配方法(二)

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配方法(2) (2)

3、若n 0，运用直接开平方法得出方程的解
2 x 2x m 0 1：已知关于x的一元二次方程
有两个实数根，则m的取值范围是
3 A、m 4
B、m 0
C、m 1
D、m 1
2、试说明： x 的最小值为3。
2
6 x 12
小结
通过本节课的学习, 你有哪些收获?
谢谢大家
1 x 1 2 2 2 x x (______) 4
4
64
完全平方式的特征:
二次项系数为1且常数项等于一次项系数一半的平方
探究二
解方程：
x 2x 3 0
2
结论在方程次项系数的一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种做法叫作配方.配方、整理后就可以直接根据平方根的意义来求解了．这种解一元二次方程的方法叫作配方法．
探究三.用配方法解下列方程：
(1) x 8x 7 0
2
(2) x 2 x 2 0
2
(3) x 2x 1
2
(4) x 4 x 5 0
2
用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的基本步骤
1、配方（两边同时加上一次项系数一半的平方）；
2 2、化成（x+m） n的形式
探究一
请看下面二次三项式是否为完全平方式，并填空。
2 x 1 x 2 x 1 (______) 2
2 x 2 x 4 x 4 (______) 2
x3 2 x2 6 x 9 (______)
x4 2 x2 8x 16 (______)
1 x 1 1 2 2 x x (______) 8

4.2一元二次方程的解法——配方法2

回顾与复习 1
配方法
我们通过配成完全平方式的方法, 我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方完全平方式的方法程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法用配方法解一元二次方程的方法的平方根的意义: 平方根的意义:
助手:
如果x2=a,那么 ± a . 那么x= 如果那么
解:根题得 :根据意 10 =15t −5t2. 即 2 −3t = −2. t 2 2 3 3 2 t −3t + = −2+ . 2 2 2 1 , 球到 ; 最点答: 在s时小达 10m 至高 3 1 t − = . 后落在 s时其度为 m 下 , 2 , 高又 10 . 2 4
2
8 x + x =1. 3 2
2
5.开方根据平方根意义, 开方: 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 边开平方; 求解: 6.求解解一元一次方程; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解写出原方程的解. 定解: 7.定解:写出原方程的解.
3
用配方法解方程-3x2+4x+1=0 用配方法解方程分析：分析：对于二次项系数是负数的一元二次方程，用配方法解时，为了便于配方，二次方程，用配方法解时，为了便于配方，可把二次项系数化为1，次项系数化为，再求解 4 1 2 x − x − = 0 系数化为两边都除以-3，解：两边都除以，得系数化为1 3 3 4 1 2 移项移项，移项，得 x − x = 3 3 2 2
想一想
方程与 x 么关系？么关系？
2
5 1 − x + = 0 与方程与方程2x2-5x+2=0有什有什 2 2

1.2.2 解一元二次方程(配方法)(2)教案

主备人：张伟平核校人：刘晓亮备课时间：年月日第 1 课（章）第 2 节（单元）第 3 课时授课时间：年月日课题 1.2.2 解一元二次方程（配方法）（2）课型新授课教学目标1.会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程;2.能够熟练地、灵活地应用配方法解一元二次方程.教学重难点重点会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程;难点能够熟练地、灵活地应用配方法解一元二次方程.教具与课件多媒体板书设计教学环节教学过程复习引入:1、用直接开平方法解下列方程:（1）192=x (2) ()222=-x2、下列方程能用直接开平方法来解吗?(1) 5962=++xx（2）0462=++xx新课引入：问题1：观察下面两个是一元二次方程的联系和区别：①0862=++xx; ②03832=-+xx.问题2：用配方法来解0862=++xx想一想：怎么来解03832=-+xx.（如果二次项系数变成1，就可以用配方法来解）例题1：解下列方程()21213x x+= ；()223640.x x-+=思考1：用配方法解一元二次方程时，移项时要注意些什么？移项时需注意改变符号.思考2：用配方法解一元二次方程的一般步骤.①移项，二次项系数化为1；②左边配成完全平方式；③左边写成完全平方形式；④开平方；⑤解一次方程.规律总结：一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成()pnx=+2.①当p>0时,则x n p+=±,方程的两个根为12,x n p x n p=--=-+②当p=0时,则()02=+nx,x+n=0,开平方得方程的两个根为nxx-==21③当p<0时,则方程()pnx=+2无实数根.配方法的应用：例1：一个小球从地面上以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h (m)与时间 t (s)满足关系：2515tth-=。

小球何时能达到10m高？例2：试用配方法说明：不论k取何实数，多项式542+-kk的值必定大于零.例3：若a,b,c为△ABC的三边长，且,02558622=+-+-+-cbbaa试判断△ABC的形状.归纳总结：小结：1、把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法。

《一元二次方程的解法：配方法(第2课时)》参考教案2

第2课时用配方法解二次项系数为1的一元二次方程1．了解用配方法解一元二次方程的基本步骤，并能熟练运用配方法解二次项系数为“1”的一元二次方程．2．经历用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会“化归”的思想方法．阅读教材P32～33，完成下列问题：(一)知识探究1．在方程的左边加上一次项系数的________的________，再________这个数，使得含未知数的项在一个________里，这种做法叫作配方．配方、整理后就可以直接根据____________来求解了．这种解一元二次方程的方法叫作配方法．2．配方是为了直接运用____________，从而把一个一元二次方程转化为两个________方程来解．(二)自学反馈1．用适当的数填空：(1)x2－8x＋(______)2＝(x－______)2；(2)x2＋10x＋(______)2＝(x＋______)2.2．用配方法解下列方程：(1)x2＋2x＝7；(2)x2－5x＋14＝0.活动1 小组讨论例用配方法解下列关于x的方程：(1)x2－8x＋1＝0; (2)x2＋1＝3x.解：x1＝4＋15，解：x1＝52＋32，x 2＝4－15. x2＝－52＋32.(1)用配方法解一元二次方程时，方程左边分别为二次项和一次项，常数项放右边．(2)配方时所加常数为一次项系数的一半的平方．(3)注意：配方时一定要在方程的两边同加．活动2 跟踪训练1．把二次三项式x2＋8x＋2进行配方，正确的是( )A．(x＋8)2－1 B．(x＋4)2－14C．(x＋4)2＋18 D．(x＋2)2－162．填空：(1)x2－4x＋______＝(x－______)2；(2)x2＋6x＋______＝(x＋______)2；(3)x2－7x＋______＝(x－______)2.3．解方程x2－3x－2＝0，配方，得(x－______)2＋______＝0.4．用配方法解下列方程：(1)x2－2x＝1; (2)x2＋6x－2＝0；(3)x2＋4x＋3＝0; (4)x2＋x－1＝0.活动3 课堂小结学生试述：今天学到了什么【预习导学】知识探究1．一半平方减去完全平方式平方根的意义 2.平方根的意义一元一次自学反馈1．(1)4 4 (2)5 5 2.(1)x1＝－1＋22，x2＝－1－2 2.(2)x1＝52＋6，x2＝52－ 6.【合作探究】活动2 跟踪训练1．B 2.(1)4 2 (2)9 3 (3)49472－1744．(1)x1＝1＋2，x2＝1－ 2.(2)x1＝11－3，x2＝－11－3.1＝－1，x2＝－3.(4)x1＝－1＋52，x2＝－1－52.(3)x。

3 配方法第2课时配方法

21.2 解一元二次方程第2课时配方法置疑导入归纳导入类比导入悬念激趣李老师让学生解一元二次方程x2－6x－5＝0，同学们都束手无策，学习委员蔡亮考虑了一下，在方程两边同时加上14，再把方程左边用完全平方公式分解因式……你能按照他的想法求出这个方程的解吗？从中你能得到什么启示？[说明与建议] 说明：通过情境引入对一个陌生一元二次方程的求解方法，激起学生的学习兴趣，让学生经历用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的过程，体会其中的化归思想．建议：教学中让学生明白方程两边同时加14的目的，体会等式的性质及转化思想的应用．(1)能用直接开平方法求解的一元二次方程有什么特点？试解下列方程：①(x＋3)2＝5；②x2＋6x＋9＝1，说一说这两个方程的求解过程有何异同？(2)什么是完全平方公式？将下列各式填上适当的项，配成完全平方式．①x2＋2x＋__1__＝(x＋__1__)2；②x2－4x＋__4__＝(x－__2__)2；③x2＋__12x__＋36＝(x＋6)2；④x2＋10x＋__25__＝(x＋__5__)2.观察并思考：各式中的常数项与一次项的系数有什么关系？(3)根据方程x2＋6x＋9＝1的求解思路，你能解一元二次方程x2＋6x＋8＝0吗？[说明与建议] 说明：通过复习，使学生明确能用直接开平方法求解的方程的特点和完全平方公式的特点，继而延伸到利用配方转化，实现开平方解一元二次方程的可行性．建议：整个复习过程让学生充分参与，相互配合，教师适当引导，激发学生的学习兴趣和求知欲，为本节课的学习做好铺垫．——第7页例1解下列方程：(1) x 2－8x ＋1＝0；(2)2x 2＋1＝3x ；(3)3x 2－6x ＋4＝0.【模型建立】根据配方法的依据可知，要把一个二次三项式配成完全平方式，要先确保二次项的系数是1，在此基础上加上一次项系数一半的平方．当然，为了保证多项式的结果不变，还要在后面减去前面所加的数．【变式变形】1．将一元二次方程x 2－6x －5＝0化成(x －a)2＝b 的形式，则b 等于( D )A ．－4B ．4C ．－14D ．142．用配方法解下列方程时，配方有错误的是( B )A ．x 2－2x －99＝0化为(x －1)2＝100B ．x 2＋8x ＋9＝0化为(x ＋4)2＝25C ．2t 2－7t －4＝0化为(t －74)2＝8116D ．3y 2－4y －2＝0化为(y －23)2＝1093．解方程：(1)x 2＋8x ＝9；(2)6x 2＋7x －3＝0；(3)x 2－6x ＋1＝－3.4．[答案：(1)x 1＝1，x 2＝－9 (2)x 1＝13，x 2＝－32(3)x 1＝3＋5，x 2＝3－5][命题角度1] 配方根据完全平方式的结构特点，当二次项系数为1时，只需加上一次项系数一半的平方，就能将一个二次三项式或一元二次方程配成含完全平方式的形式．注意：为保证二次三项式的值不变或等式成立，需要再减去一次项系数一半的平方或在方程两边同时作变换．例1 临沂中考一元二次方程y 2－y －34＝0配方后可化为( B ) A ．(y ＋12)2＝1 B ．(y －12)2＝1 C ．(y ＋12)2＝34 D ．(y －12)2＝34例2 安顺中考若x 2＋2(m －3)x ＋16是关于x 的完全平方式，则m ＝__－1或7__．例3 吉林中考若将方程x 2＋6x ＝7化为(x ＋m)2＝16，则m ＝__3__．[命题角度2] 用配方法解一元二次方程如果一元二次方程的二次项系数为1，将常数项移到方程的右边，然后在方程两边加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式，再利用直接开平方法解方程．需要注意的是为确保等式的成立，需要在方程两边同时作变换．例如本课素材二[教材母题挖掘]．[命题角度3] 用配方法求字母或代数式的值根据完全平方式非负的特点，利用配方，将一个等式转化为几个非负数或式的和为0的形式，再由每一个非负数或式分别为0的性质构造方程(组)求解．例1 已知3x 2＋4y 2－12x －8y ＋16＝0.求y x 的值．解：原式可变形为(3x 2－12x ＋12)＋(4y 2－8y ＋4)＝0，配方得3(x －2)2＋4(y －1)2＝0，则x －2＝0，y －1＝0，解得x ＝2，y ＝1，故y x ＝12＝1.例2 已知a 2＋2ab ＋b 2－4(a ＋b －1)＝0，求a ＋b －3的值．解：原式可变形为(a ＋b)2－4(a ＋b)＋4＝0，配方得(a ＋b －2)2＝0，则a ＋b －2＝0，解得a ＋b ＝2，故a ＋b －3＝2－3＝－1.[命题角度4] 用配方法进行说理此类题目一般的考查方式是求最大(小)值或证明一个代数式的值总为非负(或非正)数．解决这类问题的思考点是“一个数的平方为非负数”和“利用完全平方公式配方”．例1 不论x ，y 为何值，代数式x 2＋y 2＋2x －4y ＋7的值( A )A ．总不小于2B ．总不小于7C ．可为任何实数D ．可能为负数例2 (1)用配方法求2x 2－7x ＋2的最小值；(2)用配方法求－3x 2＋5x ＋1的最大值．解：(1)2x 2－7x ＋2＝2⎝⎛⎭⎫x －742－338，∴2x 2－7x ＋2的最小值为－338. (2)－3x 2＋5x ＋1＝－3⎝⎛⎭⎫x －562＋3712，∴－3x 2＋5x ＋1的最大值为3712. P 9练习1．填空：(1)x 2＋10x ＋______＝(x ＋____)2；(2)x 2－12x ＋______＝(x －____)2；(3)x 2＋5x ＋______＝(x ＋____)2；(4)x 2－23x ＋______＝(x －____)2. [答案](1)25 5 (2)36 6(3)254 52 (4)19 132．解下列方程：(1)x 2＋10x ＋9＝0；(2)x 2－x －74＝0； (3)3x 2＋6x －4＝0；(4)4x 2－6x －3＝0；(5)x 2＋4x －9＝2x －11；(6)x(x ＋4)＝8x ＋12.解：(1)移项，得x 2＋10x ＝－9.配方，得x 2＋10x ＋25＝16，(x ＋5)2＝16.∴x ＋5＝±4，x 1＝－1，x 2＝－9.(2)移项，得x 2－x ＝74. 配方，得x 2－x ＋14＝74＋14，即⎝⎛⎭⎫x －122＝2. ∴x －12＝±2，x 1＝12＋2，x 2＝12－ 2. (3)移项，得3x 2＋6x ＝4.系数化为1，得x 2＋2x ＝43. 配方，得x 2＋2x ＋1＝43＋1，即(x ＋1)2＝73.∴x ＋1＝±213， x 1＝－1＋213，x 2＝－1－213. (4)移项，得4x 2－6x ＝3.系数化为1，得x 2－32x ＝34.配方，得x 2－32x ＋916＝34＋916，即⎝⎛⎭⎫x －342＝2116.∴x －34＝±214， x 1＝3＋214，x 2＝3－214. (5)整理，得x 2＋2x ＝－2.配方，得x 2＋2x ＋1＝－1.∴方程无实数根．(6)整理，得x 2－4x ＝12.配方，得x 2－4x ＋4＝16，即(x －2)2＝16.∴x －2＝±4，x 1＝6，x 2＝－2.当堂检测1.把方程x ²+4x = 2, 左边配成完全平方式的结果是（）A ．（x +4）²= 4 B. (x +2) ²= 0C. (x +2) ²= 6D. (x - 2)² = 62. 若代数式x ²+kx +9是一个完全平方式，则k 的值是（）A ． 6B ． ±6C ．12D ． ±123. 填上适合的式子，让等式成立：（1）x ²- 4x +______= ( x _____)²；(2) x ²+ 5x +___ = ( x +____ )² ．4. 配方：(1) x ² + mx = （x _____）²+______ ,(2) 2x ²- 8x +3 = 2(x ______)²+ ______ .5.用配方法解一元二次方程：（1）x ² + 4x +2 = 0；(2) 2x ² + 6x -1 = 0 .参考答案1. C2. B3.（1）4 -2 （2）425 25 4．（1） +2m （-4m 2）（2）-2 -5 5. 解：（1）(x+2)2=2,x = -2±2； (2) )23(2 x =411, x = -23±211.方程式的由来十六世纪,随著各种数学符号的相继出现,特别是法国数学家韦达创立了较系统的表示未知量和已知量的符号以后,"含有未知数的等式" 这一专门概念出现了,当时拉丁语称它为"aequatio",英文为"equation". 十七世纪前后,欧洲代数首次传进中国,当时译"equation"为"相等式. 由於那时我国古代文化的势力还较强,西方近代科学文化未能及时在我国广泛传播和产生较的影响,因此"代数学"连同"相等式"等这些学科或概念都只是在极少数人中学习和研究.十九世纪中叶,近代西方数学再次传入我国.1859年,李善兰和英国传教士伟烈亚力,将英国数学家德.摩尔根的<代数初步>译出.李.伟两人很注重数学名词的正确翻译,他们借用或创设了近四百个数学的汉译名词,许多至今一直沿用.其中,"equation"的译名就是借用了我国古代的"方程"一词.这样,"方程"一词首次意为"含有未知数的等式.1873年,我国近代早期的又一个西方科学的传播者华蘅芳,与英国传教士兰雅合译英国渥里斯的<代数学>,他们则把"equation"译为"方程式",他们的意思是,"方程"与"方程式"应该区别开来,方程仍指<九章算术>中的意思,而方程式是指"今有未知数的等式".华.傅的主张在很长时间裏被广泛采纳.直到1934年,中国数学学会对名词进行一审查,确定"方程"与"方程式"两者意义相通.在广义上,它们是指一元n 次方程以及由几个方程联立起来的方程组.狭义则专指一元n次方程.既然"方程"与"方程式"同义,那么"方程"就显得更为简洁明了了.。

2.2 配方法(2)台儿庄刘鑫

课时课题：§2.2配方法(2)课型：新授课授课老师：台儿庄区枣庄市第十七中学教学目标:1．会利用配方法解“二次项系数不为1”或者“一次项系数不为偶数”的一元二次方程.2．经历用配方法解一元二次方程的过程，体会其中的化归思想，总结用配方法解一元二次方程的基本步骤．3．能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力.教学重点和难点：重点：用配方法解“二次项系数不为1”或者“一次项系数不为偶数”等较为复杂的一元二次方程.难点：对配方法的理解.教学与学法指导：教法：导练结合法；学法：自主探究、共同讨论与合作交流.课前准备：制作多媒体课件，学生课前进行预习.教学过程:一、复习导入师：:在上节课我们学习了§2.2配方法(1)，知道了用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，此种解法的关键是把方程转化为什么形式？生：（踊跃举手，急着抢答.）n m x =+2）（，n ≥0. 师：回答的很全面！那么，如何配方呢？生（齐声）：方程两边同加上一次项系数一半的平方.师：看来昨天大家对所学的内容掌握的很好！下面请大家用配方法解下列方程：（1）2430x x ++= (2) 2680x x ++=（找两位同学在黑板上做题,其余同学在练习本上做，而后集体订正.）师：前面的两个方程同学们解的很好，那么，你会用配方法解03832=-+x x 这个方程吗？生：能解.师：这个方程与前面的两个方程有什么不同？生：这个方程的二次项系数不是1，而是3.师：对！这就是要我们今天要继续探究的配方法——用配方法解“二次项系数不是1”或者“一次项系数不为偶数”的一元二次方程的解法. (板书课题: §2.2配方法(2))设计意图:本环节先让学生回忆用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的方法，加深学生对配方法的理解与应用，再让学生用直接开平方法和配方法解二次项数为1、一次项系数为偶数的一元二次方程，进一步熟悉配方法解方程的方法和步骤,同时也为本课的教学做铺垫.二、探索新知师：出示例题：例2、解方程：03832=-+x x温馨提示：解这类方程的基本方法是: 先将“二次项的系数化成1”，再用配方法解此方程. 师：如何将二次项的系数化成1？依据是什么？生：依据等式的基本性质，方程两边同时除以二次项系数.师：根据老师的提示，你能尝试着解出这个方程吗？（学生结合教师的提示尝试着去解这个方程，然后师生共同进行纠正，归纳出这个题目的解题方法和步骤，最后教师板书规范的解题过程.）例2、解方程：03832=-+x x解： 01382=-+x x 化1：把二次项系数化为1；(除) 1382=+x x 移项：方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；（移） 222)34(1)34(38+=++x x 配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；（配）22)35()34(=+x 变形：方程左边分解因式，右边合并同类项；（化） 3534±=+x 开方：根据平方根的意义，方程两边开平方；（解）所以原方程的根为311=x ，32-=x 定解：写出原方程的解. 生：可以先移项，化成3 x 2+8 x =3后，两边再除以3吗？师：可以. 移项和二次项系数化1这两步没有严格的先后顺序，一般先将二次项系数化为1后再移项，避免移项后二次项系数化1时，右边的项容易漏除以二次项系数. 为了进一步了解大家对这种方法的掌握情况，请用配方法解下列方程：跟踪训练：解下列方程：（1）23610x x --=；（2）22540x x --=．（学生黑板板书，其他学生完成后尝试总结用配方法解一元二次方程的步骤.）师：下面请大家仔细观察例2及方程（1）23610x x --=和（2）22540x x --=的解题过程，你能说一说用配方法解一元二次方程的步骤吗？请同学们总结一下．生：小组同学思考，热烈讨论，积极总结﹑发言．（根据学生的回答，老师可以结合例2把每一步的做法写出来，并用一个字进行概括.）师生共同总结：用配方法解一元二次方程的步骤：（1）化1：把二次项系数化为1；（2）移项：方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；（3）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，使原方程变为(x +m )2=n （n ≥0）的形式；（4）开方：根据平方根的意义，方程两边开平方；（5）定解：原方程的解：x =m ±n ．师：为了方便同学们的记忆，老师把以上解题步骤简记为：★一除；二移；三配；四化；五解．设计意图：通过对例题的探索，规范学生的解题过程和步骤.同时对于每一步的根据和要求都做以强调，使学生对于每一步中易错的地方加以明确，能有效的避免或减少出现错误，提高了解题的正确率；并通过跟踪训练强化解题过程，同时通过做题总结解题的步骤.三、学以致用师：大家已经会用配方法解一元二次方程，你能利用一元二次方程的知识解决下面问题吗？1.一个小球以15m/s 的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h(m)与时间t(S)满足关系:h=15t-5t2,小球何时能达到10米的高度？(引导学生思考小球何时达到10米高?给学生留出时间和空间，让学生自己思考题意，根据题意把代数式中的h 换成10得一元二次方程105152=-t t ，然后解方程, 即将实际问题 −−−→变为求一元二次方程根的问题.)学生书写步骤.解：根据题意，得 15t -5t 2=10，方程两边都除以-5，得 t 2-3t =-2，配方，得222333222t t ⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23124t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴3122t -=±， ∴122,1t t ==.答：当1s 或2s 时小球何时能达到10m 高.师：配方法不仅可以解决生活中的实际问题，还可以用来判断一些代数式的取值范围.因为完全平方式的值一定是非负数，所以在说明某一多项式是否为非负数时，可采用配方法把这些代数式变式为2()a x m n ++ (0)n ≥的形式，例如：2.用配方法证明25611x x -+的值恒大于0.（学生结合教师的提示尝试着去解决这个问题，然后师生共同进行纠正.）解：22656115()115x x x x -+=-+2395[()]11525x =+--+23465()55x =-+ 23x )05x -≥Q 不论为何实数，（ 2346465()0555x ∴-+≥>∴25611x x -+的值恒大于0.设计意图：第一题主要是训练学生对于方程知识的实际应用，使学生对实际问题与数学问题之间的联系与区别加以理解，弄懂二者之间的关系.第二题用来说明配方法是一种很重要的数学方法，在以后学习中有很广泛的应用. 四、盘点收获师：本节课我们学了哪些知识？在运用过程中需要注意些什么？你有什么收获？生：总结反思自己的所学所得，畅谈收获，拾遗补缺．设计意图: 全班交流心得，提高学生的归纳能力和反思意识，把分散的知识系统化、结构化，形成知识网络，完善学生的认知结构，加深对所学知识的理解.四、诊断检测★落实基础1．(2012年日照卷)已知12,x x 是2214160x x +-=的两个实数根,那么2112x x x x +的值为________.2. 用配方法解下列方程：（1）（2012•安徽）2221x x x -=+；（2）23920x x -+=. 3. 印度古算术中有这样一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏，八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮。

用配方法求解一元二次方程第二课时教学设计

第二章一元二次方程２．配方法（二）一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：初二上学期，学生已经学习过开平方根的定义以及完全平方公式，在上节课学生初步学习了配方法解二次项系数为1的一元二次方程，这些为本节课学习解二次项系数不为1的方程打下较好的基础。

学生活动经验基础：上一课时，学生已经经历了二次项系数为1的方程的解的过程，已经体会到其中转化的思想方法，这些都成为完成本课任务的活动经验基础。

二、教学任务分析在课程安排上这节课的具体学习任务：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程以及利用一元二次方程解决实际问题。

这节课内容从属于“方程与不等式”这一数学学习领域，因而务必服务于方程教学的远期目标：“让学生经历由具体问题抽象出方程的过程，体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效模型，并在解一元二次方程的过程中体会转化的数学思想”，为此，本节课的教学目标是：①经历配方法解一元二次方程的过程，获得解二元一次方程的基本技能；②经历用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的过程，体会其中的化归思想；③能利用一元二次方程解决有关的实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养分析问题、解决问题的意识和能力.三、教学过程分析本节课设计了五个教学环节：第一环节：复习回顾；第二环节：情境引入；第三环节：讲授新课；第四环节：练习提高；第五环节：课堂小结；第六环节：布置作业。

第一环节复习回顾活动内容：回顾配方法解一元二次方程的基本步骤。

活动目的：回顾配方法的基本步骤，为本节课研究二次项系数不为1的二次方程的解法打下基础。

实际效果：教学中为了便于学生回顾，可以通过举例的形式，帮助学生回顾并整理步骤，例如，x2-6x-40=0移项，得x2-6x= 40方程两边都加上32(一次项系数一半的平方），得x2-6x+32=40+32即（x-3）2=49开平方，得x-3 =±7即x-3=7或x-3=-7所以x1=10,x2=-4学生一般都能整理出配方法解方程的基本步骤：通过对这个方程基本步骤地熟悉学生们顺畅的理清思路，掌握了每一步的理论依据，增强了解题的信心，达到预期的目的。

6一元二次方程的解法(二)配方法—知识讲解(提高)及其练习含答案

一元二次方程的解法（二）配方法—知识讲解（提高）【学习目标】1．了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程； 2．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤；3．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力。

【要点梳理】知识点一、一元二次方程的解法---配方法 1．配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±．知识点二、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．要点诠释：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．【典型例题】类型一、用配方法解一元二次方程1. （2016春•石景山区期末）用配方法解方程：2x 2﹣12x ﹣2=0．【思路点拨】首先将二次项系数化为1，再将方程的常数项移动方程右边，两边都加上9，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．【答案与解析】解：2x 2﹣12x ﹣2=0，系数化为1得：x 2﹣6x ﹣1=0，移项得：x 2﹣6x=1，配方得：x 2﹣6x +9=10，即（x ﹣3）2=10，开方得：x ﹣3=±，则x 1=3+，x 2=3﹣．【总结升华】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，利用此方法解方程时，首先将二次项系数化为1，常数项移动方程右边，然后两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解．举一反三：【变式】用配方法解方程（1）（2）20x px q ++=【答案】（1）2235x x +=2253x x -=-25322x x -=- 2225535()()2424x x -+=-+251()416x -=5144x -=±123,12x x ==.（2）20x px q ++=222()()22p px px q ++=-+224()24p p qx -+=①当240p q -≥时，此方程有实数解，221244,p p q p p qx x -+----==； ②当240p q -＜时，此方程无实数解.类型二、配方法在代数中的应用2. 用配方法证明21074x x -+-的值小于0．【思路点拨】本题不是用配方法解一元二次方程，但所用的配方法思想与自己学的配方法大同小异，即思路一致．【答案与解析】22271074(107)410410x x x x x x ⎛⎫-+-=-+-=--- ⎪⎝⎭27494910410400400x x ⎛⎫=--+-- ⎪⎝⎭274910420400x ⎡⎤⎛⎫=----⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦2274971111041020402040x x ⎛⎫⎛⎫=--+-=---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ∵ 2710020x ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，∴ 271111002040x ⎛⎫---< ⎪⎝⎭，即210740x x -+-<．故21074x x -+-的值恒小于0．【总结升华】证明一个代数式大于零或小于零，常用方法就是利用配方法得到一个含完全平方式和一个常数的式子来证明．举一反三：【变式】试用配方法证明：代数式223x x -+的值不小于238．【答案】 22123232x x x x ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭22211123244x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦21123416x ⎡⎤⎛⎫=--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦2112348x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭2123248x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．∵ 21204x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，∴ 2123232488x ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭．即代数式223x x -+的值不小于238．3. （2015春•宜兴市校级月考）若把代数式x 2+2bx+4化为（x ﹣m ）2+k 的形式，其中m ，k 为常数，则k ﹣m 的最大值是．【答案】；【解析】解：x 2+2bx+4=x 2+2bx+b 2﹣b 2+4 =（x+b ）2﹣b 2+4； ∴m=﹣b ，k=﹣b 2+4，则k ﹣m=﹣（b ﹣）2+．∵﹣（b ﹣）2≤0， ∴当b=时，k ﹣m 的最大值是．故答案为：．【总结升华】此题考查利用完全平方公式配方，注意代数式的恒等变形．举一反三：【变式】（1）的最小值是；（2）的最大值是 .【答案】（1）222222333152632(3)323()()32()2222x x x x x x x ⎡⎤+-=+-=++--=+-⎢⎥⎣⎦；所以的最小值是152-（2）22222245(4)5(422)5(2)9x x x x x x x -++=--+=--+-+=--+所以的最大值是9.4. 分解因式：42221x x ax a +++-．【答案与解析】42221x x ax a +++-4222221x x x ax a =+-++-4222212x x x ax a =++--+（）（）2221x x a =+--（）（）22(1)(1)x x a x x a =++-+-+．【总结升华】这是配方法在因式分解中的应用，通过添项、配成完全平方式，进而运用平方差公式分解因式．一元二次方程的解法（二）配方法—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1. （2016•新疆）一元二次方程x 2﹣6x ﹣5=0配方组可变形为（）A ．（x ﹣3）2=14B ．（x ﹣3）2=4C ．（x +3）2=14D ．（x +3）2=4 2．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（）A ．22990x x --=化为2(1)100x -=B ．22740t t --=化为2781416t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．2890x x ++=化为2(4)25x += D ．23420x x --=化为221039x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭3．（2015•河北模拟）把一元二次方程x 2﹣6x+4=0化成（x+n ）2=m 的形式时，m+n 的值为（）A ．8B ．6C ．3D ．2 4．不论x 、y 为何实数，代数式22247x y x y ++-+的值 ( )A ．总小于2B ．总不小于7C ．为任何实数D ．不能为负数 5．已知，则的值等于（）A.4B.-2C.4或-2D.-4或2 6．若t 是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是( )A.△=MB. △＞MC. △＜MD. 大小关系不能确定二、填空题 7．（1）x 2-43x+ =（）2；（2）x 2+px+ =（）2. 8．（2015•忻州校级模拟）把代数式x 2﹣4x ﹣5化为（x ﹣m ）2+k 的形式，其中m ，k 为常数，则4m+k= ．9．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______．10．将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为____ ___，•所以方程的根为_________．11．把一元二次方程3x 2-2x-3=0化成3(x+m)2=n 的形式是___ ________；若多项式x 2-ax+2a-3是一个完全平方式，则a=_________. 12．已知.则的值为 .三、解答题13. 用配方法解方程. （1）（2016•安徽）解方程：x 2﹣2x=4．（2）（2015•大连）解方程：x 2﹣6x ﹣4=0．14．分解因式44x +．15．（2015春•龙泉驿区校级月考）当x ，y 取何值时，多项式x 2+4x+4y 2﹣4y+1取得最小值，并求出最小值．【答案与解析】一、选择题 1.【答案】A ．【解析】x 2﹣6x ﹣5=0，x 2﹣6x=5，x 2﹣6x +9=5+9，（x ﹣3）2=14，故选：A ． 2．【答案】C ；【解析】选项C ：2890x x ++=配方后应为2(4)7x +=． 3．【答案】D ；【解析】 x 2﹣6x=﹣4，∴ x 2﹣6x+9=﹣4+9，即得（x ﹣3）2=5，∴ n=﹣3，m=5，∴ m+n=5﹣3=2．故选D ．4．【答案】D ；【解析】2222247(1)(2)22x y x y x y ++-+=++-+≥．5．【答案】A ；【解析】原方程化简为：（x 2+y 2）2-2(x 2+y 2)-8=0,解得x 2+y 2=-2或4，-2不符题意舍去.故选A. 6．【答案】A .【解析】由t 是方程的根得at 2+bt+c=0,M=4a 2t 2+4abt+b 2=4a(at 2+bt)+b 2= b 2-4ac=△.故选A.二、填空题7．【答案】（1）49；23x -；（2）24p ；2p x +.【解析】配方:加上一次项系数一半的平方.8．【答案】﹣1；【解析】x 2﹣4x ﹣5=x 2﹣4x+4﹣4﹣5=（x ﹣2）2﹣9， ∴ m=2，k=﹣9，∴ 4m+k=4×2﹣9=﹣1．故答案为﹣1．9．【答案】4；【解析】4x2-ax+1=(2x-b)2化为4x2-ax+1=4x2-4bx+b2,所以241a bb=-⎧⎨=⎩－解得41ab=⎧⎨=⎩或41ab=-⎧⎨=-⎩所以4ab=.10．【答案】（x-1）2=5；15±．【解析】方程两边都加上1的平方得（x-1）2=5，解得x=15±. 11．【答案】；2或6.【解析】3x2-2x-3=0化成；即2(-)232aa=-，a=2或6.12.【答案】5；【解析】原式三、解答题13.【答案与解析】解：（1）配方x2﹣2x+1=4+1∴（x﹣1）2=5∴x=1±∴x1=1+，x2=1﹣．（2015•大连）解方程：x2﹣6x﹣4=0．（2）解：移项得x2﹣6x=4，配方得x2﹣6x+9=4+9，即（x﹣3）2=13，开方得x﹣3=±，∴x1=3+，x2=3﹣．14. 【答案与解析】4222224()22222x x x x+=++-22222(2)(2)(22)(22)x x x x x x=+-=++-+．15. 【答案与解析】解：x2+4x+4y2﹣4y+1=x2+4x+4+4y2﹣4y+1﹣4=（x+2）2+（2y﹣1）2﹣4，又∵（x+2）2+（2y﹣1）2的最小值是0，∴x2+4x+4y2﹣4y+1的最小值为﹣4．∴当x=﹣2，y=时有最小值为﹣4．。

2.2.2配方法

复习回顾:(3分钟） 1.用配方法解方程:x²+6x-4=0;
2.二次三项式x2-10x+36的最小值是 .
你会解方程:3x2+8x-3=0吗?
第二章一元二次方程
一元二次方程的解法 2.2 配方法(2)
学习目标:(1分钟) 1.熟练掌握用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程;
2.初步了解一元二次方程的应用.
自学P38的例2,注意第一步的变形；解方程3x2+8x-3=0
解：x2 8 x 1 0. 3
1.化1:把二次项系数化为1;
x2 8 x 1.
2.移项:把常数项移到方程的右边;
x2
3
8 x
4
2 3 3
3 3.配方:方程两边都加上一次项系数
x 4 2 5 2.
一半的平方;
3 3
x 4 5.
5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方;
33
x 5 4 或x 5 4 .
33
33
6.求解:解一元一次方程;
x1
1 3
,
x2 3.
7.定解:写出原方程的解.
自学检测1:(6分钟) 1.用配方法解下列方程：P39的随堂练习-1T
①3x2-9x+2=0
②2x2+6=7x
问题解决-2T:印度古算书中有这样一首诗:“一群猴子分两队,高高兴兴在游戏,八分之一再平方,蹦蹦跳跳树林里;其余十二叽喳喳,伶俐活泼又调皮. 告我总数共多少,两队”?
解：设总共有 x 只猴子，根据题意得：
1 x 2 12 x. 8
即：x2 - 64x+768＝0.
解这个方程,得
x1 ＝48， x2 ＝16. 答:一共有猴子48只或者说6只.

数学课件-2.2 配方法(2)

小结：解一元二次方程的基本思路
二次方程
一次方程
把原方程变为(x+h)2＝k的形式 (其中h、k是常数）。
当k≥0时，两边同时开平方，这样原方程就转化为两个一元一次方程。
当k<0时，原方程的解又如何？
例：x2 2x 4 0
拓展：
把方程x2-3x+p=0配方得到
(x+m)2= 1 2
(1)求常数p,m的值； (2)求方程的解。
议一议
如何解方程: x2+6x+4=0？
(1)观察 (x+3)2=5与这个方程有什么关系？
(2)你能将方程转化成（x+h)2=k(k ≥ 0)的
形式吗?
因式分解的完全平方公式
a2 2ab b2 (ab)2;
a2 2ab b2 (ab)2.
填一填
a2 2ab b2 (a b)2
即 (x 3)2 16
开平方得： x 3 4
∴原方程的解为：x1 1, x2 7
范例研讨运用新知
例2: 你能用配方法解方程
2x2 x 6 0 吗？
解:二次项系数化为1得：x2 1 x 3 0
2
移项得： x2 1 x 3
2
配方得：x2 1 x (1)2 3 (1)2
24
4
用配方法解下列方程 (1)x2＋6x=1
(2)x2=6－5x
课堂反馈:
(1)x2+10x+20=0 (2)x2-x=1
(3)x2 +4x +3 =0 (4)x2 +3x =1
2.用配方法说明：不论k取何实数，多项式k2－3k＋5的值必定大于零.
练习1：用配方法解下列方程

解一元二次方程练习题(配方法) (2)

解一元二次方程练习题(配方法)1．用适当的数填空：①、x 2+6x+ =（x+ ）2； ②、x 2－5x+ =（x －）2； ③、x 2+ x+ =（x+ ）2； ④、x 2－9x+ =（x －）22．将二次三项式2x 2-3x-5进行配方，其结果为_________． 3．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______．4．将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为_______，•所以方程的根为_________．5．若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是（） A ．3 B ．-3 C ．±3 D ．以上都不对 6．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是（）A ．（a-2）2+1B ．（a+2）2-1C ．（a+2）2+1D ．（a-2）2-1 7．把方程x+3=4x 配方，得（）A ．（x-2）2=7B ．（x+2）2=21C ．（x-2）2=1D ．（x+2）2=2 8．用配方法解方程x 2+4x=10的根为（）A ．2±B ．-2C ．D ．9．不论x 、y 为什么实数，代数式x 2+y 2+2x-4y+7的值（）A ．总不小于2B ．总不小于7C ．可为任何实数D ．可能为负数 10．用配方法解下列方程：（1）3x 2-5x=2．（2）x 2+8x=9（3）x 2+12x-15=0 （4）41x 2-x-4=011.用配方法求解下列问题（1）求2x 2-7x+2的最小值；（2）求-3x 2+5x+1的最大值。

一元二次方程解法练习题一、用直接开平方法解下列一元二次方程。

1、0142=-x 2、2)3(2=-x 3、()512=-x 4、()162812=-x二、用配方法解下列一元二次方程。

1、.0662=--y y2、x x 4232=-3、9642=-x x4、0542=--x x5、01322=-+x x6、07232=-+x x7、01842=+--x x 8、0222=-+n mx x 9、()00222>=--m m mx x三、用公式解法解下列方程。

2022年初中数学精品教案《配方法2》公开课专用

21.2.1 配方法内容：配方法解一元二次方程课型：新授学习目标：1．会用开平方法解形如(x 十m)2＝n(n ≥0)的方程．2．理解一元二次方程的解法——配方法．教学重点：利用配方法解一元二次方程教学难点：把一元二次方程通过配方转化为(x 十m)2＝n(n ≥0)的形式．一．学前准备1用直接开平方法解方程2x 2--8=0 )62+x （--9=02完全平方公式是什么？3填上适当的数，使下列等式成立：（1）x 2+12x+ = (x+6)2（2）x 2―12x+ = (x ― )2（3）x 2+8x+ = (x+ )2 （4）x 2+43x+ = （x+ ）2 （5）x 2+px+ = （x+ ）2 观察并思考填的数与一次项的系数有怎样的关系？二、探究活动问题：下列方程能否用直接开平方法解？x 2+8x ―9=0 x 2一l0x 十25＝7；是否先把它变成(x+m)2=n （n ≥0）的形式再用直接开平方法求解？问题：要使一块矩形场地的长比宽多6m ，并且面积为16m2，场地的长和宽应各是多少？解：设场地宽为X 米，则长为（x+6）米，根据题意得:（）整理得( )怎样解方程X2+6X －16 = 0自学教材32页1什么叫配方法？例1: 用配方法解下列方程x 2--8x+1=0 2x 2＋1=3x总结用配方法解方程的一般步骤．(1)化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数．(2)移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项．(3)要在方程两边各加上一次项系数一半的平方．(注：一次项系数是带符号的)(4)方程变形为(x+m)2=n 的形式．(5)如果右边是非负实数，就用直接开平方法解这个一元二次方程；如果右边是一个负数，则方程在实数范围内无解．三．自我测试1配方：填上适当的数，使下列等式成立：（1）x 2+12x+ =(x+6)2（2）x 2―12x+ =(x ― )2（3）x 2+8x+ =(x+ )22解下列方程3x 2+3x ―3=0 3x 2 －9x ＋2=0 2x 2＋6=7x3．将二次三项式x 2-4x+1配方后得（）． A ．（x-2）2+3 B ．（x-2）2-3 C ．（x+2）2+3 D ．（x+2）2-34．已知x 2-8x+15=0，左边化成含有x 的完全平方形式，其中正确的是（）． A ．x 2-8x+（-4）2=31 B ．x 2-8x+（-4）2=1 C ．x 2+8x+42=1 D ．x 2-4x+4=-115．如果mx 2+2（3-2m ）x+3m-2=0（m ≠0）的左边是一个关于x 的完全平方式，则m 等于（）．A ．1B ．-1C ．1或9D ．-1或96．下列方程中，一定有实数解的是（） A ．x 2+1=0 B ．（2x+1）2=0C ．（2x+1）2+3=0D ．（12x-a ）2=a 7．方程x 2+4x-5=0的解是________．8．代数式2221x x x ---的值为0，则x 的值为________． 9．已知（x+y ）（x+y+2）-8=0，求x+y 的值，若设x+y=z ，则原方程可变为_______，•所以求出z 的值即为x+y 的值，所以x+y 的值为___10已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x 2-4x+3=0的解，求这个三角形的周长．11．如果x 2-4x+y 2，求（xy ）z的值． 12．新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500•元，•市场调研表明：•当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达5000元，每台冰箱的定价应为多少元？四学习体会本节课你有什么收获?还有什么疑问？五应用与拓展1．已知：x 2+4x+y 2-6y+13=0，求222x y x y -+的值． 2．如图，在Rt △ACB 中，∠C=90°，AC=8m ，CB=6m ，点P 、Q 同时由A ，B•两点出发分别沿AC 、BC 方向向点C 匀速移动，它们的速度都是1m/s ，•几秒后△PCQ•的面积为Rt △ACB 面积的一半．B CAQ P第2课时教学目标1．使学生了解多边形的内角、外角等概念．2．能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式，并会应用它们进行有关计算．重点难点1．重点：（1）多边形的内角和公式．（2）多边形的外角和公式．2．难点：多边形的内角和定理的推导．教学过程一、探究1．我们知道三角形的内角和为180°．2．我们还知道，正方形的四个角都等于90°，那么它的内角和为360°，同样长方形的内角和也是360°．3．正方形和长方形都是特殊的四边形，其内角和为360°，那么一般的四边形的内角和为多少呢？画一个任意的四边形，用量角器量出它的四个内角，计算它们的和，与同伴交流你的结果．从中你得到什么结论？同学们进行量一量，算一算及交流后老师加以归纳得到四边形的内角和为360°的感性认识，是否成为定理要进行推导．二、思考几个问题1．从四边形的一个顶点出发可以引几条对角线？它们将四边形分成几个三角形？那么四边形的内角和等于多少度？2．从五边形一个顶点出发可以引几条对角线？它们将五边形分成几个三角形？那么这五边形的内角和为多少度？3．从n边形的一个顶点出发，可以引几条对角线？它们将n边形分成几个三角形？n 边形的内角和等于多少度？综上所述，你能得到多边形内角和公式吗？设多边形的边数为n，则n边形的内角和等于（n一2）·180°．想一想：要得到多边形的内角和必需通过“三角形的内角和定理”来完成，就是把一个多边形分成几个三角形．除利用对角线把多边形分成几个三角形外，还有其他的分法吗？你会用新的分法得到n边形的内角和公式吗？由同学动手并推导在与同伴交流后，老师归纳：（以五边形为例）分法一：在五边形ABCDE内任取一点O，连结OA、OB、OC、OD、OE，则得五个三角形．其五个三角形内角和为5×180°，而∠1，∠2，∠3，∠4，∠5不是五边形的内角应减去，∴五边形的内角和为5×180°一2×180°＝（5—2）×180°=540°．如果五边形变成n边形，用同样方法也可以得到n个三角形的内角和减去一个周角，即可得：n边形内角和＝n×l80°一2×180°=（n一2）×180°．分法二：在边AB上取一点O，连OE、OD、OC，则可以（5－1）个三角形，而∠1、∠2、∠3、∠4不是五边形的内角，应舍去．∴五边形的内角和为（5—1）×180°一180°＝（5—2）×180°用同样的办法，也可以把n边形分成（n一1）个三角形，把不是n边形内角的∠AOB 舍去，即可得n边形的内角和为（n一2）×180°．三、例题例1如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？已知：四边形ABCD的∠A＋∠C＝180°．求：∠B与∠D的关系．分析：本题要求∠B与∠D的关系，由于已知∠A＋∠C＝180°，所以可以从四边形的内角和入手，就可得到完满的答案．解：如图，四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°。

人教版2020-2021学年九年级数学上册21.2.1配方法(第二课时)课件

21.2.1配方法
（第二课时）
问题1
直接开平方法的步骤是什么？
问题2
当x²=p，（1）p>0时方程有几个根？（2）p<0时方程有几个根？（3）p=0时方程有几个根？
1.方程3x2+27=0的解是 ( )
A.x=±3
B.x=-3
C.无实数根
D.以上都不对
2.方程(x-2)2=9的解是 ( )
方程(x+h)2＝k，当k什么时候方程有解，什么时候方程无解？
（1）k>0时，方程有两个不相等的实数根（2）k=0时，方程有两个相等的实数根（3）k<0时，方程在实数范围内无解
练一练：
1．若 x2 6x 是m一2 个完全平方式，则m的值是( ）
AC．3 B．-3 C．±3 D．以上都不对
409、:0桃敏57花而.1潭好2.水学20深，20千不09尺耻:0，下57不问.1及。2.汪。20伦72.10送20.9我2:0情250。797.:10.1252.:20.20302720.10279..:2100252.02090:20905:00597:0.1520:0.923:0025900:095:0:053:0309:05:03
这醉人春芬去芳春的又季回节，，新愿桃你换生旧活符像。春在天那一桃样花阳盛光开，的心地情方像，桃在 54、少海不壮内要不存为努知它力已的，结老天束大涯而徒若哭伤比，悲邻应。当为Su它nd的ay开, J始u而ly 笑12。, 270.2102J.2u0ly20270.S1u2n.2d0a2y0, 0J9u:l0y51029,:200520097:0/152:0/230290:05:03 这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃 65、莫吾愁生生前命也路的有无成涯知长，已而，需知天要也下吃无谁饭涯人，。不还识需9时君要5。吃分苦99时时，55吃分分亏91时2。-5JSu分ul-n12d20a-7Jy.u1,l2J-2.u20ly0721.1022,.2020July 20Sunday, July 12, 20207/12/2020

配方法解一元二次方程(2)

7.2.2用配方法解一元二次方程第二课时教学目标(一)教学知识点1．会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程．2．了解用配方法解一元二次方程的基本步骤．(二)能力训练要求1．理解配方法；知道“配方”是一种常用的数学方法．2．会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程．3．能说出用配方法解一元二次方程的基本步骤．(三)情感与价值观要求通过用配方法将一元二次方程变形的过程，让学生进一步体会转化的思想方法，并增强他们的数学应用意识和能力．教学重点用配方法求解一元二次方程．教学难点理解配方法．教学方法讲练结合法．教具准备投影片三张第一张，练习题(A)第二张：例题(B)第三张：做一做(C)教学过程I．巧设现实情景，引入新课[师]上节课我们探讨了一元二次方程的解法：直接开平方法和配方法．现在来复习巩固一下．(出示投影片A)解下列方程：(1)x2＝2；(2)(x-2)2＝2；(3)x2-4x+4＝5；(4)x2+8x+3＝0；(5)x2+5x+2＝0．[生甲]方程(1)可以用开平方法来解．解：两边同时开方，得x＝±2，即x 1＝2，x 2＝-2．[生乙]只要把方程(2)中的(x-2)看作整体，就化归为方程(1)的形式．解：两边同时开平方，得x-2=±2，即：x-2=2或x-2＝-2∴x 1＝2+2，x 2＝2-2．[生丙]方程(3)的左边是完全平方式，所以就可以变形为(x-2)2，即化归为方程(2)的形式．解：原方程变为(x-2)2＝5.两边同时开平方，得x-2＝±5，即x-2＝5或x-2＝-5．∴x 1=2+5，x 2=2-5[生丁]方程(4)需要利用配方法，把它化为(x+m)2＝n 的形式，然后利用开平方法即可求出其解．解：把常数项移到方程的右边，得x 2+8x ＝-3．两边都加上42(一次项系数8的一半的平方)，得x 2+8x+42＝-3+42，即(x+4)2＝13．两边同时开平方，得x+4＝±13，即x+4＝13或x+4＝-13．∴x 1=-4+13，x 2＝-4-13[生戊]方程(5)的一次项系数5是奇数它的一半(即25)是分数，如果利用配方法的话，那么，配的常数项是分数而不是整数．老师，这样是否也能求解呢?[师]噢，那大家想一想，做一做，看戊同学的问题能不能解决?[生]能，我的解答如下：把常数项移到方程的右边，得x 2-5x ＝-2．两边都加上(25)2，得 x 2+5x+(25)2＝-2+(25)2，即(x+25)2=417．两边同时开平方，得x+25＝±217，即x+25＝217或x+25＝-217所以x 1＝2175+-，x 2＝2175--．[师]同学们能触类旁通，这很好．这节课我们继续来探讨利用配方法解一元二次方程．Ⅱ．讲授新课[师]由刚才大家求解的方程可知：不论方程的一次项系数是奇数还是偶数，只要通过配方把方程的一边变形为完全平方式，另一边变形为非负数，就可以求解．下面同学们来用配方法解方程．(出示投影片B)1．用配方法解方程x 2+38x-1＝0． [生甲]解：移项，得x 2+38x ＝1．配方，得 x 2+38x+(34)2＝1+(34)2， (x+34)2=．925两边同时平方，得 x+34＝±35，即x+34=35或x+34＝-35．所以x 1= 31，x 2＝-3．[师]很好．这个方程的一次项系数是分数，所以配方时一定要注意正确性．接下来，我们来看另一题：(出示投影片B)2．尝试将方程3x 2+8x-3＝0的左边配方，并求解这个方程．[师]观察一下，这个方程与前面解的方程一样吗?[生乙]不一样．这个方程的二次项系数是3，而前面解的那些方程的二次项系数是1．[师]噢，那二次项系数不为1的一元二次方程的左边如何配方呢?如何求解这个方程呢?[生丙]完全平方式是a 2±2ab+b 2．由此可知：配方法中方程的两边都加上一次项系数一半的平方的前提是方程的二次项系数为1，所以，这个方程应先利用等式的性质进行更形，使它的二次项系数为1，然后再利用配了法进行求解．[生丁]噢，我知道了，只要把方程3x 2+8-3＝0的两边都除以3，方程就变形为二次项系数为1的方程，而二次项系数为1的方程我们可以通过配方求解，所以方程3x 2-8x-3＝0也可求解．[师]对，这样我们就把新知识转化为旧知识，新知识便可理解、掌握了．现在我们共同来解方程3x 2+8x-3=0．[师生共析]解：两边都除以3，得x 2+x38-1＝0．移项，得x 2+38x ＝1．配方，得x 2+38x+(34)2=1+(34)2 (x+34)2=925．两边同时开平方，得 x+34=±35，即x+34=35或x+34=-35．所以x 1=31；x 2＝-3．[师]好，下面我们来总结用配方法解方程的一般步骤．(1)化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数．(2)移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项．(3)要在方程两边各加上一次项系数一半的平方．(注：一次项系数是带符号的)(4)方程变形为(x+m)2=n 的形式．(5)如果右边是非负实数，就用直接开平方法解这个一元二次方程；如果右边是一个负数，则方程在实数范围内无解．[师]同学们做得很好，下面大家来看一实际问题，你能解答吗?(出示投影片C) 做一做一小球以15 m ／s 的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系：h=15t-5t 2．小球何时能达到10 m 高?[生]要求小球何时能达到10m 高，而小球向上弹出时满足h=15t-5t 2，因此根据题意，可得15t-5t 2＝10．这样只需求出方程15t-5t 2=10的解，本题即可解答．[师]这位同学分析得对吗?[生齐声]对．[师]噢，那你能解这个方程吗?[生]能．解：-5t 2+15t ＝10，两边都除以-5，得t 2-3t ＝-2．配方，得t 2-3t+(-23)2=-2+(-23)2， (t-23)2=41，即，t-23=21或t-23=21．所以t 1＝2,t 2=1．[师]很好，这两个解是原方程的解。

22、配方法2

配方法的拓展与解析配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。

何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。

有时也将其称为“凑配法”。

最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。

配方法的配方依据是二项完全平方公式(a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：a 2＋b 2＝(a ＋b)2－2ab ＝(a －b)2＋2ab ； a 2＋ab ＋b 2＝(a ＋b)2－ab ＝(a －b)2＋3ab 。

配方法在数学的教与学中有着广泛的应用。

在初中阶段它主要适用于：一元二次方程、二次函数、二次代数式的讨论与求解。

经过几年的教学实践发现：很多情况下用配方法解一元二次方程或者求二次函数的顶点坐标要比用公式法简单实用。

在应用配方法解一元二次方程（ax 2+bx+c=0）时有两种做法：一种是先移走常数项，然后方程两边同时除以二次项的系数，把二次项系数化为1，再两边同时加上一次项系数（除以二次项系数后的）一半的平方，把原方程化成(x ＋m)2=n(n ≥0)的形式，再两边同时开方，把一元二次方程转化为一元一次方程。

典型例题：2x 2+6x-3=0解法1：移项得：2x 2+6x=3两边同时除以2得：2332=+x x 两边同时加2)23(得:4923)23(322+=++x x所以：415)23(2=+x开方得：21523=+x 或21523-=+x解得：2153,215321--=+-=x x 另一种方法是先移走常数项，然后通过“凑”与“配”进行配方。

解法2：移项得：2x 2+6x=3 原方程变为：222)223(3)223(22322)2(+=+••+x x 即原方程化为：430)2232(2=+x两边同时开方得：2302232=+x 或2302232-=+x 解得：2153,215321--=+-=x x 与用配方法解一元二次方程不同的是，在用配方法求二次函数c bx ax y ++=2的顶点坐标时，要把二次项和一次项看作一个整体，提出（而不是除以）二次项的系数，再进行配方，但配方时与解一元二次方程的配方有所不同。

配方法 (2)

?
什么类型的一元二次方程可用直接开平方来解?
即一元二次方程的一边是一个含有未知数的式子的完全平方,另一边是一个非负常数,这样的方程就可以用直接开平方的方法来解.
探索新知
把一个正方形的每条边都增加3厘米后,所得的新正方形的面积为121平方厘米,问原来的正方形的边长是多少厘米?
3
3
探索新知
设原来的正方形的边长为X厘米,如何用方程表示这个长方形的边长与面积的关系?
左边写成完全平方形式
( x 3)2 25
降次
x 3 5
x 3 5, x 3 5
x1 2, x2 8
自我尝试
用配方法解下列方程
（1）
x
2

1 3
x

2

0
（2）x2 － 4x ＋3 =0
举一反三
用配方法解下列方程
(1) x2 4x 9 2x 11; (2) x(x 4) 8x 12 . （3）－x2＋4x－3=0
拓展延伸用配方法解下列方程 X2+PX+q=0
合作交流
用配方法解一元二次方程的一般步骤：
（二次项系数为1）
1、化将方程化为一般形式。 2、移把常数项移到等号的右边。 3、配方程的两边都加上一次项系数一
半的平方。
4、求当方程的右边是一个非负数时，利用直
接开平方法求得两根。
综合运用
已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程 x²-4x+3＝0 的解，求这个三角形的周长
读诗词解题
?
大江东去浪淘尽，千古风流数人物。而立之年督东吴，早逝英年两位数。十位恰小个位三，个位平方与寿符。哪位学子算得快，多少年华属周瑜？

配方法导学案(二

1.2.2配方法导学案（二）
九年级上主备人徐娟审核班级学生姓名学习目标：
1.会用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程；
2.在配方的过程中体会“转化”的思想，掌握一些转化的技能。

学习重点：理解并掌握配方法，能够利用配方法解一元二次方程。

学习难点：使一元二次方程中含未知数的项在一个完全平方式里。

学习过程：
一.练习反馈：
1.完全平方公式
2.填空：①x2+8x+ =（x+4）2 ② x2-4x+ =（x- ）2
③X2- x+9=(x- )2
二．自学讨论：
1.我们已经学过求（x+1）2=4这样的方程的解，你会解下面的方程吗？
①x2+2x+1=4 ②x2+2x=3
2.如何解下列一元二次方程？
x2+6x+4=0
3.定义：像这样先对一元二次方程进行配方，把方程化为（x+m）2==n的形式，再用开平方来解的方法叫。

4.填空(仿照例题五)
① x2+4x+1=x2+4x+ - +1=(x+ )2-3
② x2-8x-9=x2-8x+ - -9=(x- )2-
③x2+3x-4=x2+3x+ - -4=(x+ )2-
三．交流提升：
例6 解下列方程：
①x2+10x+9=0 ②x2-12x-13=0
③x2-2x-5=0 ④x2+4x+1=0
四.浏览巩固
用配方法解二次项系数是1的一元二次方程的关键步骤是什么？如何配方？在方程的左边加上一次项系数的，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种做法叫做
五．抽测达标.
①x2-8x-9=0 ②x2+3x-4=0
③x2+2x-3=0 ④x2+2x-1=0。

27.2.1一元二次方程的解法--配方法(第二课时)

2
左边写成完全平方形式
( x 3)
2
5
降次
x3
5
x 3 5, 或x 3 5
↓解一次方程
x1 3 5, x2 3 5
总结归律:
x
2
p 2 p ( ) 2 px ____ ( x ____) 2 2
2
对于x +px,再添上一次项系数一半的平方,就能配出一个含未知数的一次式的完全平方式.

1 2 2

2
2
9
直接开平方，得
y 2 2 3
x1 2 2 3 x2 2 2 3
典型例题
例2 解下列方程
2-2 y-1=0 （ 2 ） y 2
2
（1）y2+ 4
解（2）配方，得 y 2 3 y
即
y 3
3
3 y=24
24
2
注意:配方时, 等式两边同时加上的是一次项系数一半的平方.
用配方法说明：不论k取何实数，多项式 k2－3k＋5的值必定大于零. 解：k 2 3k 5 32 32 2 k 3k ( ) 5 ( ) 2 2 3 2 11 (k ) 2 4 32 (k ) 是非负数，加上一个不等于0的数 2 所以原式的值必定大于零
用配方法解下列方程
(x 1)(x 2) 2x 4
解：化为一般形式为移项，得配方，得
x x 2 1 2 1 2 2 x x ( ) 2( ) 2 2
2
x2 x 2 0
方程两边 b 2 同时加上 ( )
2
1 2 9 (x ) 2 4 1 3 x 2 2