伪内射模及其同调维数

定 理 ５ 设 是半 单环 当且 仅 当每个 伪 内射模 是 内射模 。 证明 ： 若 是半 单环 ， 任意左 一模 是 内射 模 ， 则 且任 意左 一 是伪 内射 模 ， 模 囚此 每个 伪 内射 模 是 内射
模。
反之 ， 设 是伪 内射模 ， 则 是 内射模 ， 有每个 短 正合 列可 裂 ０一 子 模 ， 么 是 半单 模 ， 以环 是半 单环 。 那 所
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第２ １卷
下 面 ， 论左 内射 整体 维数 与左 伪 内射整 体维 数 之间 的关 系 。 讨
定理 ２ 对 于环 Ｒ， ｉ 尺 ｉ Ｒ） ｌ Ｄ（ ） Ｄ（ 。 ｐ
证明： 设 为左 尺一模 ， ｐｄ 则 ｉ
ｐｄ Ｍ ， 以 ｌｉ ） Ｄ（ 。 ｉＲ 所 ｐＤ（ ｉ Ｒ）
ｄ 。事实 上 ， ｉＲ 若 ｄＭ ， 则存 在一 个 内射分 解 ：一 一 一 Ｅ一 … ０
一 ～ ， 一Ｅ— 由于内射模是伪 内射模 ， 因而上述分解也是伪内射分解 ， 从而
关 于 半单 环 和左 遗 传环 的左 伪 内射整 体维 数 ， 有下 述性 质 ： 定理 ３ 设 尺是 环 ， Ｒ是 半单 环 当且仅 当 ｔＤ（ 则 ｐ 尺）： 。 ｉ ０ 证 明 ： Ｒ是半单 环甘 每一 个 左 Ｒ一模 是 伪 内射 模 舒 对 任 意 左 Ｒ一模 ， 据 定 理 １知 ｐｄＭ ＝ 环 根 ｉ
第２ 卷 １第 ６期 Nhomakorabea长
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Ｖｏ ． Ｎ ． Ｉ２ｌ ｏ６
２ １ 年 ６月 ０１
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ０ Ｆ ＣＨＡＮＧＣ ＨＵＮ ＵＮＩ ＲＳＴ ＶＥ １ Ｙ
Ｊ ｎ Ｏｌ ｕ ｅ２ １
伪 内射模 及其 同调维数
孙 平 ，李征 宇 ，李 呖
（ 阳建筑大学 沈 ａ ．理学 院 ； ．信息学院 ，沈阳 ｂ １０６ ） １ １８
是 伪 内射模 。
由伪内射模的定义 ， 可以得出如下结论 ： 引理 １ 内射模是伪内射模 。 由上述引理 １ ， 知 每一个左 Ｒ一 Ｍ 均有伪内射分解 ， 模 即存在如下正合序列：
０ Ｅ。 Ｅ … ～ —加
．
其中每一个 都是伪 内射模 。从而 ， 引出如下概念 ： 定 义 ２ 左 Ｒ一模 有如 下形 状 的伪 内射分 解 ：
Ｏ：ｐＤ（ ）：０ ｃ ｌｉ Ｒ ， 。
定理 ４ 设 Ｒ是环 ， Ｒ是 左遗 传环 则 ｌＤ（ ≤ 。 若 ｐ Ｒ） ｌ ｉ
证明 ： 尺是左遗传环 ， 若 则对于 Ｒ的任意左理想 ， 都是投射模 ， ｆ （ ） ， 则 ｐ 尺 １ 又 Ｄ（ ） ｉ Ｒ ， Ｄ Ｒ ＝ｌ Ｄ（ ） 有
ｌ Ｒ） ， ｉ Ｄ（ ｌ 由定 理 ２知 ， ｉ Ｒ） １ ｌ Ｄ（ ≤ 。 ｐ
０ … ～ — 。
则 在 的所有 这 种形状 的伪 内射 分解 中 ， 必有 一个 伪 内射分 解 ， 中 １是 最小 的 ， 其 １ ， 这个 最 小 的 ｎ称 为左
Ｒ一 Ｍ 的伪 内射维数 ， ｐｄＭ。若没有上述形状的分解 ， 模 记 ｉ 则记 ｐｄＭ＝ ０ ｉ Ｏ 。 定义 ３ 设 是环 ， 左伪 内射整体维数 ｌＤ（ ）： ｕ ｛ｉ Ｍ： 。 ｐ Ｒ Ｓ ｐｐｄ Ｍ∈ ｍ｝ ｉ 引理 ２ 若 凡是主理想整环 ， 则一个 一 模是 内射 的当且仅 当它是可除的。
摘
要 ： 过 引入 伪 内射 模 的概 念 ， 义 了伪 ｃ射 维 数 和 伪 内射 整 体 维数 ， 证 了伪 ｃ射 维 数 和 伪 ｃ射 整 体 维 数 的 通 定 ａ 论 ａ ａ
关系； 当环 Ｒ是半单环和左遗传环 时， 出伪 内射整体维数的性质 ， 明 了环 Ｒ是整环 时伪 内射模所具有 的性质 。 给 证
究 的是对 内射 模 的推广 —— 伪 内射模 ， 主要 研 究其 性质 及维 数 ， 而通 过伪 内射 模 的相关 维数 来刻 画特 殊 的 进 环 。文 中 的环均指 有单 位元 的结 合环 ， 指左 酉模 。 模
１ 相关概念
定义 １ 如果对于任意单同态 ０ Ａ … ｃ —Ｍ和任意单 同态 ：— ， ： Ａ 存在 的 自同态 ， 使得 ＝ ， 则称 Ｍ
反之 ， ｐ Ｍ＝ ， 若 ０ 则 有如下伪 内射分解 ： 一 ０
模。
收 稿 日期 ：０ ００ － ２ １－３２ ５
一
…， 则 兰 ， 因而 Ｍ是伪内射
基金项 目： 阳建 筑大学基础学科基金资助项 目（０ ０ ３ ３ 沈 ２ １０ ０ ） 作者简介 ： 平（ ９０ ） 女 ， 孙 １８ ． ， 吉林 德惠人 ， 师 ， 讲 硕士 ， 主要从 事代数学方面研究 。
２ 主 要 结 论
关于伪内射模的伪 内射维数 ， 有下述定理 ： 定 理 １ 左 Ｒ一 Ｍ 是 伪 内射模 当且 仅 当 ｐｄＭ ＝ 。 模 ｉ ０
证明： 若 是伪 内射 模 ， Ｍ 有 伪 内射 分解 ： 则 ０一
＝
一
…其 中 Ｍ ：Ｅ ， ‘ ０ Ｖ ； ｏＥ ， ２ｌ
１ ， 以 ｐｄ Ｍ ＝ 。 ＾所 ， ｉＲ ０
关 键 词 ： 内射 模 ； 内射 维数 ； 内射 整 体 维数 伪 伪 伪
中图分类号 ： ５ ． ０１３ ３
文献标 志码 ： Ａ
文章编号 ：０ ９— ９７ ２ １ ）６— ０ １ ０ １０ ３ ０ （０ １ ０ ０ ４ — ２
Ｏ 引 言
内射模是模论与同调代数所研究的重要模类 ， 它对于各种环的刻 画及其它数学分支的发展起着重要的 作用 ， 内射模的结构至今未完全被人们所掌握 ， 因此几十年来内射模 已成为广大研究者热衷研究的对象 。维 数的研究也是 同调理论 中的核心部分之一， 伴随同调理论的形成 ， 它一直是 同调代数 中研究的焦点 。本文研
Ｅ
—
ｃ
， 且 是 的
定 理 ６ 若 尺是 整环 ， 一个 一 模 是伪 内射模 ， 那么 它是 可除 的 。