巧用过两圆交点的曲线系方程解题

巧用过两圆交点的曲线系方程解题
河南省三门峡市卢氏一高老校区数学组（472200）赵建文Email:zhaojw1968@
已知圆A ：2x +2y +1D x +1E y +1F =0与圆B ：2
x +2y +2D x +2E y +2F =0，方程：2x +2y +1D x +1E y +1F +λ(2x +2y +1D x +1E y +1F )=0 ①,当λ≠1-时，方程①表示过圆A 与圆B 的交点的圆系的方程，当λ=0时，表示圆A ，但不能表示圆B ；当λ=1-时，若圆A 与圆B 相交，方程①表示圆A 与圆B 的公共弦所在的直线方程，当圆A 与圆B 相切时，方程①表示圆A 与圆B 的公切线方程，当两圆相离时，方程①表示与两圆连心线垂直的方程，在解圆的有关问题，常常用到这一结论，可以起到事半功倍的效果，本文将过两圆交点的曲线系方程在解题中的应用作以介绍，供同学们学习时参考.
一、巧用过两圆交点的曲线系方程求圆方程
例1求过圆：2x +2y 2x -+2y +1=0与圆：2x +2y +4x 2y -4-=0的交点，圆心在直
线：250x y --=的圆的方程.
分析：本题是求过两圆的交点的圆的方程问题，用过两圆的交点的圆系方程求解.
解析：设所求圆的方程为：2x +2y 2x -+2y +1+(λ2x +2y +4x 2y -4-)=0(λ≠1-).
整理得 22(1)(1)(42)2(1)14x y x y λλλλλ++++-+-+-=0， 所以所求圆的圆心为121(,)11λλλλ
--++， 由已知知所求圆的圆心在直线：250x y -+=上， 所以
1212511λλλλ
---⨯+++＝0，解得，λ=8-，代入圆系方程整理得， 所以，所求圆的方程为223418330777x y x y ++--=. 点评：对过两圆交点的圆的问题，用过两圆的交点的圆系方程求解，可以优化解题过程，注意过交点的圆系方程表示的圆包括哪一个圆不包括那一个圆，且参数λ不等于1-这一条件，同学们应很好掌握这一方法.
二、巧用过两圆交点的曲线系方程求直线方程
例2已知圆O ：22
2410x y x y +-++=和圆外一点A （3，4），过点A 作圆O 的切线，切点分别为C 、D ，求过切点C 、D 的直线方程.
分析：本题是求过切点的直线方程，由切线性质知，切点在以线段AO 为直径的圆上，故直线CD 是以线段AO 为直径的圆与圆O 的公共弦所在的直线方程，故可用过两圆交点的曲线系方程求此直线方程.
解析：由切线性质知，切点C 、D 在以线段AO 为直径的圆上，由题知，O(1,2-)，
∴，线段AO 的中点为（2，1）， ∴以线段AO 为直径的圆的方程为，22
(2)(1)10x y -+-=，即
224250
+---=，
x y x y
圆O的方程与以AO为直径的圆的方程相减整理得：x+3y+3=0，
∴直线CD的方程为x+3y+3=0.
点评：对过圆切点的直线方程问题，可通过构造圆，利用过两圆交点的曲线系方程求直线方程，注意过两圆交点的曲线系方程参数λ为何值时表示圆，参数λ为何值时表示直线.。