函数的应用相关习题

§2–3函数的应用

2.3.1为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)．已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a＋2b，2b＋c，2c＋3d，

4d．例如：明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16．当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为()．

(A) 7，6，1，4 (B) 6，4，1，7

(C) 4，6，1，7 (D) 1，6，4，7

解析由已知可得解得所以，答案为B．

2.3.2为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1} (i＝0，1，2)，传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0＝a0⊕a1，h1＝h0⊕a2，⊕运算规则为0⊕0＝0，0⊕1＝1，1⊕0＝1，1⊕1＝0，例如原信息为111，则传输信息为01111．信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是()．

(A) 11010 (B) 01100

(C) 10111 (D) 00011

解析若收到的信息10111是正确的，则a0＝0，a1＝a2＝1，按规则，h0＝0⊕1＝1，h1＝1⊕1＝0，矛盾，所以，答案为C．

2.3.3某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出；当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．

(1) 当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车?

(2) 当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?

解析(1) 由已知可得未租出的车有＝12辆，所以，可租出88辆．

(2) 设每辆车的月租金比3000元增加50n元(n为非负整数)，则公司月收益y＝(100－n)(3000＋50n)－150(100－n)－50n＝－50(n－21)2＋307050，当n＝21时y取得最大值，所以，当月租金定为4050元时，公司取得最大月收益307050元．

2.3.4客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h的速度匀速行驶1小时到达丙地．下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是()．

解析由已知可得s＝所以，答案为B．

2.3.5 数列{a n }的通项公式是a n ＝，则{a n }中数值最大的项是

( )．

(A) a 8 (B) a 9 (C) a 10 (D) 不存在的

解析 点(n ，a n )都在函数y ＝＝1＋的图象上，该函数的定义域

是{x |x ∈R 且x ≠}，在(－∞，)上单调递减且y <1；在(，＋∞)上单调递

减且y >1，又9<<10，所以，该数列中最大项是a 10，答案为C ．

2.3.6 某工厂去年的产值为1000万元，若每年递增10%，则要使年产值超过1500万元，则至少需要 年．

解析 设经过n 年，年产值达到1500万元，于是，1000(1＋10%)n ≥1500，

n ≥log 1.11.5≈4.254，所以，至少需要5年，才能使年产值超过1500万元．

2.3.7 在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n 次测量分别得到a 1，a 2，，a n 共n 个数据，我们规定所测量物理量的“最佳近似值”a 是这样一个量：与其他近似值比较，a 与各数据的差的平方和最小，依此规定，从a 1，a 2，，a n 推出a ＝ ．

解析 (a －a 1)2＋(a －a 2)2＋＋(a －a n )2＝na 2－2(a 1＋＋a n )a ＋＋＋，

所以，使得(a －a 1)2＋(a －a 2)2＋＋(a －a n )2取得最小值的a ＝．

2.3.8 一只小船以10m/s 的速度由南向北匀速驶过湖面，在离

湖面高20m 的桥上，一辆汽车由西向东以20m/s 的速度前进，如

图．现在小船在水面P 点以南的40m 处，汽车在桥上Q 点以西30m

处(其中PQ ⊥水面)，则小船与汽车间的最短距离为 m(不考虑汽车

与小船本身的大小)．

解析 经过时间t ，汽车与小船之间的距离d 满足 d 2＝(40－10t )2＋202＋(30－20t )2＝500t 2－2000t ＋2900＝500(t －

2)2＋900，所以，当t ＝2时，d 取得最小值30．

2.3.9 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已

知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小

时)成正比，药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为y ＝(a 为常数)，如

图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：

(1) 从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小

时)之间的函数关系式为 ； (2) 据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，

学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室．

解析 (1) 由已知可得当t ＝0.1时，y ＝1，则＝1，于是，a ＝0.1，所以，从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式为y ＝

(2) 设≤0.25，则2(t －0.1)≥1，解得t ≥0.6，所以，至少需要经过0.6小时，学生才能回

题 2.3.5

题2.3.8 题2.3.9

到教室．

2.3.10 一个男孩在90秒时间内移动的速度与时间的关系

如图所示，他的行程是1.84千米，则v 的值是 米/秒．

解析 由速度–时间曲线可知男孩先作匀减速运动，而后

作匀速运动，再作匀减速运动，第二次匀减速运动的加速度a 2

＝＝－， 于是，男孩的第三段行程为s 3＝24×40＋××402＝480(米)，男

孩第二段行程s 2＝24×(50－20)＝720(米)，则男孩第一段行程s 1＝1840－480－720＝640(米)，

第一段行程中男孩的加速度a 1＝，则640＝20v －××202，解得v ＝40(米/秒)．

2.3.11 如图所示：用长为m 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形

的框架，若矩形底边长为2x ，求此框架围成的面积y 与x 的函数关系式，

并指出定义域和最小值．

解析 由已知得矩形的另一边长为，则以y ＝πx 2＋×2x ＝－x 2＋mx ，

由>0得函数的定义域是0

2.3.12 某地区1995年底沙漠面积为95万公顷，为了解该地区沙漠面

积的变化情况，进行了连续5年的观测，并将每年年底的观测结果记录如下表．根据此表所给的信息进行预测：

(1) 如果不采取任何措施，那么到2010年底，该地区的沙漠面积将大约变为多少万公顷?

(2) 如果从2000年底后采取植树造林等措施，每年改造0.6万公顷沙漠，那么到哪一年年底该地区沙漠面积可减少到90万公顷?

解析 (1) 由统计数据可知沙漠面积增加数y 与年份数x 之间的关系近似地为一次函数y ＝kx ＋b ，且x ＝1时，y ＝0.2；x ＝2时，y ＝0.4，则y ＝0.2x (x ∈N *)，所以，从1995年年底到2010年年底，沙漠面积将增加0.2×15＝3(万公顷)，于是，到2010年年底，该地区的沙漠面积约为95＋3＝98(万公顷)．

(2) 设从1996年算起，第x 年年底该地区沙漠面积能减少到90万公顷，由已知可得95＋0.2x －0.6(x －5)≤90，解得x ≥20，所以，到2015年年底，该地区沙漠面积可减少到90万公顷．

2.3.13 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图1的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2的抛物线段表示．

题2.3.10 题2.3.11