2015届广东省江门市高三3月高考模拟试考试数学(理)试题
广东省江门市2015届高三3月高考模拟试卷数学(文) 扫描版含答案
评分参考一、选择题 BADCB CDDCA二、填空题 ⒒若b a +是偶数,则a 、b 都是偶数(对1句3分;表达有误适当扣分) ⒓1- ⒔82,甲(若两空一对一错,给3分)⒕)1 , 3(-(若坐标符号错误给2分,其他不给分) ⒖16三、解答题⒗⑴)3sin(2cos 3sin )(πωωω+=+=x x x x f ……3分(振幅1分,辅助角2分)由)(x f 的最小正周期πωπ==2T ……4分,得2=ω……5分⑵由⑴知)32sin(2)(π+=x x f56cos 2)2sin(2]3)122(2sin[2)122(==+=++⨯=+θπθππθπθf ……8分(前3个等号每个1分),53cos =θ……9分∵)2 , 0(πθ∈,∴54cos 1sin 2=-=θθ……10分2524cos sin 22sin ==θθθ……12分(公式1分,代入求值1分)⒘⑴依题意,110)04.003.002.02(=⨯+++a ……2分解得005.0=a ……3分⑵12010005.01=⨯⨯=A ,82010040.02=⨯⨯=A ,62010030.03=⨯⨯=A ,42010020.04=⨯⨯=A ,12010005.05=⨯⨯=A ……6分(2A 、3A 、4A 各1分)输出的18432=++=A A A S ……8分(列式、结果各1分)⑶记质量指标在)120 , 110[的4件产品为1x ,2x ,3x ,4x ,质量指标在)90 , 80[的1件产品为1y ,则从5件产品中任取2件产品的结果为:()21,x x ,()31,x x ,()41,x x ,()11,y x ,()32,x x ,()42,x x ,()12,y x ,()43,x x , ()13,y x ,()14,y x ,共10种……10分记“两件产品的质量指标之差大于10”为事件A ,则事件A 中包含的基本事件为:()11,y x ,()12,y x ,()13,y x ,()14,y x 共4种……11分∴52104)(==A P ……12分 答:从质量指标……,……的概率为52……13分⒙⑴2222=+=CD AD AC ……1分,045=∠=∠ACD BAC ,4=AB ,845cos 20222=⨯⨯-+=AB AC AB AC BC ……3分(其他方法求值也参照给分)∵16222=+=BC AC AB ,∴090=∠ACB (BC AC ⊥)……4分∵平面⊥ACD 平面ABC ,平面 ACD 平面AC ABC =, ∴⊥BC 平面ACD ……6分⑵∵//AD 平面BEF ,⊂AD 平面ACD ,平面 ACD 平面EF BEF =, ∴EF AD //……8分∵点E 为AC 的中点,∴EF 为ACD ∆的中位线……9分由⑴知,几何体BCE F -的体积BC S V V CEF CEF B BCE F ⨯⨯==∆--31……11分 2141==∆∆ACD CEF S S ……13分, 32222131=⨯⨯=-BCEF V ……14分⒚⑴依题意,d n a a n )1(1-+=……1分(方法一)由n a 与1+n a 的等差中项为n 得n a a n n =++21……2分 即n d n a nd a d n a =-+=++-+)21(2][])1([111……3分 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=0211d a d ……5分,解得211=a ,1=d ……6分 (方法二)由n a 与1+n a 的等差中项为n 得,1a 与2a 的等差中项为1,2a 与3a 的等差中项为2……3分⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+2232122132121d a a a d a a a ……5分,解得211=a ,1=d ……6分 ⑵由⑴得21-=n a n ,1222--⨯=⋅=n n n n n n a b ……7分(方法一)记nn n n n T 22)1(232221132⨯+⨯-++⨯+⨯+⨯=- ,则143222)1(2322212+⨯+⨯-++⨯+⨯+⨯=n n n n n T ……8分两式相减得,13222222+⨯+-----=n nn n T ……10分22211+-⨯=++n n n ……11分数列{}12-n 的前n 项和12222112-=++++-n n ……12分∴3232)12()222(111+⨯-⨯=--+-⨯=+++n n n n n n n n S ……13分 (方法二))22(]22)1[()223()222()221(12123120----⨯+-⨯-++-⨯+-⨯+-⨯=n n n n n n n S )22(]22)1[()223()222()221(211342312n n n n n n n S -⨯+-⨯-++-⨯+-⨯+-⨯=+- ……9分,两式相减得)22()212121()221(1320n n n n n S -⨯+⨯++⨯+⨯--⨯-=+ ……11分32321+⨯-⨯=+n n n ……13分⒛⑴设) , (y x M 是曲线C 上任意一点,则)0 , (x D ……1分,对应圆上的点为) , (0y x A ,由23=得) , 0(23) , 0(0y y =……2分 y y 3320=……3分,依题意,4202=+y x ,4)332(22=+y x ……4分 曲线C 的标准方程为13422=+y x ……5分 ⑵由⑴得1=c ,)0 , 1(1-F ,)0 , 1(2F ……6分①若m 为直线1=x ,代入13422=+y x 得23±=y ,即)23 , 1(P ,)23 , 1(-Q ……7分 直接计算知9||2=PQ ,225||||2121=+Q F P F ,21212||||||Q F P F PQ +≠,1=x 不符合题意……8分②若直线m 的斜率为k ,直线m 的方程为)1(-=x k y由⎪⎩⎪⎨⎧-==+)1(13422x k y y x 得0)124(8)43(2222=-+-+k x k x k ……9分 设) , (11y x P ,) , (22y x Q ,则2221438k k x x +=+,222143124kk x x +-=⋅……10分 由21212||||||Q F P F PQ +=得,011=⋅F F ……11分即0)1)(1(2121=+++y y x x ,0)1()1()1)(1(2121=-⋅-+++x k x k x x0)1())(1()1(2212212=+++-++k x x k x x k ……12分代入得0438)1()143124)(1(222222=+⋅-+++-+kk k k k k ,即0972=-k ……13分 解得773±=k ,直线m 的方程为)1(773-±=x y ……14分21.⑴R x ∈∀,ax x x f 23)(2/+=……1分,a f 23)1(/+=,a f +=5)1(切线方程为)1)(23()5(-+=+-x a a y ……2分切线在y 轴上的截距5)23()5(=+-+a a ……3分,解得3-=a ……4分 ⑵由⑴得43)(23+-=x x x f ,解063)(2/=-=x x x f 得0=x ,2=x ……5分x )0 , (-∞)2 , 0(2) , 2(∞+)(/x f+ 0 - 0 + )(x f↗极大值↘极小值↗……7分记43)()(23+--=-=kx x x kx x f x g ,则直线kx y =与曲线)(x f y =的公共点的个数即为函数43)(23+--=kx x x x g 零点的个数①0<k 时, 4)0(=g ,k g =-)1(,04)1()0(<=-k g g ,)(x g 在)0 , 1(-至少有一个零点……9分,∵kx x f x g -=)()(在)0 , (-∞单调递增,∴)(x g 在)0 , (-∞上有且仅有一个零点……10分) , 0[∞+∈x 时,0)2()(=≥f x f (等号当且仅当2=x 时成立)……11分,从而0)()(>-=kx x f x g ,)(x g 在) , 0[∞+上没有零点……12分②0=k 时,)()(x f x g =,由①讨论知,)(x g (即)(x f )有两个零点。
广东省江门市2015届高三调研测试理科数学试题(含答案)
图1江门市2015届普通高中高三调研测试数学(理科)本试卷共4页,21题,满分150分,测试用时120分钟.参考公式:锥体的体积公式ShV31=,其中S是锥体的底面积,h是锥体的高.3223333)(babbaaba+++=+一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.⒈已知R为实数集,{}xxxA332|<-=,{}2|≥=xxB,则=BAA.{}2|≥xx B.{}3|->xx C.{}32|<≤xx D.R2.i是虚数单位,则=+--)23212123(iiA.1B.i2321+-C.i2321-D.i2321--3.已知三个实数:213=a、3)21(=b、21log3=c,它们之间的大小关系是A.cba>>B.bca>>C.acb>>D.cab>>4.已知a是非零向量,cb≠,则“caba⋅=⋅”是“)(cba-⊥”成立的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.非充分非必要条件D.充要条件5.如图1,某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和半圆,则该几何体的体积为A.4B.8C.π2D.π475=∠A、060=∠B、6.在ABC∆中,A∠、B∠、C∠的对边分别为a、b、c,若10=c,则=bA.35B.65C.310D.6107.在同一直角坐标系中,直线143=+yx与圆44222=--++yxyx的位置关系是A.直线经过圆心B.相交但不经过圆心C.相切D.相离8.已知函数13)(23+-=xaxxf,若)(xf存在唯一的零点0x,且0>x,则常数a的取值范围是A.)2,(--∞B.)1,(--∞C.),1(∞+D.),2(∞+二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.(一)必做题(9~13题)图29. 双曲线14416922=-y x 的离心率=e .10.ABC ∆是等腰直角三角形,已知A(1,1),B(1,3),AB BC ⊥,点C 在第一象限,点) , (y x 在ABC ∆内部,则点C 的坐标为 ,y x z -=2的最大值是 .⒒如图2,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,M 、N 分别是CD 、CC 1的中点,则异面直线A 1M 与DN 所成角的大小是 .⒓若⎩⎨⎧>-≤-=0, 20 , )(2x x x x x x f ,则)(x f 的最小值是 .⒔已知数列{}n a 满足411-=a ,111--=n n a a (1>n ),计算并观察数列{}n a 的前若干项,根据前若干项的变化规律推测,=2015a .(二)选做题(14、15题,考生只能从中选做一题) ⒕计算定积分:⎰=411dx x.⒖已知定义在区间) , (ππ-上的函数x x x x f cos sin )(+=,则)(x f 的单调递增区间是 .三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. ⒗(本小题满分12分)已知函数)cos (sin sin 2)(x x x x f +=,R x ∈. ⑴求)(x f 的最小正周期T 和最大值M ;⑵若31)82(-=+παf ,求αcos 的值.⒘(本小题满分14分)已知{}n a 是等差数列,32=a ,53=a . ⑴求数列{}n a 的通项公式;⑵对一切正整数n ,设1)1(+⋅-=n n n n a a nb ,求数列{}n b 的前n 项和n S .PABC DFE图3⒙(本小题满分14分)如图3,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是正方形,侧棱PD ⊥底面ABCD ,PD=DC .E 是PC 的中点,作EF ⊥PB 交PB 于点F .⑴求证:PA//平面EDB ;⑵求证:PF=31PB ;⑶求二面角C-PB-D 的大小.⒚(本小题满分12分)一艘船每小时的燃料费与船的速度的平.方.成正比,如果此船速度是10km/h ,那么每小时的燃料费是80元.已知船航行时其他费用为500元/时,在100 km 航程中,航速多少时船行驶总费用最少?此时总费用多少元?⒛(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中,点A 、B 的坐标分别是) 3 , 0 (-、) 3 , 0 (,直线AM 、BM 相交于点M ,且它们的斜率之积是21-. ⑴求点M 的轨迹L 方程;⑵若直线 l 经过点) 1 , 4 (P ,与轨迹L 有且仅有一个公共点,求直线 l 的方程.21(本小题满分14分)已知函数1)(23-+=ax x x f (R a ∈是常数).⑴设3-=a ,1x x =、2x x =是函数)(x f y =的极值点,试证明曲线)(x f y =关于点) 2( , 2(2121x x f x x M ++对称; ⑵是否存在常数a ,使得] 5 , 1 [-∈∀x ,33|)(|≤x f 恒成立?若存在,求常数a 的值或取值范围;若不存在,请说明理由.(注:曲线)(x f y =关于点M 对称是指,对于曲线)(x f y =上任意一点P ,若点P 关于M 的对称点为Q ,则Q在曲线)(x f y =上.)评分参考一、选择题 BDAD CBBA二、填空题 ⒐45⒑(3,3),3……第1空3分(横坐标、纵坐标、格式各1分),第2空2分 ⒒2π⒓1- ⒔5⒕2 ⒖] 2 , (ππ--和]2, 0[π……端点对给分;对1个给3分,全对5分三、解答题⒗解:⑴x x x f 2cos 12sin )(-+=……2分,1)42sin(2+-=πx ……4分最小正周期ππ==22T ……5分,最大值12+=M ……6分 ⑵依题意,311]4)82(2sin[2-=+-+ππα……7分即311sin 2-=+α……8分,322sin -=α……10分31sin 1cos 2±=-±=αα……12分⒘解:⑴依题意,数列{}n a 的公差223=-=a a d ……2分∵d a a +=12……3分,∴121=-=d a a ……4分(或:设数列{}n a 的公差为d ,则⎩⎨⎧=+=+52311d a d a ……2分,解得⎩⎨⎧==211d a ……4分)数列{}n a 的通项公式12)1(1-=-+=n d n a a n ……6分 ⑵由⑴得121+=+n a n ,)12)(12()1()1(1+--=⋅-=+n n na a nb n n n n n ……7分 ]12)1(12)1([41+-+--=n n n n ……9分 1>n 时,]}12)1(12)1([)5131()311{(4121+-+--++++--=+++=n n b b b S n n n n……11分,)12(412)1(]12)1(1[41+---=+-+-=n n n n n ……13分 1=n 时,3111-==b S 也符合上式,∴*N n ∈∀,)12(412)1(+---=n n S n n ……14分⒙证明与求解:(方法一)⑴连接AC ,交BD 于O ,连接OE ,则O 是AC 的中点……1分OE 是△PAC 的中位线,OE//PA ……2分 OE ⊂平面EDB ,PA ⊄平面EDB ,,∴PA//平面EDB……4分 ⑵∵PD ⊥底面ABCD ,BC ⊂平面ABCD ,∴PD ⊥BC……5分∵ABCD 是正方形,∴BC ⊥CD ,∵PD CD=D ,∴BC ⊥平面PCD……6分设PD=DC a =,则PC a 2=,PB a 3=,a PC PB PE PF 33=⨯==31PB ……8分 ⑶由⑵知BC ⊥平面PCD ,∴BC ⊥DE……9分∵PD=DC ,E 是PC 的中点,∴PC ⊥DE ,∵PC BC=C ,∴DE ⊥平面PB C……10分 DE ⊥PB ,EF ⊥PB ,DE EF=E ,∴PB ⊥平面DEF……11分 ∴PB ⊥DF ,∠DFE 是二面角C-PB-D 的平面角……12分在△DFE 中,∵DE ⊥平面PBC ,∴DE ⊥EF ,DE a 22=……13分 a BC PB PE EF 66=⨯=,tan ∠DFE 3==EF DE ,∠DFE 3π=……14分(方法二)⑴以D 为原点,、DC 、分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系 (1)分,设PD=DC=1,则)0 , 0 , 0(D ,)0 , 0 , 1(A ,)0 , 1 , 1(B ,)0 , 1 , 0(C ,)1 , 0 , 0(P ……2分,连接AC ,交BD 于O ,连接OE ,则O 是AC 的中点,)0 , 21, 21(O ……3分E 是PC 的中点,∴)21 , 21 , 0(E ,)21, 0 , 21(-=……4分)1 , 0 , 1(-=PA ,2-=,PA//OE……5分 OE ⊂平面EDB ,PA ⊄平面EDB ,,∴PA//平面EDB……6分 ⑵设)1 , 1 , 1(-==λλPB PF ……7分,则)21, 21 , (+--=+=λλλ……8分∵EF ⊥PB ,∴0)1 , 1 , 1()21, 21 , (=-⋅+--=⋅λλλPB EF ……9分即013=-λ,解得31=λ,PF=31PB……10分⑶由⑵知)61, 61 , 31(-=EF ,)32 , 31 , 31()1 , , (=-=+=λλλPF DP DF ……11分0)1 , 1 , 1()32, 31 , 31(=-⋅=⋅,∴DF ⊥PB ,∠DFE 是二面角C-PB-D 的平面角……12分,21cos =∠DFE ……13分,∠DFE 3π=……14分⑶(方法三)平面PBD 的一个法向量是)0 , 1 , 1(-=……11分平面PBC 的一个法向量是)21, 21 , 0(=DE ……12分21||||,cos =⋅>=<DE AC DE AC ……13分所以,3,π>=<DE AC ,二面角C-PB-D 的大小为3π……14分(各评卷点、评卷教师请注意:本题方法一⑴⑵⑶问的给分依次是4分、4分、6分,而方法二三⑴⑵⑶问的给分依次是6分、4分、4分,因此,本题的给分板⑴⑵⑶问分别设计为6分、4分、6分,评卷时要么按方法一给分,要么按方法二三给分)⒚解:设每小时燃料费与航速平方的比例系数为k ,则21080⨯=k ……1分解得54=k ……2分设航速为x km/h 时,总费用为y 元,则500100100542⨯+⨯=x x x y ……5分,xx 5000080+=……6分 (方法一)令050000802/=-=x y ……8分,解得25=x (负值舍去)……9分 250<<x 时,0/<y ,25>x 时,0/>y ,∴25=x 是极小值点,也是最小值点 ……10分,此时400025500002580=+⨯=y (元)……11分 (方法二)∵0>x ,∴xx y 50000802⨯≥……8分,4000=(元)……9分 等号成立当且仅当xx 5000080=……10分,解得25=x (负值舍去)……11分 答:航速为25km/h 时,总费用最少,此时总费用为4000元……12分⒛解:⑴设M (x ,y )是轨迹上任意一点,x y k AM 3+=,xy k BM 3-=……2分 依题意,2133-=-⋅+=⋅x y x y k k BM AM ……4分 整理化简得轨迹方程为191822=+y x ,其中0≠x ……6分 ⑵显然所求直线 l 存在斜率,设l :)4(1-=-x k y ……7分①当直线 l 经过A 点时,14013=---=k ……8分,代入)4(1-=-x k y 得3-=x y……9分;②当直线 l 经过B 点时,214013-=--=k ……10分,代入)4(1-=-x k y 得321+-=x y (11)分③当点P 为切点时,由⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+)4(1191822x k y y x 得 0)161632()14(4)12(222=--+--+k k x k k x k ……12分解044)161632)(12(4)]14(4[2222=++=--+---=∆k k k k k k k 得2-=k ……13分代入)4(1-=-x k y 得92+-=x y ,综上所述,直线 l 的方程为321+-=x y 或3-=x y 或92+-=x y ……14分(注:①②③三种情况独立给分)21.证明与求解:⑴13)(23--=x x x f ,x x x f 63)(2/-=……1分解0)(/=x f 得01=x ,22=x ……2分,) )2( , 2 (2121x x f x x M ++即) 3 , 1(-M ……3分曲线)(x f y =上任意一点)13 , (20300--x x x P 关于M对称的点为) 53 , 2(20300-+--x x x Q ……4分直接计算知,531)2(3)2()2(203020300-+-=----=-x x x x x f ,点Q 在曲线)(x f y =上,⑵(方法一)33|)(|≤x f 即33|1|23≤-+ax x ,3313323≤-+≤-ax x ……6分 0=x 时,不等式恒成立……7分;0≠x 时,不等式等价于23233432xx a x x -≤≤+-……8分 作22313232)(x x x x x g --=+-=,22323434)(x x x x x g +-=-=,3/1641)(x x g +-=,3/2681)(x g --=……9分,解0)(/1=x g 、0)(/2=x g 得41=x 、3268-=x ……10分31)1(1-=-g ,6)4(1-=g ,23132)(xx x g +-=在]5 , 0()0 , 1[ -的最大值为6-;35)(2=-g ,2591)5(2-=g ,23234)(xx x g -=在]5 , 0()0 , 1[ -的最小值为2591-……13分 综上所述,a 的取值范围为]2591, 6[--……14分 (方法二)ax x x f 23)(2/+=,0=a 时,1)(3-=x x f 不符合题意,∴0≠a ,解0)(/=x f 得01=x ,322ax -=……6分 当]5 , 1[322-∉-=ax 时,)(x f 在]5 , 1[-内的极值点为1x ……7分,33|)(|≤x f 当且仅当⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤-≤-<->-33|)5(|33|)1(|33|)0(|132532f f f a a 或……8分,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤->-<33|12425|33|2|23215a a a a 或……9分,解集为空集φ……10分 当]5 , 1[322-∈-=ax )(x f 在]5 , 1[-内的极值点为1x 、2x ……11分,33|)(|≤x f 当且仅当⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤≤-≤-≤≤-≤-33|)5(|33|)1(|33|)32(|33|)0(|5321f f a f f a (12)分,即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤+≤-≤-≤≤-33|12425|33|2|33|1274|232153a a a a (13)分,解集为]2591, 6[--,∵]2591 , 6[]2591 , 6[--=--φ ,∴a 的取值范围为]2591, 6[--……14分。
广东省各市2015年高考一模数学理试题分类汇编:解析几何
广东省各市2015年高考一模数学理试题分类汇编解析几何一、选择题1、(2015届广州市)直线10x ay ++=与圆()2214x y +-=的位置关系是A. 相交B. 相切C. 相离D. 不能确定2、(2015届江门市)双曲线C :1422=-y x 的两条渐近线夹角(锐角)为θ,则=θta n A .158 B .815 C .43 D .343、(2015届揭阳市)已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的一条渐近线的斜率为12,则该双曲线的离心率为B.C.2D.24、(2015届茂名市)以点(3,-1)为圆心且与直线34x y +=9相切的圆的方程是( ) A 、22(3)(1)x y -++=1 B 、22(3)(1)x y ++-=1 C 、22(3)(1)x y ++-=2 D 、22(3)(1)x y -++=25、(2015届梅州市)动圆M 经过双曲线2213y x -=的左焦点且与直线x =2相切,则圆心M 的轨迹方程是A 、2y =8x B 、2y =-8x C 、2y =4x D 、2y =-4x6、(2015届汕头市)若双曲线的标准方程为22184x y -=,则它的渐近线方程为( )A .0x =B .0y ±=C .20x y ±=D .20x y ±=7、(2015届湛江市)抛物线280y x -=的焦点F 到直线:l 10x y --=的距离是( )A .2 B C .2D .2 8、(2015届中山市)设抛物线的顶点在原点,准线方程为-2,x =则抛物线的方程是( ) A.28y x = B. 28y x =- C. 24y x =- D.24y x =选择题参考答案1、B2、D3、D4、A5、B6、A7、B8、A 二、填空题1、(2015届江门市)已知抛物线C :x y 82=的焦点为F ,P 是C 上一点,若P 在第一象限,8||=PF ,则点P 的坐标为2、(2015届茂名市)已知A ,B 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>学科网长轴的两个顶点,M ,N是椭圆上关于x 轴对称的两点,直线AM ,BN 的斜率分别为12,k k ,且120k k ≠,若12||||k k +的最小值为1,则椭圆的离心率为____3、(2015届梅州市)以F 1(-1,0)、F 2(1,0)为焦点,且经过点M (1,-32)的椭圆的标准方程为___4、(2015届深圳市)已知圆C :05822=-+++ay x y x 经过抛物线E :y x 42=的焦点,则抛物线E 的准线与圆C 相交所得弦长为5、(2015届佛山市)已知点()2,0A -、()0,4B 到直线l :10x my +-=的距离相等,则实数m 的值为________填空题参考答案1、)34 , 6( 23、13422=+y x 4、 5、112-或 三、解答题1、(2015届广州市)已知椭圆1C 的中心在坐标原点,两焦点分别为双曲线222:12x C y -=的顶点,直线0=x 与椭圆1C 交于A ,B 两点,且点A 的坐标为(1),点P 是椭圆1C 上异于点A ,B 的任意一点,点Q 满足0AQ AP ⋅= ,0BQ BP ⋅=,且A ,B ,Q三点不共线.(1) 求椭圆1C 的方程; (2) 求点Q 的轨迹方程;(3) 求ABQ ∆面积的最大值及此时点Q 的坐标.2、(2015届江门市)平面直角坐标系xOy 中,椭圆∑:12222=+by a x (0>>b a )的离心率为36,焦点为1F 、2F ,直线l :02=-+y x 经过焦点2F ,并与∑相交于A 、B 两点. ⑴求∑的方程;⑵在∑上是否存在C 、D 两点,满足AB CD //,D F C F 11=?若存在,求直线CD 的方程;若不存在,说明理由.3、(2015届揭阳市)在平面直角坐标系xoy 中,已知点(01)A ,,点B 在直线1:1l y =-上,点M 满足//MB OA uuu r uu r, MA AB MB BA ⋅=⋅uuu r uu u r uuu r uu r ,点M 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程;(2)设直线2:l y kx m =+与曲线C 有唯一公共点P ,且与直线1:1l y =-相交于点Q ,试探究,在坐标平面内是否存在点N ,使得以PQ 为直径的圆恒过点N ?若存在,求出点N 的坐标,若不存在,说明理由.4、(2015届茂名市)已知F (0,1),直线l :y =-1,P 为平面上的动点,过点P 作直线l 的垂线,垂足为Q ,且(1)求动点P 的轨迹C 的方程。
江门高三第三次模拟考试 理科数学
你的首选资源互助社区江门市2013年普通高中高三调研测试数 学(理科)试 题本试卷共4页,21题,满分150分,测试用时120分钟. 参考公式:锥体的体积公式Sh V 31=,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高.如果事件A 、B 互斥,那么)()()(B P A P B A P +=+.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.⒈已知{} 054| 2=--=x x x A ,{} 1| 2==x x B ,则=B AA .{} 1B .{} 1 -C .{} 5 , 1 , 1 -D .{} 5 , 1 , 1 -- ⒉已知)4 , 3( -=a ,)2 , 5( =b ,则=+| |b aA .102B .52C .7-D .40 ⒊已知命题p :2=m ;命题q :复平面内表示复数i m z )1(1+-+=(R m ∈,i 是虚数单位)的点位于直线x y =上。
则命题p 是命题q 的A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .非充分非必要条件D .充要条件 ⒋函数)232sin()(π+-=x x f 在其定义域上是A .周期为π的奇函数B .周期为π2的奇函数C .周期为π的偶函数D .周期为π2的偶函数⒌某种饮料每箱装6听,如果其中有2听不合格。
质检人员从中随机抽出2听,检出不合格产品的概率=p A .21 B .31 C .32 D .6.0⒍以抛物线082=+x y 的顶点为中心、焦点为一个顶点且离心率2=e 的双曲线的标准方程是A .112422=-yxB .1481622=-yxC .112422=-xyD .1481622=-yx⒎已知一个几何体的三视图及其大小如图1,这个几何体的体积=V A .π12 B .π16C .π18D .π64保密★启用前 试卷类型:A图3⒏输入正整数n (2≥n )和数据1a ,2a ,…,n a ,如果执行如图2的程序框图,输出的s 是数据1a ,2a ,…,n a 的平均数,则框图的处 理框★中应填写的是A .i a s s +=B .na s s i+=C .ia s i s i+⨯-=)1( D .na s i s i+⨯-=)1(二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分. (一)必做题(9~13题)⒐已知等差数列{}n a 的首项11=a ,前三项之和93=S ,则{}n a 的通项____=n a . ⒑已知x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤≤≤≤824030y x y x ,则y x z +=的最大值是 .⒒已知n 是正整数,若432n n n C C C <+,则n 的取值范围是 .⒓与圆C :04222=+-+y x y x 关于直线l :0=+y x 对称的圆的方程是 . ⒔曲线)2ln(x y =上任意一点P 到直线x y 2=的距离的最小值是 .(二)选做题(14、15题,考生只能从中选做一题)⒕(几何证明选讲选做题)如图3,圆O 的割线PAB 交圆O 于A 、B 两点,割线PCD 经过圆心。
广东省江门市普通高中2015届高三调研测试数学(理)试题 Word版含解析
江门市普通高中2015届高三(上)调考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知R为实数集,A={x|2x﹣3<3x},B={x|x≥2},则A∪B=()A.{x|x≥2} B.{x|x>﹣3} C.{x|2≤x<3} D.R[品题]:求出不等式2x﹣3<3x的解集A,再由并集的运算求出A∪B.解答:解:由2x﹣3<3x得,x>﹣3,则A={x|x>﹣3},又B={x|x≥2},则A∪B={x|x>﹣3},故选:B.点拨:本题考查并集及其运算,属于基础题.2.i是虚数单位,则=()A.1 B.﹣i C.i D.﹣i [品题]:利用复数代数形式的乘除运算法则求解.解答:解:=﹣﹣=.故选:D.点拨:本题考查复数的乘除运算,是基础题,解题时要注意运算法则的合理运用.3.已知三个实数:、、c=log3,它们之间的大小关系是()A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.b>a>c[品题]:根据指数函数和对数函数的图象和性质,以0和1作为中间量,可比较出a,b,c的大小.解答:解:∵>30=1、0<=1、c=log3<log31=0,∴a>b>c,故选:A点拨:本题考查的知识点是指数式与对数式的大小比较,熟练掌握指数函数和对数函数的图象和性质,是解答的关键.4.已知是非零向量,,则“”是“”成立的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.非充分非必要条件D.充要条件[品题]:根据“”成立,得到•(﹣)=0,结合是非零向量,,推出,根据充要条件的判定方法可得结论.解答:解:∵,∴•(﹣)=0,∵是非零向量,,∴,故选:D.点拨:题主要考查了数量积判断两个平面向量的垂直关系,以及必要条件、充分条件与充要条件的判断,属于基础题.5.如图,某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和半圆,则该几何体的体积为()A.4 B.8C.2πD.4π[品题]:根据几何体的三视图,得该几何体是底面为半圆的圆锥,求出几何体的体积即可.解答:解:根据几何体的三视图,得该几何体是底面为半圆的圆锥,∴该几何体的体积为V几何体=S底面h=××π××3=2π.故选:C.点拨:本题考查了空间几何体的三视图的应用问题,解题时应根据三视图,得出该几何体是什么几何图形.6.在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,若∠A=75°,∠B=60°,c=10,则b=()A.5B.5C.10D.10[品题]:由A与B的度数求出C的度数,根据sinB,sinC,以及c的值,利用正弦定理求出b的值即可.解答:解:∵在△ABC中,∠A=75°,∠B=60°,c=10,∴∠C=45°,由正弦定理=得:b===5,故选:B.点拨:此题考查了正弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握正弦定理是解本题的关键.7.在同一直角坐标系中,直线=1与圆x2+y2+2x﹣4y﹣4=0的位置关系是()A.直线经过圆心B.相交但不经过圆心C.相切D.相离[品题]:求出圆心到直线的距离大于零且小于半径,可得直线和圆相交但不经过圆心.解答:解:圆x2+y2+2x﹣4y﹣4=0,即(x+1)2+(y﹣2)2=9,表示以(﹣1,2)为圆心、半径等于3的圆.由于圆心到直线=1的距离为=2<3,故直线和圆相交但不经过圆心,故选:B.点拨:本题主要考查直线和圆的位置关系,点到直线的距离公式的应用,属于基础题.8.已知函数f(x)=ax3﹣3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则a的取值范围是()A.(2,+∞)B.(1,+∞)C.(﹣∞,﹣2)D.(﹣∞,﹣1)[品题]:分类讨论:当a≥0时,容易判断出不符合题意;当a<0时,由于而f(0)=1>0,x→+∞时,f(x)→﹣∞,可知:存在x0>0,使得f(x0)=0,要使满足条件f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则必须极小值f()>0,解出即可.解答:解:当a=0时,f(x)=﹣3x2+1=0,解得x=±,函数f(x)有两个零点,不符合题意,应舍去;当a>0时,令f′(x)=3ax2﹣6x=3ax(x﹣)=0,解得x=0或x=>0,列表如下:x (﹣∞,0)0 (0,)(,+∞)f′(x)+ 0 ﹣0 +f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增∵x→﹣∞,f(x)→﹣∞,而f(0)=1>0,∴存在x<0,使得f(x)=0,不符合条件:f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,应舍去.当a<0时,f′(x)=3ax2﹣6x=3ax(x﹣)=0,解得x=0或x=<0,列表如下:x (﹣∞,)(,0) 0 (0,+∞)f′(x)﹣0 + 0 ﹣f(x)单调递减极小值单调递增极大值单调递减而f(0)=1>0,x→+∞时,f(x)→﹣∞,∴存在x0>0,使得f(x0)=0,∵f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,∴极小值f()>0,化为a2>4,∵a<0,∴a<﹣2.综上可知:a的取值范围是(﹣∞,﹣2).故选:C.点拨:本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论的思想方法,考查了推理能力和计算能力,属于难题.二、填空题:本大题共5小题,考生作答6小题,每小题5分,满分25分.(一)必做题(9~13题)9.双曲线9x2﹣16y2=144的离心率等于.考点:双曲线的简单性质.专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.[品题]:双曲线方程化为标准方程,可得a=5,b=3,c=4,从而可求双曲线的离心率.解答:解:双曲线9x2﹣16y2=144可化为,所以a=5,b=3,c=4,所以离心率e==.故答案为:.点拨:本题考查双曲线的标准方程,考查双曲线的几何性质,确定双曲线的几何量是关键.10.(5分)△ABC是等腰直角三角形,已知A(1,1),B(1,3),AB⊥BC,点C在第一象限,点(x,y)在△ABC内部,则点C的坐标为(3,3),z=2x﹣y的最大值是3.考点:简单线性规划.专题:不等式的解法及应用.根据等腰直角三角形的定义先求出C的坐标,利用线性规划的知识即可得到结论.[品题]:解答:解:∵A(1,1),B(1,3),AB⊥BC,点C在第一象限,∴|AB|=3﹣1=2,设C(x,y),则x>0,y>0,∵△ABC是等腰直角三角形,∴|BC|=|x﹣1|=2,解得x=3或x=﹣1(舍),即C(3,3),由z=2x﹣y得y=2x﹣z,平移直线y=2x﹣z,由图象可知当直线y=2x﹣z经过点C时,直线y=2x﹣z的截距最小,此时z最大,此时z=2x﹣y=2×3﹣3=3,故答案为:(3,3),3点拨:本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决本题的关键.11.(5分)(2012•四川)如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,M、N分别是CD、CC1的中点,则异面直线A1M与DN所成的角的大小是90°.考点:异面直线及其所成的角.专题:计算题.[品以D为坐标原点,建立空间直角坐标系,利用向量的方法求出与夹角求出异题]:面直线A1M与DN所成的角.解答:解:以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.设棱长为2,则D(0,0,0),N(0,2,1),M(0,1,0),A1(2,0,2),=(0,2,1),=(﹣2,1,﹣2)•=0,所以⊥,即A1M⊥DN,异面直线A1M与DN所成的角的大小是90°,故答案为:90°.点拨:本题考查空间异面直线的夹角求解,采用了向量的方法.向量的方法能降低空间想象难度,但要注意有关点,向量坐标的准确.否则容易由于计算失误而出错.12.(5分)若f(x)=,则f(x)的最小值是﹣1.考点:函数的最值及其几何意义.专题:函数的性质及应用.[品根据分段函数的表达式,分别求出对应的取值范围即可得到结论.题]:解答:解:作出函数f(x)的图象如图:当x≤0,f(x)=﹣x≥0,当x>0时,f(x)=x2﹣2x=(x﹣1)2﹣1≥﹣1,故当x=1时,函数f(x)取得最小值为﹣1,故答案为:﹣1点拨:本题主要考查函数最值的求解,根据分段函数的表达式结合函数的性质是解决本题的关键.13.(5分)已知数列{a n}满足a1=﹣,a n=1﹣(n>1),计算并观察数列{a n}的前若干项,根据前若干项的变化规律推测,a2015=5.考点:归纳推理.专题:计算题;推理和证明.[品确定数列{a n}是以3为周期的周期数列,即可得出结论.题]:解答:解:∵a1=﹣,a n=1﹣,∴a2=5,a3=,a4=﹣,∴数列{a n}是以3为周期的周期数列,∴a2015=a2=5,故答案为:5.点拨:本题考查归纳推理,确定数列{a n}是以3为周期的周期数列是解题的关键.三.选做题(14、15题,考生只能从中选做一题)14.(5分)计算定积分:2.考点:定积分.专题:导数的概念及应用.[品题]:根据的导数为得到原函数是,写出当自变量取两个不同的值时,对应的函数值,让两个数字相减得到结果.解答:解:=4﹣2=2故答案为:2点拨:本题考查定积分,关键是求出原函数,属于一道基础题.15.已知定义在区间(﹣π,π)上的函数f(x)=xsinx+cosx,则f(x)的单调递增区间是,.考点:两角和与差的正弦函数.专题:导数的综合应用;三角函数的图像与性质.[品题]:根据求导公式和题意求出f′(x),结合定义域和余弦函数的性质求出f′(x)>0是x的范围,奇求出函数f(x)的单调递增区间.解答:解:由题意得,f′(x)=sinx+xcosx﹣sinx=xcosx,根据余弦函数的性质得,当或时,f′(x)>0,所以f(x)的单调递增区间是和,故答案为:和.点拨:本题考查余弦函数的性质,以及导数与函数的单调性关系,属于中档题.三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(12分)已知函数f(x)=2sinx(sinx+cosx),x∈R.(1)求f(x)的最小正周期T和最大值M;(2)若,求cosα的值.考点:三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法.专题:三角函数的求值;三角函数的图像与性质.[品题]:(1)化简可得f(x)=,可求最小正周期,最大值;(2)依题意得,即,从而可求,.解答:解:(1)∵f(x)=sin2x+1﹣cos2x…(2分),=…(4分)∴最小正周期…(5分),最大值…(6分)(2)依题意,…(7分)即…(8分),∴…(10分)∴…(12分)点拨:本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法,属于基本知识的考查.17.(14分)已知{a n}是等差数列,a2=3,a3=5.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)对一切正整数n,设b n=,求数列{b n}的前n项和S n.考点:数列的求和.专题:等差数列与等比数列.[品题]:(1)根据等差数列的通项公式由条件即可求出首项a1=1,公差d=2,所以可得到a n=2n ﹣1;(2)根据a n先求出b n并将它变成,看到该通项之后,可以想到能否在求和中使得一些项前后抵消,并且通过求前几项的和会发现是可以的,并且是有规律的,根据这个规律即可求出{b n}的前n项和S n.解答:解:(1)由得,a1=1,d=2;∴a n=1+2(n﹣1)=2n﹣1;(2)=;∴S n=b1+b2+b3+…+b n=;通过前几项的求和规律知:若n为奇数,则;若n为偶数,则.点拨:考查等差数列的通项公式,以及裂项的方法求数列前n项和,以及通过前几项求和的规律找到求数列前n项和的方法.18.(14分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.(1)证明PA∥平面EDB;(2)证明PB⊥平面EFD;(3)求二面角C﹣PB﹣D的大小.考点:用空间向量求平面间的夹角;直线与平面垂直的判定.专题:空间位置关系与距离;空间角.[品题]:方法一:(1)连结AC,AC交BD于O,连结EO,利用三角形中位线的性质,可得PA∥EO,利用线面平行的判定可得结论;(2)证明DE⊥PC,BC⊥平面PDC,DE⊥平面PBC,可得DE⊥PB,利用线面垂直的判定定理,可得PB⊥平面EFD;(3)确定∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角,利用正弦函数即可求解;方法二:建立空间直角坐标系,D为坐标原点,设DC=a(1)连结AC,AC交BD于G,连结EG,证明,这表明PA∥EG,可得结论;(2)利用向量的数量积公式,证明PB⊥DE,再利用线面垂直的判定定理,可得结论;(3)确定∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角,利用向量的夹角公式,即可解决.解答:方法一:(1)证明:连结AC,AC交BD于O,连结EO∵底面ABCD是正方形,∴点O是AC的中点在△PAC中,EO是中位线,∴PA∥EO而EO⊂平面EDB且PA⊄平面EDB,所以,PA∥平面EDB(2)证明:∵PD⊥底面ABCD且DC⊂底面ABCD,∴PD⊥DC∵PD=DC,可知△PDC是等腰直角三角形,而DE是斜边PC的中线,∴DE⊥PC ①同样由PD⊥底面ABCD,得PD⊥BC∵底面ABCD是正方形,有DC⊥BC,∴BC⊥平面PDC而DE⊂平面PDC,∴BC⊥DE ②由①和②推得DE⊥平面PBC而PB⊂平面PBC,∴DE⊥PB又EF⊥PB且DE∩EF=E,所以PB⊥平面EFD(3)解:由(2)知,PB⊥DF,故∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角由(2)知,DE⊥EF,PD⊥DB设正方形ABCD的边长为a,则,在Rt△PDB中,在Rt△EFD中,,∴所以,二面角C﹣PB﹣D的大小为;方法二:如图所示建立空间直角坐标系,D为坐标原点,设DC=a(1)证明:连结AC,AC交BD于G,连结EG依题意得∵底面ABCD是正方形,∴G是此正方形的中心,故点G的坐标为且∴,这表明PA∥EG而EG⊂平面EDB且PA⊄平面EDB,∴PA∥平面EDB(2)证明;依题意得B(a,a,0),又,故∴PB⊥DE由已知EF⊥PB,且EF∩DE=E,所以PB⊥平面EFD(3)解:设点F的坐标为(x0,y0,z0),,则(x0,y0,z0﹣a)=λ(a,a,﹣a)从而x0=λa,y0=λa,z0=(1﹣λ)a所以由条件EF⊥PB知,,即,解得∴点F的坐标为,且,∴即PB⊥FD,故∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角∵,且,,∴∴所以,二面角C﹣PB﹣D的大小为.点拨:本题考查线面平行、线面垂直、考查面面角,考查学生[品题]解决问题的能力,考查学生的计算能力,属于中档题.19.(12分)一艘船每小时的燃料费与船的速度的平方成正比,如果此船速度是10km/h,那么每小时的燃料费是80元.已知船航行时其他费用为500元/时,在100km航程中,航速多少时船行驶总费用最少?此时总费用多少元?考点:基本不等式在最值问题中的应用.专题:计算题;应用题;导数的综合应用;不等式的解法及应用.[品题]:设每小时燃料费与航速平方的比例系数为k,由条件求得k,设航速为xkm/h时,总费用为y元,求得y=80x+,可由基本不等式或函数的导数,即可得到最小值.解答:解:设每小时燃料费与航速平方的比例系数为k,则80=k×102,解得,设航速为xkm/h时,总费用为y元,则=.(方法一)令,解得x=25(负值舍去),当0<x<25时,y′<0,x>25时,y′>0,∴x=25是极小值点,也是最小值点,此时(元).(方法二)∵x>0,∴=4000(元),等号成立当且仅当,解得x=25(负值舍去).答:航速为25km/h时,总费用最少,此时总费用为4000元.点拨:本题考查函数的最值的应用题,考查运用导数求最值,运用基本不等式求最值,考查运算能力,属于中档题.20.(14分)在平面直角坐标系xoy中,点A,B的坐标分别是(0,﹣3),(0,3)直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是﹣.(1)求点M的轨迹L的方程;(2)若直线L经过点P(4,1),与轨迹L有且仅有一个公共点,求直线L的方程.考点:轨迹方程;直线的一般式方程.专题:计算题.[品题]:(1)求M点的轨迹方程,所以设M(x,y),根据直线AM,BM的斜率之积是﹣,即可求得关于x,y的等式,即点M的轨迹方程:x2+2y2=18;(2)若直线L不存在斜率,则容易判断它和轨迹L有两个交点,不合题意;存在斜率时设斜率为k,然后根据直线L经过点P可写出直线L的方程,将直线方程带入轨迹方程可得到关于x的方程,让该方程有一个解求k即可得到直线L的方程.解答:解:(1)设M(x,y),则:(x≠0);∴点M的轨迹方程为:x2+2y2=18(x≠0);(2)若直线L不存在斜率,则方程为:x=4;x=4带入轨迹方程可得y=±1,即直线L和轨迹L有两个公共点,不合题意;∴设直线L斜率为k,则方程为:y=kx﹣4k+1,带入轨迹方程并整理得:(1+2k2)x2+4k(1﹣4k)x+16(2k2﹣k﹣1)=0;∵直线L与轨迹L只有一个公共点,所以:△=16k2(1﹣4k)2﹣64(1+2k2)(2k2﹣k﹣1)=0;解得k=﹣2;∴直线L的方程为:y=﹣2x+9.点拨:考查轨迹与轨迹方程的概念,以及求轨迹方程的方法,斜率公式,直线的点斜式方程,一元二次方程有一个解时的判别式的取值如何.21.(14分)已知函数f(x)=x3+ax2﹣1(a∈R是常数).(1)设a=﹣3,x=x1、x=x2是函数y=f(x)的极值点,试证明曲线y=f(x)关于点对称;(2)是否存在常数a,使得∀x∈[﹣1,5],|f(x)|≤33恒成立?若存在,求常数a的值或取值范围;若不存在,请说明理由.(注:曲线y=f(x)关于点M对称是指,对于曲线y=f(x)上任意一点P,若点P关于M的对称点为Q,则Q在曲线y=f(x)上.)考点:利用导数研究曲线上某点切线方程.专题:导数的综合应用.[品题]:(1)把a=﹣3代入函数解析式,求出函数的导函数,得到导函数的零点,求出M的坐标,求出曲线y=f(x)上任意一点关于M对称的点Q,由Q 的坐标适合函数解析式说明结论成立;(2)把|f(x)|≤33恒成立转化为,然后构造两个函数,,由导数求其最值得答案.解答:(1)证明:当a=﹣3时,f(x)=x3﹣3x2﹣1,f′(x)=3x2﹣6x,由f′(x)=0,得x1=0,x2=2,∴=M(1,﹣3),曲线y=f(x)上任意一点关于M对称的点为,则,∴点Q在曲线y=f(x)上,∴曲线y=f(x)关于点M对称;(2)解:由|f(x)|≤33,即|x3+ax2﹣1|≤33,得﹣33≤x3+ax2﹣1≤33,x=0时,不等式恒成立;x≠0时,不等式等价于,作,,则,,解,得x1=4,解,得.列表:x [﹣1,0)(0,4)4 (4,5]﹣+ 0 ﹣g1(x)↘↗极大值↘+﹣﹣﹣g2(x)↗↘↘g1(﹣1)=﹣31,g1(4)=﹣6,在[﹣1,0)∪(0,5]的最大值为﹣6;g2(﹣1)=35,,在[﹣1,0)∪(0,5]的最小值为.综上所述,a的取值范围为.点拨:本题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率,会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值,掌握不等式恒成立时所取的条件,是压轴题.。
江门市2015届普通高中高三调研测试物理试题(含答案)
秘密★启用前 试卷类型:A江门市2015届普通高中高三调研测试理科综合本试题卷共12页,36小题,满分300分,考试时间150 分钟。
注意事项:1. 答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2. 做选择题时,必须用2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。
3. 答非选择题时,必须用黑色字迹钢笔或签字笔,将答案写在答题卡规定的位置上。
4. 所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上作答无效。
5. 考试结束后,将答题卡交回。
可能用到的相对原子质量:H1 C12 O16 Na23 S32 Cl35.5 Fe56 Cu64 Zn65一、单项选择题:本大题共16小题,每小题4分,共64分。
在每小题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求,选对的得4分,选错或不选的得0分。
13.某物体运动的速度-时间图象如图,下列说法正确的是A .0-2s 内的加速度为1m/s 2B .0-5s 内的位移为10mC .第1s 末与第3s 末的速度方向相反D .第1s 与第5s 加速度方向相同 14.如图,开关S 闭合,当滑片P 左移时,关于两表的读数说法正确的是A .电流表变小,电压表变小B .电流表变大,电压表变大C .电流表变大,电压表变小D .电流表变小,电压表变大15.若天宫一号绕地球做匀速圆周运动的半径为r ,周期为T ,万有引力常量为G ,则A .天宫一号不受重力作用B .可求天宫一号所受到的万有引力C .可求地球的质量D .可求地球表面的重力加速度16.秋千的吊绳有些磨损,在摆动过程中,吊绳最容易断裂的时刻是秋千A.在下摆过程中B.在上摆过程中C.摆到最高点时D.摆到最低点时二、双项选择题:本大题共9小题,每小题6分,共54分。
在每小题给出的四个选项中,有两个选项符合题目要求,全部选对给6分,只选对1个且正确的得3分,有选错或不答的得0分。
江门市普通高中2015届高三调研测试(理数参考答案)
数学(理科)参考答案一、选择题 BDAD CBBA 二、填空题 ⒐45⒑(3,3),3……第1空3分(横坐标、纵坐标、格式各1分),第2空2分 ⒒2π⒓1- ⒔5⒕2 ⒖] 2 , (ππ--和]2, 0[π……端点对给分;对1个给3分,全对5分 三、解答题⒗解:⑴x x x f 2cos 12sin )(-+=……2分,1)42sin(2+-=πx ……4分最小正周期ππ==22T ……5分,最大值12+=M ……6分 ⑵依题意,311]4)82(2sin[2-=+-+ππα……7分即311sin 2-=+α……8分,322sin -=α……10分31sin 1cos 2±=-±=αα……12分⒘解:⑴依题意,数列{}n a 的公差223=-=a a d ……2分∵d a a +=12……3分,∴121=-=d a a ……4分(或:设数列{}n a 的公差为d ,则⎩⎨⎧=+=+52311d a d a ……2分,解得⎩⎨⎧==211d a ……4分)数列{}n a 的通项公式12)1(1-=-+=n d n a a n ……6分⑵由⑴得121+=+n a n ,)12)(12()1()1(1+--=⋅-=+n n na a nb n n n n n ……7分 ]12)1(12)1([41+-+--=n n n n ……9分 1>n 时,]}12)1(12)1([)5131()311{(4121+-+--++++--=+++=n n b b b S n n n n……11分,)12(412)1(]12)1(1[41+---=+-+-=n n n n n ……13分 1=n 时,3111-==b S 也符合上式,∴*N n ∈∀,)12(412)1(+---=n n S n n ……14分⒙证明与求解:(方法一)⑴连接AC ,交BD 于O ,连接OE ,则O 是AC 的中点……1分 OE 是△PAC 的中位线,OE//PA……2分 OE ⊂平面EDB ,PA ⊄平面EDB ,,∴PA//平面EDB……4分 ⑵∵PD ⊥底面ABCD ,BC ⊂平面ABCD ,∴PD ⊥BC……5分∵ABCD 是正方形,∴BC ⊥CD ,∵PD CD=D ,∴BC ⊥平面PCD ……6分BC ⊥PC ,EF ⊥PB ,∠BPC 是公共角,∴△PEF ~△PBC……7分 设PD=DC a =,则PC a 2=,PB a 3=,a PC PB PE PF 33=⨯==31PB……8分 ⑶由⑵知BC ⊥平面PCD ,∴BC ⊥DE……9分∵PD=DC ,E 是PC 的中点,∴PC ⊥DE ,∵PC BC=C ,∴DE ⊥平面PBC……10分 DE ⊥PB ,EF ⊥PB ,DE EF=E ,∴PB ⊥平面DEF……11分 ∴PB ⊥DF ,∠DFE 是二面角C-PB-D 的平面角……12分 在△DFE 中,∵DE ⊥平面PBC ,∴DE ⊥EF ,DE a 22=……13分 a BC PB PE EF 66=⨯=,tan ∠DFE 3==EF DE ,∠DFE 3π=……14分 (方法二)⑴以D 为原点,、、分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系……1分,设PD=DC=1,则)0 , 0 , 0(D ,)0 , 0 , 1(A ,)0 , 1 , 1(B ,)0 , 1 , 0(C ,)1 , 0 , 0(P ……2分,连接AC ,交BD 于O ,连接OE ,则O 是AC 的中点,)0 , 21, 21(O ……3分 E 是PC 的中点,∴)21 , 21 , 0(E ,)21 , 0 , 21(-=OE ……4分)1 , 0 , 1(-=,OE PA 2-=,PA//OE……5分OE ⊂平面EDB ,PA ⊄平面EDB ,,∴PA//平面EDB……6分 ⑵设)1 , 1 , 1(-==λλ……7分, 则)21 , 21, (+--=+=λλλPF EP EF ……8分∵EF ⊥PB ,∴0)1 , 1 , 1()21 , 21 , (=-⋅+--=⋅λλλ……9分即013=-λ,解得31=λ,PF=31PB……10分 ⑶由⑵知)61, 61 , 31(-=,)32 , 31 , 31()1 , , (=-=+=λλλ……11分0)1 , 1 , 1()32, 31 , 31(=-⋅=⋅,∴DF ⊥PB ,∠DFE 是二面角C-PB-D 的平面角 (12)分,21||||cos =∠EF DF DFE ……13分,∠DFE 3π=……14分 ⑶(方法三)平面PBD 的一个法向量是)0 , 1 , 1(-=……11分 平面PBC 的一个法向量是)21, 21 , 0(=DE ……12分21||||,cos =⋅>=<DE AC DE AC ……13分 所以,3,π>=<DE AC ,二面角C-PB-D 的大小为3π……14分(各评卷点、评卷教师请注意:本题方法一⑴⑵⑶问的给分依次是4分、4分、6分,而方法二三⑴⑵⑶问的给分依次是6分、4分、4分,因此,本题的给分板⑴⑵⑶问分别设计为6分、4分、6分,评卷时要么按方法一给分,要么按方法二三给分)⒚解:设每小时燃料费与航速平方的比例系数为k ,则21080⨯=k ……1分解得54=k ……2分 设航速为x km/h 时,总费用为y 元,则500100100542⨯+⨯=x x x y ……5分,xx 5000080+=……6分 (方法一)令050000802/=-=x y ……8分,解得25=x (负值舍去)……9分 250<<x 时,0/<y ,25>x 时,0/>y ,∴25=x 是极小值点,也是最小值点……10分,此时400025500002580=+⨯=y (元)……11分(方法二)∵0>x ,∴xx y 50000802⨯≥……8分,4000=(元)……9分等号成立当且仅当xx 5000080=……10分,解得25=x (负值舍去)……11分答:航速为25km/h 时,总费用最少,此时总费用为4000元……12分⒛解:⑴设M (x ,y )是轨迹上任意一点,x y k AM 3+=,xy k BM 3-=……2分 依题意,2133-=-⋅+=⋅x y x y k k BM AM ……4分 整理化简得轨迹方程为191822=+y x ,其中0≠x ……6分 ⑵显然所求直线 l 存在斜率,设l :)4(1-=-x k y ……7分①当直线 l 经过A 点时,14013=---=k ……8分,代入)4(1-=-x k y 得3-=x y ……9分; ②当直线 l 经过B 点时,214013-=--=k ……10分,代入)4(1-=-x k y 得321+-=x y ……11分③当点P 为切点时,由⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+)4(1191822x k y y x 得 0)161632()14(4)12(222=--+--+k k x k k x k ……12分解044)161632)(12(4)]14(4[2222=++=--+---=∆k k k k k k k 得2-=k ……13分 代入)4(1-=-x k y 得92+-=x y ,综上所述,直线 l 的方程为321+-=x y 或3-=x y 或92+-=x y ……14分 (注:①②③三种情况独立给分)21.证明与求解:⑴13)(23--=x x x f ,x x x f 63)(2/-=……1分解0)(/=x f 得01=x ,22=x ……2分,) )2( , 2(2121x x f x x M ++即) 3 , 1(-M ……3分 曲线)(x f y =上任意一点)13 , (20300--x x x P 关于M 对称的点为) 53 , 2(20300-+--x x x Q ……4分直接计算知,531)2(3)2()2(203020300-+-=----=-x x x x x f ,点Q 在曲线)(x f y =上,所以,曲线)(x f y =关于点M 对称……5分⑵(方法一)33|)(|≤x f 即33|1|23≤-+ax x ,3313323≤-+≤-ax x ……6分 0=x 时,不等式恒成立……7分;0≠x 时,不等式等价于23233432x x a x x -≤≤+-……8分作22313232)(x x x x x g --=+-=,22323434)(x x x x x g +-=-=,3/1641)(x x g +-=,3/2681)(x g --=……9分,解0)(/1=x g 、0)(/2=x g 得41=x 、3268-=x ……10分……12分31)1(1-=-g ,6)4(1-=g ,23132)(x x x g +-=在]5 , 0()0 , 1[ -的最大值为6-;35)(2=-g ,2591)5(2-=g ,23234)(x x x g -=在]5 , 0()0 , 1[ -的最小值为2591-……13分 综上所述,a 的取值范围为]2591, 6[--……14分(方法二)ax x x f 23)(2/+=,0=a 时,1)(3-=x x f 不符合题意,∴0≠a ,解0)(/=x f 得01=x ,322ax -=……6分当]5 , 1[322-∉-=ax 时,)(x f 在]5 , 1[-内的极值点为1x ……7分,33|)(|≤x f 当且仅当⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤-≤-<->-33|)5(|33|)1(|33|)0(|132532f f f a a 或……8分,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤->-<33|12425|33|2|23215a a a a 或……9分,解集为空集φ……10分 当]5 , 1[322-∈-=ax )(x f 在]5 , 1[-内的极值点为1x 、2x ……11分,33|)(|≤x f 当且仅当⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤≤-≤-≤≤-≤-33|)5(|33|)1(|33|)32(|33|)0(|5321f f a f f a ……12分,即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤+≤-≤-≤≤-33|12425|33|2|33|1274|232153a a a a ……13分,解集为]2591 , 6[--,∵]2591 , 6[]2591 , 6[--=--φ ,∴a 的取值范围为]2591, 6[--……14分。
广东省江门市普通高中高三数学上学期调考试卷 理(含解析)
广东省江门市普通高中2015届高三上学期调考数学试卷(理科)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知R为实数集,A={x|2x﹣3<3x},B={x|x≥2},则A∪B=()A.{x|x≥2}B.{x|x>﹣3} C.{x|2≤x<3} D.R2.(5分)i是虚数单位,则=()A.1 B.﹣i C.i D.﹣i3.(5分)已知三个实数:、、c=log3,它们之间的大小关系是()A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.b>a>c4.(5分)已知是非零向量,,则“”是“”成立的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.非充分非必要条件D.充要条件5.(5分)如图,某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和半圆,则该几何体的体积为()A.4 B.8 C.2πD.4π6.(5分)在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,若∠A=75°,∠B=60°,c=10,则b=()A.5B.5C.10D.107.(5分)在同一直角坐标系中,直线=1与圆x2+y2+2x﹣4y﹣4=0的位置关系是()A.直线经过圆心B.相交但不经过圆心C.相切D.相离8.(5分)已知函数f(x)=ax3﹣3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则a的取值范围是()A.(2,+∞)B.(1,+∞)C.(﹣∞,﹣2)D.(﹣∞,﹣1)二、填空题:本大题共5小题,考生作答6小题,每小题5分,满分25分.(一)必做题(9~13题)9.(5分)双曲线9x2﹣16y2=144的离心率等于.10.(5分)△ABC是等腰直角三角形,已知A(1,1),B(1,3),AB⊥BC,点C在第一象限,点(x,y)在△ABC内部,则点C的坐标为,z=2x﹣y的最大值是.11.(5分)如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,M、N分别是CD、CC1的中点,则异面直线A1M 与DN所成的角的大小是.12.(5分)若f(x)=,则f(x)的最小值是.13.(5分)已知数列{a n}满足a1=﹣,a n=1﹣(n>1),计算并观察数列{a n}的前若干项,根据前若干项的变化规律推测,a2015=.三.选做题(14、15题,考生只能从中选做一题)14.(5分)计算定积分:.15.已知定义在区间(﹣π,π)上的函数f(x)=xsinx+cosx,则f(x)的单调递增区间是.三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(12分)已知函数f(x)=2sinx(sinx+cosx),x∈R.(1)求f(x)的最小正周期T和最大值M;(2)若,求cosα的值.17.(14分)已知{a n}是等差数列,a2=3,a3=5.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)对一切正整数n,设b n=,求数列{b n}的前n项和S n.18.(14分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.(1)证明PA∥平面EDB;(2)证明PB⊥平面EFD;(3)求二面角C﹣PB﹣D的大小.19.(12分)一艘船每小时的燃料费与船的速度的平方成正比,如果此船速度是10km/h,那么每小时的燃料费是80元.已知船航行时其他费用为500元/时,在100km航程中,航速多少时船行驶总费用最少?此时总费用多少元?20.(14分)在平面直角坐标系xoy中,点A,B的坐标分别是(0,﹣3),(0,3)直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是﹣.(1)求点M的轨迹L的方程;(2)若直线L经过点P(4,1),与轨迹L有且仅有一个公共点,求直线L的方程.21.(14分)已知函数f(x)=x3+ax2﹣1(a∈R是常数).(1)设a=﹣3,x=x1、x=x2是函数y=f(x)的极值点,试证明曲线y=f(x)关于点对称;(2)是否存在常数a,使得∀x∈,|f(x)|≤33恒成立?若存在,求常数a的值或取值范围;若不存在,请说明理由.(注:曲线y=f(x)关于点M对称是指,对于曲线y=f(x)上任意一点P,若点P关于M 的对称点为Q,则Q在曲线y=f(x)上.)广东省江门市普通高中2015届高三上学期调考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知R为实数集,A={x|2x﹣3<3x},B={x|x≥2},则A∪B=()A.{x|x≥2}B.{x|x>﹣3} C.{x|2≤x<3} D.R考点:并集及其运算.专题:集合.分析:求出不等式2x﹣3<3x的解集A,再由并集的运算求出A∪B.解答:解:由2x﹣3<3x得,x>﹣3,则A={x|x>﹣3},又B={x|x≥2},则A∪B={x|x>﹣3},故选:B.点评:本题考查并集及其运算,属于基础题.2.(5分)i是虚数单位,则=()A.1 B.﹣i C.i D.﹣i考点:复数代数形式的乘除运算.专题:数系的扩充和复数.分析:利用复数代数形式的乘除运算法则求解.解答:解:=﹣﹣=.故选:D.点评:本题考查复数的乘除运算,是基础题,解题时要注意运算法则的合理运用.3.(5分)已知三个实数:、、c=log3,它们之间的大小关系是()A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.b>a>c考点:对数值大小的比较.专题:函数的性质及应用.分析:根据指数函数和对数函数的图象和性质,以0和1作为中间量,可比较出a,b,c 的大小.解答:解:∵>30=1、0<=1、c=log3<log31=0,∴a>b>c,故选:A点评:本题考查的知识点是指数式与对数式的大小比较,熟练掌握指数函数和对数函数的图象和性质,是解答的关键.4.(5分)已知是非零向量,,则“”是“”成立的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.非充分非必要条件D.充要条件考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断.专题:简易逻辑.分析:根据“”成立,得到•(﹣)=0,结合是非零向量,,推出,根据充要条件的判定方法可得结论.解答:解:∵,∴•(﹣)=0,∵是非零向量,,∴,故选:D.点评:题主要考查了数量积判断两个平面向量的垂直关系,以及必要条件、充分条件与充要条件的判断,属于基础题.5.(5分)如图,某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和半圆,则该几何体的体积为()A.4 B.8 C.2πD.4π考点:由三视图求面积、体积.专题:空间位置关系与距离.分析:根据几何体的三视图,得该几何体是底面为半圆的圆锥,求出几何体的体积即可.解答:解:根据几何体的三视图,得该几何体是底面为半圆的圆锥,∴该几何体的体积为V几何体=S底面h=××π××3=2π.故选:C.点评:本题考查了空间几何体的三视图的应用问题,解题时应根据三视图,得出该几何体是什么几何图形.6.(5分)在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,若∠A=75°,∠B=60°,c=10,则b=()A.5B.5C.10D.10考点:正弦定理.专题:解三角形.分析:由A与B的度数求出C的度数,根据sinB,sinC,以及c的值,利用正弦定理求出b的值即可.解答:解:∵在△ABC中,∠A=75°,∠B=60°,c=10,∴∠C=45°,由正弦定理=得:b===5,故选:B.点评:此题考查了正弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握正弦定理是解本题的关键.7.(5分)在同一直角坐标系中,直线=1与圆x2+y2+2x﹣4y﹣4=0的位置关系是()A.直线经过圆心B.相交但不经过圆心C.相切D.相离考点:直线与圆的位置关系.专题:直线与圆.分析:求出圆心到直线的距离大于零且小于半径,可得直线和圆相交但不经过圆心.解答:解:圆x2+y2+2x﹣4y﹣4=0,即(x+1)2+(y﹣2)2=9,表示以(﹣1,2)为圆心、半径等于3的圆.由于圆心到直线=1的距离为=2<3,故直线和圆相交但不经过圆心,故选:B.点评:本题主要考查直线和圆的位置关系,点到直线的距离公式的应用,属于基础题.8.(5分)已知函数f(x)=ax3﹣3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则a的取值范围是()A.(2,+∞)B.(1,+∞)C.(﹣∞,﹣2)D.(﹣∞,﹣1)考点:函数零点的判定定理.专题:综合题;导数的概念及应用.分析:分类讨论:当a≥0时,容易判断出不符合题意;当a<0时,由于而f(0)=1>0,x→+∞时,f(x)→﹣∞,可知:存在x0>0,使得f(x0)=0,要使满足条件f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则必须极小值f()>0,解出即可.解答:解:当a=0时,f(x)=﹣3x2+1=0,解得x=±,函数f(x)有两个零点,不符合题意,应舍去;当a>0时,令f′(x)=3ax2﹣6x=3ax(x﹣)=0,解得x=0或x=>0,列表如下:x (﹣∞,0) 0 (0,)(,+∞)f′(x)+ 0 ﹣ 0 +f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增∵x→﹣∞,f(x)→﹣∞,而f(0)=1>0,∴存在x<0,使得f(x)=0,不符合条件:f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,应舍去.当a<0时,f′(x)=3ax2﹣6x=3ax(x﹣)=0,解得x=0或x=<0,列表如下:x (﹣∞,)(,0)0 (0,+∞)f′(x)﹣ 0 + 0 ﹣f(x)单调递减极小值单调递增极大值单调递减而f(0)=1>0,x→+∞时,f(x)→﹣∞,∴存在x0>0,使得f(x0)=0,∵f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,∴极小值f()>0,化为a2>4,∵a<0,∴a<﹣2.综上可知:a的取值范围是(﹣∞,﹣2).故选:C.点评:本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论的思想方法,考查了推理能力和计算能力,属于难题.二、填空题:本大题共5小题,考生作答6小题,每小题5分,满分25分.(一)必做题(9~13题)9.(5分)双曲线9x2﹣16y2=144的离心率等于.考点:双曲线的简单性质.专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:双曲线方程化为标准方程,可得a=5,b=3,c=4,从而可求双曲线的离心率.解答:解:双曲线9x2﹣16y2=144可化为,所以a=4,b=3,c=5,所以离心率e==.故答案为:.点评:本题考查双曲线的标准方程,考查双曲线的几何性质,确定双曲线的几何量是关键.10.(5分)△ABC是等腰直角三角形,已知A(1,1),B(1,3),AB⊥BC,点C在第一象限,点(x,y)在△ABC内部,则点C的坐标为(3,3),z=2x﹣y的最大值是3.考点:简单线性规划.专题:不等式的解法及应用.分析:根据等腰直角三角形的定义先求出C的坐标,利用线性规划的知识即可得到结论.解答:解:∵A(1,1),B(1,3),AB⊥BC,点C在第一象限,∴|AB|=3﹣1=2,设C(x,y),则x>0,y>0,∵△ABC是等腰直角三角形,∴|BC|=|x﹣1|=2,解得x=3或x=﹣1(舍),即C(3,3),由z=2x﹣y得y=2x﹣z,平移直线y=2x﹣z,由图象可知当直线y=2x﹣z经过点C时,直线y=2x﹣z的截距最小,此时z最大,此时z=2x﹣y=2×3﹣3=3,故答案为:(3,3),3点评:本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决本题的关键.11.(5分)如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,M、N分别是CD、CC1的中点,则异面直线A1M 与DN所成的角的大小是90°.考点:异面直线及其所成的角.专题:计算题.分析:以D为坐标原点,建立空间直角坐标系,利用向量的方法求出与夹角求出异面直线A1M与DN所成的角.解答:解:以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.设棱长为2,则D(0,0,0),N(0,2,1),M(0,1,0),A1(2,0,2),=(0,2,1),=(﹣2,1,﹣2)•=0,所以⊥,即A1M⊥DN,异面直线A1M与DN所成的角的大小是90°,故答案为:90°.点评:本题考查空间异面直线的夹角求解,采用了向量的方法.向量的方法能降低空间想象难度,但要注意有关点,向量坐标的准确.否则容易由于计算失误而出错.12.(5分)若f(x)=,则f(x)的最小值是﹣1.考点:函数的最值及其几何意义.专题:函数的性质及应用.分析:根据分段函数的表达式,分别求出对应的取值范围即可得到结论.解答:解:作出函数f(x)的图象如图:当x≤0,f(x)=﹣x≥0,当x>0时,f(x)=x2﹣2x=(x﹣1)2﹣1≥﹣1,故当x=1时,函数f(x)取得最小值为﹣1,故答案为:﹣1点评:本题主要考查函数最值的求解,根据分段函数的表达式结合函数的性质是解决本题的关键.13.(5分)已知数列{a n}满足a1=﹣,a n=1﹣(n>1),计算并观察数列{a n}的前若干项,根据前若干项的变化规律推测,a2015=5.考点:归纳推理.专题:计算题;推理和证明.分析:确定数列{a n}是以3为周期的周期数列,即可得出结论.解答:解:∵a1=﹣,a n=1﹣,∴a2=5,a3=,a4=﹣,∴数列{a n}是以3为周期的周期数列,∴a2015=a2=5,故答案为:5.点评:本题考查归纳推理,确定数列{a n}是以3为周期的周期数列是解题的关键.三.选做题(14、15题,考生只能从中选做一题)14.(5分)计算定积分:2.考点:定积分.专题:导数的概念及应用.分析:根据的导数为得到原函数是,写出当自变量取两个不同的值时,对应的函数值,让两个数字相减得到结果.解答:解:=4﹣2=2故答案为:2点评:本题考查定积分,关键是求出原函数,属于一道基础题.15.已知定义在区间(﹣π,π)上的函数f(x)=xsinx+cosx,则f(x)的单调递增区间是,.考点:两角和与差的正弦函数.专题:导数的综合应用;三角函数的图像与性质.分析:根据求导公式和题意求出f′(x),结合定义域和余弦函数的性质求出f′(x)>0是x的范围,奇求出函数f(x)的单调递增区间.解答:解:由题意得,f′(x)=sinx+xcosx﹣sinx=xcosx,根据余弦函数的性质得,当或时,f′(x)>0,所以f(x)的单调递增区间是和,故答案为:和.点评:本题考查余弦函数的性质,以及导数与函数的单调性关系,属于中档题.三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(12分)已知函数f(x)=2sinx(sinx+cosx),x∈R.(1)求f(x)的最小正周期T和最大值M;(2)若,求cosα的值.考点:三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法.专题:三角函数的求值;三角函数的图像与性质.分析:(1)化简可得f(x)=,可求最小正周期,最大值;(2)依题意得,即,从而可求,.解答:解:(1)∵f(x)=sin2x+1﹣cos2x…(2分),=…(4分)∴最小正周期…(5分),最大值…(6分)(2)依题意,…(7分)即…(8分),∴…(10分)∴…(12分)点评:本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法,属于基本知识的考查.17.(14分)已知{a n}是等差数列,a2=3,a3=5.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)对一切正整数n,设b n=,求数列{b n}的前n项和S n.考点:数列的求和.专题:等差数列与等比数列.分析:(1)根据等差数列的通项公式由条件即可求出首项a1=1,公差d=2,所以可得到a n=2n﹣1;(2)根据a n先求出b n并将它变成,看到该通项之后,可以想到能否在求和中使得一些项前后抵消,并且通过求前几项的和会发现是可以的,并且是有规律的,根据这个规律即可求出{b n}的前n项和S n.解答:解:(1)由得,a1=1,d=2;∴a n=1+2(n﹣1)=2n﹣1;(2)=;∴S n=b1+b2+b3+…+b n=;通过前几项的求和规律知:若n为奇数,则;若n为偶数,则.点评:考查等差数列的通项公式,以及裂项的方法求数列前n项和,以及通过前几项求和的规律找到求数列前n项和的方法.18.(14分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.(1)证明PA∥平面EDB;(2)证明PB⊥平面EFD;(3)求二面角C﹣PB﹣D的大小.考点:用空间向量求平面间的夹角;直线与平面垂直的判定.专题:空间位置关系与距离;空间角.分析:方法一:(1)连结AC,AC交BD于O,连结EO,利用三角形中位线的性质,可得PA∥EO,利用线面平行的判定可得结论;(2)证明DE⊥PC,BC⊥平面PDC,DE⊥平面PBC,可得DE⊥PB,利用线面垂直的判定定理,可得PB⊥平面EFD;(3)确定∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角,利用正弦函数即可求解;方法二:建立空间直角坐标系,D为坐标原点,设DC=a(1)连结AC,AC交BD于G,连结EG,证明,这表明PA∥EG,可得结论;(2)利用向量的数量积公式,证明PB⊥DE,再利用线面垂直的判定定理,可得结论;(3)确定∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角,利用向量的夹角公式,即可解决.解答:方法一:(1)证明:连结AC,AC交BD于O,连结EO∵底面ABCD是正方形,∴点O是AC的中点在△PAC中,EO是中位线,∴PA∥EO而EO⊂平面EDB且PA⊄平面EDB,所以,PA∥平面EDB(2)证明:∵PD⊥底面ABCD且DC⊂底面ABCD,∴PD⊥DC∵PD=DC,可知△PDC是等腰直角三角形,而DE是斜边PC的中线,∴DE⊥PC ①同样由PD⊥底面ABCD,得PD⊥BC∵底面ABCD是正方形,有DC⊥BC,∴BC⊥平面PDC而DE⊂平面PDC,∴BC⊥DE ②由①和②推得DE⊥平面PBC而PB⊂平面PBC,∴DE⊥PB又EF⊥PB且DE∩EF=E,所以PB⊥平面EFD(3)解:由(2)知,PB⊥DF,故∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角由(2)知,DE⊥EF,PD⊥DB设正方形ABCD的边长为a,则,在Rt△PDB中,在Rt△EFD中,,∴所以,二面角C﹣PB﹣D的大小为;方法二:如图所示建立空间直角坐标系,D为坐标原点,设DC=a(1)证明:连结AC,AC交BD于G,连结EG依题意得∵底面ABCD是正方形,∴G是此正方形的中心,故点G的坐标为且∴,这表明PA∥EG而EG⊂平面EDB且PA⊄平面EDB,∴PA∥平面EDB(2)证明;依题意得B(a,a,0),又,故∴PB⊥DE由已知EF⊥PB,且EF∩DE=E,所以PB⊥平面EFD(3)解:设点F的坐标为(x0,y0,z0),,则(x0,y0,z0﹣a)=λ(a,a,﹣a)从而x0=λa,y0=λa,z0=(1﹣λ)a所以由条件EF⊥PB知,,即,解得∴点F的坐标为,且,∴即PB⊥FD,故∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角∵,且,,∴∴所以,二面角C﹣PB﹣D的大小为.点评:本题考查线面平行、线面垂直、考查面面角,考查学生分析解决问题的能力,考查学生的计算能力,属于中档题.19.(12分)一艘船每小时的燃料费与船的速度的平方成正比,如果此船速度是10km/h,那么每小时的燃料费是80元.已知船航行时其他费用为500元/时,在100km航程中,航速多少时船行驶总费用最少?此时总费用多少元?考点:基本不等式在最值问题中的应用.专题:计算题;应用题;导数的综合应用;不等式的解法及应用.分析:设每小时燃料费与航速平方的比例系数为k,由条件求得k,设航速为xkm/h时,总费用为y元,求得y=80x+,可由基本不等式或函数的导数,即可得到最小值.解答:解:设每小时燃料费与航速平方的比例系数为k,则80=k×102,解得,设航速为xkm/h时,总费用为y元,则=.(方法一)令,解得x=25(负值舍去),当0<x<25时,y′<0,x>25时,y′>0,∴x=25是极小值点,也是最小值点,此时(元).(方法二)∵x>0,∴=4000(元),等号成立当且仅当,解得x=25(负值舍去).答:航速为25km/h时,总费用最少,此时总费用为4000元.点评:本题考查函数的最值的应用题,考查运用导数求最值,运用基本不等式求最值,考查运算能力,属于中档题.20.(14分)在平面直角坐标系xoy中,点A,B的坐标分别是(0,﹣3),(0,3)直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是﹣.(1)求点M的轨迹L的方程;(2)若直线L经过点P(4,1),与轨迹L有且仅有一个公共点,求直线L的方程.考点:轨迹方程;直线的一般式方程.专题:计算题.分析:(1)求M点的轨迹方程,所以设M(x,y),根据直线AM,BM的斜率之积是﹣,即可求得关于x,y的等式,即点M的轨迹方程:x2+2y2=18;(2)若直线L不存在斜率,则容易判断它和轨迹L有两个交点,不合题意;存在斜率时设斜率为k,然后根据直线L经过点P可写出直线L的方程,将直线方程带入轨迹方程可得到关于x的方程,让该方程有一个解求k即可得到直线L的方程.解答:解:(1)设M(x,y),则:(x≠0);∴点M的轨迹方程为:x2+2y2=18(x≠0);(2)若直线L不存在斜率,则方程为:x=4;x=4带入轨迹方程可得y=±1,即直线L和轨迹L有两个公共点,不合题意;∴设直线L斜率为k,则方程为:y=kx﹣4k+1,带入轨迹方程并整理得:(1+2k2)x2+4k(1﹣4k)x+16(2k2﹣k﹣1)=0;∵直线L与轨迹L只有一个公共点,所以:△=16k2(1﹣4k)2﹣64(1+2k2)(2k2﹣k﹣1)=0;解得k=﹣2;∴直线L的方程为:y=﹣2x+9.点评:考查轨迹与轨迹方程的概念,以及求轨迹方程的方法,斜率公式,直线的点斜式方程,一元二次方程有一个解时的判别式的取值如何.21.(14分)已知函数f(x)=x3+ax2﹣1(a∈R是常数).(1)设a=﹣3,x=x1、x=x2是函数y=f(x)的极值点,试证明曲线y=f(x)关于点对称;(2)是否存在常数a,使得∀x∈,|f(x)|≤33恒成立?若存在,求常数a的值或取值范围;若不存在,请说明理由.(注:曲线y=f(x)关于点M对称是指,对于曲线y=f(x)上任意一点P,若点P关于M 的对称点为Q,则Q在曲线y=f(x)上.)考点:利用导数研究曲线上某点切线方程.专题:导数的综合应用.分析:(1)把a=﹣3代入函数解析式,求出函数的导函数,得到导函数的零点,求出M 的坐标,求出曲线y=f(x)上任意一点关于M对称的点Q,由Q的坐标适合函数解析式说明结论成立;(2)把|f(x)|≤33恒成立转化为,然后构造两个函数,,由导数求其最值得答案.解答:(1)证明:当a=﹣3时,f(x)=x3﹣3x2﹣1,f′(x)=3x2﹣6x,由f′(x)=0,得x1=0,x2=2,∴=M(1,﹣3),曲线y=f(x)上任意一点关于M对称的点为,则,∴点Q在曲线y=f(x)上,∴曲线y=f(x)关于点M对称;(2)解:由|f(x)|≤33,即|x3+ax2﹣1|≤33,得﹣33≤x3+ax2﹣1≤33,x=0时,不等式恒成立;x≠0时,不等式等价于,作,,则,,解,得x1=4,解,得.列表:x﹣+ 0 ﹣g1(x)↘↗极大值↘+﹣﹣﹣g2(x)↗↘↘g1(﹣1)=﹣31,g1(4)=﹣6,在的最大值为﹣6;g2(﹣1)=35,,在的最小值为.综上所述,a的取值范围为.点评:本题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率,会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值,掌握不等式恒成立时所取的条件,是压轴题.。
广东省2015年高考一模数学(理)试题分类汇编:三角函数(含答案)
广东省各市2015年高考一模数学理试题分类汇编三角函数一、选择题1、(2015届江门市)函数)sin()(ϕ+=x x f 在区间)32, 3(ππ上单调递增,常数ϕ的值可能是A .0B .2π C .π D .23π2、(2015届汕头市)在C ∆AB 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且6πA =,12πB =,3a =,则c 的值为( )A .B .32C .D .6 3、(2015届中山市)在△ABC 中,已知b =4 ,c =2 ,∠A=120°,则a = ( )A .2B .6C .2 或6D .27选择题参考答案1、D2、A3、D 二、填空题1、(2015届广州市)已知tan 2α=,则tan 2α的值为2、(2015届揭阳市)在△ABC 中,A B C ∠∠∠、、的对边分别为a b c 、、,若3a =,2B A ∠=∠,cos A =,则b =______ 3、(2015届茂名市)已知,,a b c 分别是△ABC 的三个内角A ,B ,C 所对的边,若a =3,C =120º,△ABC 的面积S ,则c 为___4、(2015届梅州市)已知,,a b c 分别是△ABC 三个内角A ,B ,C 所对的边,若1,a b ==A +C =2B ,则sinA =___5、(2015届佛山市)如图1,为了测量河对岸A 、B 两点之间的距离,观察者找到一个点C ,从C 点可以观察到点A 、B ;找到一个点D ,从D 点可以观察到点A 、C ;找到一个点E ,从E点可以观察到点B、C;并测量得到一些数据:2CD =,CE =45D ∠=︒,105ACD ∠=︒,48.19ACB ∠=︒,75BCE ∠=︒,E ∠=60︒,则A 、B 两点之间的距离为_________.(其中cos 48.19︒取近似值23)填空题参考答案1、43-2、3、74、125三、解答题1、(2015届广州市)已知函数()()sin 0,06f x A x A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭的图象在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为()02x ,和022x ,π⎛⎫+- ⎪⎝⎭. (1)求函数()f x 的解析式; (2)求0sin 4x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.2、(2015届揭阳市)已知函数()2sin()(0,)6f x x x R ωωπ=+>∈的最小正周期为π.(1)求ω的值; (2)若2()3f α=,(0,)8πα∈,求cos 2α的值.3、(2015届茂名市)已知函数()sin 2cos cos 2sin (,0)f x x x x R ϕϕϕπ=+∈<<,()4f π= (1)求f (x )的解析式; (2)若5(),(,)23132f αππαπ-=∈,求sin()4πα+的值。
2015江门一模 广东省江门市2015届高三3月模拟数学文试题 Word版含答案
1江门市2015年高考模拟考试数学(文科)2015.3本试卷共4页,21小题,满分150分,考试用时120分钟。
注意事项:1. 答题前,考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上。
2. 做选择题时,必须用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。
3. 非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔,将答案写在答题卡规定的位置上。
4. 所有题目必须在答题卡上指定位置作答,不按以上要求作答的答案无效。
5. 考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后,将答题卡交回。
参考公式:锥体的体积公式Sh V 31=,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 如果事件A 、B 互斥,那么)()()(B P A P B A P +=+.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.集合{}72|<<=x x A ,{}103|<≤=x x B ,=B AA .)10 , 2(B .)7 , 3[C .]3 , 2(D .)10 , 7(2. i 是虚数单位,=++i i11A .21i +B .21i -C .231i +D .21i --3.下列函数中,奇函数是A .x x f 2)(=B .x x f 2log )(=C .1sin )(+=x x fD .x x x f tan sin )(+= 4.已知向量)4 , 3( -=a ,) , 1( m b =,若0) ( =-⋅b a a ,则=m A .211 B .211- C .7 D .7- 5.如图1,四棱柱1111D C B A ABCD -中,E 、F 分 别是1AB 、1BC 的中点.下列结论中,正确的是 A .1BB EF ⊥ B .//EF 平面11A ACC C .BD EF ⊥ D .⊥EF 平面11B BCC6.某人午睡醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台整点报时,他等待的时间不多于15分钟的概率是 A .21 B .31 C .41 D .61秘密★启用前 试卷类型:B7.若变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+4352y x y x ,则y x z +=的取值范围是A .]7 , 4[B .]7 , 1[-C .]7 , 25[ D .]7 , 1[8.将函数)3sin()(π+=x x f 的图象向右平移ϕ(0>ϕ)个单位长度,得到的曲线经过原点,则ϕ的最小值为 A .12π B .6π C .4π D .3π9.下列命题中,错误..的是 A .在ABC ∆中,B A >是B A sin sin >的充要条件; B .在锐角ABC ∆中,不等式B A cos sin >恒成立;C .在ABC ∆中,若B b A a cos cos =,则ABC ∆必是等腰直角三角形;D .在ABC ∆中,若︒=60B ,ac b =2,则ABC ∆必是等边三角形.10.设)(x f ,)(x g 都是定义在实数集上的函数,定义函数))((x g f :R x ∈∀,))(())((x g f x g f = .若⎩⎨⎧≤>=.0 ,,0 , )(2x x x x x f ,⎩⎨⎧>≤=.0 ,ln ,0 , )(x x x e x g x ,则 A .)())((x f x f f = B .)())((x f x g f =C .)())((x g x f g =D .)())((x g x g g =二、填空题:本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分. (一)必做题(11~13题)11.命题“若a 、b 都是偶数,则b a +是偶数”的逆命题是 . 12.数列{}n a 满足21=a ,*N n ∈∀,nn a a -=+111,则=2015a . 13.某班甲、乙两位同学升入高中以来的5次数学考试成绩的茎叶图如图,则乙同学这5次数学成绩的中位数是 ;已知两位同学这5次成绩的平均数都是84,成绩比较稳定的是 (第二个空填“甲”或“乙”).(二)选做题(14、15题,考生只能从中选做一题)14.(坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的方程是5222=+y x ,2C 的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧-==ty t x 3(t 为参数),则1C 与2C 交点的直角坐标是 .15.(几何证明选讲选做题)如图2,⊙O 的两条割线与⊙O 交于A 、B 、C 、D ,圆心O 在PAB 上,B 若6=PC,317=CD,12=PO,则=AB.三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题满分12分)已知函数xxxfωωcos3sin)(+=的最小正周期为π,Rx∈,0>ω是常数.⑴求ω的值;⑵若56)122(=+πθf,2,0(πθ∈,求θ2sin.17.(本小题满分13分)从某企业生产的某种产品中抽取20件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量得到如图3的频率分布直方图,从左到右各组的频数依次记为1A,2A,3A,4A,5A.⑴求图3中a的值;⑵图4是统计图3中各组频数的一个算法流程图,求输出的结果S;⑶从质量指标值分布在)90,80[、)120,110[的产品中随机抽取2件产品,求所抽取两件产品的质量指标值之差大于10的概率.18.(本小题满分14分)如图5,直角梯形ABCD,090=∠ADC,CDAB//,221===ABCDAD,点E 为AC的中点,将ACD∆沿AC折起,使折起后的平面ACD与平面ABC垂直(如图6).在图6所示的几何体ABCD-中:⑴求证:⊥BC平面ACD;⑵点F在棱CD上,且满足//AD平面BEF,求几何体BCEF-的体积.19.(本小题满分13分)已知{}n a 是公差为d 的等差数列,*N n ∈∀,n a 与1+n a 的等差中项为n .⑴求1a 与d 的值;⑵设n n n a b ⋅=2,求数列{}n b 的前n 项和n S . 20.(本小题满分14分)设A 是圆422=+y x 上的任意一点, l 是过点A 与x 轴垂直的直线,D 是直线 l 与x轴的交点,点M 在直线 l 上,且满足DA DM 23=.当点A 在圆上运动时,记点M 的轨迹为曲线C .⑴求曲线C 的标准方程;⑵设曲线C 的左右焦点分别为1F 、2F ,经过2F 的直线m 与曲线C 交于P 、Q 两点,若21212||||||Q F P F PQ +=,求直线m 的方程. 21.(本小题满分14分)已知函数4)(23++=ax x x f (R a ∈是常数),曲线)(x f y =在点))1( , 1(f 处的切线在y 轴上的截距为5.⑴求a 的值;⑵0≤k ,讨论直线kx y =与曲线)(x f y =的公共点的个数.评分参考一、选择题 BADCB CDDCA二、填空题 ⒒若b a +是偶数,则a 、b 都是偶数(对1句3分;表达有误适当扣分) ⒓1- ⒔82,甲(若两空一对一错,给3分)⒕)1 , 3(-(若坐标符号错误给2分,其他不给分) ⒖16三、解答题⒗⑴)3sin(2cos 3sin )(πωωω+=+=x x x x f ……3分(振幅1分,辅助角2分)由)(x f 的最小正周期πωπ==2T ……4分,得2=ω……5分⑵由⑴知)32sin(2)(π+=x x f56cos 2)2sin(2]3)122(2sin[2)122(==+=++⨯=+θπθππθπθf ……8分(前3个等号每个1分),53cos =θ……9分 ∵)2, 0(πθ∈,∴54cos 1sin 2=-=θθ……10分 2524cos sin 22sin ==θθθ……12分(公式1分,代入求值1分)⒘⑴依题意,110)04.003.002.02(=⨯+++a ……2分解得005.0=a ……3分⑵12010005.01=⨯⨯=A ,82010040.02=⨯⨯=A ,62010030.03=⨯⨯=A ,42010020.04=⨯⨯=A ,12010005.05=⨯⨯=A ……6分(2A 、3A 、4A 各1分)输出的18432=++=A A A S ……8分(列式、结果各1分)⑶记质量指标在)120 , 110[的4件产品为1x ,2x ,3x ,4x ,质量指标在)90 , 80[的1件产品为1y ,则从5件产品中任取2件产品的结果为:()21,x x ,()31,x x ,()41,x x ,()11,y x ,()32,x x ,()42,x x ,()12,y x ,()43,x x , ()13,y x ,()14,y x ,共10种……10分 记“两件产品的质量指标之差大于10”为事件A ,则事件A 中包含的基本事件为:()11,y x ,()12,y x ,()13,y x ,()14,y x 共4种……11分∴52104)(==A P ……12分 答:从质量指标……,……的概率为52……13分 ⒙⑴2222=+=CD AD AC ……1分,045=∠=∠ACD BAC ,4=AB ,845cos 20222=⨯⨯-+=AB AC AB AC BC ……3分(其他方法求值也参照给分)∵16222=+=BC AC AB ,∴090=∠ACB (BC AC ⊥)……4分∵平面⊥ACD 平面ABC ,平面 ACD 平面AC ABC =, ∴⊥BC 平面ACD ……6分⑵∵//AD 平面BEF ,⊂AD 平面ACD ,平面 ACD 平面EF BEF =, ∴EF AD //……8分∵点E 为AC 的中点,∴EF 为ACD ∆的中位线……9分由⑴知,几何体BCE F -的体积BC S V V CEF CEF B BCE F ⨯⨯==∆--31……11分 2141==∆∆ACD CEF S S ……13分, 32222131=⨯⨯=-BCE F V ……14分⒚⑴依题意,d n a a n )1(1-+=……1分(方法一)由n a 与1+n a 的等差中项为n 得n a a n n =++21……2分即n d n a nd a d n a =-+=++-+)21(2][])1([111……3分⎪⎩⎪⎨⎧=-=0211da d ……5分,解得211=a ,1=d ……6分 (方法二)由n a 与1+n a 的等差中项为n 得,1a 与2a 的等差中项为1,2a 与3a 的等差中项为2……3分⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+2232122132121d a a a d a a a ……5分,解得211=a ,1=d ……6分 ⑵由⑴得21-=n a n ,1222--⨯=⋅=n n n n n n a b ……7分(方法一)记n n n n n T 22)1(232221132⨯+⨯-++⨯+⨯+⨯=- ,则143222)1(2322212+⨯+⨯-++⨯+⨯+⨯=n n n n n T ……8分两式相减得,13222222+⨯+-----=n n n n T ……10分22211+-⨯=++n n n ……11分数列{}12-n 的前n 项和12222112-=++++-n n ……12分 ∴3232)12()222(111+⨯-⨯=--+-⨯=+++n n n n n n n n S ……13分 (方法二))22(]22)1[()223()222()221(12123120----⨯+-⨯-++-⨯+-⨯+-⨯=n n n n n n n S )22(]22)1[()223()222()221(211342312n n n n n n n S -⨯+-⨯-++-⨯+-⨯+-⨯=+- ……9分,两式相减得)22()212121()221(1320n n n n n S -⨯+⨯++⨯+⨯--⨯-=+ ……11分32321+⨯-⨯=+n n n ……13分⒛⑴设) , (y x M 是曲线C 上任意一点,则)0 , (x D ……1分,对应圆上的点为) , (0y x A ,由23=得) , 0(23) , 0(0y y =……2分 y y 3320=……3分,依题意,4202=+y x ,4)332(22=+y x ……4分曲线C 的标准方程为13422=+y x ……5分 ⑵由⑴得1=c ,)0 , 1(1-F ,)0 , 1(2F ……6分①若m 为直线1=x ,代入13422=+y x 得23±=y ,即)23 , 1(P ,)23 , 1(-Q ……7分 直接计算知9||2=PQ ,225||||2121=+Q F P F ,21212||||||Q F P F PQ +≠,1=x 不符合题意……8分②若直线m 的斜率为k ,直线m 的方程为)1(-=x k y由⎪⎩⎪⎨⎧-==+)1(13422x k y y x 得0)124(8)43(2222=-+-+k x k x k ……9分 设) , (11y x P ,) , (22y x Q ,则2221438k k x x +=+,222143124kk x x +-=⋅……10分 由21212||||||Q F P F PQ +=得,011=⋅Q F P F ……11分即0)1)(1(2121=+++y y x x ,0)1()1()1)(1(2121=-⋅-+++x k x k x x0)1())(1()1(2212212=+++-++k x x k x x k ……12分代入得0438)1()143124)(1(222222=+⋅-+++-+kk k k k k ,即0972=-k ……13分 解得773±=k ,直线m 的方程为)1(773-±=x y ……14分 21.⑴R x ∈∀,ax x x f 23)(2/+=……1分,a f 23)1(/+=,a f +=5)1(切线方程为)1)(23()5(-+=+-x a a y ……2分切线在y 轴上的截距5)23()5(=+-+a a ……3分,解得3-=a ……4分 ⑵由⑴得43)(23+-=x x x f ,解063)(2/=-=x x x f 得0=x ,2=x ……5分x )0 , (-∞ 0)2 , 0( 2 ) , 2(∞+)(/x f+- 0 +)(x f↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗……7分记43)()(23+--=-=kx x x kx x f x g ,则直线kx y =与曲线)(x f y =的公共点的个数即为函数43)(23+--=kx x x x g 零点的个数①0<k 时, 4)0(=g ,k g =-)1(,04)1()0(<=-k g g ,)(x g 在)0 , 1(-至少有一个零点……9分,∵kx x f x g -=)()(在)0 , (-∞单调递增,∴)(x g 在)0 , (-∞上有且仅有一个零点……10分) , 0[∞+∈x 时,0)2()(=≥f x f (等号当且仅当2=x 时成立)……11分,从而0)()(>-=kx x f x g ,)(x g 在) , 0[∞+上没有零点……12分②0=k 时,)()(x f x g =,由①讨论知,)(x g (即)(x f )有两个零点。
广东省江门市2015届高三3月模拟考试数学(理)试题
参考公式:锥体的体积公式Sh V 31=,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 如果事件A 、B 互斥,那么)()()(B P A P B A P +=+.用最小二乘法求线性回归方程系数公式,∑∑==-⋅-=n i i ni i i xn x yx n yx b 1221,x b y a-=.一、选择题:本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. i 是虚数单位,=+2)1 (1i ( ) A .2i B .2i - C .21D .i 2 【答案】B 【解析】 试题分析:222111( 1 )12222i ii i i i i ====-+++,选B.考点:复数的运算.2.函数)(x f 的定义域为实数集R ,“)(x f 是奇函数”是“|)(|x f 是偶函数”的 ( ) A .充分非必要条件 B .必要非充分条件 C .非充分非必要条件 D .充要条件 【答案】A 【解析】试题分析:)(x f 为奇函数,则()()f x f x -=-,所以()()()f x f x f x -=-=,因此()f x 是偶函数,但当()f x 为偶函数时,()f x 也为偶函数,故由()f x 也为偶函数不能得出结论)(x f 为奇函数,因此本题选A.考点:充分必要条件.3.{}n a 是等差数列,1a 与2a 的等差中项为1,2a 与3a 的等差中项为2,则公差=d ( ) A .2 B .23 C .1 D .21 【答案】C 【解析】试题分析:由已知122a a +=,234a a +=,则3122a a d -==,1d =.选C. 考点:等差数列的性质与定义. 4.函数)sin()(ϕ+=x x f 在区间)32, 3(ππ上单调递增,常数ϕ的值可能是( ) A .0 B .2π C .π D .23π【答案】D考点:三角函数的单调性,诱导公式.5.双曲线C :1422=-y x 的两条渐近线夹角(锐角)为θ,则=θtan ( ) A .158 B .815 C .43 D .34 【答案】D 【解析】试题分析:双曲线的两条渐近线方程为12y x =±,斜率是12±,因此11()422tan 1131()22θ--==+⨯-,选D. 考点:双曲线的渐近线,两条直线的夹角.6.一个四面体如图1,若该四面体的正视图(主视图)、侧视图(左视图)和俯视图都是直角边长为1的等腰直角三角形,则它的体积=V ( )A .21 B .31 C .61 D .121 【答案】C 【解析】试题分析:如图,由题意知1AB AC CD ===,且AB ⊥平面ACD ,DC ⊥平面ABC ,因此111111326V =⨯⨯⨯⨯=,选C.考点:三视图,棱锥的体积. 7.16)(yx xy -的二项展开式17个项中,整式的个数是 ( )A .1B .3C .5D .7 【答案】B 【解析】试题分析:二项展开式的通项为33816162211616((1)k k kk k k kk T C C x y ---+==-,(,016)k Z k ∈≤≤,要使得它为整式,则382k -与3162k -均为非负整数,即38162k ≤≤,6,8,10k =,故有三项,选B.考点:二项式定理.8.设1≥>b a ,集合{}a x Z x x A <<∈=0 , |,{}b x b Z x x B <<-∈= , |,记“从集合A 中任取一个元素x ,B x ∉”为事件M ,“从集合A 中任取一个元素x ,B x ∈”为事件N .给定下列三个命题:①当5=a ,3=b 时,21)()(==N P M P ; ②若1)(=M P ,则2=a ,1=b ; ③1)()(=+N P M P 恒成立.其中,为真命题的是 ( ) A .①② B .①③ C .②③ D .①②③ 【答案】B 【解析】试题分析:①中{1,2,3,4},{2,1,0,1,2}A B ==--,1()()2P M P N ==,正确;②中()1P M =,说明A B =∅,2,1a b ==符合题意,但3,1a b ==也符合题意,故②错误;③显然M 和N 是相互对立的两个事件,因此有()()1P M P N +=,③正确.选B. 考点:古典概率,对立事件.二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分. (一)必做题(9~13题)9.不等式5|2||1|≥-++x x 的解集为 . 【答案】) , 3[]2 , (∞+--∞ 或{}32|≥-≤x x x 或 【解析】试题分析:21,2123,1221,1x x x x x x x -≥⎧⎪++-=-≤<⎨⎪-+<-⎩,当2x ≥时,2153x x -≥⇒≥,12x -≤<时不等式无解,当1x <-时,2152x x -+≥⇒≤-,综上有2x ≤-或3x ≥. 考点:解绝对值不等式.10.已知抛物线C :x y 82=的焦点为F ,P 是C 上一点,若P 在第一象限,8||=PF ,则点P 的坐标为 . 【答案】)34 , 6( 【解析】试题分析:抛物线的焦点为(2,0)F ,设P 点坐标为00(,)x y ,则028PF x =+=,06x =,0y =,即P .考点:抛物线的几何性质.11.若变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+00122y x y x ,则y x z 2+=的最大值=M .【答案】5 【解析】试题分析:如图作出约束条件表示的可行域,线段,OA OB ,圆弧AB 围成的封闭区域(含边界),由2z x y =+得1122y x z =-+,直线1122y x z =-+的截距越大,则z 取值越大,作直线:20l x y +=,把直线l 向上平移到与圆弧AB 相切时,z考点:线性规划的应用.12.运行如图2所示的程序框图,输出的结果=S .【答案】62 【解析】试题分析:根据程序,(,)k S 的值依次为(1,0),(2,2),(3,6),(4,14),(5,30),(6,32),此时有5k >,因此输出62S =. 考点:程序框图.13.已知x 与y 之间的几组数据如下表:假设根据上表数据所得线性回归方程为a x b y +=,根据中间两组数据(4,3)和(5,4)求得的直线方程为a bx y +=,则b b ____ ,a a ____.(填“>”或“<”)【答案】<,> 【解析】试题分析:由数据(4,3)和(5,4)求得的直线方程为1y x =-,而由图表中数据所得线性回归方程为0.70.35y x =+,所以,b b a a <>. 考点:线性回归方程.(二)选做题(14、15题,考生只能从中选做一题)14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线2=ρ上到直线1)4cos(=-πθρ的距离为1的点的个数是 . 【答案】3 【解析】试题分析:曲线2ρ=的直角坐标方程为224x y +=,表示圆心为(0,0),半径为2的圆,直线1)4cos(=-πθρ的直角坐标方程为0x y +=,圆心到直线的距离为1d ==,因此与直线0x y +=平行且距离为1的直线有两条,一条与圆相交,一条与圆相切,所求点有3个.考点:极坐标方程与直角坐标方程的互化,直线与圆的位置关系.15.(几何证明选讲选做题)如图3,圆O 的弦AB 、CD 相交于点P ,若2==AD AC ,3=PB ,则=AB .【答案】4 【解析】试题分析:如图,连接BD ,由∵AC AD =∴ACD ADC ∠=∠,∴ABD ACD ADC ∠=∠=∠,∴ADP ABD ∆∆,AD AP AB AD=,即2AD AB AP =⋅,所以22(3)AB AB =⋅-,解得4AB =.考点:圆周角,三角形相似.三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分12分)已知ABC ∆顶点的直角坐标分别是)5 , 3(A 、)1 , 0(B 、)7 , 8(-C . ⑴求B cos 的值;⑵若)5 , 2(--=,证明:B 、C、D 三点共线.【答案】(1)(2)见解析. 【解析】∵8011710--=---(或101=+),∴(D 在BC 上)B 、C 、D 三点共线……12分考点:余弦定理(或向量的数量积),三点共线问题. 17.(本小题满分13分)某树苗培育基地为了解其基地内榕树树苗的长势情况,随机抽取了100株树苗,分别测出它们的高度(单位:cm ),并将所得数据分组,画出频率分布表如下:⑵估计该基地榕树树苗平均高度;⑶基地从上述100株榕树苗中高度在[108,112)范围内的树苗中随机选出5株进行育种研究,其中在[110,112)内的有X 株,求X 的分布列和期望.【答案】(1)32,0.32a b ==;(2)105.02cm ; (3)X 的分布列为X 的期望53【解析】试题分析:(1)在表格中可知,频数之和为100,频率之和为1,因此易求得,a b ;(2)求平均高度,一般中区间的中值乘以区间的频数相加再除以总数100,即得;(3)在区间[110,112)上只有3棵,因此X 的可能取值分别为0,1,2,3,()P X i =就是从9棵树苗中任意选取5棵,恰好有i 棵在区间[110,112)上的概率,这属于古典概型,53659()i iC C P X i C -==,最后可利用数学期望公式求得X 的期望.试题解析:⑴3236241817100=-----=a ,32.010032==b ……2分 ⑵估计该基地榕树树苗平均高度为02.1051003111610932107241051810317101=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯(cm )……6分(列式2分,求值1分,文字说明与单位完整1分。
2015江门一模_广东省江门市2015届高三3月模拟数学理试题_Word版含答案
江门市2015年高考模拟考试数学(理科) 2015.3本试卷共4页,21小题,满分150分,考试用时120分钟。
注意事项:1. 答题前,考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上。
2. 做选择题时,必须用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。
3. 非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔,将答案写在答题卡规定的位置上。
4. 所有题目必须在答题卡上指定位置作答,不按以上要求作答的答案无效。
5. 考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后,将答题卡交回。
参考公式:锥体的体积公式Sh V 31=,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 如果事件A 、B 互斥,那么)()()(B P A P B A P +=+. 用最小二乘法求线性回归方程系数公式,∑∑==-⋅-=n i i ni i i xn x yx n yx b 1221),x b y a ))-=.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. i 是虚数单位,=+2) 1 (1iA .2i B .2i- C .21 D .i 2 2.函数)(x f 的定义域为实数集R ,“)(x f 是奇函数”是“|)(|x f 是偶函数”的A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .非充分非必要条件D .充要条件3.{}n a 是等差数列,1a 与2a 的等差中项为1,2a 与3a 的等差中项为2,则公差=dA .2B .23 C .1 D .214.函数)sin()(ϕ+=x x f 在区间)32 , 3(ππ上单调递增,常数ϕ的值可能是A .0B .2πC .πD .23π5.双曲线C :1422=-y x 的两条渐近线夹角(锐角)为θ,则=θtan A .158 B .815 C .43 D .346.一个四面体如图1,若该四面体的正视图(主视图)、 侧视图(左视图)和俯视图都是直角边长为1的等腰 直角三角形,则它的体积=VA .21 B .31 C .61 D .1217.16)(yx x y -的二项展开式17个项中,整式的个数是A .1B .3C .5D .78.设1≥>b a ,集合{}a x Z x x A <<∈=0 , |,{}b x b Z x x B <<-∈= , |,记“从集合A 中任取一个元素x ,B x ∉”为事件M ,“从集合A 中任取一个元素x ,B x ∈”为事件N .给定下列三个命题: ①当5=a ,3=b 时,21)()(==N P M P ; ②若1)(=M P ,则2=a ,1=b ; ③1)()(=+N P M P 恒成立. 其中,为真命题的是A .①②B .①③C .②③D .①②③二、填空题:本大题共7小题,考生作答4小题,每小题5分,满分30分. (一)必做题(9~13题)9.不等式5|2||1|≥-++x x 的解集为 .10.已知抛物线C :x y 82=的焦点为F ,P 是若P 在第一象限,8||=PF ,则点P 11.若变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+00122y x y x ,则y x z 2+=的最大值=M .12.运行如图2所示的程序框图,输出的结果S13.已知x 与y 之间的几组数据如下表:x3 4 5 6 y2.5344.5假设根据上表数据所得线性回归方程为a x b y )))+=,根据中间两组数据(4,3)和(5,4)求得的直线方程为a bx y +=,则b b ____),a a ____).(填“>”或“<”)图3(二)选做题(14、15题,考生只能从中选做一题)14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线2=ρ上到直线1)4cos(=-πθρ的距离为1的点的个数是 .15.(几何证明选讲选做题)如图3,圆O 的弦AB 、CD 相交于点P ,若2==AD AC ,3=PB ,则=AB .三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题满分12分)已知ABC ∆顶点的直角坐标分别是)5 , 3(A 、)1 , 0(B 、)7 , 8(-C . ⑴求B cos 的值;⑵若)5 , 2(--=,证明:B 、C 、D 三点共线. 17.(本小题满分13分)某树苗培育基地为了解其基地内榕树树苗的长势情况,随机抽取了100株树苗,分别测出它们的高度(单位:cm ),并将所得数据分组,画出频率分布表如下:组 距 频 数频 率[100,102) 17 0.17 [102,104) 18 0.18 [104,106) 240.24 [106,108)a b [108,110) 6 0.06 [110,112) 3 0.03 合计 1001⑴求上表中a 、b 的值;⑵估计该基地榕树树苗平均高度;⑶基地从上述100株榕树苗中高度在[108,112)范围内的树苗中随机选出5株进行育种研究,其中在[110,112)内的有X 株,求X 的分布列和期望. 18.(本小题满分14分)设数列{}n a 的前n 项和6)14)(1(-+=n n n S n ,*N n ∈.⑴求1a 的值;⑵求数列{}n a 的通项公式; ⑶证明:对一切正整数n ,有4541222221<+++na n a a Λ. 19.(本小题满分13分)如图4,直四棱柱1111D C B A ABCD -的底面是菱形,侧面是正方形,060=∠DAB ,E 是棱CB 的延长线上一点,经过点A 、1C 、E 的平面交棱1BB 于点F ,BF F B 21=.⑴求证:平面⊥E AC 1平面11B BCC ; ⑵求二面角C AC E --1的平面角的余弦值.20.(本小题满分14分)平面直角坐标系xOy 中,椭圆∑:12222=+by a x (0>>b a )的离心率为36,焦点为1F 、2F ,直线l :02=-+y x 经过焦点2F ,并与∑相交于A 、B 两点.⑴求∑的方程;⑵在∑上是否存在C 、D 两点,满足AB CD //,D F C F 11=?若存在,求直线CD 的方程;若不存在,说明理由.21.(本小题满分14分)设函数)(ln )(a x e x f x -=,e 是自然对数的底数,Λ718.2≈e ,R a ∈为常数. ⑴若)(x f y =在1=x 处的切线 l 的斜率为e 2,求a 的值;⑵在⑴的条件下,证明切线 l 与曲线)(x f y =在区间)21, 0(至少有1个公共点; ⑶若]3ln , 2[ln 是)(x f y =的一个单调区间,求a 的取值范围.评分参考一、选择题 BACD DCBB二、填空题 ⒐) , 3[]2 , (∞+--∞Y 或{}32|≥-≤x x x 或(每个区间2分,在此基础上正确用区间或集合表示1分;若混淆闭区间与开区间则扣该区间1分。
广东江门市普通高中高考高三数学3月模拟考试试题01 Word版含答案
江门市普通高中2017届高考高三数学3月模拟考试试题(一)满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 满分50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数21iai ++的实部和虚部相等,则实数a 等于A .12B .2-C .13- D .35.3πα=“”是sin α=“的 A .必要而不充分条件 B .充分而不必要条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 6.7.定义某种运算a b ⊗,运算原理如图所示,则1100(131(2))43lne lg tanπ-⊗+⊗的值为A .13B .11C .8D .48.在空间四边形ABCD 中,E F 、分别为AC BD 、24CD AB EF AB ==⊥,,则EF 与CD 所成的角为A .ο90B .ο60C .ο45 D .ο30正视图 图 D.图 图 正视图 侧视图 C.9.对于给定的实数1a ,按下列方法操作一次产生一个新的实数:由甲、乙同时各掷一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具),记出现向上的点数分别为m n 、,如果m n +是偶数,则把1a 乘以2后再减去2;如果m n +是奇数,则把1a 除以2后再加上2,这样就可得到一个新的实数2a ,对2a 仍按上述方法进行一次操作,又得到一个新的实数3a .当31a a >时,甲获胜,否则乙获胜.若甲获胜的概率为34,则1a 的值不可能是A .0B .2C .3D .4 10.已知函数()lg()x x f x xa b =+-中,常数101a b a b a b >>>=+、满足,且,那么()1f x >的解集为A .(01),B .(1)+∞,C .(110),D .(10)+∞, 第Ⅱ卷(非选择题 满分100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卡的相应位置上. 11.已知向量a 是单位向量,若向量b 满足()0-⋅=a b b ,则b的取值范围是 .12.两圆相交于两点(13),和(1)m -,,两圆圆心都在直线0x y c -+=上,且m c 、均为实数,则m c += .13.已知a b >,且1ab =,则22a ba b +-的最小值是 .14.已知数列{}n a 满足11log (1)n n a a n ==+,*2()n n N ≥∈,.定义:使乘积12a a ⋅⋅…k a ⋅为正整数的*()k k N ∈叫做“简易数”.则在[12012],内所有“简易数”的和为 . 15.以下五个命题: ①标准差越小,则反映样本数据的离散程度越大;②两个随机变量相关性越强,则相关系数越接近1;③在回归直线方程0.412y x =-+中,当解释变量x 每增加1个单位时,则预报变量y 减少0.4个单位; ④对分类变量X 与Y 来说,它们的随机变量2K 的观测值k 越小,“X 与Y 有关系”的把握程度越大; ⑤在回归分析模型中,残差平方和越小,说明模型的拟合效果越好.其中正确的命题是:三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)已知A B C 、、为ABC ∆的三内角,且其对边分别为a b c 、、.若向量2(cos 2A =m ,cos1)2A -,向量(1=n ,cos 1)2A +,且21⋅=-m n .(1)求A 的值;(2)若a =,三角形面积S =b c +的值.17.(本小题满分12分)在“2012魅力新安江”青少年才艺表演评比活动中,参赛选手成绩的茎叶图和频率分布直方(1)求参赛总人数和频率分布直方图中[80,90)之间的矩形的高,并完成直方图;(2)若要从分数在[80,100]之间任取两份进行分析,在抽取的结果中,求至少有一份分数在[90,100]之间的概率.18.(本小题满分12分)设函数329(62)f x x x ax =-+-.(1)对于任意实数x ,'()f m x ≥在15(,]恒成立(其中'()f x 表示()f x 的导函数),求m 的最大值;(2)若方程()0f x =在R 上有且仅有一个实根,求a 的取值范围.5 8 00819.(本小题满分13分)如图,四边形ABCD 为矩形,AD ⊥平面2ABE AE EB BC ===,,F 为CE 上的点,且BF ⊥平面ACE .(1)求证:AE BE ⊥; (2)求三棱锥D AEC -的体积;(3)设M 在线段AB 上,且满足2AM MB =,试在线段CE 上确定一点NDAE .20.(本小题满分12分)椭圆22221(0)xy aba b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ,点(P a ,)b 满足212PF F F =.(1)求椭圆的离心率e ; (2)设直线2PF 与椭圆相交于A B 、两点,若直线2PF 与圆22(16(1)x y +=+-相交于M N 、两点,且58MN AB=,求椭圆的方程.21.(本小题满分14分)已知函数2()x f x k kx b =-,(,N )b ∈*,满足(2)2f =,(3)2f >. (1)求k ,b 的值;(2)若各项为正的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且有14()1n nS f a ⋅-=-,设2n n b a =,求数列{}n n b ⋅的前n 项和n T ;(3)在(2)的条件下,证明:ln(1)n n b b +<.答案11.[01],12.3 13.14.2036 15.③⑤ 三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)解:(1)∵向量2coscos122()A A =-,m ,向量(1cos1)2A =+,n ,且21⋅=-m n .∴221cos sin 222A A -=-, …………………………………………………………………3分得1cos 2A =-,又(0)A π∈,,所以23A π=. …………………………………………5分(2)112sin sin 223ABC S bc A bc π∆===,∴4bc =. ………………………………7分又由余弦定理得:2222222cos3a b c bc b c bc π=+-=++.……………………………9分∴216()b c =+,所以4b c +=. …………………………………………………………12分17.(本小题满分12分)解:(1)由茎叶图知,分数在[5060),之间的频数为2. 由频率分布直方图知,分数在[5060),之间的频率为0.008100.08⨯=所以,参赛总人数为2250.08=(人).………………………2分分数在[8090),之间的人数为25271024----=(人), 分数在[8090),之间的频率为40.1625=,得频率分布直方图中[8090),间矩形的高为0.160.01610=.………4分完成直方图,如图.……………………………………………………………………………6分00000(2)将[8090),之间的4个分数编号为1,2,3,4[90,100];之间的2个分数编号为56和.则在[80100],之间任取两份的基本事件为:(12),(13),(14),(15),(16),(23),(24),(25),(26),,,,,,,,,,(34),(35),(36),(45),(46),(56),,,,,,共15个,其中至少有一个在[90,100]之间的基本事件为:(15),(16),(25),(26),(35),(36),(45),(46),(56),,,,,,,,,共9个. ………………………10分 故至少有一份分数在[90,100]之间的概率是93155=.……………………………………12分 18.(本小题满分12分)解:(1)2'()396f x x x =-+, 15x ∈(,]. 法一:'()f x m ≥在15(,]恒成立2396m x x ⇔≤-+在15(,]恒成立.…………………3分 由2233'()3963()24f x x x x =-+=--在15(,]的最小值为34-, 所以,得34m ≤-,即m 的最大值为34-.…………………………………………………6分法二:令()2396g x x x m=-+-,15x ∈(,]. 要使'()f x m ≥在15(,]恒成立,则只需()0g x ≥在15(,]恒成立. 由于()y g x =的对称轴为32x =,当15x ∈(,]时,min ()(32727)60242g x g m =-+-≥=,解得34m ≤-,所以m 的最大值为34-.……………………………………………………6分(2)因为当1x <时, '()0f x >;当12x <<时, '()0f x <;当2x >时,'()0f x >; 即()y f x =在(,1)-∞和(2,)+∞单增,在(1,2)单减.所以5()=(1)2f x f a =-极大值,()=(2)2f x f a=-极小值.………………………………9分故当(2)0f >或(1)0f <时,方程()0f x =仅有一个实根.得2a <或52a >时,方程()0f x =仅有一个实根.所以5(,2)(,)2a ∈-∞+∞.………………………………………………………………12分19.(本小题满分13分)证明:(1)∵AD ⊥平面ABE ,且//AD BC∴BC ⊥平面ABE ,则BC AE ⊥.………………………………………2分 又∵BF ⊥平面ACE ,则BF AE ⊥,且BF 与BC 交于B 点, ∴AE ⊥平面BCE ,又BE ⊂平面BCE ∴AE BE ⊥.………………4分 (2)由第(1)问得AEB ∆为等腰直角三角形,易求得AB,∴1433D AEC E ADC V V --==⨯=.…………………………………………………7分 (3)在三角形ABE 中过M 点作//MG AE 交BE 于G 点,在三角形BEC 中过G 点作//GN BC 交EC 于N 点,连MN .由比例关系易得13CN CE=.………………………………………………………………9分∵//MG AE MG ⊄,平面ADE ,AE ⊂平面ADE ,∴//MG 平面ADE . 同理,//GN 平面ADE ,且MG 与GN 交于G 点, ∴平面//MGN ADE 平面.………………………………………………………………11分 又MN MGN ⊂平面, ∴//MN ADE 平面.∴N 点为线段CE 上靠近C 点的一个三等分点.…………………………………………13分 20.(本小题满分12分) 解:(1)设12(,0)(,0)(0)F c F c c ->、,因为212PF F F =,2c=.…………………………………………………………………2分整理得22()10c c a a +-=,得1c a =-(舍),或12c a =.所以12e =.……………………………………………………………………………………4分(2)由(1)知2,a c b ==,椭圆方程2223412x y c +=,2PF的方程为)y x c =-. ,A B两点的坐标满足方程组2223412)x y c y x c ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩,消去y 并整理,得2580x cx -=.解得1280,5x x c ==.得方程组的解110x y =⎧⎨=⎩,2285x cy ⎧=⎪⎨⎪=⎩.………………………7分不妨设8(),(0,)5A c B,则165AB c ==. 于是528MN AB c ==.圆心(-到直线2PF的距离d 10分因为222()42MN d +=,所以223(2)164c c ++=,整理得2712520c c +-=.得267c =- (舍),或2c =. 所以椭圆方程为2211612x y +=.……………………………………………………………12分21.(本小题满分14分)解:(1)由4(2)22229629(3)23f k b k bk b f k b ⎧==⎪-=⎧⎪-⇒⎨⎨-<⎩⎪=>⎪-⎩…①…②,由①代入②可得52k <,且*k N ∈.……………………………………………………2分当2k =时,2b =(成立),当1k =时,0b =(舍去).所以2k =,2b =.…………………………………………………………………………4分(2)2114()4122n n n nn a S f S a a ⋅-=⋅=---,即22n n n S a a =+…③.2n ≥时, 21112n n n S a a ---=+…④.所以,当2n ≥时,由③-④可得22112()()n n n n n a a a a a --=-+-, 整理得,11()(1)0n n n n a a a a --+--=.又0n a >得11n n a a --=,且11a =,所以{}n a 是首项为1,公差为1的等差数列,即n a n =,2nn b =.2n n nb n ∴=⋅. ………………………………………………………………………………7分 1231122232(1)22n n n T n n -=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅, 23412122232(1)22n n n T n n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅,由上两式相减得 123122222n n n T n +-=+++⋅⋅⋅+-⋅12(12)212n n n +-=-⋅-.1(1)22n n T n +∴=-+. ……………………………………………………………………10分(3)由(2)知2n n b =,只需证ln(12)2n n +<.设()ln(12)2x xf x =+-(1x ≥且x R ∈).则2ln 22ln 2'()2ln 2(2)01212x x xx x xf x =-=⋅-<++,可知()f x 在[1,)+∞上是递减,max ()(1)ln 320f x f ∴==-<.由*x N ∈,则()(1)0f n f ≤<,故ln(1)n n b b +<. …………………………………………………………………………14分。
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2015届广东省江门市高三3月高考模拟试考试数学(理)试
题
2015.3
本试卷共4页,21小题,满分150分,考试用时120分钟。
注意事项:
1. 答题前,考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上。
2. 做选择题时,必须用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用
橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。
3. 非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔,将答案写在答题卡规定的位置上。
4. 所有题目必须在答题卡上指定位置作答,不按以上要求作答的答案无效。
5. 考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后,将答题卡交回。
参考公式:锥体的体积公式Sh V 3
1
=
,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 如果事件A 、B 互斥,那么)()()(B P A P B A P +=+.
用最小二乘法求线性回归方程系数公式,∑∑==-⋅-=
n i i n
i i i x
n x y
x n y
x b 1
2
2
1
,x b y a
-=.
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的.
1. i 是虚数单位,=+2
)
1 (1
i A .
2i B .2
i - C .21
D .i 2 2.函数)(x f 的定义域为实数集R ,“)(x f 是奇函数”是“|)(|x f 是偶函数”的
A .充分非必要条件
B .必要非充分条件
C .非充分非必要条件
D .充要条件
3.{}n a 是等差数列,1a 与2a 的等差中项为1,2a 与3a 的等差中项为2,则公差=d A .2 B .
23 C .1 D .2
1
4.函数)sin()(ϕ+=x x f 在区间)3
2
, 3
(π
π
上单调递增,常数ϕ的值可能是 A .0 B .
2
π C .π D .23π
5.双曲线C :14
22
=-y x 的两条渐近线夹角(锐角)为θ,则=θtan A .158 B .815 C .43 D .3
4
6.一个四面体如图1,若该四面体的正视图(主视图)、侧视图(左视图)和俯视图都
是直角边长为1的等腰直角三角形,则它的体积=V
A .21
B .31
C .61
D .12
1 7.16)(
y
x x
y -
的二项展开式17个项中,整式的个数是
A .1
B .3
C .5
D .7
8.设1≥>b a ,集合{}a x Z x x A <<∈=0 , |,{}b x b Z x x B <<-∈= , |,记“从集合A 中任取一个元素x ,B x ∉”为事件M ,“从集合A 中任取一个元素x ,B x ∈”为事件N .给定下列三个命题: ①当5=a ,3=b 时,2
1
)()(==N P M P ; ②若1)(=M P ,则2=a ,1=b ; ③1)()(=+N P M P 恒成立. 其中,为真命题的是
A .①②
B .①③
C .②③
D .①②③
二、填空题:本大题共7小题,考生作答4小题,每小题5分,满分30分. (一)必做题(9~13题)
9.不等式5|2||1|≥-++x x 的解集为 .
10.已知抛物线C :x y 82=的焦点为F ,P 是C 上一点,
若P 在第一象限,8||=PF ,则点P 的坐标为 .
11.若变量x 、y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥≤+00122y x y x ,则
y x z 2+=的最大值=M .
12.运行如图2所示的程序框图,输出的结果=S .
13.已知x 与y 之间的几组数据如下表:
x 3 4 5 6 y
2.5 3 4
4.5。