一类生态系统可积性的判定方法2

dy = f (x, y) 则初值问题 dx y(x0 ) = y0
在区间 x0
− h0 ≤ x ≤ x0 + h0
上存在唯一解
y = ϕ ( x), ϕ ( x0 ) = y0
而
这里
b h0 = min(a, ) M
M = max f ( x, y )
( x , y )∈R
此定理中若仅满足条件（ ）成立，则只能保证初值解的存在性， 此定理中若仅满足条件（1）成立，则只能保证初值解的存在性，并不能 保证其唯一性，与3.2节联系则有，若方程可积(有解 ，则其一定有积分 保证其唯一性， 节联系则有，若方程可积 有解)， 节联系则有 有解 因子。 因子。
一般说来,一个常微分方程动力系统称为是 一般说来 一个常微分方程动力系统称为是 可积的,如果它有足够多的首次积分使得它 可积的 如果它有足够多的首次积分使得它 的所有解都可以由这些首次积分函数表示。 的所有解都可以由这些首次积分函数表示。 因此如何构造系统的首次积分就成为研究 可积性问题的关键。多年来， 可积性问题的关键。多年来，数学家和物 理学家们发展了很多方法研究微分方程的 可积性.然而要证明一个给定系统是可积的 然而要证明一个给定系统是可积的， 可积性 然而要证明一个给定系统是可积的， 就需要找到系统的足够多的首次积分． 就需要找到系统的足够多的首次积分．遗 憾的是，到目前为止，还没有一种能对一 憾的是，到目前为止， 般系统构造出首次积分的有效方法， 般系统构造出首次积分的有效方法，即使 是对简单的多项式系统寻找多项式首次积 分．本文中我们利用积分因子给出非线性 多项式常微分方程系统的可积性判定方 法．
常见可积性判定方法
对于可分离变量方程、齐次方程、 对于可分离变量方程、齐次方程、一阶 线性方程这些最常见的可积的常微分方程， 线性方程这些最常见的可积的常微分方程， 我们通过观察法，公式法， 我们通过观察法，公式法，分组法以及指 数待定法可以很容易找到方程的积分因子。 数待定法可以很容易找到方程的积分因子。 还有一些比较常见的方程如贝努利方程， 还有一些比较常见的方程如贝努利方程， 黎卡提方程等， 黎卡提方程等，它们都可以变换为上述几 种方程， 种方程，所以也很容易找到它们的积分因 子从而求解。 子从而求解。
方程可积与积分因子的关系
dy = f ( x, y ) 的右端函数 f ( x, y ) 在闭矩形域 定理1 存在性与唯一性定理 存在性与唯一性定理)如果方程 定理 (存在性与唯一性定理 如果方程 dx
R: x0 −a≤x≤x0 +a, y0 −b≤y≤y0 +b
1)在 R上连续； 在 上连续 上连续；
ห้องสมุดไป่ตู้
∞ ∞ dz dw k j k j = z + ∑akj z w =Z(z, w), =−w− ∑bkjw z =− (z, w),. W dT dT k+j=2 k+j=2
其中
z , w, T , akj , bkj ∈ C ( k , j ∈ N ), p, q ∈ Z
前文作了一些非常有意义的工作，例如， 前文作了一些非常有意义的工作，例如，得出了奇点量 结构定理及计算奇点量较先进的一套方法， 结构定理及计算奇点量较先进的一套方法，使得到可积 性条件变得更容易
上满足如下条件： 上满足如下条件：
2)在R上关于变量 满足李普希兹 在 上关于变量 满足李普希兹(Lipschitz)条件，即存在常数 ，使对于 上关于变量y 条件， 条件 即存在常数N， R上任何一对点 上任何一对点(x,y) 和 x, y ) ，均有不等式： f ( x, y ) − f ( x, y ) ≤ N y − y 均有不等式： 上任何一对点 (
一类生态系统的可积性判定
我们考虑下列系统
n n dx dy k j k j = 4x + ∑ Akj x y = X, =−qy − ∑ Bkj x y =−Y. dt dt k+ j=2 k+ j=2
其中
q 为任意正整数， x, y, t , Akj , Bkj (k , j ∈ N ) 为任意正整数，
４：
− q 型全Lotka-Volterra系统 型全Lotka-Volterra系统 Lotka
& & x = x(4+a2x+ay) = X, y =−y(q+bx+b2y) =−Y 1 1
为任意正整数, 其中 q 为任意正整数
a1 , a2 , b1 , b2 均为实变量 均为实变量.
均为实变量. 均为实变量
引理1 引理1
对上述系统， 对上述系统，可逐项确定形式级数
F ( x, y ) = x y +
q 4
∑ α β
∞
+ =q+ 2
cαβ xα y β
使得
∞ dF ∂ F ∂F = X− Y = ∑ µm ( x q y 4 ) m +1 dt ∂ x ∂y m =1
其中 µ m 是上述系统原点的第m阶鞍点量．显然，当所有的鞍点量 阶鞍点量．显然， 上述系统在原点邻域可积且此时F 为零， 为零，即 µm = 0, m = 1, 2L 时，上述系统在原点邻域可积且此时F为 其积分因子。 其积分因子。 我们具体考虑
一类生态系统可积性的判定方法
学 生：田 敏 指导老师： 指导老师：王勤龙
前
言
微分方程是17世纪与微积分同时诞生的学科， 微分方程是 世纪与微积分同时诞生的学科， 世纪与微积分同时诞生的学科 是连接物质科学乃至社会科学与数学科学的主要 桥梁． 桥梁．微分方程的可积性问题一直是微分方程研 究领域中一个古老而重要的研究课题.积分因子就 究领域中一个古老而重要的研究课题 积分因子就 是为了解决这个问题而引入的概念．早在1733是为了解决这个问题而引入的概念．早在 1735年就提出了全微分方程和积分因子等概 1735年就提出了全微分方程和积分因子等概 对于常微分方程，只要它有解(即可积 即可积)， 念．对于常微分方程，只要它有解 即可积 ，则方 程就一定存在积分因子.对于常见的微分方程我们 程就一定存在积分因子 对于常见的微分方程我们 通常采用观察法很容易的找到积分因子从而求得 微分方程的解即可知方程可积.而对于较复杂的微 微分方程的解即可知方程可积 而对于较复杂的微 分方程很难得到它的积分因子.但是要判断方程可 分方程很难得到它的积分因子 但是要判断方程可 积一般还是要通过待定积分因子来实现,往往都要 积一般还是要通过待定积分因子来实现 往往都要 进行比较复杂的积分运算. 进行比较复杂的积分运算
形式级数可积性的判定方法
• 问题概述 对于一阶常微分方程，只要在它在一定区域内有解(即可积) 对于一阶常微分方程，只要在它在一定区域内有解(即可积) 则方程就一定存在积分因子．另一方面，若方程不可积， 则方程就一定存在积分因子．另一方面，若方程不可积，则 可通过待定积分因子得到可积性条件． 可通过待定积分因子得到可积性条件．下面我们将从与一阶 常微分方程可积性等价的微分自治系统的角度来考虑这一问 特别地， 题．特别地，对于平面多项式微分自治系统