高数复习资料_§3.5 微分

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数学微分知识点总结

数学微分知识点总结微分是微积分的一个基础概念，它是研究函数的局部性质的一种重要工具。

微分的概念最早由牛顿和莱布尼兹等数学家引入，是微积分学的重要内容之一。

微分的概念不仅在数学中有着广泛的应用，还在物理、工程、经济等领域都有着重要的意义。

微分可以帮助我们理解函数的变化率、极值、凹凸性等重要性质，从而为我们研究问题提供了重要的手段。

本文将对微分的基本概念、微分法则、微分应用、微分方程等知识点进行系统总结，希望能够帮助读者对微分有一个系统、全面的认识。

一、微分基本概念1. 极限极限是微分的基本概念之一，也是微积分的核心概念。

在微分中，我们经常需要研究函数在某一点的变化情况，而极限则提供了一种严格的方式来描述函数在该点附近的性质。

在数学中，我们通常用“x趋于a时，函数f(x)的极限是L”来表示函数f(x)在点a处的极限为L。

通过对极限的研究，我们可以得到函数在某一点的斜率，从而引出了微分的概念。

2. 导数导数是微分的基本概念之一，它是用来描述函数在某一点的变化率的概念。

它在数学中有着广泛的应用，不仅可以帮助我们理解函数的变化规律，还可以用在求解最优化问题、解微分方程等领域。

在微分中，我们通常用f'(x)或dy/dx来表示函数f(x)的导数。

导数表示了函数在某一点的斜率，它是研究微分的基本工具。

3. 微分微分是微积分的一个重要概念，它是用来研究函数的局部性质的一种工具。

微分的概念最早由牛顿和莱布尼兹等数学家引入，是微积分学的一个基础概念。

在微分中，我们通常用dy来表示函数f(x)的微分。

微分可以帮助我们理解函数的局部性质，如凹凸性、极值等重要性质。

通过对微分的研究，我们可以得到函数在某一点的切线方程，从而更好地理解函数在该点的性质。

二、微分法则微分法则是微分求导的基本规则，它是研究微分的重要工具。

微分法则可以帮助我们求解各种函数的微分，从而更好地理解函数的性质。

微分法则包括常数法则、幂函数法则、指数函数法则、对数函数法则、三角函数法则、复合函数法则等，它们为我们研究微分提供了重要的工具。

微分的知识点总结

微分的知识点总结一、微分的基本概念微分是微积分中的一个重要概念，它是研究函数变化率的一种数学工具。

在微分学中，我们将函数在某一点的变化率称为该点的导数，用数学符号表示为f’(x)或y’。

其中f’(x)代表函数f(x)在x点的导数，y’代表函数y(x)在x点的导数。

在微分学中，函数在某一点的微分是函数在该点的导数与自变量的微小增量之积。

即如果函数y=f(x)在点x处可导，则在这一点，函数f(x)在自变量x的增量Δx的一个小区间内的增量Δy与自变量x的增量Δx之比接近于某一常数k，当Δx趋于0时，这一比值趋于常数k，则常数k称为函数f(x)在x点的导数。

因此，函数在某一点的微分可以用下式表示：dy = f’(x)·dx其中dy是函数在x点的微分，f’(x)是函数在x点的导数，dx是自变量x的微小增量。

微分的基本概念可以用图形表达，函数在x点处的微分可以用函数的切线来表示。

函数在x点处的微分就是函数在这一点的切线的斜率。

二、微分的求法微分的求法有不同的方法，主要包括几何法、代数法和微分方程法。

1. 几何法几何法是通过函数的图形上的点的切线来求函数在某一点的微分。

函数在某一点的微分是该点的切线的斜率。

2. 代数法代数法是通过导数的定义来求函数在某一点的微分。

导数的定义是函数在某一点的变化率，导数即函数的微分。

3. 微分方程法微分方程法是通过微分方程来求函数在某一点的微分。

微分方程是用微分形式表达的方程，通常包括微分变量的导数和未知函数变量。

微分方程法是微分学的一个重要应用领域，用于求解实际问题中的微分方程。

三、微分的应用微分是微积分的重要分支，有着广泛的应用。

微分在工程、物理、经济学、生物学等领域都有重要应用。

微分的主要应用包括：导数的应用、微分方程的应用、微分的几何应用等。

1. 导数的应用导数是微分的本质，是函数在某一点的变化率。

导数在物理学、经济学等领域有广泛的应用。

例如在物理学中，速度和加速度是物体运动的导数，而在经济学中，边际成本和边际收益是函数的导数。

大一高数知识点总结求微分

大一高数知识点总结求微分大一高数知识点总结 - 求微分微分是高等数学中非常重要的一个概念，它是导数的一种表现形式，用于描述函数在某一点上的变化率。

在本文中，我们将对大一高数中求微分的基本方法进行总结和讨论。

一、导数的定义在求微分之前，我们需要先了解导数的定义。

对于函数y=f(x)，在点x处的导数可以用以下公式表示：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h其中，f'(x)表示函数在点x处的导数，lim代表极限，h代表自变量的增量。

二、基本求导法则1. 常数求导法则：常数的导数等于0。

2. 幂函数求导法则：对于幂函数y=x^n，其中n为常数，其导数为y'=n*x^(n-1)。

3. 指数函数求导法则：对于指数函数y=a^x，其中a为常数，其导数为y'=a^x * ln(a)。

4. 对数函数求导法则：对于对数函数y=log_a(x)，其中a为常数且大于0且不等于1，其导数为y'=1 / (x * ln(a))。

5. 三角函数求导法则：常见的三角函数包括sin(x)，cos(x)，tan(x)等，它们的导数分别为cos(x)，-sin(x)，sec^2(x)。

6. 反三角函数求导法则：常见的反三角函数包括arcsin(x)，arccos(x)，arctan(x)等，它们的导数分别为1 / sqrt(1-x^2)，-1 /sqrt(1-x^2)，1 / (1+x^2)。

三、求微分的方法1. 基本求导法则：通过应用基本求导法则，对于各种函数进行求导。

2. 链式法则：对于复合函数，使用链式法则进行求导。

链式法则可以表示为：如果函数y=f(g(x))，那么它的导数为y'=f'(g(x)) *g'(x)。

3. 高阶导数：导数的导数称为高阶导数。

对于高阶导数的求解，依然可以应用基本求导法则和链式法则进行计算。

4. 隐函数求导：对于由方程所定义的隐函数y=f(x)的导数，可以通过微分形式进行求解。

高数二复习资料

高数二复习资料高数二复习资料高等数学是大学数学的重要组成部分，也是让许多学生头疼的科目之一。

高数二作为高数的进阶课程，内容更加深入和复杂。

为了帮助同学们更好地复习高数二，我整理了一些复习资料，希望能对大家有所帮助。

一、函数与极限函数与极限是高数二的基础，也是后续章节的重要基石。

在这一部分的复习中，我们需要掌握函数的性质和常见函数的图像特征。

同时，对于极限的计算和性质也需要有清晰的认识。

可以通过大量的练习题来巩固这些知识点。

二、导数与微分导数与微分是高数二中的重要内容，也是数学在自然科学和工程技术中的应用基础。

在这一部分的复习中，我们需要熟练掌握导数的定义和性质，包括导数的四则运算、复合函数的导数、隐函数的导数等。

同时，对于微分的计算和应用也需要有一定的了解。

通过大量的例题和实际问题的应用，可以更好地理解和掌握这一部分知识。

三、定积分与反常积分定积分与反常积分是高数二中的重要内容，也是数学在物理学、经济学等领域中的重要工具。

在这一部分的复习中，我们需要掌握定积分的性质和计算方法，包括换元积分法、分部积分法等。

同时，对于反常积分的计算和性质也需要有一定的了解。

通过大量的练习题和实际问题的应用，可以更好地掌握这一部分知识。

四、级数与幂级数级数与幂级数是高数二中的重要内容，也是数学分析的基础。

在这一部分的复习中，我们需要熟练掌握级数的性质和判敛方法，包括比较判别法、积分判别法、根值判别法等。

同时，对于幂级数的性质和收敛半径的计算也需要有一定的了解。

通过大量的例题和实际问题的应用，可以更好地理解和掌握这一部分知识。

五、微分方程微分方程是高数二中的重要内容，也是数学在物理学、生物学等领域中的重要工具。

在这一部分的复习中，我们需要熟练掌握一阶和二阶微分方程的解法，包括可分离变量法、齐次方程法、常系数线性齐次方程法等。

同时，对于常微分方程的应用也需要有一定的了解。

通过大量的例题和实际问题的应用，可以更好地掌握这一部分知识。

高等数学微分公式

高等数学微分公式微分作为高等数学中的重要概念，在数理分析以及其他数学领域中发挥着关键作用。

微分是研究函数局部变化的工具，它通过近似线性化的思想，描述了函数在某一点附近的变化规律。

微分的基本思想源于极限的概念，因此我们可以根据微分的定义推导出许多重要的微分公式。

本文将介绍一些高等数学中常见的微分公式，包括基本初等函数的微分、常用函数的微分、复合函数的微分法则以及微分中的链式法则等内容。

1. 基本初等函数的微分在高等数学中，基本初等函数是指一些常见的函数，如多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

这些函数在微分过程中有着简单而规律性的变化规律，可以通过微分法则来求导。

下面是一些基本初等函数的微分公式：•多项式函数微分公式：对于函数 $y = f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \\cdots + a_1x + a_0$，它的导数为 $y' = f'(x) = na_nx^{n-1} + (n-1)a_{n-1}x^{n-2} + \\cdots + a_1$。

•指数函数微分公式：对于函数y=y(y)=y y，它的导数为 $y' = f'(x) = \\ln(a) \\cdot a^x$，其中y>0,y yy1。

•对数函数微分公式：对于函数 $y = f(x) =\\log_a(x)$，它的导数为$y' = f'(x) = \\frac{1}{x\\ln(a)}$，其中y>0,y yy1。

•三角函数微分公式：对于正弦函数 $\\sin(x)$ 和余弦函数 $\\cos(x)$，它们的导数分别为 $\\cos(x)$ 和 $-\\sin(x)$。

2. 常用函数的微分除了基本初等函数外，高等数学中还有一些常用函数，它们的导数求解也具有一定的规律性。

下面是一些常用函数的微分公式：•幂函数微分公式：对于函数y=y(y)=y y，它的导数为y′=y′(y)=yy y−1，其中y为实数。

高数复习重点梳理

高数复习重点梳理
第一章：导数与微分
在高数复习中，导数与微分是非常重要的概念，它们是微积分的基础。

导数表
示函数在某一点上的变化率，微分则表示函数在该点附近的近似线性变化。

在学习导数与微分时，需要掌握的重点包括：
1.导数的定义与性质
2.基本导数的求法
3.高阶导数
4.微分的定义与性质
5.隐函数与参数方程的导数与微分
6.微分中值定理
第二章：不定积分与定积分
不定积分与定积分是微积分的另一个重要内容，它们是对函数积分的不同形式。

在学习不定积分与定积分时，需要注意以下内容：
1.不定积分的基本性质
2.基本的不定积分表
3.定积分的定义与性质
4.定积分的应用：计算面积、求解定积分方程等
5.变限积分与定积分的运算法则
6.定积分的几何应用
第三章：微分方程
微分方程是数学中一个重要的研究对象，它描述了函数的导数与自身之间的关系。

在学习微分方程时，需要了解以下内容：
1.微分方程的分类与基本概念
2.一阶微分方程的求解方法
3.高阶微分方程的求解方法
4.微分方程的初值问题
5.线性微分方程
6.微分方程的物理应用
第四章：级数
级数是数学分析中的一个重要概念，它描述了无穷序列之和的性质。

在学习级数时，需要牢记以下要点：
1.级数收敛与发散的判别法
2.正项级数收敛的性质
3.常用级数的收敛性质
4.级数的运算：加法、乘法、除法
5.幂级数及其收敛半径
6.泰勒级数与麦克劳林级数的应用
以上是高等数学复习中的重点内容梳理，希望对你的复习有所帮助。

祝你取得优异的成绩！。

高数微积分公式大全

高等数学微积分公式大全一、基本导数公式⑴()0c '= ⑵1x xμμμ-= ⑶()sin cos x x '=⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=⋅ ⑻()csc csc cot x x x '=-⋅⑼()xxee'= ⑽()ln xxaaa '= ⑾()1ln x x'=⑿()1log ln xax a'= ⒀()arcsin x '= ⒁()arccos x '=⒂()21arctan 1x x '=+ ⒃()21arccot 1x x '=-+⒄()1x '=⒅'=二、导数的四则运算法则()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭三、高阶导数的运算法则（1）()()()()()()()n n n u x v x u x v x ±=±⎡⎤⎣⎦ （2）()()()()n n cu x cu x =⎡⎤⎣⎦（3）()()()()n n nu ax b a uax b +=+⎡⎤⎣⎦（4）()()()()()()()0nn n k k k n k u x v x c u x v x -=⋅=⎡⎤⎣⎦∑ 四、基本初等函数的n 阶导数公式（1）()()!n nxn = （2）()()n ax b n ax b e a e ++=⋅ (3)()()ln n x x n a a a =(4)()()sin sin 2n n ax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ (5) ()()cos cos 2n nax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ (6)()()()11!1n n nn a n ax b ax b +⋅⎛⎫=- ⎪+⎝⎭+ (7) ()()()()()11!ln 1n n n na n axb ax b -⋅-+=-⎡⎤⎣⎦+五、微分公式与微分运算法则 ⑴()0d c = ⑵()1d xxdx μμμ-= ⑶()sin cos d x xdx =⑷()cos sin d x xdx =- ⑸()2tan sec d x xdx = ⑹()2cot csc d x xdx =- ⑺()sec sec tan d x x xdx =⋅ ⑻()csc csc cot d x x xdx =-⋅ ⑼()xxd ee dx = ⑽()ln xxd a aadx = ⑾()1ln d x dx x=⑿()1logln xad dx x a =⒀()arcsin d x =⒁()arccos d x = ⒂()21arctan 1d x dx x =+ ⒃()21arccot 1d x dx x=-+ 六、微分运算法则⑴()d u v du dv ±=± ⑵()d cu cdu = ⑶()d uv vdu udv =+ ⑷2u vdu udvd v v -⎛⎫= ⎪⎝⎭七、基本积分公式⑴kdx kx c =+⎰ ⑵11x x dx c μμμ+=++⎰ ⑶ln dxx c x=+⎰ ⑷ln xxa a dx c a=+⎰ ⑸x x e dx e c =+⎰ ⑹cos sin xdx x c =+⎰ ⑺sin cos xdx x c =-+⎰⑻221sec tan cos dx xdx x c x ==+⎰⎰ ⑼221csc cot sin xdx x c x ==-+⎰⎰⑽21arctan 1dx x c x =++⎰ ⑾arcsin x c =+八、补充积分公式tan ln cos xdx x c =-+⎰ cot ln sin xdx x c =+⎰ sec ln sec tan xdx x x c =++⎰ csc ln csc cot xdx x x c =-+⎰2211arctan xdx c a x a a=++⎰ 2211ln 2x adx c x a a x a-=+-+⎰arcsinxc a=+ ln x c =+十、分部积分法公式⑴形如n ax x e dx ⎰，令nu x =，axdv e dx =形如sin n x xdx ⎰令nu x =，sin dv xdx =形如cos n x xdx ⎰令nu x =，cos dv xdx = ⑵形如arctan n x xdx ⎰，令arctan u x =，ndv x dx =形如ln n x xdx ⎰，令ln u x =，ndv x dx =⑶形如sin ax e xdx ⎰，cos ax e xdx ⎰令,sin ,cos axu e x x =均可。

高等数学微分公式大全

高等数学微分公式大全微分作为高等数学中的基础概念之一，是描述函数变化率的重要工具。

微分公式是微分学的核心内容，掌握了微分公式，能够帮助我们更好地理解函数的性质和变化规律。

本文将介绍高等数学中常见的微分公式，以帮助读者更好地掌握微分的基本知识。

1. 基本微分公式•常数函数的微分公式：若y=y（C为常数），则yy/yy=0。

•幂函数的微分公式：若y=y y（n为常数），则yy/yy=yy y−1。

•指数函数的微分公式：若y=y y（a>0且不等于1），则 $dy/dx = a^x\\ln{a}$。

•对数函数的微分公式：若 $y = \\log_a{x}$（a>0且不等于1），则 $dy/dx = \\frac{1}{x\\ln{a}}$。

2. 基本函数的微分公式•和差函数的微分公式：若 $y = u \\pm v$，则$dy/dx = du/dx \\pm dv/dx$。

•积函数的微分公式：若y=yy，则 $dy/dx = u \\cdot dv/dx + v \\cdot du/dx$。

•商函数的微分公式：若y=y/y，则 $dy/dx = (v \\cdot du/dx - u \\cdot dv/dx)/v^2$。

3. 高阶微分公式•高阶微分：对于函数 y=f(x)，它的n阶导数记作y y y/yy y。

•高阶微分公式：–若y=y y，则y y y/yy y=y(y−1)(y−2)...(y−(y−1))y=y!–若y=y y，则y y y/yy y=y y–若 $y = \\sin{x}$，则 $d^ny/dx^n = \\sin{(x + n\\pi/2)}$–若 $y = \\cos{x}$，则 $d^ny/dx^n = \\cos{(x + n\\pi/2)}$4. 典型微分方程的通解•一阶微分方程：一阶微分方程是只含有一阶导数的方程，通常可以表示为 $\\frac{dy}{dx} = f(x, y)$。

大一高数微分方程知识点

大一高数微分方程知识点微分方程是数学中重要的分支，它是研究自然现象、工程问题以及物理学和生物学等领域中的变化规律的重要工具。

在大一的高数课程中，微分方程也是一个重要的内容。

下面我将介绍大一高数微分方程的一些基本知识点。

一、微分方程的基本概念微分方程是由未知函数及其导数构成的方程。

通常表示为dy/dx=f(x)。

其中dy/dx表示函数y对自变量x的导数，f(x)表示已知函数。

二、常微分方程和偏微分方程在微分方程中，常微分方程和偏微分方程是两个重要的分类。

常微分方程中只涉及一个自变量，而偏微分方程则涉及多个自变量。

三、一阶微分方程及其求解方法一阶微分方程是微分方程中最简单的一种形式，表示为dy/dx=f(x, y)。

常见的一阶微分方程求解方法包括：分离变量法、齐次方程法、一阶线性微分方程法等。

1. 分离变量法：将变量分离后进行积分求解。

例如，对于dy/dx=2x，可以将方程改写为dy=2xdx，再进行积分。

2. 齐次方程法：对于形如dy/dx=f(y/x)的方程，可以利用变量代换的方法将其转化为分离变量的形式。

3. 一阶线性微分方程法：对于形如dy/dx+p(x)y=q(x)的方程，可以利用积分因子的方法进行求解。

四、二阶微分方程及其求解方法二阶微分方程是一阶微分方程的推广，表示为d²y/dx²=f(x, y, dy/dx)。

常见的二阶微分方程求解方法包括：特征方程法、常系数线性齐次微分方程法、常系数线性非齐次微分方程法等。

1. 特征方程法：对于形如d²y/dx²+p(x)dy/dx+q(x)y=0的方程，通过求解其特征方程可以得到方程的通解。

2. 常系数线性齐次微分方程法：对于形如d²y/dx²+pdy/dx+qy=0的齐次方程，通过特征方程法求解可以得到通解。

3. 常系数线性非齐次微分方程法：对于形如d²y/dx²+pdy/dx+qy=f(x)的非齐次方程，可以利用常数变易法求解。

大学高数3-5,6 ,7微分的概念运算法则与应用

dx = ∆x.
自变量的微分等于自变量的增量.
在= dy f ′( x)∆x 中，∆x 记作dx,
∴dy = f ′( x)dx
dy = f ′( x) dx
导数又称为微商
10
三、微分的几何意义
dy = f ′( x0 )dx = tan α ⋅ ∆x = QP
∆x = MQ,
y
N •
T
∆y = QN 是曲线的纵坐标增量;
∆x→0 ∆x
∆x
从而 ∆y = f ′( x) ⋅ ∆x + α ⋅ ∆x, (∆x → 0,α → 0)
= f ′( x) ⋅ ∆x + o(∆x),
所以函数f (x)在点x可微.
8
例设 y = x2 , x = 2, ∆x = 0.1, 求函数的增量与微分. 解 = ∆y f ( x + ∆x) − = f ( x) f (2.1) − f (2)
= 2.12 − 22 = 0.41 = dy f ′( x)∆=x 2x ⋅ ∆x, 代入 x = 2, ∆x = 0.1 得到
dy = 2× 2× 0.1 = 0.4.
9
例 = 设 y f= ( x) x, 求 dy.
解 dy = ( x)′∆x = ∆x dy = df ( x) = dx.
当△x很小时，∆A ≈ 2 x0∆x
3
再如, 设函数y=x3的自变量在点x0处的改变量为△x，求函数的改变量△y.
∆y
=
(
x0
+
∆x)3
−
x
3 0
=
3
x
2 0
⋅
∆x
+
3
x0

高等数学大学数学——微分讲解

lim Dy lim ADx o(Dx) lim (Ao(Dx) )A。
Dx0 Dx Dx0
Dx
Dx0
Dx
反之，若f(x)在点x可导，则
lim Dy f (x)， Dy f (x)a ，Dyf (x)DxaDx，
Dx0 Dx
Dx
其中a0(当Dx0)。
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其中A与Dx无关，则称函数yf(x)在点x处可微。并称ADx 为函数yf(x)在点x处的微分，记作 dy或df(x)，即
dydf(x)ADx。
说明：微分是自变量的改变量Dx的线性函数，通常称为函
数改变量Dy的线性主部。
DDyydydyDDyyAADDxxo(oD(Dx)x，)，limlimDDy ylimlimAADDx xo(oD(Dx)x)11。。
d(Cu)Cdu，
d(uv)vduudv，复合函数的微分法则：
d (u ) vdu udv (v 0)。
v
v2
设yf(u)及uj(x)都可导，则复合函数yf[j(x)]的微
分为
dyf (u)du或dyyudu。
这是因为
dyyxdxf (u)j(x)dx。又j(x)dxdu，所以，
§3.5 微分
一、微分的定义二、微分的几何意义三、微分法则四、微分在近似计算中的应用
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结束
铃
一、微分的定义
设有一个边长为x的正方形，其面积为S，显然Sx2。
如果边长改变Dx，则面积的改变量为
DS(xDx)2(x)22xDx(Dx)2。
数学意义：当Dx0时，
(Dx)2o(Dx) ； 2xDx 是 Dx 的

高等数学学习资料

高等数学学习资料每一门科目都有自己的工具学习方法，但其实都是万变不离其中的，数学作为最烧脑的科目之一，也是要记、要背、要讲技巧的。

下面是给大家整理的一些高等数学学习校订方法的学习资料，希望对大家有所帮助。

学习高等数学马上之前要做好哪些准备在高等教育自学考试中都的很多专业中曾，很多都有高等数学培训课程。

很多考生反映，高等数学(一)通过非常难，林士中老师所教授的高等数学课程一直受到广大网校学员的好评。

在授课之余，林教授传授了通过高数的诀窍。

他说，在学习高数(一)之前，首先你要打好看基础，把初中的数学补回来，再参加这两门课程的考试就好的多。

林士中：我对同学了解的境况，一种是原来中学学的初等知识掌握太少，逻辑学没有用大量的初等数学知识，但是要用一部分的知识。

有些同学数理不是高等数学知识没掌握听话，主要是初等数学知识不够数量，或者掌握太少，变形变不过来，这样就算你知道数理逻辑，但是初等掌握不好，考试肯定会遇到一定困难。

如果你是初等数学掌握过少影响考试不及格，你应该把微积分学十分基本的初等数学知识复习。

很多网校已经推出了的基础辅导课程，介绍微积分当中用到的初等数学有哪些，大概有6课时。

介绍微积分当中用到的初等数学有哪些，如果有一部分同学深感初等数学知识不够用，我希望同事不要害怕，你即便初等数学知识不够好，不见得过不了。

希望大家多花点天数学习，可以起到出神入化的效果。

第二个，有些同学觉得，学高等数学，或者微积分，主要靠理解，但是实际上这里边有一些误会，数学主要是靠想像，但是和其他课程有区别，其他培训课程靠记忆比较多，当然也要理解，但是数学，靠理解的比较多，不等于不要记忆，特别有些基本的东西必须记的大家还要记忆，比如说一些基本概念，导数的定义，连续性的定义这些基本的东西要适当的记分类一下。

第三个，基本公式表，微分公式附注也要记，这些基本的诗略东西大家还要记。

积分公式表记无力，积分就过不了关，在记忆的基础上适当做一些题达到融会贯通，我希望大家做好这两方面大伙的复习。

高数微分方程考试复习资料证明题含答案

19、已知是微分方程的两个解，试证明： ( 为任意常数)也是方程的解.
难度等级：1；知识点：常微分方程的通解定义.
分析只需将函数代入微分方程就可证之.
证由已知是微分方程的两个解,故有
,
又有
即，也是方程的解。
20、设分别为非齐次方程的两个特解，证明：是方程对应的齐次方程: 的解.
难度等级：1；知识点：二阶齐次线性微分方程通解的结构.
，
将上述两式相加可得
即是方程的解.
23、设在区间上线性无关，证明：在区间上也是线性无关.
难度等级：1；知识点：函数组的线性相关与无关.
分析利用线性相关与无关的定义可证.
证反证法，若存在不全为零的数和，使得
.
则由后一个等式及在区间上线性无关，可得即有与假设矛盾。因此线性无关。
证明题（25）
1、验证是方程的通解。
难度等级：1；知识点：常微分方程的通解定义.
分析只需将函数代入微分方程就可证之.
证由，代入方程得，
又中含有两个独立常数，原方程是二阶方程，故是通解。
2、证明：由参数方程所确定的函数是方程的通解.
难度等级：1；知识点：常微分方程的通解定义.
分析只需将函数代入微分方程就可证之.
若，则有，与常数矛盾。若，则有，从而，与矛盾。同理可证常数的情况。
18、证明：函数在任何区间上线性无关.
难度等级：1；知识点：函数组线性相关与无关的定义.
分析只需利用线性相关与无关的定义就可证之.
证反证法，若存在不全为零的数使得
.
记，则是一个次数不超过的多项式，它在区间上至多有个零点，这与矛盾。

高数复习知识点

高等数学上册知识点一、函数与极限（一）函数1、函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2、反函数、复合函数、函数的运算；3、初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数；4、函数的连续性与间断点；（重点）函数)(x f 在0x 连续)()(lim 00x f x f xx =→第一类：左右极限均存在.间断点可去间断点、跳跃间断点第二类：左右极限、至少有一个不存在. 无穷间断点、振荡间断点5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理（重点）、介值定理及其推论.（二）极限 1、定义 1）数列极限εε<->∀N ∈∃>∀⇔=∞→a x N n N a x n n n , , ,0lim2）函数极限εδδε<-<-<∀>∃>∀⇔=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00时，当左极限：)(lim )(00x f x f x x -→-= 右极限：)(lim )(00x f x f xx +→+= )()( )(lim 000+-→=⇔=x f x f A x f x x 存在2、极限存在准则 1）夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤2）a z y n n n n ==→∞→∞lim lim a x n n =∞→lim2）单调有界准则：单调有界数列必有极限. 3、无穷小（大）量1）定义：若lim 0α=则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量. 2）无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ααββαo +=⇔;Th2 αβαβαβββαα''=''''lim lim lim ,~,~存在，则（无穷小代换） 4、求极限的方法 1）单调有界准则； 2）夹逼准则；3）极限运算准则及函数连续性； 4）两个重要极限：（重点）a) 1sin lim 0=→x x x b) e xx xx xx =+=++∞→→)11(lim )1(lim 15）无穷小代换：（0→x ）（重点）a)x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~b) 221~cos 1x x -c)x e x ~1- （a x a x ln ~1-）d) x x ~)1ln(+ （axx a ln ~)1(log +）e)x x αα~1)1(-+二、导数与微分（一）导数1、定义：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→左导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-→-右导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+→+函数)(x f 在0x 点可导)()(00x f x f +-'='⇔2、几何意义：)(0x f '为曲线)(x f y =在点())(,00x f x 处的切线的斜率.3、可导与连续的关系：4、求导的方法1）导数定义；（重点） 2）基本公式； 3）四则运算；4）复合函数求导（链式法则）；（重点） 5）隐函数求导数；（重点） 6）参数方程求导；（重点）7）对数求导法. （重点） 5、高阶导数1）定义：⎪⎭⎫⎝⎛=dx dy dx d dx y d 22 2）Leibniz 公式：()∑=-=nk k n k k n n v u C uv 0)()()( （二）微分1）定义：)()()(00x o x A x f x x f y ∆+∆=-∆+=∆，其中A 与x ∆无关.2）可微与可导的关系：可微⇔可导，且dx x f x x f dy )()(00'=∆'=三、微分中值定理与导数的应用（一）中值定理1、 Rolle 定理：（重点）若函数)(x f 满足：1）],[)(b a C x f ∈； 2）),()(b a D x f ∈； 3）)()(b f a f =；则0)(),,(='∈∃ξξf b a 使.2、 Lagrange 中值定理：若函数)(x f 满足：1）],[)(b a C x f ∈； 2）),()(b a D x f ∈；则))(()()(),,(a b f a f b f b a -'=-∈∃ξξ使.3、 Cauchy 中值定理：若函数)(),(x F x f 满足：1）],[)(),(b a C x F x f ∈； 2）),()(),(b a D x F x f ∈；3）),(,0)(b a x x F ∈≠'则)()()()()()(),,(ξξξF f a F b F a f b f b a ''=--∈∃使（二）洛必达法则（重点）（三） T aylor 公式（不考）（四）单调性及极值1、单调性判别法：（重点）],[)(b a C x f ∈，),()(b a D x f ∈，则若0)(>'x f ，则)(x f 单调增加；则若0)(<'x f ，则)(x f 单调减少.2、极值及其判定定理：a) 必要条件：)(x f 在0x 可导，若0x 为)(x f 的极值点，则0)(0='x f . b) 第一充分条件：（重点）)(x f 在0x 的邻域内可导，且0)(0='x f ，c) 则①若当0x x <时，0)(>'x f ，当0x x >时，0)(<'x f ，则0x 为极大值点；②若当0x x <时，0)(<'x f ，当0x x >时，0)(>'x f ，则0x 为极小值点；③若在0x 的两侧)(x f '不变号，则0x 不是极值点.d) 第二充分条件：（重点）)(x f 在0x 处二阶可导，且0)(0='x f ，0)(0≠''x f ，e) 则①若0)(0<''x f ，则0x 为极大值点；②若0)(0>''x f ，则0x 为极小值点.3、凹凸性及其判断，拐点1）)(x f 在区间I 上连续，若2)()()2(,,212121x f x f x x f I x x +<+∈∀，则称)(x f 在区间I 上的图形是凹的；若2)()()2( ,,212121x f x f x x f I x x +>+∈∀，则称)(x f 在区间I 上的图形是凸的.2）判定定理（重点）：)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 上有一阶、二阶导数，则 a) 若0)(),,(>''∈∀x f b a x ,则)(x f 在],[b a 上的图形是凹的；b) 若0)(),,(<''∈∀x f b a x ,则)(x f 在],[b a 上的图形是凸的.3）拐点：设)(x f y =在区间I 上连续，0x 是)(x f 的内点，如果曲线)(x f y =经过点))(,(00x f x 时，曲线的凹凸性改变了，则称点))(,(00x f x 为曲线的拐点.（五）不等式证明1、利用微分中值定理；2、利用函数单调性；（重点）3、利用极值（最值）. （六）方程根的讨论1、连续函数的介值定理；2、 Rolle 定理；3、函数的单调性；4、极值、最值；5、凹凸性. （七）渐近线1、铅直渐近线：∞=→)(lim x f ax ，则a x =为一条铅直渐近线； 2、水平渐近线：b x f x =∞→)(lim ，则b y =为一条水平渐近线； 3、斜渐近线：k xx f x =∞→)(lim b kx x f x =-∞→])([lim 存在，则b kx y +=为一条斜渐近线.（八）图形描绘四、不定积分（一）概念和性质1、原函数：在区间I 上，若函数)(x F 可导，且)()(x f x F ='，则)(x F 称为)(x f 的一个原函数. （重点）2、不定积分：在区间I 上，函数)(x f 的带有任意常数的原函数称为)(x f 在区间I 上的不定积分.3、基本积分表（P188，13个公式）；（重点）4、性质（线性性）.（二）换元积分法（重点）1、第一类换元法（凑微分）：[])()(d )()]([x u du u f x x x f ϕϕϕ=⎰⎰='2、第二类换元法（变量代换）：[])(1d )()]([)(x t t t t f dx x f -='=⎰⎰ϕϕϕ（三）分部积分法：⎰⎰-=vdu uv udv （重点）（四）有理函数积分 1、“拆”；2、变量代换（三角代换、倒代换、根式代换等）.五、定积分（一）概念与性质：1、定义：∑⎰=→∆=ni i i bax f dx x f 1)(lim )(ξλ2、性质：（7条）性质7 （积分中值定理）函数)(x f 在区间],[b a 上连续，则],[b a ∈∃ξ，使))(()(a b f dx x f ba-=⎰ξ （平均值：ab dx x f f ba-=⎰)()(ξ）（二）微积分基本公式（N —L 公式）（重点）1、变上限积分：设⎰=Φxadt t f x )()(，则)()(x f x =Φ'推广：)()]([)()]([)()()(x x f x x f dt t f dx d x x ααβββα'-'=⎰ 2、 N —L 公式：若)(x F 为)(x f 的一个原函数，则)()()(a F b F dx x f ba-=⎰（三）换元法和分部积分（重点）1、换元法：⎰⎰'=βαϕϕt t t f dx x f bad )()]([)(2、分部积分法：[]⎰⎰-=babab a vdu uv udv （四）反常积分1、无穷积分：⎰⎰+∞→+∞=tat a dx x f dx x f )(lim )( ⎰⎰-∞→∞-=btt bdx x f dx x f )(lim)(⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+=0)()()(dx x f dx x f dx x f2、瑕积分：⎰⎰+→=btat ba dx x f dx x f )(lim )(（a 为瑕点） ⎰⎰-→=tabt badx x f dx x f )(lim )(（b 为瑕点）两个重要的反常积分：1) ⎪⎩⎪⎨⎧>-≤∞+=-∞+⎰1 ,11,d 1p p a p x x p a p 2) ⎪⎩⎪⎨⎧≥∞+<--=-=--⎰⎰1,1 ,1)()(d )(d 1q q q a b x b x a x x qb a q b a q六、定积分的应用（一）平面图形的面积1、直角坐标：⎰-=badx x f x fA )]()([12（重点）2、极坐标：⎰-=βαθθϕθϕd A )]()([212122（二）体积1、旋转体体积：（重点）a)曲边梯形x b x a x x f y ,,),(===轴，绕x 轴旋转而成的旋转体的体积：⎰=bax dx x f V )(2πb)曲边梯形x b x a x x f y ,,),(===轴，绕y 轴旋转而成的旋转体的体积：⎰=bay dx x xf V )(2π （柱壳法）2、平行截面面积已知的立体：⎰=badx x A V )(（三）弧长1、直角坐标：[]⎰'+=badx x f s 2)(12、参数方程：[][]⎰'+'=βαφϕdt t t s 22)()(3、极坐标：[][]⎰'+=βαθθρθρd s 22)()(七、微分方程（一）概念1、微分方程：表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方程. 阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数.2、解：使微分方程成为恒等式的函数.通解：方程的解中含有任意的常数，且常数的个数与微分方程的阶数相同. 特解：确定了通解中的任意常数后得到的解.（二）变量可分离的方程（重点）dx x f dy y g )()(=，两边积分⎰⎰=dx x f dy y g )()(（三）齐次型方程)(x y dx dy ϕ=，设x y u =，则dxdu x u dx dy +=；或)(y x dy dx φ=，设y x v =，则dydv y v dy dx += （四）一阶线性微分方程（重点）)()(x Q y x P dxdy =+ 用常数变易法或用公式：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-C dx e x Q e y dx x P dx x P )()()( （五）可降阶的高阶微分方程1、)()(x f y n =，两边积分n 次；2、),(y x f y '=''（不显含有y ），令p y ='，则p y '=''；3、),(y y f y '=''（不显含有x ），令p y ='，则dy dp p y =''（六）线性微分方程解的结构1、21,y y 是齐次线性方程的解，则2211y C y C +也是；2、21,y y 是齐次线性方程的线性无关的特解，则2211y C y C +是方程的通解；3、*2211y y C y C y ++=为非齐次方程的通解，其中21,y y 为对应齐次方程的线性无关的解，*y 非齐次方程的特解.（七）常系数齐次线性微分方程（重点）二阶常系数齐次线性方程：0=+'+''qy y p y特征方程：02=++q pr r ，特征根： 21,r r（八）常系数非齐次线性微分方程)(x f qy y p y =+'+''1、)()(x P e x f m x λ=（重点）设特解)(*x Q e x y m x k λ=，其中 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=是重根是一个单根不是特征根, λ, λ, λk 210 2、()x x P x x P e x f n l x ωωλsin )(cos )()(+=设特解[]x x R x x R e x y m m x k ωωλsin )(cos )()2()1(*+=，其中 } ,max{n l m =，⎪⎩⎪⎨⎧++=是特征根不是特征根i i k ωλωλ ,1 ,0。

微分知识点总结

微分知识点总结一、微分的基本概念1. 导数的定义在微分的讨论中，导数是一个非常核心的概念。

在数学中，导数表示了函数在某一点的变化率，也可以理解成函数曲线在该点的切线斜率。

设函数y=f(x)，在点x0处的导数定义为：\[ f'(x_0)=lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} \]2. 微分的概念微分是导数的一个相关概念，它主要研究了函数在某一点的局部线性变化。

设函数y=f(x)，在点x0处的微分dy定义为：\[ dy=f'(x_0)dx \]3. 微分形式微分dy=f'(x)dx这个等式称为微分形式，它表示了函数在某一点的微分。

在微分形式中，导数f'(x)表示了函数在该点的变化率，dx表示自变量x的变化量，dy表示因变量y的对应变化量。

4. 微分的几何意义从几何学的角度来看，微分表示了函数曲线在某一点处的切线斜率。

也就是说，微分可以帮助我们理解函数在某一点的局部变化规律，对于研究函数的极值、凹凸性、临界点等性质非常重要。

二、微分的性质1. 微分的线性性质设函数y=f(x)，g(x)分别在点x0处可导，常数a、b，则：\[ d(af(x)+bg(x))=af'(x)dx+bf'(x)dx \]这个性质表示了微分在加法、乘法和数乘方面的线性性质，这对于微分的运算和计算是非常重要的。

2. 链式法则如果函数y=f(u)，u=g(x)都分别在对应的点可导，那么复合函数y=f(g(x))在x0的微分为：\[ dy=f'(u)g'(x)dx \]链式法则是微分中的一个重要性质，它描述了复合函数的微分计算规则。

对于求解复合函数的微分非常有用。

3. 高阶微分高阶微分指的是对微分的多次计算，设函数y=f(x)，它的一阶微分为dy=f'(x)dx，二阶微分为d2y=f''(x)dx2，以此类推。

小学五年级高数考试的复习资料推荐

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高数——函数的微分

时可表示为
y Ax+(x)
其中A是仅依赖于x0而与x无关的常数, (x)是比x高阶的无穷小量,
则称函数y f (x)在点x0可微,并称Ax为f (x)在点x0相应于自变量x的
微分,记作 dy xx0 或df
,即
x x0
dy xx0 Ax
所以,函数在一点的微分就是函数在该点的增量的线性主部.
定理3.5
解
dy=( 3
x) dx
1
x
2 3
dx,
所以
3
dy
x 1, x =0.003
1
2
13
0.003
0.001
3
例 3 求下列函数的微分 :
(1) ecosx ;
(2) ln x (x 0).
解 (1) 因为(ecosx ) ' ecosx sin x, 故
d ecosx ecosx sin x d x
(与P89的基本导数公式对应)
(1) dC=0
(2) dx x1dx
(3) dax (ax ln a)dx, 特别, dex exdx.
(4)
d loga
x
1 x ln
a
dx,特别, d ln
x
1 x
dx.
(5) d sin x cos xdx.
(11) d arcsin x 1 dx.
所以导数也称为“微商”（即微分之商）
例 1 求函数y sin x在点x 0和x 的微分.
2 解 dy (sin x) 'd x cos xdx,所以
dy x0 cos 0dx dx,
dy
x 2
(cos )dx
2

高数考试初中生必备的复习资料

高数考试初中生必备的复习资料高数考试对初中生而言，像是一个复杂的迷宫，令人既期待又紧张。

想要顺利通过这个挑战，掌握一些高效的复习资料无疑是关键。

这些资料不仅能帮助你建立坚实的数学基础，还能让你在考试中游刃有余。

下面，让我们来探讨一些必备的复习资料，助你一臂之力。

首先，教材和参考书是最重要的基石。

初中生应该选择一本系统全面的高数教材，这本书就像是你数学之旅的向导。

它不仅包括了基础知识，还详细讲解了各种解题方法和技巧。

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其次，做题是巩固知识的关键。

各类习题集和真题集是极好的复习工具。

习题集就像是一位经验丰富的教练，能够针对不同的题型和难度，提供大量的练习机会。

真题集则是宝贵的考试模拟工具，它让你熟悉考试的实际题型和难度，从而能够更好地进行考试准备。

除了教材和习题，解题技巧总结也是必不可少的资料。

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它们就像是你的数学秘籍，帮助你在面对复杂题目时，迅速找到解决方案。

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另外，学习资料的多样性也是提升复习效果的重要因素。

可以参考一些数学辅导书或线上学习资源，这些资料提供了不同的讲解角度和解题思路，能够帮助你从不同的层面理解高数知识。

网络课程和视频讲解，像是数学的“私人教练”，能通过生动的讲解和详细的示范，帮助你克服学习中的难点。

最后，不要忽视整理笔记的重要性。

将学习过程中遇到的重点知识、难点问题和解决方法记录下来，能够帮助你在复习时快速回顾和巩固知识。

这些笔记是你学习的成果，像是一本个人的数学宝典，记录了你在学习过程中积累的宝贵经验。

总之，初中生在准备高数考试时，需要选择合适的教材和参考书，做大量的习题，掌握解题技巧，总结学习资料，并整理个人笔记。

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