人教A版高中数学选修2-1同步检测第2章2.1-2.1.1曲线与方程

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人教版高中数学选修2-1同步练习：2.1 曲线与方程

2.1曲线与方程2.1.1曲线与方程2.1.2求曲线的方程题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 得分答案一、选择题(本大题共7小题,每小题5分,共35分)1.已知曲线C1,C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则“f1(x0,y0)=f2(x0,y0)”是“点M(x0,y0)是曲线C1与C2的交点”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.方程|y|-1=表示的曲线是()A. 两个半圆B. 两个圆C. 抛物线D. 一个圆3.方程x2-xy+2y+1=0表示的曲线经过点A(1,-2),B(2,-3),C(3,10),D中的()A.1个B.2个C.3个D.4个4.方程(x+y-1)=0所表示的曲线是()图L2-1-15.若平面内动点P到两点A,B的距离之比为常数λ(λ>0,λ≠1),则动点P的轨迹叫作阿波罗尼斯圆.已知A(-2,0),B(2,0),λ=,则此阿波罗尼斯圆的方程为()A. x2+y2-12x+4=0B. x2+y2+12x+4=0C. x2+y2-x+4=0D. x2+y2+x+4=06.已知动点P在曲线2y2-x=0上移动,则点A(-2,0)与点P连线的中点的轨迹方程是()A. y=2x2B. y=8x2C. x=4y2-1D. y=4x2-7.在平面直角坐标系中,动点P(x,y)到两坐标轴的距离之和等于它到点(1,1)的距离,记点P的轨迹为曲线W,则有下列命题:①曲线W关于原点对称;②曲线W关于x轴对称;③曲线W关于y轴对称;④曲线W关于直线y=x对称.其中真命题的个数是()A.1B.2C.3D.4二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)8.方程|x-1|+|y-1|=1表示的曲线所围成的图形的面积是 .9.给出下列说法:①方程=1表示斜率为1,在y轴上的截距为-2的直线;②到x轴距离为2的点的轨迹方程为y=-2;③方程(x2-4)2+(y2-4)2=0表示四个点.其中正确说法的序号是 .10.已知两点M(-2,0),N(2,0),点P满足·=12,则点P的轨迹方程为 .11.若点A(1,1),B(2,m)都在方程ax2+xy-2=0表示的曲线上,则m= .三、解答题(本大题共2小题,共25分)12.(12分)已知△ABC的两个顶点坐标为A(-2,0),B(0,-2),点C在曲线y=3x2-1上移动,求△ABC的重心的轨迹方程.注:设△ABC的顶点为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则△ABC的重心为G,13.(13分)过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1,l2,若l1交x轴于A点,l2交y轴于B点,求线段AB的中点M的轨迹方程.14.(5分)若直线y=x+b与曲线y=3-有两个不同的公共点,则实数b的取值范围是 .15.(15分)已知在平面直角坐标系中,动点M到定点F(-,0)的距离与它到定直线l:x=-的距离之比为常数.(1)求动点M的轨迹Γ的方程;(2)设点A,若P是(1)中轨迹Γ上的动点,求线段PA的中点B的轨迹方程.2.1曲线与方程2.1.1曲线与方程2.1.2求曲线的方程1.B[解析] 设C1的方程为x+y+1=0,C2的方程为2x+2y-1=0,当x=1,y=1时,满足1+1+1=2+2-1,但是点(1,1)并不是两曲线交点,所以由“f1(x0,y0)=f2(x0,y0)”推不出“点M(x0,y0)是曲线C1与C2的交点”,反之成立,所以“f1(x0,y0)=f2(x0,y0)”是“点M(x0,y0)是曲线C1与C2的交点”的必要不充分条件,故选B.2.A[解析] 当y≥1时,原式可化为(x-1)2+(y-1)2=1,当y≤-1时,原式可化为(x-1)2+(y+1)2=1,∴方程|y|-1=表示的曲线为两个半圆.故选A.3.C[解析] 把(1,-2)代入方程x2-xy+2y+1=0,可得1+2-4+1=0,满足方程,所以点A在曲线上.把(2,-3)代入方程x2-xy+2y+1=0,可得4+6-6+1≠0,不满足方程,所以点B不在曲线上.把(3,10)代入方程x2-xy+2y+1=0,可得9-30+20+1=0,满足方程,所以点C在曲线上.把0,-代入方程x2-xy+2y+1=0,可得0-0-1+1=0,满足方程,所以点D在曲线上.故选C.4.D[解析] 原方程等价于或x2+y2=4,其中表示直线x+y-1=0上不在圆x2+y2=4内的部分.故选D.5.D[解析] 依题意,设P(x,y),∵=,∴=,整理得x2+y2+x+4=0.故选D.6.C[解析] 设点A(-2,0)与点P的连线的中点坐标为(x,y),则由中点坐标公式可得P(2x+2,2y),∵动点P 在曲线2y2-x=0上移动,∴2×(2y)2-(2x+2)=0,即x=4y2-1.故选C.7.A[解析] 曲线W的轨迹方程为|x|+|y|=,两边平方得2|xy|=-2x-2y+2,即|xy|+x+y=1.①若xy>0,则xy+x+y+1=2,即(x+1)(y+1)=2,∴y=-1,函数的图像是以(-1,-1)为中心的双曲线的一部分.②若xy<0,则xy-x-y+1=0,即(x-1)(y-1)=0,∴x=1(y<0)或y=1(x<0).作出图像如图所示,∴曲线W关于直线y=x对称.故选A.8.2[解析] 方程|x-1|+|y-1|=1可写成或或或图形如图所示,它是边长为的正方形,其面积为2.9.③[解析] 对于①,方程=1表示斜率为1,在y轴上的截距为-2的直线(除掉点(2,0)),所以①错误;对于②,到x轴距离为2的点的轨迹方程为y=-2或y=2,所以②错误;对于③,方程(x2-4)2+(y2-4)2=0表示点(-2,2),(-2,-2),(2,-2),(2,2)四个点,所以③正确.10.x2+y2=16[解析] 设P(x,y),则=(-2-x,-y),=(2-x,-y),于是·=(-2-x)(2-x)+y2=12,化简得x2+y2=16,即点P的轨迹方程为x2+y2=16.11.-1[解析] ∵A(1,1),B(2,m)都在方程ax2+xy-2=0表示的曲线上,∴∴12.解:设C(x1,y1),重心G(x,y),由重心坐标公式得3x=-2+0+x1,3y=0-2+y1,则x1=3x+2,y1=3y+2.∵C(x1,y1)在曲线y=3x2-1上移动,∴3y+2=3(3x+2)2-1.整理得y=9x2+12x+3.故△ABC的重心的轨迹方程为y=9x2+12x+3.13.解:如图所示,设点A(a,0),B(0,b),M(x,y).因为M为线段AB的中点,所以a=2x,b=2y,即A(2x,0),B(0,2y).当2x≠2,即x≠1时,因为l1⊥l2,所以k AP·k PB=-1.而k AP=(x≠1),k PB=,所以·=-1(x≠1),整理得,x+2y-5=0(x≠1).因为当x=1时,A,B的坐标分别为(2,0),(0,4),所以线段AB的中点坐标是(1,2),它满足方程x+2y-5=0.综上所述,点M的轨迹方程是x+2y-5=0.14.1-2<b≤-1[解析] 曲线方程变形为(x-2)2+(y-3)2=4(y≤3),表示圆心为A(2,3),半径为2的下半圆,根据题意画出图形,如图所示.当直线y=x+b过B(4,3)时,直线与曲线有两个公共点,将B点坐标代入直线方程得3=4+b,即b=-1.当直线y=x+b与半圆相切时,圆心A到直线的距离d=r,即=2,解得b=1-2(舍去正值).故直线与曲线有两个公共点时,b的取值范围为1-2<b≤-1.15.解:(1)设动点M(x,y),由已知可得=,即x2+2x+3+y2=,化简得+y2=1,即所求动点M的轨迹Γ的方程为+y2=1.(2)设点B(x,y),点P(x0,y0),由得由点P在轨迹Γ上,得+=1,整理得+4=1,∴线段PA的中点B的轨迹方程是+4=1.。

人教A版高中数学选修2-1习题：2.1曲线与方程

解设 A(x,y)为轨迹上任一点,
那么
,
整理,得(x-1)2+(y-1)2=29.
因为点 A 不在直线 BC 上,虽然点 C(3,6)及点 C 关于点 B 的对称点 C'(-1,-4)的坐标是这个方
程的解,但不在已知曲线上,
所以所求轨迹方程为(x-1)2+(y-1)2=29(去掉(3,6)和(-1,-4)两个点).
所以
,[来源:Z|xx|]
从而有由 N(x+3,y-4)在圆上,得(x+3)2+(y-4)2=4. 因此所求点 P 的轨迹方程为(x+3)2+(y-4)2=4,
但应除去两点:
.
同时以-x 代替 x,-y 代替 y,方程化为(-y)2-(-x)(-y)+2(-x)=0,即 y2-xy-2x=0,所以曲线 C 不关于原
点对称.
B组
1.方程 x2+y2=1(xy<0)的曲线形状是( )
解析：由 xy<0 知,曲线在第二、四象限,故选 C. 答案：C 2.设方程 f(x,y)=0 的解集非空,若命题“坐标满足方程 f(x,y)=0 的点都在曲线 C 上”是不正确的,则下面命题中正确的是( ) A.坐标满足 f(x,y)=0 的点都不在曲线 C 上 B.曲线 C 上的点的坐标不满足 f(x,y)=0 C.坐标满足 f(x,y)=0 的点有些在曲线 C 上,有些不在曲线 C 上 D.一定有不在曲线 C 上的点,其坐标满足 f(x,y)=0 解析：“坐标满足方程 f(x,y)=0 的点都在曲线 C 上”不正确,就是说“坐标满足方程 f(x,y)=0 的点不都在曲线 C 上”是正确的.这意味着一定有这样的点(x0,y0),虽然满足方程 f(x,y)=0,但(x0,y0)∉C. 即一定有不在曲线 C 上的点,其坐标满足 f(x,y)=0,故应选 D. 答案：D[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

2021人教版高中数学同步a版选修2-1(理科必考)模块练习题--2.1.1 曲线与方程

第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程*2.1.1 曲线与方程2.1.2 求曲线的方程基础过关练题组一曲线与方程的概念1.已知曲线C的方程为x3+x+y-1=0,则下列各点中在曲线C上的点是( )A.(0,0)B.(-1,3)C.(1,1)D.(-1,1)2.(2018天津耀华中学高二上学期月考)直线x-y=0与曲线xy=1的交点坐标是( )A.(1,1)B.(-1,-1)C.(1,1),(-1,-1)D.(0,0)3.已知0≤α<2π,点P(cos α,sin α)在曲线(x-2)2+y2=3上,则α的值为( )A.π3 B.5π3C.π3或5π3D.π3或π64.“点M在曲线y2=4x上”是“点M的坐标满足方程y=-2√x”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件题组二方程的曲线5.方程4x 2-y 2+6x-3y=0表示的图形是( ) A.直线2x-y=0 B.直线2x+y+3=0C.直线2x-y=0和直线2x+y+3=0D.直线2x+y=0和直线2x-y+3=06.下列四个选项中,方程与曲线相符合的是( )7.方程|x|+|y|=1表示的曲线所围成图形的面积为 .题组三求曲线的方程8.设A 为圆(x-1)2+y 2=1上的动点,PA 是圆的切线,且|PA|=1,则点P 的轨迹方程是( )A.(x-1)2+y 2=2B.(x-1)2+y 2=4C.y 2=2xD.y 2=-2x9.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,点A(1,0),B(2,2).若点C 满足OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +t(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ),其中t∈R ,则点C 的轨迹方程为 .10.(2018湖南岳阳一中高二上学期期末)已知M 为直线l:2x-y+3=0上的一动点,A(4,2)为一定点,点P 在直线AM 上运动,且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,求动点P 的轨迹方程.11.已知△ABC 中,AB=2,AC=√2BC. (1)求点C 的轨迹方程; (2)求△ABC 的面积的最大值.能力提升练一、选择题1.(2018海南海口一中高二上学期月考,★★☆)方程xy 2+x 2y=1所表示的曲线( )A.关于x 轴对称B.关于y 轴对称C.关于原点中心对称D.关于直线y=x 对称 2.(2020鄂东南九校高二期中联考,★★☆)方程(3x-y+1)(y-√1-x 2)=0表示的曲线为( ) A.一条线段和半个圆 B.一条线段和一个圆 C.一条直线和半个圆 D.两条线段3.(2020北京朝阳高三期末,★★☆)笛卡儿、牛顿都研究过方程(x-1)(x-2)(x-3)=xy,关于这个方程的曲线有下列说法:①该曲线关于y 轴对称;②该曲线关于原点对称;③该曲线不经过第三象限;④该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数.其中正确的是( ) A.②③ B.①④ C.③ D.③④4.(2019江西南昌高三开学摸底考试,★★☆)在平面直角坐标系xOy 中,已知M(-1,2),N(1,0),动点P 满足|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,则动点P 的轨迹方程是( )A.y 2=4xB.x 2=4yC.y 2=-4xD.x 2=-4y5.(★★☆)方程x 2+y 2=1(xy<0)表示的曲线形状是( )6.(2018吉林长春五县期末,★★★)已知定点M(-3,0),N(2,0),若动点P满足|PM|=2|PN|,则点P的轨迹所包围的图形的面积等于( )A.100π9 B.142π9C.10π3D.9π二、填空题7.(2020贵州贵阳高二期末,★★☆)以古希腊数学家阿波罗尼斯命名的阿波罗尼斯圆,是指到两定点的距离之比为常数λ(λ>0,λ≠1)的动点M的轨迹.已知A(-2,0),B(2,0),动点M满足|MA||MB|=√2,此时阿波罗尼斯圆的方程为.8.(2020北京房山高二期末,★★☆)已知曲线W的方程为|y|+x2-5x=0.①请写出曲线W的一条对称轴方程: ;②曲线W上的点的横坐标的取值范围是.三、解答题9.(2019贵州铜仁一中高二入学考试,★★☆)已知动点M到点A(-1,0)与点B(2,0)的距离之比为2∶1,记动点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)过点P(5,-4)作曲线C的切线,求切线方程.10.(2019上海七宝中学高二期末,★★★)在平面直角坐标系xOy中,曲线Γ:x2+y2=1(y≥0).(1)如图1,点B为曲线Γ上的动点,点A(2,0),求线段AB的中点的轨迹方程;(2)如图2,点B为曲线Γ上的动点,点A(2,0),将△OAB绕点A顺时针旋转90°得到△DAC,求线段OC长度的最大值.答案全解全析基础过关练1.B 点P(x 0,y 0)在曲线f(x,y)=0上⇔f(x 0,y 0)=0.经验证知点(-1,3)在曲线C 上.2.C 由{x -y =0,xy =1,得{x =1,y =1或{x =-1,y =-1.故选C.3.C 将点P 的坐标代入方程(x-2)2+y 2=3,得(cos α-2)2+sin 2α=3,解得cos α=12.又0≤α<2π,所以α=π3或5π3.4.B 设M(x 0,y 0),由点M 的坐标满足方程y=-2√x ,得y 0=-2√x 0,∴y 02=4x 0,∴点M 在曲线y 2=4x 上.反之不成立,故选B.5.C ∵4x 2-y 2+6x-3y=(2x+y)(2x-y)+3(2x-y)=(2x-y)(2x+y+3)=0, ∴原方程表示直线2x-y=0和2x+y+3=0.6.D 对于A,点(0,-1)满足方程,但不在曲线上,排除A;对于B,点(1,-1)满足方程,但不在曲线上,排除B;对于C,由于曲线上第三象限的点的横、纵坐标均小于0,不满足方程,排除C.故选D.7.答案 2解析方程表示的图形是边长为√2的正方形(如图所示),其面积为(√2)2=2.8.A 设圆(x-1)2+y 2=1的圆心为C,半径为r,则C(1,0),r=1,依题意得|PC|2=r 2+|PA|2,即|PC|2=2,所以点P 的轨迹是以C 为圆心,√2为半径的圆,因此点P 的轨迹方程是(x-1)2+y 2=2. 9.答案 y=2x-2解析设点C(x,y),则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y).因为点A(1,0),B(2,2),所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +t(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(1+t,2t),所以{x =t +1,y =2t ,消去t,得点C 的轨迹方程为y=2x-2. 10.解析设M(x 0,y 0),P(x,y), 则AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-4,y-2),PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0-x,y 0-y), 由题意可得{x -4=3(x 0-x ),y -2=3(y 0-y ),所以{x 0=4x -43,y 0=4y -23.因为点M(x 0,y 0)在直线2x-y+3=0上, 所以2×4x -43-4y -23+3=0,即8x-4y+3=0,所以点P 的轨迹方程为8x-4y+3=0.11.解析 (1)以直线AB 为x 轴,线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系,则A(-1,0),B(1,0).设C(x,y),由AC=√2BC,得(x+1)2+y 2=2[(x-1)2+y 2],即(x-3)2+y 2=8,又在△ABC 中,y≠0,所以点C 的轨迹方程为(x-3)2+y 2=8(y≠0).(2)因为AB=2,所以S △ABC =12×2×|y|=|y|.因为(x-3)2+y 2=8(y≠0), 所以0<|y|≤2√2,所以S △ABC ≤2√2,即△ABC 的面积的最大值为2√2.能力提升练一、选择题1.D 设P(x 0,y 0)是曲线xy 2+x 2y=1上的任意一点,则x 0y 02+x 02y 0=1.设点P 关于直线y=x 的对称点为P',则P'(y 0,x 0),因为y 0x 02+y 02x 0=x 0y 02+x 02y 0=1,所以P'在曲线xy 2+x 2y=1上,故该曲线关于直线y=x 对称.2.A 由方程(3x-y+1)(y-√1-x 2)=0得y=√1-x 2(y≥0)或3x-y+1=0,且满足-1≤x≤1,即x 2+y 2=1(y≥0)或3x-y+1=0(-1≤x≤1),∴方程(3x-y+1)(y-√1-x 2)=0表示一条线段和半个圆.3.C 将x=-x 代入得到(x+1)(x+2)(x+3)=xy,方程改变,故该曲线不关于y 轴对称; 将x=-x,y=-y 代入得到(x+1)(x+2)(x+3)=-xy,方程改变,故该曲线不关于原点对称; 当x<0,y<0时,(x-1)(x-2)(x-3)<0,xy>0,显然方程不成立,∴该曲线不经过第三象限;令x=-1,易得y=24,即(-1,24)在曲线上,同理可得(1,0),(2,0),(3,0)也在曲线上,∴该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数是错误的.4.A 设P(x,y),因为M(-1,2),N(1,0),所以PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1-x,2-y),ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0),PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-x,-y),因为|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以|1+x|=√(1-x )2+(-y )2, 整理得y 2=4x.5.C 方程x 2+y 2=1(xy<0)表示以原点为圆心,1为半径的圆在第二、四象限的部分,故选C. 6.A 设P(x,y),则由|PM|=2|PN|,得(x+3)2+y 2=4[(x-2)2+y 2],化简,得3x 2+3y 2-22x+7=0, 即(x -113)2+y 2=1009,所以所求图形的面积S=100π9.二、填空题7.答案 x 2+y 2-12x+4=0 解析设M(x,y),因为|MA ||MB |=√2, 所以√(x+2)2+y 2√(x -2)+y 2=√2,整理得x 2+y 2-12x+4=0.8.答案 ①y=0(或x =52) ②[0,5]解析 ①由W 的方程知,若(x,y)是曲线上的点,则(x,-y)也是曲线上的点,因此直线y=0是曲线W的一条对称轴.同理,点(52-x,y)与(52+x,y)也都是曲线上的点,因此直线x=52也是曲线W的一条对称轴.②由|y|+x2-5x=0得|y|=-x2+5x,因为|y|≥0,所以-x2+5x≥0,解得0≤x≤5.三、解答题9.解析(1)设动点M的坐标为(x,y),则|MA|=√(x+1)2+y2,|MB|=√(x-2)2+y2所以√(x+1)2+y2√(x-2)+y2=2,化简得(x-3)2+y2=4.因此,动点M的轨迹方程为(x-3)2+y2=4.(2)当过点P的直线斜率不存在时,直线方程为x-5=0,圆心C(3,0)到直线x-5=0的距离等于2,此时直线x-5=0与曲线C相切; 当过点P的切线斜率存在时,不妨设斜率为k,则切线方程为y+4=k(x-5),即kx-y-5k-4=0,由圆心到切线的距离等于半径,得√k2+1=2,解得k=-34.所以切线方程为3x+4y+1=0.综上所述,切线方程为x-5=0和3x+4y+1=0.10.解析(1)设点B的坐标为(x0,y0),则y0≥0,设线段AB的中点为M(x,y), 因为点B在曲线Γ上,所以x02+y02=1.①因为M为线段AB的中点,所以{x=x0+22,y=y02,则{x0=2x-2,y0=2y,代入①式得(2x-2)2+4y2=1,化简得(x-1)2+y2=14,其中y≥0.则线段AB的中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=14(y≥0).(2)如图所示,将△OAB绕点A顺时针旋转90°得到△DAC,易知点D(2,2),结合图形可知,点C在曲线(x-2)2+(y-2)2=1(x≥2)上运动,则问题转化为求原点O到曲线(x-2)2+(y-2)2=1(x≥2)上一点C的距离的最大值,连接OD并延长交曲线(x-2)2+(y-2)2=1(x≥2)于点C',当点C与C'重合时,|OC|取得最大值,且|OC|max=|OD|+1=2√2+1.。

高中数学人教A版选修2-1数学：2.1.1《曲线和方程》测试(新人教A版选修2-1).docx

曲线和方程学习目标：1、了解平面直角坐标中“曲线的方程”和“方程的曲线”含义.2、会判定一个点是否在已知曲线上.一、知识回顾并引题：二、自学课本7573-P 并记下重点，积极思考问题：三、自我检测：1、到两坐标轴距离相等的点组成的直线方程是0=-y x 吗？2、已知等腰三角形三个顶点的坐标是)3,0(A ，)0,2(-B ，)0,2(C 。

中线O AO (为原点）的方程是0=x 吗？为什么？3、已知方程2522=+by ax 的曲线经过点)35,0(A 和点)1,1(B ，求a 、b 的值。

四、提问、答疑，共同解决：五、例题分析：1、若曲线C 上的点的坐标满足方程(,)0f x y =，则下列说法正确的是（）A.曲线C 的方程是(,)0f x y =B.方程(,)0f x y =的曲线是CC.坐标不满足方程(,)0f x y =的点都不在曲线C 上D. 坐标满足方程(,)0f x y =的点都在曲线C 上2、已知00(,)P x y 在曲线(,)0f x y =上，P 也在曲线(,)0g x y =上，求证：点P 在曲线(,)(,)0f x y g x y λ+=上（R λ∈）六、课后作业：1、点)2,1(-A ，)3,2(-B ，)10,3(C 是否在方程0122=++-y xy x 的图形上？2、解答下列问题，并说明理由：（1）点12(3,4),(2,3)P P -是否在方程2225x y +=所表示的曲线上；（2）已知方程 2225x y +=表示的曲线F 经过点(2,)A m ，求m 的值。

3、（1）求方程c bx ax y ++=2的曲线经过原点的充要条件是。

（2）求方程222)()(r b y a x =-+-的曲线经过原点的充要条件。

4、（1）已知：[0,2)απ∈，点(c o s ,s i n )P αα在曲线22(2)3x y -+=上，则α的值是；（2）方程2222(4)(4)0x y -+-=表示的图形是。

(人教版)高中数学选修2-1检测第2章圆锥曲线与方程2.2.1 Word版含答案

第二章(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题分，共分)．方程＋＝表示的曲线是( )．到定点(－)和()的距离之和等于的点的轨迹．到定点(，－)和()的距离之和等于的点的轨迹．到定点(，－)和()的距离之和等于的点的轨迹．到定点(，－)和()的距离之和等于的点的轨迹解析：本题主要考查椭圆的标准方程及定义．由方程可知，它表示焦点在轴上的椭圆，且＝，＝，∴＝，所以方程表示的椭圆的焦点为(，－)，()，长轴长为，因此选.答案：．若方程－＝表示焦点在轴上的椭圆，则下列关系成立的是( )><><解析：所给方程为椭圆，且焦点在轴上，∴>，<，且－>>，∴>.答案：．已知△的顶点，在椭圆＋＝上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在上，则△的周长是( ) ．．．．解析：可知＝，由椭圆的定义得＋＝＋＝＝，∴(＋)＋＋＝＋＋＝，即△的周长为，故选.答案：．椭圆＋＝上一点到左焦点的距离为，是的中点，则等于( )．．．解析：如图，为椭圆的右焦点，连接，则是△的中位线，从而＝.又＝，根据椭圆的定义＋＝＝.∴＝，从而有＝.答案：二、填空题(每小题分，共分)．已知椭圆经过点()，且点()为其右焦点，则椭圆的标准方程为．解析：方法一：依题意，可设椭圆的方程为＋＝(>>)，且可知左焦点为′(－)．从而有(\\(＝＝＋′＝＋＝))，解得(\\(＝＝)).又＝＋，所以＝，故椭圆的标准方程为＋＝.方法二：依题意，可设椭圆的方程为＋＝(>>)，则(\\(()＋()＝－＝))，解得＝或＝－(舍去)，从而＝.所以椭圆的标准方程为＋＝.答案：＋＝．已知椭圆的方程为＋＝，焦点在轴上，则其焦距为．解析：由于焦点在轴，故＝，＝，由＝，可得＝.答案：三、解答题(每小题分，共分)．求满足下列条件的椭圆的标准方程：()一个焦点坐标是()，过点(，)；()两焦点在坐标轴上，对称轴为坐标轴，且经过点和点.解析：()由一个焦点坐标是()知椭圆焦点在轴上，设椭圆的标准方程为＋＝(>>)，由＝，得＝－＝－，则椭圆方程可化为＋＝，将点(，)代入，得＝(＝舍去)，从而＝－＝，故所求椭圆的标准方程为＋＝.()依题意设椭圆的方程为＋＝(>，>)，因为点和点都在椭圆上．所以错误!即(\\(()＋＝，,()＋＝，))所以(\\(＝，＝().))所以所求椭圆的标准方程为＋＝.．已知两圆：(＋)＋＝，：(－)＋＝，动圆与外切，与内切，求圆心的轨迹．。

人教A版选修2-1第二章第2课时同步练习§2.1.2求曲线的方程

§2.1.2 求曲线的方程1．在第四象限内，到原点的距离等于2的点的轨迹方程是( )．(A)x 2+y 2=4 (B) x 2+y 2=4 (x>O)(C)y=24x -- (D) y=24x --（0<x<2）2．等腰直角三角形底边两端点是A(3-，0)，B(3，0)，顶点C 的轨迹是( )．(A)一条直线 (B)一条直线去掉一点(C)一个点 (D)两个点3．与点A(一1，0)和点B(1，0)连线的斜率之和为一l 的动点P 的轨迹方程是( )．(A)x 2+y 2=3 (B)x 2+2xy=1(x ≠±1)(C)y=21x - (D)x 2+y 2=9(x ≠0)4．已知两点A(一2，0)、B(6，0)，三角形ABC 的面积为1 6，则C 点的轨迹方程为．5．由动点P 向圆x 2+y 2=1引两条切线PA 、PB ，切点分别为A ，B ，APB ∠=60，则动点P 的轨迹方程为．6．在平面直角坐标系中，O 为原点，A(1，0)、B(2，2)，若点C 满足)(OA OB t OA OC -+=，其中t ∈R ，则点C 的轨迹方程是．7．已知B A ),0,21(-是圆421:22=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x F （F 为圆心）上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则点P 的轨迹方程为：．８．经过定点())0(,≠a b a A 作互相垂直的两条直线1l 和2l ，分别与x 轴、y 轴交于C B , 两点，求线段BC 的中点M 的轨迹方程．9．已知点M 与x 轴的距离和点M 与点F(O ，4)的距离相等，求点M 的轨迹方程．10．已知一曲线是到两个点O(0，0)，A(3，0)距离之比为1：2的点的轨迹，求这条曲线的方程．11．设P 为曲线1422=-y x 上一动点，O 为坐标原点，M 为线段PO 的中点，求点M 的轨迹方程．12．如图，已知F(1，O)，直线l ：x = -1，P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，FQ FP QF QP ⋅=⋅，求动点P 的轨迹方程．13．定长为6的线段，其端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上移动，线段AB 的中点为M ，求M 点的轨迹方程．14．如图所示，圆O 1和圆O 2的半径都等于1，O 1O 2=4。

人教A版选修2-1第二章第1课时同步练习§2.1.1 曲线与方程

§2.1.1 曲线与方程1、已知坐标满足方程F （x,y ）=0的点都在曲线C 上，那么（）A ．曲线C 上的点的坐标都适合方程F （x,y ）=0B ．凡坐标不适合F （x,y ）=0的点都不在C 上C ．不在C 上的点的坐标必不适合F （x,y ）=0D ．不在C 上的点的坐标有些适合F （x,y ）=0，有些不适合F （x,y ）=02、方程04)1(22=-+-+y x y x 的曲线形状是（）A ．圆B ．直线C ．圆或直线D ．圆或两条射线3、到两定点A （0，0）、B （3、4）距离之和为5的点的轨迹是（）A ．圆B ．AB 所在直线C ．线段ABD ．无轨迹4、如图所示，方程01=-+y x 表示的曲线是（）5、“曲线C 上的点的坐标都是方程0),(=y x f 的解”是“方程0),(=y x f 是曲线C 的方程”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分条件也非必要条件6、已知直线03:=-+y x l ，曲线2)2()3(22=-+-y x ，则点M （2，1）（）A ．在直线l 上，但不在曲线上B ．在直线l 上，也在曲线上C ．不在直线l 上，也不在曲线上D ．不在直线l 上，但在曲线上7、如果曲线C 上点的坐标满足方程0),(=y x F ，则有（）A ．方程0),(=y x F 表示的曲线是CB ．曲线C 的方程是0),(=y x FC ．点集{}{}0),(),(=⊆∈y x F y x C P PD ．点集{}C P P ∈≠⊂{}0),(),(=y x F y x8、方程111=-+-y x 表示的图形是（）A.．一个点 B ．四条直线 C ．正方形 D ．四个点9、如图所示，方程2x x y =表示的曲线是（）A ．B ．C ．D ．10、曲线21x y --=与曲线)(0R a ax y ∈=+的交点个数一定是（）A ．2个B ．4个C ．0个D ．与a 的取值有关11、已知抛物线1:2-+-=mx x y C ，点A （3，0）、B （0，3），求C 与线段AB 有两个不同交点的充要条件（用m 的取值范围表示）。

高中数学人教A版选修2-1同步练习：2.1.1曲线与方程(含答案)

2.1.1曲线与方程一、选择题1．(2013·广东省中山一中期中)方程(2x －y ＋2)x 2＋y 2－1＝0表示的曲线是( ) A ．一个点与一条直线 B ．两条射线和一个圆C ．两个点D ．两个点或一条直线或一个圆[答案] B[解析] 原方程等价于x 2＋y 2－1＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2＝0x 2＋y 2－1≥0，故选B.2．若方程x －2y －2k ＝0与2x －y －k ＝0所表示的两条直线的交点在方程x 2＋y 2＝9的曲线上，则k 等于( )A ．±3B ．0C ．±2D ．一切实数[答案] A[解析] 两直线的交点为(0，－k )，由已知点(0，－k )在曲线x 2＋y 2＝9上，故可得k 2＝9，∴k ＝±3. 3．在直角坐标系中，方程|x |·y ＝1的曲线是( )[答案] C[解析] 由|x |·y ＝1知y >0，曲线位于x 轴上方，故选C.4．命题“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”是正确的，下列命题中正确的是( ) A ．方程f (x ，y )＝0的曲线是C B ．方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程 C ．方程f (x ，y )＝0的曲线不一定是CD ．以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上 [答案] C[解析] 不论方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程，还是曲线C 是方程f (x ，y )＝0的曲线，都必须同时满足两层含义：(1)曲线上的点的坐标都是方程的解；(2)以方程的解为坐标的点都在曲线上，所以A 、B 、D 错误．5．如图，曲线的方程与图中曲线对应正确的是( )[答案] D[解析] A 中方程x 2＋y 2＝1表示的是以(0,0)为圆心，1为半径的圆，故A 错；B 中方程x 2－y 2＝0可化为(x －y )(x ＋y )＝0，表示两条直线x －y ＝0，x ＋y ＝0，故B 错；C 中方程lg x ＋lg y ＝1可化得y ＝1x (x >0)，此方程只表示第一象限的部分，故C 错．6．动点在曲线x 2＋y 2＝1上移动时，它和定点B (3,0)连线的中点P 的轨迹方程是( ) A ．(x ＋3)2＋y 2＝4 B ．(x －3)2＋y 2＝1 C ．(2x －3)2＋4y 2＝1 D ．(x ＋32)2＋y 2＝1[答案] C[解析] 设P 点为(x ，y )，曲线上对应点为(x 1，y 1)，则有x 1＋32＝x ，y 1＋02＝y .∴x 1＝2x －3，y 1＝2y .∵(x 1，y 1)在曲线x 2＋y 2＝1上，∴x 21＋y 21＝1，∴(2x －3)2＋(2y )2＝1即(2x －3)2＋4y 2＝1. 二、填空题7．方程y ＝x 2－2x ＋1所表示的图形是________． [答案] 两条射线x ＋y －1＝0(x ≤1)和x －y －1＝0(x ≥1)[解析] 原方程等价于y ＝|x －1|⇔x ＋y －1＝0(x ≤1)和x －y －1＝0(x ≥1)． 8．给出下列结论：①方程yx －2＝1表示斜率为1，在y 轴上的截距为－2的直线；②到x 轴距离为2的点的轨迹方程为y ＝－2；③方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示四个点．正确的结论的序号是________． [答案] ③[解析] 方程yx －2＝1表示斜率为1，在y 轴上的截距为－2的直线且扣除点(2,0)，故①错；到x 轴距离为2的点的轨迹方程为y ＝－2或y ＝2，故②错；方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示点(－2,2)，(－2，－2)，(2，－2)，(2,2)，故③正确．9．若曲线y 2＝xy ＋2＋k 通过点(－a ，a )(a ∈R )，则k 的取值范围是________． [答案] [－2，＋∞)[解析] 把点(－a ，a )代入曲线方程，得a 2＝－a 2＋2＋k ，所以k ＝2a 2－2≥－2(a ∈R )．三、解答题10．画出方程(x ＋y －1)x －y －2＝0所表示的曲线．[解析] 方程(x ＋y －1)x －y －2＝0可等价变形为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x －y －2≥0.或x －y －2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x －y －2≥0.得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x ≥32.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x －y －2≥0. 表示射线x ＋y －1＝0(x ≥32)．∴原方程表示射线x ＋y －1＝0(x ≥32)和直线x －y －2＝0，如下图所示．一、选择题11．方程x 2＋xy ＝x 所表示的图形是( ) A ．一个点 B ．一条直线C ．两条直线D ．一个点和一条直线[答案] C[解析] 原方程等价于x (x ＋y －1)＝0⇔x ＝0或x ＋y －1＝0，故原方程所表示的图形是两条直线． 12．设圆M 的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝2，直线l 的方程为x ＋y －3＝0，点P 的坐标为(2,1)，那么( ) A ．点P 在直线l 上，但不在圆M 上 B ．点P 在圆M 上，但不在直线l 上 C ．点P 既在圆M 上，也在直线l 上 D ．点P 既不在圆M 上，也不在直线l 上 [答案] C[解析] 将P (2,1)代入圆M 和直线l 的方程得，(2－3)2＋(1－2)2＝2且2＋1－3＝0， ∴点P (1,2)既在圆(x －3)2＋(y －2)2＝2上也在直线l ：x ＋y －3＝0上，故选C. 13．若曲线y ＝x 2－x ＋2和y ＝x ＋m 有两个交点，则( ) A ．m ∈R B ．m ∈(－∞，1) C ．m ＝1 D ．m ∈(1，＋∞)[答案] D[解析] 两方程联立得x 的二次方程，由Δ>0可得m >1.14．(2013·河南省实验中学月考)动点P 到定点(1,0)和定直线x ＝3的距离之和为4，则点P 的轨迹方程为( )A ．y 2＝4xB ．y 2＝－12(x －4)C ．若x ≥3，则y 2＝4x ；若x <3，则y 2＝－12(x －4)D ．若x ≤3，则y 2＝4x ；若x >3，则y 2＝－12(x －4) [答案] D[解析] 设P (x ，y )，由题意得(x －1)2＋y 2＋|x －3|＝4.若x ≤3，则y 2＝4x ；若x >3，则y 2＝－12(x －4)，故选D. 二、填空题15．曲线y ＝14x 2与x 2＋y 2＝5的交点坐标是________．[答案] (±2,1)[解析] 易知x 2＝4y 代入x 2＋y 2＝5得，y 2＋4y －5＝0，∴(y ＋5)(y －1)＝0，解得y ＝－5，y ＝1.y ＝－5不合题意舍去， ∴y ＝1，∴x ＝±2.16．|x |＋|y |＝1表示的曲线围成的图形面积为________________．[答案] 2[解析] 当x ≥0，y ≥0时，有x ＋y ＝1；x ≥0，y ≤0时，x －y ＝1；x ≤0，y ≥0时，有－x ＋y ＝1；x ≤0，y ≤0时，－x －y ＝1，作出图形为一个正方形如图，其边长为2，面积为2.三、解答题17．已知直线l ：y ＝x ＋b 与曲线C ：y ＝1－x 2有两个公共点，求b 的取值范围．[解析] 解法一：由方程组⎩⎨⎧y ＝x ＋b ，y ＝1－x 2(y ≥0). 得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＋y 2＝1(y ≥0). 消去x ，得到2y 2－2by ＋b 2－1＝0(y ≥0)．l 与C 有两个公共点，等价于此方程有两个不等的非负实数解，可得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4b 2－8(b 2－1)>0，y 1＋y 2＝b >0，y 1y 2＝b 2－12≥0.解得1≤b < 2.解法二：在同一直线坐标系内作出y ＝x ＋b 与y ＝1－x 2的图形，如图所示，易得b 的范围为1≤b < 2.。

【金版学案】高二数学人教A版选修2-1同步训练：2.1.1 曲线的方程与方程的曲线 Word版含解析[ 高考]

2．1.1 曲线的方程与方程的曲线基础梳理1．曲线的方程，方程的曲线．在直角坐标系中，如果某曲线C (看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f (x ，y )＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是________________．(2)以这个方程的解为坐标的点________________________________________________________________________．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．想一想：如果曲线C 的方程是f (x ，y )＝0，那么点P (x 0，y 0)在曲线C 上的充要条件是什么？2．曲线的方程、方程的曲线的判定．(1)判定曲线C 的方程是否为f (x ，y )＝0，需从两个方面进行：首先判定曲线C 上的点的坐标是否是________的解．其次判定方程f (x ，y )＝0的解是否都在________上．(2)已知两条曲线C 1和C 2的方程分别为F (x ，y )＝0，G (x ，y )＝0，则它们的交点可以由方程组⎩⎪⎨⎪⎧F （x ，y ）＝0，G （x ，y ）＝0的______来得到．想一想：在平面直角坐标系中，平分一、三象限的直线与方程x －y ＝0有什么关系？基础梳理1．(1)这个方程的解 (2)都是曲线上的点想一想：若点P 在曲线上，则f (x 0，y 0)＝0；若f (x 0，y 0)＝0，则点P 在曲线C 上．∴点P (x 0，y 0)在曲线C 上的充要条件是f (x 0，y 0)＝0.2．(1)f (x ，y )＝0 曲线C (2)解想一想：直线上任一点M (x 0，y 0)，则x 0＝y 0，即点M (x 0，y 0)是方程x －y ＝0的解；如果(x 0，y 0)是x －y ＝0的解，那么以(x 0，y 0)为坐标的点都在直线上．自测自评1．曲线C 的方程为y ＝x (1≤x ≤5)，则下列四点中在曲线C 上的是( ) A ．(0，0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫15，15 C ．(1，5) D ．(4，4)2．命题“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”是真命题，下列命题中正确的是( )A ．方程f (x ，y )＝0的曲线是CB ．方程f (x ，y )＝0的曲线不一定是CC ．f (x ，y )＝0是曲线C 的方程D ．以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上3．如果方程ax 2＋by 2＝4的曲线过A (0，－2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3两点，则a ＝________，b ＝________．自测自评1．D2．解析：“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”，但“以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点”不一定在曲线C 上，故A 、C 、D 都不正确，B 正确．答案：B3．解析：分别将A 、B 两点坐标代入方程得⎩⎨⎧4b ＝4，a 4＋3b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1. 答案：4 1基础巩固1．已知直线l ：x ＋y －5＝0及曲线C ：(x －3)2＋(y －2)2＝2，则点M (2，3)( )A ．在直线l 上，但不在曲线C 上B ．在直线l 上，也在曲线C 上C ．不在直线l 上，也不在曲线C 上D ．不在直线l 上，但在曲线C 上1．解析：将x ＝2，y ＝3代入直线l ：x ＋y －5＝0及曲线C ：(x －3)2＋(y －2)2＝2的方程均成立，故点M (2，3)在直线l 上，也在曲线C 上，故选B.答案：B2．(2014·石家庄高二检测)方程x2＋y2＝1(xy<0)的曲线形状是()2．解析：方程x2＋y2＝1(xy＜0)表示以原点为圆心，1为半径的圆在第二、四象限的部分．故选C.答案：C3．下面四组方程表示同一条曲线的一组是()A．y2＝x与y＝xB．y＝lg x2与y＝2lg xC.y＋1x－2＝1与lg(y＋1)＝lg(x－2)D．x2＋y2＝1与|y|＝1－x23．解析：主要考虑x，y的取值范围，选项A中y2＝x中y∈R，而y＝x中y≥0；选项B中y＝lg x2中x≠0，而y＝2lg x中x>0；选项C中y＋1x－2＝1中y∈R，x≠2，而lg(y＋1)＝lg(x－2)中y>－1，x>2，故只有D正确．答案：D4．曲线y＝|x|－1与x轴围成的图形的面积是________．4．解析：在y＝|x|－1中令x＝0得y＝－1，令y＝0得x＝±1，所以曲线y＝|x|－1与x轴围成的图形的面积为12×2×1＝1.答案：1能力提升5．(2014·安阳高二检测)曲线y ＝1－x 2和y ＝－x ＋2公共点的个数为( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个5．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1－x 2，y ＝－x ＋2，得－x ＋2＝1－x 2，两边平方并整理得(2x －1)2＝0，所以x ＝22，这时y ＝22，故公共点只有一个(22，22)．答案：C6．方程x 2－xy ＝2x 的曲线是( )A ．一个点B ．一条直线C ．两条直线D ．一个点和一条直线6．解析：根据x 2－xy ＝2x 得x ＝0或x －y －2＝0，故表示两条直线．答案：C7．已知点A (a ，2)既是曲线y ＝mx 2上的点，也是直线x －y ＝0上的一点，则m ＝__________．7．解析：因为点A (a ，2)在直线x －y ＝0上，得a ＝2，即A (2，2)．又点A 在曲线y ＝mx 2上，所以2＝m ·22，得m ＝12. 答案：128．给出下列结论：①方程y x －2＝1表示斜率为1，在y 轴上的截距为－2的直线； ②到x 轴距离为2的点的直线的方程为y ＝2；③方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示四个点．其中正确结论的序号是________．8．解析：①不正确．方程等价于y ＝x －2(x ≠2)，所以原方程表示斜率为1，在y 轴上的截距为－2的直线，但除去点(2，0)；到x 轴距离为2的点的直线的方程应是|y －0|＝2，即y ＝2或y ＝－2，故②不正确；对于③，原方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4＝0，y 2－4＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝±2，y ＝±2，所以方程表示四个点，所以③正确．答案：③9．方程1－|x |＝1－y 表示的曲线是什么图形？9．解析：原方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧1－y ＝1－|x |，1－|x |≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝|x |，|x |≤1，所以它表示的图形是两条线段y ＝－x (－1≤x ≤0)和y ＝x (0≤x ≤1)，如图所示．10．证明圆心为坐标原点，半径等于10的圆的方程是x 2＋y 2＝100，并判断点M 1(8，－6)、M 2(－43，5)是否在这个圆上．10．证明：设M (x 0，y 0)是圆上任意一点，因为点M 到原点的距离等于10，所以x 20＋y 20＝10，也就是x 20＋y 20＝100，即(x 0，y 0)是方程的解．设(x 0，y 0)是方程x 2＋y 2＝100的解，那么x 20＋y 20＝100，两边开方取算术根，得x20＋y20＝10，即点M(x0，y0)到原点的距离等于10，点M(x0，y0)是这个圆上的点．综上可知，x2＋y2＝100是圆心为坐标原点，半径等于10的圆的方程．把点M1(8，－6)的坐标代入方程x2＋y2＝100，左右两边相等，(8，－6)是方程的解，所以点M1在这个圆上；把点M2(－43，5)的坐标代入方程x2＋y2＝100，左右两边不相等，(－43，5)不是方程的解，所以点M2不在这个圆上．。

高中数学人教a版高二选修2-1_第二章_圆锥曲线与方程_2.2.1_word版有答案

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．(2016·潍坊高二检测)如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(3，＋∞)∪(－∞，－2)D ．(3，＋∞)∪(－6，－2)【解析】由于椭圆的焦点在x 轴上，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＞a ＋6，a ＋6＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧（a ＋2）（a －3）＞0，a ＞－6. 解得a ＞3或－6＜a ＜－2，故选D.【答案】 D2．已知椭圆过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－4和点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，3，则此椭圆的标准方程是( ) A.y 225＋x 2＝1B.x 225＋y 2＝1或x 2＋y 225＝1C.x 225＋y 2＝1D ．以上都不对【解析】设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )，则⎩⎪⎨⎪⎧925m ＋16n ＝1，1625m ＋9n ＝1，∴⎩⎨⎧m ＝1，n ＝125.∴椭圆的方程为x 2＋y 225＝1.【答案】 A3．(2016·合肥高二月考)设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，则△F 1PF 2的面积等于( )A ．5B ．4C ．3D ．1【解析】由椭圆方程，得a ＝3，b ＝2，c ＝5，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，又|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，由22＋42＝(25)2，可知△F 1PF 2是直角三角形，故△F 1PF 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝12×4×2＝4，故选B.【答案】 B4．椭圆mx 2＋ny 2＝－mn (m <n <0)的焦点坐标为( )【导学号：18490042】A ．(0，±m －n )B ．(±m －n ，0)C ．(0，±n －m )D ．(±n －m ，0)【解析】将mx 2＋ny 2＝－mn (m <n <0)化成标准方程得x 2－n ＋y 2－m＝1，由m <n <0⇒－m >－n >0，得焦点在y 轴上，即a 2＝－m ，b 2＝－n ，得c 2＝a 2－b 2＝n －m ，故选C.【答案】 C5．设P 是椭圆x 216＋y 212＝1上一点，P 到两焦点F 1，F 2的距离之差为2，则△PF 1F 2是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形【解析】由椭圆定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8，又|PF 1|－|PF 2|＝2，∴|PF 1|＝5，|PF 2|＝3，又|F 1F 2|＝2c ＝216－12＝4，即|F 1F 2|2＋|PF 2|2＝|PF 1|2，∴△PF 1F 2为直角三角形．【答案】 B二、填空题6．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________．【解析】依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 1|·|PF 2|＝18，|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，可得4c 2＋36＝4a 2，即a 2－c 2＝9，故有b ＝3.【答案】 37．已知椭圆C 经过点A (2，3)，且点F (2，0)为其右焦点，则椭圆C 的标准方程为________．【解析】法一：依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，且可知左焦点为F ′(－2，0)．从而有⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，2a ＝|AF |＋|AF ′|＝3＋5＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a ＝4. 又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12，故椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1.法二：依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则⎩⎨⎧4a 2＋9b 2＝1，a 2－b 2＝4，解得b 2＝12或b 2＝－3(舍去)，从而a 2＝16，所以椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1.【答案】 x 216＋y 212＝18．已知P 是椭圆x 24＋y 23＝1上的一动点，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹方程是________．【解析】如图，依题意，|PF 1|＋|PF 2|＝2a (a 是常数且a ＞0)．又|PQ |＝|PF 2|，∴|PF 1|＋|PQ |＝2a ，即|QF 1|＝2a .由题意知，a ＝2，b ＝3，c ＝a 2－b 2＝4－3＝1.∴|QF 1|＝4，F 1(－1，0)，∴动点Q 的轨迹是以F 1为圆心，4为半径的圆，∴动点Q 的轨迹方程是(x ＋1)2＋y 2＝16.【答案】 (x ＋1)2＋y 2＝16三、解答题9．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点．设椭圆C 上一点⎝⎛⎭⎪⎫3，32到两焦点F 1，F 2的距离和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标．【解】 ∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为4，∴2a ＝4，a 2＝4，∵点⎝⎛⎭⎪⎫3，32是椭圆上的一点， ∴（3）24＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322b 2＝1， ∴b 2＝3，∴c 2＝1，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.焦点坐标分别为(－1，0)，(1，0)．10．求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在y 轴上，焦距是4，且经过点M (3，2)；(2)c ∶a ＝5∶13，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26. 【导学号：18490043】【解】 (1)由焦距是4，可得c ＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0，2)．由椭圆的定义知，2a ＝32＋（2＋2）2＋32＋（2－2）2＝8，所以a ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝16－4＝12.又焦点在y 轴上，所以椭圆的标准方程为y 216＋x 212＝1.(2)由题意知，2a ＝26，即a ＝13，又因为c ∶a ＝5∶13，所以c ＝5，所以b 2＝a 2－c 2＝132－52＝144，因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为x 2169＋y 2144＝1或y 2169＋x 2144＝1.[能力提升] 1．“0<t <1”是“曲线x 2t ＋y 21－t＝1表示椭圆”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】曲线x 2t ＋y 21－t ＝1表示椭圆等价于⎩⎪⎨⎪⎧t >0，1－t >0，t ≠1－t ，得t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.故选B. 【答案】 B2．已知椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上．若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 1|是|PF 2|的( )A ．7倍B ．5倍C ．4倍D ．3倍【解析】由已知F 1(－3，0)，F 2(3，0)，由条件，知P ⎝⎛⎭⎪⎫3，±32，即|PF 2|＝32. 由椭圆的定义，知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4 3.所以|PF 1|＝732.所以|PF 1|＝7|PF 2|.【答案】 A3．椭圆x 212＋y 23＝1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上．如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是________．【解析】由条件可取F 1(－3，0)，∵PF 1的中点在y 轴上，∴设P (3，y 0)，由P 在椭圆x 212＋y 23＝1上得y 0＝±32，∴M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，±34.【答案】 ±344．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点(如图2-2-3)，∠F 1F 2B ＝2π3，△F 1F 2A 的面积是△F 1F 2B面积的2倍．若|AB |＝152，求椭圆C 的方程.【导学号：18490044】图2-2-3【解】由题意可得S △F 1F 2A ＝2S △F 1F 2B ， ∴|F 2A |＝2|F 2B |，由椭圆的定义得|F 1B |＋|F 2B |＝|F 1A |＋|F 2A |＝2a ，设|F 2A |＝2|F 2B |＝2m ，在△F 1F 2B 中，由余弦定理得(2a －m )2＝4c 2＋m 2－2·2c ·m ·cos 2π3⇒ m ＝2（a 2－c 2）2a ＋c. 在△F 1F 2A 中，同理可得m ＝a 2－c 22a －c，所以2（a 2－c 2）2a ＋c ＝a 2－c 22a －c，解得2a ＝3c ，可得m ＝5c 8，|AB |＝3m ＝15c 8＝152，c ＝4. 由c a ＝23，得a ＝6，b 2＝20，x2 36＋y220＝1.所以椭圆C的方程为。

10学年高中数学人教A版选修2-1同步练习：2.1 曲线与方程

2.1 曲线与方程1、已知0ab ≠,则方程0ax y b -+=和22bx ay ab +=所表示的曲线可能是( ) A. B. C. D.2、方程()()23412log 230x y x y --+-=⎡⎤⎣⎦表示的曲线经过点()()0,3,4,2A B -,()574,0,,34C D ⎛⎫- ⎪⎝⎭中的( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个3、已知点()()0,0,1,2O A -,动点P 满足3PA PO =,则点P 的轨迹方程是( )A.22882450x y x y ++--=B.22882450x y x y +---=C.22882450x y x y +++-=D.22882450x y x y +-+-= 4、若圆22210x y ax y +-++=和圆221x y +=关于直线1y x =-对称，过点(,)C a a -的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程是( )A ．24480y x y -++=B ．22220y x y +-+=C ． 24480y x y +-+=D ． 2210y x y --+=5、已知圆22:(3)100C x y ++=和点)0,3(B ，P 是圆上一点，线段BP 的垂直平分线交CP 于M 点，则M 点的轨迹方程是( ) A. x y 62= B.1162522=+y x C.1162522=-y x D. 2522=+y x6、设定点(1,0)F ，动圆D 过点F 且与直线1-=x 相切.则动圆圆心D 的轨迹方程为（）A ．24x y =B ．22x y =C ．24y x =D ．22y x =7、在平面内两个定点的距离为6，点M 到这两个定点的距离的平方和为26，则点M 的轨迹是( )A.圆B.椭圆C.双曲线D.线段8、已知(2,0),(2,0)M N -，||||4PM PN -=，则动点P 的轨迹是( )A.双曲线B.双曲线左边一支C.一条射线D.双曲线右边一支9、与圆221x y +=及228120x y x +-+=都外切的圆的圆心在( )A.一个圆上B.一个椭圆上C.双曲线的一支上D.一条抛物线上 10、已知两点(2,0),(2,0)A B -，点P 为平面内一动点，过点P 作y 轴的垂线，垂足为Q ，且22PA PB PQ ⋅=，则动点P 的轨迹方程为( )A ．222x y +=B ．222y x -=C ．2221x y -=D ．2221x y -=11、已知圆()221:31C x y ++=和圆()222:39C x y -+=,动圆M 同时与圆1C 及圆2C 相外切,则动圆圆心M 的轨迹方程为__________.12、如图：在Rt ABC △中，90,4,3CAB AB AC ∠=︒==，一曲线E 过C 点，动点P 在曲线E 上运动，且PA PB -的值保持不变,若以AB 所在直线为x 坐标轴，且AB 方向为正方向，AB 的中垂线为y 坐标轴,则曲线E 的轨迹方程为___________.13、已知P 是椭圆2212x y +=上任一点，O 是坐标原点，则OP 中点的轨迹方程为___________.14、阿波罗尼斯是占希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在代表作《圆锥曲线论》一书中，其中阿波罗尼斯圆是研究成果之一.已知动点M 与两定点的距离之比为(0,1)λλλ>≠,那么点M 的轨迹就是关于点,A B 的阿波罗尼斯圆.我们据此来研究一个相关问题：已知圆22:9O x y +=和点(1,0)A -,点(3,1)B ,M 为圆O 上一动点，则3||+||MA MB 的最小值为__________.15、已知曲线C 上的动点,()P x y 满足到定点1(0,)A -的距离与到定点()0,1B 距离之比为.1.求曲线C 的方程；2.过点()2,1M 的直线l 与曲线C 交于两点M N 、，若4MN =，求直线l 的方程．答案以及解析1答案及解析：答案：C解析：由题中图象可知选C.2答案及解析：答案：C解析：3答案及解析：答案：A解析：设动点(),P x y ,则由3PA PO =,=,化简得22882450x y x y ++--=,故选A.4答案及解析：答案：C解析：圆22210x y ax y +-++=的圆心(,1)2a -，因为圆22210x y ax y +-++=与圆221x y +=关于直线 1y x =-对称，设圆心(,1)2a -和(0,0)的中点为1(,)42a -，所以1(,)42a -满足直线1y x =-方程，解得2a =，过点(2,2)C -的圆P 与y 轴相切，圆心P 的坐标为(,)x y||x =解得：24480y x y +-+=，所以圆心P 的轨迹方程是24480y x y +-+=，故答案为：C5答案及解析：答案：B解析：6答案及解析：答案：C解析：7答案及解析：答案：A解析：8答案及解析：答案：C解析：9答案及解析：答案：C解析：10答案及解析：答案：B解析：11答案及解析：答案：221(1)8y x x -=≤- 解析：如图所示,设动圆M 与圆1C 及圆2C 分别外切于点A 和B ,根据两圆外切的充要条件,得11MC AC MA -=,22MC BC MB -=.∵MA MB =,∴1122MC AC MC BC -=-,∴2121312MC MC BC AC -=-=-=这表明动点M 与两定点2C 、1C ,的距离的差是常数2.根据双曲线的定义,动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与2C 的距离大,与1C 的距离小).这里1a =,3c =则28b =,设点M 的坐标为(),x y ,则其轨迹方程为221(1)8y x x -=≤-.12答案及解析：答案：221(0)3y x x -=< 解析：13答案及解析：答案：22241x y +=解析：14答案及解析：解析：令3||||MA MC =,则||1||3MA MC =,由题意可得圆229x y +=是关于点,A C 的阿波罗尼斯圆,且13λ=.设(,),(,)M x y C m n ,则2222()()9[(1)]x m y n x y -+-=++. 整理得222288(218)29x y m x ny m n ++++=+-,由题意得该方程等价于229x y +=,由对影响系数相等可得9,0m n =-=,即点C 的坐标为(9,0)-,∴3||||||||||MA MB MC MB BC +=+≥=,当M 在线段BC 与圆O 的交点处时取等号.15答案及解析：答案：1.由题意得PA=化简得22610x y y +-=+或228()3x y -+=2.当直线l 的斜率不存在时，:2l x =将2x =代入方程22610x y y +-=+得5y =或1y =，4MN ∴=，满足题意当直线l 的斜率存在时，设:120l kx y k -+-=2d ==，解得0k =，此时:1l y =综上，满足题意的直线l 的方程为：2x =或1y =.解析：由Ruize收集整理。

高中数学人教A版选修2-1 第二章圆锥曲线与方程 2.1.1、2.1.2 Word版含答案.doc

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．曲线x 2－xy －y 2－3x ＋4y －4＝0与x 轴的交点坐标是( ) A ．(4，0)和(－1，0) B ．(4，0)和(－2，0) C ．(4，0)和(1，0)D ．(4，0)和(2，0)【解析】在曲线x 2－xy －y 2－3x ＋4y －4＝0中，令y ＝0，则x 2－3x －4＝0，∴x ＝－1或x ＝4.∴交点坐标为(－1，0)和(4，0)．【答案】 A2．方程(x 2－4)(y 2－4)＝0表示的图形是( ) A ．两条直线 B ．四条直线 C ．两个点D ．四个点【解析】由(x 2－4)(y 2－4)＝0得(x ＋2)(x －2)(y ＋2)·(y －2)＝0，所以x ＋2＝0或x －2＝0或y ＋2＝0或y －2＝0，表示四条直线．【答案】 B3．在平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1，2)与动点P (x ，y )满足OP→·OA →＝4，则点P 的轨迹方程是( ) A ．x ＋y ＝4 B ．2x ＋y ＝4 C ．x ＋2y ＝4D ．x ＋2y ＝1【解析】由OP →＝(x ，y )，OA →＝(1，2)得OP →·OA →＝(x ，y )·(1，2)＝x ＋2y ＝4，则x ＋2y ＝4即为所求的轨迹方程，故选C.【答案】 C4．方程(2x －y ＋2)·x 2＋y 2－1＝0表示的曲线是( ) A ．一个点与一条直线 B ．两个点C ．两条射线或一个圆D ．两个点或一条直线或一个圆【解析】原方程等价于x 2＋y 2－1＝0，即x 2＋y 2＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2＝0，x 2＋y 2－1≥0，故选C. 【答案】 C5．已知方程y ＝a |x |和y ＝x ＋a (a ＞0)所确定的两条曲线有两个交点，则a 的取值范围是( )A ．a ＞1B ．0＜a ＜1C ．0＜a ＜1或a ＞1D ．a ∈∅【答案】 A 二、填空题6．“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”是“方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程”的________条件．【解析】 “方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程 ”⇒“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”，反之不成立．【答案】必要不充分 7．方程x －3·(x ＋y ＋1)＝0表示的几何图形是________________．【解析】由方程得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝0，x －3≥0，或x －3＝0，即x ＋y ＋1＝0(x ≥3)或x ＝3. 【答案】一条射线和一条直线8．(2016·广东省华南师大附中月考)已知定点F (1，0)，动点P 在y 轴上运动，点M 在x 轴上，且PM →·PF →＝0，延长MP 到点N ，使得|PM →|＝|PN→|，则点N 的轨迹方程是________. 【导学号：18490037】【解析】由于|PM→|＝|PN →|，则P 为MN 的中点．设N (x ，y )，则M (－x ，0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，由PM →·PF →＝0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ，－y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－y 2＝0，所以(－x )·1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 2＝0，则y 2＝4x ，即点N 的轨迹方程是y 2＝4x .【答案】 y 2＝4x 三、解答题9．如图2-1-1，圆O 1与圆O 2的半径都是1，|O 1O 2|＝4，过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM ，PN (M ，N 分别为切点)，使得|PM |＝2|PN |，试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程．图2-1-1【解】以O 1O 2的中点为原点，O 1O 2所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，得O1(－2，0)，O2(2，0)．连结PO1，O1M，PO2，O2N.由已知|PM|＝2|PN|，得|PM|2＝2|PN|2，又在Rt△PO1M中，|PM|2＝|PO1|2－|MO1|2，在Rt△PO2N中，|PN|2＝|PO2|2－|NO2|2，即得|PO1|2－1＝2(|PO2|2－1)．设P(x，y)，则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，化简得(x－6)2＋y2＝33.因此所求动点P的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33.10．△ABC的三边长分别为|AC|＝3，|BC|＝4，|AB|＝5，点P是△ABC 内切圆上一点，求|P A|2＋|PB|2＋|PC|2的最小值与最大值．【解】因为|AB|2＝|AC|2＋|BC|2，所以∠ACB＝90°.以C为原点O，CB，CA所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，由于|AC|＝3，|BC|＝4，得C(0，0)，A(0，3)，B(4，0)．设△ABC内切圆的圆心为(r，r)，由△ABC 的面积＝12×3×4＝32r ＋2r ＋52r ，得r ＝1，于是内切圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1⇒x 2＋y 2＝2x ＋2y －1，由(x －1)2≤1⇒0≤x ≤2.设P (x ，y )，那么|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＝x 2＋(y －3)2＋(x －4)2＋y 2＋x 2＋y 2＝3(x 2＋y 2)－8x －6y ＋25＝3(2x ＋2y －1)－8x －6y ＋25＝22－2x ，所以当x ＝0时，|P A |2＋|PB |2＋|PC |2取最大值为22，当x ＝2时取最小值为18.[能力提升]1．到点A (0，0)，B (－3，4)的距离之和为5的轨迹方程是( ) A ．y ＝－43x (－3≤x ≤0) B ．y ＝－43x (0≤x ≤4) C ．y ＝－43x (－3≤x ≤4) D ．y ＝－43x (0≤x ≤5)【解析】注意到|AB |＝5，则满足到点A (0，0)，B (－3，4)的距离之和为5的点必在线段AB 上，因此，方程为y ＝－43x (－3≤x ≤0)，故选A.【答案】 A2．(2016·河南省实验中学月考)已知动点P 到定点(1，0)和定直线x＝3的距离之和为4，则点P的轨迹方程为()A．y2＝4xB．y2＝－12(x－4)C．y2＝4x(x≥3)或y2＝－12(x－4)(x<3)D．y2＝4x(x≤3)或y2＝－12(x－4)(x>3)【解析】设P(x，y)，由题意得（x－1）2＋y2＋|x－3|＝4.若x≤3，则y2＝4x；若x>3，则y2＝－12(x－4)，故选D.【答案】 D3．已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P满足|P A|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于________．【解析】设动点P(x，y)，依题意|P A|＝2|PB|，∴（x＋2）2＋y2＝2（x－1）2＋y2，化简得(x－2)2＋y2＝4，方程表示半径为2的圆，因此图形的面积S＝π·22＝4π.【答案】4π4．过点P(2，4)作两条互相垂直的直线l1、l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程.【导学号：18490038】【解】法一设点M的坐标为(x，y)，∵M 为线段AB 的中点，∴A 点的坐标为(2x ，0)，B 点的坐标为(0，2y )． ∵l 1⊥l 2，且l 1，l 2过点P (2，4)， ∴P A ⊥PB ，即k P A ·k PB ＝－1，而k P A ＝4－02－2x ＝21－x (x ≠1)，k PB ＝4－2y 2－0＝2－y 1，∴21－x·2－y 1＝－1(x ≠1)，整理得x ＋2y －5＝0(x ≠1)．∵当x ＝1时，A ，B 的坐标分别为(2，0)，(0，4)， ∴线段AB 的中点坐标是(1，2)，它满足方程x ＋2y －5＝0. 综上所述，点M 的轨迹方程是x ＋2y －5＝0.法二设点M 的坐标为(x ，y )，则A ，B 两点的坐标分别是(2x ，0)，(0，2y )，连结PM .∵l 1⊥l 2，∴2|PM |＝|AB |.而|PM |＝（x －2）2＋（y －4）2， |AB |＝（2x ）2＋（2y ）2，∴2（x －2）2＋（y －4）2＝4x 2＋4y 2，化简得x ＋2y －5＝0，即为所求的点M 的轨迹方程.。

人教新课标A版选修2-12.1曲线与方程同步测试

人教新课标A版选修2-1 2.1 曲线与方程同步测试共 15 题一、单选题1、方程表示的图形是（）A.圆B.两条直线C.一个点D.两个点2、已知，，则以为斜边的直角三角形的直角顶点的轨迹方程是（）A. B.C. D.3、下列所给点中，在方程x2﹣xy+2y+1=0表示的曲线上的是（）A.（0，0）B.（1，﹣1）C. D.（1，1）4、方程（x-y)2+(xy-1)2=0表示的曲线是（）A.一条直线和一双曲线B.两条直线C.两个点D.圆5、曲线的图像（）A.关于x轴对称B.关于原点对称,但不关于直线对称C.关于y轴对称D.关于直线对称，关于直线对称6、已知坐标满足方程的点都在曲线上，那么（）A.曲线上的点的坐标都适合方程B.凡坐标不适合的点都不在上C.不在上的点的坐标必不适合D.不在上的点的坐标有些适合，有些不适合7、方程表示的曲线是( )A. B.C. D.8、一条线段的长等于，两端点分别在轴和轴上滑动，在线段上且，则点的轨迹方程是（）A. B.C. D.9、已知点．若曲线上存在两点，使△为正三角形，则称为型曲线．给定下列三条曲线：①；②；③．其中，型曲线的个数是（）A. B.C. D.10、方程（x+y﹣1） =0所表示的曲线是（）A. B.C. D.二、填空题11、在平面直角坐标系中，动点P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，记点P的轨迹为曲线W，给出下列四个结论：①曲线W关于原点对称；②曲线W关于直线y＝x对称；③曲线W与x轴非负半轴，y轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于；④曲线W上的点到原点距离的最小值为其中，所有正确结论的序号是________．12、若曲线y=与直线x+y﹣m=0有一个交点，则实数m的取值范围是________13、过定点（﹣2，0）的直线l与曲线C：（x﹣2）2+y2=4（0≤x≤3）交于不同的两点，则直线l的斜率的取值范围是________．三、解答题14、已知定点M（1，0）和直线x=﹣1上的动点N（﹣1，t），线段MN的垂直平分线交直线y=t于点R，设点R的轨迹为曲线E．(1)求曲线E的方程；(2)直线y=kx+b（k≠0）交x轴于点C，交曲线E于不同的两点A，B，点B关于x轴的对称点为点P．点C关于y轴的对称点为Q，求证：A，P，Q三点共线．15、从原点向圆作两条切线，切点分别为 , ，记切线，的斜率分别为，．（Ⅰ）若圆心，求两切线，的方程；（Ⅱ）若，求圆心的轨迹方程．参考答案一、单选题1、【答案】C【解析】【解答】由已知得即所以方程表示点．故答案为：C【分析】直接利用二次根式及平方的非负数性质得到答案。

(人教版)高中数学选修2-1检测第2章圆锥曲线与方程2.1 Word版含答案

第二章(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题分，共分)．已知曲线的方程为＋＋－＝，则下列各点中在曲线上的点是( )．(－)．()．(－)．()解析：点(，)在曲线(，)上⇔(，)＝.答案：．“以方程(，)＝的解为坐标的点都是曲线上的点”是“曲线的方程是(，)＝”的()．充分条件．必要条件．既不充分也不必要条件．充要条件解析：(，)＝是曲线的方程必须同时满足以下两个条件：①以(，)＝的解为坐标的点都在曲线上；②曲线上的点的坐标都是方程(，)＝的解，故选.答案：．与点(－)和点()连线的斜率之和为－的动点的轨迹方程是( )．＋＝(≠±)．＋＝．＋＝(≠)．＝解析：设(，)，∵＋＝－，∴＋＝－，整理得＋＝(≠±)．答案：．方程(＋－)＝所表示的曲线是( )解析：原方程等价于(\\(＋－＝，＋≥))或＋＝.其中当＋－＝时，需有意义，即＋≥，此时它表示直线＋－＝上不在圆＋＝内的部分及圆＋＝.答案：二、填空题(每小题分，共分)．点(，－)在曲线－＝上，则的值为．解析：将点的坐标(，－)代入曲线方程，可得－·(－)＝，解得＝.答案：．已知点(，－)，当点在曲线＝＋上运动时，线段的中点的轨迹方程是．解析：设(，)，(，)，则＝＋.又为的中点，所以(\\(＝(＋)，＝(－)，))即(\\(＝，＝＋，))将其代入＝＋得，＋＝()＋，即＝.答案：＝三、解答题(每小题分，共分)．指出方程(＋－)(－)＝表示的曲线是什么？解析：因为(＋－)(－)＝，所以可得(\\(＋－＝，－≥))或者－＝，也就是＋－＝(≥)或者＝，故方程表示的曲线为一条射线＋－＝(≥)和一条直线＝.．已知方程＋(－)＝.()判断点(，－)，(，)是否在此方程表示的曲线上；()若点在此方程表示的曲线上，求的值．解析：()∵＋(－－)＝，()＋(－)＝≠，∴点(，－)在方程＋(－)＝表示的曲线上，点(，)不在方程＋(－)＝表示的曲线上．()∵点在方程＋(－)＝表示的曲线上，∴＝，＝－适合方程＋(－)＝，即＋(－－)＝，解得＝或＝－.∴的值为或－.．(分)已知圆：＋(－)＝，过原点作圆的弦，求中点的轨迹方程．(分别用直接法、定义法、代入法求解)解析：方法一(直接法)：如图，因为是的中点，。

人教版A版高中数学高二版选修2-1练习曲线与方程

第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程 2.1.1 曲线与方程A 级基础巩固一、选择题1．下列选项中方程与其表示的曲线正确的是( )解析：对于A ，x 2＋y 2＝1表示一个整圆；对于B ，x 2－y 2＝(x ＋y )(x －y )＝0，表示两条相交直线；对于D ，由lg x ＋lg y ＝0知x ＞0，y ＞0.答案：C2．方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是( )A ．两个点B ．四个点C ．两条直线D ．四条直线解析：由已知⎩⎨⎧x 2－4＝0，y 2－4＝0，所以⎩⎨⎧x ＝±2，y ＝±2，即⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2，或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－2或⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝2，或⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝－2.答案：B3．方程x 2＋xy ＝x 表示的曲线是( )A ．一个点B ．一条直线C ．两条直线D ．一个点和一条直线解析：由x 2＋xy ＝x ，得x (x ＋y －1)＝0，即x ＝0或x ＋y －1＝0. 由此知方程x 2＋xy ＝x 表示两条直线．答案：C4．若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－33，33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，33 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞ 答案：B5．下面四组方程表示同一条曲线的一组是( )A ．y 2＝x 与y ＝xB ．y ＝lg x 2与y ＝2lg xC.y ＋1x －2＝1与lg(y ＋1)＝lg(x －2) D ．x 2＋y 2＝1与|y |＝1－x 2解析：主要考虑x与y的范围．答案：D二、填空题6．已知方程①x－y＝0；②x－y＝0；③x2－y2＝0；④xy＝1，其中能表示直角坐标系的第一、三象限的角平分线C的方程的序号是________．解析：①是正确的；②不正确，如点(－1，－1)在第三象限的角平分线上，但其坐标不满足方程x－y＝0；③不正确．如点(－1，1)满足方程x2－y2＝0，但它不在曲线C上；④不正确．如点(0，0)在曲线C上，但其坐标不满足方程xy＝1.答案：①7．方程|x－1|＋|y－1|＝1所表示的图形是________．解析：当x≥1，y≥1时，原方程为x＋y＝3；当x≥1，y＜1时，原方程为x－y＝1；当x＜1，y≥1时，原方程为－x＋y＝1；当x＜1，y＜1时，原方程为x＋y＝1.画出方程对应的图形，如图所示为正方形．答案：正方形8．下列命题正确的是________(填序号)．①方程x y －2＝1表示斜率为1，在y 轴上的截距是2的直线； ②到x 轴距离为5的点的轨迹方程是y ＝5；③曲线2x 2－3y 2－2x ＋m ＝0通过原点的充要条件是m ＝0. 答案：③三、解答题9．方程x 2(x 2－1)＝y 2(y 2－1)所表示的曲线C .若点M (m ，2)与点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，n 在曲线C 上，求m ，n 的值．解：将点M (m ，2)与点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，n 代入方程 x 2(x 2－1)＝y 2(y 2－1)，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2（m 2－1）＝2×1，34×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝n 2（n 2－1），所以m ＝±2，n ＝±12或±32. 10．求方程(x ＋y －1)x －1＝0所表示的曲线．解：依题意可得⎩⎨⎧x ＋y －1＝0，x －1≥0或x －1＝0，即x ＋y －1＝0(x ≥1)或x ＝1.综上可知，原方程所表示的曲线是射线x ＋y －1＝0(x ≥1)和直线x ＝1.B 级能力提升1．已知定点P (x 0，y 0)不在直线l ：f (x ，y )＝0上，则方程f (x ，y )－f (x 0，y 0)＝0表示( )A ．过点P 且垂直于l 的直线B ．过点P 且平行于l 的直线C ．不过点P 但垂直于l 的直线D ．不过点P 但平行于l 的直线答案：B2．设平面点集A ＝{(x ，y )|(y －x )⎝ ⎛⎭⎪⎫y －1x ≥0}，B ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －1)2≤1}，则A ∩B 所表示的平面图形的面积为________．答案：π23．方程(x ＋y －1)x 2＋y 2－4＝0表示什么曲线？解：由(x ＋y －1)x 2＋y 2－4＝0可得⎩⎨⎧x ＋y －1＝0，x 2＋y 2－4≥0，或x 2＋y 2－4＝0，即⎩⎨⎧x ＋y －1＝0，x 2＋y 2≥4，或x 2＋y 2＝4，由圆x 2＋y 2＝4的圆心到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝12＝22＜2得直线与圆相交，所以⎩⎨⎧x ＋y －1＝0，x 2＋y 2≥4，表示直线x ＋y －1＝0在圆x 2＋y 2＝4上和外面的部分，x 2＋y 2＝4表示圆心在坐标原点，半径为2的圆．所以原方程表示圆心在坐标原点，半径为2的圆和斜率为－1，纵截距为1的直线在圆x 2＋y 2＝4的外面的部分，如图所示．。

人教版高中数学选修2-1练习：第二章2.1曲线与方程

[课时作业 ] [A组基础稳固 ]1．方程 xy2－x2y＝2x 所表示的曲线A．对于 x 轴对称C．对于原点对称()B．对于D．对于y 轴对称x－y＝0 对称2 2 分析：同时以－ x 替 x，以－ y替 y，方程不变，所以方程 xy －x y＝2x 所表示的曲线对于原点对称．2．方程 x＋|y－1|＝0 表示的曲线是 ()分析：方程 x＋|y－ 1|＝0 可化为 |y－1|＝－ x≥0，∴x≤0，应选 B.答案： B3．已知动点 P 在曲线 2x2－y＝0 上挪动，则点 A(0，－1)与点 P 连线中点的轨迹方程是()A． y＝2x2 C． 2y＝8x2－1B．y＝8x2 D．2y＝ 8x2＋ 1分析：设 AP 中点为 (x，y)，则 P(2x,2y＋ 1)在 2x2－ y＝ 0 上，即 2(2x)2－ (2y＋ 1) ＝ 0，2∴ 2y＝8x －1.4．设点 A 为圆 (x－1)2＋y2＝1 上的动点， PA 是圆的切线，且 |PA|＝1，则 P 点的轨迹方程为 ()A． y2＝2x B．(x－1)2＋y2＝ 4C． y2＝－ 2x D．(x－1)2＋y2＝ 2分析：如图，设 P(x，y)，圆心为 M(1,0)．连结 MA，则 MA⊥PA，且 |MA|＝1，又∵ |PA|＝1，∴|PM|＝ |MA|2＋ |PA|2＝ 2.即|PM|2＝2，∴ (x－1)2＋ y2＝2.答案： D5．已知方程y＝ a|x|和y＝x＋ a(a＞0)所确立的两条曲线有两个交点，则 a 的取值范围是 ()A． a＞1B．0＜a＜1C． 0＜a＜1 或 a＞1D．a∈?分析：当 0＜a≤1 时，两曲线只有一个交点 (如图 (1))；当 a＞1 时，两曲线有两个交点 (如图 (2))．答案： A6．方程 x2＋ 2y2－ 4x＋8y＋ 12＝0 表示的图形为 ________．分析：对方程左侧配方得 (x－2)2＋2(y＋2)2＝ 0.∵(x－2)2≥0,2(y＋2)2≥0，x－2＝0，x＝，2∴y＋2＝ 0，解得y＝－ 2.进而方程表示的图形是一个点(2，－ 2)．答案：一个点 (2，－ 2)7．设圆 C 与圆 x2＋ (y－3)2＝ 1 外切，与直线 y＝ 0 相切，则圆心 C 的轨迹方程为________．分析：设圆心 C(x， y)，由题意得x－2＋y－2＝y＋1(y>0)，化简得 x2＝8y－8.答案： x2＝ 8y－88．已知 l 1是过原点 O 且与向量 a＝ (2，－λ)垂直的直线， l 2是过定点 A(0,2)且与λ向量 b＝－1，2平行的直线，则l1与 l 2的交点 P 的轨迹方程是 ________，轨迹是 ________．分析：∵ kl122＝，∴ l1： y＝x；λλkl2λλ＝－，l 2：y＝－ x＋2，22∴l1⊥ l2，故友点在以原点 (0,0)，A(0,2)为直径的圆上但与原点不重合，∴交点的轨迹方程为 x2＋ (y－1)2＝1(y≠0)．答案： x2＋ (y－1)2＝ 1(y≠0) 以 (0,1)为圆心， 1 为半径的圆 (不包含原点 )9．已知定长为 6 的线段，其端点 A、 B 分别在 x 轴、 y 轴上挪动，线段 AB 的中点为 M，求 M 点的轨迹方程．分析：作出图象如下图，依据直角三角形的性质可知1|OM|＝2|AB|＝3.所以 M 的轨迹为以原点 O 为圆心，以 3 为半径的圆，故 M 点的轨迹方程为 x2＋y2＝9.10．在平面直角坐标系中，已知动点P(x，y)，PM⊥y 轴，垂足为 M，点 N 与点→ →P 对于 x 轴对称，且 OP·MN＝4，求动点 P 的轨迹方程．分析：由已知得 M(0，y)， N(x，－ y)，→∴ MN＝(x，－ 2y)，→ →22∴ OP·＝(x，y) ·(x，－ 2y)＝x － 2y，MN依题意知， x2－2y2＝4，所以动点 P 的轨迹方程为 x2－ 2y2＝4.[B 组能力提高 ]1．已知 A(－ 1,0)，B(2,4)，△ ABC 的面积为 10，则动点 C 的轨迹方程是 ( ) A． 4x－3y－ 16＝0 或 4x－3y＋16＝ 0B ．4x －3y － 16＝0 或 4x －3y ＋24＝0C ． 4x －3y ＋ 16＝0 或 4x －3y ＋24＝0D ． 4x －3y ＋ 16＝0 或 4x －3y －24＝ 0 分析：由两点式，得直线 AB 的方程是 y －0＝x ＋1，即 4x －3y ＋4＝0， 4－0 2＋1线段 AB 的长度 |AB|＝＋2＋ 42＝5.设 C 的坐标为 (x ， y)，则 1|4x －3y ＋4| 2 × ×5 ＝ 10，5即 4x －3y －16＝ 0 或 4x －3y ＋24＝0. 答案： B2A ．充足不用要条件B ．必需不充足条件C ．充足必需条件D ．既不充足也不用要条件分析：点 M 在曲线 y 2＝4x 上，其坐标不必定知足方程 y ＝－ 2 x ，但当点 M 的坐标知足方程 y ＝－ 2 x 时，则点 M 必定在曲线 y 2＝4x 上，如点 M(4，－ 4)．答案： B→ →3．已知两点 M(－2,0)，N(2,0)，点 P 知足 PM ·PN ＝12，则点 P 的轨迹方程为 ________．→→ 分析：设 P(x ，y)，则 PM ＝(－ 2－ x ，－ y)，PN ＝(2－x ，－ y)．→ → 2＝12，于是 PM · ＝(－2－x)(2－x)＋ yPN化简得 x 2＋y 2＝16，此即为所求点 P 的轨迹方程．答案： x 2＋ y 2＝164 ．直线 l ：＝－ ≠ 与圆 O ：x 2＋y 2＝ 16 订交于 A ，B 两点， O 为圆心， y k(x 5)(k 0) 当 k 变化时，则弦 AB 的中点 M 的轨迹方程为 ________．分析：设 M(x ， y)，易知直线恒过定点 P(5,0)，再由 OM ⊥MP ，得 |OP|2＝ |OM|2＋ |MP|2，所以 x 2＋ y 2＋(x －5)2＋y 2＝25，52 225整理得 x － 2 ＋ y ＝ 4.由于点 M 应在圆内，故所求的轨迹为圆内的部分．x－5 22＝2516 2＋y4，解方程组得两曲线交点的横坐标为x＝5，故所求轨迹方程x2＋ y2＝16为52225≤＜16x－2＋y ＝4 5.0x5 22250≤x＜16答案： x－2＋ y＝455．已知等腰三角形的极点是A(4,2)，底边一个极点是B(3,5)，求另一个极点C 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么？分析：设另一极点 C 的坐标为 (x，y)，依题意，得 |AC|＝|AB|，由两点间距离公式，得x－2＋y－2＝－2＋－2.化简，得 (x－4)2＋ (y－2)2＝10.由于 A，B，C 为三角形的三个极点，所以 A，B，C 三点不共线，即点 B，C 不可以重合，且 B， C 不可以为⊙ A 的向来径的两个端点．①由于 B， C 不重合，所以点 C 的坐标不可以为 (3,5)，②又由于点 B 不可以为⊙ A 的向来径的两个端点，x＋3由 2 ＝4，得x＝5.点 C 的坐标不可以为 (5，－1)．如图，故点 C 的轨迹方程为(x－ 4)2＋(y－ 2)2＝ 10x＝3x＝ 5除外 .和y＝－ 1y＝5点 C 的轨迹是以点A(4,2)为圆心，以10为半径的圆，除掉点 (3,5)，(5，－ 1)．6．已知直线 y＝ mx＋3m 和曲线 y＝4－ x2有两个不一样的交点，务实数m 的取值范围．分析：直线 y＝m(x＋3) 过定点 (－3,0)，曲线 y＝4－ x2即 x2＋ y22 5＝ 4(y≥0)表示半圆，由图可知 m 的取值范围是0，5.。

高中数学(人教实验A版选修2-1)2.1曲线与方程同步练测.docx

高中数学学习材料唐玲出品2.1 曲线与方程同步练测建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、选择题（每小题8分，共32分）1．方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0表示的曲线是( )A．一条直线和一条双曲线B．两条双曲线C．两个点D．以上答案都不对2．已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1，2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是( )A．2x＋y＋1＝0B．2x－y－5＝0C．2x－y－1＝0D．2x－y＋5＝03．若命题“曲线上的点的坐标都是方程的解”是正确的，下列命题正确的是（）A．方程的曲线是B．坐标满足的点均在曲线上C．曲线是方程的轨迹D．表示的曲线不一定是曲线4.已知是圆上的两点,且||=6,若以为直径的圆恰好经过点(1,-1),则圆心的轨迹方程是( )A.B.C.D.二、填空题（每小题8分，共24分）5．已知两定点A(-2，0)，B(1，0)，若动点P满足｜PA｜＝2｜PB｜，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于__________.6．若方程与所表示的两条曲线的交点在方程的曲线上，则的值是__________.7．两个定点的距离为6，点M到这两个定点的距离的平方和为26，则点M的轨迹是 .三、解答题(共44分)8.（22分）如图所示，过点P(2,4)作互相垂直的直线l1，l2.若l1交x轴于A，l2交y轴于B，求线段AB中点M的轨迹方程．9.（22分）已知△的两个顶点的坐标分别是（-5，0）、（5，0），边所在直线的斜率之积为求顶点的轨迹方程一、选择题1.C 解析：(x －y)2＋(xy －1)2＝0⇔0,10,x y xy -=⎧⎨-=⎩ 故1,=1,x y =⎧⎨⎩或1,1.x y =-⎧⎨=-⎩因此是两个点. 2.D 解析：设点Q(x ，y)，则点P 为(－2－x ,4－y)，代入2x －y ＋3＝0得2x －y ＋5＝0.3.D 解析：由于不能判断以方程的解为坐标的点是否都在曲线上，故方程的曲线不一定是故也不能推出曲线是方程的轨迹，从而得到A ，B ，C 均不正确，故选 D ．4.A 解析：因为以为直径的圆恰好经过点(1,-1),∴ ,故△为直角三角形,又为斜边中点,∴ ,故点的轨迹是以(1,-1)为圆心,3为半径的圆,其方程为.二、填空题5. 4π 解析：设P (x ，y )为轨迹上任一点，由｜P A ｜＝2｜PB ｜得=4即∴所求面积为4π.6. ±3 解析：联立方程，组成方程组解得∵ 方程与所表示的两条曲线的交点在方程+=9的曲线上，∴ 0+=9，∴ =±3.7．以两定点的中点为圆心，以2为半径的圆解析：设两定点分别为A 、B ，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中点为坐标原点建立直角坐标系，则 A (-3，0)，B (3，0)，设M (x ，y )，则=26，即=4.三、解答题8. 解：设点M 的坐标为(x ，y)，∵ M 是线段AB 的中点，A 点的坐标为(2x,0)，B 点的坐标为(0,2y)．∴ PA →＝(2x －2，－4)，PB →＝(－2,2y －4)．由已知PA →·PB →＝0，∴－2(2x －2)－4(2y －4)＝0，即x ＋2y －5＝0.∴ 线段AB 中点M 的轨迹方程为x ＋2y －5＝0.9. 解：设则 = ＝（≠±5）．由•=• ，化简可得+＝1，所以动点的轨迹方程为+＝1（≠±5）。