2016年秋九年级数学上册 2.6 第1课时 几何问题及数字问题与一元二次方程习题课件
九年级数学上册北师大版：2.6.1几何问题及行程问题与一元二次方程 课件
答：赛义德得到钱数为 12.
随堂检测
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点P,Q同时由A,B两点出发,分别沿AC,BC方向向点C 匀速移动（到点C为止）,它们的速度都是1m/s.几秒后△PCQ的面积是Rt△ACB面积 的一半? 解：设x秒后，△ PCQ的面积是Rt △ABC面积的一半.根据题意
采条 采条
图1 图2 解：设横条幅的宽为x米，竖条幅的宽为3x米，由题可知
(3 2 x )(2 3 x) 3 2(1 6 x 2 13 x 2 0 (6 x 1)( x 2) 0 x1 1 , x2 2 6 1 ) 3
（舍去）
1 1 6 米，竖条幅的宽为 2
2.6.1几何问题及行程问题与一元二次方程
九年级上册
学习目标
1.掌握列一元二次方程解决几何问题、数学问题,并能根据具体 问题的实际意义,检验结果的合理性.（重点、难点） 2.理解将实际问题抽象为方程模型的过程,并能运用所学的知识 解决问题．
自主学习反馈
2 2 7, 2 2 7 1．矩形的周长为8 ，面积为1，则矩形的长和宽分别为________
B组
x
x
800cm2 (60 - 2x)
(40-2x)
解方程,得
x1=10 , x2= 40 (不合题意,舍去).
答:截取正方形的边长为10cm.
随堂检测
1. 如图，在矩形 ABCD 中， AB=6cm, BC=12cm，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以
1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q分
别从A、B同时出发，那么几秒后五边形APQCD的面积为64cm2？
2016年北师大版九年级2.6第1课时利用一元二次方程解决几何问题课件
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2.绿苑小区住宅设计,准备在每两幢楼房之间,开辟面积为900平方米的一块长 方形绿地,并且长比宽多10米,那么绿地的长和宽各为多少?
解 : 设长方形绿地的宽为 xm, 根据题意 ,得
x( x 10) 900.
整理得 : x 2 10x 900 0.
x x+10
解这个方程 ,得:
a.
完全平方式:式子a2±2ab+b2叫完全平方式,且 a2±2ab+b2 =(a±b)2.
用配方法解一元二次方程的步骤: 1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项 系数); 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的 平方; 4.变形:方程左边配方,右边合并同类项; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两 个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法 求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法称为分 解因式法.
老师提示:
1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右 边等于零; 2. 关键是熟练掌握因式分解的知识; 3.理论依据是“如果两个因式的积等于零,那么至少 有一个因式等于零.”
0. ∠ C=45 AC 2 AB 200 2海里,
A
北 东 D
2 DF CF CD 2 2 100 2 100海里. 2 小岛D和小岛F相距100海里.
B
E
F
C
解:(2)设相遇时补给船航行了x海里,则DE=x海里,AB+BE=2x海 里,EF=AB+BC-(AB+BE)-CF=(300-2x)海里. 在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程
九年级数学上册2.6几何问题及数字问题与一元二次方程(第1课时)课件(新版)北师大版
2.6 应用一元二次方程
第1课时 几何问题及数字问题与一元二次方程
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标 1.掌握列一元二次方程解决几何问题、数学问题,并能根据具体
问题的实际意义,检验结果的合理性.（重点、难点） 2.理解将实际问题抽象为方程模型的过程,并能运用所学的知识
解决问题．
乙各行几何?”
大意是说:已知甲,乙二人同时从同一地点出发,甲的速度是7,乙
的速度是3.乙一直向东走,甲先向南走10步,后又斜向北偏东方向
走了一段后与乙相遇.那么相遇时,甲,乙各走了多远?
解:设甲,乙相遇时所用时间为x,根据题意,得
(7x - 10)2 = (3x) 2 +10 2.
乙:3x
A
C
整理得
两个数字交换位置后的新两位数为 10x +（14 - x）.
根据题意，得 10x +（14 - x）- x（14 - x）= 38.
整理，得
x2 - 5x - 24 = 0,
解得
x1 = 8 , x2 = - 3.
因为个位数上的数字不可能是负数，所以x= - 3应舍去.
当x = 8 时，14 - x = 6.
沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以
2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒
后五边形APQCD的面积为64cm2？
分析：求五边形APQCD的面积为64cm2时的时间可以
A
转换为求△PQB面积为（6×12 - 64）cm2的时间
解:设所需时间为 t s,根据题意,得 2t (6 - t) ÷2 = 6×12 - 64.
九年级数学上册 2.6 第1课时 几何问题及数字问题与一元二次方程教案1 (新版)北师大版
2．6 应用一元二次方程第1课时几何问题及数字问题与一元二次方程1．掌握列一元二次方程解决几何问题、数学问题，并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性；(重点、难点)2．理解将一些实际问题抽象为方程模型的过程，形成良好的思维习惯，学会从数学的角度提出问题、分析问题，并能运用所学的知识解决问题．一、情景导入要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(精确到0.1cm)?二、合作探究探究点一：利用一元二次方程解决几何问题【类型一】面积问题要对一块长60米，宽40米的矩形荒地ABCD进行绿化和硬化．设计方案如图所示，矩形P，Q为两块绿地，其余为硬化路面，P，Q两块绿地周围的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为矩形ABCD面积的14，求P，Q两块绿地周围的硬化路面的宽．解：设P，Q两块绿地周围的硬化路面的宽为x米．根据题意，得(60－3x)·(40－2x)＝60×40×14，解得x1＝10，x2＝30.检验：如果硬化路面宽为30米，则2×30＝60＞40，所以x2＝30不符合题意，舍去，故x＝10.故P，Q两块绿地周围的硬化路面的宽为10米．易错提醒：在应用题中，未知数的允许值往往有一定的限制，因此除了检验未知数的值是否满足所列方程外，还必须检验它在实际问题中是否有意义．在求出方程的解为10或30时，如果不进行验根，就会误以为本题有两个答案，而题目中明确有“荒地ABCD是一块长60米，宽40米的矩形”这个已知条件，显然x＝30不符合题意．【类型二】动点问题如图所示，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B运动，一直到达B为止，点Q以2cm/s 的速度向D移动，点P停止运动时点Q也停止运动．(1)P，Q两点从出发开始几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2?(2)P，Q两点从出发开始几秒时，点P 和点Q的距离第一次是10cm?解：(1)设P ，Q 两点从出发开始x s 时，四边形PBCQ 的面积为33cm 2，根据题意得PB ＝AB －AP ＝(16－3x )cm ，CQ ＝2x cm.故12(2x ＋16－3x )×6＝33，解得x ＝5. 故P ，Q 两点从出发开始5s 时，四边形PBCQ 的面积为33cm 2；(2)设P ，Q 两点从出发开始x s 时，点P 和点Q 的距离是10cm.如图，过Q 点作QM ⊥AB 于点M ，则BM ＝CQ ＝2x cm ，故PM ＝(16－5x )c m.在Rt△PMQ 中，PM 2＋MQ 2＝PQ 2，∴(16－5x )2＋62＝102.解得x 1＝85，x 2＝245. ∵所求的是第一次满足条件的时间，∴x ＝85.故P ，Q 两点从出发开始85s 时，点P 和点Q 的距离第一次是10cm.方法总结：解决动态几何问题的关键是寻找点运动的过程中变化的量与不变的量，寻找等量关系列方程．对于动点问题，常先假设出点的位置，根据面积或其他关系列出方程，如果方程的根符合题目的要求，就说明假设成立，否则，假设不成立．探究点二：利用一元二次方程解决数字问题有一个两位数，个位数字与十位数字的和为14，交换位置后，得到新的两位数，比这两个数字的积还大38，求这个两位数．解析：这是一个数字排列的问题，题中有两个等量关系，由前一个等量关系知，个位数字与十位数字均可用同一个未知数表示，这样交换位置后的新两位数也可以用上述未知数表示出来，然后根据后一个等量关系可列方程求解．解：设个位数字为x ，则十位数字为14－x ，两数字之积为x (14－x )，两个数字交换位置后的新两位数为10x ＋(14－x )．根据题意，得10x ＋(14－x )－x (14－x )＝38.整理，得x 2－5x －24＝0，解得x 1＝8，x 2＝－3.因为个位数上的数字不可能是负数，所以x ＝－3应舍去．当x ＝8时，14－x ＝6. 所以这个两位数是68.方法总结：(1)数字排列问题常采用间接设未知数的方法求解．(2)注意数字只有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个，且最高位上的数字不能为0，而其他如分数、负数根不符合实际意义，必须舍去．三、板书设计几何问题及数字问题⎩⎨⎧几何问题⎩⎪⎨⎪⎧面积问题动点问题数字问题经历分析具体问题中的数量关系，建立方程模型解决问题的过程，认识方程模型的重要性.通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力.经历探索过程，培养合作学习的意识.体会数学与实际生活的联系，进一步感知方程的应用价值.。
初三数学九年级上册：2.6 第1课时 利用一元二次方程解决几何问题及数字问题教学设计 教案
第1课时利用一元二次方程解决几何问题及数字问题
1.在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（）
A．x2+130 x-1400=0B．x2+65x-350=0
7.有一张长方形的桌子，长6尺，宽3尺，有一块台布的面积是桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相同，求台布的长和宽各是多少?（精确到0．1尺）
8.某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2，上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？
9、一个两位数等于它的个位数字与十位数字的乘积的3倍，并且十位上的数字比个位数小2，求这个两位数。
10、一个三位数，十位数字比百位数字大3，个位数字等于百位数与十位数的和，已知这个三位数比个位数字平方的5倍大12，求这个三位数。
C．x2-130x-1400=0D．x2-65x-350=0
2．一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数为（）．
A．25B．36C．25或36D．-25或-36
3．从正方形铁片，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是（）．
A．8cmB．64cmC．8cm2D．64cm2
4.两个正方形面积的和为106，周长的差为16，则其中较大的正方形的边长是．
5．如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m，所围的面积为150m2，则此长方形鸡场的长、宽分别为_______．
6.要用一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙角6m.若梯子的顶端下滑1m，如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是米.
北师大版九年级上册数学 2.6 第1课时 几何问题及数字问题与一元二次方程 学案
2.6 应用一元二次方程第1课时几何问题及数字问题与一元二次方程学习目标:1．经历分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决问题的过程，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般步骤。
2．通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力。
重点:掌握运用方程解决实际问题的方法。
难点:构建数学模型解决实际问题。
【预习案】1．一个三位数，百位上是a，十位上是b，个位上是c，则这个三位数是（）．A．abc B．a+b+c C．100a+10b+c D．cba2．一个两位数，十位数字与个位数字之和是6，•把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的积是1008，求这个两位数．设原来这个两位数的个位数字为x，则十位字为：。
；则列方程得：。
3.用22cm长的铁丝，折成一个面积为32cm2的矩形。
求这个矩形的长与宽。
设这个矩形的长为xcm，则宽为。
根据题意得方程：。
4.如图所示，在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，（互相垂直），把耕地分成大小不等的六块试验田，要使试验田的面积为570m2，道路应为多宽？若设每条道路的宽度为xm，可列方【探究案】一、创设情境导入新课问题导入：1、填空：56=5×+ ；246=2×+4×+ ；2、若一个两位数，个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数为：。
思考：1、你用哪种方法解方程？为什么？2、与同学简单交流列方程解应用问题的步骤。
二、请同学们先独立学习P52页例1的解答过程，然后以小组为单位共同讨论并回答以下问题：问题：1、解决本题用到了哪些知识？2、解决本题的关键是什么？3、通过自主学习、合作探究两个应用题的学习，请将列方程解决实际问题的步骤写出来。
例1：如图,某海军基地位于A 处,在其正南方向200 海里处有一个重要目标B ,在B 的正东方向200海里处有重要目标C ,小岛D 位于AC 的中点,岛上有一补给码头,小岛F 位于BC 上且恰好处于小岛D 的正南方向,一艘军舰从A 出发,经B 到C 匀速巡航,一艘补给船同时从D 出发,沿南偏西方向匀速航行,欲将一批物品送达军舰。
北师大版数学九年级上册(教案)2.6 第1课时 几何问题及数字问题与一元二次方程2
2.6 应用一元二次方程第1课时 几何问题及数字问题与一元二次方程教学目标：１、掌握列出一元二次方程解应用题；并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性；２、理解将一些实际问题抽象为方程模型的过程，形成良好的思维习惯，学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能运用所学的知识解决问题。
教学过程： 一、情境问题问题1、一根长22cm 的铁丝。
（1）能否围成面积是30cm 2的矩形？（2）能否围成面积是32 cm 2的矩形？并说明理由。
分析：如果设这根铁丝围成的矩形的长是xcm ，那么矩形的宽是__________。
根据相等关系：矩形的长×矩形的宽=矩形的面积， 可以列出方程求解。
解：问题2、如图，在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=3cm 。
点P 沿边AB 从点A 开始向点B 以2cm/s 的速度移动，点Q 沿边DA 从点D 开始向点A 以1cm/s 的速度移动。
如果P 、Q 同时出发，用t （s ）表示移动的时间（0≤t ≤3）。
那么，当t 为何值时，△QAP 的面积等于2cm 2? 解：PQBCAD问题3．（教材例题）如图，某海军基地位于A 处，在其正南方向200海里处有一重要目标B ，•在B 的正东方向200海里处有一重要目标C ，小岛D 位于AC 的中点，岛上有一补给码头：•小岛F 位于BC 上且恰好处于小岛D 的正南方向，一艘军舰从A 出发，经B 到C 匀速巡航，一般补给船同时从D 出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰． （1）小岛D 和小岛F 相距多少海里?（2）已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B 到C 的途中与补给船相遇于E 处，•那么相遇时补给船航行了多少海里?（结果精确到0.1海里）B AC E DF 分析：（1）因为依题意可知△ABC 是等腰直角三角形，△DFC 也是等腰直角三角形，AC 可求，CD 就可求，因此由勾股定理便可求DF 的长．（2）要求补给船航行的距离就是求DE 的长度，DF 已求，因此，只要在Rt △DEF 中，由勾股定理即可求． 解：（1）连结DF ，则DF ⊥BC ∵AB ⊥BC ，AB=BC=200海里． ∴海里，∠C=45° ∴CD=12DF=CFDF=CD∴×=100（海里） 所以，小岛D 和小岛F 相距100海里．（2）设相遇时补给船航行了x 海里，那么DE=x 海里，AB+BE=2x 海里， EF=AB+BC-（AB+BE ）-CF=（300-2x ）海里 在Rt △DEF 中，根据勾股定理可得方程 x 2=1002+（300-2x ）2整理，得3x 2-1200x+100000=0 解这个方程，得：x 1=200-3118.4 x 2所以，相遇时补给船大约航行了118.4海里．二、练一练1、用长为100 cm 的金属丝制作一个矩形框子。
【北师大版】九年级数学上册：2.6.1《几何问题及数字问题与一元二次方程》ppt课件
所以这个两位数是68.
同步练习
两个连续奇数的积是 323，求这两个数． 解：设较小奇数为 x，则另一个为 x + 2，
依题意，得
x (x + 2 ) = 323.
整理后，得 x2 + 2x - 323 = 0.
解得
x1 = 17，x2 = - 19.
由 x = 17，得 x + 2 = 19.
若是设两个奇数分别为 （x-1） ，(x + 1)，请帮 忙写出解答过程
2x2 - 7x = 0.
10
解方程,得 x1=3.5, x2=0 (不合题意,舍去). B ∴3x=3×3.5 =10.5 , 7x = 7×3.5 = 24.5.
甲: 7x-10
答:甲走了24.5步,乙走了10.5步.
例3：一块长和宽分别为60cm和40cm的长方形铁皮,要在它的四 角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体,使它的底 面积为800cm2.求截去正方形的边长. 解:设截取正方形的边长为 x m,根据题意,得
(2)已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由B到C的途中与补给船相 遇于E处,那么相遇时补给船航行了多少海里(结果精确到0.1海里)？
解: 设相遇是补给 , AE + BE = 2x n mile,
北
A
东
EF = AB + BF - (AB + BE) = (300 - 2x)n mile.
解：设x秒后，△ PCQ的面积是Rt △ABC面积的一半.根据题意
整理，得
1(8x)6 (x)1186. A
2
22
x2 - 14x + 24 = 0.
P
8m