高等数学课件微积分泰勒级数傅里叶变换

外函数
内函数
g ( D2 )
D
f g ( D)
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复合函数的分解 将一个复杂的函数分解成一串简单的函数. 简单的含义: 1. 前几个函数最好是基本初等函数； 2. 最后一个函数可以是基本初等函数的四则运算. 3. 分解要彻底. 例如
ye
x 2 1
y tan(e )
x
y2
sin 2 x
（5）
取最值函数
y max{ f ( x ), g( x )}
y
f ( x) g( x )
y min{ f ( x ), g( x )}
y
f ( x) g( x )
o
x
o
x
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★常用的逻辑符号
“任取” 表示“对于任意给定的” 或“对于任意的” 或“对于所有的” .
表示“存在”或“能找到” 表示“推出”、“若…，则…”或“必要
条件” 表示“推出”或“充分条件”
表示“等价”、“当且仅当”或“充
要条件”
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三、复合函数与反函数
1. 复合函数
设有两个函数 y f (u) (u D1 ),
中间变量
如果D1 g ( D2 ) ，那么，就得到了一个以 x 为自变量,
y 为因变量的函数，此函数称为 y = f (u)与u = g(x)复合而成 的复合函数, 记作 或
另外, 考研时高等数学的内容大 约占数学试卷( 总分150)的三分之 二.
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二. 高等数学的主要内容
1. 学习内容 一元函数微积分学 微积分学 函数、极限、连续 多元函数微积分学
基础
无穷级数 常微分方程
掌握高等数学的基本知识、基本理论、基本 方法，提高数学素养.
o x 讨论函数的 单调性，必须 指明区间. x 0 x
2 1o 1 2 3 4
x
y o
y
y=x2
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3. 奇偶性
设函数f (x)的定义域D关于原点对称，若对于任意 x∈ D，有
f ( -x )= f wk.baidu.comx) ，则称函数 f (x) 在 D上是偶函数； 若对于任意 x∈ D,有f ( -x )= - f (x) ，则称函数 f (x)在D上是
则称函数 f (x) 在X上有界. 如果这样的 M 不存在, 称函数 f (x) y 在X上无界. M 几何意义：f (x)在(a, b)内有界就 表示了f (x)的图形夹在两平行直线 y = M 之间.
o a
b
x
M
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例2 y=cos x 在其定义域内是有界的，也称它是有界函数． 例3 y=x 在其定义域内是无界的，也称它是无界函数．
联合国教科文组织调查报告：目前科学研究工作 的特点之一是各门学科的数学化.
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2. 高等数学是高校学生必修的重要基础理论课
17世纪（1637年）笛卡尔创立了解析几何，同 时把变量引入数学，对数学的发展产生了巨大的 影响，使数学从研究常量的初等数学进一步发展 到研究变量的高等数学。微积分是高等数学的一 个重要的组成部分，是研究变量间的依赖关系— 函数的一门学科，是学习其它自然科学的基础。
x
O
(2) 开区间
(a, b) = { x | a < x < b }
。 (
a O (3) 半开半闭区间
。 )
b
x
(a, b] = { x | a < x b } ； [a, b) = { x | a x < b }
O
[ a
。 )
b
x
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(4) 无限区间 [a, +) = { x | x a }, ( , b) = { x | x < b },
a a a
(
)
x
点 a 的去心邻域: { x |0 < |x-a| < δ},记作
U (a, )
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二、函数的概念
1. 定义
设 D 是 R 的一个非空数集.若对每个数 x ∈ D,按照某种法 则 f ,有唯一确定的 y ∈ R与之对应, 则称 f 是从 D 到 R 的函 数,记为 y = f (x). 称D 为定义域, x为自变量, y为因变量或函数, f (D) = { y | y = f (x), x ∈ D}称为函数的值域.
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3.几个要求
（1） 上课前手机关机，准备好课本、笔记本、 练习本和笔。 （2）上课时认真听讲，积极回答问题。 （3）课间多活动活动，各小班轮流值日擦黑板！ （4）课后带好随身物品。
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第一章
微积分基础知识
一元函数是主要的研究对象. 一元函数的极限和 连续是《高等数学》中最基本的内容，是一元函数 微分学和积分学的理论基础.
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y
y= x2
例2 讨论函数 y = x2的反函数。 注意: 并非每个函数都有反函数。
0
x
定理
严格单调函数必有反函数. 严格单调增加的函数反函数 必严格单调增加 ,严格单调减少的函数的反函数必严格单 调减少.
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四、函数的几种特性
1. 有界性
设X为一实数集. 若 M>0, x∈X ，都有 | f (x)|≤ M
四. 其他与教学相关的事项
1. 学习资源
(1) 教材、指导讲义、练习册
注意：指导讲义（10元/本）、练习册（10元/本），
按自然班收齐后于今天下午2：30到春晖楼东11层
到数理系办公室领取。 (2) 其他工科类的教材（如：同济大学应用数学系主 编《高等数学 》（第五、六版 上、下册） ）及辅导 书。
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2. 作业、考试
各小班上报数学课代表名单，每周三上课时由课代表 收作业. 作业在期末考试成绩中占一定的比重。每次只批阅二分 之一, 要求都要交作业。 课程名称：高等数学(A)I 性质：学位 学分： 4分 考核：闭卷考 2011分级教学班统一考试，统一判卷，试卷密封， 流水作业，公平公正！
奇函数．
在几何上, 偶函数的图象关于 y 轴对称, 奇函数的图象关于 原点对称. y
f ( x )
y f ( x)
y -x o
y f ( x)
f ( x)
f ( x)
f ( x )
x
x
-x o
x
x
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4. 周期性
设函数f (x)在数集D上有定义，若存在数T ≠ 0 ，对于任意
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§1.1 集合 映射与初等函数
一、集合 区间 邻域
1. 集合及其表示、分类 2. 集合的关系与运算
自然数集 整数集 有理数集 实数集
N 0, 1 , 2 ,
, n,

, n,
Z
Z+ 1 , 2 ,

Q R
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3. 区间
(1) 闭区间 [a, b] = { x | a x b } [ a ] b
x ∈D,且x +T ∈D，都有 f ( x + T ) = f (x) , 则称函数 f (x)是周 期函数，称T为f (x)的周期. 使上式成立的最小正数称为最小 正周期．通常我们所说的周期函数的周期是指最小正周期.
y
2
o 2 x
周期为
周期为 注: 周期函数不一定存在最小正周期 . 例如, 常量函数
f ( x) C
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五、基本初等函数与初等函数
1. 基本初等函数
幂函数, 指数函数, 对数函数, 三角函数和反三角函数统称 为基本初等函数.
(1) 幂函数
y
y x
(1,1)
y x2
y x
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微积分对许多工程技术的重要性就像望远镜之于 天文学, 显微镜之于生物学一样. 因此在所有的理 工科大学中,微积分总是被列为一门重要的基础理 论课程.这是因为: 一方面，它为进一步学习数学课 （如:概率论与数理统计、复变函数等）打下一定 的基础, 另一方面，它是学好后继的专业课（如： 离散数学、数据结构、大学物理等）的重要工具.
三基
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2.培养能力
①抽象概括问题的能力；
②逻辑推理能力；
③空间想象能力；
④自学能力；
⑤比较熟练的运算能力； ⑥综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。
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三. 学好高等数学的主要学习方法
1. 高等数学的特点 2. 高等数学课的教学特点 3. 抓好六个学习环节
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（3） 辅导答疑 10月1日以后，每周三晚上7：00----9：00答疑一次， 地点：一教的二楼教室休息室。
（4） 网上资料
★
高等数学、线性代数与几何网址：
http://kcjs.sjzri.edu.cn/jpk2006/（主页→ 教育教学
→ 精品课程） →河北省精品课程 → 2008省级精品课程。
高 等 数 学
石家庄铁道大学数理系
陈聚峰
Tel: 15530153878
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序
言
一. 为何要学习高等数学 二. 高等数学的主要内容 三. 学好高等数学的主要学习方法 四. 其他与教学相关的事项
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一.为何要学习高等数学
1. 对数学的评价
一门科学,只有当它成功 地运用数学时,才能达到真 正完善的地步 .
马克思
要辨证而又唯物地了解 自然,就必须熟悉数学.
恩格斯
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英国著名哲学家培根说
“数学是打开科学大门的钥 匙.”
第一个诺贝尔物理奖得主 伦琴在回答“科学家需要什 么样的修养？”这一问题时， 说：“第一是数学, 第二是 数学, 第三还是数学.”
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被誉为“计算机之父”的 冯·诺依曼认为“数学处于 智慧的中心领域”
G ( x , y ) y f ( x) , x D
称为函数 f (x) 的图象.它通常对应 着平面直角坐标系 xOy上的曲线.
y
y0
y f ( x)
a x0 b ( D [a, b] )
x
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2. 函数的表示方法
(1) 解析法 (3) 图象法 (2) 列表法 (4) 描述法
1 在开区间 (0, 1) 内 x
例4 函数 y 是无界的;
y
1 y x
它在 (1, 2)内是有界的． 注 讨论函数的有界性，必须指明区间.
o
1
2
x
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2. 单调性
如果对于区间 I 内的任意两点 x1 及 x2 ，当 x1 < x2时，恒有 f ( x1 ) ≤ f ( x2 ) ( f ( x1 ) ≥f ( x2 ) )，则称函数f (x) 在I上单调增 加(减少). y y > < 严格
y
1
x sgn x x
o
1
x
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（3） 取整函数 y = [x]，
其中[x]表示不超过x的最大整数.
y
2 1o
1 2 3 4
x
（4） 狄里克莱(Dirichlet)函数
y
1
x Q, 1, y 0, x R \ Q.
无理数点
•
o
有理数点
x
这不是它的图像
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如: 狄里克莱（Dirichlet）函数.
1, 当x为有理数 D( x ) 0, 当x为无理数
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3. 分段函数
在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的式子来
表示的函数, 称为分段函数.
几个常见的函数： （1） 绝对值函数 y = |x|.
1, x 0, （2） 符号函数 sgn x 0, x 0, 1, x 0.
例1 求下列复合函数的定义域，并指出复合过程：
(1) y sin 1 x
2
(2) y cos x 1
练习？
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2. 反函数
设函数y = f (x) ，其定义域为D，值域为M．如果对于 M 中 的每一个值 y ，都可以从关系式 y = f (x) 确定唯一的值 x与之 对应，这样就确定了一个以 y 为自变量的函数，这个函数称 为 y = f (x)的反函数,记为x = f -1(y). 而称 y = f (x)为直接函数 ． 习惯上, 用x表示自变量， y 表示因变量．对调x = f -1(y)中 的 x与y. 因此函数的反函数可表示为 y = f -1(x)． y 与其反函数 函数 yx 的图形关于直线 Q(b, a) y f ( x) 对称 . o x
( , + ) = { x | < x < + }= { x | xR }
O
(5) 区间长度
a
[
[a, +)
x ( + )
有限区间的长度 = 右端点值－左端点值 所有无限区间的长度 = +∞
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4. 邻域
设a与δ∈R，且δ> 0 ,称数集
{ x | |x-a| < δ} 为点 a 的δ邻域 ,记为U (a,δ). 点a 称为邻域中心, δ称为邻 域半径.