1，求BC＋FG的值．图214．如图3①，△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，在线段AB上截取AE＝AC，过点E作EF∥BC交AD于点F.连接DE，DF.(1)试判断四边形CDEF是何种特殊的四边形．(2)当AB＞AC，∠ABC＝20°时，四边形CDEF能是正方形吗？如果能，求出此时∠BAC 的度数；如果不能，请说明理由．(3)若AD平分∠BAC的外角交直线BC于点D，在直线AB上截取AE＝AC，过点E作EF∥BC交直线AD于点F，如图②”，设∠ABC＝x，其他条件不变，四边形CDEF能是正方形吗？如果能，求出此时∠BAC关于x的关系式；如果不能，试说明理由．图3参考答案1．D 2．①③④ 3．D.4．对角线互相垂直且相等 5．解：(1)证明：∵AF ∥BC ， ∴∠EAF ＝∠EDB . ∵E 是AD 的中点， ∴AE ＝DE .在△AEF 和△DEB 中，∠EAF ＝∠EDB ，AE ＝DE ，∠AEF ＝∠DEB ， ∴△AEF ≌△DEB (ASA)， ∴AF ＝BD .∵在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是中线， ∴AD ＝BD ＝DC ＝12BC ，∴AD ＝AF .(2)四边形ADCF 是正方形．证明：∵AF ＝BD ＝DC ，AF ∥BC ， ∴四边形ADCF 是平行四边形． ∵AB ＝AC ，AD 是中线， ∴AD ⊥BC . 又∵AD ＝AF ，∴四边形ADCF 是正方形．6．证明：(1)∵AD ＝CD ，E 是边AC 的中点， ∴DE ⊥AC ，∴DE 是线段AC 的垂直平分线，∴AF ＝CF ，∴∠F AC ＝∠ACB .在Rt △ABC 中，由∠BAC ＝90°，得∠B ＋∠ACB ＝90°，∠F AC ＋∠BAF ＝90°，∴∠B＝∠BAF，∴AF＝BF.(2)∵AG∥CF，∴∠AGE＝∠CFE.又∵E是边AC的中点，∴AE＝CE.在△AEG和△CEF中，∠AGE＝∠CFE，∠AEG＝∠CEF，AE＝CE，∴△AEG≌△CEF(AAS)，∴AG＝CF.又∵AG∥CF，∴四边形AFCG是平行四边形．又∵AF＝CF，∴四边形AFCG是菱形．在Rt△ABC中，由AF＝CF，AF＝BF，得BF＝CF，即F是边BC的中点．又∵AB＝AC，∴AF⊥BC，即∠AFC＝90°，∴四边形AFCG是正方形．7．C8．解：(1)不可能．理由如下：若ON过点D，则OA＞AB，OD＞CD，∴OA2＞AD2，OD2＞AD2，∴OA2＋OD2＞2AD2≠AD2，∴∠AOD≠90°，这与∠MON＝90°矛盾，∴ON不可能过点D，故答案为：不可能．(2)证明：∵EH⊥CD，EF⊥BC，∴∠EHC＝∠EFC＝90°.又∠HCF＝90°，∴四边形EFCH为矩形．∵∠MON＝90°，∴∠EOF＝90°－∠AOB.在正方形ABCD中，∠BAO＝90°－∠AOB，∴∠EOF＝∠BAO.在△OFE和△ABO中，∠EOF＝∠BAO，∠EFO＝∠B，OE＝AO，∴△OFE≌△ABO(AAS)，∴EF＝OB，OF＝AB.又OF＝CF＋OC，AB＝BC＝BO＋OC，∴CF ＝BO ＝EF ，∴四边形EFCH 为正方形． 9．解：(1)证明：连接CD ，如图①所示．∵△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，∴∠A ＝∠DCF ＝45°，AD ＝CD .在△ADE 和△CDF 中，AE ＝CF ，∠A ＝∠DCF ，AD ＝CD ， ∴△ADE ≌△CDF (SAS)， ∴DE ＝DF ，∠ADE ＝∠CDF .∵∠ADE ＋∠EDC ＝90°，∴∠EDC ＋∠CDF ＝∠EDF ＝90°，∴△EDF 为等腰直角三角形．∵O 为EF 的中点，GO ＝OD ，∴GD ⊥EF ，且GD ＝2OD ＝EF ，∴四边形EDFG 是正方形．(2)过点D 作DE ′⊥AC 于点E ′，如图②所示．∵△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝4，∴DE ′＝12BC ＝2，AB ＝42，点E ′为AC 的中点，∴2≤DE ＜22(点E 与点E ′重合时取等号)，∴4≤S 四边形EDFG ＝DE 2＜8.∴当点E 为线段AC 的中点时，四边形EDFG 的面积最小，该最小值为4. 10．A 11．3212．解：(1)当矩形ABCD 的长是宽的2倍时，四边形PHEF 是矩形．证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ＝BC ，AB ＝CD . ∵E 是BC 的中点，∴AB ＝BE ＝EC ＝CD ，则△ABE ，△DCE 均是等腰直角三角形， ∴∠AEB ＝∠DEC ＝45°， ∴∠AED ＝90°.在四边形PHEF 中，∵∠PFE ＝∠FEH ＝∠EHP ＝90°， ∴四边形PHEF 是矩形．(2)当点P 是AD 的中点时，矩形PHEF 变为正方形．理由如下：由(1)可得∠BAE ＝∠CDE ＝45°， ∴∠F AP ＝∠HDP ＝45°.又∵∠AFP ＝∠DHP ＝90°，AP ＝DP ， ∴Rt △AFP ≌Rt △DHP ， ∴PF ＝PH ，∴矩形PHEF 是正方形．13．解：(1)证明：由旋转可知DG ＝DC ，∠DGH ＝∠DCB ＝90°. ∵AD ＝CD ，∴AD ＝DG .又∵ED ＝ED ，∴Rt △AED ≌Rt △GED (HL)． (2)证明：由(1)知△AED ≌△GED ，∴AE ＝EG ，∠ADE ＝∠GDE ＝12∠BDA ＝22.5°，∴∠CDF ＝67.5°，∠CFD ＝67.5°， ∴∠CDF ＝∠CFD ，∴CF ＝CD . 又∵AC ＝BD ，CD ＝DG ， ∴AF ＝BG ＝EG .由旋转知∠H ＝∠DBC ＝45°. 又∵∠DAC ＝45°， ∴AF ∥EG ，∴四边形AEGF 是平行四边形．又∵AE ＝EG ，∴▱AEGF 是菱形．(3)由(2)知四边形AEGF 是菱形，∴AF ＝FG . 由(2)知CF ＝CD ，∴BC ＝CF ， ∴BC ＋FG ＝CF ＋AF ＝AC ＝1.。

2022年北师大版九上《正方形的判定》同步练习(附答案)

第一章特殊平行四边形1 . 3.2 正方形的性质与判定〔二〕【根底练习】一、填空题：1. 在正方形ABCD 的AB 边的延长线上取一点E ，使BE = BD ，连接DE 交BC 于F ，那么∠BFD = °；2. ：四边形 ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O . ①假设OA = OB ，且OA ⊥OB ，那么四边形ABCD 是，②假设AB = BC ，且AC = BD ，那么四边形ABCD 是；3. 正方形边长为a ，假设以此正方形的对角线为一边作正方形，那么所作正方形的对角线长为 . 二、选择题：1. 四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于O ，以下条件中，能判定这个四边形是正方形的是〔〕；A. AO = BO = CO = DO ，AC ⊥BDB. AB ∥CD ，AC = BDC. AD ∥BC ，∠A =∠CD. AO = CO ，BO = C O ，AB = BC2. 四边形ABCD 的对角线AC = BD ，且AC ⊥BD ，分别过A 、B 、C 、D 作对角线的平行线，那么所构成的四边形是〔〕.A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 正方形三、解答题：1. ：如右图，△ABC 中，∠BAC = 90°，分别以AB 、BC 为边作正方形 ABDE 和正方形BCFG ，延长DC 、GA 交于点P . 求证：PD ⊥PG .DC BA图3-19GE P F2．如右图，在△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ．〔1〕求证：DE=DF ．〔2〕只添加一个条件，使四边形EDFA 是正方形，•请你至少写出两种不同的添加方法．〔不另外添加辅助线，无需证明〕【综合练习】：如右图，正方形ABCD 中，AE ∥BD ，BE = BD ，BE 交AD 于F . 求证：DE = DF .DCBA图3-20E F【探究练习】如右图，要把边长为1的正方形ABCD 的四个角〔阴影局部〕剪掉，得一四边形A 1B 1C 1D 1，试问怎样剪，才能使剩下的图形仍为正方形，且剩以下图形的面积为原正方形面积的59，请说明理由.11BA1A 图3-21参考答案【根底练习】一、； 2. 正方形，正方形； 3. 2a . 二、1. A ； 2. D.三、1.提示：证△ABG ≌△DBC .2．〔1〕提示：证△DEB ≌△DFC ，〔2〕∠A=900167，四边形AFDE 是平行四边形等〔方法很多〕【综合练习】提示：先证∠DBE = 30°.【探究练习】提示：AA 1 = BB 1 = CC 1 = DD 1 = 13〔或= 23〕.4 相似多边形一、选择题1.△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比是2∶3，那么△A ′B ′C ′与△ABC 面积的比是 ( ) ∶∶4 ∶∶22.将一个五边形改成与它相似的五边形，如果面积扩大为原来的9倍，那么周长扩大为原来的 ( )倍倍倍倍3.在△ABC 中，DE ∥BC ，交AB 于D ，交AC 于E ，且AD ∶DB =1∶2，那么以下结论正确的选项是( )A. BC DE =21B. BC DE =31C. 的周长的周长ABC ADE ∆∆=21D. ABC ADE S S ∆∆=314.如图1，ABCD 中，AE ∶ED =1∶2，S △AEF =6 cm 2，那么S △CBF 等于( )图1 A.12 cm 2B.24 cm 2C. 54 cm 2D.15 cm 25.以下说法中正确的选项是( ) A.位似图形可以通过平移而相互得到 B.位似图形的对应边平行且相等 C.位似图形的位似中心不只有一个D.位似中心到对应点的距离之比都相等二、填空题6.△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比是3∶4，△ABC 的周长是27 cm ，那么△A ′B ′C ′的周长为________.7.两个相似多边形对应边的比为3∶2，小多边形的面积为32 cm 2，那么大多边形的面积为________. 8.假设两个三角形相似，且它们的最大边分别为6 cm 和8 cm ，它们的周长之和为35 cm ，那么较小的三角形的周长为________.9.在矩形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，如果矩形ABCD ∽矩形BCFE ，那么AD ∶AB =________，相似比是________，面积比是________.10.，如图2，A ′B ′∥AB ，B ′C ′∥BC ，且OA ′∶A ′A =4∶3，那么△ABC 与________是位似图形，位似比为________；△OAB 与________是位似图形，位似比为________.图2三、解答题11.在比例尺为1∶50000的地图上，一块多边形地区的周长是72 cm，多边形的两个顶点A、B之间的距离是25 cm，求这个地区的实际边界长和A、B两地之间的实际距离.12.如图3，梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD交于E，假设S△DCE∶S△DCB=1∶3，求S△DCE∶S△ABD.图313.：△ABC∽△A′B′C′，它们的周长之差为20，面积比为4∶1，求△ABC和△A′B′C′的周长.14.选取一个你喜欢的图形，然后将此图形放大，使放大后的图形的面积是原图形面积的4倍.参考答案一、二、6.36 cm7.72 cm28.15 cm9.2∶2 2∶1 2∶110.△A′B′C′ 7∶4 △OA′B′ 7∶4三、千米千米∶613.40 2014.略。

四边形学案13-正方形的性质与判定同步练习12

1四边形学案13-正方形的性质与判定同步练习12第33题. 如图所示，在正方形ABCD 中，P 是AD 边上一点，PH AC ⊥，垂足为H ， HC CD =，求HPC ∠的度数．第34题. 如图所示，在正方形ABCD 中，点E F 、分别是AD BC 、的中点，（1）ABE △和CDF △全等吗为什么（2）四边形BFDE 是平行四边形吗说明理由．第42题. 如图，正方形ABCD 中，45EAF ∠=，那么EF 和DF BE +是否相等请说明理由．第44题. 在边长为a 的正方形内取一点，使这点到一边的两端点和到此边的对边的距离相等．则这一距离为．第45题. M N 、分别是正方形ABCD 的边BC CD 、上的一点，且CMN △的周长是正方形周长的一半，MAN ∠= ．第46题. 如图，O 是正方形ABCD 对角线的交点，Q 是DC 上任意一点，过点D 作DF AQ ⊥交BC 于点P ，求证：OPQ △是等腰直角三角形．第49题. 如图，正方形纸片ABCD 边BC 上有一点E ，8AE =，若把纸片对折，使点A 与点E 重合，则纸片折痕长为．ＡＤＣＥＢＡＤＣＰＢＯＡＢＥＣＦＤＡＢＣＤＨ P ＡＥＤＣＦＢ1第50题. 如图，正方形ABCD 的边长为a AM BD ，∥且DM DB =，则AM = ．第51题. 在正方形ABCD 中，如图所示，BF AC ∥，四边形AEFC 是菱形，求ACF ∠．第52题. 如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，点M N 、在OB 和OC 上，且MN BC ∥，连结DN MC 、．请说明：DN MC ⊥且DN MC =．第53题. 如图，M 为ABC △的中线，ABDE ACFG 、均为正方形．请说明：12AM EG =．第54题. 如图所示，在正方形ABCD 中，对角线AC BD 、交于点O M ，是BC 的中点，E 是BC 上任意一点，EP BD ⊥于点P ，EQ AC ⊥于点Q ．请说明：MP MQ =．ＡＤＣＢＭＦＥＢＡＤＣＡＤＣＢＯＭＥＮＤＥＧＦＣＡＭＢＡＤＣＢＭＥＱＰＯ。

人教版八年级下册数学《正方形的判定》同步练习(含答案)

正方形的判定一、填空题（本大题共7小题）1.如图，已知P 是正方形ABCD 内的一点，且ABP ∆为等边三角形，那么DCP ∠=2.如图，四边形ABCD 为正方形，以AB 为边向正方形外作正方形ABE ，CE 与BD相交于点F ，则AFD ∠=3.知正方形BDEF 的边长是正方形ABCD 的对角线，则:BDEF ABCD S S =正方形正方形4.如图，正方形ABCD 中，O 是对角线AC BD ，的交点，过点O 作OE OF ⊥，分别交AB CD ，于E F ，，若43AE CF ==，，则EF =5.如图，在正方形ABCD中，点1P P ，为正方形内的两点，且11PB PD PB AB CBP PBP ==∠=∠，，，则1BPP ∠=6.如图，已知正方形ABCD 的面积为256，点F 在CD 上，点E 在CB 的延长线上，PDCBAFEDCBAOFE DC BAP 1PDC BA且20AE AF AF ⊥=，，则BE 的长为7.如图，ABCD是边长为1的正方形，EFGH是内接于ABCD的正方形，AE a AF b ==，，若23EFGH S =，则b a -=二、解答题（本大题共10小题）8.如图所示，正方形ABCD 对角线AC 与BD 相交于O ，MN ∥AB ，且分别与AO BO 、交于M N 、．试探讨BM 与CN 之间的关系，写出你所得到的结论的证明过程．9.如图，点M 是矩形ABCD 边AD 的中点，2AB AD =，点P 是BC 边上一动点，PE MC ⊥，PF BM ⊥，垂足分别为E 、F，求点P 运动到什么位置时，四边形PEMF 为正方形．FE D CBAH GFEDCBA M N CDO B APMF EDC BA10.如图，点M N ，分别在正方形ABCD 的边BC CD ，上，已知MCN ∆的周长等于正方形ABCD 周长的一半，求MAN ∠的度数11.如图，过正方形顶点A 引AE BD ∥，且BE BD =．若BE 与AD 的延长线的交点为F ，求证DF DE =．12.如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，求证：AM AD =．13.如图，在正方形ABCD 中，E 为CD 边上的一点，F 为BC 延长线上的一点，CE CF =，30FDC ∠=︒，求BEF ∠的度数.14.如图，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 是BD 延长线上的点，且ACE ∆是等边三角形． ⑴ 求证：四边形ABCD 是菱形；⑵ 若2AED EAD ∠=∠，求证：四边形ABCD 是正方形．NMDCBAGFEBDA MFEDCBABDCAEF15.如图所示，在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90ADC ∠=︒，l 是AD 的垂直平分线，交AD 于点M ，以腰AB 为边作正方形ABFE ，作EP l ⊥于点P ，求证22EP AD CD +=.16.如图，已知四边形ABDE 、ACFG 都是△ABC 外侧的正方形，连接DF ，若M 、N分别为DF 、BC 的中点，求证：MN ⊥BC 且MN ＝12BC ．17.在正方形ABCD 的边AB 上任取一点E ，作EF ⊥AB 交BD 于点F ，如图1．（1）将图1中的△BEF 绕点B 逆时针旋转90°，取DF 的中点G ，连接EG ，CG ，如图2，则线段EG 和CG 有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想；（2）将图1中的△BEF 绕点B 逆时针旋转180°，取DF 的中点G ，连接EG ，CG ，如图3，则线段EG 和CG 有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明；OEDCBAlPM FE DC BACAFBDEGMN（3）将图1中的△BEF 绕点B 逆时针旋转任意角度，取DF 的中点G ，连接EG ，CG ，如图3，则线段EG 和CG 又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明．C ABDE F图1 C ABDEGF 图2 CAB DEG F图3CABDE GF 图4正方形的判定答案解析一、填空题1.15︒2.60︒；1809060152AFB CFB FAB FCB ︒-︒-︒∆∆∠=∠==︒≌，，故451560AFD ∠=︒+︒=︒3.2:14.55.45︒；连结PC，则45PCD PCB BCP DCP ∆∆∠=∠=︒≌，，又1PBP CBP ∆∆≌，得145BPP BCP ∠=∠=︒ 6.127.；AEF DHE AF DE ∆∆=≌，，则22123a b a b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，所以得到b a -= 二、解答题8.BM 与CN 的关系是：BM CN =且BM CN ⊥∵ABCD 是正方形，∴OA OB =∵MN ∥AB ，∴OM =ON ，∴AM BN = ∵45MAB NBC ∠=∠=，AB BC =∴ABM ∆≌BCN ∆，∴BM CN =，BCN ABM ∠=∠ ∵ABM CBM ∠+∠=90︒，∴90BCN CBM ∠+∠=︒ ∴BM CN ⊥9.当P 运动到BC 中点时，四边形PFME 为正方形∵AMB △是等腰直角三角形 ∴45ABM ∠=︒ 又∵90ABC ∠=︒∴45PBF ABC ABM ∠=∠-∠=︒ 同理可得：45PCE ∠=︒ ∴45PBF PCE ∠=∠=︒ ∴90BMC ∠=︒ ∴四边形FMEP 为矩形在PBF △和PCE △中，90PBF PCE BFP CEP PB PC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴PBF PCE △≌△ ∴PF PE =∴四边形PEMF 为正方形． 10.MN BM DN=+，延长CD至'M ，使'M D BM=，证明''ADM ABM AM N AMN ∆∆∆∆≌，≌，测得1''452MAN M AN M AM ∠=∠=∠=︒11.设正方形的边长为a ，如图所示．引BG AE ⊥于G ，则ABG ∆为等腰直角三角形．1122BG BD BE == 所以，在直角BEG ∆中，30BEG ∠=︒．由于12∠=∠，23∠=∠，所以1315∠=∠=︒．从而，在EFD ∆中，()180********F ∠=︒-∠+∠-︒=︒=∠，DE DF =．12.延长CE ，DA 交于点G可证AEG BEC △≌△及BCE CDF △≌△ 可得DM CE ⊥ ∴GA BC = ∵BC AD = ∴GA AD = ∴12AM GD =又∵12AD GD =∴AD AM =13.∵CE CF =，BC CD =，BC CD ⊥，CF CD ⊥∴BCE ∆≌DCF ∆ ∴BEC DFC ∠=∠ ∵30FDC ∠=︒ ∴60BEC DFC ∠=∠=︒ ∵CF CD ⊥，CE CF = ∴45CEF ∠=︒ ∴105BEF ∠=︒14.⑴ ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO CO =．又∵ACE ∆是等边三角形，∴EO AC ⊥，即DB AC ⊥． ∴平行四边形ABCD 是菱形．⑵ ∵ACE ∆是等边三角形，∴60AEC ∠=︒． ∵EO AC ⊥，∴1302AEO AEC ∠=∠=︒．∵2AED EAD ∠=∠，∴15EAD ∠=︒．∴45ADO EAD AED ∠=∠+∠=︒．四边形ABCD 是菱形，∴290ADC ADO ∠=∠=︒ ∴四边形ABCD 是正方形．15.虑到将AM 、EP 集中到一条线段上，然后将CD 也平移过来.我们将视线集中在正方形ABFE 之中，通过ABG EHA ∆∆≌可以得证.过A 点作BC 的垂线，过P 作AG 的垂线，垂足分别为G 、H ，则有HGPN 为矩形，90BAG EAH AEH ∠=︒-∠=∠．90ABG BAG EAH ∠=∠︒-∠=∠．又因为AB AE =，所以ABG EHA ∆∆≌．所以2222EP AD HR AG CD +===GMFEDCBA16.分别过点D 、A 、F 作直线BC 的垂线，垂足分别为P 、R 、Q∵四边形ABDE 为正方形，∴AB ＝BD ，∠ABD ＝90° ∴∠DBP ＝∠BAR ，∴Rt △DPB ≌Rt △BAR ∴DP ＝BR ，PB ＝AR ，同理CQ ＝AR ，CR ＝FQ ∴PB ＝CQ又N 为BC 的中点，∴BN ＝NC ∴PB ＋BN ＝CQ ＋NC ，即PN ＝QN在直角梯形DPQF 中，M 为DF 的中点，N 为PQ 的中点 ∴MN ∥DP ，MN＝1 2 ( DP ＋FQ )＝ 1 2 ( BR ＋CR )＝ 1 2BC 又DP ⊥BC ，∴MN ⊥BC 即：MN ⊥BC 且MN ＝ 12BC17.（1）EG ＝CG ，EG ⊥CG（2）EG ＝CG ，EG ⊥CG证明：如图3，延长FE 交DC 延长线于H ，连接GH ∵∠AEH ＝90°，∠EBC ＝90°，∠BCH ＝90° ∴四边形BEHC 是矩形，∴BE ＝CH ，∠EHC ＝90° 又∵BE ＝EF ，∴EF ＝CH∵∠EHC ＝90°，FG ＝DG ，∴HG ＝ 12DF ＝FG ∵BC ＝EH ，BC ＝CD ，∴EH ＝CD ∵EF ＝CH ，∴FH ＝DH ，∴∠F ＝45°C ABDEGF 图2H又FG＝DG，∴∠CHG ＝12∠EHC＝45°∴∠F＝∠CHG，∴△EFG≌△CHG∴EG＝CG，∠EGF＝∠CGH∵∠FHC＝90°，FH＝DH，FG＝DG，∴HG⊥DF∴∠EGF＋∠EGH＝90°∴∠CGH＋∠EGH＝90°，即∠EGC＝90°∴EG⊥CG（3）EG＝C G，EG⊥CG证明：如图4，延长CG至H，使GH＝CG，连接HF、HE、EC ∵GF＝GD，∠HGF＝∠CGD，GH＝GC，∴△HFG≌△CDG∴HF＝CD，∠GHF＝∠GCD，∴HF∥CD∵正方形ABCD，∴HF＝BC，HF⊥BC∵△BEF是等腰直角三角形，∴EF＝BE，EF⊥BE∴∠HFE＝∠CBE，∴△HFE≌△CBE∴EH＝EC，∠FEH＝∠BEC，∴∠HEC＝∠BEF＝90°∴△ECH为等腰直角三角形又∵GH＝GC∴EG＝CG，EG⊥CGCABD EGF图4HCABDEGF图3H。

北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形《正方形的性质与判定》同步练习(解析版) (3)

正方形的性质与判定同步练习（典型题汇总）一.选择题1. 在正方形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别任意取点E、F、G、H．这样得到的四边形EFGH中，是正方形的有（）A．1个B．2个C．4个D．无穷多个2. 将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变．当∠B=90°时（如图甲），测得对角线BD的长为．当∠B=60°时（如图乙），则对角线BD的长为（）A．B．C．2 D．3. 如图，正方形ABCD的边长为2，点E在AB边上．四边形EFGB也为正方形，设△AFC的面积为S，则( )A．S＝2 B．S＝2.4 C．S＝4 D．S与BE长度有关4. 如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（）A．3 B．4 C．5 D．65. 如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+ S2的值为( )A．16 B．17 C．18 D．196. 如图，四边形ABCD中，AD＝DC，∠ADC＝∠ABC＝90°，DE⊥AB，若四边形ABCD面积为16，则DE的长为（）A．3 B．2 C．4 D．8二.填空题7. 延长正方形ABCD的BC边至点E，使CE＝AC，连结AE，交CD于F，那么∠AFC的度数为______，若BC＝4cm，则△ACE的面积等于______．8. 在正方形ABCD中，E为BC上一点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为F、G，如果AB=cm，那么EF＋EG的长为______．9. 已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D，E，F分别是垂足，且BC＝8 cm，CA＝6 cm，则点O到三边AB，AC和BC的距离分别等于______ cm．10. 如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点B、D作DE⊥a于点E、BF⊥a于点F，若DE＝4，BF＝3，则EF的长为_____.11. 如图，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为50cm2，则菱形的边长为cm．12. 如图所示，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以AE为边作第三个正方形AEGM，…已知正方形ABCD的面积S1=1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S2，S3，…S n（n为正整数），那么第8个正方形面积S8=．三.解答题13. 如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系xOy中，O是原点，若点A的坐标为（1，），则点C的坐标？14. 如图，点E是正方形ABCD内一点，△CDE是等边三角形，连结EB、EA，延长BE交边AD于点F．（1）求证：△ADE≌△BCE；（2）求∠AFB的度数．15. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连结DP交AC于点Q．(1)试证明：无论点P运动到AB上何处时，都有△ADQ≌△ABQ；(2)当点P在AB上运动到什么位置时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的；(3)若点P从点A运动到点B，再继续在BC上运动到点C，在整个运动过程中，当点P运动到什么位置时，△ADQ恰为等腰三角形．参考答案一.选择题1.【答案】D；【解析】在正方形四边上任意取点E、F、G、H，AH＝DG＝CF＝BE，能证明四边形EFGH 为正方形，则说明可以得到无穷个正方形．2.【答案】B；【解析】解：如图甲，∵AB=BC=CD=DA，∠B=90°，∴四边形ABCD是正方形，连接BD，则AB2+AD2=BD2，∴AB=AD=1，如图乙，∠B=60°，连接BD，∴△ABD为等腰三角形，∴AB=AD=1，∴BD=故选B．3. 【答案】A；4.【答案】B【解析】由题意设CH=xcm，则DH=EH=（9﹣x）cm，∵BE：EC=2：1，∴CE=BC=3cm∴在Rt△ECH中，EH2=EC2+CH2，即（9﹣x）2=32+x2，解得：x=4，即CH=4cm．5.【答案】B；6.【答案】C；【解析】如图，过点D作BC的垂线，交BC的延长线于F，利用互余关系可得∠A＝∠FCD，又∠AED＝∠F＝90°，AD＝DC，利用AAS可以判断△ADE≌△CDF，∴DE＝DF，S四边形ABCD＝S正方形DEBF＝16，DE＝4．二.填空题7．【答案】112.5°，8cm2；8．【答案】5cm；【解析】AC＝BD＝10，EF＋EG＝5.9．【答案】2；10.【答案】7；【解析】因为ABCD是正方形，所以AB＝AD，∠B＝∠A＝90°，则有∠ABF＝∠DAE，又因为DE⊥、BF⊥，根据AAS易证△AFB≌△AED，所以AF＝DE＝4，BF＝AE＝3，则EF的长＝7．11.【答案】13.【解析】因为正方形AECF的面积为50cm2，所以AC=cm，因为菱形ABCD的面积为120cm2，所以BD=cm，所以菱形的边长=cm．故答案为：13．12.【答案】128；【解析】根据题意可得：第n个正方形的边长是第（n﹣1）个的倍；故面积是第（n ﹣1）个的2倍，已知第一个面积为1；则那么第8个正方形面积S8=27=128．故答案为128．三.解答题13.【解析】解：作AD⊥轴于D，作CE⊥x轴于E，如图所示：则∠ADO=∠OEC=90°，∴∠1+∠2=90°，∵点A的坐标为（1，），∴OD=1，AD=，∵四边形OABC是正方形，∴∠AOC=90°，OC=AO，∴∠1+∠3=90°，∴∠3=∠2，在△OCE和△AOD中，，∴△OCE≌△AOD（AAS），∴OE=AD=，CE=OD=1，∴点C的坐标为（﹣，1）.14.【解析】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝B C．∵△CDE是等边三角形，∴∠CDE＝∠DCE＝60°，DE＝CE．∴∠ADE＝∠BCE＝30°．∵AD＝BC，∠ADE＝∠BCE，DE＝CE，∴△ADE≌△BCE．（2）∵△ADE≌△BCE，∴AE＝BE，∴∠BAE＝∠ABE．∵∠BAE＋∠DAE＝90°，∠ABE＋∠AFB＝90°，∠BAE＝∠ABE，∴∠DAE＝∠AF B．∵AD＝CD＝DE，∴∠DAE＝∠DE A．∵∠ADE＝30°，∴∠DAE＝75°，∴∠AFB＝75°．15．【解析】（1）在正方形ABCD中，无论点P运动到AB上何处时，都有∴△ADQ≌△ABQ；（2）△ADQ的面积恰好是正方形ABCD面积的时，过点Q作QE⊥AD于E，QF⊥AB于F，则QE=QF∴由△DEQ∽△DAP得解得∴时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的；（3）若△ADQ是等腰三角形，则有QD=QA或DA=DQ或AQ=AD ①当点P运动到与点B重合时，由四边形ABCD是正方形知QD=QA 此时△ADQ是等腰三角形；②当点P与点C重合时，点Q与点C也重合，此时DA=DQ，△ADQ是等腰三角形；③如图，设点P在BC边上运动到CP=x时，有AD=AQ∵∴又∵，∴∴∵∴即当时，△ADQ是等腰三角形。

小学数学人教新版三年级上册：7.1《四边形》同步练习及答案

小学数学人教新版三年级上册实用资料
7.1 四边形
1.在四边形的下面画√。

2.判断。

（1）由四条线段围成的图形，不是长方形，一定就是正方形。

（）（2）长和宽相等的长方形就变成了正方形。

（）
（3）长方形、正方形都是四边形。

（）
3.在方格纸上画一个长8厘米、宽6厘米的长方形和一个边长是4厘米的正方形。

(每个小方格的边长为1厘米)
4.算一算。

下图是一个长方形，长10厘米，宽6厘米，如果剪下一个最大的正方形，正方形的边长是（）厘米，剩下一个（）形，小长方形的长是（）厘米，宽是（）厘米。

5.
有（）个长方形有（）个长方形答案：
1.
2. （1）×（2）√（3）√
3.
4. 6 长方形 6 4
5. 3 9。

四边形学案12-正方形的判定同步练习02

AAA C（第1题）（第3题）（第4题）四边形学案12-正方形的判定同步练习021、如图，等边三角形EBC 在正方形ABCD 内，连接DE ，则∠CDE ＝ °．2、在正方形ABCD 中，AC 、BD 交于点O ，OE ⊥BC 于点E ，若OE ＝2cm ，则正方形ABCD 的面积为 cm 2．3、如图，点E 在正方形ABCD 的边BC 的延长线上，如果BE=BD ，那么∠E ＝ °．4、如图，E 是在正方形ABCD 的延长线上一点，且CE=AC ．则∠E= ．5、正方形ABCD 中，AB=1，点P 是对角线AC 上的一点，分别以AP 、PC 为对角线作正方形，则两个小正方形的周长的和是_________。

6、如图,正方形ABCD 中,∠DAF=25°,AF 交对角线BD 于E,交CD 于F, 则∠BEC= 度.7、如图：正方形ABCD 中，AC=10，P 是AB 上任意一点，PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BD 于F ，则PE+PF= 。

可以用一句话概括：正方形边上的任意一点到两对角线的距离之和等于。

8、如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30︒到正方形AB C D '''，图中阴影部分的面积为（）A ．12B ．3C ．13-D ．14-9、证明:对角线相等的菱形是正方形.PA_ F_C_ B_ AD 'CCBE10、请阅读如下材料。

如图，已知正方形ABCD 的对角线AC 、BD 于点O ，E 是AC 上一点，AG ⊥BE ，垂足为G 。

求证：OE=OF 。

证明：∵四边形ABCD 是正方形。

∴∠BOE=∠AOF=90°,且OA=OE.又∵AG ⊥BE ，∴∠1+∠3＝90°＝∠2+∠3，即∠1＝∠2. ∴Rt △BOE ≌Rt △AOF,∴OE=OF 。

⑴根据你的理解，上述证明思路的核心是利用使问题得以解决，而证明过程中的关键是证出。

八下第2章四边形2-7正方形2-7-2正方形的判定习题新版湘教版

∵AC⊥BD，∴∠BOC＝90°.

∵AC＝BD，OB＝ BD，OC＝ AC，
∴OB＝OC.
∵四边形BPCO为平行四边形，
∴四边形BPCO为正方形.
利用矩形为基础判定正方形
9. [2023·德阳新考法·旋转法]将一副直角三角板DOE与AOC
叠放在一起，如图①，∠O＝90°，∠A＝30°，∠E＝45°，
【点拨】
连接AC，MN，AC交BD于点O.∵四边形
ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝
OD.∵BE＝DF，∴OE＝OF.当MN过点O时，
易证OM＝ON，∴四边形MENF为平行四边
形.∵点E，F，M，N是动点，∴存在无数个平
行四边形MENF；当MN过点O，MN＝EF时，
四边形MENF是矩形，∵点E，F，M，N是动
∴AF＝AG，∴矩形AFHG是正方形.
∴AG＝GH.
∵AG∥BC，∴∠C＝∠EDG＝45°.
∴△CHE和△DGE是等腰直角三角形.
∴DG＝EG，CH＝EH，
∴AD＝EH＝1.∴CH＝1.
由勾股定理得CE＝＋＝ .
故选A.
知识点2
在四边形或平行四边形的基础上判定正方形
3. [2023·绍兴新视角·动点探究题]如图，在平行四边形ABCD
有一个角是直角的菱形是正方形，故①正确；②由b得到一
组对边平行且相等的四边形是平行四边形，添加d得到有一
个角是直角的平行四边形是矩形，再添加c得到一组邻边相
等的矩形是正方形，故②正确；
③由a得到两组对边分别相等的四边形是平行四边形，添加b
得到一组对边平行且相等的平行四边形仍是平行四边形，再
添加c得到一组邻边相等的平行四边形是菱形，不能得到四