2020-2021学年湖北省部分重点中学高二上第一次联考数学(解析版)

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2020-2021学年湖北省部分省级示范高中高二上学期期中联考数学试题(解析版)

2020-2021学年湖北省部分省级示范高中高二上学期期中联考数学试题一、单选题1．已知直线12:220,:410l x y l ax y +-=++=，若12l l ⊥，则a 的值为（） A ．8 B ．2C ．12-D ．-2【答案】D【分析】根据两条直线垂直，列方程求解即可.【详解】由题：直线12:220,:410l x y l ax y +-=++=相互垂直，所以240a +=，解得：2a =-. 故选：D【点睛】此题考查根据两条直线垂直，求参数的取值，关键在于熟练掌握垂直关系的表达方式，列方程求解.2．方程220x y x y m +++-=表示一个圆，则m 的取值范围是（） A ．12m >-B ．12m <-C ．12m ≤-D ．12m ≥-【答案】A【分析】解不等式2241140D E F m +-=++>即得解. 【详解】由题得22141140,2D E F m m +-=++>∴>-. 故选：A【点睛】本题主要考查圆的方程，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.3．焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为）A ．2213616x y +=B ．2211636x y +=C ．22164x y +=D ．22164y x +=【答案】A【分析】根据题意可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出a 、b 的值，由此可求得椭圆的标准方程.【详解】由题意可得222102a b c c a b +=⎧⎪=⎨⎪=-⎩，解得64a b =⎧⎨=⎩，因此，椭圆的标准方程为2213616x y +=.故选：A.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，考查计算能力，属于基础题.4．已知直线1l ：()111100A x B y C C ++=≠与直线2l ：()222200A x B y C C ++=≠交于点M ，O 为坐标原点，则直线OM 的方程为（）A ．121212120A AB B x yC C C C ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．121212120A A B B x yC C C C ⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．112122210C C C C x y A A B B ⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．112122210C C C C x y A A B B ⎛⎫⎛⎫---=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A【分析】将两直线的一般式中的常数项均变为1，验证O ，M 的坐标是否均满足该直线的方程即可判断. 【详解】直线1l ：111110A Bx y C C ++=，直线2l ：222210A B x y C C ++=，两式相减可得121212120A A B B x y C C C C ⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因为点O ，M 的坐标都满足该直线的方程，故点O ，M 都在该直线上. 所以直线OM 的方程为121212120A A B B x y C C C C ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：A .【点睛】本题考查了求过两点的直线方程，同时还需要求解两条直线的交点坐标，考查了转化思想和分析问题，解决问题的能力.5．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦距是虚轴长的2倍，则双曲线的渐近线方程为（） A．3y x =± B．y = C ．12y x =±D ．2y x =±【答案】A【分析】根据双曲线的焦距是虚轴长的2倍，可得出2c b =，结合22224c b a b ==+，得出223a b ，即可求出双曲线的渐近线方程.【详解】解：由双曲线()222210,0x y a b a b-=>>可知，焦点在x 轴上，则双曲线的渐近线方程为：by x a=±，由于焦距是虚轴长的2倍，可得：2c b =， ∴22224c b a b ==+，即：223a b ，33b a =，所以双曲线的渐近线方程为：33y x =±. 故选：A.【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，以及双曲线的渐近线方程.6．已知圆()()22:cos sin 1M x y θθ++-=，直线:l y kx =，则下面命题错误的是（）A ．必存在实数k 与θ，使得直线l 与圆M 相切B ．对任意实数k 与θ，直线l 与圆M 有公共点C ．对任意实数k ，必存在实数θ，使得直线l 与圆M 相切D ．对任意实数θ，必存在实数k ，使得直线l 与圆M 相切【答案】D【分析】由题意可知，直线l 过原点，可计算出圆心M 到直线l 的最大距离，进而可判断出各选项的正误.【详解】圆心M 的坐标为()cos ,sin θθ-，直线l 恒过原点O ，所以，圆心M 到直线l 的距离d 的最大值为1OM ==，即1d ≤，所以直线l 与圆M 必有公共点，B 选项正确；对任意实数k ，过原点作直线l 的垂线交圆221x y +=于点M ，则点M 即为所求，A 、C 选项正确；当0θ=时，圆M 的方程为()2211x y ++=，此时，直线0x =与圆M 相切，但k 不存在，D 选项错误. 故选：D.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的判断，考查直线过定点的问题，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中等题型．7．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为2，右顶点为A ，过原点与x 轴不重合的直线交C 于M ，N 两点，线段AM 的中点为B ，若直线BN 经过C 的右焦点，则C 的方程为（）A ．22143x y +=B ．22165x y +=C ．22198x yD ．2213632x y += 【答案】C【分析】由题知：1c =，设点()()0000,,,M x y N x y --，则00,22x a y B +⎛⎫⎪⎝⎭，再根据//BF NF →→计算a ，即可求得椭圆方程.【详解】由题知：1c =，设点()()0000,,,M x y N x y --，则00,22x a y B +⎛⎫⎪⎝⎭，又右焦点()1,0F ，且有直线BN 经过点F ，所以//BF NF →→，()00001,,1,22x a y BF NF x y →→+⎛⎫=--=+ ⎪⎝⎭，所以()00001122x a y y x +⎛⎫⎛⎫-⋅=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：3a =，所以：28b =，所以椭圆方程为：22198x y .故选：C【点睛】关键点睛：解此题的关键是能够将直线BN 经过点F ，转化为向量//BF NF→→来求解a 值.当然也可以先由,B N 两点求解直线BN ，再将点F 坐标代入求解a .8．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>，过右焦点F 的直线与两条渐近线分别交于A ，B ，且AB BF =，则直线AB 的斜率为（） A ．13-或13B ．16-或16C ．2D ．16【答案】B【分析】根据双曲线的离心率求出渐近线方程，根据AB BF =，得到B 为AF 中点，得到B 与A 的坐标关系，代入到渐近线方程中，求出A 点坐标，从而得到AB 的斜率，得到答案.【详解】因为双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>，又222c e a =22514b a =+=，所以12b a =，所以双曲线渐近线为12y x =± 当点A 在直线12y x =-上，点B 在直线12y x =上时，设(),A A Ax y (),B B B x y ，由(c,0)F 及B 是AF 中点可知22A B A B x c x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，分别代入直线方程，得121222A A A A y x y x c ⎧=-⎪⎪⎨+⎪=⋅⎪⎩，解得24A Ac x c y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以,24c c A ⎛⎫-⎪⎝⎭，所以直线AB 的斜率AB AFk k =42cc c =--16=-，由双曲线的对称性得，16k =也成立.故选：B.【点睛】本题考查求双曲线渐近线方程，坐标转化法求点的坐标，属于中档题.二、多选题9．设椭圆C ：22143x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 为椭圆C 上一动点，则下列说法中正确的是（）A ．当点P 不在x 轴上时，12PF F △的周长是6B ．当点P 不在x 轴上时，12PF F △C ．存在点P ，使12PF PF ⊥D ．1PF 的取值范围是[]1,3 【答案】ABD【分析】根据椭圆定义以及焦距即可判断选项A ；当点P 位于上下顶点时，12PF F △面积的最大即可判断选项B ；当点P 为椭圆C 短轴的一个端点时，12F PF ∠为最大与90比较即可判断选项C ；当点P 为椭圆C 的左右顶点时取得最值，即可判断选项D.【详解】由椭圆方程可知2a =，b =1c ==．对于选项A:根据椭圆定义，1224PF PF a +==，又1222F F c ==，所以12PF F △的周长是226a c += ，故选项A 正确；对于选项B ：设点()()1000,P x y y ≠，因为122F F =，则12020112PF F S F F y y ⋅==△．因为00y b <≤12PF F △B 正确；对于选项C ：由椭圆性质可知，当点P 为椭圆C 短轴的一个端点时，12F PF ∠为最大．此时，122PF PF a ===，又122F F =，则12PF F △为正三角形，1260F PF =︒△，所以不存在点P ，使12PF PF ⊥，故选项C 错误；由图可知，当点P 为椭圆C 的右顶点时，1PF 取最大值，此时13PF a c =+=；对于选项D ：当点P 为椭圆C 的左顶点时，1PF 取最小值，此时11PF a c =-=，所以[]11,3PF ∈，故选项D 正确．故选：ABD【点睛】结论点睛：椭圆中焦点三角形的有关结论以椭圆22221x y a b+=()0a b >>上一点()00,P x y ()00y ≠和焦点()()12,0,,0F c F c -为顶点的12PF F △中，若12F PF θ∠=，则（1）焦点三角形的周长为22a c +；（2）当点P 为椭圆短轴的一个端点时，12F PF θ∠=为最大；（3）12121sin 2PF F SPF PF θ=⨯⨯，当0y b =时，即点P 为椭圆短轴的一个端点时12PF F S取最大值，为bc ；（4）122tan2PF F Sb θ=.10．双曲线221916x y -=的左右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线上，下列结论正确的是（）A ．该双曲线的离心率为54B ．该双曲线的渐近线方程为43y x =±C ．点P 到两渐近线的距离的乘积为14425D ．若12PF PF ⊥，则12PF F ∆的面积为32 【答案】BC【分析】由所给双曲线方程计算可得. 【详解】解：221916x y -= 3,4,5a b c ∴===53c e a ∴==，故A 错误；双曲线的渐近线方程为43y x =±即430x y ±=，故B 正确；设双曲线上一点()00,P x y ，22001916x y ∴-=即2200169144x y -=则P 到两渐近线的距离的乘积为220000001694343144552525x y x y x y -+-⋅==，故C 正确；若12PF PF ⊥，则1290F PF ∠=︒由焦点三角形面积公式122121616tan 45tan2PF F F P S F b ∆===∠︒，故D 错误. 综上，正确的有BC 故选：BC【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，焦点三角形的面积公式，属于基础题. 11．如果()2,0A ，()1,1B ，()1,1C - ，()2,0D - ，CD 是以OD 为直径的圆上一段圆弧，CB 是以BC 为直径的圆上一段圆弧，BA 是以OA 为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线Ω，则下面说法正确的是（）A ．曲线Ω与x 轴围成的面积等于32π B ．CB 与BA 的公切线方程为：120x y +-= C ．AB 所在圆与CB 所在圆的交点弦方程为：0x y -= D ．用直线y x =截CD 所在的圆，所得的弦长为22【答案】BC【分析】由题知曲线Ω与x 轴围成的图形是一个半圆，一个矩形和两个四分之一圆，故此可写出各段圆弧所在圆的方程，然后根据圆的相关知识判断各选项即可.【详解】连BC 交y 轴于点Q ，过点B 作BN x ⊥轴于N ，过点C 作CM x ⊥轴于M ，各段圆弧所在圆的方程分别为：CD ：()2211x y ++=；CB ：()2211x y +-=；BA ：()2211x y -+=；由题知曲线Ω与x 轴围成的图形是一个半圆，一个矩形和两个四分之一圆，所以围成的面积等于22242ππ⨯++=π+，故A 错误；易知直线QN ：1y x =-+，公切线l 平行于NQ ，且两直线间的距离为1，设直线l ：()0y x b b =-+>，所以112b -=，解得21b =+，所以直线l ：210x y +--=，故B 正确；将AB 所在圆与CB 所在圆方程相减，得交点弦方程为：0x y -=，故C 正确；圆心()1,0-到直线y x =的距离为22d =，所以弦长为222122⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，故D 错误.故选：BC12．瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler ）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知ABC ∆的顶点()4,0-A ，()0,4B ，其欧拉线方程为20x y -+=，则顶点C 的坐标可以是（） A ．()2,0 B ．()0,2C ．()2,0-D ．()0,2-【答案】AD【分析】设(,)C x y ，依题意可确定ABC ∆的外心为(0,2)M ，可得出,x y 一个关系式，求出ABC ∆重心坐标，代入欧拉直线方程，又可得出,x y 另一个关系式，解方程组，即可得出结论.【详解】设(,),C x y AB 的垂直平分线为y x =-，ABC ∆的外心为欧拉线方程为20x y -+=与直线y x =-的交点为(1,1)M -，22||||(1)(1)10MC MA x y ∴==∴++-=，①由()4,0A -，()0,4B ，ABC ∆重心为44(,)33x y -+，代入欧拉线方程20x y -+=，得20x y --=，② 由 ①②可得2,0x y ==或 0,2x y ==-. 故选:AD【点睛】本题以数学文化为背景，考查圆的性质和三角形重心，属于较难题.三、填空题13．已知x ∈R ，则______．【答案】-10【分析】将问题转化为动点到两定点的距离之差的最小值，结合三角形法则即可求解.(,0)P x 到点()()1,2,5,10A B -距离之差，当点,,P A B 三点不共线时，则有PA PB AB -<,当点,,P A B 三点共线时，则有PA PB AB -=,故10,10PA PB AB PA PB -≤=-≤-，当且仅当点P 为直线AB 与x 轴的交点时，取最小值-10. 故答案为：-10【点睛】本题主要考查两点间距离公式的逆用，属于能力提升题.14．已知圆E 的圆心在y 轴上，且与圆2220x y x +-=的公共弦所在直线的方程为0x -=，则圆E 的方程为_____.【答案】22(3x y +=【分析】两圆圆心连线与公共弦垂直，计算得到圆心为，圆E 过原点，故r =得到答案.【详解】两圆圆心连线与公共弦垂直，2220x y x +-=，即()2211x y -+=，圆心为()1,0，故圆心连线所在的直线为：)1y x =-，取0x =得到圆E圆心坐标为，2220x y x +-=和0x -=均过原点，故圆E过原点，故r =故方程为22(3x y +=.故答案为：22(3x y +=.【点睛】本题考查了圆方程，意在考查学生的计算能力和应用能力，确定圆心和半径是解题的关键.15．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的焦点为1F ，2F ，如果椭圆C 上存在一点P ，使得120PF PF ⋅=，且12PF F △的面积等于4，则ab 的取值范围为________.【答案】)⎡+∞⎣【分析】设(),P x y ，由120PF PF ⋅=得到P 在圆222x y c +=上，根据题意可得c b ≥，根据12PF F △的面积等于4，得到P 点纵坐标，将圆与椭圆联立，表示出P 点纵坐标，从而得到2b 的值，结合222a b c =+，得到a 的范围，从而求得ab 的范围. 【详解】设(),P x y ，()1,0F c -，()2,0F c ，因为椭圆C 上存在一点P ，使得120PF PF ⋅=，所以222120PF PF x y c ⋅=+-=，即222x y c +=，可得c b ≥，因为12PF F △的面积等于4，所以1242P c y ⋅⋅=，即4P y c=，椭圆与圆联立22222221x y c x y ab ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，得2P by c =，所以24b =，即2b =，因为c b ≥，222a b c =+，所以2228a b ≥=，即a ≥，所以ab ≥故答案为：)⎡+∞⎣【点睛】本题考查椭圆的几何性质，向量数量积的坐标运算，焦点三角形的面积问题，属于中档题.16．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上存在两点A ，B 关于直线8y x =-对称，且线段AB 的中点在直线2140x y --=上，则双曲线的离心率为_________. 【答案】2【分析】联立8y x =-和2140x y --=，得到线段AB 的中点C 的坐标为()2,6-，由点差法得到2212122121y y y y b x x x x a-+⋅=-+，根据AB 斜率和C 的坐标为()2,6-，得到,a b 之间的关系，从而得到离心率.【详解】点A ，B 关于直线8y x =-对称，线段AB 的中点在直线2140x y --=上所以82140y x x y =-⎧⎨--=⎩得()2,6C -，设()()1122,,,A x y B x y ，所以1212412x x y y +=⎧⎨+=-⎩ 将()()1122,,,A x y B x y 代入双曲线，则有22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 两式相减得()()()()2212121212a x x x x y y y y b-+=-+.∵210x x -≠，∴2212122121y y y y b x x x x a -+⋅=-+， ∴22124AB k ab -⨯=.∵点A ，B 关于直线8y x =-对称 ∴1AB k =-，所以()2213b a-⨯-=，即223b a =.∴双曲线的离心率为2c e a ===. 故答案为：2【点睛】本题考查点关于直线对称，双曲线的方程与几何性质，双曲线弦中点问题，求双曲线的离心率，属于中档题.四、解答题17．已知直线l 经过点()1,2P .（1）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程；（2）若()1,1A -，()3,1B 两点到直线l 的距离相等，求直线l 的方程. 【答案】（1）2y x =或3x y +=（2）24y x =-+或1y x =+ 【分析】（1）讨论直线是否过原点，利用截距相等进行求解即可．（2）根据点到直线的距离相等，分直线平行和直线过A ，B 的中点两种情况进行求解即可．【详解】（1）若直线过原点，则设为y ＝kx ，则k ＝2，此时直线方程为y ＝2x ，当直线不过原点，设方程为x ya a+=1，即x +y ＝a ，此时a ＝1+2＝3，则方程为x +y ＝3，综上直线方程为y ＝2x 或x +y ＝3．（2）若A ，B 两点在直线l 同侧，则AB ∥l ， AB 的斜率k 112132---===--1，即l 的斜率为1，则l 的方程为y ﹣2＝x ﹣1，即y ＝x +1，若A ，B 两点在直线的两侧，即l 过A ，B 的中点C （2，0），则k 2012-==--2，则l 的方程为y ﹣0＝﹣2（x ﹣2），即y ＝﹣2x +4，综上l 的方程为y ＝﹣2x +4或y ＝x +1．【点睛】本题主要考查直线方程的求解，结合直线截距相等以及点到直线距离相等，进行分类讨论是解决本题的关键．18．已知圆C 以点(2,0)为圆心，且被直线20x +=截得的弦长为（1）求圆C 的标准方程；（2）若直线l 经过点(5,5)M ，且与圆C 相切，求直线l 的方程. 【答案】（1）22(2)9x y -+=（2）5x =或815350x y -+=.【分析】（1）设出圆的半径，根据圆的弦长公式可求出半径，即可写出圆C 的标准方程；（2）当斜率不存在时，检验是符合；当斜率存在时，由点斜式设出直线方程，根据直线与圆相切，即可求出斜率，得到直线方程．【详解】（1）根据题意，设圆C 的方程为222(2)x y r -+=，因为圆C 被直线20x +=截得的弦长为()2,0到直线20x -+=的距离为2d ==，则=29r =．则圆C 的标准方程为22(2)9x y -+=. （2）当斜率不存在时，直线l 的方程为5x =，显然圆心(2,0)到5x =的距离为3，正好等于半径，符合题意；当斜率存在时，设斜率为k ，则过M 点的直线方程为：5(5)y k x -=-，即550kx y k -+-=，圆心到直线的距离等于半径3，3d ==，解得815k =，所以直线l 的方程为815350x y -+=.综上，所求的直线方程为5x =或815350x y -+=.【点睛】本题主要考查圆的方程求法以及直线与圆的位置关系的应用，注意分类讨论思想的应用，属于基础题．19．已知点(2,2),(2,6),(4,2)A B C ----，点P 在圆22:4E x y +=上运动.（1）求过点C 且被圆E 截得的弦长为的直线方程；（2）求222||||||PA PB PC ++的最值.【答案】(1)7100x y ++=或20x y +-=;(2)最大值为88,最小值为72.【分析】(1) 依题意,直线的斜率存在, 设出直线方程, 结合点到直线距离公式,列出方程求解,即可得出结果.(2) 由(2,2),(2,6),(4,2)A B C ----设P 点坐标为(),x y 则224x y +=. 代入化简可得222||||||804PA PB PC y ++=-,由22y -≤≤,即可求得求222||||||PA PB PC ++的最值.【详解】(1)依题意,直线的斜率存在,因为过点C 且被圆E截得的弦长为,所以圆心,设直线方程为2(4)y k x +=-,即420kx y k ---=,所以=解得17k =-或1k =-所以直线方程为7100x y ++=或20x y +-=.(2)设P 点坐标为(),x y 则224x y +=.222222222||||||(2)(2)(2)(6)(4)(2)PA PB PC x y x y x y ++=++++++-+-++()223468804x y y y =+-+=-因为22y -≤≤,所以7280488y ≤-≤,即222||||||PA PB PC ++的最大值为88,最小值为72.【点睛】本题主要考查已知弦长求直线方程,考查圆上的点到定点的距离平方和的最值问题,熟记直线与圆的位置关系,以及点到直线距离公式即可,难度较易. 20．已知椭圆C 的短轴的两个端点分别为(0,1)A 、(0,1)B -，焦距为（1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线y m =与椭圆C 有两个不同的交点M 、N ，设D 为直线AN 上一点，且直线BD 、BM 的斜率的积为14-．证明：点D 在x 轴上．【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析. 【分析】（1）由已知条件得出b 、C 的值，进而可得出a 的值，由此可求得椭圆C 的方程；（2）设点()1,M x m ，可得()1,N x m -，且10x ≠，11m -<<，求出直线BM 的斜率，进而可求得直线BD 与AN 的方程，将直线直线BD 与AN 的方程联立，求出点D 的坐标，即可证得结论.【详解】（1）由题设，得1b c =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以2224a b c =+=，即2a =．故椭圆C 的方程为2214x y +=；（2）设()1,M x m ，则()1,N x m -，10x ≠，11m -<<．所以直线BM 的斜率为11(1)10m m x x --+=-，因为直线BD 、BM 的斜率的积为14-，所以直线BD 的斜率为14(1)x m -+．直线AN 的方程为111m y x x -=+，直线BD 的方程为114(1)x y x m =--+．联立111114(1)m y x x x y x m -⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪+⎩，解得点D 的纵坐标为221221114114D x m y x m --+=-+-．因为点M 在椭圆C 上，所以22114x m +=，则0D y =，所以点D 在x 轴上．【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了点在定直线的证明，考查计算能力与推理能力，属于中等题型.21．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的离心率e =，双曲线C 上任意一点1．（1）求双曲线C 的方程．（2）过点()1,1P 是否存在直线l ，使直线l 与双曲线C 交于R ，T 两点，且点P 是线段RT 的中点？若直线l 存在，请求直线l 的方程：若不存在，说明理由．【答案】（1）2212y x -=；（2）这样的直线l 不存在，证明见解析. 【分析】（1）由离心率和距离最小可得出,a c 的方程，解出,a c ，求出2b 即可求出双曲线方程；（2）用点差法求出直线方程，然后直线和双曲线联立检验，可判断直线是否存在.【详解】（1）由题意可得==ce a，当P 为右顶点时，可得到右焦点的距离最小，即有1c a -=，解得1a =，c =b ==2212y x -=；（2）过点()1,1P 假设存在直线l ，使直线l 与双曲线C 交于R ，T 两点，且点P 是线段RT 的中点．设(),R x y ，()22,T x y ，可得221112-=y x ，222212-=y x ，两式相减可得()()()()1212121212x x x x y y y y -+=-+，由中点坐标公式可得122x x +=，122y y +=，可得直线l 的斜率为()1212121222x x y y k x x y y +-===-+，即有直线l 的方程为，()121y x -=-，即为21y x =-，代入双曲线的方程，可得22430x x -+=，由判别式为1642380-⨯⨯=-<，可得方程无实数解.故这样的直线l 不存在．【点睛】本题考查中点弦问题，属于基础题.方法点睛：（1）设直线与双曲线交点的坐标，代入双曲线方程，做差；（2）整理可得双曲线系数比，直线斜率和中点坐标比值的关系，求出直线斜率；（3）代入中点坐标，求出直线方程；（4）直线和双曲线联立，检验是否有解.22．已知椭圆222:13x y C a +=的右焦点为F ，右顶点为A ，设离心率为e ，且满足113eOF OA AF+=，其中O 为坐标原点．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()0,1的直线l 与椭圆相交于M ，N 两点，求OMN 面积的最大值．【答案】（1）22143x y +=；（2）3．【分析】（1）由题可得()113cc a a a c +=-，又2223b a c =-=，即可算出,a c ，故可得椭圆方程；（2）由题意分析可得直线l 与x 轴不垂直，设其方程为1y kx =+，()11,M x y ，()22,N x y ，联立l 与椭圆C 的方程，可得()2234880k x kx ++-=，结合根与系数的关系和三角形面积公式可以用k 表示△OMN的面积12214123x x S k ⨯⋅-==+212t k =+，由基本不等式分析可得答案．【详解】（1）∵OF c =，OA a =，AF a c =-∴()113c ca a a c +=-∴2223a c c -= ∵2223b a c =-=∴2223a c c -=∴21c =∴22143x y+=（2）设过点()0,1的直线:1AB l y kx =+，()11,M x y ，()22,N x y 则12112MON S x x =⨯⋅-=△联立221431x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()2234880k x kx ++-=，故122834k x x k+=-+，122834x x k -⋅=+故MONS ==△令212t k =+，[)1,t ∈+∞故MON S ==△，故当1t =时，即0k =时，面积最大MON S =△ 【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．。

湖北省新高考联考协作体2020-2021学年高二上学期期中联考数学试卷含答案

2020年湖北省新高考联考协作体高二上学期期中考试数学试卷考试时间：2020年 11月18日上午试卷满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题p ：∃x ∈R ，2x +1>0的否定为（）A ．∀x ∈R ，2x +1<0B ．∃x ∈R ，2x +1≤0C ．∀x ∈R ，2x +1>0D ．∀x ∈R ，2x +1≤02.下列各组数中方差最小的是（）A ．1，2，3，4，5B ．2，2，2，4，5C ．3，3，3，3，3D ．2，3，2，3，2 3.已知直线过A （3，m +1），B （4，2m +1）两点且倾斜角为56π，则m 的值为（）A ．3-B ．3C ．33-D ．334.一个等比数列的第3项和第7项分别为8和18，则它的第5项为（）A ．12B ．−12C ．±12D ．4√65.已知某圆拱桥拱高5米，水面跨度为30米，则这座圆拱桥所在圆的半径为( )米A ．20B ．25C ．24D ．236.我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出.某市政府为了节约生活用水，计划在本市实行阶梯水价，每人月用水量中不超过a 立方米的部分按2.5元/立方米收费，超出a 立方米的部分按7元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某年的月均用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：月均用水量（立方米）如果a 为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为2.5元/立方米，a 至少定为( )A ．2B ．2.5C ．3D ．47.一个袋中装有6个大小形状完全相同的小球，其中有4个白球，2个黑球，现随机从袋0.08 0.30 0.44 0.280.50 频率/组距 O 0.5 1 2 1.5 2.5 3 3.5 4 4.5 0.04 0.16 0.12中摸出一球，记下颜色，放回袋中后，再从袋中随机摸出一球，记下颜色，则两次摸出的球中至少有一个黑球的概率为（）A ．49B ．59C ．35D ．8158.已知动点M 到A(1，1)，B(−3，3)两点的距离相等，P 是圆(x −3)2+y 2=5上的动点，则|PM |的最小值为（）A ．√5B ．2√5C ．2D ．√52二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9.若A ，B 为互斥事件，P(A)，P(B)分别表示事件A ，B 发生的概率，则下列说法正确的是（）A ．P(A)+P(B)<1B ．P(A)+P(B)≤1C ．P(A ∪B)=1D ．P(A ∩B)=010.某设备的使用年限x已知根据表中原始数据得回归直线方程为y ^＝1.23x ＋0.08.某位工作人员在查阅资料时发现表中有个数据模糊不清了，下列说法正确的是（）A ．所支出的维修费用与使用年限正相关B ．估计使用10年维修费用是12.38万元C ．根据回归方程可推断出模糊不清的数据的值为5D ．点（4，5）一定在回归直线y ^＝1.23x ＋0.08上.11.下列命题为真命题的是（）A “a ,A ,b 成等差数列”的充要条件是“2A =a +b ”B.“a ,A ,b 成等比数列”的充要条件是“A 2=ab ”C.“a =－12”是“方程(6a 2－a －2)x ＋(3a 2－5a ＋2)y ＋a －1＝0表示平行于x 轴的直线”的充分不必要条件D. 已知直线l 过点(3,1)，则“直线l 的斜率为34”是“直线l 与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相切”的充分不必要条件12.已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n+1+S n =4(n +1)2，下列说法正确的是（）A ．若首项a 1＝1，则数列{a n }的奇数项成等差数列B ．若首项a 1＝1，则数列{a n }的偶数项成等差数列C ．若首项a 1＝1，则S 15=477D ．若首项a 1＝a ，若对任意n ∈N *，a n <a n ＋1恒成立，则a 的取值范围是(3，5)三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若“x ≤a ”是“x ≤2”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围为14．在所有7位自然数中任取一个数，则头两位都是3的概率为.15．已知直线l1：mx+ny+5=0，l2：x+2y−5=0，l3：3x−y−1=0，若这三条直线交于一点，则交点坐标为________，点（m，n）到原点的距离最小值为________．16.长为2√2的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，线段AB的中点M的轨迹为曲线C，已知过定点P（2，0）的直线l与曲线C相交与E，F两点，O为坐标原点，当∆EOF的面积取到最大值时，直线l的斜率为四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. (本题满分10分)已知A(2，0)，B(3，3)，C(－1，1)．（1）求点A到直线BC的距离；（2）求△ABC的外接圆的方程.18．（本题满分12分）在①a2−2，a3，a4+6成等比数列，②a3+1，a5，a6+1成等差数列，③a2，a4+2，a6+10成等比数列，这三个条件中任选一个，补充在下列问题中并作答.正项等差数列{a n}满足a1＝4，且.（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=2na n+2a n ，求数列{bn}的前n项和.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.19.(本题满分12分)由于疫情，学生在家经过了几个月的线上学习，某高中学校为了了解学生在家学习情况，复学后进行了复学摸底考试，并对学生进行了问卷调查，下表（单位：人）是对高二年级数学成绩及“认为自己在家学习态度是否端正”的问卷调查的统计结果，其中成绩不低于120分为优秀，成绩不低于90分且小于120分的为及格，成绩小于90分的为不及格.5．(1)求a的值；(2)用分层抽样的方法在及格的学生中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人学习不端正的概率；(3)在及格的学生中随机抽取了10人，他们的分数如图所示的茎叶图，已知这10名学生的平均分为104.5，求a>b的概率.。

湖北省部分重点中学2020-2021学年度上学期期中联考高二数学理科试题

【全国校级联考】湖北省部分重点中学2020-2021学年度上学期期中联考高二数学理科试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．命题p ：0x R ∃∈，200560x x -+<，则（） A ．p ⌝：0x R ∃∈，200560x x -+≥B ．p ⌝：0x R ∃∉，200560x x -+<C ．p ⌝：x R ∀∈，2560x x -+>D ．p ⌝：x R ∀∈，2560x x -+≥2．已知命题p ：经过定点000(,)P x y 的直线都可以用方程00()y y k x x -=-表示，命题q ：直线tan 706x y π+-=的倾斜角是56π，则下列命题是真命题的为（） A ．()p q ⌝∧B ．p q ∧C ．()p q ∨⌝D ．()()P q ⌝∧⌝3．p ：2x ≠或3y ≠；q ：5x y +≠，则（） A ．p 是q 的充分非必要条件 B ．p 是q 的必要非充分条件C ．p 是q 的充要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件4．圆22460x y x y +-+=与直线220mx y m ++-=（m R ∈）的位置关系为（）A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上都有可能5．由曲线222||2||x y x y +=+围成的图形的面积为（） A ．82π+B ．84π+C ．64π+D ．62π+6．设x ，y 满足约束条件0,,4312,x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩则251x y x +++的取值范围是（）A ．71,1319⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]1,12C ．70,1319⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]2,127．斜率为1的直线l 与椭圆22x y 14+=相交于A 、B 两点，则AB 的最大值为( ) A ．2BCD8．已知过点(0,1)的直线与圆224x y +=相交于A 、B 两点，若OA OB OP +=，则点P 的轨迹方程是（）A ．221()12x y +-=B ．22(1)1y x +-=C ．221()22x y +-=D ．22(1)2x y +-=9．已知两点A （﹣1，0），B （0，1），点P 是椭圆221169x y += 上任意一点，则点P 到直线AB 的距离最大值为（）A ．B ．C ．6D ．10．已知直线l ：1y kx =+过椭圆22221(0)x y b a a b+=<<的上顶点B 和左焦点F ，且被圆221x y +=截得的弦长为L ，若5L ≥，则椭圆离心率e 的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．(0,311．设椭圆C 的两个焦点是1F 、2F ，过1F 的直线与椭圆C 交于P 、Q ，若212||||PF F F =，且1156PF FQ =，则椭圆的离心率为（）A B ．713C ．13D ．91112．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点Q 、P 的距离之比||||MQ MP λ=(0,1)λλ>≠，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为221x y +=，定点Q 为x 轴上一点，1,02P ⎛⎫-⎪⎝⎭且2λ=，若点(1,1)B ，则2||||MP MB +的最小值为（）A B CD二、填空题13．过点(1,2)P ，并且在两轴上的截距互为相反数的直线方程是__________． 14．已知圆2216x y +=，直线l ：m x y +=3，圆上至少有三个点到直线l 的距离都是2，则m 的取值范围是__________．15．椭圆221mx y +=__________． 16．过点(0,1)M 的直线l 交椭圆C ：22195x y+=于A ，B 两点，1F 为椭圆的左焦点，当1ABF ∆周长最大时，直线l 的方程为__________．三、解答题17．已知ABC ∆的顶点(6,1)A ，AB 边上的中线CM 所在直线方程为270x y --=，AC 边上的高BH 所在直线方程为260x y --=．（1）求点C 的坐标；（2）求直线BC 的方程．18．已知中心在原点的椭圆，右焦点(1,0)，且过．（1）求椭圆的标准方程；（2）求斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程．19．为迎接2021年“双11”，“双12”购物狂欢节的来临，某青花瓷生产厂家计划每天生产汤碗、花瓶、茶杯这三种瓷器共100个，生产一个汤碗需5分钟，生产一个花瓶需7分钟，生产一个茶杯需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个汤碗可获利润5元，生产一个花瓶可获利润6元，生产一个茶杯可获利润3元．（1）使用每天生产的汤碗个数x 与花瓶个数y 表示每天的利润ω（元）；（2）怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？20．过点(0,2)的直线l 与中心在原点，焦点在x 的椭圆C 相交于A 、B 两点，直线12y x =过线段AB 的中点，同时椭圆C 上存在一点与右焦点关于直线l 对称．（1）求直线l 的方程；（2）求椭圆C 的方程．21．在直角坐标系xOy 中，二次函数23y x mx =+-的图象与x 轴交于A ， B 两点，点C 的坐标为()0,1．当m 变化时，解答下列问题：（1）以AB 为直径的圆能否经过点C ？说明理由；（2）过A ， B ， C 三点的圆在y 轴上截得的弦长是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．22．已知圆M ：22100x y ++-=和点N ，动圆P 经过点N 且与圆M 相切，圆心P 的轨迹为曲线E ． (Ⅰ)求曲线E 的方程；(Ⅱ)点A 是曲线E 与x 轴正半轴的交点，点B 、C 在曲线E 上，若直线AB 、AC 的斜率分别是1k 、2k ，满足129k k ⋅=，求ABC 面积的最大值．参考答案1．D 【解析】由含量词的命题的否定可得选项D 成立．选D ． 2．A 【解析】对于命题p ，只有当直线的斜率存在时才能用方程()00y y k x x -=-表示，因此命题p 为假命题；对于命题q ，可得直线的斜率为tan 6k π=-=，因此倾斜角为56π，因此命题q 为真命题。

湖北省部分重点中学2020-2021学年高二上学期12月联考试题数学 Word版含答案

绝密★启用前湖北省部分重点中学高二年级12月联考数学试卷★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知命题p：∃m∈R，方程x2＋mx＋1＝0有实根，则命题p的否定是A.对任意m∈R，方程x2＋mx＋1＝0无实根B.存在m∈R，使方程x2＋mx＋1＝0无实根C.不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实根D.至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实根2.已知一组数据x1、x2、x3、x4、x5的平均数是2，那么另一组数据3x1－2、3x2－2、3x3－2、3x4－2、3x5－2的平均数是A.2B.3C.4D.83.一个口袋中装有大小相同的5个红球和3个白球，从中任取3个球，那么互斥而不对立的事件是A.至少有一个红球与都是红球B.至少有一个红球与都是白球C.恰有一个红球与恰有二个红球D.至少有一个红球与至少有一个白球4.已知a，b表示不同的直线，α，β表示不同的平面，以下命题正确的是A.若a ∥b ，a ∥α，则b ∥αB.若a ⊥α，b ∥α，则a ⊥bC.若a ⊥b ，b ∥α，则a ⊥αD.若a ∥α，α∥β，则a ∥β5.若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则直线l 2在y 轴上的截距为 A.2或23 B.－2或23 C.2 D.236.已知a ＝(2，－1，4)，b ＝(－1，1，－2)，c ＝(7，5，m)，若a ，b ，c 共面，则实数m 的值为 A.607 B.14 C.12 D.6277.已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，过点F 的直线与抛物线C 相交于A ，B 两点，则B.8C.48.正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为3，点M 在棱AB 上，且AM ＝1，点P 是正方体下底面ABCD 内(含边界)的动点，且动点P 到直线A 1D 1的距离与点P 到点M 的距离的平方差为9，则动点P 到点B 的距离的最小值是A.2B.52二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

湖北省部分高中联考协作体2020-2021学年高二上学期期中数学试卷及解析

湖北省部分高中联考协作体2020-2021学年高二上学期期中数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题） A.30°B.60°C.120°D.150°2.P 为圆x 2+y 2=1上任一点，则P 与点M(3,4)的距离的最小值是（）A. 1B. 4C. 5D. 63.直线y m =+与圆221x y +=在第二象限内有两个不同的交点，则m 的取值范围是（）A.2)B.2)C.(1,2)D.4.以()3,1A --，()5,5B 两点为直径端点的圆的方程是（） A.()()2212100x y -++= B.()()221225x y +++= C.()()2212100x y -+-=D.()()221225x y -+-=5.设点()1,1A ，()5,1B -，直线l 过点()6,4且与线段AB 不相交，则l 的斜率的取值范围是（） A.355k ≤≤ B.355k << C.35k <或5k > D.不存在6.圆心在直线20x y -=上的圆C 与x 轴相切，圆C 截y 轴所得的弦长为C 的标准方程为（） A.22(1)(2)4x y -+-= B.22(1)(2)4x y +++= C.22(1)(2)4x y -++=D.22(1)(2)4x y -+-=或22(1)(2)4x y +++=7.已知在等比数列{}n a 中，34a =，前三项之和312S =，则{}n a 的通项公式为（）A.11162n n a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭B.11162n n a -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭C.4n a =D.4n a =或15(1)2n nn a --=-⋅8.圆22:2430C x y x y +--+=被直线:10l ax y a +--=截得的弦长的最小值为（）A.1B.2第II 卷（非选择题）二、解答题9.求经过直线150-=与直线2:2380l x y -+=的交点M ，且满足下列条件的直线方程.（1）与直线270x y ++=平行；（2）与直线270x y ++=垂直.10.一条光线从点(6,4)P 射出，与x 轴相交于点(2,0)Q ，经x 轴反射，反射光线与圆22:2450C x y x y +---=相交.（1）求反射光线所在直线方程；（2）求（1）中反射光线所在直线被圆C 截得的弦长. 11.已知点(1,1)A -，(5,1)B ，直线L 经过A ，且斜率为34-. （1）求直线L 的方程；（2）求以B 为圆心，并且与直线L 相切的圆的标准方程.12.在数列{}n a 中，11a =，且点()()*1,n n P a a n +∈N 在直线20x y -=上，2log n n b a =.（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）若n n n c a b =-，求数列{}n c 的前n 项和n S .13.某校为了解高三男生的体能达标情况，抽调了120名男生进行立定跳远测试，根据统计数据得到如下的频率分布直方图.若立定跳远成绩落在区间(),x s x s -+的左侧，则认为该学生属“体能不达标的学生，其中,x s 分别为样本平均数和样本标准差，计算可得27s ≈（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.（1）若该校高三某男生的跳远距离为187cm ，试判断该男生是否属于“体能不达标”的学生？（2）该校利用分层抽样的方法从样本区间[160,180),[180,200),[200,220)中共抽出5人，再从中选出两人进行某体能训练，求选出的两人中恰有一人跳远距离在[200,220)的概率.三、填空题14.在等差数列n a 中，若n S 为{}n a 的前n 项和，101228a a =+，则15S =______. 15.已知直线l 的倾斜角为6π，直线1l 经过点(1,2)A ，(2,)B a ，且直线l 与1l 垂直，则实数a 的值为______.16.若圆221x y +=与圆22()(4)25x a y -++=相交，则实数a 的取值范围是______. 17.直线220ax by +-=始终平分圆222410x y x y +-++=的圆周，则直线()1230a x by +++=过定点P ，P 点坐标为______.四、新添加的题型ABC 的三个内角，下列结论一定成立的有（） A.()sin sin B C A += B.()cos cos A B C +=C.若A B >，则sin sin A B >D.若sin 2sin 2A B =，则ABC 是等腰三角形19.已知{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，满足1263a a S +=，则下列四个选项中正确的有（） A.70a =B.130S =C.7S 最小D.58S S =20.2020年春节前后，一场突如其来的新冠肺炎疫情在全国蔓延.疫情就是命令，防控就是责任.在党中央的坚强领导和统一指挥下，全国人民众志成城、团结一心，掀起了一场坚决打赢疫情防控阻击战的人民战争.下侧的图表展示了2月14日至29日全国新冠肺炎疫情变化情况，根据该折线图，下列结论正确的是（）A.16天中每日新增确诊病例数量在下降且19日的降幅最大B.16天中每日新增确诊病例的中位数小于新增疑似病例的中位数C.16天中新增确诊、新增疑似、新增治愈病例的极差均大于2000D.21日至29日每日新增治愈病例数量均大于新增确诊与新增疑似病例之和21.数列{}n a 满足11a =，且对任意的*n ∈N 都有11n n a a a n +=++，则下列说法中正确的是（） A.(1)2n n n a +=B.数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项的和为20202021 C.数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项的和为40402021 D.数列{}n a 的第50项为2550参考答案1.C【解析】1.50y ++=的倾斜角为α，得到tan α=.50y ++=的倾斜角为α，50y ++=，可得直线的斜率为k =所以tan α=0180α≤<，解得120α=，50y ++=的倾斜角为120，故选：C 2.B【解析】2.先确定点M 在圆x 2+y 2=1，因此圆上的点到点M 的距离的最小值即等于圆心与M 的距离减去半径，进而可得出结果. 因为M(3,4)在圆x 2+y 2=1外，且圆心与M(3,4)的距离等于√32+42=5，又P 为圆x 2+y 2=1上任一点，所以P 与点M(3,4)的距离的最小值等于圆心与M 的距离减去半径，因此最小值为5−1=4.故选B 3.A【解析】3.由图可得，直线与圆在第二象限由两个不同交点时，在过A 点时和切线之间，进而可得结果.如图，当直线y m =+，过点(1,0)A -时，m =，当直线y m =+1,0,2m m =>∴=，所以m 的取值为2). 故选：A. 4.D【解析】4.先求出线段AB 中点坐标即为圆心，再求出AB 即为直径，即可得出圆的方程. 可知线段AB 的中点坐标为3515,22-+-+⎛⎫⎪⎝⎭，即为()1,2，10AB ==，以()3,1A --，()5,5B 两点为直径端点的圆的圆心为()1,2，半径为5，则方程为()()221225x y -+-=. 故选：D. 5.C【解析】5.写出直线l 和AB 的方程，解方程组得交点坐标，由交点横坐标在区间[1,5]上可解得k 的范围，再在R 中求补集即得．直线AB 方程为111151y x --=---，即1322y x =-+，直线l 方程为4(6)y k x -=-，由13224(6)y x y k x ⎧=-+⎪⎨⎪-=-⎩，解得125213421k x k k y k -⎧=⎪⎪+⎨-⎪=-⎪+⎩，由1251521k k -≤≤+，得355k ≤≤，此时直线l 与线段AB 有公共点，所以直线l 与线段AB 不相交时，35k <或5k >．故选：C ． 6.D【解析】6.设出圆心坐标和半径，由相切与弦长列出方程组，解之可得．因为圆心在直线20x y -=上，所以设圆心坐标为(,2)C a a ，圆半径为r ，则2223r ar a ⎧=⎨-=⎩，解得12a r =⎧⎨=⎩或12a r =-⎧⎨=⎩，圆方程为22(1)(2)4x y -+-=或22(1)(2)4x y +++=．故选：D ． 7.D【解析】7.设公比为q ，求出首项1a 的公比q 后可得通项公式．设公比为q ，则212111412a q a a q a q ⎧=⎨++=⎩，解得141a q =⎧⎨=⎩或11612a q =⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以4n a =或()115116122n n n n a ---⎛⎫=⨯-=-⋅ ⎪⎝⎭．故选：D ． 8.B【解析】8.求得直线恒过定点(1,1)P ，当l PC ⊥时，弦长最小，结合勾股定理求得此时的弦长. 直线:10l ax y a +--=可化为:(1)(1)0l a x y -+-=，故直线l 恒过点(1,1)P . 圆22:2430C x y x y +--+=的圆心为(1,2)C当直线l 垂直于直线PC 时，截得的弦长最短，此时弦长2d =. 故选：B9.（1）20x y +=；（2）250x y -+=.【解析】9.（1）求出交点M 坐标，由平行斜率相等得直线斜率，从而可得直线方程；（2）由垂直，斜率乘积等于1-得直线斜率，可得直线方程．解：（1）由345238x y x y +=⎧⎨-=-⎩，解得12x y =-⎧⎨=⎩，所以交点2()1,M -. 因为斜率2k =-，由点斜式得所求直线方程为22(1)y x -=-+，即20x y +=.（2）由垂直可得所求直线的斜率12k =，由点斜式得所求直线方程为12(1)2y x -=+，即250x y -+=.10.（1）20x y +-=；（2【解析】10.（1）求出点关于x 轴对称的点，即可找到反射光线所在直线；（2）求出圆心，借助弦长公式计算即可．（1）由已知，根据直线的两点式方程，得直线PQ 的方程是：024062y x --=--，即20x y --=.根据光的反射原理，作出点P 关于x 轴对称的点()16,4P -，直线1PQ 就是反射光线所在直线，利用点斜式可得直线1PQ 的方程为()12y x =-⋅+，即20x y +-=．（2）由题可知圆C 的标准方程为22(1)(2)10x y -+-=，∴圆心(1,2)C ，则C 到直线1PQ 的距离d ==，∴弦长===.∴（1）中反射光线所在直线被圆C 11.（1）3410x y ++=；（2）22(5)(1)16x y -+-=.【解析】11.（1）根据点和斜率可直接写出直线方程；（2）根据与直线相切求出圆的半径，再根据圆心可得圆的方程．解：（1）由题意，直线的方程为：31(1)4y x +=--，整理成一般式方程，得3410x y ++=， ∴直线L 的方程为3410x y ++=；（2）由已知条件，得所求圆的圆心为(5,1)B ，可设圆B 方程为：222(5)(1)x y r -+-=， ∵圆B 与直线:3410L x y ++=相切， ∴r d ==∴4r =.故圆B 的方程为22(5)(1)16x y -+-=. 12.（1）12n n a ，1n b n =-；（2）(1)212n n n n S -=--.【解析】12.（1）由题意可知数列{}n a 为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列{}n a 的通项公式，利用对数的运算性质可求得{}n b 的通项公式；（2）求得()121n n c n -=--，利用分组求和法可求得n S .（1）由题意可得12n n a a +=，所以，数列{}n a 是公比为2的等比数列，11a =，11122n n n a --∴=⨯=，12log 21nnb n ；（2）()121n n c n -=--，()()121212n n n n S c c c a a a b b b =++⋅⋅⋅+=+++-+++()()012122220121n n -=++++-++++-⎡⎤⎣⎦()()1121(01)211222n n n n n n ⨯--+-⨯=-=---. 13.（1）该生属于“体能不达标”的学生（2）35【解析】13.（1）由题可知，根据频率=纵坐标×组距，分别求出各组频率=各组小矩形面积，便可频率分布直方图的平均数x ，即可判断；（2）由频数=频率×样本容量，可求出[160,180),[180,200),[200,220)对应的人数，再按分层抽样抽取5人，分别抽出1人，2人，2人，再从5人中抽2人，最后用一一列举出来，用古典概型即可求出答案.（1）由题意可知：各小矩形面积从左至右依次为0.1，0.2，0.2，0.3，0.15，0.050.11700.21900.22100.32300.152500.05270217x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 190x s -≈∵187190<∴该生属于“体能不达标”的学生（2）由题意，跳远距离在[160,180),[180,200),[200,220)的人数分别为12人、24人、24人按分层抽样抽取5人，则[160,180)抽1人，[180,200)抽2人，[200,220)抽2人设[160,180)抽出的人编号为a ，[180,200)抽出的人编号为,b c ，[200,220)抽出的人编号为,d e从中选两人，(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)a b a c a d a e b c b d b e c d c e d e ，共有10种情况记选出的两人中恰有一人跳远距离在[200,220)为事件A ，满足条件的基本事件有6种，分别为(,),(,),(,),(,),(,),(,)a d a e b d b e c d c e ∴63()105P A ==. 14.120【解析】14.利用等差数列的性质计算出8a 的值，再利用等差数列的求和公式可求得15S 的值. 由等差数列的性质可得121012882a a a a +==+，可得88a =，因此，()11515815151581202a a S a +===⨯=.故答案为：120.15.2【解析】15.由斜率乘积为1-可得参数值．因为直线l 与1l 垂直，所以21321a -⨯=--，解得2a =故答案为：2．16.((0,25)-【解析】16. 求出圆心距d ，解不等式R r d R r -<<+可得，其中,R r 分别是两圆半径．两圆圆心分别为(0,0)O ，(,4)C a -，半径分别为1，5，OC =，两圆相交，则46<，解得a -<<0a ≠，故答案为：((0,25)- 17.(1,2)-【解析】17.依题意得220ax by +-=过圆心()1,2-，则1b a =-，所以()()12130a x a y ++-+=令3020x y x y -+=⎧⎨+=⎩可得定点. 由圆222410x y x y +-++=得圆心为()1,2-，因为直线220ax by +-=始终平分圆222410x y x y +-++=的圆周，则直线220ax by +-=过圆心，所以1a b -=得1b a =-，则直线()1230a x by +++=化为()()12130a x a y ++-+=；所以()320x y a x y -+++= 由3020x y x y -+=⎧⎨+=⎩得12x y =-⎧⎨=⎩；所以直线()1230a x by +++=过定点()1,2P -故答案为：(1,2)-18.AC【解析】18.由A B C π++=结合诱导公式可判断选项A ，B ，由三角形中大角对大边结合正弦定理可判断选项C ，在三角形中若sin 2sin 2A B =,则若22A B =或22A B π+=可判断选项D. 由A B C π++=，则()()sin sin sin B C A A π+=-=,故A 正确.()()cos cos cos A B C C π+=-=-,故B 不正确.由三角形中大角对大边，A B >，则a b >，根据正弦定理有sin sin A B >,故C 正确. 在三角形中若sin 2sin 2A B =,则若22A B =或22A B π+=.所以2A =或2A B π+=,则ABC 是等腰三角形或直角三角形,故D 不正确.故选：AC19.ABD【解析】19.由条件可得70a =，然后逐一判断每个选项即可因为{}n a 是等差数列，1263a a S +=所以()1115361d a d a a +=++，所以12120a d +=即160a d +=，即70a =所以137130S a == 67878530a a S S a a -=++==所以正确的有ABD故选：ABD20.BCD【解析】20.根据折线图，中位数、极差的概念，判断各选项．20日新增确诊病例数量比19日多，A 错；新增确诊病例的中位数小于新增疑似病例的中位数在21、22日左右，比较可得B 正确；新增确诊极差25005002000>-=、新增疑似极差23002002000>->、新增治愈病例的极差350015002000>-=，均大于2000，C 正确；21日至29日每日新增治愈病例数量均大于新增确诊与新增疑似病例之和，D 正确．故选：BCD ．21.AC【解析】21. 用累加法求得通项公式，然后由裂项相消法求1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的和即可得．因为11n n a a a n +=++，11a =，所以11n n a a n +-=+，所以2n ≥时，121321(1)()()()1232n n n n n a a a a a a a a n -+=+-+-++-=++++=， 11a =也适合此式，所以(1)2n n n a +=， 501275a =，A 正确，D 错误，12112()(1)1n a n n n n ==-++，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为202011111404021223202020212021S ⎛⎫=-+-++-= ⎪⎝⎭，B 错，C 正确．故选：AC ．。

湖北省部分重点中学2020-2021学年度上学期期中联考高二数学(文科)试题

A． B． C． D．
3．已知关于直线的对称点为，则直线的方程是（）
A． B． C． D．
4．设：，：直线：与：平行，则是的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．圆与直线（）的位置关系为（）
A．相离B．相切C．相交D．以上都有可能
∴ ，。
由题意得，
解得。选D。
点睛：由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，进一步求出最值，结合最大值与最小值的差为7求得实数m的值．
8．B
【解析】
由题意画出曲线对应的图形（如图所示）。
当时，曲线的方程为。
由曲线关于原点对称可知，此曲线所围成的图形由一个边长为得正方形与四个半径为的半圆围成。因此围成的图形的面积为。选B。
16．设椭圆的两个焦点是，过的直线与椭圆交于，若，且，则椭圆的离心率为__________．
三、解答题
17．已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为．
（1）求点的坐标；
（2）求直线的方程．
18．为迎接2021年“双 ”，“双 ”购物狂欢节的来临，某青花瓷生产厂家计划每天生产汤碗、花瓶、茶杯这三种瓷器共个，生产一个汤碗需分钟，生产一个花瓶需分钟，生产一个茶杯需分钟，已知总生产时间不超过小时．若生产一个汤碗可获利润元，生产一个花瓶可获利润元，生产一个茶杯可获利润元．
20．在直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，点的坐标为．当变化时，解答下列问题：
（1）以为直径的圆能否经过点？说明理由；

湖北省部分省级示范高中2020-2021学年高二上学期期中联考数学试题

A． B．
C． D．
8．已知双曲线的离心率为，过右焦点F的直线与两条渐近线分别交于A，B，且，则直线AB的斜率为（）
A．或 B．或 C．2D．
二、多选题
9．设椭圆：的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一动点，则下列说法中正确的是（）
A．当点不在轴上时，的周长是6
B．当点不在轴上时，面积的最大值为
故选：ABD
【点睛】
结论点睛：椭圆中焦点三角形的有关结论
以椭圆上一点和焦点为顶点的中，若，则
（1）焦点三角形的周长为；
（2）当点为椭圆短轴的一个端点时，为最大；
（3），当时，即点为椭圆短轴的一个端点时取最大值，为；
（4） .
10．BC
【分析】
由所给双曲线方程计算可得.
【详解】
设，，，
因为椭圆上存在一点，使得，
所以，即，
可得，
因为的面积等于，所以，即，
椭圆与圆联立，得，
所以，即，
因为，，所以，即，
所以
故答案为：
【点睛】
本题考查椭圆的几何性质，向量数量积的坐标运算，焦点三角形的面积问题，属于中档题.
16．2
【分析】
联立和，得到线段的中点C的坐标为，
的外心为欧拉线方程为
与直线的交点为，
，①
由，，重心为，
代入欧拉线方程，得，②
由①②可得或 .
故选:AD
【点睛】
本题以数学文化为背景，考查圆的性质和三角形重心，属于较难题.
13．-10
【分析】
将问题转化为动点到两定点的距离之差的最小值，结合三角形法则即可求解.

湖北省武汉市十五中学联考体2020-2021学年高二上学期期中联考数学试卷及解析

湖北省武汉市十五中学联考体2020-2021学年高二上学期期中联考数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.在空间直角坐标系中，点()1,3,5P -关于yOz 面对称的点的坐标是（） A.()1,3,5B.()1,3,5-C.()1,3,5--D.()1,3,5--2.若直线30x y a -+=过圆22240x y x y ++-=的圆心，则a 的值为（） A.5B.3C.1D.1-3.如图，在下列四个正方体中，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 不平行与平面MNQ 的是（）A. B.C. D.4.已知,m n 是两条不重合的直线，,αβ为两个不同的平面，则下列说法正确的是（） A.若,m n αα⊂⊄，,m n 是异面直线，那么n 与α相交 B.若m //α,αβ⊥，则m β⊥ C.若,m αβα⊥⊥，则m //β D.若,m α⊥α//β，则m β⊥5.已知12,F F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于AB 两点，若2ABF 是正三角形，则这个椭圆的离心率是（）A.3B.3C.2D.26.长方体1111ABCD A B C D -的各个顶点都在体积为323π的球O 的球面上，其中12AA =，底面ABCD 是正方形，则OA 与平面ABCD 所成角的大小为（） A.6π B.3π C.2π D.56π 7.已知椭圆E ：22221x y a b+=(a >b >0))的右焦点是F (3，0)，过点F 的直线交椭圆E 于A ，B两点，若AB 中点M 的坐标为(1，-1)，则椭圆E 的方程为（）A.2211664x y += B.221189x y += C.2212718x y += D.2214536x y += 8.设椭圆C 的左右焦点为12,F F ，焦距为2c ，过点1F 的直线与椭圆C 交于点,P Q ，若2||2PF c =，且114||||3PF QF =，则椭圆C 的离心率为（） A.12B.34C.57D.23第II 卷（非选择题）二、解答题9.如图，在三棱柱111ABC -中，AB AC =，D 为BC 中点，平面ABC ⊥平面11BCC B ，11BC B D ⊥.（1）求证：1//A C 平面1AB D ；（2）求证：11AB BC ⊥.10.如图，在四面体ABCD 中，E ，F 分别是线段AD ，BD 的中点，∠ABD =∠BCD =90°，EC =，AB =BD =2，直线EC 与平面ABC 所成的角等于30°.（1）证明：平面EFC ⊥平面BCD ；（2）求点F 到平面CDE 的距离. 11.求满足下列各条件的椭圆的标准方程. （1）长轴是短轴的3倍且经过点A (3，0)；（2）过点，，且与椭圆221259y x +=有相同焦点.12.已知圆22:1O x y +=切线l 与椭圆22:34C x y +=相交于A 、B 两点. （1）求椭圆C 的离心率；（2）求证：OA OB ⊥.13.如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 中点.（1）PB ∥平面AEC ；（2）设PA =1，ABC ∠60︒=，三棱锥E -ACD 的体积为6，求二面角D -AE -C 的余弦值. 14.已知椭圆2222:?1(0)x y C a b a b+=>>．离心率为12，点(0,2)G 与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线y kx m =+与椭圆C 交于,M N 两点，O 为坐标原点直线,OM ON 的斜率之积等于34-，试探求OMN 的面积是否为定值，并说明理由．三、填空题222)4x y -+=截得的弦长为________. 16.22192x y +=的焦点为F 1、F 2，点Р在椭圆上，若|PF 1|=4，则∠F 1PF 2的大小为_________.17.在我国古代数学著作《九章算术》中，把底面是直角三角形的直棱柱称为“堑堵”，已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1是一个“堑堵”，其中AB =BC =BB 1=2，点D 是AC 的中点，则异面直线AB 1与BD 所成角的大小为________.四、新添加的题型18.已知动圆Р与圆C 1：22(3)1x y ++=外切，且与圆C 2：22(3)81x y -+=内切，动圆圆心Р的轨迹方程为C ，则下列说法正确的是（）A.轨迹方程C 为2212516x y +=B.轨迹方程C 的焦距为3C.轨迹方程C 的长轴为10D.轨迹方程C 的离心率为3519.如图，M 、N 分别为边长为1的正方形ABCD 的边BC 、CD 的中点，将正方形沿对角线AC 折起，使点D 不在平面ABC 内，则在翻折过程中，以下结论正确的是（）A.MN ∥平面ABDB.异面直线AC与BD所成的角为定值C.存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D.三棱锥M-ACN体积的最大值为4820.1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章.人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径(卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为2a、2c，下列结论正确的是（）A.卫星向径的取值范围是[a-c，a+c]B.卫星在右半椭圆弧的运行时间大于其在左半椭圆弧的运行时间C.卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁D.卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小21.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E、F、G分别为BC、CC1、BB1的中点，则（）A.直线DD1与直线AF垂直B.直线A1G与平面AEF平行C.平面AEF截正方体所得的截面面积为9 8D.点C和点G到平面AEF的距离相等22.已知正四棱锥P-ABCD的五个顶点都在球О的球面上，底面ABCD边长为2，E为PB 中点，∠AEC=90°，则侧棱PB=_______，球О表面积为_________.参考答案1.C【解析】1.关于谁对称谁不变，由此可直接得出结果.两点关于yOz 面对称，则纵坐标相同，竖坐标相同，横坐标互为相反数，所以点()1,3,5P -关于yOz 面对称的点的坐标是()1,3,5--. 故选：C. 2.A【解析】2.先根据圆的一般是方程得圆心为()1,2-，再根据直线过圆心即可求得a . 解：根据圆22240x y x y ++-=的一般式方程得圆心坐标为：()1,2-，由于直线30x y a -+=过圆22240x y x y ++-=的圆心，所以有320a --+=，解得5a =. 故选：A. 3.D【解析】3.利用线面平行的判定定理可判断A 、B 、C 选项的正误；利用线面平行的性质定理可判断D 选项的正误.对于A 选项，如下图所示，连接CD ，在正方体中，//AD BC 且AD BC =，所以，四边形ABCD 为平行四边形，则//AB CD ，N 、Q 分别为DE 、CE 的中点，则//NQ CD ，//AB NQ ∴， AB ⊄平面MNQ ，NQ ⊂平面MNQ ，//AB ∴平面MNQ ；对于B 选项，连接CD ，如下图所示：在正方体中，//AD BC 且AD BC =，所以，四边形ABCD 为平行四边形，则//AB CD ，M 、Q 分别为DE 、CE 的中点，则//MQ CD ，//AB MQ ∴，AB ⊄平面MNQ ，MQ 平面MNQ ，//AB ∴平面MNQ ；对于C 选项，连接CD ，如下图所示：在正方体中，//AD BC 且AD BC =，所以，四边形ABCD 为平行四边形，则//AB CD ，M 、Q 分别为DE 、CE 的中点，则//MQ CD ，//AB MQ ∴，AB ⊄平面MNQ ，MQ 平面MNQ ，//AB ∴平面MNQ ；对于D 选项，如下图所示，连接BE 交MN 于点F ，连接QF ，连接CD 交BE 于点O ，若//AB 平面MNQ ，AB 平面ABE ，平面ABE 平面MNQ FQ =，则//FQ AB ，则EF EQBE AE=，由于四边形BCED 为正方形，对角线交于点O ，则O 为BE 的中点，M 、N 分别为DE 、CE 的中点，则//MN CD ，且MNBE F =，则12EF EN EO CE ==，1124EF OE BE ∴==，则14EF BE =，又12EQ AE =，则EF EQBE AE≠，所以，AB 与平面MNQ 不平行；故选：D. 4.D【解析】4.采用逐一验证法，结合线面以及线线之间的位置关系，可得结果. 若,m n αα⊂⊄，,m n 是异面直线,n 与α也可平行，故A 错若m //α，αβ⊥，m 也可以在β内，故B 错若,m αβα⊥⊥m 也可以在β内，故C 错若,m α⊥α//β，则m β⊥，故D 对故选：D 5.A【解析】5.由正三角形特点12||,||AF AF 用c 表示，结合椭圆的定义，即可求得离心率.2ABF 是正三角形，212||||33AF F F ∴==，1212||2||,||||2AF AF AF AF a ∴==+==e ∴=. 故选：A . 6.A【解析】6.求出球的半径2R =，进而可求得长方体1111ABCD A B C D -的体对角线长为24R =，设AB a ，可求得a =AC 的中点E ，可得出OE ⊥平面ABCD ，进而可知OAE ∠是直线OA 与平面ABCD 所成的角，求解即可.因为长方体1111ABCD A B C D -的各个顶点都在体积为323π的球O 的球面上，设球O 的半径为R ，则343233R ππ=，解得2R =，所以，长方体1111ABCD A B C D -的体对角线长为24R =，设AB a ，12AA =，四边形ABCD 4=，解得a =取AC 的中点E ，连接OE ，如下图所示：易知球心O 为1AC 的中点，所以，1//OE CC ，且1112OE CC ==， 1CC ⊥平面ABCD ，则OE ⊥平面ABCD ，所以，OAE ∠是直线OA 与平面ABCD 所成的角，在Rt OAE △中，2OA =，1OE =，2OEA π∠=，1sin 2OE OAE OA ∴∠==， OAE ∠为锐角，则6OAE π∠=，因此，OA 与平面ABCD 所成角的大小为6π. 故选：A. 7.B【解析】7.设1122(,),(,)A x y B x y ，代入椭圆的标准方程，两式作差可得ABk 22b a =，由22b a =12，9=2c =22a b -，即求.设1122(,),(,)A x y B x y ，则12x x +=2，12y y +=－2，2211221x y a b +=， ① 2222221x y a b+=， ② ①－②得1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +-+-+=，∴AB k =1212y y x x --=212212()()b x x a y y +-+=22b a，又AB k =0131+-=12，∴22b a =12，又9=2c =22a b -，解得2b =9，2a =18，∴椭圆方程为221189x y +=，故选：B ． 8.C【解析】8.根据题意，求得112,,PF F Q F Q ，结合余弦定理，即可求得,a c 的齐次式，据此即可求得结果.根据题意，作图如下：由2||2PF c =得1||22PF a c =-，13377||,||=22a c a c QF PQ --= ，23||2a cQF +=由221cos cos F PQ F PF ∠=∠ 即22222222211222122PF PQ F QPF PF F F PF PQPF PF +-+-=，整理得2271250c ac a -+=，则()()570a c a c --=，得57e =故选：C .9.（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】9.（1）连接1A B 交1AB 于点O ，连接OD ，由题中条件，证明1//OD A C ，根据线面平行的判定定理，即可证明结论成立；（2）根据题意，由面面垂直，得到AD ⊥平面11BCC B ，得到1AD BC ⊥，再由线面垂直的判定定理，证明1BC ⊥平面1AB D ，进而可得11AB BC ⊥. （1）证明：连接1A B 交1AB 于点O ，连接OD ，∵111A B C ABC -是三棱柱， ∴四边形11ABB A 是平行四边形， ∴O 为AB 中点， ∵D 为BC 中点， ∴1//OD A C ，∵1AC ⊄平面1AB D ，OD ⊂平面1AB D ； ∴1//A C 平面1AB D ；(2）∵AB AC =，D 为BC 中点， ∴AD BC ⊥，∵平面ABC ⊥平面11BCC B ，平面ABC 平面11BCC B BC =，AD ⊂平面ABC ，∴AD ⊥平面11BCC B ；∵1BC ⊂平面11BCC B ，∴1AD BC ⊥，∵11BC B D ⊥，1AD B D D ⋂=，AD ⊂平面1AB D ，1B D ⊂平面1AB D ， ∴1BC ⊥平面1AB D ，又1AB ⊂平面1AB D ， ∴11AB BC ⊥.10.（1）证明见解析；（2【解析】10.（1）要证明面面垂直，需证明线面垂直，根据垂直关系证明EF ⊥平面BCD ；（2）首先作辅助线，取AC 的中点M ，连结EM ，首先证明ECM ∠是直线EC 与平面ABC 所成的角，再利用等体积转化求点到平面的距离. （1）F 是斜边BD 的中点， ∴FC=12BD=1 ∵E ，F 是AD 、BD 的中点， ∴EF=12AB=1，又∵ ∵EF 2+FC 2=EC 2 ∴EF ⊥FC又∵AB ⊥BD ，EF ∥AB ∵EF ⊥BD ，又BD∩FC=F ∴EF ⊥平面BCD ∴平面EFC ⊥平面BCD (2）取AC 的中点M ，连结EM∵AB=BD=2且∠ABD=90°， ∴AD=∵=12AD ， ∴ΔACD 为直角三角形且∠ACD=90°，∴DC ⊥AC ，又DC ⊥BC ， ∴AC∩BC=C ，又∵AC ，BC ⊂面ABC ， ∴DC ⊥面ABC ，又E ，M 分别为AC ，AD 中点， ∴EM ∥CD ∴EM ⊥平面ABC ，∴∠ECM 为EC 与平面ABC 所成的夹角，∠ECM=30°，∴ME=12CE=2∴S ΔFCD =111222⨯= ∵VE-FCD =13EF×S ΔFCD =1111236⨯⨯=，在RtΔECD 中，，∴SΔECD =1222=，设点F 到平面CDE 的距离为h ，∵V E-FCD =V F-ECD ，1163=，解得h=3即点F 到平面CDE 的距离为3. 11.（1）2219x y +=或221819y x +=；（2）221204x y +=.【解析】11.（1）分椭圆焦点在x 轴上和椭圆焦点在y 轴上两种情况，分别设所求椭圆的标准方程运用待定系数法，代入已知条件可求得椭圆的标准方程；(2）由已知椭圆的方程求得焦点的坐标，设该椭圆方程为22221y x a b+=(a >b >0)，代入已知的点，解之可得答案.（1）若椭圆焦点在x 轴上，设所求椭圆的标准方程为22221x y a b+=(a >b >0)，∵长轴是短轴的3倍，∴a =3b ，又∵椭圆经过点A (3，0)，∴2222301a b+=，得到a =3，∴b =1，所以2219x y +=；若椭圆焦点在y 轴上，设所求椭圆的标准方程为22221y x a b+=(a >b >0)∵长轴是短轴的3倍，∴a =3b ，又∵椭圆经过点A (3，0)，∴2222031a b +=，得到b =3，∴a =9，∴221819y x +=，所以椭圆的标准方程为.2219x y +=或221819y x +=.(2）椭圆221259y x +=的焦点为(0，±4)，设该椭圆方程为22221y x a b+=(a >b >0)，因此2216a b -= ①∵椭圆过，22531a b+=(a >b >0) ②，联立①②式，解得a 2=20，b 2=4. 因此该椭圆方程为221204x y +=.12.（12）证明见解析.【解析】12.（1）将椭圆C 的方程化为标准方程，求出a 、c ，进而可求得椭圆C 的离心率；（2）对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，在直线l 的斜率不存在时，求出A 、B 两点的坐标，计算出0OA OB ⋅=；在直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，利用直线l 与圆O 相切可得出221m k =+，并将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，利用平面向量的数量积并结合韦达定理计算得出0OA OB ⋅=.综合可证得结论成立.（1）将椭圆C 方程化为标准形式221443x y +=， 24a ∴=，243b =，22248433c b a =-=-=，则2a =，c = 因此，椭圆C的离心率为323c e a ===；（2）若切线l 的斜率不存在，即直线l 的方程为1x =±，联立椭圆C 的方程可解得：()1,1A 、()1,1B -或者()1,1A -、()1,1B --. 此时0OA OB ⋅=，即OA OB ⊥成立；若切线l 的斜率存在，设其方程为y kx m =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，直线l 与圆22:1O x y +=相切，则1=，化简得221k m +=，联立2234y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得到()222316340k x kmx m +++-=，由韦达定理可得122631km x x k +=-+，21223431m x x k -=-+， ∴()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++，()()22121212121OA OB x x y y k x x km x x m ∴⋅=+=++++，将122631km x x k +=-+，21223431m x x k -=-+代入上式得： ()222222234613131m k m OA OB k m k k -⋅=+-+++，又∵221k m +=，所以()2222424242222223463466320032323232m m k m m m m m m m OA OB m m m m m ---++-⋅=-+===----，OA OB ∴⊥.综上所述，OA OB ⊥一定成立. 13.（1）证明见解析；（2）14.【解析】13.(1 )连接BD 交AC 于点O ，连接OE ，根据中位线定理可得//PB OE ，由线面平行的判定定理即可证明//PB 平面AEC ；（2）设菱形ABCD 的边长为a，根据24P ABCD P ACD E ACD V V V ---===可得2a =，以点A 为原点，以AM 方向为x 轴，以AD 方向为y 轴，以AP 方向为z 轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面CAE 与平面DAE 的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果.(1)连接BD 交AC 于点O ，连接OE ，则O 为BD 中点，E 为PD 的中点，所以//PB OE ， OE ⊂平面,ACE PB ⊄平面ACE ，所以//PB 平面AEC ；（2）设菱形ABCD 的边长为a ，243P ABCD P ACD E ACD V V V ---===，13111323P ABCD ABCDV SPA a -⨯⨯⨯=⋅==，则2a =. 取BC 中点M ，连接AM .以点A 为原点，以AM 方向为x 轴，以AD 方向为y 轴，以AP 方向为z 轴，建立如图所示坐标系.()0,2,0D ，()0,0,0A ，10,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭E，)C10,1,2AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()3,1,0AC =，设平面ACE 的法向量为1(,,)n x y z =，由11,n AE n AC ⊥⊥，得1020y z y ⎧+=⎪+=，令y =1,x z =-=-(1n =∴--，平面ADE 的一个法向量为()21,0,0n =1212121cos<,>41n n n n n n ⋅===+⋅，即二面角D AE C --的余弦值为14. 14.（1）22143x y +=；（2）是定值，理由见解析.【解析】14. （1）由题意有12c e a ==，点(0,2)G 与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形有2a =，即可写出椭圆方程；（2）直线y kx m =+与椭圆C 交于()()1122,,,M x y N x y 两点，联立方程结合韦达定理即有()12221228km 344m 334x x k x x k -⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，已知34OM ON k k =-应用点线距离公式、三角形面积公式即可说明OMN 的面积是否为定值；（1）椭圆22221(0)x y a b a b+=>>离心率为12，即12c e a ==，∵点(0,2)G 与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形， ∴2a =，综上有：1c =，b =22143x y +=，（2）由直线与椭圆交于,M N 两点，联立方程：22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()()222348430k x kmx m +++-=，设()()1122,,,M x y N x y ，则()()()()()222221222122816343484308{344334km k m k m km x x k m x x k ∆=-+-=+->-+=+-=+，()()()2212121212121212OM ONkx m kx m k x x mk x x m y y k k x x x x x x +++++===()()()()()22222222224m 383434344343k k m m k m k m m --++-===---，22243m k ∴=+，12MN x =-==，原点O 到l的距离d =，2OMNMN Sd ∴=⋅==15.【解析】15.求出圆心到直线的距离，由勾股定理计算弦长．直线方程一般式为0x -=，圆心为(2,0)，它到已知直线的距离为1d ==，圆半径为2r，所以弦长为==．故答案为：16.23π【解析】16.根据椭圆的定义可得22PF =，结合122F F c ==12F PF 中利用余弦定理求解即可.由椭圆22192x y +=可得:3a =,b =c =根据椭圆定义可得:1226PF PF a +==, 122F F c ==, 可得2264PF a +==，解得:22PF =.在三角形12F PF 中由余弦定理:22212121212164281cos 22422PF PF F F F PF PF PF +-+-∠===-⋅⨯⨯, 所以1223F PF π∠= 故答案为: 23π. 17.3π【解析】17.取11A C 的中点F ，连接AF ，则BD ∥1B F ，从而得1AB F ∠或其补角为异面直线AB 1与BD 所成角，然后在1AB F △求解即可解：取11A C 的中点F ，连接AF ，则BD ∥1B F ，从而得1AB F ∠或其补角为异面直线AB 1与BD 所成角，因为AB =BC ，D 是AC 的中点，所以BD AC ⊥，因为1AA ⊥平面ABC ，BD 在平面ABC 内，所以1AA ⊥BD ，因为1AA AC A =所以BD ⊥平面11AAC C ，所以BD AF ⊥，所以1B F AF ⊥，因为AB =BC =BB 1=2，所以11B F AB =所以1111cos 2B F AB F AB ∠===，所以13AB F π∠=，故答案为：3π18.ACD【解析】18.根据圆的位置得出动点P 到两个定点12(3,0),(3,0)C C -的距离之和为10，再由椭圆的定义得点P 在以两定点12(3,0),(3,0)C C -为焦点，10为长轴长的椭圆上.求得椭圆的标准方程，根据椭圆的几何性质可判断得选项.圆C 1：22(3)1x y ++=的圆心()13,0C -，半径11r =，圆C 2：22(3)81x y -+=的圆心()23,0C ，半径29r =，设点(),P x y ，动圆的半径为()>0r r ，则由题意得12||1,||9PC r PC r =+=-，所以12||||10PC PC +=，即动点P 到两个定点12(3,0),(3,0)C C -的距离之和为10. 又因为121210||||>6PC PC C C =+=，所以点P 在以两定点12(3,0),(3,0)C C -为焦点，10为长轴长的椭圆上.所以设此椭圆的轨迹方程为C 为22221x y a b+=，这里5a =，3c =，则22216b a c =-=，因此，动圆圆心P 所在的曲线方程为：2212516x y +=.所以轨迹方程为C 的焦距为6，轨迹方程为C 的长轴长为10，轨迹方程为C 的离心率为35，故选：ACD.19.ABD【解析】19. 利用线面平行判定定理判断A 选项，利用线面垂直的性质判断B 选项，利用垂直的转化通过反证法可说明C 选项，利用等积法说明D 选项.选项A ，因为// MN BD ，MN ⊂平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，所以//MN 平面ABD ，故选项A 正确；选项B ，取AC 中点O ，连接,OB OD ，则AC OB ⊥，且AC OD ⊥，所以AC ⊥平面OBD ，所以AC BD ⊥，异面直线AC 与BD 所成的角为90︒，为定值，故选项B 正确；选项,C 若直线AD 与直线BC 垂直，因为直线AB 与直线BC 也垂直，则直线BC ⊥平面ABD ，所以直线BC ⊥直线BD ，又因为BD AC ⊥，所以BD ⊥平面ABC ，所以BD OB ⊥，而OBD 是以OB 和OD 为腰长的等腰三角形，这显然不可能，故选项C 不正确；选项D ，M ACN N ACM V V --=，当平面DAC ⊥平面ABC 时取最大值，此时()max 1111=22434448ACM ABC N ACM OD S S V -===⋅⋅=△△，，故选项D 正确. 故选：ABD.20.AD【解析】20.根据椭圆的定义和性质和面积守恒规律，依次判断每个选项得到答案.根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是[],a c a c -+，A 正确；当卫星在左半椭圆弧的运行时，对应的面积更大，面积守恒规律，速度更慢，B 不正确；12111a c e a c e e--==-+++，当比值越大，则e 越小，椭圆轨道越圆，C 错误. 根据面积守恒规律，卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，D 正确.故选：AD .21.BC【解析】21.对选项A ，假设1DD AF ⊥，从而得出1DD ⊥平面AFM ，而AM 与1DD 不垂直，故A 错误；对选项B ，取11B C 的中点N ，连接1A N ，GN ，易证平面1//A GN 平面AEF ，从而得到1//A G 平面AEF ，故B 正确；对选项C ，连接1AD ，1FD ，得到平面1AD FE 为平面AFE 截正方体所得的截面，再计算其面积即可得到C 正确；对选项D ，利用反正法即可得到D 错误；对选项A ，如图所示：取1DD 中点M ，连接AM ，MF ，容易得出1DD FM ⊥假设1DD AF ⊥，则1DD ⊥平面AFM ，从而得出1AM DD ⊥由于AM 与1DD 不垂直，所以AF 与1DD 不垂直，故A 错误.对选项B ，取11B C 的中点N ，连接1A N ，GN ，如图所示：因为1//A N AE ，//GN EF ，所以由面面平行的判定定理得出平面1//A GN 平面AEF .因为1AG ⊂平面1A GN ，所以1//A G 平面AEF ，故B 正确. 对选项C ，连接1AD ，1FD ，如图所示：因为1//AD EF ，所以平面1AD FE 为平面AFE 截正方体所得的截面.1AD ==EF ==12D F AE ===，所以四边形1AD FE 为等腰梯形=，119228AD FE S ⎛=⨯+= ⎝. 故C 正确.对选项D ，连接CG 交EF 于H ，如图所示：假设点C 与点G 到平面AEF 的距离相等，即平面AEF 必过CG 的中点而H 不是CG 的中点，则假设不成立，故D 错误.故选：BC22.323π【解析】22.设底面ABCD 的中心为点M ，连接ME 、MB 、PM ，可知PM ⊥平面ABCD ，分析正四棱锥P ABCD -的结构特征，求出PM 的长，设球O 的半径长为R ，列方程解出R 的值，利用球体的表面积公式可求出球O 的表面积.如下图所示，设底面ABCD 的中心为点M ，连接ME 、MB 、PM ，由于四棱锥P ABCD -为正四棱锥，所以，PM ⊥平面ABCD ，易知PBA PBC ∠=∠，AB BC =，BE BE =，ABE CBE ∴∆≅∆，AE CE ∴=，90AEC ∠=，AEC ∆是等腰直角三角形，则222AE CE AC ===⨯=， M 为AC 的中点，2AC ME ∴=， PM ⊥平面ABCD ，BM ⊂平面ABCD ，PM BM ∴⊥，E 为PB 的中点，则2PB ME AC ===12BM AC ==，由勾股定理得PM =易知球心在直线PM 上，设球O 的半径为R ，则OM R =，由勾股定理得222OM AM OA +=，即)222RR +=，解得3R =.因此，球O 的表面积为2232443R πππ=⨯=⎝⎭.故答案为：323π.。

2020-2021学年湖北省荆州市部分重点高中高二上学期元月调研考试数学试题(解析版)

2020-2021学年湖北省荆州市部分重点高中高二上学期元月调研考试数学试题一、单选题1．直线sin30cos15010l x y ︒+︒+=:的斜率为A ．3 B ．3 C ．3- D ．3-【答案】A【分析】将直线方程整理为斜截式，然后确定其斜率即可. 【详解】直线方程即：131022x y -+=，整理为斜截式即32333y x =+，据此可知直线的斜率为3. 本题选择A 选项.【点睛】本题主要考查直线斜率的计算，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．已知直线1:210l x ay +-=，与()2:2110l a x ay ---=平行，则a 的值是（） A ．0或1 B ．1或14C ．0或14D ．14【答案】C【详解】试题分析：由题意得：1()(21)20,0a a a a ⨯---⨯=∴=或14a =，故选C. 【解析】直线平行的充要条件．3．位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图所示）有“仙境之桥”之称，它的桥形可以近似地看成抛物线，该桥的高度为5m ，跨径为12m ，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为A ．2512m B ．256m C ．95m D ．185m 【答案】D【分析】以桥顶为坐标原点，桥形的对称轴为y 轴建立直角坐标系xOy ，设抛物线2x 2py =-，点()6,5-在抛物线上求出P 即可【详解】以桥顶为坐标原点，桥形的对称轴为y 轴建立直角坐标系xOy ，结合题意可知，该抛物线()2x 2py p 0=->经过点()6,5-，则3610p =，解得18p 5=，故桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为18p 5=. 故选D【点睛】本题考查抛物线的标准方程及其基本性质，考查抽象概括能力与建模的数学思想，是基础题4．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>P 到两焦点的距离之和为12，则椭圆短轴长为（） A ．8 B ．6C ．5D ．4【答案】A【分析】利用椭圆的定义以及离心率，求出,a c ，然后求解椭圆短轴长即可．【详解】椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率：3c e a ==，椭圆上一点P 到两焦点距离之和为12，即212a =，可得：6a =，c =，4b ∴==，则椭圆短轴长为28b =．故选：A5．中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”问该人第四天走的路程为（） A ．48里 B ．24里C ．12里D ．6里【答案】B【分析】根据等比数列前n 项和公式列方程，求得首项1a 的值，进而求得4a 的值.【详解】设第一天走1a ，公比12q =，所以166112378112a S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-，解得1192a =，所以3411192248a a q ==⨯=. 故选：B.6．若圆()2220x y rr +=>上仅有4个点到直线20x y --=的距离为1，则实数r 的取值范围为（） A．)1,+∞B．)1 C．()1D．()1【答案】A【分析】到已知直线的距离为1的点的轨迹，是与已知直线平行且到它的距离等于1的两条直线，根据题意可得这两条平行线与222x y r +=有4个公共点，由此利用点到直线的距离公式加以计算，可得r 的取值范围．【详解】解：作出到直线20x y --=的距离为1的点的轨迹，得到与直线20x y --=平行，且到直线20x y --=的距离等于1的两条直线，圆222x y r +=的圆心为原点，原点到直线20x y --=的距离为d∴两条平行线中与圆心O距离较远的一条到原点的距离为1d '，又圆222(0)x y r r +=>上有4个点到直线20x y --=的距离为1，∴两条平行线与圆222x y r +=有4个公共点，即它们都与圆222x y r +=相交．由此可得圆的半径r d '>，即1r >，实数r的取值范围是)1,+∞．故选：A ．【点睛】本题给出已知圆上有四点到直线的距离等于半径，求参数的取值范围．着重考查了圆的标准方程、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．7．已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 是等差数列，若261033a a a ⋅⋅=16117b b b π++=，则21039tan1b b a a +-⋅的值是A ．1B ．22C ．22-D ．3【答案】D【分析】根据等比数列和等差数列的性质求得6a 和6b ，同时利用下标和的性质化简所求式子，可知所求式子等价于7tan 3π-，利用诱导公式可求得结果. 【详解】{}n a 是等比数列 32610633a a a a ∴⋅⋅== 63a ∴ {}n b 是等差数列 1611637b b b b π∴++== 673b π∴=2106239614273tan tan tan tan tan 3111333b b b a a a πππ+∴===-=-=-⋅--本题正确选项：D【点睛】本题考查等差数列、等比数列性质的应用，其中还涉及到诱导公式的知识，属于基础题.8．若双曲线2221x y a-=（a ＞0）的一条渐近线方程为12y x =-，则其离心率为（）A ．3B ．2C 5D 3【答案】C 【分析】根据12b a =和1b =即可得到答案.【详解】因为渐近线方程为12y x =-，所以12b a =．又因为1b =，所以2a =．又225c a b =+=，故离心率5e =，故选：C ．二、多选题9．已知椭圆C 的中心在原点，焦点1F ，2F 在y 轴上，且短轴长为2，离心率为6，过焦点1F 作y 轴的垂线，交椭圆C 于P ，Q 两点，则下列说法正确的是（）A ．椭圆方程为2213y x +=B ．椭圆方程为2213x y +=C ．23PQ =D ．2PF Q ∆的周长为43【答案】ACD【分析】由已知求得b ，再由离心率结合隐含条件求得a ，可得椭圆方程，进一步求得通径及2PF Q ∆的周长判断得答案．【详解】由已知得，2b =2，b =1，6c a =，又222a b c =+，解得23a =，∴椭圆方程为2213y x +=，如图：∴22233b PQ a ===，2PF Q ∆的周长为443a = 故选：ACD ．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．10．已知曲线C 的方程为221()26x y k R k k+=∈--，则下列结论正确的是（）A ．当4k =时，曲线C 为圆B ．当0k =时，曲线C 为双曲线，其渐近线方程为y = C ．“4k >”是“曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆”的充分而不必要条件D ．存在实数k 使得曲线C 【答案】AB【分析】根据双曲线的标准方程及简单的几何性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，曲线C 的方程为221()26x y k R k k+=∈--，对于A 总，当4k =时，曲线C 的方程为222x y +=，此时曲线C 表示圆心在原点，的圆，所以是正确的；对于B 中，当0k =时，曲线C 的方程为22162y x -=，可得a b ==曲线C 渐近线方程为y =，所以是正确的；对于C 中，当曲线C 的方程为221()26x y k R k k+=∈--表示焦点在x 轴上的双曲线时，则满足2060k k ->⎧⎨-<⎩，解得6k >，所以 “4k >”是“曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆”的必要不充分条件，所以不正确；对于D 中，当曲线C 的方程为22126x y k k+=--时，此时双曲线的实半轴长等于虚半轴长，此时26k k -=-，解得4k =，此时方程表示圆，所以不正确. 故选：AB.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其应用，其中解答中熟记双曲线的标准方程，以及双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查推理与论证能力.11．已知△ABC 为等腰直角三角形，其顶点为A ，B ，C ，若圆锥曲线E 以A ，B 焦点，并经过顶点C ，该圆锥曲线E 的离心率可以是（） A1 B．2CD1【答案】ABD【分析】结合等腰直角三角形的角C 的情况分类讨论，再由焦点三角形对应离心率公式即可求解.【详解】（1）△ABC 为等腰直角三角形，如果C =2π，圆锥曲线E 为椭圆，e=22c AB a CA CB ==+ （2）△ABC 为等腰直角三角形，如果C =4π，A 或B 为直角，圆锥曲线E 为椭圆，e=212c ABa CA CB ====+；（3）△ABC 为等腰直角三角形，如果C =4π，A 或B 为直角，圆锥曲线为双曲线，e =22|c AB a CA CB ==-1==. 故选：ABD .【点睛】本题考查圆锥曲线的应用，离心率的求法，考查计算能力，是中档题. 12．已知数列{}112123129:,,,,,,233444101010n a ++++++若11n n n b a a +=⋅，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，则（） A ．2n n a =B ．n a n =C ．41n nS n =+ D ．51n nS n =+ 【答案】AC【分析】先求出n a ，再求出n b ，利用裂项求和方法即可．【详解】(1)12122111112nn n n n n a n n n n n +++⋯+=++⋯+===+++++ 11141122n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭⋅{}n b 的前n 项和为12n n S b b b =+++111414223⎛⎫⎛⎫=-+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1141n n ⎛⎫+- ⎪+⎝⎭144111n n n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭故选：AC三、填空题13．在等差数列{}n a 中，1548,7a a a +==，则5a =___________ 【答案】10.【分析】由等差数列的性质，求得34a =，结合等差数列的通项公式，即可求解. 【详解】由等差数列的性质，可得31582a a a =+=，可得34a =，又由34743a a d ==-=-，所以547310a a d =+=+=. 故答案为：10.14．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 且倾斜角为120︒的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A 、B 两点，则AFBF=_____．【答案】13【分析】设出A 、B 坐标，利用焦半径公式求出AB ，可得1253px x +=，结合2124p x x =，求出A 、B 的坐标，然后求其比值．【详解】解：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线AB的方程为)2p y x =-由抛物线的焦点弦公式，12228||sin 3p pAB x x p θ=++==， ∴1253px x +=，联立直线与抛物线的方程即2)22p y x y px ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，消去y 得，2233504p x px -+=，故2124p x x =，联立方程组12212534p x x p x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得232x p =，16p x =，则12||16223||3222p p px AF p p p BF x ++===++，故答案为13．【点睛】本题考查直线的倾斜角，抛物线的简单性质，考查学生分析问题解决问题的能力，属于基础题．15．设直线2y x a =+与圆C ：x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ，B两点，若AB =C 的面积为________ 【答案】4π【详解】因为圆心坐标与半径分别为(0,),=C a r，所以圆心到直线的距离d ==2232a +=+，解之得22a =，所以圆的面积2(22)4πππ==+=S r ，应填答案4π．四、解答题16．已知数列{}n a 满足212112n a a a n n n++⋅⋅⋅+=+（*n ∈N ），设数列{}n b 满足：121n n n n b a a ++=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若1n nT n λ<+（*n ∈N ）恒成立，则λ的取值范围是________ 【答案】3(,)8+∞【分析】先由条件求出{}n a 的通项公式22n a n =，得到()2211141n b n n ⎛⎫=- ⎪ ⎪+⎝⎭，由裂项相消法再求出n T ，根据不等式恒成立求出参数的范围即可.【详解】当1n =时，有12a =当2n ≥时，由212112n a a a n n n++⋅⋅⋅+=+ ① 有()()2121111121n a a a n n n -++⋅⋅⋅+=-+-- ② 由①－②得：12n a n n=所以22n a n =，当1n =时也成立.所以22n a n =,故()()22221212111142211n n n n n b a a n n n n +⎛⎫++===- ⎪ ⎪⋅++⎝⎭则()()()()222221111111111444941141n n n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭+++⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 由1n n T n λ<+，即()()22411n n n n n λ+<++，所以()241n n λ+<+ 所以()21114141n n n λ>+⎛⎫=+ ⎪++⎝⎭，由11311122n +≤+=+ 所以38λ>故答案为：3(,)8+∞【点睛】本题考查求数列的通项公式，考查裂项相消法求和以及数列不等式问题，属于中档题.17．已知直线l 的方程为210x y -+=．（1）求过点()3,2A ，且与直线l 垂直的直线1l 方程；（2）求与直线l 平行，且到点()3,0P 的距离为5的直线2l 的方程【答案】（1）（2）或【详解】试题分析：()1直接利用直线垂直的充要条件求出直线的方程；()2设所求直线方程为20x y c -+=，由于点()3,0P 5()226521c +=+-1c =-或11c =-，即可得出答案；解析：（1）∵直线l 的斜率为2，∴所求直线斜率为12-，又∵过点()3,2A ，∴所求直线方程为()1232y x -=--，即270x y +-=．（2）依题意设所求直线方程为20x y c -+=， ∵点P ()3,0=1c =-或11c =-，所以，所求直线方程为210x y --=或2110x y --=．18．在①圆经过()3,4C ，②圆心在直线20x y +-=上，③圆截y 轴所得弦长为8且圆心E 的坐标为整数；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，进行求解. 已知圆E 经过点()1,2A -，()6,3B 且______；（1）求圆E 的方程；（2）已知直线l 经过点()2,2-，直线l 与圆E 相交所得的弦长为8，求直线l 的方程. 【答案】（1）()()223125x y -++=；（2）2y =或158140x y ++=【分析】（1）设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，根据待定系数法求解圆的方程即可；（2）设圆心到直线的距离为d ，则由（1）得3d =，易知直线的斜率存在，故设其方程为()22y k x -=+，进而结合点到直线的距离公式解方程得0k =，158k =-，故直线l 的方程为2y =或158140x y ++= 【详解】解：选条件①，（1）设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，依题意有5204563025340D E F D E F D E F -++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩，解得6D =-，2E =，15F =-，所以圆的方程为2262150x y x y +-+-=，即圆E 的标准方程为：()()223125x y -++=. （2）设圆心到直线的距离为d ，则弦长843L d ===⇒=，当直线的斜率不存在时，53d =≠，所以直线的斜率存在，设其方程为()22y k x -=+，即220kx y k -++=，3d ==，解得0k =，158k =-，所以所求直线的方程为2y =或158140x y ++=.选条件②，（1）设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，因为圆E 经过点()1,2A -，()6,3B ，且圆心在直线20x y +-=上依题意有520456302022D E F D E F D E⎧⎪-++=⎪+++=⎨⎪⎪---=⎩，解得6D =-，2E =，15F =-，所以圆E 的方程为()()223125x y -++=. （2）设圆心到直线的距离为d ，则弦长843L d ===⇒=，当直线的斜率不存在时，53d =≠，所以直线的斜率存在，设其方程为()22y k x -=+，即220kx y k -++=，3d ==，解得0k =，158k =-，所以所求直线的方程为2y =或158140x y ++=.选条件③，设圆E 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，由圆E 经过点()1,2A -，()6,3B ，故52045630D E F D E F -++=⎧⎨+++=⎩，又因为圆截y 轴所得弦长为8，故方程20y Ey F ++=的两个实数根12,y y 的差的绝对值为8. 所以128y y -===，即2464E F -=解方程组252045630464D E F D E F E F -++=⎧⎪+++=⎨⎪-=⎩，得6D =-，2E =，15F =-或20649D =-，747E =-，58549F =，由于圆心E 的坐标为整数，故圆E 的方程为()()223125x y -++= （2）设圆心到直线的距离为d，则弦长843L d ===⇒=，当直线的斜率不存在时，53d =≠，所以直线的斜率存在，设其方程为()22y k x -=+，即220kx y k -++=，3d ==，解得0k =，158k =-，所以所求直线的方程为2y =或158140x y ++=.【点睛】本题考查待定系数法求圆的方程，圆的弦长问题，考查运算求解能力.本题解题的关键在于利用弦长l ，半径r 与圆心到直线的距离d 之间的关系l =.此外，本题的解题过程中，还容易出现忽视直线斜率不存在的讨论而导致解题不严谨的问题出现，需要格外注意.19．已知直线l 过抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点，且垂直于抛物线的对称轴，l 与抛物线两交点间的距离为2. （1）求抛物线C 的方程；（2）若点(2,2)P ，过点(2,4)-的直线m 与抛物线C 相交于,A B 两点，设直线,PA PB 的斜率分别为12,k k .求证：12k k ⋅为定值.【答案】（1）22x y =；（2）证明见解析.【分析】（1）根据已知可得22p =，即可得出方程；（2）设出直线方程，与抛物线联立，利用韦达定理代入12k k ⋅即可证明.【详解】解：（1）由题意可知，22p =，所以所求抛物线的方程为22.x y =（2）由题意可知直线m 斜率一定存在，设直线m 的方程为：11224(2),(,),(,)y k x A x y B x y -=+，则11221211222(2)22(2)2,2222y k x y k x k k x x x x -+--+-====----，12121221212121212[(2)2][(2)2](2)(2)[2()4]2(4)42()4k x k x k k x x k x x x x k x x x x x x ++⋅++∴⋅=-⋅-+++++-+=-++（）联立直线方程与抛物线方程22,4(2),x y y k x ⎧=⎨-=+⎩消去y 得22480x kx k ---=，可得12122,48,x x k x x k +=⎧⎨⋅=--⎩.. 将其代入（）式可得：22212(48)2()24(1)841(48)44(84)k k k k k k k k k k k k -+++⋅+++⋅===--+-+-+，因此，12k k ⋅为定值1-.【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式；（5）代入韦达定理求解.20．已知等差数列{}n a 的首项11a =，公差0d >，且第2项，第5项，第14项分别是等比数列{}n b 的第2项、第3项、第4项. （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 对任意n *∈N 均有12112nn nc c c a b b b ++++=成立，求1232021c c c c ++++的值.【答案】（1）21n a n =-；13n n b -=；（2）20213.【分析】（1）将2a 、5a 、14a 利用1a 与d 表示，结合条件2a 、5a 、14a 成等比数列列式求出d 的值，再根据等差数列的通项公式求出数列{}n a 的通项公式，根据条件22b a =、35b a =求出等比数列{}n b 的通项公式；（2）先令1n =求出1c 的值，然后再令2n ≥，由12112nn nc c c a b b b ++++=得到112121n n c c c b b b --++n a =，并将两式相减，从而求出数列{}n c 的通项公式，然后根据数列{}n c 通项公式的结构选择错位相减法求数列{}n c 的前2021项和.【详解】解：（1）由已知得：25141,14,113,a d a d a d =+=+=+22(14)(1)(113),360d d d d d ∴+=++∴-=，0,2d d >∴=.21n a n ∴=-.又22353,9b a b a ====，13n n b -∴=.（2）由12112nn nc c c a b b b ++++=，∴当1n =时，112133c b a ==⋅=.. 当2n ≥时，由12112nn nc c c a b b b ++++=① 112121n n n c c c a b b b --+++=②， ①-②得：112(2),223(2)n nn n n n nc a a n c b n b -+=-=≥∴==⋅≥. 13,123,2,n n n c n n N -*=⎧∴=⎨⋅≥∈⎩220201220213232323c c c ∴+++=+⨯+⨯++⨯2202032(333)=+⨯+++202020213[13]32313-=+⨯=- .【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和.（2）错位相减法：若{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求1122n n a b a b a b ++⋅⋅⋅. （3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，相消剩下首尾的若干项.常见的裂顶有()11111n n n n =-++，()1111222n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭等.（4）分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和. （5）倒序相加法.21．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，E 、F 分别为AD 、PB 的中点.（Ⅰ）求证：PE BC ⊥；（Ⅱ）求证：平面PAB ⊥平面PCD ；（Ⅲ）求证：//EF 平面PCD .【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析. 【分析】（1）欲证PE BC ⊥，只需证明PE AD ⊥即可；（2）先证PD ⊥平面PAB ，再证平面PAB ⊥平面PCD ；（3）取PC 中点G ，连接,FG DG ，证明//EF DG ，则//EF 平面PCD . 【详解】（Ⅰ）∵PA PD =，且E 为AD 的中点，∴PE AD ⊥. ∵底面ABCD 为矩形，∴//BC AD ，∴PE BC ⊥；（Ⅱ）∵底面ABCD 为矩形，∴AB AD ⊥. ∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，AB平面ABCD ，∴AB ⊥平面PAD ，又PD ⊂平面PAD ，∴AB PD ⊥. 又PA PD ⊥，PAAB A =，PA 、AB平面PAB ，PD ∴⊥平面PAB ，∵PD ⊂平面PCD ，∴平面PAB ⊥平面PCD ；（Ⅲ）如图，取PC 中点G ，连接,FG GD .∵,F G 分别为PB 和PC 的中点，∴//FG BC ，且12FG BC =. ∵四边形ABCD 为矩形，且E 为AD 的中点，∴1//,2ED BC DE BC =， ∴//ED FG ，且ED FG =，∴四边形EFGD 为平行四边形，∴//EF GD ，又EF ⊄平面PCD ，GD ⊂平面PCD ，∴//EF 平面PCD . 【点睛】证明面面关系的核心是证明线面关系，证明线面关系的核心是证明线线关系.证明线线平行的方法：（1）线面平行的性质定理；（2）三角形中位线法；（3）平行四边形法. 证明线线垂直的常用方法：（1）等腰三角形三线合一；（2）勾股定理逆定理；（3）线面垂直的性质定理；（4）菱形对角线互相垂直.22．设12F F ，分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点，且椭圆的离心率为22，过2F 的直线1l 与椭圆交于A B 、两点，且1ABF 的周长为82 （1）求椭圆C 的方程；（2）过2F 点且垂直于1l 的直线2l 与椭圆交于C D 、两点，求四边形ACBD 面积的最小值和最大值.【答案】（1）22 1.84y x +=；（2）最小值为649，最大值8. 【分析】（1）根据椭圆的定义求得22a =22e =，求得2c =，进而求得椭圆的标准方程；（2）①当直线AB 所在直线斜率不存在时，直线CD 所在直线斜率为0，求得8S =；②当直线AB 的斜率存在且不为0时，分别设直线AB 的方程为(2)y k x =-，直线CD 的方程为1(2)y x k=--，联立方程组，结合弦长公式，求得面积2222216(1)2(1)ABCDk S k k +=++，结合换元法和基本不等式，即可求解.【详解】（1）因为1ABF的周长为根据椭圆的定义，可得4a =，即a =又由椭圆的离心率2c e a ===，可得2c =，所以222844b a c =-=-=，所以椭圆C 的方程为22184x y +=（2）由椭圆方程22184x y +=，可得2,2a b c ====，所以焦点(2,0)F ，①当直线AB 所在直线斜率不存在时，直线CD 所在直线斜率为0，此时，四边形ABCD 的面积2211222822b S AB CD a b a=⨯⨯=⨯⨯==.②当直线AB 的斜率存在且不为0时，设直线AB 的方程为(2)y k x =-，1122(,),(,)A x y B x y ，直线CD 的方程为1(2)y x k=--，3344(,),(,)C x y D x y ，由2228(2)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩，可得2222()128880k x k x k +-+-=，所以221212228881212k k x x x x k k-+=⋅=++，，则AB =，将k 用1k -替换，可得221)2k CD k+=+所以22222222111)16(1)221222(1)ABCDk k S AB CD k k k k ++=⋅=⨯⨯=++++ 222216161221(1)(k k k k==++++）.令1(,2][2,)u k k =+∈-∞-⋃+∞，所以2[4,)u ∈+∞，所以211(0,]4u ∈，可得2192(2,]4u +∈，所以21664[,8)192ABCD S u =∈+，综合①②可知，四边形ABCD 面积的最小值为649，此时直线的斜率为±1；四边形ABCD 面积的最大值为8，此时一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0.【点睛】解答圆锥曲线的最值问题的方法与策略：（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围.。

湖北省四地六校2020-2021学年高二上学期联合考试数学试题 Word版含答案

姓名，年级：时间：2020年高二联合考试高二数学试卷考试时间：2020年 10 月 9日上午试卷满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1。

已知直线6x-3y+2=0的倾斜角为，则（）A. B 。

C. D。

522.已知向量与的夹角为，，当时，实数为（ )A. 1B. 2 C 。

D.3。

若圆C ：上恰有3个点到直线l ：的距离为2,，则与间的距离为( ) A 。

1B 。

C 。

3D 。

24. 已知椭圆的左右焦点为,点P 在椭圆上，则的最大值是（ )A 。

9 B.16 C 。

25 D.275. 已知，则（ )A. B 。

C 。

D 。

6.已知半径为2的圆经过点（4，3），则其圆心到原点的距离的最小值为( )A. 3B. 4C 。

5D 。

6452,2==b a 9191-323sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ=⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ26sin 91±98-=∆∆ABCOBCS S α=-αα2cos 22sin 52-54-512-21F F ，21PF PF ⋅922=+y x 023:1=+-y x l 192522=+yx a 2()0b 0b y -x >=+λ()b a b λ-⊥221-211l l7.已知o 为三角形ABC 所在平面内一点, ,则 ( )31.A8.如图，要测量电视塔AB 的高度，在C 点测得塔顶A 的仰角是，在D 点测得塔顶A 的仰角是，水平面上的，CD=40m ，则电视塔AB 的高度为（）mA 。

20 Ｂ．30 Ｃ．40 Ｄ．50二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分,部分选对的得3分。

9。

下列说法正确的是（）A 。

平面内到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹为椭圆；B 。

湖北省部分重点中学2020-2021学年高三上学期第一次联考数学试题(原卷版)

外接球，且 AB 5, AD 7 , EF 4, EH 2 ，平面 ABCD 与平面 EFGH 的距离为 1，则下列说法中正
确的有（）
A. 该刍童外接球的体积为 36
B. 该刍童为棱台
C. 该刍童中 AC、EG 在一个平面内
D. 该刍童中二面角 B AD H 的余弦值为 5
5
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
B. R ，函数 f x sin 2x 都不是偶函数
C. a,b R, a b 是 a a > b b 的充要条件 D. ABC 中，“ sin A sin B cos A cos B ”是“ C ”的充要条件
2
11. 若函数 f x x3 ax2 bx c （其中 a,b,c R ）的图象关于点 M 1, 0 对称，且 f 0 1，函数
a，
r a
r b ，则 b
D.
若a
,b
,
r ，则 a
r b
6.
若
a
,
3 2
,
2
cos
2
sin
4
a
，则
sin
2
的值为
（
）
7
A.
8
B. 7 8
C. 1 8
D. 1 8
7. 若函数 f x 2ax a sin x cos x 是 R 上的增函数，则实数 a 的取值范围是（）
A.
（1）求数列an 的通项公式；
（2）设 bn
2n 1 an
，
Sn
为数列bn 的前 n 项和，求
Sn
.
19. 如图，四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 是菱形， PA BD 3AB 2 3 ，且 PB PD.

2020-2021学年湖北省武汉市部分重点中学高二上学期期中联考数学试题(解析版)

2020-2021学年湖北省武汉市部分重点中学高二上学期期中联考数学试题一、单选题1．在平面直角坐标系xoy 中，抛物线22x y =的焦点到准线的距离为（） A ．18B ．1C ．2D ．14【答案】B【分析】根据抛物线标准方程有1p =，即可知焦准距.【详解】由抛物线22x y =知：1p =，而焦点坐标为1(0,)2，准线方程为：12y， ∴焦点到准线的距离为1，故选：B2．若双曲线22221x y a b-=的离心率为3，则其渐近线的斜率为（）A ．12±B ．2±C ．2±D ．2±【答案】C【解析】试题分析：双曲线的渐近线为，渐近线的斜率，由于离心率，设，，，因此渐近线的斜率，故答案为C.【解析】双曲线的性质.3．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为6，圆心角为3π的扇形，则圆锥的高为（）A ．33B 34C 35D ．5【答案】C【分析】利用扇形的弧长为底面圆的周长求出r 后可求高. 【详解】因为侧面展开图是一个半径为6，圆心角为3π的扇形，所以圆锥的母线长为6，设其底面半径为r ，则623r ππ⨯=，所以1r =，36135-= C【点睛】圆锥的侧面展开图是扇形，如果圆锥的母线长为l，底面圆的半径长为r，则该扇形的圆心角的弧度数为2rlπ.4．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）A．6B26C15D10【答案】D【解析】试题分析：以D点为坐标原点，以DA、DC、1DD所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系则A（2，0，0），B （2，2，0），C（0，2，0），1C（0，2，1）∴1BC=（-2，0，1），AC=（-2，2，0），AC且为平面BB1D1D的一个法向量．∴110cos,58BC AC〈〉==⋅．∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为105【解析】直线与平面所成的角5．若直线9mx ny+=和圆229x y+=没有交点，则过点(),m n的直线与椭圆221169x y+=的交点个数为（）A．2个B．1个C．0个D．无法确定【答案】A【分析】通过直线与圆、圆与椭圆的位置关系可得点(,)m n在椭圆内，进而可得结论. 【详解】解：直线9mx ny+=和圆229x y+=没有交点，∴圆心()0,0到直线90mx ny+-=的距离2293dm n-=>+，解得：229m n +<，即点(,)m n 在圆229x y +=内，又圆229x y +=内切于椭圆221169x y +=，∴点 (),m n 在椭圆221169x y +=内，即过点(),m n 的直线与椭圆221169x y +=有两个交点.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是找到点 (),m n 在椭圆221169x y +=内.6．三棱锥,10,8,6P ABC PA PB PC AB BC CA -======则二面角P AC B --的大小为( )A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒【答案】B【分析】P 在底面的射影是斜边的中点，设AB 中点为D 过D 作DE 垂直AC ，垂足为E ，则∠PED 即为二面角P ﹣AC ﹣B 的平面角，在直角三角形PED 中求出此角即可．【详解】因为AB ＝10，BC ＝8，CA ＝6 所以底面为直角三角形又因为P A ＝PB ＝PC = 所以P 在底面的射影为直角三角形ABC 的外心，为AB 中点．设AB 中点为D 过D 作DE 垂直AC ，垂足为E ，所以DE 平行BC ，且DE 12=BC ＝4，所以∠PED 即为二面角P ﹣AC ﹣B 的平面角．因为PD 为三角形P AB 的中线，所以可算出PD ＝所以tan ∠PED PDDE==所以∠PED ＝60°即二面角P ﹣AC ﹣B 的大小为60° 故答案为60°．【点睛】本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，确定出二面角的平面角是解答本题的关键．7．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中有这样一个问题，“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺问径几何？”类似地：如今有长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示（阴影部分为镶嵌在墙体内的部分）.已知弦1AB =尺，弓形高1CD =寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积（最接近的一项）约为（）（注：1丈=10尺=100寸， 3.14π≈，5sin 22.513︒≈）A ．600立方寸B ．610立方寸C ．620立方寸D ．633立方寸【答案】D【分析】由已知条件求得截面圆的半径R ，进而可求弓形所对圆心角AOB ∠，由弓形面积OBCA AOBS S S'=-求阴影部分面积，结合体积公式知木材镶嵌在墙中的体积100V S ''=，即为答案.【详解】由题意知：10AB =寸，1CD =寸，圆柱形木材的高为100寸，∴圆柱形木材截面半径为R ，则有222()4AB R R CD =-+，可得13R =寸，∴如上圆柱木材截面图：5sin 13AD AOD R ∠==， ∴45AOB ∠≈︒，又圆柱木材截面面积2169S R ππ==，弓形面积为11210 6.332582OBCA AOBS S S S'=-=-⨯⨯=， ∴木材镶嵌在墙中的体积约为100633V S ''=≈立方寸，故选：D【点睛】关键点点睛：根据圆的性质求半径，利用弓形面积OBCA AOBS S S '=-求嵌入面积，应用柱体体积公式求镶嵌在墙中的体积.8．已知直线()0y kx k =≠与双曲线22221 (0,0y a b bx a -=>>）交于A ､B 两点，以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，若ABF 的面积为4a 2，则双曲线的离心率为（） A ．2 B ．3C ．2D ．5【答案】D【分析】设双曲线的左焦点为1F ，则可得四边形1AF BF 为矩形，由双曲线的定义和勾股定理结合三角形面积可得222(2)(2)16a c a =-，即可求出离心率.【详解】设双曲线的左焦点为1F ，根据双曲线和圆的对称性，圆过双曲线的左右焦点，如图，连接11,AF BF ，则四边形1AF BF 为矩形，则可得1||2AF AF a -=，()222211||2AF AF F Fc +==，所以()222211111||2||||2||AF AF AF AF AF AF F F AF AF -=-+=-，又因为1211||42ABF AF F SSAF AF a ==⋅=，所以222(2)(2)16a c a =-，得5c a =，所以5ce a==故选：D.【点睛】关键点睛：本题考查双曲线离心率的求解，解题的关键是正确利用焦点三角形的性质列出关于,a c 的齐次方程式222(2)(2)16a c a =-，即可求出离心率.二、多选题9．已知直线m ，n ，平面α，β，给出下列命题正确的是（） A ．若m ⊥α，n ⊥β，且m ⊥n ，则α⊥β B ．若m // α，n // β，且m // n ，则α // β C ．若m ⊥α，n // β，且m ⊥n ，则α⊥β D ．若m ⊥α，n // β，且m // n ，则α⊥β 【答案】AD【分析】根据直线与平面平行，垂直的性质定理，判断定理，灵活判断，可以正确推导，也可以举反例说明．【详解】解：对于A ：若m α⊥，n β⊥，且m n ⊥可以判断αβ⊥是正确的，因为可以设两个平面的法向量为1n ，2n ，可得数量积为零，即12n n ⊥，所以可判断αβ⊥是正确的，故A 正确，对于B ：若//m α，//n β，且//m n ，则//αβ．不正确，如两个面相交，两个相交的墙面，直线m ，n 都平行于交线，也满足，//m α，//n β，所以B 不正确；对于C ：若m α⊥，//n β，且m n ⊥，则有可能//αβ，不一定αβ⊥，所以C 不正确；对于D ：若m α⊥，//n β，且//m n ，n α∴⊥，//n β，αβ∴⊥，故D 正确；故选：AD ．【点睛】本题考察了直线与平面的位置关系，熟练掌握好平行，垂直的定理即可判断，属于中档题．10．椭圆22:12516x y C +=的左焦点为F ，点P 是椭圆C 上的动点，则||PF 的值可能是（） A ．1 B ．3C ．6D ．10【答案】BC 【分析】计算得到28a c PF a c ，得到答案.【详解】由题意可得5a =，3c ==，则28a cPF a c .故选：BC.11．如图，点A ，B ，C ，M ，N 为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，满足直线//MN 平面ABC 的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】ABC【分析】根据线面平行的判定定理依次判断即可.【详解】对A ，如图，连接PQ ，,,,M N A C 分别为中点，∴////MN PQ AC ，MN ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴//MN 平面ABC ，故A 正确；对B ，如图，连接,MP NP ，,,A B C 分别为中点，则可得//NP BC ，且NP ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，//NP ∴平面ABC ，又MA PC ，∴四边形MACP 是平行四边形，//MP AC ∴，且MP ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，//MP ∴平面ABC ，MP NP P ⋂=，∴平面//MNP 平面ABC ，MN ⊂平面MNP ，∴//MN 平面ABC ，故B 正确；对C ，如图，,,A B C 分别为中点，易得平面//ABC 平面MPNQ ，MN ⊂平面MPNQ ，∴//MN 平面ABC ，故C 正确；对D ，连接,,BN CN PQ ，则可得////AB PQ CN ，故,,,A B C N 四点共面，即N ∈平面ABC ，即直线MN 与平面ABC 不平行，故D 错误.故选：ABC.【点睛】本题考查线面平行的判断，解题的关键是正确理解线面平行的判定定理和平面的相关性质.12．若长方体1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形，高为4，E 是1DD 的中点，则（）A ．11B E A B ⊥ B ．平面1//B CE 平面1A BDC ．三棱锥11C B CE -的体积为83D ．三棱锥111C B CD -的外接球的表面积为24π 【答案】CD【分析】以1{,,}AB AD AA 为正交基底建立空间直角坐标系，写出各点坐标，计算11B E A B ⋅值即可判断A ；分别求出平面1B CE ，平面1A BD 的法向量，判断它们的法向量是否共线，即可判断B ；利用等体积法，求出三棱锥11-B CC E 的体积即可判断C ；三棱锥111C B CD -的外接球即为长方体1111ABCD A B C D -的外接球，故求出长方体1111ABCD A B C D -的外接球的表面积即可判断D.【详解】以1{,,}AB AD AA 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则 (0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，1(0,0,4)A ，1(2,0,4)B ，(0,2,2)E ，所以1(2,2,2)B E =--，1(2,0,4)A B =-，因为1140840B E A B ⋅=-++=≠，所以1B E 与1A B 不垂直，故A 错误； 1(0,2,4)CB =-，(2,0,2)CE =-设平面1B CE 的一个法向量为111(,,)n x y z =，则由100n CB n CE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得1111240220y z x z -+=⎧⎨-+=⎩，所以11112y z x z =⎧⎨=⎩，不妨取11z =，则11x =，12y = 所以(1,2,1)n =，同理可得设平面1A BD 的一个法向量为(2,2,1)m =，故不存在实数λ使得n λm =，故平面1B CE 与平面1A BD 不平行，故B 错误；在长方体1111ABCD A B C D -中，11B C ⊥平面11CDD C ，故11B C 是三棱锥11B CEC -的高，所以111111111184223323三棱锥三棱锥CEC C B CE CEC B V V S B C --==⋅=⨯⨯⨯⨯=△，故C 正确；三棱锥111C B CD -的外接球即为长方体1111ABCD A B C D -的外接球，故外接球的半径2R ==所以三棱锥111C B CD -的外接球的表面积2424S R ππ==，故D 正确. 故选：CD.【点睛】本题主要考查用向量法判断线线垂直、面面平行，等体积法的应用及几何体外接球的表面积.三、填空题13．如果方程222171x y a a +=++表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是_________.【答案】23a -<<【分析】由椭圆焦点在x 轴上知271a a +>+，即可求实数a 的取值范围. 【详解】由题意知：271a a +>+，整理得260a a --<， ∴23a -<<，故答案为：23a -<<.14．若某正四棱台的上、下底面边长分别为3，9，侧棱长是6，则它的体积为________.（棱台体积公式：()1213V h S S =+其中1S ，2S 分别为棱台上、下底的面积，h 为棱台的高）【答案】【分析】根据正四棱台各个棱长求出该四棱台的高，即可求出体积.【详解】解：由题意正四棱台如图，11322OA O A ==，11922OB O B ==， 22192326()3222h AA ==--=， 2139S ==，22981S ==，()11221132(998181)117233V h S S S S =++=⨯⨯+⨯+=故答案为：1172.15．已知F 为抛物线28x y =的焦点， O 为原点，点P 是抛物线准线上一动点，点A 在抛物线上，且4AF =，则PA PO +的最小值为__________．【答案】13【详解】∵|AF|=4，由抛物线的定义得，∴A 到准线的距离为4，即A 点的纵坐标为2，又点A 在抛物线上，∴不妨取点A 的坐标A （4，2）；坐标原点关于准线的对称点的坐标为B （0，-4）,则|PA|+|PO|的最小值为：22(40)(24)213-++=, 故答案1316．已知一圆锥底面圆的直径为6，圆锥的高为33a 的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以绕自身中心任意转动，则a 的最大值为_________. 【答案】22【分析】正四面体在该几何体内可以绕自身中心任意转动等价于该四面体内接于圆锥的内切球，正四面体可以从正方体中截得，计算出圆锥的内切球的直径，即为正方体的体对角线，根据体对角线和面对角线的关系求解即可.【详解】解：依题意正四面体在该几何体内可以绕自身中心任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球，设球心为P ，球的半径为R ，下底面半径为r ，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q ，圆锥的轴截面如下图：则3,33CA CB CS ===，所以226SA SB CA CS ==+=，所以SAB 是等边三角形，故P 是SAB 的中心，所以12113332323R PQ PS CP ==⨯=⨯=⨯=, 正四面体可以从正方体中截得，如图：正方体边长AB 与正四面体棱长1A B 的关系为：12222AB A B a ==；因为正方体外接球3R所以根据正方体外接球直径与边长关系式23R AB =，可得：2323222a a ⨯=⇒=. 故答案为：22.【点睛】几何体的外接球、内切球问题：（1）几何体的外接球：一个多面体的顶点都在球面上即为球的外接问题，解决这类问题的关键是抓住外接球的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径；（2）几何体的内切球：求解多面体的内切球问题，一般是将多面体分割为以内切球球心为顶点，多面体的各侧面为底面的棱锥，利用多面体的体积等于各分割棱锥的体积之和求内切球的半径.四、解答题17．四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PB PD =（1）求证：//CD 平面PAB ; （2）求证：PC BD ⊥．【答案】（1）详见解析（2）详见解析【分析】（1）利用//CD AB 结合线面平行的判定定理，证得结论成立.（2）连接AC 交BD 于O ，连接PO ，根据菱形的性质得到AC BD ⊥，根据等腰三角形的性质得到PO BD ⊥，由此证得BD ⊥平面PAC ，进而证得BD PC ⊥. 【详解】（1）因为四边形ABCD 是平行四边形，所以//CD AB , 又因为AB平面PAB ，CD ⊄平面PAB ,所以//CD 平面PAB ．（2）连AC 交BD 与O ，连PO .四边形ABCD 为菱形，AC BD ∴⊥且,BO OD OA OC ==BO OD PO BD PB PD =⎫⇒⊥⎬=⎭.因为PO BD ⊥，AC BD ⊥，POAC O =，所以BD ⊥平面PAC ，所以PC BD ⊥.【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查通过证明线面垂直来证明线线垂直，属于中档题.18．已知抛物线22(0)y px p =>的顶点为O ,准线方程为12x =-（1）求抛物线方程；（2）过点1,0（）且斜率为1的直线与抛物线交于,P Q 两点，求OPQ ∆的面积．【答案】（1）22.y x =（23【分析】（1）根据抛物线的准线方程求得p 的值，进而求得抛物线方程.（2）设出直线l 的方程，联立直线l 的方程和抛物线方程，写出韦达定理，求得PQ 的长，利用三角形面积公式求得OPQ ∆的面积. 【详解】解（1）22y px =的准线2p x =-，1-122p p ∴=-=，22.y x ∴= （2）设直线l 方程为1x y =+，()()112221,,,,2x y P x y Q x y y x =+⎧⎨=⎩则2220y y ⇒--=，()()12121202122y y y y ⎧∆=>⎪∴+=⎨⎪=-⎩， 21211PQ y y ∴=+-=6 2211d ==+ 1226322OPQ s ∆∴=⨯⨯= 【点睛】本小题主要考查已知抛物线的准线求抛物线方程，考查直线和抛物线相交所得弦长的计算以及与抛物线有关的三角形面积的计算，属于中档题.19．椭圆C ：(2222122x y m m m+=>，直线l 过点()1,1P ，交椭圆于A ､B 两点，且P 为AB 的中点.（1）求直线l 的方程；（2）若AB OP ，求m 的值. 【答案】（1）230x y +-=；（2）m【分析】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，利用点差法求直线的斜率；（2）根据（1）的结果，联立方程，利用弦长公式AB =m 的值.【详解】（1）222113122m m m +=<，(m >，∴点P 在椭圆里面，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2211222222221212x y m m x y m m ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减可得222212122202x x y y m m --+=，变形为()()()()121212122202x x x x y y y y m m +-+-+=，①点()1,1P 是线段AB 的中点，12122,2x x y y ∴+=+=，并且有椭圆对称性可知120x x -≠，由①式两边同时除以12x x -，可得，1222122202y y m m x x -+⋅=-，设直线AB 的斜率为k ，120k ∴+=，解得：12k =-，所以直线l 的方程()1112302y x x y -=--⇒+-=；（2）OP ==222212230x y m mx y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩，22612920y y m -+-=，可得122y y +=，212926m y y -=，AB ==化简为()2292144103m -+⨯-=，且2m >解得：3m =【点睛】方法点睛：点差法是解决涉及弦的中点与斜率问题的方法，首先设弦端点的坐标，可得出关于弦斜率与弦中点的方程，代入已知斜率，可研究中点问题，代入已知中点可求斜率.20．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，14AB =，5BC =，14AA =，点,E F 分别在1111,A B D C 上，11 2.A E D F ==（1）求直线CF 与1C E 所成角的余弦值；（2）过点,E F 的平面α与此长方体的表面相交，交线围成一个正方形，求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值. 【答案】（11810（2）13【分析】（1）连接1,,EF EB BC ，1C EB ∠或其补角即为所求；（2）根据5EF =在棱AB 上找出点M 使得5ME =，体积之比转化为面积之比.【详解】（1）连接1,,EF EB BC ，长方体1111ABCD A B C D -中，11112,//A E D F A E D F ==，所以四边形11A EFD 是平行四边形，所以11A D 与EF 平行且相等，所以EF 与BC 平行且相等，所以四边形EFCB 为平行四边形，所以//FC BE ，直线CF 与1C E 所成角就是1C EB ∠或其补角，2222111113,410C E EF FC EB EB BB =+==+=22111141C B B B B C =+=，在1C EB ∆中，由余弦定理，22211111810cos 2213410C E EB C B C EB C E EB +-∠===⋅⨯⨯，所以直线CF 与1C E 1810（2）设过点,E F 的平面α与此长方体的表面相交，交线围成一个正方形，即正方形EFNM ，则5EM=，作EP AB ⊥于P ，作FQ DC ⊥于Q ，所以3PM =，所以图中只能点M 在点P 的右侧，平面α把该长方体分成的两部分为直棱柱11AMEA DNFD -和直棱柱11EMBB FNCC -，两个直棱柱的高相等，两部分体积之比为1111117122132AMEAEMBBAM A EAASMB B ES AA+⋅===+⋅.【点睛】此题考查空间几何体中求异面直线夹角，处理平面与几何体的截面问题，关键在于准确找出几何关系进行计算.21．如图，直三棱柱111ABC A B C-中，D，E分别是棱BC，AB的中点，点F在棱1CC上，已知AB AC=，13AA=，2BC CF==.（1）求证：1//C E平面ADF；（2）在棱1BB上是否存在点M，使平面CAM⊥平面ADF，若存在，试求出BM的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，1BM＝.【分析】（1）根据题干条件运用线面平行的判定定理证明；（2）根据题干条件运用面面垂直的判定定理推证.【详解】（1）证明：连接CE交AD于O，连接OF.因为CE，AD为ABC的中线，则O为ABC的重心，故123CF COCC CE==，故1OF C E∥，因为OF⊂平面ADF，1C E⊄平面ADF，所以1C E平面ADF.（2）解：存在点M ，当1BM ＝时，平面CAM ⊥平面ADF .证明如下：因为AB AC =，AD ⊂平面ABC ，故AD BC ⊥.在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，1BB ⊂平面11B BCC ，故平面11B BCC ⊥平面ABC .又平面11B BCC ⋂平面ABC BC =，AD ⊂平面ABC ，所以AD ⊥平面11B BCC ，又CM ⊂平面11B BCC ，故AD CM ⊥. 又1BM=，2BC =，1CD =，2FC =，故Rt CBM Rt FCD △≌△. 易证CM DF ⊥，又DFAD D ＝，DF ，AD ⊂平面ADF ，故CM ⊥平面ADF .又CM ⊂平面CAM ，故平面CAM ⊥平面ADF .22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点()2,1P，离心率为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点P 作两条互相垂直的弦PA ，PB 分别与椭圆C 交于A ，B . （i ）证明直线AB 过定点；（ii ）求点P 到直线AB 距离的最大值.【答案】（1）22163x y +=；（2）（i ）证明见解析；（ii）3. 【分析】（1）由题意可得关于a ，b ，c 的方程组，结合,,a b c 的关系，则椭圆方程可求；（2）（i ）当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，代入椭圆方程，利用根与系数的关系结合PA PB ⊥可得(21)(231)0k m k m +-++=，讨论210k m +-=或2310k m ++=，即可求出直线过定点；（ii ）可知当PM AB ⊥时，求出点P 到AB 的距离．求解当直线AB 的斜率不存在时，点P 到直线的距离，由此可得点P 到直线AB 距离的最大值．【详解】解：（1）由题意，得22411a b c a⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又因为222a b c =+，得26a =，23b =，所以，椭圆的方程为22163x y +=.（2）（i ）当直线AB 斜率存在时，设其方程为y kx m =+，代入椭圆方程，整理得()222124260k xkmx m +++-=，由0∆>，得22630k m -+>，设()11,A x y ，()22,B x y ，则122412km x x k -+=+，21222612m x x k-=+，因为PA PB ⊥，所以121211122y y x x --⋅=---，即()()12121212124y y y y x x x x -++=-++-，①其中()()()2212121212y y kx m kx m k x x mk x x m =++=+++，()12122y y k x x m +=++，代入①，整理得22483210k mk m m ++--=，即(21)(231)0k m k m +-++=，当210k m +-=时，直线AB 过点P ，不合题意，所以2310k m ++=，此时，直线AB 的方程为2133y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以直线过定点21,33M ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 当直线AB 斜率不存在时，设其方程为xn =，代入解得23n =或2n =（舍去），综上所述，直线AB 恒过定点21,33M ⎛⎫-⎪⎝⎭. （ii ）∴当PM AB ⊥时，点P 到AB的最大距离为||d PM ==当直线AB 的斜率不存在时，设其方程为xn =，代入解得23n =或2n =舍去．当23n =时，点P到直线23x=的距离为43．综上，点P到直线AB距离的最大值为||d PM==【点睛】易错点睛：本题考查了椭圆方程的求解和直线与椭圆的位置关系. 讨论直线AB 的斜率是否存在是易错点.。

湖北省武汉市部分重点中学2020-2021学年高二上学期期末联考数学试题与答案

（1）求图中a的值；
（2）以样本估计总体，估计本次化学成绩原始平均分及C等级最低原始分（结果保留整数）．
【答案】（1）0.030；（2）71分，57分.
19.根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量增加量y（百千克）与某种液体肥料每亩使用量x（千克）之间的对应数据的散点图，如图所示．
（1）依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请计算相关系数r并加以说明（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；
（1）共有多少种不同的放法？请列举出来；
（2）求盒中放置的球的编号与所在盒的编号均不相同的概率．
【答案】（1）六种，详见解析；（2） .
18.某校期中考试高二化学学科采用新高考赋分模式，排名等级从高分到低分占比分别是：A等级7%；B等级33%；C等级40%；D等级15%；E等级5%．现随机抽取100名学生原始成绩（未赋分）进行分析，其频率分布直方图如图所示
（1）求证；
（2）求二面角的平面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2） .
21.如图四棱锥中，底面ABCD为菱形底面ABCD，E是PC上的一点，，平面BED，，
（1）求AC的长；
（2）若平面平面CPB，试求PB与平面PDC所成角的正弦值．
【答案】（1）；（2） .
22.过抛物线上一点作两条不同直线，且直线，与抛物线C的另外一个交点分别为A，B
C.命题p是全称命题
D.命题p既不全称命题也不是特称命题
【答案】AC
10.以下对概率的判断正确的是（）
A.在大量重复实验中，随机事件的概率是频率的稳定值
B.从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为
C.甲、乙两人玩石头，剪刀，布的游戏，则玩一局甲不输的概率是