2018-2019学年最新高中数学第二章解析几何初步2.1直线与直线的方程学案北师大版必修2

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高中数学第2章平面解析几何2.2直线及其方程2.2.3两条直线的位置关系第2课时两条直线的垂直课件新

解
(2)A，B 两点在直线 l 的同侧，P 是直线 l 上的一点，则||PB|－|PA||≤|AB|，当且仅当 A，B，P 三点共线时， ||PB|－|PA||取得最大值，为|AB|，点 P 即是直线 AB 与直线 l 的交点，又直线 AB 的方程为 y＝x－2，解yx＝－x2－y＋28，＝0，得xy＝＝1120，，故所求的点 P 的坐标为(12,10).
2．常用对称的特例 (1)A(a，b)关于 x 轴的对称点为 A′(a，－b)； (2)B(a，b)关于 y 轴的对称点为 B′(－a，b)； (3)C(a，b)关于直线 y＝x 的对称点为 C′(b，a)； (4)D(a，b)关于直线 y＝－x 的对称点为 D′(－b，－a)； (5)P(a，b)关于直线 x＝m 的对称点为 P′(2m－a，b)； (6)Q(a，b)关于直线 y＝n 的对称点为 Q′(a,2n－b)．
解
题型四平行与垂直的综合应用
例 4 已知 A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四点，若顺次连接 A，B，
C，D 四点，试判定图形 ABCD 的形状．
[解] 由题意知 A，B，C，D 四点在坐标平面内的位置，如图所示，由
斜率公式可得
kAB＝2－5－－34＝13，
kCD＝－0－ 3－36＝13，
mn－－02＝－2，则
m＋2 n＋0 2 －2· 2 ＋8＝0，
解得mn＝＝8－，2，
故 A′(－2,8)．
解
因为 P 为直线 l 上的一点，则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，当且仅当 B，P，A′三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值，为|A′B|，点 P 即是直线 A′B 与直线 l 的交点，解xx＝－－ 2y＋2，8＝0，得xy＝＝－ 3，2，故所求的点 P 的坐标为(－2,3)．

2018-2019学年高中数学第2章平面解析几何初步 2.1 直线与方程 2.1.3 两条直

2.1.3 两条直线的平行与垂直[学业水平训练]1．直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2是关于k 的方程2k 2－3k －b ＝0的两根，若l 1⊥l 2，则b ＝________；若l 1∥l 2，则b ＝________.解析：l 1⊥l 2时，k 1k 2＝－1，由一元二次方程根与系数的关系得k 1k 2＝－b 2，∴－b 2＝－1，得b ＝2.l 1∥l 2时，k 1＝k 2，即关于k 的二次方程2k 2－3k －b ＝0有两个相等的实根，∴Δ＝(－3)2－4×2·(－b )＝0，即b ＝－98. 答案：2 －982．设a ∈R ，如果直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行，那么a ＝________.解析：当a ＝0时，l 1：y ＝12，l 2：x ＋y ＋4＝0，这两条直线不平行；当a ＝－1时，l 1：x －2y ＋1＝0，l 2：x ＋4＝0，这两条直线不平行；当a ≠0且a ≠－1时，l 1：y ＝－a 2x ＋12，l 2：y ＝－1a ＋1x －4a ＋1，由l 1∥l 2得－a 2＝－1a ＋1且12≠－4a ＋1，解得a ＝－2或a ＝1. 答案：－2或13.如图，已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (－1,1)，B (1,5)，C (－3,2)，则△ABC 的形状为________．解析：因为k AB ＝1－5－1－1＝－4－2＝2，k AC ＝1－2－1－－＝－12，所以k AB ·k AC ＝－1，且A 、B 、C 、D 4点不共点，所以AB ⊥AC ，即∠BAC ＝90°.所以△ABC 是直角三角形．答案：直角三角形4．已知A (－4,2)，B (6，－4)，C (12,6)，D (2,12)，则下面四个结论：①AB ∥CD ；②AB ⊥CD ；③AC ∥BD ；④AC ⊥BD ，其中正确的序号为________．解析：k AB ＝－4－26－－＝－35，k CD ＝12－62－12＝－35，且A 、B 、C 、D 4点不共线，所以AB ∥CD ，k AC ＝6－212－－＝14，k BD ＝12－－2－6＝－4， k BD ·k AC ＝－1，所以AC ⊥BD .答案：①④5．已知P (－2，m )，Q (m,4)，M (m ＋2,3)，N (1,1)，若直线PQ ∥直线MN ，则m ＝________. 解析：当m ＝－2时，直线PQ 的斜率不存在，而直线MN 的斜率存在，MN 与PQ 不平行，不合题意；当m ＝－1时，直线MN 的斜率不存在，而直线PQ 的斜率存在，MN 与PQ 不平行，不合题意；当m ≠－2且m ≠－1时，k PQ ＝4－m m －－＝4－m m ＋2， k MN ＝3－1m ＋2－1＝2m ＋1，因为直线PQ ∥直线MN ，所以k PQ ＝k MN ，即4－m m ＋2＝2m ＋1，解得m ＝0或m ＝1.经检验m ＝0或m ＝1时直线MN ，PQ 都不重合．综上，m 的值为0或1.答案：0或16．已知两条直线ax ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋c ＝0互相垂直，垂足为(1，b )，则a ＋c －b ＝________.解析：∵k 1k 2＝－1，∴a ＝10.∵垂足(1，b )在直线10x ＋4y －2＝0上，∴b ＝－2.将(1，－2)代入2x －5y ＋c ＝0得c ＝－12，故a ＋c －b ＝0.答案：07．(1)求与直线y ＝－2x ＋10平行，且在x 轴、y 轴上的截距之和为12的直线的方程；(2)求过点A (1，－4)且与直线2x ＋3y ＋5＝0平行的直线的方程．解：(1)设所求直线的方程为y ＝－2x ＋λ，则它在y 轴上的截距为λ，在x 轴上的截距为12λ，则有λ＋12λ＝12， ∴λ＝8.故所求直线的方程为y ＝－2x ＋8，即2x ＋y －8＝0.(2)法一：由直线方程2x ＋3y ＋5＝0得直线的斜率是－23， ∵所求直线与已知直线平行，∴所求直线的斜率也是－23. 根据点斜式，得所求直线的方程是y ＋4＝－23(x －1)，即2x ＋3y ＋10＝0.法二：设所求直线的方程为2x ＋3y ＋b ＝0，∵直线过点A (1，－4)，∴2×1＋3×(－4)＋b ＝0，解得b ＝10.故所求直线的方程是2x ＋3y ＋10＝0.8．已知在▱ABCD 中，A (1,2)，B (5,0)，C (3,4)．(1)求点D 的坐标；(2)试判断▱ABCD 是否为菱形？解：(1)设D (a ，b )，由▱ABCD ，得k AB ＝k CD ，k AD ＝k BC ，即⎩⎪⎨⎪⎧ 0－25－1＝b －4a －3，b －2a －1＝4－03－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝6，∴D (－1,6)．(2)∵k AC ＝4－23－1＝1，k BD ＝6－0－1－5＝－1， ∴k AC ·k BD ＝－1，∴AC ⊥BD .∴▱ABCD 为菱形．[高考水平训练]1．已知A (1，－1)，B (2,2)，C (3,0)三点，若存在点D ，使CD ⊥AB ，且BC ∥AD ，则点D 的坐标为________．解析：设点D 的坐标为(x ，y )．因为k AB ＝2－－2－1＝3，k CD ＝y x －3，且CD ⊥AB ，所以k AB ·k CD ＝－1，即3×yx －3＝－1. ①因为k BC ＝2－02－3＝－2，k AD ＝y ＋1x －1，且BC ∥AD ，所以k BC ＝k AD ，即－2＝y ＋1x －1， ② 由①②得x ＝0，y ＝1，所以点D 的坐标为(0,1)．答案：(0,1)2．△ABC 的顶点A (5，－1)，B (1,1)，C (2，m )，若△ABC 为直角三角形，则m 的值为________．解析：若∠A 为直角，则AC ⊥AB ，所以k AC ·k AB ＝－1，即m ＋12－5·1＋11－5＝－1，得m ＝－7；若∠B 为直角，则AB ⊥BC ，所以k AB ·k BC ＝－1，即1＋11－5·m －12－1＝－1，得m ＝3；若∠C 为直角，则AC ⊥BC ，所以k AC ·k BC ＝－1，即m ＋12－5·m －12－1＝－1，得m ＝±2. 综上可知，m ＝－7或m ＝3或m ＝±2.答案：－7或±2或33．已知A (－m －3,2)，B (－2m －4,4)，C (－m ，m )，D (3,3m ＋2)，若直线AB ⊥CD ，求m 的值．解：因为A ，B 两点纵坐标不等，所以AB 与x 轴不平行．因为AB ⊥CD ，所以CD 与x 轴不垂直，故m ≠－3.当AB 与x 轴垂直时，－m －3＝－2m －4，解得m ＝－1，而m ＝－1时，C ，D 纵坐标均为－1，所以CD ∥x 轴，此时AB ⊥CD ，满足题意．当AB 与x 轴不垂直时，由斜率公式得k AB ＝4－2－2m －4－－m －＝2－m ＋， k CD ＝3m ＋2－m 3－－m ＝m ＋m ＋3. 因为AB ⊥CD ，所以k AB ·k CD ＝－1，解得m ＝1.综上，m 的值为1或－1.4．在平面直角坐标系中，四边形OPQR 的顶点按逆时针顺序依次为O (0,0)，P (1，t )，Q (1－2t,2＋t )，R (－2t,2)，其中t ＞0.试判断四边形OPQR 的形状．解：如图所示，由已知两个点的坐标得：k OP ＝t －01－0＝t ， k RQ ＝＋t －2－2t －－2t＝t ， k OR ＝2－0－2t －0＝－1t. k PQ ＝t －＋t 1－－2t ＝－1t，所以k OP ＝k RQ ，k OR ＝k PQ ，所以OP ∥RQ ，OR ∥PQ ，所以四边形OPQR 是平行四边形；又k OP ·k OR ＝t ·(－1t)＝－1，所以OP ⊥OR ，∠POR 是直角，所以四边形OPQR 是矩形；过点P 作PA ⊥x 轴，垂足为A ， RB ⊥x 轴，垂足为B ，那么由勾股定理得： OP 2＝OA 2＋AP 2＝1＋t 2.∴OP ＝1＋t 2，OR 2＝OB 2＋BR 2＝(－2t )2＋22＝4(1＋t 2)，∴OR ＝21＋t 2.∴OP ≠OR ，所以四边形OPQR 不是正方形，综上可知，四边形OPQR 是矩形．。

【K12教育学习资料】2018-2019学年高中数学第二章解析几何初步 2.1.3 两条直线的位

2.1.3 两条直线的位置关系[A.基础达标]1．下列说法正确的是( )A ．如果两条直线平行，则它们的斜率相等B ．如果两条直线垂直，则它们的斜率互为负倒数C ．如果两条直线斜率之积为－1，则这两条直线互相垂直D ．如果直线的斜率不存在，则这条直线一定平行于y 轴解析：选C.不论两直线平行还是垂直都要考虑两直线斜率不存在的情况，A 、B 忽略斜率不存在，D 忽略了直线与y 轴重合．2．过点(1，0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0解析：选A.直线x －2y －2＝0的斜率为12，所以所求直线的斜率为12.故所求直线方程为y －0＝12(x －1)，即x －2y －1＝0. 3．已知点A (1，2)，B (3，1)，则线段AB 的垂直平分线的方程是( )A ．4x ＋2y －5＝0B ．4x －2y －5＝0C ．x ＋2y －5＝0D ．x －2y －5＝0解析：选B.因为k AB ＝2－11－3＝－12，所以所求直线的斜率为2.又线段AB 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，故线段AB 的垂直平分线方程为y －32＝2(x －2)，即4x －2y －5＝0.4．已知点A (m ，3)，B (2m ，m ＋4)，C (m ＋1，2)，D (1，0)，且直线AB 与直线CD 平行，则m 的值为( )A ．1B ．0C ．0或2D ．0或1解析：选D.因为AB ∥CD ，所以m ＋4－32m －m ＝2－0m ＋1－1，解得m ＝1.当m ＝0时，直线AB 为y 轴，直线CD 为x ＝1，两直线平行，故若两直线平行则m ＝0或1.5．已知点A (2，3)，B (－2，6)，C (6，6)，D (10，3)，则以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是( )A ．梯形B ．平行四边形C ．菱形D ．矩形解析：选B.如图所示，易知k AB ＝－34，k BC ＝0，k CD ＝－34，k AD ＝0，k BD ＝－14，k AC ＝34，所以k AB ＝k CD ，k BC ＝k AD ，k AB ·k AD ＝0，k AC ·k BD ＝－316，故AD ∥BC ，AB ∥CD ，AB 与AD 不垂直，BD 与AC 不垂直．所以四边形ABCD 为平行四边形．6．已知直线l 1：2x ＋(λ＋1)y －2＝0，l 2：λx ＋y －1＝0，若l 1∥l 2，则λ的值是________．解析：因为l 1∥l 2，所以2×1－(λ＋1)λ＝0，即λ2＋λ－2＝0，解得λ＝－2或λ＝1.当λ＝1时，l 1与l 2重合，不符合题意．所以λ＝－2.答案：－27．已知直线l 1过点A (－2，3)，B (4，m )，直线l 2过点M (1，0)，N (0，m －4)，若l 1⊥l 2，则常数m 的值是________．解析：由已知得k AB ＝m －34－（－2）＝m －36， k MN ＝m －4－1＝4－m . 因为AB ⊥MN ，所以m －36×(4－m )＝－1，即m 2－7m ＋6＝0，解得m ＝1或m ＝6，经检验m ＝1或m ＝6适合题意．答案：1或68．已知点P (0，－1)，点Q 在直线x －y ＋1＝0上，若直线PQ 垂直于直线x ＋2y －5＝0，则点Q 的坐标是________．解析：依题意设点Q 的坐标为(a ，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋1＝0，b ＋1a·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3.故点Q 的坐标为(2，3)．答案：(2，3)9．已知定点A (－1，3)，B (4，2)，以A ，B 为直径作圆与x 轴有交点C ，求交点C 的坐标．解：因为以线段AB 为直径的圆与x 轴相交于点C ，所以AC ⊥CB .据题设条件可知AC 与BC 的斜率均存在(如图)，设C (x ，0)，则k AC ＝－3x ＋1，k BC ＝－2x －4. 所以－3x ＋1·－2x －4＝－1，解得x ＝1或2. 所以C (1，0)或C (2，0)．10．已知在▱ABCD 中，A (1，2)，B (5，0)，C (3，4)．(1)求点D 的坐标；(2)试判定▱ABCD 是否为菱形？解：(1)设D (a ，b )，由▱ABCD ，得k AB ＝k CD ，k AD ＝k BC ，即⎩⎪⎨⎪⎧0－25－1＝b －4a －3，b －2a －1＝4－03－5.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝6.所以D (－1，6)． (2)因为k AC ＝4－23－1＝1，k BD ＝6－0－1－5＝－1，所以k AC ·k BD ＝－1.所以AC ⊥BD .所以▱ABCD 为菱形．[B.能力提升]1．已知点A (－2，－5)，B (6，6)，点P 在y 轴上，且∠APB ＝90°，则点P 的坐标为( )A ．(0，－6)B ．(0，7)C ．(0，－6)或(0，7)D ．(－6，0)或(7，0)解析：选C.由题意可设点P 的坐标为(0，y )．因为∠APB ＝90°，所以AP ⊥BP ，且直线AP 与直线BP 的斜率都存在．又k AP ＝y ＋52，k BP ＝y －6－6，k AP ·k BP ＝－1，故y ＋52·⎝⎛⎭⎪⎫－y －66＝－1，解得y ＝－6或y ＝7.所以点P 的坐标为(0，－6)或(0，7)．2．顺次连接A (－4，3)，B (2，5)，C (6，3)，D (－3，0)四点所组成的图形是( )A ．平行四边形B ．直角梯形C ．等腰梯形D ．以上都不对解析：选B.观察知连接后各边所在直线斜率都存在．因为k AB ＝5－32－（－4）＝13，k CD ＝0－3－3－6＝13，所以AB ∥CD .又k AD ＝0－3－3－（－4）＝－3，k BC ＝3－56－2＝－12，所以AD 与BC 不平行，且AD ⊥CD .所以四边形ABCD 为直角梯形．3．若直线l 经过点(a －2，－1)和(－a －2，1)且与经过点(－2，1)，斜率为－23的直线垂直，则实数a 的值为________．解析：由题意知两直线的斜率均存在，且直线l 与斜率为－23的直线垂直，则直线l 的斜率为32，于是32＝1－（－1）（－a －2）－（a －2）＝2－2a ＝－1a ，解得a ＝－23. 答案：－234．已知0<k <4，直线l 1：kx －2y －2k ＋8＝0和直线l 2：2x ＋k 2y －4k 2－4＝0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k 值为________．解析：由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2，4)，直线l 1的纵截距为4－k ，直线l 2的横截距为2k 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(4－k )＋12×4×(2k 2＋2)＝4k 2－k ＋8，故面积最小时k ＝18. 答案：185．已知A (－m －3，2)，B (－2m －4，4)，C (－m ，m )，D (3，3m ＋2)，若直线AB ⊥CD ，求m 的值．解：因为A ，B 两点纵坐标不等，所以AB 与x 轴不平行．因为AB ⊥CD ，所以CD 与x 轴不垂直，故m ≠－3.当AB 与x 轴垂直时，－m －3＝－2m －4，解得m ＝－1，而m ＝－1时，C ，D 纵坐标均为－1，所以CD ∥x 轴，此时AB ⊥CD ，满足题意．当AB 与x 轴不垂直时，由斜率公式得k AB ＝4－2－2m －4－（－m －3）＝2－（m ＋1）， k CD ＝3m ＋2－m 3－（－m ）＝2（m ＋1）m ＋3. 因为AB ⊥CD ，所以k AB ·k CD ＝－1，解得m ＝1.综上，m 的值为1或－1.6．(选做题)直线l 的倾斜角为30°，点P (2，1)在直线l 上，直线l 绕点P (2，1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l 1的位置，且直线l 1与l 2平行，l 2是线段AB 的垂直平分线，A (1，m －1)，B (m ，2)，试求m 的值．解：因为直线l 1的倾斜角为30°＋30°＝60°，所以直线l 1的斜率k 1＝tan 60°＝ 3.又直线AB 的斜率为m －1－21－m ＝m －31－m，所以AB 的垂直平分线l 2的斜率k 2＝m －1m －3. 因为直线l 1与l 2平行，所以k 1＝k 2，即3＝m －1m －3，解得m ＝4＋ 3.。

高中数学解析几何知识点总结

高中数学解析几何知识点总结解析几何是高中数学中的重要内容之一，掌握解析几何的知识点对于学习数学和理解几何概念有着重要的作用。

本文将对高中数学中常见的解析几何知识点进行总结，并简要介绍其相关概念和应用。

一、坐标系与向量在解析几何中，我们通常使用笛卡尔坐标系来描述平面上的点和向量。

笛卡尔坐标系由两条互相垂直的坐标轴组成，其中横轴称为x轴，纵轴称为y轴。

平面上的每一个点都可以用一个有序数对(x, y)来表示，其中x为横坐标，y为纵坐标。

向量是解析几何中另一个重要的概念，它由起点和终点组成，可以表示平面上的位移和方向。

向量的表示通常使用有向线段来表示，我们可以将有向线段的起点放在坐标原点，并表示为一个有序数对(x, y)。

向量的模表示了有向线段的长度，方向与有向线段的方向相同。

“向量A”通常用符号→A表示。

二、直线与曲线的方程在解析几何中，直线和曲线可以通过方程来表示。

对于直线而言，它通常可以使用一次方程的形式来表示，即y = kx + b，其中k为直线的斜率，b为直线与y轴的交点。

曲线的方程则复杂一些，常见的曲线方程包括二次方程、圆的方程等。

例如，二次曲线的方程一般形式为Ax^2 + By^2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0，其中A、B、C、D、E、F为常数。

三、点与线的位置关系解析几何中，点与直线之间有着不同的位置关系。

常见的位置关系包括点在线上、点在直线上方或下方、点在线段上等。

判断点在线上的方法是将点的坐标代入直线方程，若等式成立，则点在线上。

同时，当点与直线之间的距离为零时，也可认为点在线上。

四、直线与直线的位置关系在解析几何中，直线与直线之间有着不同的位置关系。

常见的位置关系包括平行、垂直、相交等。

若两条直线的斜率相等，则它们平行；若两条直线的斜率乘积为-1，则它们垂直。

两条直线相交的条件是它们不平行且不重合。

五、圆的方程与性质圆是解析几何中一个重要的曲线，它由平面上到一个定点的距离等于定长的点的集合构成。

北师大版高中数学必修2第二章《解析几何初步》2.1《直线与直线的方程(5)》教案

第五课时直线的一般式方程一、教学目标1、知识与技能：（1）明确直线方程一般式的形式特征；（2）会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；（3）会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。

2、过程与方法：学会用分类讨论的思想方法解决问题。

3、情态与价值观：（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；（2）用联系的观点看问题。

二、教学重点、难点1、重点：直线方程的一般式。

2、难点：对直线方程一般式的理解与应用。

三、教学方法：探析交流法四、教学过程问题设计意图师生活动1、（1）平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于yx ,的二元一次方程表示吗？（2）每一个关于y x ,的二元一次方程0=++C By Ax （A ，B 不同时为0）都表示一条直线吗？使学生理解直线和二元一次方程的关系。

教师引导学生用分类讨论的方法思考探究问题（1），即直线存在斜率和直线不存在斜率时求出的直线方程是否都为二元一次方程。

对于问题（2），教师引导学生理解要判断某一个方程是否表示一条直线，只需看这个方程是否可以转化为直线方程的某种形式。

为此要对B 分类讨论，即当0≠B 时和当B=0时两种情形进行变形。

然后由学生去变形判断，得出结论：关于y x ,的二元一次方程，它都表示一条直线。

教师概括指出：由于任何一条直线都可以用一个关于y x ,的二元一次方程表示；同时，任何一个关于y x ,的二元一次方程都表示一条直线。

我们把关于关于y x ,的二元一次方程0=++C By Ax （A ，B 不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式（general form ）.2、直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点？使学生理解直线方程的一般式的与其他形学生通过对比、讨论，发现直线方程的一般式与其他形式的直线方程的一个不同点是：问题设计意图师生活动式的不同点。

直线的一般式方程能够表示平面上的所有直线，而点斜式、斜截式、两点式方程，都不能表示与x 轴垂直的直线。

第一部分第二章解析几何初步 1 直线与直线的方程 1.4 两条直线的交点

1．(2012·湖南三校高一联考)两条直线x ＋y －a ＝0与x －y －2＝0相交于第一象限，则实数a 的取值范围是( )A ．－2<a <2B ．a <－2C ．a >2D ．a <－2或a >2解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －a ＝0，x －y －2＝0，得⎩⎨⎧ x ＝a ＋22，y ＝a －22，因为交点在第一象限，∴⎩⎨⎧ a ＋22>0，a －22>0，∴a >2.答案：C2．直线：2x ＋y ＋m ＝0和x ＋2y ＋n ＝0的位置关系是 () A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．不能确定，与m ，n 取值有关解析：∵直线2x ＋y ＋m ＝0的斜率k 1＝－2，直线x ＋2y ＋n ＝0的斜率k 2＝－12，∴两直线相交但不垂直．答案：C3．经过两直线l 1：x －y －7＝0，l 2：x ＋y －3＝0的交点，且过点(0,1)的直线方程为() A ．x －4y ＋4＝0 B ．x ＋5y －5＝0C ．3x －5y ＋5＝0D ．3x ＋5y －5＝0解析：设所求方程为(x －y －7)＋λ(x ＋y －3)＝0(λ∈R)，把(0,1)代入得－8＋λ(－2)＝0，λ＝－4.所求方程为：3x ＋5y －5＝0.答案：D4．已知点P (－1,0)，Q (1,0)，直线y ＝－2x ＋b 与线段PQ 相交，则b 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[－1,1]C ．[－12，12]D ．[0,2]解析：点P ，Q 所在直线的方程为y ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋b ，y ＝0，得交点(b 2，0)，由－1≤b 2≤1，得－2≤b ≤2.答案：A5．(2012·汕头高一检测)已知两直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0和a 2x ＋b 2y ＋1＝0的交点为(2,3)，则过两点Q 1(a 1，b 1)，Q 2(a 2，b 2)的直线方程是________________．解析：由条件可知2a 1＋3b 1＋1＝0,2a 2＋3b 2＋1＝0，∴(a 1，b 1)，(a 2，b 2)在直线2x ＋3y ＋1＝0上．故过Q 1，Q 2的直线方程为2x ＋3y ＋1＝0.答案：2x ＋3y ＋1＝06．若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0和x ＋ky ＝0相交于一点，则k 的值等于________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2， ∴三条直线的交点为(－1，－2)，∴－1－2k ＝0，∴k ＝－12. 答案：－127．已知直线l 1：3x －y ＋12＝0，l 2：3x ＋2y －6＝0，求l 1，l 2及x 轴围成的三角形的面积．解：由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y ＋12＝0，3x ＋2y －6＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝6，即l 1与l 2交于点P (－2,6)，由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＋12＝0，y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4，y ＝0.l 1交x 轴于A (－4,0)．同理l 2交x 轴于B (2,0)，|AB |＝6.S △ABP ＝12×6×6＝18. 即l 1，l 2及x 轴围成的三角形面积为18.8．已知△ABC 的顶点A (5,1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0.求(1)顶点C 的坐标；(2)直线BC 的方程．解：(1)因为AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0.则直线AC 的斜率k AC ＝－2，又知顶点A (5,1)，得直线AC 的方程为2x ＋y －11＝0，又直线CM 的方程为2x －y －5＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －5＝0，2x ＋y －11＝0，得点C 的坐标为(4,3)．(2)法一：设B (x 0，y 0)，则M (x 0＋52，y 0＋12)．于是有x 0＋5－y 0＋12－5＝0，即2x 0－y 0－1＝0.与x 0－2y 0－5＝0联立，解得点B 的坐标为(－1，－3)．由(1)知点C 坐标(4,3)．于是直线BC 的方程为6x －5y －9＝0.法二：设直线BC 的方程为y －3＝k (x －4)，即kx －y ＋3－4k ＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －5＝0，kx －y －(4k －3)＝0，得 x ＝8k －112k －1，y ＝－k －32k －1. 因为点M 是线段AB 的中点，所以点M 的坐标是(9k －82k －1，k －42(2k －1))．把点M 的坐标代入直线CM 的方程，得18k －162k －1－k －42(2k －1)－5＝0. 解得k ＝65.所以直线BC 的方程为6x －5y －9＝0.法三：设M (x ，y )，则B (2x －5,2y －1)．因为点B 在直线BH 上，所以有2x －5－2(2y －1)－5＝0，即x －2y －4＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －4＝0，2x －y －5＝0，得点M 的坐标为(2，－1)，点B 的坐标为(－1，－3)．又点C (4,3)，所以直线BC 的方程为6x －5y －9＝0.。

数学北师大版高中必修2§1 直线与直线的方程(两条直线的交点)

第二章解析几何初步§1 直线与直线的方程（两条直线的交点）一、选择题1．直线)(0)11()3()12(R k k y k x k ∈==--+--，所经过的定点是（）A ．（5，2）B ．（2，3）C ．（－21，3） D ．(5，9) 2、若直线12++=k kx y 与直线221+-=x y 的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是（）A 、26-- kB 、061 k - C 、061 k - D 、21 k 3．三条直线0155,02,0321=--=-+=-ky x l y x l y x l ：：：构成一个三角形，则k 的范围是（）A ．R k ∈B ．R k ∈且0,1≠±≠k kC ．R k ∈且10,5-≠±≠k kD ．R k ∈且1,15≠±≠k k二、填空题4．三条直线013,012=-+=+-y x y x 和032=-+y ax 共有两个不同的交点，则a ＝________．5．过010531=--y x l ：和012=++y x l ：的交点，且平行于0523=-+y x l ：的直线方程为_________．三、解答题6、求经过直线0623=++y x 和0752=-+y x 的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程。

7．某商品的市场需求量1y （万件）、市场供应量2y （万件）与市场价格x （元/件）分别近似满足下列关系：202,7021-=+-=x y x y ．当21y y =时的市场价格称为市场平衡价格．此时的需求量称为平衡需求量．（1）求平衡价格和平衡需求量；（2）若要使平衡需求量增加4万件，政府对每件商品应给予多少元补贴？8、已知直线1245+=+a y x 与直线a y x =+32的交点位于第四象限，求a 的取值范围。

我的高中数学目录 (2)

北师大版高中数学必修一·第一章集合·1、集合的基本关系◎好◎一般◎较差◎完全不会·2、集合的含义与表示◎好◎一般◎较差◎完全不会·3、集合的基本运算◎好◎一般◎较差◎完全不会·第二章函数·1、生活中的变量关系◎好◎一般◎较差◎完全不会·2、对函数的进一步认识◎好◎一般◎较差◎完全不会·3、函数的单调性◎好◎一般◎较差◎完全不会·4、二次函数性质的再研究◎好◎一般◎较差◎完全不会·5、简单的幂函数◎好◎一般◎较差◎完全不会·第三章指数函数和对数函数·1、正整数指数函数◎好◎一般◎较差◎完全不会·2、指数概念◎好◎一般◎较差◎完全不会·3、指数函数◎好◎一般◎较差◎完全不会·4、对数◎好◎一般◎较差◎完全不会·5、对数函数◎好◎一般◎较差◎完全不会·6、指数函数、幂函数、对数函数◎好◎一般◎较差◎完全不会·第四章函数应用·1、函数与方程◎好◎一般◎较差◎完全不会·2、实际问题的函数建模◎好◎一般◎较差◎完全不会北师大版高中数学必修二·第一章立体几何初步·1、简单几何体◎好◎一般◎较差◎完全不会·2、三视图◎好◎一般◎较差◎完全不会·3、直观图◎好◎一般◎较差◎完全不会·4、空间图形的基本关系与公理◎好◎一般◎较差◎完全不会·5、平行关系◎好◎一般◎较差◎完全不会·6、垂直关系◎好◎一般◎较差◎完全不会·7、简单几何体的面积和体积◎好◎一般◎较差◎完全不会·8、面积公式和体积公式的简单应用◎好◎一般◎较差◎完全不会·第二章解析几何初步·1、直线与直线的方程◎好◎一般◎较差◎完全不会·2、圆与圆的方程◎好◎一般◎较差◎完全不会·3、空间直角坐标系◎好◎一般◎较差◎完全不会北师大版高中数学必修三·第一章统计·1、统计活动：随机选取数字◎好◎一般◎较差◎完全不会·2、从普查到抽样◎好◎一般◎较差◎完全不会·3、抽样方法◎好◎一般◎较差◎完全不会·4、统计图表◎好◎一般◎较差◎完全不会·5、数据的数字特征◎好◎一般◎较差◎完全不会·6、用样本估计总体◎好◎一般◎较差◎完全不会·7、统计活动：结婚年龄的变化◎好◎一般◎较差◎完全不会·8、相关性◎好◎一般◎较差◎完全不会·9、最小二乘法◎好◎一般◎较差◎完全不会·第二章算法初步·1、算法的基本思想◎好◎一般◎较差◎完全不会·2、算法的基本结构及设计◎好◎一般◎较差◎完全不会·3、排序问题◎好◎一般◎较差◎完全不会·4、几种基本语句◎好◎一般◎较差◎完全不会·第三章概率·1、随机事件的概率◎好◎一般◎较差◎完全不会·2、古典概型◎好◎一般◎较差◎完全不会·3、模拟方法――概率的应用◎好◎一般◎较差◎完全不会北师大版高中数学必修四·第一章三角函数·1、周期现象与周期函数◎好◎一般◎较差◎完全不会·2、角的概念的推广◎好◎一般◎较差◎完全不会·3、弧度制◎好◎一般◎较差◎完全不会·4、正弦函数◎好◎一般◎较差◎完全不会·5、余弦函数◎好◎一般◎较差◎完全不会·6、正切函数◎好◎一般◎较差◎完全不会·7、函数的图像◎好◎一般◎较差◎完全不会·8、同角三角函数的基本关系◎好◎一般◎较差◎完全不会·第二章平面向量·1、从位移、速度、力到向量◎好◎一般◎较差◎完全不会·2、从位移的合成到向量的加法◎好◎一般◎较差◎完全不会·3、从速度的倍数到数乘向量◎好◎一般◎较差◎完全不会·4、平面向量的坐标◎好◎一般◎较差◎完全不会·5、从力做的功到向量的数量积◎好◎一般◎较差◎完全不会·6、平面向量数量积的坐标表示◎好◎一般◎较差◎完全不会·7、向量应用举例◎好◎一般◎较差◎完全不会·第三章三角恒等变形·1、两角和与差的三角函数◎好◎一般◎较差◎完全不会·2、二倍角的正弦、余弦和正切◎好◎一般◎较差◎完全不会·3、半角的三角函数◎好◎一般◎较差◎完全不会·4、三角函数的和差化积◎好◎一般◎较差◎完全不会·5、三角函数的简单应用◎好◎一般◎较差◎完全不会北师大版高中数学必修五·第一章数列·1、数列的概念◎好◎一般◎较差◎完全不会·2、数列的函数特性◎好◎一般◎较差◎完全不会·3、等差数列◎好◎一般◎较差◎完全不会·4、等差数列的前n项和◎好◎一般◎较差◎完全不会·5、等比数列◎好◎一般◎较差◎完全不会·6、等比数列的前n项和◎好◎一般◎较差◎完全不会·7、数列在日常经济生活中的应用◎好◎一般◎较差◎完全不会·第二章解三角形·1、正弦定理与余弦定理正弦定理◎好◎一般◎较差◎完全不会·2、正弦定理◎好◎一般◎较差◎完全不会·3、余弦定理◎好◎一般◎较差◎完全不会·4、三角形中的几何计◎好◎一般◎较差◎完全不会·5、解三角形的实际应用举例◎好◎一般◎较差◎完全不会·第三章不等式·1、不等关系◎好◎一般◎较差◎完全不会·1.1、不等式关系◎好◎一般◎较差◎完全不会·1.2、比较大小◎好◎一般◎较差◎完全不会2，一元二次不等式◎好◎一般◎较差◎完全不会·2.1、一元二次不等式的解法◎好◎一般◎较差◎完全不会·2.2、一元二次不等式的应用◎好◎一般◎较差◎完全不会·3、基本不等式◎好◎一般◎较差◎完全不会3.1 基本不等式◎好◎一般◎较差◎完全不会·3.2、基本不等式与最大（小）值◎好◎一般◎较差◎完全不会4 线性规划·4.1、二元一次不等式与平面区◎好◎一般◎较差◎完全不会·4.2、简单线性规划◎好◎一般◎较差◎完全不会·4.3、简单线性规划的应用◎好◎一般◎较差◎完全不会选修1-1第一章常用逻辑用语1命题◎好◎一般◎较差◎完全不会2充分条件与必要条件◎好◎一般◎较差◎完全不会2.1充分条件◎好◎一般◎较差◎完全不会2．2必要条件◎好◎一般◎较差◎完全不会2．3充要条件◎好◎一般◎较差◎完全不会3全称量词与存在量词3．1全称量词与全称命题◎好◎一般◎较差◎完全不会3．2存在量词与特称命题◎好◎一般◎较差◎完全不会3．3全称命题与特称命题的否定◎好◎一般◎较差◎完全不会4逻辑联结词“且’’‘‘或…‘非4．1逻辑联结词“且◎好◎一般◎较差◎完全不会4．2逻辑联结词“或◎好◎一般◎较差◎完全不会4．3逻辑联结词‘‘非◎好◎一般◎较差◎完全不会第二章圆锥曲线与方程1椭圆◎好◎一般◎较差◎完全不会1．1椭圆及其标准方程◎好◎一般◎较差◎完全不会1．2椭圆的简单性质◎好◎一般◎较差◎完全不会2抛物线2．1抛物线及其标准方程◎好◎一般◎较差◎完全不会2．2抛物线的简单性质◎好◎一般◎较差◎完全不会3 曲线3．1双曲线及其标准方程◎好◎一般◎较差◎完全不会3．2双曲线的简单性质◎好◎一般◎较差◎完全不会第三章变化率与导数1变化的快慢与变化率◎好◎一般◎较差◎完全不会2导数的概念及其几何意义2．1导数的概念◎好◎一般◎较差◎完全不会2．2导数的几何意义◎好◎一般◎较差◎完全不会3计算导数◎好◎一般◎较差◎完全不会4导数的四则运算法则4．1导数的加法与减法法则◎好◎一般◎较差◎完全不会4．2导数的乘法与除法法则◎好◎一般◎较差◎完全不会第四章导数应用4．1导数的加法与减法法则◎好◎一般◎较差◎完全不会4．2导数的乘法与除法法则◎好◎一般◎较差◎完全不会选修1-2第一章统计案例1 回归分析◎好◎一般◎较差◎完全不会1.1 回归分析◎好◎一般◎较差◎完全不会1.2相关系数◎好◎一般◎较差◎完全不会1.3可线性化的回归分析◎好◎一般◎较差◎完全不会2独立性检验2.1条件概率与独立事件◎好◎一般◎较差◎完全不会2.2 独立性检验◎好◎一般◎较差◎完全不会2.3独立性检验的基本思想◎好◎一般◎较差◎完全不会2.4独立性检验的应用◎好◎一般◎较差◎完全不会第二章框图1 流程图◎好◎一般◎较差◎完全不会2结构图◎好◎一般◎较差◎完全不会第三章推理与证明1 归纳与类比◎好◎一般◎较差◎完全不会1.1归纳推理◎好◎一般◎较差◎完全不会1.2类比推理◎好◎一般◎较差◎完全不会2 数学证明◎好◎一般◎较差◎完全不会3 综合法与分析法3.1综合法◎好◎一般◎较差◎完全不会3.2分析法◎好◎一般◎较差◎完全不会4反证法◎好◎一般◎较差◎完全不会第四章数系的扩充与复数的引入1 数系的扩充与复数的引入◎好◎一般◎较差◎完全不会1.1数的概念的扩充◎好◎一般◎较差◎完全不会1.2复数的有关概念◎好◎一般◎较差◎完全不会2复数的四则运算2.1复数的加法与减法◎好◎一般◎较差◎完全不会2.2复数的乘法与除法◎好◎一般◎较差◎完全不会选修2-1第一章常用逻辑用语1 命题◎好◎一般◎较差◎完全不会2 充分条件与必要条件◎好◎一般◎较差◎完全不会3 全称量词与存在量词◎好◎一般◎较差◎完全不会4 逻辑联结词“且”“或”“非”◎好◎一般◎较差◎完全不会第二章空间向量与立体几何1 从平面向量到空间向量◎好◎一般◎较差◎完全不会2 空间向量的运算◎好◎一般◎较差◎完全不会3 向量的坐标表示和空间向量◎好◎一般◎较差◎完全不会4 用向量讨论垂直与平行◎好◎一般◎较差◎完全不会5 夹角的计算◎好◎一般◎较差◎完全不会6 距离的计算◎好◎一般◎较差◎完全不会第三章圆锥曲线与方程1 椭圆1．1 椭圆及其标准方程◎好◎一般◎较差◎完全不会1．2 椭圆的简单性质◎好◎一般◎较差◎完全不会2 抛物线2．1 抛物线及其标准方程◎好◎一般◎较差◎完全不会2．2 抛物线的简单性质◎好◎一般◎较差◎完全不会3 双曲线3．1 双曲线及其标准方程◎好◎一般◎较差◎完全不会3．2 双曲线的简单性质◎好◎一般◎较差◎完全不会4 曲线与方程4．1 曲线与方程◎好◎一般◎较差◎完全不会4．2 圆锥曲线的共同特征◎好◎一般◎较差◎完全不会4．3 直线与圆锥曲线的交点◎好◎一般◎较差◎完全不会选修2-2第一章推理与证明1 归纳与类比◎好◎一般◎较差◎完全不会2 综合法与分析法◎好◎一般◎较差◎完全不会3 反证法◎好◎一般◎较差◎完全不会4 数学归纳法◎好◎一般◎较差◎完全不会第二章变化率与导数1 变化的快慢与变化率◎好◎一般◎较差◎完全不会2 导数的概念及其几何意义◎好◎一般◎较差◎完全不会2.1导数的概念◎好◎一般◎较差◎完全不会2.2导数的几何意义◎好◎一般◎较差◎完全不会3 计算导数◎好◎一般◎较差◎完全不会4 导数的四则运算法则4.1导数的加法与减法法则◎好◎一般◎较差◎完全不会4.2导数的乘法与除法法则◎好◎一般◎较差◎完全不会5 简单复合函数的求导法则◎好◎一般◎较差◎完全不会第三章导数应用1 函数的单调性与极值◎好◎一般◎较差◎完全不会1.1导数与函数的单调性◎好◎一般◎较差◎完全不会2 导数在实际问题中的应用◎好◎一般◎较差◎完全不会2.1实际问题中导数的意义◎好◎一般◎较差◎完全不会2.2最大、最小值问题◎好◎一般◎较差◎完全不会第四章定积分1 定积分的概念◎好◎一般◎较差◎完全不会1.1定积分背景-面积和路程问题◎好◎一般◎较差◎完全不会1.2定积分◎好◎一般◎较差◎完全不会2 微积分基本定理◎好◎一般◎较差◎完全不会3 定积分的简单应用◎好◎一般◎较差◎完全不会3.1平面图形的面积◎好◎一般◎较差◎完全不会3.2简单几何体的体积◎好◎一般◎较差◎完全不会第五章数系的扩充与复数的引入1 数系的扩充与复数的引入◎好◎一般◎较差◎完全不会1.1数的概念的扩展◎好◎一般◎较差◎完全不会1.2复数的有关概念◎好◎一般◎较差◎完全不会2 复数的四则运算◎好◎一般◎较差◎完全不会2.1复数的加法与减法◎好◎一般◎较差◎完全不会2.2复数的乘法与除法◎好◎一般◎较差◎完全不会选修2-3第一章计数原理1.分类加法计数原理◎好◎一般◎较差◎完全不会1.1 分类加法计数原理◎好◎一般◎较差◎完全不会1.2 分步乘法计数原理◎好◎一般◎较差◎完全不会2.排列2.1 排列的原理◎好◎一般◎较差◎完全不会2.2 排列数公式◎好◎一般◎较差◎完全不会3.组合3.1 组合及组合数公式◎好◎一般◎较差◎完全不会3.2 组合数的两个性质◎好◎一般◎较差◎完全不会4.简单计数问题◎好◎一般◎较差◎完全不会5.二项式定理5.1 二项式定理◎好◎一般◎较差◎完全不会5.2 二项式系数的性质◎好◎一般◎较差◎完全不会第二章概率1.离散型随机变量及其分布列◎好◎一般◎较差◎完全不会2.超几何分布◎好◎一般◎较差◎完全不会3.条件概率与独立事件◎好◎一般◎较差◎完全不会4.二项分布◎好◎一般◎较差◎完全不会5.离散型随机变量均值与方差5.1 离散型随机变量均值与方差◎好◎一般◎较差◎完全不会5.2 离散型随机变量均值与方差◎好◎一般◎较差◎完全不会6.正态分布6.1 连续型随机变量◎好◎一般◎较差◎完全不会第三章统计案例1.回归分析◎好◎一般◎较差◎完全不会1.1 回归分析◎好◎一般◎较差◎完全不会1.2 相关系数◎好◎一般◎较差◎完全不会1.3 可线性化的回归分析◎好◎一般◎较差◎完全不会2.独立性检验2.1 独立性检验◎好◎一般◎较差◎完全不会2.2 独立性检验的基本思想◎好◎一般◎较差◎完全不会2.3 独立性检验的应用◎好◎一般◎较差◎完全不会选修4-1第一章直线、多边形、圆1.全等与相似◎好◎一般◎较差◎完全不会2.圆与直线◎好◎一般◎较差◎完全不会3.圆与四边形◎好◎一般◎较差◎完全不会第二章圆锥曲线1.截面欣赏◎好◎一般◎较差◎完全不会2.直线与球平面与球的位置◎好◎一般◎较差◎完全不会3.柱面与平面的截面◎好◎一般◎较差◎完全不会4.平面截圆锥面◎好◎一般◎较差◎完全不会5.圆锥曲线的几何性质◎好◎一般◎较差◎完全不会选修4-4第一章坐标系1 平面直角坐标系◎好◎一般◎较差◎完全不会2 极坐标系◎好◎一般◎较差◎完全不会3 柱坐标系和球坐标系◎好◎一般◎较差◎完全不会第二章参数方程1 参数方程的概念◎好◎一般◎较差◎完全不会2 圆锥曲线的参数方程◎好◎一般◎较差◎完全不会3 参数方程化成普通方程◎好◎一般◎较差◎完全不会4 平摆线和渐开线◎好◎一般◎较差◎完全不会选修4-5第一章不等关系与基本不等式l不等式的性质◎好◎一般◎较差◎完全不会2含有绝对值的不等式◎好◎一般◎较差◎完全不会3平均值不等式◎好◎一般◎较差◎完全不会4不等式的证明◎好◎一般◎较差◎完全不会5不等式的应用◎好◎一般◎较差◎完全不会第二章几个重妻的不等式1柯西不等式◎好◎一般◎较差◎完全不会2排序不等式◎好◎一般◎较差◎完全不会3数学归纳法◎好◎一般◎较差◎完全不会。

高中数学第二章解析几何初步1直线与直线的方程1.2直线的方程第二课时直线方程的两点式和一般式

第二课时直线方程的两点式和一般式
一、预习教材·问题导入预习课本P67～69，思考并完成以下问题
(1)如何由直线上的两点确定直线的方程？ (2)直线的两点式方程的适用范围是什么？直线的截距式方程与两点式方程的关系是什么？ (3)直线的一般式方程是什么？
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二、归纳总结·核心必记
By＋C＝0(A，B不同时为0)表示．
(√ )
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2．直线xa＋by＝1(ab＜0)的图像可能是
()
答案：C
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3．过两点(2 015,2 016)，(2 015,2 017)的直线方程是 ( )
A．x＝2 015
B．x＝2 016
C．y＝2 015
D．x＋y＝2 017
答：A
4．直线 x－y＋5＝0 的倾斜角为
()
A．45°
B．60°
C．120°
D．135°
答案：A
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考点一直线方程的两点式和截距式 [典例] (1)求满足下列条件的直线方程： (1)过点A(－2,3)，B(4，－1)； (2)在x轴，y轴上的截距分别为4，－5； (3)过点P(2,3)，且在两坐标轴上的截距相等．
1．直线方程的两点式和截距式
名称
两点式
截距式
在 x，y 轴上的截距已知条件 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，分别为 a，b
示意图
方程适用范围
_yy_2－_－_y_y1_1_＝__xx_2－_－_x_x1_1
y1≠y2 且 x1≠x2
_xa__＋__by_＝__1_
ab≠0
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由②得：m＝3或m＝－53.

解析几何初步第2课时--直线的方程1

第二章解析几何初步§1 直线与直线方程第2课时直线方程(1)【预习导航】1.若直线l 过点00(,)P x y ,且斜率为k ,则直线l 的方程为______________；若直线l 过点00(,)P x y ,且斜率不存在,则直线l 的方程为______________.2.若直线l 过点(0,)P b ,且斜率为k ,则直线l 的方程为______________；若直线l 过点(0,)P b ,且斜率不存在,则直线l 的方程为______________.【基础自测】1.直线15(1)y x -=+的斜率为( ) (A)1- (B)5- (C)1 (D)52.倾斜角为45︒,过(1,2)的直线方程为( ) (A)1y x =+ (B)1y x =- (C)3y x =+ (D)3y x =-3.倾斜角为0︒,过(1,3)的直线方程为( ) (A)1x = (B)1y = (C)3x = (D)3y =4.斜率为3,过(0,1)的直线方程为( ) (A)31y x =- (B)31y x =+(C)313y x =- (D)313y x =+ 【典例剖析】题型1: 利用点斜式求直线方程例1 分别求出过点(3,4)P ,且满足以下条件的直线方程:(1)斜率2k =； (2)与x 轴平行； (3)与x 轴垂直；[思路分析]注意对直线点斜式的理解. [解](1)因直线过点(3,4)P ,且2k =,故直线方程为42(3)y x -=-,即22y x =-.(2)因直线与x 轴平行,故斜率0k =,又由于直线过点(3,4)P ,故方程为4y =.(3)因直线与x 轴垂直,且过点(3,4)P ,故方程为3x =.[规律技巧](1)使用点斜式求直线方程,需注意前提条件是直线的斜率存在；(2)x 轴所在直线方程为0y =,y 轴所在直线方程为0x =；过点00(,)P x y 的直线有两类:斜率存在,且为k ,其方程为00()y y k x x -=-；斜率不存在,其方程为0x x =.[变式训练]已知直线l 过点(1,5)P -,其斜率与直线56y x =+的斜率相等,求直线l 的方程.例2 求倾斜角是直线31y x =-+的倾斜角的一半,且满足下列条件的直线l 的方程. (1)经过点(3,1)-；(2)在y 轴上的截距为5-.[思路分析]本题关键是要通过倾斜角的关系求出直线的斜率,然后利用直线的点斜式求直线方程.[解]因直线31y x =-+的斜率为3-,故其倾斜角为120︒.因此,直线l 的倾斜角为60︒,其斜率tan 603k =︒=.(1)由直线斜率为3,且过(3,1)-得直线方程为(1)3(3)y x --=-,即34y x =-. (2)由所求直线斜率为3,且在y 轴上的截距为5-可得直线方程为35y x =-. [规律技巧](1)截距和距离是两个不同的概念,需要注意区分；(2)注意倾斜角与斜率之间的关系,以及倾斜角的取值范围. [变式训练]求倾斜角是直线1y x =+的倾斜角的一半,且满足下列条件的直线方程. (1)经过点(1,2)； (2)在y 轴上的截距为5-.题型2: 直线方程的应用例3 求斜率为34,且与两坐标轴围成的三角形的周长为12的直线方程.[思路分析]由于直线与两坐标轴围成的三角形是直角三角形,故设出直线方程后,分别求到直线与两坐标轴的交点坐标即可表示出所围成三角形的周长.[解]由题意可设直线方程为34y x b =+.故令0x =得y b =；令0y =得43x b =-.故有2244||||()1233b b b b +-++-=. 解得:3b =或3b =-. 所求直线的方程为: 334y x =+或334y x =-. [规律技巧]三角形的周长是三角形三个顶点间的距离之和,“截距”不是距离,因此在解题时需要注意绝对值符号.[变式训练]求斜率为2,且与两坐标轴围成的三角形的面积为4的直线方程.【知能迁移】例4 已知过点(2,3)P 的直线l 与两坐标轴围成的三角形面积为12,求直线l 的方程. [思路分析]由于所求三角形是直角三角形,故设出直线方程后,利用三角形面积建立关于直线斜率的方程,并求解即可. [解]由题意可知直线l 的斜率必存在,且不为0,故可设其方程为(2)3y k x =-+. 令0x =得(23)y k =--；令0y =得23k x k -=.故123|(23)|||122k k k-⋅--⋅=. 即2(23)24||k k -=.当0k <时,解得32k =-；当0k >时,解得9622k ±=；故直线方程为: 362y x =-+,9626622y x +=--, 9626622y x -=-+. [规律技巧]本题需注意以下问题:(1)“截距”与距离的联系与区别；(2)含有绝对值的方程求解时的分类讨论；(3)计算的步骤和准确性.[变式训练]已知过点(2,1)P 的直线l 与两坐标轴所围三角形面积为3,求直线l 的方程.【课时作业】一、选择题1.直线15(1)y x-=+的斜率为( ) (A)1- (B)1 (C)5- (D)52.过点(1,2),斜率为23的直线方程为( )(A)3210x y+-= (B)3270x y++=(C)3250x y-+= (D)3280x y-+=3.直线3450x y++=的斜率k和在y轴上的截距b的值分别为( )(A)35,44k b== (B)35,44k b=-=-(C)45,33k b== (D)45,33k b=-=-4.直线10x y-+=与坐标轴围成的三角形的周长为( )(A)22- (B)2(C)22+ (D)222-二、填空题5.若直线(1)(2)y a a x-=-+在y轴上的截距为6,则a=________.6.过点(1,2),且斜率与直线23y x=-+的斜率相等的直线方程为______.7.过点(2,3),且倾斜角是直线5x=的倾斜角的一半的直线方程为______.8.若将直线220x y-+=绕其与x轴的交点逆时针旋转45︒得到直线l,则直线l的方程为______. 三、解答题9.求过点(2,1)-,且与直线31y x=-的夹角为45︒的直线l的方程.10.求过点(2,3)P直线与两坐标轴正半轴围成三角形面积的最小值.第二章解析几何初步§1 直线与直线方程第2课时直线方程(1)【预习导航】1.若直线l 过点00(,)P x y ,且斜率为k ,则直线l 的方程为______________；若直线l 过点00(,)P x y ,且斜率不存在,则直线l 的方程为______________.2.若直线l 过点(0,)P b ,且斜率为k ,则直线l 的方程为______________；若直线l 过点(0,)P b ,且斜率不存在,则直线l 的方程为______________.参考答案: 1.00()y y k x x -=-,0x x =.2.y kx b =+,0x =.【基础自测】1.直线15(1)y x -=+的斜率为( ) (A)1- (B)5- (C)1 (D)52.倾斜角为45︒,过(1,2)的直线方程为( ) (A)1y x =+ (B)1y x =- (C)3y x =+ (D)3y x =-3.倾斜角为0︒,过(1,3)的直线方程为( ) (A)1x = (B)1y = (C)3x = (D)3y =4.斜率为3,过(0,1)的直线方程为( ) (A)31y x =- (B)31y x =+(C)313y x =- (D)313y x =+ 参考答案: 1.D 2.A 3.D 4.B【典例剖析】题型1: 利用点斜式求直线方程例1 分别求出过点(3,4)P ,且满足以下条件的直线方程:(1)斜率2k =； (2)与x 轴平行； (3)与x 轴垂直；[思路分析]注意对直线点斜式的理解. [解](1)因直线过点(3,4)P ,且2k =,故直线方程为42(3)y x -=-,即22y x =-.(2)因直线与x 轴平行,故斜率0k =,又由于直线过点(3,4)P ,故方程为4y =.(3)因直线与x 轴垂直,且过点(3,4)P ,故方程为3x =.[规律技巧](1)使用点斜式求直线方程,需注意前提条件是直线的斜率存在；(2)x 轴所在直线方程为0y =,y 轴所在直线方程为0x =；过点00(,)P x y 的直线有两类:斜率存在,且为k ,其方程为00()y y k x x -=-；斜率不存在,其方程为0x x =.[变式训练]已知直线l 过点(1,5)P -,其斜率与直线56y x =+的斜率相等,求直线l 的方程.解:由题意得直线l 的斜率为5,且直线l 过点(1,5)P -,由直线的点斜式可知其方程为:(5)5(1)y x --=-,即,直线l 的方程为510y x =-.例2 求倾斜角是直线31y x =-+的倾斜角的一半,且分别满足下列条件的直线l 的方程.(1)经过点(3,1)-； (2)在y 轴上的截距为5-.[思路分析]本题关键是要通过倾斜角的关系求出直线的斜率,然后利用直线的点斜式求直线方程.[解]因直线31y x =-+的斜率为3-,故其倾斜角为120︒.因此,直线l 的倾斜角为60︒,其斜率tan 603k =︒=.(1)由所求直线斜率为3,且过(3,1)-可得直线方程为(1)3(3)y x --=-,即34y x =-.(2)由所求直线斜率为3,且在y 轴上的截距为5-可得直线方程为35y x =-.[规律技巧](1)截距和距离是两个不同的概念,需要注意区分；(2)注意倾斜角与斜率之间的关系,以及倾斜角的取值范围. [变式训练]求倾斜角是直线1y x =+的倾斜角的一半,且分别满足下列条件的直线l 的方程.(1)经过点(3,1)-； (2)在y 轴上的截距为5-. 解:∵ ∴AB AC k k =,即443(2)1(2)m m ---=----.解得1m =.题型3: 直线的倾斜角与斜率关系的应用例3 已知点(,)P m n 在函数82y x =-的图像上,其中23m ≤≤,求nm的最大值和最小值.[思路分析]由消元可将原问题转化为函数求解；由n n m m -=-可看成点(,)P m n 与坐标原点连线的斜率来求解.在此,我们用后者的方法.[解]在函数82y x =-的图像上2m =的点为(2,4)A ,3m =的点为(3,2)B , 又由于00n n m m -=-,故nm表示线段AB 上的点(,)P m n 与坐标原点连线的斜率,而40220OA k -==-,202303OB k -==-, 故n m 的最大值为2,最小值为23. [规律技巧]本题将代数式的几何意义进行了挖掘,是数形结合法的典型应用,值得大家学习和借鉴.另外需要注意的是,本题中的nm在临界状态OA k 与OB k 之间,而有的题目可能在临界状态之外,需要注意体会.[变式训练]设点(,)P m n 在函数5y x =-的图像上,且23m -≤≤,求nm的取值范围. 解:在函数5y x =-的图像上2m =-的点为(2,7)A -,3m =的点为(3,2)B ,又由于00n n m m -=-,故nm表示线段AB 上的点(,)P m n 与坐标原点连线的斜率,而707202OA k -==---,202303OB k -==-, 故72n m ≤-或23n m ≥. 【知能迁移】例4 已知过坐标原点O 的直线123,,l l l 还分别过点(3,4),(4,3),(1,A B C k -,且OC 平分AOB ∠,求实数k 的值.[思路分析]由斜率的定义知k 就是3l 的斜率,再结合OC 平分AOB ∠即可求解. [解]∵点(3,4),(4,3)A B -到坐标原点O 的距离均为5,即OA OB =,∴由OC 平分AOB ∠可知直线3l 与线段AB 的交点D 是AB 中点.∴点D 坐标为3443(,)22+-,即71(,)22D .又由斜率定义知k 值等于直线3l 的斜率,也就是直线OD 的斜率,故10127702k -==-. [规律技巧]本题给出了平分两条直线所成角的直线斜率的求法.本题中对平面几何知识的应用值得关注.[变式训练]已知过坐标原点O 的直线12,l l 分别过点(1,2),(1,3)A B -,点C 在AB 上,且OC 平分AOB ∠,求直线OC 的斜率.解:设直线OC 的斜率为k ,则点C 的坐标为(1,)k ,由OC 平分AOB ∠可得:::O A O B AC BC =,即222212:1(3)(2):((3))k k ++-=---. 解得752k =-.【课时作业】一、选择题1.过点(3,2),(2,3)A B --，的直线的倾斜角为( )(A)45︒ (B)60︒ (C)135︒ (D)120︒ 答案:A. 因3212(3)AB k -==---.2.若过点(2,2),(,8)A m B m -的直线的斜率为1,则m 的值为( )(A)1- (B)2- (C)1 (D)2 答案:D. 由821(2)AB mk m -==--得2m =.3.若过(2,1),(1,)A B m 两点的直线的倾斜角为锐角,则m 的取值范围为( ) (A)1m <- (B)1m < (C)1m >- (D)1m > 答案:B. 由1012AB m k -=>-可得1m <.4.下列各组中,三点共线的是( )(A)(1,4),(1,2),(3,5)A B C-(B)(2,5),(7,6),(5,3)A B C---(C)1(1,0),(0,),(7,2)3A B C-(D)(0,0),(2,4),(1,3)A B C-答案:C.由斜率公式计算可得答案.二、填空题5.若直线的倾斜角为0︒,则该直线的斜率为________；若直线的斜率不存在,则该直线的倾斜角为________.答案:0,不存在.6.若点(4,2),(5,)A B m所在直线的斜率与点(1,2),(3,4)C D所在直线的斜率相等,则实数m的值为______.答案:3. 由2425431ABmk--==--得3m=.7.已知直线,PM PN的斜率分别为7 2,4 -,若点,M N的坐标分别为(5,3),(3,2)-,则点P的坐标为______.答案:(1,5)-. 设点P的坐标为(,)x y,则由题意可得325yx-=-,且2734yx-=-+,于是可解得1,5x y==-.8.若将直线沿x轴负方向平移三个单位,再沿y轴正方向平移一个单位后,又回到了原来的位置,则原直线的斜率为______. 答案:13-. 设(,)P m n是原直线上任意一点,则平移两次后的点(3,1)Q m n-+也在原直线上,由此求得PQ的斜率即可.1133PQn nkm m+-==---.三、解答题9.已知直线l过点(2,3),(2,1)A m B-,根据以下条件求实数m的值.(1)直线l的倾斜角为90︒；(2)直线l的倾斜角为135︒；(3)点(3,)C m也在直线l上.解:(1)由题意得22m=,故1m=.(2)由题意得3(1)tan135122m--=︒=--,故可得1m=-.(3)由题意得3(1)(1)2232mm----=--,故可得3m=±.10.设点(,)P m n在函数241033y x x=--(12)x-≤≤的图像上,且O为坐标原点,求直线OP倾斜角α的取值范围.解:由题意可知函数的图像是下图中的曲xy 2-1B APO线段AB ,其中点,A B 分别为(1,1)A --和(2,2)B -.从而可求得:10110OA k --==--,20120OB k -==---, 于是直线OP 的斜率k 满足:1k ≤-或1k ≥.又由于tan k α=,且0απ≤<,故可得:tan 1α≤-或tan 1α≥-,且0απ≤<.解得:324ππα<≤或42ππα≤<. 另外,直线OP 的倾斜角显然可以取得2π. 综上可知,直线OP 倾斜角α的取值范围为344ππα≤≤.。