面与面垂直判定

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面面垂直的判定定理课件

Part
04
面面垂直的判定定理在几何中的应用
应用场景一：多面体
在多面体中，如果一个平面与多面体的一个面相交，并且交线与多面体的一个顶点垂直，则该平面与多面体的所有面都垂直。这个判定定理在证明多面体的性质和解决相关问题时非常有用。
例如，利用面面垂直的判定定理可以证明正方体的六个面都是正方形，也可以证明长方体的相对两面平行。
复杂几何问题的思考
问题1
在长方体中，如果一个顶点上的三条棱分别与另一个顶点上的三条棱垂直，那么这两个顶点是否
在同一平面上？
问题2
在四面体中，如果一个顶点上的三条棱分别与另一个顶点上的三条棱垂直，那么这两个顶点是否在同一平面上？
问题3
在球体中，是否存在两个点，使得从一个点出发的三条射线分别与从另一个点出发的三条射线垂直？
符号表示
设平面α内有两条相交直线$a$和$b$，平面β内有一直线$c$，若$a ⊥ c$，$b ⊥ c$，则平面α与平面β互相垂直，记作α⊥β。
定理证明
• 证明过程：首先，由于直线$a$和$b$在平面α内相交，且都与直线$c$垂直，根据空间几何的性质，我们知道两条相交的直线确定一个平面。因此，我们可以确定直线$a$和$b$确定的平面记作γ。接下来，由于直线$c$与平面γ内的两条相交直线$a$和$b$都垂直，根据面面垂直的判定定理，我们可以得出结论：平面α与平面γ互相垂直。
相关定理与公式的关联性探讨
定理1
如果一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面垂直，那么这两个平面垂直。
定理2
如果一个平面内的任意一条直线都与另一个平面垂直，那么这两个平面垂直。
公式1
在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。

线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定和性质

空间中的垂直关系1.线面垂直直线与平面垂直的判定定理:如果 ,那么这条直线垂直于这个平面。

推理模式:直线与平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线。

2.面面垂直两个平面垂直的定义:相交成的两个平面叫做互相垂直的平面。

两平面垂直的判定定理:(线面垂直⇒面面垂直)如果 ,那么这两个平面互相垂直。

推理模式:两平面垂直的性质定理:(面面垂直⇒线面垂直)若两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的的直线垂直于另一个平面。

一般来说,线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决,其关系为:线线垂直−−−→←−−−判定性质线面垂直−−−→←−−−判定性质面面垂直.这三者之间的关系非常密切,可以互相转化,从前面推出后面就是判定定理,而从后面推出前面就是性质定理.同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题.在空间图形中,高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系,下面举例说明.例题:1.如图,AB 就是圆O 的直径,C 就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC.(1)求证:平面PAC ⊥平面PBC;(2)若D 也就是圆周上一点,且与C 分居直径AB 的两侧,试写出图中所有互相垂直的各对平面.2、如图,棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 就是菱形,11B C A B ⊥证明:平面1AB C ⊥平面11A BC3、如图所示,在长方体1111ABCD A B C D -中,AB=AD=1,AA 1=2,M 就是棱CC 1的中点 (Ⅰ)求异面直线A 1M 与C 1D 1所成的角的正切值;(Ⅱ)证明:平面ABM ⊥平面A 1B 1M 14、如图,AB 就是圆Ｏ的直径,Ｃ就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC .若AE ⊥PC ,Ｅ为垂足,Ｆ就是PB 上任意一点,求证:平面AEF ⊥平面PBC .5、如图,直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中,AC ＝BC ＝1,∠ACB ＝90°,AA 1 ＝2,D 就是A 1B 1 中点.(1)求证C 1D ⊥平面A 1B ;(2)当点F 在BB 1 上什么位置时,会使得AB 1 ⊥平面C 1DF ？并证明您的结论6、S 就是△ABC 所在平面外一点,SA ⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求证AB ⊥BC 、7、在四棱锥中,底面ABCD 就是正方形,侧面VAD 就是正三角形,平面VAD ⊥底面ABCD证明:AB ⊥平面VAD8、如图,平行四边形ABCD 中,60DAB ︒∠=,2,4AB AD ==,将CBD ∆沿BD 折起到EBD ∆的位置,使平面EDB ⊥平面ABD 、求证:AB DE ⊥VDC B A SAB9、如图,在四棱锥ABCD P -中,平面PAD ⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E 、F 分别就是AP 、AD 的中点求证:(1)直线EF ‖平面PCD;(2)平面BEF ⊥平面PAD10、如图,在三棱锥ABC S -中,平面⊥SAB 平面SBC ,AB AS BC AB =⊥,、过A 作SB AF ⊥,垂足为F ,点G E ,分别就是棱SC SA ,的中点。

线面垂直、面面垂直的性质与判定定理

a
l
a
a l
作用：面面垂直线面垂直
垂直体系
判定
判定
线线垂
线面垂直面面垂直
直
定义
性质
问题2 , a , a ,判断a与位置关系
α
a
a //
l
问题3： β
思考：已知平面，，直线a,且 , AB,
a //, a AB,试判断直线a与平面的位置关系。
α
Aa
β
a⊥β
符号语言：
ab
a ,b a / /b
α
线面垂垂直的性质
温故知新
面面垂直的判定方法： 1、定义法：
找二面角的平面角
说明该平面角是直角。
2、判定定理：
要证两平面垂直，只要在其中一个平面内找到另一个平面的一条垂线。
（线面垂直面面垂直）
知识探究：
思考1:如果平面α与平面β互相垂直，
S
平面SAB∩平面SBC=SB，
∴AD⊥平面SBC
∵BC 平面SBC
A
C
∴AD⊥BC
∵SA⊥平面ABC，BC 平面ABC
B
∴SA⊥BC
“从已知想性质，从求证
∵SA∩AD=A，
想判定”这是证明几何问
∴BC⊥平面SAB
题的基本思维方法．
∵AB 平面ABC ∴AB⊥BC
课堂小结
1、证题原则：注从已意知想辅性助质，线从求的证作想判用定
B
例3 , a , a ,判断a与位置关系
证明：设 l
α a //
在α内作直线b⊥l
b
a
l
β
b
bl
l
b 又a
线面垂直
a // b 性质

线面垂直面面垂直的判定定理和性质定理

线面垂直面面垂直的判定定理和性质定理
线面垂直面面垂直的判定定理是指两个射线有一定的关系即垂直面是垂直的，其中一个起点在另一个终点上。

简单来说就是两线垂直于一个面，则这两条线的垂直的面也是垂直的。

由线面垂直面面垂直的判定定理可以得出线面垂直面面垂直的性质定理，这是建立在线面垂直面面的判断定理的基础之上的定理。

线面垂直面面垂直的性质定理：若两个射线分别与两个平面成垂直，则它们两个平面所成的平面也是垂直的。

该定理也可以用图形来表示，如下图所示：
从图中可以看出，射线AB和CD都是垂直于两个平面m、n，其中AB与m，CD与n成垂直。

而平面m和n又组成一个新平面mn，根据线面垂直面面垂直的性质定理可以知道AB与mn也是垂直的，同样CD也与mn是垂直的。

线面垂直面面垂直的定理主要应用在几何中，它可以用来证明两个平面的面积计算方法是正确的，也可以用来证明两个球面的夹角是垂直的。

同时，它同样可以应用在工程技术中，例如对于地面上的建筑物，我们可以用它来判断其是否与地面垂直。

由此可以看出，线面垂直面面垂直的判定定理和性质定理对于各类几何计算和工程技术应用具有十分重要的意义。

它能有效地帮助人们判断两面之间是否是垂直的关系，从而实现各种几何计算和工程技术应用。

面面垂直的判定与性质课件

详细描述
如果两个平面都与同一直线垂直，那么这两个平面之间的夹角为90度，即这两个平面互相垂直。
性质3：垂直于同一平面的两条直线互相平行
总结词
如果两条直线都垂直于同一个平面，则这两条直线互相平行。
详细描述
如果两条直线都与同一个平面垂直，那么这两条直线之间的夹角为0度，即这两条直线互相平行。
应用场景1：建筑学中的面面垂直
逆定理的表述
• 逆定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面垂直，则这两个平面互相垂直。
逆定理的证明
• 证明：设两条相交直线为$a$和$b$，它们与平面$\alpha$垂直。根据直线与平面垂直的性质，有$a \perp \alpha$和$b \perp \alpha$。由于$a$和$b$相交，根据平面的性质，过$a$和$b$的平面$\beta$与平面$\alpha$垂直。因此，逆定理得证。
推论
总结词
如果两个平面都垂直于同一个平面，则这两个平面之间的距离相等。
详细描述
根据面面垂直的性质，如果两个平面都与第三个平面垂直，那么这两个平面之间的距离是相等的。这是因为它们都与第三个平面形成相同的角度，所以它们之间的距离也是相
等的。
推论
总结词
如果两个平面都垂直于同一条直线，则这两个平面之间的距离相等。
电子设备设计中，面面垂直的应用有助于提高设备的性能和稳定性。
详细描述
在电子工程中，电路板和电子元件的布局都需要遵循面面垂直的判定与性质。例如，在制造手机的过程中，利用面面垂直的判定方法可以确保屏幕与机壳之间的垂直度，从而提高手机的显示效果和使用寿命。此外，在制造高精度传感器的过程中，也需要利用面面垂直的判定方法来确保传感器的精确度和稳定性。

两平面垂直的判定与性质

05
两平面垂直的实例分析
实例一：简单的几何图形
总结词
通过观察几何图形，可以直观地判断两平面是否垂直。
详细描述
在平面几何中，常见的图形如矩形、正方形和正六面体等，它们的相对面都是垂直的。通过观察这些图形的角和边，可以直观地判断两平面是否垂直。
பைடு நூலகம்
实例二：建筑模型的分析
总结词
建筑模型中的墙面和地面通常都是垂直的。
判定定理的应用
应用场景
判定两平面是否垂直，特别是在几何、工程和物理学等领域中，两平面垂直的判定定理具有广泛的应用价值。
实际应用
在建筑学中，为了确保结构的稳定性和安全性，需要判定各个平面是否垂直；在机械工程中，判定两平面是否垂直对于零件的设计和制造至关重要；在物理学中，两平面垂直的判定定理可用于研究物体的运动轨迹和力的分布。
判定定理的证明
• 证明过程：设两平面分别为α和β，且α内的两条相交直线a和b 分别与β垂直。在直线a上任取一点A，由于a与β垂直，作直线c 平行于a且在β内，使得A落在c上。同理，在直线b上任取一点B，作直线d平行于b且在β内，使得B落在d上。由于a和b相交，所以点A和B确定了一个平面γ。由于c和d都在β内，且c与d相交，所以β包含在γ内。又因为α与γ内的两条相交直线a和b都垂直，所以α与γ垂直。由此可知，α与β垂直。
详细描述
在建筑领域，墙面和地面通常都是垂直的。这是因为垂直的平面能够提供更好的支撑和稳定性。通过观察建筑物的结构和设计，可以分析出两平面是否垂直。
实例三：物理实验的现象分析
总结词
物理实验中经常涉及到两平面垂直的情况，如重力的方向与地面垂直。
VS
详细描述
在物理实验中，很多现象都涉及到两平面垂直的情况。例如，在研究重力时，重力的方向总是垂直于地面向下。通过分析这些实验的现象和结果，可以深入理解两平面垂直的性质和应用。

线面垂直、面面垂直的性质与判定定理

垂直体系
判定
判定
线线垂
线面垂直面面垂直
直
定义
性质
问题2 ,a ,a ,判断 a 与位置关系
α
a
a //
l
问题3： β
思考：已，知，平直 a,且面线 ,A,B
a//,aA,B 试判断 a与直平线的面位置关
α
Aa
β
a⊥β
B
例3 ,a ,a ,判断 a 与位置关系
∵BC 平面SBC
A
C
∴AD⊥BC
∵SA⊥平面ABC，BC 平面ABC
B
∴SA⊥BC
“从已知想性质，从求证
∵SA∩AD=A，
想判定”这是证明几何问
∴BC⊥平面SAB
题的基本思维方法．
∵AB 平面ABC ∴AB⊥BC
课堂小结
1、证题原则注从已意知想辅性助质，线从求的证作想判用定
： 2、会利用“转化思想”解决垂直问题
A
DE ⊥AB
则 CD 是 E二面 -A B 角的平面
由 ⊥β 得CD ⊥ DE
又CD ⊥ AB, 且DE ∩ AB =D
所以直线CD⊥平面β
平面与平面垂直的性质定理：
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
符号语言：
β
a
l
A α
a
l
a
a l
作用：面面垂直线面垂直
的位置关系有哪几种可能？
α l
β
平行
α
l
β
相交
α
l β
线在面内
知识探究：
思考2:黑板所在平面与地面所在平面垂直，在黑板上是否存在直线与地面垂直？若存在，怎样画线？

面面垂直的判定公开

在建筑、工程等领域中，面面垂直的判定也有广泛应用，如确定建筑物的垂直度、机械零件的加工等。
几何问题解决的实例解析
例1
一个正方形ABCD中，E为CD的中点，F为AD的中点，求证：平面ABE垂直于平面BCF。
例2
一个圆柱体中，底面半径为r，高为h，求证：底面与顶面垂直。
分析
要证明两个平面垂直，我们需要证明一个平面内的一条直线与另一个平面垂直。在这个例子中，我们可以选择AB作为平面ABE内的直线，然后证明它与平面BCF垂直。
判定定理
如果两个平面内分别有一条直线相互垂直，那么这两个平面相互垂直。
符号表示
如果直线a在平面α内，直线b在平面β内，且a⊥b，则α⊥β。
判定定理的证明
• 证明：假设两个平面α和β相交，且在α内有直线a与β相交于点 A，在β内有直线b与α相交于点B。如果a⊥b，那么线段AB是两个平面的交线。由于a⊥b，所以a与b的夹角为90°。因此，平面α与平面β的夹角也为90°，即α⊥β。
03 面面垂直的判定方法
判定方法的分类
定义法
根据面面垂直的定义，如果两个平面内各有一条直线互相垂直，
则这两个平面垂直。
判定定理法
利用面面垂直的判定定理，如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面垂直，则这两个平面垂直。
三垂线定理法
三垂线定理指出，如果一个平面内的一条直线与另一个平面的一条斜线在平面内射影垂直，则这两个平面垂直。
判定方法的步骤
第一步，在其中一个平面内取一条直线。
第三步，根据三垂线定理得出结论。
第二步，判断这条直线是否与另一个平面的斜线在平面内射影垂直。
判定方法的实例解析
定义法实例
三垂线定理法实例

平面与平面垂直的判定

平面与平面垂直的判定
先证线面垂直，如果一直线和平面内两相交直线垂直，那么直线垂直于这个平面；再
证面面垂直，如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直。

判定方法
1.定义法：如果两个平面所成的二面角为90°，那么这两个平面垂。

2.判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

3.如果一个平面内任意点在另外一个平面的射影均在这两个平面的交线上，那么垂直。

4.如果N个互相平行的平面有一个垂直于一个平面那么其余平面均垂直这个平面。

5.设两平面的方程分别为A1x+B1y+C1z+D1=0，A2x+B2y+C2z+D2=0，则
A1A2+B1B2+C1C2=0为两平面垂直的充要条件。

两平面垂直
两平面垂直，两平面间的一种位置关系。

两个平面相交，若所成的二面角是直二面角，则称这两个平面互相垂直。

两个平面相交，若所成的二面角是直二面角，则称这两个平面互相垂直.其中任一个
平面称为另一个平面的垂直平面。

感谢您的阅读，祝您生活愉快。

平面与平面垂直的判定与性质

已知面面垂直时一般用性质定理在一个平面内作出交线的垂线使之转化为线面垂直然后转化为线线垂直故要熟练掌握三者之间的转化条如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。如图，
面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。（线面垂直面面垂直）面面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。（面面垂直线面垂直）性质定理符号表示：
线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化关系：
证明面面垂直的方法：证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直、线面垂直来实现的，在关于垂直问题的论证中要注意三者之间的相互转化，必要时可添加辅助线，如：已知面面垂直时，一般用性质定理，在一个平面内作出交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后转化为线线垂直，故要熟练掌握三者之间的转化条件及常用方法．线面垂直与面面垂直最终归纳为线线垂直，证共面的两直线垂直常用勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质；证不共面的两直线垂直通常利用线面垂直或利用空间向量．
常用结论：（1）如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，此结论可以作为性质定理用，（2）从该性质定理的条件看出：只要在其中一个平面内通过一点作另一个平面的垂线，那么这条垂线必在这个平面内，点的位置既可以在交线上，也可以不在交线上，如图．

面面垂直的判定与性质

平面与平面垂直的判定定理和性质定理
A

B
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱。这两个半平面叫做二面角的面。
3
二面角: 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
面
面
这两个半平面叫做二面角的面。
l
这条直线叫做二面角的棱。
二面角的记法: 二面角－AB－
A
二面角C－AB－ D
C B D

B

A

l
二面角－ l－

l
二面角的平面角过二面角棱上任一点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
B
l
O A

二面角的平面角
二面角的平面角应注意什么？
注意：二面角的平面角必须满足：（1）、角的顶点在棱上。（2）、角的两边分别在两个面内。（3）、角的两边都要垂直于二面角的棱。
例3、如图，AB是 ⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.
证明: 设已知⊙O平面为α PA 面 , BC 面
PA BC 又 AB为圆的直径 AC BC PA AC A PA 面PAC, AC 面PAC BC 面PAC BC 面PBC 面PAC 面PBC

B
l
O
A
平面角是直角的二面角叫做直二面角
当两个半平面重合时,平面角为0 °, 当两个半平面合成一个平面时,平面角为180 °
平面角的范围是[0 °, 180 °]
面面垂直的定义：一般地，两个平面相交，

面面垂直的判定和性质定理

面面垂直的判定和性质定理
面面垂直的判定和性质定理是解决几何问题中常用的数学原理之一。

在平面几何中，垂直是一个十分常见且重要的概念。

只有两条线段、
两条直线或者一条线段和一条直线互相垂直，才能称为“垂直”。

垂直的判定方法有很多种，其中比较常见的一个方法是通过面面垂
直的性质定理来判定。

根据该定理，如果两条直线相交，且其中一对
相邻的内角为直角，则这两条直线是垂直的。

这就是说，当两条直线
形成直角时，这两条直线就是垂直的。

除了直角之外，还有其他情况下可以判定两条直线是否垂直。

例如，如果两条直线的斜率的乘积为-1，则这两条直线是互相垂直的。

这是垂直性质的一个重要推论，也是判定两条直线是否垂直的有效方法之一。

在解决几何问题时，我们经常需要判断两条直线或者线段是否垂直。

因此，掌握面面垂直的判定和性质定理是非常重要的。

通过熟练掌握
和应用这一原理，我们可以更加准确地解决几何问题，提高解题效率。

总之，面面垂直的判定和性质定理是解决几何问题中必不可少的数
学原理之一。

掌握这一原理，可以帮助我们更好地理解和解决与垂直
相关的几何问题，提高数学学习的效率和水平。

希望同学们在学习中
认真掌握这一原理，更加深入地理解几何学的知识，为提高数学成绩
打下坚实的基础。

线线垂直线面垂直面面垂直的判定与性质

空间中的垂直关系1线面垂直直线与平面垂直的判定定理：如果 ___________________________ ，那么这条直线垂直于这个平面。

推理模式： _______________________直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线 ________ 。

2. 面面垂直两个平面垂直的定义：相交成 ______________ 的两个平面叫做互相垂直的平面。

两平面垂直的判定定理：(线面垂直面面垂直)如果 ____________________________________________ ,那么这两个平面互相垂直。

推理模式： _______________________两平面垂直的性质定理：(面面垂直线面垂直)若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的 ___________ 的直线垂直于另一个平面。

一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理.同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题.在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，下面举例说明.例题：1.如图，AB 是圆0的直径，C 是圆周上一点，P 从平面ABC(1) 求证：平面 PACL 平面PBC(2) 若D 也是圆周上一点，且与 C 分居直径AB 的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面.2、如图，棱柱ABC A1BC 1的侧面BCC i B i 是菱形，BC AB证明：平面AB i C 平面ABC i3、如图所示，在长方体 ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB=AD=1 AA=2, M 是棱CC 的中点 (I)求异面直线AM 和GD 所成的角的正切值；(U)证明：平面ABML 平面A 1B 1M4、如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点，PA 平面ABC 若AE L PC ，E 为垂足，F 是PB 上任意一点，求证：平面 AEF L 平面PBC5、如图，直三棱柱 ABC — A B1C 1 中，AC = BC = 1，/ ACB = 90°，AA = •- 2 ， D是A 1B 1中点.(1)求证GD 丄平面A 1B ； (2)当点F 在BB 上什么位置时，会使为：线线垂直判定性质线面垂直判定性质面面垂直.这三者之间的关系非常密切,得AB丄平面CDF并证明你的结论6、S 是厶ABC 所在平面外一点，SA 丄平面ABC,平面SABL 平面SBC 求证AB 丄BC.7、在四棱锥中B 底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VADL 底面ABCD 证明:AB 丄平面VAD求证：(1)直线EFII 平面PCD (2)平面BEF 丄平面PAD10、如图，，在三棱锥 S ABC 中，平面SAB 平面SBC , AB BC,AS AB .过求证：(1)平面EFG //平面ABC …十十产弋…护(2) BC SA \/11、如图，在三■棱锥"P ABC 中, PA AC, PA 6,BC 8, DF 5.求证：(1)直线PA//平面DEF ;(2)平面BDE 平面ABC12、如图，在正方形 ABCD 中，AB 2, BC 1, E 是CD 的中点，F 是AE 的中点。

面面垂直的判定及性质

ED C BA PABCDABC DE F 线面垂直、线面夹角垂直关系的判定和性质定理 ①线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。

性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

②面面垂直的判定定理和性质定理判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。

线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直例1. 如图：已知四棱锥P ABCD -中，,PD ABCD ABCD ⊥平面是正方形，E 是PA 的中点. 求证：(1)//PC 平面EBD (2)平面PBC ⊥平面PCD例2．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 为棱AD 、AB 的中点．求证：（1）EF ∥平面CB 1D 1；（2）平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1．例3. 如图，⊥PA 平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，PA AD =，,M N 分别是PC AB , 的中点. 求证：（1）//MN 平面PAD .（2）求证：平面⊥MND 平面PCD . 二面角例4. 在正方体1111ABCD A B C D -中，找出下列二面角的平面角并计算大小：（1）二面角1D AB D --和1A AB D --；（2）二面角1C BD C --和1C BD A --.例5. 如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC=60°，PA=AB=BC ，E 是PC 的中点，（1）证明CD ⊥AE ；（2）证明AE ⊥平面PDC ；（3）求二面角A-PD-C 的正弦值 DNCBMAP新课标高考真题例6. （2011.18．）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=︒，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD ．（I ）证明：PA BD ⊥；（II ）设PD=AD=1，求棱锥D-PBC 的高．例7. （2012全国）如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=12AA 1，D 是棱AA 1的中点（1）证明：平面BDC 1⊥平面BDC ；（2）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比。