学而思数学 (2)
第二节 二元一次方程组的解法(含答案)...七年级数学 学而思
第二节二元一次方程组的解法1．二元一次方程组的解法基本思路是消元，即通过运用代入法或加减法把二元一次方程组转化为一元一次方程，从而求出方程组的解． (1)代入消元法：通过等量代换，消去方程组中的一个未知数，使二元一次方程组转化为一元一次方程，从而求得一个未知数的值，然后再求出被消去未知数的值，从而确定原方程组的解的方法．代入消元法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数例如y，用含另一个未知数如x的代数式表示出来；②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值；④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值；⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．(2)加减消元法：加减法是消元法的一种，也是解二元一次方程组的基本方法之一．加减法不仅在解二元一次方程组中适用，也是今后解其它方程（组）经常用到的方法．加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：①变换系数：方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数；②加减消元：把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；③解这个一元一次方程，求得未知数的值；④回代：将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值；⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，需要把求得的x，y的值用“{”联立起来．2．特殊方程组的解法对于具有某些特点的二元一次方程组，如果仍按常规方法不仅运算量大，而且容易出错，则可根据题目的特点，利用整体思想来采用特殊方法简化方程组，接着再采用代入或加减消元法解出相应x，y的值即可．(1)系数轮换法：适用方程组类型：如果把方程组中的每一个未知数依次轮换后，虽然每个方程都变了，但是整个方程组仍不变，步骤：解题时，把各方程相加，即可得到x+ y=常数的形式，把各方程相减，即可得到x- y=常数的形式，这两个新的方程组成的方程组就是原方程组化简后的结果，便可以采用加减或代入消元法求得未知数的值．(2)换元法：适用方程组类型：方程组项数较多、系数较为复杂，而且会有相同的部分或者是互为相反数的部分多次出现；步骤：解题时，把方程中相同的部分或者是互为相反数的部分看成是一个整体，用另一个字母来替换，从而简化原先项数多、系数复杂的方程组，再采用常规的加减或者代入消元法来求得未知数的值．(3)倒数法：适合方程组类型：方程中出现分母是和的形式，分子是积的形式⋅+yx xy步骤：解题时，采用倒数法变换成分子是和、分母是积的形式,xyyx +然后进行拆分，利用加减或者代入或者换元法来解出x ，y 的值．1．代入消元方法的选择①运用代入法时，将一个方程变形后，必须代入另一个 方程，否则就会 得出“0=0”的形式，求不出未知数的值；②当方程组中有一个方程的一个未知数的系数是1或一1时，用代入法较简便． 2．加减消元方法的选择①一般选择系数绝对值最小的未知数消元；②当某一未知数的系数互为相反数时，用加法消元；当某一未知数的系数相 等时，用减法消元；③某一未知数系数成倍数关系时，直接使其系数互为相反数或相等，再用 加减消元求解；④当相同的未知数的系数都不相同时，找出某一个未知数的系数的最小公倍数，同时对两个方程进行变形，转化为系数的绝对值相同的方程，再用加减消元求解，例1．如果关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧-=-=+223a y x y x 的解是负数，则a 的取值范围是( )54.<<-a A 5.>a B 4.-<a C D ．无解检测1．（浙江绍兴期末）已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧-=-=-,52253a y x ay x 若x ，y 的值互为相反数，则a 的值为( )5.-A 5.B 20.-C 20.D例2．（四川南江县期末）已知,0)112(|32|2=+++--y x y x 则（ ）⎩⎨⎧==12.y x A ⎩⎨⎧-==30.y x B ⎩⎨⎧-=-=51.y x C ⎩⎨⎧-=-=72.y x D检测2．（山东滨州期末）已知,0|72|)12(2=-++--y x y x 则=-y x 3（ ）3.A 1.B 6.-C 8.D例3．（湖北黄冈期末）若y x h y xb a ba -+--332243是同类项，则b a -的值是（ ）0.A 1.B 2.C 3.D检测3．若y x nm +243与n m y x -5是同类项，则m ．n 的值分别是( ) 3,2.A 1,2.B 0,2.C 2,1.D例4．（湖南衡阳县一模）解方程组：⎩⎨⎧=+=+,604320122016604120162012y x y x 则yx yx -+值是3.A 3.-B 6.C 6.-D检测4．(1)（江苏海门市期末）如果实数x ，y 满足方程组⎩⎨⎧=+=+,4222y x y x 那么=+y x(2)（安徽泗县校级模拟）关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧-=+-=+22132y x k y x 的解满足y x +,1=则k=例5．（河北古冶区一模）已知a ，b 满足方程组⎩⎨⎧=-=+,283b a b a 则=+b a2.A3.B4.C5.D检测5．(1)（河北模拟）已知e 、f 满足方程组⎩⎨⎧=-=--,6223e f f e 则f e +2的值为（ ）2.A 4.B 6.C 8.D(2)（广东广州中考）已知a ．b 满足方程组⎩⎨⎧=-=+,43125b a b a 则b a +的值为第二节 二元一次方程组的解法（建议用时：35分钟）实战演练1．用加减法解方程组⎩⎨⎧-=-=+15y x y x 中，消x 用 法，消y 用 法( )A.加，加 B ．加，减 C ．减，加 D ．减，减2．若用代入法解方程组⎩⎨⎧+==,12332y x yx 以下各式代入正确的是( )1)32(23.+=x x A 1)32(23.+=y x B1)23(23.+=x x C 1623.+⋅=x x x D3．若,0|52||12|=--+--y x y x 则x+y 的值为( )4.A5.B6.C7.D4．已知：|32|++y x 与2)2(y x +互为相反数，则=-y x （ ）7.A 5.B 3.C 1.D5．（山东临清市期末）已知方程组⎩⎨⎧=+=-my x y x 24中x ，y 相加为0，则m 的值为（ ）2.A 2.-B 0.C 4.D6．（河北石家庄校级模拟）若方程组⎩⎨⎧=++=+my x m y x 32253的解x 与y 互为相反数，则m 的值为（ ）2.-A 0.B 2.C 4.D7．若方程组⎩⎨⎧=+=+16156653y x y x &的解也是方程103=+ky x 的解，则（ ）6.=k A 10.=k B 9.=k C 101.=k D 8．若3243y x b a +与ba y x -634的和是单项式，则=+b a （ ） 3.-A 0.B 3.C 6.D9．按如图8 -2—1所示的运算程序，能使输出结果为3的x ，y 的值是( )128--2,5.-==y x A ⋅-==3,3.y x B 2,.4.=-=y x C 9,3.-=-=y x D10.（山东临沂中考）已知x ，y 满足方程组⎩⎨⎧=+=+,4252y x y x 则y x -的值为（ ）⎩⎨⎧==12.11y x 是方程组⎩⎨⎧=-=+04by ax by ax 的解，那么=+-))((b a b a 12.已知方程组⎩⎨⎧-=+=-123225m y x my x 的解x ，y 互为相反数，则m=13.（江苏常州期末）若关于x ，y ，的二元一次方程组⎩⎨⎧=+-=+22132y x a y x 的解满足x+ y=l ，则a 的值为14.三个同学对问题“若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解是⎩⎨⎧==,43y x 求方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+222111523523c y b x a c y b x a 的解．”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替换的方法来解决”，参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是 ．15.（“信利杯”竞赛题）已知：a ，b ，c 三个数满足,31=+b a ab ,41=+c b bc ,51=+a c ca 则ca bc ab abc++的值为 16.（重庆校级自主招生）解方程组：⎩⎨⎧=+=+200320042005200620052004y x y x17.解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-+-421621y x y x18．已知方程组⎩⎨⎧+=---=+ay x ay x 317的解中，x 为非正数，y 为负数．(1)求a 的取值范围； (2)化简.|2||3|++-a a19.（江苏张家港市期末）已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧+=+=+12242m y x my x （实数m 是常数）．(1)若x+y=1，求实数m 的值；(2)若,51≤-≤-y x 求m 的取值范围； (3)在(2)的条件下，化简：.|32||2|-++m m20.（黑龙江讷河市校级期末）已知二元一次方程组⎩⎨⎧+=-+=+1593a y x a y x 的解x ，y 均是正数．(1)求a 的取值范围； (2)化简.|4||54|--+a a拓展创新21．解方程组：⎩⎨⎧==+44y -3x 23y x 2拓展1．解方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+443232y x y x 拓展2．解方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+41432132x y xy x y xy极限挑战22.（全国初中数学竞赛）若,0634=--z y x ),0(072=/=-+xyz z y x 则式子222222103225z y x z y x ---+的值等于( )21.-A219.-B 15.-C 13.-D课堂答案培优答案。
学而思三年级数学寒假1-6讲课程讲义201802
学而思三年级数学寒假1-6讲课程讲义第1讲角的认识模块2：角度计算例3：(1)若∠A和∠B的和为150°，且∠A是∠B的4倍，那么∠A=.(2)若∠A+∠B+∠C=160°，其中∠C是直角，那么∠B=.例4：如图所示，已知∠1的度数是∠2度数的2倍，求∠1、∠2、∠3、∠4分别是多少度？练一练如图所示，已知∠3=30°，求∠2、∠1、∠4分别是多少度？312312作业2：10点整的时候，钟面上时针与分针所成的角是度。
作业3：已知∠1=35°，求∠1的补角是度，余角是是度。
作业4：(1)若∠A+∠B+∠C=120°，其中∠A=28°，∠C=60°，那么∠B=°。
第2讲四则运算模块1：加减法巧算例1：计算(1)63+294+37+54+6(2)261-43+83-157+39==(3)19+199+1999+19999(4)81+85+78+87+79 ==模块2：乘法的巧算例2：计算(1)33×15÷5(2)1800÷25÷4==(3)125×(8÷10)(4)(36×21)÷(6×7)==练一练(1)36×25(2)32×125==(3)25÷(10÷8)(4)37000÷125÷8==计算:(1)34×36;78×72(2)13×17;31×39 (3)43×63;87×27(4)25×25;56×56模块3：提取公因数例4：计算:(1)67×66+67×35-67(2)80×15+15×22-30 (3)33×34+34×35+68×66(4)12×38+12×34+24×14(1)76×25-50+25×26(2)60×29+60×33+40×62作业1：(1)736+49+264+24+11(2)653-249-151作业2：(1)240÷100×5(2)2800÷(25×7)作业3：35×20+70+35×7867×46+54×33+34×54第3讲数列中的秘密模块1：求通项与项数例1：(1)等差数列3，7，11，15，……,第26项是。
学而思各年级数学大纲
1.通过动手操作学习倒油取水问题，进行条件判断分析； 2.通过动手测量，判断物品的真假，培养学生的逻辑推理能力。 探索多种类型数学游戏中的乐趣，感受数学之美，拓展思维。 阶段学校效果检测，帮助学生查漏补缺，有利于后期学习方法的改进。 主要内容 学会通过观察数字和得数，利用倒推思想适当添加运算符号使算式成立，并通过“24点”益 智游戏提高学习兴趣，培养学生数感。 理解小数的意义，学会读写小数并会比较小数大小；会解决生活中简单小数问题。 面积认知进阶，通过观察掌握平行四边形及梯形特征；引导学生通过转化思想推导出平行四 边形及梯形面积公式；学会利用面积公式解决实际几何问题。 利用差不变思想解决常见年龄问题。 复习余数，倍数概念。掌握带余数除法的计算及各数之间关系。 学会读懂简单的条形统计图和折线统计图，并会分析统计图提出合理性建议；学会分析表格 中通的过数找据规，律结与合递逻推辑思推想理解、决列经方典程种等树方问法题解中决的一经些典应排用列性方问式题问。题及多线交点个数、分平面个 数方法。 掌握等差数列的概念及识别方法；熟练掌握等差数列的通项公式、项数公式、求和公式、中 项定理、连续奇数和公式等重要结论并会运用；学会利用等差数列解决应用题。 学习和解决各种以数字与数值为内容的文字数字谜问题，包括数字组成的多位数，数字在运 算下的变化，数的分解、分拆与排列。
★★★
★★★
计算
几何
应用
应用 应用
逻辑 应用
巧算加减法
几何计数问题进阶
有趣的周期问题
和差问题 移多补少应用题
推理综合 重叠问题
几何
计算 应用 方法
巧求周长
数阵图 猜猜他几岁 逆向思考
学而思初一数学暑假班第15讲.乘法公式(二).教师版
= ⎡(a - b )2 + (a - c)2 + (b - c)2 ⎤⎦ 填空：⑷ a 2 + b 2 + c 2 + ab + bc + ca = (______+ ______+ ______)2 ；15乘法公式(二)基础知识常用公式 (二)：⑴三元完全平方公式： 示例剖析8a 3 - 27b 3 = (2a - 3b )(4a 2 + 6ab + 9b 2 )(a + b + c )2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ac⑵立方差（和）公式：(2 x + y )3 = 8x 3 + 6 x 2 y + 6 xy 2 + y 3a 3 -b 3 = (a - b )(a 2 + ab + b 2 )a 3 +b 3 = (a + b )(a 2 - ab + b 2 )⑶完全立方公式：(a ± b )3 = a 3 ± 3a 2b + 3ab 2 ± b 3常见变形：a 2 +b 2 +c 2 - ab - bc - ac1 2 ⎣a 3 +b 3 = (a + b )3 - 3ab (a + b )模块一三元完全平方公式夯实基础【例1】 计算：⑴ (a + b + c)2 ；⑵ (a - b - c)2 ；⑶ (a - 2b + 3c)21 1 1 1 1 19 16 4 6 4 3⑸ 4m 2 + n 2 + 16 p 2 - 4mn - 8np + 16 pm = (______ - ______ + 4 p )2【解析】⑴ 原式 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc⑵ 原式 = a 2 + b 2 + c 2 - 2ab - 2ac + 2bc第 15 讲·尖端预备班·教师版1⑷ a ， b ， cn⑵ 已知三个数 a ，b ，c 满足方程 ⎨c 2 + 2ab = 29 ⎩a + 2bc = 21 ⑵ 已知 a - b = b - c = ， a 2 + b 2 + c 2 = 1 ，求 ab + bc + ca 的值．= ⎡(a - b )2 + (a - c)2 + (b - c)2 ⎤⎦ = ⎡⎣(-1)2 + (-2)2 + (-1)2 ⎤⎦ = 3 故 ab + bc + ca = (a 2 + b 2 + c 2 ) - 1 ⎡(a - b )2 + (b - c)2 + (c - a)2 ⎤2 ⎣⑶ 原式 = a 2 + 2b 3 + 3c 2 - 4ab + 6ac - 18bc1 1 1 3 42 ⑸ 2m ，【例2】 ⑴ 已知 ( x + y)2 - 2 x - 2 y + 1 = 0 ，则 ( x + y)999 = ___________．⎧b 2 + 2ac = 14 ⎪，求 a + b + c ．⎪ 2【解析】⑴ 解法一：由已知条件可知， x 2 + y 2 + 1 + 2xy - 2 y - 2x = ( x + y - 1)2 = 0 ，故 x + y = 1 ， ( x + y)999 = 1 ．解法二：由已知条件可知， ( x + y)2 - 2( x + y) + 1 = ( x + y - 1)2 = 0 ， 故 x + y = 1 ， ( x + y)999 = 1 ．⑵ 三式相加，得 a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ca = 64 ，所以 (a + b + c )2 = 64 ，a + b + c = ±8 ．能力提升【例3】 ⑴ 若 a = 1990 ， b = 1991 ， c = 1992 ，则 a 2 + b 2 + c 2 - ab - bc - ac =．35【解析】⑴ a 2 + b 2 + c 2 - ab - bc - ac1 2 ⎣1 2⑵ 由 a - b = b - c = 3 可知， a - c = 6 ，5 5⎦1 9 9 36 2= 1 - ⨯ ( + + ) =- ．2 25 25 25 25【例4】 ⑴ 已知 3a + 2b + c = 24 ，且 a 2 + b 2 + c 2 = ab + bc + ca ，则 a 3 + b 2 + c = _________⑵ 如果 a ，b ，c 是 ∆ABC 三边的长，且 a 2 + b 2 - ab = c(a + b - c) ，那么 ∆ABC 是( )A ． 等边三角形B ． 直角三角形C ． 钝角三角形D ． 形状不确定【解析】⑴ 由 a 2 + b 2 + c 2 = ab + bc + ca ，可得 a = b = c ;则 a = b = c = 4 ． a 3 + b 2 + c = 84⑵ 已知关系式可化为 a 2 + b 2 + c 2 - ab - bc - ac = 0 ，即 1 (2a 2 + 2b 2 + 2c 2 - 2ab - 2bc - 2ac) = 0 ，22第 15 讲·尖端预备班·教师版⎪3b - 2c = 0 ⎨ ⑶ 计算： (a - )(a + )(a 2 - a + )(a 2 + a + )⑵ (2a + b )2 ⎡4a 2 - (2a - b )b ⎤2所以 1 [(a - b )2 + (b - c)2 + (a - c)2 ] = 0 ，故 a = b ， b = c ， c = a ．即 a = b = c ．选 A ．2【备选】若 14(a 2 + b 2 + c 2 ) = (a + 2b + 3c)2 ，求 a : b : c ．【解析】∵14(a 2 + b 2 + c 2 ) = (a + 2b + 3c)2 ，∴13a 2 + 10b 2 + 5c 2 - 4ab - 12bc - 6ac = 0 ，即 (4a 2 - 4ab + b 2 ) + (9a 2 - 6ac + c 2 ) + (9b 2 - 12bc + 4c 2 ) = 0 ， 亦即 (2a - b )2 + (3a - c)2 + (3b - 2c)2 = 0 ． ⎧2a - b = 0 ∴ ⎪3a - c = 0 ，⎩解得 b = 2a ， c = 3a ，∴ a : b : c = 1:2:3 ．模块二立方公式夯实基础【例5】 计算：⑴ (2m + n 2 )(4m 2 - 2mn 2 + n 4 ) ；⑵ (3x 2 - 2 y)(9x 4 + 6 x 2 y + 4 y 2 ) ； ⑶ ( x m + x n )(x 2m - x mn + x 2n ) ；填空：⑷ (b - _____)(4a 2 + 2ab + b 2 ) = b 3 - 8a 3 ；⑸ ( x + 3 y )( x 2 - ____ + 9 y 2 ) = x 3 + 27 y 3【解析】⑴ (2m + n 2 )(4m 2 - 2mn 2 + n 4 ) = 8m 3 + n 6 ；⑵ (3x 2 - 2 y)(9x 4 + 6x 2 y + 4 y 2 ) = (3x 2 )3 - (2 y)3 = 27 x 6 - 8 y 3⑶ ( x m + x n )( x 2m - x mn + x 2n ) = ( x m )3 + ( x n )3 = x 3m + x 3n ⑷ 2a ；⑸ 3xy ；【例6】 ⑴ 计算： (a + 2b )(a - 2b )(a 4 - 8a 2b 2 + 16b 4 )⑵ 计算： (2a + b )2 ⎡⎣4a 2 - (2a - b )b ⎤⎦21 1 1 1 1 13 3 3 9 3 9【解析】⑴ (a + 2b )(a - 2b )(a 4 - 8a 2b 2 + 16b 4 ) = (a 2 - 4b 2 )3 = a 6 - 12a 4b 2 + 48a 2b 4 - 64b 6 ．⎣ ⎦= (2a + b )2 (4a 2 - 2ab + b 2 )2 = (8a 3 + b 3 )2 = 64a 6 + 16a 3b 3 + b 6 ；⑶ (a - 1)(a + 1)(a 2 - 1 a + 1 )(a 2 + 1 a + 1 ) = (a 3 - 1 )(a 3 + 1 ) = a 6 - 1 ；3 3 3 9 3 9 27 27 729第 15 讲·尖端预备班·教师版3⑵ a 2 + b 2 = (a + b ) + (a - b ) = 13 ， ab = (a + b ) - (a - b ) = -6 ， a 2 + b 2 + ab = 7 ．故 a 3 + b 3 = (a + b )(a 2 - ab + b 2 ) = (a + b ) ⎡(a + b )2 - 3ab ⎤ = 125 - 15ab⑵ 由xy = 1 ⎡( x + y)2 - ( x 2 + y 2 )⎤ = - 1 ， 2 ⎣ 2模块三公式的应用能力提升【例7】 ⑴ 已知 a + b = 3 ， ab = 12 ，求下列式的值： a 2 - ab + b 2 = ； (a - b )2 =⑵ 已知实数 a 、 b 满足 (a + b )2 = 1 ， (a - b )2 = 25 ，求 a 2 + b 2 + ab 的值．⑶ 若 a + b = 5 ，求 a 3 + b 3 + 15ab 的值．【解析】⑴ a 2 - ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 - 3ab = (a + b )2 - 3ab = 45(a - b )2 = a 2 - 2ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 - 4ab = (a + b )2 - 4ab = 572 2 2 2 2 4⑶ 解法一：由 a + b = 5 ，⎣ ⎦从而可知， a 3 + b 3 + 15ab = 125 解法二：由 a + b = 5 ，故 (a + b )3 = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b 3 = a 3 + b 3 + 3ab(a + b ) = a 3 + b 3 + 15ab = 125【例8】 若 x + y = m + n ， x 2 + y 2 = m 2 + n 2 ，求证： x 2012 + y 2012 = m 2012 + n 2012【证明】因为 x + y = m + n ，所以 ( x + y)2 = (m + n)2 ，即 x 2 + 2xy + y 2 = m 2 + 2mn + n 2 ；因为 x 2 + y 2 = m 2 + n 2 ，所以 2xy = 2mn ，于是 x 2 - 2xy + y 2 = m 2 - 2mn + n 2 ， 即 ( x - y)2 = (m - n)2 ，所以 x - y = m - n 或者 x - y = n - m ； 于是 x = m ， y = n 或者 x = n ， y = m ； 无论哪种情况，都有 x 2012 + y 2012 = m 2012 + n 2012【例9】 ⑴ 已知 x + y = 10 ， x 3 + y 3 = 100 ，求 x 2 + y 2 的值．⑵ 已知 x + y = 1， x 2 + y 2 = 2 ，求 x 6 + y 6 的值．【解析】⑴ 由 x 3 + y 3 = ( x + y)3 - 3xy( x + y) ，得1000 - 3xy ⨯10 = 100 ，即 xy = 30 ．所以 x 2 + y 2 = ( x + y)2 - 2xy = 40 ．⎦ ∴ x 6 + y 6 = ( x 2 )3 + ( y 2 )3 = ( x 2 + y 2 )3 - 3x 2 y 2 ( x 2 + y 2 ) = 13 ．2【例10】 ⑴ 若 ( x + 2)2 + ( x - 3)2 = 13 ，则 ( x + 2)(3 - x) = ．⑵ 已知 (2012 - a)(2010 - a) = 2011 ，那么 (2012 - a)2 + (2010 - a)2 = ．【解析】⑴ 令 x + 2 = a ， 3 - x = b ，问题变为： a + b = 5 ， a 2 + b 2 = 13 ，求 ab 的值．4第 15 讲·尖端预备班·教师版易知 ( x + 2)(3 - x) = ab = ⎡(a + b )2 - (a 2 + b 2 )⎤ ⨯ 1 = 6 ．a = 5 ，则 a 2 =_________．a 的值．【解析】⑴ a + 1 = 5 ⇒ a 2 + 1 = 23 ， a + a + 1 = a 2 + 1 + 1 = 24x ；⑵ x 2 + x 2 ；⑶ x 4 + x 4 的值．【解析】⑴ ∵ x 2 - 7 x + 1 = 0 ，∴ x ≠ 0 ，∴ x - 7 x + 1 = 0 ，即 x + 1 = 7x = 7 ，∴ x 2 + x 2 = 47 ，∴ x 4 + x 2 - x + 1 = 7，则 x 4 + x 2 + 1 =__________．x 2 - x + 1 = 7 ⇒x = x + 1 x - 1= = 1 = 49x 4 + x 2 + 1 =⎣ ⎦ 2⑵ 令 2012 - a = x ， 2010 - a = y ，问题变为： x - y = 2 ， x ⋅ y = 2011 ，求 x 2 + y 2 的值．易知 x 2 + y 2 = ( x - y)2 + 2xy = 22 + 2 ⨯ 2011 = 4026【例11】 ⑴ 已知 a + 1a 4 + a 2 + 1⑵ 已知： a 2 + 1 a 2= 7 ，求 a + 14 2 a a 2 a 2 a 2⑵ ∵ a 2 + 1 = 7 ，∴ a 2 + 1 + 2 = 9 ，即 (a + 1 )2 = 9 ， a + 1 = ±3a 2 a 2 a a【例12】 已知： x 2 - 7 x + 1 = 0 ，求⑴ x + 1112 x x⑵ ∵ x + 1 1 1x 2 + 2 = 49 ，∴ x 2 + x 2 = 47⑶ ∵ x 2 + 1 1 1 x 4 + 2 = 2209 ，∴ x 4 + x 4 = 2207【备选】若 x x 2【解析】x1 1 8 1 34= 7 ⇒ x + ⇒ x 2 + =-7 x 2 49x 2 1 1x 2 + 1 + 1 1 - 34 15 15x 2 49 49第 15 讲·尖端预备班·教师版5⑶ 2 x - y - z ⎪ ⑶ 2 x - y - z ⎪ = ⎢2x + (- y ) + - z ⎪⎥ = 4x 2 + y 2 + z 2 - 4xy + yz - 2zx 1 ⎫2 ⎡ 2 ⎭ ⎣ x + 20 ， b = x + 19 ， c = x + 21 ， 故 a 2 + b 2 + c 2 - ab - bc - ca = 1 ⎡(a - b )2 + (b - c)2 + (c - a)2 ⎤ = 1 ⨯ 6 = 32 ⎣ 2实战演练知识模块一 三元完全平方公式 课后演练【演练1】 计算：⑴ (3x - y + 5z)2⑵ ( x - 5 y - 9)2⎛ 1 ⎫2 ⎝2 ⎭ 【解析】⑴ (3x - y + 5z)2 = 9x 2 + y 2 + 25z 2 - 6xy - 10 yz + 30 z x ；⑵ ( x - 5 y - 9)2 = x 2 + 25 y 2 + 81 - 10xy + 90 y - 18x ．⎛ ⎛ 1 ⎫⎤ 21 ⎝ ⎝2 ⎭⎦4【演练2】 已知 a =1 1 120 20 20求代数式 a 2 + b 2 + c 2 - ab - bc - ca 的值．【解析】由 a = 1 x + 20 ， b = 1 x + 19 ， c = 1 x + 21 ，可知， a - b = 1 ， b - c = -2 ， c - a = 120 20 20⎦【演练3】 若 a ， b ， c 均为正数，且满足 a 4 + b 4 + c 4 = a 2b 2 + b 2c 2 + c 2a 2 ，那么 a ， b ， c 之间有什么关系？【解析】由 a 4 + b 4 + c 4 = a 2b 2 + b 2c 2 + c 2a 2 ，得 2(a 4 + b 4 + c 4 ) = 2(a 2b 2 + b 2c 2 + c 2a 2 )故 (a 4 - 2a 2b 2 + b 4 ) + (b 4 - 2b 2c 2 + c 4 ) + (c 4 - 2c 2 a 2 + a 4 ) = 0即 (a 2 - b 2 )2 + (b 2 - c 2 )2 + (c 2 - a 2 )2 = 0 ，得 a 2 - b 2 = 0 , b 2 - c 2 = 0 , c 2 - a 2 = 0 即 a 2 = b 2 = c 2 ，又由 a ， b ， c 为正数，即得 a = b = c6第 15 讲·尖端预备班·教师版【演练6】 已知 x + y = 1 ， x 3 + y 3 =，求 x 6 + y 6 的值． ⎦a 的值．知识模块二 立方公式 课后演练【演练4】 ⑴ 填空： (m + 2n)(____ - 2mn + ____) = m 3 + 8n 3⑵ 计算： (b + 3a)(9a 2 - 3ab + b 2 ) ⑶ 计算： ( x + 2 y)2 ( x 2 - 2 x y + 4 y 2 )2【解析】⑴ m 2， 4n 2 ；⑵ (b + 3a)(9a 2 - 3ab + b 2 ) = (b + 3a)(b 2 - 3ab + 9a 2 ) = b 3 + (3a)3 = b 3 + 27a 3 ； ⑶ ( x + 2 y)2 ⋅ ( x 2 - 2xy + 4 y 2 )2= ⎡⎣( x + 2 y)(x 2 - 2xy + 4 y 2 )⎤2 = ( x 3 + 8 y 3 )2 = x 6 + 16x 3 y 3 + 64 y 6知识模块三 公式的应用 课后演练【演练5】 已知 a + b = 3 ， a 2b + ab 2 = -30 ，则 a 2 - ab + b 2 + 11 = ．【解析】 a 2b + ab 2 = ab(a + b ) = 3ab = -30 ，所以 ab = -10 ，a 2 - ab + b 2 + 11 = (a + b )2 - 3ab + 11 = 50 ．13【解析】由于 x 3 + y 3 = ( x + y)3 - 3xy(x + y) = 1 - 3xy = 1 ，得到 xy = 2 ；3 9于是： x 6 + y 6 = ( x 3 + y 3 )2 - 2x 3 y 31 2= ( )2 - 2 ⨯ ( )33 9 = 65 729【演练7】 已知： a 2 + 1 a 2= 3 ，求 a - 1【解析】∵ a 2 + 1 = 3 ，∴ a 2 + 1 - 2 = 1 ，即 (a - 1 )2 = 1 ， a - 1 = ±1a 2 a 2 a a第 15 讲·尖端预备班·教师版7。
学而思轻课数学二年级下册
学而思轻课数学二年级下册
摘要：
一、介绍学而思轻课数学二年级下册
二、课程内容概述
三、课程特点
四、适合的学生群体
五、学习建议
正文：
学而思轻课数学二年级下册是一门适合二年级学生学习的数学课程。
课程内容涵盖了二年级下学期的所有数学知识点，旨在帮助学生巩固基础，提高数学能力。
课程内容主要包括：数的认识、数的运算、几何图形、量的计量、解决问题等。
通过这些知识点的教授，学生将能够熟练地进行简单的加减法运算，理解几何图形的概念，掌握量的计量方法，并学会解决实际问题。
学而思轻课数学二年级下册具有以下特点：
1.紧扣教材，课程内容与学校教学同步，为学生提供有效的课后辅导。
2.课程设置灵活，根据学生的学习进度进行调整，满足不同学生的需求。
3.注重培养学生的思维能力，通过丰富的例题和练习题，让学生在实践中掌握知识点。
4.教师经验丰富，教学方法多样，激发学生的学习兴趣，提高学生的学习效果。
本课程适合以下学生群体：
1.正在就读二年级下学期的学生。
2.对数学感兴趣，希望提高数学成绩的学生。
3.需要巩固基础，为高年级学习打下良好基础的学生。
在学习建议方面，学生应该：
1.按时完成课程学习，确保掌握每一个知识点。
2.多做练习题，通过大量的练习巩固所学知识。
3.积极参与课堂讨论，与老师和同学互动，提高思维能力和解决问题的能力。
4.定期复习，确保所学知识长期记忆。
总之，学而思轻课数学二年级下册是一门优质的数学课程，适合二年级下学期的学生学习。
学而思2年级数学
7.
学校水果店运来苹果和梨共 40 千克，苹果比梨多 2 袋，苹果和梨每袋都重 5 千克，则水果店运来 苹果和梨各多少袋？
8.
地震灾区希望小学正筹备建设图书馆，春蕾小学发动全校同学给山区的学生捐书，二（1）班、二 （2）班、二（3）班三个班共捐书 300 本，二（1）班、二（2）班两个班捐书总数比二（3）班多 60 本，如果二（3）班比二（2）班多 40 本．求三个班各捐了多少本书？
第一天
1. 计算下面算式： （2） 43 29 57 （3） 89 36 69 （1） 36 59 64
2.
计算下面算式： （1） 76 23 17 （2） 83 (23 19) （3） 96 35 25
3.
选用基准数： 86 88 90 91 92
5.
下图是一个直角梯形，请你画一条线段，把它分成两个形状相同并且面积相等的四边形．
A 1 B
3
D
2
C
6.
把下图四等分，要求剪成的每个小图形形状、大小都一样．除了剪正方形外，你还有别的方法吗？
20
40 20 60
7.
右图是一个 4 4 的方格纸，请用六种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小 方格的完整．
8.
有五个数，平均数是 9，如果把其中的一个数改为 1，那么这五个数的平均数是 8，这个改动的数 原来是多少？
2015 年暑假作业 三年级
第九天
1. 下面的方框各应该填几？
3 5 0 4
4 7
2.
（2004 年华杯赛，初赛） “华杯赛”是为了纪念和学习我国杰出的数学家华罗庚教授而举办的全国 性大型少年数学竞赛．华罗庚教授生于 1910 年，现在用“华杯”代表一个两位数．已知 1910 与“华 杯”之和等于 2004，那么“华杯”代表的两位数是多少？
学而思初二数学秋季班第2讲.倍长中线与截长补短.提高班.教师版
1初二秋季·第2讲·提高班·教师版三角形9级 全等三角形的经典模型（二）三角形8级全等三角形的经典模型（一） 三角形7级倍长中线与截长补短倍长中线与截长补短满分晋级漫画释义2倍长中线 与截长补短2初二秋季·第2讲·提高班·教师版定 义示例剖析倍长中线：即延长三角形的中线，使得延长后的线段是原中线的两倍．其目的是构造一对对顶的全等三角形； 其本质是转移边和角．EDABC其中BD CD =，延长AD 使得DE AD =，则BDE CDA △≌△．【例1】 已知ABC △中，AD 平分BAC ∠，且BD CD =，求证：AB AC =． 【解析】 延长AD 到E ，使DE AD =，连接CE ．则CDE BDA △≌△，∴CE AB =，CED BAD ∠=∠， ∵AD 平分BAC ∠，∴BAD CAD ∠=∠， ∴CED CAD ∠=∠，∴CE AC =， ∴AB AC =．思路导航例题精讲知识互联网题型一：倍长中线EABCDABCD3初二秋季·第2讲·提高班·教师版【教师备选】教师可借用例1对等腰三角形三线合一性质的逆命题进行简单归纳：已知角平分线+中线证等腰三角形，如例1； 已知角平分线+高证等腰三角形，如拓展1； 已知中线+高证等腰三角形，如拓展2．【拓展1】已知△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且AD ⊥BC ，求证：AB =AC ． 【解析】∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD =∠CAD∵AD ⊥BC ，∴∠ADB =∠ADC =90° ∴△ABD ≌△ACD (SAS) ∴AB =AC ．【拓展2】已知△ABC 中，AD ⊥BC ，且BD CD =，求证：AB =AC ． 【解析】∵AD ⊥BC ，且BD CD =∴AD 所在直线是线段BC 的垂直平分线 根据垂直平分线上的点到线段两端点距离相等 故AB =AC ．【例2】 ⑴如图，已知ABC △中，AB AC =，CE 是AB 边上的中线，延长AB 到D ，使BD AB =．给出下列结论：①AD =2AC ；②CD =2CE ；③∠ACE =∠BCD ；④CB 平分∠DCE ，则以上结论正确的是 ． 【解析】 ①正确．∵AB AC =，BD AB =，∴AD =2AC ．②、④正确．延长CE 到F ，使EF CE =，连接BF ． ∵CE 是AB 的中线，∴AE EB =． 在EBF △和EAC △中 AE BEAEC BEF CE FE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩典题精练ABDEDCBA4初二秋季·第2讲·提高班·教师版∴EBF EAC ≌△△∴BF AC AB BD ===，EBF EAC ∠=∠ ∴FBC FBE EBC A ACB DBC ∠=∠+∠=∠+∠=∠ 在FBC △和DBC △中 FB DB FBC DBC BC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴FBC DBC ≌△△∴2CD CF CE ==，∠FCB =∠DCB 即CD =2CE ，CB 平分∠DCE ．③错误．∵∠FCB =∠DCB ，而CE 是AB 边上中线而不是∠ACB 的角平分线故∠ACE 和∠BCD 不一定相等．⑵如图，在△ABC 中，点D 、E 为边BC 的三等分点，给出下列结论：①BD =DE =EC ；②AB +AE ＞2AD ；③AD +AC ＞2AE ；④AB +AC ＞AD +AE ，则以上结论正确的是 ．NM ED CBAEDCBA【解析】 点D 、E 为边BC 的三等分点，∴BD =DE =CE 延长AD 至点M ，AE 至点N ，使得DM =AD ，EN =AE ，连接EM 、CN ，则可证明△ABD ≌△MED ，进而可得AB +AE ＞2AD ，再证明△ADE ≌△NCE ，进而可得AD +AC ＞2AE ，将两式相加可得到AB +AE +AD +AC ＞2AD +2AE ，即AB +AC ＞AD +AE ． ∴①②③④均正确．【例3】 如图，已知在ABC △中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，求证：AC BE =．FCAEBD5初二秋季·第2讲·提高班·教师版【解析】 延长AD 到G ，使DG AD =，连接BG∵BD CD =，BDG CDA ∠=∠，AD GD = ∴ADC GDB △≌△， ∴AC GB =，G EAF ∠=∠ 又∵AF EF =，∴EAF AEF BED ∠=∠=∠ ∴G BED ∠=∠，∴BE BG =，∴AC BE =．【例4】 在正方形ABCD 中，PQ ⊥BD 于P ，M 为QD 的中点，试探究MP 与MC 的关系．NABCDMPQ Q PMDCBA【解析】 延长PM 至点N ，使PM =MN ，连结CP 、CN 、DN ．易证△PMQ ≌△NMD ， ∴PB =PQ =DN ，∠PQD =∠NDM ∴PQ ∥DN ，又∵∠BPQ =∠BDN= 90° ∴∠PBQ =∠BDC=∠NDC =45° 再证△BPC ≌△DNC (SAS) 易证△PCN 为等腰直角三角形， 又∵PM =MN ，∴PM ⊥MC ,且PM =CM ．GFEDCBA FE D CBA6初二秋季·第2讲·提高班·教师版定 义示例剖析截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段DCBA在线段AB 上截取AD AC =补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等AB C D延长AC ，使得AD AB =【例5】 在ABC △中，A ∠的平分线交BC 于D ，AB AC CD =+，40B ∠=︒，求C ∠的大小．（希望杯培训题）D C B AED CB A【解析】 在AB 上截取AE AC =，连接DE ．∵AE AC =，BAD CAD ∠=∠，AD AD =，∴ACD AED △≌△， ∴C AED ∠=∠，CD DE =，∵AB AC CD =+，AE AC =，∴CD BE DE == ∴40EBD EDB ∠=∠=︒，80C AED ∠=∠=︒例题精讲思路导航题型二：截长补短7初二秋季·第2讲·提高班·教师版D CB AEDCB AD CEBAE DCB A【例6】 如图，在ABC △中，2B C ∠=∠，BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ．求证：AB BD AC +=． 【解析】方法一：（截长）在AC 上截取AB AE =，连接DE ．在ABD △和AED △中AB AE =，BAD EAD ∠=∠，AD AD =∴ABD AED △≌△∴BD ED =，B AED ∠=∠又∵2AED EDC C B C ∠=∠+∠=∠=∠ ∴EDC C ∠=∠，∴ED EC =∴AB BD AC +=． 方法二：（补短）延长AB 到点E 使得AC AE =，连接DE ． 在AED △和ACD △中，AE AC =，EAD CAD ∠=∠，AD AD = ∴AED ACD △≌△，∴C E ∠=∠ 又∵22ABC E BDE C BDE ∠=∠+∠=∠=∠ ∴E BDE ∠=∠∴BE BD =，∴AB BD AC +=．方法三：（补短）延长DB 到点E 使得AB BE =，连接AE 则有EAB E ∠=∠，2ABC E EAB E ∠=∠+∠=∠ 又∵2ABC C ∠=∠，∴C E ∠=∠ ∴AE AC = EAD EAB BAD E DAC ∠=∠+∠=∠+∠C DAC ADE =∠+∠=∠∴AE DE =，∴AB BD EB BD ED AE AC +=+=== ∴AB +BD=AC若题目条件或求证结论中含有“a b c =+”的条件，需要添加辅助线时多考虑“截长补短”.建议教师此题把3种解法都讲一下，方便学生更加深刻理解这种辅助线添加方法.【例7】 已知：在ABC △中，AB CD BD =-，AD BC ⊥，求证：2B C ∠=∠．【解析】 方法一：在DC 上取一点E ，使BD DE =，如图1，在ABD △和AED △中，AD BC ⊥，BD ED =，AD AD =．典题精练DC BA8初二秋季·第2讲·提高班·教师版∴ABD AED △≌△． ∴AB AE =，B AED ∠=∠．又∵AE AB CD BD CD DE EC ==-=-= ∴C EAC ∠=∠，∴2C EAC AED C ∠+∠=∠=∠ ∴2B C ∠=∠．图1E AB CD图2EAB CD方法二：延长DB 到点E ，使BE AB =，如图2， ∴E EAB ∠=∠．∵AB CD BD =-，∴ED CD =．在AED △和ACD △中，AD BC ⊥，ED CD =，AD AD =． ∴AED ACD △≌△． ∴E C ∠=∠． ∵2ABD E ∠=∠ ∴2B C ∠=∠．【探究对象】截长补短法是几何证明题中十分重要的方法，通常来证明几条线段的数量关系，常见做辅助线方法有： 截长法：⑴过某一点作长边的垂线；⑵在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。
学而思数学六年级 第2讲几何一-直线形面积练习题---答案
名校真题 测试卷2 （几何篇一）测试时间：15分钟 姓名_________ 测试成绩_________1、在直角边为3与4的直角三角形各边上向外作正方形，三个正方形顶点连接成如图所示的六边形ABCDEF ，则这个六边形的面积是 . （07年西城实验考题）FEDCB A2、如图，在三角形ABC 中，D 为BC 的中点，E 为AB 上的一点，且BE=13AB,已知四边形EDCA 的面积是35，求三角形ABC 的面积. （07年清华附中入学测试题）3、四个完全一样的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方(如图)如果小正方形面积是1平方米，大正方形面积是5平方米，那么直角三角形中，最短的直角边长度是______米.（06年实验中学入学测试题）4、如图，边长为l 正方形ABCD 中，BE=2EC，CF=FD，求三角形AEG 的面积．（07年人大附中考题）GFED CBA5、如图，长方形ABCD 中，AB＝8，BC＝10，E 是BA 延长线上一点，CE 交AD 于F，△AEF 比△CDF 的面积大40，求AE 的长． (07年四中分班考试题)F ED CB A附答案】 图：总面积=三个正方形+中间三角形+CD 边三角形+AB 边=32+42+52【 1. 【解】如三角形+EF 边三角形+12×3×4+12×3×4+12×3×4+12×3×4=742. 【解】根据定理：ABC BED ΔΔ=3211××=61，所以四边形ACDE 的面积就是6-1=5份，这样三角形35÷5×6=42.. 【解】小正方形面积是1平方米，大正方形面积是5平方米，所以外边四个为. 【解】连接EF．因为BE=2EC，CF=FD，所以S △DEF =(C3面积和是5-1=4，所以每个三角形的面积是1，这个图形是“弦形”，所以长直角边和短直角边差就是中间正方形的边长，所以求出短边长就是1． (请注意)，先外补4个同样的小直角三角形，得到一个大正方形，其边长两直角边的和，根据两直角边的和是3(通过补完后大图的面积求得) 又根据两直角边的差是1(根据最中间的小正方形的面积求得) 所以，根据和差关系，求出长边为2, 短边为1. 421×31×21)S 正方形ABCD =121S GF ED CBA 正方形ABCD ．因为S △AED =21S 正方形ABCD ，根据燕尾定理，AG:GF=21:121=6，所以S △AGE =6S △GEF =76S △AEF ．因为S △ABE =31S 正方形ABCD ，S △ADF =41S 正方形ABCD ， S△CEF=121S 正方形ABCD ，所以S △AEF =1-31-41-121=31，所以S △AGE =76×31=72，三角形AEG 的面积是72．. 【解】（法一）△AEF 比△CDF 的面积大40，所以三角形AED 的面积比三角形DEC 大40，而两个三面积等于长方形ABCD 面积的一半，所以△CDE 的面积为40，三角形△AED 为40+40=80，5角形的高是一样的都等于10，所以三角形AED 的底比三角形DEC 的底长40×2÷10=8，即AE 的长为8+8=16（法二）△CDE 的而△AED 的高已知为10，所以△AED 的底AE 长16.第二讲 小升初专项训练 几何篇（一）一、小升初考试热点及命题方向随着小升初考察难度的增加，几何问题变越来越难，一方面，几何问题仍是中学考察的重点，各学校更题）．尤其重、2008年考点预测2008年的小升初考试将继续以大题形式考查几何，命题的热点在于等积变换和燕尾定理在求解三角形、主要常用数学方法运用首先我们来讨论一下和三角形面积有关的问题，大家都知道，三角形的面积喜欢几何思维好的学生，这样更有利于小学和初中的衔接；另一方面几何问题由于类型众多，很多知识点需要提前学，这就加快了学生知识的综合运用，而这恰恰是重点中学学校所期望的．几何问题是小升初考试的重要内容，分值一般在12-14分（包含1道大题和2道左右的小要的就是平面图形中的面积计算，几何从内容方面，可以简单的分为直线形面积（三角形四边形为主），圆的面积以及二者的综合．其中直线形面积近年来考的比较多，值得我们重点学习． 从解题方法上来看，有割补法，代数法等，有的题目还会用到有关包含与排除的知识．二面积里的运用．同时还需要重点关注在长方形和平行四边形框架内运用边长比等于相似比的定理，请老师重点补充沙漏原理的讲解．三 1. 等积变换：在三角形中的=12×底×高，面积之比等于对应高的比 和三角形面积比有关的题目中它们都能发挥巨2. 用燕尾定理，求线段比：于同一点O, 上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因此我们有 【结论1】等底的三角形【结论2】等高的三角形面积之比等于对应底的比这2个结论看起来很显然，可大家小看它们，在许多大的作用，因为它们把三角形的面积比转化为了线段的比.运A OE DF C B 在三角形ABC 中，AD,BE,CF 相交那么S △ABO :S △ACO =BD:DC因为△ABO 和△ACO 的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用．3.平行线分线段定理（即利用求面积来间接求出线段的比例关系） 同学们应该对下图所示的图形非常熟悉了．相交线段AD 和AE 被平行线段BC 和DE 所截，得到的三角形ABC 和ADE 形状完全相似．所谓“形状完全相似”的含义是：两个三角形的对应角相等，对应边成比例．体现在右图中， 就是AB：AD=BC：DE=AC：CE=三角形ABC 的高：三角形ADE 的高．这种关系称为“相似”，同学们上了中学将会深入学习．相似三角形对应边的比例关系在解几何问题的时候非常有用，要多加练习．EDCB ACBEDA在实际运用的时候，相似的三角形往往作为图形的一部分，有时还要经过翻转、平移等变化（如右下4. 利用“中间桥梁”联系两块图形的面积关系角形的面积，就相对比较简单了，在解题过程中5. 差不变原理的运用面积，可以给两个图形都加上一个相同的图形，化不规则为规则，然后再作比6. 其他方法类型中几何题目的考点以面积为主，但不排除出现以线段和角度为考点的题目，只、典型例题解析三角形中的运用 例1】（★★）如图，四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于O 点，三角形ADO 的面积=5，三角形DOC 的面图），往往不易看出相似关系．如（右下图）AB 平行于DE，有比例式AB：DE=AC：CE=BC：CD，三角形ABC 与三角形DEC 也是相似三角形．下图形状要牢记并且要熟练掌握比例式． 比较两个四边形的面积的大小很难，但比较三将难以处理的四边形化作三角形来处理，把三角形作为“中间桥梁”建立两组图形之间的数量关系， 题目处理起来就容易了. 比较不规则几何图形较，数量关系就清晰了，这种方法的实质是算术中的差不变原理. 虽然小升初考试要在解题过程中，将难以处理的量通过几何变化，化成我们熟悉的数量关系.题目即可迎刃而解.四【典型例题解析】1 等积变化在【积=4，三角形AOB 的面积=15，求三角形BOC 的面积是多少？ABCDO【解】：S △ADO =5,S △DOC =4根据结论2，△ADO 与△DOC 同高所以面积比等于底的比,即AO:OC=5:4同理S △AOB :S △BOC =AO:OC=5:4,因为S △AOB =15所以S △BOC =12．【总结】从这个题目我们可以发现，题目的条件和结论都是三角形的面积比，我们在解题过程中借助结拓展】S △AOD ×S △BOC =S △COD ×S △AOB ，也适用于任意四边形． 练习】如下图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平论2，先把面积比转化成线段比，再把线段比用结论2转化成面积比，解决了问题．事实上，这2次转化的过程就相当于在条件和结论中搭了一座“桥梁”，请同学们体会一下．【【方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园陆地的面积是6.92平方千米，求人工湖的面积是多少平方千米？（空白部分为陆地，阴影部分为水面．）例2】（★★★）如图，ABCD 是一长方形纸片，把它的左下角沿虚线EC 折叠过去成右图，AE 恰好AD 是的【41，三角形CDE 面积是27，三角形AHE 面积是3，三角形BCG 面积是16，问三角形DGH（阴影）的面积是多少？27EDCBA B解】S ACE =27÷3=9,S ABCE =27+9+9=45,S 阴=27-（45-3-16）=1． 2 燕尾定理在三角形中的运用 例（★★★）在△ABC 中【【3】DC BD =2:1, EC AE =1:3，求OEOB=? DCE OBA【分析】题目求的是边的比值，我们可以通过分别求出每条边的值再作比值，也可以通过三角形的面积比来做桥梁，但题目没告诉我们边的长度，所以方法二是我们要首选的方法．本题的图形一看就知道是燕尾定理的基本图，但2个燕尾似乎少了一个，因此应该补全，所以第一步我们要连接OC．【解】连接OCDCAE OB因为AE:EC=1:3 (条件)，所以AOECOES S ΔΔ=1:3 若设AOE S x Δ=,则3COE S x Δ=，所以, 根据燕尾定理4AOC S x Δ=2:1AOB AOC S BD S DC ΔΔ==，所以8AOB S x Δ=，所以88:1AOB AOE S BO xOE S xΔΔ===．【例4】（★★★）三角形ABC 中，C 是直角，已知AC＝2，CD＝2,CB=3,AM=BM，那么三角形AMN（阴影部分）的面积为多少？ABD ABD C C【解】因为缺少尾巴，所以连接BN 如下，的面积为3×2÷2=3这样我们可以根据燕尾定理很容易发现ABC ΔACN Δ：ANB Δ=CD：BD=2：1；同理CBN Δ：ACN Δ=BM：AM=1：1；设面积为1份，则AMN ΔMNB Δ的面积也是1份，所以ANB Δ得面积就是1+1=2份，而：1，所以ACN Δ：ANB Δ=CD：BD=2ACN Δ得面积就是4份：；CBN ΔACN Δ=BM：AM=1：1，所以CBN 也是Δ4份，这样ABC Δ的面积总共分成4+4+1+1=103×份，所以阴影面积为1=10310．【例5】（★★★）如图，三角形A 的面积形CD BC 是16，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点，那四边EF 的面积是多少？【解】连接DF．因为E 是BD 的中点，所以S △FBE =S △FDE ，S △ABE =S △ADE ，所以S △ABF =S △ADF ．因为D 是AC 中点，所以S △ADF =S △CDF ，所以S △ABF =S △ADF =S △CDF ．因为三角形ABC 的面积是16，所以S △CDF =316，S △ABD =8，S △AED =4，所以S △FDE =316-4=34，所以四边形CDEF 的面积是16+4=20【例6】如图，平行四边形ABCD【解】S △BCD =1+4+4+6=16,S △OCD 4和6.求：(1)求△OCF =21S 以S △OCF =8-4=4，所以，=ΔΔCEG OEG S S 所而S △OCE = S △OCB - S △OBE =8-6=2，所以，21EG CG CE ====63GF GO EB 所以S △GCE =322=×.31在三角形中的运用正方形ABCD ，M 为AD 边上的中点，求图中的阴影部分面积．3平行线分线段定理【例7】（★★★）如右图，单位【解1】（平行线分线段定理）两块阴影部分的面积相等，AM GM BC GB ==21,所以GM =32，而三角形GB ABG和三角形AMB 同底，所以S △BAG =32S △ABM =32×1×12=61×21，又因为三角形BAM 和三角形CAM 同底等高，所以阴影面积为61×2=31.【解2】(燕尾定理运用)四边形AMCB 的面积为（0.5+1）×1÷2=43，根据燕尾定理在梯形中的运用，知道：：： =A ：BC ：AM×BC：AM×BC=AMG ΔBCG ΔBAG ΔCMG ΔM 22212⎛⎞⎜⎟⎝⎠：1：221：21=1：4：2：份，所以面积为2；所以四边形AMCB 的面积分成1+4+2+2=9份，阴影面积占43×224122++++=314. 【解3】（等积变化运用）如右图，连结DG，有：S △ACM =S △BAM （同底等高）， AC 又S △AGM =S △GDM （等底同高）又S △BAG =S △ADG （△BAG 与△ADG 关于对称） 因此，11AGM D S S ΔΔ==22AG ABG S Δ 2AGB ABM S S ΔΔ=3 又1111222ABM S AM AB Δ=⋅⋅=⋅⋅=14所以，2211AGB ABM S S ΔΔ==×=所以，3346123阴影AGB S S Δ=×=.是平行四边形，面积为72平方厘米，BC 的中点．则积为多少平方厘米？【例8】（★★★★）如图，ABCD E，F 分别为边AB，图形中阴影部分的面【解1】由AE:CD=1：2，CF:AD=1:2，得到对角线被DE 和DF 分为三等分. 以得到空白部分是DEBF 面积的2/3．空白部分面积为72÷2÷3×2=24平方厘米72-24=48平方厘米．理”的运用.连接BD,OE,OF 这样我们可以发现S1的面积是整个四边形的可【解2】出现梯形时可以考虑一下”燕尾定14，即14S2:S4=份×72=18（平方厘米）,在梯形AEOD 中,AD=2×OE,这样我们运用”燕尾定理”得:S5:S3:1:4:2:2,把面积分成9份,求出阴影面积占5份,同理可以求出梯形DCFO 中阴影也占5,所以阴影面积=(72-18) ×59=30,总阴影面积为30+18=48（平方厘米）.4利用“中间桥梁”联系两块图形的面积关系【例9】（★★）如图，正方形ABCD 的边长是4厘米，CG=3厘米，矩形DEFG 的长DG 为5厘米，求它DE 等于多少厘米？的宽GF EHD C BA G【解】：连结AG，自A 作FECBAH 垂直于DG 于H，在△ADG 中，AD=4，DC=4（AD 上的高）. ∴S △AGD =4×4÷2=8，又DG=5， ∴S △AGD =AH×DG÷2，∴AH=8×2÷5=3.2（厘米）， ∴DE=3.2（厘米）.5 差不变原理的运用【例10】（★★★）左下图所示的DA ABCD 的边BC 长10cm，直角三角形BCE 的直角边EC 长8cm，已知两块阴影部分的面积和比△EFG 的面积大10cm 2，求CF 的长． 两块阴影部分的面积和比△EFG 的面积大10,两部分分别加上四边形BCFG，这样四边形ABCD三角形BEC 的面积大10cm2CE【解】：的面积比S △B =12底是10cm，所以高是5cm． ×10×8=40 所以四边形ABCD 的面积是50cm 2．6 其他常考题型 【例11】（★★）下图中，五角星的五个顶角的度数和是多少？OEOEDCBADB AC：连接AB（见右图），AC 交BE 于点O．因为∠AOB=∠COD，所以∠OAB+∠OBA=∠OCE+∠OEC．由此角星五个顶角之和等于三角形ABD 的三个内角之和，是180度． 【课外知识】春秋战国时代，一位父亲和他的儿子出征打战．父亲已做了将军，儿子还只是马前卒．又一阵号角吹响，战鼓雷鸣了，父亲庄严地托起一个箭囊，其中插着一只箭．父亲郑重对儿子说：“这是家袭宝箭，配带身边，力量无穷，但千万不可抽出来．”那是一个极其精美的箭囊，厚牛皮打制，镶着幽幽泛光的铜边儿，再看露出的箭尾．一眼便能认定用上等的孔雀羽毛制作．儿子喜上眉梢，贪婪地推想箭杆、箭头的模样，耳旁仿佛嗖嗖地箭声掠过，敌方的主帅应声折马而毙．果然，配带宝箭的儿子英勇非凡，所向披靡．当鸣金收兵的号角吹响时，儿子再也禁不住得胜的豪气，完全背弃了父亲的叮嘱，强烈的欲望驱赶着他呼一声就拔出宝箭，试图看个究竟．骤然间他惊呆了．一拂开蒙蒙的硝烟，父亲拣起那柄断箭，沉重地啐一口道：“不相信自己的意志，永远也做不成将军．”托在一只宝箭上，多么愚蠢，而当一个人把生命的核心与把柄交给别人，又多么危险！比如把在儿女身上；把幸福寄托在丈夫身上；把生活保障寄托在单位身上……己才是一只箭，若要它坚韧，若要它锋利，若要它百步穿杨，百发百中，磨砺它，拯救它的都【解】推知，五只断箭，箭囊里装着一只折断的箭．我一直刳着只断箭打仗呢！儿子吓出了一身冷汗，仿佛顷刻间失去支柱的房子，轰然意志坍塌了．结果不言自明，儿子惨死于乱军之中．把胜败寄希望寄托温馨提示：自只能是自己．练习题在三角形ABC 的各边上，分别取AD、BE、CF 各等于AB、BC、CA 长的三分之一，如果三角形DEF 的积为2平方厘米，求三角形ABC 的面积是多少？1、面答案：6平方厘米．2、在图中，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交F＝CE，BG＝DE，于点E，且A 当四边形ABCD 的面积为25平方厘米时，三角形EFG的面积是多少？答案：25平方厘米．如图，正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC3、的中点，四边形BGHF 的面积是________平方厘米．E F GB HCD A EB C来源：02年小学数学奥林匹克试题 使BK=CD． 三角形EHK 与三角形DHC 成比例，DC：=2：3，所以DH：HK=2：3，由于三角形DEK 的面积=90平方厘米，所以EHK 的面积=90÷【解】：延长EB 到K，EK 3三角形5形EHK 的面积-三角形=54平方厘米，所以四边形EBFH 的面积=三角BKF 的面积=24平方厘米．同理，EB：DC=1：2，所以BG：GD=1：2，所以三角形EBG 的面积=13×三角形EBD 的面积=10平方厘米，所以，四边形BHGF 的面积是24-10=14平方厘米.4、直线CF 与平行四边形ABCD 的AB 边相交于E 点，如果三角形BEF 的面积为6平方厘米，求三角形ADE的面积是多少？答案：6平方厘米．5、（★★★）如图，正方形ABCD 的边长是4厘米，CG=3厘米，矩形DEF 宽DE 等于多少厘米？G 的长DG 为5厘米，求它的G F E HG F ED A DCB A B C【解】：连结AG，自A 作AH 垂直于DG 于H，在△ADG 中，AD=4，DC=4（AD 上的高）.∴S △AGD =4×4÷2=8（平方厘米），又DG=5（厘米）， ∴S △AGD =AH×DG÷2，米），∴DE=AH=3.2（厘米）．∴AH=8×2÷5=3.2（厘。
学而思各年级数学大纲
一年级课次主题1巧算加减法2图形的计数3我会排一排4单数与双数5智趣推理6生活中的数学7付钱的方法8有趣的数字谜9有趣的数阵图10摸彩球11钟表数学(2)12间隔之谜13趣题巧解14感受对称之美15期末测评二年级1巧算加减法2几何计数问题进阶3有趣的周期问题4和差问题5移多补少应用题6推理综合7重叠问题8巧求周长9数阵图10猜猜他几岁11逆向思考12等式加减法13数学广角14经典数学游戏15期末测评三年级课次主题1巧填算符2小数的认识3平行四边形与梯形4年龄问题5带余除法初步6简单统计7点线排布8等差数列初步9页码问题10标数法11图形计数12简易方程13简易方程的应用14路程速度与时间15期末测试主要内容1.利用凑整的方法进行连续几个加数相加的计算；2.对于加减混合的计算，利用带符号搬家进行凑整计算；学习掌握加减法巧算的两个核心基本点：凑整和“抱”符号搬家。
根据所学巧算的方法来进行图形的计数，灵活掌握有规律图形计数方法。
这节课重在向学生渗透简单的排列、组合的数学思想方法，初步培养学生有顺序、全面地思考问题的意识。
认识单数与双数及加减特性，会用单双数思想解决一些实际的生活问题。
通过创设情景，让学生经历对生活中某些现象推理、判断的过程，学会用排序、画表等多种方法进行推理判断。
分析常见的应用题，进一步学习“比多比少”的应用题及简单的重叠问题，灵活运用画图法分析、解应用题。
1.让学生会计算所付人民币的总钱数；2.会根据自己手中人民币的数量来付钱，学习列表法和枚举法。
通过对不同的符号、汉字或字母组成的竖式数字谜的接触，让学生根据竖式的结构特点，寻求突破口、找出“关键位置”来计算未知的数字。
1.通过一些简单的填数字游戏，让学生初步感知数阵，让学生用自己喜欢的方法来巧填数字，培养思维能力；2.引导学生去发现数阵的简单规律以及填数阵的基本方法，通过找数阵中的关键数来找到解决问题的钥匙，在今后的学习中，能把这种方法灵活应用到生活中去。
学而思初三数学暑假班第2讲.二次函数的基本解析式与图象变换.提高班.教师版
1初三暑期·第2讲·提高班·教师版大转变漫画释义满分晋级2函数12级 二次函数图象 及基本性质函数13级 二次函数的基本解 析式与图象变换 函数14级 二次函数 实际应用暑期班 第一讲暑期班 第二讲暑期班第三讲二次函数的基本解析式与图象变换中考内容中考要求A B C二次函数了解二次函数的意义；会用描点法画出二次函数的图象能通过分析实际问题的情境确定二次函数的解析式；能从图象上认识二次函数的性质；会根据二次函数的解析式求其图象与坐标轴的交点坐标，会确定图象的顶点、开口方向和对称轴；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解能用二次函数解决简单的实际问题；能解决二次函数与其他知识综合的有关问题二次函数在北京中考中属于必考考点，并且都以压轴题形式出现，是中考的难点，也是同学们失分最高的一部分。
这部分内容要求学生们⑴能用数形结合、归纳等数学思想，根据二次函数的表达式确定二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标；⑵综合运用方程、几何、函数等知识解决实际问题。
年份2010年2011年2012年题号24 7，8，23 8，23分值8分11分11分考点确定抛物线的解析式，二次函数与等腰直角三角形综合抛物线顶点坐标；函数图象；二次函数和一次函数解析式（函数图象与坐标轴交点、函数图象交点坐标），二次函数与一元二次方程（判别式、求根）函数图象；二次函数的对称性；二次函数和一次函数解析式（函数图象与坐标轴交点、函数图象交点坐标）；二次函数图象平移，利用函数图象求取值范围中考考点分析中考内容与要求知识互联网2 初三暑期·第2讲·提高班·教师版3初三暑期·第2讲·提高班·教师版三种形式解析式一般式 2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠） 顶点式 2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）两根式12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）【例1】 ⑴ 把函数22y x x =-化为2()y a x h k =-+的形式为 ．（房山期末）⑵将二次函数241y x x =--化为2()y x h k =-+的形式，结果为 ．（2013昌平期末）⑶ 把函数2243y x x =-++配方成()2y a x h k =-+的形式，得 ，当x =时，函数y 有最大值 ．⑷ 把函数245y x x =+-写成12()()y a x x x x =--的形式为 ， 当x = 时，0y =．【解析】 ⑴()211y x =--；⑵2(2)5y x =--；⑶()2215y x =--+，1，5；⑷()()51y x x =+-，1或5-． 通过此例题让学生熟练掌握二次函数三种解析式之间的转化．模块一 二次函数的解析式知识导航夯实基础4初三暑期·第2讲·提高班·教师版【例2】 ⑴ 已知二次函数过点()02A -，，()10B -，，()24C ，．求此二次函数的解析式．⑵ 二次函数c bx x y ++=2的图象如图所示，其顶点坐标为M ()14-，，求二次函数 的解析式．（2013丰台一模）⑶ 已知：抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()04 ，-A 、()0 1，B ，与y 轴交于点()3 0，C ， 求抛物线的解析式．（2013朝阳期末）⑷ 当4-=x 时，二次函数的最大值为3，且在x 轴上截得的线段AB 的长为6，求二 次函数的解析式. （2013昌平期末）【解析】 ⑴ 二次函数的图象经过三点，可设其解析式为一般式．设二次函数的解析式为：2y ax bx c =++，∵函数图象经过()02A -，，()10B -，，()24C ，三点， ∴42420a b c c a b c ++=⎧⎪=-⎨⎪-+=⎩，解此方程组得：53132a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，∴二次函数的解析式为：251233y x x =--．⑵ ∵顶点坐标是()14-，因此，设抛物线的解析式为：2(1)4y a x =-- 由2y x bx c =++可知1=a ；∴抛物线的解析式为：223y x x =--．⑶ 依题意，设抛物线的解析式为()()14-+=x x a y ．∵抛物线与y 轴交于点()30,C ， ∴()()10403-+=a ． 解得43-=a ． ∴抛物线的解析式为()()1443-+-=x x y ，即349432+--=x x y ． 能力提升5初三暑期·第2讲·提高班·教师版⑷ ∵抛物线的顶点坐标为()34,C -， ∴抛物线的对称轴为直线4x =-.∵抛物线在x 轴上截得的线段AB 的长为6， ∴()01,A -，()07,B -．设抛物线解析式为()243y a x =++，∴()20143a =-++. 解得，39a =-. ∴ 二次函数的解析式为 ()2343y x =-++.【点评】 1． 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2． 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 3． 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式．一、二次函数图象的平移二次函数图象的平移平移规律：二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象向上（或下）平移k ()0k >个单位得到2y ax bx c k =+++（或2y ax bx c k =++-）；二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象向左（或右）平移k ()0k >个单位得到()()2y a x k b x k c =++++（或()()2y a x k b x k c =-+-+）.简称“左加右减，上加下减”．夯实基础知识导航模块二 二次函数的图象变换6初三暑期·第2讲·提高班·教师版【例3】 ⑴ 将抛物线22x y =的图象先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，得到的抛物线的解析式是（ ）A ．()3222--=x yB ．()3222+-=x y C ．()3222-+=x y D ．()3222++=x y（2012东城期中）⑵ 将抛物线25x y =经过怎样的平移可得到抛物线()5252+-=x y （ ）A ．先向左平移2个单位，再向上平移5个单位B ．先向左平移2个单位，再向下平移5个单位C ．先向右平移2个单位，再向上平移5个单位D ．先向右平移2个单位，再向下平移5个单位（2013海淀期末）⑶ 在平面直角坐标系中，将抛物线62--=x x y 向上（下）或向左（右）平移了m 个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则m 的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．6（2012陕西省）⑶ 如图所示，已知抛物线C 0的解析式为x x y 22-=，则抛物线C 0的顶点坐标 ；将抛物线C 0每次向右平移2个单位，平移n 次，依次得到抛物线C 1、C 2、C 3、…、C n （n 为正整数），则抛物线C n 的解析式为 ． （2012邵阳）【解析】 ⑴ B ；⑵ C ；⑶B ；⑷()11-,，()n n x n x y 442422+++-=【例4】 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线1C 的顶点为⎪⎭⎫ ⎝⎛--29 3，P ，且过点()0 0，O ． ⑴ 写出抛物线1C 与x 轴的另一个交点A 的坐标；⑵ 将抛物线1C 向右平移3个单位、再向上平移能力提升xyC 2C 1QAPO xyO…C nC 1C 07初三暑期·第2讲·提高班·教师版54.个单位得抛物线2C ，求抛物线2C 的解析式；⑶ 直接写出阴影部分的面积S ． （2012广安）【解析】 ⑴ ()06,A -；⑵ 221x y =． ⑶ 易得⎪⎭⎫ ⎝⎛-29 3，Q ， 则27962121=⋅⋅=⋅=PQ AO S APOQ 菱形；抛物线的对称性和平移的性质可知22721===∆APOQ POQ S S S 菱形阴影部分．二、二次函数图象的对称二次函数图象的对称1．关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2．关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3．关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-；()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；4．关于顶点对称 ※学生版不给 2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+． 5．关于点()m n ，对称 ※学生版不给()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-．知识导航xyC 2C 1QAPO8初三暑期·第2讲·提高班·教师版【例5】 ⑴ 抛物线1C ：21y x =+与抛物线2C 关于x 轴对称，则抛物线2C 的解析式为（ ）A ．2y x =-B ．21y x =-+C ．21y x =-D ．21y x =-- （东城期末）⑵ 在平面直角坐标系中，先将抛物线22y x x =+-关于x 轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y 轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ）A ．22y x x =--+B ．22y x x =-+-C ．22y x x =-++D ．22y x x =++(2013年山东宁阳一模)⑶ 将抛物线21y x =+绕原点O 旋转180︒，则旋转后的抛物线的解析式为（ ）A ．2y x =-B ．21y x =-+C ．21y x =--D ．21y x =-（密云期末）【解析】 ⑴ D ；⑵ C ；⑶ C ．【例6】 如图，已知抛物线1C ：()225y a x =+-的顶点为P ，与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），点B 的横坐标是1． ⑴ 求a 的值；⑵ 如图，抛物线2C 与抛物线1C 关于x 轴对称，将抛物线2C 向右平移，平移后的抛物线记为3C ，抛物线3C 的顶点为M ，当点P 、M 关于点O 成中心对称时，求抛物线3C 的解析式．（丰台期末）【解析】 ⑴ ∵点B 是抛物线与x 轴的交点，横坐标是1，∴点B 的坐标为()10，．∴当1x =时，20(12)5a =+-．∴59a =．⑵ 设抛物线3C 解析式为2()y a x h k '=-+，∵抛物线2C 与1C 关于x 轴对称，且3C 为2C 向右平移得到，∴59a '=-．∵点P 、M 关于点O 对称，且点P 的坐标为()25--，，能力提升夯实基础yxC 3C 2C 1MPO B A9初三暑期·第2讲·提高班·教师版∴点M 的坐标为()25，． ∴抛物线3C 的解析式为22552025(2)59999y x x x =--+=-++．二次函数2y x bx c =++的图象沿x 轴向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移3个单位，得到 的图象的函数解析式为221y x x =-+，则b 与c 分别等于 ．相当于将122+-=x x y 向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到2y x bx c =++【解析】6-，6．把二次函数()2321+-=x y 的图象经过翻折、平移得到二次函数()2321-=x y 的图象，下列对 此过程描述正确的是（ ）A ．先沿y 轴翻折，再向下平移6个单位B ．先沿y 轴翻折，再向左平移6个单位C ．先沿x 轴翻折，再向左平移6个单位D ．先沿x 轴翻折，再向右平移6个单位（通州期末）弄错变换规律．【解析】D ．建议：易错点内容只是给出范例，对于不同学生易错点不同，教师可根据班级错误情况自行总结．第02讲精讲：二次函数平移问题探究【变式1】342+-=x x y 向右平移1个单位，再向上平移3个单位所得到的函数图象解析式为 .【解析】322+-=x x y .【变式2】怎样平移1C ：342+-=x x y 的图象，可以得到2C ：322+-=x x y ？【解析】1C 的解析式为()123422--=+-=x x x y∴1C 的顶点坐标为()1,2-2C 的解析式为()213222+-=+-=x x x y10初三暑期·第2讲·提高班·教师版∴2C 的顶点坐标为()2,1将二次函数342+-=x x y 图象向左平移1个单位，再向上平移3个单位，就可得到二次函数322+-=x x y 的图象.【变式3】已知：抛物线322+-=x x y 与y 轴交于点A ，顶点是点P ，过点P 作x PB ⊥轴于点B ．平移该抛物线，使其经过B A 、两点．求平移后抛物 线的解析式及其与x 轴另一交点C 的坐标；【解析】∵()213222+-=+-=x x x y ；∴()2,1P ，()0,1B ，()3,0A ；设平移后的抛物线解析式为32++=bx x y ；将()0,1B 代入可得4-=b ；∴平移后的抛物线解析式为342+-=x x y .【变式4】抛物线342+-=x x y 的顶点为Q ，作x QE ⊥轴交抛物线322+-=x x y 于点E ，如图所示，求 阴影部分面积.【解析】连接PE ，易得()32142=⨯+==BPEQ S S 梯形阴影部分.【变式5】将变式4中的抛物线342+-=x x y 向右平移 个单位后，所得的抛物线恰好经过点．【解析】13-【变式6】在变式4的基础上，设点D 是直线OP 上的一个点，如果AOP CDP ∠=∠，求出点D 的坐标．【解析】易得直线OP 解析式为x y 2=；∵D 是直线OP 上的一个点，且AOP CDP ∠=∠，xyQE OAPCBxyOAPCB11初三暑期·第2讲·提高班·教师版① 作x CD ⊥1轴，交直线于OP 点1D ； ∴1CD PB ∥，3=OC ，∴点1D 的横坐标为3，代入x y 2=可得 ∴点()6,31D ；② 由①可得612==CD CD ，设()x x D 2,2； 即6)02()3(22=-+-x x∴31=x ，592-=x ；∴点()6,31D 、⎪⎭⎫⎝⎛--518,592D . 【变式7】抛物线F ：c bx ax y ++=2的顶点为P ，与y 轴交于点A ，与直线OP 交于点B ．过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，平移抛物线F 使其经过点A 、D 得到抛物线F ′：'+'+'=c x b x a y 2，抛物线F ′与x 轴的另一个交点为C ．若a 、b 、c 满足了ac b 22=，探究四边形OABC 的形状，并说明理由．（2009年大连、2012年海淀一模）【解析】抛物线c bx ax y ++=2，令x =0，则y =c ，∴A 点坐标（0，c ）．∵ac b 22=，∴ 242424442c a ac a ac ac a b ac ==-=-，∴点P 的坐标为（2,2ca b -）． ∵PD ⊥x 轴于D ，∴点D 的坐标为（0,2ab-）． 根据题意，得a=a ′，c= c ′，∴抛物线F′的解析式为c x b ax y ++='2．xyBOAPCDxy2D 1OAPCB12初三暑期·第2讲·提高班·教师版又∵抛物线F′经过点D （0,2a b-），∴c a b b ab a +-+⨯=)2('4022． ∴ac bb b 4'202+-=．又∵ac b 22=，∴'2302bb b -=． ∴b :b ′=32． ∴抛物线F′为c bx ax y ++=232． 令y=0，则0232=++c bx ax ． ∴abx a b x -=-=21,2．∵点D 的横坐标为,2a b -∴点C 的坐标为（0,ab-）． 设直线OP 的解析式为kx y =．∵点P 的坐标为（2,2ca b -）， ∴k a b c 22-=，∴22222b b b b ac b ac k -=-=-=-=，∴x b y 2-=．∵点B 是抛物线F 与直线OP 的交点，∴x bc bx ax 22-=++．∴abx a b x -=-=21,2．∵点P 的横坐标为a b 2-，∴点B 的横坐标为ab-．把a b x -=代入x b y 2-=，得c a aca b a b b y ===--=222)(22．∴点B 的坐标为),(c ab-．∴BC ∥OA ，AB ∥OC ．（或BC ∥OA ，BC =OA ）， ∴四边形OABC 是平行四边形．又∵∠AOC =90°，∴四边形OABC 是矩形．13初三暑期·第2讲·提高班·教师版训练1. 在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++的对称轴为2x =，且经过()04B ，，()59C ，．求出抛物线的解析式．（延庆一模）【解析】 ∵抛物线的对称轴为2x =，设抛物线的解析式为2(2)y a x t =-+，根据题意得224(02)9(52)a t a t⎧=-+⎪⎨=-+⎪⎩解得：10a t =⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为244y x x =-+．训练2. 二次函数22y x mx m =-+-的图象的顶点到x 轴的距离为2516，求二次函数解析式． 【解析】 二次函数的顶点为2224m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以2252416m m --=， 即2252416m m -+=或2252416m m -+=-，2252416m m -+=解得112m =，272m =；2252416m m -+=-（无解）故二次函数的解析式为21322y x x =--或27322y x x =-+．训练3. 如图，抛物线②是由抛物线①平移后得到的．⑴ 分别求出抛物线①和抛物线②的解析式；⑵抛物线①的对称轴与抛物线②交于点A ，求点A 的坐标．（朝阳期末）【解析】 ⑴由图可知，抛物线①经过点()20，，且顶点是()11-，．可设抛物线①的解析式为 ()211y a x =--，∴()22110a --=，解得 1a =． ∴抛物线①的解析式为 ()211y x =--．∵抛物线②是由抛物线①平移后得到的，且顶点为坐标原点，∴抛物线②的解析式为 2y x =．⑵∵抛物线①的对称轴1x =，∴当1x =时，1y =． ∴点A 的坐标为()11A ，．训练4. 已知二次函数245y x x =-+，求二次函数：⑴ 关于x 轴对称的二次函数解析式；⑵ 关思维拓展训练(选讲)A ②①y x321-1321O -114初三暑期·第2讲·提高班·教师版于y 轴对称的二次函数解析式；⑶ 关于原点对称的二次函数解析式．【解析】 ⑴二次函数解析式转化为顶点式为()221y x =-+，顶点坐标为()21，，关于x 轴对称后顶点坐标为()21-，，开口大小不变，方向改变，则对称后的解析式是()221y x =---，即245y x x =-+-；⑵关于y 轴对称后顶点坐标为()21-，，开口大小和方向不变，则对称后的解析式是()221y x =++，即245y x x =++；⑶关于原点对称后顶点坐标为()21--，，开口大小不变，方向改变，则对称后的解析式是()221y x =-+-，即245y x x =---．知识模块一 二次函数的解析式 课后演练【演练1】 已知二次函数2y ax bx c =++中的满足下表：x … 2- 1- 0 1 2 … y … 4 0 2- 2- 0 …【解析】 依题意，设抛物线的解析式为()()12y a x x =+-．∵抛物线与y 轴交于点()02C -，， ∴()()20102a -=+-． 解得 1a =．∴抛物线的解析式为22y x x =--．【演练2】 根据条件求二次函数的解析式.⑴ 抛物线过()10-，，()30，，()15-，三点； ⑵ 抛物线在x 轴上截得的线段长为4，且顶点坐标是()32-，. 【解析】 ⑴ 设抛物线的解析式为()()13y a x x =+-，把()15-，代入解析式得54a =，所以所求抛物线的解析式为25515424y x x =--． ⑵ 设抛物线的解析式为()232y a x =--，点()10，在抛物线上，代入得12a =，所以所求抛物线的解析式为215322y x x =-+． 实战演练15初三暑期·第2讲·提高班·教师版【演练3】 如图，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且3OB OC OA ==，求抛物线的解析式．（崇文一模）【解析】 ∵抛物线23y ax bx =+-与y 轴交点()03C -，， 且3OB OC OA ==．∴()10A -，，()30B ，． 代入23y ax bx =+-，得309330a b a b --=⎧⎨+-=⎩∴12a b =⎧⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为223y x x =--． 知识模块二 二次函数的图象变换 课后演练【演练4】 ⑴ 将抛物线22y x =向上平移5个单位，所得抛物线的解析式为（ ）A ．225y x =+B ．225y x =-C ．22(5)y x =+D ．22(5)y x =-（昌平期末）⑵ 已知函数22y x =的图象是抛物线，现在同一坐标系中，将该抛物线先后向上、向左平移2个单位，那么所得到的新抛物线的解析式是（ ）． A ．22(2)2y x =++ B ．22(2)2y x =+- C ．22(2)2y x =-- D ．22(2)2y x =-+（宣武期末）⑶ 把二次函数22(3)1y x =--+的图象向左平移6个单位，再向下平移2个单位，就可得到函数 的图象．（大兴期末）【解析】 ⑴ A ．⑵ A ．⑶ 22(3)1y x =-+-．【演练5】 已知二次函数221y x x =--，求：⑴ 与此二次函数关于x 轴对称的二次函数解析式为 ； ⑵ 与此二次函数关于y 轴对称的二次函数解析式为 ； ⑶ 与此二次函数关于原点对称的二次函数解析式为 ．【解析】 ⑴ 221y x x =-++．⑵ 221y x x =+-．⑶ 221y x x =--+．课后测16初三暑期·第2讲·提高班·教师版测试1. 抛物线216y x bx c =++与x 轴交于A ，B 两点，其中A 点坐标为()20A ，，与y 轴交于点()02C ，．求抛物线的解析式．（房山期末）【解析】 ∵抛物线216y x bx c =++过点()20A ，和()02C ，，则2212206c b c =⎧⎪⎨⨯++=⎪⎩解得 432b c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴所求抛物线的解析式为214263y x x =-+．测试2. 已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是()12-，，求这个二次函数的解析式．（大兴期末）【解析】 ∵顶点坐标是()12-，∴设这个二次函数的解析式为2(1)2y a x =-- ∵二次函数的图象过坐标原点， ∴20(01)2a =-- ，2a =∴这个二次函数的解析式是22(1)2y x =--，即224y x x =-．测试3. 把抛物线()21y x =-沿y 轴向上或向下平移后所得抛物线经过点()30Q ，，求平移后的抛 物线的解析式．【解析】 设平移后所得抛物线的解析式为()21y x k =-+，把()30Q ，代入得 40k +=，∴4k =-．∴平移后的抛物线的解析式为223y x x =--．测试4. 设曲线C 为函数()20y ax bx c a =++≠的图象，C 关于y 轴对称的曲线为1C ，1C 关于x 轴对称的曲线为2C ，则曲线2C 的函数解析式为________________．C 先关于y 轴对称，再关于x 轴对称，相当于将C 关于原点对称得到2C ，则2C 的解析式为2y ax bx c =-+-．第十七种品格：成就目标决定成就伯尼•马科斯是新泽西州一个贫穷的俄罗斯人的儿子。
学而思高二数学课件(二)
学而思高二数学课件(二)学而思高二数学课件教学内容：•线性方程组•解析几何•函数与极限•平面向量•三角函数教学准备：•教案•手写板和投影仪•教学PPT•笔、纸和课堂练习题教学目标：•掌握线性方程组的解法，能灵活运用解法解答问题•理解解析几何的基本概念和方法，能够应用解析几何解决空间几何问题•熟悉函数与极限的相关概念，掌握函数与极限的性质和计算方法•理解平面向量的基本概念和运算法则，能够运用平面向量解决相关问题•掌握三角函数的相关定义和性质，能够应用三角函数解决各种相关问题设计说明：•通过PPT展示知识点的定义、性质和解题方法，加深学生对概念的理解和记忆。
•设计适当的例题，引导学生思考和解题，激发学生的学习兴趣。
•设计个别和小组练习，帮助学生巩固所学知识。
•预留时间进行课堂讨论和答疑解惑。
教学过程：1.引入线性方程组的概念和解法。
2.通过示例演示解析几何中的坐标表示和几何证明。
3.讲解函数与极限的定义、性质和计算方法。
4.介绍平面向量的概念和运算法则，并讲解相关应用。
5.介绍三角函数的定义和性质，并进行例题讲解。
6.进行个别和小组练习，提供实际问题和综合运用的练习。
7.总结本节课的重点和难点，激发学生对数学学科的兴趣和好奇心。
课后反思：本节课的线上教学过程中，通过使用PPT、示例演示和举例讲解等多种形式，提高了教学的效果。
课后发现部分学生对于三角函数部分的记忆和理解有困难，下节课需要重点复习和练习。
同时也应根据学生的学习情况进行调整，注重巩固和提升学生的数学能力。
学而思初一数学寒假班第2讲.二元一次方程组的特殊解法.教师版
方程7级二元一次方程的实际应用方程6级 方程组巅峰突破含参方程组 方程5级二元一次方程组的特殊解法五百只鸭子漫画释义满分晋级阶梯2二元一次方程组的特殊解法题型切片（两个） 对应题目题型目标方程组的基本解法例1；例2；例3；例4； 解复杂、特殊的方程组 例5；例6；例7；例8；考点一:知道代入、加减消元法的意义1、解方程组：4316x y x y -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎧⎨+=⋅⋅⋅⋅⎩①②．【解析】①+②得，420x =，解得5x =，把5x =代入①得，54y -=，解得1y =， 故此方程组的解为：51x y =⎧⎨=⎩．考点二:选择适当方法解方程组2、已知24328a b a b +=⎧⎨+=⎩，则a b +等于（ ）A 、3B 、83C 、2D 、1考点剖析知识互联网题型切片【解析】24328a b a b +=⎧⎨+=⎩①②∵①＋②得：4412a b +=，∴3a b +=故选A【点评】本题考察了解二元一次方程组的应用，关键是检查学生能否运用巧妙的方法求出答案，题目比较典型，是一道比较好的题目.【例1】二元一次方程及二元一次方程的解概念【例2】基本的代入、加减消元法解二元一次方程组 【例3】解复杂的二元一次方程组【例4】含有字母系数的二元一次方程组，先理解题意再进行计算 【例5】叠加叠减法 【例6】换元法 【例7】倒数法【例8】探索方程组中未知数满足的关系式.定 义示例剖析二元一次方程定义：通过化简后，只有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，系数都不是0的整式方程.23x y =，5x y +=，1a b -=，35m n=；二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解．14x y =⎧⎨=⎩是方程5x y +=的一个解； 二元一次方程组定义：一般地，含有相同的未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成一个二元一次方程组．41x y x y +=⎧⎨-=⎩二元一次方程组的解：使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值（即两个方程的公共解），叫做二元一次方程组的解．31x y =⎧⎨=⎩是二元一次方程组41x y x y +=⎧⎨-=⎩的解.基本方法：⑴ 代入消元法：把方程组中的一个方程进行变形，写出用一个未知数x （或y ）编写思路模块一 方程组的基本解法知识导航表示另一个未知数y （或x ）的代数式，然后把它代入另一个方程中，消去未知数y （或x ），得到关于x （或y ）的一元一次方程，通过解这个一元一次方程，再来求二元一次方程组的解．我们把这种通过“代入”消去一个未知数，从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法．⑵ 加减消元法：当二元一次方程组中两个方程的某个未知数的系数互为相反数或相等时，可以把方程的两边分别相加（当某个未知数的系数互为相反数时）或相减（当某个未知数的系数相等时）来消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而求得二元一次方程组的解．像上面这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法．易错点：二元一次方程有无数组解，二元一次方程组只有唯一一组解或无数组解.【例1】 ⑴ 已知关于x 、y 的方程()12mm x y ++=是二元一次方程，则m =______.⑵ 当m =_____时，方程220x my +=是关于x 的一元一次方程. ⑶ 写出方程342x y -=的三组解.【解析】 ⑴1；⑵ 0；⑶ 2610147，，x x x y y y ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩等.【例2】 解方程组 ⑴2127y x x y =-⎧⎨+=-⎩（北京五中期中）⑵233511x y x y +=⎧⎨-=⎩【解析】 ⑴ 13x y =-⎧⎨=-⎩；⑵21x y =⎧⎨=-⎩【例3】 ⑴ 解方程组121232132x y y x -+⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩⑵ 若关于x ，y 的方程组18mx ny nx my -=⎧⎨+=⎩的解是21x y =⎧⎨=⎩，则m n -为 ．【解析】 ⑴ 32x y =⎧⎨=-⎩；⑵ 1.夯实基础能力提升【例4】 ⑴ m 为何值时，方程组522312x y mx y m -=⎧⎨+=-⎩的解x y 、互为相反数？⑵ 已知方程组2420x my x y +=⎧⎨-=⎩有解1x ny n =⎧⎨=+⎩，求m n 、的值.【解析】 ⑴ 9m =；⑵ 将1x n y n =⎧⎨=+⎩代入20x y -=中，即2(1)0n n -+=，解得2n =-，故有21x y =-⎧⎨=-⎩，代入24x my +=中，即44m --=，解得8m =-.定 义示例剖析当二元一次方程组比较复杂时，应先化简，利用去分母、去括号、合并同类项等将其变为简单的二元一次方程组后再选择合适的消元法求解.方程组()110.5142335x y x y +⎧--=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩化简得25531x y x y +=⎧⎨-=-⎩易错点：含绝对值的方程组要分类讨论.【例5】 解方程组：⑴ 199519975989199719955987x y x y +=⎧⎨+=⎩⑵ 361463102463361102x y x y +=-⎧⎨+=⎩⑶ 201020092008200820072006x y x y -=⎧⎨-=⎩（北京四中期中）【解析】 ⑴ 12x y =⎧⎨=⎩；⑵ 11x y =⎧⎨=-⎩；⑶ 12x y =-⎧⎨=-⎩.【点评】 本题尽管可以用常规方法求解，但未知数的系数较大，无论是代入法还是加减法，运算量都很大.选择方法时要根据方程的特点，具体问题具体分析.仔细观察本题系数的特殊规律，大胆地将两个方程分别相加、相减形成新的方程组，进而求得方程组的解.【例6】 运用适当的方法解下列方程组夯实基础知识导航模块二 解复杂、特殊的方程组⑴()()()()4513453x y x yx y x y⎧++-=⎪⎨+--=⎪⎩（北京十一学校期中）⑵解关于x、y的二元一次方程组3223232232x a y b ax a y b a+-⎧+=⎪⎪⎨+-⎪-=⎪⎩（北京十二中期中）【解析】⑴3212xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；提示：令x y u x y v+=-=，⑵22x ay b=-⎧⎨=⎩；提示：令3223x a y bu v+-==，【点评】此题为整体换元法求解. 【例7】解下列方程组⑴1215b aabb aab+⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩⑵13281237xyx yxyx y⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩【解析】⑴原式可化简为11121115a ba b⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，所以207203ab⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩⑵取倒数得328237x yxyx yxy+⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，化简得238327x yx y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得1112xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得112xy=⎧⎪⎨=⎪⎩.【点评】此题为倒数法求解.【例8】 1.（2011年人大附中期中）已知x、y满足方程组2524x yx y+=⎧⎨+=⎩，则x y-的值为 .能力提升真题赏析2.（2013年一六一中学期中）由方程组213x m y m+=⎧⎨-=⎩可得出x 与y 的关系是 .3.（2013年首师大附中期中）已知关于x 、y 的方程组343x y ax y a +=-⎧⎨-=⎩，给出下列结论：①51x y =⎧⎨=-⎩是方程组的解；②当2a =-时，x ，y 的值互为相反数；③当1a =时，方程组的解也是方程4x y a +=-的解； ④,x y 满足的关系式是23x y +=其中正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．①③④D ．②③④【解析】1. 1x y -=2. 24x y +=3. D.训练1. 如果2223n m n x y ---=是关于x y 、的二元一次方程，那么m = ，n = ． 【解析】 根据定义得2121n m n -=⎧⎨-=⎩，解得73m n =⎧⎨=⎩.训练2. 解方程组233119,253323.x y x y -=⎧⎨-=⎩①②【解析】 ②-①，得224x y -=，即2x y =+。
第二节 平行线的性质和判定(含答案)...七年级数学 学而思
第二节 平行线的性质和判定1．平行线(1)定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a 与直线b 互相平行，记作a∥b； 注：必须强调在同一平面内，否则无法说明平行．(2)平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，注：点必须在直线外，而不能在直线上； (3)平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行，即“平行于同一条直线的两直线平行”．2．两条直线的位置关系在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：(1)相交；(2)平行，注：判断同一平面内两条直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：①有且只有一个公共点，两直线相交；②无公共点，两直线平行． 3．两直线平行的判定方法 (1)平行线的定义； (2)平行公理的推论；(3)同位角相等，两直线平行； (4)内错角相等，两直线平行； (5)同旁内角互补，两直线平行． 4．平行线的性质(1)两直线平行，同位角相等；(2)两直线平行，内错角相等；(3)两直线平行，同旁内角互补．1.平行的判定和证明：证明平行一般从寻找相等的同位角，内错角或互补的同旁内角 出发，而这些角关系的获得条件一般有： ①已知平行条件； ②三角形内角和； ③角平分线； ④垂直；⑤互余互补关系．例1．如图5-2-1所示，如果,//,//CD EF EF AB 请写出一个关于3,2,1∠∠∠的等量关系125-- 225-- 325--检测1．如图5-2-2所示，已知a ‖b,0701=∠,,402ο=∠则=∠3 例2．如图5-2-3所示，已知,9021ο=∠+∠,,//AG CD FC DE ⊥求证：.//FH AG检测2．如图5-2-4所示，直线a ，b 被直线c 所截，下列条件能使b a //的是;61∠=∠①;62∠=∠②;31∠=∠③;75∠=∠④+∠2⑤;1807ο=∠.71∠=∠⑥例3．（江西兴国县期末）学习了平行线后，小龙同学想出了“过已知直线m 外一点P 画这条直线的平行线的新方法”，他是通过折一张半透明的正方形纸得到的．525--观察图5-2-5所示，经两次折叠展开后折痕CD 所在的直线即为过点P 的已知直线m 的平行线．从图中可知，小明画平行线的依据有( )①两直线平行，同位角相等； ②两直线平行，内错角相等； ③同位角相等，两直线平行； ④内错角相等，两直线平行． A.①② B．②③ C ．③④ D ．①④425--检测3．如图5-2-6所示，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在C D ,的位置，若,60ο=∠EFB 则=∠AED例4．已知，,100,//ο=∠=∠A B OA BC 试回答下列问题：725-- 825-- 925--(1)如图5-2-7所示，求证：;//AC OB(2)如图5-2-8所示，若点E ，F 在线段BC 上，且满足，AOC FOC ∠=∠并且OE 平分.BOF ∠则EOC ∠的度数等于 （在横线上填上答案即可）；(3)在(2)的条件下，若平行移动AC ，如图5-2-9，那么OFB OCB ∠∠:的值是否随之发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值； (4)在(3)的条件下，如果平行移动AC 的过程中，若使,OCA OEB ∠=∠此时OCA ∠度数等于 （在横线上填上答案即可）．检测4．（广东澄海区期末）如图5 -2 -10所示，直线MN 与直线AB 、CD 分别交于点E 、F ，1∠与2∠互补．(1)试判断直线AB 与直线CD 的位置关系，并说明理由； (2)如图5-2 -11所示，BEF ∠与FFD ∠的角平分线交于点P ，EP 与CD 交于点G ．点H 是MN 上一点，且GHlEG ，求证：;//GH PF(3)如图5-2 -12所示，在(2)的条件下，连接PH ，K 是GH 上一点使=∠PHK ,HPK ∠作PQ 平分EPK ∠问HPQ ∠的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由，625---122-5-5--1110225-第二节平行线的性质和判定（建议用时 35分钟）实战演练1．（浙江绍兴期末）如图5-2-1所示，,//,////DB EG DC EF AB 则图中与1∠相等的角(1∠除外）共有( )6.A 个 5.B 个 4.C 个 3.D 个2．（浙江金华中考）以下四种沿AB 折叠的方法中，不一定能判定纸带两条边线以，6互相平行的是( )125-- 225-- 325-- 425-- 525--A ．如图5-2-2所示，展开后测得21∠=∠B ．如图5-2-3所示，展开后测得4321∠=∠∠=∠且C ．如图5-2-4所示，测得21∠=∠D ．如图5-2-5所示，展开后再沿CD 折叠，两条折痕的交点为0，测得,OB OA =OD =OC3．如图5-2-6所示是五条胡同的路线图，),(F F D C B A →--→→→经过测量得到C B ∠=∠,70ο=,110ο=∠=∠E D 则图中互相平行的线有( )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对625-- 725-- 825-- 925--4．（山东聊城中考）如图5-2-7所示，,//CD AB ,68ο=∠B ,20ο=∠E 则D ∠的度数为（ ）ο28.A o B 38. ο48.C ο88.D5．如图5-2-8所示，HG EF BC AD ,,//交于点HI P ,平分,GHF ∠PM 平分EPH ∠HI 交PM 的反向延长线于Q ，//PN,HI 下列结论：,GEP EGP ∠=∠①若则;//AD PM 2=∠GEP ②;MPN ∠,2Q FPN ∠=∠③其中正确的是( )①②③.A ①③.B ②③.C ①②.D6，（山东聊城模拟）如图5-2-9所示，在四边形ABCD 中，=∠B ,120ο,50oD =∠将C ∠向内折出一个,PRC ∆恰好使,//AB CP //CR ,AD 则C ∠的度数是( )ο80.A ο85.B ο95.C o D 110.7．如图5 -2 - 10所示，已知,AB GF ⊥,21∠=∠,B AGH ∠=∠则下列结论：;//BC GH ①;HGM D ∠=∠②;//FG DE ③,AB HE ⊥④其中正确的是( )①②⋅A ③ ②③④⋅B ①③④⋅C ①②③④⋅D1125-- 1225--8．（广西玉州区期末）如图5 -2 - 11所示，已知BAD CD AB ∠,//和BCD ∠的平分线交于点E ．,1001ο=∠,m BAD =∠ο则EC A ∠的度数为9，如图5 -2 - 12所示，直线,//21l l 若,125ο=∠A ,85ο=∠B 则=∠+∠21 10．如图 5 -2 - 13所示，已知,180ο=∠+∠BCD B .D B ∠=∠求证：.DFE E ∠=∠证明：οΘ180=∠+∠BCD B （ ）CD AB //∴（ ）=∠∴B （两直线平行，同位角相等）， D B ∠=∠Θ（已知）， D DCE ∠=∠∴（等量代换）， BF AD //∴（ ）DFE E ∠=∠∴（ ）11．如图5 -2 - 14所示，直线AB ，CD 被EF 所截，,21∠=∠,BME CNF ∠=∠求证：AB ,//CD .//NQ MP12.（山东招远市期耒）如图5-2 -15所示，点D ，E 分别在ABC ∆的边AB ，AC 上，点F 在DC 上，且,18021ο=∠+∠.3B ∠=∠求证：.//BC DE1325--1425--1525--13.小明将一直角三角板(ο30=∠A )放在如图5 -2 - 16所示的位置，且.21C ∠=∠+∠ (1)证明：;//b a(2)经测量知,1A ∠=∠求;2∠(3)如图5-2 - 17所示，将三角板进行适当转动，直角顶点始终在两直线间，M 在线段CD 上，且CEH CEM ∠=∠给出下列结论：BDFMEG∠∠①的值不变：BDF MEG ∠-∠②的值不变，可以证明，其中只有一个是正确的，请你作出正确的选择并直接写出此值，1625-- 1725--14.如图5-2-18所示，.F D B E C A ∠+∠+∠=∠+∠+∠求证：.//CD AF15.问题情景：如图5-2 - 19所示，,//CD AB ,130oPAB =∠,120ο=∠PCD 求APC ∠的度数． (1)天天同学看过图形后立即口答出：,110oAPC =∠请你补全他的推理依据．如图5 -2 - 20所示，过点P 作,//AB PE,//CD AB ΘCD AB PE ////∴（ .180ο=∠+∠∴APE Aο180=∠+∠CPE C （ ）,120,130οΘ=∠=∠PCD PAB O.60.50ο=∠=∴⊥CPE APE o1825--ο110=∠+∠=∠∴CPE APE APC （ ）问题迁移：(2)如图5-2- 21所示，,//BC AD 当点P 在A ，B 两点之间运动时，,α∠=∠ADP ,β∠=∠BCP 求βα∠∠∠,与CPD 之间有何数量关系？请说明理由．(3)在(2)的条件下，如果点P 在A ，B 两点外侧运动时（点P 与点A ，B ，0三点不重合），请你直接写出CPD ∠与βα∠∠,之间的数量关系．1925-- 2025-- 2125--拓展创新16.（辽宁鞍山期末）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．(1)如图5 -2 - 22所示，一束光线m 射到平面镜a 上，被a 反射到平面镜b 上，又被b 反射．若被6反射出的光线n 与光线m 平行，且,381ο=∠则=∠2 ;=∠3(2)在(1)中，若ο551=∠则=∠3 ;若,401ο=∠则=∠3(3)由(1)．(2)猜想：当两平面镜a ，b 的夹角=∠3 时，可以使任何射到平面镜a 上的光线m ，经过平面镜a ，b 的两次反射后，入射光线m 与反射光线n 平行．你能说明理由吗？拓展1．有一款灯，内有两面镜子AB ，BC ，当光线经过镜子反射时，入射角等于反射角，即图5 -2 - 23、图5-2 -24中的.43,21∠=∠∠=∠2225--2325-- 2425--(1)如图5 -2 - 23所示，当BC AB ⊥时，说明为什么进入灯内的光线EF 与离开灯的光线GH 互相平行； (2)如图5-2 - 24所示，若两面镜子的夹角为)900(οο<<αα时，进入灯内的光线与离开灯的光线的夹角为),900(οο<<ββ试探索α与β的数量关系；(3)若两面镜子的夹角为),18090(οο<<αα进入灯内的光线与离开灯的光线所在直线的夹角为).900(οο<<ββ直接写出α与β的数量关系．拓展2．（湖北武昌区期末）一个长方形台球桌面ABCD )90,//,//(ο=∠A BC AD DC AB 如图5 -2 - 25所示，已知台球在与台球桌边沿碰撞的过程中，撞击线路与桌边的夹角等于反射线路与桌边的夹角，即.21∠=∠(1)台球经过如图5 -2 - 26所示的两次反弹后，撞击线路EF ，第二次反弹线路GH ， 求证：;//GH EF(2)台球经过如图5 -2 - 27所示的两次反弹后，撞击线路EF 和第二次反弹线路GH 是否仍然平行，给出你的结论并说明理由．2525-- 2625-- 2725--极限挑战17．平面上有100条直线，其中有20条是互相平行的，问这100条直线最多能将平面分成部分，课堂答案培优答案。
第二节 数轴的应用(含答案)...七年级数学 学而思
第二节数轴的应用1 数轴的概念(1)定义：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴；（2）数轴的定义包含三层含义：①数轴是一条直线，可以向两边无线延伸；②数轴有三个要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可；③原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据实际需要“规定”的，（3）数轴三要素：①原点：在直线上任取一点表示数0，叫做原点；②正方向：正数所在方向，一般规定直线上向右的方向为正方向；③单位长度：选取某一长度作为单位长度．2．数轴的画法第一步：画一条水平直线（画竖直的直线行不行呢？也行，现在为了读者方便，通常把数轴画咸水平的）；第二步：在直线上选取一点为原点，原点表示数0（在原点下边标上“0”）；第三步：规定从原点向右的为正方向，那么相反的方向（从原点向左）则为负方向．（用箭头表示出来）；第四步：选择适当的长度为单位长度，注：(1)画数轴时一定要牢固地把握数轴的三个要素，缺一不可；（2）常见的错误有：① 没有方向；②没有原点；③ 单位长度不统一；④负数排列错误；⑤直线画成射线；（3）原点的位置、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据实际需要选取的．3．用数轴表示数(1)数轴上的点都能表示数，正半轴上的点表示的数都是正数；负半轴上的点表示的数都是负数，原点表示0；(2)在数轴的正半轴和负半轴上都有无数个点，每一个点都只表示一个数：(3)任何一个实数都可以用数轴上的一个点来表示：(4)任何一个有理数都能用数轴表示，但数轴上的点不一定表示有理数．4．用数轴比大小(1)在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；(2)正数都大于0，负数都小于0，任意一个正数大于一切负数．1．数形结合(1)利用数轴比较有理数大小，左小右大；(2)利用数轴求绝对值，相反数：(3)表示实际问题中的距离（线段长度）．2．分类讨论(1)到已知点的距离相等的点有两个，注意讨论；(2)求一条线段覆盖整数点时也要注意分类讨论．3．转化思想在解决实际问题时（行程问题），注意利用数轴思想，把数据用数轴表示，便于解决问题．例1．||n m -的几何意义是数轴上表示m 的点与表示n 的 点之间的距离．(1)当1-=x 时，则=++-|2||2|x x __________(2)在数轴上表示数x 的点到原点的距离为5，则=-x 3________(3)结合数轴求得|3||2|++-x x 的最小值为_________，取得最小值时x 的取值范围为____；(4)满足3|4||1|>+++x x 的x 的取值范围为__________检测1．实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图1-2-4所示，化简||||||||c b b a b a --+++的结果是( )c b a A -+32. c b B -3. c b C +. b c D -.例2．数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1cm ，若在数轴上随意画出一条长为10cm 的线段AB ，则线段AB 盖住的整点个数为______个，检测2．(1)在数轴上表示整数的点称为整数点，某数轴的单位长度是1cm ，若在这个数轴上随意画出一条长2020cm的线段AB ，则被线段AB 盖住的整数有( )A.2018个或2019个 B ．2019个或2020个 C ．2020个或2021个 D.2021个或2022个(2)在数轴上任取一条长度为912019的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数 是________例3．如图1-2-5所示，R P N M ,,,分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且.2===PR NP MN 数a 对应的点A 在M 与N 之间，数b 对应的点B 在P 与R 之间，若,6||||=+b a 则原点是( )A ．M 或NB ．M 或RC ．N 或PD ．P 或R检测3．(1)如图1-2-6所示，数轴上每个刻度为1个单位长度，点A 对应的数为a ，B 对应的数为b ，且,72=-a b那么数轴上原点的位置在( )A.A 点 B ．B 点 C ．C 点 D ．D 点(2)（江苏张家港期末）如图1—2-7所示，数轴上每个刻度为1个单位长度，数轴上的点A ，B ，C ，D 对应的数分别是整数,,,,d c b a 且,2132++=-d c a b 那么数轴上原点对应的点是( )A.A 点 B ．B 点 C ．C 点 D ．D 点例4．（湖南株洲模拟）如图1-2-8所示，数轴上，点A 的初始位置表示的数为1，现点A 做如下移动：第1次点A向左移动3个单位长度至点,1A 第2次从点1A 向右移动6个单位长度至点2A ，第3次从点2A 向左移动9个单位长度至点,,3ΛA 按照这种移动方式进行下去，如果点n A 与原点的距离不小于20，那么n 的最小值是_________检测4.(1）（山东金乡期末）一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动，设该机器人每秒前进或后退1步，并且每步的距离是一个单位长度，n x 表示第n 秒时机器人在数轴上的位置所对应的数．给出下列结论：;33=x ①;15=x ②;104108x x <③,20082007x x <④其中，正确结论的序号是( )①③.A ②③.B ①②③.C ①②④.D(2)（江苏徐州模拟）如图1-2-9所示，一质点P 从距原点1个单位的A 点处向原点方向跳动，第一次跳动到OA 的中点1A 处，第二次从1A 点跳动到1OA 的中点2A 处，第三次从2A 点跳动到2OA 的中点3A 处，如此不断跳动下去，则第5次跳动后，该质点到原点0的距离为_________例5．如图1-2 - 10所示：在数轴上点A 表示数a ，点B 表示数b ，点C 表示数c ，b 是最小的正整数，且a ，c 满足.0)6(|2|2=-++c a=+c a )1(______(2)若将数轴折叠，使得点A 与点B 重合，则点C 与数_____表示的点重合；(3)若点A 与点D 之间的距离表示为AD ，点B 与点D 之间的距离表示为BD ，请在数轴上找一点D ，使AD= 2BD, 则点D 表示的数是 __________；（4）点A ，B ，C 开始在数轴上运动，若点A 以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B 和点C 分别以每秒1个单位长度和2个单位长度的速度向右运动，假设￡秒钟过后，若点A 与点B 之间的距离表示为AB ，点A 与点C 之间的距离表示为AC.则=AB _______=AC ________（用含t 的代数式表示）；(5)在(4)的条件下，若AB m AC ⋅-2的值不随着时间t 的变化而改变，试确定m 的值（不必陈述理由）．检测5．数轴上A点对应的数是-5，B点在A点的右边，电子蚂蚁甲、乙分别在B点以2单位长度每秒、1单位长度每秒的速度向左运动，电子蚂蚁丙在A点以3单位长度每秒的速度向右运动．(1)若电子蚂蚁丙经过5秒到达点C，求点C所代表的数；(2)若它们同时出发，若丙在遇到甲1秒后遇到乙，求B点所表示的数；(3)在(2)的条件下，设它们同时出发经过的时间为t秒，是否存在t值，使得丙到乙的距离是丙到甲的距离的2倍？若存在求t的值；若不存在，说明理由，第二节数轴的应用（建议用时：40分钟）实战演练1．下列说法中，正确的是( )A ．比一1大6的数是7 B.数轴上表示的点，在原点右边213-个单位 C.数轴上的原点表示零 D.有些有理数不能在数轴上表示出来2．比较01.0,0,5.0,1--的大小，正确的是( )01.005.01.<<-<-A 01.0015.0.<<-<-B001.05.01.<<-<-C 01.015.00.<-<-<D3．一个点从数轴的原点开始，先向左移动3个单位长度，再向右移动6个单位长度，这个点最终所对应的数是( )6.+A 3.-B 3.+C 9.-D4．如图1-2-1所示，数轴上的点S R Q O P ,,,,表示某城市一条大街上的五个公交车站点，有一辆公交车距P 站点3km ，距Q 站点0.7km ，则这辆公交车的位置在( )A ．R 站点与S 站点之间B ．P 站点与0站点之间C ．O 站点与Q 站点之间D ．Q 站点与R 站点之间5．已知a ，b ，c 在数轴上的位置如图1-2-2所示．则在a c b c a a+--⋅-,,,1中，最大的一个是( )a A -.bc B -. a c C +. aD 1.- 6．若有理数在数轴上的对应点如图1-2-3所示，则下列结论中正确的是( )||.b a A > b a B <. ||||.b a C > ||||.b a D <7．如图1-2-4所示，数轴上A ，B 两点分别对应实数a ，b 则下列结论正确的是( )0.>+b a A a b B >. 0.>-b a C 0||||.>-b a D8．如图1-2-5所示，一滴墨水洒在一条数轴上，根据图中标出的数值判断墨迹盖住的整数的个数有( )个？135.A 195.B 200.C 302.D9．（湖北武昌区期末）如图1-2-6所示，数轴上每相邻两点相距一个单位长度，点,,,C B A D 对应的位置对应的数分别是,,,,d c b a 且,10=+-c b d 那么原点对应的点是( )D A . C B . B C . A D .10.如图1- 2-7所示，R P N M ,,,分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且.1===PR NP MN数a 对应的点在M 与N 之间，数b 对应的点在P 与R 之间，若,3||||=+b a 则原点是( )A ．N 或PB M 或RC ．M 或ND ．P 或R11．（河南郑州中考）在数轴上到原点的距离不大于3的所有整数点有 ．12.在数轴上到表示-2的点相距8个单位长度的点表示的数为________13.数轴上的点A 表示-3，将点A 先向右移动7个单位长度，再向左移动5个单位长度得到 点B ．那么点B 表示的数是______14.将数轴按如图1-2 -8所示从点A 开始折出一等边△ABC，设A 表示的数为B x ,3-表示的数为C x ,52-表示的数为,5x -则=x ________；若将△ABC 向右滚动，则点2020与点_______重合．（填A 、B 、C ）15．已知在纸面上有一数轴（如图1-2-9所示），折叠纸面，例如：若数轴上数2表示的点与数-2表示的点重合，则数轴上数-4表示的点与数4表示的点重合，根据你对例题的理解，解答下列问题：(1)若数轴上数2表示的点与-2表示的点重合，则数轴上数-6表示的点与数________表示的点重合；(2)与数轴上数5表示的点距离为3的点表示的数为____，(3)若数轴上数-4表示的点与数2表示的点重合．①则数轴上数4表示的点与数______表示的点重合；②若数轴上A ，B 两点之间的距离为2016，并且A ，B 两点经折叠后重合，如果A 点表示的数比B 点表示的数大，则A 点表示的数是 _______．16．如图1-2 - 10所示，半径为1个单位的圆片上有一点A 与数轴上的原点重合，AB 是圆片的直径．（注：结果保留π）(1)把圆片沿数轴向右滚动半周，点B 到达数轴上点C 的位置，点C 表示的数是数（填“无理”或“有理”），这个数是____；(2)圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：+2，-1，+3，-4，-3①第_____次滚动后，A 点距离原点最远；②当圆片结束运动时，此时点A 所表示的数是________拓展创新17.（江苏泗阳县期末）如图1-2 -11所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上字母A ，B ，C ，D ，先将圆周上的字母A 对应的点与数轴的数字1所对应的点重合，若将圆沿着数轴向左滚动．那么数轴上的- 2015所对应的点将与圆周上字母( )所对应的点重合．A ．A B．B C．C D．D拓展1．（河北承德期末）如图1—2 - 12所示，圆的周长为4个单位，在该圆的4等分点处分别标上字母m，n，p，q，先让圆周上表示m的点与数轴原点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上，则数轴上表示- 2016的点与圆周上重合的点对应的字母是( )D.C.qB.PmA.n拓展2．等边△ABC在数轴上的位置如图1-2 - 13所示，点A，C对应的数分别为0和-1，若△ABC绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1；则翻转2016次后，点B所对应的数是( ).C2015.D20152017.A5.2016.B5.拓展3．正方形ABCD在数轴上的位置如图1—2- 14所示，点D，A对应的数分别为0和1，若正方形ABCD绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；则翻转2015次后，数轴上数2015所对应的点是( )A．点C B．点D C．点A D．点B极限挑战18.三枚棋子放在数轴的整点上（坐标为整数的点）．一次移动可任选其中两枚棋子，并将一枚，向右移一个单位，将另一枚向左移一个单位．在下列选项中，最后可将三枚棋子移到同一点上的是( ).(,2,C)20092010.(D,32009,2010B)2009,2010),0.(2009,2010,1.(A)课堂答案培优答案。
学而思初一数学寒假班第1讲.实数初步.学生版 (2)
实数8级 实数的计算与化简 实数7级 实数初步实数6级 绝对值“实数”的风波漫画释义满分晋级阶梯1实数初步题型切片（三个）对应题目题型目标平方根的定义与性质例1；例2；例3；例8；演练1，2，3；立方根的定义与性质例4；例5；演练4,5；实数例6；例7；演练6定义示例剖析平方根的概念：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根．也就是说，若2x a=，则x就叫做a的平方根．()224±=，2±就叫做4的平方根平方根的表示：一个非负数a的平方根可用符号表示为“a±”．5的平方根可表示为5±总结：一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根.知识导航模块一平方根的定义与性质知识互联网题型切片对新概念的理解能力【例1】 ⑴ 求下列各数的平方根与算术平方根：①4964； ②0.0001； ③5； ④()23-； ⑤16.⑵ 求下列各式的值：①25； ②0.01±； ③169-； ④()22-； ⑤()26-； ⑥416a⑶ 解关于x 的方程：①2449x =； ②231080x -=；③()225136x -=⑷ 比较下列各数大小：①2___3 ②2___3 ③140___12⑸ 一个正数的平方根是31a +和5，则a =_________.算术平方根的概念： 一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即2x a =，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根，规定：0的算术平方根为0．4的平方根是2±，其中2叫做4的算术平方根.算术平方根的表示：一个非负数a 的算术平方根可用符号表示为“a ”． 5的算术平方根可表示为5 双重非负性： 在式子a 中，0a ≥且0a ≥.式子1x -有意义，101x x -≥≥， 总结：一个正数有一个算术平方根；零的算术平方根是零；负数没有算术平方根. 平方根计算：求一个数的平方根的运算，叫做开平方（开方），开方运算和平方 运算互为逆运算.()()20,a a a =≥()2(0)||00(0)a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩夯实基础非负性的考查【例2】 ⑴ 若230x y ++-=，则xy 的值为（ ）A ．8-B ．6-C ．5D ．6 （北京中考）⑵若()24a -与5b +的值互为相反数，则2a b +的平方根是 . ⑶若()22320070a b c -+-+-=，求()22ca b -的值．综合应用能力 【例3】 ⑴已知225(1)2005x xy x -+-=+-⋅，求x y 的值.⑵已知2211604n m m m-++-=-，则2mn n +-的倒数的算术平方根为_______.⑶已知20102011a a a -+-=，求22010a -的值.知识导航模块二 立方根的定义与性质能力提升对新概念的运用能力【例4】 ⑴ 求下列各数的立方根：①1-； ②8； ③338； ④64； ⑤ ()25-；⑵ 比较大小①310 311； ②9 327⑶ 求出下列各式中的a ：①若30.343a =，则a = ； ②若33213a -=，则a = ； ③若31250a +=，则a = ；④若()318a -=，则a = ．⑷ 下列四种说法中，正确的是（ ）A 、33x -没有意义B 、一个数的某个平方根恰与它的立方根相等，这个数一定是0C 、一个正数有两个立方根D 、互为相反数的立方根也互为相反数考查综合运用能力定 义示例剖析立方根概念：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，也就是说，若3,x a =则x 就叫做a 的立方根.328=， 2就叫做8的立方根表示：一个数a 的立方根可用符号表示3a ，3a 读作“三次根号a ”.5的立方根可表示为35总结：任何一个数都有立方根，且只有一个立方根.正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0.计算：求一个数的立方根的运算，叫做开立方，开立方与立方是互逆运算.()333333,,a a a a a a ==-=-夯实基础能力提升【例5】 ⑴3311x x -+-中的x 的取值范围是 ，11x x -+-中的x 的取值范围是 ．⑵ 若331y -和312x -互为相反数，求xy的值.对新概念的运用能力【例6】 ⑴ 下列说法正确的个数为（ ）定 义示例剖析无理数：无限不循环小数叫无理数332523-π，，，，…都叫做无理数实数：有理数和无理数统称实数.5和35都是实数实数与数轴的关系：实数与数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.分类：0⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎨⎪⎪⎪⎧⎫⎪⎨⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎭⎩⎩⎪⎪⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩正整数整数负整数有理数正分数实数分数有限小数或无限循环小数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数夯实基础知识导航模块三 实数①无理数都是实数 ②实数都是无理数 ③无限小数都是无理数 ④带根号的数都是无理数 ⑤没有绝对值最小的实数A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个⑵ 在33320.318127 3.1470.4829 1.020020002...90.523π------，，，，，，，，，，中，无理数有_________个.⑶ 求下列各数的相反数及绝对值：①6-；② 3.14π-；③312-；④32-⑷ 已知x 是4的平方根，32y =-，25z =，求2x y z +-的值.实数与数轴的一一对应关系【例7】 ⑴如图所示，在点A 和点B 之间表示整数的点共有_________个.5-3B A⑵如图所示，数轴上表示1，2的对应点分别为A 、B ，点C 到点A 的距离与点B 到点A 的距离相等，则C 所表示的数是（ ） A 、21- B 、12- C 、22- D 、22-无理数的估算问题【铺垫】⑴ 若404m =-，则估计m 的范围为（ ）A.1<<2mB.2<<3mC.3<<4mD.4<<5m（实验中学期中）真题赏析能力提升B A O 221⑵ 若实数k 的整数部分是3，则k 的取值范围是___________.⑶ 观察例题：∵4<7<9，即2<7<3， ∴7的整数部分为2，小数部分为72-. 请你观察上述的规律后试解下面的问题：如果2的小数部分为a ，3的小数部分为b ，求a b ，的值.【例8】 （2012海淀期末考试）阅读材料：学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算13的近似值。
【学而思 高中数学讲义】排列与组合.版块六.排列组合问题的常见模型2.学生版
1．基本计数原理⑴加法原理分类计数原理：做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =+++种不同的方法．又称加法原理．⑵乘法原理分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个子步骤，做第一个步骤有1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同方法，……，做第n 个步骤有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =⨯⨯⨯种不同的方法．又称乘法原理．⑶加法原理与乘法原理的综合运用如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用．2． 排列与组合⑴排列：一般地，从n 个不同的元素中任取()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素） 排列数：从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A mn 表示．排列数公式：A (1)(2)(1)m n n n n n m =---+，m n +∈N ，，并且m n ≤． 全排列：一般地，n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列． n 的阶乘：正整数由1到n 的连乘积，叫作n 的阶乘，用!n 表示．规定：0!1=． ⑵组合：一般地，从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个元素中任取m 个元素的一个组合．组合数：从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中，任意取出m 个元素的组合数，用符号C mn 表示．知识内容排列组合问题的常见模型22)(n m-+ n n典例分析分堆问题【例1】6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？⑴一堆一本，一堆两本，一堆三本；⑵甲得一本，乙得两本，丙得三本；⑶一人得一本，一人得二本，一人得三本；⑷平均分给甲、乙、丙三人；⑸平均分成三堆．【例2】有6本不同的书⑴甲、乙、丙3人每人2本，有多少种不同的分法？⑵分成3堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？⑶分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？⑷分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少不同的分配方法？⑸分给甲1本、乙1本、丙4本，有多少种不同的分配方法？⑹分成3堆，有2堆各一本，另一堆4本，有多少种不同的分堆方法？⑺摆在3层书架上，每层2本，有多少种不同的摆法？【例3】七个人参加义务劳动，按下列方法分组有多少种不同的分法？⑴选出5个人再分成两组，一组2人，另一组3人；⑵选出6个人，分成两组，每组都是3人；⑶选出2人一组、3人一组，轮流挖土、运土．【例8】将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为（）A．540 B．300 C．180 D．150【例9】某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有种．（用数字作答）染色问题【例10】如图，正五边形ABCDE中，若把顶点A、B、C、D、E染上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法有（）A．30种B．27种C．24种D．21种【例11】将123的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，右面是一种填法，，，填入33则不同的填写方法共有____________．321321321【例12】 将1,2,3填入33 的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填写方法共有（ ）A ．6种B ．12种C ．24种D ．48种【例13】 用红、黄、蓝、绿四种颜色给图中的A 、B 、C 、D 四个小方格涂色（允许只用其中几种），使邻区（有公共边的小格）不同色，则不同的涂色方式种数为（ ）．DC B AA ．24B ．36C ．72D ．84【例14】 将2个a 和2个b 共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有__________种（用数字作答）．【例15】如图所示A、B、C、D、E为5个区域，现备有5种颜色为5个区域涂色，涂色要求：每相邻两个区域不同色，每个区域只涂一色，共有多少种不同的涂色方法？E DCB A【例16】如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有__________种（用数字作答）．【例17】如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色．要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有__________种（用数字作答）．错位排列【例18】编号为1,2,3,4,5的五人入座编号也为1,2,3,4,5的五个座位，至多有2人对号的坐法有______种．【例19】7个人到7个地方去旅游，甲不去A地，乙不去B地，问：共有多少种旅游方案?【例20】7个人到7个地方去旅游，甲不去A地，乙不去B地，丙不去C地，问：共有多少种旅游方案?。
学而思初二数学秋季班第4讲.全等三角形的经典模型(二).提高班.教师版
1初二秋季·第4讲·提高班·教师版等等…腰漫画释义满分晋级阶梯4全等三角形的 经典模型（二）三角形11级特殊三角形之直角三角形 三角形10级 勾股定理与逆定理 三角形9级全等三角形的经典模型（二）2初二秋季·第4讲·提高班·教师版OFEC B A A F COBEDHABCDO EOGFE CBA“手拉手”数学模型：⑴ ⑵ ⑶【引例】 如图，等边三角形ABE 与等边三角形AFC 共点于A ，连接BF 、CE ，求证：BF =CE 并求出 EOB 的度数. 知识互联网思路导航例题精讲题型一：“手拉手”模型3初二秋季·第4讲·提高班·教师版NMCBABNC【解析】 ∵△ABE 、△AFC 是等边三角形∴AE =AB ，AC =AF ，60∠=∠=︒EAB FAC ∴∠+∠=∠+∠EAB BAC FAC BAC 即∠=∠EAC BAF ∴AEC ABF △≌△∴BF =EC ∠=∠AEC ABF 又∵AGE BGO ∠=∠ ∴60∠=∠=︒BOE EAB ∴60∠=︒EOB【例1】 如图，正方形BAFE 与正方形ACGD 共点于A ，连接BD 、CF ，求证：BD =CF 并求出∠DOH 的度数. 【解析】 同引例，先证明ABD AFC △≌△∴BD =FC ，∠=∠BDA FCA ∵∠=∠DHO CHA ∴90∠=∠=︒DOH CAD【例2】 如图，已知点C 为线段AB 上一点，ACM △、BCN △是等边三角形．⑴ 求证：AN BM =.⑵ 将ACM △绕点C 按逆时针方向旋转180°，使点A 落在CB 上，请你对照原题图在图中画出符合要求的图形；⑶ 在⑵得到的图形中，结论“AN BM =”是否还成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；⑷ 在⑵所得的图形中，设MA 的延长线交BN 于D ，试判断ABD △的形状，并证明你的结论． 【分析】 这是一个固定后运动变化的探索题，且在一定的条件下，探究原结论的存在性（不变性）； 需要画图分析、判断、猜想、推理论证．【解析】 ⑴ ∵ACM △、BCN △是等边三角形∴AC CM =，BC CN =60ACM BCN ∠=∠=°典题精练OHGDF ECBA4初二秋季·第4讲·提高班·教师版ABCMNDNM CBA∴∠=∠ACN MCB 在ACN △和MCB △中 =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AC MC ACN MCB CN CB ∴ACN MCB △≌△（SAS ） ∴AN BM =⑵ 将ACM △绕点C 旋转如图：⑶ 在⑵的情况，结论AN BM =仍然成立．证明：∵60BCM NCA ∠=∠=°，CA CM =，CN CB =． ∴CAN CMB △≌△（SAS ），∴AN MB =．⑷ 如图，延长MA 交BN 于D ，则ABD △为等边三角形． 证明：∵60CAM BAD ABD ∠=∠=∠=°． ∴ABD △是等边三角形．【例3】 在ABC △中，90∠=BAC °，⊥AD BC 于D ，BF 平分∠ABC 交AD 于E ，交AC 于F .求证：AE=AF .54321A BCDE F【解析】 90∠=BAC °，390∴∠+∠=DAC °90⊥∴∠=︒AD BC ADC 90∴∠+∠=︒C DAC 3∴∠=∠C43152∠=∠+∠∠=∠+∠C ，BF 是ABC ∠的角平分线 12∴∠=∠典题精练题型二：双垂+角平分线模型5初二秋季·第4讲·提高班·教师版EN MDCBA NMD CBA 45∴∠=∠∴=AE AF【例4】 如图，已知ABC △中，90ACB ∠=°，CD AB ⊥于D ，ABC ∠的角平分线BE 交CD 于G ，交AC 于E ，GF AB ∥交AC 于F ． 求证：AF CG =． 【分析】 要证AF CG =，一般想到证明这两条线段所在的三角形全等，由图形可知，不存在直接全等三角形，因此要想到添加辅助线构造全等三角形．【解析】 作EH AB ⊥于H∵12∠=∠，90ACB ∠=° ∴EC EH =（角平分线定理） 又∵CD AB ⊥ ∴3A ∠=∠∵431∠=∠+∠，52A ∠=∠+∠ ∴45∠=∠ ∴CE CG = ∴CG EH =又∵GF AB ∥，90∠=∠=AHE FGC ° ∴A CFG ∠=∠∴CFG EAH △≌△（AAS ） ∴=CF EA ，∴-=-CF EF EA EF ， ∴CE AF = ∴AF CG =【例5】 已知：正方形ABCD 中，45MAN ∠=︒，MAN ∠绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交线段CB DC 、于点M N 、.求证BM DN MN +=.【解析】 延长ND 到E 使DE BM = 典题精练题型三：半角模型54321HG FEDC BA54321GFE DC BA6初二秋季·第4讲·提高班·教师版DHFECBA∵四边形ABCD 是正方形 ∴AD =AB在ADE △和ABM △ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AD AB ADE B DE BM ∴ADE ABM △≌△∴AM =AE ∠=∠BAM DAE∵45MAN ∠=︒ ∴45∠+∠=︒BAM NAD ∴45∠=∠=︒MAN EAN在AMN △和AEN △中 =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩MA EA MAN EAN AN AN ∴AMN AEN △≌△ ∴MN =EN∴DE +DN =BM +DN=MN【例6】 如图，在四边形ABCD 中，180∠+∠=︒=B D AB AD ，，E 、F 分别是线段BC 、CD 上的点，且BE +FD =EF . 求证：12∠=∠EAF BAD .ABCDEF【解析】 延长FD 到H ，使DH =BE ，易证ABE ADH △≌△， 再证AEF AHF △≌△1122∴∠=∠=∠=∠EAF FAH EAH BAD【例7】 在等边三角形ABC 的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N ，D 为三角形ABC 外一点，且︒=∠60MDN ,︒=∠120BDC ,BD=DC . 探究：当M 、N 分别在直线AB 、AC 上移7初二秋季·第4讲·提高班·教师版动时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系．AM N BCDDCBN M A图1 图2⑴如图1，当点M 、N 在边AB 、AC 上，且DM=DN 时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系是 ； ⑵如图2，点M 、N 在边AB 、AC 上，且当DM ≠DN 时，猜想⑴问的结论还成立吗？写 出你的猜想并加以证明.【解析】 ⑴如图1， BM 、NC 、MN 之间的数量关系BM +NC=MN ． ⑵猜想：结论仍然成立．证明：如图，延长AC 至E ，使CE=BM ，连接DE ．BD=CD 且120BDC ∠=．∴ 30=∠=∠DCB DBC ．又△ABC 是等边三角形，∴90MBD NCD ECD ∠=∠=∠=． 在MBD △与ECD △中：BM CEMBD ECD BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴MBD △≌ECD △(SAS ) ． ∴DM=DE , BDM CDE ∠=∠ ∴60EDN BDC MDN ∠=∠-∠=在△MDN 与△EDN 中：⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DN DN EDN MDN DE DM ENMDC BA8初二秋季·第4讲·提高班·教师版∴MDN EDN △≌△(SAS) ∴MN NE NC BM ==+第04讲精讲：典型的旋转全等构图：“手拉手”全等模型探究； 【探究一】“手拉手”模型基本构图；如图1，若ABC ∆与ADE ∆旋转全等，则必有ABD ∆与ACE ∆为两个顶角相等的等腰三角形（即相似的等腰三角形）；反之，如图2，若有两个顶角相等的等腰三角形ABD ∆与ACE ∆共顶角顶点，则必有ABC ∆与ADE ∆旋转全等；而图2正是“手拉手”模型的基本构图；图1EDC BA图2EDC BA【探究二】将探究一中的普通等腰三角形换成特殊的图形，例如等边三角形、等腰直角三角形、正方形，然后再探究结论如何变化；图3DCB图4E D CB A FG 图5ED CB A如图3、图4、图5，当两个等边三角形、等腰直角三角形、正方形共顶点时，ABC ∆与ADE ∆仍然旋转全等，并且有两个共同的结论； 结论1：ABC ∆≌ADE ∆；DE BC =；结论2：BC 与DE 所夹锐角等于两个等腰三角形的顶角；（倒角方法如下图6、图7、图8的八字模型）9初二秋季·第4讲·提高班·教师版图6图7图8【探究三】将探究二中的特殊图形旋转后结论是否仍然成立； 如下图9、图10、图11易得探究二中的两个结论仍然成立；图9E图10图11【探究四】深化探究二中图3的结论； 如图12，可得结论1：ABC ∆≌ADE ∆；DE BC =；结论2：︒=∠=∠=∠=∠60CAE BAD COE BOD ； 结论3：如图12、图13、图14，可得三对三角形全等（ABC ∆≌ADE ∆；AHD ∆≌AGB ∆；AGC ∆≌AHE ∆）图12图13图14结论4：如图15，连接GH ，可得AGH ∆为等边三角形；（由结论3可得AH AG =）图15NM O 图16EDC BA10 初二秋季·第4讲·提高班·教师版结论5：BE GH ∥；（由结论4可得︒=∠=∠60BAD AGH ） 结论6：连接AO ，可得AO 平分BOE ∠；（如图16，分别作BC AM ⊥、DE AN ⊥，AM 与AN 分别是全等三角形ABC ∆与ADE ∆对应边BC 和DE 上的高，故相等）11初二秋季·第4讲·提高班·教师版SFEDCBA MPNMH GFEDCBANM DCBA题型一 手拉手模型 巩固练习【练习1】 如图，DA ⊥AB ，EA ⊥AC ，AD=AB ，AE=AC ，则下列正确 的是（ ）A. ABD ACE △≌△B. ADF AES △≌△C. BMF CMS △≌△D. ADC ABE △≌△【解析】 D【练习2】 如图，正五边形ABDEF 与正五边形ACMHG 共点于A ，连接BG 、CF ，则线段BG 、CF 具有什么样的数量关系并求出∠GNC 的度数． 【解析】 先证ABG AFC △≌△可得BG =CF ，∠=∠ACF AGB ∵∠=∠NPG APC∴108∠=∠=︒GNC GAC题型二 双垂+角平分线模型 巩固练习【练习3】 已知AD 平分∠BAC ，⊥DE AB ，垂足为E ，⊥DF AC , 垂足为F ，且DB =DC ，则EB 与FC 的关系（ ）A. 相等B. EB <FCC. EB >FCD.以上都不对 【解析】 A题型三 半角模型 巩固练习【练习4】 如图，△ABC 是边长为3的等边三角形，△BDC 是等腰三角形，且∠BDC ＝120°．以D 为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB 于点M ，交AC 于点N ，连接MN ，则△AMN 的周长为 ． 【解析】 6【练习5】 如图，在四边形ABCD 中，180∠+∠=︒B ADC ，AB AD =，E 、F 分别是边BC 、CD 延长线上的点，且复习巩固F E DCBAFEDC BA12 初二秋季·第4讲·提高班·教师版EHGDCBAFDEGCBA12EAF BAD =∠∠，求证：EF BE FD =-【解析】 证明：在BE 上截取BG ，使BG DF =，连接AG ．∵180B ADC +=︒∠∠，180ADF ADC +=︒∠∠，∴B ADF =∠∠． ∵AB AD =，∴ABG ADF △≌△．∴BAG DAF =∠∠，AG AF =．∴12BAG EAD DAF EAD EAF BAD +=+==∠∠∠∠∠∠．∴GAE EAF =∠∠． ∵AE AE =， ∴AEG AEF △≌△． ∴EG EF =∵EG BE BG =-，∴EF BE FD =-．训练1. 如图，C 为线段AB 上一点，分别以AC 、CB 为边在AB 同侧作等边ACD △和等边BCE △，AE 交DC 于G 点，DB 交CE 于H 点，求证：GH AB ∥． 思维拓展训练(选讲)13初二秋季·第4讲·提高班·教师版A B C DH QNM【分析】 本题中，ACD △与BCE △是等边三角形，因此AC CD =，BC CE =，60ACD ECB ∠=∠=°，因为A 、C 、B 在同一条直线上，故60DCE ∠=°．这样可以得到ACE DCB △≌△，AEC DBC ∠=∠，故可以得到CEG CBH △≌△，则GC HC =，60CGH CHG ∠=∠=°，所以60ACG CGH ∠=∠=°，故GH AB ∥．【解析】 ∵ACD △和BCE △是等边三角形（已知）∴AC CD =，BC CE =（等边三角形的各边都相等）60ACD BCE ∠=∠=°（等边三角形的每个角都等于60°）∵180ACD DCE BCE ∠+∠+∠=° ∴60DCE ∠=°，120ACE DCB ∠=∠=°． 在ACE △和DCB △中，=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AC DCACE DCB CE CB∴ACE DCB △≌△（SAS ）∴AEC DBC ∠=∠（全等三角形的对应角相等） 在BCH △和ECG △中，60∠=∠=⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩BCH ECG BC CE CBH CEG °∴BCH ECG △≌△（ASA ）∴CH CG =（全等三角形的对应边相等） ∴CGH CHG ∠=∠（等边对等角）∵180GCH GHC CGH ∠+∠+∠=°（三角形内角和定理） ∴60GHC CGH ∠=∠=°．∴60ACG CGH ∠=∠=°（等量代换） ∴GH AB ∥（内错角相等，两直线平行）训练2. 条件：正方形ABCD ，M 在CB 延长线上，N 在DC 延长线上，45MAN ∠=︒．结论：⑴ MN DN BM =-；⑵ AH AB =.A B M C H ND14 初二秋季·第4讲·提高班·教师版【解析】 ⑴在CD 上取一点Q ，使DQ =BM先证AMB AQD △≌△ 可得AM =AQ再证AMN AQN △≌△∴MN =NQ∴DN DQ DN BM NQ MN -=-==⑵可证△ANH ≌△AND ，∴AH=AD=AB训练3. 如图，在Rt ABC △中，锐角ACB ∠的平分线交对边于E ，又交斜边的高AD 于O ，过O引OF BC ∥，交AB 于F ，请问AE 与BF 相等吗？理由是什么？OO 12ABCD E F FEDCBA21543G O54321G FE DC BA【解析】 相等．理由如下：如图，过E 作EG BC ⊥于G ∵EC 平分ACB ∠，∴12∠=∠ ∵90EAC ∠=°，AD BC ⊥ ∴1490∠+∠=°，2390∠+∠=° ∴34∠=∠ ∵35∠=∠， ∴45∠=∠∴AE AO =∵EC 平分ACB ∠，EA AC ⊥，EG BC ⊥ ∴EA EG =，∴AO EG =，∵FO BC ∥∴AFO B ∠=∠，90BDA FOA ∠=∠=° ∴BEG FAO ∠=∠∴AFO EBG △≌△（AAS ） ∴AF BE =∴AF EF BE EF -=- ∴AE BF =．N M DBA15初二秋季·第4讲·提高班·教师版ABCDO E训练4. 如图，△ABD 为等腰直角三角形，45∠=︒MAN ，求证：以BM 、MN 、DN 为边的三角形是直角三角形. 【解析】 过B 作BD 的垂线并取BQ =ND ，连接AQ 、QM先证∴=AQB AND AQ AN △≌△， 再证∴=AQM ANM MN QM △≌△∴以BM 、MN 、DN 为边的三角形是直角三角形.测试1. 如图，等腰直角△ADB 与等腰直角△AEC 共点于A ，连接BE 、CD ，则线段BE 、CD具有什么样的数量关系和位置关系 【解析】 先证明ABE ADC △≌△∴BE =CD ，再类似例1倒角即可得到BE ⊥CD测试2. 如图，△ABD 为等腰直角三角形，45∠=︒MAN ，求证：以BM 、MN 、DN 为边的三角形是直角三角形. 【解析】 过B 作BD 的垂线并取BQ =ND ，连接AQ 、QM先证∴=AQB AND AQ AN △≌△， 再证∴=AQM ANM MN QM △≌△∴以BM 、MN 、DN 为边的三角形是直角三角形.课后测N M DA初二秋季·第4讲·提高班·教师版第十五种品格：创新学会变通，变则通一天早上，一位贫困的牧师，为了转移哭闹不止的儿子的注意力，将一幅色彩缤纷的世界地图，撕成许多细小的碎片，丢在地上，许诺说：“小约翰，你如果能拼起这些碎片，我就给你二角五分钱。
02(学而思)有理数的运算
有理数的运算一、 有理数的加减法 二、 有理数的乘除法 三、 有理数的乘方四、 有理数的混合运算 五、 有理数的简单应用一、 有理数的加减法1、有理数的加法1. 【易】（北京陈经纶中学期中）若两个数的和为正数，则这两个数（ ）A ．至少有一个为正数B ．只有一个是正数C ．有一个必为零D ．都是正数 【答案】A2. 【易】（2010年二十中学期中）计算()()537912571239−+−+=+++−−是应用了（ ） A ．加法交换律 B ．加法结合律C ．分配律D ．加法的交换律与结合律【答案】D3. 【易】 1.5−的倒数与2的相反数的和是（ ）【答案】83−4. 【易】（2012安徽）下面的数中，与3−的和为0的是（ ）A ．3B ．3−C ．13 D ．13−【答案】A5. 【易】（2012广东肇庆）计算32−+的结果是（ ）A ．1B ．1−C ．5D ．5−【答案】B6. 【易】小明近期几次数学测试成绩如下：第一次85分，第二次比第一次高8分，第三次比第二次低12分，第四次又比第三次高10分，那么小明第四次测验的成绩是（ ） A ．90分 B ．75分 C ．91分 D ．81分 【答案】C7. 【易】把10123−，，，，这五个数，填入下列方框中，使行、列三个数的和相等，其中错误的是（ ）A B C D 【答案】D8. 【中】(第8届希望杯)1997个不全相等的有理数之和为0，则这1997个有理数中（ ）A ．至少有一个是零B ．至少有998个正数C ．至少有一个是负数D ．至多有995个是负数 【答案】C9. 【易】 ①4+与2的和的符号取_______号②4−和2−的和符号取_______号 ③4+与2−的和的符号取_______号 ④4−与2的和的符号取_______号【答案】①正；②负；③正；④负．10. 【易】（2012成都石室联中初一章测）数学考试成绩以80分为标准，老师将5位同学的成绩简单记作15+，4−，11+，7−， 0，则这五名同学的平均成绩为________． 【答案】8311. 【中】8箱苹果，以每箱5kg 为准，称重记录如下：（超过为正数）1.5，1−，3，0，0.5， 1.5−，2，0.5−， 8箱苹果的总重量是________． 【答案】44千克12. 【中】（天津河西区2010第一学期七年级期末质量调查数学试卷）下列数据是交警在一个路口统计的某个时段来往车辆的车速情况（单位：千米/时）： 55555658586061636565，，，，，，，，，． 请你计算这些车辆行驶速度的平均数________．【答案】把每个数据都减去60，得()()()()55422013554−+−+−+−+−+++++=−车速之和为60104596×−=所以平均车速为5961059.6=÷（千米/时） 答：这些车辆行驶速度的平均数为59.6．13. 【中】（2012年潍坊市中考题）如图，每一个小方格的面积为1，则可根据面积计算得到如下算式：1357+++++⋯(21)n −=_______．（用n 表示，n 是正整数）． 【答案】2n320-111-123-10123-1012314.【易】（2012成都石室联中初一章测）计算：()()255639−++−【答案】 8−15.【易】计算：⑴5116( 2.39)( 1.57)(3)(5)(2)(7.61)(32( 1.57)6767−+−+++−+−+−+−++⑵11(0.75)0.375(2) 84 +−++−【答案】⑴原式21 (10)0138)4633=−++=−+(-；⑵原式133111 ()(2)(3)2 884422 =++−+−=+−=−16.【易】计算：⑴21 (4(333−+−⑵21(6)(9|3|7.49.2(4)55−+−+−+++−⑶17(14)(5)( 1.25)88−+++−⑷111 (8.5)3(6)11332−++−+⑸5317 (9)15(3)(22.5)(15124412−++−+−+−⑹434(18(53)(53.6)(18(100) 555−+++−+++−【答案】⑴21 (4)(3)833−+−=−⑵21(6)(9)|3|7.49.2(4)055−+−+−+++−=⑶17(14)(5)( 1.25)9.588−+++−=−⑷111 (8.5)3(6)110332−++−+=⑸5317(9)15(3(22.5)(1535124412−++−+−+−=−⑹434(18)(53(53.6)(18(100)100555−+++−+++−=−17. 【易】（2011年初一上期中）五袋白糖以每袋50千克为标准，超过的记为正，不足的记为负，称量记录如下： 4.5+，4−， 2.3+， 3.5−， 2.5+这五袋白糖共超过多少千克？总重量是多少千克？ 【答案】1.8千克；251.8千克18. 【易】（2012成都石室联中初一章测）一辆货车从货场A 出发，向东走了2千米到达批发部B ，继续向东走1.5千米到达商场C ，又向西走了5.5千米到达超市D ，最后回到货场．⑴ 用一个单位长度表示1千米，以东为正方向，以货场为原点画出数轴并在数轴上标明货场A ，批发部B ，商场C ，超市D 的位置． ⑵ 超市D 距货场A 多远？ ⑶ 货车一共行驶了多少千米？【答案】⑴ 略；⑵ 向西2千米；⑶ 9千米19. 【中】（2011深圳外国语分校初一上期中）小虫从某点出发在一直线上来回爬，假定向右爬的形成为正数，向左爬的路程记为负数，爬过的各断路程依次为（单位，厘米）：5+，3−，10+，8−，6−，12+，10−⑴ 小虫最后是否会到出发点？⑵ 小虫离开出发点最远是多少厘米？⑶ 在爬行过程中如果爬行1厘米，奖励一粒芝麻，则小虫一共得到多少粒芝麻？ 【答案】⑴ 能 ⑵ 12厘米 ⑶54粒20. 【中】（2012成都石室中学初一上月考）某商场上星期日销售衬衣100件，下表是该商场本周的销售变化情况．星期 一 二 三 四 五 六 日 销售量（件）15+7−21+13−2−10+6+（注：正号表示销售量比前一天上升，负号表示销售量比前一天下降） ⑴ 请算出星期四和星期日该商场衬衣的销售量； ⑵ 该商场平均每天的销售量是多少件？ 【答案】⑴116,130 ⑵ 11921. 【中】（2011杭州市十三中教育集团初一第一学期阶段性检测）“十一”黄金周期间，某市在7天中外出旅游的人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）．日期10月 1日 10月 2日 10月 3日 10月 4日 10月 5日 10月 6日 10月7日人数变化单位：万人1.6+ 0.8+ 0.4+ 0.4− 0.8− 0.2+ 1.1−⑴ 若9月30日外出旅游人数记为a 万人，则10月2日外出旅游的人数为（ ）万人．⑵ 七天内外出旅游人数最多的是10月（ ）日，最少的是10月（ ）日，它们相差（ ）万人．⑶ 如果最多一天有出游人数3万人，问9月30日出去旅游的人数有多少？这七天平均每天出游人数是多少万人？【答案】⑴ 2.4a +；⑵3，7，2.1；⑶ 0.2，2.122. 【中】下表记录的是今年长江某一周内的水位变化情况，上周星期天的水位已达到警戒水位米（“+”表示水位比前一天上升，“−”表示水位比前一天下降）．（武汉初一上期中）星期 一 二 三 四 五 六 七 水位变化（米）0.2+0.8+0.4−0.2+0.3+0.2−0.3−⑴ 本周哪一天长江的水位最高？位于警戒水位之上还是之下？⑵ 与上周星期天相比，本周星期天长江的水位是上升了还是下降了？并通过计算说明理由． 【答案】⑴ 周五，警戒线之上；⑵ 上升了．23. 【中】（第5届希望杯2试）电子跳蚤在数轴上的某一点0K ，第一步0K 向左跳1个单位到点1K ，第二步由点1K 向右跳2个单位到点2K ，第三步有点2K 向左跳3个单位到点3K ，第四步由点3K 向右跳4个单位到点4K ，．．．．．． ，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点100K 所表示的数恰好是19.94． 求电子跳蚤的初始位置点0K 所表示的数．【答案】假设电子跳蚤的起点0K 为0x ，规定向左为负，向右为正，根据题意可得：01234569910019.94x −+−+−+−−+=⋯⋯，030.06x =−．24. 【难】（2010湖北黄石）若自然数n 使得作竖式加法()()12n n n ++++均不产生进位现象，则称n 为“可连数”，例如32是“可连数”，因为323334++不产生进位现象； 23不是“可连数”，因为232425++产生了进位现象，那么小于200的“可连数”的个数为．【解析】若满足题目要求，个位数字为012，，，十位数字为0123，，，，百位数字为01，． 【答案】2425. 【难】（无锡市中考题、人大附中练习题改编）数轴的原点O 上有一个蜗牛，第1次向正方向爬1个单位长度，紧接着第2次反向爬2个单位长度，第3次向正方向爬3个单位长度，第4次反向爬4个单位长度……，依次规律爬下去，当它爬完第100次处在B 点． ① 求O 、B 两点之间的距离（用单位长度表示）．② 若点C 与原点相距50个单位长度，蜗牛的速度为每分钟2个单位长度，需要多少时间才能到达？③ 若蜗牛的速度为每分钟2个单位长度，经过1小时蜗牛离O 点多远？ 【答案】 ①1(2)3(4)99(100)50+−++−+++−=−⋯，故O 、B 两点之间的距离为50个单位长度．②分两种情况，第一种情况：点C 在数轴的正半轴，观察规律可知：除去第一次，依次每两次结合相当于向正方向前进1米，所以再经过(501)298−×=（次）运动即可前进50米，到达B 地；用时为：(1239899)22475++++÷=⋯（分钟）． 第二种情况：点C 在数轴的负半轴，观察规律可知，每两次结合相当于向负半轴前进1米，故经过100次运动即可前进50米，到达B 地，用时为：(12100)22525+++÷=⋯（分钟）． ③设第n 次运动时，正好60分钟，那么有123456602222222n+++++++=⋯，所以15n =，此时它离A 点：1234561314158−+−+−++−+=⋯（米）．2、有理数的减法26. 【易】（2012黔东南州）计算12−−等于（ ）A ．1B ．3C ．1−D ．3−【答案】D27. 【易】(2012四川省南充市）计算：()23−−的结果是（ ）A ．5B ．1C ．1−D ．5−【答案】A28. 【易】（2012山东省聊城）计算1233−−的结果是（ ） A ．13−B ．13C ．1−D ．1【答案】1212133333−−=−=−． 故选A29. 【易】（2011武汉市青山区数学七年级（上）期末）下列各式中与a b c −−的值不相等的是（ ）A ．()a b c −+B ．()a b c −−C ．()()a b c −+−D ．()()c b a −−−【答案】B30. 【易】（2009湖北省武汉市武昌区七年级（上）期末数学试题）小怡家电冰箱的冷冻室温度是2−℃，冷藏室温度是5℃，则小怡家电冰箱冷藏室比冷冻室温度高（ ）A ．3℃B ．7℃C ．5℃D ．5−℃【答案】B31. 【易】（2009武汉青山初一上期末）今年一月的某一天，武汉市最高温度为7℃，最低温度是4−℃，这天的最高温度比最低温度高（ ） A ．3℃ B ．7℃ C ．11℃ D ．11−℃ 【答案】C32. 【易】（2011天津河西区年初中毕业生学业考试模拟试卷（二）数学）世界最高峰珠穆朗玛峰的峰顶岩石面海拔高8844米，而位于亚洲西部的死海是世界最低的湖泊，湖面海拔392−米，则两处的高度相差（ ） A ．9236米 B ．9132米 C ．8844米 D ．8452米 【答案】A33. 【易】（2012广东珠海中考）计算：1132−=________．【答案】16−34. 【易】(浙江省初中毕业生学业考试(湖州市））计算：32−−=________．【答案】135. 【易】计算：111246 −−【答案】51236. 【易】（2012年北京66中学）计算： 32(17)23−−−−− 【答案】38−37. 【易】（2010深圳外国语分校初一上期中）⑴1132|1()|3553−−−−−⑵ 4.7( 3.3)( 5.6)( 2.1)−−+−−−− ⑶1111(3[(3)3](3)4444 −−−−−−−【答案】⑴⑵ 4.7( 3.3)( 5.6)( 2.1)0.3−−+−−−−=−⑶1111(3[(33](3)04444−−−−−−−=38. 【易】（2010上海迅行期中）计算（要求写出计算过程）： 53114336565−−−−−−． 【答案】原式5311513122161433433134565656655351515 =−−++=−−−−=−−=−=−39. 【易】（2012武汉初一上月考）若规定海平面的高度为0米，高于海平面的高度记为正数，现有一潜艇在水面下50米处航行，一架飞机在水面上方100米处飞行． ⑴ 试用正负数分别表示潜水艇和飞机的高度⑵ 下可能有一条鲨鱼所载的位置是12−米，则鲨鱼在潜水艇上方多少米？ 【答案】⑴ 潜艇50−米，飞机100+米；⑵ 38米3、有理数的加减法混合运算40. 【易】下列说法正确的是（ ）A ．两数之和不可能小于其中的一个加数B ．两数相加就是它们的绝对值相加C ．两个负数相加，和取负号，绝对值相减D ．不是互为相反数的两个数，相加不能得零 【答案】D11324|1()|235535−−−−−=−41. 【易】（2012南京三中期中考试）把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果为（ ）A ．()()325+++=+B ．()()321++−=+C ．()()325−−+=−D ．()()321−++=−【答案】D42. 【易】（2012通州区初一数学期末考试试卷）算式435−−+，计算结果是（ ）A ．6B ．4−C ．12D ．2【答案】D43. 【易】（2011广东实验中学初一中段检测）()()123−+−−+去括号后的结果是（ ）A ．123−++B ．123−++C ．123−−−D ．123−+−【答案】C44. 【易】（2012武汉初一上月考）下列运算：①()()220−+−=；②()()6410−−−=−；③()033−−=+；④512663++−= 其中正确的个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】B45. 【易】（2010深圳中学初一上期末）直接写出结果：()12275−−−+= ．【答案】846. 【易】（2011广东实验中学初一中段检测）计算：()()65215−+−+−−= ． 【答案】647. 【易】（2012北京市西城区第一学期期末试卷）计算：()()13152710−−−+−+= ．【答案】15−48. 【易】（初一期末数学模拟）计算：11524343+−−=____________．【答案】049. 【易】计算：()()()71525−++−−【答案】3350. 【易】（2011武汉武珞路中学七年级上期中）计算：()()1581112−−−+−−【答案】30−51. 【易】（北京北达资源中学期中）计算：()()()()499159−−+−−+−【答案】144−52. 【易】（人大附期中）计算：()()20141815−+−−−−【答案】31−53. 【易】（2011年北京三帆中学）计算：2.5( 1.5) 1.6 2.4−−−+【答案】4.854. 【易】（2010深圳外国语分校初一上期中）计算：()1350.254−−−+−【答案】2−55. 【中】计算：⑴ 222115134433155−+−−+−；⑵52180252667621−−+−−−−−；⑶141141141421119911199−+−； ⑷()()340115477+−−−−−+−−+−．【答案】①1103−；⑵263−；⑶1；⑷10．56. 【中】求比22141114315−+−小221211315−+的数是多少？【答案】16−57. 【中】有一组数：12345...99100−+−+−−，，，，，，，，求这100个数的和． 【答案】5058. 【难】(希望杯培训试题)在135...101，，，，这51个奇数中的每个数的前面任意添加一个正号或一个负号，则其代数式的绝对值最小为多少？【答案】由于2135710151+++++=⋯为奇数，对于连续的4个奇数我们添加符号如下，使其结果为0，即：(21)(23)(25)(27)0n n n n +−+−+++=，这样我们可以使后48个奇数和为0，对于135，，我们可以如下添加符号使其绝对值最小：1351−−+=，于是可得和的绝对值最小为1．59. 【难】(辽宁)在数123...1998，，，，前添符号“+”或“−”，并依次运算，所得结果中最小的非负数是多少？【答案】由于12319981999999+++⋅⋅⋅+=×是一个奇数，而在123...1998，，，，之间任意添上“+”号或“－”号不会改变其代数式和的奇偶性，故所得额非负数不小于1.现考虑在四个连续自然数n ，1n +，2n +，3n +之间添加符号，显然(1)(2)(3)0n n n n −+−+++=，这提示我们将123...1998，，，，每连续四个数分成一组，再按上述规则添加符号，即： ()()()123456781993199419951996199719981−−++−−+++−−+−+=⋯所求的最小非负数为1．60. 【难】在整数1357，，，，…，21k −，…，2005之间填入符号“＋”和“－”号，依此运算，所有可能的代数和中最小的非负数是多少？【答案】这道题也是一个老题，由于整数的符号不影响其奇偶性，因此也不影响代数和的奇偶性，我们首先可以利用：213520051003++++=⋯，得知所有可能的代数和均为奇数，再考虑到非负数这一条件，我们期望这一最小值为1．接下来我们的目标无非是填入符号“＋”和“－”凑出1来，考虑到共有1003个数，我们需要利用周期性. 注意到，7911130−−+=，151719210−−+=，⋯，()(23)(21)(21)230k k k k −−−−+++=⋯，19992001200320050−−+=，因此容易凑出所要的结果来 ()()()11357911131999200120032005=−−++−−+++−−+⋯．但是题目中要求在数与数之间填入符号“＋”和“－”号，所以可以对算式的前7项做处理，修改为：()()11357911131999200120032005=++++−−++−−+⋯二、 有理数的乘除法1、有理数的乘法61. 【易】几个不为0的有理数相乘，他们的积的符号（ ）A ．由因数个数决定B ．由负因数个数决定C ．由正因数个数决定D ．由负因数大小决定 【答案】B 62. 【易】（2012年江西南昌十五校联考）计算()32×− 的结果是（ ）A ．5B ．5−C ．6D ．6−【答案】D63. 【易】（2012四川泸州）计算()23−×的结果是（ ）A ．6−B ．6C ．5−D ．5【答案】A64. 【易】(2009年成都中考）计算122×-的结果是（ ）A ．1−B ． lC ．2−D ．2 【答案】A65. 【易】（2011深圳中学初一上期末）已知a ，b 都是有理数，且a a =，b b ≠，则ab =（ ）A ．负数B ．正数C ．负数或零D ．非负数【答案】C66. 【中】（杭州文澜中学2011初一第一学期期中）如果x 是绝对值最小的有理数，y 是最大的负整数，则x y xy ++的值是（ ） A ．1− B ．0 C ．1+ D ．2 【答案】A67. 【中】(第9届希望杯)若19980a b +=，则ab 是（ ）A. 正数B. 非正数C. 负数D. 非负数【解析】由19980a b +=，得1998a b =−，可知a 、b 的符号相反或者0a b ==，故有0ab ≤.【答案】B68. 【易】奇数个负数相乘，积的符号为 ， 个负数相乘，积的符号为正 .【答案】负号；偶数.69. 【易】（2010上海迅行期中）三个有理数相乘的积为正数，那么这三个数中正数有 个．【答案】2显然负数有偶数个，所以正数有1或3个70. 【易】计算下列各题：⑴553618−× ⑵13335−×+【答案】⑴190−；⑵2−.71. 【易】看谁算的又对又快：⑴()()()345826−×−−×−−×−⑵4113(3)11559211 −×−×−×+×⑶1571(8)16−×− ⑷()()999812512412161616−×−−−×−+×−⑸111112211142612 −×−+−【答案】⑴()()[]()()34582(6)12581228−×−−×−−×−=−×−+= ；⑵化带分数为假分数后约分.原式9101133959211=−××××=−；⑶变形后使用分配律，原式()1571816 =−−×− ()()()151571885685687.5575.5162=−×−+−×−=+=+=；⑷逆向运用分配律，较复杂的有理数混合运算，要注意解题方法的选取.原式()9985412121616=−−−+×− =-； ⑸应用乘法分配律；原式()()()()937131212121242612=−×+−×−+−×+−×−()2718(14)1310=−++−+=−.2、有理数的除法72. 【易】(初一期末模拟）13−与113−的商为（ ）A ．14−B ．14C ．1−D ．4【答案】B73. 【易】（2010南山外国语初一期中）把一张厚度为0.1mm 的纸对折8次后厚度接近于（ ）A ．0.8mmB ．2.5cmC ．2.5mmD ．0.8cm 【答案】B74. 【易】（2011台湾台北）已知世运会、亚运会、奥运会分别于公元2009年、2011年、2012年举办．若这三项运动会均每四年举办一次，则这三项运动会均不在下列哪一年举办？（ ） A ．公元2070年 B ．公元2071年 C ．公元2072年 D ．公元2073年 【答案】A75. 【易】（北京北达资源中学期中）计算下列各题⑴211133 −÷−⑵()280.2535−÷−÷−【答案】⑴54；⑵53−76. 【易】（2010上海迅行期中）计算：()1581 1.5312−÷−÷−÷．【答案】原式32124884355 =−×−×−×=−3、有理数的乘除混合运算77. 【易】（2009学年湖北省武汉市青山区七年级（上）期末数学试卷）计算：()()432−×−÷−【答案】()()432−×−÷−，()122=÷−， 6=−；78. 【易】（2009华师武昌区上学期期末调研考试）计算：()11812449−÷×−÷【答案】179. 【易】（2012北京市西城区第一学期期末试卷）71452556÷−×−． 【答案】11280. 【易】（2010深圳外国语分校初一上期中）计算422314733−÷−×−【答案】10−三、 有理数的乘方81. 【易】4x 表示（ ）A ．4xB ．x x x x +++C ．x x x x ⋅⋅⋅D ．4x + 【答案】C82. 【易】（2012成都石室中学初一上月考）113−表示（ ）A ．11个3−相乘B ．3个11−相乘C ．11个3相乘的相反数D ．3个11相乘的相反数 【答案】C83. 【易】（2011河北省初中毕业生升学文化课考试数学试卷）计算03的结果是（ ）A ．3B ．30C ．1D ．0 【答案】C84. 【易】（2012浙江省嘉兴市）计算()02−的结果是（ ）A ．1B ．2C ．0D ．1−【答案】A85. 【易】（2012年广东梅州中考）012−−=（ ）A ．2−B ．2C ．1D ．1−【答案】D86. 【易】（2012重庆南开中学初一下期中）()02012−的值为（ ）A ．0B ．1C ．2012D ．2012−【答案】B87. 【易】计算0(2009π)−的结果是（ ）A ．0B ．1C ．2009π−D ．π2009−【答案】B88. 【中】（2009年北京二中期中）计算：()023122×−÷=（ ）A ．0B ．1C ．12D ．无意义【答案】D89. 【易】（2009年南充市高中阶段学校招生统一考试）计算()20091−的结果是（ ）A ．1−B ．C ．2009−D ．2009【答案】A90. 【易】()20001−的值是（ ）A ．2000B ．1C ．1−D ．2000−【答案】B91. 【易】（2011年广东茂名市初中毕业生学业水平考试与高中阶段学校招生考试）计算：01(1)−−−的结果正确．．的是（ ） A ．0 B ．1 C ．2D ．2−【答案】D92. 【易】（2012年广西玉林市）计算：22=（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】C93. 【易】（2012山东省滨州）32−等于（ ）A ．6−B ．6C ．8−D ．8【答案】C194. 【易】（2009年娄底市初中毕业卷）()23−的相反数是 （ ）A ．6B ．6−C ． 9D ．9−【答案】D95. 【易】（2012南京三中期中考试）与算式22222222+++的运算结果相等的是（ ）A ．42B ．28C ．82D ．162 【答案】A96. 【易】（2012武汉初一上月考）下列各对数中互为相反数的是（ ）A ．23与32−B ． 32−与()32−C ．23−与()23−D ．()232−×与()323×−【答案】C97. 【易】下列各组数中，相等的是（ ）A ．32−与()32−B ．23−与()23− C ．()232−×与232×D ．()332−×与()332−×−【答案】A98. 【中】（2012年希望杯决赛初一年级试题） 77可以表示成n （2n ≥）个连续自然数的和，则n 的值的个数是（ ） A ．10 B ．5 C ．3 D ．1 【答案】C99. 【中】（2011深圳实验中学初一下）20112012532135−×−等于（ ）A ．1−B ．1C ．325−D ．135【答案】C100. 【易】（2012成都石室联中初一章测）1米长的小棒，第1次减去一半，第2次减去剩下的一半，如此下去，第6次后剩下的小棒长为（ ）米A ．12B ．132C ．164D ．1128【答案】C101. 【易】（2010初一上期末）《棋盘上的米粒》故事中，皇帝往棋盘的第1格中放1粒米，第2格中放2粒米，在第3格上加倍至4粒，…，依次类推，每一格均是前一格的双倍，那么他在第12格中所放的米粒数是（ ） A ．22粒 B ．24粒 C ．112粒 D ．122粒【答案】C102. 【易】（北京陈经纶中学期中）332−的底数是_______，指数是_______，幂是_______．【答案】32−；3；278−．103. 【易】（2010上海迅行期中）把()()()()6666−×−×−×−的运算结果用幂的形式可表示为_______． 【答案】46104. 【易】(2012江苏苏州）计算：32= ．【答案】32表示3个2相乘的积，2228××=，因此32=8．105. 【易】（2012江苏省苏州吴中区第二学期期末调研测试初一数学试卷）计算：212−=_______．【答案】14106. 【易】（2011武汉武珞路中学七年级上期中）计算：()33−−=___________．【答案】27107. 【易】（2011普陀区度九年级第二学期期终调研）计算：22−= ．【答案】4−108. 【易】（2010初一期末）410222−××= ．【答案】8109. 【易】（江苏省苏州市相城区2011-2012学年度第二学期期中考试初一数学试卷）计算：()1001010.254−×=____________．【答案】4110. 【中】（2012杭州文澜初一下学期期中）计算：①()()3422a b ab −⋅−=_______；②()55521933−×−×=_______．【答案】①1011a b −; ② 32．111. 【中】（2012杭州文澜初一下学期期中）用幂的形式表示下列各运算结果：⑴ ()363 −=_______；⑵ ()()4632x x +=_______．【答案】⑴ 183；⑵ 122x ．112. 【中】（2009上海华育单元测试）若41681a −=−，则________a =． 【答案】23±113. 【中】（2012山西实验中学七年级上期中）某种细菌培养过程中，每半小时分裂一次，每次一分为二，若这种细菌由一个分裂到128个，那么这个过程要经过_______小时．【答案】从一个分裂到72128=个，一共分裂了7次，每次需要半小时，所以一共经历了3.5小时．四、 有理数的混合运算114. 【易】（2011汇文中学期中考试）有理数a 等于它的倒数，有理数b 等于它的相反数，则20092009a b +等于（ ） A ．1 B ．1− C ．1± D ．2 【答案】C 115. 【易】（2011年佛山市高中阶段学校招生考试）计算()3322+−的值是（）A ．0B ．12C ．16D ．18【答案】A116. 【易】（2012年河北省中考题）某数学活动小组的20位同学站成一列做报数游戏，规则是：从前面第一位同学开始，每位同学依次报自己顺序数的倒数加1，第1位同学报111+，第2位同学报112 + ，第3位同学报113+ ，……这样得到的20个数的积为_______． 【答案】21117. 【易】（2010深圳外国语分校初一上期中）式子()()2005200611−+−的值是（ ） A ．1−B ．1C ．2−D ．0【答案】D118. 【易】（2011深圳外国语分校初一上期中）计算()()2010201122−+−所得结果为（ ） A ．20102B ．()20102−C ．20102−D ．2−【答案】C119. 【易】（2009深圳中学初一上期末）下列计算中正确的是（ ）A ．()()43111−×−=B ．()339−−=C ．311933÷−=D ．1393−÷−=【答案】D120. 【易】（2012通州区初一数学期末考试试卷）下列运算中，计算结果正确的是( ）A ．()23225−−−= B ．()()326−×−= C ．()()223322−÷−=D ．()()29322−÷−=【答案】B121. 【易】（2009湖北省武汉市青山区七年级（上）期末数学试卷）对下列各式计算结果的符号判断正确的一个是（ ）A ．()()2122303 −×−×−<B ．()225510−−+<C ．()111032 −+−+>D ．()()9988120−×−>【答案】A122. 【易】（2009年中考聊城市数学试题）计算()234−+的结果是（ ）A ．5−B ．2−C ．10D ．13【答案】D123. 【易】（2012年北京市朝阳外国语学校第一学期期中校考初一）请阅读一小段约翰·斯特劳斯的作品，根据乐谱中的信息，确定最后一个音符的时间长应为（ ）．A ．18B ．12C ．14D ．34【答案】C124. 【易】（“《时代学习报》数学文化节”试题）电影《哈利·波特》中，小哈利·波特穿墙进入“394站台”的镜头（如示意图中的M 站台），构思奇妙，能给观众留下深刻的印象．若A B 、站台分别位于21−−，处，2AN NB =，则N 站台用类似电影中的方法可称为“_______站台”． 【答案】113−125. 【中】（2011南山外国语初一期末）若a 、b 是互为相反数，c 为最大的负整数，d 的绝对值为2，则()2a b cd +−的值为（ ） A ．2B ．0C ．1或1−D ．2或2−【答案】D126. 【中】（“希望杯”邀请赛试题）若a b 、是互为相反数，c d 、是互为倒数，x 的绝对值等于2，则42x cdx a b +−−的值是_______． 【答案】20127. 【中】（2012成都石室联中初一章测）下列计算：①()055−−=−；②()()3912−+−=−；③293342 ×−=− ；④()()3694−÷−=−．其中正确的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B128. 【中】（浙江省中考题）按下面的程序计算，若开始输入的值为正数x ，最后输出的结果为656，那么满足条件的x 的不同值最多有多少个？【答案】由51656x +=得131x =，由51131x +=，得26x =；由5126x +=，得5x =．故x 的不同值最多有3个．129. 【中】（2010北京八中期中）下列判断正确的是（ ）①若3个有理数的乘积为负，则这3个有理数均为负数； ②若0abc <，则a ，b ，c 中至少有一个负数；③几个有理数相乘，负因数的个数为奇数个，则积为负数；负因数的个数为偶数个，则积为正数； ④绝对值不超过10的所有有理数的和为0． A ．①② B ．②③ C ．②④ D ．③④ 【答案】C130. 【易】（2011郑州一中教育集团期中考试）若a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，则()a b cd +⋅=．【答案】0131. 【易】（七年级上期中）计算：()43−−= ；()()25−×+= ；()81−÷−= ．【答案】7；10−；8−132. 【易】（2012通州区初一数学期末考试试卷）输出结果()2212822−×−+÷−= ．【答案】4133. 【中】（2010辽宁沈阳南昌中学初一上期末）有一种“24点”的游戏，其游戏规则是这样的：将四个1至13之间的数进行加减乘除四则运算（每个数都用且只能用一次），使其结果为24．例如对1234，，，可作运算：()123424++×=．现有四个有理数 2345，，，，请你运用上述规则写出使其运算结果等于24的算式： _____________________． 【答案】()532424+−×=134. 【中】（2010深圳外国语初一上联合测）根据二十四点算法，现有四个数34610−，，，，每个数用且只用一次进行加、减、乘除，使其结果等于24，则列式为 24=．【答案】()41063−×−÷135. 【中】同学们玩过算24的游戏吧！下面就来玩一下，我们约定的游戏规则是：黑色扑克牌为正数，红色扑克版为负数，只能用加、减、乘、除四种运算每张扑克牌只能用一次，来算24，现在有下面的4张扑克牌（如图），请你用这四张扑克牌来算24，在横线上写出运算的过程 ．【答案】6103424×÷+=136. 【中】（江苏省竞赛题）已知整数a b c d 、、、满足25abcd =，且a b c d ＞＞＞，那么a b c d+++等于（ ）．A ．0B ．10C ．2D ．12 【答案】D 51(1)(5)5115abcd a b c d =××−×−===−=−，，，，．137. 【中】（第22届希望杯初1第1试第2试）计算：()()()()2433310.252352168−−−×−÷×−+−÷−= ． 【答案】2138. 【中】（第20届“希望杯”全国数学邀请赛初1第1试）小明写出了50个不等于零的有理数．其中至少有一个是负数，而任意两个数中总有一个是正数．则小明写出的这50个数中正数有_________个，负数有__________个． 【答案】49；1139. 【易】（2012通州区初一数学期末考试试卷）3233|2|4(2)−×−+÷−．【答案】56−140. 【易】（2012西安西铁一中七年级数学—期末试卷）计算下列各题；()()382475−÷−×−+【答案】4141. 【易】（2012海淀区七年级第一学期期末练习）计算：()()101384−×+÷−．【答案】 1142. 【易】（2011年广东省台山市中考数学真题试卷）计算：()3201200732−++−【答案】原式18=143. 【易】（2012北京十二中初一下期中）计算：()23021π332−−+−+【答案】278144. 【易】（2011西宁）计算：()()3031201123−+−−−．【答案】原式271820=+−=145. 【易】（2011年西安陕师大附中初一数学期末测试题）计算⑴ ()()210.233−+−÷×− ⑵ ()()()2214−−−×− 【答案】⑴ 245−；⑵ 0146. 【易】（2012南京三中期中考试）()285150.813−÷−×+− 【答案】215147. 【易】（2012重庆南开中学初一下期中）()0332π312−+−+−【答案】162−148. 【易】（2012学年度第二学期期中考试初一数学试卷）计算()10212π123−−+−+−−【答案】31π4+149. 【易】（2011深圳外国语初一下期末）计算：()()220132012120.2543−−×+×−【答案】5150. 【易】（2012学年度苏州立达中学初一期末考试试卷）计算题()()1320113π232−−−+−×−+【答案】原式391814=−+×+=151. 【易】（2012学年度江苏省苏州市相城区第二学期期中考试初一数学试卷）计算：()()12411π323−−−+−−−+−【答案】原式11134=−+−+ 324=152. 【易】（初一下期末模拟）()231120032223−−×÷+−÷【答案】158153. 【易】（2012初一罗湖期末统考）计算：⑴ 191223−÷×−⑵ ()()33210244−+×−−+【答案】⑴ 11；⑵ 2−154. 【易】（2011南山外国语初一期末）计算：⑴ ()869−+−⑵ ()()10.1102−÷×−⑶ ()()332475−÷−×−+⑷()()201125150.813−÷−×−+−【答案】⑴ 7−；⑵ 2；⑶ 1−；⑷415155. 【易】（2010年武汉武珞路中学初一期中）计算⑴ ()()1581112−−−+−− ⑵ 71131262142−×−×÷−⑶ ()()()()22224342−+×−−−÷−⑷ ()()23224133 −+−−−×【答案】⑴ 30−；⑵ 12−；⑶ 48；⑷ 32156. 【中】（2011华南师大附中期中考试）计算：()()()3232201137211121113123100 −×−−÷−÷−−+−÷−×【答案】43160157. 【中】（2012房山区七年级上期末）计算：⑴ ()21512544−−÷−+−．⑵ ()()20121232+2241834 ×−−×−− ．【答案】⑴ ()21512544−−÷−+− 原式31444=−++ 41=−+ 3=−⑵ ()()20121232+2241834 ×−−×−−原式1211+24241434=−×−×−1+166614=−−−1514=−158. 【中】（2011郑州一中教育集团上期期中考试）计算：()()()32235210.8224−−−+−×÷−×−【答案】16.8−159. 【中】（北京市西城区2011-2012学年度第一学期期末试卷）23643440.8425421−+÷+×−． 【答案】187−160. 【中】（沈阳）⑴ ()221111536 −−−−×−−⑵()222321212332243334−÷×−−×−−−×−【答案】⑴ 113−；⑵ 3−161. 【中】（2012成都金牛初一下期末）()()()232120102223−−×+−−−÷−【答案】13162. 【中】（2011广东实验中学初一中段检测）计算⑴ ()()()223334 −−−−×−； ⑵ ()32221110.52300.5333 −−−÷×−−−×−− 【答案】⑴ 12−；⑵ 1312−163. 【中】（2012成都石室联中初一章测）计算：()()()()52221142 1.250.4339−×−÷−+−×−÷−−【答案】3164. 【中】（2012成都初一入学测）计算：()()23222351835−−−×−+÷−−【答案】27−165. 【中】（2011天津河西区第一学期七年级期中质量调查数学试卷）⑴ ()()()2234232 −×−+−−−÷ ⑵ ()5511255 2.5784−−−×−÷÷【答案】⑴ ()()()2234232 −×−+−−−÷ []()316292=−×+−−÷()3189254 4.549.5=−×−−=−+=−÷⑵()5511255 2.5784−−−×− ÷÷151581125575254=×+×+××12517=++ 1267=166. 【中】（2012太原市七年级第二次测评）计算：()()31162812 ÷−−−×−−【答案】()()()311162812811022 ÷−−−×−−=−−−×−−=167. 【中】（2012成都石室中学初一上月考）计算⑴ ()22−−+⑵ ()542−×−⑶ 323232−÷×⑷ 4131127373+−++⑸ ()517248612−+×−⑹ ()()()()()1520862++−+++−++⑺ ()()14812349−÷××−⑻ ()1123.7 2.7722 −+−−−−−+【答案】⑴ 4−；⑵ 10；⑶ 278−；⑷ 0；⑸ 25−； ⑹ 1−；⑺ 48；⑻ 11.4−168. 【中】（2011北片期中联考）在我们学过的几种有理数的运算（加法、乘法、乘方）中，有一些运算的结果是负数，如负数加负数的结果为负数，例如：()()235−+−=−，请你尝试归纳运算结果为负数的所有情况，并举例说明．【答案】加法⑴负加负得负例：()()235−+−=−⑵ 绝对值较大负数加绝对值较小正数．例：()211−+=− ⑶ 负数加零得负 例：()033+−=− 乘法：⑷正乘负得负 例：()5210×−=−乘方⑸负数的正奇数次幂得负 例：()1911−=−169. 【中】（2012成都石室中学初一上月考）将4−，3−，2−，1−，0，1，2，3，4，这9个数分别填入下图方的9个空格中，使得横、竖、斜对角的所有3个数相加的和都相等．【答案】第一行：左3−，中4，右1−；第二行：左2，中0，右2−； 第三行：左1，中4−，右3．五、 有理数的简单应用170. 【易】（北大附中期中考试）某地探空气球的气象观测资料表明，高度每增加1千米，气温大约降低6℃．若该地地面温度为21℃，高空某处温度为39−℃，则此处的高度是 千米． 【答案】10171. 【易】（2011汇文中学期中考试）我们小时候听过龟兔赛跑的故事，都知道乌龟最后占胜了小白兔，如果在第二次赛跑中，小白兔知耻而后勇，在落后乌龟1km 时，以10m /min 的速度奋起直追，而乌龟仍然以1m /min 的速度爬行，那么小白兔大概需要多少min （精确到1min ）就能追上乌龟？ 【答案】111min172. 【易】（2011杭州初一翠苑中学上学期期中模拟卷）某检测小组乘汽车检修供电线路，约定前进为正，后退为负，某天自A 地出发到收工时，所走路程（单位：km ）为：22+，3−，4+，2−，8−，17+，2−，3−，12+，7+，5−问： ⑴ 收工时距A 地多远？⑵ 若每千米耗油4升，从A 地出发到收工共耗油多少升？ 【答案】由A 点出发前进39km ；340升173. 【易】（2010南山外国语初一期中）一辆出租车一天下午以某中学为出发地在东西方向运营，向东走为正，向西走为负，行车里程（单位：km ）依先后次序记录如下：9+，3−，5−，4+，8−，6+，3−，6−，4−，10+．⑴ 将最后一名乘客送到目的地，出租车离出发点多远？在该中学的什么方向？⑵ 起步价是10元2千米，超过2千米，每千米2.4元．司机一个下午的营业额是多少？ 【答案】⑴ 0米，就在中学里；⑵ 191.2元174. 【易】（杭州市文海实验学校2011初一第一学期期中）小王上周五在股市以收盘价（收市时的价格）每股27元买进某公司股票2000股，在接下来的一周交易日内，小王记下该股票每日收盘价格相比前一天的涨跌情况（单位：元）星期 一 二 三 四 五每股涨跌（元）2.5+ 1− 1.6+ 1.9− 0.8+ 根据上表回答问题：⑴ 星期二收盘时，该股票每股多少元？⑵ 这周内该股票收盘的最高价，最低价分别是多少？⑶ 已知买入股票与卖出股票均需支付成交金额的千分之五的交易费，若小王在本周五以收盘价将全部股票卖出，他的收益情况如何？【答案】⑴ 28.5；⑵ 30.1，28.2；⑶ 赚3440元175. 【易】股民曹先生上星期五买进某公司股票1000股，每股31元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况（单位：元）星期 一二三四五每股涨跌2+ 2.5+ 1− 1.5 1+⑴ 星期三收盘时，每股是多少元？（2分）⑵ 本周内最高股价是每股多少元？最低价是每股多少元？（2分）⑶ 已知曹先生买进股票时付了0.15%的手续费，卖出时需付成交额0.15%的手续费和0.1%的交易税，如果曹先生在星期五收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？ 【答案】⑴ 34.5；⑵ 最高37、最低33；⑶ 盈利5861元176. 【易】某个家庭为了估计自己家6月份的用电量，对6月份的一周每天电表的读数进行记载，上周日的电表的读数是115度．以后每日的读数如下表：星期 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 电表的 读数（度）118122127133136140143估计6月份约用度电．分析：通过对一周电度表的读数的记载可以算出这一周各天的用电量，从而算出这一周的平均每天用电量，用这周的平均每天用电量乘以30，就可以估计出6月份大约用多少度电． 【答案】解法一：()()()()()()()118115122118127122133127136133140136143140−+−+−+−+−+−+− 730÷× ()115143730=−+÷× 120=（度）解法二：()143115730120−÷×=177. 【易】（2011武汉市武珞路中学数学七年级（上）期中）已知蜗牛从A 点出发，在一条数轴上来回爬行，规定：向正半轴运动记作“+”，向负半轴运动记作“−”，从开始到结束爬行的各段路程（单位：cm ）依次为：7+，5−，10−，8−，9+，6−，12+，4+⑴ 若A 点在数轴上表示的数为3−，则蜗牛停在数轴上何处，请通过计算加以说明。
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第二讲有趣的图形计数
一、知识点概述
本讲中重点学习复杂图形的计数问题，包括数方块，简单的染色问题等。
二、知识点总结
1、规则图形
①打枪法
②公式法
2、不规则图形
分类、按顺序
3、立体图形
①计数（对齐+多出来的）
②填充 A、直接分层数
B、补成实心再减去
③染色
注：染色时1、底面一定会染色；2、一个重叠面对应两个面没有染色
三、例题讲解
例题1你能根据这个侧面图算算砌好这面墙一共需要多少块砖吗？
解析：方法一：从上往下：
1+3+5+7+9+11×10=135（块）
方法二：从左往右：
10+11+12+13+14+15+14+13+12+11+10
=15×15-90
=225-90
=135(块)
例题2 下面这堆木方块共有多少块？（中间画阴影的部分从上到下是空心）
解析：方法：分层
方法一：一共是4层，由于每一层中间是空心的，所以每一层都有8块。
所以一共有：8×4=32(块)
方法二：补齐再减。
补齐了一共有9×4=36(块)，补了4块，
所以一共有：36-4=32（块）
想想做做1下面的图形被云彩遮住了，你能数出有多少个方块吗？（中间阴影部分是空心的）
解析：方法：分层
方法一：一共是3层，由于每一层中间是空心的，所以每一层都有8块。
所以一共有：8×3=24(块)
方法二：补齐再减。
补齐了一共有9×3=27(块)，补了3块，
所以一共有：27-3=24（块）
例题3 下图中至少添加多少个小正方体可以组成一个较大的正方体？
(1)
解析：先观察发现这幅图有3层，那么要想拼出一个大正方体，那么每层应该有3行3列，所以拼成的大正方体至少得3×3×3=27块。
现在有3+6+9=18块，
所以至少得补27-18=9（块）
(2)
解析：先观察发现这幅图有3层，那么要想拼出一个大正方体，那么每层应该有3行3列，所以拼成的大正方体至少得3×3×3=27块。
现在有4+6+9=19块，
所以至少得补27-19=8（块）
例题4 下面是用小正方体堆成的图形，现在把这个图形的表面涂上黄色，想一想有多少个小正方形没有被涂色？
注：没被染色的面即为粘在一起的面（重合面），粘一处少两个面，（两个方块各少一个面）
解析：一共有3处重合面，那么一共有3×2=6（个）面没有被涂成黄色。
例题5 把一个正方体木块表面涂上绿色，然后再把它切成8个小正方体，想一想每个小正方体有几个面没有颜色？
解析：正方体有6个面，题中把正方体切成了8个小正方形，每个小正方形都有露出来的3
个面被染色了。
还有6-3=3（个）没有露出来的面没有被染色。
所以每个小正方形有3个面没有颜色。
想想做做2 下图是一个正方体木块，在它的表面涂上蓝色，然后沿正方体上面直线垂直切开，切成了（）个三棱柱。
这些三棱柱一共有（）个面没有被涂色。
解析：每个三棱柱有5个面，如图中切法，可以把正方体切成8个三棱柱。
每个三棱柱露在外面的面有3个，所以有5-3=2（个）没露出来的面没有被染色。
所以一共有2×8=16（个）面没有被涂上颜色。
例题6 用10个小长方体摆成一个“工”字形（如下图），然后又将表面涂成黄色（下面也被涂色），最后又把小正方体分开，数一数：
(1)3面涂成黄色的小长方体有（）个。
（2）4面涂成黄色的小长方体有（）个。
（3）5面涂成黄色的小长方体有（）个。
解析：露出来的面肯定会被染色，没露出来的才不会被染色。
通过观察发现，10个小长方体染色面数量如下：
所以，3面涂成黄色的小长方体有2个，4面涂成黄色的小长方体有4个，5面涂成黄色的小长方体有4个。
四、习题拓展
1、数一数下图有多少块立方体？
2、至少添加多少个小正方体可以组成一个较大的正方体？
3、下面是用小正方体堆成的图形，现在把这个图形的表面涂上红色，数一数有多少个小正
方形没有被涂色？
答案：1、1+3+6+10=20（块）
2、64-19=54（块）
3、8×2=16（个）。