高等数学课件上第33泰勒
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高等数学课件--D33泰勒公式
a221!pn(x0)21 ! f(x0),, ann1!pn(n)(x0)n1 ! f(n)(x0)
故 pn(x) f ( x0 ) f(x 0 )x ( x 0 )21 ! f(x0)x (x0)2
18.06.2019
n1 ! f同(济n ) 高(等x 数0 学)课x 件( x 0 )n
0,
(1)m1,
k2m (m1,2, ) k2m 1
则 pn(x)
a1 2a2(xx0) n a n (x x 0 )n 1
pn (x) 2!a2 n ( n 1 ) a n ( x x 0 ) n 2
pn(n)(x)
n!an
a0pn(x0)f(x0),
a1pn (x0)f(x0),
第三节 泰勒公式
第三章
理论分析 目的－用多项式近似表示函数. 应用
近似计算
一、泰勒公式的建立
二、几个初等函数的麦克劳林公式
三、泰勒公式的应用
18.06.2019
同济高等数学课件
一、泰勒公式的建立
在微分应用中已知近似公式 :
f ( x) f(x 0)f(x 0)x ( x 0) y
yf(x)
同济高等数学课件
在泰勒公式中若取 x0 0,记 x( 0 1 ),则有
f (0) f(0)x f (0) x2 f (n) (0) xn
2!
n!
称为麦克劳林( Maclaurin )公式 .
由此得近似公式
若在f (公xf)(式x)成f(立xf0(的)0 )区f间(fx 上0 (0))x xf( (nx 10 f)() 2x(!0)) fx22M (x !0, )则(x有误fx(0nn差))!(20估 ) 计xn式
高中数学(人教版)泰勒公式课件PPT课件演示文稿
第22页，共27页。
例1 计算无理数 的近似值,使其误差不超过
例2 在区间
上用近似公式
计算Байду номын сангаас
当用下列各式计算时,欲使误差小于0.001，
A可取多大？ (1)
y
x
x3 3!
4 yx
2
y
x
x3 3!
x5 5!
(2)
6 4 2 024 6
(3)
2
4
第23页，共27页。
三、泰勒公式的应用
(一) 近似计算
(二) 求极限 (三) 其它应用
x0 )n2
用 洛 必 达
Rn( x0 ) 0
lim
R(n1) n
(
x)
xx0 n!( x x0 )
法
则
R(n1) n
(
x0
)
0
1 lim
n! x x0
R(n1) n
(
x)
R(n1) n
(
x0
)
x x0
1 n!
R(n) n
(
x0
)
0
第7页，共27页。
➢ 泰勒(Taylor)中值定理1
如果函数
(1在x0与x 之间)
用 柯
Rn (1 ) Rn ( x0 ) (n 1)(1 x0 )n 0
(n
Rn(2 ) 1)n(2
x0
)n1
西 中 值
( 2在x0与1之间)
定 理
R(n) n
(n
)
Rn( n )
(
x0
)
(n 1)2(n x0 ) 0
R(n1) n
(
)
(n 1) !
高等数学课件33泰勒公式.ppt
端点的区间上满足柯西中值定理的条件,得
Rn( x) ( x x0 )n1
Rn ( x) Rn( x0 ) ( x x0 )n1 0
(n
Rn (1 ) 1)(1
x0
)n
(1在x0与x之间)
$3-3Taylor公式 8
两函数 Rn ( x)及(n 1)( x x0 )n 在以 x0 及1为端点
一、问题的提出
1.设 f ( x)在x0处连续,则有
f (x)
f (x0 )( lim x x0
f (x)
f ( x0 ), f ( x)
f (x0) )
2.设 f ( x)在x0 处可导,则有
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
(
f ( x0 )
lim
a f ( x ),
0
0
1 a f ( x ),
1
0
2!a2 f ( x0 ),
, n!an f (n)( x0 ),
得
ak
1 k!
f
(k) ( x0 )
(k 0,1,2,, n)
代入Pn ( x)中得
Pn( x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x
x0 )
f
( x0 2!
)
(
注意:
1. 当n 0时,泰勒公式变成拉氏中值公式
f ( x) f ( x0 ) f ( )( x x0 ) (在x0与x之间);
2.取 x0 0,
在0 与x 之间,令 x (0 1),
则余项
Rn( x)
f (n1) (x) xn1 .
(n 1)!
(remainder term)
Rn( x) ( x x0 )n1
Rn ( x) Rn( x0 ) ( x x0 )n1 0
(n
Rn (1 ) 1)(1
x0
)n
(1在x0与x之间)
$3-3Taylor公式 8
两函数 Rn ( x)及(n 1)( x x0 )n 在以 x0 及1为端点
一、问题的提出
1.设 f ( x)在x0处连续,则有
f (x)
f (x0 )( lim x x0
f (x)
f ( x0 ), f ( x)
f (x0) )
2.设 f ( x)在x0 处可导,则有
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
(
f ( x0 )
lim
a f ( x ),
0
0
1 a f ( x ),
1
0
2!a2 f ( x0 ),
, n!an f (n)( x0 ),
得
ak
1 k!
f
(k) ( x0 )
(k 0,1,2,, n)
代入Pn ( x)中得
Pn( x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x
x0 )
f
( x0 2!
)
(
注意:
1. 当n 0时,泰勒公式变成拉氏中值公式
f ( x) f ( x0 ) f ( )( x x0 ) (在x0与x之间);
2.取 x0 0,
在0 与x 之间,令 x (0 1),
则余项
Rn( x)
f (n1) (x) xn1 .
(n 1)!
(remainder term)
泰勒公式ppt课件
详细描述
在计算复杂函数的近似值时，泰勒公式可以将函数展开为多项式，从而快速得到 函数的近似值。这对于解决一些实际问题，如数值分析、近似计算等具有重要的 意义。同时，泰勒公式的误差项也可以给出近似计算的精度估计。
04
泰勒公式的扩展与推广
泰勒级数的收敛性
定义
泰勒级数是将一个函数表示为无 穷级数的和，而这个无穷级数在 某个点附近的收敛性决定了泰勒
泰勒公式的应用场景
近似计算
信号处理
在科学计算和工程领域中，常常需要 计算复杂的数学函数，而泰勒公式可 以提供近似的函数值。
在信号处理中，泰勒公式用于分析信 号的频谱和波形，例如傅里叶变换和 小波变换等。
数值分析
在数值分析中，泰勒公式用于求解微 分方程、积分方程等数学问题，提供 数值解的近似值。
02
与函数值之间的距离有关。
应用
了解收敛速度有助于选择合适的 泰勒级数进行近似计算，以提高
计算精度。
泰勒级数的误差估计
定义
误差估计是指在应用泰勒级数进行近似计算时， 估计计算结果与真实值之间的误差大小。
方法
通过比较泰勒级数展开式与原函数的差值，可以 得到误差估计的上界和下界。
应用
误差估计有助于了解近似计算的精度，从而选择 合适的泰勒级数进行近似计算。
公式。
泰勒公式的数学推导
利用等价无穷小替换，将复杂的 函数转化为简单的多项式函数， 再利用多项式函数的性质进行推
导。
利用函数的幂级数展开式，将复 杂的函数展开成幂级数形式，再
利用幂级数的性质进行推导。
利用函数的泰勒级数展开式，将 复杂的函数展开成泰勒级数形式 ，再利用泰勒级数的性质进行推
导。
泰勒公式的几何解释
在计算复杂函数的近似值时，泰勒公式可以将函数展开为多项式，从而快速得到 函数的近似值。这对于解决一些实际问题，如数值分析、近似计算等具有重要的 意义。同时，泰勒公式的误差项也可以给出近似计算的精度估计。
04
泰勒公式的扩展与推广
泰勒级数的收敛性
定义
泰勒级数是将一个函数表示为无 穷级数的和，而这个无穷级数在 某个点附近的收敛性决定了泰勒
泰勒公式的应用场景
近似计算
信号处理
在科学计算和工程领域中，常常需要 计算复杂的数学函数，而泰勒公式可 以提供近似的函数值。
在信号处理中，泰勒公式用于分析信 号的频谱和波形，例如傅里叶变换和 小波变换等。
数值分析
在数值分析中，泰勒公式用于求解微 分方程、积分方程等数学问题，提供 数值解的近似值。
02
与函数值之间的距离有关。
应用
了解收敛速度有助于选择合适的 泰勒级数进行近似计算，以提高
计算精度。
泰勒级数的误差估计
定义
误差估计是指在应用泰勒级数进行近似计算时， 估计计算结果与真实值之间的误差大小。
方法
通过比较泰勒级数展开式与原函数的差值，可以 得到误差估计的上界和下界。
应用
误差估计有助于了解近似计算的精度，从而选择 合适的泰勒级数进行近似计算。
公式。
泰勒公式的数学推导
利用等价无穷小替换，将复杂的 函数转化为简单的多项式函数， 再利用多项式函数的性质进行推
导。
利用函数的幂级数展开式，将复 杂的函数展开成幂级数形式，再
利用幂级数的性质进行推导。
利用函数的泰勒级数展开式，将 复杂的函数展开成泰勒级数形式 ，再利用泰勒级数的性质进行推
导。
泰勒公式的几何解释
高等数学《中值定理-泰勒》课件
3x 4 2
1
3 4
x
2
1
1 2
(
3 4
x)
21!
1 2
(
1 2
1)
(
3 4
x)2
o(
x2
)
2
3 4
x
1 4
9 16
x2
o( x2 )
4 3x
2
3 4
x
1 4
196
x2
o( x2 )
原式
lim
x0
1 2
9 16
x2
o(
x2
)
x2
9 32
例7 证明
证明
1
1 x (1 x)2
1 x 1 1 (1 1)x2 2 2! 2 2
使其精确到0.005,试确定 x 的适用范围.
解 近似公式的误差
R3(x)
x4 cos( x)
4!
x4 24
令
x 4 0.005
24
解得 x 0.588
即当 x 0.588 时,由给定的近似公式计算的结果
能准确到 0.005 .
例6 求
用洛必塔法则
解 用泰勒公式将分子展到 x2 项,由于 不方便 !
由f（x）、Pn（x）的性质知，Rn（x）在（a ，b）内
有直至（n+1）阶的导数，且有
Rn(n1) (x) f (n1) (x)
而 Rn (x0) Rn(x0) Rn(n) (x0) 0
对于函数Rn（x）与（x－x0）n+1在以 x0、x 为端 点的区间上，应用柯西中值定理，则有
பைடு நூலகம்(x
x
x0
n1
泰勒展开.ppt
解：（1）梯长
l (x a)2 b 2 (1 a )2 a l
x
b
a 8,b 27
x
>>L='sqrt((x+8)^+2+27^2*(1+8/x)^2)';
>>ezplot(L,10,60)
>>[xmin,Lmin]=fminbnd(l,15,20)
xmin = 18.0000
[例2] 分别求函数
y 1 u 1 x
在 x 0 和 u 0 处的泰勒展开式的前
3 项。
>>syms x u; >>taylor((1/(1+x))^u,x,3,0) ans =
1-u*x+(u+1/2*u*(u-1))*x^2 >>taylor((1/(1+x))^u,u,3,0) ans =
f1 = 1-x+1/2*x^2-1/6*x^3
f2 = 1-x+1/2*x^2-1/6*x^3+1/24*x^4
f3 = 1-x+1/2*x^2-1/6*x^3 +1/24*x^4-1/120*x^5
yy = 0.9048 0.9048 0.9048 0.9048
e= 1.0e-005 * -0.4085 0.0082 -0.0001
（3）计算 sin 0.5 的近似值，并比较误差。
3、求函数
y 2x 的极值。 1 x2
二、应用型实验
1、一幢楼房的后墙紧靠一个温室，温室宽 a 2m, 高 b 3m, 现用一梯子越过温室，一头
放在地平面，一头靠在楼房墙上，问梯子的
3-3 泰勒中值定理
区间上满足柯西中值定理的条件,得
Rn( x) ( x x0 )n1
Rn ( x) Rn( x0 ) ( x x0 )n1 0
(n
Rn (1 ) 1)(1
f ( x h) f ( x) hf ( x) n! f ( x) 2!
当时他的证明是不严谨的，也没有顾及公式中无穷和 的数学含义. 当时在Taylor 看来任意一个一元函数 都能展开成一个幂级数.
3-3 Taylor Formula
Colin Maclaurin(1698—1746）
a f ( x ),
0
0
1 a f ( x ),
1
0
2!a f ( x )
2
0
, n!a f ( x (n) )
n
0
通过计算 Pn(k ) ( x0 ) f (k ) ( x0 ) k 1,2,, n
得
ak
1 k!
f (k)( x0 )
(k 0,1,2,, n)
1743年，他还讨论过蜂房的结构理论.
3-3 Taylor Formula
一、问题的提出
1.设 f ( x)在x0处连续,则有
f (x) f (x0 )
[ f (x) f (x0 ) ]
2.设 f ( x)在x0 处可导,则有
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
Colin Maclaurin 的主要成就
马克劳林最有影响的著作《流数论》出版于1742 年，为分析形式化的前驱. 他在书中还叙述了级数收 敛性的积分判别准则，并给出了以他名字命名的马克 劳林级数，这个级数实际是泰勒定理的特例. 《流数 论》中对转动流体平衡问题的讨论，是马克劳林早期 论文《论潮汐》思想的发展，对18世纪关于地球形状 的研究有重要影响. 他曾因《论潮汐》一文与欧拉， 丹尼尔.伯努利共获1740年法国科学院奖.
Rn( x) ( x x0 )n1
Rn ( x) Rn( x0 ) ( x x0 )n1 0
(n
Rn (1 ) 1)(1
f ( x h) f ( x) hf ( x) n! f ( x) 2!
当时他的证明是不严谨的，也没有顾及公式中无穷和 的数学含义. 当时在Taylor 看来任意一个一元函数 都能展开成一个幂级数.
3-3 Taylor Formula
Colin Maclaurin(1698—1746）
a f ( x ),
0
0
1 a f ( x ),
1
0
2!a f ( x )
2
0
, n!a f ( x (n) )
n
0
通过计算 Pn(k ) ( x0 ) f (k ) ( x0 ) k 1,2,, n
得
ak
1 k!
f (k)( x0 )
(k 0,1,2,, n)
1743年，他还讨论过蜂房的结构理论.
3-3 Taylor Formula
一、问题的提出
1.设 f ( x)在x0处连续,则有
f (x) f (x0 )
[ f (x) f (x0 ) ]
2.设 f ( x)在x0 处可导,则有
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
Colin Maclaurin 的主要成就
马克劳林最有影响的著作《流数论》出版于1742 年，为分析形式化的前驱. 他在书中还叙述了级数收 敛性的积分判别准则，并给出了以他名字命名的马克 劳林级数，这个级数实际是泰勒定理的特例. 《流数 论》中对转动流体平衡问题的讨论，是马克劳林早期 论文《论潮汐》思想的发展，对18世纪关于地球形状 的研究有重要影响. 他曾因《论潮汐》一文与欧拉， 丹尼尔.伯努利共获1740年法国科学院奖.
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(1x)1x (1)x 2
2!
( 1 ) n( ! n 1 )x n Rn(x)
其中 Rn(x)( (1 n ) 1 ) ( ! n )(1 x) n 1xn 1
(01)
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( 5 )f ( x ) l1 n x )( ( x 1 )
已知
f (x) f (x0) f(x 0 )x ( x 0)f2(x!0)(xx0)2 f (nn)(!x0)(xx0)n o[(xx0)n] ④
公式 ③ 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 .
* 可以证明:
f(x)在x点 0有直 n阶 到 的导数
④ 式成立
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(2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为
可见
f f
(x) (x)
f f
(x0) (x0)
f(x 0 )x ( x 0) f(x 0 )x ( x 0)
f2(!()(在 xx0 x0与 )2x之)间
误差 R1(x)f2(!)(xx0)2 (在 x0与 x之)间 df
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f
(k)(x)
(1)k1
(k 1)! (1x)k
(k 1 ,2, )
类似可得
ln1(x)x x 2 2
x3 3
(1)n1 xnn Rn(x)
其中
Rn(x)
(1)n n1
xn1
(1 x)n1
(01)
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三、泰勒公式的应用
1. 在近似计算中的应用
f (x) f (0) f(0)x f (0) x2 f (n) (0) xn
x2 2!
x3 3!
x n n!
Rn(x)
其中
Rn(x)(
e n
x
1)
!
x n 1
(01)
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(2)f(x)sixn
f(k)(x)sixnk( ) 2
f(k)(0)sink
2
0, (1)m1,
k2m (m 1 ,2 , ) k2m 1
sinxx x 3 3!
2!
n!
误差
Rn(x)
M xn1 (n1)!
M 为 f (n1)(x) 在包含 0 , x 的某区间上的上界.
需解问题的类型: 1) 已知 x 和误差限 , 要求确定项数 n ; 2) 已知项数 n 和 x , 计算近似值并估计误差; 3) 已知项数 n 和误差限 , 确定公式中 x 的适用范围.
其中
R2m1(x)
(1)m1cosx)(
(2m 2)!
x2m2
(01)
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( 4 )f( x ) ( 1 x ) ( x 1 )
f(k)(x) ( 1 ) ( k 1 ) 1 ( x ) k
f( k ) ( 0 ) ( 1 ) ( k 1 ) (k 1 ,2, )
x5 5!
(1)m1(2xm2m11)!R2m(x)
其中
R2m(x)
s(1i)n mxc (o2m 2 s x1 ( )) x2m1
(2m 1) !
(01)
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(3) f(x)co xs
类似可得
coxs1
x2 2!
x4 4!
(1)
m
x2m (2m)
!
R2m1(x)
高等数学课件上第33泰勒
泰勒中值定理 :
若 f(x)在包 x0的 含 某(a ,开 b )内 区 具 间 有 直到 n1阶的导数 , 则当 x(a,b)时, 有
f (x) f (x0) f(x 0 )x ( x 0)f2(x!0)(xx0)2
f (nn)(!x0)(xx0)nRn(x)
①
f (x) f (x0) f(x 0 )x ( x 0)f2(x!0)(xx0)2
特例: f (nn)(!x0)(xx0)nf((nn1)1()!)(x(x在 0)nx 10与 x之)间
(1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变给为出拉格朗日中值定理
f (x)f (x0) f()x (x0) (在 x0与 x之)间
由于 0ee3,欲使
Rn(1)
(n
3 1)
!
106
由计算可知当 n = 9 时上式成立 , 因此
e1111 2.718281 2! 9!
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说明: 注意舍入误差对计算结果的影响.
本例 e1111 2! 9!
若每项四舍五入到小数点后 6 位,则
各项舍入误差之和不超过 70.51 06, 总误差为 70.51 0 610651 06 这时得到的近似值不能保证误差不超过 106.
在泰勒公式中若取 x 0 0 , x ( 0 1 ) ,则有
f (x) f (0) f(0)x f (0) x2 f (n) (0) xn
2!
n!
f (n1)( x)xn1
(n1)!
称为麦克劳林（ Maclaurin ）公式 . 由此得近似公式
若在f (公xf)(式x)成f(立xf0(的)0 )区f间(fx 上0 (0))x xf( (nx 10 f)() 2x(!0)) fx22M (x !0, )则(x有误fx(0nn差))!(20估 ) 计xn式
其中 Rn(x)f((nn 1)1()!)(xx0)n1 ( 在 x0与 x之)间 ②
公式 ① 称为 f ( x)的 n 阶泰勒公式 .
公式 ② 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 .
泰勒 目录 上页 下页 返回 结束
注意到 R n(x)o [x (x0)n]
③
在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为
f (nn)(!x0R)n((xx)x0)(nnM f1()(nn!1x)1()n!)1((x在 x0x)0 n与 1 x之)间
麦克劳林 目录 上页 下页 返回 结束
二、几个初等函数的麦克劳林公式
(1) f(x)ex
f(k)(x)ex, f(k )(0 ) 1(k 1 ,2 , )
e x 1x
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例1. 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过 106.
解: 已知 e x 的麦克劳林公式为
e x 1 x x 2 x 3 x n e x xn1
令
x
=
2! 3!
n!
1e, 得 1 1 1 1e
(
n
1) ! (01)
(0 1 )
2! n! (n 1 )!
因此计算时中间结果应比精度要求多取一位 .
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2!
( 1 ) n( ! n 1 )x n Rn(x)
其中 Rn(x)( (1 n ) 1 ) ( ! n )(1 x) n 1xn 1
(01)
机动 目录 上页 下页 返回 结束
( 5 )f ( x ) l1 n x )( ( x 1 )
已知
f (x) f (x0) f(x 0 )x ( x 0)f2(x!0)(xx0)2 f (nn)(!x0)(xx0)n o[(xx0)n] ④
公式 ③ 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 .
* 可以证明:
f(x)在x点 0有直 n阶 到 的导数
④ 式成立
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(2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为
可见
f f
(x) (x)
f f
(x0) (x0)
f(x 0 )x ( x 0) f(x 0 )x ( x 0)
f2(!()(在 xx0 x0与 )2x之)间
误差 R1(x)f2(!)(xx0)2 (在 x0与 x之)间 df
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f
(k)(x)
(1)k1
(k 1)! (1x)k
(k 1 ,2, )
类似可得
ln1(x)x x 2 2
x3 3
(1)n1 xnn Rn(x)
其中
Rn(x)
(1)n n1
xn1
(1 x)n1
(01)
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三、泰勒公式的应用
1. 在近似计算中的应用
f (x) f (0) f(0)x f (0) x2 f (n) (0) xn
x2 2!
x3 3!
x n n!
Rn(x)
其中
Rn(x)(
e n
x
1)
!
x n 1
(01)
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(2)f(x)sixn
f(k)(x)sixnk( ) 2
f(k)(0)sink
2
0, (1)m1,
k2m (m 1 ,2 , ) k2m 1
sinxx x 3 3!
2!
n!
误差
Rn(x)
M xn1 (n1)!
M 为 f (n1)(x) 在包含 0 , x 的某区间上的上界.
需解问题的类型: 1) 已知 x 和误差限 , 要求确定项数 n ; 2) 已知项数 n 和 x , 计算近似值并估计误差; 3) 已知项数 n 和误差限 , 确定公式中 x 的适用范围.
其中
R2m1(x)
(1)m1cosx)(
(2m 2)!
x2m2
(01)
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( 4 )f( x ) ( 1 x ) ( x 1 )
f(k)(x) ( 1 ) ( k 1 ) 1 ( x ) k
f( k ) ( 0 ) ( 1 ) ( k 1 ) (k 1 ,2, )
x5 5!
(1)m1(2xm2m11)!R2m(x)
其中
R2m(x)
s(1i)n mxc (o2m 2 s x1 ( )) x2m1
(2m 1) !
(01)
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(3) f(x)co xs
类似可得
coxs1
x2 2!
x4 4!
(1)
m
x2m (2m)
!
R2m1(x)
高等数学课件上第33泰勒
泰勒中值定理 :
若 f(x)在包 x0的 含 某(a ,开 b )内 区 具 间 有 直到 n1阶的导数 , 则当 x(a,b)时, 有
f (x) f (x0) f(x 0 )x ( x 0)f2(x!0)(xx0)2
f (nn)(!x0)(xx0)nRn(x)
①
f (x) f (x0) f(x 0 )x ( x 0)f2(x!0)(xx0)2
特例: f (nn)(!x0)(xx0)nf((nn1)1()!)(x(x在 0)nx 10与 x之)间
(1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变给为出拉格朗日中值定理
f (x)f (x0) f()x (x0) (在 x0与 x之)间
由于 0ee3,欲使
Rn(1)
(n
3 1)
!
106
由计算可知当 n = 9 时上式成立 , 因此
e1111 2.718281 2! 9!
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说明: 注意舍入误差对计算结果的影响.
本例 e1111 2! 9!
若每项四舍五入到小数点后 6 位,则
各项舍入误差之和不超过 70.51 06, 总误差为 70.51 0 610651 06 这时得到的近似值不能保证误差不超过 106.
在泰勒公式中若取 x 0 0 , x ( 0 1 ) ,则有
f (x) f (0) f(0)x f (0) x2 f (n) (0) xn
2!
n!
f (n1)( x)xn1
(n1)!
称为麦克劳林（ Maclaurin ）公式 . 由此得近似公式
若在f (公xf)(式x)成f(立xf0(的)0 )区f间(fx 上0 (0))x xf( (nx 10 f)() 2x(!0)) fx22M (x !0, )则(x有误fx(0nn差))!(20估 ) 计xn式
其中 Rn(x)f((nn 1)1()!)(xx0)n1 ( 在 x0与 x之)间 ②
公式 ① 称为 f ( x)的 n 阶泰勒公式 .
公式 ② 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 .
泰勒 目录 上页 下页 返回 结束
注意到 R n(x)o [x (x0)n]
③
在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为
f (nn)(!x0R)n((xx)x0)(nnM f1()(nn!1x)1()n!)1((x在 x0x)0 n与 1 x之)间
麦克劳林 目录 上页 下页 返回 结束
二、几个初等函数的麦克劳林公式
(1) f(x)ex
f(k)(x)ex, f(k )(0 ) 1(k 1 ,2 , )
e x 1x
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例1. 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过 106.
解: 已知 e x 的麦克劳林公式为
e x 1 x x 2 x 3 x n e x xn1
令
x
=
2! 3!
n!
1e, 得 1 1 1 1e
(
n
1) ! (01)
(0 1 )
2! n! (n 1 )!
因此计算时中间结果应比精度要求多取一位 .
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