2012年中考数学复习考点跟踪训练34图形的相似

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2012年全国各地中考数学解析汇编--图形的相似与线段的比

2012年全国各地中考数学解析汇编图形的相似与位似28.1 图形的相似15．（2012北京，15，5）已知023a b =≠，求代数式()225224a b a b a b -⋅--的值．【解析】【答案】设a =2k ,b =3k ，原式=525210641(2)(2)(2)22682a b a b k k k a b a b a b a b k k k ----====+-++【点评】本题考查了见比设份的解题方法，以及分式中的因式分解，约分等。

28.2 线段的比、黄金分割与比例的性质（2011山东省潍坊市，题号8，分值3）8、已知矩形ABCD 中，AB=1,在BC 上取一点E ,沿AE 将△ABE 向上折叠，使B 点落在AD 上的F 点，若四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，则AD=（）A ．215- B ．215+ C ． 3D ．2考点：多边形的相似、一元二次方程的解法解答：根据已知得四边形ABEF 为正方形。

因为四边形EFDC 与矩形ABCD 相似所以DF:EF=AB:BC 即（AD-1）:1=1:AD 整理得：012=--AD AD ,解得251±=AD 由于AD 为正，得到AD=215+，本题正确答案是B. 点评：本题综合考察了一元二次方程和多边形的相似，综合性强。

28.3 相似三角形的判定（2012山东省聊城，11，3分）如图，△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，下列结论不正确的是（）A.BC=2DEB. △ADE ∽△ABCC.ACABAE AD =D. ADE ABC S S ∆∆=3 解析：根据三角形中位线定义与性质可知，BC=2DE ；因DE//BC ，所以△ADE ∽△ABC ，AD ：AB=AE ：AC ，即AD ：AE=AB ：AC ，ADE ABC S S ∆∆=4.所以选项D 错误.答案：D点评：三角形的中位线平行且等于第三边的一半.有三角形中位线，可以得出线段倍分关系、比例关系、三角形相似、三角形面积之间关系等.（2012四川省资阳市，10，3分）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，将△ABC 沿直线MN 翻折后，顶点C 恰好落在AB 边上的点D 处，已知MN ∥AB ，MC ＝6，NC＝MABN 的面积是A．B． C．D．【解析】由MC ＝6，NC＝∠C ＝90°得S △CMN=再由翻折前后△CMN ≌△DMN 得对应高相等；由MN ∥AB 得△CMN ∽△CAB 且相似比为1:2，故两者的面积比为1:4，从而得S △CMN ：S 四边形MABN =1:3，故选C. 【答案】C【点评】本题综合考查了直角三角形的面积算法、翻折的性质、由平行得相似的三角形相似的判定方法、相似图形的面积比等于相似比的平方等一些类知识点.知识点丰富；考查了学生综合运用知识来解决问题的能力.难度较大.（2012湖北随州，14,4分）如图，点D,E 分别在AB 、AC 上，且∠ABC=∠AED 。

2012年中考数学一轮精品复习教案：图形的相似与全等

九、图形的相似与全等(5课时)教学目标：1．立足教材，打好基础，查漏补缺，系统复习，熟练掌握本部分的基本知识、基本方法和基本技能. 2．让学生自己总结交流所学内容，发展学生的语言表达能力和合作交流能力． 3．通过学生自己归纳总结本部分内容，使他们在动手操作方面，探索研究方面，语言表达方面，分类讨论、归纳等方面都有所发展．教学重点与难点重点：将本部分的知识有机结合，强化训练学生综合运用数学知识的能力，．难点：把数学知识转化为自身素质. 增强用数学的意识．教学时间：5课时【课时分布】图形的相似及其全等在第一轮复习时大约需要5个课时，其中包括单元测试.下表为内容及课时安排: 课时数内容１比例线段、相似三角形的判定 2 相似三角形的性质及其应用１全等三角形的判定 1 图形相似和全等的综合训练图形相似和全等单元测试与评析教学过程：【知识回顾】 1、知识脉络[来源:]相似比k =1 定义、命题、三角形全等三角形全等的识别直角三角形全等的识别图形的全等图形的相似对应边成比例，对应角相等的两个多边形是相似多边形相似三角形的识别方法和性质相似三角形相似多边形坐标与图形的运动坐标表示物体的位置2、基础知识比例线段，若d c b a =（或a ∶b =c ∶d ），则四条线段a 、b 、c 、d 叫做比例线段.比例基本性质：若dc ba =，则ad =bc .在比例中运用设k 法.相似多边形，对应边成比例，对应角相等.（识别方法）相似三角形的相似比（当k =1时,得特殊的相似三角形，称为全等三角形）. 相似三角形的判定定理：(1)如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么两个三角形相似；(2)如果一个三角形的两边分别与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角对应相等，那么两个三角形相似；(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么两个三角形相似；(4)如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．相似三角形的性质定理：(1)若两个三角形相似，则这两个三角形的对应边成比例，对应角相等. (2)若两个三角形相似，它们对应中线的比，角平分线的比，高的比都等于相似比.(3)若两个三角形相似，它们周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 直角三角形中的射影定理.利用相似三角形的性质解决一些实际问题.画相似图形，利用位似方法，把一个多边形放大和缩小. 全等三角形的判定定理：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL . 命题、定理、公理.五种基本作图及简单的作图题. 3、能力要求例1 已知△ABC 中，∠ACB =90º，CD ⊥AB 于D ， AD ∶BD =2∶3且CD =6. 求（1）AB ；（2）AC .【分析】设AD =2k ，BD =3k .根据直角三角形和它斜边上的高，可知△ABC ∽△ACD ∽△CBD .通过相似三角形对应边成比例求出其中k 的大小；但是如果根据用射影定理，那么就可以直接计算出k 的大小. 解：设AD =2k ，BD =3k （k >0）.∵∠ACB =90º， CD ⊥AB .∴CD 2=AD •BD ， ∴62=2k •3k ，∴k =6. ∴AB =65.又∵AC 2=AD •AB ，∴AC =152.【说明】解题的方法可以不止一种，本题采用了补充的射影定理来解，其中通过A BCD ┐设k 法将两线段的比转化成两线段的长2k 和3k ，建立关于k 的等式.在含有比例的解题中设k 法是常用的解题方法之一.例2 已知△ABC 中，∠ACB =90º，CH ⊥AB ，HE ⊥BC ，HF ⊥AC . 求证：（1）△HEF ≌△EHC ；（2）△HEF ∽△HBC . 【分析】从已知条件中可以获得四边形CEHF是矩形，要证明三角形全等要收集到三个条件，有公共边EH ,根据矩形的性质可知EF =CH ,HF =EC .要证明三角形相似，从条件中得∠FHE =∠CHB =90º,由全等三角形可知，∠HEF =∠HCB ,这样就可以证明两个三角形相似. 【证明】∵HE ⊥BC ，HF ⊥AC ，∴∠CEH =∠CFH =90º.又∵∠ACB =90º，∴四边形CEHF 是矩形. ∴EF =CH ,HF =EC ，∠FHE =90º. 又∵HE =EH ，∴△HFE ≌△EHC .∴∠HEF =∠HCB . ∵∠FHE =∠CHB =90º， ∴△HEF ∽△HBC .【说明】在这一题的分析过程中，走“两头凑”比较快捷，从已知出发，发现有用的信息，从结论出发，寻找解决问题需要的条件.解题中还要注意上下两小题的“台阶”关系.培养学生良好的思维习惯.例3 两个全等的含30º，60º角的三角板ADE 和ABC 如图所示放置，E ，A ，C 三点在一条直线上，连接BD ，取BD 的中点M ，连结ME ，MC .试判断△EMC 的形状，并说明理由. 【分析】判断一个三角形的形状，可以结合所给出的图形作出假设，或许是等腰三角形.这样就可以转化为另一个问题：尝试去证明EM = MC ，要证线段相等可以寻找全等三角形来解决，然而图中没有形状大小一样的两个三角形.这时思考的问题就可以转化为这样一个新问题：如何构造一对全等三角形？根据已知点M 是直角三角形斜边的中点，产生联想：直角三角形斜边上的中点是斜边的一半，得：MD = MB = MA .连结M A 后，可以证明△MDE ≌△MAC . 【答】：△EMC 的形状是等腰直角三角形. 【证明】连接AM ,有题意得,DE = AC ，AD =AB ，∠DAE +∠BAC =90º. ∴∠DAB =90º. ∴△DAB 为等腰直角三角形. 又∵MD = MB ，∴M A = MD = MB ，AM ⊥DB ，∠MAD =∠M AB =45º. ∴∠MDE =∠MAC =105º， ∠DMA =90º. ∴△MDE ≌△MAC .∴∠DME =∠AMC ，ME =MC . 又∠DME +∠EMA =90º， ∴∠AMC +∠EMA =90º.C E AD M B ┌ ┐ A BC F E H∴MC ⊥EM .∴△EMC 的形状是等腰直角三角形.【说明】构造全等三角形是解决这个问题的关键，那么构造全等又如何进行的呢？对条件的充分认识和对知识点的联想可以找到添加辅助线的途径.构造过程中要不断地转化问题或转化思维的角度.会转化，善于转化，更能体现思维的灵活性.在问题中创设三角板为情境也是考题的一个热点.例4 如图，已知∠MON =90º，等边三角形ABC 的一个顶点A 是射线OM 上的一定点，顶点B 与点O 重合，顶点C 在∠MON 内部.（1）当顶点B 在射线ON 上移动到B 1时，连结AB 1为一边的等边三角形AB 1C 1（保留作图痕迹，不写作法和证明）；（2）设AB 1与OC 交于点Q ，AC 的延长线与B 1C 1交于点D .求证：AQ AB AD AC ⋅=⋅1；（3）连结CC 1，试猜想∠ACC 1为多少度？并证明你的猜想. 【分析】用尺规作图画出符合题意的等边三角形AB 1C 1是对问题（2）研究的关键.分别以A 、B 1两点为圆心，AB 1长为半径作弧，两弧的交点即为点C 1.然后把等积式改写比例式，找出所需的两个相似三角形. 【解】（1）如图所示；【证明】（2）∵△AOC 与△AB 1C 1等边三角形，∴∠ACB =∠AB 1D =60º.又∵∠CAQ =∠B 1AD , ∴△ACQ ∽△AB 1D ； .,11AB AQ AD AC ADAQ AB AC ⋅=⋅=∴即(3) 猜想∠ACC 1=90º.证明:∵△AOC 和△AB 1C 1为正三角形,AO =AC ，AB 1=AC 1， ∴∠OAC =∠C 1AB 1，∴∠OAC -∠CAQ =∠C 1AB 1-∠CAQ ，∴∠OAB 1=∠CAC 1 .∴△AO B 1 ≌ △AC C 1. ∴∠ACC 1=∠AOB 1=90º.【说明】问题中要求学生画出正△AB 1C 1，是对学生理解能力和动手能力的考验,教材中安排的五种基本作图，教学中应当给予一定的重视.同时通过比例线段确认要证的相似三角形是常用方法之一. 问题(3) 是一道结论开放的问题，根据对已知条件的分析，对图形的观察，猜想直角，再根据所推断出的目标，去证明猜想是正确的.这样既培养学生的合情推理能力，也给了学生一个探索的平台. 例5 (1)已知如图①，在△AOB 和△COD 中，OA =OB ，OC =OD ，∠AOB =∠COD =60º. 求证：①AC =BD ,②∠APB =60º.(2) 如图②，在△AOB 和△COD 中，OA =OB ,OC =OD , ∠AOB =∠COD =α,则AC 与BD 间的等量关系式为______________；∠APB 的大小为_____________.(3) 如图③，在△AOB 和△COD 中，OA =kOB ,OC =kOD (k >1), ∠AOB =∠COD =α,则AC 与BD 间的等量关系式为_________________；∠APB 的大小为_____________.AD O COD CO DN O AC QB 1 MC 1D（B ）【分析】要证AC =BD ，在图①可以找AC 与BD 所在的两个三角形全等。

中考数学图形的相似专习题复习

欢迎阅读（备战中考）江苏省2012年中考数学深度复习讲义（教案+中考真题+模拟试题+单元测试）图形的相似◆考点聚焦1．了解线段的比、成比例线段、黄金分割、相似图形有关概念及性质．2．探索并掌握三角形相似的性质及条件，•并能利用相似三角形的性质解决简单的实际问题．3．掌握图形位似的概念，能用位似的性质将一个图形放大或缩小．4．12．识别意．3．123b，c，d叫4．相似三角形：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．•对应边之比叫做________．当相似比为1时，两个三角形就称为_______．5．相似三角形的识别：（1）两组对应角分别__________的两个三角形相似；（2）两组对应边成比例，且_______相等的两个三角形相似；（3）三组对应边________的两个三角形相似；（4）平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所得的三角形与原三角形________．6．相似三角形的性质：（1）相似三角形对应边成_________，对应角_______．（2）相似三角形对应线段（对应角，对应中线，对应角平分线，•外接圆半径和内切圆半径）之比和周长之比都等于_______；（3）相似三角形的面积比等于_______．7．黄金分割：若线段AB上一点P分线段成AP与PB两条线段，且AP PBAB AP=（可求出比值为0.618……），这种分割叫黄金分割．P点叫线段AB的黄金分割点，一条线段有_____个黄金分割点．8（注9条件：13）例1（．点P是AB在线段AP（1（2AP=x，BN=y的函数关系式，并写出函数的定义域；（3分别与△ENB的顶点E、N AP的长．图1图2备用图【答案】（1）∵∠ACB=90°，∴AC230=40．∵S=12AB CP⋅⋅=12AC BC⋅⋅,∴CP=AC BCAB⋅=403050⨯=24．在Rt△CPM中，∵sin∠EMP=12 13，∴1213 CPCM=．∴CM=1312CP=132412⨯=26．（2）由△APE∽△ACB，得PE APBC AC=，即3040PE x=，∴PE=34x．在Rt△MPE中，∵sin∠EMP=1213，∴1213PEME=．∴EM=1312PE=133124x⨯=1316x．∴∵∴（本题还△AM=x-∴即)，∴CE=30∴例2如图，已知平行四边形ABCD中，E是AB边的中点，DE交AC于点F，AC，DE把平行四边形ABCD分成的四部分的面积分别为S1，S2，S3，S4．下面结论：①只有一对相似三角形；②EF：ED=1：2；③S1：S2：S3：S4=1：2：4：5．其中正确的结论是（）A．①③B．③C．①D．①②解析∵AB∥DC，∴△AEF•∽△CDF，•但本题还有一对相似三角形是△ABC•≌△CDA（全等是相似的特例）．∴①是错的．∵12AE EFCD DF==，∴②EF：ED=1：2是错的．∴S△AEF ：S△CDF=1：4，S△AEF：S△ADF=1：2．∴S1：S2：S3：S4=1：2：4：5，③正确．答案B点拨①利用相似三角形的特征和等高三角形的面积比等于底边之比；（共底三角形的面积之比等于G，A．2对答案例3，对角线（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有（2解析（1任选两个三角形的所有可能情况如下六种情况：①②，①③，①④，③④．∴选取到的两个三角形是相似三角形的概率P=3．（2）证明：选择①③证明．在△AOB与△COD中，∵AB∥CD，∴∠CDB=∠DBA，∠DCA=∠CAB，∴△AOB∽△COD．选择②④证明．∵四边形ABCD是等腰梯形，∴∠DAB=∠CAB．在△DABC与△CBA中，AD=BC，∠DAB=∠CAB，AB=AB，∴△DAB≌△CBA，∴∠ADO=∠BCO．又∠DOA=∠COB，∴DOA≌△COB．例4如图，是某城市一个主题雕塑的平面示意图，它由置放于地面L上两个半径为2米的半圆与半径为4米的⊙A构成．点B，C分别是两个半EF的长．∴在△AEF∠EAF=∴△AEF则EF=BC点拨•8A点，沿OA∠AMC=∴△MAC∽△MOP，∴AM AC MO OP=．即1.6 208 MAMA=+，解得MA=5．同理，由△NBD∽△NOP可求得NB=1.5，所以小明的身影变短了3.5米．例5如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，直角尺的直角顶点P在AD上滑动时（•点P与A，D不重合），一直角边经过点C ，另一直角边交AB 于点E ．我们知道，结论“Rt•△AEP ∽Rt △DPC ”成立．（1）当∠CPD=30°时，求AE 的长；（2）是否存在这样的点P ，使△DPC 的周长等于△AEP 周长的2倍？若存在，求出DP 的长；若不存在，请说明理由．解析（1）在Rt △PCD 中，由tan ∠CPD=CDPD，得PD=4CD =AP PDCD=10）假设存在满足条件的点1.（2011浙江金华，9，3分）如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直.如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（） .300m 【答案】B2.（2011安徽，9，4分）如图，四边形ABCD 中，∠BAD =∠ADC =90°，AB =AD =22，CD =2，点P在四边形ABCD 的边上．若P 到BD 的距离为32，则点P 的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B3.（2011广东东莞，31,3分）将左下图中的箭头缩小到原来的12，得到的图形是（）【答案】Ａ4.（2011浙江省，6，3分）如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则S△BCE ：S△BDE等于（）A.2：5B.14:25C.16:25D.4:21【答案】B5.（2011浙江台州，5,4分）若两个相似三角形的面积之比为1:4，则它们的周长之比为（）A.1:2B.1:4C.1:5D.1:16【答案】6.分）如图，边长为BCED7.8.29，AE9.相似三角形；③菱形的面积等于两条对角线的积；④对角线相等的四边形是矩形。

2012年中考复习考点跟踪训练《阅读理解问题》

2012年中考复习考点跟踪训练（四十三）《阅读理解问题》一、选择题1．若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如a ＋b ＋c 就是完全对称式．下列三个代数式：①(a －b )2；②ab ＋bc ＋ca ；③a 2b ＋b 2c ＋c 2a .其中是完全对称式的是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 答案 A解析若把a 2b ＋b 2c ＋c 2a 中的a ，b 两个字母交换，得b 2a ＋a 2c ＋c 2b ，代数式发生变化，不是完全对称式；而(a －b )2＝(a －a )2，ab ＋bc ＋ca ＝ba ＋ac ＋cb ，是完全对称式．2．(2010·嘉兴)若自然数n 使得三个数的加法运算“n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)”产生进位现象，则称n 为“连加进位数”．例如：2不是“连加进位数”，因为2＋3＋4＝9不产生进位现象；4是“连加进位数”，因为4＋5＋6＝15产生进位现象；51是“连加进位数”，因为51＋52＋53＝156产生进位现象．如果从0,1,2，…，99这100个自然数中任取一个数，那么取到“连加进位数”的概率是( )A ．0.88B ．0.89C ．0.90D ．0.91 答案 A解析先利用分类讨论，得到一位数中“连加进位数”有7个，分别为(3,4,5,6,7,8,9)，再考虑到两位数中“连加进位数”有67个分别为(33,34,35，…，99)，再考虑到两位数中(13，…，19)与(23，…，29)中个位数中产生了进位，合计7＋67＋7＋7＝88个．故取到“连加进位数”的概率P ＝88100＝0.88.3．(2010·日照)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )A ．15B ．25C ．55D ．1225 答案 D解析第n 个三角数是n (n ＋1)2，正方形数是n 2，当对于1225，有n (n ＋1)2＝1225，n ＝49或－51；n 2＝1225，n ＝±35.所以1225即是三角形数又是正方形数．4．(2008·湖北)因为sin 30°＝12，sin 210°＝－12，所以sin 210°＝sin(180°＋30°)＝－sin 30°；因为sin 45°＝22，sin 225°＝－22，所以sin 225°＝sin(180°＋45°)＝－sin 45°；由此猜想，推理知：一般地当α为锐角时有sin(180°＋α)＝－sin α，由此可知：sin 240°＝( )A ．－12B ．－22C ．－32 D ．－ 3答案 C解析由sin(180°＋α)＝－sin α，得sin240°＝sin(180°＋60)＝－sin60°＝－32. 5．(2010·广州)为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知有一种密码，将英文26个小写字母a ，b ，c ，…，z 依次对应0,1,2，…，25这26个自然数(见表格)，当明文中的字母对应的序号为β时，将β＋10除以按上述规定，将明文“maths ”译成密文后是( ) A ．w kdrc B ．w khtc C ．eqdjc D ．eqhjc 答案 A解析 m 对应的数字是12,12＋10＝22，除以26的余数仍然是22，因此对应的字母是w ；a 对应的数字是0,0＋10＝10，除以26的余数仍然是10，因此对应的字母是k ；t 对应的数字是19,19＋10＝29，除以26的余数仍然是3，因此对应的字母是d ；…，所以本题译成密文后是w kdrc .二、填空题 6．(2010·黄石)若自然数n 使得作竖式加法n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)均不产生进位现象，则称n 为“可连数”，例如32是“可连数”，因为32＋33＋34不产生进位现象；23不是“可连数”，因为23＋24＋25生产了进位现象，那么小于200的“可连数”的个数为________．答案 24解析利用分类讨论，一位数中“可连数”有3个，分别为(0,1,2)；再考虑两位数中“可连数”有(10,11,12)，(20,21,22)，(30,31,32)；三位数中“可连数”有(100,101,102)，(110,111,112)，(120,121,122)，(130,131,132)．故合计3×8＝24个．7．(2011·怀化)定义新运算：对任意实数a 、b ，都有a *b ＝a 2－b ，例如，3] . 答案 3解析据题意，有2] 8．(2010·曲靖)把一个正三角形分成四个全等的三角形，第一次挖去中间一个小三角形，对剩下的三个小正三角形再重复以上做法……，一直到第n 次挖去后剩下的三角形有________个．答案 3n解析第一次操作之后有3个小正三角形，第二次操作之后有9个小正三角形，第三次操工作之后有27个小正三角形，……，则第n 次操作之后有3n 个小正三角形．9．数学的美无处不在．数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是15∶12∶10，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声do 、mi 、so .研究15、12、10这三个数的倒数发现：112－115＝110－112.我们称15、12、10这三个数为一组调和数．现有一组调和数：x 、5、3(x >5)，则x 的值是__________．答案 15解析依据调和数的意义，有15－1x ＝13－15，解得x ＝15.10．(2011·北京)在下表中，我们把第i 行第j 列的数记为a i ，j (其中i ，j 都是不大于5的正整数)，对于表中的每个数a i ，j ，规定如下：当i ≥j 时，a i ，j ＝1；当i <j 时，a i ，j ＝0.例如：当i ＝2，j ＝1时，a i ，j ＝a 2,1＝1.按此规定，a 1,3＝________；表中的25个数中，共有________个1；计算a 1,1·a i,1＋a 1,2＋a ＋a ＋a 的值为________.答案 0；15；1解析由题意，i 与j 之间大小分析：当i <j 时，a i ，j ＝0；当i ≥j 时，a i ，j ＝1.由图表可知有15个1，故填0；15；1.三、解答题 11．(2010·凉山)先阅读下列材料，然后解答问题：材料1：从3张不同的卡片中选取2张排成一列，有6种不同的排法，抽象成数学问题就是从3个不同元素中选取2个元素的排列，排列数记为A 32＝3×2＝6.一般地，从n 个不同元素中选取m 个元素的排列数记作A n m ，A n m ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)(m ≤n )．例：从5个不同元素中选3个元素排成一列的排列数为：A 53＝5×4×3＝60.材料2：从3张不同的卡片中选取2张，有3种不同的选法，抽象成数学问题就是从3个元素中选取2个元素的组合，组合数记为C 32＝3×22×1＝3.一般地，从n 个不同元素中选取m 个元素的组合数记作C n m ，C n m ＝n (n －1)…(n －m ＋1)m (m －1)…2×1(m ≤n )．例：从6个不同元素中选3个元素的组合数为：C 63＝6×5×43×2×1＝20.问：(1)从7个人中选取4人排成一排，有多少种不同的排法？(2)从某个学习小组8人中选取3人参加活动，有多少种不同的选法？解 (1)A 74＝7×6×5×4＝840(种)． (2)C 83＝8×7×63×2×1＝56(种).12．(2010·益阳)我们把对称中心重合，四边分别平行的两个正方形之间的部分叫“方形环”，易知方形环四周的宽度相等．．．．．．一条直线l 与方形环的边线有四个交点M 、M ′、N ′、N .小明在探究线段MM ′与N ′N 的数量关系时，从点M ′、N ′向对边作垂线段M ′E 、N ′F ，利用三角形全等、相似及锐角三角函数等相关知识解决了问题．请你参考小明的思路解答下列问题：(1)当直线l 与方形环的对边相交时，如图1，直线l 分别交AD 、A ′D ′、B ′C ′、BC 于M 、M ′、N ′、N ，小明发现MM ′与N ′N 相等，请你帮他说明理由；(2)当直线l 与方形环的邻边相交时，如图2，l 分别交AD 、A ′D ′、D ′C ′、DC 于M 、M ′、N ′、N ，l 与DC 的夹角为α，你认为MM ′与N ′N 还相等吗？若相等，说明理由；若不相等，求出MM ′N ′N的值(用含α的三角函数表示)．解 (1)解：在方形环中，∵M ′E ⊥AD ，N ′F ⊥BC ，AD ∥BC ，∴M ′E ＝N ′F ，∠M ′EM ＝∠N ′FN ＝90°， ∠EMM ′＝∠FNN ′， ∴△MM ′E ≌△NN ′F . ∴MM ′＝N ′N .(2)解法一：∵∠NFN ′＝∠MEM ′＝90°， ∠FNN ′＝∠EM ′M ＝α， ∴△NFN ′∽△M ′EM ， ∴MM ′N ′N＝M ′ENF .∵M ′E ＝N ′F ， ∴MM ′N ′N＝N ′F NF ＝tan α(或sin αcos α)． ①当α＝45°时，tan α＝1，则MM ′＝NN ′；②当α≠45°时，MM ′≠NN ′，则MM ′NN ′＝tan α(或sin αcos α)．解法二：在方形环中，∠D ＝90°.又∵M ′E ⊥AD ，N ′F ⊥CD ， ∴M ′E ∥DC ，N ′F ＝M ′E . ∴∠MM ′E ＝∠N ′NF ＝α.在Rt △NN ′F 与Rt △MM ′E 中， sin α＝N ′F NN ′，cos α＝M ′E MM ′，即MM ′NN ′＝tan α(或sin αcos α)．①当α＝45°时，MM ′＝NN ′；②当α≠45°时，MM ′≠NN ′，则MM ′NN ′＝tan α(或sin αcos α)．13．(2011·苏州)如图①，小慧同学把一个正三角形纸片(即△OAB )放在直线l 1上，OA 边与直线l 1重合，然后将三角形纸片绕着顶点A 按顺时针方向旋转120°，此时点O 运动到了点O 1处，点B 运动到了点B 1处；小慧又将三角形纸片AO 1B 1绕B 1点按顺时针方向旋转120°，此时点A 运动到了点A 1处，点O 1运动到了点O 2处(即顶点O 经过上述两次旋转到达O 2处)．小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转过程中，顶点O 运动所形成的图形是两段圆弧，即弧OO 1和弧O 1O 2，顶点O 所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两端圆弧与直线l 1围成的图形面积等于扇形AOO 1的面积、△AO 1B 1的面积和扇形B 1O 1O 2的面积之和．小慧进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片OABC 放在直线l 2上，OA 边与直线l 2重合，然后将正方形纸片绕着顶点A 按顺时针方向旋转90°，此时点O 运动到了点O 1处(即点B 处)，点C 运动到了点C 1处，点B 运动到了点B 1处；小慧又将正方形纸片AO 1C 1B 1绕B 1点按顺时针方向旋转90°，……，按上述方法经过若干次旋转后，她提出了如下问题：问题①：若正方形纸片OABC 按上述方法经过3次旋转，求顶点O 经过的路程，并求顶点O 在此运动过程中所形成的图形与直线l 2围成图形的面积；若正方形OABC 按上述方法经过5次旋转，求顶点O 经过的路程；问题②：正方形纸片OABC 按上述方法经过多少次旋转，顶点O 经过的路程是41＋20 22π？请你解答上述两个问题．解问题①：如图，正方形纸片OABC 经过3次旋转，顶点O 运动所形成的图形是三段弧，即弧OO 1、弧O 1O 2以及弧O 2O 3，∴顶点O 运动过程中经过的路程为90·π·1180×2＋90·π·2180＝(1＋22)π.顶点O 在此运动过程中所形成的图形与直线l 2围成图形的面积为 90·π·12360×2＋90·π·(2)2360＋2×12×1×1＝1＋π. 正方形OABC 经过5次旋转，顶点O 经过的路程为 90·π·1180×3＋90·π·2180＝(32＋22)π. 问题②：∵正方形OABC 经过4次旋转，顶点O 经过的路程为90·π·1180×2＋90·π·2180＝(1＋22)π.∵41＋20 22π＝20×(1＋22)π＋12π.∴正方形纸片OABC经过了81次旋转．。

2012年中考数学总复习试卷(相似形)

20XX年中考数学总复习试卷（十)（相像形）( 试卷满分 150分，考试时间 120 分钟 )一、选择题 ( 此题共 10小题，每题 4分，满分40 分)每一个小题都给出代号为Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ的四个结论，此中只有一个是正确的，把正确结论的代号写在题后的括号内．每一小题：选对得 4 分，不选、选错或选出的代号超出一个的（无论能否写在括号内）一律得0 分。

1．以下命题：①全部的等腰三角形都相像，②全部的等边三角形都相像，③全部的等腰直角三角形都相像，④全部的直角三角形都相像。

此中，正确的选项是（ A）A. ②③B.②③④C.③④D.②④2．已知ABC∽ A/ B/ C/，ABC的三边长分别为2、10、2，A/ B/ C/的两边长分别为 1和5，则ABC 的笫三边长为（A）A.2B.5C.10D.23．如图， DE ∥ FG∥ BC，且 DE、 FG 把△ ABC 的面积三平分，若BC＝ 12，则 FG 的长是（ C）A． 8 B ．6C．4 6D．4 34．如图，已知△ ABC 与△ ADE中，则∠ C＝∠ E，∠DAB＝∠ CAE，则以下各式建立的个数是（ C）∠D＝∠ BAF AD DE AE AD AB ，AC＝AB，BC＝AC，AE＝ACA．1 个B． 2 个C． 3 个D． 4 个5. 如图，已知DE∥ BC， CE和 BD订交于点O，S DOE∶S COB4∶9 ，则AE∶EB为（A）A． 2∶1B．2∶ 3C．3∶2D．5∶4ADFEB C（第 3 题图）（第 4 题图）（第 5 题图）6．已知a c，则以下等式中不建立的是（ D）b dA．bd B． a b c d a c b dC ．a c D．ad aa b c dbc b7．若abb c c a k ，则 k 的值为（ C ）cabA.2B.－ 1 C.2 或－ 1 D.不存在8．如图， P 是 Rt △ABC 的斜边 BC 上异于 B ， C 的一点，过 P 点作直线截△ ABC ，使截得的三角形与△ ABC 相像，知足这样条件的直线共有（ C）A ．1 条B． 2 条C． 3 条D ．4 条9．如图，等边 △ ABC 的边长为 3， P 为 BC 上一点，且 BP 1， D 为 AC 上一点，若APD60°，则 CD 的长为（ B）A ．3B．2C．1D．3232410．如图，在 Rt △ABC 内有边长分别为 a 、 b 、 c 的三个正方形，则a 、b 、c 知足的关系式是（ A）A ． b a cB ． b acC． b 2a 2 c 2D ． b 2a 2cA60° DBCP（第 8 题图）（第 9 题图）（第 10 题图）二、填空题（每题5 分，共 20 分）11．两个相像三角形的面积比为4∶ 9，那么它们的周长比为 2 ： 3 。

中考数学专题特训　相似图形(含详细参考答案)

中考数学专题复习相似图形【基础知识回顾】一、成比例线段：1、线段的比：如果选用同一长度的两条线段ＡＢ，ＣＤ的长度分别为m、n则这两条线段的比就是它们的比，即：AB CD=2、比例线段：四条线段a、b、c、d如果ab=那么四条线段叫做同比例线段，简称3、比例的基本性质：ab=cd<＝>4、平行线分线段成比例定理：将平行线截两条直线【赵老师提醒：1、表示两条线段的比时，必须示用相同的，在用了相同的前提下，两条线段的比值与用的无关即比值没有2、全分割：点C把线段AB分成两条，线段AC和BC（AC>BC）如果那么称线段AB被点C全分割AC与AB的比叫全比，即L ACAB= ≈ 】二、相似三角形：1、定义：如果两个三角形的各角对应各边对应那么这两个三角形相似2、性质：⑴相似三角形的对应角对应边⑵相似三角形对应点的比、对应角平分线的比、对应的比都等于⑶相似三角形周长的比等于面积的比等于1、判定：⑴基本定理：平行于三角形一边的直线和其它两边或两线相交，三角形与原三角形相似⑵两边对应且夹角的两三角形相似⑶两角的两三角形相似⑷三组对应边的比的两三角形相似【赵老师提醒：1、全等是相似比为的特殊相似2、根据相似三角形的性质的特质和判定，要证四条线段的比相等相等一般要先证判定方法中最常用的是三组对应边成比例的两三角形相似多用在点三角形中】三、相似多边形：1、定义：各角对应各边对应的两个多边形叫做相似多边形2、性质：⑴相似多边形对应角对应边⑵相似多边形周长的比等于面积的比等于【赵老师提醒：相似多边形没有专门的判定方法，判定两多边形相似多用在矩形中，一般用定义进行判定】一、位似：1、定义：如果两个图形不仅是而且每组对应点所在直线都经过那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做这时相似比又称为2、性质：位似图形上任意一点到位似中心的距离之比都等于【赵老师提醒：1、位似图形一定是图形，但反之不成立，利用位似变换可以将一个图形放大或2、在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比位r，那么位似图形对应点的坐标的比等于或】【典型例题解析】考点一：比例线段例1 （2012•福州）如图，已知△ABC，AB=AC=1，∠A=36°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，则AD的长是，cosA的值是．（结果保留根号）考点：黄金分割；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．分析：可以证明△ABC∽△BDC，设AD=x，根据相似三角形的对应边的比相等，即可列出方程，求得x的值；过点D作DE⊥AB于点E，则E为AB中点，由余弦定义可求出cosA的值．解答：解：∵△ABC，AB=AC=1，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB=1802A-∠=72°．∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠DBC=12∠ABC=36°．∴∠A=∠DBC=36°，又∵∠C=∠C∴△ABC∽△BDC，∴ACBC=BCCD，设AD=x，则BD=BC=x．则11xx x=-，解得：x=152+（舍去）或152-．故x=152-．如右图，过点D作DE⊥AB于点E，∵AD=BD，∴E为AB中点，即AE=12AB=12．在Rt△AED中，cosA=12512AEAD=-=514+．故答案是：152-；514+．点评：△ABC、△BCD均为黄金三角形，利用相似关系可以求出线段之间的数量关系；在求cosA时，注意构造直角三角形，从而可以利用三角函数定义求解．对应训练2．（2012•孝感）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，若AC=2，则AD的长是（）A．512-B．512+C．51-D．51+考点：黄金分割．分析：根据两角对应相等，判定两个三角形相似．再用相似三角形对应边的比相等进行计算求出BD的长．解答：解：∵∠A=∠DBC=36°，∠C公共，∴△ABC∽△BDC，且AD=BD=BC．设BD=x，则BC=x，CD=2-x．由于BC AC CD BC=，∴22xx x=-．整理得：x2+2x-4=0，考点二：相似三角形的性质及其应用例2 （2012•重庆）已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，则ABC 与△DEF的面积之比为．考点：相似三角形的性质．专题：探究型．分析：先根据相似三角形的性质求出其相似比，再根据面积的比等于相似比的平方进行解答即可．解答：解：∵△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，∴三角形的相似比是3：1，∴△ABC与△DEF的面积之比为9：1．故答案为：9：1．点评：本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．对应训练2．（2012•沈阳）已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为3：4，△ABC的周长为6，则△A′B′C′的周长为．考点：相似三角形的性质．专题：应用题．分析：根据相似三角形周长的比等于相似比计算即可得解．解答：解：∵△ABC∽△A′B′C′，∴△ABC的周长：△A′B′C′的周长=3：4，∵△ABC的周长为6，∴△A′B′C′的周长=6×43=8．故答案为：8．点评：本题主要考查了相似三角形周长的比等于相似比的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．考点三：相似三角形的判定方法及其应用例3 （2012•徐州）如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC= 14BC．图中相似三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对考点：相似三角形的判定；正方形的性质．分析：首先由四边形ABCD是正方形，得出∠D=∠C=90°，AD=DC=CB，又由DE=CE，FC= 14BC，证出△ADE∽△ECF，然后根据相似三角形的对应边成比例与相似三角形的对应角相等，证明出△AEF∽△ADE，则可得△AEF∽△ADE∽△ECF，进而可得出结论．解答：解：图中相似三角形共有3对．理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠D=∠C=90°，AD=DC=CB，∵DE=CE，FC=14 BC，∴DE：CF=AD：EC=2：1，∴△ADE∽△ECF，∴AE：EF=AD：EC，∠DAE=∠CEF，∴AE：EF=AD：DE，即AD：AE=DE：EF，∵∠DAE+∠AED=90°，∴∠CEF+∠AED=90°，∴∠AEF=90°，∴∠D=∠AEF，∴△ADE∽△AEF，∴△AEF∽△ADE∽△ECF，即△ADE∽△ECF，△ADE∽△AEF，△AEF∽△ECF．故选C．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，以及正方形的性质．此题难度适中，解题的关键是证明△ECF∽△ADE，在此基础上可证△AEF∽△ADE．例4 16．（2012•资阳）（1）如图（1），正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上，直接写出HD：GC：EB的结果（不必写计算过程）；（2）将图（1）中的正方形AEGH绕点A旋转一定角度，如图（2），求HD：GC：EB；（3）把图（2）中的正方形都换成矩形，如图（3），且已知DA：AB=HA：AE=m：n，此时HD：GC：EB的值与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写计算过程）．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；正方形的性质．分析：（1）首先连接AG，由正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上，易证得∠GAE=∠CAB=45°，AE=AH ，AB=AD ，即A ，G ，C 共线，继而可得HD=BE ，GC= 2BE ，即可求得HD ：GC ：EB 的值；（2）连接AG 、AC ，由△ADC 和△AHG 都是等腰直角三角形，易证得△DAH ∽△CAG 与△DAH ≌△BAE ，利用相似三角形的对应边成比例与正方形的性质，即可求得HD ：GC ：EB 的值；（3）由矩形AEGH 的顶点E 、H 在矩形ABCD 的边上，由DA ：AB=HA ：AE=m ：n ，易证得△ADC ∽△AHG ，△DAH ∽△CAG ，△ADH ∽△ABE ，利用相似三角形的对应边成比例与勾股定理即可求得HD ：GC ：EB 的值．解答：解：（1）连接AG ，∵正方形AEGH 的顶点E 、H 在正方形ABCD 的边上，∴∠GAE=∠CAB=45°，AE=AH ，AB=AD ，∴A ，G ，C 共线，AB-AE=AD-AH ，∴HD=BE ，∵AG=sin 45AE =2AE ，AC=sin 45AB =2AB ， ∴GC=AC-AG=2AB-2AE=2（AB-AE ）=2BE ，∴HD ：GC ：EB=1：2：1。

人教版（2012）初中数学中考中的相似三角形专题练习（含答案）

人教版（2012）初中数学中考中的相似三角形专题练习（含答案）中考中的相似三角形第一部分知识梳理一、相似的性质1、对应角相等，对应边成比例2、对应边上的中线、高之比，对应角平分线之比等于相似比3、周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方。

二、相似三角形的判定1、平行于三角形一边的直线，截三角形两边或延长线，所得三角形与原三角形相似2、两角对应相等的两三角形相似3、两边对应成比例，且夹角对应相等的两个三角形相似4、三边对应成比例，两个三角形相似第二部分中考链接一、相似三角形的性质1．（2018?重庆）制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（）A．360元B．720元C．1080元D．2160元2 ．（2018?玉林）两三角形的相似比是2：3，则其面积之比是（）A．：B．2：3C．4：9D．8：273．（2018?重庆）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为（）A．3cmB．4cmC．4.5cmD．5cm4．（2018?内江）已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比为（）A．1：1B．1：3C．1：6D．1：95．（2018?铜仁市）已知△ABC∽△DEF，相似比为2，且△ABC的面积为16，则△DEF的面积为（）A．32B．8C．4D．166．（2017?重庆）已知△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．1：4B．4：1C．1：2D．2：17．（2018?广东）在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的面积之比为（）A．B．C．D．8．（2018?自贡）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积为4，则△ABC的面积为（）A．8B．12C．14D．168题图11题图12题图9．（2019?常州）若△ABC～△A′B''C′，相似比为1∶2，则△ABC与△A''B′C''的周长的比为()A．2∶1B．1∶2C．4∶1D．1∶410．（2019?兰州）已知△ABC∽△A''B''C''，AB=8，A''B''=6，则=（）A．2B．C．3D．11．（2019?重庆）如图，△ABO∽△CDO，若BO=6，DO=3，CD=2，则AB的长是（）A．2B．3C．4D．512．（2019?常德）如图，在等腰三角形△ABC中，AB=AC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△ABC的面积为42，则四边形DBCE的面积是（）A．20B．22C．24D．26二、相似三角形的判定（一）利用平行线证三角形相似1．（2018?枣庄）如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是（）A．B．C．D．1题图2题图3题图2．（2018?枣庄）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则CE的长为（）A．B．C．D．3．（2018?东营）如图所示，已知△ABC中，BC=12，BC边上的高h=6，D为BC上一点，EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F，设点E到边BC的距离为x．则△DEF的面积y关于x的函数图象大致为（）A．B．C．D．4．（2018?崇明县一模）如图，在平行四边形ABCD 中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．3：4B．9：16C．9：1D．3：14题图5题图6题图7题图5．（2018?随州）如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则的值为（）A．1B．C．1D．6．（2018?哈尔滨）如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（）A．=B．=C．=D．=7．（2018?遵义）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=5，BC=10，连接AC、BD，以BD为直径的圆交AC于点E．若DE=3，则AD的长为（）A．5B．4C．3D．28．（2018?贵港）如图，在△ABC中，EF∥BC，AB=3AE，若S四边形BCFE=16，则S△ABC=（）A．16B．18C．20D．248题图9题图10题图11题图9．（2018?泸州）如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，DF=CF，则的值是（）A．B．C．D．10．（2018 临安区）如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB，AC相交于点D，E，若AD=4，DB=2，则DE：BC的值为（）A．B．C．D．11、（2018?恩施州）如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线B D交AG于F点．已知FG=2，则线段AE的长度为（）A．6B．8C．10D．1212．（2018?香坊区）如图，点D、E、F分别是△ABC的边AB、AC、BC上的点，若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式一定成立的是（）A．=B．=C．=D．=13．（2018?荆门）如图，四边形ABCD为平行四边形，E、F为CD边的两个三等分点，连接AF、BE交于点G，则S△EFG：S△ABG=（）A．1：3B．3：1C．1：9D．9：112题图13题图14题图15题图14．（2018?达州）如图，E，F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，AE=CF=AC．连接DE，DF并延长，分别交AB，BC于点G，H，连接GH，则的值为（）A．B．C．D．115．（2018?临沂）如图．利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2m，测得AB=1.6m．BC=12.4m．则建筑物CD的高是（）A．9.3mB．10.5mC．12.4mD．14m16．（2019?杭州）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC上，DE∥BC，M为BC边上一点（不与点B，C重合），连接AM交DE于点N，则（）A．B．C．D．1 6题图17题图18题图19题图17．（2019?凉山州）如图，在△ABC中，D在AC边上，AD∶DC=1∶2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则BE∶EC=（）A．1∶2B．1∶3C．1∶4D．2∶318．（2019?玉林）如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF与AC交于点G，则是相似三角形共有（）A．3对B．5对C．6对D．8对19．（2018?济宁）如图，点A是反比例函数y=（x＞0）图象上一点，直线y=kx+b过点A并且与两坐标轴分别交于点B，C，过点A作AD⊥x轴，垂足为D，连接DC，若△BOC的面积是4，则△DOC的面积是．20．（2018?邵阳）如图所示，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，连接BF．写出图中任意一对相似三角形：．20题图21题图22题图23题图24题图21．（2018?北京）如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB=4，AD=3，则CF的长为．22．（2018?包头）如图，在?ABCD中，AC是一条对角线，EF∥BC，且EF与AB相交于点E，与AC相交于点F，3AE=2EB，连接DF．若S△AEF=1，则S△ADF的值为．23．（2018?资阳）已知：如图，△ABC的面积为12，点D、E分别是边AB、AC的中点，则四边形BCED的面积为．24．（2019?淮安）如图，l1∥l2∥l3，直线a、b与l1、l2、l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F．若AB=3，DE=2，BC=6，则EF=__________25．（2018镇江）如图1，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=6，AD=10，点P在边AD上运动，以P为圆心，PA为半径的⊙P与对角线AC交于A，E两点．（1）如图2，当⊙P与边CD 相切于点F时，求AP的长；（2）不难发现，当⊙P与边CD相切时，⊙P与平行四边形ABCD的边有三个公共点，随着AP的变化，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为4，直接写出相对应的AP的值的取值范围．27．（2019?菏泽）如图，BC是⊙O的直径，CE是⊙O的弦，过点E作⊙O的切线，交CB的延长线于点G，过点B作BF⊥GE于点F，交CE的延长线于点A．（1）求证：∠ABG＝2∠C；（2）若GF＝3，GB＝6，求⊙O的半径．（二）两角对应相等两三角形相似1．（2018?聊城）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，并且OA=5，OC=3．若把矩形OABC绕着点O逆时针旋转，使点A恰好落在BC边上的A1处，则点C的对应点C1的坐标为（）A．（﹣，）B．（﹣，）C．（﹣，）D．（﹣，）2．（20 18?永州）如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC=∠ACB，AD=2，BD=6，则边AC的长为（）A．2B．4C ．6D．81题图2题图3题图4题图3．（2019?淄博）如图，在△ABC中，AC=2，BC=4，D为BC边上的一点，且∠CAD=∠B．若△ADC的面积为a，则△ABD的面积为（）A．2aB．aC．3aD．a4．（2019?赤峰）如图，D、E分别是△ABC 边AB，AC上的点，∠ADE=∠ACB，若AD=2，AB=6，AC=4，则AE的长是（）A．1B．2C．3D．45．（2018滨州）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E、F分别在BC、CD上，若AE=，∠EAF=45°，则AF的长为．5题图．6题图7题图8题图6.(2018盐城)如图，在直角△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，P、Q分别为边BC、AB上的两个动点，若要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形，则AQ=________．7．（2019?南京）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠ACB．若AD=2，BD=3，则AC的长__________．8 ．（2019?宜宾）如图，已知直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，AC=4，BC=3，则AD=__________．9．（2018?济宁）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC 的中点，连接DF，过点E作EH⊥DF，垂足为H，EH的延长线交DC 于点G．（1）猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论；（2）过点H作MN∥CD，分别交AD，BC于点M，N，若正方形ABCD的边长为10，点P是MN上一点，求△PDC周长的最小值．10．（2018?杭州）如图，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的中线，D E⊥AB于点E．（1）求证：△BDE∽△CAD．（2）若AB=13，BC=10，求线段DE的长．11．（2018镇江）如图，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴，y轴分别交于A（﹣9，0），B（0，6）两点，过点C（2，0）作直线l与BC垂直，点E在直线l位于x轴上方的部分．（1）求一次函数y=kx+b（k≠0）的表达式；（2）若△ACE的面积为11，求点E的坐标；（3）当∠CBE =∠ABO时，点E的坐标为．12．（2018?滨州）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥CD于点D，且AC平分∠D AB，求证：（1）直线DC是⊙O的切线；（2）AC2=2AD?AO．13．（2018日照）如图所示，⊙O的半径为4，点A是⊙O上一点，直线l过点A；P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l于点B，交⊙O于点E，直径PD延长线交直线l于点F，点A是的中点．（1）求证：直线l是⊙O的切线；（2）若PA=6，求PB的长．14．（2018?东营）如图，CD是⊙O的切线，点C在直径AB的延长线上．（1）求证：∠CAD=∠BDC；（2）若BD=AD，AC=3，求CD的长．15.（2018黄冈）如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，过B点的切线交OP于点C.（1）求证：∠CBP=∠ADB.（2）若OA =2，AB=1，求线段BP的长.16．（2018?张家界）如图，点P是⊙O的直径AB延长线上一点，且AB=4，点M为上一个动点（不与A，B重合），射线PM与⊙O交于点N（不与M重合）（1）当M在什么位置时，△MAB的面积最大，并求岀这个最大值；（2）求证：△PAN∽△PMB．17、（2019?淄博）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E在AC上，以A E为直径的⊙O经过点D．（1）求证：①BC是⊙O的切线；②CD2＝CE?CA；（2）若点F是劣弧AD的中点，且CE＝3，试求阴影部分的面积．18、（2019?济宁）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是的中点，E为OD延长线上一点，且∠CAE＝2∠C，AC与BD交于点H，与OE交于点F．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若DH＝9，tanC＝，求直径AB的长．19．（2019 滨州）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．（1）求证：直线DF是⊙O的切线；（2）求证：BC2＝4CF?AC；（3）若⊙O的半径为4，∠CDF＝15°，求阴影部分的面积．20．（2 019?聊城）如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，作OD⊥AB交AC于点D，延长BC，OD交于点F，过点C作⊙O的切线CE，交O F于点E．（1）求证：EC＝ED；（2）如果OA＝4，EF＝3，求弦AC的长．（三）、三边对应成比例1．（2018?临安区）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．2．（2019?连云港）在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处，能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形相似（）A．①处B．②处C．③处D．④处（四）、两边成比例，夹角相等1、（2018徐州）如图，AB为⊙O的直径，AB=4，C为半圆AB的中点，P为上一动点，延长BP至点Q，使BP?BQ=AB2 ．若点P由A运动到C，则点Q运动的路径长为．2．（2018宿迁）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=（x﹣a）（x﹣3）（0＜a＜3）的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点D，过其顶点C作直线CP⊥x轴，垂足为点P，连接AD、BC．（1）求点A、B、D的坐标；（2）若△AOD与△BPC相似，求a 的值；（3）点D、O、C、B能否在同一个圆上？若能，求出a的值；若不能，请说明理由．三、相似三角形的应用1．（2018?长春）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（）A．五丈B．四丈五尺C．一丈D．五尺2．（2018?绍兴）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD ，垂足分别为B，D，AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，则栏杆C 端应下降的垂直距离CD为（）A．0.2mB．0.3mC．0.4mD．0.5m1题图2题图3题图4题图5题图3．（2018?泰安）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步面见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门H 位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木（即点D在直线AC上）？请你计算KC的长为步．4．（2018?岳阳）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是步．5．（2018?吉林）如图是测量河宽的示意图，AE 与BC相交于点D，∠B=∠C=90°，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求得河宽AB=m．6．（2019?吉林）在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时同地测得一栋楼的影长为90m，则这栋楼的高度为__________ m．7．（2019?荆门）如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E（O，A，B，C，D在同一条直线上），测得AC=2m，BD=2.1m，如果小明眼睛距地面髙度BF，DG为1.6m，试确定楼的高度OE．四、综合题1．（2018?扬州）如图，点A在线段BD 上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD与BE、AE分别交于点P，M．对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP MD=MA?ME；③2CB2=CP?CM．其中正确的是（）A．①②③B．①C．①②D．②③1题图2题图3题图2．（20 18?孝感）如图，△ABC是等边三角形，△ABD是等腰直角三角形，∠BAD=90°，AE⊥BD于点E，连CD分别交AE，AB于点F ，G，过点A作AH⊥CD交BD于点H．则下列结论：①∠ADC=15°；②AF=AG；③AH=DF；④△AFG∽△CBG；⑤AF=（﹣1）EF．其中正确结论的个数为（）A．5B．4C．3D．23．（2018?南充）如图，正方形ABCD的边长为2，P为CD的中点，连结AP，过点B作BE⊥AP于点E，延长CE交AD于点F，过点C作CH⊥BE于点G，交AB于点H，连接HF．下列结论正确的是（）A．CE=B．EF=C．cos∠CEP=D．HF2=EF?CF4．（2019?安徽）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=12，点D在边BC上，点E在线段AD上，EF⊥AC 于点F，EG⊥EF交AB于点G．若EF=EG，则CD的长为（）A．3.6B．4C．4.8D．54题图5题图5．（2018常州）如图，在△ABC纸板中，AC=4，BC=2，AB=5，P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是．6、(2018 盐城)如图，在以线段AB为直径的⊙O上取一点，连接AC、BC.将△ABC沿AB翻折后得到△ABD.（1）试说明点D在⊙O上；（2）在线段AD的延长线上取一点E，使AB2=AC.求证：BE为⊙O的切线；（3）在（2）的条件下，分别延长线段AE、CB相交于点F，若BC=2，AC=4，求线段EF的长.7．（2019?凉山州）如图，∠ABD=∠BCD=90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M．连接CM交DB 于N．（1）求证：BD2=AD·CD；（2）若CD=6，AD=8，求MN的长．8．（2019?安徽）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P为△ABC内部一点，且∠APB=∠BPC=135°．（1）求证：△PAB∽△PBC；（2）求证：PA=2PC；（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12=h2·h3．五、位似1．（2019?邵阳）如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，以下说法中错误的是（）A．△ABC∽△A′B′C′B．点C、点O、点C′三点在同一直线上C．AO∶AA′=1∶2D．AB∥A′B′1题图2题图3题图2.（2018菏泽）如图，与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，，，若点的坐标是，则点的坐标是3、（2019?烟台）如图，在直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABO的顶点坐标分别为A（-2，-1），B （-2，-3），O（0，0），△A1B1O1的顶点坐标分别为A1（1，-1），B1（1，-5），O1（5，1），△ABO与△A1B1O1是以点P为位似中心的位似图形，则P点的坐标为__________．4．（2019?河池）如图，以点O为位似中心，将△OAB 放大后得到△OCD，OA=2，AC=3，则=__________．5．（2019?本溪）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（4，2），B（5，0），以点O为位似中心，相似比为，把△ABO 缩小，得到△A1B1O，则点A的对应点A1的坐标为_________ _．6．（2019?巴中）△ABC在边长为1的正方形网格中如图所示．①以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C，使其位似比为1∶2．且△A1B1C位于点C的异侧，并表示出A1的坐标．②作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形△A2B2C．③在②的条件下求出点B经过的路径长．7、（2019?福建）已知△ABC和点A''，如图．（1）以点A''为一个顶点作△A''B''C''，使△A'' B''C''∽△ABC，且△A''B''C''的面积等于△ABC面积的4倍；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）设D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点，D''、E''、F''分别是你所作的△A''B''C''三边A''B''、B''C''、C''A''的中点，求证：△DEF∽△D''E''F''．探究题1．（2019?长沙）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比．（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）．①四条边成比例的两个凸四边形相似；（__________命题）②三个角分别相等的两个凸四边形相似；（_____ _____命题）③两个大小不同的正方形相似．（__________命题）（2）如图1，在四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，∠ABC=∠A1B1C1，∠BCD=∠B1C1D1，=．求证：四边形ABCD 与四边形A1B1C1D1相似．（3）如图2，四边形ABCD中，AB∥CD，AC与BD相交于点O，过点O作EF∥AB分别交AD，BC于点E，F．记四边形ABFE的面积为S1，四边形EFC D的面积为S2，若四边形ABFE与四边形EFCD相似，求的值．2．（2019?威海）（1）方法选择如图①，四边形ABCD是⊙O 的内接四边形，连接AC，BD，AB＝BC＝AC．求证：BD＝AD+CD．小颖认为可用截长法证明：在DB上截取DM＝AD，连接AM…小军认为可用补短法证明：延长CD至点N，使得DN＝AD…请你选择一种方法证明．（2）类比探究【探究1】如图②，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，BC是⊙O的直径，AB＝AC．试用等式表示线段AD，BD，CD之间的数量关系，井证明你的结论．【探究2】如图③，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD．若BC是⊙O的直径，∠ABC＝30°，则线段AD，BD，CD之间的等量关系式是．（3）拓展猜想如图④，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD．若BC是⊙O的直径，BC：AC：AB＝a：b ：c，则线段AD，BD，CD之间的等量关系式是．答案与提示一、相似三角形的性质:1、C2、C3、C4、D5、C6、A7、C8、D9、B10、B11、C12、D5、解：∵△ABC∽△DEF，相似比为2，∴△ABC与△DEF的面积比为4，∵△ABC的面积为16，∴△DEF的面积为：16×=4．9．（2019?常州）∵△ABC～△A′B''C′，相似比为1∶2，∴△ABC与△A''B′C''的周长的比为1∶2．故选B．10．（2019?兰州）∵△ABC∽△A''B''C''，∴．故选B．11．（2019重庆）∵△ABO∽△CDO，∴，∵BO=6，DO=3，CD=2，∴，解得AB=4．故选C．12．（2019?常德）【解析】如图，根据题意得△AFH∽△ADE，∴，设S△AFH=9x，则S△ADE=16x，∴16x-9x=7，解得x=1，∴S△ADE=16，∴四边形DBCE的面积=42-16=26．故选D．二、相似三角形的判定（一）利用平行线1、A2、A3、D4、B5、C6、D7、D8、B9、C10、A11、D12、C13、C14、C15、B16、C17、B18、C19、2﹣221、22、23、91、解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AD∥BC，∵点E是边BC的中点，∴BE=BC=AD，∴△BEF∽△DAF，∴=，∴EF=AF，∴EF=AE，∵点E是边BC的中点，∴由矩形的对称性得：A E=DE，∴EF=DE，设EF=x，则DE=3x，∴DF==2x，∴tan∠BDE===；故选：A．2、解：过点F作FG⊥AB于点G，∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠CDA=90°，∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，∵AF平分∠CA B，∴∠CAF=∠FAD，∴∠CFA=∠AED=∠CEF，∴CE=CF，∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°，∴FC=FG，∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90°，∴△BFG∽△BAC，∴=，∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°，∴BC=4，∴=，∵FC=FG，∴=，解得：FC=，即CE的长为．故选：A．2题图3题图4题图7题图3、解：过点A向BC作AH⊥BC于点H，所以根据相似比可知：=，即EF=2（6﹣x）所以y=×2（6﹣x）x=﹣x2+6x．（0＜x＜6）该函数图象是抛物线的一部分，故选：D．4、解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，∴△DFE∽△BFA，∵DE：EC=3：1，∴DE：DC=3：4，∴D E：AB=3：4，∴S△DFE：S△BFA=9：16．故选：B．5、解：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC，∴（）2=．∵S△ADE=S四边形BCED，∴=，∴===﹣1．故选：C．6、解：∵GE∥BD，GF∥AC，∴△AEG∽△ABD，△DFG∽△DCA，∴=，=，∴==．故选：D．7、解：如图，在Rt△ABC中，AB=5，BC=10，∴AC=5过点D作DF⊥AC于F，∴∠AFD=∠CBA，∵AD∥BC，∴∠DAF=∠ACB，∴△ADF∽△CAB，∴，∴，设DF=x，则AD= x，在Rt△ABD中，BD==，∵∠DEF=∠DBA，∠DFE=∠DAB=90°，∴△DEF∽△DBA，∴，∴，∴x=2，∴AD=x=2，故选：D8、解：∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∵AB=3AE，∴AE：AB=1：3，∴S△AEF：S△ABC=1：9，设S△AEF=x，∵S四边形BCFE=16，∴=，解得：x=2，∴S△ABC=18，故选：B．9、解：如图作，FN∥AD，交AB 于N，交BE于M．∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∵FN∥AD，∴四边形ANFD是平行四边形，∵∠D=90°，∴四边形AN FD是矩形∵AE=3DE，设DE=a，则AE=3a，AD=AB=CD=FN=4a，AN=DF=2a，∵AN=BN，MN∥AE，∴B M=ME，∴MN=a，∴FM=a，∵AE∥FM，∴===，故选：C．9题图11题图14题图17题图10、解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴===．故选：A．11、解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABF=∠GDF，∠BAF=∠DGF，∴△ABF∽△GDF，∴==2，∴AF=2GF=4，∴AG=6．∵CG∥AB，AB=2CG，∴CG为△EAB的中位线，∴AE=2AG=12．故选：D．12、解：∵DE∥BC，∴，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∵EF∥AB，∴，∵EF∥AB，∴△CEF∽△CAB，∴，∵DE∥BC，EF∥AB，∴四边形BDEF是平行四边形，∴DE=BF，EF=BD，∴，，，，∴正确，故选：C．13、解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB，CD∥AB，∵DE=EF=FC，∴EF：AB=1：3，∴△EFG∽△BAG，∴=（）2=，故选：C．14、解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD=BC，DC=AB，∵AC=CA，∴△ADC≌△CBA，∴S△ADC=S△ABC，∵AE=CF=AC，AG∥CD，CH∥AD，∴AG：DC=AE：CE=1：3，CH：AD=CF：AF=1：3，∴AG：AB=CH：BC=1：3，∴GH∥AC，∴△BGH∽△BAC，∴==（）2=（）2=，∵=，∴=×=，故选：C ．15、解：∵EB∥CD，∴△ABE∽△ACD，∴=，即=，∴CD=10.5（米）．B．16．（2019?杭州）∵DN∥BM，∴△ADN∽△ABM，∴，∵NE∥MC，∴△ANE∽△AMC，∴，∴．故选C．17．（2019?凉山州）如图，过O作OG∥BC，交AC于G，∵O是BD的中点，∴G是DC的中点．又AD∶DC=1∶2，∴AD=DG=GC，∴AG∶GC=2∶1，AO∶OE=2∶1，∴S△AOB：S△BOE=2，设S△BOE=S，S△AOB=2S，又BO=OD，∴S△AOD=2S，S△ABD=4S，∵AD∶DC=1∶2，∴S△BDC=2S△ABD=8S，S四边形CDOE=7S，∴S△AEC=9S，S△ABE=3S，∴，故选B．18．（2019玉林）图中三角形有：△AEG，△ADC，CFG，△CBA，∵AB∥EF∥DC，AD∥BC，∴△AEG∽△ADC∽CFG∽△CBA，共有6个组合分别为：∴△AEG∽△ADC，△AEG∽CFG，△AEG∽△CBA，△ADC∽CFG，△ADC∽△CBA，CFG∽△CBA，故选C．19、解：设A（a，）（a＞0），∴AD=，OD=a，∵直线y=kx+b过点A并且与两坐标轴分别交于点B，C，∴C （0，b），B（﹣，0），∵△BOC的面积是4，∴S△BOC=OB×OC=××b=4，∴b2=8k，∴k=①∴AD⊥x轴，∴OC∥AD，∴△BOC∽△BDA，∴，∴，∴a2k+ab=4②，联立①②得，ab=﹣4﹣4（舍）或ab=4﹣4，∴S△DOC=OD?OC=ab=2﹣2故答案为2﹣2．21、解：∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD，∴∠FAE=∠FCD，又∵∠AFE=∠CFD，∴△AFE∽△CFD，∴==2．∵AC==5，∴CF=?AC=×5=．故答案为：．22、解：∵3AE=2EB，∴可设AE=2a、BE=3a，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴=（）2=（）2=，∵S△AEF=1，∴S△ABC=，∵四边形ABCD是平行四边形，∴S△ADC=S△ABC=，∵EF∥BC，∴===，∴==，∴S△ADF=S△ADC=×=，故答案为：．23、解：设四边形BCED的面积为x，则S△ADE=12﹣x，∵点D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥B C，且DE=BC，∴△ADE∽△ABC，则=（）2，即=，解得：x=9，即四边形BCED的面积为9，24．∵l1∥l2∥l3，∴，又AB=3，DE=2，BC=6，∴EF=4，故答案为：4．25解：（1）如图2所示，连接PF，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC ==8，设AP=x，则DP=10﹣x，PF=x，∵⊙P与边CD相切于点F，∴PF⊥CD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∵AB⊥AC，∴AC⊥CD，∴AC∥PF，∴△DPF∽△DAC，∴，∴，∴x=，AP=；（2）当⊙P与BC相切时，设切点为G，如图3，S?ABCD==10PG，PG=，①当⊙P与边AD、CD分别有两个公共点时，＜AP＜，即此时⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4，②⊙P过点A、C、D三点．，如图4，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4，此时AP=5，综上所述，AP的值的取值范围是：＜AP＜或AP=5．故答案为：＜AP＜或AP=5．27．（2019?菏泽）（1）证明：连接OE，∵EG是⊙O的切线，∴OE⊥EG，∵BF⊥GE，∴OE∥AB，∴∠A＝∠OEC，∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠C，∴∠A＝∠C，∵∠ABG＝∠A+∠C，∴∠ABG＝2∠C；（2）解：∵BF⊥GE，∴∠BFG＝90°，∵GF＝3，GB＝6，∴BF＝＝3，∵BF∥OE，∴△BGF∽△OGE，∴＝，∴＝，∴OE＝6，∴⊙O的半径为6．（二）两角对应相等两三角形相似1、A2、B3、C4、C5、6、或7、8、1、解：过点C1作C1N⊥x轴于点N，过点A1作A1M⊥x轴于点M，由题意可得：∠C1NO=∠A1MO=90°，∠1=∠2=∠3，则△A1OM∽△OC1N，∵OA=5，OC=3，∴OA1=5，A1M=3，∴OM=4，∴设NO=3x，则NC1=4x，OC1=3，则（3x）2+（4x）2=9，解得：x=±（负数舍去），则NO=，NC1=，故点C的对应点C1的坐标为：（﹣，）．故选：A1题图5题图2、解：∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，∴△ADC∽△ACB，∴=，∴AC2=AD?AB=2×8=16，∵AC＞0，∴AC=4，故选：B．3、∵∠CAD=∠B，∠ACD=∠BCA，∴△ACD∽△BCA，∴，即，解得，△BCA的面积为4a，∴△ABD的面积为：4a-a=3a，故选C．4．∵∠ADE=∠ACB，∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，∴，即，解得AE=3，故选C．5、解：取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND=DF，设DF=DN=x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠BAD=∠B =90°，AD=BC=4，∴NF=x，AN=4﹣x，∵AB=2，∴AM=BM=1，∵AE=，AB=2，∴BE=1，∴ME==，∵∠EAF=45°，∴∠MAE+∠NAF=45°，∵∠MAE+∠AEM=45°，∴∠MEA=∠NAF，∴△AME∽△FNA，∴，∴，解得：x=，∴AF==．6、解：当△BPQ是直角三角形时，有两种情况：∠BPQ=90度，∠BQP=90度。

2012年中考数学相似复习专题

总复习：相似1．如图，△ABC 中，点D 在线段BC 上，且△ABC ∽△DBA ，则下列结论一定正确的是( ) A 、AB 2=BC ·BD B 、AB 2=AC ·BD C 、AB ·AD=BD ·BC D 、AB ·AD=AD ·CD(第1题) (第3题)2．如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，AB DE //交AC 于E ，如果32=EC AE ，那么=ACAB（）（A ）31（B ）32 （C ）52（D ）533．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，DE ∥BC ，若AD ∶AB =3∶4，AE =6，则AC 等于( )A ．3B ．4C ．6D ． 84．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则下列结论：①BC=2DE ；②△ADE ∽△ABC ；③AD ABAE AC=.其中正确的有（） (A)3个 (B)2个 (C)1个（D ）0个5．如图，有一矩形纸片ABCD ，AB=6，AD=8，将纸片折叠，使AB 落在AD 边上，折痕为AE ，再将△AEB 以BE 为折痕向右折叠，AE 与DC 交于点F ，则CDFC 的值是（）6．如图，△ABC 中，D 、E 分别为AC 、BC 边上的点，AB ∥DE ，CF 为AB 边上的中线，若AD =5，CD =3，DE =4，则BF 的长为（） A.332B. 316C. 310D.38AB CDE（第2题）第6题 F EDCBA7、在△ABC 中，D 为AC 边上一点，∠DBC ＝∠A ，BC ＝6，AC ＝3，则CD 的长为（） A 、1 B 、23 C 、2 D 、258．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，CD ⊥AB 于点D ．则△BCD 与△ABC 的周长之比为（）A ． 1:2B ． 1:3C ． 1:4D ． 1:5(第9题)9．某校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC 的高度，在点F 处竖立一根长为1.5米的标杆DF ，如图（1）所示，量出DF 的影子EF 的长度为1米，再量出旗杆AC 的影子BC 的长度为6米，那么旗杆AC 的高度为（）（A ）6米（B ）7米（C ）8.5米（D ）9米10．如图，△ABC 中，A ，B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是(-1，0)．以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形，并把△ABC 的边长放大到原来的2倍，记所得的像是△A ′B ′C ．设点B 的对应点B ′的横坐标是a ，则点B 的横坐标是( )A ．12a -B ．1(1)2a -+C ．1(1)2a --D ．1(3)2a -+第3题图 NM CBA（第10题）（第11题）11、如图，在△ABC 中，∠C ＝900，AC ＝8，CB ＝6，在斜边AB 上取一点M ，使MB ＝CB ，过M 作MN ⊥AB 交AC 于N ，则MN ＝。

2012届中考数学知识点复习：图形的相似最新版

如图，△ABC 中，点 D 在线段 BC 上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是( )
1．判定方法 (1)定义：各角对应相等，各边对应成比例． (2)两边对应成比例，且夹角相等； (3)两角对应相等； (4)三边对应成比例． 2．性质 (1)对应角相等，对应边成比例； (2)对应高的比、对应角平分线的比，对应中线的比都等于相似比； (3)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．
知识点五黄金分割
如图
，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC，如果AACB＝ABCC，
则称线段 AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫做 AB 的黄金分割点，AC 与 AB 的比叫做黄金比(即AACB
＝ 52－1≈0.618)．
类型一比例的基本性质、黄金分割
(1)若a－b b＝23，则ba＝________.(
A．6 米 B．8 米 C．18 米 D．24 米解析：由题意可证△ABP∽△CDP， ∴ACDB＝DBPP，∴C1.D2＝11.28，∴CD＝8 米．答案：B
2．(2010·湖州)如图，已知图中的每个小方格都是边长为 1 的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，若△ABC 与△A1B1C1 是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是________．
解析：作直线 A1A，C1C，两直线的交点(9,0)即为位似中心．答案：(9,0)
3．(2010·嘉兴)如图，已知 AD 为△ABC 的角平分线，DE∥AB 交 AC 于 E，如果AECE＝32，那么AABC＝( )
122 3 A.3 B.3 C.5 D.5 解析：∵AD 平分∠BAC，∴∠BAD＝∠EAD. 又∵DE∥AB，∴∠BAD＝∠ADE，∴∠EAD＝∠ADE， ∴AE＝DE，∴AECE＝DECE＝23. 又△CDE∽△CBA，∴ADBE＝ACCE，∴AABC＝DECE＝23. 答案：B

2012年中考数学专题复习第六章《图形的相似与解直角三角形》第24讲相似三角形

)
DE AE C. ＝ CB AB
(3)(2011·重庆)如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别交边 AB、AC于D、E两点，若AD∶AB＝1∶3，则△ADE与△ABC的面积
比为________．
【点拨】本组题重点考查相似三角形的性质和判定．
【解答】(1)B B 项中的三角形与△ABC 的三边对应成比例，故这两
AD DE 【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ ＝，即 AD＋DB BC
1 4 ＝，∴BC＝12 cm. 3 BC
(1)(2011·深圳)如图所示，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是( )
(2)(2011·铜仁)已知：如图所示，在△ABC中， ∠AED＝∠B，则下列等式成立的是(
A. DE AD ＝ BC DB AE AD B. ＝ BC BD AD AE D. ＝ AB AC
的结论．
答案：△ABE与△ADC相似．理由如下：在△ABE与△ADC中 ∵AE是 ⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，∵AD是△ABC的边BC上的高，∴∠ADC＝90°， ∴∠ABE＝∠ADC.又∵同弧所对的圆周角相等，∴∠BEA＝ ∠DCA.∴△ABE∽△ADC.
相似三角形
训练时间：60分钟
分值：100分
个三角形相似．故选 B. (2)C (3) 1 9 DE AE ∵∠A=∠A，∠AED=∠B，∴△ADE∽△ACB,∴ ＝，故选 C. CB AB S△ADE AD 2 1 2 1 ∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ ＝( ) ＝( ) ＝ . S△ABC AB 3 9
(2011·南京)如图①，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，在 △PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P

中考复习专题图形的相似.docx

沈河区2011—2012学年度下学期九年级数学中考复习专题系列：《图形的相似》一、选择题（每小题4分，共24分）3. 如图，AABC S ^ADE, △ ABC 与△ ADE 的相似比是 4 : 3,若 AD=4. 5, AE=6, ZDAE=ZBAC= 90° ,则AABC 的面积是（） 4, 如图，AB±AD, CD±BC, Z1=Z2,则图中相似三角形有（）对. A. 1 B. 2 5. 如图，ZA0D=90° , 0A=0B=BC=CD, A. A OAB^ A OCAB. 6. 如图3,矩形ABCD 中，AD=a. AB=b 、要使BC 边上至少存在一点P,使AABP 、 △APD 、ACDP 两两相似，则a 、b 间的关系一定满足（）1. 如果△ ABC^ADEF,且 AB=2, AC=4,3 DE=-, 2 则DF 等于（ 2. A. 3 B. 4. 5 C. 6 D. 8如图，在直角梯形ABCD 中，BC 〃AD, ZB=90° ,对角线 AC±CD,若 AC=8, CD=6,则 AB 等 A. 12 B. 18C. 24D. 48 C. 3 D. 4那么下列结论成立的是（）△ OABs △ ODA 以上结论都不对于（）C. ABAC” ABDAD. AA. — bB. aNb 2 二、填空题（每小题4分，共20分）1. 如图，DE 与Z\ABC 的边AB, AC 分别相交于D, E 两点,且DE 〃BC.若DE=2, BC=3, EC=0. 6,2, 如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 边上一点，且BE : EC=2 : 1, AE 与BD 交于点F,则 AAFD 与四边形DFEC 的面积之比是3. 在直角坐标系中有两点A （4, 0）、B （O, 2）,如果点C 在x 轴上（C 与A 不重合），当点C 的时，使得由点B 、0、C 组成的三角形与AAOB 相似.4, 如图，在AABC 中，D 为AC 边的中点，AE 〃BC, ED 交AB 于G,交BC 的延长线于F,若BG : GA=3 : 1, BC=10,则 AE 的长为5.如图，正方形网格上有6个斜三角形：①AABC,②通CD ，③ABDE ,④A5FG，⑤AFGH , ⑥AEFK ,贝U ②〜⑥中与①相似的是.三、（每小题9分，共36分）1. 如图，菱形ABCD 的边长为3,延长AB 到E,使EB=2AB,连接EC 并延长交AD 延长线于 F,如果△ EBC-AEAF,试求AF 的长.3 C. a^-b2 D. aN2b坐标为第4题图B E2,如图，在AABC 中，D 为AC 上一点，CD=2DA, ZBAC=45° , ZBDC=60° , CE±BD, E 为垂足，连接AE.(1)写出图中所有相等的线段，并选择其中一对给予证明.(2)图中有几对相似三角形?请说明理由.3.如图，在直角三角形ABC中，已知ZACB=90° ,且CH±AB, HE±BC, HFXAC.求证：(l)^HEF 竺△£!!(：；(2) AHEF^AHBC.4,如图，梯形ABCD中，AB〃CD,且AB=2CD, E, F分别是AB, BC的中点，EF与BD相交于点M.(1)求证：△EDMs^FBM；(2)若DB=9,求BM.E B三、(每小题10分，共20分)1.如图，正方形A3CD的边长为4, E是3C边的中点，点P在射线AQ上过P作PF 1 AE 于F .(1)求证：ARM ABE ；(2)当点F在射线AO上运动时，设PA = x,是否存在实数x,使以P, F E为顶点的三角形也与相似？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由.2,如图，AABC中，AB=4, D在AB边上移动(不与A、B重合)，DE〃BC交AC于E,连接CD.设S AABC= S, S AD EC=S1.⑴当D为AB的中点时，求Si ：S的值；q(2)若AD=x, —=y,求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围；S(3)是否存在点D,使得S^-S成立?若存在，求出D 点的位置；若不存在，请说明理由.。

2012年中考数学复习第六章图形与变换第34课图形的相似课件

基础自测
1．下列各组线段(单位：cm)中，成比例线段的是( B ) A．1、2、3、4 C．3、5、9、13 B．1、2、2、4 D．1、2、2、3
解析：线段1、2、2、4中，1∶2＝2∶4.
2．(2011· 陕西)如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、
CD 边上的点，连接BE 、AF相交于G，延长BE交CD的延长线于点H，则图中的相似三角形有( C ) A．2对 B．3对 C．4对 D．5对解析：∵四边形ABCD是平行四边形，
EB
∵E是AB的中点， ∴AE＝BE＝ AB. ∴AE2＝AD·BC＝1×2＝2，AE＝ 2 . ∴AB＝2AE＝2 2. 答：AB的长为2 2 .
1 2
题型三
相似三角形综合问题
【例 3】如图，矩形PQMN内接于△ABC，矩形周长为24，
AD⊥BC交PN于E，且BC＝10，AE＝16，求△ABC的面积．
(2)解：设HE＝x，
则HG＝2x，AM＝AD－DM＝AD－HE＝30－x，由(1)可知，＝BC ，∴ AD
AM HG 30－x 2x ＝40 30
，
解得，x＝12, 2x＝24.
∴矩形EFGH的周长为2×(12＋24)＝72 cm.
题型四
相似多边形与位似图形
【例 4】如图，在8×8的网格中，每个小正方形的顶点叫做格
点，△OAB的顶点都在格点上，请在网格中画出△OAB的一位似图形，使两个图形以O为位似中心，且所画图形与
△OAB的位似比为2∶1.
解：画图略
探究提高如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比称为位似比．位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比叫做相似比．

中考总复习：图形的相似--巩固练习(基础)

B①②D④O③中考总复习：图形的相似--巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1．（2011 ft东聊城）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x 轴上，OC在y 轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC 关于点O 位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的1，那么点B′的坐标是（）．4A．（3，2）B．（－2，－3） C．（2，3）或（－2，－3）D．（3，2）或（－3，－2）2.如图，△ABC中，BC=2，DE 是它的中位线，下面三个结论：⑴DE=1；⑵△ADE∽△ABC；⑶△ADE的面积与△ABC的面积之比为1:4。

其中正确的有（）．A.0 个B.1 个C. 2 个D. 3 个3.如图，四边形ABCD 的对角线AC、BD 相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．OA∶OC=OB∶OD，则下列结论中一定正确的是( )．A.①和②相似B．①和③相似C．①和④相似D．②和④相似AC4.现给出下列四个命题：①无公共点的两圆必外离；②位似三角形是相似三角形；③菱形的面积等于两条对角线的积；④对角线相等的四边形是矩形．其中真命题的个数是（）．A．1 B．2 C．3 D．45．（2015•锦州）如图，线段AB 两个端点的坐标分别为A（4，4），B（6，2），以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小为原来的后得到线段CD，则端点C 和D 的坐标分别为（）A．（2，2），（3，2）B．（2，4），（3，1）C．（2，2），（3，1）D．（3，1），（2，2）6.如图，在平行四边形 ABCD 中（AB≠BC），直线 EF 经过其对角线的交点 O，且分别交 AD、BC 于点M、N，交BA、DC 的延长线于点E、F，下列结论：①AO=BO；②OE=OF；③△EAM∽△EBN；④△EAO≌△ CNO，其中正确的是（）．A．①②B．②③C．②④D．③④二、填空题7.如图，以点O 为位似中心，将五边形ABCDE 放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA=10cm，OA′=20cm，则五边形ABCDE 的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是．第7 题第9 题8.如果一个三角形的三边长为5、12、13，与其相似的三角形的最长的边为39，那么较大的三角形的周长，面积．9.如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 上的点，DE ⊥AC ，EF ⊥AB ，FD ⊥BC ，则△DEF 的面积与△ABC 的面积之比等于．10.将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝6，BC＝8，若以点B′，F，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么BF 的长度是．11.（2015•连云港）如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=90°，直线l1∥l2∥l3，l1 与l2 之间距离是1，l2 与l3 之间距离是2，且l1，l2，l3 分别经过点A，B，C，则边AC 的长为．12.如图，不等长的两条对角线 AC、BD 相交于点 O，且将四边形 ABCD 分成甲、乙、丙、丁四个三角形．若AO=BO=1，则甲、乙、丙、丁这4 个三角形中，一定相似的有．OC OD 2三、解答题13.已知线段OA⊥OB，C 为OB 上中点，D 为AO 上一点，连 AC、BD 交于P 点．AP（1）如图 1，当OA=OB 且D 为AO 中点时，求PC的值；AD（2）如图 2，当OA=OB，AOAPP 3 1= 时，求 tan∠BPC； 4ADD B C O B C O图 2图 1 14.（2016•静安区一模）已知：如图，在△ABC 中，点 D 、E 分别在边 BC 、AB 上，BD=AD=AC ，AD 与 CE相交于点 F ，AE 2=EF•EC．（1）求证：∠ADC=∠DCE+∠EAF；（2）求证：AF•AD=AB•EF．15. 如图,已知在等腰△ABC 中,∠A =∠B =30°,过点 C 作 CD ⊥AC 交 AB 于点 D .(1) 尺规作图：过 A ，D ，C 三点作⊙O（只要求作出图形，保留痕迹，不要求写作法）；(2) 求证：BC 是过 A ，D ，C 三点的圆的切线；(3) 若过 A ，D ，C 三点的圆的半径为 ,则线段 BC 上是否存在一点 P ，使得以 P ，D ，B 为顶点的三角形与△BCO 相似.若存在，求出 DP 的长；若不存在，请说明理由.CA B16. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，AD=10，直角尺的直角顶点 P 在 AD 上滑动时（点 P 与 A ，D 不重合），一直角边经过点 C ，另一直角边交 AB 于点 E ．我们知道，结论“Rt △AEP∽Rt△DPC”成立．（1）当∠CPD=30°时，求 AE 的长；（2）是否存在这样的点 P ，使△DPC 的周长等于△AEP 周长的 2 倍？若存在，求出 DP 的长；若不存在，请说明理由．【答案与解析】一．选择题1. 【答案】D ． 2. 【答案】D ． 3. 【答案】B ；【解析】由 OA ：OC=0B ：OD ，利用对顶角相等，两三角形相似，①与③相似，问题可求． 4．【答案】A ．5. 【答案】C ；【解析】∵线段 AB 两个端点的坐标分别为 A （4，4），B （6，2），以原点 O 为位似中心，在第一象限内将线段 AB 缩小为原来的后得到线段 CD ，∴端点的坐标为：（2，2），（3，1）．故选：C ．6. 【答案】B ；【解析】①根据平行四边形的对边相等的性质即可求得 AO≠BO，即可求得①错误；②易证△AOE≌△COF，即可求得 EO=FO ；③根据相似三角形的判定即可求得△EAM∽△EBN；④易证△EAO≌△FCO，而△FCO 和△CNO 不全等，根据全等三角形的传递性即可判定该选项错误．二．填空题3 17. 【答案】． 28．【答案】90，270．9. 【答案】１:3; 【解析】首先根据题意求得：∠DFE=∠FED=∠EDF=60°，即可证得△DEF 是正三角形，又由直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半，得到边的关系，即可求得 DF ：AB=1：，又由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得结果．24 10. 【答案】4，．7BF CF 【解析】根据折叠得到 BF=B′F，根据相似三角形的性质得到可求出 x 的长，得到 BF 的长=，设 BF=x，则CF=8-x，即AB BC1.【答案】．【解析】如图，过点B 作EF⊥l2，交l1 于E，交l3 于F，如图．∵∠BAC=60°，∠ABC=90°，∴tan∠BAC= = ．∵直线l1∥l2∥l3，∴EF⊥l1，EF⊥l3，∴∠AEB=∠BFC=90°．∵∠ABC=90°，∴∠EAB=90°﹣∠ABE=∠FBC，∴△BFC∽△AEB，∴== ．∵EB=1，∴FC=．在Rt△BFC中，BC= == ．在Rt△ABC 中，sin∠BAC==，AC= = = ．故答案为．12.【答案】甲和丙相似．AO BO 1【解析】∵==，∴AB∥CD，∴∠BAO=∠DCO，∠ABO=∠CDO，∴△AOB∽△COD．OC OD 2故必有甲和丙相似．三.综合题13.【解析】1 1（1）过C 作CE∥OA交BD 于E，则△BCE∽△BOD得CE=2OD=2AD；AP 再由△ECP∽△DAP 得PCAD CE2 ；（2）过C 作CE∥OA交BD 于E，设AD=x，AO=OB=4x，则OD=3x，1由△BCE∽△BOD 得 CE=23OD= x，2再由△ECP∽△DAP得PDAD PE C E 52 ；3PD 2由勾股定理可知 BD=5x，DE=2x，则= DE -PDCO 1CP 2P 1O D3 3333 3，可得 PD=AD=x，3则∠BPC=∠DPA=∠A，tan∠BPC=tan∠A==。