高考数学全案单元检测卷1

单元检测卷(一)集合与常用逻辑用语
时间：90分钟 满分：150分
一、选择题(共8小题，每小题7分，满分56分)
1．(2011·广州一模)已知集合A ＝{x |x 2－2x ≤0}，
B ＝{x |－1＜x ＜1}，则A ∩B ＝( )
A ．{x |0≤x ＜1}
B ．{x |－1＜x ≤0}
C ．{x |－1＜x ＜1}
D ．{x |－1＜x ≤2}
[答案] A
2．(2009·广东卷)已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |－2≤x －1≤2}和N ＝{x |x ＝2k －1，k ＝1,2，…}的关系的韦恩(Venn)图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有( )
A ．3个
B ．2个
C ．1个
D ．无穷多个
[解析] 由M ＝{x |－2≤x －1≤2}得－1≤x ≤3，在此范围内的奇数有1和3.所以集合M ∩N ＝{1,3}共有2个元素，选B.
[答案] B
3．(2008·广东卷)已知命题p ：所有有理数都是实数；命题q ：正数的对数都是负数．则下列命题中为真命题的是( )
A ．(綈p )∨q
B ．p ∧q
C ．(－p )∧(綈q )
D ．(綈p )∨(綈q )
[答案] D 4．(2010·四川理数)函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图像关于直线x ＝1对称的充要条件是( )
A ．m ＝－2
B ．m ＝2
C ．m ＝－1
D ．m ＝1
[解析] 函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的对称轴为x ＝－m 2，于是－m 2
＝1⇒m ＝－2. [答案] A
5．设全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{1，a －2,5}，∁U A ＝{2,4}，则a 的值为( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
[解析] 由已知可得3∈A ，故a －2＝3，所以a ＝5，故选C.
[答案] C
6．设⊕是R 上的一个运算，A 是R 的非空子集，若对任意a ，b ∈A ，有a ⊕b ∈A ，则
称A对运算⊕封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是()
A．自然数集B．整数集
C．有理数集D．无理数集
[答案] C
7．在下列电路图中，表示开关A闭合是灯泡B亮的必要但不充分条件的线路图是()
[解]选项A中，开关A闭合是灯炮B亮的充分不必要条件；选项C中，开关A闭合是灯泡B亮的充要条件；选项D中，开关A闭合是灯泡B亮的既不充分也不必要条件；选项B中，开关A和开关C都闭合时灯泡B才亮．所以选B.
[答案] B
8．下列说法错误的是()
A．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”
B．“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件
C．若p且q为假命题，则p、q均为假命题
D．命题p：“∃x∈R，使得x2＋x＋1＜0”，则¬p：“∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0”
[解析]因为p且q为假，p、q至少有一个为假，故选C.
[答案] C
二、填空题(共6小题，每小题7分，满分42分)
9．命题“若a，b都是奇数，则a＋b是偶数”的逆否命题是________．
[答案]若a＋b不是偶数，则a，b不都是奇数
10．(2010·安徽卷)命题“∃x∈R，x2＋2x＋5＝0”的否定是________．
[答案]∀x∈R，x2＋2x＋5≠0.
11．(2009·天津卷)设全集U＝A∪B＝{x∈N*|lg x＜1}，若A∩∁U B＝{m|m＝2n＋1，n＝0,1,2,3,4}，则集合B＝________.
[解析]U＝A∪B＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}
A∩∁U B＝{1,3,5,7,9}，B＝{2,4,6,8}
[答案]{2,4,6,8}
12．(2009·重庆卷)若U＝{n|n是小于9的正整数}，A＝{n∈U|n是奇数}，B＝{n∈U|n 是3的倍数}，则∁U(A∪B)＝________.
[解析] U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，
A ＝{1,3,5,7}，
B ＝{3,6,9}，
A ∪
B ＝{1,3,5,7,9}
∁U (A ∪B )＝{2,4,8}
[答案] {2,4,8}
13．(2009·湖南卷)某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．
[解析] 设两者都喜欢的人数为x 人，则只喜爱篮球的有(15－x )人，只喜爱乒乓球的有(10－x )人，由此可得(15－x )＋(10－x )＋x ＋8＝30，解得x ＝3，所以15－x ＝12，即所求人数为12人．
[答案] 12
14．定义：若对定义域D 上的任意实数x 都有f (x )＝0，则称函数f (x )为D 上的零函数． 根据以上定义，“f (x )是D 上的零函数且g (x )是D 上的零函数”为“f (x )与g (x )的积函数是D 上的零函数”的________条件．
[答案] 充分非必要
三、解答题(共4小题，满分52分)
15．(本小题满分12分)已知A ＝{x |x 2≥9}，B ＝{x |x －7x ＋1
≤0}，C ＝{x ||x －2|＜4}． (1)求A ∩B 及A ∪C ；
(2)若U ＝R ，求A ∩∁U (B ∩C )
[分析] 先将A 、B 、C 化简，然后根据交集、并集、补集的定义求解．
[解] 由x 2≥9，得x ≥3，或x ≤－3，
∴A ＝{x |x ≥3，或x ≤－3}．
又由不等式x －7x ＋1
≤0，得－1＜x ≤7， ∴B ＝{x |－1＜x ≤7}．
又由|x －2|＜4，得－2＜x ＜6，∴C ＝{x |－2＜x ＜6}．
(1)A ∩B ＝{x |3≤x ≤7}，如图(甲)所示．
A ∪C ＝{x |x ≤－3，或x ＞－2}，如图(乙)所示．
(2)∵U ＝R ，B ∩C ＝{x |－1＜x ＜6}，
∴∁U (B ∩C )＝{x |x ≤－1或x ≥6}，
∴A ∩∁U (B ∩C )＝{x |x ≥6或x ≤－3}．
16．(本小题满分12分)已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 02＋2ax 0＋2－a ＝0”，若命题“p 且q ”是真命题，求实数a 的取值范围．
[解] 由“p 且q ”是真命题，则p 为真命题，q 也为真命题．
若p 为真命题，a ≤x 2恒成立，∵x ∈[1,2]，∴a ≤1.
若q 为真命题，即x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根，Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，即a ≥1或a ≤－2.
综上所求实数a 的取值范围为a ≤－2或a ＝1.
17．(本小题满分14分)已知集合A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，且A ∪B ＝A ，求实数m 的值组成的集合．
[解] A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，
∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .
①m ＝0时，B ＝∅，B ⊆A ；
②m ≠0时，由mx ＋1＝0，得x ＝－1m
. ∵B ⊆A ，∴－1m
∈A ， ∴－1m ＝2或－1m ＝3，得m ＝－12或－13
. 所以适合题意的m 的集合为{0，－12，－13
}． 18．(本小题满分14分)已知关于x 的方程(1－a )x 2＋(a ＋2)x －4＝0(a ∈R )求：
(1)方程有两个正根的充要条件；
(2)(理)方程至少有一个正根的充要条件．
[解] 设x 1，x 2是方程的两个实数根，
(1)方程(1－a )x 2＋(a ＋2)x －4＝0(a ∈R )有两个正根等价于
⎩⎪⎨⎪⎧ a ≠1Δ≥0x 1＋x 2＞0，x 1·x 2＞0即⎩⎪⎨⎪⎧ a ≠1(a ＋2)2－4(1－a )×(－4)≥0－a ＋21－a ＞0－41－a ＞0
即⎩⎪⎨⎪⎧ a ≠1a ≤2或a ≥10a ＜－2或a ＞1，a ＞1
即1＜a ≤2或a ≥10.
所以方程有两个正根的充要条件是1＜a ≤2或a ≥10.
(2)当a ＝1时，方程的根为x ＝43
＞0. 当a ≠1时，方程至少有一个正根包括方程的两个正根，方程有一正一负根两种情况．
方程有一正一负根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧ a ≠1x 1·x 2＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ≠1－41－a ＜0，即a ＜1；
由(1)知方程有两个正根的充要条件为1＜a ≤2或a ≥10.
所以，方程至少有一个正根的充要条件是a ≤2或a ≥10.。