任意奇数阶幻方的罗伯移步法
幻方罗伯法原理
幻方罗伯法原理
幻方是一种数学游戏，它由数字组成的正方形矩阵，在每一行、每一列以及对角线上的数字之和都相等。而幻方罗伯法是一种构造幻方的方法，它由法国数学家罗伯于1901年提出。在幻方罗伯法中，通过一定的规则和技巧，可以构造出各种不同阶数的幻方。下面我们就来详细介绍一下幻方罗伯法的原理。
首先，我们需要了解幻方的基本规则。一个n阶幻方是由1到n^2的连续自然数排列在n×n的方阵中，使得每一行、每一列以及对角线上的数字之和都相等。在构造幻方时，我们需要确定一个基准点，然后按照一定的规则填充其他数字，最终形成一个满足幻方规则的矩阵。
接下来，我们来介绍幻方罗伯法的具体原理。在幻方罗伯法中，首先确定一个基准点，通常选择在幻方的中间行的最后一列。然后按照以下规则进行填数：
1. 从基准点开始，将数字1填入基准点所在的位置。
2. 向右上方移动一格，填入下一个数字。
3. 如果移动到了边界，则按照如下规则进行处理：
如果移动到了右上角，则将下一个数字填入当前位置的下方。
如果移动到了最上方，则将下一个数字填入当前位置的右边。
如果移动到了最右方，则将下一个数字填入当前位置的下方。
如果移动到了空白格，则直接填入下一个数字。
4. 重复步骤2和步骤3，直到填满整个幻方。
通过这种方法，我们可以构造出各种不同阶数的幻方。同时，幻方罗伯法还具有一定的对称性，可以通过一定的变换得到其他形式的幻方。这种方法的优点在于简单易行，适用于各种不同阶数的幻方构造。
在实际应用中，幻方罗伯法不仅可以用于数学游戏和娱乐，还可以应用于密码学和信息安全领域。幻方具有一定的加密解密功能，通过幻方罗伯法构造的幻方可以用于信息的加密和解密，增强信息的安全性。
构造幻方
构造幻方
所谓幻方，也教纵横图，就是在n×n的方阵中放入1到n2个自然数：在一定的布局下，其各行、各列和两条对角线上的数字之和正好都相等。这个和数就叫做“幻方常数”或幻和。
幻方分为奇数阶幻方、偶数阶幻方（单偶阶幻方、双偶阶幻方），下面就这三类幻方的构造分别示范。
奇数阶幻方的经典方法－罗伯
奇数阶幻方，也就是3阶、5阶、7阶……幻方，那么如何构造这样的幻方呢？
我们可以采取罗伯法（也叫连续摆数法），其法则如下：
把“1”放在中间一列最上边的方格中，从它开始，按对角线方向（比如说按从左下到右上的方向）顺次把由小到大的各数放入各方格中，如果碰到顶，则折向底，如果到达右侧，则转向左侧，如果进行中轮到的方格中已有数或到达右上角，则退至前一格的下方。
按照这一法则建立5阶幻方的示例如下图：
罗伯法（连续摆数法）的助记口诀：
1居上行正中央，依次斜填切莫忘。
上出框界往下写，右出框时左边放。
重复便在下格填，角上出格一个样。
1居上行正中央——数字1放在首行最中间的格子中
依次斜填切莫忘——向右上角斜行，依次填入数字
上出框界往下写——如果右上方向出了上边界，就以出框后的虚拟方格位置为基准，将数字竖直降落至底行对应的格子中
右出框时左边放——同上，向右出了边界，就以出框后的虚拟方格位置为基准，将数字平移至最左列对应的格子中
重复便在下格填——如果数字｛N｝右上的格子已被其它数字占领，就将｛N ＋1｝填写在｛N｝下面的格子中
角上出格一个样——如果朝右上角出界，和“重复”的情况做同样处理。
偶数阶幻方的一种制作方法——双偶阶、单偶阶幻方
幻方
•
• • • •
幻方概念
• 一个幻方行、列、对
角线各数之和均相等。 4 3 8
9
5 1
2
7 6
历史
• 在一个由若干个排列整齐的数组
成的正方形中，图中任意一横行、 一纵行及对角线的几个数之和都 相等，具有这种性质的图表，称 为“为“幻 方”。中国古代称为 “河图”、“洛书”，又叫“纵 横图”。 • 幻方也称纵横图、魔方、魔阵， 它是科学的结晶与吉祥的象征， 发源于中国古代的洛书——九宫 图。公元前一世纪，西汉宣帝时 的博士戴德在他的政治礼仪著作 《大戴礼· 明堂篇》中就有“二、 九、四、七、五、三、六、一、 八”的洛书九宫数记载。洛书被 世界公认为组合数学的鼻祖，它 是中华民族对人类的伟大贡献之 一。
初一（4）班 郭昌浩
奇数阶幻方填写方法——罗伯法
• 罗伯法（连续摆数法）的助记口诀：
•
居上行正中央，依次斜填切莫忘。 上出框界往下写，右出框时左边放。 重复便在下格填，角上出格一个样。 首居上行正中央——数字 1 放在首行 最中间的格子中； 依次斜填切莫忘——向右上角斜行， 依次填入数字； 上出框界往下写——如果右上方向出 了上边界，就以出框后的虚拟方格位置 为基准，将数字竖直降落至底行对应的 格子中； 右出框时左边放——同上，向右出了 边界，就以出框后的虚拟方格位置为基 准，将数字平移至最左列对应的格子中； 重复便在下格填——如果数字｛N｝ 右上的格子已被其它数字占领，就将 ｛N＋1｝ 填写在｛N｝下面的格子中 角上出格一个样——如果朝右上角出 界，和“重复”的情况做同样处理。
奇数阶幻方的经典方法－罗伯法
奇数阶幻⽅的经典⽅法－罗伯法
所谓幻⽅，也教纵横图，就是在n×n的⽅阵中放⼊1到n2个⾃然数：在⼀定的布局下，其各⾏、各列和两条对⾓线上的数字之和正好都相等。这个和数就叫做“幻⽅常数”或幻和。
构造幻⽅的⽅法：
奇数阶幻⽅，也就是3阶、5阶、7阶……幻⽅，那么如何构造这样的幻⽅呢？
我们可以采取罗伯法（也叫连续摆数法），其法则如下：
把“1”放在中间⼀列最上边的⽅格中，从它开始，按对⾓线⽅向（⽐如说按从左下到右上的⽅向）顺次把由⼩到⼤的各数放⼊各⽅格中，如果碰到顶，则折向底，如果到达右侧，则转向左侧，如果进⾏中轮到的⽅格中已有数或到达右上⾓，则退⾄前⼀格的下⽅。
按照这⼀法则建⽴5阶幻⽅的⽰例如下图：
罗伯法（连续摆数法）的助记⼝诀：
1 居上⾏正中央，依次斜填切莫忘。
上出框界往下写，右出框时左边放。
重复便在下格填，⾓上出格⼀个样。
1 居上⾏正中央——数字 1 放在⾸⾏最中间的格⼦中
依次斜填切莫忘——向右上⾓斜⾏，依次填⼊数字
上出框界往下写——如果右上⽅向出了上边界，就以出框后的虚拟⽅格位置为基准，将数字竖直降落⾄底⾏对应的格⼦中
右出框时左边放——同上，向右出了边界，就以出框后的虚拟⽅格位置为基准，将数字平移⾄最左列对应的格⼦中
重复便在下格填——如果数字｛N｝右上的格⼦已被其它数字占领，就将｛N＋1｝填写在｛N｝下⾯的格⼦中
⾓上出格⼀个样——如果朝右上⾓出界，和“重复”的情况做同样处理。
任意奇数阶幻方的罗伯移步法
任意奇数阶幻方的罗伯移步法
学习心得
范贤荣2016.2.25
在学习幻方构成时，在网上看到了大多数幻友介绍的罗伯（loubere）法。读后，我有心得如下：
1、罗伯（loubere）法的确是最简单的任意奇数阶幻方的构成法。它只要一步一步地填写就可以了。
2、有人称之为楼梯法。这也非常形象，体现了一步一步斜着向上的填写规律。因此，我觉得以罗伯楼梯法谓之，倒是一个好办法，既尊敬了罗伯的创造，又形象地体现了填写规律。但是，楼梯太实用了，就采用了浪漫点的移步二字，编写了本文的题目。
3、罗伯法的填写步骤，非常经典。关于“出格/出框”、“重复/遇阻”的规定，也往往还被其他方法所引用。
4、罗伯法的口诀，对“1居上行正中央”的这种幻方，是很正确且准确的。但是，不知道这是不是罗伯老师的原话。我现在看到的都是幻友们的介绍。因此，就与幻友们讨论一下：
这个口诀，只适用于“1居上行正中央”的这种幻方。或者说“1居上行正中央”的这种幻方，只是罗伯幻方的一种。
罗伯幻方每一阶都有多种。幻方数与阶数相同。
因此，我建议在这口诀下面加一个注：“1居上行正中央”只是罗伯幻方有代表性的一种。1还可以在其他点格上。
5、1还可以在那些点格上呢？
我们把方阵空格用（X，Y）即（行，列）表示。第一行，第三列表示为（1，3）那么，各阶数方阵有几个幻方，1点在何处，可见下表：
我们还可以形象地用方阵的方式，直观地看到1的位置。
5阶幻方的1点在幻和为65的格子内。
方法是：
1）与阶数一样，画出阶数方阵。例如，5阶
2）将该阶幻方的幻和填在方阵的“上行正中央”。例如5阶幻和65。
罗伯法
罗伯法5阶幻方
用罗伯法构造幻方：
幻方是一种广为流传的数学游戏，据说早在大禹治水时就发现过。幻方的特点是：由自然数构成n×n正方形阵列，称为n阶幻方，每一行、每一列、两对角线上的数之和相等。当n为奇数时，我们称幻方为奇阶幻方。法国人罗伯总结出了构造奇数阶连续自然数幻方的简单易行的方法“罗伯法”。下图就是一个用罗伯法排好的5阶幻方。
罗伯法的助记口诀：
（初学者可先画出一个N×N的方格阵）
1 居上行正中央——数字 1 放在首行最中间的格子中
依次斜填切莫忘——向右上角斜行，依次填入数字
上出框界往下写——如果右上方向出了上边界，就以出框后的虚拟方格位置为基准，将数字竖直降落至底行对应的格子中
右出框时左边放——同上，向右出了边界，就以出框后的虚拟方格位置为基准，将数字平移至最左列对应的格子中
重复便在下格填——如果数字{N} 右上的格子已被其它数字占领，就将{N+1} 填写在{N}下面的格子中
右上重复一个样——如果朝右上角出界，和“重复”的情况做同样处理
罗伯法的具体方法如下：
把1(或最小的数)放在第一行正中；
按以下规律排列剩下的n2-1个数：
1)每一个数放在前一个数的右上一格；
2)如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；
3)如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；
4)如果这个数（例如6）所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列那么就把它放在前一个数（例如5）的下一行同一列的格内；
5)如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同4)。
奇数阶幻方
三阶幻方的解法
第一种：杨辉法：九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出。
1
2 4
3 5 7
6 8
9
2 9 4
7 5 3
6 1 8
第二种：九宫图也是幻方的别称，三阶幻方就是著名的洛书，他的排列是：：“戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，五居中央（9在上中，1在下中。7在左中，3在右中，2在左上，4在右上，6在左下，8在右下，正中央5）
第三种：罗伯法：最小的数据上行中央，依次向右上方斜填，上出框往下写，右出框往左填，排重便在下格填，右上排重一个样
8 1 6
3 5 7
4 9 2
四阶幻方的解法
1、先把这16个数字按顺序从小到到排成一个4乘4的方阵
2、内外四个角对角上互补的数相易，（方阵分为两个正方形，外大内小，然后把大正方形的四个对角上的数字对换，小正方形四个对角上的数字对换）即（1，16）（4，13）互换
（6，11）（7，10）互换
16 2 3 13
5 11 10 8
9 7 6 12
4 14 1
5 1
另：对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。写好后，按4*4把它划分成k*k个方阵。因为n是4的倍数，一定能用4*4的小方阵分割。然后把每个小方阵的对角线，象制作4阶幻方的方法一样，对角线上的数字换成互补的数字，就构成幻方。
五阶幻方的解法：罗伯法：最小的数据上行中央，依次向右上方斜填，上出框往下写，右出框往左填，排重便在下格填，右上排重一个样。
17 24 1 8 15
23 5 7 14 16
4 6 13 20 22
10 12 19 21 3
11 18 25 2 9
（在最上一行的中间填1,接着在1的右上方填2,由于1在最上一行,
幻方常规解法汇总
幻方常规解法汇总
按目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，即奇数阶幻方、双偶阶幻方、单偶阶幻方。下面按这三类幻方，列出最常用解法（考试用，不求强大，只求有效！）。
奇数阶幻方（罗伯法）
奇数阶幻方最经典的填法是罗伯法。填写的方法是：把1（或最小的数）放在第一行正中；按以下规律排列剩下的(n×n－1)个数：
1、每一个数放在前一个数的右上一格；
2、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；
3、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；
4、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；
5、如果这个数所要放的格已经有数填入，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内。
例，用该填法获得的5阶幻方：
双偶数阶幻方（对称交换法）
所谓双偶阶幻方就是当n可以被4整除时的偶阶幻方，即4K阶幻方。在说解法之前我们先说明一个“互补数”定义：就是在 n 阶幻方中，如果两个数的和等于幻方中最大的数与 1 的和（即 n×n＋1），我们称它们为一对互补数。如在三阶幻方中，每一对和为 10 的数，是一对互补数；在四阶幻方中，每一对和为 17 的数，是一对互补数。
双偶数阶幻方的对称交换解法：
先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：
内外四个角对角上互补的数相易，（方阵分为两个正方形，外大内小，然后把大正方形的四个对角上
的数字对换，小正方形四个对角上的数字对换）即（1，16）（4，13）互换（6，11）（7，10）互换即可。
幻方常规解法汇总
幻方常规解法汇总
按目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，即奇数阶幻方、双偶阶幻方、单偶阶幻方。下面按这三类幻方，列出最常用解法（考试用，不求强大，只求有效！）。
奇数阶幻方（罗伯法）
奇数阶幻方最经典的填法是罗伯法。填写的方法是：
把1（或最小的数）放在第一行正中；按以下规律排列剩下的(n×n
－1)个数：
1、每一个数放在前一个数的右上一格；
2、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，
仍然要放在右一列；
3、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左
列，仍然要放在上一行；
4、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么
就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；
5、如果这个数所要放的格已经有数填入，那么就把它放在前一个
数的下一行同一列的格内。
例，用该填法获得的5阶幻方：
17 24 1 8 15
23 5 7 14 16
4 6 13 20 22
10 12 19 21 3
11 18 25 2 9
双偶数阶幻方（对称交换法）
所谓双偶阶幻方就是当n可以被4整除时的偶阶幻方，即4K阶幻方。在说解法之前我们先说明一个“互补数”定义：就是在n阶幻方中，如果两个数的和等于幻方中最大的数与1的和（即n×n＋1），我们称它们为一对互补数。如在三阶幻方中，每一对和为10的数，是一对互补数；在四阶幻方中，每一对和为17的数，是一对互补
数。
双偶数阶幻方的对称交换解法：
先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：
1 2 3 4
5 678
9 101112
1314 15 16
内外四个角对角上互补的数相易，（方阵分为两个正方形，外大内小，然后把大正方形的四个对角上的数字对换，小正方形四个对角上的数字对换）即（1，16）（4，13）互换（6，11）（7，
幻方常规解法汇总
幻方常规解法汇总
按目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，即奇数阶幻方、双偶阶幻方、单偶阶幻方。下面按这三类幻方，列出最常用解法（考试用，不求强大，只求有效！）。
奇数阶幻方（罗伯法）
奇数阶幻方最经典的填法是罗伯法。填写的方法是：
把1（或最小的数）放在第一行正中；按以下规律排列剩下的(n×n －1)个数：
1、每一个数放在前一个数的右上一格；
2、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；
3、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；
4、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；
5、如果这个数所要放的格已经有数填入，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内。
例，用该填法获得的5阶幻方：
17 24 1 8 15
23 5 7 14 16
4 6 13 20 22
10 12 19 21 3
11 18 25 2 9
双偶数阶幻方（对称交换法）
所谓双偶阶幻方就是当n可以被4整除时的偶阶幻方，即4K阶幻方。在说解法之前我们先说明一个“互补数”定义：就是在n阶幻方中，如果两个数的和等于幻方中最大的数与1的和（即n×n＋1），我们称它们为一对互补数。如在三阶幻方中，每一对和为10的数，是一对互补数；在四阶幻方中，每一对和为17的数，是一对互补数。
双偶数阶幻方的对称交换解法：
先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：
1 2 3 4
5 678
9 101112
1314 15 16
内外四个角对角上互补的数相易，（方阵分为两个正方形，外大内小，然后把大正方形的四个对角上的数字对换，小正方形四个对角上的数字对换）即（1，16）（4，13）互换（6，11）（7，10）互换即可。
幻方常见方法汇总
幻方常规解法汇总
幻方（Magic Square）是一种将数字安排在正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等的方法。
单偶数阶幻方（象限对称交换法）
以n=10为例，10＝4×2＋2，这时k=2
（1）把方阵分为A，B，C，D四个象限，这样每一个象限肯定是奇数阶。用罗伯法，依次在A象限，D象限，B象限，C象限按奇数阶幻方的填法填数。
（2）在A象限的中间行、中间格开始，按自左向右的方向，标出k格。A象限的其它行则标出最左边的k格。将这些格，和C象限相对位置上的数，互换位置。
（3）在B象限任一行的中间格，自右向左，标出k-1列。(注：6阶幻方由于k-1=0，所以不用再作B、D象限的数据交换)，将B象限标出的这些数，和D象限相对位置上的数进行交换，就形成幻方。
下面是6阶幻方的填法：6＝4×1＋2，这时k＝1
幻方常规解法汇总
幻方常规解法汇总
按目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，即奇数阶幻方、双偶阶幻方、单偶阶幻方。下面按这三类幻方，列出最常用解法（考试用，不求强大，只求有效！）。
奇数阶幻方（罗伯法）
奇数阶幻方最经典的填法是罗伯法。填写的方法是：把1 （或最小的数）放在第一行正中；按以下规律排列剩下的（n x n—1）个数：
1、每一个数放在前一个数的右上一格；
2、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它
放在底行，仍然要放在右一列；
3、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把
它放在最左列，仍然要放在上一行；
4、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最
右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；
5、如果这个数所要放的格已经有数填入，那么就把它
放在前一个数的下一行同一列的格内。
例，用该填法获得的5阶幻方：
双偶数阶幻方（对称交换法）
所谓双偶阶幻方就是当n可以被4整除时的偶阶幻方，即4K阶幻方。在说解法之前我们先说明一个
“互补数”定义：就是在n阶幻方中，如果两个数的
和等于幻方中最大的数与1的和（即n x n+ 1）,我们称它们为一对互补数。如在三阶幻方中，每一对和为10的数，是一对互补数；在四阶幻方中，每一对和为17的数，是一对互补数。
双偶数阶幻方的对称交换解法：
先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：
内外四个角对角上互补的数相易，（方阵分为两个正方形，外大内小，然后把大正方形的四个对角上
的数字对换，小正方形四个对角上的数字对换）即（1, 16）（4, 13）互换（6, 11）（7, 10）互换即可。
任意阶幻方的填法
2、双偶阶幻方 n为偶数，且能被4整除 (n=4k，k=1，2，3， 4，5……) 可用<对称交换法>,方法很简单:
1) 把自然数依次排成方阵 2) 把幻方划成4*4的小区,每个小区划对角线, 3) 把这些对角线所划到的数,保持不动, 4) 把没划到的数,按幻方的中心,以中心对称 的方式,进行对调, 幻方完成! 例如：四阶幻方
8
1
6
35
1
6
3 4
5 9
7 2 33
34 29
3 31 8
32 9 28
7 2 33
34 29
35 28
30 32 31 36
30 5 4 36
(3) 在B象限任一行的中间格，自右向左，标出k-1列。(注：6阶幻方由于k-1=0，所以 不用再作B、D象限的数据交换)，将B象限标出的这些数，和D象限相对位置上的数进 行交换，就形成幻方。
1 + 2 + 3 + + n = (1 + n )* n / 2
2 2 2
1（2）对于一个n阶正规幻方， 我们先假设其幻方常数为X 则该幻方每一行的和都为X， 共有n行，所以，n阶幻方的和就是n*X 另一方面 n阶幻方包含了从1到的所有正整数 所以该幻方的和就应该为
小学奥数之罗伯特法填幻方(完整版)
小学奥数之罗伯特
法填幻方
1. 会用罗伯法填奇数阶幻方
2. 了解偶数阶幻方相关知识点
3. 深入学习三阶幻方
一、幻方起源
也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图：
我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们．
二、幻方定义
幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33⨯的数阵称作三阶幻方，44⨯的数阵称作四阶幻方，55⨯的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，
奇阶幻方的做法
816 357 492
我国汉朝的一本叫《数术记 遗》的书把这样的图形叫“九 宫图”，宋朝数学家杨辉把类 似“九宫图”的图形叫“纵横 图”，国外数学家把它叫做 “幻方”。
幻方有多少
3阶幻方只有1种 4阶幻方有880种
5 阶 幻 方 有 275305224 种 （ 约 两 亿七千五百万） 7阶幻方有363916800种（约三亿 六千四百万）
8阶幻方超过10亿种
幻方的分类
（1）奇阶幻方 （2）偶阶幻方
奇阶幻方的解法
我国数学家杨辉的《续古摘奇算经》对于3阶幻
方的构造方法是：“九子斜排，上下对易，左右相更，
四维挺进。”，具体操作如下图： 其结果为：“戴九履一，左七右三，二四为肩，六
八为足。”
1 42 753 86
9
9 42 357 86
奇阶幻方的做法
816 357 492
有趣的徐老师
幻方
异常完美的数字排列——幻方
相传在公元前23世纪大禹治水 的时候，在黄河支流洛水中，浮 现出一个大乌龟， 人们将乌甲 上背有9种花点的图案图案中的 花点数了一下。
竟惊奇地发现9种花点数正巧 是1—9这9个数，各数位置的排 列也相当奇妙，后来人们就称这 个图案为“洛书”。
1居首行正中央： 依次右上莫相忘 出边移到另一边： 排重便往自下放 右上出格一个样
1,2,3,4,5,6,7,8,9
幻方填写方法
没法，组合数学还考幻方构造。这东西不看解法真不会写，虽然没见有啥用，但还是记录下，免得日后再找。按目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，即奇数阶幻方、双偶阶幻方、单偶阶幻方。下面按这三类幻方，列出最常用解法（考试用，不求强大，只求有效！）。
奇数阶幻方（罗伯法）
奇数阶幻方最经典的填法是罗伯法。填写的方法是：
把1（或最小的数）放在第一行正中；按以下规律排列剩下的(n×n－1)个数：
1、每一个数放在前一个数的右上一格；
2、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；
3、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；
4、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；
5、如果这个数所要放的格已经有数填入，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内。
例，用该填法获得的5阶幻方：
17241815
23571416
46132022
101219213
11182529
双偶数阶幻方（对称交换法）
所谓双偶阶幻方就是当n可以被4整除时的偶阶幻方，即4K阶幻方。在说解法之前我们先说明一个“互补数”定义：就是在 n 阶幻方中，如果两个数的和等于幻方中最大的数与 1 的和（即
n×n＋1），我们称它们为一对互补数。如在三阶幻方中，每一对和为 10 的数，是一对互补数；在四阶幻方中，每一对和为 17 的数，是一对互补数。
双偶数阶幻方的对称交换解法：
先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：
1234
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任意奇数阶幻方的罗伯移步法
学习心得
范贤荣2016.2.25
在学习幻方构成时，在网上看到了大多数幻友介绍的罗伯（loubere）法。读后，我有心得如下：
1、罗伯（loubere）法的确是最简单的任意奇数阶幻方的构成法。它只要一步一步地填写就可以了。
2、有人称之为楼梯法。这也非常形象，体现了一步一步斜着向上的填写规律。因此，我觉得以罗伯楼梯法谓之，倒是一个好办法，既尊敬了罗伯的创造，又形象地体现了填写规律。但是，楼梯太实用了，就采用了浪漫点的移步二字，编写了本文的题目。
3、罗伯法的填写步骤，非常经典。关于“出格/出框”、“重复/遇阻”的规定，也往往还被其他方法所引用。
4、罗伯法的口诀，对“1居上行正中央”的这种幻方，是很正确且准确的。但是，不知道这是不是罗伯老师的原话。我现在看到的都是幻友们的介绍。因此，就与幻友们讨论一下：
这个口诀，只适用于“1居上行正中央”的这种幻方。或者说“1居上行正中央”的这种幻方，只是罗伯幻方的一种。
罗伯幻方每一阶都有多种。幻方数与阶数相同。
因此，我建议在这口诀下面加一个注：“1居上行正中央”只是罗伯幻方有代表性的一种。1还可以在其他点格上。
5、1还可以在那些点格上呢？
我们把方阵空格用（X，Y）即（行，列）表示。第一行，第三列表示为（1，3）那么，各阶数方阵有几个幻方，1点在何处，可见下表：
我们还可以形象地用方阵的方式，直观地看到1的位置。
5阶幻方的1点在幻和为65的格子内。
方法是：
1）与阶数一样，画出阶数方阵。例如，5阶
2）将该阶幻方的幻和填在方阵的“上行正中央”。例如5阶幻和65。
3）在斜着把幻和，逐行向左移一位，填在各行。如下图
4）再利用罗伯法则，将出格的数移回来。就可以直观地看到1在那些点格了。
5）顺便说说方阵中的其他数据是什么？从何而来？。这些数据都是一个不等于“幻和”的对角线之和。我是计算出来的，计算完5阶，我就知道7阶了。因此，就少画了许多方阵。
6）其他不等于“幻和”的对角线之和，就是将“幻和”向两边逐步加减“阶²”。
例如5阶，5²=25 65+25=90、90+25=115、65-25=40、40-25=15
心得汇报完毕。方阵附后：
7阶方阵
幻方的1点在175幻和的格子内
附录：罗伯法
请大家注意图H和图1，可以总结出下面的编排方法：
1、在第一行正中央的方格子中填上1；
2、按斜上方向在1的右上角填入2，但出上框了，这时要把2改填在2所在这一列的最下边；
3、按斜上方向在2的右上角填入3，又出右框了，把3改填在3所在这一行的最左边；（上图1）
4、按斜上方向在3的右上角填入4，但与先填入的1重合了，这时就把4改填在3
的下面，然后把5、6依次按斜上方向填入方格内；
5、按斜上方向在6的右上角填入7，但出框的右上角，这时就把7改填在6的下面，（与重合相同）。重复上面的做法，把8、9依次填入方格中，这样就得到了图1，与左边的图H完全相同。
这种编排奇数阶幻方的方法叫“罗伯法”。
使用“罗伯法”时总是向右上的斜行方向进行编排。编排过程中会出现五种情况：“第一行正中央排什么数？”、“排出上框怎么办？”、“排出右框怎么办？”、“排重复了怎么办？”、“排出右上角怎么办？”
为了便于记忆，我们把罗伯法概括成下面的口诀：
1居上行正中央，
依次斜排且莫忘；
上出框时往下写，
右出框时左边放；
重叠就在下格填，
右上出框也一样。