概率论基础(20200923164453)
概率论基础(第三版)-李贤平-试题+答案-期末复习
C ． A 与 B 互不相容
D ．A+B 是必然事件
一、选择题：
1．设 A ． C
． 2．设 A ． C ． 第一章 随机事件及其概率
A 、
B 、
C 是三个事件， AB AC ABC B A 则 P(A B) =1-P (A ) P(B|A) = P(B) 3．设 定独立 A 、B 是两个事件， P 与事件 B ．
D ． B ． A ） A 互斥的事件是：
A(B C) ABC
P(B A) P(B) (A) D ． P(A|B) > 0，P （ B ） P(A) > 0, 当下面的条件（ ）成立
时，
A 与
P(A B) P(A)P(B) B ．P （A|B ） =0 P (A|B )= P （B ） D ．P (A|B )= P(A) 设 P （A ）= a ，P （ B ）= b, P ( A+B )= c, 则 P(AB) a-b
B ．c-b
a(1-b)
D ．b-a
A ． C ． 4．
为： 与B 的概率大于零，且 A 与 B 为对立事件，则不成立的
是 B ． A 与 B 相互独立
A ． C ． 5．设事件 A A ．A 与
B 互不相容
C ． A 与 B 互不独
立
D ． A 与 B 互不相
容
6．设 A 与 B 为两个事件，
A ．P （A|
B ）=1 P （A ）≠P （B ）> 0，且 A B ，则一定成立的关系式
是 B ．P （B|A ）=1
C ． p(B|A) 1
D ． p(A|B) 1
7．设 A 、B 为任意两个事
件，
则下列关系式成立的是
A ． (A B)
BA B
概率论与数理统计基础
第1章概率论与数理统计基础
1.1概率论基础
一、随机事件与概率
1.随机事件－－简称事件
自然界中的事件可分为必然事件、不可能事件和随机事件三种：○1必然事件（U）：指在一定条件下必然发生的事件，如“1atm下水加热至100℃时沸腾”是必然事件。
○2不可能事件（V）：指在一定条件下不发生的事件，如“1atm下水加热至50℃时沸腾”是不可能事件。
○3随机事件（A、B……）：指一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件。
2.概率与频率
对每一次试验而言，随机事件是否发生是带有偶然性的。但在大量重复试验下，并把这些试验结果综合在一起，就可以看出支配这些偶然性的某种必然规律性来。实践证明，随机事件发生的可能性大小是它本身所固有的属性，不随人们的主观意愿而转移，并且这种属性可以通过大量试验来认识。
为便于研究，我们将随机事件A发生的可能性的大小用一个数值p来表示，并把这个数值p叫做事件A的概率。记作：
P（A）＝p
为了确定事件A的概率p，首先必须说明频率的概念。
设A为某试验可能出现的随机事件，在同样条件下，该试验重复做n次，事件A出现了m次（0≤m≤n），则称m为A在这n次试验中出现的频数，称m/n为A在这n次试验中出现的频率。（见书上表1-1）
频率m/n本身不是常数，它与试验次数n有关，随着试验次数n的增加，频率总是在某一常数附近摆动，而且n愈大，频率与这
个常数的偏差往往愈小，这种性质叫做频率的稳定性。这个常数是客观存在的，与所做的若干次具体试验无关，它反映了事件本身所蕴含的规律性，反映了事件出现的可能性大小。
《概率论基础》(李贤平)第三版-课后答案
第一章事件与概率
1、解：
(1) P｛只订购A 的｝=P{A(B∪C)}＝P(A)-{P(AB)+P(AC)-P(ABC)}=0.45-0.1.-0.08+0.03=0.30.
(2) P｛只订购A 及B 的｝=P{AB}-C｝=P(AB)-P(ABC)=0.10-0.03=0.07
(3) P｛只订购A 的｝=0.30,
P｛只订购B 的｝=P{B-(A∪C)}=0.35-(0.10+0.05-0.03)=0.23.
P｛只订购C 的｝=P{C-(A∪B)}=0.30-(0.05+0.08-0.03)=0.20.
∴P｛只订购一种报纸的｝=P{只订购A}＋P{只订购B}＋P{只订购C}=0.30+0.23+0.20=0.73.
(4)P{正好订购两种报纸的}
＝P{(AB-C) ∪(AC-B) ∪(BC-A)}=P(AB-ABC)+P(AC-ABC)+P(BC-ABC)
=(0.1-0.03)+(0.08-0.03)+.(0.05-0.03)=0.07+0.05+0.02=0.14.
(5)P｛至少订购一种报纸的｝= P｛只订一种的｝+ P｛恰订两种的｝+ P｛恰订三种的｝
=0.73+0.14+0.03=0.90.
(6) P｛不订任何报纸的｝=1-0.90=0.10.
2、解：（1）ABC =A ⇒BC ⊃A( A BC ⊂A显然) ⇒B ⊃A且C ⊃A ，若A发生，则B 与C 必同时发生。
（2）A ∪ B ∪ C =A ⇒B ∪ C ⊂A ⇒B ⊂A且C ⊂ A ，B 发生或C 发生，均导致
A 发生。
概率论基础讲义全
概率论基础知识
第一章随机事件及其概率
随机事件
§几个概念
1、随机实验:满足下列三个条件的试验称为随机试验|;（1）试验可在相同条件下重复进
行；（2）试验的可能结果不止一个，且所有可能结果是已知的；（3）每次试验哪个结果
出现是未知的；随机试验以后简称为试验，并常记为E。
例如：曰：掷一骰子，观察出现的总数；E2：上抛硬币两次，观察正反面出现的情况；
E3:观察某电话交换台在某段时间内接到的呼唤次数
2、随机事件：在试验中可能出现也可能不出现的事情称为随机事件:常记为A，B, C
例如，在E i中，A表示掷出2点”，B表示掷出偶数点”均为随机事件
3、必然事件与不可能事件：每次试验必发生的事情称为必然事件，记为Q。每次试验都不可能发生的事情称为不可能事件，记为①。
例如，在E i中，掷出不大于6点”的事件便是必然事件，而掷出大于6点”的事件便是
不可能事件，以后，随机事件，必然事件和不可能事件统称为事件
4、基本事件：试验中直接观察到的最简单的结果称为基本事件。
例如，在曰中，掷出1点”，掷出2点”，……，掷'出6点”均为此试验的基本事件由基本事件构成的事件称为复,例如，在E i中掷出偶数点”便是复合事件
5、样本空间：从集合观点看，称构成基本事件的元素为样本点,常记为e.
例如，在E i中，用数字1, 2,......,6表示掷出的点数，而由它们分别构成的单点集{1}, {2}, (6)
便是E i中的基本事件。在E2中，用H表示正面，T表示反面，此试验的样本点有(H , H),( H , T),( T, H ),( T, T),其基本事件便是{ ( H, H) }, { ( H , T) }, { (T, H ) }, { (T, T) }显然，任何事件均为某些样本点构成的集合。
李贤平《概率论基础》第三版课后答案
（6） E1 中还有这样的点 ω ：12345，它仅属于 E1 ，而不再属于其它 Ei (i ≠ 1,0) 。诸 Ei 之间的
关系用文图表示（如图）。
8、解：（1）因为 (1+ x)n = 1 + Cn1 x + Cn2 x 2 +
+
nC
n n
x
n
，两边对
x
求导得
n(1 + x)n−1 = Cn1 + 2Cn2 x + + nCnn x n−1 ，在其中令 x=1 即得所欲证。
从其每双中取出一只。所以欲求的概率为 P
=
C61C
C2 2
25
C21C
1 2
/ C142
=
16 33
=
0.48
19、解：（1）有利场合是，先从 n 双中取出 2r 双，再从每双中取出一只。
P
=
Cn2r
(C
1 2
)
2
r
/
C 2r 2n
,
(2r < n)
（2）有利场合是，先从 n 双中取出一双，其两只全取出，再从剩下的 n −1双中取 出 2r − 2 双，从鞭每双中取出一只。
P
= C~Nn
/
Nn
=
C
n N
+n−1
概率论基础(第二版)课后答案_李贤平_高等教育出版社(1-5章全)
第一章 事件与概率
1、若A ，B ，C 是随机事件，说明下列关系式的概率意义：(1)A ABC =；(2)A C B A =U U ；(3)C AB ⊂；(4)BC A ⊂.
2、试把n A A A U L U U 21表示成n 个两两互不相容事件的和．
3、若A ，B ，C ，D 是四个事件，试用这四个事件表示下列各事件：（1）这四个事件至少发生一个；（2）这四个事件恰好发生两个；（3）A ，B 都发生而C ，D 都不发生；（4）这四个事件都不发生；（5）这四个事件中至多发生一个。
4、证明下列等式：（1）13212
32−=++++n n n n n n n nC C C C L ； （2）0)
1(321321=−+−+−−n n n n n n nC C C C L ； （3）∑−=−++=r a k r a b a k b r k a C C C
0.
5、袋中有白球5只，黑球6只，陆续取出三球，求顺序为黑白黑的概率。
6、一部五本头的文集，按任意次序放书架上去，试求下列概率：（1）第一卷出现在旁边；（2）第一卷及第五卷出现在旁边；（3）第一卷或第五卷出现在旁边；（4）第一卷及第五卷都不出现在旁边；（5）第三卷正好在正中。
7、把戏，2，3，4，5诸数各写在一小纸片上，任取其三而排成自左向右的次序，求所得数是偶数的概率。
8、在一个装有n 只白球，n 只黑球，n 只红球的袋中，任取m 只球，求其中白、黑、红球分别有
)(,,321321m m m m m m m =++只的概率。
9、甲袋中有3只白球，7办红球，15只黑球，乙袋中有10只白球，6只红球，9只黑球。现从两袋中各取一球，求两球颜色相同的概率。
概率论的基础
概率论的基础
概率论是数学中的一个重要分支，研究随机事件发生的规律性和不确定性。它在各个领域都有广泛的应用，例如统计学、金融学、物理学和生物学等。本文将介绍概率论的基础概念和原理，以及它在现实生活中的应用。
一、随机事件和样本空间
在概率论中，我们研究的对象是随机事件。随机事件是在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。样本空间是所有可能的结果组成的集合，每个结果称为一个样本点。例如，投掷一个骰子，样本空间就是1到6的整数集合。
二、概率的定义和性质
概率是描述随机事件发生可能性大小的数值，通常用P(A)表示事件A发生的概率。概率具有以下性质：
1. 非负性：对于任意事件A，有P(A)≥0。
2. 规范性：对于必然事件S，有P(S)=1。
3. 可列可加性：对于两个互斥事件A和B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)。
三、条件概率和独立性
条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率，记作P(A|B)。条件概率的计算使用了贝叶斯定理和乘法法则。如果事件A和B的发生是相互独立的，那么P(A|B)=P(A)，即事件B的发
生与事件A的发生无关。
四、概率分布和期望值
概率分布描述了随机变量取值的可能性和相应的概率。离散型随机变量的概率分布可以用概率质量函数表示，连续型随机变量的概率分布可以用概率密度函数表示。期望值是随机变量的平均值，它是每个取值乘以对应的概率后的总和。
五、大数定律和中心极限定理
大数定律指出，随着试验次数的增加，随机事件发生的频率会趋向于其概率。中心极限定理指出，独立同分布的随机变量的和的分布在试验次数趋向于无穷时近似服从正态分布。
概率论基础
离散型随机变量
定义 设离散型随机变量 X ， 它所有可能的取值为 x1 , x2 ,, xn , ，X 取这些值的概率为
P( X xi ) pi ， i 1, 2,, n, ，
并且满足（1） pi 0 ， i 1, 2, ， （2）
p
i
i
1．
满足上面两条性质的式子称为随机变量 X 的概率分布或是概率函数．
P( A ) P( B | A )
j 1 j j
n
， i 1, 2,, n
称为贝叶斯公式，又称为逆概率公式．
例 用某种方法检查肝癌， 根据临床记录， 患癌症者实施该项检查， 结果是阳性的概率为 0.95；无癌症者实施此项检查，结果是阴性的 概率为 0.90．如果某地区肝癌的发病率为 0.0005，问如果用此方法 检查，结果为阳性者患肝癌的概率是多少？
的常数 p 附近，则称 p 为事件 A 的概率（probability），记为
P( A) p ．
古典定义
若随机试验有且只有 n 个基本事件 e1 ， e2 ，…， en ，每个基本
1 事件的出现都是等可能的， 即 P (ei ) , i 1, 2, , n ． 如果 n 事件 B 包括了其中 m 个基本事件，则定义事件 B 的概率为 m P( B) ， n
泊松分布
定义 若随机变量 X 的概率分布为
概率论基础
4
市场调查和预测分析估计，产品上市后销售量将达到生产 能力的80%以上（畅销）、50%～80%（销售一般）、不足 50%（滞销）的可能性分别为40%、30%、30%。 另经财务部门所作的财务预测分析，在产品出现”滞销”、” 一般”和”畅销”三种销售状况下，该项目投产后的年净现 金流量将分别为100万元、600万元和1000万元。 考虑到筹资成本和资金的机会成本，贴现率应取6%。
(5)P(A∪B)= P(A)+P(B)-P(AB)
(*)
性质(4)称为概率的加法定理，还可以推广到
多个事件的场合。
性质(5)称为概率的广义加法定理。
22
课堂练习2：广义加法定理的推广
设A、B、C为任意三个事件，P(A)、P(B)、P(C)、 P(AB)、P(AC)、P(BC)、P(ABC)都已知，求 P(ABC)
A1={(T，T)，(T，F)}； A2={(T，F)，(F，T)}； A3={(T，T)，(F，F)}
12
三. 事件间的关系和运算
1．事件的包含 若A发生必然导致B发生，则 称B包含A或A包含于B，记为 BA或AB。
概率论基础
概率论基础
1、概率基础知识
1.1 引言
先做两个简单的试验：
试验1：一个盒子中有十个完全相同的白球，从中任意摸出一个；
试验2：盒子中有十个完全相同的球，其中五个白球，五个红球。
对于试验1，在球没有取出之前，我们就能确定取出的必定是白球。这种试验，根据试验开始的条件应可以确定实验的结果。
而对于试验2，在球没有取出之前，我们从试验开始时的条件不能确定试验的结果(即取出的是白球还是黑球)，也就是说一次试验的结果在试验之前是无法确定的。
对于后一种试验，似乎没有什么规律可言，但是，实践告诉我们，若从盒子中反复多次取球(每次取出一球，记录其颜色后放回)，那么可以观察到这样的事实：试验次数n相当大时，出现白球的次数n白和出现黑球的次数n红是很接近的，其比值n白/n红会逐渐稳定于?，这个事实是可以理解的，因为盒子里的白球数等于红球数，从中任意摸出一个，取得白球或红球的"机会"应该是平等的。
于是，我们面对着两种类型的试验。试验1代表的类型在试验之前就能断定它的结果，这种试验所对应的现象叫确定现象。
比如："早晨，太阳从东方升起"
"边长为a,b的矩形，其面积为ab"
…
过去我们所学的各门课程基本上都是用来处理和研究这类确定现象的。
试验2所代表的类型，它有多于一种可能的结果，但在一次试验之前会出现那种结果，应一次试验而言，没有规律可言，但是?quot;大数次"的重复这个试验，试验结果又遵循某些规律(这些规律我们称之为"统计规律")，这类试验叫做随机试验。其代表的现象叫随机现象。
比如："某地区的年降雨量"
"打靶时弹着点离靶心的距离"
2020年大学基础课概率论与数理统计必考题及答案(精选版)
2020年大学基础课概率论与数理统计必考题及答案（精选版）
一、单选题
1、设为来自正态总体的一个样本，若进行假设检验，当__ __时，一般采用统计量
(A)
(B) (C) (D)
【答案】C
2、设X ～(1,)p β 12,,,,,n X X X ⋅⋅⋅是来自X 的样本，那么下列选项中不正确的是
(A)当n 充分大时，近似有X ～(1),p p N p n -⎛
⎫ ⎪⎝⎭
(B){}(1),k k n k n P X k C p p -==-0,1,2,,k n =⋅⋅⋅
(C ）{}(1),k k n k n k P X C p p n
-==-0,1,2,,k n =⋅⋅⋅
(D ）{}(1),1k k n k i n P X k C p p i n -==-≤≤ 【答案】B
3、设离散型随机变量(,)X Y 的联合分布律为
(,)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)1/61/91/181/3X Y P αβ
且Y X ,相互独立，则 A ） 9/1,9/2==βα B ） 9/2,9/1==βα
C ） 6/1,6/1==βα
D ） 18/1,15/8==βα
【答案】A
4、设 ()
2~,X N μσ，其中μ已知,2σ未知,1234,,,X X X X 为其样本， 下列各项不是统计量的是＿＿＿＿ (Ａ)4
1
14i i X X ==∑ (Ｂ)142X X μ+- (Ｃ)4
2211()i i K X X σ==-∑ (Ｄ)4
211()3i i S X X ==-∑ n X X X ,,,21 2(,)N μσX t =220μσσ未知，检验＝220μσσ已知，检验＝20σμμ未知，检验＝20σμμ已知，检验＝
概率论基础知识
概率论基础知识
第一章随机事件及其概率
一随机事件
§1几个概念
1、随机实验:（1）试验可在相同条件下重复进行；（2）试验的可能结果不止一个，且所有可能结果是已知的；（3）每次试验哪个结果出现是未知的；随机试验以后简称为试验，并常记为E。
例如：E1：掷一骰子，观察出现的总数；E2：上抛硬币两次，观察正反面出现的情况；
E3：观察某电话交换台在某段时间内接到的呼唤次数。
2、随机事件：在试验中可能出现也可能不出现的事情称为随机事件：常记为 A，B，C……
例如，在E1中，A表示“掷出2点”，B表示“掷出偶数点”均为随机事件。
3、必然事件与不可能事件：
例如，在E1中，“掷出不大于6点”的事件便是必然事件，而“掷出大于6点”的事件便是不可能
事件,
4、基本事件
例如，在E1中，“掷出1点”，“掷出2点”，……，“掷出6点”均为此试验的基本事件。
E1中“掷出偶数点”便是复合事件。
5、样本空间： e.
例如，在E1中，用数字1，2，……，6表示掷出的点数，而由它们分别构成的单点集{1}，{2}，…{6}便是E1中的基本事件。在E2中，用H表示正面，T表示反面，此试验的样本点有（H，H），（H，T），（T，H），（T，T），其基本事件便是{（H，H）}，{（H，T）}，{（T，H）}，{（T，T）}显然，任何事件均为某些样本点构成的集合。
例如，在E1中“掷出偶数点”的事件便可表为{2，4，6}。试验中所有样本点构成的集合称为样本空间。记为Ω。
例如，
在E1中，Ω={1，2，3，4，5，6}
在E2中，Ω={（H，H），（H，T），（T，H），（T，T）}
第一讲概率论基本知识
第一章 概率论基础知识
概率论是随机过程的基础，在传统的概率论中，限于各种原因，往往借助于直观理解来说明一些基本概念，这对于简单随机现象似乎无懈可击，但对于一些复杂随机现象就难以令人信服了.随着随机数学理论的不断完善，随机过程越来越成为现代概率论的一个重要分支和发展方向. 为了更好地学习随机过程，我们必须对基础概率论的理论有一个比较深入和全面的了解.本章就是在此基础上系统介绍概率论基础知识，包括概率空间、随机变量及其分布、数学期望的若干性质、特征函数和母函数、随机变量列的收敛性及其相互关系、条件数学期望等.
1．1 概率空间
概率论是研究随机现象统计规律的一门数学分科，由于随机现象的普遍性，使得概率论具有极其广泛的应用.随机试验是概率论的基本概念之一，随机试验所有可能结果组成的集合称为这个试验的样本空间，记为Ω.Ω中的元素ω称为样本点，Ω中的子集A 称为随机事件，样本空间Ω也称为必然事件，空集Φ称为不可能事件.
定义 1.1 设Ω是一个集合，F 是Ω的某些子集组成的集合簇（collection ）（或称集类），如果 （1）Ω∈F ；
（2）若A ∈F ，则\A A =Ω∈F ；（取余集封闭） （3）若n A ∈F ,1,2,n = ，则1n n A ∞
=∈ F ；（可列并封闭）
则称F 为σ-代数（sigma algebra -）（B orel 域或事件域（field of events ）），（,ΩF ）称为可测空间（m easurable space ）.由定义可以得到 （4）Φ∈F ；
（5）若,A B ∈F ，则\A B ∈F ；（取差集封闭）
概率论与数理统计基础
若0<|ρ|<1,
|ρ|的值越接近于1, Y 与 X 的线性相关程度越高; |ρ|的值越接近于0, Y与X的线性相关程度越弱.
前面，我们已经看到： 若 X 与 Y 独立，则X与Y不相关， 但由X与Y不相关，不一定能推出X与Y独立. 但对下述情形，独立与不相关等价
若(X,Y)服从二维正态分布，则 X与Y独立
E ( X ) x f ( x )dx
请注意 : 连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分
3）随机变量函数的数学期望
定理：设Y是随机变量X的函数：Y=g (X) ，g是连续函数，则有：
g( xk ) pk 若X为离散型 k 1 E (Y ) E[ g( X )] g( x ) f ( x )dx 若X为连续型
正态分布概率密度函数的曲线图
f ( x) 1 2 e
( x )2 2 2
, x
根据对密度函数的分析，可初步画出正态分布的概率密度曲线图
2、正态分布N(μ, σ2) 的图形特点
相同， 不同
相同，不同
决定了图形的中心位置， 决定了图形中峰的陡峭程度.
X与Y不相关
正态分布的重要性质
定理：N个独立正态随机变量之和仍然服从正态分布
即若X i 则: X i
i 1 n