高中数学总复习之30 直线与方程
高中数学知识点总结 直线与方程
高中数学知识点总结直线与方程一、直线与方程
1．直线的倾斜角
3．直线方程的五种形式
111222
0A x B y C A x B y C ++=⎧⎨
++=⎩的解． （1）方程组有唯一解⇔1l 与2l 相交，交点坐标就是方程组的解； （2）方程组无解⇔1l ∥2l ；
（3）方程组有无数解⇔1l 与2l 重合．
3．距离问题
特别提醒
解决对称问题要抓住以下两点：
（1）已知点与对称点的连线与对称轴垂直；
（2）以已知点和对称点为端点的线段的中点在对称轴上．三、圆的方程
1．圆的标准方程与一般方程
（1）直线与圆相离，没有公共点；（2）直线与圆相切，只有一个公共点；（3）直线与圆相交，有两个公共点．
圆与圆的位置关系的判断方法有两种.
（1）几何法：
由两圆的圆心距d与半径长R，r的关系来判断（如下图，其中R r>）．
（2）代数法：
设圆221111:0C x y D x E y F ++++= ①，圆22
2222:0C x y D x E y F ++++= ②，
联立①②，如果该方程组没有实数解，那么两圆相离；如果该方程组有两组相同的实数解，那么两圆相切；如果该方程组有两组不同的实数解，那么两圆相交．
特别提醒
设圆221111:0C x y D x E y F ++++= ①，圆222222:0C x y D x E y F ++++= ②，
若两圆相交，则有一条公共弦，由①−②，得121212()()0D D x E E y F F -+-+-=③． 方程③表示圆C 1与圆C 2的公共弦所在直线的方程．。
高中数学必修知识点总结：第三章直线与方程
高中数学必修知识点总结：第三章直线与方程1. 直线的一般方程直线的一般方程可以表示为：Ax + By + C = 0。
其中A、B、C是常数，A和B 不同时为0。
这个方程可以通过直线上任意两点的坐标来确定。
2. 直线的斜截式方程直线的斜截式方程可以表示为：y = kx + b。
其中k是直线的斜率，b是y轴截距。
通过斜截式方程，我们可以方便地确定直线的斜率和截距。
3. 直线的点斜式方程直线的点斜式方程可以表示为：y - y1 = k(x - x1)。
其中(x1, y1)是直线上的一个已知点，k是直线的斜率。
根据点斜式方程，我们可以通过已知点和斜率来确定直线的方程。
4. 直线的两点式方程直线的两点式方程可以表示为：(y - y1)/(x - x1) = (y2 - y1)/(x2 - x1)。
其中(x1, y1)和(x2, y2)是直线上的两个已知点。
通过两点式方程，我们可以直接利用已知点的坐标来确定直线的方程。
5. 直线的斜率公式和截距公式直线的斜率可以通过斜率公式来计算：k = (y2 - y1)/(x2 - x1)。
直线的截距可以通过截距公式来计算：b = y1 - kx1。
通过斜率公式和截距公式，我们可以方便地计算直线的斜率和截距。
6. 直线的平行和垂直关系如果直线1的斜率等于直线2的斜率，则直线1和直线2平行。
如果直线1的斜率与直线2的斜率的乘积为-1，则直线1和直线2垂直。
7. 直线与坐标轴的交点直线与x轴的交点可以通过将y设为0得到，直线与y轴的交点可以通过将x 设为0得到。
8. 直线的倾斜角直线的倾斜角可以通过斜率来计算：θ = arctan(k)，其中k是直线的斜率。
9. 直线的距离公式直线Ax + By + C = 0到点(x0, y0)的距离可以通过公式计算：d = |Ax0 + By0 +C|/√(A²+B²)。
10. 直线与线段的位置关系直线与线段的位置关系可以分为以下三种情况：•直线与线段相交•直线与线段不相交•直线与线段重合通过计算直线与线段的交点，可以确定它们的位置关系。
高二数学讲义直线与方程
讲义：直线与方程内容讲解：1、直线的倾斜角和斜率：（1）设直线的倾斜角为α()0180α≤<，斜率为k ，则tan 2k παα⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭.当2πα=时，斜率不存在.（2）当090α≤<时，0k ≥；当90180α<<时，0k <. （3）过111(,)P x y ，222(,)P x y 的直线斜率212121()y y k x x x x -=≠-.2、两直线的位置关系：两条直线111:l y k x b =+，222:l y k x b =+斜率都存在，则：（1）1l ∥2l ⇔12k k =且12b b ≠； （2）12121l l k k ⊥⇔⋅=-； （3）1l 与2l 重合⇔12k k =且12b b =3、直线方程的形式：（1）点斜式：()00y y k x x -=-（定点，斜率存在） （2）斜截式：y kx b =+（斜率存在，在y 轴上的截距）（3）两点式：1121212121(,)y y x x y y x x y y x x --=≠≠--（两点）（4）一般式：()2200x y C A B A +B += +≠（5）截距式：1x ya b+=（在x 轴上的截距，在y 轴上的截距）4、直线的交点坐标：设11112222:0,:0l A x B y c l A x B y c ++=++=，则： （1）1l 与2l 相交1122A B A B ⇔≠；（2）1l ∥2l 111222A B C A B C ⇔=≠；（3）1l 与2l 重合111222A B C A B C ⇔==. 5、两点111(,)P x y ，222(,)P x y间的距离公式12PP =原点()0,0O 与任一点(),x y P的距离OP =6、点000(,)P x y 到直线:0l x y C A +B +=的距离d =（1）点000(,)P x y 到直线:0l x C A +=的距离0Ax Cd A +=（2）点000(,)P x y 到直线:0l y C B +=的距离0By Cd B+=（3）点()0,0P 到直线:0l x y C A +B +=的距离d =7、两条平行直线10x y C A +B +=与20x y C A +B +=间的距离d =8、过直线1111:0l A x B y c ++=与2222:0l A x B y c ++=交点的直线方程为()111222()()0A x B y C A x B y c R λλ+++++=∈9、与直线:0l x y C A +B +=平行的直线方程为()0x y D C D A +B +=≠ 与直线:0l x y C A +B +=垂直的直线方程为0x y D B -A += 10、中心对称与轴对称：（1）中心对称：设点1122(,),(,)P x y E x y 关于点00(,)M x y 对称，则12012022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩（2）轴对称：设1122(,),(,)P x y E x y 关于直线:0l x y C A +B +=对称，则： a 、0B =时，有122x x C A +=-且12y y =； b 、0A =时，有122y y CB+=-且12x x =c 、0A B ⋅≠时，有12121212022y y Bx x Ax x y y A B C -⎧=⎪-⎪⎨++⎪⋅+⋅+=⎪⎩典型例题例1. 已知直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m)y ＝4m －1． ① 当m ＝ 时，直线的倾斜角为45°．②当m ＝ 时，直线在x 轴上的截距为1．③ 当m ＝ 时，直线在y 轴上的截距为－23．④ 当m ＝ 时，直线与x 轴平行．⑤当m ＝ 时，直线过原点．变式训练1.（1）直线3y ＋ 3 x ＋2=0的倾斜角是 （ ）A ．30° B．60° C．120° D．150°（2）设直线的斜率k=2，P 1（3，5），P 2（x 2，7），P （－1，y 3)是直线上的三点，则x 2，y 3依次是 （ ）A ．－3，4B ．2，－3C ．4，－3D ．4，3（3）直线l 1与l 2关于x 轴对称，l 1的斜率是－7 ，则l 2的斜率是 （ ）A ．7 B．－7．7．－7 （4）直线l 经过两点（1，－2），（－3，4），则该直线的方程是 ．例2. 已知三点A （1，-1），B （3，3），C （4，5）.求证：A 、B 、C 三点在同一条直线上.变式训练2. 设a ，b ，c 是互不相等的三个实数，如果A （a ，a 3）、B （b ，b 3）、C （c ，c 3）在同一直线上，求证：a+b+c=0.例3．直线3y x =绕原点逆时针旋转090，再向右平移１个单位，所得到的直线为( ) （Ａ）1133y x =-+ （Ｂ）113y x =-+ （Ｃ）33y x =- （Ｄ）113y x =+例4．（全国Ⅰ文）若直线m 被两平行线12:10:30l x y l x y -+=-+=与所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是①15 ②30 ③45 ④60 ⑤75其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号）例5.已知三角形的顶点是A(－5,0)、B(3,－3)、C(0,2) ，求这个三角形三边所在的直线方程.例6.一条直线从点A(3,2)出发,经过x轴反射,通过点B(－1,6),求入射光线与反射光线所在的直线方程例7、已知点A(－3,5) 和B(2,15) , 在直线l： 3x－4y+4=0上找一点P, 使|PA|+|PB|最小, 并求这个最小值.例8、在等腰直角三角形中,已知一条直角边所在直线的方程为2x-y=0,斜边的中点为A(4,2),求其它两边所在直线的方程.例9、求过点P(－5,－4)且与坐标轴围成的三角形面积为5的直线方程.例10、已知点A(2,5)与点B(4,－7),试在y轴上求一点P,使及PBPA+的值为最小.例11、过点A(0,1)做一直线l,使它夹在直线1l:x-3y+10=0和2l:2x+y-8=0间的线段被A点平分,试求直线l的方程.巩固训练1、直线(2m2-5m-3)x-(m2-9)y＋4=0的倾斜角为π4，则m的值是（）A、3B、2C、-2D、2与32、点(a,b)关于直线x+y=0对称的点是 ( )A、 (－a,－b) B 、 (a,－b) C、 (b,a) D、 (－b,－a)3、已知l 平行于直线3x+4y－5=0, 且l和两坐标轴在第一象限内所围成三角形面积是24,则直线l的方程是 ( )A、3x+4y－122=0B、 3x+4y+122=0C、 3x+4y－24=0D、3x+4y＋24=04、若直线l经过点(1,1),且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2,则直线l的条数为( )A 、1B 、2C 、3D 、45、已知菱形的三个顶点为（a,b ）、（－b,a ）、（0，0），那么这个菱形的第四个顶点为 （ ）A 、(a －b,a ＋b)B 、(a ＋b, a －b)C 、(2a,0)D 、(0,2a)6、若点(4，a)到直线4x-3y=1的距离不大于3，则a 的取值范围是（ ）A 、[]010， B 、(0，10)C 、13313，⎡⎣⎢⎤⎦⎥ D 、(-∞，0] [10，＋∞)7、过定点P(2,1)作直线l ,交x 轴和y 轴的正方向于A 、B ，使△ABC 的面积最小，那么l的方程为 （ ）A 、x-2y-4=0B 、x-2y+4=0C 、2x-y+4=0D 、x+2y-4=08、若直线Ax ＋By ＋C=0与两坐标轴都相交，则有（ ）A 、A·B ≠0 B 、A ≠0或B ≠0C 、C ≠0D 、A 2＋B 2=09、已知直线l 1：3x ＋4y=6和l 2：3x-4y=-6，则直线l 1和l 2的倾斜角是（ ）A 、互补B 、互余C 、相等D 、互为相反数10、直线(2m 2-5m-3)x-(m 2-9)y ＋4=0的倾斜角为π4，则m 的值是（ ）A 、3B 、2C 、-2D 、2与311、△ABC 的一个顶点是A(3,-1),∠B、∠C 的平分线分别是x=0,y=x ，则直线BC 的方程是 （ ） A 、y=2x+5 B 、y=2x+3 C 、y=3x+5 D 、y=-252x + 12、直线kx －y=k －1与ky －x=2k 的交点位于第二象限，那么k 的取值范围是( )A 、k ＞1B 、0＜k ＜21C 、k ＜21D 、21＜k ＜113、直线(m+2)x+m y m m 2)32(2=--在x 轴上的截距是3,则实数m 的值是( )A 、52B 、6C 、- 52D 、-614、若平行四边形三个顶点的坐标为(1，0)，(5，8)，(7，-4),则第四个顶点坐标为 。
2020高二数学直线与方程知识点
2020高二数学直线与方程知识点一、直线与方程(1)直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。
因此，倾斜角的取值范围是0°≤α<180°(2)直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k表示。
即。
斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当时，。
当时，;当时，不存在。
②过两点的直线的斜率公式：注意下面四点：(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°;(2)k与P1、P2的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
(3)直线方程①点斜式：直线斜率k，且过点注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示.但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。
②斜截式：，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b③两点式：()直线两点，④截矩式：其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为。
⑤一般式：(A，B不全为0)⑤一般式：(A，B不全为0)注意：○1各式的适用范围○2特殊的方程如：平行于x轴的直线：(b为常数);平行于y轴的直线：(a为常数);(4)直线系方程：即具有某一共同性质的直线(一)平行直线系平行于已知直线(是不全为0的常数)的直线系：(C为常数)(二)过定点的直线系(ⅰ)斜率为k的直线系：，直线过定点;(ⅱ)过两条直线，的交点的直线系方程为(为参数)，其中直线不在直线系中。
(5)两直线平行与垂直当，时，;注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。
(6)两条直线的交点相交交点坐标即方程组的一组解。
方程组无解;方程组有无数解与重合(7)两点间距离公式：设是平面直角坐标系中的两个点，则(8)点到直线距离公式：一点到直线的距离(9)两平行直线距离公式：在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。
高考数学专题：直线与方程方法总结.doc
高考数学专题：直线与方程方法总结
直线与方程是高中数学中比较基础的一部分，考查的形式也是多种多样，但是一般很少单独考查直线与方程的某个知识点，而是在压轴题中与其他知识点结合在一起考查，这样就使得试题的难度大大提升。
因此，我们只有扎扎实实的把基础知识掌握牢固，才能从容应对压轴大题。
我们先通过思维导图来看一下本篇的所涉及到的知识点。
本篇一共列举了有关直线与方程10个知识点，有些是平时做题中经常用到的，比如如何证明三点共线；两条直线位置关系的判定；中点对称、轴对称的坐标以及最值问题。
所涉及的知识点范围比较广泛，可以通过平时的零碎时间翻出来看一下，日积月累，慢慢熟悉，然后在做题中进行运用。
力争做到所有的知识点都没有盲区，考试的时候心里就不会发慌。
易错辨析部分，大家要注意可能存在的多种情况，做题的时候不要忽略了。
如果是不会做的题目，我们要大胆放弃，但是对于会做的题目，我们要百分百争取做到全对，只有这样，才能保证取得一个较为理想的成绩。
高一数学必修：直线与方程(知识点)
α0°。
则直线的l 与x l 做直线的倾斜角。
当直线轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为倾斜角的取值2.确定一条直线的条件：直线上的一点和这个直线的倾斜角可以惟一确定一条直线。
3.确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角。
4.坡度（倾斜程度）：日常生活中，我们用“升高量与前进量的比”表示倾斜面的“坡度”（倾斜程度），即α的正切值叫做这条直线的斜率5.斜率：一条直线的倾斜角，我们用斜率表示直线的倾斜程度。
斜率常用表示，小写字母k注意：倾斜角是90°的直线没有斜率。
的直线的斜率公式(,),(,)6.经过两点≠P x y P x y x x 11122212()为l 1与l 2l l 1k 1=k 2l 1和l 2注意：若直线可能重合时，我们得到⇔∥2或重合8.如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于-1；反之，如果它们的斜率之积等于1⊥2⇔12=--1，那么它们互相垂直，即l l k k 15二、直线的方程（个）-0==0,l l 与x l 的倾斜角为0°时，tan0°=0，即k=0y -y 0=k (x -x 01.直线的点斜式方程（简称点斜式）：)【当直线，这是直线轴平行或重合，的方程就是y y y y 或0】注意：直线的点斜式方程仅适用于有斜率的情形，所以在求直线的方程时，应先讨论直线有无斜率。
0,y l x a l 与x 截距：我们把直线轴交点,0()的横坐标a 叫做直线在轴上的截距。
我们把直线与轴交点b () l 在y 的纵坐标b 叫做直线轴上的截距。
注意：截距不是距离，截距是数。
2.直线的斜截式方程（简称斜截式）：=+y kx b 注意：直线的斜截式方程仅适用于有斜率的直线。
注意：①直线的两点式方程不适用于没有斜率或斜率为0的直线。
一、直线的倾斜角与斜率1.倾斜角：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的夹角α叫高一数学必修：直线与方程（知识点）②若P x y P x y ,,,111222()()中有=x x 12或=y y 12时，直线PP 12没有两点式方程。
2020高中数学第三章直线与方程3.3直线的交点坐标与距离公式(第2课时)点到直线的距离、两条平行线间的距离
第2课时 点到直线的距离、两条平行线间的距离[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 106～P 109，回答下列问题：(1)如何用代数方法求点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离？提示：由P 0Q ⊥l ，以及直线l 的斜率为－A B ，可得l 的垂线P 0Q 的斜率为B A，因此，垂线P 0Q 的方程可求出．解垂线P 0Q 与直线l 的方程组成的方程组，得点Q 的坐标，用两点间距离公式求出|P 0Q |，即为点P 0到直线l 的距离．(2)能否将平行直线间的距离转化为点到直线的距离，如何转化？提示：能，由于一条直线上任意一点到另一条直线的距离都是两条平行直线间的距离，所以只要在一条直线上找到一个已知点，求这点到另一条直线的距离即可．2．归纳总结，核心必记 (1)点到直线的距离①概念：过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离． ②公式：点P (x 0，y 0)到直线l: Ax ＋By ＋C ＝0的距离，d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.(2)两平行直线间的距离①概念：夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离． ②公式：两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0之间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2.[问题思考]1．在使用点到直线的距离公式时，对直线方程的形式有何要求？ 提示：应用点到直线距离公式的前提是直线方程为一般式． 2．在使用两平行线间距离公式时，对直线方程的形式有何要求？ 提示：两直线的方程为一般式且x ，y 的系数分别相同．[课前反思]通过以上预习，必须掌握的几个知识点．(1)点到直线的距离公式是什么？应注意什么？ ；(2)两平行直线间的距离公式是什么？应注意什么？ .在铁路的附近，有一大型仓库，现要修建一条公路与之连接起来，易知，从仓库垂直于铁路方向所修的公路最短．将铁路看作一条直线l ，仓库看作点P .[思考1] 若已知直线l 的方程和点P 的坐标(x 0，y 0)，如何求P 到直线l 的距离？ 名师指津：过点P 作直线l ′⊥l ，垂足为Q ，|PQ |即为所求的距离．直线l 的斜率为k ，则l ′的斜率为－1k ，∴l ′的方程为y －y 0＝－1k(x －x 0)，联立l ，l ′的方程组，解出Q 点坐标，利用两点间距离公式求出|PQ |.[思考2] 在直角坐标系中，若P (x 0，y 0)，则P 到直线l: Ax ＋By ＋C ＝0的距离是不是过点P 到直线l 的垂线段的长度？提示：是．[思考3] 应用点到直线的距离公式应注意什么问题？名师指津：(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式．例如求P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离，应先把直线方程化为kx －y ＋b ＝0，得d ＝|kx 0－y 0＋b |k 2＋1.(2)点P 在直线l 上时，点到直线的距离为零，公式仍然适用，故应用公式时不必判定点P 与直线l 的位置关系．(3)直线方程Ax ＋By ＋C ＝0中A ＝0或B ＝0时，公式也成立，也可以用下列方法求点到直线的距离．①P (x 0，y 0)到x ＝a 的距离d ＝|a －x 0|；②P (x 0，y 0)到y ＝b 的距离d ＝|b －y 0|. 讲一讲1．(1)在平面直角坐标系xOy 中，点P (2,2)到直线4x ＋3y ＋5＝0的距离为________．(链接教材P 107－例5)(2)求垂直于直线x ＋3y －5＝0且与点P (－1,0)的距离是3510的直线l 的方程．[尝试解答] (1)由点到直线的距离公式可得d ＝|4×2＋3×2＋5|42＋32＝195. (2)设与直线x ＋3y －5＝0垂直的直线的方程为3x －y ＋m ＝0，则由点到直线的距离公式知：d ＝－－0＋m |32＋－2＝|m －3|10＝3510. 所以|m －3|＝6，即m －3＝±6. 得m ＝9或m ＝－3，故所求直线l 的方程为3x －y ＋9＝0或3x －y －3＝0. [答案] (1)195点到直线的距离的求解方法(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可．(2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x ＝a 或y ＝b ，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d ＝|x 0－a |或d ＝|y 0－b |.(3)若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可．练一练1．已知点A (a,2)(a ＞0)到直线l: x －y ＋3＝0的距离为1，则a ＝( ) A. 2 B ．2－ 2 C.2－1 D.2＋1解析：选C 由点到直线的距离公式知，d ＝|a －2＋3|2＝|a ＋1|2＝1，得a ＝－1± 2.又∵a ＞0，∴a ＝2－1.2．点P (2,4)到直线l ：3x ＋4y －7＝0的距离是________．解析：点P 到直线l 的距离d ＝|3×2＋4×4－7|32＋42＝155＝3. 答案：3观察下面坐标系中的直线，思考如下问题：[思考1] 若过P (x 0，y 0)的直线l ′与l: Ax ＋By ＋C ＝0平行，那么点P 到l 的距离与l ′与l 的距离相等吗？提示：相等．[思考2] 怎样理解两平行直线间的距离公式？名师指津：(1)求两平行线间的距离可以转化为求点到直线的距离，也可以利用公式． (2)利用公式求平行线间的距离时，两直线方程必须是一般式，且x ，y 的系数对应相等． (3)当两直线都与x 轴(或y 轴)垂直时，可利用数形结合来解决． ①两直线都与x 轴垂直时，l 1：x ＝x 1，l 2：x ＝x 2，则d ＝|x 2－x 1|； ②两直线都与y 轴垂直时，l 1：y ＝y 1，l 2：y ＝y 2，则d ＝|y 2－y 1|. 讲一讲2．已知直线l 1：3x －2y －1＝0和l 2：3x －2y －13＝0，直线l 与l 1，l 2的距离分别是d 1，d 2，若d 1∶d 2＝2∶1，求直线l 的方程．[尝试解答] 由直线l 1，l 2的方程知l 1∥l 2.又由题意知，直线l 与l 1，l 2均平行(否则d 1＝0或d 2＝0，不符合题意)．设直线l ：3x －2y ＋m ＝0(m ≠－1且m ≠－13)，由两平行线间的距离公式，得d 1＝|m ＋1|13，d 2＝|m ＋13|13， 又d 1∶d 2＝2∶1，所以|m ＋1|＝2|m ＋13|， 解得m ＝－25或m ＝－9.故所求直线l 的方程为3x －2y －25＝0或3x －2y －9＝0.求两平行直线间距离的两种思路(1)利用“化归”法将两条平行线的距离转化为求一条直线上任意一点到另一条直线的距离．(2)直接利用两平行线间的距离公式，当直线l 1：y ＝kx ＋b 1，l 2：y ＝kx ＋b 2，且b 1≠b 2时，d ＝|b 1－b 2|k 2＋1；当直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0且C 1≠C 2时，d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2，必须注意两直线方程中x ，y 的系数对应相等．练一练3．两直线3x ＋4y －2＝0与6x ＋8y －5＝0的距离等于( ) A ．3 B ．7 C.110 D.12解析：选C 在3x ＋4y －2＝0上取一点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，其到6x ＋8y －5＝0的距离即为两平行线间的距离，d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪0＋8×12－562＋82＝110.讲一讲3．两条互相平行的直线分别过点A (6,2)和B (－3，－1)，并且各自绕着A ，B 旋转，如果两条平行直线间的距离为d .求：(1)d 的变化范围；(2)当d 取最大值时两条直线的方程．[思路点拨] (1)由两平行线间的距离公式写出d 与斜率之间的函数关系式，不难求出d 的范围或利用数形结合求d 的范围．(2)求出d 取最大值时斜率的值，即可求出所求直线方程．[尝试解答] (1)法一：①当两条直线的斜率不存在时，即两直线分别为x ＝6和x ＝－3，则它们之间的距离为9.②当两条直线的斜率存在时，设这两条直线方程为l 1：y －2＝k (x －6)，l 2：y ＋1＝k (x ＋3)，即l 1：kx －y －6k ＋2＝0，l 2：kx －y ＋3k －1＝0，∴d ＝|3k －1＋6k －2|k 2＋1＝3|3k －1|k 2＋1，即(81－d 2)k 2－54k ＋9－d 2＝0. ∵k ∈R ，且d ≠9，d ＞0，∴Δ＝(－54)2－4(81－d 2)(9－d 2)≥0， 即0＜d ≤310且d ≠9.综合①②可知，所求d 的变化范围为(0,310]．法二：如图所示，显然有0＜d ≤|AB |. 而|AB |＝＋2＋＋2＝310.故所求的d 的变化范围为(0,310]．(2)由图可知，当d 取最大值时，两直线垂直于AB . 而k AB ＝2－－6－－＝13， ∴所求直线的斜率为－3.故所求的直线方程分别为y －2＝－3(x －6)，y ＋1＝－3(x ＋3)，即3x ＋y －20＝0和3x ＋y ＋10＝0.解这类题目常用的方法是待定系数法，即根据题意设出方程，然后由题意列方程求参数．也可以综合应用直线的有关知识，充分发挥几何图形的直观性，判断直线l 的特征，然后由已知条件写出l 的方程．练一练4．已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点． (1)若点A (5,0)到l 的距离为3，求l 的方程； (2)求点A (5,0)到l 的距离的最大值．解：(1)法一：联立⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0⇒交点P (2,1)，当直线斜率存在时，设l 的方程为y －1＝k (x －2)，即kx －y ＋1－2k ＝0， ∴|5k ＋1－2k |k 2＋1＝3，解得k ＝43，∴l 的方程为y －1＝43(x －2)，即4x －3y －5＝0.而直线斜率不存在时直线x ＝2也符合题意， 故所求l 的方程为4x －3y －5＝0或x ＝2.法二：经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0， 即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0， ∴＋λ－5|＋λ2＋－2λ2＝3，即2λ2－5λ＋2＝0，解得λ＝2或12，∴l 的方程为4x －3y －5＝0或x ＝2.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2,1)，过P 任意作直线l ，设d 为A 到l 的距离， 则d ≤|PA |(当l ⊥PA 时等号成立)， ∴d max ＝|PA |＝10.—————————[课堂归纳·感悟提升]———————————1．本节课的重点是掌握点到直线的距离公式，能用公式求点到直线的距离，会求两条平行直线间的距离．难点是能用公式求点到直线的距离．2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)点到直线的距离的求解方法，见讲1. (2)求两平行直线间的距离有两种思路，见讲2. (3)待定系数法求解有关距离问题的方法，见讲33．本节课的易错点是求两条平行线间距离时易用错公式，如讲2.课下能力提升(二十一) [学业水平达标练]题组1 点到直线的距离1．点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( ) A ．3 2 B.22 C ．3 D.322解析：选D 点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|1－－＋1|12＋－2＝322. 2．点(5，－3)到直线x ＋2＝0的距离等于( ) A ．7 B ．5 C ．3 D ．2解析：选A 直线x ＋2＝0，即x ＝－2为平行于y 轴的直线，所以点(5，－3)到x ＝－2的距离d ＝|5－(－2)|＝7.3．倾斜角为60°，并且与原点的距离是5的直线方程为________．解析：因为直线斜率为tan 60°＝3，可设直线方程为y ＝3x ＋b ，化为一般式得3x －y ＋b ＝0.由直线与原点距离为5，得|0－0＋b |32＋－2＝5⇒|b |＝10.所以b ＝±10，所以所求直线方程为3x －y ＋10＝0或3x －y －10＝0.答案：3x －y ＋10＝0或3x －y －10＝04．若点(2，k )到直线5x －12y ＋6＝0的距离是4，则k 的值是________． 解析：∵|5×2－12k ＋6|52＋122＝4，∴|16－12k |＝52， ∴k ＝－3，或k ＝173.答案：－3或173题组2 两条平行线间的距离5．已知直线l 1：x ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋y －1＝0，则l 1，l 2之间的距离为( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．2解析：选B 在l 1上取一点(1，－2)，则点到直线l 2的距离为|1－2－1|12＋12＝ 2. 6．两平行线分别经过点A (5,0)，B (0,12)，它们之间的距离d 满足的条件是( ) A ．0＜d ≤5 B ．0＜d ≤13 C ．0＜d ＜12 D ．5≤d ≤12解析：选B 当两平行线与AB 垂直时，两平行线间的距离最大，|AB |＝13，所以0＜d ≤13.7．已知直线l 经过点P (－2,5)，且斜率为－34.(1)求直线l 的方程；(2)若直线m 与l 平行，且点P 到直线m 的距离为3，求直线m 的方程． 解：(1)由直线方程的点斜式，得y －5＝－34(x ＋2)，整理得所求直线方程为3x ＋4y －14＝0.(2)由直线m 与直线l 平行，可设直线m 的方程为3x ＋4y ＋C ＝0， 由点到直线的距离公式得－＋4×5＋C |32＋42＝3， 即|14＋C |5＝3，解得C ＝1或C ＝－29， 故所求直线方程为3x ＋4y ＋1＝0或3x ＋4y －29＝0. 题组3 距离的综合应用8．直线l 过点A (3,4)且与点B (－3,2)的距离最远，那么l 的方程为( ) A ．3x －y －13＝0 B ．3x －y ＋13＝0 C ．3x ＋y －13＝0 D ．3x ＋y ＋13＝0解析：选C 由已知可知，l 是过A 且与AB 垂直的直线，∵k AB ＝2－4－3－3＝13，∴k l ＝－3，由点斜式得，y －4＝－3(x －3)，即3x ＋y －13＝0.9．已知△ABC 三个顶点坐标A (－1,3)，B (－3,0)，C (1,2)，求△ABC 的面积S .解：由直线方程的两点式得直线BC 的方程为y 2－0＝x ＋31＋3，即x －2y ＋3＝0.由两点间距离公式得|BC |＝－3－2＋－2＝2 5.设点A 到BC 的距离为d ，即为BC 边上的高，d ＝|－1－2×3＋3|12＋－2＝455， 所以S ＝12|BC |·d ＝12×25×455＝4，即△ABC 的面积为4.[能力提升综合练]1．(2016·济宁高一检测)两条平行线l 1：3x ＋4y －2＝0，l 2：9x ＋12y －10＝0间的距离等于( )A.75B.715C.415D.23解析：选C l 1的方程可化为9x ＋12y －6＝0，由平行线间的距离公式得d ＝|－6＋10|92＋122＝415. 2．到直线3x －4y －11＝0的距离为2的直线方程为( ) A ．3x －4y －1＝0B ．3x －4y －1＝0或3x －4y －21＝0C ．3x －4y ＋1＝0D ．3x －4y －21＝0解析：选B 设所求的直线方程为3x －4y ＋c ＝0.由题意|c －－32＋－2＝2，解得c ＝－1或c ＝－21.故选B.3．直线2x ＋3y －6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是( ) A ．3x －2y －6＝0 B ．2x ＋3y ＋7＝0 C ．3x －2y －12＝0 D ．2x ＋3y ＋8＝0解析：选 D 法一：设所求直线的方程为2x ＋3y ＋C ＝0，由题意可知|2－3－6|22＋32＝|2－3＋C |22＋32.∴C ＝－6(舍)或C ＝8.故所求直线的方程为2x ＋3y ＋8＝0. 法二：令(x 0，y 0)为所求直线上任意一点，则点(x 0，y 0)关于(1，－1)的对称点为(2－x 0，－2－y 0)，此点在直线2x ＋3y －6＝0上，代入可得所求直线方程为2x ＋3y ＋8＝0.4．直线l 到直线x －2y ＋4＝0的距离和原点到直线l 的距离相等，则直线l 的方程是__________．解析：由题意设所求l 的方程为x －2y ＋C ＝0，则|C －4|12＋22＝|C |12＋22，解得C ＝2，故直线l 的方程为x －2y ＋2＝0.答案：x －2y ＋2＝05．已知直线l 与直线l 1：2x －y ＋3＝0和l 2：2x －y －1＝0的距离相等，则l 的方程是____________________．解析：法一：由题意可设l 的方程为2x －y ＋c ＝0，于是有|c －3|22＋－2＝|c －－22＋－2，即|c －3|＝|c ＋1|，解得c ＝1，则直线l 的方程为2x －y ＋1＝0.法二：由题意知l 必介于l 1与l 2中间，故设l 的方程为2x －y ＋c ＝0，则c ＝3＋－2＝1.则直线l 的方程为2x －y ＋1＝0.答案：2x －y ＋1＝06．已知正方形ABCD 一边CD 所在直线的方程为x ＋3y －13＝0，对角线AC ，BD 的交点为P (1,5)，求正方形ABCD 其他三边所在直线的方程．解：点P (1,5)到l CD 的距离为d ，则d ＝310.∵l AB ∥l CD ，∴可设l AB ：x ＋3y ＋m ＝0.点P (1,5)到l AB 的距离也等于d ， 则|m ＋16|10＝310 . 又∵m ≠－13，∴m ＝－19，即l AB ：x ＋3y －19＝0.∵l AD ⊥l CD ，∴可设l AD ：3x －y ＋n ＝0，则P (1,5)到l AD 的距离等于P (1,5)到l BC 的距离，且都等于d ＝310，|n －2|10＝310，n ＝5，或n ＝－1， 则l AD ：3x －y ＋5＝0，l BC ：3x －y －1＝0.所以，正方形ABCD 其他三边所在直线方程为x ＋3y －19＝0,3x －y ＋5＝0,3x －y －1＝0.7．已知点P (2，－1)．(1)求过点P 且与原点的距离为2的直线的方程；(2)求过点P 且与原点的距离最大的直线的方程，并求出最大距离；(3)是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？若存在，求出该直线的方程；若不存在，说明理由．解：(1)①当直线的斜率不存在时，方程x ＝2符合题意；②当直线的斜率存在时，设斜率为k ，则直线方程应为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0. 根据题意，得|2k ＋1|k 2＋1＝2，解得k ＝34. 则直线方程为3x －4y －10＝0.故符合题意的直线方程为x －2＝0或3x －4y －10＝0.(2)过点P 且与原点的距离最大的直线应为过点P 且与OP 垂直的直线．则其斜率k ＝2，所以其方程为y ＋1＝2(x －2)， 即2x －y －5＝0.最大距离为5，(3)不存在．理由：由于原点到过点(2，－1)的直线的最大距离为5，而6＞5，故不存在这样的直线.。
高中数学必修2知识点总结：第三章直线与方程
高中数学必修2知识点总结：第三章直线与方程文章摘要：坐标法是以坐标系为桥梁，把研究几何问题转化成代数问题，通过代数运算研究几何图形*质的方法，是解析几何中最基本的研究方法。
通过坐标系把点与坐标、曲线与方程联系起来，实现空间形式与数量关系的结合。
教材要求：掌握如何在直角坐标系中建立直线的方程；并通过圆的方程研究直线的有关*质，如平行、垂…【编者按】坐标法是以坐标系为桥梁，把研究几何问题转化成代数问题，通过代数运算研究几何图形*质的方法，是解析几何中最基本的研究方法。
通过坐标系把点与坐标、曲线与方程联系起来，实现空间形式与数量关系的结合。
教材要求：掌握如何在直角坐标系中建立直线的方程；并通过圆的方程研究直线的有关*质，如平行、垂直、两条直线的交点、点到直线的距离等。
一、直线与方程高考考试内容及考试要求：考试内容：1．直线的倾斜角和斜率；直线方程的点斜式和两点式；直线方程的一般式；2．两条直线平行与垂直的条件；两条直线的交角；点到直线的距离；考试要求：1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程；2．掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系；二、直线与方程课标要求：1．在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素；2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系；4．会用代数的方法解决直线的有关问题，包括求两直线的交点，判断两条直线的位置关系，求两点间的距离、点到直线的距离以及两条平行线之间的距离等。
要点精讲：1．直线的倾斜角：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角。
直线与方程知识点总结
直线与方程知识点总结直线是我们在数学学习中经常接触到的一个概念，而直线的方程则是描述直线位置的重要工具。
在本文中，我们将对直线与方程的相关知识点进行总结，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一部分内容。
首先，我们来看一下直线的一般方程。
一般来说，直线的一般方程可以写作Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，且A和B不同时为0。
这个方程描述了平面上所有满足这个关系的点的集合，也就是直线的位置。
在实际应用中，我们可以通过这个方程来描述各种各样的直线，从而解决各种问题。
其次，我们需要了解直线的斜率和截距。
直线的斜率是描述直线倾斜程度的一个重要参数，通常用k来表示。
斜率的计算公式为k = (y2 y1) / (x2 x1)，其中(x1, y1)和(x2, y2)是直线上的两个点。
而直线的截距则是直线与坐标轴的交点坐标，分别记为x轴截距和y轴截距。
通过斜率和截距，我们可以更直观地理解直线的性质和特点。
另外，我们还需要掌握直线的点斜式和斜截式方程。
点斜式方程是描述直线的一种常用形式，它的形式为y y1 = k(x x1)，其中(x1, y1)是直线上的一个点，k是直线的斜率。
而斜截式方程则是另一种描述直线的形式，它的形式为y = kx + b，其中k是直线的斜率，b是直线与y轴的交点坐标。
这两种方程形式在不同情况下都有其独特的应用，我们需要根据具体问题选择合适的形式来描述直线。
最后，我们需要了解直线的平行和垂直关系。
两条直线平行的条件是它们的斜率相等，而两条直线垂直的条件是它们的斜率的乘积为-1。
通过这些条件，我们可以判断两条直线之间的相对位置关系，从而解决各种与直线相关的问题。
总的来说，直线与方程是数学中的重要知识点，它们在几何、代数、应用问题等方面都有着广泛的应用。
通过对直线的斜率、截距、方程形式以及相对位置关系的理解，我们可以更好地理解和运用直线的相关知识，解决各种实际问题。
希望本文的知识点总结能够帮助大家更好地掌握这一部分内容，提高数学学习的效果。
高二数学直线与方程知识点
高二数学直线与方程知识点直线和方程是高中数学中常见的知识点，对于学习数学的同学来说是非常重要的基础内容。
本文将对高二数学中与直线和方程相关的知识点进行详细介绍。
一、直线的一般方程在平面直角坐标系中，一条直线可以由其一般方程表示，即Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，且A和B不同时为0。
这个方程表示了所有直线上的点的集合。
二、直线的斜截式方程直线的斜截式方程表示为y = kx + b，其中k为直线的斜率，b 为直线与y轴的截距。
斜截式方程直观地表示了直线与y轴交点的位置以及直线的斜率。
三、直线的点斜式方程直线的点斜式方程表示为y - y₁ = k(x - x₁)，其中(x₁, y₁)是直线上的一点，k为直线的斜率。
点斜式方程表示了直线上两点之间的关系，通过已知一点和斜率可以确定一条直线。
四、直线的截距式方程直线的截距式方程表示为x/a + y/b = 1，其中a、b分别为直线与x轴和y轴的截距。
截距式方程可以快速确定直线与坐标轴的交点位置。
五、直线的平行和垂直关系两条直线平行的充要条件是它们的斜率相等，而两条直线垂直的充要条件是它们的斜率的乘积为-1。
平行和垂直关系是直线之间的重要性质，可以通过斜率的性质进行判断和证明。
六、直线与线段的位置关系直线与线段的位置关系可以分为三种情况：相交，平行和重合。
通过判断直线与线段的交点个数和位置可以确定其位置关系。
七、直线的距离公式直线与平面上任意一点的距离可以通过点到直线的距离公式计算。
设直线的一般方程为Ax + By + C = 0，点P的坐标为(x₁, y₁)，则点P到直线的距离为d = |Ax₁ + By₁ + C| / √(A² + B²)。
八、方程的根与解法在解方程时，我们常用到的方法有因式分解法、配方法、公式法等。
根据方程的形式选择合适的解法，通过化简方程逐步求解来确定方程的根。
九、一次函数方程一次函数方程表示为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。
直线与方程知识点归纳高二
直线与方程知识点归纳高二直线与方程知识点归纳直线和方程是高中数学中的重要知识点，它们广泛应用于几何学和代数学中。
了解直线和方程的基本概念、性质和应用，对于深入理解数学知识和解决实际问题非常重要。
本文将对直线与方程的相关知识进行归纳和总结。
一、直线的定义和性质直线是几何中最基本的图形之一，它由一系列无限延伸的点组成，并且任意两点都能确定一条直线。
直线有以下性质：1. 直线的斜率：直线的斜率是描述其倾斜程度的一个值，可以表示为一个数值或者一个代数表达式。
斜率可以用于计算直线上两点间的变化率，也可以用于判断直线的平行性和垂直性。
2. 直线的截距：直线与坐标轴的交点称为截距，分为x轴截距和y轴截距。
两个截距可以用来确定直线的位置和方程。
3. 直线的方程：直线可以通过方程来表示，常见的直线方程形式有点斜式、一般式、截距式等。
其中点斜式方程是通过直线上的一点和斜率来确定的，一般式方程是通过直线的系数和常数项来确定的，截距式方程是通过直线与坐标轴的截距来确定的。
二、方程的基本概念和性质方程是用来表示等式的数学语句，包括代数方程、几何方程等。
在数学中，方程有以下重要概念和性质：1. 未知数和已知数：方程中的未知数是需要求解的变量，已知数是已知的常数或者已知的变量。
通过方程可以求解出未知数的值，从而使等式成立。
2. 方程的解：一个方程可以有一个或多个解，解是使得方程成立的未知数的值。
解可以通过代入法、消元法、因式分解等方法求解。
3. 一元方程和二元方程：一元方程只有一个未知数，例如x+3=7；二元方程有两个未知数，例如x+y=10。
三、直线与方程的关系直线和方程是密切相关的，直线可以表示为一个方程，并且方程可以描述直线的各种性质和特征。
下面介绍几个常见的与直线和方程相关的概念和定理：1. 直线的平行和垂直关系：如果两条直线的斜率相等，那么它们平行；如果两条直线的斜率乘积为-1，那么它们垂直。
2. 直线的交点：两条直线的交点是使得两个方程同时成立的点，可以通过联立方程求解来确定交点的坐标。
高中数学易错知识点总结 直线与方程
高中数学易错知识点总结直线与方程易错点1：忽略90°倾斜角的特殊情形例1：求经过点A(m，3)和B(1，2)的直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围。
错误解法】根据斜率公式，直线AB的斜率k为：k = (3-2)/(m-1)①当m>1时，k>0，因此直线的倾斜角α的取值范围是0°<α<90°；②当m<1时，k<0，因此直线的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°。
错误原因分析】当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象进行分类讨论，然后对每一类分别研究，得出每一类结果，最终解决整个问题。
本题的讨论分两个层次：第一个层次是讨论斜率是否存在；第二个层次是讨论斜率的正、负。
也可以分为m=1，m>1，m<1三种情况进行讨论。
参考答案】详见试题解析。
易错点2：忽略斜率不存在的特殊情形例2：已知直线l1经过点A(3，a)和B(a-2，3-a)，直线l2经过点C(2，3)和D(-1，a-5)，若l1⊥l2，求a的值。
错误解法】由l1⊥l2⇔k1·k2=-1，所以a=0.k2 = (3-a-3)/(a-2+1) = (a-6)/(a-1)，k1不存在。
错误原因分析】只有在两条直线斜率都存在的情况下，才有l1⊥l2⇔k1·k2=-1，还有一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在的情况也要考虑。
试题解析】由题意知l2的斜率一定存在，则l2的斜率可能为0，下面对a进行讨论。
当k2=0时，a=5，此时k1不存在；当k2≠0时，由k1·k2=-1可得a=4或a=-2.因此，a的取值为4、-2或5.2.由两条直线平行或垂直求参数的值：在解这类问题时，需要先考虑斜率不存在的可能性，是否需要分情况讨论；解题后，需要检验答案的正确性，看是否出现增解或漏解。
3.两条直线的位置关系可以通过斜截式或一般式来表示。
高三文科数学直线与方程知识点复习
直线与方程一、倾斜角当直线与X轴相交时,取X轴为基准,叫做直线得倾斜角。
当直线与X轴平行或重合时,规定直线得倾斜角为,因此,直线得倾斜角得取值范围就是。
二、斜率(1)定义:一条直线得倾斜角得叫做这条直线得斜率;当直线得倾斜角时,该直线得斜率;当直线得倾斜角等于时,直线得斜率。
(2)过两点得直线得斜率公式:过两点得直线得斜率公式。
若,则直线得斜率,此时直线得倾斜角为。
练习:1、已知下列直线得倾斜角,求直线得斜率(1)(2)(3)(4)2、求经过下列两点直线得斜率,并判断其倾斜角就是锐角还就是钝角(1) (2)(3) (4)3,判断正误（1）直线得倾斜角为任意实数。
( )（2）任何直线都有斜率。
( )（3）过点得直线得倾斜角就是。
( )（4）若三点共线,则得值就是-2、( )三、注:必记得特殊三角函数值表四、直线得常用方程1、直线得点斜式: 适用条件就是:斜率存在得直线。
2、斜截式:3、截距式: ,为x轴与y轴上得截距。
4、两点式: ()5、直线得一般式方程:练习:1、写出下列直线得点斜式方程（1）经过点A(3,-1),斜率为（2）经过点倾斜角就是（3）经过点C(0,3),倾斜角就是（4）经过点D(-4,-2),倾斜角就是2、写出下列直线得斜截式方程（1）斜率就是在轴上得截距就是-2（2）斜率就是-2,在y轴上得截距就是43、填空题（1）已知直线得点斜式方程就是则直线得斜率就是_________,经过定点________,倾斜角就是______________;（2）已知直线得点斜式方程就是则直线得斜率就是_________,经过定点________,倾斜角就是______________;4、判断(1)经过顶点得直线都可以用方程表示。
( )(2)经过顶点得直线都可以用方程表示。
( )(3)不经过原点得直线都可以用表示。
( )(4)经过任意两个不同得点得直线都可以用方程表示。
( )直线得一般式方程为:,当B不等于0时直线得斜率为_________一般求完直线方程后化成一般式。
高中数学-直线与方程章末归纳总结
【解析】 【评析】考查直线系方程.
过点P（-1，0）,Q（0，2）分别作两条互相平行的直 线，使它们在x轴上截距之差的绝对值为1，求这两条直 线的方程.
【解析】
专题三 最值问题 如图1，过点P（2，1）作直线l，与x轴,y轴正半轴 分别交于A,B两点，求： （1）△AOB面积的最小值及 此时直线l的方程； （2）求直线l在两坐标轴上截 距之和的最小值及此时直线l的方程. 【分析】最值问题是高考题中非常重要的一种题型， 涉及面非常广泛，在函数中求最值是我们常见的题 型.与直线有关的问题有时也涉及到最值问题，在解 决这类问题时经常转化为函数求最值问题.
如图2，过点A（1，1）且斜率为-m（m＞0）的直线l与x 轴,y轴分别交于P,Q两点，过P,Q作直线2x+y=0的垂线，垂 足为R,S，求四边形PQSR面积的最小值.
【解析】
【解析】
∵用定义可证明2k+ k1
在（-∞,-
2 2
]上单调递增，
在[- 2 ，0）上单调递减，2源自∴2k+1 k
有最大值-2
2
,此时k=-
2 ,即k=-
2
2 时截距
2
之和最小值为3+2 2 ，此时l的方程为y-1=- 2（2 x-
2），即 2x+2y-2-2 2 =0.
【评析】本题也可使用截距式方程进行求解，不妨试 一试.
专题二 求直线方程 求经过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线 3x+y-1=0平行的直线方程.
【分析】过两直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交 点的直线方程为（A1x+B1y+C1） +λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R),但此直线不包括 A2x+B2y+C2=0.
直线与方程知识点总结
直线与方程知识点总结直线作为几何中最基本的图形之一，其方程的相关知识在数学中具有重要地位。
以下将对直线与方程的知识点进行详细总结。
一、直线的倾斜角与斜率1、倾斜角直线与 x 轴正方向所成的角叫做直线的倾斜角。
倾斜角的取值范围是0, π)。
当直线与 x 轴平行或重合时，倾斜角为 0；当直线垂直于 x 轴时，倾斜角为π/2 。
2、斜率直线的斜率是倾斜角的正切值，常用 k 表示。
若直线的倾斜角为α（α≠π/2），则斜率 k ＝tanα。
对于两点 P₁(x₁, y₁)，P₂(x₂, y₂)，则直线 P₁P₂的斜率 k ＝（y₂ y₁)／（x₂ x₁)（x₁≠x₂）。
斜率反映了直线的倾斜程度，斜率越大，直线越陡峭；斜率越小，直线越平缓；斜率为正，直线上升；斜率为负，直线下降；斜率为 0，直线水平。
二、直线的方程1、点斜式若直线过点 P(x₀, y₀)，且斜率为 k，则直线方程为 y y₀＝ k(xx₀) 。
2、斜截式若直线斜率为 k，在 y 轴上的截距为 b，则直线方程为 y ＝ kx ＋ b 。
3、两点式若直线过两点 P₁(x₁, y₁)，P₂(x₂, y₂)（x₁≠x₂，y₁≠y₂），则直线方程为（y y₁)／（y₂ y₁) ＝（x x₁)／（x₂ x₁) 。
4、截距式若直线在 x 轴、y 轴上的截距分别为 a、b（a≠0，b≠0），则直线方程为 x/a ＋ y/b ＝ 1 。
5、一般式Ax ＋ By ＋ C ＝ 0（A、B 不同时为 0），这是直线方程的一般形式。
三、两条直线的位置关系1、平行两条直线斜率都不存在时，两直线平行；两条直线斜率都存在时，若斜率相等，截距不相等，则两直线平行。
2、垂直两条直线斜率都存在时，若斜率之积为－1，则两直线垂直；一条直线斜率为 0，另一条直线斜率不存在时，两直线垂直。
四、点到直线的距离点 P(x₀, y₀)到直线 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 的距离 d ＝｜Ax₀＋ By₀＋ C| ／√（A²＋ B²) 。
高一直线与方程的知识点
高一直线与方程的知识点在高一的数学学习中，直线与方程是一个重要的知识点。
它是数学中的一个基础概念，也是应用广泛的数学工具之一。
本文将为大家介绍高一直线与方程的相关知识，并深入探讨其应用。
一、直线的定义和性质直线是数学中最简单的几何图形之一，具有以下特点：直线上的任意两点可以确定一条直线，直线是无限延伸的，没有弯曲。
直线的方程是表示直线上所有点坐标满足的关系式。
一般形式为Ax+By+C=0，其中A、B、C是常数，且A和B不同时为0。
直线的斜率是直线的一个重要性质。
斜率可以用来描述直线的方向和倾斜程度。
斜率的计算方法是根据直线上两点的坐标差来确定。
二、直线的方程直线有多种不同的方程形式，常见的有一般式、点斜式和斜截式。
一般式方程是最基本的直线方程形式。
通过使用一般式方程，可以描述直线在坐标系中的位置和性质。
点斜式方程是利用直线上一个已知点和直线的斜率来表示直线的方程形式。
给定一个点(x1, y1)和斜率k，点斜式方程可以表示为(y - y1) = k(x - x1)。
斜截式方程是以直线的斜率和截距来表示的方程形式。
斜截式方程的一般形式是y = kx + b，其中k是斜率，b是截距。
三、线性方程组线性方程组是由若干个线性方程组成的方程组。
线性方程组的求解是高一阶段数学学习的重点内容之一。
线性方程组的求解方法有多种，其中最常用的是代入法、消元法和矩阵法。
代入法是将一个方程的解代入另一个方程中，从而求解未知数的值；消元法是通过逐步消去未知数来求解方程组；矩阵法是通过线性方程组的矩阵表示，利用矩阵运算来求解。
线性方程组的解可以分为唯一解、无解和无穷解三种情况。
唯一解表示方程组有且只有一个解，无解表示方程组没有解，无穷解表示方程组有无限多个解。
四、应用举例直线与方程在实际生活中有广泛的应用。
以下是几个常见的应用举例：1. 交通规划：城市的交通规划中，经常需要根据道路之间的关系和空间分布来确定道路的走向。
通过确定直线的方程，可以帮助规划人员更好地确定交通路线。
高考数学复习点拨：直线与方程、圆与方程知识回顾
直线与方程、圆与方程知识回顾山东 李玉福空间直角坐标系要用类比的思想方法来学习空间直角坐标系,即要将空间直角坐标系与平面直角坐标系类比，在平面直角坐标系中过原点作垂直于x 轴，y 轴的z 轴，这样就建立起了空间直角坐标系.平面上确定一点的位置需要两个坐标，通过类比，我们可以知道，在空间上确定一点的位置则需要三个坐标，即在空间直角坐标系中，过一点作两条轴所确定的平面的平行平面交另一条轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点的相应的一个坐标。
平面直角坐标系中，利用勾股定理推导出了平面两点距离公式，通过类比，我们在空间直角坐标系中通过较强的空间想象力也构造了勾股定理推导出了空间两点距离公式.空间两点距离公式的应用同平面两点距离公式一样也是十分广泛的，这一点同学们将会随着学习的深入逐渐体会到。
这样我们运用类比化归的思想方法将平面直角坐标系的知识渗透到了空间直角坐标系中.圆的方程1． 圆的方程有两种：设圆心为()a b ，，半径为r 的圆的标准方程为222()()(0)x a y b r r -+-=>，展开得22222220x y ax by a b r +--++-=．其形式为220xy Dx Ey F ++++=的方程,称为圆的一般方程, 配方得22224224D E D E F x y +-⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其方程特点： ①22x y ，项的系数相等且不为零；②没有xy 这样的项，也就是二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的条件是：①0A C =≠，②0B =，③2240D E F +->．2．在圆的方程的两种表达形式中，都含有三个独立的条件，因此在用待定系数法求圆的方程时，要善于根据已知条件的特征来选择圆的方程的形式，如果已知条件容易求出圆心坐标和半径或需利用圆心坐标列方程的问题，通常选用圆的标准方程，再用待定系数法求出a ，b ,r ;如果已知圆经过某些点或已知条件和圆心坐标、半径都无直接关系，则常用圆的一般方程，再用待定系数法求出D ，E ，F .另外,利用直接法和圆系也是求圆的方程的常用方法。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高中数学总复习之30 直线与方程 一、选择题1.已知直线l 的方程为(m 2-2m-3)x+(2m 2+m-1)y=m+5(m ∈R),其倾斜角为4π,则实数m 的值为( )A.34 B.-1 C.34- D.134-或解析：直线的倾斜角为4π，则斜率为1,即直线方程中x 、y 的系数互为相反数,且不为0.由(m 2-2m-3)+(2m 2+m-1)=0,解得m=34或m=-1,但m=-1时,2m 2+m-1=0,故应舍去.答案：A2.下列几个命题中是真命题的是( )A.经过定点P 0(x 0,y 0)的直线都可以用方程y-y 0=k(x-x 0)表示B.经过任意两个不同的点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)的直线都可以用方程(y-y 1)(x 2-x 1)=(x-x 1)(y 2-y 1)表示C.不经过原点的直线都可以用方程1=+bya x 表示 D.经过点A(0,b)的直线都可以用方程y=kx+b 表示解析：A 、D 均不包括斜率不存在的情况,而C 不能表示那些平行于坐标轴的直线.说明：用直线方程的点斜式和斜截式解题时,要注意分斜率存在与否两种情况进行讨论.而用直线方程的截距式时,要注意对截距为零时情况的讨论,防止漏解. 答案：B3.若AC<0,BC<0,那么直线Ax+By+C=0不经过( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 解析：直线可整理为y=BC x B A --. ∵AC<0,BC<0, ∴AB>0,则.0,0>-<-BCB A 故直线不经过第三象限.答案：C4.已知直线的倾斜角为α,且sinα=54,则此直线的斜率是( ) A.34 B.34- C.±34 D.±43 解析：由sinα=54,得cosα=±53,故tanα=34cos sin ±=αα. 答案：C5.如图,直线l 1,l 2,l 3的斜率分别为k 1,k 2,k 3,则( )A.k 1<k 2<k 3B.k 3<k 1<k 2C.k 3<k 2<k 1D.k 1<k 3<k 2 解析：由k=tanα,知k 1<k 3<k 2. 答案：D6.将直线y=3x 绕原点逆时针旋转90°,再向右平移1个单位,所得到的直线为( )A.y=3131+-x B.y=131+-x C.y=3x-3 D.y=131+x解析：将直线y=3x 绕原点逆时针旋转90°得到直线y=31-x,再向右平移1个单位,所得到的直线为y=)1(31--x ,即y=3131+-x ,选A.答案：A7.已知两点P(-1,1),Q(2,2),若直线l:x+my+m=0与线段PQ 没有公共点,则m 的取值范围是( )A.2132<<-m B.m<2132>-m 或 C.m≤0或m>21 D.m<32-解析：由题意,知直线l 过定点M(0,-1),如图所示.k MP =-2,k MQ =23,k l =m 1-(m≠0).需-2<231<-m ,解得m<32-或m>21.答案：B8.直线x=2与直线y=3x-2的夹角是( )A.30°B.45°C.60°D.90°答案：A9.已知函数f(x)=(x-1)(log 3a)2-6log 3a·x+x+1在x ∈［0,1］内恒为正值,则a 的取值范围是( ) A.-1<a<31B.a<31C.33>aD.3331<<a 解析：f(x)=［(log 3a)2-6·log 3a+1］x-(log 3a)2+1.由题意,需3332333131log 102log 601)(log 0)1(0)0(<<⇒<<-⇒⎩⎨⎧>+->+-⇒⎩⎨⎧>>a a a a f f .答案：D10.若直线l:y=kx-1与直线x+y-1=0的交点位于第一象限,则实数k 的取值范围是( ) A.(-∞,-1) B.(-∞,-1］ C.(1,+∞) D.［1,+∞)解析：如图,作出直线x+y-1=0的图象,它与x 轴、y 轴的交点分别为(1,0)、(0,1),直线y=kx-1过点(0,-1),因此,直线y=kx-1与直线x+y-1=0的交点在第一象限时,k>1,选择C. 答案：C 二、填空题1.过点P(1,2)且在坐标轴上的截距相等的直线方程为___________. 解析：过原点及P 点的直线方程为y=2x,显然符合题意.另设直线1=+aya x 符合条件,将P(1,2)代入,得a=3,所求另一直线方程为x+y=3. 答案：y=2x 或x+y=32.已知a ＞0,若平面内三点A(1,-a),B(2,a 2),C(3,a 3)共线,则a=_____________.解析：由k AB =k BC ,即11232a a a a -=+,可得a(a 2-2a-1)=0,即a=1±2或a=0,又a>0,故a=1+2. 答案：1+23.如图,在平面直角坐标系xOy 中,设三角形ABC 的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C(c,0);点P(0,p)为线段AO 上的一点(异于端点),这里a,b,c,p 为非零常数.设直线BP 、CP 分别与边AC 、AB 交于点E 、F.某同学已正确求得直线OE 的方程为0)11()11(=-+-y ap x c b .请你完成直线OF 的方程:(__________)x+0)11(=-y ap .解析：点E 为直线BP:1=+p y b x 与直线AC:1=+ayc x 的交点, 两方程相减可得;0)11()11(=-+-y ap x cb 点F 为直线CP:1=+p y c x 与直线AB:1=+ayb x 的交点,两方程相减,可得 .0)11()11(=-+-y ap x b c 答案：bc 11- 4.若直线l 过点P(2,3),且方向向量n=(1,43-),则直线l 的方程为______________. 解析：设P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)是直线l 上两点,其方向向量的坐标为(x 2-x 1,y 2-y 1). 当x 1≠x 2时,方向向量可表示为(1,k),其中k 是直线l 的斜率,∴k=43-,代入点斜式即得所求的直线方程___________. 答案：3x+4y-18=0 三、解答题1.如图,抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点,点P(1,2)、A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)均在抛物线上,当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时,求y 1+y 2的值及直线AB 的斜率.解：由已知设抛物线的方程为y 2=2px. ∵点P(1,2)在抛物线上,∴22=2p,即p=2.∴抛物线的方程为y 2=4x. ∵12,122211--=--=x y k x y k PB PA ,且PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补, ∴k PA =-k PB .又2221214,4x y x y ==, ∴14121412222211---=--y y y y . ∴y 1+2=-(y 2+2).∴y 1+y 2=-4. ∴k AB =)(144421211212x x y y x x y y ≠-=-++=--.2.设直线l 的方程为2x+By-1=0,倾斜角为α. (1)若326παπ<<,试求B 的取值范围; (2)若B ∈(-∞,2),求α的取值范围. 解：(1)充分利用定义k=tanα(α≠2π)的图象. ①若B=0,则α=2π; ②若B≠0,则k l =B2-.326παπ<<, ∴k l >33或k l <3-,代入,解得32-<B<0或0<B<332. 综合①②,知33232<<-B . (2)若B<-2,则0<B 2-<1,即0<tanα<1,∴0<α<4π. 3.已知i =(1,0),j =(0,1),经过原点O 以u =i +m j 为方向向量的直线与过定点A(0,1),以v=mi-j 为方向向量的直线相交于点P,其中m ∈R .试问:是否存在一个定点Q 使|PQ|为定值?若存在,求出Q 点坐标;若不存在,请说明理由. 解：存在.u =(1,m),v =(m,-1), 设P(x,y),则OP =(x,y), AP =(x,y-1),∵OP ∥u ,∥v ,则⎩⎨⎧-=-=),1(,y m x y mx消参数m,得x 2+(y-21)2=41,故存在一定点Q(0,21),使|PQ|为定值21.4.过点P(-1,-2)的直线l 分别交x 轴和y 轴的负半轴于A 、B 两点,当|PA|·|PB|最小时,求l 的方程.解：由题意,知直线l 的斜率必存在,设直线l 的方程为y+2=k(x+1),易得A ),2,0(),0,12(--k B k 由⎪⎩⎪⎨⎧<-<-,02,012k k 得k<0.(|PA||PB|)2=［(k 2)2+4］(k 2+1)=4(2+k 2+21k )≥4(2+2)=16,当且仅当k 2=21k,即k=-1时,|PA|·|PB|取得最小值4,此时直线l 的方程为y+2=(-1)(x+1),即x+y+3=0.。