三角函数模型的简单应用教案-黎宁.doc

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1.6《三角函数模型的简单应用》(定) 教案

1.6 三角函数模型的简单应用一、教学分析三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用.三角函数模型的简单应用的设置目的,在于加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学习.本节教材通过4个例题,循序渐进地从四个层次来介绍三角函数模型的应用,在素材的选择上注意了广泛性、真实性和新颖性,同时又关注到三角函数性质(特别是周期性)的应用.通过引导学生解决有一定综合性和思考水平的问题,培养他们综合应用数学和其他学科的知识解决问题的能力.培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力.由于实际问题常常涉及一些复杂数据,因此要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据,包括建立有关数据的散点图,根据散点图进行函数拟合等.二、教学目标1、知识与技能：掌握三角函数模型应用基本步骤:(1)根据图象建立解析式; (2)根据解析式作出图象; (3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.2、过程与方法：选择合理三角函数模型解决实际问题，注意在复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题。

切身感受数学建模的全过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用及数学和日常生活和其它学科的联系。

3、情态与价值：培养学生数学应用意识;提高学生利用信息技术处理一些实际计算的能力。

三、课时分配:2课时四、教学重点与难点教学重点:分析、整理、利用信息,从实际问题中抽取基本的数学关系来建立三角函数模型,用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题.教学难点:将某些实际问题抽象为三角函数的模型,并调动相关学科的知识来解决问题.四、教学设想：三角函数模型的简单应用（一）一、导入新课我们已经学习了三角函数的概念、图象与性质,特别研究了三角函数的周期性.在现实生活中,如果某种变化着的现象具有周期性,那么是否可以借助三角函数来描述呢？回忆必修1第三章第二节“函数模型及其应用”,面临一个实际问题,应当如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？以下通过几个具体例子,来研究这种三角函数模型的简单应用.二、推进新课、新知探究、提出问题①回忆从前所学,指数函数、对数函数以及幂函数的模型都是常用来描述现实世界中的哪些规律的?②数学模型是什么,建立数学模型的方法是什么?③上述的数学模型是怎样建立的?④怎样处理搜集到的数据?③解决问题的一般程序是:1°审题:逐字逐句的阅读题意,审清楚题目条件、要求、理解数学关系；2°建模:分析题目变化趋势,选择适当函数模型；3°求解:对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结论；4°还原:把数学结论还原为实际问题的解答.④画出散点图,分析它的变化趋势,确定合适的函数模型.三、应用示例例1 如图1, 某地一天从6—14时的温度变化曲线近似满足函数y=sin(ωx+φ)+b.(1)求这一天的最大温差;(2)写出这段曲线的函数解析式.例2 2007全国高考函数y=|sinx|的一个单调增区间是( ) A.(4π-,4π) B.(4π,43π) C.(π,23π) D.(23π,2π) 例3 如图2,设地球表面某地正午太阳高度角为θ,δ为此时太阳直射纬度,φ为该地的纬度值,那么这三个量之间的关系是θ=90°-|φ-δ|.当地夏半年δ取正值,冬半年δ取负值. 如果在北京地区(纬度数约为北纬40°)的一幢高为h 0的楼房北面盖一新楼,要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,两楼的距离不应小于多少?四、课堂小结五、作业三角函数模型的简单应用（二）一、导入新课回忆上节课三角函数模型的简单应用例子,这节课我们继续探究三角函数模型在日常生活中的一些简单应用二、推进新课、新知探究、提出问题三、应用示例例1 货船进出港时间问题:海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表:(1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系,给出整点时的水深的近似数值(精确到0.001).(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米,安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙(船底与洋底的距离),该船何时能进入港口?在港口能呆多久?(3)若某船的吃水深度为4米,安全间隙为1.5米,该船在2:00开始卸货,吃水深度以每小时0.3米的速度减少,那么该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水域?例2 图9,是一个单摆的振动图象,据图象回答下列问题:(1)单摆振幅多大；(2)振动频率多高；(3)摆球速度首次具有最大负值的时刻和位置；(4)摆球运动的加速度首次具有最大负值的时刻和位置；(5)若当g＝9.86 m/s2J,求摆线长.四、课堂小结五、作业。

三角函数模型的简单应用教案-黎宁

三角函数模型的简单应用教案-黎宁(总5页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--高一数学教学设计课题：三角函数模型的简单应用（二）授课教师：北京市陈经纶中学黎宁授课班级：北京市陈经纶中学高一（2）班一、指导思想与理论依据二、教学背景分析：1．学习内容分析2．学生情况分析3．教学方式与教学手段说明采用“在教师的指导下，学生自主探究的教学方式”。

以生动课堂（以新课程改革和presentation为背景，为培养学生自主学习的能力，按照教师定题与辅导，学生选题、阅读、自学、讲授，教师总结、提升和发散的程序运行的教学模式）为主的教学模式进行教学。

采用计算机辅助教学。

4．教学重点和难点：用三角函数模型刻画具有周期变化的实际问题是教学的重点；对问题实际意义的数学解释，从实际问题中抽象出三角函数模型是教学的难点。

三、教学目标设计:1．通过教学，使学生进一步掌握由图像求解析式的方法，学习由实际问题抽象为三角函数模型问题的方法和步骤，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。

2．通过教学，培养学生数形结合、转化与化归的数学思想，提高学生数据处理能力、运算求解能力、逻辑推理能力、分析问题与解决问题的能力。

3．通过对两种具有周期性变化规律的实际问题的分析和解决，感受数学在实际生产生活中的应用价值。

四、教学过程设计1．创设情境，揭开序幕师：经过前面的学习，大家知道，在客观现实世界中存在着很多周期性变化现象，例如物理学中的简谐振动，人的情绪、体力、智力等心理、生理现象，气温的变化情况，要定量地刻画这些现象，我们可以借助三角函数这一重要数学模型。

这节课我们继续学习三角函数模型在实际生产生活中的简单应用。

（教师板书课题：§三角函数模型的简单应用（二））师：前期已经有“生动课堂”学习小组的同学选择了这个课题，自学了相关知识，搜集了生活中三角函数模型应用的实例，并进行了再研究，我们来看看它们究竟进行了怎样的学习和研究。

《三角函数模型的简单应用》教案1

2.函数的最小值是2，其图象最高点与最低点横坐标差是3，且图象过点(0,1)，求函数解析式.
二、讲授新课：
1.教学典型例题：
①出示例1：如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数，试求这段曲线的函数解析式.
讨论：如何由图中的几何特征得到曲线的各参量？
（由周期、振幅确定A、b、ω；再由特殊点确定初相ψ）
问题探究3：在探究2条件中，若该船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？
?（学生讨论）安全即需要：实际水深安全水深，即：
? ，
?讨论求解方法：用代数的方法？几何的角度？（电脑作图并呈现）
?通过图象可以看出，当快要到P时刻的时候，货船就要停止卸货，驶向深水区。那么P点的坐标如何求得呢？（学生思考，讨论，交流）求?P点横坐标即解方程
?2）水的深度开始由5.0米增加到7.5米，后逐渐减少一直减少到2.5，又开始逐渐变深，增加到7.5米后，又开始减少。
?3）水深变化并不是杂乱无章，而是呈现一种周期性变化规律。
4）?学生活动：作图——更加直观明了这种周期性变化规律。（研究数据的两种形式）
5）教师呈现作图结果，学生小组代表发言，跟我们前面所学过哪个函数类型非常的类似？追问为什么类似正弦型函数（排除法，关键在于周期性）。
课题
§1.6三角函数模型的简单应用
课型
新课
课时计划
共2课时（其中新课＿＿课时巩固＿＿课时）
配套作业
教学目标
知识
能力
情感
知识与技能：
掌握三角函数模型应用基本步骤:(1)根据图象建立解析式; (2)根据解析式作出图象; (3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.

三角函数模型的简单应用教案

三角函数模型的简单应用一、教学目标1 、基础知识目标： a 通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学会由图象求解析式的方法； b 根据解析式作出图象并研究性质； c 体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程； d 体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．2、能力训练目标：让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力．3、个性情感目标：让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用，让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用从而激发学生的学习兴趣，培养锲而不舍的钻研精神；培养学生勇于探索、勤于思考的精神。

二、教学重点：精确模型的应用——即由图象求解析式，由解析式研究图象及性质三、教学难点： a 、分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型，并调动相关学科的知识来解决问题．b 、由图象求解析式时的确定。

四、教学过程及设计意图教学过程设计意图（一）课题引入情景展示，引入课题（多媒体显示）同学们看过海宁潮吗？……•今天我就带大家去看一看天下奇观一一海宁潮. 在潮起潮落中也蕴含着数学知识．又如大家熟悉的“物理中单摆对平衡位置的位移与时间的关系”、“交流电的电流与时间的关系”、“声音的传播”等等也都蕴含着三角函数知识。

通过上面的例子引发学生的兴趣，贴近生活，可以告诉学生生活离不开数学，身边充满了数学；同时可以让学生知道数学的重要性，不仅仅是课本上的内容，还有生活都可以用到数学，所以学生更应该努力学习，才能更懂得生活。

这样的例子还有很多，比如：二．由图象探求三角函数模型的解析式例1 •如图，某地一天从6〜14时的温度变化曲线近似满足函数.(1 )求这一天6〜14时的最大温差；(2 )写出这段曲线的函数解析式.解：( 1 )由图可知：这段时间的最大温差是；(2)从图可以看出：从6〜14 是的半个周期的图象，又… -•••将点代入得：••,取，•・。

三角函数模型的简单应用说课稿教案教学设计

三角函数一、教学目标：知识与技能：回顾本章基本概念及公式：任意角的概念、弧度制、任意角三角函数的定义，同角三角函数基本关系及诱导公式，三角函数的图像与性质及其应用，三角函数图像变换等。

掌握常见问题的解法。

过程与方法：通过对基本知识的梳理回顾，帮助学生形成知识网络。

由基本问题的解决，促使学生形成解题技能。

情感、态度与价值观通过章节复习培养学生总结归纳能力。

在问题逐步深入的研究中唤起学生追求真理、乐于创新的情感需求，引发学生渴求知识的强烈愿望，树立科学的人生观、价值观．二．重点难点重点：基本知识的回顾及基本问题的解法难点：知识的综合运用能力。

三、教材与学情分析通过章节复习引导学生解决有一定综合性和思考水平的问题,培养他们综合应用数学和其他学科的知识解决问题的能力.培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力。

四、教学方法问题引导，主动探究，启发式教学．五、教学过程一、构建知识网络，完善认知体系二、归纳基本题型，形成解题技能专题一三角函数的概念三角函数的概念所涉及的内容主要有以下两方面：理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算；掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域． [例1] (1)设角α属于第二象限，⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，试判定α2角属于第几象限． (2)求函数y ＝3tan x ＋3的定义域．解：(1)依题意得2k π＋π2<α<2k π＋π(k ∈Z)，所以k π＋π4<α2<k π＋π2(k ∈Z)．当k ＝2n (n ∈Z)时，α2为第一象限角；当k ＝2n ＋1(n ∈Z)时，α2为第三象限角．又⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2≥0，所以cos α2≤0. 所以α2应为第二、三象限角或终边落在x 非正半轴上或y 轴上．综上所述，α2是第三象限角．(2)3tan x ＋3≥0，即tan x ≥－33. 所以k π－π6≤x <k π＋π2，所以函数y ＝3tan x ＋3的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π－π6≤x <k π＋π2，k ∈Z .归纳升华1．由α所在象限，判断α2角所在象限时，一般有两种方法：一种是利用终边相同角的集合的几何意义，用数形结合的方法确定α2的所属象限；另一种方法就是将k 进行分类讨论．2．求函数的定义域注意数形结合，应用单位圆中三角函数线或函数图象解题；求与正切函数有关问题时，不要忽视正切函数自身的定义域．变式训练1 (1)若θ为第四象限的角，试判断sin(cos θ)·cos(sin θ)的符号； (2)已知角α的终边过点P (－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求α的正切值．解：(1)因为θ为第四象限角，所以0<cos θ<1<π2，－π2<－1<sin θ<0，所以sin(cos θ)>0，cos(sin θ)>0，所以sin(cos θ)·cos(sin θ)>0.(2)因为θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以cos θ<0，所以r ＝x 2＋y 2＝9cos 2θ＋16cos 2θ＝－5cos θ，故sin α＝y r ＝－45， cos α＝x r ＝35，tan α＝y x ＝－43.专题二同角三角函数的基本关系与诱导公式在知道一个角的三角函数值求这个角的其他的三角函数值时，要注意题中的角的范围，必要时按象限进行讨论，尽量少用平方关系，注意切化弦、“1”的妙用、方程思想等数学思想方法的运用，在利用诱导公式进行三角式的化简，求值时，要注意正负号的选取． [例2] 已知2＋tan （θ－π）1＋tan （2π－θ）＝－4，求(sin θ－3cos θ)·(cos θ－sin θ)的值．解：法一：由已知2＋tan θ1－tan θ＝－4，所以2＋tan θ＝－4(1－tan θ)，解得tan θ＝2，所以(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ)＝4sin θcos θ－sin 2θ－3cos 2θ＝ 4sin θcos θ－sin 2θ－3cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝4tan θ－tan 2θ－3tan 2θ＋1＝8－4－34＋1＝15.法二：由已知2＋tan θ1－tan θ＝－4，解得tan θ＝2，即sin θcos θ＝2，所以sin θ＝2cos θ，所以(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ)＝ (2cos θ－3cos θ)(cos θ－2cos θ)＝cos 2θ＝cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝1tan 2θ＋1＝15.归纳升华三角函数式的化简，求值与证明问题的依据主要是同角三角函数的关系式及诱导公式．解题中的常用技巧有：(1)弦切互化，减少或统一函数名称；(2)“1”的代换，如：1＝sin 2α＋cos 2α(常用于解决有关正、余弦齐次式的化简求值问题中)，1＝tan π4等；(3)若式子中有角k π2，k ∈Z ，则先利用诱导公式化简．变式训练2. 若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )A.125 B ．－125C.512D ．－512解析：法一：因为α为第四象限的角，故cos α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－5132＝1213，所以tan α＝sin αcos α＝－5131213＝－512.法二：因为α是第四象限角，且sin α＝－513，所以可在α的终边上取一点P (12，－5)，则tan α＝y x ＝－512.答案：D专题三三角函数的图象及变换三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定，以及通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质．[例3] 如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k ⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的一段图象．(1)求此函数解析式；(2)分析一下该函数是如何通过y ＝sin x 变换得来的？解：(1)由图象知A ＝－12－⎝⎛⎭⎫－322＝12，k ＝－12＋⎝⎛⎭⎫－322＝－1，T ＝2×⎝⎛⎭⎫2π3－π6＝π，所以ω＝2πT ＝2.所以y ＝12sin(2x ＋φ)－1.当x ＝π6时，2×π6＋φ＝π2，所以φ＝π6.所以所求函数解析式为y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1. (2)把y ＝sin x 向左平移π6个单位得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的12，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12得到y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，最后把函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向下平移1个单位，得到y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1的图象．归纳升华1．求解析式的方法：A ＝y max －y min 2，k ＝y max ＋y min 2，ω＝2πT，由“五点作图法”中方法令ωx ＋φ＝0，π2，π，32π或2π求φ. 2．图象变换中应注意方向变化与解析式加减符号变化相对应．变式训练3. 将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A.3π4B.π4 C ．0 D ．－π4解析：由题意得g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ为偶函数，所以π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，所以φ＝k π＋π4.令k ＝0，得φ＝π4.答案：B专题四三角函数的性质三角函数的性质，重点应掌握y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等有关性质，在此基础上掌握函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)及y ＝A tan(ωx ＋φ)的相关性质．在研究其相关性质时，将ωx ＋φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧．[例4] 已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋a ＋1(其中a 为常数)． (1)求f (x )的单调区间；(2)若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )的最大值为4，求a 的值； (3)求f (x )取最大值时x 的取值集合．解：(1)由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤－π3＋k π，π6＋k π(k ∈Z)，由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调减区间为⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z)．(2)因为0≤x ≤π2，所以π6≤2x ＋π6≤7π6，所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1，所以f (x )的最大值为2＋a ＋1＝4，所以a ＝1，(3)当f (x )取最大值时，2x ＋π6＝π2＋2k π，所以2x ＝π3＋2k π，所以x ＝π6＋k π，k ∈Z.所以当f (x )取最大值时，x 的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝π6＋k π，k ∈Z归纳升华1．形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 单调区间求法策略：可把“ωx ＋φ”看作一个整体，代入正弦函数的相应区间求解．2．求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的值域和最值时，先求复合角“ωx ＋φ”的范围，再利用y ＝sin x 的性质来求解．变式训练4.设函数f (x )(x ∈R)满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ，当0≤x ≤π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎫23π6＝( )A.12B.32 C ．0 D ．－12解析：因为f (x ＋2π)＝f (x ＋π)＋sin(x ＋π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )，所以f (x )的周期T ＝2π，又因为当0≤x <π时，f (x )＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫5π6＝0，即f ⎝⎛⎭⎫－π6＋π＝f ⎝⎛⎭⎫－π6＋sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫－π6＝12，所以f ⎝⎛⎭⎫23π6＝f ⎝⎛⎭⎫4π－π6＝f ⎝⎛⎭⎫－π6＝12. 答案：A专题五转化与化归思想化归思想贯穿本章的始终，在三角函数的恒等变形中，同角关系式和诱导公式常化繁为简，化异为同，弦切互化；在研究三角函数的图象与性质时，常把函数y ＝A sin(ωx ＋φ)化归为简单的y ＝sin x 来研究．这些均体现三角函数中的转化与化归的思想方法． [例5] 求函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫π4－23x 的单调区间．解：将原函数化为y ＝－12sin ⎝⎛⎭⎫23x －π4.由2k π－π2≤23x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z)，得3k π－38π≤x ≤3k π＋98π(k ∈Z)，此时函数单调递减．由2k π＋π2≤23x －π4≤2k π＋32π(k ∈Z)，得3k π＋98π≤x ≤3k π＋218π(k ∈Z)，此时函数单调递增．故原函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤3k π－38π，3k π＋98π(k ∈Z)，单调递增区间为⎣⎡⎦⎤3k π＋98π，3k π＋218π(k ∈Z)．归纳升华1．求形如函数y＝A sin(ωx＋φ)，(ω<0)的单调区间时：先把此函数化为y＝－A sin(－ωx －φ)的形式后，再利用函数y＝sin x的单调区间来求解是常用策略，其目的是使x 的系数为正数是关键．2．在求形如y＝A sin2x＋B sin x＋C的值域或最值时，常令t＝sin x转化为一元二次函数来求解．。

高中数学必修4《三角函数模型简单应用》教案

课题：三角函数模型的简单应用教材：新课标人教A版必修4教学目标：1，知识目标（1）.能够由函数图象模型求出求出解析式模型。

（2）.能够由函数图象获取相应函数的性质。

（3）.将简单的实际问题抽象为三角函数模型。

（4）.体现三角函数是描述周期现象的重要模型。

2，能力目标让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想从而培养学生的创新精神和实践能力。

3，情感目标通过主动探索，合作交流，让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用。

教学重点：1.用三角函数模型解决一些具有周期性变化规律的实际问题．2.三角函数图象模型与解析式模型之间的相互转化。

教学难点：.将简单的实际问题抽象为三角函数模型,.体现三角函数是描述周期现象的重要模型。

教学手段：多媒体辅助教学教法学法（教法）数学是一门培养人的思维，发展人的思维的学科，在教学中不仅要使学生“知其然”而且要知其“所以然”，因此教学要充分呈现获取数学知识和方法的思想过程。

因此本节课采用探究式教学法，其主要宗旨在于充分发挥学生的个性，引导学生获得解决问题的各种思想和方法，培养学生的创造力，推动学生知识和能力水平的提高。

该模式是以问题为纽带，使学生在提出问题、分析问题、解决问题的探究过程中发展智力、提高能力。

在教学过程中借助多媒体辅助教学。

（学法）在学法上，以探究问题为中心，给学生提供思考的机会，提供合作探究的机会，提供表达交流的机会，提供成功的机会。

让学生经历观察、思考、推理、应用的过程从而建构自己的知识体系。

学情分析本堂课是学生在学完三角函数基础知识后的一堂综合应用课.学生在这之前已经系统地学习了三角函数的计算，三角函数的图象以及三角函数的性质，对三角函数有了一定的知识储备，为本堂课的顺利开展垫定了良好的基础 .教学过程：（一）复习引入提出问题问题：你能举出几个生活中具有周期变化规律的例子吗？钱塘潮。

2.波动现象。

《三角函数模型的简单应用》的教学设计

《三角函数模型的简单应用》的教学设计教学设计：三角函数模型的简单应用一、教学目标：1.了解三角函数的概念和基本性质；2.掌握三角函数的图像和性质；3.掌握如何利用三角函数模型解决实际问题。

二、教学重点：1.三角函数的概念、基本性质及图像；2.如何应用三角函数模型解决实际问题。

三、教学内容：1.三角函数的概念和性质：正弦、余弦和正切函数的定义及性质；2.三角函数的图像和性质：了解正弦、余弦和正切函数的图像、特点和性质；3.三角函数模型的简单应用：掌握如何利用三角函数模型解决实际问题。

四、教学过程：1.导入（5分钟）教师通过引入一个简单的实际问题，如一个船在河中流动的问题，引导学生发现问题中涉及到角度和距离的关系，从而引出三角函数模型的应用。

2.讲解三角函数的概念和性质（15分钟）教师讲解三角函数的定义及性质，引导学生了解正弦、余弦和正切函数的定义和特点。

3.讲解三角函数的图像和性质（20分钟）教师讲解正弦、余弦和正切函数的图像、特点和性质，帮助学生了解三角函数的变化规律。

4.解决实际问题（30分钟）教师通过几个实际问题的讲解，引导学生掌握如何利用三角函数模型解决实际问题，如计算建筑物的高度、船在河中的速度等。

5.练习与讨论（20分钟）让学生进行相关练习，并进行讨论和解答。

通过互动讨论，加深对三角函数模型的理解。

6.总结与拓展（10分钟）教师对本节课的内容进行总结，并展示一些拓展的问题，激发学生对三角函数的兴趣和好奇心。

五、教学手段：1.多媒体课件：用于展示三角函数的图像和性质；2.实物模型：如玩具船、建筑物模型等，用于辅助学生理解实际问题；3.白板和彩色笔：用于讲解和解题。

六、教学反馈：通过课堂练习和讨论，以及课后作业的批改和讲解，及时检查学生对三角函数模型的掌握情况。

同时鼓励学生多进行实际问题的应用练习，加深对知识的理解和运用能力。

七、教学评价：通过对学生的课堂表现、课后作业和考试成绩等多方面进行评价，全面了解学生对三角函数模型的掌握情况，并根据评价结果进行针对性的改进和提升。

三角函数模型的简单应用优秀教学设计

【例 2】（1）已知 cot x 5 ，且 x ，，求 x ． 2 2
（2）已知 cot x 5 ，且 x 0，2 ，求 x 的取值集合．
解：（1）因为 cot x 5 ，所以 tan x 5 ．由正切函数在开区间，上
三角函数模型的简单应用
（第二课时）
一．教学目标
1．掌握已知一角的正切值，求角的方法．
2．掌握给定区间内，用反三角函数表示一个角的方法．
二．教学具准备
投影仪
三．教学过程
1．设置情境
师：请同学们看投影，回答问题
（1）若 cos x 1 ， x 0，2 ，则 x ______ ．
2
（2）若 sin x 1 ， x 0，2 则 x ______ ．
3
生：（1） x
5
7
或
．
66
（2） x arcsin 1 或 x arcsin 1 ．
3
3
师：回答正确．请同学结合上面两个小题的求解过程，总结一下已知三角函数值求角
的一般步骤：
生：从上面两个小题的求解过程看，有三个步骤：
第一步，决定角 x 可能是第几象限角．
第二步，如果函数值为正数，则先求出对应的锐角 x1 ；如果函数值为负数，则先求了
2 2
arctan
1 ， 3

arctan
1
3

．
arctan x 表示的意义： arctan x 表示一个角，角的特点是①角的正切值为 x，因此角
的大小受
x
的限制；②并不是所有满足
tan

x 的角都可以，只能是

1.6《三角函数模型的简单应用》教学案4

1.6《三角函数模型的简单应用》教学案教学教法分析●三维目标1．知识与技能(1)能根据图象建立解析式．(2)能根据解析式作出图象．(3)能将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．(4)能利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型．2．过程与方法通过学习三角函数模型的实际应用，使学生学会把实际问题抽象为数学问题，即建立数学模型的思想方法．3．情感、态度与价值观本节引导学生通过解决有一定综合性和思考水平的问题，培养他们综合应用数学和其他学科知识解决问题的能力；培养他们的探索精神和应用意识．●重点、难点重点：用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题．难点：将某些实际问题抽象为三角函数模型．教学方案设计●教学建议1．本节学习的重点是用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题，教学中注意引导学生学会从实际问题中发现周期变化的规律，并将所发现的规律抽象为恰当的三角函数模型．2．从实际问题中抽象出三角函数模型的过程中，由于陌生的背景、复杂的数据处理等，学生会感到困难．教学中应当注意帮助学生分析问题中的数量关系，通过作散点图等，引导学生从图的特点来发现各个量之间的关系或它们的变化规律．3．由于实际问题常常涉及一些复杂数据，因此条件允许的话要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据，包括建立有关数据的散点图、根据散点图进行函数拟合等．课前自主导学课标解读1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题．(重点)2．实际问题抽象为三角函数模型.知识三角函数的实际应用1.2．y ＝|sin x |是以π为周期的波浪形曲线． 3．解三角函数应用题的基本步骤(1)审清题意；(2)搜集整理数据，建立数学模型； (3)讨论变量关系，求解数学模型； (4)检验，作出结论．课堂互动探究类型1三角函数模型在物理中的应用例1 已知电流I 与时间t 的关系为I ＝A sin (ωt ＋φ)．图1－6－1(1)如图所示的是I ＝A sin (ωt ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象，根据图中数据求I ＝A sin (ωt ＋φ)的解析式；(2)如果t 在任意一段1150秒的时间内，电流I ＝A sin (ωt ＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？【思路探究】 (1)根据图中提供的数据求T ，进而得到ω，根据图象过(1180，0)得出φ，从而得出函数解析式．(2)由题意得出周期T 不超过1150是关键．【自主解答】(1)由题图知A ＝300，设t 1＝－1900，t 2＝1180，则周期T ＝2(t 2－t 1)＝2(1180＋1900)＝175. ∴ω＝2πT ＝150π.又当t ＝1180时，I ＝0，即sin (150π·1180＋φ)＝0，而|φ|<π2，∴φ＝π6.故所求的解析式为I ＝300sin (150πt ＋π6)． (2)依题意，周期T ≤1150，即2πω≤1150(ω>0)． ∴ω≥300π>942，又ω∈N *，故所求最小正整数ω＝943.规律方法1．题中的函数模型类型已经给出，观察图象和利用待定系数法可以求出解析式中的未知参数，从而确定函数解析式，其中求ω是利用半周期为[1180－(－1900)]．2．此类问题解决关键是将图形语言转化为符号语言，其中读图、识图、用图是数形结合的有效途径．变式训练弹簧上挂的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s (cm )随时间t (s )的变化曲线(如图所示)是一个三角函数的图象．图1－6－2(1)经过多长时间，小球往复振动一次？ (2)求这条曲线的函数解析式；(3)小球在开始振动时，离开平衡位置的位移是多少？【解】 (1)由题图可知，周期T ＝2(7π12－π12)＝π. 所以小球往复振动一次所需要的时间为π≈3.14s . (2)由图可设该曲线的函数解析式为： s ＝A sin (ωt ＋φ)，t ∈[0，＋∞)．从图中可以看出A ＝4，又2πω＝π， ∴ω＝2.从而s ＝4sin (2t ＋φ)．将t ＝π12，s ＝4代入上式，得 sin (π6＋φ)＝1，∴φ＝π3. 故所求函数的解析式为s ＝4sin (2t ＋π3)，t ∈[0，＋∞)． (3)当t ＝0时，s ＝4sin π3＝23(cm )．故小球在开始振动时，离开平衡位置的位移是2 3 cm .类型2 三角函数模型简单的实际应用例2 如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m，60秒转动一圈，图中O A与地面垂直，以O A为始边，逆时针转动θ角到O B，设B点与地面距离为h.图1－6－3(1)求h与θ间的函数关系式；(2)设从O A开始转动，经过t秒后到达O B，求h与t之间的函数解析式，并求缆车第一次到达最高点时用的最少时间是多少？【思路探究】分析题目→列出函数解析式→应用求解【自主解答】(1)以圆心O 为原点，建立如图所示的坐标系，则以Ox 为始边，O B 为终边的角为θ－π2. 故B 点坐标为(4.8cos (θ－π2)，4.8sin (θ－π2))． ∴h ＝5.6＋4.8sin (θ－π2)，θ∈[0，＋∞)．(2)点A 在圆上转动的角速度是π30，故t 秒转过的弧度数为π30t ， ∴h ＝5.6＋4.8sin (π30t －π2)，t ∈[0，＋∞)．到达最高点时，h ＝10.4 m .由sin (π30t －π2)＝1，得π30t －π2＝π2，∴t ＝30. ∴缆车到达最高点时，用的时间最少为30秒．规律方法1．本例中，在审题时把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”这个过程就是数学建模过程．2．能够迅速地建立数学模型是解决实际问题的一项重要的基本技能．这个过程并不神秘，在解题中，将实际问题转化为与三角函数有关的问题的常见形式有：求出三角函数的解析式；画出函数的图象以及利用函数的性质进行解题．变式训练如图游乐场中的摩天轮匀速转动，每转一圈需要12 min ，其中心O 距离地面40.5 m ，半径为40 m ．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：图1－6－4(1)求出你与地面的距离y (m )与时间t (min )的函数关系式； (2)当你第4次距离地面60.5 m 时，用了多长时间？【解】 (1)可以用余弦函数来表示该函数的关系式，由已知可设y ＝40.5－40cos ωt ，t ≥0，由周期为12 min 可知当t ＝6时摩天轮第1次到达最高点，即此函数第1次取得最大值，所以6ω＝π，即ω＝π6.所以y ＝40.5－40cos π6t (t ≥0)．(2)设转第1圈时，第t 0 min 时距地面60.5 m ，由60.5＝40.5－40cos π6t 0，得cos π6t 0＝－12，所以π6t 0＝2π3或π6t 0＝4π3，解得t 0＝4或t 0＝8，所以t ＝8(min )时，第2次距地面60.5 m ，故第4次距离地面60.5 m 时，用了12＋8＝20(m in )．类型3数据拟合问题例3 的数据：t (h ) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y (m )10.013.09.9 7.0 10.013.0 10.17.0 10.0 sinωt ＋b 的图象．(1)试根据以上数据，求出y ＝A sin ωt ＋b 的表达式；(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4.5 m 时是安全的，如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7 m ，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，则在港内停留的时间最多不能超过多长时间(忽略进出港所用的时间)？图1－6－5【思路探究】(1)从拟合曲线可知：函数y ＝A sin ωt ＋b 的周期；由t ＝0时的函数值，t ＝3时取得的最大值，进而可求得ω、A 、b 的值．(2)根据(1)中求得的函数表达式，求出数值不小于4.5＋7＝11.5(m )的时段．【自主解答】(1)从拟合曲线可知：函数y ＝A sin ωt ＋b 在一个周期内由最大变到最小需9－3＝6(h )，此为半个周期，∴函数的最小正周期为12 h ，因此2πω＝12，ω＝π6.又∵当t ＝0时，y ＝10；当t ＝3时，y max ＝13. ∴b ＝10，A ＝13－10＝3.∴所求函数的表达式为y ＝3sin π6t ＋10(0≤t ≤24)．(2)由于船的吃水深度为7 m ，船底与海底的距离不少于4.5 m ，故在船舶航行时，水深y 应大于或等于7＋4.5＝11.5(m )．令y ＝3sin π6t ＋10≥11.5，可得sin π6t ≥12.∴2kπ＋π6≤π6t ≤2kπ＋5π6(k ∈Z )， ∴12k ＋1≤t ≤12k ＋5(k ∈Z )．取k ＝0，则1≤t ≤5，取k ＝1，则13≤t ≤17；而取k ＝2时，25≤t ≤29(不合题意)．从而可知船舶要在一天之内在港口停留时间最长，就应从凌晨1时(1时到5时都可以)进港，而下午的17时(即13时到17时之间)离港，在港内停留的时间最长为16 h .规律方法1．本题中没有明显函数的类型，则可通过画散点图来拟合曲线．2．此类问题的一般解法是先由表中数据分析求出待定系数，再转化为三角不等式对实际问题进行预测判断．由于实际问题的背景往往比较复杂，所以要注意认真审题从中抽取基本的数学关系．变式训练某风景美丽的海滩的浪高y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，记作y ＝f (t )，下面是某日浪高的数据：(1)试根据以上数据，求出函数y ＝f (t )的近似表达式；(2)一般情况下，浪高在1.25 m ～2 m 之间可以允许冲浪爱好者开展冲浪运动(认为是安全的)，试求一天内的上午8：00至晚上20：00之间有多少时间可供冲浪者安全地进行冲浪运动？【解】 (1)由表中数据，知周期T ＝12， ∴ω＝2πT ＝2π12＝π6，由t ＝0，y ＝3.5，得A ＋b ＝3.5. 由t ＝3，y ＝2.0，得b ＝2.0. ∴A ＝1.5.∴y ＝1.5cos π6t ＋2(0≤t ≤24)．(2)由题知，当1.25≤y ≤2.0时才可对冲浪者开放，∴1.25≤1.5cos π6t ＋2≤2 ∴－12≤cos π6t ≤0∴2kπ＋π2≤π6t ≤2kπ＋2π3或2kπ＋4π3≤π6t ≤2kπ＋3π2(k ∈Z )．即12k ＋3≤t ≤12k ＋4或12k ＋8≤t ≤12k ＋9(k ∈Z )． ∵0≤t ≤24，故可令k 分别为0，1，得3≤t ≤4或8≤t ≤9，或15≤t ≤16或20≤t ≤21.∴在规定时间上午8：00至晚上20：00之间，故有2个小时的时间可供冲浪者运动：分别是上午8：00至9：00与下午15：00至16：00.思想方法技巧转化与化归思想在三角函数模型问题中的应用典例(12分)下表是芝加哥1951～1981年月平均气温(华氏)．(1)描出散点图．(2)用正弦曲线去拟合这些数据． (3)这个函数的周期是多少？ (4)估计这个正弦曲线的振幅A .(5)选择下面四个函数模型中哪一个最适合这些数据？①y A ＝cos (πx 6)； ②y －46A ＝cos (πx 6)； ③y －46－A ＝cos (πx 6)； ④y －26A ＝sin (πx 6)．【思路点拨】(1)(2)建立直角坐标系即可；(3)找出气温的最大值和最小值的月份，作差，可求得T2；(4)找出气温的最大值和最小值，作差，求出2A ；(5)将表中数据代入检验．【规范解答】(1)(2)如图所示．....................4分(3)1月份的气温最低为21.4，7月份的气温最高为73.0，根据图知，T2＝7－1＝6，∴T ＝12....................6分 (4)2A ＝最高气温－最低气温＝73.0－21.4＝51.6，∴A ＝25.8............................................................8分 (5)∵x ＝月份－1，∴不妨取x ＝2－1＝1，y ＝26.0，代入①，得y A ＝26.025.8>1≠cos π6，∴①差距明显；代入②，得y －46A ＝26.0－4625.8<0≠cos π6，∴②差距明显；代入④，得y －26A ＝0≠sin π6；∵④差距明显，不适合；代入③，得y －46－A ＝26－46－25.8≈0.78，与cos π6较接近，拟合性更好，∴③相对最适合这些数据.........................12分思维启迪三角函数应用题在阅读理解实际问题时，应注意以下几点： (1)反复阅读，通过关键语句领悟其数学本质．(2)充分运用转化思想，深入思考，联想所学知识确定变量与已知量．(3)结合题目的已知和要求建立数学模型，确定变量的性质与范围及要解决的问题的结论．1．三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型．三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)中有着广泛的应用．2．三角函数模型构建的步骤：(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象；(2)制作散点图，选择函数模型进行拟合；(3)利用三角函数模型解决实际问题；(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验．当堂双基达标1．电流强度I (A )随时间t (s )变化的关系式是I ＝5sin (100πt ＋π3)，则当t ＝1200 s 时，电流强度I 为( )A ．5 AB ．2.5 AC ．2 AD ．－5 A 【解析】当t ＝1200时， I ＝5sin (π2＋π3)＝5cos π3＝2.5. 【答案】 B2．某人的血压满足函数关系式f (t )＝24sin 160πt ＋110，其中f (t )为血压，t 为时间，则此人每分钟心跳的次数为( )A ．60B ．70C ．80D ．90【解析】 ∵T ＝2π160π＝180，∴f ＝1T ＝80. 【答案】 C3. 如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s cm 和时间t s 的函数关系式为：s ＝6sin (2πt ＋π6)，那么单摆来回摆动一次所需的时间为( )图1－6－6A ．2π sB ．π sC ．0.5 sD ．1 s【解析】 T ＝2πω＝2π2π＝1，故单摆来回摆动一次所需时间为1 s . 【答案】 D4. (2013·延安高一检测)如图所示，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数图象．图1－6－7(1)求这一段时间的最大温差． (2)写出这段曲线的解析式．【解】 (1)由图易知，这段时间的最大温差是20 ℃.(2)设所求解析式为：y ＝A sin (ωx ＋φ)＋b .则分析图形易知从6时到14时的图象是所求函数半个周期的图象．所以⎩⎪⎨⎪⎧A ＝30－102，b ＝30＋102，6ω＋φ＝－π2＋2k πk ∈Z ，10ω＋φ＝0＋2k πk ∈Z ，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝10，b ＝20，ω＝π8，φ＝－54π＋2k πk ∈Z .∴y ＝10sin (π8x －54π)＋20.即y ＝10sin (π8x －54π)＋20(x ∈[6，14])即为所求的函数解析式．课后知能检测一、选择题1．(2013·南阳高一检测)一半径为10的水轮，水轮的圆心到水面的距离为7，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P 到水面距离y 与时间x (秒)满足函数关系式y ＝A sin (ωx ＋φ)＋7，则( )A ．ω＝2π15，A ＝10B ．ω＝152π，A ＝10 C ．ω＝2π15，A ＝17D ．ω＝152π，A ＝17【解析】 T ＝604＝15，ω＝2π15，A ＝10. 【答案】 A2．一根长l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s (cm )与时间t (s )的函数关系式是s ＝3cos (g l t ＋π3)，其中g 是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s 时，线长l 等于( )A .g πB .g2π C .gπ2D .g 4π2 【解析】 ∵T ＝2πg l，∴g l ＝2πT ＝2π，∴l ＝g4π2. 【答案】 D图1－6－83．如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过12周期后，乙的位置将移至( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【解析】因为相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度相差半个周期．【答案】 C4．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin (ωx＋φ)＋b (A >0，ω>0，|φ|<π2)的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin (π4x －π4)＋7(1≤x ≤12，x ∈N *) B ．f (x )＝9sin (π4x －π4)(1≤x ≤12，x ∈N *) C ．f (x )＝22sin π4x ＋7(1≤x ≤12，x ∈N *) D ．f (x )＝2sin (π4x ＋π4)＋7(1≤x ≤12，x ∈N *)【解析】由题意知x ＝3时，f (x )max ＝9，排除C 、D ，x ＝7时f (x )min ＝5，排除B ，故选A .【答案】 A 5.图1－6－9(2013·石河子高一检测)如图所示，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上逆时针旋转一周，点P 所旋转过的弧AP 的长为l ，弦A P 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致是( )【解析】由于d ＝f (l )＝2sin l2，l ∈[0，2π]，故选C . 【答案】 C 二、填空题6．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos [π6(x－6)](x ＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为________℃.【解析】由题意可知A ＝28－182＝5， a ＝28＋182＝23.从而y ＝5cos [π6(x －6)]＋23，故10月份的平均气温值为y ＝5cos (π6×4)＋23＝20.5. 【答案】 20.57．某时钟的秒针端点A 到中心的距离为5 cm ，秒针均匀地绕O 点旋转到B 点，当时间t ＝0时，点A 与钟面上标12的点重合，将A 、B 两点间的距离d (cm )表示成t (s )的函数，则d ＝________，其中，t ∈[0，60]．【解析】由题意易知d ＝2r ·sin ω2t ，r ＝5，ω＝π30. ∴d ＝10sin π60t . 【答案】 10sin π60t8．已知某游乐园内摩天轮的中心点O 距地面的高度为50 m ，摩天轮做匀速转动，摩天轮上的一点P 自最低点A 起，经过t min 后，点P 的高度h ＝40sin (π6t －π2)＋50(单位：m )，那么在摩天轮转动一圈的过程中，点P 的高度在距地面70 m 以上的时间将持续________分钟．【解析】依题意，知40sin (π6t －π2)＋50≥70，即cos π6t ≤－12，从而在一个周期内持续的时间为 2π3≤π6t ≤4π3，4≤t ≤8，即持续时间为4分钟．【答案】 4 三、解答题9．交流电的电压E (单位：伏)与时间t (单位：秒)的关系可用E ＝2203sin (100πt ＋π6)来表示，求：(1)开始时的电压；(2)电压的最大值和第一次获得这个最大值的时间．【解】 (1)当t ＝0时，E ＝2203sin π6＝1103(伏)，即开始时的电压为1103伏． (2)电压的最大值为2203伏，当100πt ＋π6＝π2，即t ＝1300秒时第一次取得这个最大值． 10．如图所示，图1－6－10某地一天从0～10时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin (ωx ＋φ)＋b ，其中A ＞0，ω＞0，－π＜φ＜0.(1)求这一天0～10时的最大温差； (2)写出这段曲线的函数解析式．【解】 (1)由图可知，这一天0～10时的最高温度是20℃，最低温度是0℃，则最大温差是20℃－0℃＝20℃.(2)由图可以看出，从1～9时是半个周期，则周期T ＝2(9－1)＝16，所以2πω＝16，解得ω＝π8.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ＋b ＝20，－A ＋b ＝0，得A ＝10，b ＝10，则有y ＝10sin (π8x ＋φ)＋10，又点(1，0)在曲线上，即满足函数的解析式，则0＝10sin (π8＋φ)＋10，所以sin (π8＋φ)＝－1. 又－π＜φ＜0，则φ＝－58π，综上，所求解析式为y ＝10sin (π8x －58π)＋10，x ∈[0，10]．11．如图所示，某市拟在长为8 km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数y ＝A sinωx (A >0，ω>0)，x ∈[0，4]的图象，且图象的最高点为S (3，23)；赛道的后一部分为折线段MNP .为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP ＝120°，求A ，ω的值和M ，P 两点间的距离．图1－6－11【解】依题意，有A ＝23，T4＝3，又T ＝2πω，∴ω＝π6， ∴y ＝23sin π6x ，x ∈[0，4]． ∴当x ＝4时，y ＝23sin 2π3＝3. ∴M (4，3)．又P (8，0)， ∴MP ＝8－42＋0－32＝42＋32＝5(km )．即M 、P 两点间的距离为5 km . 【教师备课资源】1．三角函数与几何知识的综合应用典例如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝3，此矩形沿地面上一直线滚动，在滚动过程中始终与地面垂直，设直线BC 与地面所成角为θ，矩形周边上最高点离地面的距离为f (θ)．求：(1)θ的取值范围； (2)f (θ)的解析式； (3)f (θ)的值域．【思路探究】连接BD ，过D 作D E 垂直于地面于E ，在△BD E 中，先求f (θ)的表达式，再求值域．【规范解答】(1)BC 与地面所成的角，就是直线与平面所成的角，显然角θ的范围为[0，π2]．(2)如图，连接BD ，则∠DBC ＝π6，过D 作地面的垂线，垂足为E ，在Rt △B E D 中，∠D B E ＝θ＋π6，DB ＝2，∴f (θ)＝2sin (θ＋π6)(0≤θ≤π2)．(3)f (θ)＝2sin (θ＋π6)(0≤θ≤π2)，π6≤θ＋π6≤2π3， ∴12≤sin (θ＋π6)≤1，即f (θ)的值域为[1，2]．规律方法1．解决本题的关键是准确的作出辅助线BD 、D E ，在△BD E 中求出f (θ)的解析式． 2．解决三角函数与几何知识的综合问题，首先应弄清问题的实际背景，然后结合平面几何知识求解，应注意实际问题中对角的范围的限制．变式训练如图所示，有一广告气球，直径为6 m ，放在公司大楼上空，当行人仰望气球中心的仰角∠BAC ＝30°时，测得气球的视角为2°(若β很小时，可取sin β≈β)，试估算该气球的高BC 的值约为( )A ．70 mB ．86 mC ．102 mD ．118 m【解】在Rt △ADC 中，CD ＝3 m ，sin β＝CDAC ，∴AC ＝CDsin β.① ∵β很小，∴sin β≈β.又∵1°＝π180 rad ，∴sin β≈β＝π180 rad .②在Rt △ABC 中，sin ∠CAB ＝sin 30°＝BCAC ，③∴由①②③得BC ≈86 m . 【答案】 B2．知识拓展利用基本三角函数的图象研究两类含有绝对值函数的函数的图象与性质一些函数图象可以通过基本三角函数图象翻折得到．例如：(1)由函数y ＝f (x )的图象要得到y ＝|f (x )|的图象，只需将y ＝f (x )的图象在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，x 轴上方的图象保持不动，即“上不动，下翻上”．(2)由函数y ＝f (x )的图象要得到y ＝f (|x |)的图象，应保留y ＝f (x )位于y 轴右侧的图象，去掉y 轴左侧的图象，再由y 轴右侧的图象翻折得到y 轴左侧的图象，即“右不动，右翻左”．例如，作出函数y ＝|sin x |的图象，根据图象判断其周期并写出单调区间．【解】函数y ＝sin x 位于x 轴上方的图象不动，位于x 轴下方的图象沿x 轴翻折到x 轴上方即可得到函数y ＝|sin x |的图象，如下图所示：根据图象可知，函数y ＝|sin x |的周期是π，函数在区间[kπ，kπ＋π2]，k ∈Z 上递增；在区间[kπ－π2，kπ]，k ∈Z 上递减.章末归纳提升第一章三角函数知识网络构建专题归纳提升专题1 任意角的三角函数的定义及三角函数线掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数的定义求三角函数值，利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域．例1 (2013·珠海高一检测)函数y ＝lg (2sinx －1)＋1－2cos x 的定义域为________．【思路点拨】先列出三角函数的不等式组，再借助于三角函数线或三角函数的图象求解．【规范解答】要使函数有意义，必须有⎩⎪⎨⎪⎧2sin x －1>0，1－2cos x ≥0即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >12，cos x ≤12.解得⎩⎪⎨⎪⎧π6＋2k π<x <56π＋2k π，π3＋2k π≤x ≤53π＋2k π，(k ∈Z )∴π3＋2kπ≤x <5π6＋2kπ(k ∈Z )．故所求函数的定义域为[π3＋2kπ，5π6＋2kπ)(k ∈Z )．【答案】 [π3＋2kπ，5π6＋2kπ)(k ∈Z )变式训练求函数f (x )＝－sin x ＋tan x －1的定义域．【解】函数f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧－sin x ≥0，tan x －1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≤0，tan x ≥1.如图所示，结合三角函数线知 ⎩⎪⎨⎪⎧2k π＋π≤x ≤2k π＋2πk ∈Z ，k π＋π4≤x <k π＋π2k ∈Z .∴2kπ＋5π4≤x <2kπ＋3π2(k ∈Z )．故f (x )的定义域为[2kπ＋5π4，2kπ＋3π2)(k ∈Z ).专题2同角三角函数的关系式及诱导公式(1)牢记两个基本关系式sin 2α＋cos 2α＝1及sin αcos α＝tan α，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明．在应用中，要注意掌握解题的技巧，同时要体会数学思想方法如数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想及函数与方程思想的应用．(2)诱导公式可概括为k ·π2±α(k ∈Z )的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．例2 已知f (α)＝sin2π－α·cos 2π－α·tan －π＋αsin －π＋α·tan －α＋3π. (1)化简f (α)；(2)若f (α)＝18，且π4<α<π2，求cos α－sin α的值；(3)若α＝－474π，求f (α)的值．【思路点拨】利用同角三角函数的基本关系式和诱导公式求解．【规范解答】 (1)f (α)＝sin 2 α·cos α·tan α－sin α－tan α＝sin α·cos α. (2)由f (α)＝sin α·cos α＝18可知，(cos α－sin α)2＝cos 2α－2sin α·cos α＋sin 2 α ＝1－2sin α·cos α＝1－2×18＝34，又∵π4<α<π2，∴cos α<sin α，即cos α－sin α<0， ∴cos α－sin α＝－32. (3)∵α＝－474π＝－6×2π＋π4， ∴f (－474π)＝cos (－474π)·sin (－474π) ＝cos (－6×2π＋π4)·sin (－6×2π＋π4) ＝cos π4·sin π4＝22×22＝12.变式训练若cos θ＝74，求f (θ)＝sin θ－5π·cos －π2－θ·cos 8π－θsin θ－3π2sin －θ－4π的值．【解】 f (θ)＝sin θ－π·cos π2＋θ·cos －θsin θ＋π2·sin －θ ＝－sin π－θ·－sin θ·cos θcos θ·－sin θ＝－sin θ. ∵cos θ＝74，且sin 2θ＝1－cos 2θ＝916.当θ为第一象限角时，f (θ)＝－34，当θ为第四象限角时，f (θ)＝34.专题3三角函数的图象及变换三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定，以及通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质．例3 如图1－1是函数y ＝A sin (ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0，|φ|<π2)的一段图象．图1－1(1)求此函数解析式；(2)分析一下该函数是如何通过y ＝sin x 变换得来的？【思路点拨】(1)先确定A 、k ，再根据周期求ω，最后确定φ.(2)可先平移再伸缩，也可先伸缩再平移．【规范解答】 (1)由图象知A ＝－12－－322＝12， k ＝－12＋－322＝－1，T ＝2×(2π3－π6)＝π，∴ω＝2πT ＝2.∴y ＝12sin (2x ＋φ)－1.当x ＝π6时，2×π6＋φ＝π2，∴φ＝π6. ∴所求函数解析式为y ＝12sin (2x ＋π6)－1.(2)把y ＝sin x 向左平移π6个单位得到y ＝sin (x ＋π6)，然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的12，得到y ＝sin (2x ＋π6)，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12得到y ＝12sin (2x ＋π6)，最后把函数y ＝12sin (2x ＋π6)的图象向下平移1个单位，得到y ＝12sin (2x ＋π6)－1的图象．变式训练f (x )＝sin (2x ＋φ)(－π＜φ＜0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8. (1)求φ；(2)画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象．【解】 (1)∵x ＝π8是函数y ＝f (x )的图象的对称轴， ∴sin (2×π8＋φ)＝±1，∴π4＋φ＝kπ＋π2，k ∈Z . ∵－π＜φ＜0，∴φ＝－3π4. (2)由y ＝sin (2x －3π4)知专题4 三角函数的性质奇偶性、对称性等有关性质，特别是复合函数的周期性、单调性和最值(值域)应引起重视．例4 已知函数f (x )＝2sin (2x ＋π6)＋a ＋1(其中a 为常数)． (1)求f (x )的单调区间；(2)若x ∈[0，π2]时，f (x )的最大值为4，求a 的值． (3)求f (x )取最大值时x 的取值集合．【思路点拨】 (1)将2x ＋π6看成一个整体，利用y ＝sin x 的单调区间求解． (2)先求x ∈[0，π2]时2x ＋π6的范围，再根据最值求a 的值． (3)先求f (x )取最大值时2x ＋π6的值，再求x 的值．【规范解答】(1)由－π2＋2kπ≤2x ＋π6≤π2＋2kπ，k ∈Z ，解得－π3＋kπ≤x ≤π6＋kπ，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调增区间为[－π3＋kπ，π6＋kπ](k ∈Z )，由π2＋2kπ≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得π6＋kπ≤x ≤2π3＋kπ，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调减区间为[π6＋kπ，2π3＋kπ](k ∈Z )． (2)∵0≤x ≤π2，∴π6≤2x ＋π6≤7π6，∴－12≤sin (2x ＋π6)≤1，∴f (x )的最大值为2＋a ＋1＝4，∴a ＝1， (3)当f (x )取最大值时，2x ＋π6＝π2＋2kπ， ∴2x ＝π3＋2kπ，∴x ＝π6＋kπ，k ∈Z .∴当f (x )取最大值时，x 的取值集合是{x |x ＝π6＋kπ，k ∈Z }．变式训练已知函数f (x )＝2sin (2x －π4)，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间[π8，3π4]上的最小值和最大值．【解】 (1)∵f (x )＝2sin (2x －π4)， ∴T ＝2πω＝2π2＝π.故函数f (x )的最小正周期为π.(2)∵f (x )＝2sin (2x －π4)在区间[π8，3π8]上是增函数．在区间[3π8，3π4]上是减函数．∴函数f (x )在x ＝3π8处取得最大值，在两端点之一处取得最小值．又f (π8)＝0，f (3π8)＝2，f (3π4)＝2sin (3π2－π4)＝－2cos π4＝－1.故函数f (x )在区间[π8，3π4]上的最大值为2，最小值为－1.简，化异为同，弦切互化；在研究三角函数的图象与性质时，常把函数y ＝A sin (ωx ＋φ)化归为简单的y ＝sin x 来研究．这些均体现三角函数中的转化与化归的思想方法．例5 已知1＋tan π＋α1＋tan 2π－α＝3＋22，求cos 2(π－α)＋sin (3π2＋α)cos (π2＋α)＋2si n 2(α－π) 的值．【思路点拨】先求tan x 的值，再将待求的关系式化简，变为切函数求解．【规范解答】由已知得1＋tan α1－tan α＝3＋22， ∴tan α＝2＋224＋22＝1＋22＋2＝22.∴cos 2(π－α)＋sin (3π2＋α)cos (π2＋α)＋2sin 2(α－π)＝cos 2α＋(－cos α)(－sin α)＋2sin 2α ＝cos 2α＋sin αcos α＋2sin 2α ＝cos 2α＋sin αcos α＋2sin 2αsin 2α＋cos 2α ＝1＋tan α＋2tan 2α1＋tan 2α ＝1＋22＋11＋12＝4＋23.变式训练函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( )A ．[－1，1]B ．[－54，－1] C ．[－54，1]D ．[－1，54]【解析】 y ＝sin 2x ＋sin x －1，令sin x ＝t ，则有y ＝t 2＋t －1，t ∈[－1，1]，画出函数图象如图所示．从图象可以看出，当t ＝－12及t ＝1时，函数取最值，代入y ＝t 2＋t －1可得y mi n ＝－54，y max ＝1.综合检测(一) 第一章三角函数(时间：90分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在“①160°；②480°；③－960°；④1 530°”这四个角中，属于第二象限角的是( )A ．①B ．①②C ．①②③D ．①②③④【解析】 ∵480°＝360°＋120°，－960°＝－3×360°＋120°， ∴①②③均是第二象限角．又1 530°＝4×360°＋90°，④不是第二象限角．【答案】 C2．点P 从(1，0)点出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动π3弧长到达Q 点，则Q 点坐标为( )A ．(12，32)B ．(－32，－12)C ．(－12，－32)D ．(－32，12) 【解析】设∠POQ ＝θ，则θ＝π3.又设Q (x ，y )，则x ＝cos π3＝12，y ＝sin π3＝32. 【答案】 A3．已知角α的终边经过点(3a ，－4a )(a <0)，则sin α＋cos α等于( ) A .15 B .75 C ．－15 D ．－75 【解析】 r ＝3a2＋－4a2＝－5a .∴sin α＝－4a －5a ＝45，cos α＝3a －5a ＝－35， ∴sin α＋cos α＝45－35＝15.4．(2013·郑州高一检测)对于函数y ＝sin (132π－x )，下列说法中正确的是( ) A ．函数是最小正周期为π的奇函数 B ．函数是最小正周期为π的偶函数 C ．函数是最小正周期为2π的奇函数 D ．函数是最小正周期为2π的偶函数【解析】 y ＝sin (132π－x )＝sin (π2－x )＝cos x ，故D 项正确．【答案】 D5．(2012·天津高考)设φ∈R ，则“φ＝0”是“f (x )＝cos (x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】若φ＝0，则f (x )＝cos x 是偶函数，但是若f (x )＝cos (x ＋φ)是偶函数，则φ＝π也成立．故“φ＝0”是“f (x )＝cos (x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”的充分而不必要条件．【答案】 A 6.图1(2013·陕西师大附中高一检测)已知函数y ＝sin (ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图1所示，则( )A ．ω＝2，φ＝π6 B ．ω＝1，φ＝－π6 C ．ω＝1，φ＝π6 D ．ω＝2，φ＝－π6【解析】由图可知T ＝4(712π－π3)＝π. 又T ＝2πω，ω＝2ππ＝2，∴y ＝sin (2x ＋φ)，代入点(π3，1)，得sin (23π＋φ)＝1，又|φ|＜π2， ∴φ＝－π6. 【答案】 D7．(2012·衡水高一检测)函数y ＝2cos (2x －π3)＋1在区间[－π4，π4]上的值域为( ) A ．[1－3，1＋3] B ．[1－3，3] C ．[－1，3] D ．[－1，1＋3]【解析】 ∵－π4≤x ≤π4，∴－5π6≤2x －π3≤π6， ∴－32≤cos (2x －π3)≤1，∴1－3≤2cos (2x －π3)＋1≤3，故选B . 【答案】 B8．已知sin (α＋π2)＝13，α∈(－π2，0)，则tan α等于( ) A ．－2 2 B ．2 2 C ．－24 D .24【解析】由sin (α＋π2)＝13，得cos α＝13，又α∈(－π2，0)． ∴sin α＝－ 1－cos 2α＝－223.故tan α＝sin αcos α＝－2 2. 【答案】 A9．下列函数中，以π为周期且在区间(0，π2)上为增函数的函数是( )A ．y ＝sin x2 B ．y ＝sin xC ．y ＝－tan xD ．y ＝－cos 2x【解析】 C 、D 中周期为π，A 、B 不满足T ＝π. 又y ＝－tan x 在(0，π2)为减函数，C 错． y ＝－cos 2x 在(0，π2)为增函数． ∴y ＝－cos 2x 满足条件．【答案】 D10．(2012·天津高考)将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点(3π4，0)，则ω的最小值是( )A .13 B ．1 C .53 D ．2【解析】根据题意平移后函数的解析式为y ＝sin ω(x －π4)，将(3π4，0)代入得sin ωπ2＝0，则ω＝2k ，k ∈Z ，且ω>0，故ω的最小值为2.【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 11．(2013·上海春季高考)函数f (x )＝sin (2x ＋π4)的最小正周期为________．【解析】由题意知，ω＝2，所以f (x )＝sin (2x ＋π4)的最小正周期为T ＝2π2＝π. 【答案】 π12．sin (－120°)cos 1 290°＋cos (－1 020°)sin (－1 050°)＝______. 【解析】原式＝－sin 120°cos 210°＋cos 60°sin 30° ＝－32×(－32)＋12×12＝1. 【答案】 113．(2013·玉溪高一检测)若θ是△ABC 的一个内角，且sin θcos θ＝－18，则sin θ－co s θ的值为________．【解析】由sin θcos θ＝－18＜0知π2＜θ＜π，∴sin θ＞0，cos θ＜0，(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－2×(－18)＝54.又sin θ－cos θ＞0，∴sin θ－cos θ＝52. 【答案】 5214．设f (x )＝2sin ωx ，(0<ω<1)在闭区间[0，π3]上的最大值为2，则ω的值为__________．【解析】 ∵0<ω<1，∴T ＝2πω，∴T 4＝π2ω>π2. ∴f (x )＝2sin ωx 在[0，π3]上为增函数． ∴f (x )max ＝f (π3)＝2sin π3ω＝ 2. ∴sin π3ω＝22，即π3ω＝π4，∴ω＝34. 【答案】 34三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)已知角x 的终边过点P (1，3)． (1)求：sin (π－x )－sin (π2＋x )的值； (2)写出角x 的集合S .【解】 ∵x 的终边过点P (1，3)， ∴r ＝|OP |＝12＋32＝2.∴sin x ＝32，cos x ＝12. (1)原式＝sin x －cos x ＝3－12. (2)由sin x ＝32，cos x ＝12. 若x ∈[0，2π]，则x ＝π3，由终边相同角定义，∴S ＝{x |x ＝2kπ＋π3，k ∈Z }.16．(本小题满分12分)(2013·邯郸高一检测)(1)已知cos α＝－45，且α为第三象限角，求sin α的值；(2)已知tan α＝3，计算4sin α－2cos α5cos α＋3sin α的值．【解】 (1)∵cos 2α＋sin 2α＝1，α为第三象限角， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－ 1－－452＝－35.(2)显然cos α≠0，∴4sin α－2cos α5cos α＋3sin α＝4sin α－2cos αcos α5cos α＋3sin αcos α＝4tan α－25＋3tan α＝4×3－25＋3×3＝57.17．(本小题满分12分)已知f (x )＝sin (2x ＋π6)＋32，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期和单调增区间．(2)函数f (x )的图象可以由函数y ＝sin 2x (x ∈R )的图象经过怎样的变换得到？【解】 (1)T ＝2π2＝π，由2kπ－π2≤2x ＋π6≤2kπ＋π2(k ∈Z )，知kπ－π3≤x ≤kπ＋π6(k ∈Z )．所以所求函数的最小正周期为π，所求的函数的单调递增区间为[kπ－π3，kπ＋π6](k ∈Z )．(2)变换情况如下：y ＝sin 2xh 错误!y ＝sin [2(x ＋错误!)]错误!y ＝sin (2x ＋错误!)＋错误!.18．(本小题满分14分)(2013·徐州高一检测)在已知函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)，x ∈R (其中A >0，ω>0，0<φ<π2)的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最低点为M (2π3，－2)．(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈[π12，π2]时，求f (x )的值域．【解】 (1)由最低点为M (2π3，－2)，得A ＝2. 由x 轴上相邻两个交点之间的距离为π2，得T 2＝π2，即T ＝π，∴ω＝2πT ＝2ππ＝2. 由点M (2π3，－2)在图象上得2sin (2×2π3＋φ)＝－2，即sin (4π3＋φ)＝－1，故4π3＋φ＝2kπ－π2(k ∈Z )， ∴φ＝2kπ－11π6(k ∈Z )．又φ∈(0，π2)，∴φ＝π6，故f (x )＝2sin (2x ＋π6)． (2)∵x ∈[π12，π2]， ∴2x ＋π6∈[π3，7π6]，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－1，故f (x )的值域为[－1，2]．。

三角函数模型的简单应用教案(详细的)

三角函数模型的简单应用一、教学目标1、基础知识目标：a通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学会由图象求解析式的方法；b根据解析式作出图象并研究性质；c体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程；d体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．2、能力训练目标：让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力．3、个性情感目标：让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用，让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用从而激发学生的学习兴趣，培养锲而不舍的钻研精神；培养学生勇于探索、勤于思考的精神。

二、教学重点：精确模型的应用——即由图象求解析式，由解析式研究图象及性质三、教学难点：a、分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型，并调动相关学科的知识来解决问题．b、由图象求解析式时的确定。

五、教学设计分析《标准》把发展学生的数学应用意识和创新意识作为其目标之一,在教学中不仅要突出知识的来龙去脉还要为学生创设应用实践的空间,促进学生在学习和实践过程中形成和发展数学应用意识,提高学生的直觉猜想、归纳抽象、数学地提出、分析、解决问题的能力,发展学生的数学应用意识和创新意识,使其上升为一种数学意识,自觉地对客观事物中蕴涵的一些数学模式作出思考和判断。

通过已知三角函数图象求三角函数解析式，构建三角函数模型解决实际问题。

在解答问题的过程中体验到从数学的角度运用学过的数学思想、数学思维、数学方法去观察生活、分析自然现象、解决实际问题的策略, 使学生认识到数学原来就来自身边的现实世界,是认识和解决我们生活和工作中问题的有力武器,同时也获得了进行数学探究的切身体验和能力。

增进了他们对数学的理解和应用数学的信心。

高中数学必修4《三角函数模型的简单应用》教案

高中数学必修4《三角函数模型的简单应用》教案【教学内容】三角函数模型的简单应用【教学目标】1. 了解正弦函数、余弦函数、正切函数的定义和图象；2. 掌握解决几何问题时应用三角函数模型的方法；3. 培养学生从实际问题中抽象出三角函数模型的能力；4. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

【教学重点】1. 正弦函数、余弦函数、正切函数的定义和图象；2. 解决几何问题时应用三角函数模型的方法。

【教学难点】学生解决实际问题时抽象出三角函数模型的能力。

【教学方法】1. 讲授法：通过讲解三角函数模型的定义和性质，让学生理解三角函数模型的概念和基本思想；2. 举例法：通过讲解几个综合实例，让学生理解应用三角函数模型解决问题的基本方法；3. 练习法：通过练习题，让学生巩固所学知识。

【教学过程】一、引入让学生观察、思考以下两个图象，引出三角函数模型的概念及相关性质。

例1 例2二、讲解1. 什么是三角函数模型三角函数模型是指用正弦函数、余弦函数、正切函数等描述几何问题及物理问题的模型。

正弦函数、余弦函数、正切函数是一种列函数，用于描述三角形的内角与长度之间的关系。

2. 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象（1）正弦函数的图象正弦函数是一个以原点 O 为中心，以 y 轴为对称轴，振幅为 1，周期为2π 的奇函数。

（2）余弦函数的图象余弦函数是一个以原点 O 为中心，以 y 轴为对称轴，振幅为 1，周期为2π 的偶函数。

（3）正切函数的图象正切函数的图象是一个无量纲的周期函数，周期为π，无定义域上的最大值和最小值，其图象相对于 y 轴是奇函数。

三、练习例1 解：构造如下图形，已知 $BC=6$ cm，$m\angleB=30^\circ$，求 $AC$ 和 $AB$ 的长度。

（1）分析题意，选用何种三角函数模型。

设 $\angle ABC=\theta$，则有 $\angle BAC=150^\circ -\theta$，观察正弦函数的定义式，选用正弦函数。

1.6 三角函数模型的简单应用教案

从散点图的形状可以判断，这个港口的水深与时间的关系可以用形如hxAy++=)sin(ϕω的函数来刻画。

其中x是时间，y是水深。

根据数据可以具体确定hA,,,ϕω的值。

解：（1）以时间为横坐标，水深为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图.根据图象，可以考虑用函数hxAy++=)sin(ϕω刻画水深于时间之间的对应关系.从数据和图象可以得出：,12,5,5.2====ϕThA；由122==ωπT，得6πω=.所以，这个港口的水深与时间的函数关系可用56sin5.2+=xyπ近似描述.由上述关系易得港口在整点时水深的近似值.(表格略) ；（2）货船需要的安全水深为4+1.5=5.5(米),所以当y≥5.5时就可以进港.学生观察散点图的特点学生分析并完成培养学生的观察能力培养学生应用知识的能力10 5 令2.5sin5 5.56xπ+=，即sin0.26xπ=，在区间[]0,12内函数 2.5sin56y xπ=+的图象与直线 5.5y=有两个交点A、B，因此计算可得：0.2014,6xπ≈或2014.06≈-xππ.∴3846.0≈Ax，6154.5≈Bx.由函数的周期性易得：3846.123846.012=+≈Cx，6154.176154.512=+≈Dx．因此，货船可以在0时30分左右进港，早晨5时30分左右出港；或在中午12时30分左右进港，下午17时30分左右出港．每次可以在港口停留5小时左右．解题后反思：回顾整个探究过程，经历了（1）分析收集的数据-----画散点图（2）根据图象特征---选模、求模（3）函数模型应用三．归纳总结：1.在整个探究过程，如果某种变化着的现象具学生分析并转化方程的根转化为函数图象交点的问题计算机或计算器的应用学生回顾与反思培养学生的转化能力解决实际问题,必要时要借助计算机培养学生归纳、反思能力。

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三角函数模型的简单应用教案设计设计理念：《普通高中数学课程标准》明确提出了提高学生的知识和技能、重视学生的学习过程和方法，培养学生的情感态度、价值观的三维目标。

为此，结合本节课的教学内容和本校学生的实际情况，教学过程中注重过程、方法，引导学生不断提出问题、研究问题，并解决问题。

重视互动交流，在教学活动中渗透情感态度与价值观。

一、教材分析内容简介：三角函数模型的简单应用的第一课时。

1、教材的地位和作用本节课是在学习了三角函数图象和性质的前提下来学习三角函数模型的简单应用，让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的创新精神和实践能力。

2、学情分析学生已经学习了三角函数的图像和性质，具有用数学知识解决这类实际问题的能力；根据我校学生的数学基础，我在讲解时放慢步骤，对重点环节重点指导，带领学生积极参与并让学生多思考，充分发挥学生的主体作用和教师的主导作用。

3、教学重点与难点基于上述分析，并结合实际情况，我确定本节课的重点、难点：教学重点——用三角函数模型解决一些具有周期性变化规律的实际问题．教学难点——从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型，并调动相关学科的知识来解决问题．二、目标分析本课教学我以学生的认知水平和生活实际，以学生内化新知为落脚点，在此基础上，我确立了本科的三维教学目标：知识目标——学生能够从实际问题中发现周期性变化的规律，把发现的规律抽象为恰当的三角模型，并解决相关的实际问题．能力目标——让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的创新精神和实践能力。

情感目标——让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用.三、教法及学法分析新课程理念下的教师要善于做学生学习的组织者、合作者、引导者，学生闪光点的发现者以及向学生学习的学习着。

教学方法——启发式、讲练相结合式学习方法——小组自主探究、合作交流式教学手段——为使教法和学法更完美地融为一体，我借助多媒体辅助教学，提高课堂效率。

1.6三角函数模型的简单应用教案

1.6三角函数模型的简单应用（第一课时）教案一、教材地位：本节内容是人教版高中数学必修4第一章最后一节，其内容与实际问题联系，解决三角函数实际问题，从而建立数学模型，应用于生活、生产实际问题中。

二、教学目标：（1）知识与技能1.学习三角函数模型的简单应用，让学生初步学会由图像求解析式；2.学生根据解析式作出图像，从图像探究性质；3.用三角函数模型解决实际问题；4.理解三角函数是描述周期变化现象的函数模型。

（2）过程与方法让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想，培养学生建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力与方法。

（3）情感态度与价值观让学生自己感受数学建模，体验数学在解决实际问题中的价值和作用，激发学生学习兴趣，培养刻苦、勇敢探索、勤于思考的精神。

三、教学重难点：重点：准确模型的应用，由图像求解析式和由解析式研究图像与性质；难点：从实际问题中取基本的数学关系来建立数学模型，并调动相关学科的知识来解决问题。

四、教学过程：（一）复习三角函数的图像和基本性质1、怎样画出正弦、余弦、正切函数图像？正弦、余弦函数用五点法作图容易。

2、从图像寻找性质，推广到三角函数型函数。

（二）由图像探究求三角函数模型的解析式（1）.课本60页的例题1（2）.解决这类问题的一般程序：1、审题：逐字逐句的阅读题意，审清楚题目条件、要求、理解数学关系；2、建模：分析题目变化趋势，选择适当函数模型；3、求解：对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结论；4、还原：把数学结论还原为实际问题的解答。

（三）课堂练习变式一、设y＝f（t）是某港口水的深度y（米）关于时间t（小时）的函数，其中0≤t≤24．下表是该港口某天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系一个能近似表示表中数据间对应关系的函数。

（四）课堂小结1.本节课学习了什么内容和思想方法？2.是否会应用三角函数模型解决简单的实际问题？（五）课内外作业课本65页练习（六）教学反思。

1..6三角函数模型的简单应用(教、教案)

1. 6三角函数模型的简单应用一、教材分析本节课是在学习了三角函数图象和性质的前提下来学习三角函数模型的简单应用，进一步突出函数来源于生活应用于生活的思想，让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的创新精神和实践能力LwtUpWh8vG二、教学目标1、通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学会由图象求解读式的方法；2、根据解读式作出图象并研究性质；3、体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．4.让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学建模思想，从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力。

LwtUpWh8vG三、教学重点难点重点：精确模型的应用——由图象求解读式，由解读式研究图象及性质难点：分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型，并调动相关学科的知识来解决问题．由图象求解读式时的确定。

四、学法分析本节课是在学习了三角函数的性质和图象的基础上来学习三角函数模型的简单应用，学生已经了解了数学建摸的基本思想和方法，应用三角函数的基本知识来解决实际问题对学生来说应该不会很陌生，所以对本节的学习应让学生能够多参与多思考，培养他们的分析解决问题和解决问题的能力，提高应用所学知识的能力。

LwtUpWh8vG在课堂教学中，应该把以教师为中心转向以学生为中心，把学生自身的发展置于教育的中心位置，为学生创设宽容的课堂气氛，帮助学生确定适当的学习目标和达到目标的最佳途径,指导学生形成良好的学习习惯、掌握学习策略和发展原认知能力,激发学生的学习动机，培养学习兴趣，充分调动学生的学习积极性,倡导学生采用自主、合作、探究的方式学习。

LwtUpWh8vG五、教法分析数学是一门培养人的思维、发展人的思维的重要学科，本节课的内容是三角函数的应用，所以应让学生多参与，让其自主探究分析问题，然后由老师启发、总结、提炼，升华为分析和解决问题的能力。

高中数学必修四教案-三角函数模型的简单应用

1.6 三角函数模型的简单应用整体设计教学分析三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用.三角函数模型的简单应用的设置目的,在于加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学习.本节教材通过4个例题,循序渐进地从四个层次来介绍三角函数模型的应用,在素材的选择上注意了广泛性、真实性和新颖性,同时又关注到三角函数性质(特别是周期性)的应用. 通过引导学生解决有一定综合性和思考水平的问题,培养他们综合应用数学和其他学科的知识解决问题的能力.培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力.由于实际问题常常涉及一些复杂数据,因此要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据,包括建立有关数据的散点图,根据散点图进行函数拟合等.三维目标1.能正确分析收集到的数据,选择恰当的三角函数模型刻画数据所蕴含的规律.将实际问题抽象为三角函数有关的简单函数模型.2.通过切身感受数学建模的全过程,体验数学在解决实际问题中的价值和作用,及数学与日常生活和其他学科的联系.认识数学知识在生产、生活实际中所发挥的作用.体会和感受数学思想的内涵及数学本质,逐步提高创新意识和实践能力.3.通过函数拟合得到具体的函数模型,提高数学建模能力.并在探究中激发学生的学习兴趣,培养锲而不舍的钻研精神,培养学生勇于探索、勤于思考的科学精神.重点难点教学重点:分析、整理、利用信息,从实际问题中抽取基本的数学关系来建立三角函数模型,用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题.教学难点:将某些实际问题抽象为三角函数的模型,并调动相关学科的知识来解决问题.课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.(问题导入)既然大到宇宙天体的运动,小到质点的运动以及现实世界中具有周期性变化的现象无处不在,那么究竟怎样用三角函数解决这些具有周期性变化的问题？它到底能发挥哪些作用呢？由此展开新课.思路2.我们已经学习了三角函数的概念、图象与性质,特别研究了三角函数的周期性.在现实生活中,如果某种变化着的现象具有周期性,那么是否可以借助三角函数来描述呢？回忆必修1第三章第二节“函数模型及其应用”,面临一个实际问题,应当如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？以下通过几个具体例子,来研究这种三角函数模型的简单应用.推进新课新知探究提出问题①回忆从前所学,指数函数、对数函数以及幂函数的模型都是常用来描述现实世界中的哪些规律的?②数学模型是什么,建立数学模型的方法是什么?③上述的数学模型是怎样建立的?④怎样处理搜集到的数据?活动:师生互动,唤起回忆,充分复习前面学习过的建立数学模型的方法与过程.对课前已经做好复习的学生给予表扬,并鼓励他们类比以前所学知识方法,继续探究新的数学模型.对还没有进入状态的学生,教师要帮助回忆并快速激起相应的知识方法.在教师的引导下,学生能够较好地回忆起解决实际问题的基本过程是:收集数据→画散点图→选择函数模型→求解函数模型→检验→用函数模型解释实际问题.这点很重要,学生只要有了这个认知基础,本节的简单应用便可迎刃而解.新课标下的教学要求,不是教师给学生解决问题或带领学生解决问题,而是教师引领学生逐步登高,在合作探究中自己解决问题,探求新知.讨论结果:①描述现实世界中不同增长规律的函数模型.②简单地说,数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括,再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时,所得出的关于实际问题的数学描述.数学模型的方法,是把实际问题加以抽象概括,建立相应的数学模型,利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法.③解决问题的一般程序是:1°审题:逐字逐句的阅读题意,审清楚题目条件、要求、理解数学关系；2°建模:分析题目变化趋势,选择适当函数模型；3°求解:对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结论；4°还原:把数学结论还原为实际问题的解答.④画出散点图,分析它的变化趋势,确定合适的函数模型. 应用示例例1 如图1, 某地一天从6—14时的温度变化曲线近似满足函数y=sin(ωx+φ)+b.图1(1)求这一天的最大温差; (2)写出这段曲线的函数解析式.活动:这道例题是2002年全国卷的一道高考题,探究时教师与学生一起讨论.本例是研究温度随时间呈周期性变化的问题.教师可引导学生思考,本例给出模型了吗？给出的模型函数是什么？要解决的问题是什么？怎样解决？然后完全放给学生自己讨论解决. 题目给出了某个时间段的温度变化曲线这个模型.其中第(1)小题实际上就是求函数图象的解析式,然后再求函数的最值差.教师应引导学生观察思考:“求这一天的最大温差”实际指的是“求6是到14时这段时间的最大温差”,可根据前面所学的三角函数图象直接写出而不必再求解析式.让学生体会不同的函数模型在解决具体问题时的不同作用.第(2)小题只要用待定系数法求出解析式中的未知参数,即可确定其解析式.其中求ω是利用半周期(14-6),通过建立方程得解.解:(1)由图可知,这段时间的最大温差是20 ℃.(2)从图中可以看出,从6—14时的图象是函数y=Asin(ωx+φ)+b 的半个周期的图象,∴A=21(30-10)=10,b=21(30+10)=20. ∵21·ωπ2=14-6, ∴ω=8π•.将x=6,y=10代入上式,解得φ=43π. 综上,所求解析式为y=10sin(8π•x+43π)+20,x∈[6,14]. 点评:本例中所给出的一段图象实际上只取6—14即可,这恰好是半个周期,提醒学生注意抓关键.本例所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况,因此应当特别注意自变量的变化范围,这点往往被学生忽略掉例2 2007全国高考函数y=|sinx|的一个单调增区间是( )A.(4π-,4π) B.(4π,43π) C.(π,23π)D.(23π,2π)答案:C例3 如图2,设地球表面某地正午太阳高度角为θ,δ为此时太阳直射纬度,φ为该地的纬度值,那么这三个量之间的关系是θ=90°-|φ-δ|.当地夏半年δ取正值,冬半年δ取负值.如果在北京地区(纬度数约为北纬40°)的一幢高为h 0的楼房北面盖一新楼,要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,两楼的距离不应小于多少?活动: 如图2本例所用地理知识、物理知识较多,综合性比较强,需调动相关学科的知识来帮助理解问题,这是本节的一个难点.在探讨时要让学生充分熟悉实际背景,理解各个量的含义以及它们之间的数量关系.首先由题意要知道太阳高度角的定义:设地球表面某地纬度值为φ,正午太阳高度角为θ,此时太阳直射纬度为δ,那么这三个量之间的关系是θ=90°-|φ-δ|.当地夏半年δ取正值,冬半年δ取负值.根据地理知识,能够被太阳直射到的地区为南、北回归线之间的地带,图形如图3,由画图易知太阳高度角θ、楼高h 0与此时楼房在地面的投影长h 之间有如下关系: h 0=htan θ.由地理知识知,在北京地区,太阳直射北回归线时物体的影子最短,直射南回归线时物体的影子最长.因此,为了使新楼一层正午的太阳全年不被遮挡,应当考虑太阳直射南回归线时的情况.图3解:如图3,A 、B 、C 分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地面上的投影点.要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,应取太阳直射南回归线的情况考虑,此时的太阳直射纬度－23°26′.依题意两楼的间距应不小于MC. 根据太阳高度角的定义,有∠C＝90°－|40°－(－23°26′)|＝26°34′, 所以MC ＝C h tan 0='3426tan 0h ≈2.000h 0, 即在盖楼时,为使后楼不被前楼遮挡,要留出相当于楼高两倍的间距.点评:本例是研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题,是将实际问题直接抽象为与三角函数有关的简单函数模型,然后根据所得的函数模型解决问题.要直接根据图2来建立函数模型,学生会有一定困难,而解决这一困难的关键是联系相关知识,画出图3,然后由图形建立函数模型,问题得以求解.这道题的结论有一定的实际应用价值.教学中,教师可以在这道题的基础上再提出一些问题,如下例的变式训练,激发学生进一步探究. 变式训练某市的纬度是北纬23°,小王想在某住宅小区买房,该小区的楼高7层,每层3米,楼与楼之间相距15米.要使所买楼层在一年四季正午太阳不被前面的楼房遮挡,他应选择哪几层的房？图4解:如图4,由例3知,北楼被南楼遮挡的高度为h=15tan ［90°-(23°+23°26′)］=15tan43°34′≈14.26, 由于每层楼高为3米,根据以上数据, 所以他应选3层以上. 知能训练课本本节练习1、2. 解答:1.乙点的位置将移至它关于x 轴的对称点处. 点评:因为波从乙点传到戊点正好是一个周期,经过21周期,波正好从乙点传到丁点,又因为在波的传播过程中,绳上各点只是上下震动,纵坐标在变,横坐标不变,所以经过21周期,乙点位置将移至它关于x 轴的对称点处,即横坐标不变,纵坐标与图中的丁点相同. 2.如CCTV —1新闻联播节目播出的周期是1天. 点评:了解实际生活中发生的周期变化现象. 课堂小结1.本节课我们学习了三个层次的三角函数模型的应用,即根据图象建立解析式,根据解析式作出图象,将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.你能概括出建立三角函数模型解决实际问题的基本步骤吗？2.实际问题的背景往往比较复杂,而且需要综合应用多学科的知识才能解决它.因此,在应用数学知识解决实际问题时,应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系,还要调动相关学科知识来帮助理解问题. 作业1.图5表示的是电流I 与时间t 的函数关系图5I=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<2π)在一个周期内的图象. (1)根据图象写出I=Asin(ωx+φ)的解析式; (2)为了使I=Asin(ωx+φ)中的t 在任意一段1001s 的时间内电流I 能同时取得最大值和最小值,那么正整数ω的最小值为多少? 解:(1)由图知A=300,第一个零点为(－3001,0),第二个零点为(1501,0), ∴ω·(－3001)+φ=0,ω·1501+φ=π.解得ω=100π,φ=3π,∴I=300sin(100πt+3π).(2)依题意有T≤1001,即ωπ2≤1001,∴ω≥200π.故ωmin =629.2.搜集、归纳、分类现实生活中周期变化的情境模型. 解:如以下两例:①人体内部的周期性节律变化和个人的习惯性的生理变化,如人体脉搏、呼吸、排泄、体温、睡眠节奏、饥饿程度等；②蜕皮(tuipi)昆虫纲和甲壳纲等节肢动物,以及线形动物等的体表具有坚硬的几丁质层,虽有保护身体的作用,但限制动物的生长、发育.因此,在胚后发育过程中,必须进行1次或数次脱去旧表皮,再长出宽大的新表皮后,才变成成虫,这种现象称为蜕皮；蜕下的“旧表皮”称为“蜕”,只有这样,虫体才能得以继续充分生长、发育.蜕皮现象的发生具有周期性,但蜕皮的准备和蜕皮过程是连续进行的.此外,脊椎动物爬行类的蜕皮现象尤为明显,如蜥蜴和蛇具有双层角质层,其外层在定期蜕皮时脱掉,蛇的外层角质层连同眼球外面透明的皮肤,约每2个月为一个周期可完整地脱落1次,称为蛇蜕. 设计感想1.本教案设计指导思想是:充分唤起学生已有的知识方法,调动起相关学科的知识,尽量降低实例背景的相对难度,加大实际问题的鲜明、活跃程度,以引发学生探求问题的兴趣.2.应用三角函数模型解决问题,首先要把实际问题抽象为数学问题,确定它的周期,从而建立起适当三角函数模型.如果学生选择了不同的函数模型,教师应组织学生进行交流,或让学生根据自己选择的模型进行求解,然后再根据所求结果与实际情况差异进行评价.3.由于实际问题常常涉及一些复杂数据,因此要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据,有条件的要用多媒体进行动态演示,以使学生有更多的时间用于对问题本质的理解. (设计者:郑吉星) 第2课时导入新课思路1.通过展示上节作业引入,学生搜集、归纳到的现实生活中的周期现象有:物理情景的①简单和谐运动,②星体的环绕运动；地理情景的①气温变化规律,②月圆与月缺；心理、生理现象的①情绪的波动,②智力变化状况,③体力变化状况；日常生活现象的①涨潮与退潮,②股票变化等等.思路2.(复习导入)回忆上节课三角函数模型的简单应用例子,这节课我们继续探究三角函数模型在日常生活中的一些简单应用. 推进新课新知探究提出问题①本章章头引言告诉我们,海水在月球和太阳引力作用下发生周期性涨落现象.回忆上节课的内容,怎样用上节课的方法从数学的角度来定量地解决这个问题呢？在指数、对数模型中是怎样处理搜集到的数据的？②请做下题(2007浙江高考)若函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R (其中ω＞0,|φ|＜2π)的最小正周期是π,且f(0)=3,则( )A.ω=21,φ=6π B.ω=21,φ=3π C.ω=2,φ=6π D.ω=2,φ=3π活动:这样的开头对学生来说是感兴趣的.教师引导学生复习、回忆、理清思路,查看上节的课下作业.教师指导、适时设问,让学生尽快回忆到上节课的学习氛围中,使学生的思维状态进入到现在的情境中. 讨论结果:①略 ②D 应用示例例1 货船进出港时间问题:海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表:(1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系,给出整点时的水深的近似数值(精确到0.001).(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米,安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙(船底与洋底的距离),该船何时能进入港口?在港口能呆多久?(3)若某船的吃水深度为4米,安全间隙为1.5米,该船在2:00开始卸货,吃水深度以每小时0.3米的速度减少,那么该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水域?活动:引导学生观察上述问题表格中的数据,会发现什么规律?比如重复出现的几个数据.并进一步引导学生作出散点图.让学生自己完成散点图,提醒学生注意仔细准确观察散点图,如图6.教师引导学生根据散点的位置排列,思考可以用怎样的函数模型来刻画其中的规律.根据散点图中的最高点、最低点和平衡点,学生很容易确定选择三角函数模型.港口的水深与时间的关系可以用形如y=Asin(ωx+φ)+h 的函数来刻画.其中x 是时间,y 是水深,我们可以根据数据确定相应的A,ω,φ,h 的值即可.这时注意引导学生与“五点法”相联系.要求学生独立操作完成,教师指导点拨,并纠正可能出现的错误,直至无误地求出解析式,进而根据所得的函数模型,求出整点时的水深.图6根据学生所求得的函数模型,指导学生利用计算器进行计算求解.注意引导学生正确理解题意,一天中有两个时间段可以进港.这时点拨学生思考:你所求出的进港时间是否符合时间情况？如果不符合,应怎样修改？让学生养成检验的良好习惯.在本例(3)中,应保持港口的水深不小于船的安全水深,那么如何刻画船的安全水深呢？引导学生思考,怎样把此问题翻译成函数模型.求货船停止卸货,将船驶向深水域的含义又是什么?教师引导学生将实际问题的意义转化为数学解释,同时提醒学生注意货船的安全水深、港口的水深同时在变,停止卸货的时间应当在安全水深接近于港口水深的时候.进一步引导学生思考:根据问题的实际意义,货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货行吗？为什么？正确结论是什么？可让学生思考、讨论后再由教师组织学生进行评价.通过讨论或争论,最后得出一致结论:在货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货将船驶向较深水域是不行的,因为这样不能保证货船有足够的时间发动螺旋桨. 解:(1)以时间为横坐标,水深为纵坐标,在直角坐标系中画出散点图(图6).根据图象,可以考虑用函数y=Asin(ωx+φ)+h 刻画水深与时间之间的对应关系.从数据和图象可以得出:A ＝2.5,h ＝5,T ＝12,φ＝0, 由T ＝ωπ2＝12,得ω＝6π. 所以这个港口的水深与时间的关系可用y ＝2.5sin6πx+5近似描述.由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值: 时刻 0:00 1:00 2:00 3:004:00 5:00 6:00 7:00 8:00 9:0010:00 11:00 水深 5.000 6.250 7.165 7.57.165 6.250 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754 时刻 12:00 13:00 14:00 15:00 16:00 17:00 18:00 19:00 20:00 21:00 22:00 23:00 水深 5.006.2507.1657.57.1656.2505.0003.7542.8352.5002.8353.754(2)货船需要的安全水深为4+1.5＝5.5(米),所以当y≥5.5时就可以进港. 令2.5sin6πx+5=5.5,sin 6πx=0.2. 由计算器可得 MODE MODE 2 SHIFT sin -10.2 =0.201 357 92≈0.201 4.如图7,在区间[0,12]内,函数y ＝2.5sin6πx+5的图象与直线y ＝5.5有两个交点A 、B,图7 因此6πx≈0.201 4,或π－6πx≈0.201 4. 解得x A ≈0.384 8,x B ≈5.615 2.由函数的周期性易得:x C ≈12+0.384 8＝12.384 8,x D ≈12+5.615 2＝17.615 2.因此,货船可以在0时30分左右进港,早晨5时30分左右出港;或在中午12时30分左右进港,下午17时30分左右出港.每次可以在港口停留5小时左右.图8(3)设在时刻x货船的安全水深为y,那么y=5.5-0.3(x-2)(x≥2).在同一坐标系内作出这两个函数的图象,可以看到在6—7时之间两个函数图象有一个交点(如图8).通过计算也可以得到这个结果.在6时的水深约为5米,此时货船的安全水深约为4.3米;6.5时的水深约为4.2米,此时货船的安全水深约为4.1米;7时的水深约为3.8米,而货船的安全水深约为4米.因此为了安全,货船最好在6.5时之前停止卸货,将船驶向较深的水域.点评:本例是研究港口海水深度随时间呈周期性变化的问题,题目只给出了时间与水深的关系表,要想由此表直接得到函数模型是很困难的.对第(2)问的解答,教师引导学生利用计算器进行计算求解.同时需要强调,建立数学模型解决实际问题,所得的模型是近似的,并且得到的解也是近似的.这就需要根据实际背景对问题的解进行具体的分析.如本例中,一天中有两个时间段可以进港,教师应引导学生根据问题的实际意义,对答案的合理性作出解释. 变式训练发电厂发出的电是三相交流电,它的三根导线上的电流强度分别是时间t的函数,I A=Isinωt,I B=Isin(ωt+120°),I C=Isin(ωt+240°),则I A+I B+I C=________.答案:0例2 图9,是一个单摆的振动图象,据图象回答下列问题:(1)单摆振幅多大；(2)振动频率多高；(3)摆球速度首次具有最大负值的时刻和位置；(4)摆球运动的加速度首次具有最大负值的时刻和位置；(5)若当g＝9.86 m/s2J,求摆线长.活动:引导学生观察图象并思考,这个简谐运动的函数模型是什么？引导学生结合函数上例.点拨学生考虑最高点、最低点和平衡点.通过学生讨论、思考确定选用函数y=Asin(ωx+φ)来刻画单摆离开平衡位置的位移与时间之间的对应关系.图9解:结合函数模型和图象:(1)单摆振幅是1 cm ；(2)单摆的振动频率为1.25 HZ ；(3)单摆在0.6 s 通过平衡位置时,首次具有速度的最大负值；(4)单摆在0.4 s 时处正向最大位移处,首次具有加速度最大负值；(5)由单摆振动的周期公式T=2πgL ,可得L=224πgT =0.16 m. 点评:解决实际问题的关键是要归纳出数学函数模型,然后按数学模型处理.同时要注意检验,使所求得的结论符合问题的实际意义.变式训练1.已知函数f(x)＝sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)为偶函数,且其图象上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为24π+.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若sinx+f(x)＝32,求sinxcosx 的值. 解:(1)∵f(x)为偶函数,∴f(－x)＝f(x),即sin(－ωx+φ)＝sin(ωx+φ).∴φ＝2π. ∴f(x)＝sin(ωx+2π)＝cos ωx. 相邻两点P(x 0,1),Q (x 0+ωπ,－1). 由题意,|PQ|＝4)(2+ωπ=π2+4.解得ω＝1. ∴f(x)＝cosx. (2)由sinx+f(x)＝32,得sinx+cosx ＝32. 两边平方,得sinxcosx ＝185-. 2.小明在直角坐标系中,用1 cm 代表一个单位长度作出了一条正弦曲线的图象.若他将纵坐标改用2 cm 代表一个单位长度,横坐标不变,那么他所作的曲线的函数解析式是什么？若他将横坐标改用2 cm 代表一个单位长度,而纵坐标不变,那么他所作的曲线的函数解析式又是什么？解:小明原作的曲线为y=sinx,x∈R ,由于纵坐标改用了2 cm 代表一个单位长度,与原来1 cm 代表一个单位长度比较,单位长度增加到原来的2倍,所以原来的1 cm 只能代表21个单位长度了.由于横坐标没有改变,曲线形状没有变化,而原曲线图象的解析式变为y ＝21sinx,x∈R .同理,若纵坐标保持不变,横坐标改用2 cm 代表一个单位,则横坐标被压缩到原来的21,原曲线周期就由2π变为π.故改变横坐标后,原曲线图象的解析式变为 y ＝sin2x,x∈R .3.求方程lgx ＝sinx 实根的个数.解:由方程式模型构建图象模型.在同一坐标系内作出函数y ＝lgx 和y ＝sinx 的图象,如图10.可知原方程的解的个数为3.图10点评:单解方程是很困难的,而根据方程式模型构建图象模型,利用数形结合来解就容易多了,教师要让学生熟练掌握这一方法.知能训练课本本节练习33.本题可让学生上网查一下,下载有关人体节律的软件,利用软件就能方便地作出自己某一时间段的三条人体节律曲线,它们都是正弦型函数图象,根据曲线不难回答题中的问题.让学生在课下总结一下自己在什么时候应当控制情绪,在什么时候应当鼓励自己；在什么时候应当加以锻炼,在什么时候应当保持体力,以利于学生的高效率学习.点评:通过解决可用三角函数模型描述的自身问题,让学生增强学习三角函数的兴趣,并进一步体会三角函数是描述周期性变化现象的重要模型,体会数学应用的广泛性.课堂小结1.让学生回顾本节课的数学模型都解决了哪些现实生活中的问题,用三角函数模型刻画周期变化规律对国家建设、制定未来计划,以及我们的学习、生活都发挥着什么样的作用.2.三角函数应用题通常涉及生产、生活、军事、天文、地理和物理等实际问题,其解答流程大致是:审读题意→设角建立三角式→进行三角变换→解决实际问题.在解决实际问题时,要学会具体问题具体分析,充分运用数形结合的思想,灵活的运用三角函数的图象和性质解决现实问题.作业图11如图11,一滑雪运动员自h=50 m 高处A 点滑至O 点,由于运动员的技巧(不计阻力),在O 点保持速率v 0不变,并以倾角θ起跳,落至B 点,令OB=L,试问,当α=30°时,L 的最大值为多少?当L 取最大值时,θ为多大?分析:本题是一道综合性题目,主要考查考生运用数学知识来解决物理问题的能力.首先运用物理学知识得出目标函数,其次运用三角函数的有关知识来解决实际问题. 解:由已知条件列出从O 点飞出后的运动方程:⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-==.21sin sin cos cos 200gt t v a L h t v a L s θθ 由①②,整理得v 0cos θ=t a L cos ,v 0sin θ=t a L sin -+21gt. ∴v 02+gLsin α=41g 2t 2+22t L ≥2222241t L t g ∙=gL. 运动员从A 点滑至O 点,机械守恒有mgh=21mv 02,∴v 02=2gh.∴L≤)sin 1(2)sin 1(20a g gh a g v -=-=200(m), 即L max =200(m).又41g 2t 2=222t h s +=22t L , ∴t=g L 2,s=Lcos α=v 0tcos θ=2gh·gL 2·cos θ, 得cos θ=cos α.∴θ=α=30°.∴L 最大值为200米,当L 最大时,起跳倾角为30°.设计感想1.本节是三角函数内容中新增加的一节,目的是加强学生的应用意识,本节教案设计的指导思想,是让学生围绕着采集到的数据展开讨论,在学生思考探究的过程中,学会积极冷静地对待陌生背景,正确处理复杂数据以及准确分析问题中的数量关系,这很符合新课改理念.2.现实生活中的问题是多变的,学生的思维是发散的,观察的视角又是多样的,因此课题教学中,教师要善于挖掘并发现学生思维的闪光点,通过讨论例题这个载体,充分激发学生的潜能,让学生从观察走向发现,从发现走向创造,走向创新.3.学生面对枯燥的数据,潜意识里是讨厌的,因此教师要在有限的课堂时间里,着重解决物理背景下、地理背景下的三角函数的函数模型的选定,不要把时间浪费在一些计算上.。

人教A版必修四 1.6 三角函数模型的简单应用教案

③借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在[-π/2，π/2]上的性质（如单调性、最大和最小值、图象与x轴交点等）。④理解同角三角函数的基本关系式：sin2x+cos2x=1，sin x/cos x=tan x。⑤结合具体实例，了解y=Asin（wx+f）的实际意义；能借助计算器或计算机画出y=Asin（wx+f）的图象，观察A，w，f对函数图象变化的影响。
思
2.已知函数的一系列对应值如下表：
（1）根据表格提供的数据求函数的解析式；
（2）求函数的对称中心；（3）若函数关于直线对称且，求的值；
（4）若当时，方程恰有两个不同的解，求实数的取值范围．
比照老师问题，自主学习，并逐一回答，在过程中可与下一环节结合起来进行讨论。
提纲式引领学习，让学生有的放矢，不至于茫然抓不住重点。不知道自己要干什么。
课题名称
1.6三角函数模型的简单应用
教师姓名
学生年级
高一
课时
1
课程标准描述
1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化。
2.三角函数:（1）任意角、弧度了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化。（2）三角函数①借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。②借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式，能画出y=sin x, y=cos x, y=tan x的图象，了解三角函数的周期性。
教材内容分析
三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。在本模块中，学生将通过实例，学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用。
学生分析
三角恒等变换在三角函数学习中有一定的作用，有利于发展学生的推理能力和运算能力。在本模块中，学生将运用向量的方法推导基本的三角恒等变换公式，由此出发导出其它的三角恒等变换公式，并能运用这些公式进行简单恒等变换。

1.6三角函数模型的简单应用示范教案

1.6三角函数模型的简单应用教学目的：1、通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学会由图象求解析式的方法；2、体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程；3、体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。

教学重点、难点重点：精确模型的应用——即由图象求解析式，由解析式研究图象及性质。

难点：分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型，并调动相关学科的知识来解决问题。

教学过程：一、复习引入：简单介绍大家熟悉的“物理中单摆对平衡位置的位移与时间的关系”、“交流电的电流与时间的关系”、“声音的传播”等等，说明这些现象都蕴含着三角函数知识二、讲授新课：例1．如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数b x A y ++=)sin(ϕω．（1）求这一天6～14（2）写出这段曲线的函数解析式．解：（1（2）从图可以看出：从6～14是b x A y ++=)sin(ϕω的半个周期的图象，∴86142=-=T ∴16=T ∵ωπ2=T ，∴8πω=又∵⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+==-=20210301021030b A ∴⎩⎨⎧==2010b A ∴20)8sin(10++=ϕπx y将点)10,6(代入得：1)43sin(-=+ϕπ， ∴Z k k ∈+=+,23243ππϕπ， ∴Z k k ∈+=,432ππϕ，取43πϕ=， ∴)146(,20)438sin(10≤≤++=x x y ππ。

例2．画出函数x y sin =的图象并观察其周期．分析与简解：如何画图？法1：去绝对值，化为分段函数（体现转化与化归！）；从图中可以看出，函数x y sin =是以π为周期的波浪形曲线．例3．如图，设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射纬度，ϕ为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是δϕθ--=ο90．当地夏半年δ取正值，冬半年δ取负值．如果在北京地区(纬度数约为北纬ο40)的一幢高为0h 的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？分析与简解：与学生一起学习并理解教材解法（地理课中已学习过），指出该实际问题用到了三角函数的有关知识．例4. 如图，某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数()sin y A x b ωϕ=++．（１）求这一天的最大温差；（２）写出这段曲线的函数解析式．答案：解：象，所以 (12A = 12b =θφφ-δδ太阳光∵121462ω=-g π， ∴8ω=π．将6x =，10y =代入上式，解得34ϕ=π．综上，所求解析式为310sin 2084y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ππ，[]6,14x ∈．四、课堂练习：课本第73页练习第1、2、3题五、课堂小结六、作业：课本第73页习题A 组第1、2、3、4题。