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函数、导数综合复习

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2020高考冲刺数学总复习压轴解答：函数、不等式与导数的综合问题(附答案及解析)

2020高考冲刺数学总复习压轴解答：函数、不等式与导数的综合问题(附答案及解析)

专题三 压轴解答题第六关 函数、不等式与导数的综合问题【名师综述】1.本专题在高考中的地位导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点， 所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 2．本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用【考点方向标】方向一 用导数研究函数的性质典例1．（2020·山东高三期末）已知函数21()2ln (2)2f x x a x a x =+-+． （1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间； （2）是否存在实数a ，使函数34()()9g x f x ax x =++在(0,)+∞上单调递增？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．【举一反三】（2020·云南昆明一中高三期末（理））已知函数2()(1)xx f x e ax e =-+⋅，且()0f x …. （1）求a ；（2）证明：()f x 存在唯一极大值点0x ，且()0316f x <.方向二 导数、函数与不等式典例2．（2020·四川省泸县第二中学高三月考）已知函数()sin f x x ax =-.（1）对于(0,1)x ∈，()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围； （2）当1a =时，令()()sin ln 1h x f x x x =-++，求()h x 的最大值； （3） 求证：1111ln(1)1231n n n+<+++⋅⋅⋅++-*()n N ∈.【举一反三】（2020·黑龙江哈尔滨三中高三月考）已知111123S n =++⋅⋅⋅+，211121S n =++⋅⋅⋅+-，直线1x =，x n =，0y =与曲线1y x=所围成的曲边梯形的面积为S .其中n N ∈，且2n ≥.（1）当0x >时，()ln 11axx ax x <+<+恒成立，求实数a 的值； （2）请指出1S ，S ，2S 的大小，并且证明；（3）求证：131112lnln 3132313n i n n i i i =+⎛⎫<+-< ⎪+--⎝⎭∑.方向三 恒成立及求参数范围问题典例3．（2020·天津高三期末）已知函数()2ln h x ax x =-+. （1）当1a =时，求()h x 在()()2,2h 处的切线方程； （2）令()()22a f x x h x =+，已知函数()f x 有两个极值点12,x x ，且1212x x >，求实数a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若存在012x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使不等式()()()()20ln 1112ln 2f x a m a a ++>--++对任意a （取值范围内的值）恒成立，求实数m 的取值范围.【举一反三】（2020·江苏高三专题练习）已知函数()(32)xf x e x =-，()(2)g x a x =-，其中,a x R ∈. （1）求过点(2,0)和函数()y f x =的图像相切的直线方程； （2）若对任意x ∈R ，有()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围； （3）若存在唯一的整数0x ，使得00()()f x g x <，求a 的取值范围.【压轴选编】1．（2020·山西高三开学考试）已知函数()()()222ln ,2ln f x x ax a x a R g x x x x =--+∈=-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）求证：当1a =时，对于任意()0,x ∈+∞，都有()()f x g x <.2．（2020·河南鹤壁高中高三月考）已知函数2()ln (0,)a xf x x a a R x a=++≠∈ （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）设1()2a x g x x a a=+-+，当0a >时，证明：()()f x g x ≥.3．（2020·四川石室中学高三月考）已知函数()22ln f x x x =-+．（1）求函数()f x 的最大值； （2）若函数()f x 与()ag x x x=+有相同极值点． ①求实数a 的值；①若对于121,,3x x e ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦（e 为自然对数的底数），不等式()()1211f xg x k -≤-恒成立，求实数k 的取值范围．4．（2020·江西高三）已知函数()()ln f x x x a b =++，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线为210x y --=.（1）求a ，b 的值；（2）若对任意的()1,x ∈+∞，()()1f x m x ≥-恒成立，求正整数m 的最大值.5．（2020·江西高三）已知函数()e 2xf x m x m =--.（1）当1m =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）若()0f x >在(0,)+∞上恒成立，求m 的取值范围．6．（2020·江西高三）已知函数()()2xf x x e =-.（1）求()f x 的单调区间；（2）证明：对任意的()0,x ∈+∞，不等式()2ln 6xf x x x >-恒成立.7．（2020·四川高三月考）已知函数21()(32)()2xf x m e x m R =--∈. （1）若0x =是函数()f x 的一个极值点，试讨论()ln ()()h x b x f x b R =+∈的单调性； （2）若()f x 在R 上有且仅有一个零点，求m 的取值范围.8．（2020·山西高三）已知函数()2ln 21f x a x x =-+（其中a R ∈）. （1）讨论函数()f x 的极值；（2）对任意0x >，2()2f x a ≤-恒成立，求a 的取值范围.9．（2020·北京高三期末）已知函数()2xf x x e =（1）求()f x 的单调区间；（2）过点()1,0P 存在几条直线与曲线()y f x =相切，并说明理由； （3）若()()1f x k x ≥-对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围.10．（2020·全国高三专题练习）已知函数()()33114ln 10f f x ax x x '=--的图象在点()()1,1f 处的切线方程为100++=x y b . （1）求a ，b 的值； （2）若()13f x m >对()0,x ∈+∞恒成立，求m 的取值范围.11．（2020·天津静海一中高三月考）已知函数()ln 1()f x ax x a R =--∈． （1）讨论()f x 的单调性并指出相应单调区间； （2）若21())1(2g x x x x f ---=，设()1212,x x x x <是函数()g x 的两个极值点，若32a ≥，且()()12g x g x k -≥恒成立，求实数k 的取值范围．12.（2020·山东高三期末）已知函数()()2sin ln 12x f x x x =+-+.（1）证明：()0f x ≥； （2）数列{}n a 满足：1102a <<，()1n n a f a +=（n *∈N ）. （①）证明：1102a <<（n *∈N ）； （①）证明：n *∀∈N ，1n n a a +<.13．（2020·四川三台中学实验学校高三开学考试）已知函数()ln f x x x a =+，()ln ,g x x ax a =-∈R . （1）求函数()f x 的极值； （2）若10a e<<，其中e 为自然对数的底数，求证：函数()g x 有2个不同的零点； （3）若对任意的1x >，()()0f x g x +>恒成立，求实数a 的最大值.14．（2020·河北高三期末）已知函数()f x 满足:①定义为R ；①2()2()9xx f x f x e e+-=+-. （1）求()f x 的解析式；（2）若12,[1,1]x x ∀∈-；均有()()21122(2)61x a x x f x -+-+-…成立，求a 的取值范围；（3）设2(),(0)()21,(0)f x x g x x x x >⎧=⎨--+≤⎩，试求方程[()]10g g x -=的解.15．（2020·湖南高三月考）已知函数2()()af x x ax a R x=+-∈. （1）当1a =且1x >-时，求函数()f x 的单调区间；（2）当21e a e ≥+时，若函数2()()ln g x f x x x =--的两个极值点分别为1x 、2x ，证明12240()()1g x g x e <-<+.16．（2020·江西高三期末）已知函数2()x f x e ax x =--（e 为自然对数的底数）在点(1,(1))f 的切线方程为(3)y e x b =-+. （1）求实数,a b 的值；（2）若关于x 的不等式4()5f x m >+对于任意(0,)x ∈+∞恒成立，求整数m 的最大值.17．（2020·江西高三期末）已知函数()()()2,xf x x m e nxm n R =--∈在1x =处的切线方程为y ex e =-.（1）求,m n 的值；（2）当0x >时，()3f x ax -…恒成立，求整数a 的最大值.18．（2020·河南高三期末）已知函数()()ln 1mxf x x x m=+-+，()1,0x ∈-. （1）若1m =，判断函数()f x 的单调性并说明理由； （2）若2m ≤-，求证：关于x 的不等式()()()21xx m f x e x-+⋅<-在()1,0-上恒成立.19．（2020·江西高三月考）已知函数32()32f x x x x =-+，()g x tx t R =∈，，()xe x xφ=. （1）求函数()()y f x x φ=⋅的单调增区间；（2）令()()()h x f x g x =-，且函数()h x 有三个彼此不相等的零点0m n ，，，其中m n <. ①若12m n =，求函数()h x 在x m =处的切线方程； ①若对[]x m n ∀∈，，()16h x t ≤-恒成立，求实数M 的取值范围.专题三 压轴解答题第六关 函数、不等式与导数的综合问题【名师综述】1.本专题在高考中的地位导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点， 所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 2．本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用【考点方向标】方向一 用导数研究函数的性质典例1．（2020·山东高三期末）已知函数21()2ln (2)2f x x a x a x =+-+． （1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间； （2）是否存在实数a ，使函数34()()9g x f x ax x =++在(0,)+∞上单调递增？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）()f x 的单调递增区间为(]0,1和[)2,+∞，单调递减区间为()1,2（2）存在,724a ≥ 【解析】（1）当1a =时，21()2ln 3(0)2f x x x x x =+->． 所以2()3f x x x '=+-=232(2)(1)x x x x x x-+--=令()0f x '≥，则01x <≤或2x ≥，令()0f x '<，则12x <<， 所以()f x 的单调递增区间为(]0,1和[)2,+∞，单调递减区间为()1,2 （2）存在724a ≥，满足题设，因为函数34()()9g x f x ax x =++=23142ln 229x a x x x +-+所以224()23a g x x x x '=+-+，要使函数()g x 在0,∞（+）上单调递增，224()20,(0,)3a g x x x x x '=+-≥+∈+∞，即3243660x x x a +-+≥，(0,)x ∈+∞⇔324366x x xa +-≥-，(0,)x ∈+∞ 令32436()6x x x h x +-=，(0,)x ∈+∞，则2()21(21)(1)h x x x x x '=+-=-+，所以当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，当1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0h x '>，()h x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以12x =是()h x 的极小值点，也是最小值点，且17224h ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴324366x x x+--在(0,)+∞上的最大值为724．所以存在724a ≥，满足题设．【举一反三】（2020·云南昆明一中高三期末（理））已知函数2()(1)xx f x e ax e =-+⋅，且()0f x …. （1）求a ；（2）证明：()f x 存在唯一极大值点0x ，且()0316f x <. 【答案】（1）1a =；（2）证明见解析. 【解析】（1）因为()()ee 10xxf x ax =--≥,且e0x>,所以e 10x ax --≥,构造函数()e 1xu x ax =--,则()'e xu x a =-,又()00u =,若0a ≤,则()'0u x >,则()u x 在R 上单调递增,则当0x <时,()0u x <矛盾,舍去；若01a <<,则ln 0a <,则当ln 0a x <<时,'()0u x >,则()u x 在(ln ,0)a 上单调递增,则()()ln 00u a u <=矛盾,舍去；若1a >,则ln 0a >,则当0ln x a <<时,'()0u x <,则()u x 在(0,ln )a 上单调递减,则()()ln 00u a u <=矛盾,舍去；若1a =,则当0x <时,'()0u x <,当0x >时,'()0u x >, 则()u x 在(,0)-∞上单调递减,在(0,)+∞上单调递增, 故()()00u x u ≥=,则()()e 0xf x u x =⋅≥,满足题意；综上所述,1a =.（2）证明:由（1）可知()()2e 1e xxf x x =-+⋅,则()()'e2e 2xxf x x =--,构造函数()2e 2xg x x =--,则()'2e 1xg x =-,又()'g x 在R 上单调递增,且()'ln20g -=,故当ln2x <-时,)'(0g x <,当ln 2x >-时,'()0g x >, 则()g x 在(,ln 2)-∞-上单调递减,在(ln 2,)-+∞上单调递增,又()00g =,()2220e g -=>,又33233332223214e 16e 022e 2e 8e 2e g --⎛⎫-=-==< ⎪⎝⎭+, 结合零点存在性定理知,在区间3(2,)2--存在唯一实数0x ,使得()00g x =, 当0x x <时,()'0f x >,当00x x <<时,()'0f x <,当0x >时,()'0f x >, 故()f x 在()0,x -∞单调递增,在()0,0x 单调递减,在()0,∞+单调递增,故()f x 存在唯一极大值点0x ,因为()0002e 20xg x x =--=,所以00e 12xx =+, 故()()()()022200000011e1e 11112244x x x x f x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=+-++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,因为0322x -<<-,所以()201133144216f x ⎛⎫<--+<⎪⎝⎭. 方向二 导数、函数与不等式典例2．（2020·四川省泸县第二中学高三月考）已知函数()sin f x x ax =-. （1）对于(0,1)x ∈，()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围； （2）当1a =时，令()()sin ln 1h x f x x x =-++，求()h x 的最大值；（3） 求证：1111ln(1)1231n n n+<+++⋅⋅⋅++-*()n N ∈. 【答案】（1）sin1a ≤.（2）max ()(1)0h x h ==.（3）见解析.【解析】（1）由()0f x >，得：sin 0x ax ->，因为01x <<，所以sin xa x<， 令sin ()x g x x=，()2cos sin 'x x xg x x -=， 再令()cos sin m x x x x =-，()'cos sin cos sin 0m x x x x x x x =--=-<， 所以()m x 在()0,1上单调递减， 所以()()0m x m <，所以()'0g x <，则()g x 在()0,1上单调递减， 所以()(1)sin1g x g >=，所以sin1a ≤. （2）当1a =时，()sin f x x x =-， ①()ln 1h x x x =-+，()11'1x h x x x-=-=， 由()'0h x =，得：1x =，当()0,1x ∈时，()'0h x >，()h x 在()0,1上单调递增； 当()1,x ∈+∞时，()'0h x <，()h x 在()1,+∞上单调递减； ①()max (1)0h x h ==.（3）由（2）可知，当()1,x ∈+∞时，()0h x <， 即ln 1x x <-， 令1n x n +=，则11ln1n n n n ++<-，即()1ln 1ln n n n+-<， 分别令1,2,3,,n n =L 得，()11ln 2ln11,ln 3ln 2,,ln 1ln 2n n n-<-<+-<L ，将上述n 个式子相加得：()()*111ln 1121n n N n n+<++++∈-L . 【举一反三】（2020·黑龙江哈尔滨三中高三月考）已知111123S n =++⋅⋅⋅+，211121S n =++⋅⋅⋅+-，直线1x =，x n =，0y =与曲线1y x=所围成的曲边梯形的面积为S .其中n N ∈，且2n ≥.（1）当0x >时，()ln 11axx ax x <+<+恒成立，求实数a 的值； （2）请指出1S ，S ，2S 的大小，并且证明；（3）求证：131112lnln 3132313n i n n i i i =+⎛⎫<+-< ⎪+--⎝⎭∑. 【答案】（1）1；（2）12S S S <<，证明见解析；（3）见解析 【解析】（1）由已知得0a ≤时，不合题意，所以0a >.()ln 11axx x <++恒成立，即()()()1ln 10ax x x x <++>恒成立. 令()()()1ln 1m x x x ax =++-，()()'ln 11m x x a =++-. 当1a ≤时，()m x 在()0,∞+上为增函数，此时()0m x >成立.当1a >时，()m x 在()10,1a e --上为减函数，不合题意，所以1a ≤.令()()ln 1n x ax x x =-+，()1'1n x a x =-+，当1a ≥时，()n x 在()0,∞+上为增函数，此时()0n x >，()ln 1x ax +<恒成立.当01a <<时，()n x 在10,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上为减函数，不合题意，所以1a ≥.综上得1a =. （2）由（1）知()()ln 101x x x x x <+<>+.令1x i =，得111ln 11i i i⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭， 从而11111111ln 112321n i n i n -=⎛⎫+++<+<+++ ⎪-⎝⎭∑L L ，又因为11ln nS dx n x==⎰，则12S S S <<. （3）由已知111232313ni i i i =⎛⎫+- ⎪--⎝⎭∑1111111123323n n ⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭L 111123n n n =++⋅⋅⋅+++，因为111ln 11i i i⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭，所以 111111ln 1ln 1ln 1123123n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++>++++++ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L 31ln1n n +=+， 111123ln ln ln 123131n n n n n n n n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+++ ⎪ ⎪ ⎪+++-⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L ln 3=.从而131112lnln 3132313n i n n i i i =+⎛⎫<+-< ⎪+--⎝⎭∑. 方向三 恒成立及求参数范围问题典例3．（2020·天津高三期末）已知函数()2ln h x ax x =-+. （1）当1a =时，求()h x 在()()2,2h 处的切线方程； （2）令()()22a f x x h x =+，已知函数()f x 有两个极值点12,x x ，且1212x x >，求实数a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若存在0122x ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，使不等式()()()()20ln 1112ln 2f x a m a a ++>--++对任意a （取值范围内的值）恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）322ln 220x y +-+=（2）()1,2（3）1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【解析】()1当1a =时，()()12ln ,'2h x x x h x x=-+=-+2x =时，()()3'2,24ln 22h h =-=-+()h x ∴在()()2,2h 处的切线方程为()34ln 222y x +-=--，化简得：322ln 220x y +-+= ()2对函数求导可得，()()221'0ax ax f x x x-+=>，令()'0f x =，可得2210ax ax -+=20440112a a a a ⎧⎪≠⎪∴->⎨⎪⎪>⎩，解得a 的取值范围为()1,2 ()3由2210ax ax -+=，解得1211x x ==+而()f x 在()10,x 上递增，在()12,x x 上递减，在()2,x +∞上递增12a <<Q211x ∴=+<()f x ∴在122⎡⎤+⎢⎥⎣⎦单调递增 ∴在1,22⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上，()()max 22ln 2f x f a ==-+012x ⎡⎤∴∃∈⎢⎥⎣⎦，使不等式()()()()20ln 1112ln 2f x a m a a ++>--++对a M ∀∈恒成立等价于不等式2(2ln 2ln 1112))()n (l 2a a m a a -+++>--++恒成立 即不等式2()ln 1ln 210a ma a m +--+-+>对任意的()12a a <<恒成立令()()2ln 1ln 21g a a ma a m =+--+-+，则()()121210,'1ma a m g g a a ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭==+ ①当0m ≥时，()()'0,g a g a <在()1,2上递减()()10g a g <=不合题意①当0m <时，()1212'1ma a m g a a ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=+ 12a <<Q若1112m ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，即104m -<<时，则()g a 在()1,2上先递减 ()10g =Q12a ∴<<时，()0g a >不能恒成立若111,2m ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭即14m ≤-，则()g a 在()1,2上单调递增 ()()10g a g ∴>=恒成立m ∴的取值范围为1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【举一反三】（2020·江苏高三专题练习）已知函数()(32)xf x e x =-，()(2)g x a x =-，其中,a x R ∈. （1）求过点(2,0)和函数()y f x =的图像相切的直线方程； （2）若对任意x ∈R ，有()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围； （3）若存在唯一的整数0x ，使得00()()f x g x <，求a 的取值范围. 【答案】（1）2y x =-，8833918y e x e =-.（2）8319a e ≤≤.（3）345[,1)(7,5]3a e e e∈⋃. 【解析】（1）设切点为()00,x y ，()()'31xf x e x =+，则切线斜率为()0031x e x +，所以切线方程为()()000031x y y e x x x -=+-，因为切线过()2,0，所以()()()000032312x x ex e x x --=+-，化简得200380x x -=，解得080,3x =. 当00x =时，切线方程为2y x =-， 当083x =时，切线方程为8833918y e x e =-. （2）由题意，对任意x R ∈有()()322xe x a x -≥-恒成立，①当(),2x ∈-∞时，()()323222x x maxe x e x a a x x ⎡⎤--≥⇒≥⎢⎥--⎣⎦，令()()322x e x F x x -=-，则()()()2238'2x e x xF x x -=-，令()'0F x =得0x =，()()max 01F x F ==，故此时1a ≥.①当2x =时，恒成立，故此时a R ∈. ①当()2,x ∈+∞时，()()min323222x x e x e x a a x x ⎡⎤--≤⇒≤⎢⎥--⎣⎦，令()8'03F x x =⇒=，()83min 893F x F e ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故此时839a e ≤.综上：8319a e ≤≤.（3）因为()()f x g x <，即()()322xex a x -<-，由（2）知()83,19,a e ⎛⎫∈-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭，令()()322x e x F x x -=-，则当(),2x ∈-∞，存在唯一的整数0x 使得()()00f x g x <， 等价于()322x e x a x -<-存在唯一的整数0x 成立，因为()01F =最大，()513F e -=，()11F e =-，所以当53a e<时，至少有两个整数成立， 所以5,13a e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭. 当()2,x ∈+∞，存在唯一的整数0x 使得()()00f x g x <， 等价于()322x e x a x ->-存在唯一的整数0x 成立，因为83893F e ⎛⎫= ⎪⎝⎭最小，且()337F e =，()445F e =，所以当45a e >时，至少有两个整数成立，所以当37a e ≤时，没有整数成立，所有(347,5a e e ⎤∈⎦.综上：(345,17,53a e e e ⎡⎫⎤∈⋃⎪⎦⎢⎣⎭. 【压轴选编】1．（2020·山西高三开学考试）已知函数()()()222ln ,2ln f x x ax a x a R g x x x x =--+∈=-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）求证：当1a =时，对于任意()0,x ∈+∞，都有()()f x g x <. 【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）由题意()f x 的定义域为()0,∞+，且()()()222222x a x a a x ax a f x x a x x x--+--+'=--+==， 当0a =时，()20f x x '=-<； 当0a >时，2a x >时，()0f x '<；02ax <<时，()0f x '>； 当0a <时，x a >-时，()0f x '<；0x a <<-时，()0f x '>；综上所述，当0a =时，()f x 在()0,∞+上为减函数； 当0a >时，()f x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为减函数； 当0a <时，()f x 在()0,a -上为增函数，在(),a -+∞上为减函数. （2）要证()()f x g x <，即证()21ln 0x x x -+>，当12x =时，不等式显然成立； 当12x >时，即证ln 021x x x +>-；当102x <<时，即证ln 021xx x +<-； 令()ln 21x F x x x =+-，则()()()()()22411112121x x F x x x x x ---'=+=--， 当12x >时，在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上()0F x '<，()F x 为减函数；在()1,+∞上()0F x '>，()F x 为增函数，①()()min 110F x F ==>，①ln 021xx x +>-.当102x <<时，在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上()0F x '>，()F x 为增函数；在11,42⎛⎫⎪⎝⎭上()0F x '<，()F x 为减函数， ①()max 111ln 0442F x F ⎛⎫==-<⎪⎝⎭，①ln 021x x x +<-， 综上所述，当0x >时，()()f x g x <成立.2．（2020·河南鹤壁高中高三月考）已知函数2()ln (0,)a xf x x a a R x a=++≠∈ （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）设1()2a x g x x a a=+-+，当0a >时，证明：()()f x g x ≥. 【答案】（1）见解析；（2）证明见解析【解析】（1）22121(2)()()a x a x a f x x x a ax+-'=-+= 当0a >时，()0f x x a '>⇒>，()00f x x a '<⇒<<当0a <时，()002f x x a '>⇒<<-，()02f x x a '<⇒>- ①0a >时，()f x 在(0,)a 上递减，在(,)a +∞递增 0a <时，()f x 在(0,2)a -上递增，在(2,)a -+∞递减（2）设1()()()ln 2a F x f x g x x x a=-=++- 则221()(0)a x aF x x x x x-'=-=> Q 0a >，(0,)x a ∴∈时，()0F x '<，()F x 递减(,)x a ∈+∞，()0,F x '>()F x 递增，1()()ln 1F x F a a a∴≥=+-设1()ln 1h x x x =+-，(0)x >,则22111()(0)x h x x x x x-'=-=>1x >时，()0,h x '>时，()h x 递增， 01x <<时，()0h x '<，∴()h x 递减()(1)0h x h ∴≥=，()()0F a h a ∴=≥()0F x ∴≥，即()()f x g x ≥3．（2020·四川石室中学高三月考）已知函数()22ln f x x x =-+．（1）求函数()f x 的最大值； （2）若函数()f x 与()ag x x x=+有相同极值点． ①求实数a 的值；①若对于121,,3x x e ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦（e 为自然对数的底数），不等式()()1211f xg x k -≤-恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（①）()11f =-；（①）（①）1； （①）()34 ,2ln31,3⎛⎤-∞-+⋃+∞ ⎥⎝⎦． 【解析】（1）22(1)(1)()2(0)x x f x x x x x+-'=-+=->， 由()0{0f x x >>'得01x <<，由()0{0f x x <>'得1x >，①()f x 在(0,1)上为增函数，在(1,)+∞上为减函数， ①函数()f x 的最大值为(1)1f =-； （2）①()a g x x x=+，①2()1a g x x =-'，（①）由（1）知，1x =是函数()f x 的极值点，又①函数()f x 与()ag x x x=+有相同极值点， ①1x =是函数()g x 的极值点，①(1)10g a =-='，解得1a =， 经检验，当1a =时，函数()g x 取到极小值，符合题意；（①）①211()2f e e =--，(1)1f =-，(3)92ln 3f =-+， ①2192ln 321e -+<--<-， 即1(3)()(1)f f f e <<，①1[,3]x e∀∈，min max ()(3)92ln 3,()(1)1f x f f x f ==-+==-，由（①）知1()g x x x =+，①21()1g x x =-'，当1[,1)x e∈时，()0g x '<，当(1,3]x ∈时，()0g x '>，故()g x 在1[,1)e 为减函数，在(1,3]上为增函数，①11110(),(1)2,(3)333g e g g e e =+==+=，而11023e e <+<，①1(1)()(3)g g g e <<，①1[,3]x e ∀∈，min max 10()(1)2,()(3)3g x g g x g ====，①当10k ->，即1k >时，对于121,[,3]x x e ∀∈，不等式12()()11f xg x k -≤-恒成立12max 1[()()]k f x g x ⇔-≥-12max [()()]1k f x g x ⇔≥-+，①12()()(1)(1)123f x g x f g -≤-=--=-，①312k ≥-+=-，又①1k >，①1k >， ①当10k -<，即1k <时，对于121,[,]x x e e ∀∈，不等式12()()11f xg x k -≤-，12min 1[()()]k f x g x ⇔-≤-12min [()()]1k f x g x ⇔≤-+，①121037()()(3)(3)92ln 32ln 333f x g x f g -≥-=-+-=-+，①342ln 33k ≤-+，又①1k <， ①342ln 33k ≤-+．综上，所求的实数k 的取值范围为34(,2ln 3](1,)3-∞-+⋃+∞． 4．（2020·江西高三）已知函数()()ln f x x x a b =++，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线为210x y --=.（1）求a ，b 的值；（2）若对任意的()1,x ∈+∞，()()1f x m x ≥-恒成立，求正整数m 的最大值. 【答案】（1）1a =，0b =；（2）3【解析】（1）由()()ln f x x x a b =++得：()ln 1f x x a '=++ 由切线方程可知：()1211f =-=()112f a '∴=+=，()11f a b =+=，解得：1a =，0b =（2）由（1）知()()ln 1f x x x =+则()1,x ∈+∞时，()()1f x m x ≥-恒成立等价于()1,x ∈+∞时，()ln 11x x m x +≤-恒成立令()()ln 11x x g x x +=-，1x >，则()()2ln 21x x g x x --'=-. 令()ln 2hx x x =--，则()111x h x x x-'=-=∴当()1,x ∈+∞时，()0h x '>，则()h x 单调递增()31ln30h =-<Q ，()422ln20h =-> ()03,4x ∴∃∈，使得()00h x =当()01,x x ∈时，()0g x '<；()0,x x ∈+∞时，()0g x '>()()()000min0ln 11x x g x g x x +∴==-()000ln 20h x x x =--=Q 00ln 2x x ∴=- ()()()()0000min 0213,41x x g x g x x x -+∴===∈-()03,4m x ∴≤∈，即正整数m 的最大值为35．（2020·江西高三）已知函数()e 2xf x m x m =--.（1）当1m =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）若()0f x >在(0,)+∞上恒成立，求m 的取值范围． 【答案】（1）y x =-；（2）[2,)+∞【解析】（1）因为1m =,所以()e 21xf x x =--,所以()e 2xf x '=-,则(0)0,(0)1f f '==-,故曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =-.（2）因为()e 2x f x m x m =--,所以()e 2xf x m '=-,①当2m ≥时,()0f x '>在(0,)+∞上恒成立,则()f x 在(0,)+∞上单调递增,从而()(0)0f x f >=成立,故2m ≥符合题意; ①当02m <<时,令()0f x '<,解得20lnx m <<,即()f x 在20,ln m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,则2ln(0)0f f m ⎛⎫<= ⎪⎝⎭,故02m <<不符合题意; ①当0m ≤时,0()e 2x f x m '-<=在(0,)+∞上恒成立,即()f x 在(0,)+∞上单调递减,则()(0)0f x f <=,故0m ≤不符合题意.综上,m 的取值范围为[2,)+∞. 6．（2020·江西高三）已知函数()()2x f x x e =-.（1）求()f x 的单调区间；（2）证明：对任意的()0,x ∈+∞，不等式()2ln 6xf x x x >-恒成立.【答案】（1）单调递增区间为()1,+?，单调递减区间为(),1-∞（2）证明见解析【解析】（1）因为()()2x f x x e =-，所以()()1x f x x e '=-，令()0f x ¢>，解得1x >；令()0f x ¢<，解得1x <.故()f x 的单调递增区间为()1,+?，单调递减区间为(),1-∞.（2）要证()2ln 6xf x x x >-，只需证()ln 32x f x x>-.由（1）可知()()min 1f x f e ==-.令()ln 3(0)2x h x x x =->，则()21ln 2xh x x -'=， 令()21ln 0ln 102xh x x x e x-'=>⇒<⇒<<， 所以当()0,x e ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增；当(),x e ∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减， 则()()max 132h x h e e==-. 因为 2.71828e =⋅⋅⋅，所以 2.75e ->-，所以1133 2.7524e -<-=-， 从而132e e->-，则当0x >时，()()min max f x h x >.故当0x >时，()()f x h x >恒成立，即对任意的()0,x ∈+∞，()2ln 6xf x x x >-.7．（2020·四川高三月考）已知函数21()(32)()2xf x m e x m R =--∈. （1）若0x =是函数()f x 的一个极值点，试讨论()ln ()()h x b x f x b R =+∈的单调性； （2）若()f x 在R 上有且仅有一个零点，求m 的取值范围.【答案】（1）当0b …时，()h x 在(0,)+∞上单调递减；当0b >时，()h x 在上单调递增，在)+∞上单调递减；（2）2222,333e ⎧⎫⎛⎫++∞⋃⎨⎬⎪⎩⎭⎝⎭. 【解析】（1）()(32)xf x m e x '=--，因为0x =是函数()f x 的一个极值点，则(0)320f m '=-=，所以23m =，则21()ln (0)2h x b x x x =->，当2()b b x h x x x x-'=-=，当0b …时，()0h x '…恒成立，()h x 在(0,)+∞上单调递减，当0b >时，2()000h x b x x '>⇒->⇒<<所以()h x 在上单调递增，在)+∞上单调递减. 综上所述：当0b …时，()h x 在(0,)+∞上单调递减；当0b >时，()h x 在上单调递增，在)+∞上单调递减. （2）()f x 在R 上有且仅有一个零点，即方程2322x x m e -=有唯一的解，令2()2xx g x e=， 可得(2)()0,()2xx x g x g x e -'>=， 由(2)()02xx x g x e -'==， 得0x =或2x =，（1）当0x …时，()0g x '…，所以()g x 在(,0]-∞上单调递减，所以()(0)0g x g =…，所以()g x 的取值范围为[0,)+∞. （2）当02x <<时，()0g x '>，所以()g x 在(0,2)上单调递增， 所以0()(2)g x g <<，即220()g x e<<， 故()g x 的取值范围为220,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. （3）当2x …时，()0g x '…，所以()g x 在[2,)+∞上单调递减， 所以(0)()(2)g g x g <…，即220()g x e <…， 即()g x 的取值范围为220,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦. 所以，当320m -=或2232m e ->， 即23m =或22233m e >+时，()f x 在R 上有且只有一个零点，故m 的取值范围为2222,333e ⎧⎫⎛⎫++∞⋃⎨⎬⎪⎩⎭⎝⎭. 8．（2020·山西高三）已知函数()2ln 21f x a x x =-+（其中a R ∈）. （1）讨论函数()f x 的极值；（2）对任意0x >，2()2f x a ≤-恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）[1,)+∞ 【解析】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，2'()2af x x=-， ①当0a ≤时，'()0f x <，所以()f x 在(0,)+∞上是减函数，()f x 无极值. ①当0a >时，令'()0f x =，得x a =，在(0,)a 上，'()0f x >，()f x 是增函数；在(,)a +∞上，'()0f x <，()f x 是减函数. 所以()f x 有极大值()2ln 21f a a a a =-+，无极小值.（2）由（1）知，①当0a ≤时，()f x 是减函数，令2a x e =，则0(0,1]x ∈，222220()(2)21(2)320a a f x a a e a e --=-+--=->，不符合题意，①当0a >时，()f x 的最大值为()2ln 21f a a a a =-+， 要使得对任意0x >，2()(1)f x a ≤-恒成立， 即要使不等式22ln 212a a a a -+≤-成立， 则22ln 230a a a a --+≤有解.令2()2ln 23(0)g a a a a a a =--+>，所以'()2ln 2g a a a =-令()'()2ln 2h a g a a a ==-，由22'()0ah a a-==，得1a =. 在(0,1)上，'()0h a >，则()'()h a g a =在(0,1)上是增函数； 在(1,)+∞上，'()0h a <，则()'()h a g a =在(1,)+∞上是减函数. 所以max ()(1)20h a h ==-<，即'()0g a <， 故()g a 在(0,)+∞上是减函数，又(1)0g =，要使()0g a ≤成立，则1a ≥，即a 的取值范围为[1,)+∞. 9．（2020·北京高三期末）已知函数()2xf x x e =（1）求()f x 的单调区间；（2）过点()1,0P 存在几条直线与曲线()y f x =相切，并说明理由； （3）若()()1f x k x ≥-对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）增区间为(),2-∞-，()0,∞+，单调减区间为()2,0-；（2）三条切线，理由见解析；（3）0,2⎡+⎣ 【解析】（1）()()()222xxf x x x e x x e '==++，()0f x '>得，2x <-或0x >；()0f x '<得，20x -<<；所以()f x 的单调增区间为(),2-∞-，()0,∞+；单调减区间为()2,0-； （2）过()1,0P 点可做()f x 的三条切线；理由如下：设切点坐标为()0200,x x x e，所以切线斜率()()00002xx x k x e f '=+= 所以过切点的切线方程为：()()002200002x x x e x x e x y x -=+-，切线过()1,0P 点，代入得()()0022*******x x x e x x e x -=+-，化简得(0000x x x x e=，方程有三个解，00x =，0x =0x 所以过()1,0P 点可做()f x 的三条切线. （3）设()()21xg x x e k x -=-，①0k =时，因为20x ≥，0x e >，所以显然20x x e ≥对任意x ∈R 恒成立； ①k 0<时，若0x =，则()()0001f k k =>-=-不成立， 所以k 0<不合题意.①0k >时，1x ≤时，()()210xg x x e k x -=->显然成立，只需考虑1x >时情况；转化为21xx e k x ≥-对任意()1,x ∈+∞恒成立令()21xx e h x x =-（1x >），则()min k h x ≤，()()()(()2222(2)111xx xx x x ex x e x x e h x x x +--'==--，当1x <<时，()0h x '<，()h x 单调减；当x >()0h x '>，()h x 单调增；所以()(min 2h x h==+=所以(2k ≤+综上所述，k 的取值范围(0,2+⎡⎣. 10．（2020·全国高三专题练习）已知函数()()33114ln 10f f x ax x x '=--的图象在点()()1,1f 处的切线方程为100++=x y b . （1）求a ，b 的值；（2）若()13f x m >对()0,x ∈+∞恒成立，求m 的取值范围. 【答案】（1）13a =,403=-b ；（2）2642ln 2<-m【解析】（1）()()23114310f f x ax x''=--, 因为()f x 在()()1,1f 处的切线方程为100++=x y b ,即10y x b =--,此时切线斜率10k =-,则()3(1)13141010f f a k ''=--==-,解得13a =,所以()()333101114ln 314ln 3103f x x x x x x x ⨯-=--=+-, 所以()31110113114ln13333f =⨯+⨯-=+=,则10103b =--,解得403=-b（2）由（1）知()31314ln 3f x x x x =+-, ()32143143x x f x x x x+-'=+-=, 设函数()()33140g x xx x =+->,则()2330g x x '=+>,所以()g x 在()0,∞+为增函数,因为()20g =,令()0g x <,得02x <<；令()0g x >,得2x >, 所以当02x <<时,()0f x '<；当2x >时,()0f x '>, 所以()()3min 126223214ln 214ln 233f x f ==⨯+⨯-=-, 从而12614ln 233<-m ,即2642ln 2<-m 11．（2020·天津静海一中高三月考）已知函数()ln 1()f x ax x a R =--∈．（1）讨论()f x 的单调性并指出相应单调区间； （2）若21())1(2g x x x x f ---=，设()1212,x x x x <是函数()g x 的两个极值点，若32a ≥，且()()12g x g x k -≥恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）答案见解析（2）15,2ln 28⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【解析】（1）由()ln 1f x ax x =--，(0,)x ∈+∞， 则11()ax f x a x x'-=-=， 当0a ≤时，则()0f x '≤，故()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，令1()0f x x a'=⇒=， 所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．综上所述：当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递减； 当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增． （2）①21()ln (1)2g x x x a x =+-+， 21(1)1()(1)x a x g x x a x x-++'=+-+=, 由()0g x '=得2(1)10x a x -++=，①121x x a +=+，121=x x ，①211x x =①32a ≥①111115210x x x x ⎧+≥⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩解得1102x <≤.①()()()()222112121211221111ln(1)2ln 22x g x g x x x a x x x x x x ⎛⎫-=+--+-=-- ⎪⎝⎭. 设22111()2ln 022h x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--<≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则()2233121()0x h x x x x x '--=--=<,①()h x 在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减；当112x =时，min 115()2ln 228h x h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭. ①152ln 28k ≤-，即所求k 的取值范围为15,2ln 28⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.12.（2020·山东高三期末）已知函数()()2sin ln 12x f x x x =+-+.（1）证明：()0f x ≥； （2）数列{}n a 满足：1102a <<，()1n n a f a +=（n *∈N ）. （①）证明：1102a <<（n *∈N ）； （①）证明：n *∀∈N ，1n n a a +<.【答案】（1）证明见解析（2）（i ）证明见解析（ii ）证明见解析 【解析】（1）由题意知，()1cos 1f x x x x'=+-+，()1,x ∈-+∞， 当()1,0x ∈-时，()1101f x x x x'<+-<<+，所以()f x 在区间()1,0-上单调递减， 当()0,x ∈+∞时，()()g x f x '=，因为()()()22111sin 011g x x x x '=+->>++所以()g x 在区间()0,∞+上单调递增，因此()()00g x g >=，故当()0,x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在区间()0,∞+上单调递增， 因此当()1,x ∈-+∞时，()()00f x f ≥=，所以()0f x ≥ （2）（①）()f x 在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，()()00f x f >=，因为881288311111C C 147122224e ⎛⎫⎛⎫=+=+++>++=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L ， 故83318ln ln ln 022e ⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭，所以()1113131131sin ln sin ln 18ln 22826822822f x f π⎛⎫⎛⎫<=+-<+-=+-<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因此当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()01f x <<，又因为110,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()()()()()()12110,2n n n a f a ff a f f f a --⎛⎫====∈ ⎪⎝⎭LL L（①）函数()()h x f x x =-（102x <<），则()()11cos 11h x f x x x x''=-=+--+， 令()()x h x ϕ='，则()()0x g x ϕ''=>，所以()x ϕ在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；因此()()111217cos 1cos 0222326h x x ϕϕ⎛⎫'=≤=+--=-<⎪⎝⎭， 所以()h x 在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()()00h x h <=， 因此()()10n n n n n a a f a a g a +-=-=<， 所以x *∀∈N ，1n n a a +<13．（2020·四川三台中学实验学校高三开学考试）已知函数()ln f x x x a =+，()ln ,g x x ax a =-∈R . （1）求函数()f x 的极值； （2）若10a e<<，其中e 为自然对数的底数，求证：函数()g x 有2个不同的零点； （3）若对任意的1x >，()()0f x g x +>恒成立，求实数a 的最大值. 【答案】（1）极小值为1a e-+；无极大值（2）证明过程见解析；（3）2. 【解析】（1）函数()f x 的定义域为0x >，因为()ln f x x x a =+，所以()ln 1f x x =+‘，当1x e >时，()0f x >‘，所以函数()f x 单调递增；当10x e<<时，()0f x <‘，所以函数()f x 单调递减，因此1e是函数()f x 的极小值，故函数()f x 的极值为极小值，值为11()f a e e =-+；无极大值（2）函数()g x 的定义域为0x >，因为()ln ,g x x ax =-所以'1()g x a x=-，因为10a e <<，所以当1x a >时，'()0g x <，因此函数()g x 是递减函数，当10x a<<时，'()0g x >，。

函数的概念与基本初等函数、导数及其应用复习(教师版)

函数的概念与基本初等函数、导数及其应用复习(教师版)

函数的概念与基本初等函数、导数及其应用 综合复习一．函数的概念和图象、函数的表示方法、映射的概念 例题讲解1．函数f (x )＝3x 21－x＋lg(3x ＋1)的定义域是________．解析：要使函数有意义，必须且只须⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，3x ＋1>0，解得－13<x <1，所以函数的定义域为⎝⎛⎭⎫－13，1.答案：⎝⎛⎭⎫－13，12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧8x －8 (x ≤1)x 2－6x ＋5(x >1)，g (x )＝ln x ，则f (x )与g (x )两函数的图像的交点个数为________． 答案：33．设函数f (x )＝⎩⎨⎧23x －1，x ≥0，1x ，x <0，若f (a )>a ，则实数a 的取值范围是________．解析：易知f (a )>a ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 23a －1>a a ≥0或⎩⎪⎨⎪⎧1a >aa <0解之即得不等式的解集为(－∞，－1)．4．定义在区间(－1,1)上的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，则f (x )的解析式为________． 解析：∵对任意的x ∈(－1,1)有－x ∈(－1,1)，由2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)①得2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)②，①×2＋②消去f (－x )，得3f (x )＝2lg(x ＋1)＋lg(－x ＋1) ∴f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )(－1＜x ＜1)．答案：f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )(－1＜x ＜1)5．若函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤12，3，求函数F (x )＝f (x )＋1f (x )的值域． 解：令f (x )＝t ，t ∈⎣⎡⎦⎤12，3，问题转化为求函数y ＝t ＋1t 在⎣⎡⎦⎤12，3的值域．又y ′＝1－1t 2＝t 2－1t2，当t ∈⎣⎡⎦⎤12，1，y ′≤0，y ＝t ＋1t 为减函数，当t ∈[1,3]，y ′≥0，y ＝t ＋1t 在[1,3]上为增函数， 故t ＝1时y min ＝2，t ＝3时y ＝103为最大．∴y ＝t ＋1t ，t ∈⎣⎡⎦⎤12，3的值域为⎣⎡⎦⎤2，103.二．函数的单调性 例题讲解1．函数y ＝x ＋2x －2的单调区间是________，在该区间上是单调________．解析：y ＝x ＋2x －2可写成y ＝1＋4x －2，所以函数的单调区间是(－∞，2)及(2，＋∞)，在这两个区间上都是单调减函数．答案：(－∞，2)及(2，＋∞) 减函数2．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的增函数，则f (x )＝0的根最多有________个．解析：∵f (x )在R 上是增函数，∴对任意x 1，x 2∈R ，若x 1＜x 2，则f (x 1)＜f (x 2)，反之亦成立．故若存在f (x 0)＝0，则x 0只有一个，若对任意x ∈R 都无f (x )＝0，则f (x )＝0无解．答案：1 3．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上最大值为3，最小值为2，则m 的取值范围为________． 解析：∵f (x )＝(x －1)2＋2，其对称轴为x ＝1，当x ＝1时，f (x )min ＝2，故m ≥1，又∵f (0)＝3， ∴f (2)＝3，∴m ≤2.答案：[1,2]4．函数y ＝x 2x 2＋1(x ∈R)的最小值是________．解析：由已知：yx 2＋y ＝x 2，即x 2＝y1－y≥0，∴y ·(y －1)＜0或y ＝0，∴0≤y ＜1.∴y 的最小值为0.答案：05．若函数f (x )＝mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围是________． 解析：由题意可得：f ′(x )＝2mx ＋1x －2在(0，＋∞)上有f ′(x )≥0恒成立，所以，2mx ＋1x －2≥0在(0，＋∞)上恒成立，即2m ≥2x －1x 2在(0，＋∞)上恒成立，设t (x )＝－1x 2＋2x ＝－⎝⎛⎭⎫1x －12＋1，只要求出t (x )在(0，＋∞)上的最大值即可． 而当1x ＝1，即x ＝1时，t (x )max ＝1，所以2m ≥1，即m ≥12.答案：m ≥12三．函数的奇偶性与周期性 例题讲解1．已知函数f (x )＝1＋me x －1是奇函数，则m 的值为________．解析：∵f (－x )＝－f (x )，即f (－x )＋f (x )＝0，∴1＋m e －x －1＋1＋me x －1＝0，∴2－m e x e x －1＋m e x －1＝0，∴2＋me x －1(1－e x )＝0，∴2－m ＝0，∴m ＝2.答案：22．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝2x －3，则f (－2)＝________. 解析：设x ＜0，则－x ＞0，f (－x )＝2－x －3＝－f (x )，故f (x )＝3－2－x ，所以f (－2)＝3－22＝－1.答案：－13．已知函数f (x )＝a －12x ＋1，若f (x )为奇函数，则a ＝________.解析：解法一：∵f (x )为奇函数，定义域为R ，∴f (0)＝0⇔a －120＋1＝0⇔a ＝12.经检验，当a＝12时，f (x )为奇函数． 4．已知f (x )是R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 3＋x ＋1，求f (x )的解析式． 解：设x ＜0，则－x ＞0，∴f (－x )＝(－x )3－x ＋1＝－x 3－x ＋1.由f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．∴－x 3－x ＋1＝－f (x )，即f (x )＝x 3＋x －1. ∴x ＜0时，f (x )＝x 3＋x －1，又f (x )是奇函数．∴f (0)＝0，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋x ＋1 (x ＞0)0 (x ＝0)x 3＋x －1 (x ＜0).四．指数函数 例题讲解1．函数y ＝a x ＋2－2(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A (其坐标与a 无关)，则A 的坐标为________．答案：(－2，－1) 2．已知，则a ，b ，c 按从小到大顺序排列为________． 解析：，∴b <a <c .答案：b <a <c3．设f (x )＝4x 4x ＋2，则f ⎝⎛⎭⎫111＋f ⎝⎛⎭⎫211＋f ⎝⎛⎭⎫311＋…＋f ⎝⎛⎭⎫1011＝________. 解析：可以求得f (x )＋f (1－x )＝1，于是有f ⎝⎛⎭⎫111＋f ⎝⎛⎭⎫1011＝f ⎝⎛⎭⎫211＋f ⎝⎛⎭⎫911＝f ⎝⎛⎭⎫311＋f ⎝⎛⎭⎫811＝f ⎝⎛⎭⎫411＋f ⎝⎛⎭⎫711＝f ⎝⎛⎭⎫511＋f ⎝⎛⎭⎫611＝1， 共有5组，所以原式＝5.答案：5五．对数函数 例题讲解1．若lg x －lg y ＝a ，则lg ⎝⎛⎭⎫x 23－lg ⎝⎛⎭⎫y 23等于________． 解析：∵lg x －lg y ＝a ，∴lg x y ＝a ，lg ⎝⎛⎭⎫x 23－lg ⎝⎛⎭⎫y 23＝lg ⎝⎛⎭⎫x 23⎝⎛⎭⎫y 23＝lg ⎝⎛⎭⎫x y 3＝3lg x y ＝3a .答案：3a 2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x (x >0)3x (x ≤0)，则f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫13＝________.解析：f ⎝⎛⎭⎫13＝－1，f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫13＝f (－1)＝3－1＝13.答案：13 3．已知2a ＝5b ＝10，则1a ＋1b＝________.解析：∵2a ＝10,5b ＝10，∴a ＝log 210，b ＝log 510，∴1a ＋1b ＝1log 210＋1log 510＝lg 2＋lg 5＝1.答案：1六．幂函数、一次函数及二次函数 例题讲解 1．若，则a 的取值范围是________．解析：∵，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>03－2a >0a ＋1>3－2a或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<03－2a <0a ＋1>3－2a或⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0a ＋1<0，解之得23<a <32或a <－1.答案：23<a <32或a <－1 2．已知函数f (x )＝x α的图象经过点(4,2)，则log 2f (2)＝________. 解析：由题意知：2＝4α，∴α＝12，∴log 2f (2)＝＝12.答案：123．已知集合A ＝{x |x 2－2x <3}，集合B ＝{x |x ≤2}，则A ∩B ＝________.解析：A ＝{x |x 2－2x －3<0}＝{x |(x ＋1)(x －3)<0}＝(－1,3)；B ＝(－∞，2]，∴A ∩B ＝(－1,2]． 答案：(－1,2]4．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α＝________.解析：由幂函数定义得k ＝1，再将点⎝⎛⎭⎫12，22代入得22＝⎝⎛⎭⎫12α，从而α＝12，故k ＋α＝32.答案：325．函数f (x )＝(x －1)log 23a －6x log 3a ＋x ＋1在区间[0,1]上恒为正值，实数a 的取值范围是________．解析：由题知⎩⎨⎧f (0)>0f (1)>0，⎩⎪⎨⎪⎧－log 23a ＋1>0－6log 3a ＋2>0，13＜a ＜33.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫13，33七．函数与方程 例题讲解1．函数f (x )＝ln x －1x －1的零点的个数是________．解析：本题考查了学生的画图能力，构造函数等方法．这种题型很好地体现了数形结合的数学思想．构建函数h (x )＝ln x ，g (x )＝1x －1，f (x )的零点个数即h (x )与g (x )交点的个数．画出图象可知有两个交点. 答案：22．若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点为2，那么g (x )＝bx 2－ax 的零点是________． 解析：ax ＋b ＝0，x ＝－b a ＝2，bx 2－ax ＝0，x ＝0或x ＝a b ＝－12.答案：0，－12八．函数模型及其应用 例题讲解1．计算机的价格大约每3年下降23，那么今年花8 100元买的一台计算机，9年后的价格大约是________元．解析：9年后的价格大约是8 100×⎝⎛⎭⎫ 13 3＝300元．答案：300九．导数的概念与导数的运算 例题讲解1．曲线y ＝2x 3在x ＝1处的切线的斜率是________．解析：令y ＝f (x )＝2x 3，∴y ′＝f ′(x )＝6x 2，∴f ′(1)＝6.答案：6 2．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)等于________．解析：f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－2，∴f ′(x )＝2x －4， ∴f ′(0)＝－4.答案：－43．已知函数f (x )＝x ·e x ，则f ′(0)＝________. 解析：f ′(x )＝(x ·e x )′＝e x ＋x e x ，∴f ′(0)＝1.答案：14．曲线C ：f (x )＝sin x ＋e x ＋2在x ＝0处的切线方程为________.解析：由f (x )＝sin x ＋e x ＋2得f ′(x )＝cos x ＋e x ，从而f ′(0)＝2，又f (0)＝3，所以切线方程为y ＝2x ＋3.答案：y ＝2x ＋35．设P 为曲线C ：y ＝x 2－x ＋1上一点，曲线C 在点P 处的切线的斜率范围是[－1，3]，则点P 纵坐标的取值范围是________．解析：由题知，y ′＝2x －1，所以－1≤2x －1≤3，即0≤x ≤2.此时y ＝x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34的值域为⎣⎡⎦⎤34，3，故点P 纵坐标的取值范围是⎣⎡⎦⎤34，3. 6．已知函数f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π2sin x ＋cos x ，则f ⎝⎛⎭⎫π4＝________. 解析：由题意f ′(x )＝f ′(π2)cos x －sin x ，得f ′( π2 )＝f ′⎝⎛⎭⎫π2·cos π2－sin π2，即f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－1，∴f (x )＝－sin x ＋cos x ，则f ⎝⎛⎭⎫π4＝－sin π4＋cos π4＝0.答案：0 7．已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2,4)的切线方程． 解：(1)∵y ′＝x 2，∴在点P (2,4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4. ∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0. (2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43， 则切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝x 20.∴切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20·x －23x 30＋43.∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0， ∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0.十．导数在研究函数中的应用 例题讲解1．曲线y ＝13x 3＋x 在点⎝⎛⎭⎫1，43处的切线与坐标轴围成的三角形面积为________． 解析：曲线y ＝13x 3＋x 在点⎝⎛⎭⎫1，43处的切线斜率为y ′|x ＝1＝⎝⎛⎪⎪13x 3＋x ′x ＝1＝(x 2＋1)|x ＝1＝2，所以切线的方程为y －43＝2(x －1)，即y ＝2x －23，与x 轴的交点和y 轴的交点为⎝⎛⎭⎫13，0，⎝⎛⎭⎫0，－23，所求面积为S ＝12×13×23＝19.答案：192．已知f (x )＝x 2＋2x ＋a ln x ，若f (x )在区间(0,1]上恒为单调函数，则实数a 的取值范围为________．解析：由题意知，f ′(x )＝2x ＋2＋a x ＝2x 2＋2x ＋ax，∵f (x )在区间(0,1]上恒为单调函数，∴f ′(x )在区间(0,1]上恒大于等于0或恒小于等于0，∴2x 2＋2x ＋a ≥0或2x 2＋2x ＋a ≤0在区间(0,1]上恒成立，即a ≥－(2x 2＋2x )或a ≤－(2x 2＋2x )，而函数y ＝－2x 2－2x 在区间(0,1]的值域为[－4,0)，∴a ≥0或a ≤－4.答案：a ≥0或a ≤－43．已知f (x )为奇函数，且当x ＞0时，f (x )＞0，f ′(x )＞0，则函数y ＝xf (x )的递增区间是________． 解析：当x ＞0时，y ′＝[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )＞0，∴y ＝xf (x )在(0，＋∞)上递增．又f (x )为奇函数，∴y ＝xf (x )为偶函数，∴y ＝xf (x )在(－∞，0)上递减．答案：(0，＋∞)。

函数与导数期末复习题

函数与导数期末复习题

3D f'(3)e B．e+e eD．06．已知函数f(x)=，则该函数的导函数f'(x)=8．若函数f(x)＝a sin x＋cos x在x＝处有最值，那么a等于()A.B．－ C.D．－9．函数y＝x－sin x，x∈⎣2，π⎦的最大值是()A．π－1 B.－1C．πD．π＋1则称函数f(x)在(a,b)上为“凸函数”，已知f(x)=-x3+x2在(1,4)上为“凸x2x2x28D．(函数与导数期末复习题一、选择题(本大题12小题，每小题5分，共60分)1.已知函数y＝f(x)的图象如图，则f′(x A)与f′(x B)的大小关系是()A．f′(x A)>f′(x B)B．f′(x A)<f′(x B)C．f′(x A)＝f′(x B)D．不能确定2．已知函数f(x)在x=1处存在导数，则lim∆x→0f(1+∆x)-f(1)3∆x=A．f'(1)B．3f'(1)C．1f'(1)3．已知曲线y＝2ax2＋1过点(a，3)，则该曲线在该点处的切线方程为() A．y＝－4x－1B．y＝4x－1C．y＝4x－11D．y＝－4x＋7 4．已知f(x)=e-x+e x的导函数为f'(x)，则f'(1)=A．e-111C．1+5．函数f(x)＝x3＋ax－2在区间(1，＋∞)内是增函数，则实数a的取值范围是() A．[3，＋∞)B．[－3，＋∞)C．(－3，＋∞)D．(－∞，－3)x2+sin xx2x+cos x x2+x cos x-sin x2x+x cos x-sin xA．B．C．D．2x-cos x7．已知a>0，函数f(x)＝－x3＋ax在[1，＋∞)上是单调减函数，则a的最大值为() A．1B．2C．3D．41π3333333366⎡π⎤π210.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点()A．1个B．2个C．3个D．4个11．丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方向留下了很多宝贵的成果．设函数f(x)在(a,b)上的导函数为f'(x)，f'(x)在(a,b)上的导函数记为f''(x)，若在(a,b)上f''(x)<0恒成立，x4t3432函数”，则实数t的取值范围是A．[3,+∞)B．(3,+∞)C．[51,+∞)518,+∞)13．已知函数 y ＝f (x )的图象在点 M (1，f (1))处的切线方程是 y ＝ x ＋2，则 f (1)＋f ′(1)＝ 倾斜角均为 π，有以下命题：17．若函数 f (x )＝ x 3－ ax 2＋(a －1)x ＋1 在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函 18．已知函数 f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在 x ＝－ 与 x ＝1 时都取得极值．12．已知点 P 为函数 f ( x ) =12x 2 + 2ax 与 g ( x ) = 3a 2 ln x + 2b (a > 0) 图象的公共点，若以P 为切点可作直线 l 与两曲线都相切，则实数 b 的最大值为2 3 A ． e 433 34 2 B ． e 4 C ． e 32 3 3 2 D ． e 34二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)1214．设函数 f (x )＝ax 3－3x ＋1 (x ∈R )，若对于 x ∈[－1，1]，都有 f (x )≥0，则实数 a 的值为15. f （x ）=ax 3﹣x 2+x +2， ，∀ x 1∈（0，1]，∀ x 2∈（0，1]，使得 f （x 1）≥g （x 2），则实数 a 的取值范围是．16．已知函数 f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，x ∈[－2,2]表示过原点的曲线，且在 x ＝±1 处的切线的34①f (x )的解析式为 f (x )＝x 3－4x ，x ∈[－2,2]．②f (x )的极值点有且只有一个． ③f (x )的最大值与最小值之和等于零．其中正确命题的序号为________． 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分)1 1 3 2数，试求实数 a 的取值范围．23(1)求 a ，b 的值与函数 f (x )的单调区间；(2)若对 x ∈[－1,2]，不等式 f (x )<c 2 恒成立，求 c 的取值范围．19.一个圆柱形圆木的底面半径为 1 m ，长为 10 m ，将此圆木沿轴所在的平面剖成两部分．如(2)求证：当 x ∈(1，＋∞)时，函数 f (x )的图象在 g (x )＝ x 3＋ x 2的下方．图所示，现要把其中一部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD ，其中 O 为圆心， C ， D 在半圆上，设 ∠BOC = θ ，木梁的体积为 V （单位：m 3），表面积为 S （单位：m 2）．（1）求V 关于θ 的函数表达式；（2）求θ 的值，使体积V 最大，并判断此时表面积 S 是否也最大．20．已知函数 f (x )＝x 2＋ln x .(1)求函数 f (x )在[1，e]上的最大值和最小值；2 13 221.设 a 为实数，函数 f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R .时，求函数 f ( x ) 在区间 [ , e] 上的最值；(1)求 f (x )的单调区间与极值； (2)求证：当 a >ln 2－1 且 x >0 时，e x >x 2－2ax ＋1.22．已知函数 f ( x ) = a ln x +a + 12x 2 + 1 ．（1）当 a = - 1 12 e（2）讨论 f ( x ) 的单调性；（3）当 -1 < a < 0 时， f ( x ) > 1 +a 2ln( -a ) 恒成立，求实数 a 的取值范围．参考答案，∴k ＝y ′|x ＝－1＝ (x ＋2)2 (x ＋2)2 (－1＋2)2 8．A [f ′(x )＝a cos x － sin x ，由题意 f ′⎝3⎭＝0，即 a · － × ＝0，∴a ＝ .] 9．C [y ′＝1－cos x ≥0，所以 y ＝x －sin x 在⎣2，π⎦上为增函数．∴当 x ＝π 时，y max ＝π.] (1－x )2 (1－x )2 (1－x )2 所以 g (x )在区间⎝0，2⎭上单调递增，在区间⎝2，1⎦上单调递减，因此 g (x )max ＝g ⎝2⎭＝4，从而 a ≥4；当 x ∈[－1,0)时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0 可转化为 a ≤ 2－f ( x 4 15. 解析 设 CD ＝x ，则点 C 坐标为⎝2，0⎭.点 B 坐标为⎝2，1－⎝2⎭2⎭，∴矩形 ABCD 的面积 S ＝f (x )＝x · ⎣1－⎝2⎭2⎦＝－ ＋x (x ∈(0,2))．x 4由 f ′(x )＝－ x 2＋1＝0，得 x 1＝－ (舍)，x 2＝ ，∴x ∈⎝0， 2 ⎫3⎭ ⎛ 2 ，2⎫时，f ′(x )<0，f (x )是递减的，当 x ＝ 的，x ∈⎝ 3 ⎭ 3 时，f (x )取最大值 .16．①③解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由题意得 f (0)＝0，f ′(－1)＝f ′(1)＝tan ＝－1.1．B [f ′ x A )和 f ′ x B )分别表示函数图象在点 A 、B 处的切线斜率，故 f ′ x A )<f ′ x B )．] 2．B [物体的初速度即为 t ＝0 时物体的瞬时速度，即函数 s (t )在 t ＝0 处的导数．s ′(0)＝s ′|t ＝0＝(3－2t )|t ＝0＝3.]3．B [∵曲线过点( a ，3)，∴3＝2a 2＋1，∴a ＝1，∴切点为(1,3)．由导数定义可得 y ′＝4ax ＝4x ， ∴该点处切线斜率为 k ＝4，∴切线方程为 y －3＝4(x －1)，即 y ＝4x －1.] 4．B5．B [f ′(x )＝3x 2＋a .令 3x 2＋a ≥0，则 a ≥－3x 2，x ∈(1，＋∞)，∴a ≥－3.]x ′(x ＋2)－x (x ＋2)′ 2 2 6．A [∵y ′＝ ＝ ＝2，∴切线方程为：y ＋1＝2(x ＋1)，即 y ＝2x ＋1.] 7．C1 ⎛π⎫ 1 1 3 3 323 2 3⎡π ⎤ 10．A [由图象看，在图象与 x 轴的交点处左侧 f ′ x )<0，右侧 f ′ x )>0 的点才满足题意，这 样的点只有一个 B 点．]x ′(1－x )－x (1－x )′ 1－x ＋x 111．C [∵f ′(x )＝ ＝ ＝ >0，又 x ≠1，∴f (x )的单调增区间为(－∞，1)，(1，＋∞)．]12．B [由题意知，存款量 g (x )＝kx (k >0)，银行应支付的利息 h (x )＝xg (x )＝kx 2，x ∈(0，0.048)．设银行可获得收益为 y ，则 y ＝0.048kx －kx 2.于是 y ′＝0.048k －2kx ，令 y ′＝0，解得 x ＝0.024，依题意知 y 在 x ＝0.024 处取得最大值．故当存款利率为 0.024 时， 银行可获得最大收益．] 13．314．4 解析 若 x ＝0，则不论 a 取何值，f (x )≥0，显然成立；3 1 3 1 3(1－2x ) 当 x ∈(0,1]时， x )＝ax 3－3x ＋1≥0 可转化为 a ≥x 2－x 3，设 g (x )＝x 2－x 3，则 g ′(x )＝ ， ⎛ 1⎫ ⎛1 ⎤⎛1⎫ 3 x1 x 3，3 1 3(1－2x )设 g (x )＝x 2－x 3，则 g ′(x )＝ ，所以 g (x )在区间[－1,0)上单调递增． 因此 g (x )min ＝g (－1)＝4，从而 a ≤4，综上所述，a ＝4.4 3 ⎛x ⎫ ⎛x ⎛x ⎫ ⎫ 9⎡ ⎛x ⎫ ⎤x 3 43 2 2 ⎛4 3 3时，f ′(x )>0，f (x )是递增2 43 93π4，x 2＝ ， 2 3 ( ，－22 3 2 3 3 33 ∴x ＝－ 是极大值点也是最大值点．x ＝ 是极小值点也是最小值点．∴a ≥ ＝x ＋1.又∵x ＋1∈(2,5)，∴a ≥5， ①∴a ≤ ＝x ＋1. 又∵x ＋1∈(7，＋∞)，∴a ≤7， ②⎛ 2⎫ 12－4a ＋b ＝0， f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0 得 a ＝－ ，b ＝－2.f ′(x )＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)， 令 f ′(x )>0，得 x <－ 或 x >1，令 f ′(x )<0，得－ <x <1.所以函数 f (x )的递增区间是⎝－∞，－3⎭和(1，＋∞)，递减区间是⎝－3，1⎭. ⎛ 2⎫ 22＋c 为极大值， (2)f (x )＝x 3－ x2－2x ＋c ，x ∈[－1,2]，由(1)知，当 x ＝－ 时，f ⎝－3⎭＝后，库存量变为零，这样又开始下一次的订购，因此平均库存量为 x 台，所以每年的保管费用为 x ·4 000·10%元，而每年的订货电脑的其它费用为 ·1 600 元，这样每年的总费用为 ·1 600＋ x ·4 000·10%元．0 0⎧⎪c ＝0∴⎨3－2a ＋b ＝－1 ⎪⎩3＋2a ＋b ＝－1，∴a ＝0，b ＝－4，c ＝0.∴f (x )＝x 3－4x ，x ∈[－2,2]．故①正确．2 3 2 3由 f ′(x )＝3x 2－4＝0 得 x 1＝－ 3 3.根据 x 1，x 2 分析 f ′(x )的符号、f (x )的单调性和极值点.(－x( － 2 ，－ － 2 3 2 3） 33 3 2 3 2))2f ′(x )＋ － ＋16 3 － f (x ) 0 0916 3 92 3 2 33 3f (x )min ＋f (x )max ＝0.∴②错，③正确．17．解 f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1，由题意知 f ′(x )≤0 在(1,4)上恒成立，且 f ′(x )≥0 在(6，＋ ∞)上恒成立．由 f ′(x )≤0 得 x 2－ax ＋a －1≤0，即 x 2－1≤a (x －1)．∵x ∈(1,4)，∴x －1∈(0,3)，x 2－1x －1由 f ′(x )≥0 得 x 2－ax ＋a －1≥0，即 x 2－1≥a (x －1)．∵x ∈(6，＋∞)，∴x －1>0，x 2－1x －1∵①②同时成立，∴5≤a ≤7.经检验 a ＝5 或 a ＝7 都符合题意，∴所求 a 的取值范围为 5≤a ≤7. 18．解 (1)f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由 f ′⎝－3⎭＝9 3122 23 3⎛ 2⎫ ⎛ 2 ⎫1 2 2 3 27而 f (2)＝2＋c ，则 f (2)＝2＋c 为最大值，要使 f (x )<c 2，x ∈[－1,2]恒成立， 则只需要 c 2>f (2)＝2＋c ，得 c <－1 或 c >2.19．解 设每次订购电脑的台数为 x ，则开始库存量为 x 台，经过一个周期的正常均匀销售12125 000x5 000 1x 2(－∞，x 1)(x 1，x 2) (x 2，＋∞)x 1x 2解得 a ≥ .综上，f (x )在[－1,1]上为单调函数的充分必要条件为 a ≥ .即 a 的取值范围是⎣4，＋∞⎭.4 x ·1 600＋ 00 ln 2 22．(1)解 ∵f (x )＝x 2＋ln x ，∴f ′(x )＝2x ＋ .∵x >1 时，f ′(x )>0，(2)证明 令 F (x )＝f (x )－g (x )＝ x 2－ x 3＋ln x ，∴F ′(x )＝x －2x 2＋ ＝ ＝ ＝ . ∵x >1，∴F ′(x )<0，∴F (x )在(1，＋∞)上是减函数，∴F (x )<F (1)＝ － ＝－ <0.∴f (x )<g (x )．∴当 x ∈(1，＋∞)时，函数 f (x )的图象在 g (x )＝ x 3＋ x 2的下方．5 000 1 1 1令 y ＝ 2x ·4 000·10%，y ′＝－x 2·5 000·1 600＋2·4 000·10%.令 y ′＝0，解得 x ＝200(台)．也就是当 x ＝200 台时，每年订购电脑的其它费用及保管费用总费用达到最小值，最小 值为 80 000 元．20．解 (1)对函数 f (x )求导数，得 f ′(x )＝(x 2－2ax )e x ＋(2x －2a )e x ＝[x 2＋21 －a x －2a ]e x .令 f ′(x )＝0，得[x 2＋21 －a x －2a ]e x ＝0，从而 x 2＋2(1－a )x －2a ＝0. 解得 x 1＝a －1－ 1＋a 2，x 2＝a －1＋ 1＋a 2，其中 x 1<x 2. 当 x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化如下表：xf ′(x )＋－＋f (x )极大值极小值当 f (x )在 x ＝x 1 处取得极大值，在 x ＝x 2 处取到极小值． 当 a ≥0 时，x 1<－1，x 2≥0.f (x )在(x 1，x 2)为减函数，在(x 2，＋∞)为增函数．而当 x <0 时，f (x )＝x (x －2a )e x >0； 当 x ＝0 时，f (x )＝0，所以当 x ＝a －1＋ 1＋a 2时，f (x )取得最小值．(2)当 a ≥0 时，f (x )在[－1,1]上为单调函数的充要条件是 x 2≥1，即 a －1＋ 1＋a 2≥1，343 ⎡3⎫ 21．(1)解 由 f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R 知 f ′(x )＝e x －2，x ∈R .令 f ′(x )＝0，得 x ＝ln 2.于是当 x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，ln 2) (ln 2，＋∞)f ′(x )－ ＋f (x )2(1－ln 2＋a )故 f (x )的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)，f (x )在 x ＝ln 2 处取得极小值，极小值为 f (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a ＝2(1－ln 2＋a )．(2)证明 设 g (x )＝e x －x 2＋2ax －1，x ∈R ，于是 g ′(x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R . 由(1)知当 a >ln 2－1 时，g ′(x )取最小值为 g ′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a )>0. 于是对任意 x ∈R ，都有 g ′(x )>0，所以 g (x )在 R 内单调递增． 于是当 a >ln 2－1 时，对任意 x ∈(0，＋∞)，都有 g (x )>g (0)． 而 g (0)＝0，从而对任意 x ∈(0，＋∞)，都有 g (x )>0， 即 e x －x 2＋2ax －1>0，故 e x >x 2－2ax ＋1.1x ∴f (x )在[1，e]上是增函数，∴f (x )的最小值是 f (1)＝1，最大值是 f (e)＝1＋e 2.1 2 2 31 x 2－2x 3＋1 x 2－x 3－x 3＋1 (1－x )(2x 2＋x ＋1)x x x x1 2 1 2 3 62 13 2。

(完整版)高三复习导数专题

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导 数一、导数的基本知识 1、导数的定义：)(0'x f =xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000. 2、导数的公式： 0'=C （C 为常数） 1')(-=n n nxx （R n ∈） xx e e =')(a a a x x ln )('= xx 1)(ln '= exx a a log 1)(log '=x x cos )(sin '= x x sin )(cos '-=3、导数的运算法则： [()()]f x g x '+ =()()f x g x ''+ [()()]()()f x g x f x g x '''-=-[()]()af x af x ''= [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+ 2()()()()()[]()[()]f x f x g x f x g x g x g x ''-'= 4、掌握两个特殊函数 （1）对勾函数()bf x ax x=+ （ 0a > ，0b >） 其图像关于原点对称（2）三次函数32()f x ax bx cx d =+++(0)a ≠导数导数的概念 导数的运算导数的应用导数的定义、几何意义、物理意义 函数的单调性 函数的极值函数的最值 常见函数的导数导数的运算法则 比较两个的代数式大小导数与不等式讨论零点的个数求切线的方程导数的基本题型和方法1、、导数的意义：（1）导数的几何意义：()k f x'=（2）导数的物理意义：()v s t'=2、、导数的单调性：（1）求函数的单调区间；()0()b]f x f x'≥⇔在[a,上递增()0()b]f x f x'≤⇔在[a,上递减（2）判断或证明函数的单调性；()f x c≠（3）已知函数的单调性，求参数的取值范围。

第五章：一元函数的导数及其应用 重点题型复习(解析版)

第五章：一元函数的导数及其应用 重点题型复习(解析版)

第五章：一元函数的导数及其应用重点题型复习题型一导数定义的理解与运用【例1】已知()f x '是函数()f x 的导函数，若()24f '=，则()()222limx f x f x→+-=（）A．4B．2C．8D．8-【答案】C 【解析】()()()()()020222222lim2lim 2282x x f x f f x f f x x→→+-+-'===．故选：C ．【变式1-1】已知函数()f x 在0x x =处的导数为()0f x '，则000(2)()lim x f x x f x x∆→+∆-=∆（）A．()02f x 'B．()02f x '-C．()012f x -'D．()12f x '【答案】A【解析】由导数的定义和极限的运算法则，可得：000000000(2)()(2)()()()limlim lim x x x f x x f x f x x f x x f x x f x x x x∆→∆→∆→+∆-+∆-+∆+∆-=+∆∆∆()()()0002f x f x f x '''=+=.故选：A.【变式1-2】已知函数()f x 可导，且满足()()3Δ3Δlim2Δx f x f x x→--+=，则函数()y f x =在3x =处的导数为（）A．1-B．2-C．1D．2【答案】A【解析】因为()()()()003333lim 2lim 2(3)22x x f x f x f x f x f x x→→-∆-+∆-∆-+∆'=-=-=∆-∆△△，所以(3)1f '=-，故选:A.【变式1-3】若函数()f x 在0x 处可导，且()()0002lim 12x f x x f x x∆→+∆-=∆，则()0f x '=（）A．1B．1-C．2D．12【答案】A【解析】由导数定义可得()()()00002lim 2x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆，所以()01f x '=．故选：A．【变式1-4】设函数()y f x =在R 上可导，则()()00lim x f f x x∆→-∆=∆（）A．()0f 'B．()0f '-C．()f x 'D．以上都不对【答案】B【解析】由导数的定义可知()()()()()000lim lim0x x f f x f x f f xx∆→∆→-∆∆-'=-=-∆∆.故选：B.题型二导数的几何意义与应用【例2】函数()()e sin cos xf x x x =+在0x =处切线的斜率为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】因为函数()()e sin cos xf x x x =+，则()()e sin cos cos sin 2e cos x xf x x x x x x =++-='，所以()02f '=，也即函数()()e sin cos xf x x x =+在0x =处切线的斜率2k =，故选：B .【变式2-1】已知函数()32f x x =+.（1）曲线()y f x =在点1x =处的切线方程；（2）曲线()y f x =过点()0,4B 的切线方程.【答案】（1）30x y -=；（2）340x y -+=【解析】（1）因为2()3f x x '=，所以(1)3f '=，又(1)3f =，所以曲线()y f x =在1x =处的切线方程为()331y x -=-，即30x y -=；（2）设切点为()300,2x x +，则()()3200002,3f x x f x x =='+，所以切线方程为()()3200023y x x x x -+=-，因为切线过点()0,4B ，所以()()320004230x x x -+=-，即322x =-，解得01x =-，故所求切线方程为340x y -+=．【变式2-2】已知()3f x x x =-，如果过点()2,m 可作曲线()y f x =的三条切线，则m 的取值范围是______.【答案】()2,6-【解析】()231f x x '=-，则过()(),t f t 的切线为()()()y f t f t x t '-=-，即()23312y t x t =--.由过点()2,m 可作曲线()y f x =的三条切线得32262m t t =-+-有3个不等实根.令()32262g t t t m =-++，()2612g t t t '=-，由()0g t '=得0=t 或2t =.当0t <或2t >，()0g t '>，()g t 单调递增；当02t <<，()0g t '<，()g t 单调递减；故当0=t 时，函数()g t 取得极大值为2m +；当2t =时，函数()g t 取得极小值为6m -.要使()0g t =有3个不等实根，则26m -<<，即所求m 的取值范围是()2,6-.【变式2-3】（多选）设b 为实数，直线3y x b =+能作为曲线()f x 的切线，则曲线()f x 的方程可以为（）A．()1f x x=-B．()214ln 2f x x x=+C．()3f x x=D．()exf x =【答案】ACD【解析】因为直线3y x b =+能作为曲线()f x 的切线，所以()3f x '=有解，对于A，由()1f x x=-，得()21f x x '=，由()3f x '=，得213x =，解得33x =，所以直线3y x b =+能作为曲线()1f x x =-的切线，所以A 正确，对于B，由()214ln 2f x x x =+，得()4(0)f x x x x '=+>，由()3f x '=，得43x x +=，化简得2340x x -+=，因为2(3)440∆=--⨯<，所以方程无解，所以直线3y x b =+不能作为曲线()214ln 2f x x x =+的切线，所以B 错误，对于C，由()3f x x =，得2()3f x x '=，由()3f x '=，得233x =，解得1x =±，所以直线3y x b =+能作为曲线()3f x x =的切线，所以C 正确，对于D，由()e xf x =，得()e xf x '=，由()3f x '=，得e 3x =，解得ln 3x =，所以直线3y x b =+能作为曲线()e xf x =的切线，所以D 正确，选：ACD【变式2-4】（多选）若两曲线21y x =-与ln 1y a x =-存在公切线，则正实数a 的取值可能是（）A．1.2B．4C．5.6D．2e【答案】ABD【解析】由21y x =-，则2y x '=，由ln 1y a x =-，则ay x'=设切线与曲线21y x =-相切于点()11,A x y ，则斜率为12x ，所以切线方程为()()211112y x x x x --=-，即21121y x x x =--①设切线与曲线ln 1y a x =-相切于点()22,B x y ，则斜率为：2ax ，则切线方程为()()222ln 1ay a x x x x --=-，即22ln 1a y x a x a x=+--，②根据题意方程①，②表示同一条直线，则122212ln a x x a x a x ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩所以()2224ln 1a x x =--，令()2244ln g x x x x =-（0x >），则()()412ln g x x x '=-，所以()g x在(上单调递增，在)+∞上单调递减，()max 2g x ge ==，由题意(]0,2e a ∈.题型三导数的基本运算【例3】求下列函数的导数．（1）ln(21)y x =+；（2）sin cos xy x=；（3）1()23()()y x x x =+++．【答案】（1）221y x '=+；（2）21cos y x'=；（3）231211y x x =++'【解析】（1）因为ln(21)y x =+，所以221y x '=+；（2）因为sin cos x y x =，所以()2222cos sin 1cos cos x x y x x +'==；（3）因为1()23()()y x x x =+++，326116x x x =+++，所以231211y x x =++'.【变式3-1】已知()tan f x x =，则=3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭'（）A．43B．43-C．4D．4-【答案】C【解析】因为()tan f x x =，所以2222sin cos sin 1()(tan )()cos cos cos x x x f x x x x x+''===='，所以21(43cos 3f ππ'==．故选：C．【变式3-2】已知()()21220222022ln 2f x x xf x '=+-，则()2022f '=（）A．2021B．2021-C．2022D．2022-【答案】B【解析】因为()()21220222022ln 2f x x xf x '=+-，所以()()202222022f x x f x''=+-，所以()()202220222022220222022f f ''=+-，解得()20222021f '=-，故选：B【变式3-3】已知函数(),()f x g x 的定义域为R ，()g x '为()g x 的导函数，且()()2f x g x '+=，()()42f x g x '--=，若()g x 为偶函数，则下列结论不一定成立的是（）A．(4)2f =B．()20g '=C．(1)(3)f f -=-D．(1)(3)4f f +=【答案】C【解析】对A：∵()g x 为偶函数，则()=()g x g x -，两边求导可得()()g x g x ''=--∴()g x '为奇函数，则()00g '=令=4x ，则可得()0(4)2f g '-=，则(4)2f =，A 成立；对B：令=2x ，则可得()()(2)+2=2(2)2=2f g f g ''⎧⎪⎨-⎪⎩，则()(2)=22=0f g '⎧⎨⎩，B 成立；∵()()2f x g x '+=，则可得()(2)22f xg x '+++=()()42f x g x '--=，则可得()(2)22f x x g '+--=两式相加可得：()(2)42x x f f ++=-，∴()f x 关于点()2,2成中心对称，则(1)(3)4f f +=，D 成立又∵()()2f x g x '+=，则可得()()(4)4(4)42f xg x f x g x ''-+-=---=()()42f x g x '--=，则可得()()4f x f x =-∴()f x 以4为周期的周期函数根据以上性质只能推出(1)(3)4f f -+-=，不能推出(1)(3)f f -=-，C 不一定成立.题型四用导数求函数的单调性【例4】函数()e xf x x =的单调递增区间是（）A．(),1-∞-B．(),0∞-C．()0,∞+D．()1,-+∞【答案】D【解析】()()e e e 1x x xf x x x '+=+=，由()0f x '>，得1x >-，所以函数()f x 的单调递增区间是()1,-+∞．故选：D.【变式4-1】函数()2ln f x x x =的单调递增区间为（）A．(B．⎫+∞⎪⎪⎝⎭C．)+∞D．⎛⎝⎭【答案】B【解析】函数()f x 的定义域为()0,∞+，()()212ln 2ln 2ln 1f x x x x x x x x x x'=+⋅=+=+，令()0f x '>，得2ln 10x +>，解得x >故函数()2ln f x x x =的单调递增区间为e ⎛⎫+∞ ⎪⎪⎝⎭．故选：B．【变式4-2】下列函数中，既是奇函数，又在()0,+∞上是单调函数的是（）A．()sin x x x f -=B．()3exf x x =C．()2f x x=D．()cos f x x x=-【答案】A【解析】A：()sin()sin ()x x x f x x x f --=-+=--=-且定义域为R，为奇函数，又()1cos 0f x x '=-≥，故()f x 单调递增，满足要求；B：()33()e ()exx x x f x f x -=-≠--=-，不满足；C：()22())(f x x x f x ==-=-且定义域为R，为偶函数，不满足；D：()cos()cos ()f x x x x x f x -=---=--≠-，不满足.故选：A【变式4-3】已知函数()()()2212ln R f x ax a x x a =+--∈.（1）当0a =时，求曲线()y f x =在点()()e,e f 的切线方程；（2）讨论函数()y f x =的单调性.【答案】（1）22ey x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）答案见解析【解析】（1）由0a =，则()22ln f x x x =-，()e 2e 2f =-，()22f x x '=-，()2e 2ef '=-，切线方程：()()22e 22e e y x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭，则22e y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（2）由()()2212ln f x ax a x x =+--，求导得()()()()1222221x ax f x ax a xx-+'=+--=，①当0a =时，()22x f x x-'=，()0f x '<，解得()0,1x ∈，()0f x '>，解得()1,x ∈+∞，则()f x ：单减区间：()0,1，单增区间：()1,+∞；②当0a >时，令()0f x '=，解得1x =或1x a=-（舍去）当()0,1x ∈时，()0f x '<，当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，则()f x ：单减区间：()0,1，单增区间：()1,+∞；③当1a <-时，令()0f x '=，解得1x =或1x a=-，当()10,1,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，当1,1x a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0f x '>，则()f x ：单减区间：10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭和()1,+∞，单增区间：1,1a⎛⎫- ⎪⎝⎭；④当1a =-时，()()221x f x x--'=，则()f x ：单减区间：()0,∞+；⑤当10a -<<时，令()0f x '=，解得1x =或1x a=-，当()10,1,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，当11,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '>，则()f x ：单减区间：()0,1和1,a∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，单增区间：11,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭；综上，当0a ≥时，单减区间：()0,1，单增区间：()1,+∞当1a <-时，单减区间：10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭和()1,+∞，单增区间：1,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭当1a =-时，单减区间：()0,∞+当10a -<<时，单减区间：()0,1和1,a∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，单增区间：11,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭.题型五由函数的单调性求参数【例5】若函数()2ln f x x ax x =-+在区间()1,e 上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A．[)3,+∞B．(],3-∞C．23,e 1⎡⎤+⎣⎦D．(2,e 1⎤-∞+⎦【答案】B【解析】依题意()120f x x a x'=-+≥在区间()1,e 上恒成立，即12a x x≤+在区间()1,e 上恒成立.令()()121e g x x x x =+<<，则()22212120x g x x x -'=-=>，所以()g x 在()1,e 上单调递增，则()3g x >，所以3a ≤.故选:B.【变式5-1】设函数()23ln h x x x x =-+，若函数()h x 在区间1,12m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调函数，求实数m 的取值范围.【答案】3,22⎛⎤⎥⎝⎦【解析】()()()211123x x h x x xx --'=+-=，()0x >，令()0h x '>，解得102x <<或1x >，令()0h x '<，解得112x <<.故()h x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上严格增，在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上严格减，在()1,+∞上严格增.又()h x 在区间1,12m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调函数，则只需1112m <-≤，解得(3,22m ⎤∈⎥⎦.故实数m 的取值范围为3,22⎛⎤⎥⎝⎦.【变式5-2】已知函数()3212132a g x x x x =-++．若()g x 在()2,1--内不单调，则实数a 的取值范围是______．【答案】(3,--【解析】由()3212132a g x x x x =-++，得()22g x x ax '=-+，当()g x 在()2,1--内为减函数时，则()220g x x ax '=-+≤在()2,1--内恒成立，所以2a x x≤+在()2,1--内恒成立，当()g x 在()2,1--内为增函数时，则()220g x x ax '=-+≥在()2,1--内恒成立，所以2a x x≥+在()2,1--内恒成立，令2y x x=+，因为2y x x=+在(2,-内单调递增，在()1-内单调递减，所以2y x x =+在()2,1--内的值域为(3,--，所以3a ≤-或a ≥-，所以函数()g x 在()2,1--内单调时，a 的取值范围是(]),3⎡-∞-⋃-+∞⎣，故()g x 在()2,1--上不单调时，实数a 的取值范围是(3,--．【变式5-3】已知函数()29ln 3f x x x x =-+在其定义域内的一个子区间()1,1m m -+上不单调，则实数m 的取值范围是（）A．51,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B．31,2⎛⎫⎪⎝⎭C．51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】由题意得29239(3)(23)()23,(0)x x x x f x x x x x x +-+-'=-+==>，令()0f x '=，解得32x =或3x =-（舍），当30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，则()f x 为减函数，当3,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，则()f x 为增函数，所以()f x 在32x =处取得极小值，所以3112m m -<<+，解得1522m <<，又()1,1m m -+为定义域的一个子区间，所以10m -≥，解得m 1≥，所以实数m 的取值范围是51,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：A题型六用导数求函数的极值【例6】函数2ln ()xf x x =的极大值为___________.【答案】12e【解析】()f x 的定义域是()0,∞+，()432ln 12ln x x x xf x x x -='-=，令()0f x '=解得x所以，()f x 在区间(()(),0,f x f x '>递增；在区间)()(),0,f x f x '+∞<递减；所以()f x 的极大值为12ef=.【变式6-1】已知函数2()(15)e x f x x =-（1）求()f x 在0x =处的切线的方程.（2）求()f x 的单调区间和极值.【答案】（1）15150x y ++=；（2）增区间为(,5),(3,)-∞-+∞，减区间()5,3-；（3）极大值为5(5)10e ,f --=极小值3(3)6e f =-.【解析】（1）因为2()(15)e x f x x =-，故可得()015f =-，()f x '()()()2e 215e 53x xx x x x =+-=+-，(0)f '15=-，故()f x 在0x =处的切线的方程为：1515y x +=-，即15150x y ++=.（2）因为()f x '()()e 53xx x =+-，令()f x '0>，解得()(),53,x ∈-∞-⋃+∞；令()f x '0<，解得()5,3x ∈-；则()f x 在(),5-∞-单调递增，在()5,3-单调递减，在()3,+∞单调递增，故()f x 的单调增区间为(,5),(3,)-∞-+∞，单调减区间()5,3-，且()f x 的极大值为5(5)10e ,f --=()f x 的极小值为3(3)6e f =-.【变式6-2】设函数()233f x x x =--（1）求曲线()y f x =在4x =处的切线方程；（2）设()()e xg x f x =，求函数()g x 的极值．【答案】（1）5190x y --=；（2）极大值为27e -；极小值为33e -．【解析】（1）∵()233f x x x =--，∴()23f x x '=-∴切线的斜率()42435f '=⨯-=又切点的坐标为()()4,4f ，即()4,1∴切线的方程()154y x -=-，即5190x y --=（2）∵()()()2e e33x xg x f x x x =⋅=--⋅∴()()()()2223e 33e 6ex x xg x x x x x x '=-⋅+--⋅=--⋅令()0g x '=，则260x x --=，解得2x =-或3x =列表：x(),2-∞-2-()2,3-3()3,+∞()g x '正0负0正()g x 单调递增27e -单调递减33e -单调递增∴当2x =-时，()g x 取得极大值为27e -；当3x =时，()g x 取得极小值为33e -．【变式6-3】已知函数()2ln f x x a x bx =++在()()1,1f 处的切线方程为30x y ++=．（1）求a 、b 的值；（2）求()f x 的极值点，并计算两个极值之和．【答案】（1）2a =，=5b -（2）极大值点为112x =，极小值点为22x =，极大值与极小值的和为334-【解析】（1）因为()2ln f x x a x bx =++的定义域为()0,∞+，()2a f x x b x'=++，因为，曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为30x y ++=，()114f b =+=-，可得=5b -，()121f a b '=++=-，可得2a =.（2）由()()22ln 50f x x x x x =+->，得()()()2212225225x x x x f x x x x x---+'=+-==，列表如下：x 10,2⎛⎫⎪⎝⎭121,22⎛⎫ ⎪⎝⎭2()2,+∞()f x '+-+()f x 增极大值减极小值增所以，函数()f x 的极大值点为112x =，极大值为192ln 224f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，极小值点为22x =，极小值为()22ln 26f =-，所以，函数()f x 的极大值和极小值为()133224f f ⎛⎫+=-⎪⎝⎭.题型七由函数的极值求参数【例7】已知2x =是函数()323f x ax x a =-+的极小值点，则()f x 的极大值为（）A．3-B．0C．1D．2【答案】C【解析】因为()323f x ax x a =-+，则()236f x ax x '=-，由题意可得()212120f a '=-=，解得1a =，()3231f x x x ∴=-+，()()32f x x x '=-，列表如下：x (),0∞-0()0,22()2,+∞()f x '+-+()f x 增极大值减极小值增所以，函数()f x 的极大值为()01f =.故选：C.【变式7-1】函数()322f x x ax bx a =+++在1x =处有极值为10，那么a ，b 的值为（）A．4，11-B．3-，3C．4，11-或3-，3D．3，3【答案】A【解析】()232f x x ax b '=++，由题意可知()()10110f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩即2320110a b a b a ++=⎧⎨+++=⎩，则232120b a a a =--⎧⎨--=⎩，解得411a b =⎧⎨=-⎩或33a b =-⎧⎨=⎩，当33a b =-⎧⎨=⎩时，()()2310f x x '=-≥，∴在1x =处不存在极值，不符合题意；②当411a b =⎧⎨=-⎩时，()()()238113111f x x x x x '=+-=+-，11,13x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭，()0f x '<，()1,x ∈+∞，()0f x ¢>，符合题意．411a b =⎧∴⎨=-⎩，故选：A ．【变式7-2】已知函数322()f x x ax bx a =--+，则“7a b +=”是“函数()f x 在=1x 处有极值10”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】因为322()f x x ax bx a =--+，所以2()32f x x ax b '=--，所以()()21=32=01=1+=10f a b f a b a ----⎧'⎪⎨⎪⎩，解得=3=3a b -⎧⎨⎩或=4=11a b -⎧⎨⎩；当=3=3a b -⎧⎨⎩时32()339f x x x x =-++，()22()363310f x x x x '=-+=-≥，即函数在定义域上单调递增，无极值点，故舍去；当=4=11a b -⎧⎨⎩时32()41116f x x x x =+-+，()()2()31131118f x x x x x '=++=--，当1x >或113x <-时()0f x '>，当1113x -<<时()0f x '<，满足函数在=1x 处取得极值，所以7a b +=，所以由7a b +=推不出函数()f x 在=1x 处有极值10，即充分性不成立；由函数()f x 在=1x 处有极值10推得出7a b +=，即必要性成立；故“7a b +=”是“函数()f x 在=1x 处有极值10”的必要不充分条件；故选：B【变式7-3】已知()()3261f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则a 的取值范围为（）A．()1,2-B．()3,6-C．()(),12,-∞-+∞D．()(),36,-∞-+∞U 【答案】D【解析】由()()3261f x x ax a x =++++可得()2326f x x ax a '=+++，因为()f x 有极大值和极小值，所以()23260f x x ax a '=+++=有两个不相等的实数根，所以()()224360a a ∆=-⨯⨯+>，即23180a a -->，解得：3a <-或6a >，所以a 的取值范围为()(),36,-∞-+∞U ，故选：D.【变式7-4】已知函数()ln ex axf x x x =+-有唯一的极值点t ，则()f t 的取值范围是（）A．[)2,-+∞B．[)3,∞-+C．[)2,+∞D．[)3,+∞【答案】A【解析】求导有()()1e e x x xf x ax x -'=+⋅，因为函数()ln e x axf x x x =+-有唯一的极值点t ，所以，()()1e 0ex x xf x ax x -'=+=⋅有唯一正实数根，因为()10f '=，所以e 0x ax +=在()0,x ∈+∞上无解，所以，e xa x -=在()0,x ∈+∞上无解，记()e xg x x =，则有()()2e 1x x g x x -'=，所以，当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 在()0,1上递减，当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 在()1,+∞上递增．此时1x =时，()e xg x x=有最小值()1e g =，所以，e a -≤，即e a -≥，所以()()112ea f t f ==-≥-，即()f t 的取值范围是[)2,-+∞，故选：A题型八用导数求函数的最值【例8】函数()12cos f x x x x =+-的最小值为（）A．1πB．2πC．-1D．0【答案】C【解析】由题意，函数()12cos f x x x x =+-的定义域为R ，关于原点对称，且满足()()()1122cos cos f x x x x x x x f x -=-+---=+-=，所以()f x 为偶函数，当0x ≥时，()12cos f x x x x =+-，可得()1sin 110f x x =+≥+'>，()f x 在单调递增，又由()f x 为偶函数，所以()f x 在(),0∞-单调递减，[)0,∞+单调递增，所以()()min 01f x f ==-.故选：C.【变式8-1】已知函数()()cos ,R f x ax b x a b =++∈，若()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为122y x =+．（1）求a ，b 的值；（2）求函数()f x 在[]0,2π上的最大值．【答案】（1）12a =，1b =；（2）2π+【解析】（1）因为()()cos ,R f x ax b x a b =++∈，所以()sin f x a x '=-，由题意得()()0cos 01210sin 02f b b f a a ⎧=+=+=⎪⎨=-='=⎪⎩，所以12a =，1b =；（2）由（1）得()11cos 2f x x x =++，()1sin 2f x x '=-，因为[]02πx ∈，，当π06x ≤≤时，()0f x '≥，函数()f x 单调递增，当π5π66x <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当5π2π6x ≤≤时，()0f x '≥，函数()f x 单调递增，故当6x π=时，函数取得极大值π1πππ1cos 16266122f ⎛⎫=⨯++=++ ⎪⎝⎭，又()02f =，()12π2π1cos 2π1π12π2f =⨯++=++=+，因为π212π12<+<+故函数()f x 在[]02π，上的最大值为2π+．【变式8-2】已知函数()321313f x x x x =-+++．（1）求()f x 的单调区间及极值；（2）求()f x 在区间[]0,6上的最值．【答案】（1）单调增区间为[]1,3-，单调减区间为(),1-∞-和()3,+∞；极小值23-；极大值10（2）最大值为10；最小值为17-【解析】（1）函数()f x 的定义域为R ，()()()22331f x x x x x '=-++=--+．令()0f x '=，得=1x -或3x =．当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如表所示．x(),1-∞-1-()1,3-3()3,+∞()f x '-+-()f x 单调递减23-单调递增10单调递减故()f x 的单调增区间为[]1,3-，单调减区间为(),1-∞-和()3,+∞．当=1x -时，()f x 有极小值()213f -=-；当3x =时，()f x 有极大值()310f =．（2）由（1）可知，()f x 在[]0,3上单调递增，在[]3,6上单调递减，所以()f x 在[]0,6上的最大值为()310f =．又()01f =，()617f =-，()()60f f <，所以()f x 在区间[]0,6上的最小值为()617f =-．【变式8-3】已知函数31()312f x x ax a ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭．（1）若函数f （x ）在x =－1处取得极值，求实数a 的值；（2）当[2,1]x ∈-时．求函数f （x ）的最大值．【答案】（1）a =1；（2）答案见解析【解析】（1）由题意可知2()33f x x a '=-，所以(1)0f '-=，即3-3a =0解得a =1，经检验a =1，符合题意．所以a =1．（2）由（1）知2()33f x x a '=-，令()0f x '=，x =212<<即112a <<时，f （x ）和()f x '随x 的变化情况如下表：由上可知，所以()f x 的最大值为21．当12≤<即14≤<a 时，f （x ）和()f x '随x 的变化情况如下表：(21f =+，由上可知，所以f （x ）的最大值为21．2≥即4a ≥时，2()330f x x a '=-≤恒成立，即f （x ）在［－2，1]上单调递减，所以f （x ）的最大值为f （－2）=－7+6a ，综上所述，当142a <<时，f （x ）的最大值为21；当4a ≥时，f （x ）的最大值为－7+6a ．题型九由函数的最值求参数【例9】若函数32()52f x x x x =+--在区间(,5)m m +内有最小值，则实数m 的取值范围是（）A．(4,1)-B．(4,0)-C．[3,1)-D．(3,1)-【答案】C【解析】由题得，2()325(35)(1)f x x x x x '=+-=+-.令()0f x '>，解得53x <-或1x >；令()0f x '<，解得531x <-<，所以()f x 在区间5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭内单调递增，在区间5,13⎛⎫- ⎪⎝⎭内单调递减，在区间(1,)+∞内单调递增，所以函数的极小值(1)5f ==-.若()f x 在区间(,5)m m +内有最小值，则极小值即最小值，所以15m m <<+，解得41m -<<，令()5f x =-，可得32530x x x +-+=，可得2(1)(3)0x x -+=，解得3x =-或1，由题得3m - ，综上31m -< .故选：C.【变式9-1】（多选）若函数f (x )＝3x －x 3在区间(a 2－12，a )上有最小值，则实数a 的可能取值是（）A．0B．1C．2D．3【答案】ABC【解析】因为函数f (x )＝3x －x 3，所以()233f x x '=-，令()0f x '=，得1x =±，当1x <-或1x >时，()0f x '<，当11x -<<时，()0f x '>，所以当=1x -时，()f x 取得极小值()12f =-，则21211a a ⎧-<-⎨>-⎩，解得1a -<<又因为()f x 在()1,+∞上递减，且()22f =-，所以2a ≤，综上：12a -<≤，所以实数a 的可能取值是0，1，2故选：ABC【变式9-2】已知函数()()()2e 21251x x x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨->⎪⎩，当(],x m ∈-∞时，()1,1e f x ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦，则实数m 的取值范围是__________．【答案】11,32e ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】当1x ≤时，()()()1e 2xf x x =+-'，令()0f x '>，则ln21x <<或1x <-；()0f x '<，则1ln2x -<<，∴函数()f x 在()1,ln2-上单调递减，在()(),1,ln2,1-∞-单调递增，∴函数()f x 在=1x -处取得极大值为()111ef -=-，在ln2x =出的极小值为()()()2ln2ln21,e 3f f =-=-.当1x >时，令()1251e f x x =-≤-，解得1132ex <≤-综上所述，m 的取值范围为11,32e ⎡⎤--⎢⎣⎦【变式9-3】已知函数()ln a f x x x=-（1）若a ∈R ，求()f x 在定义域内的极值；（2）若()f x 在[]1,e 上的最小值为32，求实数a 的值．【答案】（1）答案见解析；（2）a e 【解析】（1）由题意得()f x 的定义域是()0+∞，，且()2x af x x +'=，因为0a ≥，所以()0f x '>，故()f x 在()0+∞，上单调递增，无极值；当a<0，x a >-时()0f x '>，()f x 单调递增，0x a <<-时()0f x '<，()f x 单调递减，所以()f x 在x a =-有极小值()ln 1a -+，无极大值；（2）由（1）可得()2x af x x +'=，因为[]1,e x ∈，①若1a ≥-，则0x a +≥，即()0f x '≥在[]1,e 上恒成立，此时()f x 在[]1,e 上单调递增，所以()()min 312f x f a ==-=，所以32a =-（舍去）；②若e a -≤，则0x a +≤，即()0f x '≤在[]1,e 上恒成立，此时()f x 在[]1,e 上单调递减，所以()()min 3e 1e 2a f x f ==-=，所以e2a =-（舍去）．③若e<1a -<-，令()0f x '=，得x a =-，当1x a <<-时，()0f x '<，所以()f x 在()1,a -上单调递减；当e a x -<<时，()0f x '>，所以()f x 在(),e a -上单调递增，所以()()()min 3ln 12f x f a a =-=-+=，所以a =a =题型十造法解函数不等式【例10】设()f x '是函数()f x 的导函数，且()()()()R 1e f x f x x f <∈'=，，则不等式(ln )f x x >的解集为__________．【答案】(0,e)【解析】令()()e x f x g x =，则2()e ()e ()()()(e )e x x x xf x f x f x f xg x '-=''-=，()()f x f x '<，()0g x '∴<，()()e xf xg x ∴=在R 上单调递减，由(ln )f x x >可得ln (ln )(ln )(1)1e ex f x f x f x =>=，即(ln )(1)g x g >，ln 1x ∴<，解得0e x <<.故不等式的解集为(0,e).【变式10-1】已知定义在R 上的连续偶函数()y f x =的导函数为()y f x '=，当0x >时，()()0f x f x x'+<，且(2)3f =-，则不等式6(21)21f x x --<-的解集为（）A．13,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B．13,22⎛⎫⎪⎝⎭C．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D．1113,,2222⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎝⎭⎝⎭【答案】A【解析】当0x >时，()()()()()()0xf x f x xf x f x f x xxx''+'+==<，∴()()0xf x '<，令()()g x xf x =，∴()g x 在()0,∞+上单调递减，又()y f x =是定义在R 上的连续偶函数，∴()g x 是R 上的奇函数，即()g x 在R 上单调递减，∵(2)3f =-，∴()26g =-，当210x ->，即12x >时，()6(21)21(21)(21)2616f x x f x g x x --<⇒--<-⇒-<--，∴22123x x ⇒>->；当210x -<，即12x <时，()6(21)21(21)(21)2616f x x f x g x x --<⇒-->-⇒->--，∴22123x x ⇒<-<，则12x <.故不等式6(21)21f x x --<-的解集为13,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A.【变式10-2】已知函数()f x 是定义在()()-00+∞∞，，的奇函数，当()0x ∈+∞，时，()()xf x f x '<，则不等式()()()52+25<0f x x f --的解集为（）A．()()33-∞-⋃+∞，，B．()()3003-⋃，，C．()()3007-⋃，，D．()()327-∞-⋃，，【答案】D 【解析】令()()=f xg x x，当()0x ∈+∞，时，()()xf x f x '<，∴当()0x ∈+∞，时，()()()2=<0xf x f x g x x -''，()g x ∴在()0+∞，上单调递减；又()f x 为()()-00+∞∞，，的奇函数，()()()()()====f x f x f x g x g x x x x--∴---，即()g x 为偶函数，()g x ∴在()0-∞，上单调递增；又由不等式()()()52+25<0f x x f --得()()()52<25f x x f --，当20x ->，即2x <时，不等式可化为()()25<25f x f x --，即()()2<5g x g -，由()g x 在()0+∞，上单调递减得2>5x -，解得3x <-，故3x <-；当20x -<，即2x >时，不等式可化为()()25>25f x f x --，即()()()2>5=5g x g g --，由()g x 在()0-∞，上单调递增得2>5x --，解得7x <，故27x <<；综上所述，不等式()()()52+25<0f x x f --的解集为：()()327-∞-⋃，，．故选：D．【变式10-3】定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()10xf x x '-->，且()()1010ln 10ef =，则不等式()e e x xf x >+的解集为（）A．()10,+∞B．()ln10,+∞C．()ln 5,+∞D．(),5-∞【答案】B【解析】令()()ln g x f x x x =--，因为定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()10xf x x '-->，所以()()()1110xf x x g x f x xx'--''=--=>，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，因为()()1010ln 10e10ln10f ==+，所以(10)0g =，所以不等式()e e xxf x >+可转化为()()0e e exxxg f x =-->，即())e (10xg g >，所以e x ＞10，所以x ＞ln10，所以不等式()e e x xf x >+的解集为()ln10,+∞.故选：B.题型十一导数与函数零点的综合问题【例11】已知函数()e 2axf x x =-()a ∈R ，()cosg x x =.（1）求函数()f x 的极值；（2）当1a =时，判断函数()()()F x f x g x =-在3π,2∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上零点个数.【答案】（1）答案见解析；（2）两个【解析】（1）由()e 2ax f x x =-知定义域为R ，()e 2axf x a '=-①当0a ≤时，在R 上()0f x '<，故()f x 单调递减，所以无极值.②当0a >时，由e 20ax a -=得:12ln x a a=，当12,ln x a a ∞⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<当12ln ,x a a∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0f x '<.所以函数()f x 有极小值为2ln 121222ln 2ln 1ln a f e a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=-⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，无极大值.（2）当1a =时，()e 2cos x F x x x =--，()e 2sin xF x x =-+'，当3π,02x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0F x '<，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()F x '单调递增，且()01210F =-=-<'，π2πe 2102F ⎛⎫='-+> ⎪⎝⎭，故在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上存在0x 使得0()0F x '=，而当π,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，()0F x '>.所以()F x 在03π,2x ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，且3π23πe 3π>02F -⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，()00F =，所以()00F x <，又()ππe 2π+1>0F =-，故由零点的存在性定理()F x 在03,2x π⎛⎫- ⎪⎝⎭上存在一个零点，在0(,)x +∞上也存在一个零点.所以()F x 在3,2π∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上有两个零点.【变式11-1】若函数()36f x x x m =-+恰有2个不同的零点，则实数m 的值是_________.【答案】-【解析】因为()36f x x x m =-+恰有2个不同零点，故函数()316f x x x =-与()2f x m =-，恰有2个交点，对于()316f x x x =-，()2136f x x '=-，由()10f x '>，得2x 或2x <-，由()10f x '<，得22x -<所以当x 变化时()1f x '，()1f x 变化如下：x(),2-∞-2-()2,2-2()2,+∞()1f x '+0-+()1f x 极大值极小值因为1f x 与()2f x 恰有两个交点，又()122222f =-，(22f -=故12m f -=，或(12m f -=-，所以2m =42m =-【变式11-2】已知函数()()32ln 1,033,0x x f x x x x x ⎧-+>=⎨++≤⎩，若函数()y f x ax =-恰有三个零点，则实数a 的取值范围是__________.【答案】3,34a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【解析】当0x ≤时，()3233f x x x x =++，()()22363310f x x x x '=++=+≥，在0x ≤上恒成立，且在=1x -时，等号成立，所以()3233f x x x x =++在0x ≤上单调递增，且()00f =，当0x >时，()()ln 1f x x =-+单调递减，且()ln 010-+=，函数()y f x ax =-恰有三个零点，可转化为函数()y f x =与y ax =有三个交点，画出()()32ln 1,033,0x x f x x x x x ⎧-+>=⎨++≤⎩的图象，所图所示：设直线y ax =与()3233f x x x x =++，0x ≤相切时切点为()32,33A m m m m ++，则()()231f m m a '=+=，又根据斜率公式可得：3223333m m ma m m m++==++，所以()223133m m m +=++，解得：0m =或32-，当0m =时，3a =，当32m =-时，2333124a ⎛⎫=⨯-+= ⎪⎝⎭，所以要想函数()y f x =与y ax =有三个交点，直线斜率要介于两切线斜率之间，故3,34a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【变式11-3】已知函数2()ln (1)f x x a x x a =-+++．（1）若0a =，求()f x 的极大值；（2）若()f x 在区间[1,)+∞上有两个零点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）0；（2）(1,0)-．【解析】（1）当0a =时，2()ln f x x x x =-+，且0x >则1(21)(1)()21x x f x x xx'+-=-+=-．当(0,1)x ∈时，()0f x '>，所以()f x 在(0,1)上单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，所以()f x 在(1,)+∞上单调递减，所以()f x 的极大值为2(1)ln1110f =-+=．（2）由题意得212(1)1()2(1)1a x x f x a x x x-+++=++='-当1a ≤-时，()0f x '>对1x ≥恒成立，所以()f x 在区间[1,)+∞上单调递增，又(1)0f =，所以()f x 在区间[1,)+∞上仅有一个零点，不符合题意．当1a >-时，令22(1)10a x x -+++=，得12110,04(1)4(1)x a x a =<=>++，若21x ≤，即0a ≥时，()0f x '≤对1x ≥恒成立，()f x 在区间[1,)+∞上单调递减，又(1)0f =，所以()f x 在区间[1,)+∞上仅有一个零点，不符合题意．若21x >，即10a -<<时，()f x 在区间[)21,x 上单调递增，在区间[)2,x +∞上单调递减．令()ln 1,1g x x x x =-->，则1()0xg x x-'=<，所以()g x 在区间[1,)+∞上单调递减，所以()(1)20g x g ≤=-<，即ln 1x x <+，所以2()(1)21f x a x x a <-++++，其中1(1)0a -<-+<，因为函数2(1)21y a x x a =-++++的图像开口向下，所以01x ∃>，使()00f x <，即()f x 在区间[1,)+∞上有两个零点．综上，实数a 的取值范围为(1,0)-．题型十二导数与不等式综合问题【例12】已知函数1()e (1)x f x x -=-+．（1）求()f x 的极值；（2）设()()11f x g x x =++，求证：当1x ≥时，1()4x g x +≥．【答案】（1）极小值1-，无极大值；（2）证明见解析【解析】（1）1()e 1x f x -'=-，由()0f x '=得1x =．当x 变化时，()f x '，()f x 的变化如下表所示：x(,1)-∞1(1,)+∞()f x '-0+()f x ↙极小值↗由上表可知()f x 在1x =处取得极小值(1)1f =-，无极大值．（2）1e ()1x g x x -=+，令21(1)()(1)4ex x h x x -+=≥，22112(1)(1)1()04e 4ex x x x x h x --+-+-'==≤，所以()h x 在[1,)+∞单调递减，所以当1x ≥时，()(1)1h x h ≤=．所以当1x ≥时，21(1)14e x x -+≤，即1e 114x x x -+≥+，故当1x ≥时，1()4x g x +≥．【变式12-1】已知函数()ln f x x x =，()23g x x ax =-+-（1）求()f x 在()()e,e f 处的切线方程（2）若存在[]1,e x ∈时，使()()2f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）2e y x =-；（2）32e ea £++【解析】（1）由()ln f x x x =，可得()ln 1f x x '=+，所以切线的斜率()e 2k f '==，()e e f =．所以()f x 在()()e,e f 处的切线方程为()e 2e y x -=-，即2e y x =-；（2）令()()()20l 223n h x x f x g x x ax x =+-=-+³，则max32ln a x x x ⎡⎤≤++⎢⎥⎣⎦，令()32ln x x x xj =++，[]1,e x ∈，在[]1,e x ∈上，()()()2130x x x x -+¢j =，()x ϕ∴在[]1,e 上单调递增，()()max 3e 2e +ex \j =j =+，32e ea \£++．【变式12-2】已知函数()ln 1(R)f x a x x a =-+∈．（1）当0a >时，求函数()f x 的单调区间；（2）对任意的12,(0,1]x x ∈，当12x x <时都有121211()()4f x f x x x ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭，求实数a 的取值范围．【答案】（1）在(0,)a 上单调递增，在(,)a +∞上单调递减；（2）[3,)-+∞【解析】（1）定义域为(0,)+∞，()1a a xf x xx'-=-=．当0a >时，由()0f x '<，解得：x a >，由()0f x '>，解得：0x a <<．即()f x 在(0,)a 上单调递增，在(,)a +∞上单调递减．（2）121211()()4()f x f x x x -<-，即()()121244f x f x x x -<-．令4()()g x f x x=-，则可知函数()g x 在(0,1]上单调递增．所以2244()()10a g x f x x x x ''=+=-+≥在(0,1]上恒成立．即4a x x ≥-在(0,1]上恒成立，只需max 4()a x x ≥-，设4y x x=-，2410y x '=+>，∴4y x x=-在(0,1]单调递增．所以max 4(143a x x≥-=-=-．综上所述，实数a 的取值范围为[3,)-+∞．【变式12-3】已知函数()()21ln 12f x x ax a x =+++，a ∈R .（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()0,x ∀∈+∞，不等式()21e 12x f x x ax ≤+-恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）(],0-∞【解析】（1）函数()()21ln 12f x x ax a x =+++的定义域为()0,∞+，所以()()()()2111111ax a x ax x f x ax a x x x++++'+=+++==.当0a ≥时，()0f x '>，所以()f x 在()0,∞+上单调递增；。

导数知识点总结复习

导数知识点总结复习

导数知识点总结复习导数知识点总结复习导数知识点总结复习经典例题剖析考点一：求导公式。

例1.f(x)是f(x)13x2x1的导函数，则f(1)的值是。

3考点二：导数的几何意义。

例2.已知函数yf(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y1x2，则f(1)f(1)。

2，3)处的切线方程是。

例3.曲线yx32x24x2在点(1点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。

考点三：导数的几何意义的应用。

例4.已知曲线C：yx33x22x，直线l:ykx，且直线l与曲线C相切于点x0,y0x00，求直线l的方程及切点坐标。

点评：本小题考查导数几何意义的应用。

解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在切线上”这个条件的应用。

函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件，而不是必要条件。

考点四：函数的单调性。

例5.已知fxax3xx1在R上是减函数，求a的取值范围。

32点评：本题考查导数在函数单调性中的应用。

对于高次函数单调性问题，要有求导意识。

第1页考点五：函数的极值。

例6.设函数f(x)2x33ax23bx8c在x1及x2时取得极值。

（1）求a、b 的值；（2）若对于任意的x[0，3]，都有f(x)c2成立，求c的取值范围。

点评：本题考查利用导数求函数的极值。

求可导函数fx的极值步骤：①求导数f"x；②求f"x0的根；③将f"x0的根在数轴上标出，得出单调区间，由f"x 在各区间上取值的正负可确定并求出函数fx的极值。

考点六：函数的最值。

例7.已知a为实数，fxx24xa。

求导数f"x；（2）若f"10，求fx在区间2,2上的最大值和最小值。

点评：本题考查可导函数最值的求法。

求可导函数fx在区间a,b上的最值，要先求出函数fx在区间a,b上的极值，然后与fa和fb进行比较，从而得出函数的最大最小值。

第2页考点七：导数的综合性问题。

例8.设函数f(x)ax3bxc(a0)为奇函数，其图象在点(1,f(1))处的切线与直线x6y70垂直，导函数（1）求a，b，c的值；f"(x)的最小值为12。

(完整版)高三复习导数专题

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导 数一、导数的基本知识 1、导数的定义：)(0'x f =xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000。

2、导数的公式： 0'=C （C 为常数) 1')(-=n n nx x （R n ∈) xx e e =')(a a a x x ln )('= xx 1)(ln '= exx a a log 1)(log '=x x cos )(sin '= x x sin )(cos '-=3、导数的运算法则： [()()]f x g x '+ =()()f x g x ''+ [()()]()()f x g x f x g x '''-=-[()]()af x af x ''= [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+ 2()()()()()[]()[()]f x f x g x f x g x g x g x ''-'= 4、掌握两个特殊函数 （1）对勾函数()bf x ax x=+( 0a > ,0b >) 其图像关于原点对称（2）三次函数32()f x ax bx cx d =+++(0)a ≠导 数导数的概念 导数的运算导数的应用导数的定义、几何意义、物理意义 函数的单调性 函数的极值函数的最值 常见函数的导数导数的运算法则 比较两个的代数式大小导数与不等式讨论零点的个数求切线的方程导数的基本题型和方法1、、导数的意义：（1）导数的几何意义：0()k f x '= （2）导数的物理意义:()v s t '=2、、导数的单调性：（1）求函数的单调区间;()0()b]f x f x '≥⇔在[a,上递增 ()0()b]f x f x '≤⇔在[a,上递减（2）判断或证明函数的单调性; ()f x c ≠ （3)已知函数的单调性，求参数的取值范围。

数学教案导数复习函数的极值与最值,导数的综合运用

数学教案导数复习函数的极值与最值,导数的综合运用

数学教案-导数复习函数的极值与最值,导数的综合运用教案章节：一、函数的极值概念与判定1. 学习目标：理解函数极值的概念，掌握函数极值的判定方法。

2. 教学内容：介绍函数极值的定义，分析函数极值的判定条件，举例说明函数极值的判定方法。

3. 教学过程：(1) 引入函数极值的概念，解释函数在某一点取得最大值或最小值的意义。

(2) 讲解函数极值的判定条件，如导数为零或不存在，以及函数在该点附近的单调性变化。

(3) 举例说明函数极值的判定方法，如通过导数的正负变化来判断函数的增减性。

二、函数的最值问题1. 学习目标：理解函数最值的概念，掌握函数最值的求解方法。

2. 教学内容：介绍函数最值的概念，分析函数最值的求解方法，举例说明函数最值的求解过程。

3. 教学过程：(1) 引入函数最值的概念，解释函数在整个定义域内取得最大值或最小值的意义。

(2) 讲解函数最值的求解方法，如通过导数的研究来确定函数的极值点，进而求得最值。

(3) 举例说明函数最值的求解过程，如给定一个函数，求其在定义域内的最大值和最小值。

三、导数的综合运用1. 学习目标：掌握导数的综合运用方法，能够运用导数解决实际问题。

2. 教学内容：介绍导数的综合运用方法，分析导数在实际问题中的应用，举例说明导数的综合运用过程。

3. 教学过程：(1) 讲解导数的综合运用方法，如通过导数研究函数的单调性、极值、最值等。

(2) 分析导数在实际问题中的应用，如优化问题、速度与加速度的关系等。

(3) 举例说明导数的综合运用过程，如给定一个实际问题，运用导数来解决问题。

四、实例分析与练习1. 学习目标：通过实例分析与练习，巩固函数极值与最值的求解方法，提高导数的综合运用能力。

2. 教学内容：分析实例问题，运用函数极值与最值的求解方法，进行导数的综合运用练习。

3. 教学过程：(1) 分析实例问题，引导学生运用函数极值与最值的求解方法来解决问题。

(2) 进行导数的综合运用练习，让学生通过实际问题来运用导数，巩固所学知识。

高考总复习——第二章 函数、导数及其应用

高考总复习——第二章 函数、导数及其应用

第一节函数及其表示[备考方向要明了][归纳·知识整合] 1．函数与映射的概念[探究] 1.函数和映射的区别与联系是什么？提示：二者的区别在于映射定义中的两个集合是非空集合，可以不是数集，而函数中的两个集合必须是非空数集，二者的联系是函数是特殊的映射．2．函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域：在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合 {f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系． 3．相等函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数． [探究] 2.若两个函数的定义域与值域都相同，它们是否是同一个函数？提示：不一定．如函数y ＝x 与y ＝x ＋1，其定义域与值域完全相同，但不是同一个函数；再如y ＝sin x 与y ＝cos x ，其定义域都为R ，值域都为[－1,1]，显然不是同一个函数．因为定义域和对应关系完全相同的两个函数的值域也相同，所以定义域和对应关系完全相同的两个函数才是同一个函数．4．函数的表示方法表示函数的常用方法有：解析法、列表法和图象法． 5．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数，分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)给出下列四个命题，正确的有( ) ①函数是定义域到值域的对应关系； ②函数f (x )＝x －4＋1－x ；③f (x )＝5，因这个函数的值不随x 的变化而变化，所以f (t 2＋1)也等于5； ④y ＝2x (x ∈N )的图象是一条直线； ⑤f (x )＝1与g (x )＝x 0表示同一个函数．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选B 由函数的定义知①正确；②错误；由⎩⎪⎨⎪⎧x －4≥0，1－x ≥0，得定义域为∅，所以不是函数；因为函数f (x )＝5为常数函数，所以f (t 2＋1)＝5，故③正确；因为x ∈N ，所以函数y ＝2x (x ∈N )的图象是一些离散的点，故④错误；由于函数f (x )＝1的定义域为R ，函数g (x )＝x 0，的定义域为{x |x ≠0}，故⑤错误．综上分析，可知正确的个数是2.2．(教材习题改编)以下给出的对应是从集合A 到B 的映射的有( )①集合A ＝{P |P 是数轴上的点}，集合B ＝R ，对应关系f ：数轴上的点与它所代表的实数对应．②集合A ＝{P |P 是平面直角坐标系中的点}，集合B ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，对应关系f ：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；③集合A ＝{x |x 是三角形}，集合B ＝{x |x 是圆}，对应关系f ：每一个三角形都对应它的内切圆；④集合A ＝{x |x 是新华中学的班级}，集合B ＝{x |x 是新华中学的学生}，对应关系f ：每一个班级都对应班里的学生．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选C 由于新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即一个班级对应的学生不止一个，所以④不是从集合A 到集合B 的映射．3．(文)(2012·江西高考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x ，x >1，则f (f (3))＝( )A.15 B ．3 C.23 D.139 解析：选D ∵f (3)＝23，∴f (f (3))＝⎝⎛⎭⎫232＋1＝139.3．(理)(2012·江西高考)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，lg x ，x >1，则f (f (10))＝( )A ．lg 101B ．2C ．1D ．0解析：选B f (10)＝lg 10＝1，故f (f (10))＝f (1)＝12＋1＝2.4．(教材习题改编)已知函数f (x )＝x ＋2x －6，则f (f (4))＝________；若f (a )＝2，则a ＝________.解析：∵f (x )＝x ＋2x －6，∴f (4)＝4＋24－6＝－3.∴f (f (4))＝f (－3)＝－3＋2－3－6＝19.∵f (a )＝2，即a ＋2a －6＝2，解得a ＝14.答案：19145．(教材习题改编)A ＝{x |x 是锐角}，B ＝(0,1)，从A 到B 的映射是“求余弦”，与A 中元素60°相对应的B 中的元素是________；与B 中元素32相对应的A 中的元素是________． 解析：∵cos 60°＝12，∴与A 中元素60°相对应的B 中的元素是12.又∵cos 30°＝ 32，∴与B 中元素32相对应的A 中的元素是30°. 答案：1230°[例1] 有以下判断：(1)f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，(x ≥0)－1，(x <0)表示同一个函数．(2)函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个． (3)f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数．(4)若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝⎛⎭⎫f⎝⎛⎭⎫12＝0. 其中正确判断的序号是________．[自主解答] 对于(1)，函数f (x )＝|x |x的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1(x ≠0)，－1(x <0)的定义域是R ，所以二者不是同一函数；对于(2)，若x ＝1不是y ＝f (x )定义域内的值，则直线x ＝1与y ＝f (x )的图象没有交点，若x ＝1是y ＝f (x )定义域内的值，由函数的定义可知，直线x ＝1与y ＝f (x )的图象只有一个交点，即y ＝f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点；对于(3)，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同，所以f (x )与g (t )表示同一函数；对于(4)，由于f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪12＝0， 所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝f (0)＝1.综上可知，正确的判断是(2)(3)． [答案] (2)(3)———————————————————1．判断两个变量之间是否存在函数关系的方法要检验两个变量之间是否存在函数关系，只需检验：(1)定义域和对应关系是否给出；(2)根据给出的对应关系，自变量x 在其定义域中的每一个值，是否都能找到唯一的函数值y 与之对应．2．判断两个函数是否为同一个函数的方法判断两个函数是否相同，要先看定义域是否一致，若定义域一致，再看对应法则是否一致，由此即可判断．1．(1)以下给出的同组函数中，是否表示同一函数？为什么？①f 1：y ＝xx；f 2：y ＝1.②f 1：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2；f 2：③f 1：y ＝2x ；f 2：如图所示．解：①不同函数．f 1(x )的定义域为{x ∈R |x ≠0}，f 2(x )的定义域为R .②同一函数．x 与y 的对应关系完全相同且定义域相同，它们是同一函数的不同表示方式．③同一函数．理由同②.(2)已知映射f ：A →B .其中A ＝B ＝R ，对应关系f ：x →y ＝－x 2＋2x ，对于实数k ∈B ，在集合A 中不存在元素与之对应，则k 的取值范围是( )A ．k >1B ．k ≥1C ．k <1D ．k ≤1解析：选A 由题意知，方程－x 2＋2x ＝k 无实数根，即x 2－2x ＋k ＝0无实数根． 所以Δ＝4(1－k )<0，解得k >1时满足题意.[例2] (1)已知f (x ＋1)＝x 2＋4x ＋1，求f (x )的解析式．(2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9.求f (x )． [自主解答] (1)法一：(换元法)设x ＋1＝t ，则x ＝t －1， ∴f (t )＝(t －1)2＋4(t －1)＋1， 即f (t )＝t 2＋2t －2.∴所求函数为f (x )＝x 2＋2x －2.法二：(配凑法)∵f (x ＋1)＝x 2＋4x ＋1＝(x ＋1)2＋2(x ＋1)－2， ∴所求函数为f (x )＝x 2＋2x －2.(2)(待定系数法)由题意，设函数为f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， ∵3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9， ∴3a (x ＋1)＋3b －ax －b ＝2x ＋9， 即2ax ＋3a ＋2b ＝2x ＋9.由恒等式性质，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，3a ＋2b ＝9，解得a ＝1，b ＝3.∴所求函数解析式为f (x )＝x ＋3.若将本例(1)中“f (x ＋1)＝x 2＋4x ＋1”改为“f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ”，如何求解？ 解：令2x 1＝t ，∵x >0，∴t >1且x ＝2t －1.∴f (t )＝lg 2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x >1)．———————————————————求函数解析式的常用方法(1)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；(3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (4)解方程组法：已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f (x )．2．给出下列两个条件： (1)f (x ＋1)＝x ＋2x ；(2)f (x )为二次函数且f (0)＝3，f (x ＋2)－f (x )＝4x ＋2.试分别求出f (x )的解析式． 解：(1)令t ＝ x ＋1， ∴t ≥1，x ＝(t －1)2.则f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1， ∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．(2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，又∵f (0)＝c ＝3. ∴f (x )＝ax 2＋bx ＋3，∴f (x ＋2)－f (x )＝a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋3－(ax 2＋bx ＋3)＝4ax ＋4a ＋2b ＝4x ＋2.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＝4，4a ＋2b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.∴f (x )＝x 2－x ＋3.[例3] (文)(2012·福建高考)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f (g (π))的值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．π(理)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x ，x ≥4，f (x ＋1)，x <4，则f (2＋log 23)的值为( )A.124 B.112 C.16 D.13[解析] (文) ∵g (π)＝0，f (g (π))＝f (0)＝0， ∴f (g (π))＝0.(理) ∵2＋log 23<4，∴f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)．∵3＋log 23>4，∴f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝⎝⎛⎭⎫123＋log 23＝18×⎝⎛12log 23＝18×13＝124.[答案] (文)B (理)A ———————————————————解决分段函数求值问题的方法(1)求分段函数的函数值时，应根据所给自变量的大小选择相应段的解析式求解，有时每段交替使用求值．(2)若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值是否符合相应段的自变量的取值范围，做到分段函数分段解决．3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a 等于( )A.12 B.45 C ．2D ．9解析：选C ∵x <1，f (x )＝2x＋1，∴f (0)＝2.由f (f (0))＝4a ，得f (2)＝4a ，∵x ≥1，f (x )＝x 2＋ax ，∴4a ＝4＋2a ，解得a ＝2.4种方法——函数解析式的求法求函数解析式常用的方法有：(1)待定系数法；(2)换元法；(3)配凑法；(4)解方程组法．具体内容见例2[方法·规律]．2两个易误点——映射的概念及分段函数求值问题中的易误点(1)判断对应是否为映射，即看A 中元素是否满足“每元有象”和“且象唯一”．但要注意：①A 中不同元素可有相同的象，即允许多对一，但不允许一对多；②B 中元素可无原象，即B 中元素可有剩余．(2)求分段函数应注意的问题在求分段函数的值f (x 0)时，一定要首先判断x 0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域是其定义域内不同子集上对应的各关系式的值域的并集.数学思想——分类讨论思想在分段函数中的应用当数学问题不宜用统一的方法处理时，我们常常根据研究对象的差异，按照一定的分类方法或标准，将问题分为“全而不重，广而不漏”的若干类，然后逐类分别讨论，再把结论汇总，得出问题答案的思想，这就是主要考查了分类讨论的数学思想，由于分段函数在不同定义区间上具有不同的解析式，在处理分段函数问题时应对不同的区间进行分类求解，然后整合，这恰好是分类讨论的一种体现．[典例] (2011·江苏高考)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．[解析] ①当1－a ＜1，即a ＞0时，此时a ＋1＞1，由f (1－a )＝f (1＋a )，得2(1－a )＋a ＝－(1＋a )－2a ，计算得a ＝－32(舍去)；②当1－a ＞1，即a ＜0时，此时a ＋1＜1，由f (1－a )＝f (1＋a )，得2(1＋a )＋a ＝－(1－a )－2a ，计算得a ＝－34，符合题意，所以综上所述，a ＝－34. [答案] －34[题后悟道]1．在解决本题时，由于a 的取值不同限制了1－a 及1＋a 的取值，从而应对a 进行分类讨论．2．运用分类讨论的思想解题的基本步骤 (1)确定讨论对象和确定研究的区域；(2)对所讨论的问题进行合理的分类(分类时需要做到不重不漏，标准统一、分层不越级)； (3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决； (4)归纳总结，整合得出结论． [变式训练]1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12(－x )，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)解析：选C ①当a >0时，∵f (a )>f (－a )， ∴log 2a >log 12a ＝log 2 1a.∴a >1a，得a >1.②当a <0时，∵f (a )>f (－a )， ∴log 12(－a )>log 2(－a )＝log 121－a. ∴－a <1－a得－1<a <0，故C 项为正确选项．2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ∈(－∞，1)，x 2，x ∈[1，＋∞)，若f (x )>4，则x 的取值范围是________________．解析：当x <1时，由f (x )>4得2－x >4，即x <－2；当x ≥1时，由f (x )>4得x 2>4，所以x >2或x <－2，但由于x ≥1，所以x >2. 综上，x 的取值范围是x <－2或x >2. 答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)一、选择题1．下列各组函数中，表示相等函数的是( ) A ．y ＝5x 5与y ＝x 2 B ．y ＝ln e x 与y ＝e ln x C ．y ＝(x －1)(x ＋3)x －1与y ＝x ＋3D ．y ＝x 0与y ＝1x解析：选D y ＝5x 5＝x ，y ＝x 2＝|x |，故y ＝5x 5与y ＝x 2不表示相等函数；B 、C 选项中的两函数定义域不同；D 选项中的两函数是同一个函数．2．设A ＝{0,1,2,4}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，0，1，2，6，8，则下列对应关系能构成A 到B 的映射的是( )A ．f ：x →x 3－1B ．f ：x →(x －1)2C ．f ：x →2x －1D ．f ：x →2x解析：选C 对于A ，由于集合A 中x ＝0时，x 3－1＝－1∉B ，即A 中元素0在集合B 中没有元素与之对应，所以选项A 不符合；同理可知B 、D 两选项均不能构成A 到B 的映射，C 符合．3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2，x ≥0，lg (－x )，x <0，则f (f (－10))＝( )A.12 B.14 C ．1D ．－14解析：选A 依题意可知f (－10)＝lg 10＝1， f (1)＝21－2＝12.4．(2013·杭州模拟)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，若f (a )＋f (－1)＝2，则a ＝( )A ．－3B ．±3C ．－1D ．±1解析：选D ∵f (a )＋f (－1)＝2，且f (－1)＝ 1＝1， ∴f (a )＝1，当a ≥0时，f (a )＝ a ＝1，∴a ＝1； 当a <0时，f (a )＝－a ＝1，∴a ＝－1.5．(文)若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (x )＝( ) A ．x －1 B ．x ＋1 C ．2x ＋1D ．3x ＋3解析：选B 由题意知2f (x )－f (－x )＝3x ＋1.① 将①中x 换为－x ，则有2f (－x )－f (x )＝－3x ＋1.② ①×2＋②得3f (x )＝3x ＋3， 即f (x )＝x ＋1.5．(理)已知函数f (x )满足f (x )＋2f (3－x )＝x 2，则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝x 2－12x ＋18 B ．f (x )＝132－4x ＋6C ．f (x )＝6x ＋9D ．f (x )＝2x ＋3解析：选B 由f (x )＋2f (3－x )＝x 2可得f (3－x )＋2f (x )＝(3－x )2，由以上两式解得f (x )＝13x 2－4x ＋6.6．(2013·泰安模拟)具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”交换的函数，下列函数：①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.满足“倒负”变换的函数是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．只有①解析：选B ①f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )满足．②f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )不满足． ③0<x <1时，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－x ＝－f (x )， x ＝1时，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝0＝－f (x )，x >1时，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＝－f (x )满足．二、填空题7．已知f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x 2＋1x 2，则函数f (3)＝________. 解析：∵f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x －1x 2＋2，∴f (x )＝x 2＋2.∴f (3)＝32＋2＝11. 答案：118．若f (a ＋b )＝f (a )·f (b )且f (1)＝1，则f (2)f (1)＋f (3)f (2)＋…＋f (2 012)f (2 011)＝________.解析：令b ＝1，∵f (a ＋1)f (a )＝f (1)＝1， ∴f (2)f (1)＋f (3)f (2)＋…＋f (2 012)f (2 011)＝2 011. 答案：2 0119．(文)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，f (x －1)－f (x －2)，x >0，则f (3)的值为________．解析：由题意得f (3)＝f (2)－f (1)＝f (1)－f (0)－f (1)＝－f (0)＝－20＝－1. 答案：－19．(理)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0，则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的取值范围是________．解析：画出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0的图象，如图．由图象可知，若f (1－x 2)>f (2x )，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，1－x 2>2x ， 即⎩⎨⎧－1<x <1，－1－2<x <－1＋ 2.得x ∈(－1，2－1)． 答案：(－1，2－1) 三、解答题10．已知f (x )＝x 2－1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x >0，2－x ，x <0.(1)求f (g (2))和g (f (2))的值； (2)求f (g (x ))和g (f (x ))的解析式． 解：(1)由已知，g (2)＝1，f (2)＝3， 因此f (g (2))＝f (1)＝0， g (f (2))＝g (3)＝2.(2)当x >0时，g (x )＝x －1， 故f (g (x ))＝(x －1)2－1＝x 2－2x ； 当x <0时，g (x )＝2－x ，故f (g (x ))＝(2－x )2－1＝x 2－4x ＋3.所以f (g (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x >0，x 2－4x ＋3，x <0.当x >1或x <－1时，f (x )>0， 故g (f (x ))＝f (x )－1＝x 2－2； 当－1<x <1时，f (x )<0， 故g (f (x ))＝2－f (x )＝3－x 2.所以g (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x >1或x <－1，3－x 2，－1<x <1. 11．二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )>2x ＋5.解：(1)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ∵f (0)＝1，∴c ＝1.把f (x )的表达式代入f (x ＋1)－f (x )＝2x ，有 a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x . ∴2ax ＋a ＋b ＝2x . ∴a ＝1，b ＝－1. ∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由x 2－x ＋1>2x ＋5，即x 2－3x －4>0， 解得x >4或x <－1.故原不等式解集为{x |x >4或x <－1}．12．规定[t ]为不超过t 的最大整数，例如[12.6]＝12，[－3.5]＝－4，对任意实数x ，令f 1(x )＝[4x ]，g (x )＝4x －[4x ]，进一步令f 2(x )＝f 1[g (x )]．(1)若x ＝716，分别求f 1(x )和f 2(x )；(2)若f 1(x )＝1，f 2(x )＝3同时满足，求x 的取值范围． 解：(1)∵x ＝716时，4x ＝74， ∴f 1(x )＝⎣⎡74＝1. ∵g (x )＝74－⎣⎡⎦⎤74＝34∴f 2(x )＝f 1[g (x )]＝f 1⎝⎛34＝[3]＝3.(2)∵f 1(x )＝[4x ]＝1，g (x )＝4x －1， ∴f 2(x )＝f 1(4x －1)＝[16x －4]＝3.∴⎩⎪⎨⎪⎧1≤4x <2，3≤16x －4<4，∴716≤x <12.1．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到达终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点…，用s 1，s 2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t 为时间，则下图与故事情节相吻合的是( )解析：选B 根据故事的描述，乌龟是先于兔子到达终点，到达终点的最后时刻乌龟的路程大于兔子的路程，并且兔子中间有一段路程为零，分析知B 图象与事实相吻合．2．下列对应关系是集合P 上的函数的是________．(1)P ＝Z ，Q ＝N *，对应关系f ：对集合P 中的元素取绝对值与集合Q 中的元素相对应； (2)P ＝{－1,1，－2,2}，Q ＝{1,4}，对应关系：f ：x →y ＝x 2，x ∈P ，y ∈Q ；(3)P ＝{三角形}，Q ＝{x |x >0}，对应关系f ：对P 中三角形求面积与集合Q 中元素对应． 解析：对于(1)，集合P 中元素0在集合Q 中没有对应元素，故(1)不是函数；对于(3)集合P 不是数集，故(3)不是函数；(2)正确．答案：(2)3．试判断以下各组函数是否表示同一函数： (1)y ＝x －2·x ＋2，y ＝x 2－4； (2)y ＝x ，y ＝3t 3； (3)y ＝|x |，y ＝(x )2.解：∵y ＝x －2·x ＋2的定义域为{x |x ≥2}， y ＝x 2－4的定义域为{x |x ≥2或x ≤－2}， ∴它们不是同一函数．(2)∵它们的定义域相同，且y ＝3t 3＝t ， ∴y ＝x 与y ＝3t 3是同一函数．(3)∵y ＝|x |的定义域为R ，y ＝(x )2的定义域为{x |x ≥0}， ∴它们不是同一函数． 4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤－1，2x ，－1<x <2，x22，x ≥2，且f (a )＝3，求a 的值．解：①当a ≤－1时，f (a )＝a ＋2，由a ＋2＝3，得a ＝1，与a ≤－1相矛盾，应舍去． ②当－1<a <2时，f (a )＝2a ， 由2a ＝3，得a ＝321<a <2.③当a ≥2时，f (a )＝a22，由a 22＝3，得a ＝±6， 又a ≥2，故a ＝ 6. 综上可知，a 的值为32或 6.[备考方向要明了][归纳·知识整合]1．常见基本初等函数的定义域 (1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R .(4)y ＝a x(a ＞0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x ，定义域均为R . (5)y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的定义域为(0，＋∞)．(6)y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z .(7)实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约．2．基本初等函数的值域 (1)y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是R . (2)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：当a >0时，值域为⎩⎨⎧⎬⎫y |y ≥4ac －b 24a ；当a <0时，值域为⎩⎨⎧⎬⎫y |y ≤4ac －b 24a . (3)y ＝kx (k ≠0)的值域是{y |y ≠0}．(4)y ＝a x (a >0且a ≠1)的值域是{y |y >0}． (5)y ＝log a x (a >0且a ≠1)的值域是R . (6)y ＝sin x ，y ＝cos x 的值域是[－1,1]． (7)y ＝tan x 的值域是R .[探究] 1.若函数y ＝f (x )的定义域和值域相同，则称函数y ＝f (x )是圆满函数，则函数①y ＝1x；②y ＝2x ；③y ＝ x ；④y ＝x 2中是圆满函数的有哪几个？提示：①y ＝1x 的定义域和值域都是(－∞，0)∪(0，＋∞)，故函数y ＝1x 是圆满函数；②y＝2x 的定义域和值域都是R ，故函数y ＝2x 是圆满函数；③y ＝ x 的定义域和值域都是[0，＋∞)，故y ＝ x 是圆满函数；④y ＝x 2的定义域为R ，值域为[0，＋∞)，故函数y ＝x 2不是圆满函数．2．分段函数的定义域、值域与各段上的定义域、值域之间有什么关系？ 提示：分段函数的定义域、值域为各段上的定义域、值域的并集．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)函数f (x )＝4－xx －1的定义域为( ) A ．[－∞，4] B ．[4，＋∞) C ．(－∞，4)D ．(－∞，1)∪(1,4]解析：选D 要使函数f (x )＝4－x x －1有意义，只需⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x ≥0，x －1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤4，x ≠1.所以函数的定义域为(－∞，1)∪(1,4]．2．下表表示y 是x 的函数，则函数的值域是( )A ．[2,5]B ．NC ．(0,20]D ．{2,3,4,5}解析：选D 函数值只有四个数2,3,4,5，故值域为{2,3,4,5}． 3．若f (x )＝1log 12(2x ＋1)，则f (x )的定义域为( )A.⎝⎛⎭⎫－120 B.⎝⎛⎦⎤－12，0C.⎝⎛⎭⎫－12，＋∞D ．(0，＋∞)解析：选A 根据题意得log 12(2x ＋1)＞0，即0＜2x ＋1＜1，解得－12<x <0，即x ∈⎝⎛⎭⎫－120.4．(教材改编题)函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的定义域为________，值域为________．解析：由图象可知，函数y ＝f (x )的定义域为[－6,0]∪[3,7)，值域为[0，＋∞)．答案：[－6,0]∪[3,7) [0，＋∞)5．(教材改编题)若x －4有意义，则函数y ＝x 2－6x ＋7的值域是________． 解析：∵x －4有意义，∴x －4≥0，即x ≥4. 又∵y ＝x 2－6x ＋7＝(x －3)2－2， ∴y min ＝(4－3)2－2＝1－2＝－1. ∴其值域为[－1，＋∞)． 答案：[－1，＋∞)[例1] (1)(2012·山东高考)函数f (x )＝1ln (x ＋1)＋4－x 2的定义域为( ) A ．[－2,0)∪(0,2] B ．(－1,0)∪(0,2] C ．[－2,2]D ．(－1,2](2)已知函数f (x 2－1)的定义域为[0,3]，则函数y ＝f (x )的定义域为________． [自主解答] (1)x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x ＋1≠1，4－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－1，x ≠0，－2≤x ≤2.解得－1<x <0或0<x ≤2. (2)∵0≤x ≤3，∴0≤x 2≤9，－1≤x 2－1≤8. ∴函数y ＝f (x )的定义域为[－1,8]．[答案] (1)B (2)[－1,8]本例(2)改为f (x )的定义域为[0,3]，求y ＝f (x 2－1)的定义域． 解：∵y ＝f (x )的定义域为[0,3]， ∴0≤x 2－1≤3，解得－2≤x ≤－1或1≤x ≤2，所以函数定义域为[－2，－1]∪[1,2]． ———————————————————简单函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解． (3)对抽象函数：①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出．②若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．1．(1)(2012·江苏高考)函数f (x )＝1－2log 6x 的定义域为________．(2)已知f (x )的定义域是[－2,4]，求f (x 2－3x )的定义域．解析：(1)由1－2log 6x ≥0解得log 6x ≤12⇒0＜x ≤6，故所求定义域为(0， 6 ]．(2)∵f (x )的定义域是[－2,4]，∴－2≤x 2－3x ≤4，由二次函数的图象可得，－1≤x ≤1或2≤x ≤4. ∴定义域为[－1,1]∪[2,4]．答案：(1)(0， 6 ] (2)[－1,1]∪[2,4][例2] 求下列函数的值域： (1)y ＝x －3x ＋1；(2)y ＝x －1－2x ；(3)y ＝x ＋4x. [自主解答] (1)法一：(分离常数法)y ＝x －3x ＋1＝x ＋1－4x ＋1＝1－4x ＋1.因为4x ＋1≠0，所以1－4x ＋1≠1， 即函数的值域是{y |y ∈R ，y ≠1}．法二：由y ＝x －3x ＋1得yx ＋y ＝x －3. 解得x ＝y ＋31－y，所以y ≠1， 即函数值域是{y |y ∈R ，y ≠1}．(2)法一：(换元法)令1－2x ＝t ，则t ≥0且x ＝1－t 22，于是y ＝1－t 22－t ＝－12(t ＋1)2＋1，由于t ≥0，所以y ≤12，故函数的值域是⎩⎨⎧⎭⎫y |y ≤12.法二：(单调性法)容易判断函数y ＝f (x )为增函数，而其定义域应满足1－2x ≥0，即x ≤12.所以y ≤f ⎝⎛⎭⎫12＝12，即函数的值域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≤12. (3)法一：(均值不等式法)当x >0时， x ＋4x≥2 x ×4x＝4， 当且仅当x ＝2时“＝”成立； 当x <0时，x ＋4x ＝－(－x －4x )≤－4，当且仅当x ＝－2时“＝”成立． 即函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．法二：(导数法)f ′(x )＝1－4x 2＝x 2－4x2.x ∈(－∞，－2)或x ∈(2，＋∞)时，f (x )单调递增， 当x ∈(－2,0)或x ∈(0,2)时，f (x )单调递减． 故x ＝－2时，f (x )极大值＝f (－2)＝－4； x ＝2时，f (x )极小值＝f (2)＝4.即函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．若将本例(3)改为“y ＝x －4x”，如何求解？解：易知函数y ＝x －4x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是增函数，故函数y ＝x －4x 的值域为R .———————————————————求函数值域的基本方法(1)观察法：一些简单函数，通过观察法求值域． (2)配方法：“二次函数类”用配方法求值域．(3)换元法：形如y ＝ax ＋b ±cx ＋d (a ，b ，c ，d 均为常数，且a ≠0)的函数常用换元法求值域，形如y ＝ax ＋a －bx 2的函数用三角函数代换求值域．(4)分离常数法：形如y ＝cx ＋dax ＋b(a ≠0)的函数可用此法求值域．(5)单调性法：函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其增减性进而求最值和值域．(6)数形结合法：画出函数的图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围．2．求下列函数的值域． (1)y ＝x 2＋2x ，x ∈[0,3]； (2)y ＝x 2－xx 2－x ＋1；(3)y ＝log 3x ＋log x 3－1.解：(1)(配方法)y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1， ∵0≤x ≤3，∴1≤x ＋1≤4.∴1≤(x ＋1)2≤16. ∴0≤y ≤15，即函数y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])的值域为[0,15]． (2)y ＝x 2－x ＋1－1x 2－x ＋1＝1－1x 2－x ＋1，∵x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34≥34， ∴0<1x 2－x ＋1≤43，∴－13≤y <1，即值域为⎣⎡⎭⎫－13，1. (3)y ＝log 3x ＋1log 3x－1， 令log 3x ＝t ， 则y ＝t ＋1t －1(t ≠0)，当x >1时，t >0，y ≥2t ·1t－1＝1， 当且仅当t ＝1t 即log 3x ＝1，x ＝3时，等号成立；当0<x <1时，t <0，y ＝－⎣⎡⎦⎤(－t )＋⎝⎛⎭⎫－1t －1≤－2－1＝－3. 当且仅当－t ＝－1t 即log 3x ＝－1，x ＝13综上所述，函数的值域是(－∞，－3]∪[1，＋∞)．[例3] 已知函数f (x )＝ax 2＋bx .若至少存在一个正实数b ，使得函数f (x )的定义域与值域相同，求实数a 的值．[自主解答] ①若a ＝0，则对于每个正数b ，f (x )＝bx 的定义域和值域都是[0，＋∞)，故a ＝0满足条件；②若a >0，则对于正数b ，f (x )＝ax 2＋bx 的定义域为D ＝{x |ax 2＋bx ≥0}＝⎝⎛⎦⎤－∞，－b a ∪[0，＋∞)，但f (x )的值域A ⊆[0，＋∞)，故D ≠A ，即a >0不符合条件；③若a <0，则对于正数b ，f (x )＝ax 2＋bx 的定义域D ＝⎣⎡⎦⎤0，－ba ，由于此时f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫－b 2a ＝b 2－a ， 故f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，b2－a ， 则－b a ＝b2－a ⇒⎩⎨⎧a <0，2－a ＝－a⇒a ＝－4.综上所述，a 的值为0或－4. ——————————————————— 由函数的定义域或值域求参数的方法已知函数的值域求参数的值或取值范围问题，通常按求函数值域的方法求出其值域，然后依据已知信息确定其中参数的值或取值范围．3．(2013·温州模拟)若函数f (x )＝1x －1在区间[a ，b ]上的值域为⎣⎡⎦⎤13，1，则a ＋b ＝________.解析：∵由题意知x －1>0，又x ∈[a ，b ]， ∴a >1.则f (x )＝1x －1在[a ，b ]上为减函数，则f (a )＝1a －1＝1且f (b )＝1b －1＝13，∴a ＝2，b ＝4，a ＋b ＝6.答案：61种意识——定义域优先意识函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质的基础．因此，我们一定要树立函数定义域优先的意识．4个注意——求函数定义域应注意的问题(1)如果没有特别说明，函数的定义域就是能使解析式有意义的所有实数x的集合．(2)不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化．(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．(4)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．4个准则——函数表达式有意义的准则函数表达式有意义的准则一般有：①分式中的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0；④对数式中的真数大于0，底数大于0且不等于1.6种技巧——妙求函数的值域(1)当所给函数是分式的形式，且分子、分母是同次的，可考虑用分离常数法；(2)若与二次函数有关，可用配方法；(3)若函数解析式中含有根式，可考虑用换元法或单调性法；(4)当函数解析式结构与基本不等式有关，可考虑用基本不等式求解；(5)分段函数宜分段求解；(6)当函数的图象易画出时，还可借助于图象求解.易误警示——与定义域有关的易错问题[典例](2013·福州模拟)函数f(x)＝(x＋1)2x＋1－1－x的定义域为________________．[解析]∵要使函数f(x)＝(x＋1)2x＋1－1－x有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x≥0，x＋1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x≤1，x≠－1，∴函数f(x)的定义域为{x|x≤1，且x≠－1}．[答案](－∞，－1)∪(－1,1][易误辨析]1．本题若将函数f (x )的解析式化简为f (x )＝(x ＋1)－1－x 后求定义域，会误认为其定义域为(－∞，1]．事实上，上述化简过程扩大了自变量x 的取值范围．2．在求函数的值域时，要特别注意函数的定义域．求函数的值域时，不但要重视对应关系的作用，而且还要特别注意定义域对值域的制约作用．[变式训练]1．若函数f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤12，3，则函数F (x )＝f (x )＋1f (x )的值域是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，5 B.⎣⎡⎦⎤56，5 C.⎣⎡⎦⎤2，103 D.⎣⎡⎦⎤3，103 解析：选C 令t ＝f (x )，则12≤t ≤3.易知函数g (t )＝t ＋1t 在区间⎣⎡⎦⎤12，1上是减函数，在[1,3]上是增函数． 又因为g ⎝⎛⎭⎫12＝52，g (1)＝2，g (3)＝103.可知函数F (x )＝f (x )＋1f (x )的值域为⎣⎡2，103. 2．已知函数f (x ＋2)＝x ＋2x ，则函数f (x )的值域为________． 解析：令2＋x ＝t ，则x ＝(t －2)2(t ≥2)． ∴f (t )＝(t －2)2＋2(t －2)＝t 2－2t (t ≥2)． ∴f (x )＝x 2－2x (x ≥2)．∴f (x )＝(x －1)2－1≥(2－1)2－1＝0， 即f (x )的值域为[0，＋∞)． 答案：[0，＋∞)一、选择题1．已知a 为实数，则下列函数中，定义域和值域都有可能是R 的是( ) A ．f (x )＝x 2＋a B ．f (x )＝ax 2＋1 C ．f (x )＝ax 2＋x ＋1D ．f (x )＝x 2＋ax ＋1解析：选C 当a ＝0时，f (x )＝ax 2＋x ＋1＝x ＋1为一次函数，其定义域和值域都是R . 2．已知等腰△ABC 周长为10，则底边长y 关于腰长x 的函数关系为y ＝10－2x ，则函数的定义域为( )A ．RB ．{x |x >0}C ．{x |0<x <5} D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |52<x <5 解析：选C 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x >0，10－2x >0，即0<x <5.3．设M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，函数f (x )的定义域为M ，值域为N ，则f (x )的图象可以是( )解析：选A A 中定义域是[－2,2]，值域为[0,2]；B 中定义域为[－2,0]，值域为[0,2]；C 不表示函数；D 中的值域不是[0,2]．4．(2013·南昌模拟)函数y ＝ x (x －1)－lg 1x的定义域为( )A ．{x |x >0}B ．{x |x ≥1}C ．{x |x ≥1，或x <0}D ．{x |0<x ≤1}解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧x (x －1)≥0，1x ，得x ≥1.5．函数y ＝2－－x 2＋4x 的值域是( ) A ．[－2,2] B ．[1,2] C ．[0,2]D ．[－2， 2 ]解析：选C ∵－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4≤4，0≤－x 2＋4x ≤2，－2≤－－x 2＋4x ≤0， 0≤2－－x 2＋4x ≤2，∴0≤y ≤2.6．(文)用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选C f (x )＝min{2x，x ＋2，10－x }(x ≥0)的图象如图．令x ＋2＝10－x ，得x ＝4.当x ＝4时，f (x )取最大值，f (4)＝6.6．(理)设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R )，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )＋x ＋4，x <g (x )，g (x )－x ，x ≥g (x )，则f (x )的值域是( )A.⎣⎡⎦⎤－940∪(1，＋∞) B. )[0，＋∞C.⎣⎡⎭⎫－94，＋∞ D.⎣⎡⎦⎤－94，0∪(2，＋∞) 解析：选D 令x <g (x )，即x 2－x －2>0，解得x <－1或x >2；令x ≥g (x )，即x 2－x －2≤0，解得－1≤x ≤2，故函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x <－1或x >2，x 2－x －2，－1≤x ≤2.当x <－1或x >2时，函数f (x )>f (－1)＝2；当－1≤x ≤2时，函数f ⎝⎛⎭⎫12≤f (x )≤f (－1)，即－94f (x )≤0，故函数f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－94，0∪(2，＋∞)．二、填空题 7．函数y ＝16－x －x2________．解析：由函数解析式可知6－x －x 2>0，即x 2＋x －6<0，故－3<x <2. 答案：(－3,2)8．(文)设函数f (x )＝12(x ＋|x |)，则函数f [f (x )]的值域为________．解析：先去绝对值，当x ≥0时，f (x )＝x ，故f [f (x )]＝f (x )＝x ； 当x <0时，f (x )＝0，故f [f (x )]＝f (0)＝0.即f [f (x )]＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ≥0)，0(x <0)，易知其值域为[0，＋∞)．答案：[0，＋∞)8．(理)设x ≥2，则函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1的最小值是______．解析：y ＝[(x ＋1)＋4][(x ＋1)＋1]x ＋1，设x ＋1＝t ，则t ≥3，那么y ＝t 2＋5t ＋4t ＝t ＋4t ＋5，在区间[2，＋∞)上此函数为增函数，所以t ＝3时，函数取得最小值即y min ＝283答案：2839．(2013·厦门模拟)定义新运算“⊕”：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2.设函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]，则函数f (x )的值域为________．解析：由题意知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ∈[－2，1]，x 3－2，x ∈(1，2].当x ∈[－2,1]时，f (x )∈[－4，－1]；当x ∈(1,2]时，f (x )∈(－1,6]，故当x ∈[－2,2]时，f (x )∈[－4,6]．答案：[－4,6] 三、解答题10．若函数f (x )＝12x 2－x ＋a 的定义域和值域均为[1，b ](b >1)，求a ，b 的值．解：∵f (x )＝12(x －1)2＋a －12，∴其对称轴为x ＝1，即[1，b ]为f (x )的单调递增区间． ∴f (x )min ＝f (1)＝a －12＝1，①f (x )max ＝f (b )＝12b 2－b ＋a ＝b .②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝3.11．设O 为坐标原点，给定一个定点A (4,3)，而点B (x,0)在x 轴的正半轴上移动，l (x )表示 AB 的长，求函数y ＝xl (x )的值域．解：依题意有x ＞0，l (x )＝(x －4)2＋32＝x 2－8x ＋25， 所以y ＝x l (x )＝x x 2－8x ＋25＝11－8x ＋25x2. 由于1－8x ＋25x 2＝25⎝⎛⎭⎫1x －4252＋925， 所以1－8x ＋25x 2≥35，故0＜y ≤53. 即函数y ＝x l (x )的值域是⎝⎛⎦⎤0，53. 12．(文)已知函数f (x )＝x ＋1－a a －x (a ∈R 且x ≠a )，求x ∈⎣⎡⎦⎤a －1，a －12时，f (x )的值域．解：∵f (x )＝－(a －x )＋1a －x ＝－1＋1a －x当a －1≤x ≤a －12时，－a ＋12≤－x ≤－a ＋1，∴12≤a －x ≤1.∴1≤1a －x ≤2. ∴0≤－1＋1a －x≤1，即f (x )的值域为[0,1]． 12．(理)已知函数f (x )＝x 2＋4ax ＋2a ＋6. (1)若函数f (x )的值域为[0，＋∞)，求a 的值；(2)若函数f (x )的函数值均为非负数，求g (a )＝2－a |a ＋3|的值域． 解：(1)∵函数的值域为[0，＋∞)， ∴Δ＝16a 2－4(2a ＋6)＝0⇒2a 2－a －3＝0⇒a ＝－1或a ＝32.(2)∵对一切x ∈R 函数值均为非负， ∴Δ＝8(2a 2－a －3)≤0⇒－1≤a ≤32.∴a ＋3>0.∴g (a )＝2－a |a ＋3|＝－a 2－3a ＋2 ＝－⎝⎛⎭⎫a ＋322＋174⎝⎛⎭⎫a ∈⎣⎡⎦⎤－1，32.∵二次函数g (a )在⎣⎡⎦⎤－1，32上单调递减，∴g ⎝⎛⎭⎫32≤g (a )≤g (－1)，即－194≤g (a )≤4.∴g (a )的值域为⎣⎡⎦⎤－194，4.1．下列函数中，与函数y ＝1x有相同定义域的是( )A ．f (x )＝ln xB ．f (x )＝1x C ．f (x )＝|x |D ．f (x )＝e x解析：选A 当x >0时，1x 有意义，因此函数y ＝1x的定义域为{x |x >0}． 对于A ，函数f (x )＝ln x 的定义域为{x |x >0}； 对于B ，函数f (x )＝1x 的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }；对于C ，函数f (x )＝|x |的定义域为R ； 对于D ，函数f (x )＝e x 的定义域为R . 所以与函数y ＝1x有相同定义域的是f (x )＝ln x .2．函数y ＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域为( )A ．[－4，－1)B ．(－4,1)C ．(－1,1)D ．(－1,1]解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－3x ＋4>0x ＋1>0得－1<x <1，因此该函数的定义域是(－1,1)．3．若函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是( )A ．[0,1]B ．[0,1)C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1)解析：选B 要使g (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2，x －1≠0，解得0≤x <1.故定义域为[0,1)．4．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x ，x ∈[－1,1]，函数g (x )＝f 2(x )－2af (x )＋3的最小值为h (a )．(1)求h (a )的解析式；(2)是否存在实数m ，n 同时满足下列两个条件：①m >n >3；②当h (a )的定义域为[n ，m ]时，值域为[n 2，m 2]？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)由f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x，x ∈[－1,1]， 知f (x )∈⎣⎡⎦⎤13，3，令t ＝f (x )∈⎣⎡⎦⎤13，3 记g (x )＝y ＝t 2－2at ＋3，则g (x )的对称轴为t ＝a ，故有： ①当a ≤13时，g (x )的最小值h (a )＝289－2a3，②当a ≥3时，g (x )的最小值h (a )＝12－6a ， ③当13<a <3时，g (x )的最小值h (a )＝3－a 2综上所述，h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧289－2a 3，a ≤13，3－a 2，13<a <3，12－6a ，a ≥3，(2)当a ≥3时，h (a )＝－6a ＋12，故m >n >3时，h (a )在[n ，m ]上为减函数， 所以h (a )在[n ，m ]上的值域为[h (m )，h (n )]．由题意，则有⎩⎪⎨⎪⎧ h (m )＝n 2，h (n )＝m 2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋12＝n 2，－6n ＋12＝m 2，，两式相减得6n －6m ＝n 2－m 2，又m ≠n ，所以m＋n＝6，这与m>n>3矛盾，故不存在满足题中条件的m，n的值.第三节函数的单调性与最值[备考方向要明了][归纳·知识整合] 1．函数的单调性(1)单调函数的定义.(2)如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在区间D 具有(严格的)单调性，这一区间叫做y ＝f (x )的单调区间．[探究] 1.函数y ＝1x (－∞，0)∪(0，＋∞)，这种表示法对吗？提示：首先函数的单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式的形式表示；如果一个函数有多个单调区间应分别写，分开表示，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．2．函数f (x )在区间[a ，b ]上单调递增与函数f (x )的单调递增区间为[a ，b ]含义相同吗？ 提示：含义不同．f (x )在区间[a ，b ]上单调递增并不能排除f (x )在其他区间上单调递增，而f (x )的单调递增区间为[a ，b ]意味着f (x )在其他区间上不可能单调递增．2．函数的最值[探究] 3.函数的单调性、最大(小)值反映在其图象上有什么特征？提示：函数的单调性反映在图象上是上升或下降的，而最大(小)值反映在图象上为其最高(低)点的纵坐标的值．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)函数f (x )＝2x －1，x ∈[2,6]，则下列说法正确的有( )①函数f (x )为减函数；②函数f (x )为增函数；③函数f (x )的最大值为2；④函数f (x )的最小值为25.A ．①③B ．①③④C ．②③④D ．②④解析：选B 易知函数f (x )＝2x －1在x ∈[2,6]上为减函数，故f (x )min ＝f (6)＝25，f (x )max ＝f (2)＝2.2．函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在(－∞，＋∞)上是减函数，则( ) A ．k >12B ．k <12C ．k >－12D ．k <－12解析：选D 使y ＝(2k ＋1)x ＋b 在(－∞，＋∞)上是减函数，则2k ＋1<0，即k <－12.3．已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：选C ∵函数f (x )为R 上的减函数，且f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)， ∴⎪⎪⎪⎪1x >1，即|x |<1且|x |≠0. ∴x ∈(－1,0)∪(0,1)．4．(教材习题改编)f (x )＝x 2－2x (x ∈[－2,4])的单调递增区间为________；f (x )max ＝________.解析：∵函数f (x )＝x 2－2x 的对称轴为x ＝1.∴函数f (x )＝x 2－2x (x ∈[－2,4])的单调递增区间为[1,4]，单调递减区间为[－2,1)． 又f (－2)＝4＋4＝8，f (4)＝16－8＝8. ∴f (x )max ＝8. 答案：[1,4] 85．(教材习题改编)若函数f (x )＝4x 2－kx －8在[5,20]上是单调递增函数，则实数k 的取值范围是________．解析：∵函数f (x )＝4x 2－kx －8的对称轴为x ＝k8，又函数f (x )在[5,20]上为增函数， ∴k8≤5，即k ≤40. 答案：(－∞，40]。

数学教案导数复习函数的极值与最值,导数的综合运用

数学教案导数复习函数的极值与最值,导数的综合运用

数学教案-导数复习函数的极值与最值,导数的综合运用一、教学目标：1. 理解函数的极值与最值的概念，掌握求解函数极值与最值的方法。

2. 熟练运用导数性质，解决实际问题中的最值问题。

3. 提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的逻辑思维和数学素养。

二、教学内容：1. 函数的极值与最值概念。

2. 求解函数极值与最值的方法。

3. 导数在实际问题中的应用。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：函数的极值与最值的概念，求解方法及实际应用。

2. 教学难点：导数在实际问题中的综合运用。

四、教学方法与手段：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究函数极值与最值的问题。

2. 利用多媒体课件，展示函数图像，直观地引导学生理解极值与最值的概念。

3. 结合实际问题，运用导数求解最值问题，培养学生的应用能力。

五、教学过程：1. 导入新课：复习函数的极值与最值概念，引导学生回顾求解方法。

2. 知识讲解：讲解求解函数极值与最值的方法，结合实例进行分析。

3. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。

4. 案例分析：结合实际问题，运用导数求解最值问题，培养学生的应用能力。

6. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识，提高学生的自主学习能力。

教案将继续编写后续章节，敬请期待。

六、教学评估：1. 课堂练习环节，通过学生解答练习题的情况，评估学生对函数极值与最值概念的理解以及求解方法的掌握程度。

2. 案例分析环节，通过学生分析实际问题、运用导数求解最值问题的过程，评估学生的应用能力和逻辑思维。

3. 课后作业的完成情况，评估学生对课堂所学知识的巩固程度和自主学习能力。

七、教学反思：1. 根据教学评估的结果，反思教学过程中是否存在不足，如有需要，调整教学方法，以提高教学效果。

2. 针对学生的掌握情况，针对性地进行辅导，解决学生在学习过程中遇到的问题。

3. 结合学生的反馈，优化教学内容，使之更符合学生的学习需求。

八、课后作业：1. 复习本节课所学的函数极值与最值的概念及求解方法。

高考函数与导数,不等式综合题库3

高考函数与导数,不等式综合题库3
3 5、(江苏省启东中学高三综合测试四)已知 f ( x) x
1 mx 2 2m 2 x 4 （m 为常数，且 2
m>0）有极大值
5 ， 2
（Ⅰ）求 m 的值； （Ⅱ）求曲线 y f ( x) 的斜率为 2 的切线方程． 解： （Ⅰ） f ( x) 3x mx 2m ( x m)(3x 2m) 0
（II）由 | a ln x | ln[ f ( x) 3x] 0 得
a ln x ln
3 3 或a ln x ln ， „„„„① 2 3x 2 3x
设 h( x) ln x ln
3 2 x 3x 2 ln ， 2 3x 3
3 3x ln ， 2 3x 2 3x 1 1 依题意知 a h( x)或a g ( x)在x [ , ] 上恒成立， 6 3 g ( x) ln x ln
f ( x) x3 3x2 4
3、(江苏省启东中学高三综合测试三)已知函数 f(x)=x3+ax2+b 的图象在点 P(1,0)处的切线与直 线 3x+y=0 平行， (1)求常数 a、b 的值； (2)求函数 f(x)在区间[0,t]上的最小值和最大值。 （t>0） 解： （1）a=－3，b=2； （2）当 2<t≤3 时，f(x)的最大值为 f(0)=2；当 t>3 时，f(x)的最大值为 3 2 f(t)=t －3t +2；当 x=2 时，f(x)的最小值为 f(2)=－2。
（2） f (1) 1 b d
0
f (2) 0
d 8 46且b 3 f (1) 1 b 8 46 7 3b

高三数学高考复习 《函数与导数》综合问题复习建议 课件(共31张PPT)

高三数学高考复习 《函数与导数》综合问题复习建议 课件(共31张PPT)

关于函数与导数
• 求解步骤（方法显性化，把握大方向）
– 分析问题：归类、联系
– 构建函数：确定研究对象，不要僵化，可能是局 部函数，也可能需要用化归的思想（将复杂的， 困难的问题转化为简单的，容易的，熟悉的问 题），也可能需要进行适当变形 – 研究函数：由性质得草图（比单纯描点效率高）
– 解决问题：看图说话，用形思考（但不能以图代 证），用数说理
《函数与导数》综合问题复习建议
内容提纲
1
关于《函数与导数》
2
举例说明
几点建议
3
关于函数与导数
• 为什么研究函数？
– 出于实际需要：生活中的变化无处不在，运动 是绝对的，静止是相对的，用函数来刻画变量 之间的依赖关系 – 数学建模的过程： 实际 情境 提出 问题 分析 问题
建立 模型
Hale Waihona Puke 确定 参数计算 求解
举例：“适当变形”选择研究对象
• 何时变形？
– 当研究对象的形式或问题的求解过程比较复杂 时：如需多于两次求导，或需分很多情况讨论
• 怎样变形？
– 变形以提取局部函数； – 分离变量（为避免讨论，但前提是方便分离且 分离后的函数方便研究性质）； – 方程、不等式的等价转化
例 设函数 f ( x) x ln x . （1）若对任意 x (0, ) ， 2 f ( x) x2 ax 3 恒成立，求 a 的取值范围.
（17 北京理）已知函数 f ( x) e x cos x x ． （Ⅰ）求曲线 y f ( x ) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程；
π （Ⅱ）求函数 f ( x ) 在区间 [0, ] 上的最大值和最小值． 2
关于函数与导数

函数与导数的复习

函数与导数的复习
（Ⅱ）因为对任意x R，有f(f(x))-x2+x)=f(x)-x2+x.
又因为有且只有一个实数x0,使得f(x0)=x0.
所以对任意x R，有f(x)-x2+x=x0.
在上式中令x=x0,有f(x0)-x +x0=x0,
又因为f(x0)=x0，所以 =0，故x0=0或x0=1.
若x0=0，则f(x)-x2+x=0，即
简析：令 即可得（1）
令 ， 即可得（2）
设 ，则
即可得（3）
例４．函数ƒ(x)的定义域为R，并满足以下条件：
1对任意x R，ƒ(x)﹥０；
2对任意ｘ，ｙ R，有ƒ(xｙ)＝[ƒ(x)]
3ƒ( )﹥１
(Ⅰ)求ƒ(０)的值；
(Ⅱ)求证：ƒ(x)在Ｒ上是单调增函数；
(Ⅲ)若a﹥b﹥c﹥０，且b =ac,求证： ƒ(a)+ƒ(c)﹥2ƒ(b)
解：(1)由题意知 an=n+ ，∴bn=2000( )
(2)∵函数y=2000( )x(0<a<10)递减，∴对每个自然数n,有bn>bn+1>bn+2
则以bn、bn+1、bn+2为边长能构成一个三角形的充要条件是bn+2+bn+1>bn，
即( )2+( )－1>0，解得a<－5(1+ )或a>5( －1) ∴5( －1)<a<10
如：
求： 的值域
3）消参法，若已知抽象的函数表达式，则用解方程组消参的方法求解f(x)；另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法
3．值域：
常用求法 配方法、复合函数法、分离系数法（ 、单调性法、数形结合法、换元法（ ）、

高考文科数学导数专题复习

高考文科数学导数专题复习

高考文科数学导数专题复习第1讲 变化率与导数、导数的计算知 识 梳 理1.导数的概念1函数y ＝fx 在x ＝x 0处的导数f ′x 0或y ′|x ＝x 0,即f ′x 0＝0lim x ∆→错误!. 2函数fx 的导函数f ′x ＝0lim x ∆→错误!为fx 的导函数. 2.导数的几何意义函数y ＝fx 在点x 0处的导数的几何意义,就是曲线y ＝fx 在点Px 0,fx 0处的切线的斜率,过点P 的切线方程为y －y 0＝f ′x 0x －x 0.3.基本初等函数的导数公式4.导数的运算法则若f ′x ,g ′x 存在,则有：考点一 导数的计算例1 求下列函数的导数：1y ＝e x ln x ；2y ＝x 错误!；解 1y ′＝e x ′ln x ＋e x ln x ′＝e x ln x ＋e x 错误!＝错误!e x .2因为y ＝x 3＋1＋错误!, 所以y ′＝x 3′＋1′＋错误!′＝3x 2－错误!.训练1 1 已知函数fx 的导函数为f ′x ,且满足fx ＝2x ·f ′1＋ln x ,则f ′1等于A.－eB.－1解析由fx＝2xf′1＋ln x,得f′x＝2f′1＋错误!,∴f′1＝2f′1＋1,则f′1＝－1.答案B22015·天津卷已知函数fx＝ax ln x,x∈0,＋∞,其中a为实数,f′x为fx的导函数.若f′1＝3,则a的值为________.2f′x＝a错误!＝a1＋ln x.由于f′1＝a1＋ln 1＝a,又f′1＝3,所以a＝3.答案23考点二导数的几何意义命题角度一求切线方程例22016·全国Ⅲ卷已知fx为偶函数,当x≤0时,fx＝e－x－1－x,则曲线y＝fx在点1,2处的切线方程是________.解析1设x>0,则－x<0,f－x＝e x－1＋x.又fx为偶函数,fx＝f－x＝e x－1＋x,所以当x>0时,fx＝e x－1＋x.因此,当x>0时,f′x＝e x－1＋1,f′1＝e0＋1＝2.则曲线y＝fx在点1,2处的切线的斜率为f′1＝2,所以切线方程为y－2＝2x－1,即2x－y＝0.答案2x－y＝0训练22017·威海质检已知函数fx＝x ln x,若直线l过点0,－1,并且与曲线y＝fx相切,则直线l的方程为＋y－1＝0 －y－1＝0 ＋y＋1＝0 －y＋1＝02∵点0,－1不在曲线fx＝x ln x上,∴设切点为x0,y0.又∵f′x＝1＋ln x,∴错误!解得x＝1,y0＝0.∴切点为1,0,∴f′1＝1＋ln 1＝1.∴直线l的方程为y＝x－1,即x－y－1＝00.答案B命题角度二求切点坐标例32017·西安调研设曲线y＝e x在点0,1处的切线与曲线y＝错误!x>0上点P处的切线垂直,则P的坐标为________.解析由y′＝e x,知曲线y＝e x在点0,1处的切线斜率k1＝e0＝1.设Pm,n,又y＝错误!x>0的导数y′＝－错误!,曲线y＝错误!x>0在点P处的切线斜率k2＝－错误!.依题意k1k2＝－1,所以m＝1,从而n＝1.则点P的坐标为1,1.答案1,1训练3若曲线y＝x ln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0,则点P的坐标是________.解析1由题意得y′＝ln x＋x·错误!＝1＋ln x,直线2x－y＋1＝0的斜率为2.设Pm,n,则1＋ln m＝2,解得m＝e,所以n＝eln e＝e,即点P的坐标为e,e. 答案1e,e命题角度三求与切线有关的参数值或范围例42015·全国Ⅱ卷已知曲线y＝x＋ln x在点1,1处的切线与曲线y＝ax2＋a＋2x＋1相切,则a＝________.解析由y＝x＋ln x,得y′＝1＋错误!,得曲线在点1,1处的切线的斜率为k＝y′|x＝1＝2,所以切线方程为y－1＝2x－1,即y＝2x－1.又该切线与y＝ax2＋a＋2x＋1相切,消去y,得ax2＋ax＋2＝0,∴a≠0且Δ＝a2－8a＝0,解得a＝8.答案8训练41.函数fx＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线,则实数a的取值范围是________.函数fx＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线,即f′x＝2在0,＋∞上有解,而f′x＝错误!＋a,即错误!＋a在0,＋∞上有解,a＝2－错误!,因为a＞0,所以2－错误!＜2,所以a的取值范围是－∞,2.答案 2－∞,22.点P是曲线x2－y－ln x＝0上的任意一点,则点P到直线y＝x－2的最小距离为解析点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点,当过点P的切线和直线y＝x－2平行时,点P 到直线y＝x－2的距离最小,直线y＝x－2的斜率为1,令y＝x2－ln x,得y′＝2x－错误!＝1,解得x＝1或x＝－错误!舍去,故曲线y＝x2－ln x上和直线y＝x－2平行的切线经过的切点坐标为1,1,点1,1到直线y＝x－2的距离等于错误!,∴点P到直线y＝x－2的最小距离为错误!.答案D第2讲导数在研究函数中的应用知识梳理函数的单调性与导数的关系函数y＝fx在某个区间内可导,则：1若f′x>0,则fx在这个区间内单调递增；2若f′x<0,则fx在这个区间内单调递减；3若f′x＝0,则fx在这个区间内是常数函数.考点一利用导数研究函数的单调性例1设fx＝e x ax2＋x＋1a＞0,试讨论fx的单调性.解f′x＝e x ax2＋x＋1＋e x2ax＋1＝e x ax2＋2a＋1x＋2＝e x ax＋1x＋2＝a e x错误!x＋2①当a＝错误!时,f′x＝错误!e x x＋22≥0恒成立,∴函数fx在R上单调递增；②当0＜a＜错误!时,有错误!＞2,令f′x＝a e x错误!x＋2＞0,有x＞－2或x＜－错误!,令f′x＝a e x错误!x＋2＜0,有－错误!＜x＜－2,∴函数fx在错误!和－2,＋∞上单调递增,在错误!上单调递减；③当a＞错误!时,有错误!＜2,令f′x＝a e x错误!x＋2＞0时,有x＞－错误!或x＜－2,令f′x＝a e x错误!x＋2＜0时,有－2＜x＜－错误!,∴函数fx在－∞,－2和错误!上单调递增；在错误!上单调递减.训练12016·四川卷节选设函数fx＝ax2－a－ln x,gx＝错误!－错误!,其中a∈R,e＝…为自然对数的底数.1讨论fx的单调性；2证明：当x>1时,gx>0.1解由题意得f′x＝2ax－错误!＝错误!x>0.当a≤0时,f′x<0,fx在0,＋∞内单调递减.当a>0时,由f′x＝0有x＝错误!,当x∈错误!时,f′x<0,fx单调递减；当x∈错误!时,f′x>0,fx单调递增.2证明令sx＝e x－1－x,则s′x＝e x－1－1.当x>1时,s′x>0,所以e x－1>x,从而gx＝错误!－错误!>0.考点二求函数的单调区间例22015·重庆卷改编已知函数fx＝ax3＋x2a∈R在x＝－错误!处取得极值.1确定a的值；2若gx＝fx e x,求函数gx的单调减区间.解1对fx求导得f′x＝3ax2＋2x,因为fx在x＝－错误!处取得极值,所以f′错误!＝0,即3a·错误!＋2·错误!＝错误!－错误!＝0,解得a＝错误!.2由1得gx＝错误!e x故g′x＝错误!e x＋错误!e x＝错误!e x＝错误!xx＋1x＋4e x.令g′x<0,得xx＋1x＋4<0.解之得－1<x<0或x<－4.所以gx的单调减区间为－1,0,－∞,－4.训练2 已知函数fx＝错误!＋错误!－ln x－错误!,其中a∈R,且曲线y＝fx在点1,f1处的切线垂直于直线y＝错误!x.1求a的值；2求函数fx的单调区间.解1对fx求导得f′x＝错误!－错误!－错误!,由fx在点1,f1处的切线垂直于直线y ＝错误!x知f′1＝－错误!－a＝－2,解得a＝错误!.2由1知fx＝错误!＋错误!－ln x －错误!,x>0.则f′x＝错误!.令f′x＝0,解得x＝－1或x＝5.但－10,＋∞,舍去.当x∈0,5时,f′x<0；当x∈5,＋∞时,f′x>0.∴fx的增区间为5,＋∞,减区间为0,5.考点三已知函数的单调性求参数例32017·西安模拟已知函数fx＝ln x,gx＝错误!ax2＋2xa≠0.1若函数hx＝fx－gx存在单调递减区间,求a的取值范围；2若函数hx＝fx－gx在1,4上单调递减,求a的取值范围.解1hx＝ln x－错误!ax2－2x,x>0.∴h′x＝错误!－ax－2.若函数hx在0,＋∞上存在单调减区间,则当x>0时,错误!－ax－2<0有解,即a>错误!－错误!有解.设Gx＝错误!－错误!,所以只要a>Gx min.又Gx＝错误!错误!－1,所以Gx min＝－1.所以a>－1.即实数a的取值范围是－1,＋∞.2由hx在1,4上单调递减,∴当x∈1,4时,h′x＝错误!－ax－2≤0恒成立,则a≥错误!－错误!恒成立,所以a≥Gx max.又Gx＝错误!错误!－1,x∈1,4因为x∈1,4,所以错误!∈错误!,所以Gx max＝－错误!此时x＝4,所以a≥－错误!.当a＝－错误!时,h′x＝错误!＋错误!x－2＝错误!＝错误!,∵x∈1,4,∴h′x＝错误!≤0,当且仅当x＝4时等号成立.∴hx在1,4上为减函数.故实数a的取值范围是错误!.训练3已知函数fx＝x3－ax－1.1若fx在R上为增函数,求实数a的取值范围；2若函数fx的单调减区间为－1,1,求a的值.解1因为fx在R上是增函数,所以f′x＝3x2－a≥0在R上恒成立,即a≤3x2对x∈R恒成立.因为3x2≥0,所以只需a≤0.又因为a＝0时,f′x＝3x2≥0,当且仅当x＝0时取等号.∴fx＝x3－1在R上是增函数.所以实数a的取值范围是－∞,0.2f′x＝3x2－a.当a≤0时,f′x≥0,fx在－∞,＋∞上为增函数,所以a≤0不合题意.当a>0时,令3x2－a<0,得－错误!<x<错误!,∴fx的单调递减区间为错误!,依题意,错误!＝1,即a＝3.第3讲导数与函数的极值、最值知识梳理1.函数的极值与导数的关系1函数的极小值与极小值点:若函数fx在点x＝a处的函数值fa比它在点x＝a附近其他点的函数值都小,f′a＝0,而且在点x＝a附近的左侧f′x<0,右侧f′x>0,则点a叫做函数的极小值点,fa叫做函数的极小值.2函数的极大值与极大值点:若函数fx在点x＝b处的函数值fb比它在点x＝b附近其他点的函数值都大,f′b＝0,而且在点x＝b附近的左侧f′x>0,右侧f′x<0,则点b叫做函数的极大值点,fb叫做函数的极大值.2.函数的最值与导数的关系1函数fx在a,b上有最值的条件:如果在区间a,b上函数y＝fx的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.2求y＝fx在a,b上的最大小值的步骤考点一用导数研究函数的极值命题角度一根据函数图象判断极值例1设函数fx在R上可导,其导函数为f′x,且函数y＝1－xf′x的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是A.函数fx有极大值f2和极小值f1B.函数fx有极大值f－2和极小值f1C.函数fx有极大值f2和极小值f－2D.函数fx有极大值f－2和极小值f2解析由题图可知,当x<－2时,1－x>3,此时f′x>0；当－2<x<1时,0<1－x<3,此时f′x<0；当1<x<2时,－1<1－x<0,此时f′x<0；当x>2时,1－x<－1,此时f′x>0,由此可以得到函数fx在x＝－2处取得极大值,在x＝2处取得极小值.答案D命题角度二求函数的极值例2求函数fx＝x－a ln xa∈R的极值.解由f′x＝1－错误!＝错误!,x>0知：1当a≤0时,f′x>0,函数fx为0,＋∞上的增函数,函数fx无极值；2当a>0时,令f′x＝0,解得x＝a.又当x∈0,a时,f′x<0；当x∈a,＋∞,f′x>0,从而函数fx在x＝a处取得极小值,且极小值为fa＝a－a ln a,无极大值.综上,当a≤0时,函数fx无极值；当a>0时,函数fx在x＝a处取得极小值a－a ln a,无极大值.命题角度三已知极值求参数例3已知关于x的函数fx＝－错误!x3＋bx2＋cx＋bc在x＝1处有极值－错误!,试求b,c 的值.解∵f′x＝－x2＋2bx＋c,由fx在x＝1处有极值－错误!,可得错误!解得错误!或错误!若b＝1,c＝－1,则f′x＝－x2＋2x－1＝－x－12≤0,fx没有极值.若b＝－1,c＝3,则f′x ＝－x2－2x＋3＝－x＋3x－1.当x变化时,fx与f′x的变化情况如下表：∴当x＝1时,fx有极大值－错误!,满足题意.故b＝－1,c＝3为所求.训练1设函数fx＝ax3－2x2＋x＋ca>0.1当a＝1,且函数图象过0,1时,求函数的极小值；2若fx在R上无极值点,求a的取值范围.解由题意得f′x＝3ax2－4x＋1.1函数图象过0,1时,有f0＝c＝1.当a＝1时,f′x＝3x2－4x＋1.令f′x>0,解得x<错误!或x>1；令f′x<0,解得错误!<x<1.所以函数在错误!和1,＋∞上单调递增；在错误!上单调递减.故函数fx的极小值是f1＝13－2×12＋1＋1＝1. 2若fx在R上无极值点,则fx在R上是单调函数,故f′x≥0或f′x≤0恒成立.当a＝0时,f′x＝－4x＋1,显然不满足条件；当a≠0时,f′x≥0或f′1≤0恒成立的充要条件是Δ＝－42－4×3a×1≤0,即16－12a≤0,解得a≥错误!.综上,a的取值范围是错误!.考点二利用导数求函数的最值例4 2017·郑州模拟已知函数fx＝x－k e x.1求fx的单调区间；2求fx在区间0,1上的最小值.解1由fx＝x－k e x,得f′x＝x－k＋1e x,令f′x＝0,得x＝k－1.当x变化时,fx与f′x的变化情况如下表：所以,fx的单调递减区间是－∞,k－1；单调递增区间是k－1,＋∞.2当k－1≤0,即k≤1时,函数fx在0,1上单调递增,所以fx在区间0,1上的最小值为f0＝－k,当0<k－1<1,即1<k<2时,由1知fx在0,k－1上单调递减,在k－1,1上单调递增,所以fx在区间0,1上的最小值为fk－1＝－e k－1.当k－1≥1,即k≥2时,函数fx在0,1上单调递减,所以fx在区间0,1上的最小值为f1＝1－k e.综上可知,当k≤1时,fx min＝－k；当1<k<2时,fx min＝－e k－1；当k≥2时,fx min＝1－k e.训练2设函数fx＝a ln x－bx2x>0,若函数fx在x＝1处与直线y＝－错误!相切,1求实数a,b的值；2求函数fx在错误!上的最大值.解1由fx＝a ln x－bx2,得f′x＝错误!－2bxx>0.∵函数fx在x＝1处与直线y＝－错误!相切.∴错误!解得错误!2由1知fx＝ln x－错误!x2,则f′x＝错误!－x＝错误!,当错误!≤x≤e时,令f′x>0,得错误!<x<1,令f′x<0,得1<x<e,∴fx在错误!上单调递增,在1,e上单调递减,∴fx max＝f1＝－错误!.考点三函数极值与最值的综合问题例5已知函数fx＝错误!a>0的导函数y＝f′x的两个零点为－3和0.1求fx的单调区间；2若fx的极小值为－e3,求fx在区间－5,＋∞上的最大值.解1f′x＝错误!＝错误!.令gx＝－ax2＋2a－bx＋b－c,由于e x>0.令f′x＝0,则gx＝－ax2＋2a－bx＋b－c＝0,∴－3和0是y＝gx的零点,且f′x与gx的符号相同.又因为a>0,所以－3<x<0时,gx>0,即f′x>0,当x<－3或x>0时,gx<0,即f′x<0,所以fx的单调递增区间是－3,0,单调递减区间是－∞,－3,0,＋∞.2由1知,x＝－3是fx的极小值点,所以有错误!解得a＝1,b＝5,c＝5,所以fx＝错误!.因为fx的单调递增区间是－3,0,单调递减区间是－∞,－3,0,＋∞.所以f0＝5为函数fx的极大值,故fx在区间－5,＋∞上的最大值取f－5和f0中的最大者,又f－5＝错误!＝5e5>5＝f0,所数fx在区间－5,＋∞上的最大值是5e5.训练3 2017·衡水中学月考已知函数fx＝ax－1－ln xa∈R.1讨论函数fx在定义域内的极值点的个数；2若函数fx在x＝1处取得极值,x∈0,＋∞,fx≥bx－2恒成立,求实数b的最大值.解1fx的定义域为0,＋∞,f′x＝a－错误!＝错误!.当a≤0时,f′x≤0在0,＋∞上恒成立,函数fx在0,＋∞上单调递减.∴fx在0,＋∞上没有极值点.当a>0时,由f′x<0,得0<x<错误!；由f′x>0,得x>错误!,∴fx在错误!上递减,在错误!上递增,即fx在x＝错误!处有极小值.综上,当a≤0时,fx在0,＋∞上没有极值点；当a>0时,fx在0,＋∞上有一个极值点.2∵函数fx在x＝1处取得极值,∴f′1＝a－1＝0,则a＝1,从而fx＝x－1－ln x.因此fx≥bx－21＋错误!－错误!≥b,令gx＝1＋错误!－错误!,则g′x＝错误!,令g′x＝0,得x＝e2,则gx在0,e2上递减,在e2,＋∞上递增,∴gx min＝g e2＝1－错误!,即b≤1－错误!.故实数b的最大值是1－错误!.第4讲导数与函数的综合应用考点一利用导数研究函数的性质例12015·全国Ⅱ卷已知函数fx＝ln x＋a1－x.1讨论fx的单调性；2当fx有最大值,且最大值大于2a－2时,求a的取值范围.解1fx的定义域为0,＋∞,f′x＝错误!－a.若a≤0,则f′x>0,所以fx在0,＋∞上单调递增.若a>0,则当x∈错误!时,f′x>0；当x∈错误!时,f′x<0.所以fx在错误!上单调递增,在错误!上单调递减.2由1知,当a≤0,fx在0,＋∞上无最大值；当a>0时,fx在x＝错误!取得最大值,最大值为f 错误!＝ln错误!＋a错误!＝－ln a＋a－1.因此f 错误!>2a－2等价于ln a＋a－1<0.令ga＝ln a＋a－1,则ga在0,＋∞上单调递增,g1＝0.于是,当0<a<1时,ga<0；当a>1时,ga>0.因此,a的取值范围是0,1.训练1设fx＝－错误!x3＋错误!x2＋2ax.1若fx在错误!上存在单调递增区间,求a的取值范围；2当0＜a＜2时,fx在1,4上的最小值为－错误!,求fx在该区间上的最大值.解1由f′x＝－x2＋x＋2a＝－错误!错误!＋错误!＋2a,当x∈错误!时,f′x的最大值为f′错误!＝错误!＋2a；令错误!＋2a＞0,得a＞－错误!.所以,当a＞－错误!时,fx在错误!上存在单调递增区间.2已知0＜a＜2,fx在1,4上取到最小值－错误!,而f′x＝－x2＋x＋2a的图象开口向下,且对称轴x＝错误!,∴f′1＝－1＋1＋2a＝2a＞0,f′4＝－16＋4＋2a＝2a－12＜0,则必有一点x0∈1,4,使得f′x0＝0,此时函数fx在1,x0上单调递增,在x0,4上单调递减,f1＝－错误!＋错误!＋2a＝错误!＋2a＞0,∴f4＝－错误!×64＋错误!×16＋8a＝－错误!＋8a＝－错误!a＝1.此时,由f′x0＝－x错误!＋x0＋2＝0x0＝2或－1舍去,所以函数fx max＝f2＝错误!.考点二利用导数研究函数的零点或方程的根例2 2015·北京卷设函数fx＝错误!－k ln x,k>0.1求fx的单调区间和极值；2证明：若fx存在零点,则fx在区间1,错误!上仅有一个零点. 1解由fx＝错误!－k ln xk>0,得x>0且f′x＝x－错误!＝错误!.由f′x＝0,解得x＝错误!负值舍去.fx与f′x在区间0,＋∞上的情况如下：所以fx的单调递减区间是0,错误!,单调递增区间是错误!,＋∞.fx在x＝错误!处取得极小值f错误!＝错误!.2证明由1知,fx在区间0,＋∞上的最小值为f错误!＝错误!.因为fx存在零点,所以错误!≤0,从而k≥e.当k＝e时,fx在区间1,错误!上单调递减,且f错误!＝0,所以x＝错误!是fx 在区间1,错误!上的唯一零点.当k>e时,fx在区间0,错误!上单调递减,且f1＝错误!>0,f错误!＝错误!<0,所以fx在区间1,错误!上仅有一个零点.综上可知,若fx存在零点,则fx在区间1,错误!上仅有一个零点.训练22016·北京卷节选设函数fx＝x3＋ax2＋bx＋c.1求曲线y＝fx在点0,f0处的切线方程；2设a＝b＝4,若函数fx有三个不同零点,求c的取值范围.解1由fx＝x3＋ax2＋bx＋c,得f′x＝3x2＋2ax＋b.因为f0＝c,f′0＝b,所以曲线y＝fx 在点0,f0处的切线方程为y＝bx＋c.2当a＝b＝4时,fx＝x3＋4x2＋4x＋c,所以f′x＝3x2＋8x＋4.令f′x＝0,得3x2＋8x＋4＝0,解得x＝－2或x＝－错误!.当x变化时,fx与f′x的变化情况如下：所以,当c>0且c－错误!<0,存在x1∈－4,－2,x2∈错误!,x3∈错误!,使得fx1＝fx2＝fx3＝0.由fx的单调性知,当且仅当c∈错误!时,函数fx＝x3＋4x2＋4x＋c有三个不同零点.考点三导数在不等式中的应用命题角度一不等式恒成立问题例32017·合肥模拟已知fx＝x ln x,gx＝x3＋ax2－x＋2.1如果函数gx的单调递减区间为错误!,求函数gx的解析式；2对任意x∈0,＋∞,2fx≤g′x＋2恒成立,求实数a的取值范围.解1g′x＝3x2＋2ax－1,由题意3x2＋2ax－1<0的解集是错误!,即3x2＋2ax－1＝0的两根分别是－错误!,1.将x＝1或－错误!代入方程3x2＋2ax－1＝0,得a＝－1.所以gx＝x3－x2－x ＋2.2由题意2x ln x≤3x2＋2ax－1＋2在x∈0,＋∞上恒成立,可得a≥ln x－错误!x－错误!,设hx＝ln x－错误!x－错误!,则h′x＝错误!－错误!＋错误!＝－错误!,令h′x＝0,得x＝1或－错误!舍,当0<x<1时,h′x>0,当x>1时,h′x<0,所以当x＝1时,hx取得最大值,hx max＝－2,所以a≥－2,所以a的取值范围是－2,＋∞.训练3已知函数fx＝x2－ln x－ax,a∈R.1当a＝1时,求fx的最小值；2若fx>x,求a的取值范围.解1当a＝1时,fx＝x2－ln x－x,f′x＝错误!.当x∈0,1时,f′x<0；当x∈1,＋∞时,f′x>0.所以fx的最小值为f1＝0.2由fx>x,得fx－x＝x2－ln x－a＋1x>0.由于x>0,所以fx>x等价于x－错误!>a＋1.令gx ＝x－错误!,则g′x＝错误!.当x∈0,1时,g′x<0；当x∈1,＋∞时,g′x>0.故gx有最小值g1＝1.故a＋1<1,a<0,即a的取值范围是－∞,0.命题角度二证明不等式例42017·昆明一中月考已知函数fx＝ln x－错误!.1求函数fx的单调递增区间；2证明：当x>1时,fx<x－1.1解f′x＝错误!－x＋1＝错误!,x∈0,＋∞.由f′x>0得错误!解得0<x<错误!.故fx的单调递增区间是错误!.2证明令Fx＝fx－x－1,x∈0,＋∞.则有F′x＝错误!.当x∈1,＋∞时,F′x<0,所以Fx在1,＋∞上单调递减,故当x>1时,Fx<F1＝0,即当x>1时,fx<x－1.故当x>1时,fx<x－1.训练4 2017·泰安模拟已知函数fx＝ln x.1求函数Fx＝错误!＋错误!的最大值；2证明：错误!＋错误!<x－fx；1解Fx＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!,F′x＝错误!,当F′x>0时,0<x<e；当F′x<0时,x>e,故Fx在0,e上是增函数,在e,＋∞上是减函数,故Fx max＝F e＝错误!＋错误!.2证明令hx＝x－fx＝x－ln x,则h′x＝1－错误!＝错误!,当h′x<0时,0<x<1；当h′x>0时,x>1,故hx在0,1上是减函数,在1＋∞上是增函数,故hx min＝h1＝1.又Fx max＝错误!＋错误!<1,故Fx<hx,即错误!＋错误!<x－fx.。

导数与函数的性质综合复习城乡交流

导数与函数的性质综合复习城乡交流

f ( x) 0
/
f ( x) 0
/
令f / ( x) 0 并求解
易忽视定义 域和比较根 的大小
恒成立
恒成立
/ x 变化时，列 f ( x), ' f ( x ) 在定义 f ( x)在定义 f 或画 ( x) f ( x)的变化表 的图象 域上递减 域上递增
无极值
求极值
身手大显
3
1 1.讨论函数f ( x) x ax, a R的单调性和极值点个数
解：易知x R, f ( x) 3x a / （ 1 ）若a 0，则f ( x) 0恒成立 f ( x)在R上递增，无极值点
/ 2 / 2
（2）若a 0，f ( x) 3x a
a a 令f ( x) 0，解得x1 , x2 3 3
/
易知x1 x2 , x变化时，f ( x), f ( x)变化如下表
(1)求f ( x)的单调区间（2）讨论f ( x)的极值
解： (1)易知x R, / 2 f ( x) 6 x 6(a 1) x 6 xx (a 1)
/ 2
a 1 (1)若a 1, 则f ( x) 6 x 0恒成立
f ( x)在R上是增函数 / (2)若a 1, 令f ( x) 0, 解得x 0或a 1
(3) y sin x x
3 x 3 (4) y 1 ( x 0) x x
y cos x 1
/
y 0恒成立
/
3 y 3x 2 x
/ 2
y 0恒成立
/
函数单调性
在R上递减
在(0,)和×
（ ， 0）上递减

函数与导数系统复习

函数与导数系统复习

［函数与导数］模块小结※ 知识要点1．函数的概念及性质（1）:f A B →或(),y f x x A =∈； （2）图像法及解析法表示，分段函数； （3）映射，一一映射（A 中不同元素对应不同的像，B 中元素都有原像）； （4）函数的单调性（12,x x ∀<都有12()()f x f x <或12()()f x f x >）； （5）函数的奇偶性（定义域关于原点对称，()()f x f x -=±，赋值）. 2．指数和对数运算 （1）mn mnb a b a =⇒==log (0)b a a N b N N =⇒=>；（2）mnm na a a+⋅=，(),()m nmnnn na a ab a b ==，1m nm na a-=，m m n n a a a-=； （3）log a NaN =，log 10,log 1a a a ==，lg ,ln N N ，log ()log log a a a MN M N =+，log log ,log log log n a a aa a MM n M M N N ==-, log log log a b a N N b=. 3．函数的图像和性质（1）二次函数2212()()()y ax bx c a x h k a x x x x =++=-+=--的图像和性质常需考虑的因素：①开口方向； ②对称轴； ③判别式； ④与坐标轴交点；⑤端点函数值； ⑥两根符号.2(0)y ax bx c a =++≠的图象的对称轴是a bx 2-=，顶点是⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a b ac a b 4422，. （2）指数函数x y a =的定义、图像和性质(0x y a a =>且1)a ≠，利用直线1x =比较底数大小，逆，1,01a a ><<；（3）对数函数log a y x =的定义、图像和性质log x a y a x y =⇒=，log a y x =，利用直线1y =比较底数大小，顺.（4）幂函数a y x =的图像和性质当0a >时，在(0,)+∞上单调递增；当0a <时，在(0,)+∞上单调递减. （5）抽象函数解题策略：赋值，赋关系，具体化. 4．函数与方程（1）函数()y f x =的零点⇔图像与x 轴交点横坐标⇔()0f x =的解； （2）零点存在性定理：()()0f a f b <⇒()y f x =在(,)a b 内至少有一个零点； （3）利用二分法求方程的近似解：先定有解区间，取区间中点，逐次利用零点存在性定理确定有解区间. 5.导数定义：()f x 在点0x 处的导数记作00000()()()lim;x x x f x x f x y f x x =∆→+∆-''==∆0()f x '表示曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率. 6.导数公式及运算法则:（1）公式： ①C '0=； ②1()n n x nx -'=； ③(sin )cos x x '=； ④(cos )sin x x '=-；⑤()ln x x a a a '=； ⑥()x x e e '=； ⑦1(log )ln a x x a '=； ⑧1(ln )x x '=. （2）运算法则：2();();().u u v uv u v u v uv u v uv v v ''-'''''''±=±=+=（3）复合函数求导：x u x y y u '''=⋅.7.利用导数研究函数的单调性与极值、最值： （1）先求定义域，解()0f x '>⇒单调增区间；()f x 在[,]a b 上是增（减）函数()0(0)f x '⇒≥≤[,]x a b ∀∈恒成立.（2）利用导数求曲线的切线：所求的是“在”还是“过”该点的切线？ （3）函数的最值：先求极值，再与区间端点的函数值比较.◆ 函数习题（一）1．设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22x f x x b =++(b 为常数），则(1)f -=（ ）A ．3B ．1C ．1-D ．3- 解析：由(0)0f =得1b =-，当0x ≥时, (1)(1) 3.f f -=-=- 2．已知函数()lg f x x =，若0a b <<，且()()f a f b =，则2a b +的取值范围是（ ）A．)+∞ B．)+∞ C ．(3,)+∞ D ．[3,)+∞解析：由()()f a f b =得lg lg a b =，a b ∴=或1b a =，22a b a a∴+=+，又0a b <<，01a b ∴<<<，令2()f a a a=+，知()f a 在(0,1)a ∈上为减函数， ()(1)3f a f ∴>=，2(3,).a b ∴+∈+∞3．函数22-3,0)2ln ,0x x x f x x x ⎧+≤=⎨-+>⎩（的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 解析：当0x ≤时，令2230x x +-=解得3x =-；当0x >时，令2ln 0x -+=解得100x =，∴函数有两个零点，选C.4．设函数212log ,0()log (),0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(1,0)(0,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(1,0)(1,)-+∞ D ．(,1)(0,1)-∞-解析：当0a >时，由()()f a f a >-得：212log log a a >，即221log log a a >，即1a a>， 解得1a >；当0a <时，由()()f a f a >-得：12log ()a ->2()log a -，即21log ()a ->2()log a -，即1a->a -，解得10a -<<，故选C. 5．直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是 . 解析：图像关于y 轴对称，0x ≥时，2211()24y x x a x a =-+=-+-，5(1,)4a ∈. 6．设1232,2()log (1),2x e x f x x x -⎧<=⎨-≥⎩，则[(2)]f f 的值是 . 解析：(2)1f =，11[(2)](1)2 2.f f f e -===7．函数2()cos lg(1)f x x x =+-的值域是 .解析：由210x ->得11x -<<，又()f x 是偶函数，只需考虑[0,1)x ∈，(,1]y ∈-∞. 8．已知函数2()426()f x x ax a a R =-++∈， （1）若()f x 的最小值为0，求a 的值；（2）若()0f x ≥对任意x R ∈都恒成立，求函数()23g a a a =-+的最大值.解析：（1）22()(2)264f x x a a a =-++-，由22640a a +-=得1a =-或3.2（2）3[1,]2a ∈-，2()32g a a a =--+4≤. 9．已知幂函数22()()mm f x x m Z --=∈是偶函数，且在(0,)+∞上是减函数，求函数()f x的解析式,并讨论()(,)()bg x a b R xf x =∈的奇偶性. 解析：由已知220m m --<，12m -<<，又m Z ∈，0m =或1，当0m =或1时，222m m --=-，2()f x x -=.1()b a g x bx x x-∴==-， 当0a b ==时，既奇又偶；当0,0a b =≠时，奇函数；当0,0a b ≠=时，偶函数；当0,0a b ≠≠时，非奇非偶. 10.设121()log 1axf x x -=-是奇函数，a 为常数. （1）求a 的值； （2）求证：()f x 在(1,)+∞内单调递增； （3）若对于[3,4]上的每一个x 的值，不等式1()()2x f x m >+恒成立，求实数m 的取值范围.解析：（1）()()1f x f x a -=-⇒=-； （2）121()log 1xf x x +=-，任取211x x >>，则21211122(1)(1)()()log 0(1)(1)x x f x f x x x +--=>+-. （3）1()()2xm f x <-，令1()()()2xg x f x =-，由（2），()g x 在[3,4]上递增，3121319(3)log ()3128m g +∴<=-=--，9(,).8m ∴∈-∞-◆ 函数习题（一）1．设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22x f x x b =++(b 为常数），则(1)f -=（ ）A ．3B ．1C ．1-D ．3-2．已知函数()lg f x x =，若0a b <<，且()()f a f b =，则2a b +的取值范围是（ ）A．)+∞ B．)+∞ C ．(3,)+∞ D ．[3,)+∞3．函数223,0)2ln ,0x x x f x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩（的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34．设函数212log ,0()log (),0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(1,0)(0,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(1,0)(1,)-+∞D ．(,1)(0,1)-∞-5．直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是 .6．设1232,2()log (1),2x e x f x x x -⎧<=⎨-≥⎩，则[(2)]f f 的值是 .7．函数2()cos lg(1)f x x x =+-的值域是 .8．已知函数2()426()f x x ax a a R =-++∈， （1）若()f x 的最小值为0，求a 的值；（2）若()0f x ≥对任意x R ∈都恒成立，求函数()23g a a a =-+的最大值.9．已知幂函数22()()mm f x x m Z --=∈是偶函数，且在(0,)+∞上是减函数，求函数()f x的解析式，并讨论()(,)()bg x a b R xf x =∈的奇偶性.10.设121()log 1axf x x -=-是奇函数，a 为常数. （1）求a 的值； （2）求证：()f x 在(1,)+∞内单调递增； （3）若对于[3,4]上的每一个x 的值，不等式1()()2xf x m >+恒成立，求实数m 的取值范围.◆ 函数习题（二）1．函数()23x f x x =+的零点所在的一个区间是（ ）A ．(2,1)--B ．(1,0)-C ．(0,1)D ．(1,2) 解析：1(1)230f --=-<，0(0)2010f =-=>，选B.2．若()f x 是R 上周期为5的奇函数，且满足()()11,22f f ==，则()()34f f -=（ ） A ．1-B ．1C ．－2D ．2解析：(3)(4)(2)(1)(2)(1)211f f f f f f -=---=-+=-+=-，选A.3．已知函数|lg |,010,()16,10.2x x f x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩若,,a b c 互不相等，且()()(),f a f b f c ==则abc的取值范围是（ ） A ．(1,10)B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24)解析1：不妨设a b c <<，取特例，如取1()()()2f a f b f c ===， 则易得112210,10,11a b c -===，从而11abc =，选C ．解析2：不妨设a b c <<，则由()()1f a f b ab =⇒=，再根据图像易得1012c <<．4．给出下列三个命题：①函数11cos ln 21cos x y x -=+与ln tan 2x y =是同一函数； ②若函数()y f x =与()y g x =的图像关于直线y x =对称，则函数(2)y f x =与1()2y g x =的图像也关于直线y x =对称； ③若奇函数()f x 对定义域内任意x 都有()(2)f x f x =-,则()f x 为周期函数． 其中真命题是（ ） A ．①②B ．①③C ．②③D ．②解析：选C.5．设函数()()()x x f x x e ae x R -=+∈是偶函数，则实数a = . 解析：由()x x g x e ae -=+为奇函数，知(0)0 1.g a =⇒=-6．已知函数21,0()1,0x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩，则满足不等式2(1)(2)f x f x ->的x 的范围是 .解析：由2212(1).10x xx x ⎧->⇒∈-⎨->⎩7．已知函数()f x 满足：1(1)4f =，4()()()(),(,)f x f y f x y f x y x y R =++-∈，则(2010)f =____________．解析1：取1,0x y ==得21)0(=f ，再计算(2),(3),(4),f f f ，确定周期为6.解析2：取,1x n y ==得，()(1)(1)f n f n f n =++-，同理(1)(2)()f n f n f n +=++，(2)(1)f n f n ∴+=--，16,(2010)(0).2T f f ∴=⇒==8．已知函数2()43f x x x =-+.（1）求函数()f x 的单调区间，并指出其单调性；（2）求集合{}()M m f x mx ==使方程有四个不等的实根.解析：数形结合法，22(2)1,(,1][3,)()(2)1,(1,3)x x f x x x ⎧--∈-∞+∞=⎨--+∈⎩， ()f x mx =有四个不等实根，由图像入手，由2(2)1y mx y x =⎧⎨=--+⎩得2(4)30x m x +-+=，由0∆=得4m =±(0,4m ∈-9.已知0a >，且1a ≠，21(log )()1a a f x x x a =--. （1）求()f x 的解析式； （2）判断()f x 的奇偶性和单调性；（3）若函数()f x 定义在(1,1)-时，有2(1)(1)0f m f m -+-<，求m 的集合M . 解析：（1）令log a t x =，则t x a =，2()()1t t af t a a a -∴=--， 2()()().1x x af x a a x R a -∴=-∈- （2）()f x 为奇函数，任取12x x <，12121221()()()(1)1x x x x a f x f x a a a a a-=-+-， 当1a >时，当01a <<时，都有12()()f x f x <.（3）22(1)(1)(1)f m f m f m -<--=-，由2211111111m m m m -<-<⎧⎪-<-<⎨⎪-<-⎩得(1m ∈10.已知二次函数()y f x =在22t x +=处取得最小值2(0)4t t -≠，且(1)0f =.（1）求()y f x =的表达式；（2）若函数()y f x =在区间1[1,]2-上的最小值为5-，求此时t 的值和对应的x 的值.解析：（1）设222()()24t t f x a x +=--，由(1)0f =知1a =， 222()().24t t f x x +∴=--（2）当212t +<-时，92t =-，对应1x =-； 当21122t +-≤≤时，t =±； 当2122t +>时，212t =-（舍去）.◆ 函数习题（二）1．函数()23x f x x =+的零点所在的一个区间是（ ）A ．(2,1)--B ．(1,0)-C ．(0,1)D ．(1,2)2．若()f x 是R 上周期为5的奇函数，且满足()()11,22f f ==，则()()34f f -=（ ） A ．1-B ．1C ．－2D ．23．已知函数|lg |,010,()16,10.2x x f x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩若,,a b c 互不相等，且()()(),f a f b f c ==则abc的取值范围是（ ） A ．(1,10)B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24)4．给出下列三个命题：①函数11cos ln 21cos x y x -=+与ln tan 2x y =是同一函数； ②若函数()y f x =与()y g x =的图像关于直线y x =对称，则函数(2)y f x =与1()2y g x =的图像也关于直线y x =对称； ③若奇函数()f x 对定义域内任意x 都有()(2)f x f x =-,则()f x 为周期函数． 其中真命题是（ ） A ．①②B ．①③C ．②③D ．②5．设函数()()()x x f x x e ae x R -=+∈是偶函数，则实数a = .6．已知函数21,0()1,0x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩，则满足不等式2(1)(2)f x f x ->的x 的范围是 . 7．已知函数()f x 满足：1(1)4f =，4()()()(),(,)f x f y f x y f x y x y R =++-∈，则(2010)f =____________．8．已知函数2()43f x x x =-+.（1）求函数()f x 的单调区间，并指出其单调性；（2）求集合{}()M m f x mx ==使方程有四个不等的实根.9.已知0a >，且1a ≠，21(log )()1a a f x x x a =--. （1）求()f x 的解析式； （2）判断()f x 的奇偶性和单调性；（3）若函数()f x 定义在(1,1)-时，有2(1)(1)0f m f m -+-<，求m 的集合M .10.已知二次函数()y f x =在22t x +=处取得最小值2(0)4t t -≠，且(1)0f =.（1）求()y f x =的表达式；（2）若函数()y f x =在区间1[1,]2-上的最小值为5-，求此时t 的值和对应的x 的值.◆ 函数习题（三）1．已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的偶函数，若对于0x ≥，都有(2()f x f x +=），且当[0,2)x ∈时，2()log (1f x x =+），则(2008)(2009)f f -+的值为（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2解析：1222(2008)(2009)(0)(1)log log 1f f f f -+=+=+=,故选C. 2．定义在R 上的函数()f x 满足2log (1),0()(1)(2),0x x f x f x f x x -≤⎧=⎨--->⎩，则(2009)f 的值为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2 解析：由已知得2(1)log 21f -==,(0)0f =,(1)(0)(1)1f f f =--=-,(2)(1)(0)1f f f =-=-,(3)(2)(1)1(1)0f f f =-=---=,(4)(3)(2)0(1)1f f f =-=--=,(5)(4)(3)1f f f =-=,(6)(5)(4)0f f f =-=,所以函数()f x 的值以6为周期重复性出现，所以(2009)(5)1f f ==，故选C. 3．已知定义在R 上的奇函数()f x ，满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0,2]上是增函数则( )A ．(25)(11)(80)f f f -<<B ．(80)(11)(25)f f f <<-C ．(11)(80)(25)f f f <<-D ．(25)(80)(11)f f f -<<解析：(4)()(8)()f x f x f x f x -=-⇒-=，()f x ∴是以8为周期的周期函数, 则(25)(1),(80)(0),(11)(3)f f f f f f -=-==，又()f x 在R 上是奇函数，(0)0f =，(80)0f ∴=，(25)(1),(11)(3)(3)(14)(1)f f f f f f f -=-==--=--=， (1)(0)0,(1)0f f f >=∴-<，即(25)(80)(11).f f f -<< 故选D.4．函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则（ ）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 是奇函数C ．()(2)f x f x =+D ．(3)f x +是奇函数 解析：依题设，得(1)(1),(1)(1)f x f x f x f x -+=-+--=--，()f x ∴关于点(1,0),(1,0)-对称，函数()f x 是周期为4的周期函数.(14)(14),(3)(3)f x f x f x f x ∴--+=--+-+=-+，即(3)f x +是奇函数.5．函数y =的定义域为 .解析：由2101 1.340x x x x +>⎧⇒-<<⎨--+>⎩即定义域为(1,1).- 6．已知函数()f x 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有(1)(1)(x f x x f x+=+，则5()2f 的值是 . 解析：若0x ≠，则1(1)()x f x f x x ++=，取12x =-，则 11111()(1)()()()022222f f f f f =-+=--=-⇒= 5353511()(1)()(1)5()0.2232322f f f f f ∴=+==+==7．若1x 满足225xx +=，2x 满足222log (1)5x x +-=，则12x x += . 解析：依题意11121252,log (52)xx x x =-=-，即12122log (52)x x =-， 令1272x t =-，代入上式得22722log (22)22log (1)t t t -=-=+-，2522l o g(1)t t ∴-=-，2t x ∴=，12127272.2x x x x ∴=-⇒+=8.已知函数()3x f x =，(2)18f a +=，()34ax x g x λ=⋅-的定义域是[0,1]. （1）求a 的值；（2）若函数()g x 在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围. 解析：（1）2318a +=，3log 2a =；（2）()24x x g x λ=⋅-，任取1201x x ≤<≤，则121212()()(22)(22)0x x x x g x g x λ-=--->恒成立，即12220x x λ--<恒成立，1222x x λ∴<+，又120022222x x +>+=，(,2].λ∴∈-∞9.已知定义域为R 的函数12()2x x b f x a+-+=+是奇函数.（1）求,a b 的值；（2）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围. 解析：（1）由(0)0,(1)(1)2, 1.f f f a b ==--⇒==（2）12111()22221x x x f x +-+==-+++，在R 上单调递减，22(2)(2)0f t t f t k -+-<即222(2)(2)(2)f t t f t k f k t -<--=-，即2222t t k t ->-即2320t t k -->对任意的t R ∈恒成立，由14120.3k k ∆=+<⇒<-10．函数()f x 的定义域为R ，并满足以下条件：①对任意x R ∈，有()0f x >；②对任意,x y R ∈，有()[()]y f xy f x =； ③1()13f >. （1）求(0)f 的值； （2）求证：()f x 在R 上是增函数； （3）若0a b c >>>，且2b ac =，求证：()()2().f a f c f b +> 解析：（1）令0,2x y ==得(0)1f =； （2）任取12x x <，设112211,33x p x p ==，则12p p <， 121211()()[()][()]033p p f x f x f f -=-<（1()13f >）；（3）0()(0)1b f b f >⇒>=，()()[()],()()[()]a cb b a cf a f b f b f c f b f b b b=⋅==⋅=，()()f a f c +>，又2a c b +>=，()()2().f a f c f b +>另解：（1）()[()]()[(1)]y x f xy f x f x f =⇒=，当0x =时，(0) 1.f = （2）3111()1,(1)(3)[()]1333f f f f >=⨯=>，()[(1)]x f x f =为增函数.（3）()()[(1)][(1)]2().a c f a f c f f f b +=+>>◆ 函数习题（三）1．已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的偶函数，若对于0x ≥，都有(2()f x f x +=），且当[0,2)x ∈时，2()log (1f x x =+），则(2008)(2009)f f -+的值为（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．22．定义在R 上的函数()f x 满足2log (1),0()(1)(2),0x x f x f x f x x -≤⎧=⎨--->⎩，则(2009)f 的值为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．23．已知定义在R 上的奇函数()f x ，满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0,2]上是增函数则( )A ．(25)(11)(80)f f f -<<B ．(80)(11)(25)f f f <<-C ．(11)(80)(25)f f f <<-D ．(25)(80)(11)f f f -<<4．函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则（ ）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 是奇函数C ．()(2)f x f x =+D ．(3)f x +是奇函数 5．函数y =的定义域为 .6．已知函数()f x 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有(1)(1)(x f x x f x+=+，则5()2f 的值是 .7．若1x 满足225xx +=，2x 满足222log (1)5x x +-=，则12x x += .8.已知函数()3x f x =，(2)18f a +=，()34ax x g x λ=⋅-的定义域是[0,1]. （1）求a 的值；（2）若函数()g x 在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围.9.已知定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数.（1）求,a b 的值；（2）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围.10．函数()f x 的定义域为R ，并满足以下条件：①对任意x R ∈，有()0f x >；②对任意,x y R ∈，有()[()]y f xy f x =； ③1()13f >. （1）求(0)f 的值； （2）求证：()f x 在R 上是增函数；（3）若0a b c >>>，且2b ac =，求证：()()2().f a f c f b +>◆ 函数习题（四）1.设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =， 则不等式()()0f x f x x --<的解集为（ ）A ．(10)(1)-+∞，，B ．(1)(01)-∞-，，C ．(1)(1)-∞-+∞，，D ．(10)(01)-，，解析：选D.2.设定义在R 上的函数()f x 满足()()213f x f x ⋅+=，若()12f =，则()99f =( ) A ．13 B ．2 C ．132 D ．213解析：选C.3.若函数(),()f x g x 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足()()x f x g x e -=，则有（ ） A ．(2)(3)(0)f f g <<B ．(0)(3)(2)g f f <<C ．(2)(0)(3)f g f <<D ．(0)(2)(3)g f f <<解析：选D.4.已知函数2()22(4)1f x mx m x =--+，()g x mx =，若对于任一实数x ，()f x 与()g x 至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(0,2)B ．(0,8)C ．(2,8)D ． (,0)-∞ 解析：选B. 5.已知11()()21x f x x a =+-，0x ≠，若()0f x >在定义域内恒成立，则a ∈ . 解析：(1)()2(1)x xx a f x a +=-，10x a +>，∴只需(1)0xx a ->，(1,).a ∴∈+∞ 6.函数212log (2)y x x =-的定义域是 ，单调递减区间是 .解析：由220x x ->得0x <或2x >，由复合函数的单调性，单调递减区间是(2,).+∞7.函数()log (1)x a f x a x =++在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ,则a = . 解析：()f x 为单调函数，(0)(1)f f a ∴+=即1log 2a a a ++=，1.2a ∴= 8.已知函数1()lg 1kx f x x -=-(0)k R k ∈>且,若函数()f x 在[10,)+∞上单调递增，求k 的取值范围. 解析：110110kx k x ->⇒>-（有定义），1()lg()1k f x k x -=+-，1y x =-递增，10k -<.任取1210x x ≤<，都有12()()f x f x <即1211011k k x x ---<--，1211(1)()011k x x --<-- 9.已知函数2()2(0)f x ax bx a =+-≠. （1）判断函数()f x 的奇偶性；（2）当0a <时，方程()f x x =的两实根12,x x 满足1212x x <<<，求证: 4ba>-. 解析：（1）当0b =时，偶；当0b ≠时，非奇非偶. （2）令2()()(1)2g x f x x ax b x =-=+--，(1)030(2)042(1)20g a b g a b >+->⎧⎧⇒⎨⎨<+--<⎩⎩， 第1式乘4加上第2式乘3-，得40a b -->，又0a <，故得证.10.已知a R ∈，函数2()21f x x ax =++，如果函数()y f x =在区间[1,1]-上有零点，求a 的取值范围.解析：（1）01a ∆=⇒=±,当1a =时，1[1,1]x =-∈-；当1a =-时，1[1,1]x =∈-. （2）()y f x =在[1,1]-上只有一个零点且不是重根，由(1)(1)0f f -<得1a >或 1.a <-（3）()y f x =在[1,1]-上有两个零点，由0(1)0(1)02112f a f a ∆>⎧⎪-≥⎪⎪⇒∈∅⎨≥⎪⎪-<-<⎪⎩.综上，(,1][1,)a ∈-∞-+∞◆ 函数习题（四）1.设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =， 则不等式()()0f x f x x --<的解集为（ ）A ．(10)(1)-+∞，，B ．(1)(01)-∞-，，C ．(1)(1)-∞-+∞，，D ．(10)(01)-，，2.设定义在R 上的函数()f x 满足()()213f x f x ⋅+=，若()12f =，则()99f =( ) A ．13 B ．2 C ．132 D ．2133.若函数(),()f x g x 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足()()x f x g x e -=，则有（ ） A ．(2)(3)(0)f f g << B ．(0)(3)(2)g f f <<C ．(2)(0)(3)f g f <<D ．(0)(2)(3)g f f <<4.已知函数2()22(4)1f x mx m x =--+，()g x mx =，若对于任一实数x ，()f x 与()g x 至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(0,2)B ．(0,8)C ．(2,8)D ． (,0)-∞5.已知11()()21x f x x a =+-，0x ≠，若()0f x >在定义域内恒成立，则a ∈ .6.函数212log (2)y x x =-的定义域是 ，单调递减区间是 .7.函数()log (1)xa f x a x =++在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ,则a = .8.已知函数1()lg 1kx f x x -=-(0)k R k ∈>且,若函数()f x 在[10,)+∞上单调递增，求k 的取值范围.9.已知函数2()2(0)f x ax bx a =+-≠. （1）判断函数()f x 的奇偶性；（2）当0a <时，方程()f x x =的两实根12,x x 满足1212x x <<<，求证: 4ba>-.10.已知a R ∈，函数2()21f x x ax =++，如果函数()y f x =在区间[1,1]-上有零点，求a 的取值范围.◆函数习题（五） 1．若函数2121y x kx =++的定义域为R ，则k 的取值范围是 .解析：280k ∆=-<，(k ∈-2．已知二次函数满足2(31)965f x x x +=-+，则()f x = . 解析：法1、设2()f x ax bx c =++（待定系数法） 法2、（换元法）令1313t t x x -=+⇒=，2()48.f t t t =-+ 3．已知2()()32f x f x x +-=+，则()f x = . 解析：用x -代x 得2()()32f x f x x -+=-+，加减消元得2()3.3f x x =+ 4．函数1(1)y x x x=+≤-的值域是 . 解析：(,2]-∞-.5．化简：（1）1020.5231(2)2(2)0.0154--+⋅-= .（2）= .解析：（1）原式111221913161()1()0.1.444215--=+⨯-=+⨯-=（2）原式231.a ===6．幂函数()y f x =的图像经过点1(2,)8--，则满足()27f x =的x 的值是 .解析：设ay x =，则1(2)8a -=-，3a =-，由327x -=得1.3x =7．设0.90.481.514,8,()2a b c -===，则 > > .解析： 1.8 1.441.52,2,2a b c ===，由2x y =为增函数可得a c b >>.8.若直线2y a =与1(01)x y a a a =->≠且的图像有两个公共点，则a ∈ . 解析：数形结合法，1021(0,).2a a <<⇒∈ 9.设3436ab ==，则21a b+= . 解析：34log 36,log 36,a b == 363636212log 3log 4log 36 1.a b+=+==10.当(1,2)x ∈时，240x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是 . 解析：法1、(1)05(2)0f m f ≤⎧⇒≤-⎨≤⎩； 法2、参数分离法4()(12)m x x x <-+<<.11.()f x 是定义在R 上的函数，若()()f a x f a x +=-，()()f b x f b x +=-，(,0)x R b a ∈>>，求证：()f x 是周期函数.证明：[2()][(2)][(2)](2)f x b a f b x b a f b x b a f a x +-=++-=-+-=-[()][()]()f a a x f a a x f x =+-=--=，又2()0b a -≠，()f x ∴是周期函数.12．已知函数1()1(0)f x x x=->. （1）当0a b <<，且()()f a f b =，求证:112a b+=； （2）是否存在实数,a b （a b <）使得函数()y f x =的定义域、值域都是[,]a b ；若存在，则求出,a b 的值；若不存在，请说明理由.解析：（1）11,1()11,01x xf x x x⎧->⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩， 01a b <<<，11 2.a b +=（2）假设存在.分情况讨论：01a b <<<，1a b <<，01a b <<<，结论不存在.◆函数习题（五） 1．若函数2121y x kx =++的定义域为R ，则k 的取值范围是 .2．已知二次函数满足2(31)965f x x x +=-+，则()f x = .3．已知2()()32f x f x x +-=+，则()f x = .4．函数1(1)y x x x=+≤-的值域是 .5．化简：（1）1020.5231(2)2(2)0.0154--+⋅-= .（2）= .6．幂函数()y f x =的图像经过点1(2,)8--，则满足()27f x =的x 的值是 .7．设0.90.481.514,8,()2a b c -===，则 > > .8.若直线2y a =与1(01)xy a a a =->≠且的图像有两个公共点，则a ∈ .9.设3436ab==，则21a b+= .10.当(1,2)x ∈时，240x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是 .11.()f x 是定义在R 上的函数，若()()f a x f a x +=-，()()f b x f b x +=-，(,0)x R b a ∈>>，求证：()f x 是周期函数.12．已知函数1()1(0)f x x x=->. （1）当0a b <<，且()()f a f b =，求证:112a b+=； （2）是否存在实数,a b （a b <）使得函数()y f x =的定义域、值域都是[,]a b ；若存在，则求出,a b 的值；若不存在，请说明理由.◆函数习题（六）1．曲线34y x x =-在点(1,3)--处的切线方程是（ D ）A ．74y x =+B ．72y x =+ C.4y x =- D.2y x =-2．已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ A ）A ．3B ．2C ．1D ．123．在函数x x y 83-=的图象上，其切线的倾斜角小于4π的点中，坐标为整数的点的个数是（ D ）A ．3B ．2C ．1D ．04．过点(1,0)-作抛物线21y x x =++的切线，则其中一条切线为（ D ）A ．220x y ++=B ．330x y -+= C.10x y ++= D.10x y -+= 5．过原点作曲线x y e =的切线，则切点的坐标为 ，切线的斜率为 . 解析：(1,),e e 6．曲线12exy =在点2(4)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ D ）A ．29e 2B ．24eC ．22eD ．2e7．函数21y ax =+的图象与直线y x =相切，则a =（ B ）A ．18 B ．41 C ．21D ．1 8．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ A ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ． 4个9．函数93)(23-++=xaxxxf，已知)(xf在3-=x时取得极值，则a=（ D ）A．2 B．3 C．4 D．510．32()32f x x x=-+在区间[]1,1-上的最大值是（ C ）A．2-B．0 C．2 D．411．已知函数3()128f x x x=-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m，则M m-=.解析：令123)('2-=xxf＝0，得：1x＝2，2x＝－2，)3(-f＝17，f（3）＝－1，f （－2）＝24，f（2）＝－8，所以，M－m＝24－（－8）＝32.12．设函数()f x是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线()y f x=在5x=处的切线的斜率为（）A．15-B．0C．15D．5解析：()f x是R可导偶函数，()f x的图象关于y轴对称，所以()f x在x=0处取得极值，即0)0('=f，又()f x的周期为5，所以0)5('=f，即曲线()y f x=在5x=处的切线的斜率0，选B.13．已知函数()y xf x'=的图象如右图所示（其中()f x'函数)，下面四个图象中()y f x=的图象大致是（ C ）14．对于R上可导的任意函数()f x，若满足(1)()0x f x'-≥，则必有（）A．(0)(2)2(1)f f f+< B．(0)(2)2(1)f f f+≤C. (0)(2)2(1)f f f+≥ D. (0)(2)2(1)f f f+>解析：当1x ≥时，()0f x '≥，()f x 在(1,)+∞上是增函数；当1x <时，()0f x '≤，()f x 在(,1)-∞上是减函数，故()f x 当1x =时取最小值，即(0)(1),(2)(1)f f f f ≥≥，选C. 15．()f x 是定义在(0,)+∞上的非负可导函数，且满足()()0xf x f x '-≤，对任意正数a 、b ，若a b <，则必有（ ）A ．()()af b bf a ≤B ．()()bf a af b ≤C ．()()af a f b ≤D ．()()bf b f a ≤解析： 设()()f x F x x =，则2()()()0xf x f x F x x '-'=≤，故()()f x F x x =为减函数， 由a ＜b 有)()()()(a bf b af bb f a a f ≤⇒≥，选A.16．设函数32()()f x x bx cx x R =++∈，已知()()()g x f x f x '=-是奇函数.（1）求b 、c 的值； （2）求()g x 的单调区间与极值.解析：（1）∵32()f x x bx cx =++，∴2()32f x x bx c '=++.从而322()()()(32)g x f x f x x bx cx x bx c '=-=++-++＝32(3)(2)x b x c b x c +-+--是一个奇函数，所以(0)0g =得0c =，由奇函数定义得3b =；（2）由（1）知3()6g x xx =-，从而2()36g x x '=-，由此可知，(,-∞和)+∞是函数()g x 是单调递增区间；(是函数()g x 是单调递减区间；()g x 在x =时，取得极大值，极大值为()g x 在x =-.17．设函数32()f x x ax bx c =+++在1x =处取得极值2-，试用c 表示a 和b ，并求()f x 的单调区间.解：'(1)2,(1)0,f f =-='2(1)32,f x ax b =++故12320a b c a b +++=-⎧⎨++=⎩ 得23a cb c =⎧⎨=--⎩从而'2()32(23)(323)(1)f x x cx c x c x =+-+=++-.令'()0f x =，得1x =或233c x +=-.由于()f x 在1x =处取得极值，故2313c +-≠，即3c ≠-. （1） 若2313c +->，即3c <-，则当23,3c x +⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，'()0f x >； 当23,13c x +⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，'()0f x <；当(1,)x ∈+∞时，'()0f x >；从而()f x 的单调增区间为)23,,1,3c ⎛+⎤-∞-+∞⎡ ⎣⎥⎦⎝；单调减区间为23,13c +⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2） 若2313c +->，即3c <-，同上可得， ()f x 的单调增区间为]23,1,,3c ⎛⎡+⎫-∞-+∞ ⎪⎢⎭⎣⎝；单调减区间为231,3c +⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 18．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y （升）关于行驶速度x （千米/小时）的函数解析式可以表示为：3138(0120)12800080y x x x =-+<≤.已知甲、乙两地相距100千米.（1）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 解析：（1）当40x =时，汽车从甲地到乙地行驶了1002.540=小时，要耗油313(40408) 2.517.512800080⨯-⨯+⨯=（升）.答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升.（2）当速度为x 千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x小时，设耗油量为()h x 升， 依题意得3213100180015()(8).(0120),1280008012804h x x x x x x x =-+=+-<≤ 332280080'()(0120).640640x x h x x x x -=-=<≤令'()0,h x =得80.x =当(0,80)x ∈时，'()0,()h x h x <是减函数； 当(80,120)x ∈时，'()0,()h x h x >是增函数. ∴当80x =时，()h x 取到极小值(80)11.25.h =因为()h x 在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值.答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升.19．已知函数32()f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值. （1）求a 、b 的值与函数()f x 的单调区间；（2）若对[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围.解析：（1）322(),()32f x x ax bx c f x x ax b '=+++=++，由2124()0,(1)320393f a b f a b ''-=-+==++=得1, 2.2a b =-=- 2()32(32)(1)f x x x x x '=--=+-，函数()f x 的单调区间如下表：所以函数()f x 的递增区间是(,)3-∞-与(1,)+∞，递减区间是(,1)3-. （2）321()2,[1,2]2f x x x x c x =--+∈-，当23x =-时，22()27f x c =+为极大值，而(2)2f c =+，则(2)2f c =+为最大值.要使2()([1,2])f x c x <∈-恒成立，只需2(2)2c f c >=+，解得1c <-或2c >.20．设a 为实数，函数322()(1)f x x ax a x =-+-在(,0)-∞和(1,)+∞都是增函数，求a 的取值范围.解析:22()32(1)f x x ax a '=-+-，其判别式22241212128a a a ∆=-+=-.(ⅰ)若21280a ∆=-=即2a =±，当(,)3a x ∈-∞或(,)3a x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在(,)-∞+∞为增函数.所以a =. (ⅱ)若21280a ∆=-<，恒有()0f x '> ，()f x 在(,)-∞+∞为增函数,所以232a >，即6(,(,)a ∈-∞+∞(ⅲ)若21280a ∆=->即a <<()0f x '=，解得1233a a x x ==当1(,)x x ∈-∞或2(,)x x ∈+∞时,()0f x '>,()f x 为增函数;当12(,)x x x ∈时,()0f x '<, ()f x 为减函数.依题意10x ≥且21x ≤.由10x ≥得a ,解得1≤a <62由21x ≤得3a -,解得a <<a ∈[1,62)。

高考函数与导数,不等式综合题库2

高考函数与导数,不等式综合题库2

30 已知函数2()(1),()(1)f x x g x k x =-=-，函数()()f x g x -其中一个零点为5，数列{}n a 满足12ka =，且1()()()0n n n n a a g a f a +-+=． （1）求数列{}n a 通项公式； （2）试证明11nii an =≥+∑；解：函数()()f x g x -有一个零点为5，即方程2(1)(1)0x k x ---=，有一个根为5，将5x =代入方程得1640k -=，∴4k =，∴12a =由1()()()0n n n n a a g a f a +-+=得214()(1)(1)0n n n n a a a a +--+-=1(1)(441)0n n n n a a a a +--+-=∴10n a -=或14410n n n a a a +-+-= 由（1）知12a =，∴10n a -=不合舍去 由14410n n n a a a +-+-=得1431n n a a +=+方法1：由1431n n a a +=+得131(1)4n n a a +-=- ∴数列{1}n a -是首项为111a -=，公比为34的等比数列∴131()4n n a --=，∴13()14n n a -=+（2）13()14n n a -=+∴2113331()()444nn i i a n -==+++++∑L ＝3[1()]344[1()]3414n n n n -+=-+- ∵对,n N *∀∈有33()44n ≤，∴3311()1444n -≥-=∴34[1()]14nn n -+≥+，即11ni i a n =≥+∑31．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，22)(x x f =． (Ⅰ) 求0<x 时，()f x 的表达式；(Ⅱ) 令x x g ln )(=，问是否存在0x ，使得)(),(x g x f 在x = x 0处的切线互相平行？若存在，请求出0x 值；若不存在，请说明理由． 【解】(Ⅰ) 当0<x 时，0>-x ，222)(2)()(x x x f x f -=--=--=; (Ⅱ)若)(),(x g x f 在0x 处的切线互相平行，则)(')('00x g x f =,xx g x x f 1)('4)('000===，解得, 210±=x∵x > 0 , 得．210=x32．已知,a R ∈函数)()(2a x x x f -=． （Ⅰ）当a =3时，求f （x ）的零点；（Ⅱ）求函数y ＝f (x )在区间 [ 1,2 ] 上的最小值． 【解】(Ⅰ) 由题意)3()(2-=x x x f ,由0)(=x f ，解得0=x 或3=x ; (Ⅱ) 设此最小值为m ，而),2,1(),32(323)(2/∈-=-=x a x x ax x x f （1）当0≤a 时，),2,1(,0)(/∈>x x f则)(x f 是区间[1,2]上的增函数, 所以a f m -==1)1(; （2）当0>a 时，在320a x x ><或时，；a x f x f 上是增函数在区间从而),32[)(,0)(/+∞> 在320a x <<时，；a x f x f 上是单减函数在区间从而]32,0[)(,0)(/<① 当232≥a ，即3≥a 时，a f m 48)2(-==;② 当2321<≤a ，即323<≤a 时，.274)32(3a a f m -== ③ 当230<<a 时，a f m -==1)1(.综上所述，所求函数的最小值⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-<<-≤-=)3(),2(4)323(,274)23(,13a a a a a a m .33 已知函数()21ln 2f x x a x =- (a ∈R) （Ⅰ）若函数f(x)的图象在x=2处的切线方程为y x b =+，求a ，b 的值； （Ⅱ）若函数f(x)在(1，+∞)为增函数，求a 的取值范围． 【解】 (1)因为：f'(x)=x-xa(x>0)，又f(x)在x=2处的切线方程为y=x+b 所以⎩⎨⎧+=-=-，b aIn a 222122解得：a=2， b=-2In2(2)若函数f(x)在(1，+∞)上恒成立．则f'(x)=x-xa≥0在(1，+∞)上恒成立 即：a ≤x 2在(1，+∞)上恒成立。

多项式函数的导数复习

多项式函数的导数复习

商的导数法则
总结词
商的导数法则用于计算两个函数相除后 的导数。
VS
详细描述
商的导数法则是基于乘积法则的推导，适 用于两个函数相除的情况。如果 $u(x)$ 和 $v(x)$ 的导数分别为 $u'(x)$ 和 $v'(x)$， 则 $frac{u}{v}$ 的导数为 $frac{u'v uv'}{v^2}$。
多项式函数的导数复习
• 导数的定义与性质 • 多项式函数的导数 • 导数的运算规则 • 导数在解决实际问题中的应用 • 复习与巩固
01
导数的定义与性质
导数的定义
总结词
导数描述了函数值随自变量变化的速 率。
详细描述
导数是函数在某一点处的切线斜率， 表示函数值随自变量变化的速率。对 于多项式函数，导数可以由函数的系 数和变量的指数计算得出。
要点一
总结词
导数为零的点可能是函数的极值点，通过求导并令导数为 零，可以找到极值点。
要点二
详细描述
在极值点处，函数的增减性发生改变。通过求二阶导数， 可以判断极值是极大值还是极小值。这一方法在解决实际 问题中非常有用，例如在物理学中的速度、加速度等物理 量的变化点分析。
利用导数解决最优化问题
总结词
导数的计算方法
链式法则
对于复合函数 $f(g(x))$，其导数为 $(f circ g)'(x) = f'(g(x)) cdot g'(x)$。
乘积法则
对于两个函数的乘积，其导数为 $(uv)' = u'v + uv'$。
商的导数法则
对于两个函数的商，其导数为 $frac{u'v uv'}{v^2}$。

函数与导数复习建议

函数与导数复习建议

函数与导数复习建议在进行函数与导数的复习时，可以参考以下几个建议：1.温故而知新：在开始复习前，先回顾一下函数与导数的基本概念和性质。

确保对函数、导数、导函数以及各种常见函数的性质有清晰的理解。

可以查看教材中的相关章节，并做一些简单的练习题来熟悉基本的计算方法。

2.多做题目：函数与导数是数学中的一个重要知识点，需要通过大量的练习来掌握。

可以从简单的题目开始，逐渐增加难度。

可以选择一些经典的习题集或者试卷进行练习，同时要注意重点题型的训练。

3.注意掌握基本的求导法则：在复习导数的过程中，要熟悉各种常见函数的导数公式，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

要牢记导数的基本法则，如加减法法则、乘法法则、链式法则等。

并能熟练地运用这些法则解决相关的计算问题。

4.研究典型的题型：根据以往的考试经验，分析常见题型的解题思路与方法。

例如，求函数的极限、函数的最值、函数的单调性与凸凹性、函数的图像与一阶导数、高阶导数的意义等。

通过理解典型题目的解题思路，可以更好地掌握函数与导数的相关知识。

5.掌握函数与导数的应用：函数与导数的应用十分广泛，如求函数的极值、最大值与最小值、解函数的方程、曲线的切线与法线、曲线的凹凸性与拐点、极大极小值的判定等。

要通过大量的练习，熟悉这些应用题型的解题思路，提高解题的准确性与效率。

6.注重理论与实践的结合：函数与导数的学习需要理论与实践相结合。

在做题的过程中，要注重理解问题背后的理论原理，并能够将理论知识应用到解题过程中。

同时，对于一些具体的函数例题，可以尝试使用数学软件进行绘制图像，进一步加深对函数与导数的理解与认识。

9.合理安排时间：复习函数与导数需要时间和精力，要制定一个合理的学习计划，并按照计划有序地进行学习。

要保证每天都有一定的复习时间，并将难题留到有足够时间思考和解决。

10.解析错题，加强巩固：在做习题时，如果遇到了解答困难的题目，要仔细分析错题的原因，并及时解决疑惑。

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函数、导数及其应用1．映射：注意: ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一或多对一. 2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ；⑤换元法 ； ⑥利用均值不等式2222b a b a ab +≤+≤； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（x a 、x sin 、x cos 等）；⑨平方法；⑩ 导数法3．复合函数的有关问题: （1）复合函数定义域求法： ① 若f(x)的定义域为［a ，b ］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a ≤ g(x) ≤ b 解出② 若f[g(x)]的定义域为[a ,b],求 f(x)的定义域，相当于x ∈[a ,b]时，求g(x)的值域.（2）复合函数单调性的判定：①首先将原函数)]([x g f y =分解为基本函数：内函数)(x g u =与外函数)(u f y =②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性. 4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。

5．函数的奇偶性:⑪函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．．．． ⑫)(x f 是奇函数)()(x f x f -=-⇔；)(x f 是偶函数)()(x f x f =-⇔. ⑬奇函数)(x f 在0处有定义，则0)0(=f⑭在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性⑮若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性 6．函数的单调性: ⑪单调性的定义：①)(x f 在区间M 上是增函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时有12()()f x f x <； ②)(x f 在区间M 上是减函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时有12()()f x f x >； ⑫单调性的判定：①定义法：一般要将式子)()(21x f x f -化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；②导数法（见导数部分）；③复合函数法；④图像法 注：证明单调性主要用定义法和导数法。

7．函数的周期性：(1)周期性的定义：对定义域内的任意x ，若有)()(x f T x f =+ （其中T 为非零常数），则称函数)(x f 为周期函数，T 为它的一个周期。

所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。

如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。

（2）三角函数的周期：①π2:sin ==T x y ；②π2:cos ==T x y ；③π==T x y :tan ；④||2:)cos(),sin(ωπϕωϕω=+=+=T x A y x A y ；⑤||:tan ωπω==T x y (3)与周期有关的结论：)()(a x f a x f -=+或)0)(()2(>=-a x f a x f ⇒)(x f 的周期为a 28．基本初等函数的图像与性质：㈠.⑪指数函数：)1,0(≠>=a a a y x ；⑫对数函数:)1,0(log ≠>=a a x y a ； ⑬幂函数：αx y = （)R ∈α ；⑭正弦函数:x y sin =；⑮余弦函数：x y cos = ； （6）正切函数：x y tan =；⑺一元二次函数：02=++c bx ax （a≠0）；⑻其它常用函数：① 正比例函数：)0(≠=k kx y ；②反比例函数：)0(≠=k xky ；③函数)0(>+=a xax y ㈡.⑪分数指数幂：m na =1m nm naa-=（以上0,,a m n N *>∈，且1n >）.⑫.①b N N a a b =⇔=log ； ②()N M MN a a a log log log +=； ③N M N M a a alog log log -=； ④log log m n a a nb b m=. ⑬.对数的换底公式:log log log m a m NN a=.对数恒等式:log a N a N =.9．二次函数：⑪解析式：①一般式：c bx ax x f ++=2)(；②顶点式：k h x a x f +-=2)()(，),(k h 为顶点； ③零点式：))(()(21x x x x a x f --= （a≠0）.⑫二次函数问题解决需考虑的因素：①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。

二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴方程是abx 2-=，顶点坐标是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 4422，。

10．函数图象：⑪图象作法 ：①描点法 （特别注意三角函数的五点作图）②图象变换法 ③导数法⑫图象变换：① 平移变换：ⅰ))()(a x f y x f y ±=→=，)0(>a ———左“+”右“－”； ⅱ))0(,)()(>±=→=k k x f y x f y ———上“+”下“－”；② 对称变换：ⅰ))(x f y =−−→−)0,0()(x f y --=；ⅱ))(x f y =−→−=0y )(x f y -=；ⅲ) )(x f y =−→−=0x )(x f y -=； ⅳ))(x f y =−−→−=xy ()x f y =； ③ 翻折变换：ⅰ)|)(|)(x f y x f y =→=———（去左翻右）y 轴右不动，右向左翻（)(x f 在y 左侧图象去掉）；ⅱ)|)(|)(x f y x f y =→=———（留上翻下）x 轴上不动，下向上翻（|)(x f |在x 下面无图象）；11．函数图象（曲线）对称性的证明：(1)证明函数)(x f y =图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；（2）证明函数)(x f y =与)(x g y =图象的对称性，即证明)(x f y =图象上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点在)(x g y =的图象上，反之亦然。

注：①曲线C 1:f(x,y)=0关于原点（0,0）的对称曲线C 2方程为：f(－x,－y)=0;曲线C 1:f(x,y)=0关于直线x=0的对称曲线C 2方程为：f(－x, y)=0; 曲线C 1:f(x,y)=0关于直线y=0的对称曲线C 2方程为：f(x, －y)=0; 曲线C 1:f(x,y)=0关于直线y=x 的对称曲线C 2方程为：f(y, x)=0②f(a +x)=f(b －x) （x ∈R ）⇔y=f(x)图像关于直线x=2ba +对称；特别地：f(a +x)=f(a －x) （x ∈R ）⇔y=f(x)图像关于直线x=a 对称. ③()y f x =的图象关于点(,)a b 对称⇔()()b x a f x a f 2=-++.特别地：()y f x =的图象关于点(,0)a 对称⇔()()x a f x a f --=+. ④函数()y f x a =-与函数()y f a x =-的图象关于直线x a =对称; 函数)(x a f y +=与函数()y f a x =-的图象关于直线0=x 对称。

12．函数零点的求法：⑪直接法（求0)(=x f 的根）；⑫图象法；⑬二分法.(4)零点定理：若y=f(x)在[a ,b]上满足f(a)·f(b)<0 , 则y=f(x)在（a ,b)内至少有一个零点。

13．导数：⑪导数定义：f(x)在点x 0处的导数记作xx f x x f x f y x x x ∆-∆+='='→∆=)()(lim)(00000⑫常见函数的导数公式: ①'C 0=；②1')(-=n n nx x ；③x x cos )(sin '=；④x x sin )(cos '-=；⑤a a a x x ln )('=；⑥x x e e =')(；⑦ax x a ln 1)(log '=；⑧xx 1)(ln '=。

⑬导数的四则运算法则：;)(;)(;)(2vv u v u vu v u v u uv v u v u '-'=''+'=''±'='± ⑭（理科）复合函数的导数：;x u x u y y '⋅'=' ⑮导数的应用：①利用导数求切线：注意：ⅰ)所给点是切点吗？ⅱ)所求的是“在”还是“过”该点的切线？②利用导数判断函数单调性：i ）)(0)(x f x f ⇒>'是增函数；ii ）)(0)(x f x f ⇒<'为减函数；iii ）)(0)(x f x f ⇒≡'为常数；③利用导数求极值：ⅰ）求导数)(x f '；ⅱ）求方程0)(='x f 的根；ⅲ）列表得极值。

④ 利用导数求最大值与最小值：ⅰ）求极值；ⅱ）求区间端点值（如果有）；ⅲ）比较得最值。

函数【基础练习】1．设有函数组：①y x =，y =y x =，y =；③y =y=；④1(0),1(0),x y x >⎧=⎨-<⎩，x y x =；⑤lg 1y x =-，lg 10xy =．其中表示同一个函数的有___②④⑤___．2.设()f x 的定义域为[]3,5-,则(21)f x -的定义域为____________.3. 函数)34(l o g 25.0x x y -=的定义域为_____________________．值域为____________.单调递增区间为__________________.4．若()2x x e e f x --=，()2x xe e g x -+=，则(2)f x =（ D ）A ． 2()f xB ．2[()()]f x g x +C ．2()g xD ． 2[()()]f x g x ⋅ 5. 已知函数f (x )和g (x )的图象关于原点对称，且f (x )＝x 2＋2x ．则函数g (x )的解析式为_______.6.在R 上定义的函数()x f 是偶函数，且()()x f x f -=2，若()x f 在区间[]2,1是减函数，则函数()x f （ B ）A.在区间[]1,2--上是增函数，区间[]4,3上是增函数B.在区间[]1,2--上是增函数，区间[]4,3上是减函数C.在区间[]1,2--上是减函数，区间[]4,3上是增函数D.在区间[]1,2--上是减函数，区间[]4,3上是减函数 6. 已知函数1()41xf x a =++是奇函数，则实数a 的取值12-． 7．函数log (3)1(0,1)a y x a a =+->≠的图象恒过定点A ，则定点A 的坐标是(2,1)--． 【范例解析】【例1】设)(x f 是定义在R 上的偶函数，在区间（－∞，0）上单调递增，且满足22(25)(21)f a a f a a -+-<++, 求实数a 的取值范围. 解：∵)(x f 为R 上的偶函数,087)41(212 ,04)1(52),12()52(),52()]52([)52(222222222>++=++>+-=+-++<+-∴+-=-+--=-+-∴a a a a a a a a f a a f a a f a a f a a f 而不等式等价于∵)(x f 在区间)0,(-∞上单调递增，而偶函数图象关于y 轴对称，∴)(x f 在区间（0，+∞）上单调递减，,140431252)12()52(22222<<-⇒<-+⇒++>+-++<+-∴a a a a a a a a a f a a f 得由∴实数a 的取值范围是（－4，1）.【例2】 定义在R 上的函数y =f (x )，f (0)≠0，当x >0时，f (x )>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f (a +b )=f (a )f (b )， （1） 求证：f (0)=1；（2） 求证：对任意的x ∈R ，恒有f (x )>0； （3）证明：f (x )是R 上的增函数； （4）若f (x )·f (2x-x 2)>1，求x 的取值范围。

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