第6章 IIR数字滤波器设计(10下)
合集下载
第六章IIR滤波器的设计方法
j4
数字滤波器的频率响应：
H
(e
j
)
1
0.318e j 0.4177e j 0.01831e
j
2
冲激响应不变法的优缺点
优点： h(n)完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应ha(t)
时域逼近良好 保持线性关系：=T
线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器
缺点： 频率响应混迭
只适用于限带的低通、带通滤波器
通带、阻带与过渡带：信号允许通过的频带 为通带，完全不允许通过的频带为阻带，通 带与阻带之间为过渡带。
滚降与滚降率：滤波器幅频特性在过渡 带的衰减和衰减速度称为滚降与滚降率。
阻带衰减：输入信号在阻带的衰减量
带内平坦度：通带和阻带内的平坦程度
4、数字滤波器的设计步骤
数字滤波器的设计三个步骤:
后各频率成分的衰减情况
( j) 为相频特性：反映各频率成分通过滤波
器后在时间上的延时情况
理想滤波器不可实现，只能以实际滤波器逼近
通带： c
1 1 H (e j ) 1
阻带： st H (e j ) 2
过渡带： c st
c ：通带截止频率
st ：阻带截止频率
：通带容限
Ha(s) Ha(-s)的零极点分布
由 Ha ( j) 2 确定Ha (s)的方法
由幅度平方函数得象限对称的s平面函数 对比 Ha ( j) 和 Ha (s) ，确定增益常数 由零极点及增益常数，得Ha (s)
低通
2π
π
高通
H (e j ) π
2π ω
2π
π
带通
H (e j ) π
2π ω
2π
π
带阻
H (e j ) π
数字信号处理 第六章
各种数字滤波器的理想幅度频率响应 数字滤波器的设计步骤 理想滤波器的逼近 数字滤波器的系统函数H(z) IIR滤波器设计方法
6.1 引言
数字滤波器的设计步骤：
按任务要求，确定滤波器性能要求。 用一个因果稳定的离散线性移不变的系统函数去逼 近这一性能要求。逼近所用系统函数有无限冲激响 应（IIR）系统函数与有限长单位冲激响应（FIR） 系统函数两种。 利用有限精度算法来实现这个系统函数。 实际的技术实现。
零极点分布对系统相角的影响
相位“延时”（或相位“滞后”）系统
最小相位延时系统 最大相位延时系统 最大相位超前系统 最小相位超前系统
相位“超前”（或相位“领先”）系统
当全部零点在单位圆外时，相位变化最大，又是负数， 当全部零点在单位圆外时，相位变化最小， 当全部零点在单位圆内时，相位变化最大， 当全部零点在单位圆内时，相位变化最小， 故称为最小相位超前系统。 故称为最大相位超前系统。 故称为最大相位延时系统。 故称为最小相位延时系统。
2、可实现Ha(s)Ha(-s)零极点分布
j
σ
1、零极点中一半属Ha(s)，另一 半属Ha(-s)。如要求系统稳定， 则左半平面极点属于Ha(s)。 2、挑选零点时，不加任何限制， 则Ha(s)的解不唯一。 3、如限定Ha(s)是最小相位的， 则只能取所有左半平面的零极 点作为Ha(s)的零极点，Ha(s) 的解唯一。 4、虚轴上的零点阶数减半分配给 Ha(s)。 5、稳定系统虚轴上无极点，临界 稳定时虚轴上才会有极点。
第6章 无限冲激响应IIR 数字滤波器的设计方法
刘笑楠
第6章 无限冲激响应IIR 数字滤波器的设计方法
第六章IIR滤波器的设计方法
的滤波器性能后，去寻找一个物理可实现的系统函数，使它的频率特性
尽可能近似所要求的滤波器特性，也就是指对理想特性进行逼近，最后 得到一个因果、稳定并且可实现的传递函数 H z ，滤波器的设计实际上
就是一个数学逼近的问题。
3.决定 H z 的实现方法（包括选择运算结构、运算制式及字长） 因为数字滤波器是一种物理可实现的线性时不变系统，所以它是用
即
1 1 H e j
1
c
在阻带中，幅度响应以误差 2 而逼近于零， 即
H e j
2
p
其中 ，c 、 p 分别为通带和阻带截止频率 。
2. 用稳定的因果系统去逼近设计的系统函数 H z 系统函数包括：无限长单位脉冲响应的系统函数和有限长单位脉 冲响应的系统函数，可根据容限选择IIR或FIR滤波器。 逼近——在滤波器设计中逼近是一个重要的环节。逼近就是给定所要求
H e j
逼近
H d e j
最优化设计一般分为两步进行： 第一步：选择最优化标准或准则
选择一种最佳准则，使得
H e j
与
H d e j
的均方误差最小或者最大
误差最小。根据最小二乘法准则，要求
E H e jwi
i 1 M
H e
数，而完成最优化设计。
3.模仿模拟滤波器的设计 因为模拟滤波器的设计目前已经很完善，AF不仅有简单和严格的设 计公式，而且它的设计参数也已经表格化了，所以很方便，因此，我
们可以借助于模拟滤波器设计的成果来设计数字滤波器。
在模拟系统中，利用工作参数综合法设计滤波器时，无论低通、高 通、带通、带阻滤波器，均是先设计一个低通原型，然后经过某种频 率变换完成要求设计的滤波器。 即: 利用模拟滤波器设计数字滤波器， 首先利用模拟滤波器的现成结果，
IIR数字滤波器的设计
1
Am (e ) Am ( z ) Am ( z 1 ) z e j 1
由于 : 所以：
Am (e j 0 ) 1 (0) 0
m阶实系数全通系统可分解为m个一阶全通系统的积，由于 一阶全通系统相位是递减的 m阶实系数全通系统的相位非正递减的。
0
0
-2
-02-4(2) 确定wc
0.1 A p
wp
(10
0.1 Ap
1)
1/ 2 N
wc
ws
(100.1 As 1)1 / 2 N
(3)确定滤波器的系统函数H(s)
Type I Chebyshev Lowpass filter(CB I 型)
1 H ( jw ) 2 1 2C N (w / w c )
1 1 az H ( z ) H1 ( z )(z a ) 1 1 az 1
H1 ( z )(1 az )
1 az1
故
H(z) =Hmin(z) A1(z)
例 一实系数因果稳定系统的系统函数H(z)为
b z 1 H ( z) , a 1, b 1 1 1 az
k 2
s 2 sin(
2
( 2 k 1) 2N
)s 1
•当N为偶数时
H (s)
k 1
N /2
1 s 2 2(sin k ) s 1
k ( 2 k 1) π /(2 N )
例：N=2,
k ( 2 k 1) π /(2 N )
H (s) 1
As 20log10 d s
阻带衰减(db )(stopband Attenuation) 滤波器的Gain函数 G(w)=20log10|H(jw)| dB
第6章IIR数字滤波器的设计
3、归一化的系统函数 如果将系统函数的 s , 用滤波器的截止频率 c 去除 ，这样对应的截止频率变为1rad/s，即所谓归一化，相 应的系统函数称作归一化的系统函数记作 H an ( s ')
H an ( s ') H a ( s) |s c s '
H a ( s) H an ( s ') |
中北大学信息与通信工程学院
18 /88
数字信号处理 第六章 IIR数字滤波器的设计
N=4
N=5
中北大学信息与通信工程学院
19 /88
数字信号处理 第六章 IIR数字滤波器的设计
取 H a(s) H a(s) 左半平面的极点为 H a(s) 的极点， 这样极点仅有N个，即
sk c e
则
1 2 k 1 j 2 2N
第六章 IIR数字滤波器的设计
中北大学信息与通信工程学院 信号课程建设组 主讲：李沅
中北大学信息与通信工程学院
2 /88
数字信号处理 第六章 IIR数字滤波器的设计
第六章 IIR数字滤波器的设计
6.1 数字滤波器的基本概念 6.2 模拟低通滤波器的设计 6.3 模拟滤波器的数字化方法 6.4 IIR数字滤波器设计的综合实例 6.5 其它类型的IIR数字滤波器设计 6.6 全通滤波器与最小相位系统
所以其零点全部在 s 处；即所谓全极点型， 它的极点为
s k (1)
1 2N
( j c ) c e
1 2 k 1 j 2 2N
, k 1,2,... 2 N
也就是说，这些极点也是呈象限对称的。而且分布 在巴特沃斯圆上（半径为 c），共有2N点。
第06章 IIR数字滤波器设计
第六章 IIR 数字滤波器设计1、已知模拟滤波器有低通、高通、带通、带阻等类型，而实际应用中的数字滤波器有低通、高通、带通、带阻等类型。
则设计各类型数字滤波器可以有哪些方法？试画出这些方法的结构表示图并注明其变换方法。
解：（a ） 模拟频带变换，再数字化。
（b ） 把（a ）的两步合成一步直接设计。
2、设有一模拟滤波器()112++=s s s H a抽样周期T=2，试用双线性变换法将它转变为数字系统函数)(z H 。
分析：双线性变换法使模拟系统函数的s 平面和离散系统函数的z 平面之间是一一对应的关系，消除了频谱的混叠现象，其变换关系为1111--+-⋅=z z C s 解：由变换式1111--+-⋅=zz C s 及T C 2=和2=T 可得 1111--+-=z z s 所以1111)()(--+-==z z S a s H z H11111111211++-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=----z z z z2213)1(--++=z z3、已知模拟滤波器传输函数为：（1）11)(2++=s s s H a（2）1321)(2++=s s s H a试采用脉冲响应不变法和双线性变换法将其转换成数字滤波器，设T=2s 。
解：方法1：先用脉冲响应法（1）由题意 11)(2++=s s s H a)(s H a 的极点有两个且为：23211js +-=，23212j s --= s 域系统函数⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---=232133232133)(js jjs js H az 域系统函数1)2321(1)2321(133133)(----+--+--=z ejz ejz H T j T j代入T=2s131131133133)(----+--+--=zej zej z H j j2211113cos 213sin 332------+-⋅=ze e z e z（2）由题意 1321)(2++=s s s H a s 域系统函数1321)(2++=s s s H a11211+-++=s s z 域系统函数211211111)(=------+-=T T T z e z ez H12111111------+-=z e z e对上式通分并合并两项得：23121121)(1)()(--------++--=ze z e e z e e z H 方法2：用双线性变换法（1）11)(2++=s s s H as 域系统函数2,)()(1112==-+-=T s H z H z z T s a 11111111211++-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=----z z z zz 域系统函数2,)()(11112==--+-=T s H z H z z T s a11111111211++-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=----z z z z221321---+++=z z z（2）1321)(2++=s s s H a2)()(11112==--+-⨯=T s H z H zz T s a ，1113112111211+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=----z z z z1212621---++=z z zZ 域系统函数2)()(11112==--+-⨯=T s H z H z z T s a ，1113112111211++-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=----z zz z1212621----++=zz z6．设)(t h a 表示一模拟滤波器的单位冲激响应，即⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(9.0t t e t h t a用脉冲响应不变法，将此模拟滤波器转换数字滤波器（用)(n h 表示单位取样响应，即)()(nT h n h a =）。
6.IIR数字滤波器的设计 maltab课件
1-23 IIR数字滤波器的设计
6.9 模拟滤波器的离散化
6.9.2 双线性变换法设计IIR数字滤波器
脉冲响应不变法使得数字滤波器在时域上能够 较好地模仿模拟滤波器，但是出现频谱混叠现象。 为克服脉冲响应不变法可能产生的频谱混叠效应， 凯塞和戈尔登建议使用一种新的有效的变换，这就 是双线性变换。双线性变换法可认为是基于对微分 方程的积分，利用对积分的数值逼近得到的。 双线性变换法的主要特点是： (1) 消除了脉冲响应不变法所固有的频谱混叠现象； (2) 缺点是模拟频率和数字频率之间是非线性关系。 Bilinear函数：模拟滤波器转换为数字滤波器的 双线性变换法
1-18 IIR数字滤波器的设计
6.6 IIR实数字滤波器的实频率变换
1-19
IIR数字滤波器的设计
6.7 IIR实数字滤波器的复频率变换
1-20
IIR数字滤波器的设计
6.8 IIR数字滤波器阶数的选择
1-21
IIR数字滤波器的设计
6.9 模拟滤波器的离散化
从模拟滤波器设计IIR数字滤波器就是由系统函 数Ha(s)进一步得到H(z)。归根结底是一个由平面到 平面的变换，即模拟滤波器的离散化。 这个变换要遵循两个基本目标： (1) H(z)的频率响应必须要模仿Ha(s)的频率响应， 也就是平面的虚轴应该映射到平面的单位圆上； (2) Ha(s)的因果稳定性，通过映射后仍应在所得到 的H(z)中保持。 从模拟滤波器变换成数字滤波器有4种方法： 微分-差分变换法 脉冲响应不变变换章 IIR数字滤波器的设计
1-1
IIR数字滤波器的设计
主要内容
• • • • • • • 本章的学习目标： 了解数字滤波器的基本概念 理解IIR数字滤波器的各种类型 掌握IIR数字滤波器特性分析的方法 掌握模拟滤波器的低通设计方法 掌握高通、带通及带阻滤波器的设计方法 掌握IIR数字滤波器阶数的选择 掌握模拟滤波器的离散化
6.9 模拟滤波器的离散化
6.9.2 双线性变换法设计IIR数字滤波器
脉冲响应不变法使得数字滤波器在时域上能够 较好地模仿模拟滤波器，但是出现频谱混叠现象。 为克服脉冲响应不变法可能产生的频谱混叠效应， 凯塞和戈尔登建议使用一种新的有效的变换，这就 是双线性变换。双线性变换法可认为是基于对微分 方程的积分，利用对积分的数值逼近得到的。 双线性变换法的主要特点是： (1) 消除了脉冲响应不变法所固有的频谱混叠现象； (2) 缺点是模拟频率和数字频率之间是非线性关系。 Bilinear函数：模拟滤波器转换为数字滤波器的 双线性变换法
1-18 IIR数字滤波器的设计
6.6 IIR实数字滤波器的实频率变换
1-19
IIR数字滤波器的设计
6.7 IIR实数字滤波器的复频率变换
1-20
IIR数字滤波器的设计
6.8 IIR数字滤波器阶数的选择
1-21
IIR数字滤波器的设计
6.9 模拟滤波器的离散化
从模拟滤波器设计IIR数字滤波器就是由系统函 数Ha(s)进一步得到H(z)。归根结底是一个由平面到 平面的变换，即模拟滤波器的离散化。 这个变换要遵循两个基本目标： (1) H(z)的频率响应必须要模仿Ha(s)的频率响应， 也就是平面的虚轴应该映射到平面的单位圆上； (2) Ha(s)的因果稳定性，通过映射后仍应在所得到 的H(z)中保持。 从模拟滤波器变换成数字滤波器有4种方法： 微分-差分变换法 脉冲响应不变变换章 IIR数字滤波器的设计
1-1
IIR数字滤波器的设计
主要内容
• • • • • • • 本章的学习目标： 了解数字滤波器的基本概念 理解IIR数字滤波器的各种类型 掌握IIR数字滤波器特性分析的方法 掌握模拟滤波器的低通设计方法 掌握高通、带通及带阻滤波器的设计方法 掌握IIR数字滤波器阶数的选择 掌握模拟滤波器的离散化
第六章 IIR数字滤波器的设计方法
x(n m) e
X (e
)
上页
下页
理想滤波器不可实现，只能以实际滤波器逼近（以低通为例）
通带： c 阻带：
st
1 1 H (e
H (e
j
j
) 1
2
)
过渡带： c st
c
：通带截止 （cutoff）频率 ：通带容限 ：阻带（stop）截止 频率 ：阻带容限
j
)] )]
j j
H (e ) H (e ) e
*
j
j
j (e
)
H (e H (e
*
) )
e
2 j (e
j
)
(e
j
H (e 1 ) ln * 2 j H (e
j
H (z) 1 ) ln 1 2 j j ) H ( z ) z e j
上页 下页
6.2、最小与最大相位延时系统、最小与最大相位超前系统
LSI系统的系统函数：
H (z) K
M M
m 1 N
(1 c m z (1 d k z
M
1
) Kz
(N M )
m 1 N
( z cm ) (z dk )
k 1
1
)
k 1
频率响应：
H (e
j
上页 下页
因果稳定系统
H (e a rg K
j
z r, r 1
n < 0时，h(n) = 0
全部极点在单位圆内：po = 0，pi = N
) 2 m i 2 p i 2 ( N M ) 2
IIR数字滤波器的原理及设计
这个式子中的常数 N是为了使(6.5)式满足而加入的。
c
这N个极点s0、s1、…、sN-1在s 平面的左半平面而且以共
轭形式成对出现，当N为奇数时, 有一个在实轴上
(为 - )。
c
6.2.1.3
一般情况下的B型低通滤波器
图 6.3
一般情况下低通滤波器的设计指标
此时，应该将角频率 标称化，通常以Ω 1为基准频率，
H z
n
hn z
N k 1 N
n
n
Ts Ak e sk nTs u nTs z n
k 1
N
Ts Ak e
n 0
s k Ts
z
1 n
Ts
Ak s k Ts 1 z k 1 1 e
(6.66)
上式中的幂级数收敛应该满足条件： e sk Ts z 1 |
模拟滤波器的逼近和综合理论已经发展得相当成熟，
产生了许多效率很高的设计方法，很多常用滤波器不仅有 简单而严格的设计公式，而且设计参数已图表化，设计起 来方便准确。
而数字滤波器就其滤波功能而言与模拟滤波器是相同的, 因此，完全可以借助于模拟滤波器的理论和设计方法来设
计数字滤波器。在IIR数字滤波器的设计中，较多地采用
的极点必须在左半平面系统才是稳定的，因而将左半s平
面的N个极点s k （k=0,1,…,N-1)分给H a (s)，这样，右半 平面的N 个极点-sk就正好是Ha(s)的极点。因此有：
N c H a (s) ( s s 0 )( s s1 ) ( s s N 1 )
第6章 IIR数字滤波器设计
截止频率
12
巴特沃斯滤波器--幅度平方特性
•
• ▫ ▫ ▫
13
巴特沃斯滤波器--特性参数确定
14
巴特沃斯滤波器--极点分布
15
巴特沃斯归一化低通滤波器--极点表
16
巴特沃斯滤波器--系统函数Ha(s)
17
巴特沃斯归一化低通滤波器--分母多项式因式分解ຫໍສະໝຸດ 18例19
例（续）
20
例（续）
21
93
程序迭代寻找（续）
在这种程序寻找过程中，对系统函数的零、极点没有限制， 有可能零点或极点位于单位圆外： • 为了保证滤波器的稳定性，应使用比例倒置法对不稳定极 点加以修正； • 如果设计的指标还要求是最小相位滤波器，对单位圆外零 点可以采取同样的方法重新确定； • 将倒置后的零、极点再施行最优化程序。把所获得的A0 作为新的初始值进一步改进设计。
94
作业
• 156.tif
▫ 6-2、6-4、6-6
95
69
二、数字频带变换
70
二、数字频带变换
71
二、数字频带变换
特点： • 全通型变换 ▫ 单位圆映射后仍然是单位圆或多倍单位圆 • 频率刻度的非线性 ▫ 频率刻度有可能翘曲 • 保持幅度响应
72
三、频带变换原理
• 数字频带变换是在数字域进行频带变换
73
三、频带变换原理
74
三、频带变换原理
75
• “预畸变”方法是补偿 双线性变换中频率非线 性关系的有效方法。
56
“预畸变”方法
57
第三节 双线性变换法
总结： • 双线性变换的特点是在模拟滤波器和数字滤波器之间形成 一一对应的映射关系，克服了冲激响应不变法中由于映射 关系非单值性而遇到的混叠问题。 • 优点：计算过程简单，易于实现，在实际工作中广泛采用 • 缺点：模拟频率和数字频率之间存在非线性关系
第六章IIR滤波器的设计方法
一. IIR滤波器的一般设计方法：
1.累试法
滤波器的幅度特性和相位特性完全由其零点和极点位置所决定。
如果在单位圆内处
设置一对共轭极点
j0 Z r e ，频响 在 0 将有一峰值。
极点 0 离单位圆愈远，频响在 0 处的峰值比较平缓。 极点 0 越接近单位圆，频响在 0 处的峰值就越尖锐。 如果通带太窄，可以把极点向原点平移，如果通带太宽，可以将极点
2 m Ha j T m
表达式表明：数字滤波器的频响并不是简单的重现模拟滤波器的频响，
H e j 为模拟滤波器频响
的周期重复 ,是以 j Ha
为周期的周期延。 s
需要强调指出，在周期重复模拟滤波器频响的过程中所存在的问题：
首先分析一下
变函数的映射变换，这种映射变换应该满足两个基本的要求： ① H z 的频响应该模仿 H a s 的频响
即要求
②是因果稳定的映射 指 H a s 的因果稳定性通过映射后， H z 仍保持因果稳定。
§6.5 脉冲响应不变法
根据容限设计好一个模拟滤波器后，就可对此模拟系统进行模仿。 数字滤波器从什么角度去模仿模拟滤波器呢？第一种方法是脉冲响应 不变法。 1. 脉冲响应不变法
1
N j 1 1 j C
2N
N —— 为整数，表示滤波器的阶次；
c——
为截止频率。
当 0 时， 当 时， c
H a j 0 1
2
H a j C
2
1 2
又称为滤波器的3bB带宽
巴特沃斯低通滤波器的特点：
①在 0 ，所以巴特沃斯滤波器通带内具 处，即靠近零频处，衰减为 0 有最大平坦的振幅特性，故得名为最平坦响应滤波器。
1.累试法
滤波器的幅度特性和相位特性完全由其零点和极点位置所决定。
如果在单位圆内处
设置一对共轭极点
j0 Z r e ，频响 在 0 将有一峰值。
极点 0 离单位圆愈远，频响在 0 处的峰值比较平缓。 极点 0 越接近单位圆，频响在 0 处的峰值就越尖锐。 如果通带太窄，可以把极点向原点平移，如果通带太宽，可以将极点
2 m Ha j T m
表达式表明：数字滤波器的频响并不是简单的重现模拟滤波器的频响，
H e j 为模拟滤波器频响
的周期重复 ,是以 j Ha
为周期的周期延。 s
需要强调指出，在周期重复模拟滤波器频响的过程中所存在的问题：
首先分析一下
变函数的映射变换，这种映射变换应该满足两个基本的要求： ① H z 的频响应该模仿 H a s 的频响
即要求
②是因果稳定的映射 指 H a s 的因果稳定性通过映射后， H z 仍保持因果稳定。
§6.5 脉冲响应不变法
根据容限设计好一个模拟滤波器后，就可对此模拟系统进行模仿。 数字滤波器从什么角度去模仿模拟滤波器呢？第一种方法是脉冲响应 不变法。 1. 脉冲响应不变法
1
N j 1 1 j C
2N
N —— 为整数，表示滤波器的阶次；
c——
为截止频率。
当 0 时， 当 时， c
H a j 0 1
2
H a j C
2
1 2
又称为滤波器的3bB带宽
巴特沃斯低通滤波器的特点：
①在 0 ，所以巴特沃斯滤波器通带内具 处，即靠近零频处，衰减为 0 有最大平坦的振幅特性，故得名为最平坦响应滤波器。
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U. 11
2013-7-29
6.1.2 巴特沃斯（Butterworth）模拟低通滤 波器设计
巴特沃斯低通滤波器
N
阶巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数为：
1 | H a ( j ) | 2N 1 ( ) c
解：
Step1: H a ( s ) H a ( s ) s j
16(25 s 2 )2 H a ( j ) (49 s 2 )(36 s 2 )
2
Step2: 其极点为s＝ 7， 6，零点为s＝ j 5
k0 ( s 2 25) H a ( s) ( s 7)( s 6)
2N
SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY
N. N. U.
16
模拟滤波器系统函数的求取
H a ( j)
2
H a (s)
已知 c
N ，则巴特沃斯低通滤波器幅度平方函数确定。
定义幅度平方函数
A( 2 ) H a ( j ) H a ( j ) H a ( j ) H a ( j ) H a ( j ) 2
SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY
N. N. U.
13
2N ( ) 10lg 1 ( ) c c 2 N ( c ) 10lg 1 ( ) 10lg 2 3 dB c 滤波器的特性由 3dB 截止频率 c 和阶数 N 确定
因式分解，得到各零极点，将左半平面极
点归于 H a ( s ) 。零点（或极点）都为偶次，应取一半 （应为共轭对）零点归于
H a ( s ) 的零点。
3. 按照 H a ( s )
与 H a ( j ) 的低频或高频特性的对比就
可以确定出增益常数。 4. 由求出的零点，极点及增益常数，则可完全确定系统函数
Ha(s) ——
模拟滤波器 系统函数
滤波器的频率响应
Ha(jΩ) —— |Ha(jΩ)|
—— 滤波器的幅频响应
s j ,
2
s
2
2
A( s ) H a ( s ) H a ( s )
2013-7-29 SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U. 17
为了保证 H a ( s ) 的稳定性，应选用 A( s 2 ) 在S平面左 半平面的极点作为 H a ( s ) 的极点。 零点的分布则无此限制，只和滤波器的相位特性有关， 如果要求是最小相位延迟特性，则 H a ( s ) 应取左半 面零点， 若无特殊要求，则可将对称零点的任一半（为共轭对） H a 的零点。 ( s) 取为
确定指标 选择滤波器的类型 计算滤波器的阶数 查表或计算滤波器的参数，确定其系统函数 综合实现及调试
滤波器的传输函数（频率响应特性）：
H ( j) | H ( j) | e j ( )
2013-7-29
选频滤波器一般只考虑幅频特性，对相频特性不作要求。 幅频特性体现了各频率成分在幅度上的衰减,而相频特性体现的是 不同成分在时间上的延时。 对输出波形有明确要求时，则需考虑线性相位问题。
N. N. U.
7
SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY
阻带特性要求：
ห้องสมุดไป่ตู้
H a ( j )
1 , A
s
阻带最小衰减 s ，或 阻带峰值波纹，或 阻带波纹幅
度 A ，用分贝表示：
H a ( j)
s 20lg( ) 20lg A dB
1 A
N
lg lg(
A2 1 p s )
lg k
1)
1
1
lg k
c
p
1
s
p
2N
N
(10
1
p /10
或 c
2013-7-29
( A 1)
2
2N
s (10
s /10
1)
1
如果 p 3dB, 或 p c 则＝1, 2 lg 1 A 1 N c lg( ) s
A( s 2 ) H a ( s ) H a ( s )
A( s 2 )
H a ( s)
A( s 2 ) 极点和零点总是“成对出现”，共轭对称；对 称于S平面的实轴和虚轴， 选用 A( s 2 ) 的对称极、零点的任一半作为 H a ( s ) 的极、 H a (。 s) 零点，则可得到
直接设计法
在时域或频域直接设计数字滤波器
间接设计法
先根据指标要求设计对应的模拟滤波器 再将模拟滤波器转换为数字滤波器
本章介绍间接设计法
SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U. 4
2013-7-29
6.1 模拟滤波器设计
模拟滤波器设计
模拟滤波器的设计步骤
通带、阻带的纹波越小
一般有
1 A
阻带
k1 1
SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY
p c s
2013-7-29
N. N. U.
10
模拟滤波器的设计
模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且有若干典型 的模拟滤波器供选择。
这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员
SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U. 6
6.1.1 模拟滤波器的设计指标
p 通带边界（截止）频率， s 阻带边界（截止）频率，
c 3db通带截止频率
系统通带和阻带的误差要求
通带特性要求：
1 1
2
H a ( j ) 1,
2
其中N 为滤波器的阶次， c 为 3dB通带截止频率。
2013-7-29
SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY
N. N. U.
12
巴特沃斯低通滤波器特点：
在 0 点， 因此滤波器在
H a ( j )
2
的 n ( n <2N ) 阶导数等于零，
0 点具有最大平坦幅度； 滤波器幅频响应随 的增大而单调下降，因为幅度平方
N. N. U. 15
2013-7-29
SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY
若滤波器的给定指标为
通带最大衰减 阻带最小衰减
p
s
1 2 1 s 20lg( ) 20lg A dB A
p 20 lg
1
s /20 则先求 10 p /10 1 A 10 然后确定阶数 N 与3dB通带截止频率 c
IIR数字滤波器的频率变换
2013-7-29
SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY
N. N. U.
2
数字滤波器的分类
经典滤波器（一般滤波器）：
信号和干扰的频带互不重叠时采用
现代滤波器：
信号和干扰的频带相互重叠时采用（例如：维纳滤波
器、卡尔曼滤波器、自适应滤波器等）
3dB 通带截止频率c： ( c ) 3 dB
H a ( j c ) 1 / 2 0.707
H a ( j)
损耗函数相对放大了小幅度特性：
1 1 2
.77 过渡带 通带
1 A
阻带
p c s
一般幅频特性
2013-7-29
损耗函数
N. N. U. 9
SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U. 18
2013-7-29
H a ( s ) 确定的方法如下：
1. 由 Ha ( s ) H a ( s ) H a ( j) 函数； 2. 将 H a ( j )
2 s j
2 s j
得到象限对称的 S 平面
p
通带最大衰减 p ，或通带峰值波纹，或通带波纹幅
度
，用分贝表示：
1
H a ( j)
p 20 lg
1 2 10 lg(1 2 ) dB
p /10
1 1 2
.77 过渡带 通带
10
2013-7-29
1
1 A
阻带
p c s
滤波器的给定指标为
通带边界频率 阻带边界频率 通带最小幅度
p
（或3dB通带截止频率 c ） （或通带最大衰减 p ）
10
p /10
s
1 1 2
1
阻带最大波纹
1 A
（或阻带最小衰减 s ）
A 10 s / 20
N. N. U. 14
2013-7-29
2
(
p s
)N
A 1
2
N
lg lg(
A2 1 p s )
lg k
1
lg k
于是取整数 N ：
2013-7-29
6.1.2 巴特沃斯（Butterworth）模拟低通滤 波器设计
巴特沃斯低通滤波器
N
阶巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数为：
1 | H a ( j ) | 2N 1 ( ) c
解：
Step1: H a ( s ) H a ( s ) s j
16(25 s 2 )2 H a ( j ) (49 s 2 )(36 s 2 )
2
Step2: 其极点为s＝ 7， 6，零点为s＝ j 5
k0 ( s 2 25) H a ( s) ( s 7)( s 6)
2N
SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY
N. N. U.
16
模拟滤波器系统函数的求取
H a ( j)
2
H a (s)
已知 c
N ，则巴特沃斯低通滤波器幅度平方函数确定。
定义幅度平方函数
A( 2 ) H a ( j ) H a ( j ) H a ( j ) H a ( j ) H a ( j ) 2
SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY
N. N. U.
13
2N ( ) 10lg 1 ( ) c c 2 N ( c ) 10lg 1 ( ) 10lg 2 3 dB c 滤波器的特性由 3dB 截止频率 c 和阶数 N 确定
因式分解，得到各零极点，将左半平面极
点归于 H a ( s ) 。零点（或极点）都为偶次，应取一半 （应为共轭对）零点归于
H a ( s ) 的零点。
3. 按照 H a ( s )
与 H a ( j ) 的低频或高频特性的对比就
可以确定出增益常数。 4. 由求出的零点，极点及增益常数，则可完全确定系统函数
Ha(s) ——
模拟滤波器 系统函数
滤波器的频率响应
Ha(jΩ) —— |Ha(jΩ)|
—— 滤波器的幅频响应
s j ,
2
s
2
2
A( s ) H a ( s ) H a ( s )
2013-7-29 SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U. 17
为了保证 H a ( s ) 的稳定性，应选用 A( s 2 ) 在S平面左 半平面的极点作为 H a ( s ) 的极点。 零点的分布则无此限制，只和滤波器的相位特性有关， 如果要求是最小相位延迟特性，则 H a ( s ) 应取左半 面零点， 若无特殊要求，则可将对称零点的任一半（为共轭对） H a 的零点。 ( s) 取为
确定指标 选择滤波器的类型 计算滤波器的阶数 查表或计算滤波器的参数，确定其系统函数 综合实现及调试
滤波器的传输函数（频率响应特性）：
H ( j) | H ( j) | e j ( )
2013-7-29
选频滤波器一般只考虑幅频特性，对相频特性不作要求。 幅频特性体现了各频率成分在幅度上的衰减,而相频特性体现的是 不同成分在时间上的延时。 对输出波形有明确要求时，则需考虑线性相位问题。
N. N. U.
7
SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY
阻带特性要求：
ห้องสมุดไป่ตู้
H a ( j )
1 , A
s
阻带最小衰减 s ，或 阻带峰值波纹，或 阻带波纹幅
度 A ，用分贝表示：
H a ( j)
s 20lg( ) 20lg A dB
1 A
N
lg lg(
A2 1 p s )
lg k
1)
1
1
lg k
c
p
1
s
p
2N
N
(10
1
p /10
或 c
2013-7-29
( A 1)
2
2N
s (10
s /10
1)
1
如果 p 3dB, 或 p c 则＝1, 2 lg 1 A 1 N c lg( ) s
A( s 2 ) H a ( s ) H a ( s )
A( s 2 )
H a ( s)
A( s 2 ) 极点和零点总是“成对出现”，共轭对称；对 称于S平面的实轴和虚轴， 选用 A( s 2 ) 的对称极、零点的任一半作为 H a ( s ) 的极、 H a (。 s) 零点，则可得到
直接设计法
在时域或频域直接设计数字滤波器
间接设计法
先根据指标要求设计对应的模拟滤波器 再将模拟滤波器转换为数字滤波器
本章介绍间接设计法
SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U. 4
2013-7-29
6.1 模拟滤波器设计
模拟滤波器设计
模拟滤波器的设计步骤
通带、阻带的纹波越小
一般有
1 A
阻带
k1 1
SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY
p c s
2013-7-29
N. N. U.
10
模拟滤波器的设计
模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且有若干典型 的模拟滤波器供选择。
这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员
SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U. 6
6.1.1 模拟滤波器的设计指标
p 通带边界（截止）频率， s 阻带边界（截止）频率，
c 3db通带截止频率
系统通带和阻带的误差要求
通带特性要求：
1 1
2
H a ( j ) 1,
2
其中N 为滤波器的阶次， c 为 3dB通带截止频率。
2013-7-29
SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY
N. N. U.
12
巴特沃斯低通滤波器特点：
在 0 点， 因此滤波器在
H a ( j )
2
的 n ( n <2N ) 阶导数等于零，
0 点具有最大平坦幅度； 滤波器幅频响应随 的增大而单调下降，因为幅度平方
N. N. U. 15
2013-7-29
SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY
若滤波器的给定指标为
通带最大衰减 阻带最小衰减
p
s
1 2 1 s 20lg( ) 20lg A dB A
p 20 lg
1
s /20 则先求 10 p /10 1 A 10 然后确定阶数 N 与3dB通带截止频率 c
IIR数字滤波器的频率变换
2013-7-29
SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY
N. N. U.
2
数字滤波器的分类
经典滤波器（一般滤波器）：
信号和干扰的频带互不重叠时采用
现代滤波器：
信号和干扰的频带相互重叠时采用（例如：维纳滤波
器、卡尔曼滤波器、自适应滤波器等）
3dB 通带截止频率c： ( c ) 3 dB
H a ( j c ) 1 / 2 0.707
H a ( j)
损耗函数相对放大了小幅度特性：
1 1 2
.77 过渡带 通带
1 A
阻带
p c s
一般幅频特性
2013-7-29
损耗函数
N. N. U. 9
SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U. 18
2013-7-29
H a ( s ) 确定的方法如下：
1. 由 Ha ( s ) H a ( s ) H a ( j) 函数； 2. 将 H a ( j )
2 s j
2 s j
得到象限对称的 S 平面
p
通带最大衰减 p ，或通带峰值波纹，或通带波纹幅
度
，用分贝表示：
1
H a ( j)
p 20 lg
1 2 10 lg(1 2 ) dB
p /10
1 1 2
.77 过渡带 通带
10
2013-7-29
1
1 A
阻带
p c s
滤波器的给定指标为
通带边界频率 阻带边界频率 通带最小幅度
p
（或3dB通带截止频率 c ） （或通带最大衰减 p ）
10
p /10
s
1 1 2
1
阻带最大波纹
1 A
（或阻带最小衰减 s ）
A 10 s / 20
N. N. U. 14
2013-7-29
2
(
p s
)N
A 1
2
N
lg lg(
A2 1 p s )
lg k
1
lg k
于是取整数 N ：