北师大版本高中数学必修2(19页)

推论 1：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.
直线与直线所成角 0,90 ；
直线与平面所成角 0,90 ；
斜线与平面所成角 0o,90o .
6.定理 6.2：两个平面互相垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直.
7.定理 6.3：直线与平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行.
FB
与棱数
E C的关系：
E 1 nF ； 2
(2)若每个顶点引出的棱数为 m ，则顶点数 V 与棱数 E 的关系： E 1 mV . 2
(2014 陕西理科)14.观察分析下表中的数据：
多面体
面数（ F ） 顶点数（V ) 棱数（ E )
三棱锥
5
6
9
五棱锥
6
6
10
立方体
6
8
12
猜想一般凸多面体中， F，V ，E 所满足的等式是_________.
指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用 l 来表示.垂直是直线与平面相交的特殊情况.
a
b
定理 5.1
定理 5.2
定理 5.3
定理 5.4
1.定理 5.1：直线与平面平行的判定定理：若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.
推论:如果—直线平行于两个相交平面，那么这条直线平行于两个平面的交线. 证明直线与直线的平行的思考途径
(2)一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条.
2.平面与平面的位置关系：平行；相交. 3.直线与平面的位置关系：在平面内；平行；相交（垂直是它的特殊情况）.
直线与平面有三种位置关系：
(1)直线在平面内:有无数个公共点.
(2)直线与平面相交:有且只有一个公共点.
1
(3)直线与平面平行:没有公共点.
(1)转化为判定共面二直线无交点； (2)转化为两直线同与第三条直线平行； (3)转化为线面平行； (4)转化为线面垂直； (5)转化为面面平行. 2.定理 5.2：两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行. 证明直线与平面的平行的思考途径
(1)转化为直线与平面无公共点； (2)转化为线线平行； (3)转化为面面平行. 证明平面与平面平行的思考途径
公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.
推论 1：一直线和直线外一点确定一平面；
推论 2：两相交直线确定一平面；
推论 3：.两平行直线确定一平面. 公理 2 及其推论作用：1.它是空间内确定平面的依据；2.它是证明平面重合的依据. 公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 公理 3 的作用： 1.它是判定两个平面相交的方法. 2.它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点. 3.它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据. 公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.平行具有传递性. 要求地位平等. 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 条件加强:空间中如果两个角的两边分别对应平行且方向相同，那么这两个角相等. 点、直线、平面之间的关系 1.直线与直线的位置关系：平行；相交（垂直是它的特殊情况）；异面. (1)垂直于同一条直线的两条直线平行.
二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形.记法:二面角α- l -β或α-AB-β,
二面角平面角∠AOB＝ .二面角平面角 [0o,180o].
两平面之间的夹角[0o,90o] 和二面角不一样，因为它可以无限延伸.
若两平面垂直，则这两个平面的二面角的平面角为 90°，叫做直二面角.
直线与平面垂直的定义：如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 l 与平面 互相垂直. 记作 l ⊥ ，直线 l 叫做平面 的垂线，平面 叫做直线 l 的垂面.直线与平面垂直时,它们唯一公共点 P 叫做垂足.
l
a
a
b
a
b
a
定理 6.1
定理 6.2
定理 6.3
2
定理 6.4
5.定理 6.1：直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直. 注意点: (1)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视； (2)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想. 证明直线与直线的垂直的思考途径 (1)转化为相交垂直； (2)转化为线面垂直； (3)转化为线与另一线的射影垂直； (4)转化为线与形成射影的斜线垂直. 证明直线与平面垂直的思考途径 (1)转化为该直线与平面内任一直线垂直； (2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直； (3)转化为该直线与平面的一条垂线平行； (4)转化为该直线垂直于另一个平行平面； (5)转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 证明平面与平面的垂直的思考Байду номын сангаас径 (1)转化为判断二面角是直二面角； (2)转化为线面垂直.
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第一章 立体几何初步
斜二测画法：在已知图形平行于 y 轴的线段, 在直观图中画成平行于 y'轴, 且长度为原来的二分之一倍.
S直观图
1 2
a
h sin 45 2
2S. 4
A
变换图后图形与原图形面积之间的比例为 S直观图 =
2
.
S4
欧拉定理(欧拉公式):V F E 2.(简单多面体的顶点数 V、面数 F 和棱数 E) (1) E =各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为 n 的多边形，则面数
(1)转化为判定二平面无公共点； (2)转化为线面平行； (3)转化为线面垂直. 3.定理 5.3：直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任一平面与已知平面的交 线与该直线平行.简记为：线面平行则线线平行. 4.定理 5.4：两个平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行. 推论 1:两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面. 推论 2:平行于同一个平面的两个平面互相平行.平行具有传递性.前提是都是平面或直线地位平等，不能有线有面混合.