北师大版数学高二必修5 第一章2.1第一课时等差数列的概念及通项公式作业

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高中数学必修5等差数列知识点总结和题型归纳

等差数列一．等差数列知识点：知识点1、等差数列的定义:①如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示知识点2、等差数列的判定方法：②定义法:对于数列，若(常数），则数列是等差数列③等差中项:对于数列,若,则数列是等差数列知识点3、等差数列的通项公式:④如果等差数列的首项是，公差是，则等差数列的通项为该公式整理后是关于n的一次函数知识点4、等差数列的前n项和：⑤⑥对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数知识点5、等差中项:⑥如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项即：或在一个等差数列中,从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项;事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项知识点6、等差数列的性质:⑦等差数列任意两项间的关系：如果是等差数列的第项，是等差数列的第项，且，公差为，则有⑧对于等差数列，若，则也就是:⑨若数列是等差数列，是其前n项的和,，那么,,成等差数列如下图所示：10、等差数列的前项和的性质：①若项数为，则，且，．②若项数为,则，且，（其中,）．二、题型选析：题型一、计算求值（等差数列基本概念的应用)1、。

等差数列{a n｝的前三项依次为a-6，2a -5, -3a +2，则a 等于（）A . -1B . 1C 。

—2 D. 22．在数列｛a n}中，a1=2，2a n+1=2a n+1，则a101的值为( ）A．49 B．50 C．51 D．523．等差数列1,－1,－3，…，－89的项数是（)A．92 B．47 C．46 D．454、已知等差数列中,的值是（）（)A 15B 30C 31D 645. 首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是（）A.d＞B.d＜3 C。

≤d＜3 D.＜d≤36、。

在数列中，，且对任意大于1的正整数,点在直上,则=_____________。

必修5——等差数列(第一课时),自己做的

列： 10072，10144，10216，10288， 10072，10144，10216，10288，10360. ④
18，15.5，13，10.5， 18，15.5，13，10.5，8，5.5. 5.5.
③
二、（一）等差数列的定义、（一等差数列的定义 • 1、定义：一般地，如果一个数列{an},从第2项从第2 定义：一般地，如果一个数列从第起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差。表示。等差数列的公差。公差通常用字母 d 表示。那么对于以上四组等差数列，它们的公差依次是 5，5，-2.5，72。 (1)从第2 从第注: (1)从第2项起
（要求：写出解题过程）要求：写出解题过程）
数字量
编号
a1 a
1
d
2 4
n n
15
ann
解方程：解方程：方程思想
(1) －8 (2) 5 (3) －45 (4) 5.2
20
105 45 9.2
26
31
11
3
0.4
思考：解题过程中体现了什么样的思想？思考：解题过程中体现了什么样的思想？
思考？
a1 = 48 a 2 = 53 = 48 + 5 × 1
a 3 = 58 = 53 + 5 = 48 + 5 × 2
a4 = 63 = 58 + 5 = 48 + 5 × 3
a n = 48 + 5 × ( n − 1)
二、（二）等差数列的通项公式、（二
• １、导入：导入： • （２）问题２：类比上面的方法，根据等差数列的定义，问题２类比上面的方法，根据等差数列的定义，如果任意给一个等差数列的首项a1和公差和公差d,那么它的通如果任意给一个等差数列的首项和公差那么它的通项公式是什么？项公式是什么？

2020_2021学年高中数学第一章数列2等差数列第1课时等差数列的概念及通项公式练习(含解析)北师大版必修5

等差数列的概念及通项公式A 级基础巩固一、选择题1．在等差数列{a n }中，a 2＝2，a 3＝4，则a 10＝( D ) A ．12 B ．14 C ．16D ．18[解析] 该题考查等差数列的通项公式，由其两项求公差d . 由a 2＝2，a 3＝4知d ＝4－23－2＝2.∴a 10＝a 2＋8d ＝2＋8×2＝18.2．等差数列3,1，－1，－3，…，－97的项为( B ) A ．52 B ．51 C ．49D ．50[解析] ∵a 1＝3，a 2＝1，∴d ＝1－3＝－2， ∴a n ＝3＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋5，由－97＝－2n ＋5，得n ＝51.3．(2019·威海检测)已知m 和2n 的等差中项是4,2m 和n 的等差中项是5，则m 和n 的等差中项是( B )A ．2B ．3C ．6D ．9 [解析] 由题意2m ＋n ＝10,2n ＋m ＝8，两式相加得3m ＋3n ＝18，∴m ＋n ＝6，∴m ＋n2＝3.4．在等差数列{a n }中，a 2＝－5，a 6＝a 4＋6，则a 1等于( B ) A ．－9 B ．－8 C ．－7D ．－4[解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝－5a 1＋5d ＝a 1＋3d ＋6，解得a 1＝－8. 5．已知a ＝13＋2，b ＝13－2，则a ，b 的等差中项为( A ) A ． 3 B ． 2 C ．33D ．22[解析]a ＋b2＝13＋2＋13－22＝3－2＋3＋22＝ 3.6．设x 是a 与b 的等差中项，x 2是a 2与－b 2的等差中项，则a ，b 的关系是( C ) A ．a ＝－bB ．a ＝3bC ．a ＝－b 或a ＝3bD ．a ＝b ＝0[解析] 由等差中项的定义知：x ＝a ＋b2，x 2＝a 2－b 22，∴a 2－b 22＝(a ＋b2)2，即a 2－2ab －3b 2＝0.故a ＝－b 或a ＝3b . 二、填空题7．lg(3＋2)与lg(3－2)的等差中项是 0 .[解析] lg(3＋2)＋lg(3－2)＝lg(3－2)＝0，所以lg(3＋2)与lg(3－2)的等差中项是0.8．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为6766升． [解析] 设此等差数列为{a n }，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1322，d ＝766，∴a 5＝a 1＋4d ＝1322＋4×766＝6766.三、解答题9．在等差数列{a n }中，已知a 5＝10，a 15＝25，求a 25.[解析] 方法一：设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝10，a 1＋14d ＝25.解这个方程组，得a 1＝4，d ＝32.∴这个数列的通项公式为a n ＝4＋32×(n －1)，即a n ＝32n ＋52.∴a 25＝32×25＋52＝40.方法二：由题意可知：a 15＝a 5＋10d ，即25＝10＋10d ， ∴10d ＝15.又∵a 25＝a 15＋10d ，∴a 25＝25＋15＝40. 10．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2a na n ＋2， (1)数列{1a n}是否为等差数列？说明理由．(2)求a n .[解析] (1)数列{1a n}是等差数列，理由如下：∵a 1＝2，a n ＋1＝2a n a n ＋2，∴1a n ＋1＝a n ＋22a n ＝12＋1a n， ∴1a n ＋1－1a n ＝12，即{1a n }是首项为1a 1＝12，公差为d ＝12的等差数列．(2)由上述可知1a n ＝1a 1＋(n －1)d ＝n2，∴a n ＝2n.(n ∈N ＋)B 级素养提升一、选择题1．{a n }是首项为a 1＝4，公差d ＝2的等差数列，如果a n ＝2 020，则序号n 等于( A ) A ．1 009 B ．1 012 C ．1 008D ．1 010[解析] ∵a 1＝4，d ＝2，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝4＋2(n －1)＝2n ＋2， ∴2n ＋2＝2 020，∴n ＝1 009.2．数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1＝2a n ＋1，则a 101的值是( D ) A ．49 B ．50 C ．51D ．52 [解析] 由2a n ＋1＝2a n ＋1得a n ＋1－a n ＝12，∴{a n }是等差数列，首项a 1＝2，公差d ＝12，∴a n ＝2＋12(n －1)＝n ＋32，∴a 101＝101＋32＝52.3．在首项为81，公差为－7的等差数列中，值最接近零的项是( C ) A ．第11项 B ．第12项 C ．第13项D ．第14项[解析] 由a n ＝a 1＋(n －1)d 得a n ＝－7n ＋88，令a n ≥0，解得n ≤887＝1247.而a 12＝4，a 13＝－3，故a 13的值最接近零．4．等差数列的首项为125，且从第10项开始为比1大的项，则公差d 的取值范围是( D )A ．d >875B ．d <325C ．875<d <325D ．875<d ≤325[解析] 由题意⎩⎪⎨⎪⎧a 10>1a 9≤1，∴⎩⎪⎨⎪⎧125＋9d >1125＋8d ≤1，∴875<d ≤325. 二、填空题5．在等差数列{a n }中，a 3＝7，a 5＝a 2＋6，则a 6＝ 13 . [解析] 由a 5＝a 2＋6得a 5－a 2＝6，故3d ＝6，d ＝2.∴a 6＝a 3＋3d ＝7＋3×2＝13.6．若x ≠y ，两个数列：x ，a 1，a 2，a 3，y 和x ，b 1，b 2，b 3，b 4，y 都是等差数列，则a 2－a 1b 3－b 2＝ 54.[解析] 设这两个等差数列的公差分别为d 1，d 2. 则a 2－a 1b 3－b 2＝d 1d 2.由等差数列的性质，是y －x ＝4d 1＝5d 2，∴d 1d 2＝54. 三、解答题7．等差数列{a n }中， a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.[解析] (1)设数列{a n }的公差为d ，由题意有2a 1＋5d ＝4，a 1＋5d ＝3.解得a 1＝1，d ＝25. 所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋35. (2)由(1)知，b n ＝[2n ＋35]．当n ＝1,2,3时，1≤2n ＋35<2，b n ＝1；当n ＝4,5时，2<2n ＋35<3，b n ＝2；当n ＝6,7,8时，3≤2n ＋35<4，b n ＝3；当n ＝9,10时，4<2n ＋35<5，b n ＝4.所以数列{b n }的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2 ＝24. 8．已知f (x )＝2x x ＋2，在数列{x n }中，x 1＝13，x n ＝f (x n －1)(n ≥2，n ∈N *)，试说明数列{1x n}是等差数列，并求x 95的值．[解析] 因为当n ≥2时，x n ＝f (x n －1)，所以x n ＝2x n －1x n －1＋2(n ≥2)，即x n x n －1＋2x n ＝2x n －1(n ≥2)，得2x n －1－2x n x n x n －1＝1(n ≥2)，即1x n －1x n －1＝12(n ≥2)．又1x 1＝3，所以数列{1x n }是以3为首项，12为公差的等差数列，所以1x n ＝3＋(n －1)×12＝n ＋52，所以x n ＝2n ＋5，所以x 95＝295＋5＝150.。

北师大版高二数学上册必修5第一章数列第一课数列的概念课件(共21张PPT)

明朝未及，我只有过好每一个今天，唯一的今天。
昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢（先别急着纠正我的错误，你确实可以在评判过去中学到许多）。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为何不想想“现在”呢？为何不及时行乐呢？如果你的回答是“不”，那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们：不要惧怕失败。如果你失败了他不会坐下来说：“靠，我真失败，我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做，他们都会反反复复，一次一次地尝试。如果一条路走不通，那就走走其他途径，不断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质，没有人生来害怕失败，记住这一点。宁愿做事而犯错，也不要为了不犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。开头也许艰难，但是随着时间的流逝，你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机，所以当你觉得做某事还不是时候，先做起来再说吧。喜欢追梦的人，切记不要被梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意，明天不再升起；月亮不会因为你的抱怨，今晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿的脖子再长，总高不过它的脑袋。人的脚指头再长，也长不过他的脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认为太阳不可能从西边出来，这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环无穷。机遇孕育着挑战，挑战中孕育着机遇，这是千古验证了的定律！种子放在水泥地板上会被晒死，种子放在水里会被淹死，种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选

2020-2021学年数学北师大版必修5：1-2-1 第1课时等差数列的概念和通项公式

(3)注意定义中的“同一常数”这一要求，否则这个数列不能称为等差数列．
类型一等差数列的判定
【例 1】判断下列各数列是否为等差数列． (1)1,2,4,6,8； (2)7,7,7,7,7； (3)m，m＋n，m＋2n,2m＋n； (4)a－d，a，a＋d. 【思路探究】根据等差数列的定义进行判断，即判断从第 2 项开始每一项与它前一项的差是否等于同一个常数．

【解】 (1)因为 2－1＝1,4－2＝2,6－4＝2,8－6＝2,1≠2，所以该数列不是等差数列． (2)因为 7－7＝7－7＝7－7＝7－7＝0，所以该数列是等差数列． (3)因为(m＋n)－m＝(m＋2n)－(m＋n)＝n， (2m＋n)－(m＋2n)＝m－n，所以当 n＝m－n，即 m＝2n 时，该数列是等差数列；当 m≠2n 时，该数列不是等差数列． (4)因为 a－(a－d)＝(a＋d)－a＝d，所以该数列是等差数列．
规律方法要判断一个数列是不是等差数列，只要看对于任意的正整数 n，an＋1－an 是不是等于同一个常数，切记不可通过计算 a2－a1，a3－a2，a4－a3 等几个有限的式子的值后，根据它们的值都是同一个常数，就得出该数列为等差数列的结论．因为由特殊到一般得出的结论不一定正确．
判断下列数列是否为等差数列： (1)an＝3n－1； (2)an＝1n，－n1＝，1n，≥2； (3)an＝n2＋n.
类型二等差数列的证明
【例 2】已知函数 f(x)＝x＋3x3，数列{xn}的通项由 xn＝f(xn －1)(n≥2，且 n∈N＋)确定．
(1)求证：x1n是等差数列； (2)当 x1＝12时，求 x100.
【思路探究】 (1)利用条件 xn＝f(xn－1)可以确定数列{xn}中相邻两项的递推关系，要证明x1n是等差数列，按照定义，只需证明xn1＋1－x1n或x1n－xn1－1(n≥2)是常数即可；

2022版高中数学第一章数列1、1数列的概念1、2数列的函数特性基础训练北师大版必修5

数列的概念数列的函数特性基础过关练题组一对数列概念的理解1.下列说法正确的是 ( ) A.1,2,3,4,…,n 是无穷数列B.数列3,5,7与数列7,5,3是相同数列C.同一个数在数列中不能重复出现D.数列{2n +1}的第6项是13 2.下面四个结论:①数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1,2,3,…,n })上的函数; ②数列若用图像表示,从图像上看都是一群孤立的点; ③数列的项数是无限的; ④数列的通项公式是唯一的.其中正确的是 ( ) A.①② B.①②③ C.②④ D.①②③④ 题组二数列的通项公式3.数列23,45,67,89,…的第10项是 ( )A.1617B.1819C.2021D.22234.(2019山东菏泽高二期末)设a n =1n +1n +1+1n +2+1n +3+…+1n 2(n ∈N +),则a 2= ( )A.12B.12+13C.12+13+14D.12+13+14+155.(2020河南南阳高二下期中)已知数列√2,2,2√2,4,…,则16√2是这个数列的(深度解析) A.第8项 B.第9项 C.第10项 D.第11项6.数列0.3,0.33,0.333,0.3333,…的通项公式为 ( )A.a n =19(10n-1) B.a n =29(10n-1)C.a n =13(1-110n )D.a n =310(10n-1)7.如图是关于星星的图案,每个图案中的星星数可构成一个数列,则该数列的一个通项公式是 ( )A.a n =n 2-n +1 B.a n =n (n -1)2C.a n =n (n +1)2D.a n =n (n +2)28.下列各数中,是数列{n (n +1)}中的一项的是 ( ) A .380 B .29 C .32 D .239.设a n =1n +1+1n +2+1n +3+…+12n (n ∈N +),那么a n +1-a n 等于 ( ) A.12n +1 B.12n +2C.12n +1+12n +2D.12n +1-12n +210.数列4,6,8,10,…的一个通项公式为 . 题组三数列的性质11.已知数列{a n }的通项公式是a n =n3n +1,那么这个数列是( )A.递增数列B.递减数列C.摆动数列D.常数列12.设函数f (x )={(3-n )n -3,n ≤7,n n -6,n >7,数列{a n }满足a n =f (n ),n ∈N +,且数列{a n }是递增数列,则实数a 的取值范围是 ( )A.(94,3)B.[94,3) C.(1,3) D.(2,3)13.若数列{a n }为递减数列,则{a n }的通项公式可能为 (填序号). ①a n =-2n +1;②a n =-n 2+3n +1;③a n =12n;④a n =(-1)n.能力提升练一、选择题 1.()给出以下通项公式:①a n =√22[1-(-1)n];②a n =√1-(-1)n;③a n ={√2,n 为奇数,0,n 为偶数.其中可以作为数列√2,0,√2,0,√2,0,…的通项公式的是( )A.①②B.②③C.①③D.①②③2.(2021陕西西安一中高二上第一次月考,)已知数列{a n }中,a 1=1,(n +1)a n =na n +1,则a 12=( )A.11B.12C.13D.14 3.()把3,6,10,15,21,…这些数叫作三角形数,这是因为用这些数目的点可以排成一个正三角形(如图),则第7个三角形数是( )A.28B.29C.32D.36 4.()已知数列{a n }中,a 1=3,a n +1=-1nn +1(n ∈N +),能使a n =3的n 可以为 ( )A.17B.16C.15D.14 5.(2019山东烟台招远一中高二月考,)已知a n =n -√79n -√80(n ∈N +),则在数列{a n }的前50项中最小项和最大项分别是 ( ) A.a 1,a 50 B.a 1,a 8 C.a 8,a 9 D.a 9,a 50 6.()在数列{a n }中,a 1=2,a n +1=a n +lg (1+1n),则a n =( )A.2+lg nB.2+(n -1)lg nC.2+n lg nD.1+n lg n 二、填空题 7.()斐波那契数列(Fibonaccisequence),又称黄金分割数列,因数学家莱昂纳多·斐波那契(LeonardodaFibonacci)以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”,指的是这样一个数列:0,1,1,2,3,5,8,13,21,…,则该数列的第12项为 .8.(2020安徽宣城高一下期末,)已知a n =n 2-tn +2020(n ∈N +,t ∈R),若数列{a n }中的最小项为第3项,则t 的取值范围为 .易错 9.()某少数民族的刺绣有着悠久的历史,图(1)、(2)、(3)、(4)为最简单的四个图案,这些图案都由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n 个图形包含f (n )个小正方形,则f (6)= .……10.()在数列{a n }中,a 1=a ,a 2=b ,a n +1+a n -1=a n (n ≥2且n ∈N +),则a 2020= .三、解答题 11.()写出下列数列的一个通项公式.(1)-11+1,14+1,-19+1,116+1,…; (2)2,3,5,9,17,33,…; (3)12,25,310,417,…;(4)-13,18,-115,124,….12.()在数列{a n }中,a n =(n +1)(1011)n.(1)讨论数列{a n }的单调性; (2)求数列{a n }的最大项.答案全解全析第一章数列 §1 数列 1.1 数列的概念1.2 数列的函数特性基础过关练1.D 数列1,2,3,4,…,n ,共n 项,是有穷数列,A 错误;数列中的项是有次序的,B 错误; 数列中的数可以重复出现,C 错误;当n =6时,2×6+1=13,D 正确.2.A 易知①②正确;数列的项数可以是有限的,也可以是无限的,③错;数列的通项公式可能不唯一,比如数列1,0,-1,0,1,0,-1,0,…的通项公式可以是a n =sinn π2,也可以是a n =cos(n +3)π2,④错.故选A .3.C 由题意知数列的通项公式是a n =2n2n +1(n ∈N +),所以a 10=2×102×10+1=2021.故选C . 4.C ∵a n =1n +1n +1+1n +2+1n +3+…+1n 2(n ∈N +),∴a 2=12+13+14.故选C .5.B 可将数列改写为√2,(√2)2,(√2)3,(√2)4,…,由此可归纳出该数列的通项公式为a n =(√2)n ,又16√2=(√2)9,所以其为该数列的第9项. 方法总结要判断某一个数是不是数列中的项,其实就是看相应方程有没有正整数解.6.C 数列0.9,0.99,0.999,0.9999,…的通项公式为1-110n ,而数列0.3,0.33,0.333,0.3333,…的每一项都是上面数列对应项的13,故选C .7.C 从题图中可观察星星的构成规律,当n =1时,有1个;当n =2时,有3个;当n =3时,有6个;当n =4时,有10个;……, ∴a n =n (n +1)2.故选C .8.A 令380=n (n +1),即n 2+n -380=0, 解得n =19或n =-20(舍去), 所以380是{n (n +1)}中的第19项. 同理,可检验B 、C 、D 不是该数列中的项.9.D 由题意知a n +1=1n +2+1n +3+…+12n +12n +1+12n +2,所以a n +1-a n =12n +1-12n +2. 10.答案 a n =2n +2解析各项是从4开始的偶数,所以a n =2n +2. 11.A 因为a n =n 3n +1=13(3n +1)-133n +1=13-13(3n +1)是关于n 的增函数,所以数列{a n }是递增数列.12.D 由a n =f (n ),n ∈N +是递增数列可得{3-n >0,n >1,n (8)>n (7),即{3-n >0,n >1,n 2>18-7n ,解得2<a <3.13.答案 ①③解析分别作出函数y =-2n +1和y =12n的图像(图略),由图像可知①③中的数列{a n }为递减数列.②中第1项和第2项相等,故不是递减数列.④是摆动数列.能力提升练一、选择题1.D 经代入检验,①②③均可作为已知数列的通项公式.2.B ∵(n +1)a n =na n +1,∴n n n =nn +1n +1, ∴数列{n n n }是常数列,nn n =n 11=1,∴a n =n ,∴a 12=12.故选B.3.D 设3,6,10,15,21,…为数列{a n },则a n =(n +1)(n +2)2,当n =7时,a 7=8×92=36.4.B 由a 1=3,a n +1=-1n n+1,得a 2=-14,a 3=-43,a 4=3,所以数列{a n }是周期为3的周期数列,则由选项知a 16=3,故选B . 5.C 因为y =√79n -√80=1+√80-√79n -√80在(-∞,√80)上单调递减,在(√80,+∞)上单调递减,所以当x ∈(-∞,√80)时y ∈(-∞,1),此时a n ∈[a 8,a 1]⊆(-∞,1),当x ∈(√80,+∞)时y ∈(1,+∞),此时a n ∈[a 50,a 9]⊆(1,+∞),因此数列{a n }的前50项中最小项和最大项分别为a 8,a 9. 6.A 解法一:由已知得a n +1-a n =lgn +1n, 所以a n =(a n -a n -1)+(a n -1-a n -2)+…+(a 2-a 1)+a 1 =lgn n -1+lg n -1n -2+lg n -2n -3+…+lg 21+2 =lg (nn -1×n -1n -2×n -2n -3×…×32×21)+2 =2+lg n.解法二:由a n +1=a n +lg (1+1n )得a n +1=a n +lg(n +1)-lg n ,所以a n +1-lg(n +1)=a n -lg n =a 1-lg1=2,即数列{a n -lg n }是常数列,且a n -lg n =2,所以a n =2+lg n. 二、填空题 7.答案 89信息提取 ①该数列的前9项分别为0,1,1,2,3,5,8,13,21;②求该数列的第12项.数学建模本题为涉及数学文化的情境题,从“兔子数列”的前几项入手,挖掘出其内在规律:从第3项起,每1项均等于前面两项之和,便可求得其第12项.解析记“兔子数列”为{a n },则a 10=a 8+a 9=13+21=34,a 11=a 9+a 10=21+34=55,a 12=a 10+a 11=34+55=89,即第12项为89.8.答案 (5,7)解析函数y =x 2-tx +2020的图像是开口向上的抛物线,其对称轴为直线x =n2,因为数列{a n }中最小项为第3项, 所以52<n 2<72,解得5<t <7. 易错警示将数列的通项a n 看作是关于n 的函数时,要特别注意以下两点:一是其相应的函数图像是由一群离散的点组成的,二是其定义域为正整数集或正整数集的子集. 9.答案 61解析 f (1)=1=2×1×0+1,f (2)=1+3+1=2×2×1+1, f (3)=1+3+5+3+1=2×3×2+1, f (4)=1+3+5+7+5+3+1=2×4×3+1,故f (n )=2n (n -1)+1.当n =6时,f (6)=2×6×5+1=61. 10.答案 -a解析由已知得a n +1=a n -a n -1,所以a 3=a 2-a 1=b -a ,a 4=a 3-a 2=-a ,a 5=a 4-a 3=-b ,a 6=a 5-a 4=a -b ,a 7=a 6-a 5=a ,……, 所以数列{a n }是以6为周期的周期数列,而2020=336×6+4,所以a 2020=a 4=-a. 三、解答题11.解析 (1)∵第n 项的符号为(-1)n ,分子都是1,分母是n 2+1, ∴a n =(-1)n·1n 2+1.(2)∵a 1=2=1+1,a 2=3=2+1,a 3=5=22+1,a 4=9=23+1,a 5=17=24+1,a 6=33=25+1,……,∴a n =2n -1+1. (3)∵a 1=12=112+1,a 2=25=222+1,a 3=310=332+1,a 4=417=442+1,……,∴a n =n n 2+1.(4)∵a 1=-13=-11×3,a 2=18=12×4,a 3=-115=-13×5,a 4=124=14×6,……,∴a n =(-1)n·1n (n +2).12.解析 (1)由题意知a n >0,令n nn n -1>1(n ≥2), 即(n +1)(1011)n n (1011)n -1>1(n ≥2),解得2≤n <10,即a 9>a 8>…>a 1. 令n nnn +1>1,即(n +1)(1011)n (n +2)(1011)n +1>1,整理,得n +1n +2>1011,解得n >9,即a 10>a 11>….又n 9n 10=1,所以数列{a n }从第1项到第9项递增,从第10项起递减.(2)由(1)知a 9=a 10=1010119最大.。

高中数学第一章数列2.1.2等差数列的性质课时素养评价含解析北师大版必修5

等差数列的性质(20分钟35分)1.在等差数列{a n}中,a10=30,a20=50,则a40等于( )A.40B.70C.80D.90【解析】选D.方法一:设公差为d.因为a20=a10+10d,所以50=30+10d,所以d=2,a40=a20+20d=50+20×2=90.方法二:因为2a20=a10+a30,所以2×50=30+a30,所以a30=70,又因为2a30=a20+a40,所以2×70=50+a40,所以a40=90.2.在等差数列{a n}中,已知a1=2,a2+a3=13,则a4+a5+a6等于( )A.40B.42C.43D.45【解析】选B.因为a2+a3=13,所以2a1+3d=13.因为a1=2,所以d=3.所以a4+a5+a6=3a5=3(a1+4d)=42.3.在等差数列{a n}中,首项a1=0,公差d≠0.若a k=a1+a2+a3+…+a7,则k= ( )A.22B.23C.24D.25【解题指南】利用等差数列的性质得:a1+a2+a3+…+a7=7a4.【解析】选A.因为数列{a n}为等差数列,首项a1=0,公差d≠0,所以a k=a1+(k-1)d=a1+a2+a3+…+a7=7a4=21d.解得k=22.4.设{a n}是公差为正数的等差数列,若a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,则a11+a12+a13等于 ( )A.120B.105C.90D.75【解析】选B.设公差为d.因为a1+a2+a3=3a2=15,所以a2=5,又因为a1a2a3=80,所以a1a3=16,即(a2-d)(a2+d)=16,因为d>0,所以d=3.则a11+a12+a13=3a12=3(a2+10d)=105.5.(2020·重庆高一检测)等差数列中a2+a4+a6+a8=20,则a3+a7= .【解析】a2+a4+a6+a8=2=20,所以a3+a7=10.答案:106.(1)三个数成等差数列,和为6,积为-24,求这三个数;(2)四个数成递增等差数列,中间两数的和为2,首末两项的积为-8,求这四个数.【解析】(1)方法一:设等差数列的等差中项为a,公差为d,则这三个数分别为a-d,a,a+d,由已知,3a=6且a(a-d)(a+d)=-24,所以a=2,代入a(a-d)(a+d)=-24,化简得d2=16,于是d=±4,所以这三个数为-2,2,6或6,2,-2.方法二:设首项为a,公差为d,则这三个数分别为a,a+d,a+2d,由已知,3a+3d=6,且a(a+d)(a+2d)=-24,所以a=2-d,代入a(a+d)(a+2d)=-24,得2(2-d)(2+d)=-24,整理得4-d2=-12,即d2=16,于是d=±4,所以,这三个数为-2,2,6或6,2,-2.(2)方法一:设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差为2d),由已知,2a=2,且(a-3d)(a+3d)=-8,即a=1,a2-9d2=-8,所以d2=1,所以d=1或d=-1.又四个数成递增等差数列,所以d>0,所以d=1,所以所求的四个数为-2,0,2,4.方法二:设这四个数为a,a+d,a+2d,a+3d(公差为d),由已知,2a+3d=2,且a(a+3d)=-8, 把a=1-d代入a(a+3d)=-8,得=-8,即1-d2=-8,化简得d2=4,所以d=2或-2.又四个数成递增等差数列,所以d>0,所以d=2,所以所求的四个数为-2,0,2,4.【补偿训练】设数列{a n}是等差数列,b n=,又因为b1+b2+b3=,b1b2b3=,求通项a n.【解析】因为b1b2b3=,又因为b n=,所以··=.所以=,所以a1+a2+a3=3,又因为{a n}成等差数列,所以a2=1,a1+a3=2,所以b1b3=,b1+b3=,所以或即或所以a n=2n-3或a n=-2n+5.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2020·石嘴山高一检测)在等差数列中,若a1+a2=4,a3+a4=12,则a5+a6= ( )A.8B.16C.20D.28【解析】选C.因为为等差数列,则a1+a2,a3+a4,a5+a6也成等差数列,公差为12-4=8.所以a5+a6=a3+a4+8=12+8=20.2.在数列中,已知a n+1-a n=a n+2-a n+1,a1 011=1,则该数列中a1+a2 021= ( )A.1B.2C.3D.4【解题指南】根据条件判断出为等差数列,利用等差数列的等差中项得到答案.【解析】选B.因为a n+1-a n=a n+2-a n+1,所以2a n+1=a n+a n+2,所以为等差数列,因为a1 011=1,所以a1+a2 021=2a1 011=2.【光速解题】选B.根据题意,可以让a1=a2=…=a2 021=1求解.3.(2020·邢台高一检测)在等差数列{a n}中,若a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,则a3+a6+a9的值为( )A.30B.27C.24D.21【解题指南】首先由等差中项的性质知:a4=13,a5=11,由d=a5-a4,a3+a6+a9=3a6,计算a6代入即可. 【解析】选B.因为a1+a4+a7=3a4=39,所以a4=13.因为a2+a5+a8=3a5=33,所以a5=11.所以d=a5-a4=-2.又a6=a5+d=9,所以a3+a6+a9=3a6=27.4.(2020·福州高三检测)在等差数列中,已知a1=3,公差d=2,若a m=a1+a2+a3+a4+a5(m∈N*),则m= ( )A.19B.18C.17D.16【解题指南】依题意a n=2n+1,且a1+a2+a3+a4+a5=5a3=35,令a m=35解方程即可.【解析】选C.根据题意,数列{a n}是等差数列,且a1=3,公差d=2,所以a n=a1+(n-1)d=3+2n-2=2n+1,又因为a m=2m+1=a1+a2+a3+a4+a5=5a3=35(m∈N*),所以m=17.5.设等差数列满足a3+a7=36,a4a6=275,且a n a n+1有最小值,则这个最小值为( )A.-10B.-12C.-14D.-16【解题指南】设该等差数列的首项为a1,公差为d,根据题意,分析可得(a1+2d)+(a1+6d)=36,(a1+3d)(a1+5d)=275,解可得a1与d的值,即可得数列的通项,将其代入a n a n+1中,结合二次函数的性质分析可得答案.【解析】选B.根据题意,设该等差数列的首项为a1,公差为d,若a3+a7=36,a4a6=275,则有(a1+2d)+(a1+6d)=36,(a1+3d)(a1+5d)=275,解得或,则数列的通项为a n=7n-17或a n=-7n+53,当a n=7n-17时,a n a n+1=(7n-17)(7n-10)=49=49-,分析可得当n=2时,a n a n+1有最小值,且其最小值为-12;当a n=-7n+53时,a n a n+1=(-7n+53)(-7n+46)=(7n-53)(7n-46)=49,因为=≈7.07,分析可得当n=7时,a n a n+1有最小值,且其最小值为-12;即a n a n+1有最小值-12.【误区警示】本题因为d有两个解,所以求解a n易错,最后在计算a n a n+1的最值时由于计算量较大,也容易出错.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(5分)已知{a n}为等差数列,且a6=4,则a4a7的最大值为.【解析】设等差数列的公差为d,则a4a7=(a6-2d)(a6+d)=(4-2d)(4+d)=-2(d+1)2+18,即a4a7的最大值为18.答案:187.已知数列{a n}为等差数列且a1+a7+a13=4π,则tan(a2+a12)的值为.【解析】由等差数列的性质得a1+a7+a13=3a7=4π,所以a7=.所以tan(a2+a12)=tan(2a7)=tan =tan =-.答案:-8.在△ABC中,若lgsin A,lgsin B,lgsin C成等差数列,且三个内角A,B,C也成等差数列,则△ABC的形状为.【解析】因为lgsin A,lgsin B,lgsin C成等差数列,得lgsin A+lgsin C=2lgsin B,即sin2 B=sin Asin C①,又三内角A,B,C也成等差数列,所以B=60°,代入①得sin Asin C=②,设A=60°-α,C=60°+α,代入②得sin(60°+α)sin(60°-α)=,⇒cos2α-sin2α=,即cos2α=1,所以α=0°,所以A=B=C=60°,所以△ABC为等边三角形.答案:等边三角形三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知无穷等差数列{a n},首项a1=3,公差d=-5,依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{b n}.(1)求b1和b2;(2)求数列{b n}的通项公式;(3)数列{b n}中的第110项是数列{a n}中的第几项?【解析】(1)由题意,等差数列{a n}的通项公式为a n=3+(n-1)(-5)=8-5n,设数列{b n}的第n项是数列{a n}的第m项,则需满足m=4n-1,n∈N+,所以b1=a3=8-5×3=-7,b2=a7=8-5×7=-27.(2)由(1)知b n+1-b n=a4(n+1)-1-a4n-1=4d=-20,所以新数列{b n}也为等差数列,且首项为b1=-7,公差为d′=-20,所以b n=b1+(n-1)d′=-7+(n-1)×(-20)=13-20n.(3)因为m=4n-1,n∈N+,所以当n=110时,m=4×110-1=439,所以数列{b n}中的第110项是数列{a n}中的第439项.10.某化工厂打算投入一条新的生产线,但需要经环保部门审批同意方可投入生产,已知该厂连续生产n个月的累计产量为f(n)=n(n+1)(2n-1)吨,但如果月产量超过96吨,将会给环境造成危害.(1)请你代表环保部门给厂拟定最长的生产周期.(2)若该厂在环保部门的规定下生产,但需要每月交纳a万元环保税,已知每吨售价0.6万元,第n个月的工人工资为g(n)=n2-n-1万元,若每月都赢利,求出a的范围?【解析】(1)设化工厂每个月的产量构成数列{a n},则a n=f(n)-f(n-1)=n(n+1)(2n-1)-(n-1)n(2n-3)=3n2-2n,所以产量逐月递增.当3n2-2n≤96时,解得n≤6,所以环保部门给厂拟定最长的生产周期为6个月.(2)若每月都赢利,则(3n2-2n)--a>0恒成立,所以a<,当n=2时,=,所以a<.又因为a>0,所以0<a<.1.在数表中,已知每行、每列中的数都成等差数列.第1列第2列第3列…第1行 1 2 3 …第2行 2 4 6 …第3行 3 6 9 ………………那么位于表中的第n行第n+1列的数是.【解析】观察可知,第n行的数构成以n为首项,n为公差的等差数列,所以第n行第n+1列的数是n+[(n+1)-1]×n=n2+n.答案:n2+n2.已知,,成等差数列,求证:,,也成等差数列. 【证明】因为,,成等差数列,所以=+,即2ac=b(a+c).因为+=====,所以,,成等差数列.。

第一章数列§2 2.2 第1课时等差数列的前n项和北师大版必修五.

把①， ②等号两边分别相加，得
2Sn (a1 an ) (a1 an ) (a1 an ) （共n个） n(a1 an ).
于是，首项为a1,末项为an,项数为n的等差数列的前n项和
n(a1 an ) Sn . 2
这种求和的方法叫作“倒序相加法”
③
这个公式表明：等差数列前n项的和等于首末两项的和与项数乘积的一半，参见下图.
100 (1 100) 1 2 3 99 100 5050. 2
等差数列的前n项和公式
…
…
… …
有200根相同的圆木料，要把它们堆成正三角形垛，并使剩余的圆木料尽可能少，那么将剩余多少根圆木料？根据题意，各层圆木料数比上一层多一根，故其构成等差数列： 1,2,3，…
抽象概括
设Sn是等差数列{an}的前n项和，即
Sn a1 a2 a3 an .
根据等差数列{an}的通项公式，上式可以写成
Sn a1 (a1 d ) (a1 2d ) [a1 (n 1)d ],
再把项的次序反过来，Sn又可以写成
①
Sn an (an d ) )d ], ②
2.2 等差数列的前n项和第1课时等差数列的前n项和
1.知识目标：掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的问题．
2.能力目标：通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，提高学生的思维水平. 3.情感目标：通过公式的推导过程，展现数学中的对称美

高中数学北师大版必修5课件：第1章2.1.1《等差数列的概念》

2．求等差数列的通项公式除课本的归纳法外, 你还知道哪些方法？提示：除课本上用归纳法得到通项公式外，还有以下几种方法推出等差数列的通项公式，这些方法是解决问题的一些重要的常规方法，要注意体会并逐步应用． ①累加法因为{an}为等差数列，则有 a n － a n － 1＝ d ， an－1－an－2＝d，
2．等差数列的通项公式
若{an}是首项为a1，公差为d的等差数列，则 an＝a1＋(n－1)d {a }的通项公式为_________________.
n
问题探究 1．等差数列的定义中为什么要强调“从第2项起”和“差是同一个常数”这两点？提示：通过列举反例来分析．我们知道一个数列的第1项没有前一项，所以强调“从第2项起”；“差是常数”和“差是同一个常数”的意义不一样，如数列1,5,3,7中，a2－a1＝5－1 ＝4＝常数，a3－a2＝3－5＝－2＝常数，a4－ a3＝7－3＝4＝常数，差都是常数，但是很明显该数列不是等差数列，所以强调“差是同一个常数”，这是等差数列定义的核心．
数列{an}的通项公式．
2．从函数的观点看，数列的表示方法有列表法， _______ 图像法， ___________ 通项公式法． _______
知新益能
1．等差数列的概念第二项起，每一项与它的前如果一个数列从 _______
同一个常数，那么这个数列就一项的差等于 ___________ 常数叫做等差数列的公叫做等差数列，这个 _____ d 表示．差，通常用字母___
解了题意．
自我挑战
已知等差数列 {an}的首项为 a1，公
差为d且a5＝10，a12＝31，求数列的通项公式.
解：法一：∵a5＝a1＋4d，a12＝a1＋11d，

高中数学选择性必修二 4 2 1第一课时等差数列的概念及通项公式(作业)(含答案)

4．2.1 第一课时等差数列的概念及通项公式[A级基础巩固]1．在等差数列{a n}中，a2＝2，a3＝4，则a10＝()A．12B．14C．16 D．18解析：选D由题意知，公差d＝4－2＝2，则a1＝0，所以a10＝a1＋9d＝18.故选D.2．若等差数列{a n}中，已知a1＝13，a2＋a5＝4，a n＝35，则n＝()A．50 B．51 C．52 D．53解析：选D依题意，a2＋a5＝a1＋d＋a1＋4d＝4，代入a1＝13，得d＝23.所以a n＝a1＋(n－1)d＝13＋(n－1)×23＝23n－13，令a n＝35，解得n＝53.3．(多选)设x是a与b的等差中项，x2是a2与－b2的等差中项，则a，b的关系正确的是() A．a＝－b B．a＝3bC．a＝b或a＝－3b D．a＝b＝0解析：选AB由等差中项的定义知：x＝a＋b 2，x2＝a2－b2 2，∴a2－b22＝⎝⎛⎭⎫a＋b22，即a2－2ab－3b2＝0.故a＝－b或a＝3b.4．数列{a n}中，a1＝2,2a n＋1＝2a n＋1，则a2 021的值是() A．1 000 B．1 013C ．1 011D ．1 012解析：选D 由2a n ＋1＝2a n ＋1，得a n ＋1－a n ＝12，所以{a n }是等差数列，首项a 1＝2，公差d ＝12，所以a n ＝2＋12(n －1)＝n ＋32，所以a 2 021＝2 021＋32＝1 012.5．已知数列3,9,15，…，3(2n －1)，…，那么81是数列的( ) A ．第12项 B ．第13项 C ．第14项D ．第15项解析：选C a n ＝3(2n －1)＝6n －3，由6n －3＝81，得n ＝14. 6．已知等差数列{a n }，a n ＝2－3n ，则数列的公差d ＝________. 解析：根据等差数列的概念，d ＝a n ＋1－a n ＝－3. 答案：－37．在等差数列{a n }中，a 3＝7，a 5＝a 2＋6，则a 1＝________，a 6＝________. 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝7，a 1＋4d ＝a 1＋d ＋6.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3＋(n －1)×2＝2n ＋1. ∴a 6＝2×6＋1＝13. 答案：3 138．数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，数列{b n }是首项为－2，公差为4的等差数列．若a n ＝b n ，则n 的值为________．解析：a n ＝2＋(n －1)×3＝3n －1，b n ＝－2＋(n －1)×4＝4n －6，令a n ＝b n ，得3n －1＝4n －6，∴n ＝5. 答案：59．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2a na n ＋2，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是否为等差数列？说明理由．解：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，理由如下：因为a 1＝2，a n ＋1＝2a na n ＋2，所以1a n ＋1＝a n ＋22a n ＝12＋1a n ，所以1a n ＋1－1a n ＝12(常数)．所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝12为首项，公差为12的等差数列．10．若1b ＋c ，1a ＋c ，1a ＋b是等差数列，求证：a 2，b 2，c 2成等差数列．证明：由已知得1b ＋c ＋1a ＋b ＝2a ＋c ，通分有2b ＋a ＋c (b ＋c )(a ＋b )＝2a ＋c.进一步变形有2(b ＋c )(a ＋b )＝(2b ＋a ＋c )(a ＋c )，整理，得a 2＋c 2＝2b 2，所以a 2，b 2，c 2成等差数列．[B 级综合运用]11．(多选)如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，且公差d ≠0，则( ) A ．a 3a 6>a 4a 5 B ．a 3a 6<a 4a 5 C ．a 3＋a 6＝a 4＋a 5D ．a 3a 6＝a 4a 5解析：选BC 由通项公式，得a 3＝a 1＋2d ，a 6＝a 1＋5d ，那么a 3＋a 6＝2a 1＋7d ，a 3a 6＝(a 1＋2d )(a 1＋5d )＝a 21＋7a 1d ＋10d 2，同理a 4＋a 5＝2a 1＋7d ，a 4a 5＝a 21＋7a 1d ＋12d 2，显然a 3a 6－a 4a 5＝－2d 2<0，故选B 、C.12．已知x ≠y ，且两个数列x ，a 1，a 2，…，a m ，y 与x ，b 1，b 2，…，b n ，y 各自都成等差数列，则a 2－a 1b 2－b 1等于( ) A.m n D ．m ＋1n ＋1 C.n mD ．n ＋1m ＋1解析：选D 设这两个等差数列公差分别是d 1，d 2，则a 2－a 1＝d 1，b 2－b 1＝d 2.第一个数列共(m ＋2)项， ∴d 1＝y －x m ＋1；第二个数列共(n ＋2)项，∴d 2＝y －xn ＋1. 这样可求出a 2－a 1b 2－b 1＝d 1d 2＝n ＋1m ＋1.13．下表中的数阵为“森德拉姆素数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，记第i 行第j 列的数为a i ，j (i ，j ∈N *)，则a 9,9＝______，数82共出现______次．解析：根据题意得，第i 行的等差数列的公差为i ，第j 列等差数列的公差为j ，所以数列{a 1，j }是以2为首项，1为公差的等差数列，可得a 1，j ＝2＋(j －1)×1＝j ＋1，又因为第j 列数组成的数列{a i ，j }是以a 1，j 为首项，j 为公差的等差数列，所以a i ，j ＝a 1，j ＋(i －1)j ＝(j ＋1)＋(i －1)×j ＝ij ＋1，所以a 9,9＝9×9＋1＝82.因为a i ，j ＝ij ＋1＝82，所以ij ＝81，所以i ＝81且j ＝1或i ＝1且j ＝81或i ＝3且j ＝27或i ＝27且j ＝3或i ＝j ＝9，所以可得数82共出现5次．答案：82 514．已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝2a n －1＋2n (n ≥2，且∈N *)． (1)求a 2，a 3；(2)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是等差数列；(3)求数列{a n }的通项公式a n .解：(1)a 2＝2a 1＋22＝6，a 3＝2a 2＋23＝20. (2)证明：∵a n ＝2a n －1＋2n (n ≥2，且n ∈N *)， ∴a n 2n ＝a n －12n －1＋1(n ≥2，且n ∈N *)，即a n 2n －a n －12n －1＝1(n ≥2，且n ∈N *)， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为a 121＝12，公差d ＝1的等差数列．(3)由(2)，得a n 2n ＝12＋(n －1)×1＝n －12，∴a n ＝⎝⎛⎭⎫n －12·2n . [C 级拓展探究]15．数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝(λ－3)a n ＋2n (n ∈N *)． (1)当a 2＝－1时，求λ及a 3的值；(2)是否存在λ的值，使数列{a n }为等差数列？若存在求其通项公式；若不存在说明理由．解：(1)∵a 1＝2，a 2＝－1，a 2＝(λ－3)a 1＋2，∴λ＝32.∴a 3＝－32a 2＋22，∴a 3＝112.(2)不存在λ的值，理由如下： ∵a 1＝2，a n ＋1＝(λ－3)a n ＋2n ，∴a2＝(λ－3)a1＋2＝2λ－4.a3＝(λ－3)a2＋4＝2λ2－10λ＋16.若数列{a n}为等差数列，则a1＋a3＝2a2.即λ2－7λ＋13＝0.∵Δ＝49－4×13<0，∴方程无实数解．∴λ值不存在．∴不存在λ的值使{a n}成等差数列．。

2022版高中数学第一章数列2等差数列综合拔高练北师大版必修5

综合拔高练五年高考练考点1等差数列的通项公式及性质1.(2016课标全国Ⅰ,3,5分,)已知等差数列{a n}前9项的和为27,a10=8,则a100=()A.100B.99C.98D.972.(2020北京,8,4分,)在等差数列{a n}中,a1=-9,a5=-1.记T n=a1a2…a n(n=1,2,…),则数列{T n} ()A.有最大项,有最小项B.有最大项,无最小项C.无最大项,有最小项D.无最大项,无最小项3.(2018北京,9,5分,)设{a n}是等差数列,且a1=3,a2+a5=36,则{a n}的通项公式为.考点2等差数列的前n项和公式及其性质4.(2019课标全国Ⅰ,9,5分,)记S n为等差数列{a n}的前n项和.已知S4=0,a5=5,则()A.a n=2n-5B.a n=3n-10n2-2nC.S n=2n2-8nD.S n=125.(2018课标全国Ⅰ,4,5分,)记S n为等差数列{a n}的前n项和.若3S3=S2+S4,a1=2,则a5= ()A.-12B.-10C.10D.126.(2017课标全国Ⅰ,4,5分,)记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{a n}的公差为 ()A.1B.2C.4D.87.(2020全国Ⅱ理,4,5分,)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石) ()A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块8.(2020浙江,7,4分,)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,公差d≠0,且a1≤1.记b1=S2,b n+1=S2n+2-S2n,n∈N+,a下列等式不可能成立的是()A.2a4=a2+a6B.2b4=b2+b6C.a42=a2a8D.a42=b2b8=.9.(2019课标全国Ⅲ,14,5分,)记S n为等差数列{a n}的前n项和,若a1≠0,a2=3a1,则a10a510.(2019江苏,8,5分,)已知数列{a n}(n∈N+)是等差数列,S n是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的值是.11.(2020全国新高考Ⅰ,14,5分,)将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{a n},则{a n}的前n项和为.考点3数列的求和12.(2017课标全国Ⅲ,17,12分,)设数列{a n}满足a1+3a2+…+(2n-1)a n=2n.(1)求{a n}的通项公式;}的前n项和.(2)求数列{a a2a+1三年模拟练一、选择题1.()已知数列{a n}满足a1=15,且3a n+1=3a n-2.若a k·a k+1<0,则正整数k= ()A.24B.23C.22D.212.(2021山西大学附中高二上质检,)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,若a m+1+a m+a m-1=15,且S m=27,则m的值是()A.7B.8C.9D.103.(2020湖北随州高二上期末,)有两个等差数列2,6,10,…,190和2,8,14,…,200,由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序排列得到一个新数列,则这个新数列的项数为()A.15B.16C.17D.184.(2020湖北恩施州高中教育联盟高二上期中,)已知等差数列{a n}的前n项和S n有最大值,且a2021<-1,则a2020满足S n>0的最大正整数n的值为()A.4041B.4039C.2021D.20205.()若数列{a a2}是等差数列,则称数列{a n}为“等方差数列”,给出以下判断:①常数列是等方差数列;②若数列{a n}是等方差数列,则数列{a a2}是等差数列;③若数列{a n}是等方差数列,则数列{a a2}是等方差数列;④若数列{a n}是等方差数列,则数列{a2n}也是等方差数列.其中正确的序号为()A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④6.(2020上海七宝中学高一下期中,)有一个三人报数游戏:首先A报数字1,然后B报两个数字2、3,接下来C报三个数字4、5、6,然后轮到A报四个数字7、8、9、10,依次循环,直到报出10000,则A报出的第2020个数字为 ()A.5979B.5980C.5981D.以上都不对二、填空题7.(2020安徽六安一中高一下期中,)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a1>0,S9=-a5,则使得S n≥a n成立的最大正整数n的值为.8.(2020福建福州一中高二下质检,)在等差数列{a n}中,首项a1=3,公差d=2,若某学生对其连续10项求和,在遗漏掉一项的情况下,求得余下9项的和为199,则此连续10项的和为.三、解答题9.()已知无穷等差数列{a n}中,首项a1=3,公差d=-5,依次取出项数能被4除余3的项组成数列{b n}.(1)求b1和b2;(2)求{b n}的通项公式;(3){b n}中的第503项是{a n}中的第几项?10.(2020江西南昌二中高一下月考,)已知正项数列{a n }的前n 项和S n 满足2S n =a a 2+a n -2.(1)求数列{a n }的通项公式; (2)若b n =2a (a -1)aa a(n ∈N +),求数列{b n }的前n 项和T n ;(3)是否存在实数λ使得T n +2>λS n 对n ∈N +恒成立?若存在,求实数λ的取值范围,若不存在,请说明理由.答案全解全析 §2综合拔高练五年高考练1.C 由a 1+a 2+…+a 9=27,得9a 5=27,即a 5=3,设{a n }的公差为d ,则{a 1+4a =3,a 1+9a =8,解得{a 1=-1,a =1,所以a n =a 1+(n -1)d =n -2,将n =100代入,得a 100=100-2=98.故选C .2.B 设等差数列{a n }的公差为d ,因为a 1=-9,a 5=-1,所以4d =a 5-a 1=-1-(-9)=8,解得d =2,所以等差数列{a n }的通项公式为a n =a 1+(n -1)d =2n -11,所以a 1=-9,a 2=-7,a 3=-5,a 4=-3,a 5=-1,a 6=1,……,a n =2n -11, 且当n ≥6时,a n =2n -11>0恒成立.因为T n =a 1a 2…a n (n =1,2,…),所以T 1=-9,T 2=63,T 3=-315,T 4=945,T 5=-945,当n ≥6时,T n =a 1a 2a 3a 4a 5a 6…a n <0恒成立,且n 越大,T n 的绝对值越大,因此,在数列{T n }中,T 4最大;当n ≥6时,T n <0,所以数列{T n }无最小项,故选B . 3.答案 a n =6n -3解析设等差数列{a n }的公差为d ,则a 2+a 5=a 1+d +a 1+4d =2a 1+5d =6+5d =36,所以d =6,所以a n =a 1+(n -1)d =6n -3. 4.A 设{a n }的公差为d ,依题意得,4a 1+4×32d =0①,a 1+4d =5②,联立①②,解得a 1=-3,d =2.所以a n =2n -5,S n =n 2-4n.故选A .5.B 设等差数列{a n }的公差为d ,由3S 3=S 2+S 4,得3S 3=S 3-a 3+S 3+a 4,即S 3=a 4-a 3,∴3a 1+3×22×d =d ,∴d =-3,∴a 5=a 1+4d =-10.6.C 设等差数列{a n }的公差为d ,由等差数列的前n 项和公式及题知,S 6=(a 1+a 6)×62=48,则a 1+a 6=16=a 2+a 5,又a 4+a 5=24,所以a 4-a 2=2d =24-16=8,解得d =4.7.C 由题意可设每层有n 个环,则三层共有3n 个环,∴每一环扇面形石板的块数构成以a 1=9为首项,9为公差的等差数列{a n },且项数为3n.不妨设上层扇面形石板总数为S 1,中层总数为S 2,下层总数为S 3, ∴S 3-S 2=[9(2a +1)·a +a (a -1)2×9]-[9(a +1)·a +a (a -1)2×9]=9n 2=729,解得n =9(负值舍去).则三层共有扇面形石板(不含天心石)27×9+27×262×9=27×9+27×13×9=27×14×9=3402(块).故选C .8.D 对于A,a 2,a 4,a 6成等差数列,∴A 成立;对于B,由b n +1=S 2n +2-S 2n =a 2n +2+a 2n +1,可得b n +1-b n =a 2n +2+a 2n +1-(a 2n +a 2n -1)=a 2n +2-a 2n +a 2n +1-a 2n -1=4d ,故{b n }是等差数列,则b 2,b 4,b 6也成等差数列,∴B 成立;对于C,a 42=(a 1+3d )2=a 12+6a 1d +9d 2,a 2a 8=(a 1+d )·(a 1+7d )=a 12+8a 1d +7d 2,所以a 42-a 2a 8=2d 2-2a 1d =2d (d -a 1),当d =a 1时,a 42=a 2a 8成立;对于D,a 42=(a 1+a 2+12a )2=(2a 1+13d )2=4a 12+52a 1d +169d 2,b 2b 8=(a 1+a 2+4d )(a 1+a 2+28d )=(2a 1+5d )(2a 1+29d )=4a 12+68a 1d +145d 2,∴a 42-b 2b 8=24d 2-16a 1d =8d 2(3-2·a1a )≥8d 2>0,∴a 42≠b 2b 8,∴D 不可能成立.故选D .9.答案 4解析设等差数列{a n }的公差为d ,∵a 2=3a 1, ∴a 2=a 1+d =3a 1,∴d =2a 1, ∴S 10=10a 1+10×92d =100a 1,S 5=5a 1+5×42d =25a 1,又∵a 1≠0,∴a10a 5=4.10.答案 16解析设数列{a n }的公差为d ,则{(a 1+a )(a 1+4a )+a 1+7a =0,9a 1+9×82a =27, 解得a 1=-5,d =2,所以S 8=8×(-5)+8×72×2=16.11.答案 3n 2-2n解析 ∵数列{2n -1}的项为1,3,5,7,9,11,13,…,数列{3n -2}的项为1,4,7,10,13,…, ∴数列{a n }是首项为1,公差为6的等差数列, ∴a n =1+(n -1)×6=6n -5, ∴数列{a n }的前n 项和S n =(1+6a -5)×a2=3n 2-2n.12.解析 (1)因为a 1+3a 2+…+(2n -1)a n =2n ,故当n ≥2时,a 1+3a 2+…+(2n -3)a n -1=2(n -1), 两式相减得(2n -1)a n =2, 所以a n =22a -1(n ≥2).又由题设可得a 1=2,适合上式, 所以{a n }的通项公式为a n =22a -1(n ∈N +). (2)设{a a2a +1}的前n 项和为S n ,由(1)知aa 2a +1=2(2a +1)(2a -1)=12a -1-12a +1, 则S n =11-13+13-15+…+12a -1-12a +1=2a2a +1.三年模拟练一、选择题1.B 由已知得a n +1-a n =-23,所以数列{a n }是以15为首项,-23为公差的等差数列,所以a n =-23n +473,由此可知{a n }为递减数列. 所以由a k ·a k +1<0得{a a >0,a a +1<0,即{-23a +473>0,-23(a +1)+473<0,解得22.5<k <23.5,又k ∈N +,所以k =23.2.C ∵{a n }是等差数列,∴a m -1+a m +a m +1=3a m =15,∴a m =5, ∴S m =a (a 1+a a )2=a (1+5)2=27,∴m =9.故选C.3.B 等差数列2,6,10,…,190的公差为4,等差数列2,8,14,…,200的公差为6,所以由两个数列的公共项按从小到大的顺序排列组成的新数列的公差为12,首项为2,设该数列为{a n },则其通项公式为a n =12n -10,由12n -10≤190,解得n ≤503,而n ∈N +,所以n 的最大值为16,即新数列的项数为16.故选B.4.B 因为等差数列{a n }的前n 项和S n 有最大值,所以d <0.又a 2021a 2020<-1,所以a 2020>0,a 2021<0,a 2020+a 2021<0.所以S 4039=4039(a 1+a 4039)2=4039×2a 20202=4039a 2020>0,S 4040=4040(a 1+a 4040)2=4040(a 2020+a 2021)2<0,所以满足S n >0的最大正整数n 的值为4039.5.B ①中,常数列既是等方差数列,又是等差数列,故①正确;②③中,∵{a n }是等方差数列,∴a a 2-a a -12=p (p 为常数),得到{a a 2}是首项为a 12,公差为p 的等差数列,∴{a a 2}是等差数列,故②正确,③不正确; ④中,∵{a n }是等方差数列,∴{a a 2}是等差数列,∴a a +12-a a 2=a a +22-a a +12=a a +32-a a +22=…=a 2a 2-a 2a -12=p , a 2(a +1)2-a 2a 2=a 2(a +1)2-a 2a +12+a 2a +12-a 2a 2=2p (p 为常数),∴{a 2n }是等方差数列,故④正确.故选B . 6.答案 B信息提取 ①A 第n (n ∈N +)次报数的个数为3n -2;②B 每次比A 多报1个数,C 每次比B 多报1个数;③求A 报出的第2020个数字.数学建模以三人报数游戏为背景,建立等差数列模型,应用数列模型解决求值问题.首先分析出A 第n 次报数的个数,得到A 第n 次报完数后总共报数的个数,计算出A 是第n 0次报数中会报到第2020个数字,再计算当A 第n 0次报数时三人总的报数次数m ,再推算出此时报数的最后一个数S m ,再推出A 报出的第2020个数字.解析由题可得A 第n (n ∈N +)次报数的个数为3n -2, 则A 第n 次报完数后总共报数的个数T n =a [1+(3a -2)]2=a (3a -1)2,令T n ≥2020,则n ≥37,得T 37=2035,而A 第37次报数时,三人总共报数次数为36×3+1=109, 当A 第37次报完数时,三人总的报数个数S m =1+2+3+ (109)109×(109+1)2=5995,即A 报出的第2035个数字为5995,故A 报出的第2020个数字为5980.故选B. 二、填空题 7.答案 10解析设{a n }的公差为d ,则由S 9=-a 5,得9a 1+9×82d =-(a 1+4d ),即a 1+4d =0,∴a 5=0,d <0.由S n ≥a n 可知,S n -a n ≥0,即S n -1≥0,则S 10-1=S 9=9(a 1+a 9)2=9a 5=0,S 8>0.∴满足S n ≥a n ,即S n -1≥0成立的最大正整数n 的值为10.8.答案 220解析由题意知,数列{a n }的通项公式为a n =2n +1,设连续10项为a i +1,a i +2,a i +3,…,a i +10,i ∈N, 设漏掉的一项为a i +k ,1≤k ≤10,k ∈N +,则由等差数列前n 项和公式得,(a a +1+a a +10)×102-a i +k =199,又因为a i +1=2i +3,a i +10=2i +21,a i +k =2i +2k +1,所以9i -k =40,即9i =40+k ,因为1≤k ≤10,所以41≤9i ≤50,即4<419≤i ≤509<6,又i ∈N,所以i =5,k =5,a i +k =a 10=2×10+1=21,所以此连续10项的和为220. 三、解答题9.解析 (1)∵a 1=3,d =-5,∴a n =8-5n.数列{a n }中项数被4除余3的项是{a n }中的第3项,第7项,第11项,……,∴b 1=a 3=-7,b 2=a 7=-27. (2)设{a n }中的第m 项是{b n }中的第n 项,即b n =a m ,则m =3+4(n -1)=4n -1, ∴b n =a m =a 4n -1=8-5×(4n -1)=13-20n , 即{b n }的通项公式为b n =13-20n. (3)b 503=13-20×503=-10047,设它是{a n }的第t 项,则-10047=8-5t ,解得t =2011,即{b n }中的第503项是{a n }中的第2011项. 10.解析 (1)当n =1时,由题意得2a 1=a 12+a 1-2,解得a 1=2或a 1=-1(舍去).当n ≥2时,2a n =2(S n -S n -1)=(a a 2+a n -2)-(a a -12+a n -1-2),整理可得(a n +a n -1)(a n -a n -1-1)=0, ∴a n -a n -1=1,∴{a n }是以2为首项,1为公差的等差数列,∴a n =2+(n -1)×1=n +1. (2)由(1)得a n =n +1,∴b n =2a (a -1)a (a +1)=2a +1a +1-2aa . ∴T n =(222-2)+(233-222)+…+(2a +1a +1-2aa )=2a +1a +1-2.(3)假设存在实数λ,使得T n +2>λS n 对一切正整数n 恒成立, 即存在实数λ,使得λ<2a +2a (a +1)(a +3)对一切正整数n 恒成立,只需满足λ<[2a +2a (a +1)(a +3)]min即可,令f (n )=2a +2a (a +1)(a +3)(n ∈N +),则f (n +1)-f (n )=2a +2(a 2-8)a (a +1)(a +2)(a +3)(a +4). 当n ≥3时,f (n +1)>f (n ); 当1≤n ≤2时,f (n +1)<f (n ).∴f (1)>f (2)=815,f (3)=49<f (4)<f (5)<f (6)<…,∴当n =3时,f (n )取得最小值,最小值为f (3)=49,所以λ<49.。

北师大版高中数学必修5第一章《数列》等差数列(二)

课堂小结课堂小结通过今天的学习，你学到了什么知识?有何体会有何体会？师通过今天的学习，你学到了什么知识有何体会？通过今天的学习,明确等差中项的概念明确等差中项的概念;进一步熟练生通过今天的学习明确等差中项的概念进一步熟练掌握等差数列的通项公式及其性质. 掌握等差数列的通项公式及其性质 (让学生自己来总结，将所学的知识结合获取知识的让学生自己来总结，让学生自己来总结将所学的知识,结合获取知识的过程与方法，进行回顾与反思，过程与方法，进行回顾与反思，从而达到三维目标的整合,培养学生的概括能力和语言表达能力培养学生的概括能力和语言表达能力) 整合培养学生的概括能力和语言表达能力布置作业课本习题1-2 A组9，B组1 布置作业课本习题组，组预习内容：课本下节内容；预习提纲：预习内容：课本下节内容；预习提纲：①等差数列的项和公式；等差数列前n项和的简单应用项和的简单应用。前n项和公式；②等差数列前项和的简单应用。项和公式教后反思：五、教后反思：
通项公式的应用：通项公式的应用： ①可以由首项和公差求出等差数列中的任意一项；等差数列中的任意一项； ②已知等差数列的任意两项，可以确定数列的任意一项。一项。
a+b A= ⇔ 2A = a + b 有 ____________________ 2
如果在 a 和 b 之间插入一个数 A，使 a、A、b 成等差数列，，、、成等差数列，等差中项。则 A 叫做 a、b 的__________。、
(4). 1，2，3，2，3，4，……； 1， ……；不是 (5). 0，0，0，0，0，0，…… 0，是d=0 (6). a, a, a, a, ……； ……；是d=0

2017-2018学年高中数学第一章数列 1.2 等差数列 1.2.1.1 等差数列的概念和通项公式讲义北师大版必修5

��1 + ��1 + �� = 3,
��1 + 2�� + ��1 + 3�� = 5,
解得
a1=
5 4
,
��
=
12.
所以a7+a8=a1+6d+a1+7d=9.
答案:9
12345
5若{an}为等差数列,且a15=8,a60=20,求a75.
题型一题型二题型三
题型二等差数列的通项公式【例2】在等差数列{an}中, (1)an=2n+3,求a1和d; (2)a7=131,a14=61,求a100,并判断0是不是该数列的项. 分析:(1)在an的表达式中,令n=1即可得到a1,然后再令n=2求出a2, 而d=a2-a1,或者根据等差数列的定义求d; (2)利用等差数列的通项公式和已知条件,可以列方程解决.
解得
��1 = 191, �� = -10.
故an=a1+(n-1)·d=-10n+201.
所以a100=-10×100+201=-799.
令-10n+201=0,解得n=20.1∉N+, 故0不是该数列的项.
题型一题型二题型三
反思在等差数列{an}中,首项a1与公差d是两个最基本的元素;有关等差数列的问题,若条件与结论间的关系不明显,则均可化成有关a1,d的关系列方程组求解,但是,要注意公式的变形及整体计算,以减少计算量.
=
24.
A.an=4-2n B.an=2n-4 C.an=6-2n D.an=2n-6
解析:通项公式an=a1+(n-1)d=4+(n-1)×(-2)=6-2n.

北师版高中同步学案数学选择性必修二精品课件第1章第1课时等差数列的概念及其通项公式——分层作业

(2)若a1=3,求{an}的通项公式.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
解 (1)由条件 an+an+1=4n,可得 a1+a2=4,a2+a3=8,
1 + 1 + = 4,
因为{an}为等差数列,设公差为 d,由上式可得
解得
1 + + 1 + 2 = 8,
∴{cn}的公差d=c2-c1=0.
∴c37=100,即a37+b37=100.
故选C.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
2.《周髀算经》中有这样一个问题:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊
蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气,自冬至日起,其
3
解析
3
B.
10
3
C.
8
3
D.
7
3
an=-2+(n-1)d,
∵从第 6 项开始为正数,
3
3
∴a6=- +5d>0,a5=- +4d≤0,
2
2
3
3
解得10<d≤8,故选
AC.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
14.(多选题)在等差数列{an}中每相邻两项之间都插入k(k∈N+)个数,使它们
1
d=2,
C级
学科素养创新练
18.已知等差数列{an}满足a3=5,a4+a6=18.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若对一切n∈N+,an≥λn恒成立,求λ的取值范围.

北师版高中同步学案数学选择性必修第二册精品课件第1章数列第1课时等差数列的概念及其通项公式

(2)因为等差数列{an}的首项为23,公差为-4,
所以通项公式为an=23-4(n-1)=-4n+27.
1 2 3 4 5 6
13
A.
5
B.3
13
C.
3
D.5
解析设数列{an}的公差为d,则由2a2+a4=a3+13,得2(2+d)+2+3d=2+2d+13,
解得d=3.
故选B.
1 2 3 4 5 6
3.已知等差数列{an}的首项为3,公差为2,则a10=
解析因为等差数列{an}的首项为3,公差为2,
则a10=a1+9d=3+9×2=21.
C.{an}是首项为5的等差数列
D.{an}是公差为n的等差数列
解析 ∵an+1-an=2(n+1)+5-(2n+5)=2,∴{an}是公差为2的等差数列.
探究点二
等差数列的通项公式
角度1.求等差数列的通项公式
【例2】若数列{an}是等差数列,a15=8,a60=20,求an.
分析先求出a1,d,再求an.
知a1,n,an,求d
知d,n,an,求a1
3.通项公式可变形为an=dn+(a1-d),当d≠0时,可把an看作自变量为n的一次
函数.
变式训练2已知数列{an}为等差数列,a3=5,a7=13,求数列{an}的通项公式.
解设公差为d,则
3 = 1 + 2 = 5,
1 = 1,
解得
7 = 1 + 6 = 13,
(3)公差d是每一项(从第2项起)与它的前一项的差,不要把被减数与减数弄

北师版高中数学选择性必修第二册精品课件第一章 2.1 第1课时等差数列的概念及其通项公式

要支付1.2元.所以,可以建立一个等差数列{an}来计算车费.
令a1=11.2,表示4 km处的车费,公差d=1.2,
那么当出租车行至14 km处时,n=11,此时需要支付车费a11=11.2+(111)×1.2=23.2(元).
即需要支付车费23.2元.
在实际问题中,若一组数依次成等数额增长或下降,则可考虑建立等差数列
探究三
等差数列的实际应用
【例3】某市出租车的计价标准为1.2元/km,起步价为10元,即最初的4
km(不含4 km)计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的
地,且一路畅通,等候时间为0,那么需要支付多少车费?
解:根据题意,当该市出租车的行程大于或等于4 km时,每增加1 km,乘客需
模型解决.在利用数列方法解决实际问题时,一定要分清首项、项数等关键
问题.
【变式训练3】在通常情况下,从地面到10 km高空,高度每增加1 km,气温
就下降某一个固定数值.如果1 km高度的气温是8.5 ℃,5 km高度的气温是17.5 ℃,求2 km,4 km,8 km高度的气温.
解:用{an}表示自下而上各高度气温组成的等差数列,
第一章
第1课时等差数列的概念及其通项公式
内
容
索
引
01
自主预习新知导学
02
合作探究释疑解惑
03
随堂练习
课标定位素养阐释
1.理解等差数列的概念.
2.掌握等差数列的通项公式及运用.
3.会判断一个数列是不是等差数列.
4.加强数学运算和逻辑推理能力的培养.
自主预习新知导学
一、等差数列的定义
【问题思考】
解:(1)由题意知

高中数学2等差数列2-1等差数列的概念及其通项公式第2课时等差数列的性质及应用分层作业北师大版选择性

a2+a3=
5
2
.
解析 ∵a1,a4 为方程 2x2-5x+2=0 的两根,
5
∴a1+a4=2.
又{an}为等差数列,∴a1+a4=a2+a3.
5
∴a2+a3=2.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
18.已知在数列{an}中,a3=3,a7=1,又数列
A.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
21.有一批电视机原销售价为每台800元,在甲、乙两家家电商场均有销售.
甲商场用如下方法促销:买一台单价为780元,买两台单价为760元,以此类
推,每多买一台则所购买各台的单价均减少20元,但每台最少不低于440元;
24
.
解析 ∵{an}是等差数列,
∴a15,a30,a45,a60,a75成等差数列.
设其公差为D,则a60=a15+3D,即D=4,
故a75=a15+4D=8+4×4=24.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
9.在等差数列{an}中,
解析由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac-2accos B,①
又
1
S△ABC= acsin
2
1
3
B= ac= ,∴ac=6.②
4
2
∵a,b,c成等差数列,∴a+c=2b,③
将②③代入①得 b2=4b2-12-6 3,化简整理得 b2=4+2 3,解得 b=1+ 3.故选

北师版高中数学选择性必修第二册课后习题第一章 2.1 第1课时等差数列的概念及其通项公式 (2)

2.1 等差数列的概念及其通项公式第1课时等差数列的概念及其通项公式课后训练巩固提升1.在等差数列{a n }中,2a n+1=2a n +1,则公差为( ). A.2B.±12C.12D.-12a n+1-a n =12,∴公差为12.2.在等差数列{a n }中,a 1=13,a 2+a 5=4,a n =33,则n 为( ).A.48B.49C.50D.51{a n }的公差为d. ∵a 2+a 5=a 1+d+a 1+4d=4, ∴2a 1+5d=4.∵a 1=13,∴d=23,∴a n =a 1+(n-1)d=13+(n-1)×23=33.∴n=50.3.在等差数列{a n }中,a 2=-4,a 6=a 4+8,那么a 1=( ). A.-9B.-8C.-7D.-6d=a 6-a 42=4,∴a1=a2-d=-4-4=-8.4.已知{a n}为等差数列,且a7-2a4=-1,a3=0,则公差d=( ).A.-2B.-12C.12D.2a3=0,∴a7-2a4=a3+4d-2(a3+d)=2d=-1,∴d=-12.5.在数列{a n}中,a1=3,且对任意大于1的正整数n,点(√a n,√a n-1)在直线x-y-√3=0上,则( ).A.a n=3nB.a n=√3nC.a n=n-√3D.a n=3n2(√a n,√a n-1)在直线x-y-√3=0上,∴√a n−√a n-1=√3,即数列{√a n}是首项为√3,公差为√3的等差数列.∴数列{√a n}的通项公式为√a n=√3+(n-1)√3=√3n,∴a n=3n2.6.已知数列{a n}满足a n+1=a n+1,a1=2,则a20= ;a n= .a n+1-a n =1,∴数列{a n }是等差数列,公差为1,a 20=a 1+19d=2+19=21,a n =2+(n-1)×1=n+1.n+17.已知递增的等差数列{a n }满足a 1=1,a 3=a 22-4,则a n = .d,则d>0,由a 3=a 22-4,得1+2d=(1+d)2-4,即d 2=4,∴d=2(d=-2舍去), ∴a n =2n-1.8.已知数列{a n }满足a 1=13,a n+1=a n 1+3a n.(1)求证:数列1a n是等差数列;(2)求数列{a n }的通项公式. 由题可得1a n+1=1a n+3,即1a n+1−1a n=3,∴数列1a n是以3为首项,3为公差的等差数列.(1)可得1a n=3+3(n-1)=3n,∴a n =13n. 9.已知数列{a n }满足a 1=2,a n+1=2a n a n +2.(1)数列{1an}是不是等差数列?请说明理由.(2)求数列{a n}的通项公式.数列{1a n}是等差数列.理由如下:因为a1=2,a n+1=2a na n+2,所以1a n+1=a n+22a n=12+1a n,所以1a n+1−1a n=12,即{1a n }是首项为1a1=12,公差为d=12的等差数列.(2)由(1)可知,1a n =1a1+(n-1)d=n2,所以a n=2n.。