北师大版七年级(上)数学第20讲：多边形和圆的初步认识(教师版)——王琪

多边形和圆的初步认识一、多边形1. 由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形叫做多边形。

2. 连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线。

从一个n边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以画（n-3）条对角线，把这个n边形分割成（n-2）个三角形。

过n边形一个顶点有（n-3）条对角线，n边形共（n-3）×n / 2条对角线.n边形内角和等于（n-2）×1800，正多边形（每条边都相等，每个内角都相等的多边形）的每个内角都等于（n-2）×1800/ n。

二、圆平面上，一条线段绕着一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形叫做圆。

固定的端点O称为圆心，线段OA的长称为半径的长（通常简称为半径）。

圆上任意两点A、B间的部分叫做圆弧，简称弧，读作“圆弧AB”或“弧AB”；由一条弧AB和经过这条弧的端点的两条半径OA、OB所组成的图形叫做扇形。

顶点在圆心的角叫做圆心角。

类型一：多边形及其对角线1．下列说法中，错误的是（）A．平行四边形的对角线互相平分 B．菱形的对角线互相垂直C．矩形的对角线相等 D．正方形的对角线不一定互相平分解：A、平行四边形的对角线互相平分，此选项正确，不合题意；B、菱形的对角线互相垂直，此选项正确，不合题意；C、矩形的对角线相等，此选项正确，不合题意；D、正方形的对角线一定互相平分，此选项错误，符合题意．故选：D。

2．在平面中，下列说法正确的是（）A．四个角相等的四边形是矩形 B．对角线垂直的四边形是菱形C．对角线相等的四边形是矩形 D．四边相等的四边形是正方形解：A．四个角相等的四边形是矩形，正确； B．对角线垂直的平行四边形是菱形，故错误；C．对角线相等的平行四边形是矩形，故错误；D．四边相等的四边形应是菱形，故错误；故选：A。

3．平行四边形、矩形、正方形之间的关系是（）A．B．C．D．解：平行四边形、矩形、正方形之间的关系是：．故选：A。

4．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）A．对角线相等 B．对角线互相平分C．对角线互相垂直 D．对角线平分对角解：矩形、菱形、正方形都具有的性质是对角线互相平分．故选：B。

5．从一个多边形的一个顶点引出的对角线把多边形分成了10个三角形，则这个多边形一共有（）条对角线．A．54 B．45 C．35 D．27解：设多边形有n条边，则n﹣2=10，解得n=12．故这个多边形是十二边形．∴这个多边形的对角线条数是（12﹣3）×12×=54．故选A。

6．由多边形的一个顶点可以画8条对角线，则这个多边形的边数为（）A．9 B．10 C．11 D．12解：设多边形有n条边，则n﹣3=8，解得：n=11．故选：C。

7．过某个多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成7个三角形，则这个多边形是（）A．六边形B．七边形C．八边形D．九边形解：根据n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线，可组成n﹣2个三角形，∴n﹣2=7，即n=9．故选D。

8．一个多边形从一个顶点最多能引出三条对角线，这个多边形是（）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形解：设多边形有n条边，则n﹣3=3，解得n=6．故多边形的边数为6．故选D。

类型二：圆9．下列说法错误的是（）A．直径是圆中最长的弦 B．长度相等的两条弧是等弧C．面积相等的两个圆是等圆D．半径相等的两个半圆是等弧解：A、直径是圆中最长的弦，所以A选项的说法正确；B、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，所以B选项的说法错误；C、面积相等的两个圆的半径相等，则它们是等圆，所以C选项的说法正确；D、半径相等的两个半圆是等弧，所以D选项的说法正确．故选B。

10．过圆上一点可以作出圆的最长弦的条数为（）A．1条B．2条C．3条D．无数条解：圆的最长的弦是直径，直径经过圆心，过圆上一点和圆心可以确定一条直线，所以过圆上一点可以作出圆的最长弦的条数为一条．故选A。

11．下列说法正确的是（）A．三点确定一个圆B．一个三角形只有一个外接圆C．和半径垂直的直线是圆的切线D．三角形的内心到三角形三个顶点距离相等解：A、不共线的三点确定一个圆，所以A选项错误；B、一个三角形只有一个外接圆，所以B选项正确；C、过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线，所以C选项错误；D、三角形的内心到三角形三边的距离相等，所以D选项错误．故选B。

12．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，连接CD，则∠ACD=（）A．10° B．15° C．20° D．25°解：∵∠ACB=90°，∠A=40°，∴∠B=50°，∵CD=CB，∴∠BCD=180°﹣2×50°=80°，∴∠ACD=90°﹣80°=10°；故选：A。

13．如图，四边形ABCD内接⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（）A．AB=AD B．BC=CD C．D．∠BCA=∠DCA解：A、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴AB与AD不一定相等，故本选项错误；B、∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，∴BC=CD，故本选项正确；C、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴与不一定相等，故本选项错误；D、∠BCA与∠DCA的大小关系不确定，故本选项错误．故选B。

14．如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，点D对应54°，则∠BCD的度数为（）A．27° B．54° C．63° D．36°解：∵一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，∴点A、B、C、D都在以AB为直径的圆上，∵点D对应54°，即∠AOD=54°，∴∠ACD=∠AOD=27°，∴∠BCD=90°﹣∠ACD=63°．故选C15．如图，在⊙O中，若点C是的中点，∠A=50°，则∠BOC=（）A．40° B．45° C．50° D．60°解：∵∠A=50°，OA=OB，∴∠OBA=∠OAB=50°，∴∠AOB=180°﹣50°﹣50°=80°，∵点C是的中点，∴∠BOC=∠AOB=40°，故选A。

16．在同圆中，若AB=2CD，则与的大小关系是（）A．AB＞2CD B．AB＜2CD C．AB=2CD D．不能确定解：如图所示，CD=DE，AB=2CD，在△CDE中，∵CD=DE，∴CE＜CD+DE，即CE＜2CD=AB，∴CE＜AB，∴＜．故选A。

类型三：扇形的面积17．已知40°的圆心角所对应的扇形面积为πcm2，则这条弧所在圆的直径为（）A．2cm B．4cm C．8cm D．16cm解：∵扇形的面积的公式=，n=40°，扇形面积为πcm2，∴π=，解得；r=±4（负数舍去），∴这条弧所在圆的直径为8cm．故选；C。

18．圆心角为240°的扇形的半径为3cm，则这个扇形的面积是（）cm2．A．πB．3πC．9πD．6π解：S==6πcm2，故选D。

19．如图，半圆的直径BC恰与等腰直角三角形ABC的一条直角边完全重合，若BC=4，则图中阴影部分的面积是（）A．2+π B．2+2πC．4+π D．2+4π解：如图，连接CD，OD，∵BC=4，∴OB=2，∵∠B=45°，∴∠COD=90°，∴图中阴影部分的面积=S△BOD+S扇形COD=2×2+=2+π，故选A。

20．如图，某数学兴趣小组将边长为6的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形DAB的面积为（）A．12 B．14 C．16 D．36解：∵正方形的边长为6，∴的长度=12，∴S扇形DAB=lr=×12×6=36．故选D。

基础演练1．下列说法正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角互补的平行四边形是矩形C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．菱形是轴对称图形，它的对角线就是它的对称轴解：A、对角线相等的平行四边形四边形是矩形，故错误；B、对角相等的平行四边形是矩形，故正确；C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故错误；D、菱形是轴对称图形，它的对角线所在的直线就是它的对称轴，故错误；故选：B。

2．在下列四边形中，对角线交点到各顶点的距离一定相等的四边形是（）A．梯形 B．平行四边形C．矩形 D．菱形解：∵对角线相等且互相平分四边形是矩形，∴对角线的交点到四个顶点的距离．故选：C。

3．从多边形的一个顶点出发向其余的顶点引对角线，将多边形分成10个三角形，则此多边形的边数为（）A．9 B．11 C．12 D．10解：设这个多边形的边数是n，由题意得，n﹣2=10，解得，n=12．故选：C。

4．若一个多边形共有20条对角线，则它是（）边形．A．六B．七C．八D．九解：设这个多边形是n边形，则=20，∴n2﹣3n﹣40=0，（n﹣8）（n+5）=0，解得n=8，n=﹣5（舍去）．故选C。

5．有下列四个说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆．其中错误说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4解：①圆确定的条件是确定圆心与半径，是假命题，故此说法错误；②直径是弦，直径是圆内最长的弦，是真命题，故此说法正确；③弦是直径，只有过圆心的弦才是直径，是假命题，故此说法错误；④半圆是弧，但弧不一定是半圆，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫半圆，所以半圆是弧．但比半圆大的弧是优弧，比半圆小的弧是劣弧，不是所有的弧都是半圆，是真命题，故此说法正确．其中错误说法的是①③两个．故选：B。

6．在⊙O中，圆心角∠AOB=90°，点O到弦AB的距离为4，则⊙O的直径的长为（）A． B．C．24 D．16解：如图，过点O作OC⊥AB，垂足为C，∵∠AOB=90°，∠A=∠AOC=45°，∴OC=AC，∵CO=4，∴AC=4，∴OA=4，∴⊙O的直径长为8．故选B。

7．在同圆中，若AB和CD都是劣弧，且AB=2CD，那么弦AB和CD的大小关系是（）A．AB=2CD B．AB＞2CDC．AB＜2CD D．无法比较它们的大小解：如图，作的中点E，连接AE、BE，∴=2=2，∴AE=BE，∵弧AB=2×弧CD，∴==，∴AE=BE=CD，∴AE+BE=2CD．∵AE+BE＞AB，∴2CD＞AB．∴C答案正确，故选C。